Tema iii funciones polinomicas radicales y racionales y limites uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMÁTICA

TEMA III

FUNCIONES POLINÓMICAS, RADICALES Y RACIONALES. LÍMITES POR

TEOREMAS. FORMA 0/0.

HISTORIA DE LAS FUNCIONES Y LÍMITES

El concepto de función vino a conocerse en el siglo XVII. En la historia de las matemáticas

se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler, por precisar el concepto de función,

así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo

sus derivadas e integrales.

Antes de Euler, el matemático y filósofo francés René Descartes, mostró en sus trabajos de

geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de variable y función, realizando

una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos

de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones

que las representan. Afirmó:

“Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada

de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o

cantidades constantes”.

También fue el responsable de la utilización de las últimas letras del alfabeto para designar

las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Inventó el método de

los exponentes (como en 2x ) para indicar las potencias de los números. Formuló la regla

(conocida como la ley cartesiana de los signos) para descifrar el número de raíces negativas

y positivas de cualquier ecuación algebraica, término usado para indicar la relación o

correspondencia entre dos o más cantidades.

El termino función fue usado por primera vez en 1673 por el matemático francés René

Descartes para designar una potencia 2x de la variable .x

En otro orden de ideas, aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos

XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien,

en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue

conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y

parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática.

La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en

los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con

límites. La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida

a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

TEMA III: FUNCIONES POLINÓMICAS, RADICALES Y RACIONALES Y LÍMITES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA

CONCEPTO DE FUNCIÓN (REAL DE VARIABLE REAL)

Una función es una relación entre dos variables, x e .y A cada valor de la x (variable

independiente) le corresponde un único valor de y (variable dependiente). La función se

represente gráficamente sobre los ejes cartesianos. Según alas graficas de la figura:

Representaciones graficas de relaciones.

La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un único

valor de .y La segunda gráfica no es de una función: Hay valores de x que les

corresponde más de un .y

Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que

intervienen. Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona

el fenómeno que en ella se describe.

Así, tenemos más formalmente que:

“Una función es el conjunto de pares ordenados de número reales yx, en los

cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de

todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la función ( fD ), y el conjunto

de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido ( fR ) de la

función”.

Por ejemplo, podemos notar existe una relación: Es un conjunto de pares ordenados que

están formadas por un elemento del primer conjunto (salida), y un elemento del segundo



conjunto (llegada). Destacando que este concepto de relación implica la idea de

correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una

relación, la cual no necesariamente es una función como veremos en los ejemplos:

a) La ecuación de la recta:

La ecuación punto-pendiente de la recta

está definida por la relación:

13 xy

Y notamos que para cada valor de x

existe uno y solo un valor de ,y por

tanto es una función que por su

característica la definimos más adelante.

b) La ecuación de una circunferencia:

La ecuación de la circunferencia centrada en

0,0C y radio 3r está definida por la relación:

922 yx

Y notamos que para cada valor de x distinto de

3,-3, existen dos valores de ,y por ejemplo para

,2x tenemos que ,92 22 y es decir

54994 222 yyy o bien

5y y por tanto no es una función, pero de

ella podemos obtener dos funciones despejando la

variable dependiente, por ejemplo:



De la relación 922 yx despejamos la

variable y y obtenemos en este caso la

parte positiva: .9 2

1 xy

De la relación 922 yx despejamos la

variable y y obtenemos en este caso la

parte negativa: .9 2

2 xy

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen.

RxfRxfDom /

RANGO DE UNA FUNCIÓN

Sea xfyx

RRDf

: una función, se denomina rango o recorrido de una función

al conjunto de los valores reales que toma la variable y o .xf En forma de conjunto:

xfyDomfxRyfRg :/



GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función está formada por el conjunto de puntos yx, cuando x varía

en el dominio .D

D / x xx, f =fGráfica

FUNCIÓN POLINÓMICA

En matemáticas, se tiene que una función polinómica es una función asociada a

un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

xPxf :

Donde xP es un polinomio definido para todo número real ;x es decir, una suma finita

de potencias de x multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

NnxaxaxaxaxaxP n

n

n

n

n

i

i

i

,1

1

1

1

0

0

0

Debemos tomar en cuenta que los exponentes deben ser naturales puesto que la expresión

,322

123 2345 xxxx no es un polinomio pues el exponente -3 es entero.

Otra definición: Si xP es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es

una función polinomial RRP : que asigna a cada punto Rx el valor .RxP

FUNCIONES POLINÓMICAS BÁSICAS

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(polinomio)



GRADO NOMBRE EXPRESIÓN

0 Función constante ay

1 Función lineal baxy es un binomio del primer grado

2 Función cuadrática cbxaxy 2 es un trinomio del segundo grado

3 Función cúbica dcxbxaxy 23

es un cuatrinomio de

tercer grado

Dominios de diversas funciones:

Función Constante: ,kxf con Rk una constante.

,: RfDom

Función Identidad: .xxf

,: RfDom

Función lineal: ,kxxf con Rk una constante.

,: RfDom

Función lineal en general: ,bmxxf con m la pendiente de la recta y b el

punto de corte de la recta en el eje .Y

,: RfDom



Función Cuadrática: .2 cbxaxxf

,: RfDom

Función Polinómica: Nnxaxaxaxaxf n

n

n

n

,1

1

1

1

0

0

,: RfDom

FUNCIÓN RACIONAL

Una función racional se forma con el cociente de dos funciones polinómicas:

xQ

xPxf

El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen

imagen o cuya imagen es real.

0/

0/

/

/

xQRxRfDom

xQRxfDom

RxQ

xPRxfDom

RxfRxfDom

Esto es, para hallar el dominio de una función racional hallamos los valores para los cuales

el divisor es diferente de cero.

Por ejemplo: Hallar el dominio de la función .1

32

x

xxf



Llamemos 32 xxP y ,1 xxQ luego notemos que:

.1010 xxxQ

Por tanto: 1 RfDom

Otro ejemplo: Hallar el dominio de la función .65

12

2

xx

xxf

Llamemos 12 xxP y ,652 xxxQ luego notemos que:

.0320650 2 xxxxxQ

Factorizando, tomando en cuenta que: 532 y .632

Luego:

32

0302032

xx

xxxx

Por tanto:

3,2 RfDom

NOTA: Para factorizar la ecuación de segundo grado se puede usar el resolvente cuadrático

o Ruffini.

EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:

.53

672

x

xxxf



.1

672

2

x

xxxf

.652

6723

2

xxx

xxxg

.1

673

2

x

xxxf

FUNCIÓN RADICAL

Una función radical se forma cuando la cantidad subradical de la función es un polinomio e

inclusive un cociente de dos funciones polinómicas:

n xPxf

n

xQ

xPxf

El dominio de una función racional está formado por todos los elementos que tienen

imagen o cuya imagen es real.

DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE PAR

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o

igual que cero.

Por ejemplo, sea 652 xxxf

Notemos que:

.0320652 xxxx

Factorizando, tomando en cuenta que:

532 y .632

Luego:



32 32

0302 0302032

2 Caso 1 Caso

xxxx

xxxxxx

Geométricamente:

Por tanto:

,32, fDom

DOMINIO DE LA FUNCIÓN RADICAL DE ÍNDICE IMPAR

El dominio es R o un subconjunto de este de acuerdo con la función que este en la cantidad

subradical.

Por ejemplo, para la función 3 2 65 xxxf se tiene que el dominio es:

RfDom

Mientras que para la función 32 65

xx

xxg tenemos que el dominio es, de

acuerdo con la factorización del ejemplo anterior: 3,2 RfDom

EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:

57 xxf

56152 xxxg



5 2 5615 xxxh

.53

672

x

xxxi

.1

672

2

x

xxxj

.652 23 xxxxk

ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS DOMINIOS

Suma y Diferencia de Funciones: xgxfxgf

gDomfDomgfDom

Producto de Funciones: xgxfxgf

gDomfDomgfDom

Cociente de Funciones:

,xg

xfx

g

f

.0xg

0/

xggDomxgDomfDom

g

fDom

Composición de Funciones: Dos funciones Y f:X y ,Zg:Y donde

la imagen de f está contenida en el dominio de ,g se define la función

composición Zxfg : como ,xfgxfg para todos los elementos

de .X

El dominio de fg es:

Dom gxDom f y fR | xx = fgDom



LIMITE DE FUNCIONES

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE: Sea f una función definida en un intervalo

abierto que contiene a c y L un número real: cx

Lxf

)(lim

Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:

Lxfcx )(entonces ,0

Geométricamente:

Si una función xf cumple esta definición, decimos que es convergente en a .

NOTA: Para que una función tenga límite en un punto de abscisa a , o sea convergente en

ese punto, no es necesario que la función esté definida en ese punto.

Demostrar aplicando la definición épsilon – delta que el límite existe.

Ejemplo: Comprobar que .912lim4

= x + x

Solución:

Puesto que 12x + xf está definido para cualquier número real, para cualquier

intervalo abierto que contenga a 4 cumplirá el primer requisito de la definición épsilon –

delta. Ahora se debe demostrar que:

Lxfax )( /00 > , 0 >



Tomando la segunda parte de la expresión Lxfax )( 0 y sustituyendo en

ella los valores dados en el límite entonces .912 40 xx

Luego hagamos estos cálculos previos:

912x 82x 42 x

42 x 42 x .2

4

x

Para que 912x es suficiente que 2

4

x < por lo que podemos formar

.2

Prueba formar (Comprobando que el hallado funciona):

Si dado , 0 > tomamos ,2

entonces

912422

44 xxxx

Vemos que con que 2

logramos lo que queríamos, que es

.912 40 xx

Luego,

912lim4

= x + x

Veámoslo gráficamente:



La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales 85,3x y 15,4x también

queda encerrada entre las rectas horizontales 55,8y e 45,9y

El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para .9xf A

esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica, (épsilon) y para cada uno

de ellos se obtiene un valor (delta) también positivo, tal que: si 4x y

,44 x entonces .99 xf

Utilizando notación de distancia. Si 4x y ,40 x entonces .9 xf

O en forma equivalente: Si 4x y ,4,4 x entonces .9,9 xf

EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL LÍMITE: Si f es una función y ,c L son números

reales, el límite de xf cuando x se aproxima a c es L si y sólo sí:

LxfyLxfcxcx

)(lim)(lim

EJEMPLO: Comparación de los límites laterales



Pruebe que x

x

x 0lim

no existe.

Solución: Puesto que:

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

Se tiene que

11limlimlim

11limlimlim

000

000

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

Como los límites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que el límite no

existe. A continuación se muestra la gráfica de la función .x

xxf

Razone en términos de épsilon – delta la no existencia del límite.

LÍMITES BÁSICOS: Si b y c son números reales y n un entero positivo. bbcx

lim

y .lim cxcx

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES: Si b y c son números reales y n un entero

positivo, f y g funciones con los límites siguientes: Lxfcx

)(lim y .)(lim Kxgcx

Tenemos que se cumplen:



1. MÚLTIPLO ESCALAR: bLxfbcx

)(lim

2. PRODUCTO: LKxgxfcx

)()(lim

3. SUMA O DIFERENCIA: KLxgxfcx

)()(lim

4. COCIENTE: 0,)(

)(lim

Kquesiempre

K

L

xg

xf

cx

5. POTENCIAS: nn

cxLxf

)(lim

6. ÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL: Si n es un entero positivo: nn

cxcx

lim

Para toda c si n es impar. 0c si n es par.

7. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA: Si f y g son funciones tales que:

Lxgcx

)(lim y ).()(lim LfxfLx

Entonces: )())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

LÍMITES ESPECIALES:

1lim0

x

senx

x 0

cos1lim

0

x

x

x

11

lim0

x

ex

x

ax

ax

xln

1lim

0

k

x

xe

x

k

1lim

EJERCICIOS DE LÍMITES

1. Calcular los siguientes límites:

a) 65lim 2

1

xx

x

Solución:

Como se trata de un límite directo, y como cada límite sumando existe hallamos su valor del así:



)cantidades estas todassumamos (Y 2651

.constante) la es constantefunción una de límite (El 6151

función). dicha de limite elpor escalar

del producto el es unafunciónpor

escalar un de producto del límite ely

función la de limite del potencia la es

función una de potencia la de límite (El 6limlim5lim

función). cada de límites los de suma la es

funciones de suma una de límite (El 6lim5limlim65lim

2

11

2

1

11

2

1

2

1

xxx

xxxx

xx

xxxx

b) 103

1262lim

2

23

2

xx

xxx

x

Solución:

Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del

numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio

anterior):

1)

01212881226222

12limlim6lim2lim

12lim6lim2limlim1262lim

23

22

2

2

3

2

22

2

2

3

2

23

2

xxxx

xxxxx

xxx

xxxxxx

2)

0106410232

10limlim3lim

10lim3limlim103lim

2

22

2

2

22

2

2

2

2

xxx

xxxx

xx

xxxx

De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .0

0

Ahora descomponemos tanto la función polinómica del numerador como de la función

polinómica del denominador: Para el primero usamos la regla de Ruffini:



De aquí tenemos que un factor es 660 22 xx xxP y ,2 xxQ es decir,

tenemos que:

.621262 223 xxxxx

Para el segundo notamos que .252525103 22 xxxxxx

Si aun no tienes claro esta factorización puedes usar la ecuación de segundo grado.

Luego levantemos la indeterminación:

7

2

7

64

52

62

5limlim

6limlim

limites). los de cociente el es cociente

un de limite elaplicar podemos cero de

diferentesson y existen limites los (Como 5lim

6lim

r).simplifica podemosy 02 sea o

2 que tenemos2(Como 5

6lim

52

62lim

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x-

x xx

x

xx

xx

Cocientes del dividendo

1 -2 -6 12

2 2 0 - 12

1 0 -6 0

Resto

Coeficiente del cociente



Así,

7

2

103

1262lim

2

23

2

xx

xxx

x

c) 2

4lim

4

x

x

x

Solución:

Como se trata de una función racional, calculemos el límite directo de la función del

numerador y de la función del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio

anterior):

a) 04444 limlimlim444

xxx

xx

b) 0222422 limlimlim444

xxx

xx

De acá tenemos que el límite presenta una indeterminación de la forma .0

0

Ahora debemos racionalizar:

2

4

24

4

424

222

842

2

2.

2

4

22

x

x

xx

x

xxx

xxx

xxxx

x

x

x

x

Luego levantemos la indeterminación:

42224222

4limlimlimlim

4444

xxxx

xxx

x

Así,

42

4lim

4

x

x

x



EJERCICIOS PROPUESTOS

a) .2

242 346

2lim

x

xxx

x

b) .3

182 234

3lim

x

xxx

x

c) 25

1522

2

5lim

x

xx

x

d) 103

442

23

2lim

xx

xxx

x

e) .8

823

24

2lim

x

xxx

x

f) .63

3091263 354

2lim

x

xxxx

x

g) 652

9923

23

3lim

xxx

xxx

x

h) 21

1lim

1

x

x

x

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Larson, Hostetler, Edwards. (1991). Calculus with Applications. Mc Graw Hill.

Larson, R. Hostetler, R. (2006). Precálculo. Reverté.

Leithold, L. (1992). El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.

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Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

https://www.createspace.com/5137020

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