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Introducción a Radicales Simplificando Radicales Operaciones de Radicales Exponentes Racionales Radicales Dra. Karen R. Ríos-Soto Departamento de Ciencias Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Mayaguez AFAMaC, 6 de septiembre de 2010 Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Radicales
Dra. Karen R. Ríos-Soto
Departamento de Ciencias MatemáticasUniversidad de Puerto Rico - Mayaguez
AFAMaC, 6 de septiembre de 2010
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Outline
1 Introducción a RadicalesDefinición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
2 Simplificando RadicalesRegla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
3 Operaciones de Radicales
4 Exponentes Racionales
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Introducción
Definimos la raíz cuadrada de un número por su operacióninversa, elevando un número a una potencia.
El cuadrado de 5 es 52 = 25.El cuadrado de −5 es (−5)2 = 25.
El cuadrado de 12 es
(12
)2= 1
4 .
La raíz cuadrada de 25 es 5, pues 52 = 25.La raíz cuadrada de 25 es también −5, pues (−5)2 = 25.
La raíz cuadrada de 14 es 1
2 , pues(1
2
)2= 1
4 .
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. Elsímbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadradapositiva o principal de un número. Por ejemplo,
√25 = 5
El símbolo −√ es utilizado para la raíz cuadrada negativa.Por ejemplo,
−√
25 = −5.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Notar que tanto 5 como −5 son raices cuadradas de 25. Elsímbolo √ se utiliza para denominar la raíz cuadradapositiva o principal de un número. Por ejemplo,
√25 = 5
El símbolo −√ es utilizado para la raíz cuadrada negativa.Por ejemplo,
−√
25 = −5.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Outline
1 Introducción a RadicalesDefinición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
2 Simplificando RadicalesRegla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
3 Operaciones de Radicales
4 Exponentes Racionales
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raíz Cuadrada
DefinitionLa raíz cuadrada positiva o principal de un número positivo ase escribe como
√a. El negativo de la raíz cuadrada de a se
escribe −√
a.√
a = b solo si b2 = a y b > 0
Además, la raíz cuadrada de 0, se escribe√
0, es 0.
El símbolo √ es llamado el radical o el signo de radical. Laexpresión dentro del radical es llamada el radicando. Unaexpresión que contiene un radical es llamada un expresiónradical.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Raices Cuadradas Irracionales
¿La raíz cuadrada de un número negativo existe?Por ejemplo, ¿hay algún número real cuya raíz cuadrada es−4?NOPor ende,
√−4 no es un número real.
DefinitionLa raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.
Números tales como 1, 4, 9, 16 y 425 son cuadrados perfectos.
Raices cuadradas de cuadrados perfectos simplifican a unnúmero racional.Por ejemplo,
√3 ≈ 1.732050808 es un número irracional.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 1
Halle cada raíz cuadrada.a.√
36b. −
√5
c.√
9100
d. −√
64e.√
0f.√−25
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Outline
1 Introducción a RadicalesDefinición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
2 Simplificando RadicalesRegla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
3 Operaciones de Radicales
4 Exponentes Racionales
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables queaparecen en el radicando de una expresión radical,representan sólo números positivos.√
y2 = y pues (y)2 = y2.√
x8 = x4 pues (x4)2 = x8.√9z2 = 3z pues (3z)2 = 9z2.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables queaparecen en el radicando de una expresión radical,representan sólo números positivos.√
y2 = y pues (y)2 = y2.√
x8 = x4 pues (x4)2 = x8.√9z2 = 3z pues (3z)2 = 9z2.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Radicales con Varibles
Para evitar radicandos negativos, asumir que las variables queaparecen en el radicando de una expresión radical,representan sólo números positivos.√
y2 = y pues (y)2 = y2.√
x8 = x4 pues (x4)2 = x8.√9z2 = 3z pues (3z)2 = 9z2.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variablerepresenta un número positivo.
a.√
x2
b.√
x6
c.√
16y6
d. −√
y4
25
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variablerepresenta un número positivo.
a.√
x2
b.√
x6
c.√
16y6
d. −√
y4
25
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variablerepresenta un número positivo.
a.√
x2
b.√
x6
c.√
16y6
d. −√
y4
25
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 2
Simplifica las siguientes expresiones. Asumir que cada variablerepresenta un número positivo.
a.√
x2
b.√
x6
c.√
16y6
d. −√
y4
25
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Otras Raices
Podemos hallar raices diferentes a las cuadradas.Por ejemplo, como 23 = 8, llamamos a 2 la raíz cúbica de 8.En símbolos escribimos:
3√
8 = 2 - El número 3 es llamado el índice.3√
27 = 3, pues (3)3 = 27.3√−64 = 4, pues (−4)3 = −64.
Notar que la raíz cúbica de un número negativo es un númeronegativo.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n esun número natural.En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribecomo n
√a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n esun número natural.En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribecomo n
√a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Podemos también tomar raices enésimas, n, donde n esun número natural.En símbolos, la raíz enésima de un número a se escribecomo n
√a.
El índice 2 es generalmente omitido para la raíz cuadrada.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
81
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Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
81
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
81
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
81
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
81
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Definición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
Ejemplo 3
Simplifica las siguientes expresiones.a. 3√−27
b. 3√
1125
c. 4√
16d. 5√−32
e. 3√−8
f. 4√
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Outline
1 Introducción a RadicalesDefinición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
2 Simplificando RadicalesRegla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
3 Operaciones de Radicales
4 Exponentes Racionales
Karen R. Ríos-Soto - AFAMaC Radicales
Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando nocontiene cuadrados perfectos (diferente de 1).Por ejemplo,
√20 no está simplificado por que√
20 =√
4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.Notar que
√9 · 16 =
√144 = 12 y
√9 ·√
16 = 3 · 4 = 12.Por ende,
√9 · 16 =
√9 ·√
16.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando nocontiene cuadrados perfectos (diferente de 1).Por ejemplo,
√20 no está simplificado por que√
20 =√
4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.Notar que
√9 · 16 =
√144 = 12 y
√9 ·√
16 = 3 · 4 = 12.Por ende,
√9 · 16 =
√9 ·√
16.
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando nocontiene cuadrados perfectos (diferente de 1).Por ejemplo,
√20 no está simplificado por que√
20 =√
4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.Notar que
√9 · 16 =
√144 = 12 y
√9 ·√
16 = 3 · 4 = 12.Por ende,
√9 · 16 =
√9 ·√
16.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Raices cuadradas se simplifican cuando el radicando nocontiene cuadrados perfectos (diferente de 1).Por ejemplo,
√20 no está simplificado por que√
20 =√
4 · 5 y 4 es un cuadrado perfecto.Notar que
√9 · 16 =
√144 = 12 y
√9 ·√
16 = 3 · 4 = 12.Por ende,
√9 · 16 =
√9 ·√
16.
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Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Regla del Producto y Cociente para Radicales
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales, entonces
n√
a · b = n√
a · n√
b.
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales y b 6= 0, entonces
n
√ab
=n√
an√
b.
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Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Regla del Producto y Cociente para Radicales
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales, entonces
n√
a · b = n√
a · n√
b.
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales y b 6= 0, entonces
n
√ab
=n√
an√
b.
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Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
316
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Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
316
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Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
316
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Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
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Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
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Ejemplo 4
Simplifica.a.√
54b.√
35
c.√
364
d. 3√
54e. 3√
18
f. 4√
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Outline
1 Introducción a RadicalesDefinición de Raíz CuadradaRadicales con Variables y Enésimas Raices
2 Simplificando RadicalesRegla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
3 Operaciones de Radicales
4 Exponentes Racionales
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan númerospositivos.
a.√
x5
b.√
8y2
c.√
45x6
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Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan númerospositivos.
a.√
x5
b.√
8y2
c.√
45x6
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Regla del Producto y Cociente para Simplificar RadicalesSimplificación de Radicales con Variables
Ejemplo 5
Simplifica. Asumir que las variables representan númerospositivos.
a.√
x5
b.√
8y2
c.√
45x6
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Suma y Resta de Radicales
La suma y resta de radicales sólo se puede hacer cuando losradicales son similares.
DefinitionRadicales similares son expresiones radicales que tienen elmismo índice y el mismo radicando.
Por ejemplo, 5√
3 + 2√
3 se puede simplificar pero 4√
7 + 4 3√
7no.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 6
Simplifica.a.√
10− 6√
10b. 2 3√
7− 5 3√
7− 3 3√
7c.√
50 +√
8d. 2√
x2 −√
25x +√
x
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Ejemplo 6
Simplifica.a.√
10− 6√
10b. 2 3√
7− 5 3√
7− 3 3√
7c.√
50 +√
8d. 2√
x2 −√
25x +√
x
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Ejemplo 6
Simplifica.a.√
10− 6√
10b. 2 3√
7− 5 3√
7− 3 3√
7c.√
50 +√
8d. 2√
x2 −√
25x +√
x
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Ejemplo 6
Simplifica.a.√
10− 6√
10b. 2 3√
7− 5 3√
7− 3 3√
7c.√
50 +√
8d. 2√
x2 −√
25x +√
x
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Multiplicando y Diviendo Radicales
Regla del Producto para Radicales:
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales, entonces
n√
a · n√
b =n√
a · b.
Regla del Cociente para Radicales:
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales y b 6= 0, entonces
n√
an√
b= n
√ab
siempre que b 6= 0.
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Multiplicando y Diviendo Radicales
Regla del Producto para Radicales:
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales, entonces
n√
a · n√
b =n√
a · b.
Regla del Cociente para Radicales:
Definition
Si n√
a y n√
b son números reales y b 6= 0, entonces
n√
an√
b= n
√ab
siempre que b 6= 0.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Ejemplo 7
A. Multiplica y simplifica de ser posible.a.√
3 ·√
15b. 3√
4 · 3√
18B. Halle el producto y simplifique.
a. (√
x +√
2)(√
3−√
2)
b. (√
5− 7)(√
5 + 7)
C. Divida y simplifique de ser posible.
a.√
100√10
b.√
12x3√3x
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresiónradical, multiplicamos tanto el denominador como elnumerador por el mismo número diferente de cero.Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
Por ejemplo, en√
5√2
multiplicamos el denominador y el
numerador por√
2.√
5√2
=√
5·√
2√2·√
2=√
102
Este proceso se conoce como racionalización.
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Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresiónradical, multiplicamos tanto el denominador como elnumerador por el mismo número diferente de cero.Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
Por ejemplo, en√
5√2
multiplicamos el denominador y el
numerador por√
2.√
5√2
=√
5·√
2√2·√
2=√
102
Este proceso se conoce como racionalización.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresiónradical, multiplicamos tanto el denominador como elnumerador por el mismo número diferente de cero.Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
Por ejemplo, en√
5√2
multiplicamos el denominador y el
numerador por√
2.√
5√2
=√
5·√
2√2·√
2=√
102
Este proceso se conoce como racionalización.
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Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresiónradical, multiplicamos tanto el denominador como elnumerador por el mismo número diferente de cero.Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
Por ejemplo, en√
5√2
multiplicamos el denominador y el
numerador por√
2.√
5√2
=√
5·√
2√2·√
2=√
102
Este proceso se conoce como racionalización.
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Racionalizando
Para eliminar el radical del denominador en una expresiónradical, multiplicamos tanto el denominador como elnumerador por el mismo número diferente de cero.Equivalente a multiplicar la fracción por 1.
Por ejemplo, en√
5√2
multiplicamos el denominador y el
numerador por√
2.√
5√2
=√
5·√
2√2·√
2=√
102
Este proceso se conoce como racionalización.
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o restatenemos que multiplicar tanto el numerador como eldenominador por el conjugado del denominador.El conjugado de un número a +
√b es a−
√b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es(a + b)(a− b) = a2 − b2.Por ejemplo,
24 +√
3=
2(4−√
3)
(4 +√
3)(4−√
3)=
2(4−√
3)
13
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o restatenemos que multiplicar tanto el numerador como eldenominador por el conjugado del denominador.El conjugado de un número a +
√b es a−
√b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es(a + b)(a− b) = a2 − b2.Por ejemplo,
24 +√
3=
2(4−√
3)
(4 +√
3)(4−√
3)=
2(4−√
3)
13
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Para racionalizar el denominador que es una suma o restatenemos que multiplicar tanto el numerador como eldenominador por el conjugado del denominador.El conjugado de un número a +
√b es a−
√b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es(a + b)(a− b) = a2 − b2.Por ejemplo,
24 +√
3=
2(4−√
3)
(4 +√
3)(4−√
3)=
2(4−√
3)
13
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Para racionalizar el denominador que es una suma o restatenemos que multiplicar tanto el numerador como eldenominador por el conjugado del denominador.El conjugado de un número a +
√b es a−
√b.
Recordar la diferencia de cuadrados, esto es(a + b)(a− b) = a2 − b2.Por ejemplo,
24 +√
3=
2(4−√
3)
(4 +√
3)(4−√
3)=
2(4−√
3)
13
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.a. 2√
7
b.√
118x
c.3√73√3
d.√
5+4√5−1
e.√
7√8+√
2
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Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.a. 2√
7
b.√
118x
c.3√73√3
d.√
5+4√5−1
e.√
7√8+√
2
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Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.a. 2√
7
b.√
118x
c.3√73√3
d.√
5+4√5−1
e.√
7√8+√
2
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Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.a. 2√
7
b.√
118x
c.3√73√3
d.√
5+4√5−1
e.√
7√8+√
2
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Ejemplo 8
Racionalizar el denominador.a. 2√
7
b.√
118x
c.3√73√3
d.√
5+4√5−1
e.√
7√8+√
2
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Exponentes Racionales
La raíz cuadrada de un número a se puede expresar como√
ay en forma exponencial como a1/2.
Definition
Si n es un entero positivo y n√
a es un número real, entonces
a1/n = n√
a.
En general, si m y n son números enteros con n > 0 y si a esun número positivo, entonces
am/n = (a1/n)m = ( n√
a)m
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Ejemplo 9
Escribe en forma radical y después simplifica.a. 251/2
b. −161/4
c. 43/2
d. (−9)2/3
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Si el exponente es un número racional negativo utilizar lasiguiente definición.
Definition
Si a−m/n es un número real diferente de cero, entonces
a−m/n =1
am/n .
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Introducción a RadicalesSimplificando Radicales
Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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Operaciones de RadicalesExponentes Racionales
Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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Ejemplo 10
Escribe cada expresión como un exponente positivo yentonces simplifica.
a. (36)−1/2
b. (16)−3/4
c. 51/3
52/3
d. (x1/4)12
c. x1/5
x−4/5
d.(
y3/5
z1/4
)2
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