Publicaciones AFAMaC

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OMPR

Olimpiadas de Matematicasde Puerto Rico

2007-2008

Luis F. CaceresJonathan Ho Fung

Arturo Portnoy

Departamento de Ciencias MatematicasUniversidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de Mayaguez

Primera Edicion, 2008

Derechos c©AFAMaCDirector: Dr. Luis F. Caceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ningunmedio, electronico, mecanico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permisoprevio por escrito de AFAMaC.

Esta produccion ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC medianteproyectos del Departamento de Educacion Puerto Rico. Contrato #2007-AF-0205#O AF-081-07-0205

Realizado porLuis F. CaceresJonathan Ho FungArturo PortnoyDepartamento de Ciencias MatematicasUniversidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de MayaguezImpreso y hecho en Puerto Rico

ii

Prologo

Al igual que en los pasados anos, miles de estudiantes provenientesde las diversas escuelas publicas y privadas del paıs participaron en losprocesos de seleccion de este nuevo ciclo olımpico. Luego de meses dearduo trabajo para estos, el proceso culmino en el mes de mayo delpresente ano con el anuncio de los miembros de los equipos que nosrepresentaran en la Olimpiada de Matematica de Centroamerica y ElCaribe, la Olimpiada Iberoamericana de Matematicas y la OlimpiadaInternacional de Matematicas.

Esperamos que esta publicacion te sirva a ti, que participaste en esteproceso, de gran ayuda al momento de prepararte para los futuros ciclos;o quizas, que la puedas conservar como un recuerdo de esos primerosdestellos de lo que ya es una carrera academica sumamente promete-dora. Tambien esperamos que el contenido de esta publicacion, todoslos problemas y respectivas soluciones de los examenes administrados,sea lo suficientemente retador como para animar a participar a aquellosestudiantes que aun no lo han hecho.

Puerto Rico, al igual que el resto del mundo, esta atravesando pormomentos sumamente difıciles. Es por esto que se necesitan, tal vezmas que nunca, personas como tu que se distingan por su talento y lacapacidad de alcanzar logros en nombre del paıs; en nombre de esos cua-tro millones de personas que estan amparadas bajo una misma bandera.Eres parte de una generacion que, dentro de pocos anos, sera respon-sable de los pasos que tomara nuestro pueblo; generacion que formaralos pilares de nuestra sociedad y a la cual se le mirara en busqueda deinspiracion en tiempos que prometen ser sumamente conflictivos. De-muestra la grandeza de la que eres capaz, ya que mucho, quiza todo;depende de esto.

Jonathan Ho Fung

iii

AFAMaCAlianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y lasMatematicas.

Estos proyectos estan subvencionados por el Departamentode Educacion de Puerto Rico y son realizados en elDepartamento de Ciencias Matematicas del RecintoUniversitario de Mayaguez de la Universidad de Puerto Rico.

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Tabla de Contenido

Pagina

Examen de Primera Fase: Nivel I 6Examen de Primera Fase: Nivel II 12Examen de Segunda Fase: Nivel I 21Examen de Segunda Fase: Nivel II 25Olimpiada de Matematicas de Puerto Rico: Nivel I 29Olimpiada de Matematicas de Puerto Rico: Nivel II 31Examen de Seleccion: Nivel II 33Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel I 34Soluciones al Examen de Primera Fase: Nivel II 41Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel I 51Soluciones al Examen de Segunda Fase: Nivel II 55Soluciones a la Olimpiada de Matematicas: Nivel I 60Soluciones a la Olimpiada de Matematicas: Nivel II 64Soluciones al Examen de Seleccion: Nivel II 70

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COMPETENCIA PREOLIMPICA DEMATEMATICAS

Primera Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. ¿Cuantos rectangulos puedes ver en la siguiente figura?

a. 4 d. 9

b. 5 e. 10

c. 7

2. ¿Cuales dos numeros siguen en la sucesion 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, 16, 5, . . .?

a. 20,7 d. 20,6

b. 18,7 e. 18,7

c. 20,6

3. ¿Cuantos numeros de tres dıgitos se pueden hacer usando sola-mente los dıgitos 0 y 5?

a. 2 d. 8

b. 4 e. ninguna de las anteriores

c. 6

4. ¿Si 20 cajas de papayas pesan 1,600 libras y cada caja vacıa pesamedia libra, cuanto pesan las papayas juntas?

a. 1,590 libras d. 1,540 libras

b. 1,580 libras e. 1,520 libras

c. 1,560 libras

6

5. Se dibujan en una misma hoja un cırculo y un cuadrado. ¿Cuales el maximo numero de puntos comunes que pueden tener?

a. 2 d. 8

b. 4 e. 16

c. 6

6. Se sembraron 10 arboles en lınea recta con una separacion entrecada uno de ellos de 50 pies. ¿Que distancia hay entre el primeroy el ultimo arbol?

a. 300 pies d. 450 pies

b. 350 pies e. 500 pies

c. 400 pies

7. En una fiesta Marıa, Ana y Rosa van a repartirse regalos de talmanera que cada una da un regalo (no para ella misma) y recibeun regalo. ¿De cuantas maneras se puede realizar la reparticion?

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

8. En una finca hay el mismo numero de perros que de gallinas. ¿Sicontamos las patas de estos animales, cuantas podrıa haber entotal?

a. 4 d. 24

b. 10 e. 32

c. 16

7

9. Cuando Mario tenıa 27 anos su hijo Pedro tenıa 3 anos. AhoraMario tiene tres veces la edad de Pedro. ¿Cuantos anos tieneMario?

a. 36 d. 60

b. 48 e. 72

c. 54

10. En la suma

las letras diferentes representan dıgitos diferentes, AH representaun numero de dos dıgitos y HEE representa uno de tres dıgitos.Hallar H + E.

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

11. ¿Cual es el mınimo numero de colores que se necesitan para pintarun cubo de tal manera que dos caras adyacentes no tengan elmismo color?

a. 2 d. 5

b. 3 e. 6

c. 4

8

12. ABCD es un rectangulo con area igual a 36 unidades cuadradas.Los puntos E, F y G son los puntos medios de los lados en dondeellos estan localizados. ¿Cual es el area del triangulo EFG?

a. 6 d. 36

b. 9 e. 48

c. 18

13. Si tienes un cubo de 5 centımetros de lado formado por cubitos de1 centımetro de lado, ¿cuantos cubitos quedan totalmente ocultosa la vista?

a. 4 d. 27

b. 8 e. 64

c. 9

14. Luis escribio todos los numeros desde el 1 hasta el 100. ¿Cuantosdıgitos en total tuvo que escribir Luis?

a. 152 d. 202

b. 182 e. 222

c. 192

15. ¿Si la base de un triangulo aumenta en un 10% y su altura dis-minuye en un 10%, cuanto cambia su area?

a. no cambia d. aumenta 10

b. aumenta 1% e. disminuye 10

c. disminuye 1

9

16. Una bombilla se enciende cada dos minutos y otra bombilla seenciende cada tres minutos y medio. Las dos bombillas se en-cendieron simultaneamente a la media noche. ¿Cuando sera laprimera vez luego de la 1:00 am que las dos luces se volveran aencender al mismo tiempo?

a. 1:10 am d. 2:10 am

b. 1:20 am e. 3:10 am

c. 2:10 am

17. Una hoja de papel cuadrada se dobla por la mitad como se mues-tra en la figura y se corta por el doblez en dos rectangulos. Elperımetro de cada uno de los dos rectangulos es 18 centımetros.¿Cual es el perımetro del cuadrado original?

a. 12 d. 36

b. 18 e. 48

c. 24

18. El precio de la entrada de cine es $7. En el cine Balboa dancuatro funciones diarias. En la primera y en la segunda funcion,las entrada estan a mitad de precio. El jueves fueron a la cuartafuncion el doble de espectadores que a la tercera funcion y a latercera funcion el doble de los que fueron a la primera y a lasegunda funciones juntas. El jueves se recaudaron $1183 en total.¿Cuantos espectadores hubo ese dıa en la cuarta funcion?

a. 26 d. 169

b. 52 e. 208

c. 104

10

19. En un triangulo equilatero de 75 cms de perımetro se le sacan3 triangulitos, tambien equilateros, de 5 cms de lado; como semuestra en la figura. ¿Cual es el perımetro de la figura rayada?

a. 25 centımetros d. 75 centımetros

b. 40 centımetros e. 120 centımetros

c. 60 centımetros

20. Susana trabaja en un piso que tiene 5 oficinas. En el piso hay 3plantas: un cactus, una azalea y un ficus. Todos los dıas Susanacambia las plantas de la oficina. ¿De cuantas maneras puede ubi-carlas si nunca quiere poner las tres plantas en la misma oficina?

a. 15 d. 120

b. 30 e. 240

c. 60

11


Primera Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Supongamos que un piano normal tiene 87 teclas de las cuales 13

son negras y el resto son blancas. ¿Cuantas teclas son blancas?

a. 29 d. 67


c. 58

2. Conchita logra duplicar sus ahorros. Con ese dinero paga $600que debıa y se queda con $200. ¿Cuanto dinero tenıa Conchita alprincipio?

a. $1600 d. $400

b. $1200 e. $200

c. $800

3. Antonio es tıo de Rosa; Ana es abuela de Pedro; Fabiola es her-mana de Antonio; Antonio es papa de Pedro. ¿Que son Rosa yPedro?

a. hermanos d. Pedro es padre de Rosa

b. primos e. Pedro es nieto de Rosa

c. Rosa es hermana de Pedro

4. Considera 5 numeros enteros. ¿Cuantos deben ser impares paraque el producto de los cinco sea impar?

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

12

5. En el siguiente arreglo, cada letra representa un numero (no nece-sariamente distinto).

3 B C D E 8 G H I

¿Si la suma de cualesquiera tres numeros consecutivos es 18, cuantovale H?

a. 3 d. 11

b. 7 e. 15

c. 9

6. ¿Cuantos divisores positivos tiene 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2? (Los divisoresincluyen al numero mismo y al 1)

a. 4 d. 12

b. 8 e. 16

c. 10

7. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cuanto mide el angulo x?

a. 120◦ d. 65◦

b. 100◦ e. ninguna de las anteriores

c. 90◦

13

8. ¿Cuanto vale la suma de todos los dıgitos del numero 102007−2007?

a. 18,055 d. 2007

b. 19,032 e. ninguna de las anteriores

c. 12,435

9. En la television de Marıa se reciben los canales del 2 al 42. ¿SiMarıa enciende la television en el canal 15 y aprieta 518 vecesel boton para subir canales, en que canal quedara la televisioncuando se detenga?

a. 39 d. 42


c. 41

10. Pablo compro un artıculo con el 15% de descuento por $106.25.¿Cual es el precio original?

a. Menos de $123 d. $127

b. $124 e. mas de $127

c. $125

11. Simon escribe el numero 3 en la pizarra, luego lo borra y lo reem-plaza por su cuadrado, el 9, luego lo borra y lo reemplaza por sucuadrado, el 81. El repite esto 2007 veces: cada vez reemplaza elnumero escrito por su cuadrado. ¿Cual es el dıgito de la unidadde su ultima respuesta?

a. 1 d. 7

b. 3 e. 9

c. 5

14

12. ¿De cuantas formas distinas se pueden reordenar las letras L, A,P , I, Z de tal forma que la primera y ultima letras son vocales?

a. 6 d. 12

b. 8 e. 24

c. 10

13. Hay algunas canicas en una bolsa. Marıa dice: “Hay solo 3 canicasen la bolsa y todas son negras”. Luis dice: “Solo hay dos canicasnegras y dos canicas rojas en la bolsa”. Jorge dice: “Solo haycanicas negras en la bolsa”. ¿Sabiendo que solo uno ha mentido,cuantas canicas hay en la bolsa?

a. 1 d. 4

b. 2 e. no se puede saber

c. 3

14. En el siguiente dibujo, el segmento DE es paralelo al segmentoAB. Sabiendo que el area de DEC es 3

4del area de ABC y que

AC es 1 metro, ¿cual es la longitud de DC?

a. 2−√

32

metros d. 34

metros

b. (2−√

3) metros e.√

32

metros

c.√

33

metros

15

15. Un vandalo pincha las gomas de todos los carros y motoras enuna calle. La policıa lo arresta y cuenta que 44 vehıculos (motoraso carros) fueron danados. ¿Considerando que 144 gomas fueronpinchadas, cuantas motoras habıa en esa calle?

a. menos de 10 d. mas de 19 y menos de 25

b. mas de 9 y menos de 15 e. mas de 24

c. mas de 14 y menos de 20

16. Las diagonales de un rombo estan en proporcion 3:4 y su suma esde 56 cm. ¿Cual es el perımetro del rombo?

a. 60 cm d. 10 cm

b. 80 cm e. 108 cm

c. 96 cm

17. Las columnas y las filas de un tablero 8x8 de ajedrez estan nu-meradas del 1 al 8. Mauricio pone en cada cuadrado del tablerotantas pesetas como la suma de su numero de fila y su numero decolumna. ¿Cuantas pesetas pone Mauricio en el tablero?

a. 482 d. 1024

b. 576 e. 1152

c. 768

16

18. Considera todos los numeros de 4 dıgitos formados usando losdıgitos 3, 4, 6, 7, de tal forma que ningun dıgito se repite. ¿Cuantosde estos numeros son divisibles por 44?

a. 0 d. 3

b. 1 e. 4

c. 2

19. En el siguiente dibujo, el triangulo ABC es equilatero y DEFG esun cuadrado. ¿Sabiendo que AB mide 1 metro, cual es la longitudde DE?

a. 13

metros d. 1+√

34

metros

b. (2√

3− 3) metros e. (√

3− 1) metros

c. 12

metro

20. Si x es la solucion de la ecuacion x+11

+ x+22

+ . . . + x+100100

= 100,entonces

a. x = −2 d. x = 2

b. −1 ≤ x ≤ 1 e. x ≥ 3

c. x = 32

17

21. En la figura tenemos un cuadrado pequeno inscrito en un cırculoa su vez inscrito en un cuadrado grande. ¿Cual es la razon entreel area del cuadrado grande y el area del cuadrado chico?

a.√

22

d. 2√

2

b.√

2 e. 4

c. 2

22. En una isla hay solo dos tipos de gente: los que siempre dicenla verdad y los que siempre mienten. Tres habitantes de la islaestan hablando. Andrea dice: “Barbara siempre dice la verdad”,Barbara dice: “Andrea y Carlos siempre dicen la verdad” y Carlosdice: “Andrea miente”. Sabemos entonces que:

a. Los tres dicen la verdad

b. Andrea y Barbara dicen la verdad, Carlos miente

c. Andrea dice la verdad, Barbara y Carlos mienten

d. Andrea y Barbara mienten, Carlos dice la verdad

e. Los tres mienten

23. ¿Considerando 50 numeros distintos, elegidos al azar del conjunto{1,2,. . . ,100}, cuya suma total es 3000, cual es la cantidad mınimade numeros pares posibles entre los 50?

a. 2 d. 5

b. 3 e. 6

c. 4

18

24. Considere cualquier conjunto de 20 enteros consecutivos mayoresque 50. ¿Cual es el mayor numero de primos en el conjunto?

a. 4 d. 7

b. 5 e. 8

c. 6

25. Un estudiante paso un cierto numero de examenes manteniendo unpromedio de 23. Despues de pasar un examen mas, su promediobajo a 22.25. ¿Cual fue la ultima nota del estudiante, sabiendoque todas sus notas estan entre 18 y 30? (incluyendo 18 y 30)

a. 18 d. 21

b. 19 e. 22

c. 20

26. Un triangulo equilatero tiene el mismo perımetro que un rectangulocuyos lados son b y h (b > h). ¿Considerando que el area deltriangulo es

√3 veces el area del rectangulo, cual es el valor de b

h?

a.√

3 d. 3+√

52

b. 2 e. 7+3√

52

c. 3+√

32

27. Sea Q un cubo y S una esfera centrada en uno de los vertices deQ, con radio igual al lado de Q. El volumen de la interseccionentre Q y S es

a. 18

del volumen de la esfera d. 14

del volumen del cubo

b. 14

del volumen de la esfera e. 12


c. 16


19

28. Sea P (x) = x3 + ax2 + bx+ c y suponga que la suma de dos raıcesdel polinomio es cero. ¿Cual de las siguientes relaciones entre loscoeficientes de P (x) siempre es cierta?

a. a ∗ b ∗ c = 0 d. b2 = a ∗ c

b. c = a ∗ b e. ninguna de las anteriores

c. c = a + b

29. Sea ABC un triangulo isosceles con AB = BC 6= AC. Sea Pun punto en AB. ¿Cuantas posibles posiciones en el plano haypara un punto Q tal que el triangulo APQ sea similar al trianguloABC?

a. 0 d. 4

b. 2 e. 6

c. 3

30. Alberto, Barbara, Clara y David mezclan una baraja con 40 cartasy reparten 10 a cada uno de ellos. Alberto exclama sorprendido:“¡Que raro, yo no tengo espadas!”. ¿Cual es la probabilidad deque Barbara tampoco tenga espadas, si hay 10 cartas con espadasen la baraja?

a. 30!20!40!

d. 20!20!10!30!

b. 20!10!30!

e. 30!10!40!

c. 30!30!20!40!

20


Segunda Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Rosita tiene una caja grande con 4 cajas medianas dentro; en cadauna de las cajas medianas hay 2 cajas chicas, que a su vez cadauna contiene 3 mas pequenas. ¿Cuantas cajas tiene Rosita?

a. 10 d. 36

b. 12 e. 37

c. 15

2. ¿Cual numero falta en la siguiente sucesion: 1, 3, 7, 15, ?, 63, 127?

a. 16 d. 31

b. 17 e. 62

c. 30

3. ¿Cuantos triangulos hay en la siguiente figura?

a. 5 d. 10

b. 6 e. 12

c. 8

21

4. Antonio, Beatriz, Carlos y Diana estan sentados en una fila de 4sillas numeradas del 1 al 4. Emilio los ve y dice:• Beatriz esta al lado de Carlos• Antonio esta entre Beatriz Carlos¿Si las dos afirmaciones son falsas y Beatriz esta en la silla 3, quienocupa la silla 2?

a. Beatriz d. Antonio

b. Carlos e. Emilio

c. Diana

5. Un domador de fieras tiene tres tigres y dos leones. Desea aco-modarlos en una fila de modo que no queden dos tigres o dos leonesjuntos. ¿Considerando que cada fiera es distinta a las otras, decuantas formas distintas puede acomodar sus fieras?

a. 3 d. 18

b. 6 e. 24

c. 12

6. ¿Que numero multiplicado por tres corresponde a las tres cuartaspartes de 120?

a. 20 d. 60

b. 30 e. 80

c. 40

7. Cada cuadrado tiene 6 cms de lado y el perımetro de cada rectangulosombreado es el doble del perımetro de cada cuadrado blanco.¿Cual es el perımetro de la figura?

22

8. En cierto planeta hay tantos dıas en una semana como semanasen un mes como meses en un ano. ¿Si un ano tiene 1,000 dıas,cuantos dıas tiene cada semana?

a. 10 d. 1000

b. 100 e. No se sabe

c. 333

9. Un pastel se corta quitando cada vez la tercera parte del pastelque hay en el momento de hacer el corte. ¿Que fraccion del pasteloriginal queda despues de cortar tres veces?

a. 23

d. 89

b. 43

e. 827

c. 49

10. A una cantidad le sumo el 10%, y a la cantidad ası obtenida leresto su 10%. ¿Que porcentaje de la cantidad original me queda?

a. 98 d. 101

b. 99 e. 102

c. 100

11. ¿Si efectuamos el producto de todos los impares entre el 1 y el2008, cual es el dıgito de las unidades del resultado obtenido?

a. 1 d. 7

b. 3 e. 9

c. 5

23

12. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El totalde asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por laprimera fila y hacia atras. ¿En que numero de fila esta el asientonumero 375?

a. 12 d. 15

b. 13 e. 16

c. 14

13. Marıa tenıa el numero 4921508 y le pidio a Juan que borrara susdıgitos de tal forma que obtuviera el numero de tres dıgitos maspequeno posible. ¿Que numero obtuvo Juan al final?

14. ¿Cual es el dıgito de las unidades de 22008 − 2?

15. ¿Si las rectas horizontales son paralelas, cuanto mide el angulo x?

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Segunda Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. En la television de Claudia se reciben los canales 2 al 42. ¿SiClaudia enciende el televisor en el canal 15 y aprieta 518 veces elboton para subir canales, en que canal quedara el televisor cuandose detenga?

a. 39 d. 42

b. 40 e. 2

c. 41

2. El domingo pasado Marta tuvo varios invitados. Cuando Pedrollego ya estaba Raul. Jesus y Rita llegaron juntos. Luisa le abriola puerta a Arturo y Arturo a Jesus. Raul llego despues de Rita.¿Quien fue el ultimo en llegar?

a. Pedro d. Rita

b. Raul e. Arturo

c. Jesus

3. En una jaula hay cerditos y palomas con un total de 14 ojos y 22patas. ¿Cuantos cerditos y palomas hay en la jaula?

a. 2 cerdos y 2 palomas d. 3 cerdos y 4 palomas

b. 2 cerdos y una paloma e. 4 cerdos y 3 palomas

c. 3 cerdos y 3 palomas

25

4. En la pizarra esta escrito un numero de tres cifras que terminaen 2; si borramos ese 2 y lo escribimos al principio del numero,el numero disminuye en 36. ¿Cual es la suma de los dıgitos delnumero original?

a. 4 d. 9

b. 5 e. 10

c. 7

5. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el angulo ABC mide75◦ y el angulo ADC mide 50◦. ¿Cuanto mide el angulo BAD?

a. 30◦ d. 125◦

b. 85◦ e. 140◦

c. 95◦

6. A Julio le dieron el numero secreto de su ATH y observo que lasuma de los cuatro dıgitos del numero es 9 y ninguno de ellos es0; ademas el numero es multiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cual esel tercer dıgito (de derecha a izquierda) de su numero secreto?

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

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7. En el rectangulo de la figura, M y N son los puntos medios de ADy BC, respectivamente, P y Q son las respectivas interseccionesde AC con BM y con ND. ¿Suponiendo que AD mide 5 cm y queAB mide 3 cm, cuantos centımetros cuadrados tiene la superficiedel cuadrilatero MPQD?

a. 2.75 d. 3.75

b. 3 e. 4

c. 3.25

8. Un costal esta lleno de canicas de 20 colores distintos. Al azarse van sacando canicas del costal. ¿Cual es el mınimo numerode canicas que deben sacarse para poder garantizar que en lacoleccion tomada habra al menos 100 canicas del mismo color?

a. 1960 d. 1995

b. 1977 e. 2001

c. 1981

9. Juan elimino un numero de una lista de 10 numeros consecutivos.La suma de los que quedaron es 2008. ¿Cual es el numero queelimino?

a. 225 d. 228

b. 226 e. Ninguna de las anteriores

c. 227

27

10. ¿Sı escribı todos los numeros del 1 al 1000, cuantas veces aparecioel dıgito 5?

a. 110 d. 100

b. 1331 e. 300

c. 555

11. Se forma un cubo de 4 pulgadas de lado uniendo cubos de 1 pul-gada de lado. Se dice que dos cubos estan en contacto si tienenuna cara en comun. ¿Cuantos de estos cubos de una pulgada estanen contacto con exactamente 4 otros cubos de 1 pulgada?

12. Un entero es tartamudo si todos sus dıgitos son iguales a 1. ¿Cuan-tos enteros positivos menores que 100,000 cumplen que al multi-plicarlos por 33 se obtiene un entero tartamudo?

13. ¿De cuantas maneras se pueden escoger en un tablero de ajedrezuna casilla blanca y una negra, de tal forma que no esten las dosen una misma fila ni en una misma columna?

14. Dada la ecuacion 1 + (n2 + n)(n2 + 5n + 6) = 1812, donde n es unnumero entero, el valor de n(n + 3) es:

15. Si el area comprendida entre dos cırculos concentricos es 25π2

cm2,la longitud en cm de una cuerda de la circunferencia mayor, tan-gente a la menor, es:

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OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTORICO 2008

EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Gabriel le esta tomando unas fotos a sus amigas Carmen, Roxanay Keyla. ¿De cuantas formas diferentes se pueden colocar ellas enlınea para la foto?

2. La suma de tres numeros impares consecutivos es igual a 27. ¿Cuales el mas peque no de estos tres numeros?

3. Con 8 ochos quiero formar varios numeros que sumados den 1000.¿Como lo puedo hacer?

4. En la figura, ABC es un triangulo equilatero (es decir, todos suslados miden lo mismo) de 18 cms de perımetro. Si CD = ACy el cuadrilatero ACDE tiene 20 cms de perımetro. ¿Cual es elperımetro de ABCDE?

5. Julian tiene 8 lapices de colores distintos, entre ellos tiene uno rojo,uno blanco y uno negro. Dibujo una banderita de tres franjas yquiere pintar cada franja con un color diferente. Una de las franjasla pintara de su color favorito: el rojo. En el centro no quiereponer ni blanco ni negro. ¿De cuantas maneras puede pintar labanderita que dibujo?

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6. Un perro, sale desde su casa persiguiendo en lınea recta a un gato,que esta a 30 pies de la casa. Avanzan a los saltos. El perro dasaltos de 2 pies y el gato de 1 pie, pero el perro da dos saltos enel tiempo que el gato da tres. ¿A que distancia de la casa el perroalcanzara al gato?

7. Se quieren colocar los numeros 1-2-3-4-5-6-7-8 en los vertices delcubo de modo que la suma de los numeros que hay en los verticesde cada una de las caras sea siempre la misma. Muestra comohacerlo.

8. Me comı una rebanada de un pastel redondo que representaba el15% del total del pastel, como indica la figura. ¿Cual es el anguloque abarca la rebanada del pastel que me comı?

9. Juan escribio todos los numeros impares desde el 1000 hasta el2008. ¿Cuantas veces escribio el dıgito 0?

10. Durante las vacaciones, Ana, Camilo y Marıa se sacaron 35 fotosen total. Ana esta sola en 8 fotos. Camilo esta solo en 10 fotos.Ana esta en 19 fotos. Marıa siempre esta sola. ¿En cuantas fotosesta Marıa?

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EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Marıa, Ana y Luis leyeron un mismo libro de menos de 300 paginas.Marıa leyo 7 paginas el primer dıa y el resto a 10 paginas por dıa.Ana leyo 2 paginas el primer dıa y el resto a 11 paginas por dıa.Luis leyo 5 paginas el primer dıa y el resto a 9 paginas por dıa.¿Cuantas paginas tiene el libro?

2. Javier tiene que armar una clave con 3 letras y 3 dıgitos. Laclave debe empezar y terminar con una letra. Los dıgitos debenponerse en forma creciente o decreciente. Elige las letras entre lasde su nombre, sin repetirlas. Elige los dıgitos entre los impares,sin repetirlos. ¿De cuantas maneras puede Javier armar esa clave?

3. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a dos terciosde lo recorrido la hora anterior. Si en tres horas recorrio 76 cms,¿cuantos centımetros recorrio durante la primera hora?

4. En la circunferencia de centro O y diametro AB se marca el puntoC, como se muestra en la figura, de modo que ∠AOC = 36◦.¿Cuanto mide el angulo ∠CBO?

5. En una fiesta de cumpleanos hay 40 ninos y ninas en total, conun promedio de edad de 7.4 anos. El promedio de edad de lasninas es de 7 anos. El promedio de edad de los ninos es de 8 anos.¿Cuantas ninas y cuantos ninos hay en la fiesta?

6. Encuentra el numero de enteros positivos de cuatro dıgitos talesque entre ellos hay al menos un 1 y al menos un 0.

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7. Encuentre las soluciones enteras no negativas de(x + y + z)2 + (x + y − z)2 + (x− y + z)2 = 40.

8. El centro del cırculo que pasa por todos los vertices de un pentagonoregular ABCDE es O, T es el punto medio de CD y AB = 2.Encuentra el valor de (AO − TO) ∗ AT .

9. Encuentra todos los triangulos rectangulos con catetos de longitudentera e hipotenusa de longitud

√2006.

10. Encuentra las soluciones reales de 8√x+6−

√x−2

≤ 6−√

x + 1.

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OLIMPIADAS DE MATEMATICASDE PUERTO RICO

EXAMEN DE SELECCION

1. Se tiene un rectangulo de 1x25, dividido en 25 casillas de 1x1.Decidir si es posible escribir los 25 numeros enteros del 1 al 25,uno en cada casilla y sin repeticiones, de manera tal que la sumade los dos numeros escritos en dos casillas adyacentes sea siempreun cuadrado perfecto. Si la respuesta es afirmativa, mostrar unadistribucion de los 25 numeros. Si es negativa, explicar porque.

2. Usando los dıgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3numeros de 2 cifras cada uno. Se suman entre sı los 3 numeros de2 cifras que se formaron. ¿Cuantos resultados diferentes se puedenobtener mediante este procedimiento?

3. Un saco contiene piedras azules y rojas. Considera el siguientejuego: se extraen sucesivamente (una por una) piedras hasta que,por primera vez, el numero de piedras azules y el numero depiedras rojas extraıdas son iguales. En un momento determinadode un juego se observa que, al final, 10 piedras fueron extraıdas yningunas 3 sucesivas han sido del mismo color. Prueba que en esejuego, la quinta y sexta piedras son de distinto color.

4. Si los lados de un triangulo tienen longitudes a, b, c y estas satis-facen las condiciones a + b− c = 2 y 2ab− c2 = 4, demuestra queel triangulo es equilatero.

5. Considera un triangulo ABC con angulo recto en A y AB < AC.Sea D un punto en AC para el cual ∠ACB = ∠ABD. Tira laaltura DE en el triangulo BCD. ¿Si AC = BD + DE, cuantomiden los angulos ABC y ACB?

6. Sea n un numero compuesto natural. Prueba que existen enterosa1, a2, . . . , ak todos mayores que 1, tales que a1 + a2 + . . . + ak =n( 1

a1+ 1

a2+ . . . + 1

ak).

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS


Primera FaseEXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. En la figura se pueden ver 10 rectangulos, los cuales aparecensombreados en la siguiete imagen:

2. Observe que si escribimos los numeros que se encuentran en lasposiciones impares (el numero de la primera posicion, tercera,quinta, etc.) de la sucesion obtenemos la siguiente lista: 1, 2,3, 4, 5. De aqui concluımos que el numero que debe ir en laundecima posicion de la sucesion es el 6. Si hacemos la lista delos numeros que quedan en las posiciones pares nos queda de lasiguiente forma: 4, 8, 12, 16. Ası que el numero que debe ocu-par la decima posicion de la sucesion es el 20. De esta forma, lasucesion es 1, 4, 2, 8, 3, 12, 4, 16, 5, 20, 6, . . ..

3. Se pueden formar cuatro: 500, 505, 550 y 555.

4. El peso de las cajas vacıas es 20 ∗ (12) = 10 libras, lo que significa

que las papayas pesan 1600− 10 = 1590 libras.

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5. El numero maximo de puntos comunes que pueden tener es 8. Enla siguiente figura se muestra una de las formas en que esto puedesuceder:

6. Observe que entre el primer y el ultimo arbol existen 9 separa-ciones. Ası que la distancia entre estos es de 9 ∗ 50 = 450 pies.

7. Note que debido a las condiciones del problema se excluye la posi-bilidad de que dos de las amigas se regalen entre si (por ejemplo,que Ana le regale a Rosa y que a su vez, Rosa le regale a Ana)ya que la tercera se quedarıa sin dar y sin recibir regalo. Con estedato, es facil ver que existen 2 posibilidades para la reparticion:• Ana le regala a Marıa, Marıa le regala a Rosa y Rosa le regalaa Ana• Ana le regala a Rosa, Rosa le regala a Marıa y Marıa le regalaa Ana

8. Sea x el numero de perros que hay en la finca. El numero depatas provenientes de los perros esta dado por 4x y similarmente,el numero de patas provenientes de las gallinas esta dado por 2x.Esto significa que el numero total de patas es 2x + 4x = 6x ycomo x es un numero entero, la unica de las alternativas que nose puede descartar es la correspondiente a 6 ∗ 4 = 24 patas.

9. Sea x la cantidad de anos que han pasado desde que Mario tenıa27. La edad actual de Mario esta dada por 27 + x, mientrasque la de Pedro esta dada por 3 + x. Como en la actualidadla edad de Mario es tres veces la edad de Pedro, tenemos que3 ∗ (3 + x) = 27 + x. Resolviendo la ecuacion, obtenemos quex = 9 y que, por lo tanto, la edad actual de Mario es 36 anos.

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10. Tenemos que A 6= H 6= E, A 6= E y que H 6= 0 pues H ocupa ellugar de las centenas del numero de tres dıgitos HEE. Observeque otra manera de representar al numero de dos dıgitos AH esa traves de la suma 10A + H (un ejemplo concreto serıa 86 =10∗8+6). Similarmente, el numero de tres dıgitos HEE se puederepresentar como 100 ∗ H + 10 ∗ E + E. De la suma original,obtenemos la ecuacion (10 ∗A + H) + A = (100H + 10E + E), lacual es equivalente a 11 ∗ (A − E) = 99 ∗ H. Dividiendo por 11en ambos lados, tenemos que (A − E) = 9 ∗H. Recordando queA, E y H son dıgitos distintos y que la diferencia mayor que sepuede obtener al restar dos dıgitos es 9; se concluye que H = 1 yque (A−E) = 9. Se sigue que A = 9, E = 0, la suma original delproblema era 91 + 9 = 100 y que H + E = 1 + 0 = 1.

11. Considere el siguiente diagrama en donde se le ha asignado unnumero a cada una de las caras de un cubo (con excepcion de lafrontal y de la posterior):

Suponga, sin perdida de generalidad, que deseamos pintar la cara1 de color azul. Queremos minimizar la cantidad de colores uti-lizados, ası que necesitamos tratar de repetir los colores. La unicaotra cara que puede ser pintada de color azul es la cara 3, pues lacara 2, la 4, la frontal y la posterior son cada una adyacente a lacara 1. Suponga ahora que deseamos pintar la cara 2 de amarillo.Por un analisis similar, concluımos que la unica cara que tambienpuede ser pintada de este color es la cara 4. Ahora, nos quedapintar la cara frontal y la posterior, pero ninguna de estas puedeser ni azul, ni amarillo; por lo tanto, tienen que ser pintadas de

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un tercer color. Ası, el numero mınimo de colores que se necesi-tan para pintar las caras de un cubo de tal forma que dos carasadyacentes no sean del mismo color es 3.

12. Identifiquemos con O al punto medio del lado EG del diagramaoriginal:

Para simplificar la escritura escribiremos, por ejemplo, BC paradenotar el segmento BC o la medida del segmento BC segun elcontexto. De acuerdo al problema, el area del rectangulo ABCDes 36 unidades cuadradas; por lo tanto, (BC)∗(AB) = 36. Ahora,el area del triangulo EFG esta dado por 1

2EG ∗ FO. Observe

que EG = BC y FO = 12AB, ası que el area del triangulo =

(12)(BC)∗((1

2)AB) = (1

2∗ 1

2)(area del rectangulo ABCD)=1

4∗36 =

9 unidades cuadradas.

13. Construyamos el cubo de 5 centımetros de lado de la siguienteforma: utilizando 25 cubitos de lado 1, formamos un panel. For-mamos 5 de estos paneles y los colocamos uno detras del otroobteniendo un cubo como el del siguiente diagrama:

Observe que 9 de los cubitos de los 3 paneles que forman el “in-terior” del cubo de lado de 5 centımetros quedan ocultos. Es por

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esto, que el numero de cubitos ocultos es 9 ∗ 3 = 27.

14. Para escribir los enteros del 1 al 9, Luis necesita 9 dıgitos. Paraescribir los enteros del 10 al 99, necesita 2 ∗ 90 = 180 dıgitos,mientras que para escribir el numero 100 necesita 3. Por lo tanto,Luis necesita 9 + 180 + 3 = 192 dıgitos para escribir los enterosdel 1 al 100.

15. Sean b y h las medidas de la base y la altura del triangulo original,respectivamente. Sean Aoriginal el area del triangulo original yAmodificado el area del nuevo triangulo. Tenemos que Aoriginal =12∗ b ∗ h y que Amodificado = (1

2) ∗ (1.1b) ∗ (.9h). Trabajando con

la segunda ecuacion obtenemos Amodificado = .99 ∗ (12) ∗ b ∗ h =

.99 ∗ Aoriginal. El area disminuye 1%.

16. Necesitamos saber cada cuanto tiempo las luces se encienden almismo tiempo. Esta cantidad esta dada por el mınimo comunmultiplo de 120 = 23∗3∗5 segundos (2 minutos) y 210 = 2∗3∗5∗7segundos (3 minutos y medio) que es 23 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 = 840 segundos(14 minutos). Tenemos que por cada 14 minutos que pasan desdela media noche, las luces se encienden al mismo tiempo. Estosignifica que esto ocurre a las 12:14 am, 12:28 am, 12:42 am, 12:56am y 1:10 am, siendo esta ultima la hora que nos pide el problema.

17. Sea x la medida de un lado del cuadrado original. Considere unode los rectangulos que se obtiene al cortar este:

Dicho rectangulo tiene dos lados que miden x y dos lados quemiden x

2y su perımetro esta dado por x + x + x

2+ x

2= 18. Re-

solviendo para x, tenemos x = 6 y el perımetro del cuadradooriginal es x + x + x + x = 6 + 6 + 6 + 6 = 24 centımetros.

38

18. Sea z el numero de espectadores que fueron a la primera y a lasegunda funcion juntas. Entonces 2z representa la cantidad deespectadores que fueron a la tercera funcion y 2 ∗ (2z) representala cantidad de espectadores que fueron a la cuarta funcion. Sesabe que, en total, se recaudaron $1183; ası que 3.5z + 7 ∗ (2z) +7 ∗ (2 ∗ 2z) = 1183. Simplificando, nos queda que 45.5z = 1183y que z = 26. Sustituyendo en la expresion para la cantidad depersonas que fueron a la cuarta funcion, tenemos que esta cantidades 2 ∗ (2z) = 4z = 4 ∗ 26 = 104 personas.

19. Como el triangulo original es equilatero y su perımetro es de 75centımetros, cada uno de sus lados mide 25 centımetros. Si se lequitan 3 triangulitos equilateros de 5 centımetros de lado, la nuevafigura tiene las siguientes dimensiones:

Su perımetro es 5 + 15 + 5 + 15 + 5 + 15 = 60 centımetros.

20. Tenemos que analizar dos situaciones: las maneras en que sepueden acomodar las tres plantas en tres oficinas distinas y lasmaneras en que se pueden acomodar las plantas de tal forma quedos (y solo dos) de estas se encuentren en una misma oficina.Para el primer caso, note que tenemos 5 posibilidades para aco-modar la primera planta, 4 posibilidades (recuerde que estamosconsiderando el caso en que ninguna de las 3 plantas se puedenencontrar en la misma oficina) para acomodar la segunda y 3 posi-bilidades para acomodar la tercera. En total, tenemos 5∗4∗3 = 60maneras en las que se pueden acomodar las plantas de tal formaque cada una se encuentre en una oficina distinta. Ahora, parael segundo caso (2 plantas se encuentran en una misma oficina, la

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tercera en otra), suponga que tomamos dos de las plantas; digamosel cactus y la azalea. Existen 5 posibilidades para acomodarlas,mientras que para la planta restante (ficus) solamente tenemos4 posibilidades. Esto significa que existen 5 ∗ 4 = 20 posiblesmaneras en las que se pueden acomodar. Ahora, si en vez de con-siderar la pareja cactus-azalea, consideramos la pareja cactus-ficusy la pareja ficus-azalea; tenemos 20 + 20 = 40 posibles arreglosadicionales. Finalmente, el numero de formas en que se puedenacomodar las tres plantas en las cinco oficinas sin que las tres seencuentren en una misma oficina es 60 + 20 + 40 = 120.

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Primera FaseEXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Como 23

de las teclas son blancas, tenemos 87 ∗ (23) = 58 de estas.

2. Conchita tenıa 600 + 200 = $800 al final, ası que sus ahorrosoriginales eran 800 ∗ (1

2) = $400.

3. Como Antonio es tıo de Rosa y papa de Pedro, Rosa y Pedro sonprimos.

4. Si el producto es impar, significa que en su factorizacion prima noaparece ningun 2. Esto a su vez implica, que en las respectivasfactorizaciones primas de los 5 enteros, no aparece ningun 2. Enotras palabras, los 5 enteros tienen que ser impares.

5. Tenemos que las siguientes ecuaciones se cumplen simultanea-mente: 3 + B + C = 18, B + C + D = 18, C + D + E = 18,D+E +8 = 18, E +8+G = 18, 8+G+H = 18 y G+H +I = 18.Despejando para B + C en la primera ecuacion, obtenemos queB + C = 15 y si sustituimos esta cantidad en la segunda; obten-emos que D = 3. Sustituyendo el valor de D en la cuarta ecuaciony resolviendo, obtenemos que E = 7 y si esta cantidad es susti-tuida en la quinta ecuacion y resolvemos, obtenemos que G = 3.Finalmente, sustituyendo el valor de G en la sexta ecuacion, obten-emos que H = 7.

6. Para hallar la cantidad total de divisores positivos de cualquierentero positivo n, podemos usar su factorizacion prima. Supongaque la factorizacion prima de n es n = pt1

1 ∗ pt22 ∗ . . . ∗ p

ti−1

i−1 ∗ ptii .

Entonces, el numero de divisores positivos de n esta dado por(t1 + 1) ∗ (t2 + 1) ∗ . . . ∗ (ti−1 + 1) ∗ (ti + 1). En el caso particularde n = 120, n = 5 ∗ 3 ∗ 23, ası que el numero de divisores positivoses (1 + 1) ∗ (1 + 1) ∗ (3 + 1) = 2 ∗ 2 ∗ 4 = 16.

41

7. Podemos hallar la medida de 3 angulos del diagrama ya que lamedida de un angulo llano es 180◦, angulos alternos internos tienenla misma medida y la suma de los tres angulos internos de untriangulo es 180◦:

Ahora, x + 60◦ = 180◦ y resolviendo para x, tenemos x = 120◦.

8. Note que 102007 es un numero que se escribe utilizando un dıgito1, seguido de 2007 dıgitos 0. Si a 102007, le restamos 2007, obten-dremos un numero con un 3 en las unidades, un 9 en las decenas,un 9 en las centenas, un 7 en las milesimas; seguido de 2003 dıgitos9. Es por esto, que la suma de los dıgitos de la resta original es(2003 ∗ 9) + 7 + 9 + 9 + 3 = 18055.

9. Observe que si el televisor se encuentra en el canal 15 y se aprieta41 veces el boton para subir el canal, regresaremos a este mismocanal. Si dividimos 518 entre 41, obtendremos un cociente igual a12 y un residuo igual a 26. Esto significa que el televisor de Marıapaso 12 veces adicionales por el canal 15 y se detuvo en el canal15 + 26 = 41.

10. Si Pablo compro el artıculo con un 15% de descuento, $106.25es el 85% de la cantidad original. Si x representa la cantidadoriginal, tenemos la ecuacion .85x = 106.25 y si resolvemos parax, obtenemos x = $125.

11. Note que el cuadrado de un entero cuyo dıgito de la unidad es 1 es,nuevamente, un numero cuyo dıgito de la unidad es 1. Es por esto,que el cuadrado de 81 terminara en 1 y que, a su vez; el cuadradodel resultado tambien terminara en 1. No importa cuantas vecesse realice la operacion “cuadrar”, el resultado siempre terminaraen 1.

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12. El numero de formas distintas en que se pueden ordenar las letrasde tal manera que la primera y ultima letra sean vocales es 2 ∗ 3 ∗2 ∗ 1 ∗ 1 = 12.

13. Suponga que Marıa miente. Entonces existe por lo menos unacanica que no es negra o no hay 3 canicas. Si hay por lo menos unaque no es negra, Jorge tambien estarıa mintiendo, ası que todasson negras; pero entonces Luis estarıa mintiendo. Suponga ahoraque Jorge esta mintiendo. Por un analisis similar, llegarıamosa la conclusion de que Marıa tambien estarıa mintiendo ası quedescartamos esta segunda posibilidad. Finalmente, si analizamoslo que sucede al suponer que Luis es el que miente, nos damoscuenta que la conclusion es consistente con las condiciones delproblema: Marıa y Jorge dicen la verdad. Por lo tanto, hay 3canicas en la bolsa.

14. Como el segmento DE y el segmento AB son paralelos, el trianguloABC y el triangulo DEC son similares:

Sean x la medida del segmento DC, (ABC) el area del trianguloABC, (DEC) el area del triangulo DEC y lAC la medida delsegmento AC. Recordando que la razon entre las areas de dostriangulos similares es igual a la razon de los cuadrados de los la-dos correspondientes tenemos que: (ABC)

(DEC)= ( lAC

lDC)2. Sustituyendo

las expresiones corrspondientes, (ABC)34(ABC)

= ( 1x)2. Expandiendo,

simplificando y resolviendo para x concluımos que x =√

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metros.

15. Sea x la cantidad de carros y z la cantidad de motoras. Tenemosque x + z = 44 y 4x + 2z = 144. Despejando para x en la primeraecuacion obtenemos que x = 44− z y sustituyendo en la segundanos que da que 4(44− z) + 2z = 144. Resolviendo para z tenemos

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que z = 16, ası que el numero de motoras es mayor que 14 y menorque 20.

16. Recuerde que las diagonales de un rombo se intersecan formandoun angulo recto y considere el siguiente diagrama:

Sea r la medida de una de las diagonales, s la medida de la otradiagonal (con r < s) y z la medida de uno de los lados del rombo.Note que podemos utilizar el Teorema de Pitagoras para uno delos triangulos rectangulos, obteniendo ( r

2)2 + ( s

2)2 = z2. Como el

problema nos dice que 3s = 4r y r + s = 56, despejando para sen la primera y sustituyendo en la segunda y resolviendo, tenemosque s = 32 y r = 24. Sustituyendo estos valores en la ecuacionobtenida del Teorema de Pitagoras y resolviendo, llegamos a z =20 y como el perımetro del rombo esta dado por 4z, el perımetroes 4z = 4(20) = 80 cm.

17. Consideremos la suma del numero de pesetas que Mauricio colocoen cada cuadrado de la primera columna. Este numero esta dadopor (1+1)+(1+2)+(1+3)+. . .+(1+7)+(1+8) = 1(8)+(1+2+3+4+5+6+7+8) = 8+36 = 44. Similarmente, la suma del numerode pesetas que coloco en cada cuadrado de la segunda columnaasciende a (2+1)+(2+2)+(2+3)+ . . .+(2+7)+(2+8) = 2(8)+(1+2+3+4+5+6+7+8) = 16+36 = 52. De hecho, la suma delnumero de pesetas que Mauricio coloca en la i-esima fila es iguala i ∗ 8 + 36 (en donde i es algun entero entre 1 y 8). Finalmente,el numero total de pesetas que Mauricio coloco en el tablero es(1∗8+36)+(2∗8+36)+(3∗8+36)+. . .+(7∗8+36)+(8∗8+36) =8∗(1+2+3+. . .+7+8)+8∗(36) = 8∗(36)+8∗(36) = 16∗(36) = 576.

18. Para que un numero sea divisible por 44, tiene que ser divisiblepor 4 y por 11. En particular, para que un numero sea divisiblepor 4, el numero formado al tomar los ultimos dos dıgitos de este

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tiene que ser divisible por 4. Los unicos numeros que se puedenformar bajo las condiciones del problema y que son divisibles por4 son: 4736, 7436, 3764, 7364, 3476 y 4376. De estos, los unicosque son divisibles por 11 son el 7436 y el 3476. En otras palabras,solo se pueden formar 2 numeros que son divisibles entre 44.

19. Primero, observe que el triangulo GCF es equilatero. Sea x lamedida de un lado del cuadrado DEFG, r la medida del segmentoAD y el segmento EB respectivamente y considere el siguientediagrama:

Tratemos de hallar una expresion para r en terminos de x. Parahacer esto, aplicamos el Teorema de Pitagoras en el triangulorectangulo ADG y encontramos que r =

√1− 2x (esto nos sirve

tambien para concluir que 0 < x < 12). Como la medida del seg-

mento AB es 1 metro, tenemos la ecuacion 2r + x = 1.Sustituyendo la expresion para r en terminos de x obtenemos2√

1− 2x + x = 1 y si pasamos x al lado derecho de la ecuacion yluego cuadramos ambos lados, tenemos 4(1 − 2x) = 1 − 2x + x2.Esta ultima ecuacion es equivalente a x2 +6x− 3 = 0 y utilizandola formula cuadratica llegamos a x = −3 ± 2

√3. Como x es la

medida de uno de los lados del cuadrado DEFG, esta cantidadtiene que ser positiva, ası que descartamos una de las solucionesy concluımos que x = 2

√3− 3 metros.

20. Considere el lado izquierdo de la ecuacion original:x+1

1+ x+2

2+ . . . + x+100

100

Esta expresion es equivalente a(x

1+ 1) + (x

2+ 1) + . . . + ( x

100+ 1)

Note que tenemos 100 parentesis y en cada uno de estos el dıgito 1aparece como un termino. Esto nos permite reescribir la expresion

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como (x1

+ x2

+ . . . + x100

) + 100, la cual a su vez, es equivalentea x(1

1+ 1

2+ . . . + 1

100) + 100. Sustituyendo esta expresion en el

lado izquierdo de la ecuacion original, tenemos x(11

+ 12

+ . . . +1

100) + 100 = 100. Finalmente, x(1

1+ 1

2+ . . . + 1

100) = 0 y como el

producto de dos numeros solo puede ser igual a 0 si y solo si unode estos es 0, x = 0. Por lo tanto, −1 ≤ x ≤ 1.

21. Sean d y x la medida de la diagonal y la medida de un lado delcuadrado pequeno, respectivamente:

Observe que d corresponde a la medida del diametro del cırculocomo tambien a la medida de un lado del cuadrado grande. Asıque el area del cuadrado pequeno Apeq es Apeq = x2, mientrasque el area del cuadrado grande Agrande es Agrande = d2. Ahora,utilizando el Teorema de Pitagoras tenemos que x2 + x2 = d2

y resolviendo obtenemos x2 = d2

2. Finalmente,

Agrande

Apeq= d2

x2 =d2

d2

2

= 2. La razon entre el area del cuadrado grande y el area del

cuadrado pequeno es 2.

22. Andrea dice:“Barbara siempre dice la verdad”, Barbara dice: An-drea y Carlos siempre dicen la verdad” y Carlos dice: “Andreamiente”. Estudiemos cada una de las alternativas y descartemosuna por una hasta llegar a la respuesta.Suponga que los tres dicen la verdad. En particular, Carlos dicela verdad y afirma que “Andrea miente”, pero esto contradice lasuposicion inicial ası que descartamos esta posibilidad.Suponga que los tres mienten. En particular, como Carlos mientey dice “Andrea miente” significa que Andrea dice la verdad. Esto,nuevamente, contradice la suposicion y descartamos esta posibili-dad.

46

Suponga ahora, que Andrea y Barbara dicen la verdad y que Car-los miente. Como Carlos miente, tenemos que Andrea dice la ver-dad. Andrea dice “Barbara siempre dice la verdad” ası que lo quedice Barbara es cierto. Sin embargo, Barbara dice que “Andrea yCarlos siempre dicen la verdad”, lo cual contradice la suposicionde que Carlos miente.Considere la posibilidad de que Andrea dice la verdad y que Bar-bara y Carlos mienten. Como Carlos miente, su enunciado de que“Andrea miente” es falso, ası que Andrea dice la verdad. PeroAndrea dice “Barbara siempre dice la verdad” y esto contradicela suposicion de que Barbara miente.Finalmente, si realizamos un analisis similar a la unica alternativaque nos queda, concluiremos que es la unica en donde no se llegaa una contradiccion. Por lo tanto, Andrea y Barbara mienten,mientras que Carlos dice la verdad.

23. Note que la suma de los 50 impares que se encuentran en el con-junto es 100 ∗ 25 = 2500 (se pueden formar 25 parejas de numerosimpares, de tal forma que la suma de los miembros de cada unade las parejas sea 100 y ninguno de los impares se repita: 1 + 99,3 + 97, . . . , 47 + 53, 49 + 51).Considere la posibilidad de que la cantidad mınima de numerospares es 2. El conjunto de 50 numeros distintos cuya suma totales 3000 estarıa formado por 48 numeros impares y 2 pares. Sinembargo, como la suma de los 50 impares del conjunto original es2500, la suma de los 48 impares que se escogieron es menor queesta cantidad. Esto significa que la suma de los 2 pares tendrıaque ser mayor que 500 para poder llegar a 3000, pero la sumamayor de 2 pares distintos es 100+98 = 198; ası que tenemos quedescartar esta posibilidad.Por argumentos similares, se pueden descartar las posibilidadesde que la cantidad mınima de numeros pares sean 3, 4 o 5. Asıque la cantidad mınima de numeros pares que puede haber entrelos 50 numeros que se escogieron al azar es 6. Uno de los conjun-tos que cumple con las propiedades descritas por el problema es{56, 92, 94, 96, 98, 100} ∪ {13, 15, 17, 19, . . . , 91, 95, 97, 99}.

24. Considere el siguiente conjunto: {97, 98, . . . , 115, 116}. En este,

47

hay 6 primos: 97, 101, 103, 107, 109 y 113. Seis primos es elmaximo numero que puede haber en un conjunto que cumpla lascondiciones del problema, ya que entre los 20 numeros hay 10pares. De los 10 impares restantes hay, al menos, tres multiplosde 3; quedando ası, un maximo de siete candidatos que aun nopueden ser eliminados. Ahora, en los 20 numeros hay, al menos;cuatro multiplos de 5. De estos, dos son impares y, a lo sumo;uno de estos impares es multiplo de 3. Nos quedan entonces, unmaximo de seis candidatos.

25. Sea x el numero de examenes que el estudiante tomo antes deque su promedio bajo a 22.25 y sea z la ultima nota. Tenemosdos expresiones que nos dan el total de puntos acumulados por elestudiante hasta el momento: 23x+z y 22.25(x+1). Considere laecuacion 23x + z = 22.25(x + 1), la cual al despejar para z tomala forma z = 22.25 − .75x. Si trabajamos con la representacionen fracciones y simplificamos, la ecuacion nos queda como z =14(89− 3x). Recordando que 18 ≤ z ≤ 30, 18 ≤ 1

4(89− 3x) ≤ 30.

Resolviendo la doble desigualdad para x, obtenemos 1 ≤ x ≤ 5.Como x y z son numeros enteros, tenemos que averiguar paracual de los posibles valores para x (1,2,3,4 o 5) obtenemos uncorrespondiente valor de z entero. Resulta que solamente parax = 3, obtenemos un valor de z entero: z = 1

4(89− (3 ∗ 3)) = 20.

El estudiante obtuvo una puntuacion de 20 en el ultimo examen.

26. Sea x la medida de un lado del triangulo equilatero. Como losperımetros del triangulo y del rectangulo son iguales, 3x = 2(b+h)y despejando para x tenemos x = 2

3(b + h). Recordando que

la altura a de un triangulo equilatero de lado x es a =√

32

x,podemos obtener una expresion para el area A4 del triangulo:

A4 = 12(x)(

√3

2x) =

√3

4x2. Sustituyendo la expresion para x en

terminos de b y de h y simplificando, tenemos A4 =√

39

(b + h)2.Como el area del rectangulo A� es A� = bh y segun el proble-ma A4 =

√3A�, tenemos

√3

9(b + h)2 =

√3bh. Expandiendo y

simplificando podemos llegar a la siguiente ecuacion equivalente:b2− 7bh + h2 = 0. Ahora, dividiendo por h2 en ambos lados de laecuacion: ( b

h)2 − 7( b

h) + 1 = 0. Utilizando la Formula Cuadratica

48

para bh

obtenemos bh

= 7±3√

52

, pero como b > h, la razon bh

> 1 y

descartamos una de las soluciones. Finalmente bh

= 7+3√

52

.

27. Sea x la medida del radio de S y un lado de Q. La interseccionentre S y Q consiste de una region cuyo volumen es 1

8del volumen

de la esfera S y cuya forma es bosquejada en el siguiente diagrama:

Como S es una esfera centrada en uno de los vertices del cubo Q,con radio igual al lado de Q, la interseccion entre S y Q consiste deuna region cuyo volumen es 1

8del volumen de la esfera S. Note,

ademas, que el volumen de esta region es (18)(4

3)πx3 = (π

6)x3 y

como el volumen del cubo es x3; las alternativas que estan enterminos del volumen del cubo pueden ser descartadas.

28. Sean r1, r2 y r3, con r1 + r2 = 0, las tres raıces del polinomioP (x) = x3 + ax2 + bx + c.Podemos escribir a P (x) de la siguiente manera:P (x) = (x− r1)(x− r2)(x− r3) =x3 − ((r1 + r2) + r3)x

2 + (r1r2 + r3(r1 + r2))x− r1r2r3

En otras palabras:a = −((r1 + r2) + r3) = −(0 + r3) = −r3

b = r1r2 + r3(r1 + r2) = r1r2 + r3(0) = r1r2

c = −r1r2r3

De las alternativas, la unica que siempre es cierta es c = ab.

29. Considere el triangulo isosceles ABC que hemos dibujado en elsiguiente diagrama:

49

Observe que existen 6 posibilidades para la posicion del punto Q sino se tiene en cuenta el orden de las letras en la semejante, esto es,2 casos en donde AQP ∼ ABC, 2 casos en donde PAQ ∼ ABC y2 casos en donde APQ ∼ ABC. Sin embargo, tomando en cuentael orden de las letras en la semejante, descartamos los primeros 4casos y tenemos 2 posibles posiciones para el punto Q:

30. Como quedan 30 cartas (20 de estas no son espadas), el numerode formas en que se le pueden repartir 10 cartas a Barbara detal manera que ninguna sea espada esta dado por

(2010

)= 20!

10!10!.

Similarmente, el numero total de formas (sin importar orden) enque se pueden escoger 10 cartas de un total de 30 esta dado por(3010

)= 30!

10!20!. Finalmente, la probabilidad deseada esta dada por

20!10!10!30!

10!20!

= 20!20!10!30!

.

50


Segunda Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Tenemos 1 caja grande, 4 cajas medianas, 4 ∗ 2 = 8 cajas chicasy 8 ∗ 3 = 24 cajas de las mas pequenas. En total, Rosita tiene1 + 4 + 8 + 24 = 37 cajas.

2. Observe que la diferencia entre el segundo y primer termino dela sucesion es 3 − 1 = 2, la diferencia entre el tercer y segundotermino es 7−3 = 4 y la diferencia entre el cuarto y tercer terminoes 15 − 7 = 8. Estas diferencias corresponden a las primeras 3potencias (positivas) de 2 y si seguimos el patron, la diferenciaentre el quinto y el cuato termino deberıa ser 16. Esto significaque el quinto termino de la sucesion es 31 y, si analizamos lasdiferencias entre el sexto y quinto termino y entre el septimo y elsexto termino, el patron se sigue cumpliendo.

3. En la figura se pueden identificar 10 triangulos:

4. Como la afirmacion “Beatriz esta al lado de Carlos” es falsa yBeatriz se encuentra en la silla 3, Carlos esta en la silla 1. Ahora,como Antonio no esta entre Beatriz y Carlos; tenemos que Antonioesta en la silla 4. Finalmente, Diana esta en la silla 2.

5. Como no pueden quedar dos leones ni dos tigres juntos, el domadortiene que colocar a los animales en la siguiente forma: tigre-leon-tigre-leon-tigre. Ahora, cualquiera de los 3 tigres puede ocuparel primer espacio (de izquierda a derecha), para el segundo espa-cio tenemos 2 posibilidades, para el tercer espacio 2 posibilidades,

51

mientras que para el cuarto y quinto espacio tenemos una posi-bilidad; respectivamente. Esto significa que el numero de formasdistintas en que puede acomodar las fieras es 3 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 1 = 12.

6. 90 es tres cuartas partes de 120. 3 ∗ 30 = 90, ası que el numeroque buscamos es 30.

7. Sea y la medida que desconocemos del lado de uno de los rectangulossombreados:

Note que la medida de cada uno de los 8 lados de la figura aconsiderar que no estan rotulados mide 6 centımetros.El perımetro de uno de los cuadrados blancos es 6 + 6 + 6 + 6 =24 centımetros y como el perımetro de uno de los rectangulossombreados es el doble de esta cantidad: 6+y+6+y = 2∗24 = 48.Resolviendo para y, obtenemos y = 18. El perımetro deseado estadado por: 6 + 6 + 6 + y + 6 + 6 + 6 + y + 6 + 6 = 6 + 6 + 6 + 18 +6 + 6 + 6 + 18 + 6 + 6 = 84 centımetros.

8. Sea x el numero de dıas en una semana de este planeta. Segunlas condiciones del problema, hay x semanas en un mes y x mesesen un ano. El numero de dıas en un ano de este planeta entoncesesta dado por x ∗ x ∗ x = x3. Como hay 1000 dıas en un ano,tenemos x3 = 1000 y resolviendo para x encontramos que x = 10.Cada semana tiene 10 dıas.

9. Luego del primer corte queda 1 − 1 ∗ (13) = 2

3del pastel original.

Luego del segundo corte queda 23−(2

3)∗(1

3) = 4

9del pastel original.

Finalmente, luego del tercer corte queda 49−(4

9)∗(1

3) = 8

27del pastel

original.

52

10. Sea x la cantidad original. Si le sumo su 10%, obtengo x + .1x =1.1x. Ahora, si a esta cantidad obtenida le resto su 10% tengo1.1x− .1 ∗ (1.1x) = .99x, en otras palabras el 99% de la cantidadoriginal.

11. Si realizamos el producto de todos los impares entre el 1 y el 10obtenemos 1 ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 9 = 945. Considere el producto de todoslos impares entre 11 y 20: 11 ∗ 13 ∗ 15 ∗ 17 ∗ 19. El dıgito delas unidades del resultado depende exclusivamente del productode los dıgitos de las unidades de cada uno de los numeros de lamultiplicacion, por lo que 11∗13∗15∗17∗19 termina en 5. Ahora,el producto de dos numeros (no importa el numero de dıgitos delque se componga cada uno) cuyo dıgito de las unidades es 5 es unnumero que tambien termina en 5. Esto significa que el productode todos los numeros impares entre el 1 y el 20 termina en 5.Extendiendo este resultado, es facil ver que el producto de todoslos numeros impares entre 1 y el 2008 tiene como dıgito de lasunidades al 5.

12. Si dividimos 375 entre 24, obtenemos que 375 = 24∗15+15. Estosignifica que para enumerar 375 asientos en la forma que describeel problema, se necesitan 15 filas de 24 asientos cada una y 15asientos adicionales. En otras palabras, la silla 375 se encuentraen la fila 16.

13. El numero mas pequeno de tres dıgitos que se puede obtener alborrar dıgitos del numero original es 108.

14. Note que el producto de dos numeros cuyo dıgito de las unidadeses 6, es otro numero cuyo dıgito de las unidades es 6. Ahora, siconsideramos el numero 16 y extendemos el resultado mencionado;llegamos a la conclusion de que cualquier potencia positiva de 16(por ejemplo, 162, 1610, etc.) tambien termina en 6. Observe que22008 − 2 = (24)502 − 2 = 16502 − 2. 16502 termina en 6 y si lerestamos 2, el resultado es un numero cuyo dıgito de la unidadeses 4.

53

15. Considere la figura original:

Podemos identificar la medida de uno de los angulos ya que essuplementario al de 100◦:

Tambien, por un resultado en angulos alternos internos tenemos:

Ahora, como la suma de los angulos de un triangulo es 180◦, elangulo que forma un angulo llano con el angulo de medida x mide60◦. Esto implica, que x = 120◦.

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Segunda Fase 2007-2008EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Observe que si el televisor se encuentra en el canal 15 y se aprieta41 veces el boton para subir el canal, regresaremos a este mismocanal. Si dividimos 518 entre 41, obtendremos un cociente iguala 12 y un residuo igual a 26. Esto significa que el televisor deClaudia paso 12 veces adicionales por el canal 15 y se detuvo enel canal 15 + 26 = 41.

2. Con la informacion dada, se puede terminar que el orden de llegadafue el siguiente: Luisa llego primero, luego Arturo, seguido porJesus y Rita, luego Raul y finalmente Pedro.

3. Sea x el numero de cerdos y z el numero de palomas. Tenemosque 2x+2z = 14 y 4x+2z = 22. Despejando para x en la primeraecuacion, obtenemos x = 7 − z y sustituyendo en la segunda te-nemos 4(7− z) + 2z = 22. Resolviendo, z = 3 y sustituyendo estevalor en la primera ecuacion; tenemos x = 4. Hay 4 cerdos y 3palomas.

4. Denote por AB2 (en donde A y B son enteros, 1 ≤ A ≤ 9 y0 ≤ B ≤ 9) el numero descrito por el problema (por ejemplo,si el numero fuese 532, A = 5 y B = 3). Observe que AB2 =100A + 10B + 2 y que segun el problema (100A + 10B + 2) −(100(2)+10A+B) = 36. Expandiendo y reagrupando, la ecuacionnos queda como 10(10A−A)+ (10−1)B−198 = 36. Si seguimostrabajando con esta, llegamos a (10A + B) = 26. Esta ultimaecuacion tiene solucion unica A = 2, B = 6. El numero originalera 262 y la suma de sus dıgitos es 10.

5. Como AD = DC tenemos ∠DAC = ∠ACD y como AB = ACtenemos que ∠ABC = ∠BCA. Con esta informacion y dado alhecho de que la suma de las medidas de los angulos internos de untriangulo es 180◦, podemos hallar las cantidades necesarias pararesolver el problema.

55

Considere el siguiente diagrama:

La medida del angulo BAD es 30◦ + 65◦ = 95◦.

6. Denote por ABCD el numero de su ATH (en donde A, B, C yD representan cada uno de los cuatro dıgitos). Como ningunode los dıgitos es 0 y el numero es multiplo de 5, D = 5. AdemasA+B+C+D = A+B+C+5 = 9 y, por consiguiente, A+B+C =4. Si unimos esto con el hecho de que el numero de su ATH esmayor que 1995 y que B y C son enteros tales que 1 ≤ B ≤ 9 y1 ≤ C ≤ 9, llegamos a la conclusion de que A = 2. Por lo tanto,B + C = 2 y debido a las restricciones del problema y a lo quehemos deducido, B = C = 1. El numero de su ATH es 2115 y eltercer dıgito, de izquierda a derecha, es 1.

7. El rectangulo ABCD (cuyo area es 15 cm2) esta compuesto porlos triangulos congruentes ABM y CDN y por los cuadrilateroscon igual area MPQD y BPQN :

56

El area de cada uno de los triangulos es (12)(3)(5

2) = 15

4cm2,

mientras que el area (total) de los dos cuadrilateros es 15−2(154) =

152

cm2. Por lo tanto, la superficie del cuadrilatero MPQD tiene152

2= 15

4= 3.75 cm2.

8. Observe que en el peor de los casos puede suceder lo siguiente: sesacan 99 canicas del primer color, luego 99 canicas del segundocolor, luego 99 canicas del tercer color, etc. Esto puede continuarhasta tener 99 canicas para cada uno de los 20 colores. Es por estoque para garantizar que en la coleccion tomada haya por lo menos100 canicas de un mismo color se deben sacar 99 ∗ 20 + 1 = 1981canicas.

9. Sean x, (x + 1), (x + 2), . . . , (x + 8) y (x + 9) los 10 enterosconsecutivos y sea (x + k) (k entero y 0 ≤ k ≤ 9) el numero queelimino. Segun el problema, x + (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x + 8) +(x + 9) − (x + k) = 2008. Manipulando la ecuacion tenemos que9x = 1963+k. Como x es un entero, (1963+k) es divisible por 9.El unico valor para k que hace esto posible es k = 8, significandoque el numero que elimino de la lista fue (x + 8). Para hallar elvalor de x, considere x + (x + 1) + (x + 2) + . . . + (x + 8) +(x + 9) − (x + 8) = (10x + 45) − (x + 8) = 2008. Resolviendo,x = 219 y el numero que Juan elimino fue el x+8 = 219+8 = 227.

10. Note que en los numeros del 1 al 100, el dıgito 5 aparece en 5,15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85y 95, en otras palabras; aparece 20 veces. Realizando un analisissimilar, encontraremos que en los numeros del 101 al 200, 201al 300, 301 al 400, 601 al 700, 801 al 900 y 901 al 1000 tambienaparece 20 veces (por cada “bloque” de numeros). En los numerosdel 401 al 500 aparece 21 veces, mientras que en los numeros del501 al 600 aparece 119 veces. Por lo tanto, el dıgito 5 aparece8(20) + 21 + 119 = 300 veces en los numeros del 1 al 1000.

57

11. Los cubos en los que estamos interesados son aquellos que tienenexactamente dos caras expuestas. Considere el siguiente diagrama:

18 de los cubos que buscamos estan identificados por un puntonegro y si le sumamos los 6 cubos que cumplen con las propiedadesy que no se ven en el diagrama, tenemos un total de 24 cubos queestan en contacto con exactamente 4 otros cubos.

12. Observe que 100, 000 ∗ 33 = 3, 300, 000. El problema se reducea conseguir aquellos numeros tartamudos menores que 3,300,000que son divisibles por 33. Los numeros tartamudos menores que3,300,000 son 1,111,111; 111,111; 11,111; 1,111; 111; 11 y 1. Losunicos de la lista que son divisibles por 3 son 111,111 y 111 y,entre estos dos, el unico que es divisible por 11 es 111,111. Por lotanto, el unico entero positivo que es menor que 100,000 y que almultiplicarlo por 33 se obtiene un numero tartamudo es el 3367(3367 ∗ 33 = 111, 111).

13. Si escogemos una casilla negra en particular, tenemos que rechazarlas casillas blancas que se encuentren en la misma fila y en lamisma columna, quedando ası, 24 casillas blancas que se puedenescoger. En el siguiente diagrama, se muestran dos casillas negrasy las respectivas casillas blancas que se pueden escoger:

58

Como hay 32 casillas negras, el numero de formas en que se puedenescoger una casilla blanca y una negra de tal forma que las dos noesten en la misma fila ni en la misma columna es 32 ∗ 24 = 768.

14. Manipulando la ecuacion original esta toma la forma(n2 + n)(n2 + 5n + 6) = (1812 − 1) y si factorizamos; tenemosn(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (181 − 1)(181 + 1). Factorizando unavez mas, n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 23 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 7 ∗ 13. El problemase reduce a encontrar cuatro enteros consecutivos cuyo productoconcuerde con el lado derecho de la ecuacion. Podemos empezarcon el caso en que 13 es el entero menor. Los enteros serıan 13,14 = 2∗7, 15 = 3∗5 y 16. Observamos que nos sobra 22 ∗3 que noalcanza para formar el 16, ası que descartamos esta posibilidad.Si consideramos los enteros 12 = 22 ∗ 3, 13, 14 = 2 ∗ 7 y 15 = 3 ∗ 5y realizamos el producto, notamos que los factores coinciden exac-tamentemente con el lado derecho de la ecuacion. Inspeccionandolos otros casos posibles se concluye que esta lista es la unica posi-ble. Como n = 12 y (n + 3) = 15, n(n + 3) = 12 ∗ 15 = 180.

15. Sea r el radio del cırculo menor, R el radio del cırculo mayor y c lamedida de una cuerda de la circunferencia mayor que es tangentea la circunferencia menor. Considere el siguiente diagrama endonde se han dibujado las dos circunferencias, una cuerda de lacircunferencia mayor tangente a la circunferencia menor y un radiode cada cırculo que interseca dicha cuerda:

La mitad de la cuerda y los dos radios forman un triangulo rec-tangulo y si aplicamos el Teorema de Pitagoras: r2 + ( c

2)2 = R2.

Resolviendo para c tenemos c = 2√

R2 − r2. Note que segun elproblema, πR2 − πr2 = 25π

2ası que (R2 − r2) = 25

2cm2. Susti-

tuyendo en la expresion para c, c = 2√

252

= 5√

2 cm.

59


EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Hay tres lugares que ocupar en la fila. Hay 3 posibilidades parallenar el primer espacio y luego de hacerlo, quedan dos posibili-dades para llenar el segundo. Luego de llenar el segundo, sola-mente quedarıa una posibilidad para llenar el tercer espacio. Elnumero de formas en que se pueden colocar para tomarse la fotoes 3 ∗ 2 ∗ 1 = 6.

2. Sea x en primer numero impar. El segundo y tercer numero imparestan dados por x + 2 y x + 4, respectivamente. Tenemos quex + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6 = 27. Resolviendo, tenemos quex = 7.

3. Observe que la cantidad de numeros que se necesitan formar debeser un factor de 5, ya que esta es la unica forma en que la sumade los miembros de una coleccion de numeros cuyo dıgito de lasunidades es 8 termine en 0. Como tenemos solamente 8 ochos, lacantidad de numeros que se necesitan formar es 5. Ası que tenemos5 de los 8 ochos comprometidos para formar 5 numeros, tenemosque analizar en donde van los 3 ochos que nos sobran. Existen 3listas de 5 numeros a considerar: (88,88,88,8,8), (888,88,8,8,8) y(8888,8,8,8,8). De estas, la unica que satisface las condiciones delproblema es la segunda, pues 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.

4. Como el triangulo ABC es equilatero y su perımetro es 18 cms,AC = CB = AB = 6 cm y como CD = AC, CD = 6 cms. Ahora,note que como el perımetro del cuadrilatero ACDE es 20 cms yCD = AC = 6 cms, DE +EA = 20−6−6 = 8 cms. Por lo tanto,el perımetro de ABCDE es 6 + 6 + 6 + 8 = 26 cms.

5. Suponga que Julian pinta de rojo la franja superior. Como noquiere pintar la del centro ni de blanco ni de negro, puede escogerentre 5 colores para pintar esta franja; mientras que para la franjainferior le quedarıan 6 colores para pintarla. Por lo tanto, Julianpuede obtener 1 ∗ 5 ∗ 6 = 30 banderas distintas con la franja

60

superior roja. Suponga ahora que Julian pinta la franja del medioroja. Tiene 7 colores entre los cuales puede escoger para la franjasuperior y 6 colores entre los cuales puede escoger para la franjainferior, ası que el numero de banderas distintas con la franja delmedio roja es 7 ∗ 1 ∗ 6 = 42. Finalmente, el analisis para el casoen que pinte la franja inferior de color rojo es similar al primercaso, de donde se obtienen 30 banderas distintas adicionales. Elnumero total de banderas distintas es 30 + 42 + 30 = 102.

6. Observe que en el tiempo en que el perro da dos saltos, este harecorrido 2∗2 = 4 pies. En este mismo periodo, el gato ha recorrido1 ∗ 3 = 3 pies. De esta forma, la distancia de la casa a la que seencuentra el perro luego de x de estos periodos esta dada por4x. Similarmente, la distancia de la casa a la que se encuentrael gato luego de x de dichos periodos es 30 + 3x. Queremos que4x = 30 + 3x y si resolvemos, x = 30, lo que significa que el perroalcanzara al gato a 4(30) = 30 + 3(30) = 120 pies de la casa.

7. Considere el siguiente diagrama en donde se ha rotulado cadavertice con una variable:

Sea z la suma de los numeros que hay en cada uno de los verticesde una cara. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

a + b + c + d = za + c + g + e = ze + f + g + h = zb + d + f + h = za + b + e + f = zc + d + g + h = z

61

Sumando las 6 ecuaciones y simplificando, tenemos

3(a + b + c + d + e + f + g + h) = 6z

Como a+ b+ c+d+ e+ f + g +h = 36, z = 18, en otras palabras;la suma de los numeros que aparecen en los vertices de cada caratiene que ser 18. Observe ahora, que podemos formar 4 parejasde numeros cuya suma es 9: 1 + 8 = 2 + 7 = 3 + 6 = 4 + 5 = 9.Si desarrollamos una estrategia adecuada de tal forma que dadauna cara en particular, tengamos dos de estas parejas ocupandolos vertices (2 ∗ 9 = 18), habremos terminado. Coloquemos al 1 yal 8 en los vertices que se muestran:

Note que, en particular, la suma de los numeros que vamos acolocar en la cara superior debe ser 18. Como ya colocamos al 1,debemos escoger 3 numeros cuya suma sea 17. Con los numerosque nos quedan, la unica alternativa es utilizar al 4, 6 y 7. Unaforma de colocarlos es la siguiente:

Finalmente, rotulamos los vertices de la cara inferior que no hansido ocupados de la siguiente manera: dado un vertice en parti-cular, miramos el numero del vertice que se encuentra justamentearriba y escribimos el numero que al sumarle a este, nos da comoresultado 9.

62

Realizando esto, nos queda:

Con esta estrategia, tenemos varias formas de colocar los numeros,en otras palabras; la solucion no es unica.

8. Si 360◦ equivalen a 100% del pastel, 15% equivale a 360◦∗15100

= 54◦.

9. Para escribir los numeros impares entre 1000 y 1099 se necesitan55 dıgitos 0. Por otro lado, para escribir los numeros impares del1100 al 1199, 1200 al 1299, 1300 al 1399, 1400 al 1499, 1500 al1599, 1600 al 1699, 1700 al 1799, 1800 al 1899 y 1900 al 1999, senecesitan 5 dıgitos 0 respectivamente. Finalmente, para escribirlos numeros impares del 2000 al 2008 se necesitan 8 dıgitos 0. Espor esto que Juan escribio 55 + 9(5) + 8 = 108 veces el dıgito 0.

10. Ana esta sola en 8 fotos, Camilo esta solo en 10 fotos y Marıasiempre esta sola en las fotos. Como Ana sale en 19 fotos en total,significa que sale en 19 − 8 = 11 fotos con Camilo. Por lo tanto,Marıa sale en 35− 8− 10− 11 = 6 fotos.

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EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Sea x el numero de paginas que tiene el libro. Ademas, seanm, a y l el numero de dıas adicionales al primero que le tomo aMarıa, Ana y a Luis terminar de leerlo, respectivamente. Segun elproblema, x = 7 + 10m = 2 + 11a = 5 + 9l. Como x es un enterotal que 0 < x < 300, tenemos que los enteros m y l son tales que1 ≤ m ≤ 29 y 1 ≤ l ≤ 27. Sustituyendo cada uno de los posiblesvalores para m y l en las expresiones para x correspondientes, nosdamos cuenta que los unicos posibles valores para x que aparecenrepetidos son 167 (m = 16 y l = 15) y 277 (m = 27 y l = 25).Observando la expresion x = 5+9l nos damos cuenta que al dividirel valor de x por 9, el residuo es 5. Como esto solo se cumple para167, descartamos la otra posibilidad.

2. Javier tiene a escoger entre 6 letras y 5 dıgitos para formar laclave que posee la siguiente estructura: letra letra (endonde los espacios del medio deben ser ocupados por una letra ytres dıgitos). Observe que tenemos 10 formas de escoger los tresdıgitos que utilizaremos para la parte del medio de la clave. Los10 conjuntos son: {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 3, 9}, {1, 5, 7}, {1, 5, 9},{1, 7, 9}, {3, 5, 7}, {3, 5, 9}, {3, 7, 9} y {5, 7, 9}. Note que comolos dıgitos deben ponerse en forma creciente o decreciente, existen2 “ordenes” asociados a cada uno de los conjuntos (por ejemplo,considere el conjunto {1, 3, 5}, podemos escribirlos como 1-3-5 ocomo 5-3-1), elevandose a 2 ∗ 10 = 20 las formas en escribir losdıgitos en la parte del medio de la clave. Considere el caso enque Javier pone una letra en el segundo espacio (de izquierda aderecha): tiene 6 posibilidades para llenar el primer espacio, 5posibilidades para llenar el segundo, 4 posibilidades para llenar elultimo y 20 posibilidades (los dıgitos) para llenar los tres espaciosrestantes. El numero de posibles claves de este estilo es 6 ∗ 5 ∗4 ∗ 20 = 2400. Estudiando el caso en donde Javier pone unaletra en el tercer espacio, el caso en donde pone una letra en elcuarto espacio y el caso en donde pone una letra en el quinto; nosdamos cuenta que existen tambien 2400 claves adicionales para

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cada uno de estos. Por lo tanto, Javier puede armar la clave en4 ∗ 2400 = 9600 formas distintas.

3. Sea x la distancia recorrida en la primera hora. Segun el problema,la hormiga recorre una distancia de (2

3)x en el segundo periodo

de una hora y (23)(2

3)x = (4

9)x en el tercer periodo de una hora.

Ademas, x + (23x) + (4

9)x = 76 y resolviendo, x = 36 cms.

4. Considere el siguiente diagrama:

Observe que como el angulo BOC y el angulo COA forman unangulo llano, ∠BOC = 144◦. Ademas, como el segmento OB yel segmento OC corresponden cada uno a un radio del cırculo; losrespectivos angulos que los sostienen miden lo mismo. Sea x lamedida del angulo CBO y considere la ecuacion x + x + 144◦ =180◦. Resolviendo, obtenemos x = 18◦, ası que la medida delangulo CBO es 18◦.

5. Sea x el numero de ninos, n el numero de ninas, z la suma de lasedades de todos los ninos y ninas, r la suma de las edades de losninos y s la suma de las edades de las ninas. Segun el problema:x + n = 40, z

40= 7.4 (z = 296), r

x= 8 (r = 8x) y s

n= 7 (s = 7n).

Ademas, tenemos que z = r + s y si sustitumos las expresionescorrespondientes: 296 = 8x+7n. Si multiplicamos por 7 en amboslados de la ecuacion x + n = 40 y restamos la ecuacion resultantede la ecuacion anterior, obtenemos x = 16. Sustituyendo ahoraeste valor en la ecuacion x + n = 40 y resolviendo, obtenemosn = 24. Por lo tanto, habıa 16 ninos y 24 ninas.

6. Contemos aquellos numeros de cuatro dıgitos que tienen exacta-mente un dıgito 1 y un dıgito 0. Todo numero que tenga estapropiedad, tiene que ser de uno de los siguientes 9 estilos: 10 ,

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1 0 , 1 0, 10 , 1 0, 01 , 10, 0 1 o 01. Cada uno de los es-pacios en blanco puede ser llenado de 8 formas distintas, ası que lacantidad de numeros de cuatro dıgitos con exactamente un dıgito1 y un dıgito 0 es 9 ∗ 8 ∗ 8 = 576. Similarmente, podemos realizarconteos para los demas casos.

En la siguiente tabla resumimos los resultados:

Cantidad dıgitos 1 Cantidad dıgitos 0 Numeros1 1 5761 2 481 3 12 1 722 2 33 1 3

Por lo tanto, existen 576 + 48 + 1 + 72 + 3 + 3 = 703 numeros de4 dıgitos que tienen por lo menos un dıgito 1 y un dıgito 0.

7. Observe que 40 solamente puede ser expresado como la suma detres cuadrados perfectos de la siguiente forma: 40 = 0 + 4 + 36.Esto nos produce un conjunto de sistemas de ecuaciones:

x + y + z = ax + y − z = bx− y + z = c

Note que a 6= b 6= c y a 6= c, a = 0, 2 o 6, b = 0,±2 o±6 y c = 0,±2o ±6. Si a = 0, no tenemos solucion no negativa ya que x+y+z =0 implica que por lo menos una de las variables es negativa (lastres variables no pueden ser igual a 0 simultaneamente). Si a 6= 0,tenemos que b = 0 o c = 0 y note que en ambos casos al sumarlas ultimas dos ecuaciones del sistema; obtenemos 2x = (b + c).Resolviendo, x = b+c

2. Si b = 0, c no puede ser negativa pues x

lo serıa tambien, ası que descartamos este caso. Similarmente, se

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descarta la posibilidad de que b sea negativa. Resumiendo estosresultados, hemos disminuido significativamente la cantidad desistemas de ecuaciones a inspeccionar a 4, pues ahora a = 2 o6, b = 0, 2 o 6 y c = 0, 2 o 6. El caso en que a = 2, los dossistemas de ecuaciones asociados no producen soluciones no ne-gativas, mientras que los dos sistemas de ecuaciones asociados alcaso en que a = 6 producen (1, 2, 3) y (1, 3, 2) (el primer numerode cada terna es el valor de x, el segundo el valor de y y el terceroel valor de z).

8. Considere el siguiente diagrama en donde, ademas de utilizar lainformacion dada por el problema, hemos trazado el segmentoOD:

Aplicando el Teorema de Pitagoras en el triangulo OTD: OD2 =OT 2 + 12. Manipulando la ecuacion obtenemos 1 = OD2 − OT 2

y factorizando: 1 = (OD + PT )(OD − OT ). Observe que OD =AO y al sustituir en la ultima ecuacion tenemos que 1 = (AO +OT )(AO−OT ). Finalmente, como (AO+OT ) = AT , AT ∗(AO−OT ) = 1.

9. Sean a y b las medidas de los catetos. Por el Teorema de Pitagoras,tenemos a2 + b2 = 2006. Observe que la operacion “cuadrar” con-serva paridad, es decir, el cuadrado de un numero par es par yel cuadrado de un numero impar es impar. Ademas, la unicaforma de que la suma de dos numeros sea par, es que ambos seanpares o que ambos sean impares. Considere el caso en que a yb sean pares. Esto significa que para algun k y algun l (enteros)se pueden escribir de la siguiente forma: a = 2k, b = 2l. Susti-tuyendo, (2k)2 + (2l)2 = 4(k2 + l2) = 2006. Como la expresion

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que esta dentro del parentesis es un entero, la ecuacion nos estadiciendo que 2006 es divisible por 4; pero como esto es falso sig-nifica que este caso no produce solucion. Suponga ahora que ay b son impares. Recuerde que todo numero impar deja residuo1 o residuo 3 al ser dividido entre 4. Debido a esto, tenemos 3casos a considerar: a y b dejan residuo 1 al ser divididos entre 4,a y b dejan residuo 3 al ser divididos entre 4 o uno deja residuo1 y el otro deja residuo 3 al ser divididos entre 4. Suponga queambos dejan residuo 1. Podemos escribir a = 4k + 1 y b = 4l + 1y sustituyendo en la ecuacion asociada al Teorema de Pitagoras:(4k+1)2 +(4l+1)2 = 2006. Expandiendo y factorizando, tenemos8(2(k2 + l2) + k + l) = 2004, lo cual es una contradiccion ya que 8no divide a 2004; significando que este caso no produce soluciones.Suponga ahora que a y b dejan residuo 3 al ser divididos entre 4.Tenemos a = 4k + 3 y b = 4l + 3. Luego de sustituir como en elcaso anterior y manipular adecuadamente la ecuacion resultante,obtenemos: 8(2(k2 + l2) + 3(k + l)) = 1988. Nuevamente llegamosa una contradiccion. Finalmente, suponga que uno deja residuo1 y el otro deja residuo 3 al ser divididos entre 4. Considere, sinperdida de generalidad, que a = 4k + 1 y b = 4l + 3. Realizandolo mismo que para los casos anteriores, llegaremos a la ecuacion8(2(k2 + l2) + k + 3l) = 1996, obteniendo nuevamente una con-tradiccion. Por lo tanto, no existe ningun triangulo con catetosde longitud entera e hipotenusa de longitud

√2006.

10. Considere la desigualdad original 8√x+6−

√x−2

≤ 6−√

x + 1. Noteque el dominio de la expresion, es decir los valores posibles parax, son todas las x reales tales que x ≥ 2. Si racionalizamos el ladoizquierdo, tenemos:

8(√

x + 6 +√

x− 2)

(x + 6)− (x− 2)≤ 6−

√x + 1

Luego de combinar terminos semejantes, cancelar factores y sumar√x + 1 en ambos lados:

√x + 6 +

√x− 2 +

√x + 1 ≤ 6

El dominio de esta expresion es nuevamente todas las x reales tales

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que x ≥ 2. Observe que la expresion de la izquierda es crecienteen todo el dominio y si la evaluamos en x = 3:

√x + 6 +

√x− 2 +

√x + 1 =

√9 +

√1 +

√4 = 6

Es por esto que las soluciones de la desigualdad original son todaslas x reales tales que 2 ≤ x ≤ 3.

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OLIMPIADAS DE MATEMATICASDE PUERTO RICO

EXAMEN DE SELECCION

1. Por inspeccion, nos damos cuenta que para el numero 18 solo existeun numero que sumado a este, el resultado nos da un cuadradoperfecto: el 7. Esto significa que el 18 tiene que escribirse enuno de los extremos del rectangulo 1x25. Ademas, para cadauno de los siguientes numeros, existen exactamente dos numerosque satisfacen la condicion necesaria (esto es, que la suma sea uncuadrado perfecto, por ejemplo; para el 8 tenemos al 1 y al 17):8, 9, 10, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23 y 25. Aprovechando estos datos,podemos formar las siguientes sucesiones:

1-8-17-19-6-10-15-21-43-22-142-23-1311-25-24

5-20-16-9-7-18

En estas, hemos utilizado todos los enteros de la lista, con ex-cepcion del 12. Para terminar, tenemos que escribir las 5 suce-siones (anadiendo el numero 12) una detras de la otra, respetandola condicion del problema. En la siguiente tabla, mostramos losnumeros que sumados a cada uno de los numeros que se encuen-tran en los extremos de las sucesiones (anadiendo el 12), producenun cuadrado perfecto:

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Numero escrito en extremo Numeros que sumados al originalproducen cuadrado perfecto

1 3,244 5,123 1,1314 2,112 1413 3,1211 5,1424 1,125 4,1112 4,13,24

Observe que el 2 solo puede ir al lado del 14. Esto nos obliga aescribir el 11 al lado del 5, mientras que el 4 tiene que se escritoal lado del 12. Las sucesiones quedan de la siguiente forma:

1-8-17-19-6-10-15-21-4-1224-25-11-5-20-16-9-7-18

3-22-14-2-23-13

Finalmente, si escribimos el 1 al lado del 24 y el 13 al lado del 12,tendrıamos una de las distribuciones posibles:3-22-14-2-23-13-12-4-21-15-10-6-19-17-8-1-24-25-11-5-20-16-9-7-18

2. Denote por ab, cd y ef los tres numeros que se forman (si ab = 23,por ejemplo, a = 2 y b = 3). Considere la suma de estos: ab+cd+ef = (10a+b)+(10c+d)+(10e+f) = 10(a+c+e)+(b+d+f). Elproblema se reduce a determinar los posibles valores para (a+c+e)y los correspondientes valores para (b+d+f) y estudiar las sumasobtenidas. Note que (a + b + c + d + e + f) siempre es 21 y quela suma de tres numeros distintos escogidos al azar entre 1, 2, 3,4, 5 y 6 es mayor o igual que 6; pero menor o igual que 15 (endonde cualquier entero que se encuentre en este intervalo puede serobtenido). Teniendo en cuenta estos datos, podemos concluir quepara cada posible valor de (a + c + e) existe exactamente un valorcorrespondiente para (b + d + f). Existen 10 casos a considerar,los resultados estan resumidos en la siguiente tabla:

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(a + c + e) (b + d + f) 10(a + c + e) + (b + d + f)6 15 757 14 848 13 939 12 10210 11 11111 10 12012 9 12913 8 13814 7 14715 6 156

Por lo tanto, se pueden obtener 10 resultados distintos siguiendolas instrucciones del problema.

3. Demostraremos el resultado por contradiccion. Suponga que alfinal, 10 piedras fueron extraıdas, ningunas 3 sucesivas fueron delmismo color y que la quinta y sexta piedra son del mismo color.Tenemos que considerar dos casos: cuando la quinta y sexta piedrason azules y cuando la quinta y sexta piedra son rojas. Conside-remos el primer caso. Denotemos por a una piedra de color azul,por r una de color rojo y por x una piedra cuyo color sera deter-minado. Como la quinta y sexta piedra (de izquierda a derecha)son azules, tenemos xxxxaaxxxx. Ahora, como no hay 3 piedrassucesivas del mismo color, la cuarta y septima piedra tienen queser rojas: xxxraarxxx. Tomando, nuevamente, en cuenta el he-cho de que no hay 3 piedras sucesivas del mismo color; llegamosa la conclusion de que las unicas posibilidades para los coloresde las primeras 3 piedras son: aar, rar, raa y rra. Similar-mente, las unicas posibilidades para los colores de las ultimas 3piedras son: raa, rar, aar y arr. Como 5 piedras tienen que serrojas y 5 tienen que ser azules, existen 8 posibles arreglos quesatisfacen esta condicion: aarraarrar, aarraararr, rarraarraa,rarraaraar, raaraarrar, raarraaraar, rraraarraa y rraraararr.Sin embargo, tenemos que descartar todos estos arreglos, pues elprimero, segundo, quinto y sexto tenıan que detenerse al sacar lacuarta piedra (en cada uno de estos casos tendrıamos 2 piedras ro-

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jas y dos azules); mientras que el tercero, cuarto, septimo y octavotenıan que detenerse al sacar la sexta piedra. Por lo tanto, si laquinta y sexta piedra son azules; no se pueden cumplir las condi-ciones del problema. Similarmente, para el caso en que suponemosque la quinta y sexta piedra fueron rojas, llegamos a una con-tradiccion del mismo tipo. Por lo tanto, si al final del juego seextraen 10 piedras y ninguna 3 consecutivas son del mismo color,entonces la quinta y sexta son de distintos colores. Por ejemplo,aaraarrarr es un arreglo en donde las condiciones del problemase cumplen y la quinta y sexta piedra son de distinto color.

4. Sean a, b y c la medida de los lados del triangulo, las cuales satis-facen a + b − c = 2 y 2ab − c2 = 4. Tenemos que (a + b − c)2 =22 = 4 = 2ab − c2, o sea, (a + b − c)2 = 2ab − c2. Expandiendoel lado izquierdo, (a2 + 2ab − 2ac − 2bc + b2 + c2) = (2ab − c2).Restando 2ab a ambos lados y manipulando los terminos de laecuacion resultante tenemos que (b2−2bc+c2) = (−a2 +2ac−c2).Factorizando, (b − c)2 = −((a − c)2) y como cualquier numeroelevado al cuadrado es 0 o positivo; la unica forma de que laecuacion se cumpla es que (b − c) = (a − c) = 0. Por lo tanto,a = b = c, lo que significa que el triangulo es equilatero.

5. Demostraremos primero un resultado que sera utilizado para ob-tener las medidas de los angulos que nos pide el problema. Seanw, x, y y z enteros positivos tales que x < z y y > w. Si xy = zwy x + y = z + w, entonces y = z y x = w. Demostracion:Suponga que las hipotesis se cumplen y considere x + y = z + w.Multiplicando por yz a ambos lados de la ecuacion y expandiendo,tenemos (xy)z + y2z = yz2 + y(zw). Como xy = zw, podemosreemplazar en esta ecuacion para obtener z2w + y2z = yz2 + xy2.Factorizando, tenemos que y2(z − x) = z2(y − w). Ahora, de lasegunda ecuacion de la hipotesis tenemos que z − x = y − w.Reemplazando, y2(z − x) = z2(z − x) y como (z − x) 6= 0 (x < z)podemos dividir en ambos lados para obetener y2 = z2. De estaecuacion, tenemos que y = z y, finalmente; x = w.Regresando al problema original, sea α la medida del angulo ACBy del angulo ABD. Considere el siguiente diagrama:

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Note que como los triangulos ABD y ECD son similares, tenemosque AD

ED= BD

CD, de donde se obtiene que AD ∗ CD = BD ∗ ED.

Tambien, AD + CD = AC y como segun el problema, AC =BD + DE; tenemos que AD + CD = BD + DE. Observe queAD < BD (AD es cateto del triangulo rectangulo ABD y BDes la hipotenusa) y que DE < CD (argumento similar, usandotriangulo rectangulo DEC). Analizando todos estos datos, nosdamos cuenta que se cumplen las condiciones del resultado de-mostrado al principio, por lo tanto; AD = DE y BD = CD.Esto implica que los triangulos rectangulos ABD y EBD son con-gruentes y que, en particular, ∠ABD = ∠EBD = α. Finalmente,tenemos 2α + α = 90◦ y resolviendo; α = 30◦. Esto implica que∠ACB = 30◦ y ∠ABC = 60◦.

6. Sea n un numero compuesto natural. Observe que este puede serescrito de la forma n = a∗ b, en donde a y b son enteros y a, b > 1.Considere a ∗ b( 1

a+ 1

b). Simplificando esta expresion, nos damos

cuenta que es igual a (a + b), lo cual satisface las condiciones delproblema.

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