ppotenciasotencias

Prof. Nilsa I. ToroCatedrática

Recinto Universitario de MayagüezResidencial AFAMaC

Septiembre 4, 2010

• A veces es conveniente escribir productos de factoresrepetidos en forma corta.

• Por esto, usamos potencias para describir el resultadode multiplicar repetidamente un número por sí mismo.de multiplicar repetidamente un número por sí mismo.

• Para preparar a mano los fideosal estilo Chef Piñeiro, el Chefestira la masa de harina, la doblapor la mitad y vuelve a estirar.Esto se repite una y otra vez.Cada vez que estira la masa losfideos se hacen mas finos y cadavez que la dobla, el número de

veamos

vez que la dobla, el número defideos se duplica.

• Un buen fabricante de fideospuede doblar y estirar la masa 4veces. Un experto la puededoblar y estirar ocho veces.¿Cuántos fideos se obtendrán?

Números de dobleces

Multiplicación repetida Expresado como potencia

Número de fideos

1 2

2 4

3 8

1222

32

2 2⋅2 2 2⋅ ⋅

2

podemos preparar una tabla

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

32425262

2 2 2⋅ ⋅

2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2 2 2 2 2 2 2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

7282

Podemos hacer esto mismo con un cordón.

veamos

• Consideremos un papel.

1. Cortar en 3 pedazos iguales.

2. Cortar cada papel en 3 pedazos repetidas veces.

3. Completar la siguiente tabla

Números de cortes Multiplicación Expresado como Número de papeles

actividad

Números de cortes Multiplicación repetida

Expresado como potencia

Número de papeles

1

2

3

4

• El número que sucesivamente se multiplica por sí mismo se llama la base.

• El número de veces que la base se repite se escribe en la • El número de veces que la base se repite se escribe en la parte superior derecha de la base y es llamado el exponente.

5exponentebase

veamos

5

la quinta potencia de dosDos a la quinta potencia

• Más adelante demostraremos que para

cualquier número .

0 1a =0a ≠

observación

• Se puede expresar cualquier número entero en forma desarrollada usando potencias.

Notemos que las unidades, decenas y centenas , etc. son potencias de 10. Esto es,

aplicación (1) de la potencia

potencias de 10. Esto es,

unidades

decenas

centenas

01 1 0=

21 0 0 1 0=

11 0 1 0=

definición

• Si pertenece a los números reales, y pertenece a los números naturales entonces

.

n factores

na a x a x a x x a=6447448

K

a n

Llamamos base al número , exponente al número y se lee como

“a elevada a la potencia ”.

.na a x a x a x x a= K

a n

n

na

• Escriba cada uno de los siguientes números en forma

desarrollada.

1. 924

ejemplo

1. 924

2. 1906

3. 46,424

• Escriba cada uno de los siguientes números en forma

desarrollada.

1. 27

práctica

1. 27

2. 805

3. 23,041

• Podemos hacer varios ejemplos para llegar a concluir las reglas de las potencias.

• Ejemplo:

( )}

( )5 factores2 factores

2 5 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =6447448

reglas de potencias

1. Regla del producto de potencias.

( ) ( )2 5 7

2 5 factores

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

+

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =144424443

m n m na a a +⋅ =

• Ejemplo:

( )( ){

5 factores

5

2

2 factores

5 2 factores

3 3 3 33 3 3 3 33

3 3 3

−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = =

⋅

6447448

1442443

3⋅( )3 3⋅( )

33=

2. Regla del cociente de potencias.

5 2 factores−

mm n

n

aa

a−=

• Ejemplo:

( ) ( ) ( )}

( )}

( )}

2+2+2=3 2 factores

3 factores 2 factores 2 factores 2 factores32 2 2 2 64 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

64447444864748

3. Regla de potencia de una potencia.

( )nm m na a ⋅=

• Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 factores 3 factores 3 factores

3 3 32 5 2 5 2 5 2 5 2 2 2 5 5 5 2 5⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅644474448 6474864748

}

{

2 factores 2 factores2 2

2

2 factores

4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3

⋅ = ⋅ = = ⋅

678

4. Regla de potencia de un producto.

( )n n nab a b=

, 0n n

n

a ab

b b = ≠

• Ejemplo

0 1 si 0, pertenece a los números reales.a a a= ≠

definición

• Por esto usamos en la forma desarrollada de un número.

50 5 5

5

3 33 3

3−= = = 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅

3 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅1=

010 1=

• Notemos que

1 si 0, pertenece a los números naturalesn

na a n

a− = ≠

definición

• Notemos que

3

4

2 2

2= 2⋅ 2⋅

2 2⋅ 2⋅3

14

1

1

22

2ahora por las Reglas de los Exponentes 2,

21

por lo tanto 22

−

−

=⋅

=

=

1 14

4− =

1−

ejemplos

22

13

3− =

( )

4

4

2

2

− =

− =

observación

• PRÁCTICA

Simplificar la expresión:

( )( )( )

44

3 3

2 2

2 2

−− = =− −

( )( )( )

1

2

3

1 1

1 1

1 1

− = −

− =

− = −

potencias de

• En general,

( )( )

3

4

1 1

1 1

− = −

− =

( )entero impar1 1− = −

( )entero par1 1− =

Bingo

actividad

Bingo

• Muchos de los números que se utilizan en la ciencia son muy

grandes, por ejemplo, el numero de organismos unicelulares

que alimentan a una ballena durante unas cuantas horas:

400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños,

aplicación (2) de las potencias

400,000,000,000,000. Otros números son muy pequeños,

como la longitud de la onda mas corta de la luz visible, de

aproximadamente.0000004 metros. La escritura de estos

números se simplifica si se emplea notación científica.

• Un número esta escrito en notación científica si esta expresado en la siguiente forma

x 10na

notación científica

x 10adonde 1 10, y es entero.≤ <a n

• Escribir en notación científica:

1. .56

ejemplos

2. .0045

3. 9,874

4. 100,432

• En la siguiente tabla aparece la distancia media en kilómetros de algunos planetas al Sol. Escribe esas distancias utilizando potencias de base 10.

Tierra Urano Neptuno Plutón

práctica

Tierra Urano Neptuno Plutón

Distancia

media

al Sol (km)

149.500,000 2,873,000,000 4,498,000,000 5,910,000,000

Distancia en

Notación

Científica

• El diámetro de un glóbulo rojo es .0065 expresa en

notación científica.

práctica

FINFINFINFIN