El Geoplano como Herramienta Didactica para laEnsenanza de la Geometrıa

Luis F. Caceres Ph.DCesar A. Barreto

Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayaguez

Abril 30 de 2011

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

¿Que es el Geoplano?

El geoplano es un elemento didactico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometrıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprension de diversos terminos de esta materia.

Se pueden formar figuras geometricas.

Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.

Identificar la relacion entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

¿Que es el Geoplano?

El geoplano es un elemento didactico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometrıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprension de diversos terminos de esta materia.

Se pueden formar figuras geometricas.

Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.

Identificar la relacion entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

¿Que es el Geoplano?

El geoplano es un elemento didactico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometrıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprension de diversos terminos de esta materia.

Se pueden formar figuras geometricas.

Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.

Identificar la relacion entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

¿Que es el Geoplano?

El geoplano es un elemento didactico que ayuda a introducir yafianzar gran parte de los conceptos de la geometrıa plana, al seruna herramienta concreta permite a los estudiantes obtener unamayor comprension de diversos terminos de esta materia.

Se pueden formar figuras geometricas.

Los estudiantes puedan establecer semejanzas y diferenciasentre paralelismo-perpendicularidad.

Identificar la relacion entre superficie-volumen, entre muchosotros conceptos

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Tipos de Geoplanos

Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, calculo deareas y perımetros, entre otros.

Geoplano Isometrico: Es tambienconocido como Geoplano triangular,se contruye a traves de triangulosequilateros. Se usa frecuentemente enla contruccion de figuras tridimensio-nales.

Geoplano Circular: Es util paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, polıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diametro y cuerda.

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Tipos de Geoplanos

Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, calculo deareas y perımetros, entre otros.

Geoplano Isometrico: Es tambienconocido como Geoplano triangular,se contruye a traves de triangulosequilateros. Se usa frecuentemente enla contruccion de figuras tridimensio-nales.

Geoplano Circular: Es util paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, polıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diametro y cuerda.

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Tipos de Geoplanos

Geoplano Cuadrado: Es el ideal parala describir conceptos tales como seg-mentos, lineas poligonales abiertas,lineas poligonales cerradas, calculo deareas y perımetros, entre otros.

Geoplano Isometrico: Es tambienconocido como Geoplano triangular,se contruye a traves de triangulosequilateros. Se usa frecuentemente enla contruccion de figuras tridimensio-nales.

Geoplano Circular: Es util paraconstruir figuras inscritas, circunscri-tas, polıgonos regulares, entre otros.Ayuda a clarificar los conceptos de ra-dio, diametro y cuerda.

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Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano

Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura

El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomara elpunto (6, 1) este representarıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos numeros, indica la posicion en el que se ubicara el punto en elplano.

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Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano

Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura

(1,6)

El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomara elpunto (6, 1) este representarıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos numeros, indica la posicion en el que se ubicara el punto en elplano.

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Uso del Geoplanos como Plano Cartesiano

Otra forma de usar el Geoplano es trabajarlo como un planocartesiano, en donde cada clavo denota un punto en el plano,como se muestra en la figura

(1,6)

(6,1)

El punto (1, 6) representa un movimiento de forma horizontal yluego 6 movimientos de forma vertical. Si en cambio se tomara elpunto (6, 1) este representarıa seis movimiento de forma horizontaly luego un movimientos de forma vertical. Es por esto que cadapunto en el plano es una pareja ordenada, es decir, el orden delos numeros, indica la posicion en el que se ubicara el punto en elplano.

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Recordemos: Areas y Perımetros de Figuras Planas I

Figura Area Perımetro

l

l

A = l2 P = 4l

b

h

A = b · h P = 2b+ 2h

h

a

b

c

A =b · h2

P = a+ b+ c

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Recordemos: Areas y Perımetros de Figuras Planas I

Figura Area Perımetro

l

l

A = l2 P = 4l

b

h

A = b · h P = 2b+ 2h

h

a

b

c

A =b · h2

P = a+ b+ c

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Recordemos: Areas y Perımetros de Figuras Planas I

Figura Area Perımetro

l

l

A = l2 P = 4l

b

h

A = b · h P = 2b+ 2h

h

a

b

c

A =b · h2

P = a+ b+ c

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Recordemos: Areas y Perımetros de Figuras Planas II

Figura Area Perımetro

a

b

h

A = b · h P = 2a+ 2b

a

b

B

h

A =(B + b) · h

2P = 2a+B + b

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Recordemos: Areas y Perımetros de Figuras Planas II

Figura Area Perımetro

a

b

h

A = b · h P = 2a+ 2b

a

b

B

h

A =(B + b) · h

2P = 2a+B + b

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Ejemplo I

Example

Construya y calcule el perımetro de la siguiente figura.

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Solucion I

Note que la figura se puede separar en triangulos rectangulos comose muestra a continuacion.

Ası podemos calcular los valores que corresponden a cada uno delos segmentos, utilizando el teorema de Pitagoras

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Ejemplo II

Example

Construya y calcule el area del triangulo sombreado si el area totalde la siguiente figura es 22 unidades cuadradas.

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Solucion II

Note que la figura se puede separar como se muestra acontinuacion.

AE

B

C

D

Ası podemos calcular el area como la suma de de cada una de lasfiguras en las que se dividio, es decir:

A = Atotal − (B + C +D + E) = 3

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Ejemplo III-1

Example

Construya y calcule el area y el perımetro de las siguientes figuras.

A

B

C

D

E

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Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A

6 14

B

3.5 9

C

2 6

D

9 20

E

1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B

3.5 9

C

2 6

D

9 20

E

1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

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Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B 3.5 9

C

2 6

D

9 20

E

1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

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Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B 3.5 9

C 2 6

D

9 20

E

1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

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Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B 3.5 9

C 2 6

D 9 20

E

1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

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Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B 3.5 9

C 2 6

D 9 20

E 1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

Luis F. Caceres, Cesar A. Barreto El Geoplano

Ejemplo III-2

Con los calculos anteriores complete la siguiente tabla.

Figura Area Numero de puntos sobre el borde

A 6 14

B 3.5 9

C 2 6

D 9 20

E 1 4

¿ ?

¿Es posible deducir una relacion entre el area y elnumero de puntos sobre el borde?

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Formula de Pick

La formula de Pick relaciona el area de un polıgono simple cuyosvertices tienen coordenadas enteras con el numero de puntos en suinterior y en su borde.

Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)

Sea B el numero de puntos en el borde del polıgono, entonces elarea A del polıgono se puede calcular a partir de la formula:

A =B

2− 1

Formula de Pick (Con Puntos Interiores)

Sea i el numero de puntos interiores del polıgono y B el numero depuntos en el borde del polıgono, entonces el area A del polıgono sepuede calcular a partir de la formula:

A = i+B

2− 1

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Formula de Pick

La formula de Pick relaciona el area de un polıgono simple cuyosvertices tienen coordenadas enteras con el numero de puntos en suinterior y en su borde.

Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)

Sea B el numero de puntos en el borde del polıgono, entonces elarea A del polıgono se puede calcular a partir de la formula:

A =B

2− 1

Formula de Pick (Con Puntos Interiores)

Sea i el numero de puntos interiores del polıgono y B el numero depuntos en el borde del polıgono, entonces el area A del polıgono sepuede calcular a partir de la formula:

A = i+B

2− 1

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Formula de Pick

La formula de Pick relaciona el area de un polıgono simple cuyosvertices tienen coordenadas enteras con el numero de puntos en suinterior y en su borde.

Formula de Pick (Sin Puntos Interiores)

Sea B el numero de puntos en el borde del polıgono, entonces elarea A del polıgono se puede calcular a partir de la formula:

A =B

2− 1

Formula de Pick (Con Puntos Interiores)

Sea i el numero de puntos interiores del polıgono y B el numero depuntos en el borde del polıgono, entonces el area A del polıgono sepuede calcular a partir de la formula:

A = i+B

2− 1

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Ejemplo IV

Example

Construya y calcule el area de la siguiente figura utilizando laFormula de Pick.

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