Ecuaciones diofantinas lineales

Instituto de VeranoAFAMaC 2010Arturo Portnoy

Ecuaciones diofantinas

Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=44. Esto se conoce como un problema Diofantino lineal.

Ecuaciones diofantinas

Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=42.

9x+15y es una combinación lineal de 9 y 15. Así que este problema se puede describir como encontrar una combinación lineal de 9 y 15 que sea igual a 42.

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Encontrar todas las soluciones enteras de 9x+15y=42. Técnica: superposición.

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¿Porque unas ecuaciones Diofantinas lineales tienen solución y otras no? ¿Cómo encontramos sistemáticamente todas las soluciones de estas ecuaciones?

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¿Cómo encontramos el MCD de dos números?

Ecuaciones diofantinas

Encontrar el MCD de 2387 y 3432.

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Dificultades: factorización prima de un número puede ser difícil de encontrar. Sin embargo, el teorema fundamental de la aritmética, que nos habla sobre la unicidad de la factorización prima de un entero, tiene las siguientes implicaciones importantes: Nos hace ver porque el 1 no es primo, ¿Porqué? Hace fácil obtener el mcd de dos números si conocemos sus factorizaciones primas únicas. Hace fácil obtener el # de divisores de un entero si conocemos su factorización prima única. Hace fácil obtener el mcm de dos números si conocemos sus factorizaciones primas únicas, aunque conociendo el mcd podemos conocer inmediatamente el mcm. ¿Porqué?

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Encontrar la factorización prima de 6511131.

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Encontrar todas las parejas (a,b) de números enteros positivos tales que ab-3a-2b=6.

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El algoritmo de la división: a=bq+r, 0<=r<b

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Observación: 3432=2387(1)+1045 implica que mcd(3432,2387)=mcd(2387,1045). ¿Porqué?

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El algoritmo de Euclides para encontrar el mcd(2387,3432).

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El algoritmo de Euclides implica que el mcd de dos números se puede escribir como combinación lineal de esos dos números. Hacerlo para el mcd(2387,3432).

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Escribir el mcd(99,68) como combinación lineal de 99 y 68.

Ecuaciones diofantinas

Determinar si 15, -9 y 61 son combinación lineal de -24 y 93. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cada caso.

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Determinar si 156, -12 y 60 son combinación lineal de 132 y -92. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cada caso.

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Conclusiones: ¿Cuándo tiene soluciones enteras ax+by=c? ¿Cómo las encontramos?

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Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=7.

Ecuaciones diofantinas

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=15.

Ecuaciones diofantinas

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=195.

Ecuaciones diofantinas

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x-195y=195.