Tema ii sistema de ecuaciones lineales algebra uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I

TEMA II

SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido

como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto

de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de

primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo1. Un ejemplo de sistema

lineal de ecuaciones sería el siguiente:

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Este es un sistema con 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, donde zyx ,, son las

incógnitas y los números iii cba ,, con 31i son los coeficientes del sistema sobre el

cuerpo de números reales. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de

las variables yx, y z que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas

lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de

aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación,

predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de

problemas no lineales de análisis numérico.

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales

sobre el cuerpo ,R es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las

ecuaciones son números reales.

1 En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto A y

dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto ,,, A de modo que ,A es

un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo y

tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de

un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo

con unidad (a la que designaremos 1) o anillo unitario. El ejemplo más intuitivo de un anillo es el

conjunto de los números enteros.

TEMA II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que

pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

a) Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

b) Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de

soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de

(hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto.

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o

rectas que se cruzan sin cortarse.

Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se

cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión

menor.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:AL_Sistema.svg



TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN

1) RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN:

Se efectúan los siguientes pasos:

a) Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

b) Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

c) Se resuelve la ecuación.

d) El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que

aparecía despejada la otra incógnita.

e) Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Vamos a explicarlo a través de un ejemplo:

Tenemos que resolver el sistema:

1852

2234

yx

yx

Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales

se conoce su ecuación.

Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un

sistema equivalente (en este caso elegimos y ):

5

2183

422

xy

xy

Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los

segundos también lo son, por lo tanto:

5

218

3

422 xx

Luego:

xx 21834225



Esto es:

4

14

56

5614

11054620

65420110

x

x

x

xx

xx

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la

segunda):

5

4218 y

Operamos para hallar el valor de :y

2

5

10

5

818

y

y

y

Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente :2,4, yx

181082542

226162344

Ahora sí, podemos asegurar que:

4x e .2y



EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y

reemplazando en las dos ecuaciones.

2) RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN:


a) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

b) Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una

ecuación con una sola incógnita.

c) Se resuelve la ecuación.

d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita

despejada.


Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:

1852

2234

yx

yx

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y

en la primera ecuación):

3

422 xy

Y la reemplazamos en la otra ecuación:

183

42252

xx

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

183

201102

xx

Esto es:



3

11018

3

202

183

20

3

1102

xx

xx

4

14

56

5614

3

11054

3

206

x

x

x

xx

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos

arbitrariamente la primera):

2

3

6

63

16223

22316

22344

y

y

y

y

y

y

Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior.

NOTA: No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.

3) RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN:


a) Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

b) La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

c) Se resuelve la ecuación resultante.

d) El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.




Vamos a explicarlo a través del mismo ejemplo: Tenemos que resolver el sistema:

1852

2234

yx

yx

El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo

que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.

NOTA: También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.

Si se quiere eliminar la ,x ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación,

para que al sumarla a la primera se obtenga cero?

La respuesta es -2. Veamos:

2Por 1852

2234

yx

yx

Con lo que obtenemos:

147

36104

2234

-y -

yx

yx

Y la sumamos la primera obteniéndose:

2

7

14

y

y

Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:

22234 x

Y finalmente hallar el valor de :x



4

4

16

164

6224

2264

x

x

x

x

x

Hallamos la respuesta ,4x ,2y obviamente igual que en el caso anterior. Y no

verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.

EJERCICIO: Realice este mismo ejemplo pero eliminando .y

Geométricamente ocurre que:

4) RESOLUCIÓN GRÁFICA:

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema El proceso

de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en

los siguientes pasos:

Se despeja la incógnita ( y ) en ambas ecuaciones.

Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la

tabla de valores correspondientes.

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

En este último paso hay tres posibilidades:



a) Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos

valores de las incógnitas ., yx "Sistema compatible determinado".

b) Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las

respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.

"Sistema compatible indeterminado".

c) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. "Sistema

incompatible".

EJEMPLO: Entre Adriana y Carlos tienen 600 Bs, pero Carlos tiene el doble de Bs

que Adriana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

SOLUCIÓN: Llamemos " x " al número de Bs de Adriana y " y " al de Carlos.

Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos

tienen 600 lempiras, esto nos proporciona la ecuación .600 yx Si Carlos tiene el

doble de lempiras que Adriana, tendremos que .2xy Ambas ecuaciones juntas forman

el siguiente sistema:

02

600

yx

yx

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas

ecuaciones y tendremos:

xy

xy

2

600

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

x 200 600

600 xy 400 0

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en

los ejes “X” y "Y", podemos ya representar gráficamente:

x 100 200

xy 2 200 400



DESCRIPCIÓN DE LA GRAFICA: Si observamos la gráfica, vemos claramente

que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es

200x e .400y

La respuesta del problema planteado es que: 200x (Adriana) 400y (Carlos) .

EJERCICIO PROPUESTO: Resuelve por los cuatro métodos anteriores:

4084

44

1

2

3

yx

yx

5) MÉTODO DE GAUSS:

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada

ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en

caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las

incógnitas.

2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación.

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término

en .x

4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en .y

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.



6. Encontrar las soluciones.

EJEMPLO:

1

2435

123

zyx

zyx

zyx

1. Ponemos como primera ecuación la que tenga como coeficiente de :x 1 ó -1, en

caso de que no fuera posible lo haremos con y o ,z cambiando el orden de las

incógnitas.

2435

123

1

zyx

zyx

zyx

2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª

ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

122 3E - E = E'

24

3333

123

zy

zyx

zyx

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en .x

133 5E-E = E'

392

5555

2435

zy

zyx

zyx

Quedándonos:

392

24

1

zy

zy

zyx



4. Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el

término en .y

233 2E'- E' = 'E'

1

482

392

z

zy

zy

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

1

24

1

z

zy

zyx

6. Encontrar las soluciones.

En la 3ª ecuación tenemos que: 1z

Sustituyendo este valor en la 2ª ecuación:

6

6

42

24214

y

y

y

=- -y = - ·- y +

Y ahora, sustituyendo estos valores en la 1ª ecuación:

4

51

15116

x = -

-x

x = -x +

La solución viene dada por: ,1z 6y e .4x

OBSERVACIÓN: Comúnmente el método es llamado Gauss Simple.

6) RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE:



REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema

lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel

Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes

courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en

su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla

de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del

sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su

aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:

computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en

aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es

necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices

pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

O tomemos en cuenta que sea una matriz .nnijaA

Si ,1n definimos .det 11aA Si ,2n definimos .det1det1

11

1

n

j

jj

jAaA

Es decir, sabemos que un determinante se representa como: dc

ba se calcula de la

siguiente manera: cbda

Sea el sistema:

222

111

cbxa

cbxa

El valor de x e y están dados por:

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x e

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y



Resolvamos el sistema:

1852

2234

yx

yx

Luego, de acuerdo con lo anterior tenemos que:

414

56

620

54110

52

34

518

322

22

11

22

11

ba

ba

bc

bc

x

214

28

620

4472

52

34

182

224

22

11

22

11

ba

ba

ca

ca

y

El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}

Y de manera general de la forma .det1det1

n

j

ijij

jiAaA

Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

lizhygx

kfzeydx

jczbyax

Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:

,

ihg

fed

cba

ihl

fek

cbj

x

ihg

fed

cba

ilg

fkd

cja

y e

ihg

fed

cba

lhg

ked

jba

z



EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales:

42

22

123

zyx

zx

zyx

Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:

,

211

102

123

214

102

121

x

211

102

123

241

122

113

y

e

211

102

123

411

202

123

z

EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelve los siguientes sistemas usando los métodos de igualación, sustitución,

reducción y grafico:

a)

1034

8

yx

yx b)

1642

643

yx

yx

c)

35

41

5

4

7

310

19

4

3

5

2

yx

yx

d) La suma de las edades de 2 niños es 8 años, el triple de uno más el doble del

otro es 23 años” Hacer el sistema y encontrar las edades de los niños.

1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :

a)

9432

164

135

zyx

zyx

zyx

b)

1334

423

622

zyx

zyx

zyx

c)

775,05,375,0

65,05,15,3

35,15,05,2

zyx

zyx

zyx

d) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6

kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,



sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón

cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

e) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste

americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30%

del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror

al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

f) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se

dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de

los radios de las circunferencias.

ANEXO I: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello

seguiremos los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer

grado.

2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así

los valores correspondientes de la otra incógnita.

EJEMPLO: Resuelve el sistema

7

2522

yx

yx

SOLUCIÓN:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer

grado: xy 7

2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación: 25722 xx

3. Se resuelve la ecuación resultante.

251449 22 = x + x - + x o equivalentemente 0127 2 = x + - x

Luego, usando la resolvente de la ecuación de segundo grado:



a

cabbx

2

42

Tomando ,12,7,1 cba tenemos que:

2

17

2

17

2

48497

12

1214772

x

De aquí obtenemos: 42

8

2

171

x y 3

2

6

2

172

x

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así

los valores correspondientes de la otra incógnita.

4373 y = - = y x =

3474 y = - y = x =

EJERCICIOS: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no

lineales:

a)

12

8

yx

yx b)

17

16922

yx

yx c)

5

122

yx

xyy

d)

111

1311

22

yx

yx

e) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son

esos números?

f) Halla una fracción equivalente a 7

5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen

1184

g) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados 17. ¿Cuáles son

esos números?

ANEXO II: APLICACIONES EN FÍSICA: LEYES DE KIRCHOFF

LEY DE LOS NUDOS: La suma algebraica de las intensidades que concurren en un

nudo de una red es igual a 0.

.021 ni IIII

Adoptaremos el siguiente criterio de signos:

- Intensidades entrantes al nudo: Signo +



- Intensidades salientes del nudo: Signo –

OBSERVACIÓN: La ley se basa en el principio de la conservación de la

carga donde la carga en coulombs es el producto de la corriente en amperios y el tiempo en

segundos. Por ejemplo: Dado el siguiente nudo de una red, halla la intensidad que circula

por el cable .4I

LEY DE LAS MALLAS: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de

una malla es igual a la suma algebraica de las fuerzas electromotrices y

contraelectromotrices que en ella se encuentran.

iii RI .

EJERCICIO: Considere el circuito de la figura:

Verifique que aplicando la ley de Kirchhoff que para la malla de la izquierda

obtenemos que 9 i1 – 3i2 = 42 y para la malla derecha -3 i1 + 7 i2 = 10.Y concluya

que la solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A

EJERCICIO: Encontrar i1 e i2 en el circuito:

2A

3A

1A I4



ANEXO III: APLICACIÓN EN QUÍMICA (BALANCEO)

BALANCEO DE UNA ECUACIÓN QUÍMICA

Balancear una ecuación significa que debe de existir una equivalencia entre el

número de los reactivos y el número de los productos en una ecuación. Lo cual, existen

distintos métodos, como los que veremos a continuación: Para que un balanceo sea

correcto: “La suma de la masa de las sustancias reaccionantes debe ser igual a la suma de

las Masas de los productos”. Esta es la Ley de la conservación de las masas.

EJEMPLO: Balancear OHCaSOOHCaSOH 24242 consiste en hallar

los valores de uzyx ,,, tal que: OuHzCaSOOHyCaSOxH 24242 . Quede

balanceada analíticamente y no por simple tanteo.

SOLUCIÓN: Se trata de balancear la ecuación por métodos matemáticos, luego por

la ley de conservación de la masa, tenemos que:

Para el hidrógeno: uyx 222

Para el azufre: zx

Para el oxígeno: uzyx 424

Para el calcio: zy

Lo que nos plantea el siguiente sistema homogéneo:

0

0424

0

0 :mejor o 0222

zy

uzyx

zx

uyxuyx



Hallando el determinante en la segunda columna de la matriz de los coeficientes,

teniendo en cuenta que allí es donde hay mayor cantidad de ceros (0) que pueden hacernos

reducir las cuentas, tenemos que de acuerdo con su determinante es 0. Así, tenemos que el

sistema tiene solución no trivial de acuerdo con el LEMA. Ahora, calculemos por Gauss

según el sistema de ecuaciones:

3

2

1

E 000

E 000

E 00

wzyx

wzyx

wzyx

Luego nos queda: OtHtCaSOOHtCaSOtH 24242 2 . Haciendo

,1t queda: OHCaSOOHCaSOH 24242 2

EJERCICIOS:

1. Balancee: NOOHONH 223 usando sistemas de ecuaciones.

2. Balancee usando sistemas de ecuaciones:

OHSSOCrSOKSOHSHOCrK 234242422722

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial Limusa, S.

A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería).

Autores Editores.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y

la programación lineal. Colección de Universitaria. (1).

https://www.createspace.com/5230822

Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc.

Sexta Edición. México D. F

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

https://www.createspace.com/5230822

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