REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO «SANTIAGO MARIÑO»

SEDE BARCELONAINGENERIA SISTEMAS

MATEMATICA III

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables

Bachiller :Davinson García C.I: 19.184.885

Profesor :Pedro Beltrán

Definición• Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en ,

excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,si para cada existe un tal que siempre que Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto en el disco de radio , el valor de esta entre y .

• Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones de acercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a  desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.

• La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y . No habla a la dirección de aproximación. Por eso, si el límite existe, entonces  debe aproximarse a mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales  tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.

• Si  conforme  a lo largo de una trayectoria  y  conforme  a lo largo de una trayectoria  ,donde , entonces el límite no existe.

Limites de una funcion de una variable

funciones de una variable,𝑓: → ℝ ℝLo que sigue ahora, es el estudio de las funciones de dos variables.𝑓: 2 → ℝ ℝEstas funciones se representan a menudo mediante el símbolo z = f(x,y).Una función de dos variables tiene como dominio parejas de números (asíque se le asignará un número nuevo a cada una de estas parejas). Engeneral, el dominio de una función con n variables (n ≥ 1) está formado porpuntos con n coordenadas, y la función asocia a cada punto un número realdeterminado.

Calcular

Solución:Es indeterminado:

. Podemos convertirlo al tipo fracción racional para deshacer la indeterminación:

. que sigue siendo indeterminado. Dividimos numerador y denominador por elevado al mayor exponente de ambos:

Ejemplos Limites de una funcion de una variable

• La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un• conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos• una función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de• puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y).

Curvas y superficies de nivel

Ejemplos curvas de nivel

Grafica :

• CONTINUIDAD

• La definición de continuidad es enteramente análoga al caso de funciones de una variable real.Diremos que una función f es continua en un punto x0

cuando x0 Dom f, existe el límite de ∈ f en x0 (y es finito), y el valor de dicho límite y el de f(x0) coinciden.

El estudio de la continuidad de una función en un punto se reduce fundamentalmente al estudio de la existencia y, en su caso, el valor del límite de la función en el punto. .

Intuitivamente, la definición de continuidad significa que la función no tiene saltos repentinos. Cuando tratamos con subconjuntos de R, solo contamos con dos direcciones mediante las cuales un punto puede ser aproximado: desde la izquierda o desde la derecha. Sin embargo, cuando hay más variables la situación cambia, ya que tenemos muchas trayectorias posibles de aproximación.

Ejemplo:Consideramos la función:

Estudiar la continuidad de las funciones:

Ejemplo de continuidad

x y 2 x 2 ysi (x, y) (0,0)

; g(x,y)=

si (x, y) (0,0)

si (x,y) (0,0)f(x,y)= x 2 y 4

x 2 y4

0 0 si (x,y) (0,0)

x y 2si (x, y) (0,0)

;

si (x, y) (0,0)

a) f(x,y)= x 2 y 40

Límites reiterados en (0, 0):

lim lim f ( x, y) lim(0) 0x0 y 0 x0

limlim f ( x, y) lim(0) 0y 0 x0

Límites radiales en (0, 0):y 0

m2 x3

m2 x 0lim f ( x, y) lim lim 0

x 0 x2 m4 x4 x 0 1 m4 x2 1( x , y )0,0y mx

Límite a lo largo de la parábola x=ay2:

ay 2 y 2 a alim lim , que depende del valor de a.4 4 2 2y0 ay y y0 a 1 a 1

Luego no existe el límite lim f (x, y) y, por tanto, .(x , y )0,0

Si (x, y) ≠ (0, 0), f es continua en (x, y) por ser compuesta de funciones continuas.

f no es continua en (0, 0)

x 2 ysi (x,y) (0,0)

x 2 y4

0

b) g(x,y)=

si (x,y) (0,0)Límites reiterados en (0, 0):

lim lim g(x, y) lim(0) 0x 0x 0 y0

lim lim g(x, y) lim(0) 0y0 x 0 y0

Límites radiales en (0, 0):mx3 mx 0

lim g ( x, y) lim

lim 0x0 x2 m4 x4 x0 1 m4 x2 1( x , y )0

y mx

Luego de existir el límite, valdría 0. Pasando a polares, se obtiene:

lím g r cos , rsen lím r cos rsen

02

r 0 r cos 2 + rsen 4r 0

¿Depende de α?2

lim r sencos lim gr hr, , siendo gr r una función que

tiende a

No, ya quer 0 cos 2 r 2 sen 4 r 0

2

hr, sencos cero cuando r tiende a cero y una función acotada. En efecto:

cos 2 r 2 sen 4

•

Bibliografía

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Limites_y_continuidad_de_funciones_de_dos_variables.

http://html.rincondelvago.com/funciones-de-varias-variables.html

http://tallermatematic.eu/wp/?cat=17

https://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%204.pdf

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node7.html