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UNIDAD POLITÉCNICA DE INTEGRACIÓN SOCIAL

CURSO DE INGRESO A NIVEL SUPERIOR

MATERIA: MATEMÁTICAS PROFESORES: JLML/AGM

SESION # 9

“Funciones y Limites”

FUNCIÓNFunción: Una función 𝑓 𝑥 , es una relación entre dos conjuntos uno de ellos llamado Dominio 𝐷𝑥 y otro

llamado Imagen o Rango 𝑅𝑓 𝑥 el cual corresponde al conjunto de valores que puede tomar la función 𝑓 𝑥 ;

de tal forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único valor de la imagen o recorrido. El

conjunto de puntos 𝑃 𝑥, 𝑓 𝑥 del plano se llama gráfica de la función

𝒙𝟏

𝒙𝟐

𝒙𝟑

⋮

𝒙𝒏

𝒇 𝒙𝟏

𝒇 𝒙𝟐

𝒇 𝒙𝟑

⋮

𝒇 𝒙𝒏

𝒇 𝒙

Dominio Imagen

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Funciones

Algebraicas

Polinómicas:

Racionales:

Trascendentes

Exponenciales:

Logarítmicas:

Trigonométricas:

𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟎

𝒇 𝒙 =𝒂𝒏𝒙

𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 +⋯+ 𝒂𝟎

𝒃𝒎𝒙𝒎 + 𝒃𝒎−𝟏𝒙

𝒎−𝟏 +⋯+ 𝒃𝟎

𝒇 𝒙 = 𝒌𝒂𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒄𝒔𝒄 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Traslaciones en el eje x”

Trasladar la función “a” lugares a la derecha𝒇 𝒙 − 𝒂 :

𝒇 𝒙 + 𝒂 : Trasladar la función “a” lugares a la izquierda𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐

𝒇 𝒙 − 𝟐 = 𝒙 − 𝟐 𝟐

𝒇 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟐 𝟐

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Traslaciones en el eje y”

𝒇 𝒙 + 𝒂:

𝒇 𝒙 − 𝒂:

Trasladar la función “a” lugares hacia arriba

Trasladar la función “a” lugares hacia abajo

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟑

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 − 𝟑

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES“Simetrías”

𝒇 −𝒙 = 𝒇 𝒙Una función es simétrica respecto del eje "y“,

entonces es una función PAR:

𝒇 −𝒙 = −𝒇 𝒙Una función es simétrica respecto al origen,

entonces es una función IMPAR:

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟖

𝒇 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟖𝒙𝟑

OPERACIONES CON FUNCIONESSean 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 dos funciones de variable real, las operaciones que se pueden realizar son:

Suma Resta Producto Cociente Composición

𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 × 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 ÷ 𝒈 𝒙 (𝒇 ∘ 𝒈) 𝒙

Ejemplo:

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3𝑔 𝑥 = 𝑥 + 6

La suma de funciones

2𝑥 − 3 + (𝑥 + 6)

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 3

Ejemplo:

𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 5𝑥𝑔 𝑥 = 5𝑥2 − 6𝑥

La resta de funciones

3𝑥2 + 5𝑥 − 5𝑥2 − 6𝑥

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = −2𝑥2 + 11𝑥

Ejemplo:

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥𝑔 𝑥 = 8𝑥

El producto de funciones

𝑥2 + 2𝑥 × 8𝑥

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 = 8𝑥3 + 16𝑥

Ejemplo:

𝑓 𝑥 = −3𝑥2 + 7𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 5

El cociente de funciones

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=−3𝑥2 + 7

2𝑥 + 5

Ejemplo:

𝑓 𝑥 =1

𝑥 + 2𝑔 𝑥 = 3𝑥2 + 𝑥

La composición de

funciones

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =1

3𝑥2 + 𝑥 + 2

INTERVALOS FINITOS

ABIERTOS Y CERRADOS

Intervalo: Es un subconjunto de la recta real y contiene a todos los números reales que están

comprendidos entre sus elementos extremos,

Intervalo cerrado: Es un subconjunto de la recta real que contiene a los elementos extremos se

representa por:

𝒙 ∈ 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝒂, 𝒃Intervalo abierto: Es un subconjunto de la recta real que no contiene a los elementos extremos se

representa por:

𝒙 ∈ 𝒂 < 𝒙 < 𝒃 = 𝒂, 𝒃Intervalo semiabierto: Es un subconjunto de la recta real que contiene a uno de los elementos extremos

se representa por:

𝒙 ∈ 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 = 𝒂, 𝒃

𝒙 ∈ 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 = [𝒂, 𝒃)

a

a

a

a

b

b

b

b

FUNCIONES POLINOMIALES

Funciones

Polinómicas

Primer grado: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃

Segundo grado: 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Grado Par: Grado Impar:

𝐷𝑥 𝑥|𝑥 ∈ ℝ

𝑅𝑦 𝑦|𝑦 ∈ ℝ

Dominio:

Rango:

FUNCIONES RACIONALESUna función racional puede escribirse como el cociente de dos

polinomios de la forma:

𝑓 𝑥 =𝑃 𝑥

𝑄 𝑥

Singularidades: Ocurren cuando el denominador de una función

racional puede ser cero, por lo que la función

no esta definida para esos valores de x.

Continuidad: Las funciones racionales son continuas en segmentos

o intervalos.

Asíntotas: Son rectas a las cuales la función se va aproximando

indefinidamenteAsíntotas

EJERCICIOS GUÍA IPN 2020:

“CALCULO DIFERENCIAL” PAGINAS 64-70

22.- Determinar el conjunto en el cual la función siguiente es continua: 𝑓 𝑥 =𝑥2+2𝑥−1

𝑥−1 𝑥+1

Solución:

Se examina el denominador, donde se observan dos raíces:

𝑄 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1

Las raíces del denominador son los puntos singulares:

𝑥1 = 1

𝑥2 = −1

La función es continua excepto en los puntos singulares por lo que el conjunto

donde es continua:

−∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,∞

DESIGUALDADESPropiedades de las desigualdades:

a) Transitiva:

Si 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐 entonces 𝑎 ≤ 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 y 𝑏 ≥ 𝑐 entonces 𝑎 ≥ 𝑐

b) Antisimétrica: Si 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑎 entonces 𝑎 = 𝑏

c) Simétrica: Si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑏 ≠ 𝑎

d) Suma y Resta:

Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 − 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 ≥ 𝑏 + 𝑐Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces 𝑎 − 𝑐 ≥ 𝑏 − 𝑐

ba c

Mayores

(+positivos)

a=b

Ejemplo: si 𝑐 = 35 > 4

5 + 3 > 4 + 38 > 7

Ejemplo: si 𝑐 = 1015 < 20

15 − 10 < 20 − 105 < 10

DESIGUALDADESe) Producto:

Si 𝑐 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

Si 𝑐 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜Si 𝑎 > 𝑏 entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

f) Opuesto:

Si 𝑎 < 𝑏 entonces −𝑎 > 𝑏Si 𝑎 > 𝑏 entonces −𝑎 < −𝑏

g) Reciproco:

Si 𝑎 < 𝑏 entonces 1

𝑎>

1

𝑏

Si 𝑎 > 𝑏 entonces 1

𝑎<

1

𝑏

Ejemplo: si 𝑐 = 35 > 4

5 × 3 > 4 × 315 > 12

Ejemplo: si 𝑐 = −27 < 9

7 × −2 > 9 × (−2)−14 > −18

Ejemplo: si

3 > 21

3<1

2

Ejemplo: si

5 < 7−5 > −7

-7 -5-18 -14 Mayores

(+positivos)

Mayores

(+positivos)

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto: Es su valor numérico sin tener en cuenta su signo sea este positivo o negativo.

𝒙 = ൜𝒙

−𝒙

h) Valor absoluto:

• Si 𝑎 ≤ 𝑏 entonces −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏

• Si 𝑎 ≥ 𝑏 entonces a ≤ −𝑏 y 𝑎 ≥ 𝑏

a

b-b

-b b

𝑎, 𝑏

−∞,−𝑏 ∪ [𝑏,∞)



2.- Resolver la siguiente desigualdad: 3−5𝑥

𝑥+1> 4

Solución: se trata de una desigualdad con una solución en un intervalo abierto, el procedimiento mas sencillo es cancelar el

denominador para obtener una ecuación de 2do grado que cumpla con la desigualdad por lo que multiplicamos en ambos

lados de la desigualdad por el valor del denominador al cuadrado: 𝑥 + 1 2

𝑥 + 1 23 − 5𝑥

𝑥 + 1> 4 𝑥 + 1 2

𝑥 + 1 3 − 5𝑥 > 4 𝑥 + 1 2

Despejando:

𝑥 + 1 3 − 5𝑥 − 4 𝑥 + 1 2 > 0

Desarrollando:

−5𝑥2 − 2𝑥 + 3 − 4𝑥2 − 8𝑥 − 4 > 0

−9𝑥2 − 10𝑥 − 1 > 0

Simplificando:

−9𝑥2 − 10𝑥 − 1; esta expresión nos representa una parábola, con eje focal paralelo al eje

“y” que abre hacia abajo. Por lo que calculamos sus raíces para saber donde cruza el eje

“x”, es decir donde es igual a cero.

𝑥1,2 =− −10 ± −10 2 − 4 −9 −1

2 −9

𝑥1,2 =10 ± 100 − 36

−18=10 ± 8

−18

𝑥1 = −1

𝑥2 = −1

9

𝑥 > 0

𝑥 < 0

𝑥 ∈ −1,−1

9



4.- Resolver la siguiente desigualdad: 8 − 11𝑥 < 5

Solución: Es una desigualdad en valor absoluto en un entorno abierto, por lo que tendremos que resolver la

desigualdad en la forma:

−5 < 8 − 11𝑥 < 5

Aplicamos propiedades restamos 8

en toda la desigualdad:

−5 − 8 < 8 − 8 − 11𝑥 < 5 − 8

−13 < −11𝑥 < −3

Dividimos entre −11 por lo que el

sentido de la desigualdad cambia

−13

−11> 𝑥 >

−3

−11

13

11> 𝑥 >

3

11

Se obtiene:

Representando en una grafica el intervalo abierto:

x13

11

3

11

Lo cual se lee “x” es mayor a 3

11y menor a

13

11

Lo cual se representa como el intervalo abierto:

𝑥 ∈3

11,13

11



5.- El intervalo_________ es la solución de la desigualdad: 3

4𝑥 −

2

5<

6

7

Solución: Es una desigualdad en valor absoluto en un entorno abierto, por lo que tendremos que resolver la desigualdad

en la forma:

−6

7<3

4𝑥 −

2

5<6

7

Aplicamos propiedades sumamos 2

5

en toda la desigualdad:

−6

7+2

5<3

4𝑥 −

2

5+2

5<6

7+2

5

−16

35<3

4𝑥 <

44

35

Multiplicando por 4

3toda la expresión:

−16

35

4

3< 𝑥 <

44

35

4

3

−64

105< 𝑥 <

176

105

Se obtiene:

Lo cual se lee “x” es mayor a −64

105y

menor a 176

105

Representando en una grafica el intervalo

abierto:

x

176

105−

64

105

Lo cual se representa como el intervalo abierto:

𝑥 ∈ −64

105,176

105



6.- Resolver la siguiente desigualdad: 9

4𝑥 −

3

2<

1

8𝑥 − 3

Solución:9

4𝑥 −

3

2<1

8𝑥 − 3

9

4𝑥 −

1

8𝑥 < −3 +

3

2

18 − 1

8𝑥 < −

6

2+3

217

8𝑥 < −

3

2

Despejando:

17

8𝑥 < −

3

2

𝑥 > −3

2

8

17= −

24

34

𝑥 > −12

17

Aplicando propiedad del

inverso:

x−12

17

7.- Resolver la siguiente desigualdad:

𝑥 + 3 < 2𝑥 − 5Solución:

𝑥 + 3 < 2𝑥 − 5

3 + 5 < 2𝑥 − 𝑥

8 < 𝑥

Se puede reescribir:

𝑥 > 8

x8

LÍMITESLímite: Decimos que el número es el limite "𝐿“ de 𝑓(𝑥) cuando "𝑥" tiende al valor "𝑎" siempre que

podamos hacer que el número 𝑓(𝑥) se acerque a "𝐿“ tanto como queramos, escogiendo simplemente un

valor de "𝑥“ suficientemente cerca, aunque no igual al número "𝑎“.

L

a

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝐿

LÍMITES AL INFINITOLimite al infinito: De manera intuitiva, es el valor "𝐿“ al que se aproxima la función a medida que la variable "𝑥" se hace

"más y más grande". Pueden existir los siguientes casos

1) lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝐿

2) lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = +∞

3) lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = −∞

4) lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = ∄

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝐿



8.- Calcular el límite: lim𝑥→

13

𝑥2

𝑥4

Solución:

lim𝑥→

13

𝑥2

𝑥4= lim

𝑥→13

1

𝑥2

Sustituyendo: 𝑥 →1

3

lim𝑥→

13

1

13

2 = lim𝑥→

13

1

19

= lim𝑥→

13

9 =9

lim𝑥→

13

1

𝑥2=9

9.- Calcular el límite: lim𝑥→∞

4𝑥 + 2

2𝑥 − 7Solución:

lim𝑥→∞

4𝑥 + 2

2𝑥 − 7= lim

𝑥→∞

4𝑥𝑥+2𝑥

2𝑥𝑥−7𝑥

lim𝑥→∞

4

2= 2

lim𝑥→∞

4𝑥 + 2

2𝑥 − 7= 2

0

0

10.- El número real___es el resultado del

límite

lim𝑥→∞

3𝑒𝑥 + 2

2𝑒𝑥 + 5Solución:

lim𝑥→∞

3𝑒𝑥 + 2

2𝑒𝑥 + 5= lim

𝑥→∞

3𝑒𝑥

𝑒𝑥+

2𝑒𝑥

2𝑒𝑥

𝑒𝑥+

5𝑒𝑥

0

0

lim𝑥→∞

3

2=3

2

lim𝑥→∞

3𝑒𝑥 + 2

2𝑒𝑥 + 5=3

2



11.- Determinar: lim𝑥→2

𝑓 𝑥 para la función

f definida por:

𝑓 𝑥 = ቊ−𝑥, 𝑥 ≥ 2𝑥, 𝑥 < 2

𝑥

−𝑥

Solución: Se observa gráficamente que no

existe el límite, dado que no es continua la

gráfica en x=2

13.- Encontrar el siguiente límite:

lim𝑛→∞

3𝑛2 + 2𝑛 − 5

7𝑛2 − 𝑛 + 3

Solución:

lim𝑛→∞

3𝑛2 + 2𝑛 − 5

7𝑛2 − 𝑛 + 3

lim𝑛→∞

3𝑛2

𝑛2+2𝑛𝑛2

−5𝑛2

7𝑛2

𝑛2−

𝑛𝑛2

+3𝑛2

0 0

0 0

lim𝑛→∞

3

7=3

7

12.- Determinar el siguiente límite:

lim𝑥→∞

−12 + 𝑥 + 𝑥2

3𝑥2 + 1

Solución:

lim𝑥→∞

−12 + 𝑥 + 𝑥2

3𝑥2 + 1

lim𝑥→∞

−12𝑥2

+𝑥𝑥2

+𝑥2

𝑥2

3𝑥2

𝑥2+

1𝑥2

0 0

0

lim𝑥→∞

1

3=1

3



14.- Determinar el siguiente límite:

lim𝑥→0

𝑥

𝑥Solución:

Solución: Se observa gráficamente que

no existe el límite, dado que no es

continua la gráfica en cero

15.- Calcular el siguiente límite:

Solución: lim𝑥→−1

4 − 7 − 9𝑥

3𝑥 + 3

lim𝑥→−1

4 − 7 − 9𝑥

3𝑥 + 3= lim

𝑥→−1

4 − 7 − 9𝑥

3𝑥 + 3

4 + 7 − 9𝑥

4 + 7 − 9𝑥

Se multiplica por el conjugado del numerador:

lim𝑥→−1

16 − (7 − 9𝑥)

3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥= lim

𝑥→−1

9 + 9𝑥

3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥

lim𝑥→−1

3 (3𝑥 + 3)

3𝑥 + 3 4 + 7 − 9𝑥= lim

𝑥→−1

3

4 + 7 − 9𝑥

lim𝑥→−1

3

4 + 7 − 9 −1= lim

𝑥→−1

3

4 + 16= lim

𝑥→−1

3

8 lim𝑥→−1

3

8=3

8




lim𝑥→∞

𝑥 − 1 3

𝑥2 + 1 𝑥2 − 2Solución:

lim𝑥→∞

𝑥 − 1 3

𝑥2 + 1 𝑥2 − 2= lim

𝑥→∞

𝑥 − 1 3

𝑥4

𝑥2 + 1 𝑥2 − 2𝑥4

lim𝑥→∞

𝑥 − 1 3

𝑥4

𝑥2 + 1 𝑥2 − 2𝑥4

= lim𝑥→∞

0

1= lim

𝑥→∞0 = 0

lim𝑥→∞

0 = 0

0

1


Solución:

lim𝑥→∞

𝑥 − 𝑥2 − 6𝑥

lim𝑥→∞

𝑥 − 𝑥2 − 6𝑥 = lim𝑥→∞

𝑥

𝑥−

𝑥2 − 6𝑥

𝑥= 1

01

lim𝑥→∞

1 = 1

19.- Calcular el siguiente límite: lim𝑥→∞

𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥

3𝑒2𝑥 − 4𝑒𝑥Solución:

𝑒2𝑥 = 𝑒𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥+𝑥Aplicando:

lim𝑥→∞

𝑒2𝑥 + 2𝑒𝑥

3𝑒2𝑥 − 4𝑒𝑥= lim

𝑥→∞

𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 2

𝑒𝑥 3𝑒𝑥 − 4

lim𝑥→∞

𝑒𝑥 + 2

3𝑒𝑥 − 4= lim

𝑥→∞

𝑒𝑥

𝑒𝑥 +2𝑒𝑥

3𝑒𝑥

𝑒𝑥 −4𝑒𝑥

0

0

1

3 lim𝑥→∞

1

3=1

3



18.- Calcular el siguiente límite: limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥

ℎPara: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥

Solución:

𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ 2 − 𝑥 + ℎ = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 − ℎ

limℎ→0

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥

ℎ= lim

ℎ→0

𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 𝑥 − ℎ − 𝑥2 − 𝑥

ℎ

limℎ→0

2𝑥ℎ + ℎ2 − ℎ

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ 2𝑥 + ℎ − 1

ℎ

limℎ→0

2𝑥 + ℎ − 1 = 2𝑥 − 1


lim𝑥→∞

3𝑥 − 2 𝑥2 + 5

2𝑥 + 1 2

Solución:

lim𝑥→∞

3𝑥 − 2 𝑥2 + 5

2𝑥 + 1 2 = lim𝑥→∞

3𝑥 − 2 𝑥2 + 5𝑥3

2𝑥 + 1 2

𝑥3

3

0

lim𝑥→∞

3

0= ∞




lim𝑥→∞

𝑐𝑜𝑠21𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠

1𝑥 + 2

𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1

Solución: Podemos factorizar el numerador como:

lim𝑥→∞

𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠

1𝑥 − 2

𝑐𝑜𝑠1𝑥 − 1

lim𝑥→∞

𝑐𝑜𝑠1

𝑥− 2 = lim

𝑥→∞𝑐𝑜𝑠 0 − 2

0

Sustituyendo:

lim𝑥→∞

𝑐𝑜𝑠 0 − 2 = lim𝑥→∞

1 − 2 = −11

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