Funciones

Constantes Numéricas o Absolutas

Una constante es una expresión que tiene un valor fijoUna constante numérica se escribe como un número real. Estos son ejemplos de constantes numéricas:

27 123,76 0,0076 Los números negativos son especificados con el signo (-). Por ejemplo:

-27 -123,76 -0,0076

Una constante absoluta es aquella que en todos los problemas tienen siempre el mismo valor

Existen muchas más constantes "absolutas"

Por ejemplo: El número pi o sea la relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia en geometría euclidiana en R2; el número e (la constante neperiana).

Constantes Arbitrarias

Una constante Arbitraria, es aquella a la que se le pueden dar diferentes valores, siempre y cuando no altere a la ecuación diferencial.

Concepto de Variable

Una variable es la expresión simbólica representativa de un elemento no especificado comprendido en un conjunto. Este conjunto constituido por todos los elementos o variables, que pueden sustituirse unas a otras es el universo de variables. Se llaman así porque varían, y esa variación es observable y medible.

Por ejemplo: x es una variable del universo {2, 4, 6, 8}. Por lo tanto, x puede tener cualquiera de dichos valores, es decir que puede ser reemplazada por cualquier número par menor a 9.

Intervalo de una variable

Los intervalos son los subconjuntos conexos de R. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la propiedad siguiente:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I. (P) Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semi abiertos, abiertos y cerrados) o según su características métricas (su longitud: nula, finita no nula, o infinita).

Se usan habitualmente dos notaciones: [a; b) o [a; b[ para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b. La primera es la vigente en el mundo anglosajón, la segunda en Francia y en la francofonía. La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

También existe una regla mnemotécnica para el uso del paréntesis: si se dibuja sobre la recta real dos intervalos adyacentes, como (0; 1) y (1; 2) (es decir, se pinta la recta real y se coloca cuatro paréntesis donde corresponda), entre los dos intervalos cabe un signo 1 (o lo que corresponda según los intervalos) cabe, apretado pero cabe. Mientras que si los dos intervalos son (0, 1] y [1, 2), o (0, 1] y (1, 2) el número no cabe, o cabe muy estrangulado. O sea, que si los dos intervalos son abiertos, el número 1 no pertenece a ninguno, y por tanto hay espacio para meterlo en medio.

Aquí están todos los casos posibles, con a ≤ b, y x perteneciente al intervalo, y l su longitud:

1.[a, b] intervalo cerrado de longitud finita l = b - a. a ≤ x ≤ b.

2.[a, b[ o [a, b) intervalo cerrado en a, abierto en b (semi-cerrado, semi-abierto), de

longitud finita l = b - a. a ≤ x < b.

3.]a, b] o (a, b] intervalo abierto en a, cerrado en b, de longitud finita l = b - a. a < x ≤ b.

4.]a, b[ o (a, b) intervalo abierto, de longitud finita l = b - a. a < x < b.

5.] - ∞, b[ o ( - ∞, b) intervalo abierto de longitud infinita. x < b. ] - ∞, b] o ( - ∞, b] intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. x ≤ b.

6.[a, +∞ [ intervalo (semi)cerrado de longitud infinita. a ≤ x.

7.] a, + ∞ [ o (a, + ∞ ) intervalo abierto de longitud infinita. a < x.

8.] - ∞, + ∞ [ o ( - ∞, + ∞ ) o R, intervalo a la vez abierto y cerrado, de longitud infinita. x pertenece a R.

9.{a} intervalo cerrado de longitud nula. Es un conjunto unitario. (corresponde al caso a = b). x = a

10.{} = el conjunto vacío, intervalo a la vez abierto y cerrado. x no existe.∅

Amplitud de un Intervalo

Dentro de los conceptos fundamentales de la estadística y la representación gráfica de variables que son continuas, existe una conveniencia por agrupar los valores de una variable en intervalos que por lo general serán del mismo tamaño; elección que se hace por cierto en función del número de datos de que se dispone y de la variación de los mismos.

Cada intervalo quedará entonces definido por sus límites superior e inferior...a la diferencia entre ambos extremos se le denomina "amplitud del intervalo"

Un intervalo cualquiera viene dado por dos números que forman sus límites por ejemplo, 26-30 es un intervalo donde el límite inferior es 26 y el superior es 30, entonces comprende los valores 26, 27, 28, 29, 30; la amplitud es de cinco unidades de medida. (Incluye ambos límites).

Concepto de Función

Relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento del primero un elemento del segundo o ninguno

Campo de existencia de una Función

Ejemplo: Hallar el campo de existencia de la función � f definida por

  Resolución: · La función anterior asigna a cada número x, el valor

  El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.  

aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El denominador x - 2 se anula cuando x = 2.   Por tanto, el campo de existencia de la función es R - {2}.

Definición de Función

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de y lo representamos por

Características de una Función

Una función es toda relación entre dos variables en donde a cada valor de una de ellas que se la llama variable independiente, le corresponde un único valor de la otra variable, que se llama variable dependiente. se puede simbolizar: f(x): R→R / f(x) = 3x significa que "f" es una función aplicada de reales en reales, tal que a cada valor x del conjunto de partida, le hace corresponder su triple.

Características de funciones: • Variabilidad: se produce entre dos variables.• Correspondencia: a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. • Unicidad: cada valor de la variable independiente tiene que tener una unica imagen.

Formas de definir una función: • diagrama de Venn• tabla• formula • grafico cartesiano

FUNCION LINEAL...una función es lineal cuando presenta la siguiente fórmula: f (x) = m x + b ó y = m x + b

"m" y "b" son números reales."m" se llama pendiente y representa la inclinación de la recta. "b" se llama ordenada al origen (ordenada del punto de intersección con el eje "y").

-si la pendiente es positiva, el eje "x" forma con la recta en sentido antihorario un ángulo menor que 90º y se dice que la función es creciente, ya que al aumentar la variable independiente también aumentan los valores de la variable dependiente.

-si la pendiente es negativa, el eje "x" forma con la recta en sentido antihorario un ángulo mayor que 90º y menor que 180º. la función en este caso es decreciente, ya que al aumentar lo valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente.

-si la pendiente es igual a cero (m = 0), la recta es paralela al eje de las "x", o sea que es una recta horizontal que recibe el nombre de función constante.

Cero Raíces

En matemática, se conoce como raíz (o cero) de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f (x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha

función tal que se cumpla: .

Por ejemplo, dada la función:

Planteando y resolviendo la ecuación:

Podemos afirmar que 2 y 4 son raíces ya que f(2) = 0 y f(4) = 0.

Clasificación de las Funciones

Función AfínSe puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía  (uso de la oferta y la demanda)  los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y  las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por  ejemplo,  si un consumidor desea adquirir  cualquier producto, este  depende del precio en que el artículo esté disponible.  Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda.  La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.  Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es

una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

Función CuadráticaEl estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil,  para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos  torres.Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el  hombre a través de la historia ha tratado de explicarse.  Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos  la ecuación cuadrática.  Como  ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.Eje de simetría: x = xv.

Intersección con el eje y.Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función LogarítmicaLa geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo.  La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido,  para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo),  I0 es la

intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo).  Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.Logb a = N si bN = aNotación logarítmica Notación exponencial

Función ExponencialSe aplica a la química y  física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial  y se dice que el elemento decrece o decae.En la química, el PH es laH+, donde  H+de una sustancia se define como : H = -Log concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro.  El PH del agua destilada es 7.  Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice  que es base.  Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.

Otras de la aplicación  de las funciones exponencial  fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por  Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo  y t es el tiempo en días.

El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población  en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt  era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre.  Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano).En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.

En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un

período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».

Propiedades de la función exponencial y = ax1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 12a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Funciones PolinómicasExpresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio.

Concepto de Curva

En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de línea continua, de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.

Grafica de una función

En matemáticas, la gráfica de una función f:X → Y es la visualización de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen mediante su representación iconográfica. También puede definirse como el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.

Las únicas funciones que se pueden visualizar de forma completa son las de una sola variable, representables como un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una curva.

En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes de la función para los que los valores de todas las variables excepto dos permanezcan constantes.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma pero con dominios y codominios diferentes.

Ejemplos:

La gráfica de la función

es {(1,a), (2,d), (3,c)}.

2) P(x) = x3 - 3x2 + 2x - 7

Limites

Definición de Limites

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que una sucesión o una función tiene un límite si progresivamente alcanza un número, que se llama el límite

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Teoremas de Límites

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. (al igual que su recíproca)

12. (al igual que su recíproca)

13. (al igual que su recíproca)

14. <=> f(x) acotada y g(x) infinitésimo

15.16. Asíntotas

Verticales: Puntos donde la imagen de la función tiende a infinito

Horizontales: Oblicuas: y = mx + n

Uso de los Límites

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Teoremas de Continuidad

Si las funciones f y g son continuas sobre los intervalos

respectivamente y si entonces:

es continua sobre el intervalo U

es continua sobre U

es continua sobre U (Producto de dos funciones)

es continua sobre U, excepto para tal que

 

 

definida por , donde es un polinomio real, es continua para todo número real.

)

Según el teorema son ejemplos de funciones continuas las siguientes:

Ejemplos

1.

La función definida por es continua para todo

, ya que  el polinomio en el denominador se hace cero cuando se

evalúa en , o 2.

La función definida por es continua para tal que y

  Teorema d

 Sean y dos funciones tales que

Además y g es continua en d.

Entonces

 

Ejemplo:

Sean y dos funciones tales que:

,

Como y g es continua para pues

, entonces

 

 

  Teorema e

 

Si es una función continua en y es una función continua en ,

entonces la composición de funciones es continua en .

 

Nota: La continuidad de la composición de funciones es válida para cualquier número finito de funciones, siempre y cuando se cumpla que cada función sea continua en su respectivo argumento.

Ejemplo

1.

Sean y dos funciones definidas por las siguientes ecuaciones ,

.

Note que es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La

función f es continua para

Luego la función será continua para los

valores de x tales que sea mayor o igual que cero.

Como y , entonces la función h será continua para todo valor real.

2.Consideremos las funciones definidas por  

, .

La función es continua para , y la función es continua para todo valor real por ser función polinomial.

Luego la función , dada por sea continua siempre

, es decir, siempre que .

3.

La función h definida por es continua siempre que sea mayor que cero.

Esta última condición se satisface cuando

   Teorema f

  La función seno definida por es continua sobre todo su dominio, o sea. sobre todo .

Ejemplo

La función f definida por es continua siempre que x sea diferente de cero,

pues en se tiene que no está definida.

  Teorema g

 

La función coseno denotada por es continua sobre todo su dominio .

Ejemplo

La función puede considerarse como la composición de las funciones con

ecuaciones , . Como la función f es continua para y la función g es continua para todo x en , entonces la función h es continua siempre que sea mayor o igual a cero, lo que sucede cuando:

  , , par.

Estos son algunos de los teoremas más importantes sobre funciones continuas.

Teorema de Weierstrass: Si f es continua en [a,b] entonces presenta máximos y mínimos absolutos.

Teorema de Bolzano: Si f es continua en [a,b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces

tal que f(c) = 0

Teorema del valor intermedio: Si f es continua en [a,b] y f(a) < k < f(b) entonces

tal que f(c) = k