UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES

Y CURSOS COMPLEMENTARIOS

CÁLCULO DIFERENCIAL

Wilfredo García Rodas

I UNIDAD

CONSIDERACIONES GENERALES

ORIENTACIONES GENERALES

◦ Estimado estudiante:

◦ A continuación ponemos a su disposición, lassiguientes diapositivas con la finalidad dereforzar el aprendizaje de la unidad.

◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !

CONTENIDOS DE LA I UNIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES

SEMANA N° 1

1.1 Vecindad, entorno. Punto de acumulación.

Punto aislado. Aplicaciones.

1.2 Definición de límite. Límite de una suma,

producto, cociente de funciones.

1.3 Límites laterales. Teoremas sobre límites.

1.4 Existencia y unicidad del límite. Límites

trigonométricos.

SEMANA N° 2

1.5 Límite de la función compuesta y de la función

inversa.

1.6 Límites al infinito y límites infinitos.

1.7 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.

Ejercicios y problemas

LÍMITES DE FUNCIONES

Veamos primero el comportamiento de una

función real f de variable real, con regla de

correspondencia y=f(x) , en la cercanía de

x=2.

32

2

2

lim 2

x

xx

x

LÍMITES DE FUNCIONES

2,1)( xxxf

32

2

2

lim 2

x

xx

x

Definiciones previas

0, 1.Vecindad de centro xO y radio

Definiciones previas

0, 1.Vecindad de centro xO y radio

OO xxxRxVO

x /)(

OO xxVO

x ;)(

Definiciones previas

2.Vecindad reducida de centro xO y radio

OOOO xxxxxxRxVO

x v/´ )(

OOOO xxxxVO

x ;;´ )( v

0

Definiciones previas

3.Entorno del punto xO

Definiciones previas

3.Entorno del punto xO

Ejemplo: xO = 2 tiene por entorno a 3;0I

4.Punto de acumulación: xO es punto de

acumulación del conjunto A,

A )´ oxV

V

ARA ,

si

4.Punto de acumulación: xO es punto de

acumulación del conjunto A

3;1AEjemplo: Sea xO = 1 y

¿Xo es punto de acumulación de A?

4.Punto de acumulación: xO es punto de

acumulación del conjunto A

AHallamos )´ oxV

3;1A

] 1;11, 1[3;1

1;13;11, 13;1

Ejemplo: Sea xO = 1 y

Solución:

4.Punto de acumulación: xO es punto de

acumulación del conjunto A

AHallamos )´ oxV

3;1A

] 1;11, 1[3;1

1;13;11, 13;1

,1 1;3/ mínimo

1 Ox es punto de acumulación de A.

Ejemplo: Sea xO = 1 y

DEFINICIÓN:

Sea f una función real de variable real

cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de

acumulación del dominio de f, xO puede

no pertenecer a Df, el límite de la función f

cuando x se aproxima al valor de xO (x

tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota

y define por:

LxfxxDxLf OfOxx

)(/0;0lim

GRÁFICA:

Caso extremo, se puede tomar

10

1

Oservaciones :

INDETERMINACIONES:

PROPIEDADES

PROPIEDADES

LÍMITES LATERALES

Aplicaciones:

Solución:

Solución:

LÍMITES AL INFINITO:

LÍMITES INFINITOS

El número Irracional (e)

Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por

ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).

Valor de e

Gráfica

0,ln1

lim0

aax

aL

x

x