Apuntes de limites de Funciones Reales

Instituto de Matemticas, Fsica y Estadstica

Profesor: Jorge Guzmn [Escribir texto] [Escribir texto]

LIMITES DE FUNCIONES REALES

INTRODUCCION

Usted, como alumno, es posible que ms de alguna vez se ha visto en la necesidad de conseguir la nota mnima de aprobacin, 3,95 Cierto? es decir el valor lmite mnimo necesario para aprobar el curso es dicho valor.

Tambin es de uso habitual el comentar sobre los lmites entre pases vecinos, nos podemos acercar tanto como se quiera a ellos pero no cruzarlos, al menos en la forma que est dentro de las normas establecidas entre los pases.

El concepto de lmite es crucial en el clculo diferencial, es previo a la nocin fundamental de derivada, concepto que segn la historia fue introducido en forma independiente y casi con notaciones similares por Newton y Leibniz.

Para tener una idea geomtrica de este concepto,

consideremos la funcin definida por , nos podemos preguntar qu sucede con las imgenes cuando se acerca al valor de .

En la figura se muestra su grfico. En ella podemos ver que entre ms cerca se encuentren de 3, los valores de , entonces los valores de se encuentran ms cercanos a 12.

La tabla de valores, indicada ms abajo, corrobora este hecho y garantiza lo que se percibe en el grfico. Podemos ver en la tabla que, a medida

que tomamos valores de ms prximos a 3,

tanto para valores mayores que tres como para valores menores que3, los valores de seaproximana 12. Este hecho se expresa diciendo que el lmite de es 12 cuando se acerca a 3.

Tabla

hacia3 por la izquierda ( 3)

2.5 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 3.5

8.75 11.31 11.9301 11.9930 12.007001 12.0701 12.71 15.25



El ejemplo anterior nos permite descubrir el concepto de lmites laterales, adems se verifica la igualdad siguiente, para este ejemplo:

DEFINICION 1

Para cualquier funcin real llamamos:

a) Lmite lateral izquierdo de una funcin real

Lo cual significa que nos acercamos al punto por su izquierda, es decir

b) Lmite lateral derecho de una funcin real

Lo cual significa que nos acercamos al punto por su derecha, es decir

Si ambos lmites laterales son iguales entonces se verifica:

Si los lmites laterales son distintos entonces el lmite en cuestin no

existe.

OBSERVACION 1.

La definicin formal del concepto de lmite, la damos a continuacin,

debemos recalcar la dificultad de su uso, ella involucra trabajar con

desigualdades, lo que lleva asociado el mayorar o minorar una expresin

algebraica lo cual siempre crea dificultades anexas.

DEFINICION 2.



Si recordamos operatoria con el concepto de valor absoluto, las desigualdades

anteriores son equivalentes a:

Se observa en la figura que al movernos en torno al punto a (en el eje entonces

las respectivas imgenes (en el eje se mantienen tambin en torno al valor L.

(Vlido para cada que satisface la condicin anterior).

EJEMPLO 1.

Solo como una muestra de las dificultades, mostremos, con la definicin, que:

13)14(lim3

xx

Solucin:

Se debe probar que dado 0 existe (,3) > 0 tal que:

si 0



, (,3) tal que 0



.int,)(lim

)(lim

)(

)(lim)

)(lim)(lim))()((lim)

)(lim)(lim))()((lim)

.tan,)(lim))((lim)

cerodeodistserdebeqdondeq

p

xgax

xfax

xg

xf

axiv

qpxgax

xfax

xgxfax

iii

qpxgax

xfax

xgxfax

ii

realteconsunaesCdondepCxfax

CxfCax

i

OBSERVACION5.

En la prctica, el calcular lmite de una funcin, que en principio presenta una

forma indeterminada, como por ejemplo

, en fin, consiste en

eliminar dicha forma( cuando sea posible) utilizando recursos algebraicos, como

factorizaciones, tambin cambios de variables, en otros casos lmites especiales.

EJEMPLOS VARIOS.

1243x

lim.1

xCalcular

Solucin:

.,2712351253x

lim realnmerounesdirectaevaluacinlax

xx

xx

3

122

1xlim.2

Solucin:

2

3

)1(

12

1xlim

)1)(1(

)1)(12(

1xlim

3

122

1xlim

xx

x

xxx

xx

xx

xx

11lim.3

0 x

xCalcular

x



Solucin:

Este ejemplo, es de aquellos lmites que se calculan con el mtodo de

racionalizacin, pues involucra races cuadradas. Tambin se utiliza cuando existe

presencia de tales races en el numerador.

Multiplicaremos por un factor 1 disfrazado, dado por

:

211

)11(lim

11

11

11lim

00

x

xx

x

x

x

x

xx

6

5

315

5

2lim

)315)(2(

)2(5

2lim

)315)(2(

105

2lim

)315)(2(

915

2lim

315

315

2

315

2lim

2

315

2lim

:

2

315

2lim.4

xx

xx

x

xxx

x

x

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

x

Solucin

x

x

xelCalcule

24

)4(2

312)4)(4(

4lim

312

312

312

16

4lim

312

16

4lim

:

312

16

4lim.5

22

2

x

xxx

xx

x

x

x

xx

x

x

Solucin

x

x

xelCalculemos

OBSERVACION 6.

Uno de los lmites de mayor utilidad y que simplifica el clculo de lmites

trigonomtricos, es el

.1lim0

x

senx

x

Ejemplo 1:

Mostremos que 01cos

lim0

x

x

x.



Debido a la identidad fundamental dada por es conveniente

multiplicar por un factor 1, dado por

, es decir:

x

senxcalculesimilaresideasUsandoEjercicio

ceroatiendesegundalayatienderesin

primeralapuesx

senx

x

senx

xx

xsen

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

11lim,:

.1exp

,01cos

lim)1(cos

lim)1(cos

1coslim

1cos

1cos1coslim

0

0

2

0

2

00

Ejemplo 2:

.

,,

?)()(

0lim

.7

3))()((

0lim

)(

0lim

)()(

0lim)

1

)(

1

0lim

)(

0lim

11

0lim

)()(

0lim).2

:

)()1

)()

:,)()(

0lim

22233

2

3

ldiferenciaclculo

elenutilidadenormedeesconceptodichoelladederivadafuncinlaesrealfuncinunaa

asociadolmiltedichoqueeslfundamentaraznLah

xfhxf

helcalcularquPor

NOBSERVACIO

xh

xxhxhxh

hh

xhx

hh

xfhxf

hb

xxhxhh

xhx

h

hh

xhx

hh

xfhxf

ha

Solucin

xxfbx

xfa

pordadasfuncioneslasparah

xfhxf

helCalcule

Lmites cuando la variable independiente crece indefinidamente (lmites al infinito).



Si bien es posible dar una definicin precisa de este concepto, preferimos una explicacin geomtrica .Para ello consideremos la funcin real definida por:

xxf

1)( , que es fcil de graficar y nos muestra geomtricamente, de forma

simple la situacin, usted estar de acuerdo en que su dominio es el conjunto de

los nmeros reales sin considerar el cero, vale decir 0-IRDom f . Construyamos una tabla de valores para la funcin, es decir para ciertos valores de la variable encontraremos sus imgenes respectivas asociadas a la funcin, la primer columna los valores indicados, en la segunda columna las imgenes:

x

xxf

1)(

1.000.000 0,000001

500.000 0,000002

100.000 0,00001

50 0,02

1 1

-100 -0,01

-5.000.000 - 0,0000002

0,0006 1666,666667

0.00000012 8333333,333

12 .........................

120432 .........................

-12347 .........................

0,00234 ........................

15.000.000 ........................

Luego de completar la tabla anterior, se observa que:

a) la funcin es positiva para , vale decir el grfico se ubica sobre el eje y a la derecha del eje

b) la funcin es negativa para < 0,con lo cual el grfico se ubica ahora bajo el eje , en definitiva el grfico es :

Y

X



A partir del grfico podemos afirmar:

a) x

1lim

0x b)

x

1lim

-0x c) 0

1lim

-x

x d) 0

1lim

x

x

OBSERVACION 8: 1) El lgebra de lmites se cumple tambin para los lmites al . 2) Se verifican los siguientes lmites:

a) 0si,01

limx

x

b) 0si,1

limx

x

Por ejemplo,

6

x6xxlim

1lim,0

1lim x

xx.

Otros ejemplos.

1.- Calcule 67

72

x 11103

1853lim

xxx

xx

Solucin: Cuando se trata de una divisin de polinomios, basta efectuar la divisin del

numerador y denominador por una potencia de con el mayor exponente que se

presenta en el lmite pedido, en el caso anterior dividamos por 7x . Esdecir:

67

72

x 11103

1853lim

xxx

xx

=

2

1

10

5

11103

1853

lim

7

6

7

7

7

77

7

7

2

7

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xx



2.- Calcule 18104654lim 22x

xxxx

Solucin: Parece ser una buena idea usar el proceso inverso de racionalizar, para ello trabajemos solamente con la expresin :

18104654 22 xxxx

18104654

1810465418104654

22

2222

xxxx

xxxxxxxx

2

2

2

222

22

18104

654

245

18104654

)18104(654

xxx

xxx

x

xxxx

xxxx

22

18104

654

245

xxxxx

xx

, entonces:

18104654lim 22x

xxxx

4

5

44

5

18104

654

245

lim

22

xxxxx

xx

x

OBSERVACION 8.

Uno de los lmites especiales de uso habitual para calcular ciertos lmites cuando

la variable crece hacia(ms) infinito, es el conocido nmero e que corresponde a

la base de los logaritmos naturales.

Consideremos la funcin 0,1

1)(

xx

xf

x

Algunos valores de y sus imgenes respectivas: x x

xxf

11)(



1 221

2 25,2

2

32

15 632878718,2

15

1615

100.000 718268237,2

000.100

001.100000.100

1.000.000 718280469,2

000.000.1

001.000.1000.000.1

160.000.000 71828182,2

000.000.160

001.000.160000.000.160

Se puede demostrar que independientemente del crecimiento de la variable los valores de la funcin no sobrepasan de 3, vale decir:

.0-IR,3)( xxf En definitiva se obtiene el siguiente lmite:

, ....2,71828... e1

1lim

x

x x

EJEMPLOS:

1.- Calcular

2

54

124lim

x

x x

x

Debemos observar que al evaluar directamente se obtiene la forma , con lo cual ledejamos una pregunta ser que todos los lmites que tienen esta forma se pueden calcular usando el lmite especial ya descrito?

4 7

2

222

e1

11

1lim)(

11lim,

4

571

54x

7 doconsideran

54

71lim1

54

1241lim

54

124lim

4134

7

457

yyyx

y

yx

y

xx

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

x

x

y



2.- Calcular

x

x x

x

102

32lim

Procedemos similarmente:

7

5

2

107

e

111

11lim)(

11lim

2

1071

10x2

7-Sea

102

71lim1

102

321lim

102

32lim

27

yyyx

y

yx

y

xx

x

x

x

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES.

Definicin 2:

Sea una funcin real definida en un intervalo que contiene en su interior al punto

a. Se dice que la funcin es continua en a si y solo si:

a. Existe a)(f , vale decir a)(f es un nmero real. (Bien definida en a)

b. Existe )(a

lim xfx

, es decir, )()()( limlimlim xfxfxfaxaxax

c. a)()(lima

fxfx

OBSERVACION 9:

1) En la prctica se suele decir que una funcin es continua en un punto de

ella si localmente en torno a dicho punto se puede graficar sin necesidad de

levantar el lpiz (como sucede cuando graficamos funciones definidas por

trazos o sectores).



2) Una funcin se dice continua en todo su dominio (o parte de l), si y solo si

lo es en cada punto de dicho dominio.

3) De acuerdo a lo que ya conocemos con respecto a grficos de funciones

(en cursos anteriores) podemos recordar como funciones continuas: toda

funcin lineal, toda funcin cuadrtica, toda funcin polinomial(que contiene

a las dos anteriores) toda funcin racional entendida como divisin de dos

polinomios en la cual el denominador es distinto de cero. Las funciones

trigonomtricas seno y coseno (usted recordar que es una onda que est

entre una franja por sobre son continuas en todo ,

as como la funcin tangente en su rama principal, cuyo dominio es,en esa

rama, el intervalo

. Se considera el intervalo abierto, pues en sus

extremos la funcin tangente tiene dos asntotas verticales.

4) Como la continuidad se define en trminos de lmites, y ya conocemos el

lgebra de lmites, se deduce el lgebra de funciones continuas, como la

suma, diferencia, producto, divisin y ponderacin de una funcin por una

constante son tambin funciones continuas, como tambin lo es la

composicin de funciones continuas, por ejemplo la funcin definida por:

es una funcin continua pues la funcin seno es

continua, as como tambin lo es la funcin cuadrtica.

EJEMPLOS:

1. Si f (x) =

1

12

2 xsix

xsix ,

Analicemos la continuidad en

Solucin:

El grfico de la funcin f es

f ( x ) = 2x f( x ) = -x + 2

1



Notar que la funcin est bien definida en 1 puesto que , para la parte

(b) de la definicin debemos asegurar la existencia del lmite en dicho punto,

para ello debemos calcular los lmites laterales:

1lim)(lim;1)2(lim)(-lim2

1x1x11x

xxfxxf

x, como se verifica la igualdad de

limites laterales, podemos afirmar que .)1(1)(lim1x

fxf

En consecuencia la

funcin es continua en dicho punto.

OBSERVACION 9.

Naturalmente, si falla al menos una de las tres condiciones de la definicin de

continuidad, la funcin no es continua en dicho punto. Dependiendo de cul o

cules sean las fallas se introduce los siguientes conceptos:

i) La discontinuidad es irreparable si y solo si no existe el lmite en dicho

punto, vale decir los limites laterales son distintos, aunque ellos sean

valores reales, su diferencia da cuenta del salto que tiene la

discontinuidad en ese punto.

ii) La discontinuidad es reparable si y solo si existe el lmite en dicho

punto, con lo cual los lmites laterales son iguales y bastara definir para

reparar la discontinuidad:

)(lim)(a

xfafx

EJEMPLOS.

1. La funcin dada por

tiene discontinuidad

irreparable en

Basta calcular sus lmites laterales en dicho punto, veamos:

,

,

Como ambos lmites son distintos la discontinuidad es irreparable.

2. Determine valores de A y B (si existen) de modo que la funcin



xsix

x

xsiBxA

xsix

xA

xf

4,4

16

41,2

1,)1(

)1(

)(

2

2

Sea continua en los puntos

Debemos exigir en cada caso, las siguientes igualdades:

Entonces, para

Ax

xxA

x

xAxf

xxx2

)1(

)1)(1(lim

)1(

)1(lim)(lim

1

2

11

, y

BABAxxfxx

4)2(lim)(lim11

, luego )(lim1

xfx

, existe si y solo si

se verifica 2 A = 4 A+B ;

procediendo similarmente con el punto a = 4 ,tenemos :

8)4(

)4)(4(lim

4

16lim,8)2(lim

4

2

44

x

xx

x

xBABAx

xxx , entonces )(lim

4xf

x,

existe si y solo si , en consecuencia debemos resolver el

sistema de ecuaciones dado por :

02

88

BA

BA , cuya solucin es A =

3

4 y B =

3

8 .

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si f es una funcin continua en a , b , con f ( a ) f ( b ), entonces toma

todos los valores entre f ( a ) y f ( b ) en el intervalo .

Dado t f (a), f (b), c a, b

f(b)

t



tal que t = f (c).

APLICACION.

Si se tiene una funcin continua en el intervalo y adems su recorrido es el

mismo intervalo, entonces existe un punto c en el intervalo para el cual

Geomtricamente, significa que toda funcin definida en el cuadrado de lado 1,

tiene que cortar alguna vez a la recta (funcin identidad).

Para verificar este resultado basta definir la funcin la cual es

continua por algebra de funciones continuas, se tiene

Ahora , (si se cumpliera la igualdad ya se tiene el resultado),

como el producto entonces por el teorema del valor intermedio

debe haber un punto c entre ambos valores de modo que pero se tiene

que

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