Profesor: Sanzon Mendoza Armenta

Valor de la unidad: Dedicación

Fecha:14 Marzo 2015

Cálculo Diferencial e Integral

Unidad 2: Limites y continuidad

Tema: Definición de limites y Limites laterales.

Subtema Las paradojas de Zenón

Las paradojas de Zenón fueron ideadas para demostrar que las sensaciones que obtenemosdel mundo son ilusorias y que no existe el movimiento, aunque los sentidos mostrasen quetal cosa era posible. Fue producto de la falta de conocimientos sobre el concepto de infinitoen la época en la que fueron formuladas.

Según Zenón, en una hipotética carrera entre Aquiles y una tortuga, si esta última tenía unaventaja inicial, el humano siempre perdería a pesar de que el guerrero corre mucho másrápido.

Suponemos que Aquiles es 10 veces más rápido que la tortuga y la ventaja es de 10 metros.Cuando Aquiles recorra los 10m la tortuga habrá avanzado 1m, cuando Aquiles recorra 1mla tortuga habrá avanzado 10cm, cuando Aquiles recorra esos 10cm la tortuga habráavanzado 1cm y así sucesivamente.

Subtema Las paradojas de Zenón

En la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal queera desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquilesrealmente alcanzará a la tortuga. La demostración se basa en que unasuma de infinitos términos puede tener un resultado finito.

Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa delpunto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más ymás pequeños (hasta el infinito más pequeños), y su suma da unresultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Esto tiene un nombre llamado “límite”.

Subtema Límite matemático

De manera informal podemos decir que el límite de una variable es elvalor al que esta se puede acercar de manera infinita, pero sin “tocar”nunca ese valor; por ejemplo, si el límite de la variable x es 3, entoncesx puede tomar el valor de 2.999999…, con un número infinito denueves, pero nunca tomará el valor de 3; también podría tomar elvalor de 3.000000…1, con un número infinito de ceros, pero nuncatomará el valor de tres.

• Por ejemplo si f(x)=2x+5 y el límite para x es tres, entonces el límitede f(x) cuando x se acerca a 3 (tiende a 3) será

f(2.99999)=2(2.99999)+5=10.9998 o bien,

f(3.00001)=2(3.00001)+5=11.00002 podemos ver en ambos casos que

f(x) cuando x tiende a 3 se acerca a 11.

Límite matemático

A veces algo no se puede calcular directamente, pero se puede saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más. A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de , cuando x=1? Ya que

Pero 0/0 es “indeterminado”, lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco

x2 -1

x -1

12 -1

1-1=

1-1

1-1=

0

0

x

0.9 1.9

0.99 1.99

0.999 1.999

0.9999 1.9999

0.99999… 1.99999…

x2 -1

x -1x

1.1 2.1

1.01 2.01

1.001 2.001

1.0001 2.0001

1.00001 2.0000…1

x2 -1

x -1

Límite matemático

Vemos que cuando x se acerca a 1, la función se acerca a 2, así que decimos

“El límite de la función cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2”

Y con símbolos se escribe como

• NOTA: Es necesario que nos acerquemos al mismo número por ambos lados para poder decir que existe el límite.

limx®1

x2 -1

x -1= 2

Definición intuitiva de límite

Si f(x) se acerca en forma infinita a un valor L cuando x seacerca infinitamente a un valor, entonces podemos decirque el límite de f(x) es L cuando x se acerca (tiende) a a.Enunciamos lo anterior de la siguiente forma:

• Sea a en un intervalo abierto, y sea f una funcióndefinida en todo el intervalo excepto posiblemente ena, y L un número real, entonces:

Significa que f(x) tiende a L si se elige un valor de xsuficientemente cerca de a, pero no el valor de a.

limx®af (x) = L

Definición intuitiva de límite

Para que una función f(x) tenga un límite, se debe cumplir que:

• El límite de f(x) por la izquierda exista.

• El límite de f(x) por la derecha exista.

• Los límites por la izquierda y por la derecha tiendan al mismo valor.

limx®a

-f (x) = L1

limx®a+

f (x) = L2

Ejemplo 1

limx®3

2x+5

x f(x)

Izquierda

2.9 10.8

2.99 10.98

2.999 10.998

Derecha

3.1 11.2

3.01 11.02

3.001 11.002

Resultado

Ejemplo 2

limx®2

5x+8

x f(x)

Izquierda

Derecha

Resultado

Qué paso con este límite?

x

-0.1 100

-0.01 10 000

-0.001 1 000 000

-0.0001 100 000 000

Se acerca a

x

0.0001 100 000 000

0.001 1 000 000

0.01 10 000

0.1 100

Se acerca a

Evaluar la función

en varios puntos cerca de x=0 y usar el resultado para estimar el límite.

Solución.

2

1( )

xf x

20

1lim

xx

2

1( )

xf x

2

1( )

xf x

Note que la función no está definida en cero!!

Vemos que cuando x se acerca a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, f(x) crece sin cota.

2

1( )

xf x

Note que la función no está definida en cero!!

Vemos que cuando x se acerca a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, f(x) crece sin cota.

2

1( )

xf x

x toma valores muy muy cerca del 0 por la izquierda

x toma valores muy muy cerca del 0 por la derecha

Recuerda…

Para que una función f(x) tenga un límite, se debe cumplir que:

• El límite de f(x) por la izquierda exista.

• El límite de f(x) por la derecha exista.

• Los límites por la izquierda y por la derecha tiendan al mismo valor.

limx®af (x) = L

Ejercicio 3

limx®0

1

x

x f(x)

Izquierda

-0.1

-0.01

-0.001

Derecha

0.1

0.01

0.001

Resultado

Ejercicio 4

limx®3

8

x -3

x f(x)

Resultado

Subtema Cálculo del límite en un punto:formas determinadas

Con los teoremas de límites podemos simplificar el cálculo dellímite de una función para un punto determinado de la función, esdecir, para un valor del dominio de la función f(x), como sigue:

• Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales,exponenciales, logarítmicas, etc.) y a es el valor al que tiende x,entonces se suele cumplir que

• Si de resultado dan formas indefinidas como 0/0 y ∞/∞ tendránque utilizar otros métodos para obtener el límite correcto.

limx®af (x) = f (a)