EJERCICIOS LIMITES FUNCIONES MATEMÁTICAS II Ies Africa 2011

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1

EJERCICIOS LIMITES FUNCIONES MATEMÁTICAS II Ies Africa 2011-12

1)Estudia el dominio de las funciones siguientes:

a) 23

2

3

32

)( x x

x

x f −

−=

b) xe x f −=

1

1

)( c) 43log)(

2−+=

x x x f

d) x x

x x x f

−+

++=

1

1)( e)

senx

x x f

+=

1

2)( f)

1

1)(

2−

+=

x

x x f

g)4

log1)(

2−

+=

x

x x f h) ( ) x x x f −−= ln1)( i) 21)( +++= x x x f

Soluciones:

a) Dom f = { }3,0− R b) Domf = { }0− R c) Domf = ( ) ( )+∞∪−∞− ,14,

d) Dom f= R e) Dom f=

+− π π

k R 22

3f) Dom f = ( )+∞,1

g) Dom f = ( ) ( )+∞∪ ,22,0 h) Dom f = φ i) Dom f= [ )+∞− ,1

2)Dada la gráfica de g(x):

Calcula los límites de g(x) cuando x tiende a - 2, 1, 2, 3.

3)Dadas las gráficas de las funciones siguientes, calcula, si existen, los límites en los

valores : - 2, - 1, 0, 2.

4)Calcula los límites de las siguientes sucesiones:

a)23

2 322lim

nn

nn

n +

−+

∞→

b)32

322lim

2

23

+−

−+

∞→ nn

nn

nc)

+

−

+

∞→ 5

1·

1

32lim

2

n

n

n

n

d)34

3lim+

+

∞→ nn

ne)

2

2 33

2

12lim

n

n

n nnn

+

∞→

+

+ f) ( )112lim 22+−+

∞→

nnn



2

g) ( )1lim 242++−

∞→

nnnn

h)

12

32

32lim

+

∞→

+

−n

n n

ni)

12

2

22

1lim

++

∞→

+

−nn

n n

nn

Soluciones:

a) 0 b) ∞+ c) 2/5 d) 1 /2 e) 1/8 f) ∞ g) -1 /2h)

6−e i) 0=−∞

e

5)Calcula los limites siguientes:

A)20

1lim

x x→

30

1lim

x x→

20

1lim

x x

−

→

30

1lim

x x

−

→

B)4 42 16

1lim

−→ x x

Lnx x

1lim

0→

x

tgx

x cos

1lim

2

+

→π

Sol:

A) ∞+ ∞ ∞− ∞

B) No existe No existe ∞+

6)Halla los límites que se indican:

a)4

353lim

2−+

+∞→

x x

xb)

353

4lim

2−+

+∞→ x x xc)

x

x

+∞→ 2

1lim d) x

x

−

−∞→

2lim

e) ( ) x

xe x−

−∞→

−lim f)

x

x

−

+∞→

2

1lim g)

x

x

−

−∞→

2

1lim h)

3

12lim

3

23

+−

−+

+∞→ x

x x

x

i)3

24

3

4lim

x

x x

x +

+−

−∞→

j)2

32lim

x

x

x

+−

+∞→

k)2

5

5

14lim

x

x

x −

+−

−∞→

Sol: a) ∞+ b) 0 c) 0 d) ∞+ e) ∞− f) ∞+ g) 0 h) – 2

i) ∞+ j) 0 k) ∞−

7)Halla los siguientes límites en el ∞ :

a)32

322lim

2

+

++

+∞→ x

x x

xb)

13

12lim

3

2

−+

+

+∞→ x x

x

xc)

52lim

2+−

+∞→ x

x

x

d) x x

x

x 2

12lim

3+−

−−

−∞→

e)

−−

−+∞→ 21lim

22

x

x

x

x

xf)

+

−

−+∞→ 1

2

1

2lim

22 x x x

g) ( )32lim 2 −+−+∞→

x x x x

h) ( )12532lim 22 ++−+−+∞→

x x x x x



3

Sol: a)2

2b) ∞+ c) No existe d) 0 e) - 1 f) 0 g) ∞+ h) 2−

8)Calcula los siguientes límites en un punto:

a)1

1lim

21 +

−

→ x

x

xb)

x

x

x −

+

→ 3

12lim

3c)

214

6lim

2

2

3 −+

−−

→ x x

x x

x

d)253

12lim

234

2

1 −+−−

+−

→ x x x x

x x

xe)

3

21lim

3 −

−+

→ x

x

xf)

32

1lim

1 +−

−

→ x

x

x

g)5

25lim

2

5 −

−

→ x

x

xh)

x

x x

x 4

44lim

0

−−+

→

Sol: a) 0 b) ∞ ; no existe c) 1 /2 d) ∞ ; no existe e) 1 /4

f) – 4 g) no existe (pues no existe por la derecha) h) 1/8

9)Resuelve los límites de las funciones exponenciales siguientes:

a)3

21 1

23lim

+

−→

+

− x

x

x x

xb)

x

x x

x2

2 53

3lim

+

+

+∞→

c)senx

x

x x

senx

+

+

→ 1

1lim

0

d) x

x x

x ln

1

1 1

ln1lim

−

+

+→

e)

x x x

x

ee

+

→ 3lim

2

0f)

3

3

4lim

+

+∞→

+

+x

x x

x

g)

x x

x x x

x x2

2

22

32

52lim

+

+∞→

+

+h)

32

32

32lim

+

−∞→

−

+x

x x

xi)

42

3

3

2

4lim

−

+∞→

+

+ x

x x

x x

j)

x

x x x

x x2

lim

−

+

+∞→

k)

x

x

x

x e

e

−−

−

→ 2lim

0l) ( ) x

xsenx

1

01lim +

→

m) ( ) 2

1

0coslim x

x x

→

Sol: a) 5

10b) 0 c) 1 d) ∞+ e) 1 f) e g) ∞+ h) 0

i) 1 j) 4e k) 1 l) e m) e / 1

10)Calcula el valor de m para que se cumpla:

a) ( ) 1lim 2=−+

+∞→

xmx x x

b) e x

xmx

x=

++∞→

3lim

Sol: a) m = 2 b) m = 1/3



4

11)Expresa las funciones siguientes como funciones definidas a trozos y, después, halla

sus límites cuando x tiende a ∞± :

a) 22)( −−+= x x x f b) x x x f 23)( −−=

Sol: a) - 4, 4 b) ∞− , ∞−

12)Una empresa presta servicios de asesoramiento informático para corregir errores

habituales en los PC mediante consultas telefónicas. La siguiente función expresa el

coste total anual, en euros, de prestar x consultas telefónicas, teniendo en cuenta los

gastos de salarios, local, conexiones y equipos:

f(x) =7’5x + 6500

a)Escribe la expresión de la función que facilita el coste unitario de cada asesoramiento

cuando se han contestado x consultas telefónicas.

b)Suponiendo que la ley se verifica indefinidamente, halla el coste aproximado de cadaservicio telefónico cuando se presta una gran cantidad de ellos.

c)si se decide cobrar por cada servicio prestado un 25% más del coste hallado en el

apartado anterior, ¿cuál es el beneficio obtenido al resolver 8000 consultas?

Sol:

a) x

x xC

65005'7)(

+= b) 5'7

65005'7lim =

+

+∞→ x

x

xc) 15000€

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