Funciones, limites y continuidad

Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema:

11 1Funciones: límites y continuidad

En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca an?

n 10 100 1000 10000 100000 ….→+∞lim

1 n = 0

n 10 100 10000 1000000 …. →+∞lim

2n n+1 = 2

n 1 10 100 1000 …. →+∞lim (n2 + 1)= +∞

n 1 10 100 1000 …. →+∞lim (-n2 + 1)= -∞

Límites de sucesiones

an = 1n

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 …. →0

an = 2n

n+11,33.. 1,98… 1,999… 1,9999.. …. →2

an = n2+1 2 101 10001 1000001 …. →+∞

an = -n2+1 0 -99 -9999 -999999 …. →- ∞IMAGEN FINAL


11 2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20

Funciones: límites y continuidad

Representación de los términos de la sucesión an = 1/n

a1

a2

a3 a50 a96

IMAGEN FINAL


11 3

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

2,1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20


Representación de los términos de la sucesión an = 2n/(n + 1)

a1

a2

a3

a50a96

IMAGEN FINAL


11 4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

7500

8000

8500

9000

9500

10000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100


Representación de los términos de la sucesión an = n2 + 1

a20

a50 a90

a5

IMAGEN FINAL


11 5

-10001

-9501

-9001

-8501

-8001

-7501

-7001

-6501

-6001

-5501

-5001

-4501

-4001

-3501

-3001

-2501

-2001

-1501

-1001

-501

-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100


Representación de los términos de la sucesión an = -n2 + 1

a20

a50a90

a5

IMAGEN FINAL


11 6

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

a10


Representación de los términos de la sucesión an = (-1)n . n2

a1a44

a23

Esta sucesión no tiene límite

IMAGEN FINAL



n 10 100 1000 10000 100000 …. →+∞

lim

1 +

1n

n= e

El número e

1 + 1n

n2,59374246012,704813829422 2,716923932236 2,718145926825 2,718268237192 …. →e

IMAGEN FINAL


11 8

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

a20


Representación de los términos de la sucesión an = (1+1/n)n

a1

a2

a3

a50a96

IMAGEN FINAL



En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “a”, ¿a quién se acerca f(x)?

x 1 1,9 1,99 1,999 …. →2-

x→2-lim x2 = 4

x 3 2,1 2,01 2,001 …. →2+

x→2+lim x2 = 4

x 1 1,9 1,99 1,999 …. →2-

x→2-lim Ent(x) = 1

x 3 2,1 2,01 2,001 …. →2+

x→2+lim Ent(x) = 1

Límites de funciones en un punto

f(x) = x2 1 3,6 3,96 3,996 …. →4

f(x) = x2 9 4,4 4,04 4,004 …. →4

f(x) = Ent(x) 1 1 1 1 …. →1

f(x) = Ent(x) 3 2 2 2 …. →2

IMAGEN FINAL



En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)?

x 1 10 100 1000 …. →+∞x→+∞lim x2 = +∞

x→-∞lim x2 = +∞

x 1 10 100 1000 …. →+∞x→+∞lim

x + 1x = 1

En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)?

x -1 -10 -100 -1000 …. →-∞x -1 -10 -100 -1000 …. →-∞

x→- ∞lim

x + 1x = 1

Límites de funciones en el infinito

f(x) = x2 1 100 10000 1000000 …. →+∞

f(x) = x + 1

x 2 1,1 1,01 1,001 …. →1

f(x) = x2 1 100 10000 1000000 …. →+∞

f(x) = x + 1

x 0 0,9 0,99 0,999 …. →1

IMAGEN FINAL


11 11

- 4 - 2 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

y = x + 1x - 1


x→+∞lim

x + 1x - 1 = 1

Significado geométrico del límite finito de una función, para x → + ∞

IMAGEN FINAL


11 12

- 4 - 2 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

y = x + 1x - 1


x→1+lim

x + 1x - 1 = +∞

Significado geométrico del límite infinito de una función para x

tendiendo a un número real

IMAGEN FINAL



• x→3lim

x + 1x - 1 =

•

x→1lim

x + 1x - 1 =

x→1+lim

x + 1x - 1 = + ∞

x→1−lim

x + 1x - 1 = - ∞

•

x→+∞lim

x + 1x - 1 =

x→+∞

lim 1 +

1x

1 - 1x

= 1

Indet k0

Indet ∞∞

No hay indeterminación

42 = 2

Cálculo de límites (I)

IMAGEN FINAL



•

x→1lim

x2 - 1x - 1 =

•

x→−∞lim

x + 1x - 1 =

x→−∞

lim 1 +

1x

1 - 1x

= 1

Indet 00

Indet ∞∞

x→1lim

(x - 1)(x + 1)x - 1 = 2

Cálculo de límites (II)

IMAGEN FINAL



•

x→ 0

lim x

1 - 1 - x = 2

Indet 00

x→ 0

lim x(1 + 1 - x)

(1 - 1 - x) (1 + 1 - x) =

x→ 0lim ( 1 + 1 - x) =

• x→ +∞lim

x2 + x

x =

Indet ∞∞

x→ +∞lim

1 + 1x

1 = 1

• x→ −∞lim

x2 + x

x =

Indet ∞∞

x→ +∞lim

1 - 1x

-1 = -1x→ +∞lim

x2 - x

-x =

Cálculo de límites (III)

IMAGEN FINAL



Estudio del

x→0

lim sen x

x . Se pone la calculadora en modo Rad para construir las siguientes tablas.

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,0000001sen x

x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999

x - 0’1 - 0’01 - 0’001 - 0’0001 - 0’00001 - 0’0000001sen x

x0,998334166468 0,999983333416 0,999999833333 0,999999998333 0,99999999998 0,999999999999

Los resultados sugieren que x→0+lim

sen xx =1

Los resultados sugieren que x→0-lim

sen xx =1

En consecuencia: x→0lim

sen xx =1

Límites de funciones trigonométricas

IMAGEN FINAL



El x→0lim

sen xx geométricamente

10 5 5 10

0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• La función no está definida en 0.

• Pero está definida en las proximidades del punto 0

IMAGEN FINAL



Gráfica de la función f (x) = x+1 si x ≤ 0x - 1 si x > 0

x + 1 si x ≤ 0 x - 1 si x >0

X

Y

1

-1

-1

1

• x→0+lim f(x) =

x→0+lim (x - 1) = -1

• x→0-lim f(x) =

x→0-lim (x + 1) = 1

• f(0) = 1

f(x) no es continua en el punto xo = 0

Continuidad en un punto

IMAGEN FINAL

Funciones, limites y continuidad

Documents

Transcript of Funciones, limites y continuidad