PRESENTACION DE GRAFICAS Y LIMITES Y CONTINUIDAD EN

FUNCIONES VECTORIALES

CALCULO VECTORIAL .

DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL

UNA FUNCION DE LA FORMA:

𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗

(EN EL PLANO)

𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘

(EN EL ESPACIO)

ES UNA FUNCION VECTORIAL, DONDE LAS FUNCIONES COMPONENTES f, g Y h SON FUNCIONES DEL PARAMETRO “t”. ALGUNAS VECES, LAS FUNCIONES VECTORIALES SE

DENOTAN COMO:

𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 O 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ 𝑡

DIBUJAR LA CURVA PLANA REPRESENTA POR LA FUNCION VECTORIAL: 𝑟 𝑡 = 2 cos 𝜃 𝑖 − 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 0 ≤ t ≤ 2𝜋

SOLUCION:

1ro: SE ENCUENTRA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS

𝑟 𝑡 = 2 cos 𝜃 𝑖 − 3𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗

Y POR LO TANTO, FORMAMOS ECUACIONES PARAMETRICAS SIGUIENTES:

𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = −3 𝑠𝑒𝑛 𝜃

2do: REALIZAR UNA TABULACION MEDIANTE SUS ECUACIONES PARAMETRICAS:

𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = −3 𝑠𝑒𝑛 𝜃

t 0 𝝅

𝟑

𝝅

𝟔

𝝅

𝟐𝟐𝝅

𝟑

𝟓𝝅

𝟔

𝝅 𝟕𝝅

𝟔

𝟒𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟐

𝟓𝝅

𝟑

𝟏𝟏𝝅

𝟔

𝟐𝝅

x 2 3 1 0 -1 − 3 -2 − 3 -1 0 1 3 2

y 0−

3

2 −3 3

2

-3−

3 3

2−

3

2

0 3

23 3

2

3 3 3

2

3

2

0

RESULTADO DE LA TABULACION

DIBUJAR LA CURVA EN EL ESPACIO REPRRSENTADA POR LA FUNCION VECTORIAL:

𝑟 𝑡 = 4 cos 𝜃 𝑖 + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 0 ≤ t ≤ 4𝜋

1ro: SE ENCUENTRA LAS ECUACIONES PARAMETRICAS

𝑟 𝑡 = 4 cos 𝜃 𝑖 + 4𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑗 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗

𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗

Y POR LO TANTO, FORMAMOS ECUACIONES PARAMETRICAS SIGUIENTES:

𝑥 = 4 cos 𝜃 𝑦 𝑦 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃

2do: SE REALIZA UNA TABULACION:

t 0 𝝅

𝟑

𝝅

𝟔

𝝅

𝟐𝟐𝝅

𝟑

𝟓𝝅

𝟔

𝝅 𝟕𝝅

𝟔

𝟒𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟐

𝟓𝝅

𝟑

𝟏𝟏𝝅

𝟔

𝟐𝝅

x 4 2 3 2 0 -2 −2 3 -4 −2 3 -2 0 2 2 3 4

y 0 2 4 3 4 4 3 2 0 −2 −4 3 -4 −4 3 −2 0

z 0 𝝅

𝟑

𝝅

𝟔

𝝅

𝟐𝟐𝝅

𝟑

𝟓𝝅

𝟔

𝝅 𝟕𝝅

𝟔

𝟒𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟐

𝟓𝝅

𝟑

𝟏𝟏𝝅

𝟔

𝟐𝝅

t 𝟏𝟑𝝅

𝟔

𝟕𝝅

𝟑

𝟓𝝅

𝟐

𝟖𝝅

𝟑

𝟏𝟕𝝅

𝟔

𝟑𝝅 𝟏𝟗𝝅

𝟔

𝟏𝟎𝝅

𝟑

𝟕𝝅

𝟐

𝟏𝟏𝝅

𝟑

𝟐𝟑𝝅

𝟔

𝟒𝝅

x 2 3 2 0 -2 −2 3 -4 −2 3 -2 0 2 2 3 4

y 2 4 3 4 4 3 2 0 −2 −4 3 -4 −4 3 −2 0

z 𝟏𝟑𝝅

𝟔

𝟕𝝅

𝟑

𝟓𝝅

𝟐

𝟖𝝅

𝟑

𝟏𝟕𝝅

𝟔

𝟑𝝅 𝟏𝟗𝝅

𝟔

𝟏𝟎𝝅

𝟑

𝟕𝝅

𝟐

𝟏𝟏𝝅

𝟑

𝟐𝟑𝝅

𝟔

𝟒𝝅

RESULTADO DE LA GRAFICA

REPRESENTAR LA PARABOLA 𝑦 = 𝑥2 + 1MEDIANTE SU FUNCION VECTORIAL

1ro: SE HACE TOMAR QUE t = x Y…

𝑦 = 𝑥2 + 1

𝑦 = 𝑡2 + 1

2do: DESPUES, POR DEFINICION, SE TOMARAN ESAS DOS FUNCIONES COMO PARAMETROS DE “t” EN x Y EN y:

𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡2 + 1

3ro: SE REALIZA UNA TABULACION. PODEMOS EMPEZAR DESDE -4 HASTA 4 CON RESPECTO A LOS VALORES DEL PARAMETRO “t”

𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡2 + 1

t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 17 10 5 2 0 2 5 10 17

RESULTADO DE LA GRAFICA

DIBUJAR LA SEMIELIPSOIDE𝑥2

12+

𝑦2

24+

𝑧2

4= 1, 𝑧 ≥ 0

1ro: SE HACE TOMAR QUE x = t, Y TAMBIEN 𝑦 = 𝑡2

𝑥2

12+

𝑦2

24+

𝑧2

4= 1

𝑡2

12+

𝑡2 2

24+

𝑧2

4= 1

𝑡2

12+

𝑡4

24+

𝑧2

4= 1

2do: SE DESPEJA LA VARIAVBLE “z”

𝑡2

12+

𝑡4

24+

𝑧2

4= 1

𝑧2

4= 1 −

𝑡2

12+

𝑡4

24

𝑧2 = 4 1 −𝑡2

12+

𝑡4

24

𝑧 = 4 1 −𝑡2

12+

𝑡4

24

RESULTADO DE LA GRAFICA

DEFINICION DE UNA FUNCION VECTORIAL

Si 𝑟 es una función vectorial tal que 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗, entonces

lim𝑡→𝑎

𝑟 𝑡 = lim𝑡→𝑎

𝑓 𝑡 𝑖 + lim𝑡→𝑎

𝑔 𝑡 𝑗

Siempre que existan los límites de f y g cuando 𝑡 → 𝑎.

Si 𝑟 es una función vectorial tal que 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑖 + 𝑔 𝑡 𝑗 + ℎ 𝑡 𝑘, entonces

lim𝑡→𝑎

𝑟 𝑡 = lim𝑡→𝑎

𝑓 𝑡 𝑖 + lim𝑡→𝑎

𝑔 𝑡 𝑗 + lim𝑡→𝑎

ℎ 𝑡 𝑘

Siempre que existan los límites de f, g y h cuando 𝑡 → 𝑎.

RECORDANDO LA REGLA L’HOPITAL

lim𝑡→𝑎

𝑓 𝑡

𝑔 𝑡= lim

𝑡→𝑎

𝑑𝑑𝑡

𝑓 𝑡

𝑑𝑑𝑡

𝑔 𝑡

SEA “a” EL VALOR DEL LIMITE Y SEA f(t) Y g(t) FUNCIONES PARAMETRICAS EN DONDE AMBAS SON DERIVABLES. ESTE PROCEDIMIENTO CONSISTE EN

DERIVAR AMBAS FUNCIONES DE FORMA DIRECTA

EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE

lim𝑡→2

𝑡 𝑖 +𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 +

1

𝑡𝑘

SOLUCION:

lim𝑡→2

𝑡 𝑖 +𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 +

1

𝑡𝑘 = lim

𝑡→2𝑡 𝑖 + lim

𝑡→2

𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 + lim

𝑡→2

1

𝑡𝑘

= 2 𝑖 + lim𝑡→2

𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 +

1

2𝑘

PARA SOLUCIONAR EL SEGUNDO LIMITE HAY DOS METODOS PARA ENCONTRAR SU SOLUCION

PRIMERO MODO: FACTORIZACION

lim𝑡→2

𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 = lim

𝑡→2

𝑡 + 2 𝑡 − 2

𝑡 𝑡 − 2 𝑗 = lim

𝑡→2

𝑡 + 2

𝑡 𝑗 =

4

2 𝑗 = 2 𝑗

SEGUNDO MODO: REGLA L’HOPITAL

lim𝑡→2

𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 = lim

𝑡→2

𝑑𝑑𝑡

𝑡2 − 4

𝑑𝑑𝑡

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 = lim

𝑡→2

2𝑡

2𝑡 − 2 𝑗 =

4

4 − 2 𝑗 = 2 𝑗

Y VOLVIENDO A LA SOLUCION, EL RESULTADO ES:

lim𝑡→2

𝑡 𝑖 +𝑡2 − 4

𝑡2 − 2𝑡 𝑗 +

1

𝑡𝑘 = 2 𝑖 + 2 𝑗 +

1

2𝑘

EVALUAR EL SIGUIENTE LIMITE

lim𝑡→0

𝑡2 𝑖 + 3𝑡 𝑗 +1 − cos 𝑡

𝑡𝑘

SOLUCION:

lim𝑡→0

𝑡2 𝑖 + 3𝑡 𝑗 +1 − cos 𝑡

𝑡𝑘 = lim

𝑡→0𝑡2 𝑖 + lim

𝑡→03𝑡 𝑗 + lim

𝑡→0

1 − cos 𝑡

𝑡𝑘

= 0 𝑖 + 0 𝑗 + lim𝑡→0

1 − cos 𝑡

𝑡𝑘

PARA RESOLVER EL TERCER LIMITE UTILIZAREMOS LA FORMULA L’HOPITAL

lim𝑡→0

1 − cos 𝑡

𝑡𝑘

lim𝑡→0

1 − cos 𝑡

𝑡𝑘 = lim

𝑡→0

𝑑𝑑𝑡

1 − cos 𝑡

𝑑𝑑𝑡

𝑡𝑘 = lim

𝑡→0

𝑠𝑒𝑛 𝑡

1𝑘 = 0𝑘

Y CAPTURANDO LOS DATOS, SE OBTIENE EL RESULTADO FINAL:

lim𝑡→0

𝑡2 𝑖 + 3𝑡 𝑗 +1 − cos 𝑡

𝑡𝑘 = 0 𝑖 + 0 𝑗 + 0𝑘

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION VECTORIAL

Una función vectorial 𝑟 es continua en un punto dado por t=a si el límite de 𝑟 𝑡 cuando 𝑡 → 𝑎 existe y

lim𝑡→𝑎

𝑟 𝑡 = 𝑟 𝑎

Una función vectorial 𝑟 es continua en un intervalo 𝐼 si es continua en todos los puntos del intervalo.

ANALIZAR LA CONTINUIDAD DE LA FUNCION VECTORIAL

𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2 + 𝑡2 𝑘CUANDO 𝑡 = 0

SOLUCION:

1ro: EVALUAR EL LIMITE CUANDO “t” TIENDE A CERO (0)

lim𝑡→𝑎

𝑟 𝑡 = lim𝑡→0

𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2 + 𝑡2 𝑘

= lim𝑡→0

𝑡 𝑖 + lim𝑡→0

𝑎 𝑗 + lim𝑡→0

𝑎2 + 𝑡2 𝑘

= 0 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2𝑘

2do: CONOCER SI ES CONTINUA LA FUNCION VECTORIAL

𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2 + 𝑡2 𝑘

𝑟 0 = 0 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2 + 02 𝑘

𝑟 0 = 0 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2𝑘

GRAFICA DE LA FUNCION VECTORIAL

𝑟 𝑡 = 𝑡 𝑖 + 𝑎 𝑗 + 𝑎2 + 𝑡2 𝑘