Unidad I MatemÁtica III

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADANUCLEO ISABELICA

VALENCIA – ESTADO CARABOBO

LIC. CARLOS RIBEIRO

Lic. Carlos Ribeiro

VALENCIA SEPTIEMBRE DEL 2008

UNIDAD IDERIVADAS PARCIALES

CONTENIDO1.1Funciones de varias variables. Definición, límites y continuidad. Derivadas parciales.

Incremento y diferenciales. Regla de la cadena.1.2Gradiente. Derivadas direccionales.1.3Planos tangentes y rectas normales a las superficies. Derivada de una función compuesta.

Regla de la cadena. Derivada de funciones definidas implícitamente.1.4Máximos y mínimos de las funciones de dos variables. Valores extremos. Puntos críticos.

Criterio del Heissiano.1.5Multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones.

INTRODUCCIÓNEn este capítulo, nos centraremos en el cálculo de funciones de más de una variable. Muchas funciones del mundo real dependen de dos o más variables. Por ejemplo:

En físicoquímica, la ley de los gases ideales (donde n y R son constantes) se

utiliza para expresar cualquiera de las variables p, V, y T en función de las otras dos. La altura sobre el nivel del mar en un lugar particular de la superficie de la Tierra depende de

la latitud y longitud de dicho lugar. La ganancia de un fabricante depende de las ventas, los gastos generales, el costo de cada

materia prima utilizada y, en algunos casos, de más variables. La cantidad de energía útil que puede reunís una celda solar depende de su eficiencia, su

ángulo de inclinación con respecto a los rayos del sol, el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte y otros factores.

El área de un rectángulo

El volumen de un cilindro circular recto

El trabajo realizado por una fuerza

El consumo familiar, ya que se puede decir que , en donde: C es el consumo

familiar; Y el ingreso familiar; n el número de personas que integran la familia y A la edad promedio de los miembros de la familia.

1.1 Funciones de varias variablesDefinición: Una función de n varias variables es un conjunto de pares ordenados de la forma (P,w) en el cual dos pares ordenados diferentes no tienen el mismo primer elemento. P es un punto en el espacio numérico n-dimensional y w es un número real.

a. Función de una variable

La definimos como una función donde

Gráficamente

2

Lic. Carlos Ribeiro

entonces “y” es el transformador de “x” mediante f.

b. Función de dos variables

Sea Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y)

en Df un único número real z denotado por . D es el dominio de f.

La definimos como una función de conjuntos de puntos donde

Gráficamente

c. Función de n variables

La definimos como una función de conjuntos de puntos donde

Gráficamente no se puede representar una función de n variable.

Construcción de una función de dos variablesUna lata de refresco se construye con una envolvente lateral de hojalata, y con tapa de aluminio. Dado que el costo de la tapa es de 20 Bs F por unidad cuadrada, 10 Bs F por unidad cuadrada para la base, y de 30 Bs F por unidad cuadrada del envolvente. Construya la función de costo en función del radio r y la altura h.Solución

3

Lic. Carlos Ribeiro

Dominio y rangoEl conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o rango.

a. Función de una variable

Sea y

b. Función de dos variables

Sea y

c. Función de n variables

Sea y

Ejercicios resueltos

1) Sea la función , definida mediante la regla .

Determine:a. El dominio de la funciónb. El rango de la función

Solución:

a. Claramente el dominio es , es decir,

un disco cerrado con centro en el origen y radio 4.

b.

2) Hallar el dominio de la función definida por

Solución:Como es una función polinómica el Df es todo el plano xy

4

Lic. Carlos Ribeiro

3) Sea la función definida por . Hallar el dominio

Solución:El Df esta definido por todo el plano xy

4) Sea la función definida por la relación . Determine:

a. El dominio de la funciónb. El rango de la función

Solución:

a.

b. El

5) Sea la función definida por la relación determine el dominio

Solución:

Como

6) Encontrar el dominio de la siguiente función

Solución.

La función f está definida en todos los puntos .

Es decir, el conjunto del dominio está definido por todos los puntos

del interior de la elipse incluyendo la frontera como

muestra la figura.

Ejercicios propuestos

Determine el dominio y rango de las siguientes funciones

1) 2) 3)

4) 5) 6)

5

Lic. Carlos Ribeiro

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14)

15)

Límite y continuidadEntorno en el plano

Ante todo recordaremos que entorno en una dimensión es una porción de la recta alrededor de un punto x0 , que puede ser abierta “Entorno abierto” o cerrada “Entorno cerrado”.

Entorno abierto Entorno cerrado Distancia entre dos puntos

En dos dimensiones o variables entorno se refiere a una porción de plano en lugar de una recta. Esta porción es un disco alrededor de un punto (x0, y0) de radio .

Entorno abierto Entorno cerrado Distancia entre dos puntos

Límite de una función de dos variablesDefinición

Sea una función de dos variables definida en un entorno centrado en y sea entonces se define límite de una función y se denota

(la distancia

entre ).

Para demostrar la existencia de límites mediante la definición anterior es conveniente recordar las siguientes relaciones:

1.

6

Lic. Carlos Ribeiro

2.

3.

4.

Para saber si una función de dos variables tiene límite no basta con saber el límite por derecha y por izquierda, sino tiene que tener límite en todas las direcciones y ser igual.

Las propiedades de los límites con respecto a la suma, resta, producto y cociente son las mismas que para una variable.

Teorema (límites sucesivos o iterados)

Si entonces

Cálculo de límites

Para calcular el se reemplaza a y b en la función y si no es una indeterminación

el resultado obtenido es el límite.


Ejemplo 1

Calcular el

Solución:

En caso de existir una indeterminación se trata de salvarla para poder encontrar el límite.

Ejemplo 2

Calcular

Solución:

Este límite es igual a cero, ya que es una función acotada por una función que tiende a cero.

Hay funciones que podemos presumir que el límite no existe porque observamos su gráfico, en estos casos con probar que en dos direcciones el límite es distinto podemos afirmar que el límite no existe.

Ejemplo 3

7

Lic. Carlos Ribeiro

Calcular

Solución:

Para probar que este límite no existe vamos a ir por dos direcciones distintas

Por tanto el no existe ya que en la dirección de y = 0 e y = x el límite es

distinto.

Ejemplo 4

Pruebe que aplicando la definición

Solución:

De la definición:

y las propiedades (3) y (4):

Entonces si basta tomar

Ejemplo 5

Pruebe que

Solución:

De la definición:

luego

8

Lic. Carlos Ribeiro

Ejemplo 6

Comprobar aplicando la definición que el siguiente límite es correcto

Solución:

Tenemos que demostrar la siguiente implicación

Es decir, tenemos que encontrar un valor para tal que cuando , se tenga que

.

Para ello partimos de la expresión y vemos cuánto tiene que valer para que esa

expresión sea menor que , teniendo en cuenta que al estar en un entorno del origen es

, o bien

luego hemos encontrado un

valor para , el propio de .


Aplicando la definición del límite compruebe que existe la relación épsilon delta.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Calcular los siguientes límites

9

Lic. Carlos Ribeiro

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

Continuidad

Definición: Una función es continua en un punto (a,b) perteneciente a un entorno, si

Propiedades

Si son funciones continuas en (a,b) entonces las siguientes funciones

son continuas en (a,b)

Derivadas parcialesDefinición:

Si las derivadas parciales de f respecto de “x” y de “y” son las funciones

definidas de la siguiente manera: siempre que el límite exista.

Esto significa que dado para calcular debemos considerar a “y” constante; y para

calcular debemos considerar a “x” constante.

Notación

10

Lic. Carlos Ribeiro

Hay distintas formas de notar las derivadas parciales de la función

Derivada de f con respecto a x

Derivada de f con respecto a y

Las derivadas parciales evaluadas en un punto (a,b) se denotan como:

Ejemplo 1

Hallar las derivadas parciales de

Solución:

Considerando “y” constante y derivando con respecto a “x” entonces

Considerando “x” constante y derivando con respecto a “y” entonces

Ejemplo 2

Hallar las derivadas parciales de y luego evaluarlas en el punto

Solución:

Considerando “y” constante y derivando con respecto a “x”

Considerando “x” constante y derivando con respecto a “y”

Evaluar las derivadas parciales en el punto

Interpretación Geométrica de las derivadas parciales

11

Lic. Carlos Ribeiro

Las derivadas parciales son las pendientes de la superficie en las direcciones x e y.

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la

curva, producto de la intersección del plano y = y0 con la superficie de la grafica de la función.

La derivada es la pendiente de la recta tangente a la

curva, producto de la intersección del plano x = x0 con la superficie de la grafica de la función.

Cálculo de las pendientes de una superficie en las direcciones x e y

Hallar las pendientes de la superficie del paraboloide en el punto

Solución:

a) Pendiente de la superficie en la dirección x

La pendiente de la recta tangente a la curva es , producto de la

intersección del plano y = 1 con la superficie de la grafica de la función.

b) Pendiente de la superficie en la dirección y

La pendiente de la recta tangente a la curva es -2, producto de la

intersección del plano con la superficie de la grafica de la función.

Ejercicios propuestosCalcular las derivadas parciales de las siguientes funciones

1) 2)

3)

4) 5) 6)

12

Lic. Carlos Ribeiro

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

Derivadas parciales de orden Superior

Las derivadas de orden superior son las derivadas parciales de la función derivada parcial.

Si recordamos las derivadas de orden superior en una variable notaremos que:

La derivada de orden 1 de la función

La derivada de orden 2 de la función es la derivada de y se denota como

.

La derivada de orden 3 de la función f(x) es la derivada de f’’(x) y se notaba como

.

En cambio en dos o más variables se tiene que definir con respecto a que variable se quiere derivar, ya que hay tantas derivadas parciales de orden 1 como variables tenga la función.

A continuación se describe la forma de obtener las derivadas parciales de orden superior.

Calculo de derivadas parciales de Orden 2

En una función de dos variables, se toma cada una de las derivadas parciales y

se deriva con respecto a la variable “x” y la variable “y”.

La derivada de orden 2 con respecto a “x” dos veces es y se denota como

.

La derivada de orden 2 con respecto a “x” con respecto a “y” es y se denota

como .

13

Lic. Carlos Ribeiro

La derivada de orden 2 con respecto a “y” con respecto a “x” es y se denota

como .

La derivada de orden 2 con respecto a “y” dos veces es y se denota como

.

Según la notación que se use, siempre se deriva primero la variable que está más cercana de la función f.

Por tanto dada una función de dos variables hay cuatro derivadas parciales de segundo orden. Si la función fuese de tres variables se obtendrían nueve derivadas parciales de segundo orden.

Calculo de derivadas parciales de Orden 3

En una función de dos variables, se toma cada una de las derivadas parciales de orden 2

; ; y y se deriva con respecto a la variable “x” y la variable

“y”.

En el siguiente cuadro están calculadas las derivadas de orden tres.

Nótese que por cada derivada parcial se obtienen dos más, entonces la cantidad de derivadas que se obtienen es una potencia de 2.

Si la

función fuese de tres variables la cantidad de derivadas parciales son potencias de 3

Teorema “Igualdad de las derivadas parciales cruzadas

Si f es una función continua entonces para todo (x,y) perteneciente al dominio se verifica que las derivadas cruzadas son iguales.

En dos variables sería

Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de orden Superior

Ejemplo 1

14

Derivar con respecto a “x”Derivar con respecto a “y”

Lic. Carlos Ribeiro

Sea Calcular las derivadas de orden 2 y evaluarlas en el punto (-1,2).

Solución:

Lo primero que hay que hacer es hallar las derivadas parciales

Ahora se calculan las derivadas de orden 2

Se evalúan las derivadas de orden 2 en (-1, 2)

= 40

Ejemplo 2

Sea . Probar que

a)

b)

Solución:

Se calculan las derivadas parciales

15

Nota que las derivadas parciales son iguales

Lic. Carlos Ribeiro

a) Calcular

y verificar que son iguales

b) Calcular y verificar que la resta es igual a cero


Calcular las derivadas parciales de orden 2 de las siguientes funciones

1) 2)

3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

16

Lic. Carlos Ribeiro

19) 20) 21)

Diferenciabilidad

Definición:

En una variable se dice de que una función f(x) es derivable. En cambio en 2 o mas variables se habla de una función diferenciable.

Una función

; donde y con los

siguientes límites:

Si f es diferenciable en todo punto perteneciente a una región R entonces se dice que la función es f(x,y) es diferenciable en una región R.

Ejemplo

Ver si la función es diferenciable

Solución:

Se calcula

Ahora se calculan las derivadas parciales

Vamos a ver si se puede escribir y encontrar el

error.

con

De esta manera se demuestra que es diferenciable

Condición de diferenciabilidad

17

Lic. Carlos Ribeiro

Una función con derivadas parciales continuas en una región,

entonces la función es diferenciable en dicha región.

Diferencial Total

En una variable el diferencial de se define como .

En dos variables se va a utilizar una terminología parecida “Diferencial Total”

Definiciones

Si son incrementos de x e y.

Los diferenciales de las variables se definen como .

El diferencial total se define como .

Una función con derivadas parciales continuas en una región,

entonces la función es diferenciable en dicha región.

Ejemplo

Calcular el diferencial total de

Solución:

Entonces el diferencial total es


Hallar la diferencial total de los siguientes problemas

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

La regla de la cadena

18

Lic. Carlos Ribeiro

Teorema 1: Sean funciones derivables en t y diferenciable en

.Entonces es derivable en t y se tiene que .

Ejemplo

Calcular si

Solución:

El teorema anterior se extiende a funciones de más variables.

Ejemplo

Calcular

Solución:

Teorema 2: Sean funciones cuyas primeras derivadas parciales existen en

función diferenciable en . Entonces existen y están dadas

por .

Teorema 3 (caso general): Sea u una función derivable de las n variables , en donde

cada es una función de m variables , tales que las derivadas parciales existen

para todo y . Entonces para cada se tiene que

.


1. Determinar .

2. Hallar .

3. Hallar .

4. Hallar .

19

Lic. Carlos Ribeiro

5. Hallar .

6. Hallar .

7. Hallar .

8. Hallar .

9. Hallar .

10.Hallar .

11.Supongamos que : Dados los valores

en el punto correspondiente . Determine los valores en el punto

correspondiente .

12.Hallar .

13.Hallar siendo

14.Hallar , siendo:

15.Hallar siendo:

16.Hallar , siendo:

17.Hallar , siendo:

18.Hallar , siendo:

19.Hallar , siendo:

1.2 Gradiente

Introducción

El gradiente normalmente denota una dirección en el espacio según la cual se aprecia una variación de una determinada propiedad o magnitud física.

20

http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsica

Lic. Carlos Ribeiro

Medida de la inclinación de una curva (con frecuencia una línea recta). Se define como la relación del cambio vertical (elevación) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una línea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razón a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x.Para una línea como y = 3x + 1, el gradiente es +3 porque y aumenta en 3 por cada incremento unitario en x. Para una curva, el gradiente cambia de punto a punto. Se puede obtener utilizando derivadas.

Derivadas direccionales y gradiente

Supongamos que estamos en la ladera de la colina dibujada en la figura (1) y queremos determinar la inclinación de la colina en la dirección al eje

z. Si la colina estuviese representada por , entonces ya

sabríamos cómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes (la pendiente en la dirección “y” vendría dada por la derivada parcial

y la pendiente en la dirección “x” vendría dada por la derivada

parcial ). En este tema vamos a ver que se pueden usar estas

dos derivadas parciales para encontrar la pendiente en una dirección arbitraria.

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, definimos un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional. Comenzamos

haciendo que sea una superficie y un punto del

dominio de , como se muestra en la figura (2). Especificamos una

dirección mediante un vector unitario , donde es el ángulo que forma el vector

con el eje x positivo. Ahora, para hallar la pendiente deseada, reducimos el problema a dos dimensiones mediante la intersección de la superficie con un plano vertical que pasa por el punto P y es paralelo al vector u, como se ve en la figura (3). Este plano vertical corta a la superficie

para formar una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en como la

pendiente de la curva C en ese punto.21

Lic. Carlos Ribeiro

Podemos escribir la pendiente de la curva C como un límite muy parecido a aquellos que se usan en el cálculo de una variable. El plano vertical empleado para formar C corta al plano xy en una

recta L que se representa por las ecuaciones paramétricas .Luego

para cualquier valor de t, el punto pertenece a la recta L. Para cada uno de los puntos P y

Q, existe el punto correspondiente sobre la superficie

.

Como la distancia entre P y Q es podemos

escribir la pendiente de la recta secante que pasa por como:

Finalmente, haciendo que t tienda a cero, llegamos a la definición de la derivada direccional.

Derivada direccional

Sea f una función de dos variables x e y, y sea un vector unitario. Entonces la

derivada direccional de f en la dirección de u se denota por , y es:

El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable. Una fórmula de trabajo más simple para obtener

derivadas direccionales recurre a las derivadas parciales .

Teorema

22

Lic. Carlos Ribeiro

Si f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del

vector unitario es:

Ejemplo 1

Calcular la derivada direccional de en el punto en la dirección de

Solución:

Evaluando en tenemos:

Ejemplo 2

Calcular la derivada direccional de en el punto en la dirección de

Solución:

Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v

Usando este vector unitario, tenemos:

23

Lic. Carlos Ribeiro

Gradiente

La derivada direccional puede expresarse como el producto escalar del vector unitario

y el vector . Este vector es importante y tiene usos diversos.

Lo llamamos vector gradiente de f.

Definición: Si , entonces el gradiente de f se denota mediante , es el vector

.

Otra notación para el gradiente es .

Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada direccional de f en la

dirección de u como .

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el contenido del siguiente teorema.

TeoremaSi f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional en la dirección del

vector unitario u es .

Ejemplo

Calcular la derivada direccional de en en la dirección que va desde

Solución:

24

Lic. Carlos Ribeiro

Un vector en la dirección especificada es y un vector

unitario en esta dirección es

Como

El gradiente es:

Luego, en la derivada direccional es:

Ya hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto de una superficie. En

muchas aplicaciones nos gustaría conocer en qué dirección movernos para que crezca lo

más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el siguiente teorema.

Aplicaciones del gradiente

Teorema

Si f es una función diferenciable en el punto

1) Si , entonces para todo u.

2) La dirección de máximo creciente de f viene dada por . El valor máximo de

es .

25

Lic. Carlos Ribeiro

3) La dirección de mínimo creciente de f viene dada por . El valor mínimo de

es .

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, consideremos un esquiador descendiendo

una de las laderas de una montaña. Si denota la altitud del esquiador, entonces

indica la dirección que el esquiador debe adoptar para deslizarse por la trayectoria de máxima pendiente (Recordemos que el gradiente indica dirección en el plano xy y por si mismo no señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña).

Como ilustración alternativa del gradiente consideremos la temperatura en un punto

cualquiera de una placa metálica plana. En este caso, da la dirección de máximo

crecimiento de la temperatura en el punto , como se señala en el siguiente ejemplo.

EjemploLa temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiendo x e y en centímetros. Desde el punto se quiere saber:

¿En qué dirección crece la temperatura más rápidamente?¿A qué ritmo se produce este crecimiento?Solución:

El gradiente es:

La dirección de más rápido crecimiento viene dada por

La razón de crecimiento es: por centímetro

26

Lic. Carlos Ribeiro

Ejercicios propuestosEncontrar la derivada direccional de la función en el punto P en la dirección de v.

1)

2)

3)

4)

5)

6) )

7) )

8) )

Encontrar la derivada direccional de la función en la dirección

1)

2)

27

Lic. Carlos Ribeiro

3)

4)

Encontrar la derivada direccional de la función en el punto P en la dirección de Q.

1)

2)

3)

4)

Calcular el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada direccional en el punto indicado.

1)

2)

3)

4)

28

Lic. Carlos Ribeiro

5)

6)

7)

8)

En los siguientes ejercicios utilice la función para:

1) Hallar donde y

a.

b.

2) Hallar donde y

a.

b.

29

Lic. Carlos Ribeiro

c.

d.

3) Encontrar el

4) Hallar el valor máximo de la derivada direccional en

5) Hallar el vector unitario al y calcular

1.3 Planos tangentes y rectas normales a las superficies

Se llama plano tangente a una superficie (S) en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación , entonces la

ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la

ecuación:

30

Lic. Carlos Ribeiro

y la recta normal por:

Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita entonces:

La ecuación del plano tangente en el punto viene definida por

Y la ecuación de la recta normal:

La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.

Ejemplo 1Determinar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación

en el punto .

Solución:

Hallamos las derivadas parciales:

En el punto las derivadas parciales son:

31

Lic. Carlos Ribeiro

Luego la ecuación del plano tangente en el punto es:

O bien, simplificando

y la ecuación de la recta normal es:

Ejemplo 2

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto

Solución:

Comenzamos calculando las derivadas parciales

En el punto las derivadas parciales son:

Luego la ecuación del plano tangente en el punto es:

Al simplificar

32

Lic. Carlos Ribeiro

Ejercicios propuestosEn los siguientes problemas determine una ecuación del plano tangente y de la recta normal a la

superficie dada en el punto indicado P

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punto

33

Lic. Carlos Ribeiro

12)Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide en el punto

Derivación de Funciones ImplícitasTeoremas

I. Si es continua en una región del plano que contiene a un punto para el cual

, las derivadas parciales son continuas en dicha región y en

, existe un intervalo en torno de en el que se puede despejar “y” de la

ecuación , siendo “y” una función continua y derivable con respecto a x:

II. Si son continuas en una región del plano que contiene al punto para el

cual , las derivadas parciales , son continuas en dicha región y

en , existe un intervalo en torno de en el que se puede despejar

34

Lic. Carlos Ribeiro

“z” de la ecuación , siendo “z” una función continua y derivable con respecto a

x e y:


1) Aplicando el teorema I, demostrar que define a “y” como función derivable de

x en un intervalo del punto que no comprenda a ningún punto del eje x. Hallar la derivada

en dicho punto.Solución:

Sea se tiene , mientras que en el intervalo de anterior,

la función está definida, sus derivadas parciales son continuas y .

Entonces en .

2) Hallar , siendo

Solución:

35

Lic. Carlos Ribeiro

3) Hallar , siendo

Solución:

Haciendo tenemos que:

4) Hallar , siendo

Solución:Tomando z como una función de x e y definida por la relación y derivando parcialmente con respecto a x y de nuevo co0n respecto a y, tenemos


36

Lic. Carlos Ribeiro

1) Hallar siendo

2) Hallar siendo

3) Hallar siendo

4) Hallar siendo

5) Hallar siendo

6) Hallar siendo

7) Hallar siendo

8) Hallar siendo

37

Lic. Carlos Ribeiro

9) Hallar siendo

1.4 Máximos y mínimos de las funciones de dos variablesSea f una función continua de dos variables x e y definida en una región acotada cerrada R del plano xy.Al menos hay un punto en R en el que f adquiere su valor mínimo.Al menos hay un punto en R en el que f adquiere se valor máximo.

Definición:

Una función de dos variables tiene un máximo

local en si cuando está cerca

de (esto significa que para todos los

puntos en algún disco con centro en ). El

número se llama máximo local.

Si cuando está cerca de

entonces es un mínimo local.

Si f tiene un máximo o un mínimo local en y hay derivadas parciales de primer orden de f,

entonces . El punto se denomina un punto crítico de f.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de

Solución:

Las derivadas parciales son

Cuando

Como

Luego . Por tanto, para (punto crítico). Es evidente que es un

mínimo de la función.

Geométricamente, es el mínimo de la superficie


Hallar los máximos y mínimos de las funciones:

38

Lic. Carlos Ribeiro

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Cálculo de extremos relativos.Teorema Criterio de la segunda derivada y Criterio del Hessiano

Función de dos variablesSuponga que las segundas derivadas parciales de f son continuas en un disco con centro en

y que (es decir es un punto critico de f).

Sea donde D es el determinante

de su matriz Hessiano, entonces:

Si

Si

Si

Si

39

Lic. Carlos Ribeiro

Punto sillaDefinición: Los puntos silla son puntos que de acuerdo como se mire la grafica es máximo y mínimo al mismo tiempo.

Un buen ejemplo se da en el paraboloide hiperbólico

justamente su gráfica es de forma de

una silla de montar de ahí viene el nombre de punto silla.

En la función el punto silla es el .

Ejemplo

Encuentre el máximo o mínimo local y los puntos sillas de

Solución:

Al sustituir de (3) en (4), tenemos:

La expresión solo aporta raíces o ceros complejos.

Como en los reales , concluimos que

Más en los reales . Concluimos que .

De donde salen las raíces

Como de (3) , encontramos que los puntos son los puntos críticos.

Ahora Luego

Lo que sucede es que cuando las segundas derivadas parciales son continuas, como en este

caso, entonces

En

40

Lic. Carlos Ribeiro

En

En

El valor mínimo local en , que por coincidencia es el mismo valor local .

Funciones de tres o más variablesCalculamos los siguientes determinantes:

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en

Si los determinantes tienen signo alterno, comenzando con un valor negativo ,

entonces la función tiene un máximo en

En cualquier otro caso hay duda.

Ejemplo 1

41

Lic. Carlos Ribeiro

Hallar los extremos de la función

Solución:Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

Resolviendo el sistema obtenemos

Luego es el único punto crítico de la función.

Hallamos la matriz Hessiano de f en

Con lo cual tenemos luego hay extremo y como entonces se trata de

un mínimo. El valor de la función en el mínimo es

Ejemplo 2

Hallar los extremos de la función

42

Lic. Carlos Ribeiro

Solución:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden


Resolviendo el sistema obtenemos


Hallamos la matriz Hessiano de f en

Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

43

Lic. Carlos Ribeiro

Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para ver que se trata de un punto silla

para los puntos del tipo y

para los puntos del tipo

Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto crítico la función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho punto.


Calcular los valores máximos y mínimos locales, así como los puntos de silla de la función

1)

2)

3)

4)

5)

6)

44

Lic. Carlos Ribeiro

7)

8)

9)

10)

11)

12)

1.5 Multiplicadores de LagrangeEs el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se pueda aplicar las condiciones para extremos libres.

Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función , y

sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación . Se trata de

encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.

Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función sujeta a una

restricción .

Reducción a una variable: Teóricamente el problema se puede resolver despejando “y” en la

ecuación y sustituyendo en , con lo cual el

problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.

45

Lic. Carlos Ribeiro

El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en

la ecuación .

Método de los multiplicadores de Lagrange. Los extremos de la función condicionados

por la restricción , se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

Para resolver el sistema, eliminamos de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo

sustituimos en la tercera (procurando no perder soluciones con las simplificaciones).

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables

Sea un punto crítico de la función de Lagrange , obtenido para un valor concreto

. Formamos la función de Lagrange para ese ,

Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:

46

Lic. Carlos Ribeiro

(a-1) Método de la diferencial segundaEl problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando el

signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para )

a condición de que:

Si la función tiene un mínimo condicionado, y si la función tiene un máximo

condicionado.

(a-2) Método del Hessiano

Hallamos el Hessiano de la función de Lagrange en el punto

crítico correspondiente, y sólo podemos concluir en el caso de que sea positivo.

Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo lo da ; si es negativa máximo y

si es positiva mínimo).

En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método)

(b) Caso de tres o más variables (caso general).

Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en ):

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Lic. Carlos Ribeiro

Si todos los determinantes tienen signo negativo, entonces la función tiene un mínimo

condicionado en

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor positivo ), entonces la

función tiene un máximo condicionado en

Si todos los pero no se cumplen ninguna de las dos condiciones anteriores, entonces la

función no posee extremo condicionado en

Si algún hay duda.

Reducción a dos variables: Los extremos de la función , condicionados por la

restricción , pueden reducirse a un extremo de dos variables en aquellos casos en

que sea posible despejar una de las variables de la ecuación .

48

Lic. Carlos Ribeiro

Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la función ,

condicionados por las restricciones y se producen en los puntos

críticos de la función de Lagrange:


Ejemplo 1

Hallar los extremos de la función , condicionados por la recta

Solución:

Formamos la función de Lagrange:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden de la función L.


Resolviendo el sistema obtenemos .

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Lic. Carlos Ribeiro


Para estudiar su naturaleza investigamos en el punto la segunda diferencial de la función

: vinculamos los diferenciales a partir de la ecuación , lo que nos

da , de donde , con lo que resulta:

Es decir, la segunda diferencial, mediante la restricción, se ha convertido en una forma cuadrática

definida positiva, y por lo tanto el punto es un mínimo condicionado.

Ejemplo 2

Hallar los extremos de la función bajo la restricción .

Solución:

Formamos la función de Lagrange:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden de la función

Para hallar los puntos críticos igualamos a cero y componemos el sistema:

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Lic. Carlos Ribeiro

De las dos primeras ecuaciones obtenemos , y sustituyendo en la tercera resulta ,

con lo cual, el único punto crítico es , obtenido para

Para estudiar su naturaleza formamos la función de Lagrange correspondiente:

Hallamos sus derivadas parciales segunda: con lo cual:

y

Luego la función presenta un mínimo condicionado en el punto .


Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones

1) condicionados por .




5) condicionados por



Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos que se especifican:

1) Mínimo de

51

Lic. Carlos Ribeiro

2) Máximo de

3) Máximo y mínimo de

4) Mínimo de


Usar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos que se especifican

1) Máximo de

2) Máximo de


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Unidad I MatemÁtica III

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