Trabajo Definitivo Matemática III

8/17/2019 Trabajo Definitivo Matemática III

1/25

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSIÓN MARACAY

SUPERFICIES CUÁDRICAS

Aut!"#: Br. Gabriel Bastardo 26.570.442

Br. Wilberto Yanes 13.139.260

P!$"#!% Fernando Rodrígue

A#&'()tu!)% !ate"#ti$as %%%

S"**&+(% ii

!ara$a&' (o)ie"bre 2015


2/25

,NDICE GENERAL

**.

+(,%- G(R/.................................................................................................ii

%/ , F%GR/..............................................................................................iii

%(R,--%(...................................................................................................i)

RF%-% -/,R%-/..................................................................................1

,eini$i8n & le"entos (otables de las u*eri$ies -u#dri$as...........................1

-lasii$a$i8n de las u*eri$ies -u#dri$as...........................................................1

RF%-% -,R%-/ -( -(R.......................................................2

li*soides..............................................................................................................2

:i*erboloide :i*erb8li$o o de una :o;a..............................................................3

:i*erboloide lí*ti$o o de dos :o;as...................................................................4

:i*erboloides -on;ugados....................................................................................5

RF%-% -,R%-/ %( -(R.........................................................6

araboloide lí*ti$o..............................................................................................6

araboloide :i*erb8li$o.......................................................................................7

................................................................................................................19

2


3/25

LISTA DE FIGURAS

**.

F%GR/ 1? li*soide...................................................................................................3

F%GR/ 2? :i*erboloide de una :o;a.........................................................................4

F%GR/ 3? :i*erboloide de dos :o;as........................................................................5

F%GR/ 4? -ono /sint8ti$o........................................................................................6

F%GR/ 5? araboloide lí*ti$o..................................................................................7

F%GR/ 6? araboloide :i*erb8li$o...........................................................................=

3


4/25

INTRODUCCIÓN

a geo"etría analíti$a es la ra"a de la geo"etría en la @ue las líneas re$tas' las

$ur)as & las iguras geo"Atri$as se re*resentan "ediante e*resiones algebrai$as &

nu"Ari$as usando un $on;unto de e;es & $oordenadas. -ual@uier *unto del *lano se

*uede lo$aliar $on res*e$to a un *ar de e;es *er*endi$ulares dando las distan$ias del

*unto a $ada uno de los e;es.

a geo"etría a)an8 "u& *o$o desde el inal de la era griega Casta la edad "edia.

l siguiente *aso i"*ortante en esta $ien$ia lo dio el il8soo & "ate"#ti$o ran$As

RenA ,es$artes' $u&o tratado l ,is$urso del !Atodo' *ubli$ado en 1637' Cio A*o$a.

ste traba;o ragu8 una $onei8n entre la geo"etría & el #lgebra al de"ostrar $8"o

a*li$ar los "Atodos de una dis$i*lina en la otra. Dste es un unda"ento de la

geo"etría analíti$a' en la @ue las iguras se re*resentan "ediante e*resiones

algebrai$as' su;eto sub&a$ente en la "a&or *arte de la geo"etría "oderna.

/ tra)As de ella se *ueden desarrollar ininidad de e$ua$iones & iguras e*resadas

a tra)As del siste"a $artesiano. l traba;o a realiar se e*ondr# tres' el *araboloide

del gru*o de las $u#dri$as' @ue se e*resa $o"o una igura tridi"ensional & *uede ser

de dos ti*os' el *arab8li$o & elí*ti$o. l eli*soide' $u&as su*eri$ies $ur)a $errada &

en sus tres se$$iones ortogonales *rin$i*ales es elí*ti$o' es de$ir' es originado *or

*lanos @ue $ontienen dos e;es $artesianos & $osas terrestres. s una $u#dri$a an#loga

a la eli*se en el *lano tridi"ensional. Y ta"biAn el Ci*erboloide' @ue es la su*eri$ie

de re)olu$i8n generada *or la rota$i8n de una Ci*Arbola sobre uno de sus e;es de

si"etría.

4


5/25

SUPERFICIES CUADRICAS

Definición y Elementos Notables de las Superficies Cuádricas

na $u#dri$a es la su*eri$ie or"ada *or todos los *untos del es*a$io $u&as

$oordenadas ( x , y , z ) )erii$an la e$ua$i8n general de segundo grado

A x2+B y2+C z2+ Dxy+ Exz+ Fyz+Gx+ Hy+ Iz+ K =0 E1

as su*eri$ies $u#dri$as tienen "u$Cos ele"entos en $o"n $on las $8ni$as en el

*lano. na se$$i8n *lana de una $u#dri$a es una $8ni$a' o una or"a degenerada o

lí"ite de Asta. / la Cora de analiar la $uadr#ti$a se re$o"ienda si"*lii$ar

*re)ia"ente la e$ua$i8n. i la e$ua$i8n de la su*eri$ie no *resenta tAr"inos

$ruados' la e$ua$i8n *uede redu$irse' $o"*letando $uadrados & realiando otras

operaciones algebraicas, a una e$ua$i8n en la @ue se e)iden$ia un tAr"ino en $ada

)ariable E&' *osible"ente' un tAr"ino inde*endiente' es de$ir' a uno de los siguientes

ti*os de e$ua$i8n A x

2+B y2+C z2+ D=0 ,

A x2+B y2+C z2=0 ,

A x2+By=0 ,

A x2+ D=0

n general' aun@ue en la e$ua$i8n eistan tAr"inos $ruados' ta"biAn es *osible

redu$irla a una de sus or"as anteriores. a tA$ni$a ne$esaria *ara eli"inar los

tAr"inos $ruados $onsiste en efectuar un cambio de variable apropiado (cálculomatricial).

1


6/25

Clasificación de las Superficies Cuádricas

,e*endiendo de los signos de los $oei$ientes in)olu$rados se obtendr#n

su*eri$ies $on dierentes ele"entos distinti)os? *lanos' e;es & $entros de si"etría'

)Arti$es' & $ortes $on *lanos *aralelos a los *lanos $oordenados. Re$ordando @ue una

su*eri$ie es si"Atri$a? res*e$to del origen si al $a"biar en su e$ua$i8n ( x , y , z)

*or (− x ,− y ,− z) la e$ua$i8n no $a"biaH res*e$to del e;e OX , y= z=0 ' si al

$a"biar en su e$ua$i8n ( x , y , z) *or

( x ,− y ,− z )la ecuación no cambia; respeco!el e"e O# , x= z=0 ' si al $a"biar en

su e$ua$i8n ( x , y , z) *or (− x , y ,− z )la ecuaciónno cambia; res*e$to del e;e

O $ , x= y=0 ' si al $a"biar en su e$ua$i8n ( x , y , z) *or

(− x ,− y , z )la ecuaciónno cambia; res*e$to del *lano OX# , z=0 ' si al $a"biar

en su e$ua$i8n ( x , y , z) *or ( x , y ,− z ) laecuación no cambia; res*e$to del

*lano O X $ , y=0 ' si al $a"biar en su e$ua$i8n ( x , y , z) *or

( x ,− y ,− z )la ecuación no cambia; res*e$to del *lano O#$,x=0 ' si al $a"biar

en su e$ua$i8n ( x , y , z) *or (− x , y , z )la ecuación no cambia%

,e la e$ua$i8n E1 se dedu$e @ue $ada $u#dri$a $on $entro tiene tres *lanos de

si"etría Elos *lanos $oordenados' tres e;es de si"etría Elos e;es $oordenados & un

$entro de si"etría Eel origen. stas su*eri$ies se $lasii$an en dos $ategorías

unda"entales' las @ue *oseen un $entro de si"etría en el origen lla"adas cuádricas

con centro' & las @ue no tienen $entro de si"etría' cuádricas sin centro.

2


7/25

SUPERFICIES CUÁDRICAS CON CENTRO

Elipsoides

l eli*soide es una su*eri$ie #$il de identii$ar. n su estru$tura algebrai$a todos

sus $oei$ientes son *ositi)os. a or"a ordinaria o $an8ni$a de su e$ua$i8n es

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2=¿ 1 E2

odas sus traas sobre los *lanos $oordenados son eli*ses. a su*eri$ie es

si"Atri$a $on res*e$to a todos los *lanos $oordenados' a todos los e;es $oordenados'

& al origen. odas las se$$iones del eli*soide generadas *or los *lanos $oordenadosson eli*ses dentro de los lí"ites de la su*eri$ie' @ue es $errada.

i dos $uales@uiera de los $oei$ientes en la e$ua$i8n E2 son iguales' se genera

una superficie de revolución. n *arti$ular' si a>b & c=b ' la $u#dri$a re$ibe el

no"bre de elipsoide alargado de revolución, el $ual se obtiene Ca$iendo girar la

eli*se

x2

a2+

y2

b2=¿ 1 ' z=¿ 0 '

en torno de su e;e "a&or. ,e igual or"a' si a>b & c=a ' se genera un

elipsoide achatado o esferoide de revolución, el cual se obtiene Ca$iendo girar la

eli*se

x2

a2+

y2

b2=¿ 1 ' z=¿ 0 '

en torno de su e;e "enor. a"biAn' si a=b=c ' la su*eri$ie E2 es un esfera de

radio a ' siendo un $aso es*e$ial del eli*soide.

3


8/25

Hiperboloide Hiperbólico o de una Hoja

n su estru$tura algebrai$a dos de sus $oei$ientes son *ositi)os & uno es negati)o.

res or"as $an8ni$as de la e$ua$i8n del Ci*erboloide de una Co;a son

x2

a2+

y2

b2−

z2

c2=¿ 1 ' x

2

a2−

y2

b2+

z2

c2=¿ 1 ' − x

2

a2 +

y2

b2+

z2

c2=¿ 1

as traas sobre los *lanos $oordenados son una eli*se & dos Ci*Arbolas' & es

si"Atri$a $on res*e$to a todos los *lanos *rin$i*ales' e;es $oordenados & al origen.

Hiperboloide Elíptico o de dos Hojas

n su estru$tura algebrai$a dos de sus $oei$ientes son negati)os & uno es *ositi)o.

res or"as $an8ni$as de la e$ua$i8n del Ci*erboloide de dos Co;as son

4

Figura : Elipsoide

Figura !: Hiperboloide de una Hoja


9/25

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2=¿ 1 ' − x

2

a2 −

y2

b2+

z2

c2=¿ 1 ' − x

2

a2 +

y2

b2−

z2

c2=¿ 1

as traas sobre los *lanos $oordenados son dos Ci*Arbolas' no interse$ta a los e;es

@ue en la or"a a$o"*aIan a los $oei$ientes negati)os' & es si"Atri$a $on res*e$to a

todos los *lanos *rin$i*ales' e;es $oordenados & al origen.

Hiperboloides Conjugados

os Ci*erboloides son su*eri$ies no $erradas @ue se etienden indeinida"ente.

-ual@uier Ci*erboloide de una Co;a se etiende a lo largo del e;e $oordenado

$orres*ondiente a la )ariable $u&o $oei$iente es negati)o en la or"a $an8ni$a de su

e$ua$i8n. ,el "is"o "odo' $ual@uier Ci*erboloide de dos Co;as se etiende a lo largo

del e;e $oordenado $orres*ondiente a la )ariable $u&o $oei$iente es *ositi)o en laor"a $an8ni$a de su e$ua$i8n. i en la e$ua$i8n ordinaria de la $u#dri$a de dos

Co;as

x2

a2−

y2

b2−

z2

c2=¿ 1 '

5

Figura ": Hiperboloide de dos Hojas


10/25

b=c ' la su*eri$ie es deno"inada hiperboloide de revolución de dos hojas, el

$ual se obtiene Ca$iendo girar la Ci*Arbola

x2

a2−

y2

b2=¿ 1 ' z=¿ 0 '

en torno del e;e x . e *uede de"ostrar' ta"biAn *ara el $aso del Ci*erboloide de

una sola Co;a' @ue todo Ci*erboloide $ontiene a un $ono lla"ado cono asintótico.

-uando un Ci*erboloide Ci*erb8li$o & un Ci*erboloide elí*ti$o des$riben un $ono

asint8ti$o $o"n' re$iben el no"bre de hiperboloides conjugados.

SUPERFICIES CUÁDRICAS SIN CENTRO

a or"a ordinaria de una $u#dri$a sin $entro $on $oei$ientes dierentes de $eroes

& x

2

a2 &

y2

b2=cz ' E3

6

Figura #: Cono $sintótico


11/25

,e la e$ua$i8n E3 se dedu$e @ue las su*eri$ies sin $entro tienen dos *lanos de

si"etría Elos *lanos #$ & X$ un e;e de si"etría Eel e;e $ & ningn $entro

de si"etría. s de$ir' son asi"Atri$as $on res*e$to del origen de $oordenadas.

%araboloide Elíptico

n su estru$tura algebrai$a los $oei$ientes de los tAr"inos de segundo grado son

del "is"o signo. res or"as $an8ni$as de la e$ua$i8n del *araboloide elí*ti$o son

x2

a2+

y2

b2=cz ' x

2

a2+

z2

c2=cy ' y

2

b2+

z2

c2=cx

ara $ada or"a obtenida de dos )aria$iones segn c sea *ositi)o o negati)o'la su*eri$ie *asa *or el origen sin eisten$ia de otras inter$e*$iones $on los e;es

$oordenados. as traas sobre los *lanos X# ' X$ & #$ son su $entro de

si"etría Eel origen & dos *ar#bolas.

n la e$ua$i8n x

2

a2+

y2

b2=cz ' la su*eri$ie es si"Atri$a $on res*e$to a los

*lanos #$ & X$ & $on res*e$to al e;e $ .

7

Figura &: %araboloide Elíptico


12/25

as se$$iones de las su*eri$ies *or *lanos *aralelos al X# son las $ur)as

x2

a2+

y2

b2=c' ' z=' ' @ue denotan eli*ses si c & ' son del "is"o signo.

in son de signos $ontrarios Ca& lugar geo"Atri$o. i es a=b ' la su*eri$ie es un

paraboloide de revolución el $ual se obtiene Ca$iendo girar la *ar#bola

y2

b2=cz, x=¿ 0 ' en torno del e;e z .

%araboloide Hiperbólico

n su estru$tura algebrai$a los $oei$ientes de los tAr"inos de segundo grado sonde signos $ontrarios. res or"as $an8ni$as del *araboloide Ci*erb8li$o son

x2

a2−

y2

b2=cz ' x

2

a2−

z2

c2=cy ' y

2

b2−

z2

c2=cx

ara $ada or"a obtenida de dos )aria$iones segn c sea *ositi)o o negati)o'la su*eri$ie *asa *or el origen sin eistir otras inter$e*$iones $on los e;es

$oordenados. as traas sobre los *lanos X# ' X$ & #$ son'

res*e$ti)a"ente' las re$tas @ue se $ortan

x

a+

y

b=¿ 0 ' z=¿ 0 ' & x

a−

y

b=¿ 0 ' z=¿ 0 H

& las *ar#bolas x

2

a2=cz , y=¿ 0 ' & y

2

b2=−cz, x=¿ 0 .

as se$$iones de la su*eri$ie *or *lanos *aralelos al X# ' *ero @ue no

$oin$iden $on Al' son las Ci*Arbolas x

2

a2−

y2

b2=c' ' z=' ( 0 .

/ "edida @ue ' $re$e nu"Ari$a"ente' las ra"as de la Ci*Arbolas $ada )e "#sdel e;e z ' des$ribiendo una $u#dri$a no $errada @ue se etiende indeinida"ente.

=


13/25

E-ERCICIOS PROPUESTOS

1. studiar & re*resentar los siguientes eli*soides siguientes?

a 25 x2+16 y2+4 z2=100

b 4 x2+ y2+9 z2=144

$ x2+4 y 2+4 z2−12=0

d x2+4 y2+9 z2=36

e( x−1)36

2

+( y−2)16

2

+( z−3)

9

2

=1

2. studiar & re*resentar los siguientes Ci*erboloides de una Co;a?

a x16

2

+ y

9

2

− z

36

2

=1

b x

4

2

− y

36

2

+ z

16

2

=1

$ 4 x2−25 y2+16 z2=100

d x16

2

+ y

4

2

−( z−1)25

2

=1

e 9 y2− x2+4 z2=36

3. studiar & re*resentar los siguientes Ci*erboloides de dos Co;as?

a x16

2

− y

9

2

− z

36

2

=1

9

Figura ': %araboloide Hiperbólico


14/25

b 25 x2−16 y 2−4 z2=100

$( x−1)16

2

− y

4

2

− z

25

2

=1

d 36 y2

−9 x2

−16 z2

=144

e 4 z2− x2−9 y 2=36

4. studiar & re*resentar los siguientes *araboloides?

a 3 x2+ z2−4 z=0

b x2+2 y2−6 z=0

$ 4 x2+3 y2−12 z=0

d 4 x2− y2−4 z=0

e x2

+2 y2

=8− z

5. :allar el )Arti$e del *araboloide?

a 2 x+3 y2−8 x+12 y+3 z+23=0

b 2 x+4 z2−4 x−24 z− y+36=0

$ 3 z2+5 y2−2 x+10 y−12 x+21=0

6. :allar el lugar geo"Atri$o de los *untos $u&o $uadrado de la distan$ia al e;e

z es el doble de la $orres*ondiente al *lano xy .

10


15/25

11


16/25

12


17/25

13


18/25

14


19/25

15


20/25

16


21/25

CONCLUSIÓN

uego de la realia$i8n & estudio de los *untos deinidos & desarrollados en el

traba;o in)estigati)o anterior"ente realiado' es i"*ortante desta$ar la $o"*le;idad &

*roundidad de las iguras des$ritas & obser)adas $o"o *arte de la geo"etría

analíti$a' *or lo tanto' un $ono$i"iento geo"Atri$o es indis*ensable *ara orienta$i8n

relei)a"ente en el es*a$io o $o"o *ara Ca$er esti"a$iones sobre or"as' distan$ia'

ta"biAn *ara Ca$er o*era$iones & $#l$ulos relati)os a la distribu$i8n de ob;etos en el

es*a$io.

l *araboloide Ci*erb8li$o ta"biAn $ono$ido $o"o silla de "ontar o *aso de

"ontaIa *or su $onor"a$i8n geo"Atri$a' es una su*eri$ie @ue en una dire$$i8ntiene las se$$iones en or"a de *ar#bola $on los lados Ca$ia arriba &' en la se$$i8n

*er*endi$ular' las se$$iones tienen su or"a de *ar#bola $on los lados Ca$ia aba;o. e

*uede si"*lii$ar el $on$e*to air"ando @ue es un *lano alabeado. l eli*soide es

una su*eri$ie $ur)a $errada $u&as tres se$$iones ortogonales *rin$i*ales son

elí*ti$as' es de$ir' son originadas *or *lanos @ue $ontienen dos e;es $artesianos. e

generalia el $on$e*to de eli*soide al in$luir su*eri$ies @ue no se obtienen *or

rota$i8n. n un siste"a de $oordenadas $u&o $entro es el de si"etría de la su*eri$ie'

$u&os e;es son ta"biAn e;es de si"etría de la "is"a.

l Ci*erboloide es una su*eri$ie $reada al girar una Ci*Arbola alrededor de uno de

sus e;es de si"etría. a rota$i8n alrededor del e;e $on;ugado *rodu$e un Ci*erboloide

de una Co;a. a rota$i8n alrededor del e;e trans)ersal $rea un Ci*erboloide de dos

Co;as.

,einido esto' @ueda "u& $laro la $o"*le;idad & )ersatilidad del e;e $artesiano *ara

re*resentar este ti*o de iguras.

17


22/25

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

.&(/0"1 -232 4566782 Geometría analítica. S"!&" S9)u:2 M;


23/25

ANEXOS

$ne(o

li*soide

s si"Atri$o $on res*e$to a $ada unode los tres *lanos $oordenados &tiene interse$$i8n $on los e;es$oordenado en

E±a'0'0 E0'±b'0 E0'0±c & latraa del eli*soide sobre $ada uno delos *lanos $oordenados es una eli*se

a su*eri$ie ser# una esera si ?

a=

b=

c≠

0

araboloideelí*ti$o

us traas sobre *lanos Coriontales z =k E *lano &' son eli*ses

us traas sobre *lanos )erti$ales' y=k E o los *lanos' x=k E& son *ar#bolas.

l e;e del *araboloide $orres*onde ala )ariable ele)ada a la *oten$iaunidad.

19


24/25

araboloideCi*erb8li$o

us traas sobre *lanos Coriontales z=k E& son Ci*Arbolas o dosre$tas J0. us traas sobre *lanos)erti$ales *aralelos al *lano son

*ar#bolas @ue abren Ca$ia aba;o'

"ientras @ue las traas sobre *lanos)erti$ales *aralelos al *lano & son

*ar#bolas @ue abren Ca$ia arriba. ugr#i$a tiene la or"a de una silla de"ontar. l e;e del *araboloide$orres*onde a la )ariable ele)ada ala *oten$ia unidad.

$ne(o !

-ono lí*ti$o

us traas sobre *lanosCoriontales z =k E& soneli*ses. us traas sobre *lanos)erti$ales $orres*onden aCi*Arbolas o un *ar de re$tas

l e;e del $ono $orres*onde a la)ariable $u&o $oei$iente esnegati)o.

:i*erboloide deuna Co;a

us traas sobre *lanos

Coriontales z =k E& son eli*ses x2

+ y2 =1+ kc22 a2 b2

us traas sobre *lanos )erti$ales sonCi*Arbolas o un *ar de re$tas @ue seinter$e*tan

l e;e del Ci*erboloide $orres*onde ala )ariable $u&o $oei$iente esnegati)o.

20


25/25

:i*erboloide dedos :o;as

u gr#i$a $onsta de dos Co;asse*aradas. us traas sobre *lanosCoriontales z =k E& son eli*ses &sobre *lanos )erti$ales son

Ci*Arbolas

l e;e del Ci*erboloide $orres*onde ala )ariable $u&o $oei$iente es

*ositi)o. (o Ca& traa en el *lano$oordenado *er*endi$ular a este e;e

21

Trabajo Definitivo Matemática III

Documents

Transcript of Trabajo Definitivo Matemática III