Matemáticas Discretas - Unidad III: Logica matemática

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICOINGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

Matemáticas DiscretasUnidad III: Lógica Matemática

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Competencia Específica a Desarrollar• Analizar y resolver problemas computacionales utilizando las

técnicas básicas de lógica.

Matemáticas Discretas

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Lógica Proposicional• Proposición: Una proposición se define como un enunciado,

una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas.


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• Las proposiciones mas sencillas posible se denominan atómicas y se representan habitualmente con letras minúsculas a partir de la p.

• Una proposición expresada como una cadena de caracteres se denomina expresión lógica o fórmula


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Ejemplos de proposiciones• "¿Qué hora es?" • "Juan es un nombre"• "8 es un número primo"• "8 no es un número primo“• ¿Cuánto es 3 mas 5?


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• Las proposiciones constituidas por proposiciones atómicas y otras partículas que sirven de nexo se llaman moleculares o compuestas y se representan habitualmente con letras mayúsculas a partir de la P.


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Ejemplos de proposiciones compuestas• Federico es alto y Jaime también.• Federico y Jaime son altos.• Las manzanas son verdes o rojas.• México es un país o una ciudad.• Juan no es alto.


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Conectores Lógicos• Los Conectores Lógicos son palabras que sirven

para formar Proposiciones Compuestas, es decir, dos o más proposiciones unidas, que al verse como una sola debe cumplir la regla básica de falsedad o verdad.


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Disyunción (O, OR)• La disyunción de P,Q es

denotada por P v Q. La disyunción es verdadera si al menos uno de sus elementos es verdad P, Q es verdadero, esto se conoce como Disyunción Inclusiva. A continuación se muestra la tabla de verdad de O:


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Disyunción Exclusiva (O EXCLUSIVO, XOR)• El símbolo representa el O

EXCLUSIVO (XOR), que es incluido en muchos lenguajes de programación. Una proposición P Q se lee como “P o Q pero no ambos", es decir no pueden ser ambos verdaderos o ambos falsos. A continuación se muestra la tabla de verdad de XOR:


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Conjunción (Y, AND)• La conjunción de P,Q es

denotada por P ^ Q. La conjunción es verdadera solo si P y Q son verdaderos. A continuación se muestra la tabla de verdad de Y:


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Negación (NO, NOT)• Una sentencia que es modificada con el

conectivo no es llamada la negación de la sentencia original. Simbólicamente, sí P es una proposición entonces ¬P (no P), denota la negación de P. A continuación se muestra la tabla de verdad de la negación ¬:


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Condicional• Para dos declaraciones P,Q decimos “P

implica Q" y se escribe P Q para denotar la implicación de Q por P. La proposición P es llamada la hipótesis o antecedente de la implicación; Q es llamada la conclusión o consecuente de la implicación. Una condicional solo es falsa cuando p es cierta y q falsa; en el resto de casos es verdadera.


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Bicondicional (SI Y SOLO SI, SII)• Otra declaración común en matemáticas

es “P si y solo si Q", o simbólicamente P Q. Esto es llamado la equivalencia de dos proposiciones, P, Q. A continuación se muestra la tabla de verdad de SII.


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Ejemplos:• Si María estudia mucho será buena estudiante.• Juan puede cursar Matemáticas Discretas solo si está en tercer

semestre de carrera.


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Jerarquía de los Conectores:

v ^ ¬


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Tautologías, Contradicciones y Contingencia

• Tautología: es una expresión lógica que es verdadera para todas las asignaciones posibles


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• Contradicción: es una expresión lógica que es falsa para todas las asignaciones posibles


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• Contingencia: es una expresión lógica que no es ni tautología ni contradicción


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Equivalencias Lógicas• Dos formas proposicionales P y Q se dicen lógicamente

equivalentes, y se escribe P ≡ Q, si sus tablas de verdad coinciden.

El programa está bien escrito y bien documentado.El programa está bien documentado y bien escrito.


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1. (p q) ≡ p q∼ ∨ ∼ ∧∼2. (p q) ≡ p q∼ ∧ ∼ ∨∼


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