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CONTENIDO DE LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICA PARA INGENIERÍAS

I. LOGICA MATEMATICA Reseña Histórica Proposiciones, Operadores Lógicos, Formas Proposicionales, Algebra Proposicional, Razonamientos y Cuantificadores

LÓGICA MATEMÁTICA.- La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica. RESEÑA HISTORICA.- Los principios formales de las matemáticas se desarrollan en Grecia. Platón, Aristóteles y Euclides proponen las primeras ideas hacia la lógica: Platón propone ideas o abstracciones. Aristóteles resuelve el razonamiento deductivo y sistematizado. Euclides es el autor que establece el método axiomático.

El trabajo de Aristóteles contiene el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. Representan el primer intento serio que funda la lógica como ciencia.

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Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX, quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.

La disciplina de la lógica matemática recibió este nombre gracias a Giuseppe Peano, quien reformó y complementó la lógica tradicional Aristotélica, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática. El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. PROPOSICIONES.- Se entiende como tal a una frase en la que se declara algo y a la que podemos asignar un valor de verdadero o falso; pero no ambos al mismo tiempo. Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas todas las leyes de esta matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de estudio. En si las proposiciones son oraciones literarias o matemáticas en la cual tiene sentido establecer un valor de verdad o falsedad. Es decir una proposición puede ser verdadera o falsa y no ambas a la vez. Y por lo tanto una oración que no tenga sentido o carezca de valor no será considerada proposición. Hay dos clases de proposiciones: simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente.

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a. Proposiciones Simples.- También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplo: El cielo es azul. (verdadero) Nomenclatura: p b. Proposiciones Compuestas.- También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo: Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto. Oraciones que no son consideradas Proposiciones.- Las siguientes Oraciones nunca serán consideradas proposiciones:

a) Oraciones Interrogativas (¿?) Este tipo de Oraciones llamadas "Interrogativas" indican alguna pregunta dentro del lenguaje literario y por este motivo estas oraciones carecen de un valor de verdad es decir no pueden ser ni verdaderas ni falsas. Al no ser consideradas ni falsas ni verdaderas no pueden ser proposiciones. Ejemplos: 1.- ¿Cómo te llamas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 2.- ¿A dónde Vas? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 4.- ¿Que te gusta tomar? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 5.- ¿Cuántos años tienes? No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso Por lo tanto llegamos a la conclusión de que cualquier oración interrogativa no puede ser considerada una proposición.

b) Oraciones de Admiración (¡!) Estas oraciones de "Admiración" tampoco son consideradas proposiciones ya que este tipo de oración indica algo admirable y por ende no tiene sentido afirmar si dicha oración es verdadera o falsa. Al tener estas características no podrán ser consideradas proposiciones Ejemplos: 1.- ¡Viva Ecuador! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 2.- ¡Viva La Mama Negra! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 3.- ¡es Linda mi tierra! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso 4.- ¡Que sin das flores! No tiene sentido afirmar si es verdadero o falso

c) Oraciones de Deseo Estas oraciones de "Deseo" también no son consideradas proposiciones ya que cuando uno expresa un deseo este deseo puede ser falso y verdadero al mismo tiempo. Al tener esta característica no pueden ser consideradas proposiciones Ejemplos:

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1.- Deseo helados 2.- Quiero ir a la plaza 3.- Quiero que gane la selección 4.- Quiero darte un beso

d) Oraciones de Orden Es otro tipo de oraciones las cuales entran en el grupo de las no pertenecientes a las proposiciones ya que una oración literal de orden no tendrá sentido afirmar si es verdadera o falsa por el mismo hecho de que se trata de una oración de orden al tener esta característica no será considerada Proposición. Ejemplos: 1.- Tráeme una silla 2.- Búscame un lápiz 3.- Traigan todos los documentos 4.- Acomoden en aula

OPERADORES LÓGICOS. Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra, denominada proposición molecular. Conectivos lógicos más empleados son:

Negación Es un elemento lógico que actúa independientemente de la proposición. Se lee no p.

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REGLA.- La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera.

Ejemplo: p.- Juan conversa -p.- Juan no conversa

Conjunción Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “y”, “pero”, “también”, “sin embargo”, “además”, etc. Se lee p y q. REGLA.- Es verdadera la proposición conjuntiva únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas (p y q), en cualquier otro caso es falsa.

Ejemplo: P: La casa está sucia. Q: La empleada la limpia mañana P Q: La casa está sucia y la empleada la limpia mañana

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Disyunción Une proposiciones mediante el conectivo lógico “o”. Se lee p o q. REGLA.- Una proposición disyuntiva es verdadera cuando por lo menos uno de sus componentes es verdadero. Es falsa sólo cuando todos sus componentes son falsos (p o q).

P: Pedro juega básquet Q: María juega fútbol PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.

Conjunción Negativa Es la unión de dos o más proposiciones por “ni”. Se lee ni p ni q. REGLA.- El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni q), en cualquier otro caso es falsa.

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Disyunción Exclusiva Es la unión de dos o más proposiciones mediante el conectivo lógico “o”. Se lee o p o q, pero no ambos. REGLA.- Es verdadera la proposición cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa o cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera.

Condicional Viene a ser la combinación de dos proposiciones con “si… entonces”. Se lee si p entonces q. REGLA.- Una proposición condicional es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas

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Ejemplo: P: Si me saco la lotería Q: Te regalaré un carro P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.

Bicondicional Es la unión de dos proposiciones por “si y sólo si”. Se lee p si y sólo si q. REGLA.- Una proposición bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.

Ejemplo P: Simón Bolívar vive Q: Montalvo está muerto P Q: Simón Bolívar vive si y solo si Montalvo está muerto.

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Tabla resumen:

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FORMAS PROPOSICIONALES.

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ALGEBRA PROPOSICIONAL. Una proposición, para los fines de esta exposición, es una declaración la cual puede ser verdadera o falsa, por ejemplo: 5 > 4, 2+2=5, “Pedro comió a las 3″, “Me gusta la sopa”. Algunas veces es más difícil que otras determinar si la declaración (o proposición) es verdadera o falsa, en otras palabras, si toma el valor de verdad o falsedad. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que existe sólo una posibilidad, ya sea que la propuesta puede que sea verdadera o sea falsa. Algunas declaraciones que no califican con este criterio son “Tu sweater es bonito”, ײ = 9, “¿Cómo dijiste?”. Esta definición propuesta es una definición formal, esto es, una definición que se ha hecho cuidadosamente para que todas las posibilidades queden cubiertas; se ha hecho de este modo con el fin de que no existan ambigüedades ni malentendidos. En muchas ocasiones, se utilizan letras para representar las proposiciones. Se dice que una proposición es simple o atómica, si no está compuesta por otra proposición. Las Proposiciones compuestas se pueden crear combinando conectores con proposiciones simples. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes: 1. EQUIVALENCIA P⇔P 2. INDEPOTENCIA P∧P ⇔P P∨ P ⇔P 3. ASOCIATIVA P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R) P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R) 4. CONMUTATIVA P∧Q⇔ Q∧P P∨Q⇔ Q∨P 5. DISTRIBUTIVAS P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R) 6. IDENTIDAD P∧F ⇔ F P∧V⇔ P P∨F⇔ P P∨V⇔V 7. COMPLEMENTO P∧¬P⇔F P∨¬P⇔V ¬(¬P)⇔P ¬F⇔V ¬V⇔F 8. DE MORGAN

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¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q 9. ABSORCION P∧(P∨Q)⇔P P∨(P∧Q)⇔P

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RAZONAMIENTO Y CUANTIFICADORES. Cuantificadores

En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados

para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos

tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:

Ejemplo:

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Ejemplo:

Implicación

Etimológicamente del latín “in ─ plicare”, significa el hecho de algo que está “plegado” o doblado

en el interior de algo que oculta lo que hay en su interior que, por tanto, aunque está, no es visible o

perceptible.

Su contraposición se manifiesta en el término latino “ex ─ plicare”. La “explicación” es el hecho de

desplegar lo que está plegado; sacar al exterior, hacer visible, o comprensible, aquello que está

“implicado” en el interior de algo que lo hacía oculto o no comprensible.

Implicación y Condición

Aunque en el lenguaje ordinario no suele tener importancia esta distinción, en su sentido lógico y

científico las diferencias pueden tener un sentido importante.

Tanto la condición como la implicación en el cálculo lógico se expresan según el esquema A → B,

que puede leerse de dos formas:

A → B Si A entonces B "Si hoy es martes entonces mañana es miércoles"

A → B A implica B "Hoy es martes", implica que, (por tanto) "mañana es miércoles"

En el primer caso hemos leído una condición. En el segundo una implicación.

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1.- Observamos que, en su escritura, la expresión difiere de forma fundamental en el uso de las

comillas:

"Si A entonces B" es una y única proposición y como tal una única afirmación; por tanto, en su

interpretación lógica,tiene dos valores posibles de verdad, es decir, puede ser verdadera o falsa. Su

tabla de valores de verdad nos indica que solamente es falsa en el caso en que “A” sea verdadera y

“B” sea falsa, y en los demás casos posibles es verdadera. Pero a falta de información

complementaria no podemos afirmar como tal proposición ni su verdad ni su falsedad.

En "A implica B" hay dos proposiciones, y dos afirmaciones.[6] Pero el valor de cada una es

diferente. De modo que afirmando "A", como sentencia verdadera en su contenido semántico, se

exige la afirmación de "B" como sentencia verdadera en su contenido semántico. Dicho de otra

manera, la afirmación de la segunda depende de la validez epistemológica de la primera.

2.- Lo condicional es una afirmación hipotética sobre una relación meramente formal. “si se da una

condición (antecedente), tiene que darse también lo condicionado (consecuente)”. El hecho de que

no se dé la condición no afecta al hecho de que se dé o no se dé lo condicionado.

En la implicación, sin embargo, la relación se establece sobre sentencia en su condición de

"contenido semántico". A debería tomarse como afirmación sobre "A"; y B como afirmación sobre

"B".

Mientras la condición es una relación meramente sintáctica, la implicación exige además una

relación semántica. En este segundo caso la condición responde a un contenido material.

Así pues implicación debe entenderse como:

La verdad de A exige, o lleva implícita, es decir implicada, la verdad de B.

O, si queremos ponerla en forma hipotética:

Si se afirma como verdadero A tiene que afirmarse como verdadero B.

FUENTES.- ANÁLISIS MATEMÁTICO: Jorge Lara y Jorge Arroba, Centro de Matemática Universidad Central del Ecuador. LÓGICA MATEMÁTICA: http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html RESEÑA HISTÓRICA: http://logicamatematica1.wordpress.com/2010/08/07/historia-de-la-logica-

matematica/

PROPOSICIONES: http://www.monografias.com/trabajos81/algebra-logica-introduccion-

proposiciones/algebra-logica-introduccion-proposiciones.shtml

ALGEBRA PROPOSICIONAL: http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/leyes-del-algebra-de-

proposiciones.html, http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logica-matematica.html