Matemática: Unidad I

Unidad I

Prof.: Christiam Huertas

www.mathesm.blogspot.com

27/02/2012

Teoría de conjuntos e intervalos

Las matemáticas son fáciles

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1


2

Teoría de conjuntos,

desigualdades e

intervalos

Capítulo 1

Teoría de conjuntos

En la vida diaria agrupamos continuamente objetos de la misma naturaleza. En

matemática a tal colección se le llama conjunto, en tanto que a los objetos que

lo componen se les llama elementos. En consecuencia, el concepto de conjunto

es simplemente una generalización de una idea que ya es algo común en la

cotidianidad.

1.1 Conjuntos

Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de

objetos reales o ideales, a los cuales se les denomina elementos del conjunto.

Ejemplo 1 Ejemplos de conjuntos

1. Los cinco primeros números impares.

2. Las 5 vocales.

3. Los días de la semana.

4. Los alumnos del aula 605.

A los conjuntos generalmente se les representa con letras mayúsculas y a sus

elementos separados por comas ( , ) y encerrados por llaves: { }.

Notación Notación de un conjunto

{ }

Nombre del Elementos del

conjunto conjunto

UNIDAD

I


3

Ejemplo 2 Ejemplos de conjuntos y su representación

1. El conjunto de los cinco primeros números impares.

{ }

2. El conjunto de las vocales.

{ }

3. El conjunto de los días de la semana.

{ }

4. El conjunto de los alumnos del aula 605.

{ }

1.1.1 Relación de pertenencia

Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece ( ) a este

conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece ( ) a dicho conjunto.

Notación Notación de la relación de pertenencia

Elemento Conjunto

{ }

Ejemplo 3

Dado el conjunto { }, afirmamos que:

pertenece el conjunto Notación:

pertenece el conjunto Notación:

no pertenece el conjunto Notación:

Ejemplo 4

Dado el conjunto { { } { }}. ¿Cuántas de las siguientes

proposiciones son verdaderas?

{ }

{ }

{{ }}


4

Solución

Como los elementos del conjunto son: { } { }. Podemos concluir que:

(V)

{ } (V)

{ } (V)

(F)

(V)

{{ }} (F)

1.2 Determinación de un conjunto

Determinar un conjunto es especificar o señalar en forma precisa, cuales son los

elementos que lo conforman sin que existan ambigüedades.

Por extensión o en forma tabular Por comprensión o en forma constructiva

Es cuando se señala a cada uno de sus

elementos del conjunto.

Es cuando se menciona una o más

características comunes y exclusivas

de los elementos del conjunto.

Ejemplo 5 Determinación de un conjunto por extensión y comprensión respectivamente

Los cinco primeros números naturales.

{ } { }

Las estaciones del año.

{ } { }

Los cinco primeros números pares.

{ } { }

1.3 Número cardinal

El número cardinal de un conjunto nos indica la cantidad de elementos

diferentes que posee el conjunto.

Notación Notación de número cardinal

o

Se lee: cardinal del conjunto .


5

Ejemplo 6 Ejemplos de conjuntos y su respectivo cardinal.

1. En el conjunto { }, su cardinal es .

2. En el conjunto { }, su cardinal es .

3. { }, su cardinal es .

4. { { } { } { }}, su cardinal es .

1.4 Representación gráfica de conjuntos

1.4.1 Diagramas de Venn – Euler

Los diagramas de Venn-Euler representan a los conjuntos mediante regiones

planas limitadas por figuras geométricas cerradas (triángulos, rectángulos,

circunferencias, elipses, etc.).

Ejemplo 7 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler

El conjunto { } se puede representar mediante la siguiente

figura.

Ejemplo 8 Representación de un conjunto por un diagrama de Venn-Euler

El conjunto { } se puede representar mediante la

siguiente figura.

1.4.2 Diagramas de Carroll

Es un diagrama que consiste en rectángulos divididos por segmentos. Se usan

para graficar conjuntos disjuntos.

𝐵

𝑎

𝑚

𝐴

𝑎

𝑒

𝑖

𝑜

𝑢


6

Ejemplo 9 Representación de un conjunto por el diagrama de Carroll

En una reunión asistieron hombres y mujeres, además se observó que un grupo

de dichos asistentes son casados. Representar a través de un diagrama los

conjuntos mencionados.

Solución

Definimos los conjuntos: Diagrama de Carrol para los subconjuntos definidos:

: conjunto de los hombres

: conjunto de las mujeres

: conjunto de los solteros

: conjunto de los casados

Note que los 4 conjuntos son disjuntos.

1.5 Relaciones entre conjuntos

1.5.1 Inclusión

Se dice que un conjunto esta incluido en el conjunto , si y solo si los

elementos de son también elementos del conjunto .

Notación

Si esta incluido en , se denota por:

Se lee: Diagrama

esta incluido en .

esta contenido en .

es un subconjunto de .

contiene al conjunto .

Ejemplo 10

Dados los conjuntos Diagrama

{ }

{ }

Notamos que todos los elementos

de están incluidos en .

Por lo tanto,

∙

𝐵

𝐴

𝐵

∙ 𝑥

∙

∙

∙ ∙

∙

𝐴

𝐶

𝐻

𝑀

𝑆


7

Ejemplo 11


{ }

{ }

Se sabe que toda gallina es un ave.

Por lo tanto, .

1.5.2 Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos y son iguales cuando tienen los mismos elementos sin

importar el orden.

Notación

Ejemplo 12 Conjuntos iguales

Dados los conjuntos

{ } y { }

Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto

es igual al conjunto .


Dados los conjuntos

{ } y { }

Vemos que tanto como tienen los mismos elementos. Entonces el conjunto

es igual al conjunto .


Dados los conjuntos

{ } y { }

Verifique que .

Solución

𝑀

𝑁


8

Un elemento de debe cumplir que

⏟ Diagrama

Luego, { }

1.5.3 Conjuntos comparables

Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos

está incluido en el otro.

Ejemplo 15 Conjuntos comparables


{ } y { }

Vemos que y son comparables,

ya que al menos esta incluido en .

1.4.4 Conjuntos disjuntos

Conjuntos disjuntos son conjuntos que no tienen NINGÚN elemento común

entre ellos.

Ejemplo 16 Conjuntos disjuntos

Dados los conjuntos

{ } y { }

y son disjuntos, porque no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo 17

Dados los conjuntos

{ } y { }

y no son disjuntos, porque tienen el elemento común .

𝐴 𝐵

∙

∙

∙

𝐵

∙ ∙

∙

∙

𝐴


9

Ejemplo 18

Dados los conjuntos

{ }

{ }

Obviamente y son disjuntos.

1.6 Clases de conjuntos

1.6.1 Conjunto finito

Un conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos, por lo tanto,

el proceso de contar sus elementos termina en algún momento.

Ejemplo 19 Ejemplos de conjuntos finitos

{ }

{ }

{ } { }

1.6.2 Conjunto infinito

Un conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir,

el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo 20 Ejemplos de conjuntos infinitos

{ }

{ }

{ }

1.7 Conjuntos especiales

1.7.1 Conjunto vacío o nulo

Es aquel conjunto que no posee elementos.

Notación

{ } o

𝑃 𝑄


10

Ejemplo 21 Ejemplos de conjuntos vacíos

{ }

{ }

{ }

1.7.2 Conjunto unitario o singletón

Es aquel conjunto que solo posee un elemento.

Ejemplo 22 Ejemplos de conjuntos unitarios

{ } { }

{ } { }

{ } { }

1.7.3 Conjunto universal

Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular, que

contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal

absoluto.

Notación

Se denota generalmente con la letra

Ejemplo 23 Ejemplo de conjunto universal

Dados los conjuntos

{ }

{ }

Los siguientes conjuntos pueden ser

considerados universos que contiene

a los conjuntos anteriores.

{ }

{ }

𝕌

𝐴 𝐵


11

1.8 Conjuntos numéricos

La evolución de la humanidad trae por consecuencia la construcción de nuevos

conocimientos como también la evolución de estos, entre ellos la evolución de

los conjuntos numéricos. El hombre comienza de los conjuntos numéricos más

básicos, y a medida que se presentan nuevos desafíos como también debido a

necesidades se van creando nuevos conjuntos.

Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que tienen características

específicas. Los más importantes son:

1.8.1 Conjunto de los números naturales

Surgieron de la necesidad del ser humano de contar objetos. Se denota mediante

el símbolo y está formado por los números naturales.

{ }

1.8.2 Conjunto de los números enteros

Se denota mediante el símbolo y está formado por los números enteros.

{ }

Este conjunto se subdivide a la vez:

Conjunto de números enteros positivos

Se denota por y está formado por los números enteros positivos.

{ }

Conjunto de números enteros negativos

Se denota por y está formado por los números enteros negativos.

{ }

Observación

El número 0 es entero, pero no es positivo ni negativo.

1.8.3 Conjunto de los números racionales

Está constituido por todas las fracciones de enteros, con denominador distinto

de 0. Se le representa mediante el símbolo y se define como


12

{

}

Todo número racional

se puede representar como un número decimal finito o

infinito periódico. Ello se logra simplemente efectuando la división entre y .

1.8.4 Conjunto de los números irracionales

Está constituido por todos los números decimales infinitos y no periódicos. Se

le representa mediante el símbolo y se define como

{

}

Ejemplo 22 Ejemplos de números irracionales

√ … es un número irracional.

√

… es un número irracional.

… es un número irracional trascendente.

… es un número irracional trascendente.

1.8.5 Conjunto de los números reales

Se le representa mediante el símbolo y está formado tanto por los números

racionales como por los irracionales.

1.8.6 Diagrama de Venn-Euler de los conjuntos numéricos


13

1.9 Operaciones entre conjuntos

A continuación presentamos las operaciones más comunes entre conjuntos, con

su diagrama de Venn correspondientes.

1.9.1 Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos y es el conjunto formado por la agrupación de

todos los elementos de con todos los elementos de .

Notación Definición

{ }

Ejemplo 24

Dados los conjuntos

{ }

{ }

La unión de y es:

{ }

1.9.2 Intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos y es el conjunto formado por los

elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez.


{ }

Ejemplo 25

Dados los conjuntos

{ }

{ }

La intersección de y es:

{ }

1.9.3 Diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos y (en ese orden) es el conjunto formado por

los elementos de pero que no pertenecen a .

𝕌 𝐴 𝐵

∙

∙

∙ ∙

𝕌 𝐴 𝐵

∙

∙ ∙

∙


14


{ }

Ejemplo 26

Dados los conjuntos

{ }

{ }

La diferencia de y es:

{ }

1.9.4 Complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen al conjunto universal pero no al conjunto .


C o ̅ o o { }

Ejemplo 27

Dado el conjunto

{ }

Considerando como universo a

{ }

el complemento de es:

{ }

1.9.5 Aplicaciones

Ejemplo 28

En una fiesta donde había 70 personas, 10 eran hombres que no les gusta la

cumbia, 20 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de

hombres que gusta de la cumbia es la tercera parte de las mujeres que no

gustan de esta música, ¿a cuántos les gusta la cumbia?

Solución

Definimos los conjuntos:

𝕌 𝐴 𝐵

∙

∙

∙ ∙

𝕌

𝐴 𝐴𝑐 ∙ 𝑖

∙ 𝑜

∙ 𝑎 ∙ 𝑢 ∙ 𝑒


15

: conjunto de los hombres

: conjunto de las mujeres

: conjunto de personas que les gusta la cumbia

: conjunto de personas que no les gusta la cumbia.

Consideremos el diagrama de Carroll:

Por dato el total de asistentes es de 70 personas; es decir:

Pero la cantidad de personas que les gusta la cumbia es: .

Ejemplo 29

Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100

atletas en una competición deportiva. Se sabe que 45 atletas reciben medallas

de Oro, 45 reciben medallas de Plata, 60 reciben de Bronce, 15 reciben

medallas de Oro como de Plata, 25 atletas reciben medallas de Plata y Bronce,

20 reciben medallas de Oro y de Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce.

¿Cuántos atletas no recibieron medallas?

Solución

Llenamos los datos considerando:

: atletas que ganaron oro.

: atletas que ganaron plata.

: atletas que ganaron bronce.

Se debe cumplir:

De donde . Es decir, no

recibieron medallas 5 atletas.

𝐶

𝐻

𝑀

𝑁𝐶

𝒙

𝟑𝒙

𝒙


16

Capítulo 2

Desigualdades

El conjunto de números reales esta ordenado. Esto significa que podemos

comparar cualesquiera dos números reales que no sean iguales mediante

desigualdades y decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro.

La Ballena Franca, visita cada año las costas de la Península de Valdés, se

aparea y pasea sus ballenatos. Esto constituye un gran atractivo turístico.

El peso de la Ballena Franca oscila entre 30 y 35 toneladas. Un macho adulto

mide unos 12 metros, en tanto que una hembra mide unos 13,5 metros. Desde

la playa El Doradillo considerada área natural de reproducción, se puede

disfrutar plenamente de un avistaje costero. La temporada de Ballenas se

extiende de Junio a Diciembre.

La máxima concentración de ballenas se produce entre Octubre y Noviembre,

época en que pueden contabilizarse entre 350 y 400 individuos. Esto convierte

a las aguas vecinas de la Península Valdés en el área de cría más importante

del Hemisferio Sur.

Aunque no lo creas, mucha de la información aquí indicada puede expresarse

matemáticamente, como veremos a continuación.

2.1 Desigualdad

Una desigualdad es la relación de orden entre dos números reales, en la que uno

de ellos es menor o mayor que el otro.

Notación

La relación se denota con el símbolo

o

Así tenemos que

se lee: es menor que .

se lee: es mayor que .

2.2 La recta numérica

En matemáticas es frecuente utilizar representaciones geométricas que

presentan alguna relación significativa con un determinado tema. Dado que la

recta está formada por infinitos puntos y existen infinitos números reales, se

puede asociar cada punto de la recta con un número real (relación biunívoca).

Se obtiene así la recta numérica.


17

Donde los símbolos (infinito negativo) y (infinito positivo), no son

números reales.

La correspondencia entre números reales y los puntos de una recta nos permite

apreciar gráficamente una propiedad fundamental de los números reales: existe

un ordenamiento entre ellos. De este modo se puede representar la desigualdad

en la recta numérica como:

Es decir, el número se ubica a la izquierda del número .

Notaciones

Relación de orden Lectura

es mayor que

es menor que

es mayor o igual que

es menor o igual que

Ejemplo 1 Ejemplos de comparación de dos números

Escriba los símbolos , , según corresponda:

a) ____

b) ____

c) ____

d) ____

e) ____

f) ____

g) ____

h) ____ √

i) ____ √

j) √ ____ √


18

Capítulo 3

Intervalos

La ordenación existente en el conjunto de los números reales permite definir un

tipo de conjunto en que van a ser muy útiles: los intervalos.

3.1 Intervalo

Es un subconjunto de los números reales definidos mediante la relación de

orden dada en el conjunto de los números reales.

Un intervalo de extremos y ( ) es el conjunto de todos los números

reales que estén entre y .

Representación gráfica de un intervalo

Donde y son los extremos del intervalo, que pueden o no pertenecer a él.

3.1.1 Clases de intervalos

Existen diferentes clases de intervalos como los finitos (o acotados), los que

pueden ser abiertos, semiabiertos o cerrados e infinitos (o no acotados).

Clases de intervalos

Intervalo cerrado Representación

[ ] { }

Intervalo abierto Representación

⟨ ⟩ { }

Intervalos semiabiertos Representación

[ ⟩ { }

⟨ ] { }

𝐼


19

Intervalos infinitos Representación

⟨ ] { }

⟨ ⟩ { }

[ ⟩ { }

⟨ ⟩ { }

Ejemplo 1

Escriba cada desigualdad usando la notación de intervalos.

a) b) c) d)

Solución

a) describe todos los números entre 1 y 3, inclusive. En la

notación de intervalos, se escribe [ ].

b) En notación de intervalos, se escribe ⟨ ⟩.

c) consiste en todos los números mayores que 5. En la notación de

intervalos, se escribe ⟨ ⟩.

d) En notación de intervalos, se escribe ⟨ ].

Ejemplo 2

Escriba cada intervalo como una desigualdad que involucre .

a) [ ⟩ b) ⟨ ⟩ c) [ ] d) ⟨ ]

Solución

a) [ ⟩ consiste en todos los números tales que .

b) ⟨ ⟩ consiste en todos los números tales que .

c) [ ] consiste en todos los números tales que .

d) ⟨ ] consiste en todos los números tales que .

Ejemplo 3

En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la

derecha:


20

a) ____ ⟨ ⟩

b) ____ ⟨ ⟩

c) ____ ⟨ ⟩

d) ____ ⟨ ⟩

e) ____ ⟨ ⟩

f) ____ ⟨ ⟩

g) √ ____ ⟨ ⟩

3.1.2 Operaciones con intervalos

Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar

todas las operaciones con conjuntos estudiadas anteriormente.

Sean e dos intervalos, entonces:

Notación y definición

Unión de y { }

Intersección de y { }

Diferencia de y { }

Complemento de C { }

Ejemplo 4

Dados los intervalos ⟨ ], ⟨ ] y [ ⟩.

Determine , , , , , , , , .

Solución


21


22

Capítulo 4

Relación de orden

4.1 Propiedades de las desigualdades

1. Propiedad de no negatividad. Para cualquier número real , el valor de

es 0 o positivo; es decir, es no negativo.

A

Ejemplo 1 Ejemplos de la propiedad de no negatividad

a) Como , entonces .

b) Como , entonces .

c) Como , entonces .

d) Si , entonces .

e) Si , entonces .

2. Propiedad de la suma para desigualdades. Si se suma el mismo número

en ambos lados de una desigualdad, se obtiene una desigualdad

equivalente.

Si , entonces

Si , entonces A

Ejemplo 2 Ejemplos de la suma de desigualdades

a) Si , entonces ; es decir, .

b) Si , entonces ; es decir, .

c) Si , entonces ; es decir,

.

3. Propiedad de la multiplicación para desigualdades.

Si y si , entonces

Si y si , entonces

Si y si , entonces

Si y si , entonces A


23

Ejemplo 3 Ejemplos de la multiplicación para desigualdades

a) Si , entonces ; es decir, .

b) Si , entonces ; es decir, .

c) Si , entonces ; es decir, .

d) Si , entonces ; es decir,

.

4. Propiedad del recíproco para desigualdades. Establece que el recíproco

de un número real positivo es positivo y que el recíproco de un número

real negativo es negativo.

A

Ejemplo 4 Ejemplos de la propiedad del recíproco para desigualdades

a) Si , entonces

.

b) Si , entonces

.

c) Si , entonces

.

5. Propiedad del inverso para desigualdades. Establece que podemos

invertir una desigualdad siempre y cuando los extremos de la desigualdad

tengan el mismo signo.

Sean y dos números del mismo signo; es decir, ambos positivos

o ambos negativos.

A

Ejemplo 5 Ejemplos de la propiedad del inverso para desigualdades

a) Si , entonces

.

b) Si , entonces

; es decir,

c) Si , entonces

.


24

4.1.1 Aplicaciones de las propiedades

Ejemplo 6

Halle el mínimo valor de la expresión si se sabe que .

Solución

La expresión lo podemos expresar como

Como , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:

Sumamos 3 ⏟

Por lo tanto, el menor valor de es 3.

Ejemplo 7

Determine el máximo valor de la expresión .

Solución

La expresión lo podemos expresar como

Como , entonces . Por la propiedad 1 se cumple que:

Multiplicamos por -1

Sumamos 1 ⏟

Por lo tanto, el máximo valor de es 1.

Ejemplo 8

Si ⟨ ]; halle los valores enteros que toma la expresión .

Solución

Como ⟨ ], esto quiere decir que:

Sumamos 2 ⏟


25

Los valores enteros que toma la expresión son: 0; 1; 2 y 3.

Ejemplo 9

Si , halle la variación de la expresión .

Solución

Aplicamos las propiedades de desigualdades para formar la expresión .

Por dato se tiene

Multiplicamos por 3

Sumamos 1 ⏟

Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].

Ejemplo 10

Si , halle la variación de la expresión .

Solución


Por dato se tiene

Multiplicamos por -5

Sumamos 4 ⏟

Luego, ⟨ ]; es decir, varía en el intervalo ⟨ ].

Ejemplo 11

Halle la variación de si se sabe que

.

Solución

Como

, esto es equivalente a

Sumamos 6


26

Multiplicamos por 1/3

Luego, ⟨ ⟩.

Ejemplo 12

Halle la variación de la expresión

si se sabe que ⟨ ].

Solución


Por dato se tiene

Multiplicamos por 2

Restamos 5

Invertimos

⏟

Por lo tanto, [

⟩.


27

Apéndice

Simbología y terminología

Símbolo Se lee

El elemento pertenece al conjunto

El elemento no pertenece al conjunto

Conjunto vacío

El conjunto es igual al conjunto

El conjunto está incluido en el conjunto

El conjunto no está incluido en el conjunto

unión (Reunión de dos conjuntos)

intersección (Intersección de dos conjuntos)

Tal que

Conjunto universal

Diferencia simétrica de los conjuntos y

Producto cartesiano de los conjuntos y

Para todo (Cuantificador universal)

Existe (Cuantificador existencial)

, Existe, No existe

Cardinal del conjunto ó número de elementos

del conjunto .

Implica que, Entonces si, Es suficiente para, etc.

Si y solo si (Doble implicación)

y (Conectivo lógico de conjunción)

o (Conectivo lógico de disyunción inclusiva)

, Complemento del conjunto con respecto al

conjunto universal

Es menor que

Es mayor que

Es menor o igual que

Es mayor o igual que

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