4º básico unidad 3 matemática

4° Básico

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Estudiando problemas

multiplicativos y técnicas para dividir

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Cuarto Año BásicoTERCERA UNIDAD DIDáCTICA

Matemática

Estudiando problemas multiplicativos y

técnicas para dividir

• • Autores • •

Lorena Espinoza S. • Enrique González L. • Dinko Mitrovich G. • Joaquim Barbé

I Presentación 6

II Esquema 16

III Orientaciones para el docente: estrategia didáctica 18

IV Planes de clases 48

V Prueba y Pauta 54

VI Espacio para la reflexión personal 57

VII Glosario 58

VIII Fichas y materiales para alumnas y alumnos 61

Índice

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• Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas• Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún procedi-

miento de cálculo.• Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones asociadas.• Restan utilizando un procedimiento convencional.

Aprendizajes previos

• Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias. • Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes. • En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan

aspectos relacionados con los procedimientos empleados para resolver problemas y la formu-lación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos.

• Utilizan procedimientos resumidos para resolver problemas de reparto equitativo, de agrupa-miento en base a una medida y de iteración de una medida, estableciendo semejanzas y dife-rencias entre ellos y distinguiendo la operación que los resuelve e interpretando el significado de los datos y la incógnita.

Aprendizajes esperados para la Unidad

• Manejan el cálculo mental de productos y cuocientes incorporando nuevas estrategias (Aprendizaje esperado 4, segundo semestre).

• Manejan estrategias de cálculo escrito de productos y cuocientes (Aprendizaje esperado 5, segundo semestre).

• Establecen diferencias y semejanzas entre las características asociadas a las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división (Aprendizaje esperado 7, segundo semestre).

• En la resolución de problemas que ponen en juego los contenidos de la unidad, profundizan aspec-tos relacionados con los procedimientos empleados para resolver el problema y la formulación de otras preguntas a partir de los resultados obtenidos (Aprendizaje esperado 10, segundo semestre).

Aprendizajes esperados del Programa

CUARTo BásICo

TeRceRA UnidAd didácTicAEstudiando problemas multiplicativos y técnicas para dividir

MATeMáTicA

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1.

pResenTAciónI

E sta Unidad gira en torno a la resolución de problemas multiplicativos que involucran una relación de proporcionalidad directa y el desarrollo de técnicas para dividir con el fin de resolver los problemas planteados. Tal y como se vio en

la Cuarta Unidad Didáctica de Tercero Básico, este tipo de problemas se caracterizan por involucrar tres cantidades, el total de una colección, la cantidad de grupos que la confor-man y la medida de cada grupo, siendo esta última medida igual para todos los grupos. Tanto los problemas de agrupamiento en base a una medida, de reparto equitativo y de iteración de una medida, pertenecen a este tipo de problemas. El estudio de la división se realiza a partir de los conocimientos que niñas y niños ya tienen sobre la multiplicación. Los niños avanzan en la apropiación de una estrategia de resolución de problemas multiplicativos identificando qué operación hay que realizar para resolver un determi-nado problema, aprenden procedimientos para dividir, explican sus procedimientos y elaboran problemas. A partir de la relación inversa que existe entre ambas operaciones, los niños construyen una noción amplia y significativa de la división y profundizan la de multiplicación. Las cantidades involucradas en las actividades propuestas en la unidad corresponden a números menores que mil, y en el caso de los problemas que se resuel-ven con una división, el cuociente es un número de una o dos cifras.

A continuación se detallan los aspectos didácticos matemáticos que estructuran esta unidad:

Tareas Matemáticas

Las tareas matemáticas que niñas y niños realizan para lograr los aprendizajes es-perados de esta unidad son:

• Resuelven problemas asociados a una relación de proporcionalidad directa, esto es, problemas de iteración de una medida, de reparto equitativo y de agru-pamiento en base a una medida.

• Calculan divisiones cuyo dividendo tiene hasta tres cifras y el divisor una.

• Comprueban el resultado de una división estableciendo la relación entre el divi-dendo y el divisor, el cuociente y el resto.

• Resuelven problemas inversos de proporcionalidad directa en los que se efectuó una acción de reparto equitativo o agrupamiento en base a una medida, pero que se resuelven efectuando una multiplicación, ya que se itera una medida.

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2.

presentación

• Realizan acciones de repartir en partes iguales, agrupar en base a una medida e iterar una medida asociando las dos primeras acciones a una división y la terce-ra a una multiplicación.

• Elaboran problemas de iteración de una medida, de reparto equitativo o de agru-pamiento en base a una medida a partir de información numérica y un contexto dado, que les permite obtener nueva información a partir de información dis-ponible.

Variables didácticas

Las variables didácticas que se consideran para graduar la complejidad de las ta-reas matemáticas que niñas y niños realizan son:

Ámbito numérico: hasta 1.000.

Tipo de acción involucrada en el enunciado del problema: del tipo agrupar (proble-mas de agrupamiento en base a una medida), repartir en partes iguales (proble-mas de reparto equitativo) o iterar (problemas de iteración de una medida).

Tipo de problemas: directos e inversos.

Disponibilidad de las colecciones: disponibles y no disponibles.

Características de los objetos de las colecciones: manipulables y no manipulables.

Relaciones entre los números en la multiplicación:

• Uno de los factores es un número de una cifra y el otro puede ser un número de hasta tres cifras.

• Un factor es un número de dos cifras y el otro un número de hasta tres ci-fras.

• Uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100.

Relaciones entre los números en la división:

• Ámbito numérico del dividendo: números de dos y tres cifras.

• Relación entre el dividendo y el divisor: Dividendo múltiplo y no múltiplo del divisor.

• Cuociente: menor que 10 (una cifra); igual a 10, mayor que 10 y menor que 99 (dos cifras), mayor que 99 y menor 1000 (tres cifras).

• Ámbito numérico del divisor: una o dos cifras.

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presentación

3. Procedimientos

Los procedimientos que los niños y niñas construyen y se apropian para realizar las tareas matemáticas son:

En la resolución de problemas: Se apropian gradualmente de una estrategia de resolución de problemas que incluye las siguientes fases:

• Reconocer el contexto en que se presenta el problema: relacionan la acción involucrada en el problema con repartir en partes iguales, agrupar en base a una medida o iterar una medida.

• Identificar los datos y la incógnita. ¿Qué nos dice el problema? ¿Qué nos pide averiguar?

• Reconocer la relación aritmética entre datos e incógnitas para decidir si la operación que resuelve el problema es una multiplicación o una división.

• Realizar la operación.

• Interpretar el resultado obtenido en el contexto del problema.

En las técnicas para multiplicar recurren a distintos procedimientos estudiados en tercero básico, según la relación entre los números:

• Números de una cifra, utilizan las combinaciones multiplicativas básicas o la tabla pitagórica.

• Cuando uno de los factores es un múltiplo de 10 ó 100, extienden las com-binaciones multiplicativas básicas a múltiplos de 10 y 100.

• Cuando uno de los factores es un número de dos o tres cifras, los descompo-nen canónicamente y multiplican cada sumando por el número de una cifra, sumando finalmente cada producto.

• Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de productos.

En las técnicas para dividir recurren a distintos procedimientos, estudiados en tercero básico, ampliándolos según la relación entre los números:

• Cuando el divisor es de una cifra, recurren a las combinaciones multiplicati-vas básica y/o a la tabla pitagórica extendida.

• Búsqueda del cuociente de una división a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10 ó 100.

• Utilizan la Tabla Pitagórica para el cálculo de cuocientes.

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4.

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Fundamentos centrales

Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abor-dados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total), la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de ele-mentos que tiene cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).

La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos, jugando el rol de la constante de proporcionalidad, de forma que podemos decir que:

Tanto los problemas de iteración de una medida, como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas.

En los problemas de iteración de una medida directos se tienen como datos la me-dida que debe tener cada grupo (en el entendido que esa medida es la misma para todos los grupos) y el número de grupos, siendo la cantidad total la incógnita del problema.

Dado que la cantidad total equivale a repetir tantas veces como grupos la cantidad de medida de cada grupo, la cantidad total puede obtenerse a partir de multiplicar la medida de cada grupo por el número de grupos.

En los problemas de agrupamiento en base a una medida directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y la medida que tiene cada grupo que hay que formar, siendo el número de grupos que se pueden formar la incógnita del pro-blema.

Por cada grupo de a unidades que formo me quedan a unidades menos en la colec-ción, por tanto, puedo formar tantos grupos como número de veces está contenido el valor a en el total de la colección. La cantidad final de grupos que puedo formar puede determinarse a través de una división, buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida a para acercarme lo más posible a la cantidad total de mi colección sin pasarme.

En los problemas de reparto equitativo directos se tienen como datos la cantidad total de la colección y el número de grupos que se deben formar, siendo la medida de los grupos la incógnita del problema.

Si tengo que repartir t unidades entre a grupos de forma que le correspondan la misma cantidad de unidades a cada grupo, entonces puedo repartir las unidades por “rondas” dando una unidad a cada grupo en cada ronda. Como tengo a grupos, entonces en cada ronda reparto un total de a unidades (una unidad por cada gru-

número de grupos x medida de grupo = cantidad total

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po). Durante el reparto, la cantidad de elementos que tiene cada grupo coincide con la cantidad de rondas efectuadas. De ese modo, la cantidad de elementos que hay en cada grupo una vez finalizado el reparto coincide con la cantidad de rondas efectuadas. Entonces, para poder anticipar para cuantas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que le puedo quitar a unidades al total t. Dicho cálculo corresponde a la división t : a, siendo el cuociente de esa división igual a la cantidad de unidades que corresponden a cada grupo, o sea, a lo que hemos llama-do medida de grupo.

El cuociente de una división se puede determinar a través de la suma de cuocien-tes parciales. Para ello, se empieza buscando cuál es el mayor múltiplo de 100, que multiplicado por el divisor da una cantidad lo más cercana posible al dividendo sin pasarse. Luego se calcula la diferencia entre el dividendo y el resultado de dicho producto. Nuevamente, se busca cuál es el mayor múltiplo de 10 que multiplicado por el divisor se acerca mas a esa diferencia. Una vez determinado, se efectúa la resta entre la diferencia y dicho producto. Finalmente, se determina el factor de una cifra que multiplicado por el divisor se acerca más al resultado obtenido en la última res-ta. El cuociente se obtiene a partir de sumar los tres cuocientes parciales anteriores: el múltiplo de las centenas, más el múltiplo de las decenas, más las unidades.

En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo, a la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto, y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el divisor, dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el problema es de reparto equitativo o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. Sea como sea, en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento.

En los problemas de agrupamiento en base a una medida o de reparto equitativo, la relación entre datos e incógnitas cuando la cantidad total no es múltiplo del núme-ro de grupos o de la medida, se representa por la expresión:

La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como:

Esta expresión permite comprobar el resultado de una división, dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el divi-dendo.

número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial

divisor x cuociente + resto = dividendo

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Los Problemas directos de proporcionalidad directa, son problemas donde la opera-ción que resuelve el problema es la misma con la que se modeliza la acción descrita en el enunciado. Los problemas inversos, son problemas donde la operación que re-suelve el problema es distinta a la que modeliza la acción descrita en el enunciado.

Descripción global del proceso

Durante las seis clases la intención está puesta en que los alumnos estudien pro-blemas multiplicativos de proporcionalidad, identificando la o las operaciones que los resuelven, se enfrenten ante la necesidad de buscar procedimientos de cálculo más eficaces, entendidos estos como procedimientos con pocos pasos y en los que se utilizan cálculos sencillos, y desarrollen herramientas para comprobar y justificar sus procedimientos.

En las primeras 4 clases se plantean actividades que constituyen elementos de un proceso graduado frente al cual los niños tendrán la posibilidad de avanzar y sis-tematizar sus conocimientos sobre la resolución de problemas multiplicativos con la orientación del profesor(a). La quinta clase es esencialmente una clase de ejercitación y sistematización del trabajo desarrollado en las clases anteriores. Finalmente, la sexta corresponde a una clase de evaluación.

El proceso parte en la primera clase proponiendo a niñas y niños actividades que involucran problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medi-da como por ejemplo: Si el jornalero tiene 40 porotos ¿cuántas bolsas necesita, sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa? O bien: Si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lenteja ¿cuántas semillas ha ocupado sabiendo que en cada bolsa ha echado 10 semillas? Interesa que los niños se familiaricen con este tipo de actividad, puesto que dependiendo de la pregunta del problema, surge la multiplicación o la división como operación que resuelve el problema. En esta etapa interesa que los niños y niñas se familiaricen con este tipo de problemas y adquieran seguridad a la hora de resolverlos. Por ello, pese a que los niños sean capaces de anticipar el resultado del problema es importante que tengan la oportunidad de comprobarlo realizando la acción concreta. Luego, resuelven una serie de problemas que están en el mismo contexto que la activi-dad inicial. La clase termina sistematizando la estrategia de resolver la división a partir de la búsqueda del factor que, multiplicado por el cuociente, se acerca más al dividendo sin pasarse.

En la segunda clase el proceso avanza de forma que son los niños los que, dada una determinada situación, formulan problemas de iteración y de agrupamiento en base a una medida y luego los resuelven. En esta clase, mediante el juego “¿Cuántos pa-quetes? ¿Cuántas unidades?” se pretende que los niños desarrollen procedimientos abreviados para calcular el cuociente de una división, cuando este tiene dos cifras y, a su vez, profundicen en el significado de los distintos datos en los problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. De hecho, las nuevas condiciones en las que se plantean los problemas hacen que los procedimientos de la clase anterior

5.

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fracasen, debido fundamentalmente a la ampliación del ámbito numérico. Se espera que los alumnos utilicen combinaciones básicas de múltiplos de 10 para obtener el re-sultado.

En la tercera clase se sigue trabajando con problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Nuevamente se amplía el ámbito numérico. En esta clase se proponen problemas muy similares a los estudiados en la clase anterior, pero en este caso los cuocientes pueden ser cantidades de hasta tres cifras. De ese modo se propone ampliar la técnica de acercarse al dividendo mediante múltiplos de 10, a múltiplos de 100. Al final de la clase, se sistematiza la estrategia que permite de-cidir la operación que resuelve el problema en función del significado de los diferentes datos.

En la cuarta clase a los problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida, se les añaden los problemas de reparto equitativo. Si bien el trabajo central en la clase anterior era el de desarrollar un procedimiento para dividir, en esta clase el énfasis esta puesto en el planteo y la resolución de problemas, más que en el cálculo. Mediante la actividad de “Formulando Problemas” se desarrolla la habilidad de reconocer el rol de cada uno de los datos y de la incógnita dentro de los problemas mul-tiplicativos de proporcionalidad, así como de establecer la operación que relaciona los datos con la incógnita, independientemente de la acción formulada en el problema. En este sentido, en esta clase aparece algún problema inverso, como Luz repartió una bol-sa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa? De forma que los niños vivan la experiencia de que no es suficiente con identificar la acción involucrada en el problema para resolverlo. Es precisamente en estos casos donde el uso de los esquemas aparece como una herramienta especialmen-te útil a la hora de poder determinar y justificar la operación que resuelve el problema.

La quinta clase tiene como propósito principal trabajar lo estudiado en las clases anteriores, de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los cono-cimientos construidos. La clase se inicia con una situación en la que los alumnos deben formular tres problemas distintos y resolverlos recordando lo estudiado en la clase an-terior. Esta situación pone en juego la habilidad para interpretar correctamente el rol que puede jugar cada uno de los datos en los distintos problemas. Luego se propone que los alumnos efectúen un conjunto de cálculos que incluyen multiplicaciones y divi-siones, en los que el ámbito numérico de las cantidades involucradas varía entre uno y tres dígitos. En esos cálculos se propicia que el alumno, además de practicar los proce-dimientos desarrollados en la segunda y tercera clase, adquiera destreza en comprobar los resultados obtenidos en las divisiones. Una vez hechos los cálculos, se propone que resuelvan un conjunto de cuatro problemas multiplicativos entre los que hay un proble-ma inverso. La clase termina con una síntesis de las principales nociones estudiadas en la unidad.

En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite verificar los aprendizajes matemáticos logrados por cada niño y los que habrá que retomar.

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sugerencias para trabajar los Aprendizajes Previos

Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que niños y niñas activen los conocimientos necesarios para que puedan enfrentar adecuadamente la unidad y lograr los aprendizajes espera-dos en ella. El profesor debe asegurarse que todos los niños:

• Evocan las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas

• Pueden determinar el producto de dos dígitos rápidamente usando algún pro-cedimiento de cálculo.

Para cerciorarse que los niños y niñas disponen de dichos conocimientos, proponga problemas multiplicativos de proporcionalidad directa, en que los números involucra-dos sean de una cifra, por ejemplo:

Don Raúl tiene 6 paquetes de zanahorias, con 8 zanahorias cada uno. ¿Cuántas zanahorias tiene?

Si se detecta que no hay dominio o estabilidad en la evocación de las combinacio-nes multiplicativas básicas, se sugiere introducir la “Tabla Pitagórica”. Lo importante es asegurarse que los alumnos asocien a este tipo de problemas la multiplicación, como la operación que permite resolverlos en forma simple y eficaz.

La Tabla Pitagórica permite encontrar los productos de las combinaciones multipli-cativas básicas. El procedimiento es el siguiente: para obtener, por ejemplo, el producto de 6 y 8, se ubica uno de los factores en la primera fila y el otro factor en la primera columna de la tabla. En la intersección de esa fila con esa columna se encuentra el pro-ducto buscado. En la siguiente Tabla Pitagórica se señala el procedimiento seguido para obtener el producto buscado (48).

6.

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La Tabla pitagórica también permite determinar el cuociente de una división, siem-pre y cuando dicho cuociente y el divisor estén dentro del ámbito numérico de los fac-tores representados en la tabla, que suelen ser del 1 al 10. Veamos un ejemplo de ello; queremos calcular el cuociente de la división 50 : 8. Dado que dicho cuociente es el factor que multiplicado por 8 se acerca lo más posible a 50 sin pasarse, entonces nos situamos sobre la columna del 8 y dentro de ella buscamos la cantidad más cercana a 50 pero sin pasarse, esto es 48. Luego una vez encontrada, identificamos la fila en la que se encuentra el 48, o sea el 7. Finalmente podemos establecer que el cuociente de la divi-sión es 7 ya que 7 x 8 es 48. Si se desea obtener el resto basta con calcular la diferencia entre el dividendo, o sea 50 y el producto seleccionado de la tabla, o sea 48, de forma que el resto es 2.

La Tabla pitagórica extendida es una Tabla Pitagórica en la que se han incluido más filas y columnas, de manera de ampliar el ámbito numérico de las combinaciones multi-plicativas que aparecen más allá de las combinaciones básicas.

Calculan el producto de un número de una cifra por 10 y 100 y las divisiones asociadas

Presentar a los niños situaciones en que tengan que determinar la cantidad de di-nero u objetos, si se encuentran agrupados de a 10 y 100.

Por ejemplo, Rodrigo tiene 8 monedas de $100. ¿Cuánto dinero tiene?

Igualmente, se espera que los niños puedan responder el problema recíproco. Rodrigo tiene $800 solo en monedas de a $100. ¿Cuántas monedas tiene?

A quienes tienen dificultad para cuantificar colecciones de objetos agrupadas de a 10 ó 100, apóyelos proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Segunda Unidad de Tercero Básico.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Restan utilizando un procedimiento convencional

Utilizan procedimientos resumidos para resolver restas de números de hasta tres cifras.

A quienes tienen dificultad para determinar la diferencia entre dos números, apóye-los proponiéndoles actividades como las que aparecen en la Tercera Unidad de Tercero Básico.

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ICAs

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oRienTAciones pARA el docenTe:esTRATegiA didácTicA

III

La estrategia didáctica consiste en generar un proceso acotado en seis clases, en las cuales se propone a los niños y niñas un conjunto de tareas matemáticas con distintas condiciones de realización, de manera de enfrentarlos a situaciones que les permitan afianzar estrategia para resolver problemas multiplicativos y consolidar procedimientos para multiplicar y avanzar en desarrollar la adquisición de procedimientos para dividir.

Problemas multiplicativos de proporcionalidad directa

Las magnitudes que participan en los problemas de proporcionalidad directa abor-dados en esta unidad son tres: la cantidad total de elementos de una colección (a la que denominaremos como cantidad total), la cantidad de grupos que forman esa colección (a la que denominaremos como número de grupos) y la cantidad de elementos que tie-ne cada grupo (que denominaremos como medida de grupo).

La medida de grupo es justamente la magnitud que establece la relación entre el total y el número de grupos, jugando el rol de la constante de proporcionalidad, de forma que podemos decir que:

Expresión [1]

Tanto los problemas de iteración de una medida, como los de reparto equitativo y los de agrupamiento en base a una medida pertenecen a este tipo de problemas.

Veamos un ejemplo de cada uno de ellos:

Problema 1. Pedro compró 7 paquetes de 8 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias compró en total? Problema 2. Pedro repartió equitativamente 56 zanahorias entre sus 7 amigos.

¿Cuántas zanahorias le tocaron a cada amigo?

Problema 3. Pedro tenía un saco con 56 zanahorias e hizo paquetes de 8 zanahorias cada uno. ¿Cuántos paquetes obtuvo?

número de grupos x medida de grupo = cantidad total

1�

orientaciones

Pese a que los tres problemas son claramente distintos, los tres pueden ser plantea-dos utilizando la expresión [1], pero en cada uno de ellos la incógnita es distinta. En el Problema 1, los datos son el número de grupos y la medida de grupo, y la incógnita es la cantidad total, mientras que en el Problema 2 los datos son la cantidad total y el número de grupos y la incógnita pasa a ser la medida del grupo. Finalmente, en el Problema 3 los datos son la cantidad total y la medida del grupo, mientras que la incógnita es el número de grupos.

El Problema 1 se enmarca en el contexto de iteración de una medida, esto es, se tie-ne que calcular el resultado de iterar una determinada medida una cantidad de veces. Para resolver el problema podemos recurrir a la utilización de esquemas o dibujos, de forma que el problema podría plantearse:

Lo que da un total de 56 zanahorias. En este caso, la relación de este problema con la expresión [1] es evidente, dado que podemos plantear:

El Problema 2 se enmarca en el contexto de reparto equitativo, esto es, se tiene que calcular el resultado de repartir una determinada cantidad entre un determinado núme-ro de personas. En ese sentido, la cantidad que se reparte podemos identificarla clara-mente con la cantidad total, mientras que el número de personas se puede identificar con el número de grupos que se forman, pensando que a cada persona le corresponderá un grupo de zanahorias. El resultado del reparto se puede identificar con la medida de grupo, dado que corresponde a las zanahorias que le tocan a cada uno, o sea, la cantidad de zanahorias que va a haber en cada grupo.

Entonces el total de zanahorias se puede calcular a partir de 7 veces 8 zanahorias, lo que resulta 7 x 8 = 56

número de grupos medida de grupo cantidad total

7 grupos x 8 zanahorias = ? zanahorias

7 paquetes deUn paquete

tiene 8 zanahorias

20

orientaciones

Para resolver el problema podemos recurrir a un dibujo como el siguiente:

A partir del dibujo, los alumnos pueden desarrollar la siguiente argumentación para deducir el cálculo que resuelve el problema:

Para repartir equitativamente las zanahorias entre mis 7 amigos voy a hacer una bolsa para cada amigo. Luego, reparto las zanahorias por “rondas”, poniendo en cada ronda una zanahoria en cada bolsa. Siempre la cantidad de zanahorias que hay en cada bolsa corresponde a la cantidad de rondas que he efectuado. De ese modo, la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno coincide con el total de “rondas” efectuadas una vez finalizado el reparto. Como hay siete bolsas, en cada ronda reparto siete zanahorias, por tanto, para anticipar para cuántas rondas me alcanza basta con calcular la cantidad de veces que puedo quitarle siete a la colección de zanahorias, correspondiendo cada vez a una ronda. Dado que ese procedimiento es una resta iterada (descontar de 7 en 7; 56-7, 49-7, 42-7,....) entonces la operación que resuelve el problema es 56 : 7, es decir, las veces que cabe el 7 en el 56.

En este caso la relación de este problema con la expresión [1] no es tan evidente dado que la incógnita no es la cantidad total, sino que es la medida de cada grupo. La cantidad de amigos corresponde al número de grupos que se deben formar, mientras que la cantidad de zanahorias a repartir corresponde a la cantidad total y la cantidad de zanahorias que le toca a cada uno corresponde a la medida de grupo.

Por ronda 7 zanahorias

cantidad total número de grupos medida de grupo

56 zanahorias : 7 grupos = ? zanahorias

Cantidad de zanahorias en cada bolsa = número de rondas


7 grupos = ? zanahorias = 56 zanahorias

21

orientaciones

Esta forma de plantear el Problema 2 hace explícita la relación entre los problemas de reparto equitativo y los de iteración en base a una medida. Bajo este punto de vista, la cantidad de zanahorias que le tocan a cada uno se puede calcular mediante un producto determinado el factor que repetido siete veces da un total de 56. Como se puede apre-ciar, en los problemas de reparto equitativo resulta relativamente complejo desarrollar una argumentación de por qué la división permite anticipar el resultado del reparto.

El Problema 3 se enmarca en el contexto de agrupamiento en base a una medida. En este tipo de problemas se da la cantidad total de elementos de una colección y la medida de los grupos que hay que formar y la incógnita es la cantidad de grupos que se puede formar. En este caso, 56 es la cantidad total de la colección zanahorias, 8 zanaho-rias por paquete es la medida de grupo y el número de paquetes que se pueden formar corresponde al número de grupos que es la incógnita. La operación que permite resolver el problema es:

La relación entre los problemas de agrupamiento en base a una medida y los de iteración de una medida es bastante evidente, dado que en ambos casos aparecen explí-citamente las nociones de medida, cantidad total y cantidad de grupos, de ese modo si se utiliza la expresión [1] para plantear el problema, tendríamos que:

De tener representada la colección. Para resolver el problema podemos recurrir a

agrupar las zanahorias, tal y cómo muestra el dibujo siguiente:

cantidad total medida de grupo número de grupos

56 zanahorias = 8 zanahorias = ? grupos


? grupos = 8 zanahorias = 56 zanahorias

22

orientaciones

Aquí se van formando sucesivos grupos de 8 zanahorias cada uno, hasta que ya no sea posible formar ninguno más, esto, es hasta que queden menos de 8 zanahorias.

Es importante hacer notar la diferencia entre este dibujo y el dibujo del Problema 2. Así como en el Problema 2 lo que se hacía era distribuir las zanahorias entre las 7 bolsas, en este caso lo que se hace es agruparlas en grupos de 8. No es de extrañar que a los alumnos les cueste entender que la operación que soluciona ambos problemas es una división, dado que las acciones de repartir y agrupar que están involucradas son muy distintas y, de hecho, son acciones casi antagónicas.

En este sentido, para poder comprender bien los problemas de agrupamiento en base a una medida y de reparto equitativo creemos que es necesario profundizar sobre el significado de cada una de las dos divisiones. En el Problema 2 la división 56 : 7 sig-nifica 56 zanahorias que se reparten equitativamente en 7 grupos siendo el resultado de la división la cantidad (o medida) de zanahorias que corresponden a cada paquete, mientras que en el Problema 3 la división 56 : 8 significa 56 zanahorias que se agrupan en grupos de 8 zanahorias, siendo el resultado de la división el número de grupos que se obtienen.

Cuando el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos; El rol del resto en los problemas multiplicativos

Recordemos la expresión [1],

Expresión que, como ya se discutió en el punto anterior, sirve para esquematizar cualquier problema multiplicativo de proporcionalidad directa. Ahora bien, ¿qué suce-de con aquellos problemas en los que la división planteada no es exacta? ¿Qué rol juega el resto de la división en la expresión [1]? En este punto trataremos de abordar estas cuestiones.

En primer lugar, hay que aclarar que la cantidad total a la que hace referencia la expresión [1] es la cantidad total efectivamente repartida o bien agrupada y no a la can-tidad total que se desea repartir o agrupar.

Veamos dos ejemplos de ello:

Problema 4. Pedro quiere repartir equitativamente 58 zanahorias entre sus 7 amigos. ¿Cuántas zanahorias le tocarán a cada amigo?

Problema 5. Pedro tenía un saco con 58 zanahorias e hizo paquetes de 8 za-nahorias cada uno. ¿Cuántos paquetes obtuvo?

número de grupos x medida de grupo = cantidad total Expresión [1]

23

orientaciones

Ambos problemas plantean divisiones que, formalmente, no tienen solución en los números naturales; 58 : 7 no tiene solución, porque no hay ningún número natural que multiplicado por 7 dé como resultado 58. Lo mismo sucede con la división 58 : 8, dado que no hay ningún número natural que multiplicado por 8 dé como resultado 58.

Ahora bien, ¿qué respuesta se puede dar entonces a los problemas 4 y 5? La res-puesta a esta pregunta está en considerar que tanto en el reparto equitativo, así como en el agrupamiento en base a una medida, se reparten o se agrupan la máxima cantidad posible de objetos de la colección, cantidad que no necesariamente coincide con el total a repartir o agrupar. A la cantidad de la colección que quedó sin repartir o agrupar se le denomina resto, y a las divisiones con resto se les denomina divisiones inexactas. Obviamente el resto siempre debe ser una cantidad menor que el cuociente, dado que en el caso contrario significaría que o bien puede repartirse un objeto más si el proble-ma es de reparto equitativo, o bien puede hacerse un grupo más si el problema es de agrupamiento en base a una medida. Sea como sea, en ambos casos no se puede dar entonces por finalizado el proceso del reparto y/o agrupamiento.

De ese modo, en el Problema 4 podemos considerar como solución que la cantidad de zanahorias repartidas entre los 7 amigos es 56, tocando 8 zanahorias a cada amigo y quedando 2 sin repartir. Si queremos formular una expresión que relacione la cantidad total repartida con la cantidad a repartir, basta que a la primera le añadamos el resto para obtener la segunda.

Si se desea, también es posible incorporar el resto al esquema, de forma que el es-quema refleje tanto la cantidad por repartir como la cantidad repartida.

Veamos un ejemplo:

número de grupos medida de grupo

7 grupos x ? zanahorias + zanahorias que quedan = 58 zanahorias

cantidad total repartida cantidadpor repartir

zanahoriassin repartir

7 veces ¿qué medida? da un total de 58 zanahorias

Total 58 zanahorias

Total zanahorias repartidas(múltiplos de 7)

? zanahorias

paquete paquete paquete paquete paquete paquete paquete

24

orientaciones

Lo mismo sucede en el Problema 5, donde la cantidad total de zanahorias agrupada es 56 quedando 2 sin agrupar, de forma que podemos plantear el problema así:

Al igual que sucedía con el Problema 4, en el Problema 5 también se puede añadir al esquema el resto, de forma de representarlo:

En los problemas en que aparece como dato la cantidad por repartir o por agrupar, la expresión [1] no es demasiado útil, puesto que en dicha expresión la cantidad total indica la cantidad que efectivamente se reparte o agrupa, cantidad que solo es conocida una vez realizada la división. Así pues, en esos casos resulta más útil modificar la expre-sión [1] de modo que la cantidad total que aparezca en la expresión sea el total por re-partir o agrupar. Esto se logra añadiendo el resto de la división al resultado obtenido del producto de la medida por la cantidad de grupos, ya que dicho producto representa la cantidad efectivamente repartida/agrupada. De ese modo, la expresión [1] modificada queda de la forma:

La expresión anterior se puede escribir en términos de los componentes de una división como

Expresión [2]

expresión que permite comprobar el resultado de una división, dado que al realizar el producto entre el divisor y el cuociente y añadir el resto se debe obtener el dividendo.

número de grupos medida de grupo

? grupos x 8 zanahorias + zanahorias que quedan = 58 zanahorias

cantidad total agrupada cantidadpor repartir

zanahoriassin repartir

¿cuántas veces? 8 zanahorias da un total de 58 zanahorias

Total 58 zanahorias por agregar

Total zanahorias repartidas(múltiplos de 8)

8 zanahorias 8 zanahorias 8 zanahorias

paquete paquete paquete ?

divisor x cuociente + resto = cantidad total

número de grupos x medida de grupo + cantidad que queda = cantidad total inicial

pRiMeRA clAse

2�

orientaciones

Veamos un ejemplo de cómo utilizar la expresión [2] para comprobar el resultado de una división.

Problema 6. Discute cuál de los siguientes resultados corresponde a la división 879 : 7

a) Cuociente 125 y resto 4

b) Cuociente 127 y resto 0

c) Cuociente 127 y resto 4

d) Cuociente 125 y resto 8

Para resolver el Problema 6, hay dos caminos, el primero es hacer la división, y el se-gundo es utilizar la relación señalada en la expresión [1]. Utilizando esa expresión pode-mos descartar inmediatamente la opción d) dado que el resto debe ser menor al divisor, pues de lo contrario se puede seguir repartiendo o agrupando. Para seguir descartando calculamos entonces el producto 127 x 7, lo que da un total de 889, cantidad que es mayor que 879 de manera que podemos descartar las respuestas b) y c). La respuesta correcta por tanto debería ser la a), y vamos a verificarla:

de manera que podemos asegurar que la respuesta correcta es la a).

Se comienza trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida, debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven, con la acción involucrada en el problema. Asi-mismo, se espera que niñas y niños reconozcan el carácter anticipatorio de la operación respecto a la acción.

En esta primera clase los problemas planteados a los niños se proponen teniendo como referencias situaciones de agrupamiento concreto de objetos.

Momento de inicio

Proponer una actividad que permita a los niños encontrarse con la necesidad de realizar un problema de agrupamiento en base a una medida en la que se conozca la cantidad total de objetos y la medida de cada grupo.

Una posible actividad es “Bolsas de semillas”. En esta actividad niñas y niños tienen que agrupar objetos diferentes teniendo en cuenta distintas medidas.

7 x 125 + 4 = 879

pRiMeRA clAse

2�

orientaciones

Para la realización de la actividad se deben contemplar los siguientes materiales:

• Cada jugador debe tener su cuaderno y lápiz,

• 1.000 bolsas chicas de plástico para el curso, y

• ½ kilo de porotos, garbanzos y lentejas.

Descripción de la actividad “Bolsas de semilla”: Contextualice la situación expli-cando que un jornalero tiene que sembrar semillas de porotos, garbanzos y lentejas en maceteros para que broten. Los porotos se siembran de a 5 en cada macetero, mientras que los garbanzos de a 3 y las lentejas de a 10. Para ganar tiempo en la siembra, el jorna-lero prepara el día anterior bolsas con la cantidad de semillas justas, que hay que poner en cada macetero.

Plantee a los niños que deberán ayudar al jornalero a averiguar cuántas bolsas nece-sita para guardar las semillas de distinto tipo. Por ejemplo, si el jornalero tiene 40 porotos, ¿cuántas bolsas necesita, sabiendo que tiene que echar 5 porotos en cada bolsa?

Recíprocamente, proponga a niñas y niños problemas en la que se pregunte por la cantidad de semillas que formó el jornalero, conociendo el número de bolsas y la canti-dad de semillas que hay en cada una. Por ejemplo, si el jornalero ha llenado 8 bolsas con semillas de lentejas, ¿cuántas semillas ha ocupado?

En ambos tipo de problemas pida a los niños que anticipen el resultado de la can-tidad de bolsas o semillas. Es decir, que a partir de la información de la que disponen, averigüen cuántas bolsas se necesitará o cuántas semillas ha ocupado el jornalero, sin realizar materialmente la acción. Posteriormente, una vez que hayan anticipado la can-tidad de bolsas o semillas, pídales que comprueben su resultado, realizando la acción concretamente.

La intención que no se debe perder en la gestión de la actividad es que los niños anticipen un resultado, justifiquen el procedimiento utilizado para obtenerlo y com-prueben la veracidad de éste realizando la actividad concretamente.

Proponga otros problemas similares y con las mismas condiciones para que los ni-ños entiendan la situación y logren establecer la relación entre los datos. En los proble-mas que formule considere que la cantidad total de semilla sea múltiplo de la medida (múltiplo de 3 si se trata de garbanzos, de 5 si son porotos y de 10 si son lentejas), por ejemplo:

¿Cuántas bolsas se necesita para guardar 27 garbanzos?

Si al jornalero le quedan 60 lentejas, ¿cuántas bolsas necesita?

2�

orientaciones

Finalice este momento inicial sistematizando los procedimientos que han utilizados los niños para resolver los problemas.

Momento de desarrollo

En el momento de desarrollo de la clase se plantean problemas de variación pro-porcional del tipo iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida como los planteados en la Ficha 1. Se espera que ante los problemas los niños justifi-quen la elección de la operación que los resuelve y que progresen en los procedimien-tos que utilizan, que establezcan similitudes y diferencias entre ellos.

En los problemas de iteración de una medida como el 1 y 3 de la Ficha 1, se espera que los niños reconozcan que la medida, cantidad de verdura que tiene un paquete en ambos problemas, se repite una cierta cantidad de veces. De tal interpretación se puede deducir que para determinar la cantidad de verduras, por ejemplo zanahorias, es necesario averiguar cuánto es 6 veces repetido 8 zanahorias. Si bien sumar 6 veces el 8 es una técnica que permite determinar la cantidad total de zanahorias, se espera que en este curso los niños usen procedimientos más eficaces como lo es para este caso, evocar la multiplicación 6 x 8.

En problemas como el 2 y 4 de la Ficha 1, en que la incógnita es la cantidad de pa-quetes, se debe lograr que lo niños interpreten y representen la situación y la distingan de los otros dos problemas. Esto significa reconocer que la multiplicación de los datos no tiene sentido para averiguar la cantidad de paquetes que es posible formar.

Se espera que los niños exploren en la búsqueda de procedimientos para resol-verlos. En cuarto básico es altamente probable que muchos alumnos aún no se hayan apropiado de un procedimiento resumido para efectuar una división y los resuelvan utilizando restas reiteradas.

Técnicas para resolver un problema de agrupamiento en base a una medida

Con el problema que se presenta a continuación (segundo de la Ficha 1) se ilustran algunos posibles procedimientos que podrán utilizar los niños para resolverlos. Los pro-cedimientos son comparados desde el punto de vista de su efectividad, explicitando los conocimientos matemáticos que los fundamentan y que contribuyen a su eficacia.

Doña María tiene 24 cebollines. Para venderlos, ella hace paquetes de a 3 cebollines. ¿Cuántos paquetes de cebollines puede hacer?

Procedimiento 1: Si se hace un paquete, se ocupan 3 cebollines, que equivale a quitar 3 a los cebollines disponibles:

24 – 3 = 21, quedan 21 cebollines.

2�

orientaciones

Continuando con este procedimiento de restar, que equivale a sacar tres cebollines de los que quedan y registrando la cantidad de paquetes que se van formando. Estas restas repetidas o iteradas es posible de hacerlas hasta que se agoten o no alcancen para formar otro paquete.

Tal como se aprecia, esta técnica permite resolver el problema pero a un alto costo

de trabajo, el cual aumenta si la cantidad de objetos es mayor. Además de la poca efica-cia del procedimiento, está el riesgo de equivocarse debido a la cantidad de restas que es necesario efectuar.

Procedimiento 2: Si en vez de restar sucesivamente tres cebollines, se buscara la cantidad de cebollines que se ocupan en hacer varios paquetes, se reduciría la cantidad de restas sucesivas. Por ejemplo, como para hacer 4 paquetes se utilizan 12 cebollines, entonces quedan disponibles aún

24 – 12 = 12

Con los 12 cebollines restantes, se pueden formar más paquetes, si se resta nuevamente 12

12 – 12 = 0

Con estas restas sucesivas, se llega al resultado de manera mucho más rápida que con el procedimiento anterior. Mientras mayor sea la cantidad de paquetes que se con-sidere, el procedimiento será más corto.

Procedimiento 3: Lo que se necesita mejorar de los procedimientos anteriores, es la forma de búsqueda. Es decir, superar la búsqueda por tanteo del número de paquetes, y desarrollar una estrategia para encontrar el número de paquetes. Para ello, una buena estrategia es recurrir al carácter decimal del sistema de numeración.

24 –3 = 21 (1 paquete)

21 – 3 = 18 (2 paquetes)

18 – 3 = 15 (3 paquetes)

... ... 6 – 3 = 3 (7 paquetes)

3 – 3 = 0 (8 paquetes)

2�

orientaciones

Para buscar el número de paquetes multiplicar por 10 o múltiplos de 10 la medida de cada paquete hasta encontrar la cantidad que más se acerque a la cantidad de obje-tos de los que se dispone.

En este caso sería ¿qué múltiplo de 10 multiplicado por 3 se acerca (por abajo) o es igual a 48?

Es decir:

? ∙ 3 = 48 10 • 3 = 30 20 • 3 = 60

Podemos deducir que si se hacen 10 paquetes, se ocupan 30 cebollines y que si se hacen 20 paquetes, se necesitan 60 cebollines, que son más que los disponibles. Con lo cual se puede acotar la cantidad de paquetes que se puede hacer. Son más de 10 y menos de 20.

Con los cebollines restantes, 48 – 30 = 18 es posible hacer otros 6 paquetes (6 • 3 =18).

Finalmente, podemos afirmar que con los 48 cebollines es posible formar 10 + 6 = 16paquetes de cebollines.

Problemas en que el dividendo no es múltiplo del divisor, probablemente generen cierto desconcierto en los niños, debido a que consideren que no tiene solución. Por ejemplo:

La Sra. María tiene 50 zanahorias y hará con ellas paquetes de a 8 . ¿Cuántos paquetes puede hacer?

Para resolver el problema es necesario formularse la pregunta ¿cuántas veces 8 es igual a 50? o ¿qué número por 8 es igual a 50?, es decir:

? • 8 = 50

Como no existe ningún número entero que multiplicado por 8 sea exactamente 50, los niños tienden a pensar que el problema no tiene solución, cosa que es cierta. En ese sentido es necesario flexibilizar la pregunta y, dado que no tiene solución, tratar de encontrar la solución más cercana a 50 que sea posible, pero sin pasarse. De esa forma se puede adaptar la pregunta que ellos se hacen a: ¿qué número multiplicado por 8 se aproxima más a 50 (por abajo)? (ver “El rol del resto en los problemas multiplicativos; cuan-do el total no es múltiplo de la medida de grupo y/o del número de grupos”).

30

orientaciones

Momento de cierre

En el momento del cierre sistematice las siguientes ideas:

a) Los problemas en los que los datos son el número de paquetes y la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida), siendo la incógnita del problema, la cantidad total de unidades. Por ejemplo, si una bolsa trae 6 cuchuflíes y Hugo tiene 4 bolsas y se quiere saber cuántos cuchuflíes tiene Hugo, la situación se representa por el siguiente esquema:

La cantidad total de cuchuflíes se calcula realizando la multiplicación entre el núme-ro de bolsas y las unidades que tiene cada paquete. El resultado de la multiplicación es justamente la cantidad total de unidades.

b) Los problemas en los que los datos son la cantidad de unidades que tiene cada paquete (la medida) y la cantidad total de unidades de la colección, siendo la cantidad de paquetes que se pueden formar, la incógnita del problema. Por ejemplo, con 56 za-nahorias, ¿cuántos paquetes con 8 zanahorias cada uno se pueden formar?

La situación se puede representar a través del siguiente esquema:

segUndA clAse¿cuántas veces? 8 zanahorias da un total de 56 zanahorias

Total 56 zanahorias

8 zanahorias 8 zanahorias 8 zanahorias

paquete paquete paquete ?

8 zanahorias

paquete

medida

Total cuchuflíes

6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes 6 cuchuflíes

bolsa bolsa bolsa bolsa

Se repite 4 veces 6, es decir, 4 x 6

31

orientaciones

La cantidad final de paquetes que se pueden formar puede determinarse buscando la cantidad de veces que tengo que iterar la medida, 8 zanahorias, para acercarme lo más posible al total de mi colección sin pasarme.

? paquetes • 8 zanahorias por paquete = 56 zanahorias

c) Ya que la división es la operación inversa de la multiplicación, podemos determinar la cantidad de grupos o paquetes que se forman mediante una división. Por ejemplo:

¿Cuántas pilas de ajos se pueden hacer con 56 ajos, si cada pila tiene 4 ajos?

La división 56 : 4 que resuelve el problema, se puede calcular si nos hacemos la pregunta:

¿Cuántas veces tengo que repetir el 4 para llegar lo más cerca posible de 56 sin pasarme?

? • 4 = 56

Dicho factor (cuociente de la división) se puede determinar a través de aproxima-ciones sucesivas, siendo las prioritarias las que se acercan al dividendo, multiplicando el divisor por un múltiplo de 10.

porque 10 • 4 = 40

porque 4 • 4 = 16

Se pueden hacer: 10 + 4 = 14 pilas de ajos.

Una división está terminada, cuando el resto (cantidad de objetos que quedan) es menor que el divisor (cantidad de objetos para formar un paquete).

En esta clase se sigue trabajando con problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida, debido a que en estos tipos de problemas es más fácil asociar las operaciones que los resuelven, con la acción involucrada en el problema. Asimismo, se espera que los niños reconozcan el carácter anticipatorio de la multiplica-ción y la división respecto a las acciones de iterar una medida y de agrupar en base a una medida.

segUndA clAse

56 : 4 = 10– 40 16

16 : 4 = 4

32

orientaciones

Momento de inicio

En el momento inicial de la clase, para activar los conocimientos previos de los niños y niñas, propóngales problemas similares a los realizados en la clase anterior, con-textualizados en la venta de verduras en la feria, pues es un buen contexto para formular problemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida. Además, es un contexto familiar para la mayoría de quienes cursan 4° básico. En los primeros problemas de agrupamiento en base a una medida proponemos que la cantidad total de objetos sea múltiplo de la medida. Se sugiere plantearlos en forma oral o, si es nece-sario, escritos en la pizarra. Se trata de generar un trabajo ágil, centrado en la utilización de las combinaciones multiplicativas básicas y las divisiones asociadas para obtener el resultado de la operación que resuelve el problema.


En el momento de desarrollo de la clase, se propone que jueguen “¿Cuántos pa-quetes? ¿Cuántas unidades?”. Las instrucciones para jugarlo forman parte del mate-rial que se entrega a los niños (ver material anexo).

En el juego, a partir de una información presentada en dos tarjetas que se eligen al azar, los alumnos deberán formular una pregunta que incorpore la interrogante: ¿cuán-tos paquetes? O bien ¿Cuántas unidades? Por ejemplo, si les salen las tarjetas:

Podrán preguntar: Con 56 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 pueden hacer?

Mientras que si les salen las tarjetas

Podrán preguntar: Si tengo 6 paquetes de 8 zanahorias, ¿cuántas zanahorias tengo?

Una vez planteada la pregunta los niños tratan de resolverla en su cuaderno. El pri-mer jugador que llega a la solución dice; ¡alto! y les cuenta a sus compañeros cómo re-

56unidades

6paquetes

5 betarragastiene un paquete

Un paquetetiene 8 zanahorias

33

orientaciones

solvió el problema. Si todos están de acuerdo con la respuesta, entonces el jugador que llega a la solución se lleva las tarjetas con el dibujo.

Con las posibles combinaciones de tarjetas que permite el juego, se obtienen dos tipos de problemas, los de iteración de una medida y los de agrupamiento en base a una medida.

Si la palabra que aparece en la tarjeta sacada del mazo de los números es pa-quetes, entonces el problema que se puede formular es de iteración de una medida, mientras que si aparece la palabra unidades el problema que se puede formular es de agrupamiento en base a una medida. En ambos casos la medida está determinada por la segunda carta donde aparece la cantidad de unidades que tiene el paquete.

Se propone que niñas y niños, organizados en grupos, jueguen una vez el juego. El juego termina cuando uno de los jugadores logra reunir 3 tarjetas con productos dis-tintos.

Durante la actividad es importante que el profesor(a) ponga atención para apoyar a los grupos que tienen dificultad o no entienden cómo formular la pregunta. Además, debe identificar aquellos alumnos que no son capaces de discernir la operación que re-suelve el problema para apoyarlos e insistir en que el alumno que resuelve el problema tiene que explicar a todos los compañeros del grupo cómo lo resolvió, de forma que todos entiendan lo que hizo y por qué lo hizo. De lo contrario, no se lleva las tarjetas en juego y se devuelven al mazo.

Si en algún problema sale una operación que no saben resolver en el grupo, la dejan anotada en el cuaderno como sin resolver. Las cartas se retiran, se dejan a un lado y se sacan nuevas tarjetas.

Al finalizar el juego se hace una breve puesta en común de aquellos problemas que no se han sabido resolver, anotándolos en el pizarrón por grupos; cada grupo elige uno distinto y tratan de resolverlo. Luego, un representante de cada grupo sale al pizarrón a explicar cómo han resuelto el problema, compartiendo los procedimientos con todo el curso.

Posteriormente, en forma individual o en parejas, los alumnos resuelven los proble-mas de la Ficha 2. Los problemas de esta ficha tienen el propósito de que los niños se enfrenten a problemas de iteración de una medida y agrupamiento en base a una medi-da, en el contexto del juego, con la finalidad que expliciten las preguntas que formulan a partir de los datos y las resuelvan recurriendo a la multiplicación o división.

Una vez que hayan respondido al menos las dos primeras preguntas, promueva que comparen las preguntas formuladas y los procedimientos utilizados para resolverlos.

34

orientaciones

El docente debiera procurar que los niños transiten desde los procedimientos ru-dimentarios como es la suma y/o resta iterada, hacia procedimientos más resumidos como son la multiplicación y/o la división para calcular el resultado.

Momento de cierre

En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas:

a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes, la pregunta se puede formular de distintas maneras, pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades; dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.

b) Para resolver problemas de iteración de una medida, como por ejemplo del pro-blema 3 de la Ficha 2, en la que es necesario determinar cuánto es 36 veces 4, los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 36 x 4.

Para realizarla se puede descomponer el 36 canónicamente e interpretar:

36 veces 4 como 30 veces 4 más 6 veces 4

Cálculos que para los niños son conocidos: 30 x 4 = 120 y 6 x 4 = 24

Luego 36 x 4 = 120 + 24 = 144

c) Por otra parte, si los datos son la medida y la cantidad total de unidades, la pre-gunta que se puede formular es ¿cuántos paquetes puedo formar? En ese caso dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de uni-dades por paquete.

d) Para calcular la división se recurre a la relación inversa entre la división y la multi-plicación, de manera que como la multiplicación es una suma iterada, la división es una resta iterada.

Es posible calcular el cuociente de una división a partir de buscar aquella cantidad que multiplicada por el divisor se acerca lo más posible (sin pasarse) al dividendo, a través de productos parciales del divisor por múltiplos de 10. Por ejemplo para resolver el problema 1 de la Ficha 2, es necesario hacerse la pregunta qué número de veces 3 cebollines, resulta o se acerca a 96, es decir:

? Paquetes • 3 cebollines por paquete = 96 cebollines

Asociando la división con la resta reiterada, se busca qué múltiplo de 10 multiplica-do por 3 se acerca más a 96, sin pasarse.

TeRceRA clAse

3�

orientaciones

96- 90

6- 6

0

: 3 =

: 3 =

30

2 32

10 · 3 = 30 si se hacen 10 paquetes se ocupan 30 cebollines20 · 3 = 60 si se hacen 20 paquetes se ocupan 60 cebollines30 · 3 = 90 si se hacen 30 paquetes se ocupan 90 cebollinesNo alcanza para 40 paquetes por que se necesitan 40 • 3 = 120 que es más que los cebollines que se tienen.

Con los 6 cebollines que quedan, se pueden hacer otros paquetes. Para averiguar cuántos, se hace una nueva división donde el dividendo es 62 • 3 = 6 si se hacen 2 paquetes se ocupan los 6 cebollines que quedaban.

30 + 2 = 32 Respuesta: se pueden formar 32 paquetes de cebollines.

Momento de inicio

En el momento inicial se retoma el trabajo realizado en la segunda clase para afianzar la estrategia propuesta para resolver problemas multiplicativos y determinar el cuociente y/o resto en una división. Para ello, la profesora dirige colectivamente el juego “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando los set de tarjetas con número con la palabra unidades y paquetes y las tarjetas con los dibujos de verduras con que se trabajo en la segunda clase.

Se debe cuidar que los pares de tarjetas elegidos permitan el planteamiento de pro-blemas de iteración de una medida y de agrupamiento en base a una medida, donde la división sea inexacta y tenga por cuociente una cantidad de dos cifras.

Para jugar colectivamente a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” se debe generar una dinámica de trabajo a partir de presentarles dos tarjetas a los niños. Pida que un niño formule una pregunta, la escriba en la pizarra y que cada alumno en su cua-derno escriba la operación que resuelve el problema y calcule el resultado. Posteriormente, confronte los diferentes procedimientos utilizados para resolver la multiplicación o la división.

Al término de este primer momento, afiance los procedimientos sistematizados al finalizar la segunda clase.


El momento de desarrollo de la clase, tiene dos partes en esta tercera clase. En esta primera parte se debe recordar un conocimiento previo, como es la multiplicación de números de una cifra por múltiplos de 10, 100 y las divisiones asociadas. A partir de

TeRceRA clAse

3�

este conocimiento, los niños y niñas irán adaptando los procedimientos aprendidos a números mayores. Para activar dichos conocimientos se propone continuar jugando a “¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?” utilizando ahora solo algunas tarjetas del segundo set de números.

Para lograr el propósito planteado seleccione las tarjetas:

Inicialmente, escoja un par de tarjetas, una con números y la palabra paquetes y otra de verduras, y pida a niñas y niños que formulen una pregunta que relacione ambos datos, por ejemplo: 200 con ajos, que llevará a que los niños formulen preguntas del tipo: ¿Cuántos ajos tengo en 200 paquetes, con 4 ajos cada uno?

La multiplicación que resuelve este problema es 200 x 4 y se espera que la respon-dan, extendiendo las combinaciones multiplicativas básica a los múltiplos de 100, así como lo hicieron cuando las extendieron a los múltiplos de 10. La validez y justificación de esta extensión, los niños deben haberla realizado en 3º básico, cuando cuantificaron colecciones de objetos agrupados de a 100. En este momento debieran recurrir a argu-mentos como, ya que 2 x 4 = 8, y 20 x 4 = 80 entonces 200 x 4 = 800.

Si detecta algunas dificultades en el dominio de la multiplicación por múltiplos de 100 y las divisiones asociadas, se sugiere poner a disposición del curso tablas con la generalización de las combinaciones multiplicativas básicas (ver Cuadro de Productos, Material 11).

Posteriormente, escoja un par de tarjetas, una de números con la palabra unidades y otra de verdura y pida que formulen una pregunta que relacione ambos datos, por ejemplo: 800 con betarragas, que dará origen a preguntas del tipo: Con 800 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 betarragas se pueden hacer?

Para responder las preguntas directamente, se necesita recurrir a los conoci-mientos previos señalados. Así, para calcular 800 : 5, un procedimiento abreviado es el siguiente:

300unidades

500unidades

600unidades

800unidades

100paquetes

200paquetes

50paquetes

60paquetes

orientaciones

3�

Procedimiento Argumento

800 : 5 = 100- 500 300

Porque para hacer 100 paquetes de 5 betarragas cada uno, se utilizan 100 • 5 = 500 betarragasSi se hacen 200 paquetes, se utilizan 200 • 5 = 1.000 betarragas, cantidad que excede a la cantidad de betarragas de que se dispone.

300 : 5 = 60- 300 0

Como quedan 800 – 500 = 300 betarragas, se pueden formar otros paquetes.Para averiguar cuántos, comenzar probando con 10 paquetes, luego con 20 y así, hasta encontrar una cantidad con la que se ocupe la mayor cantidad posible de betarragas.10 ∙ 5 = 50; 20 • 5 = 100; 30 • 5 = 15040 ∙ 5 = 200; 50 • 5 = 250, 60 • 5 = 300

Se pueden hacer:100 + 60 = 160 paquetes de betarragas y no queda ninguna betarraga.

En la segunda parte del momento de desarrollo, se propone continuar con la di-námica del juego. Con esta actividad se pretende enfrentar a los niños a un problema similar a los que ya han resuelto, pero en este caso jugando con todas las tarjetas, lo que exigirá adaptar la técnica que vienen usando a esta nueva situación.

Escoja, por ejemplo, las tarjetas “252 unidades” y la palabra unidades y “cebollines”.

Pida que un niño formule una pregunta, escriba la división respetiva en la pizarra y que los niños y niñas trabajando en pareja, busquen la forma más económica de deter-minar el cuociente.

De los procedimientos utilizados por ellos, ponga en común aquellos que buscan

el cuociente ampliando lo aprendido, es decir, utilicen la relación inversa entre la mul-tiplicación y la división, calculen cuocientes parciales a través de multiplicar el divisor por múltiplos de 10 ó 100.

El trabajo con la Ficha 3 debe ser planteado como una extensión de la actividad anterior, para que los niños, trabajando ya sea individualmente o en pareja, comparen sus procedimientos con otros compañeros. En la medida que tengan claro que deben encontrar un procedimiento que les permita en pocos pasos encontrar el cuociente, podrán reconocerlo en los procedimientos que esté usando alguno de ellos.

Momento de cierre

En el momento de cierre se sistematizan las siguientes ideas:

a) Si los datos de un problema son la medida y el número de paquetes, la pregunta se puede formular de distintas maneras, pero debe contener la expresión cuánto es el total de unidades; dicha pregunta se responde mediante el producto entre el número de paquetes por la medida de cada paquete.

orientaciones

3�

b) Para resolver problemas de iteración de una medida, como por ejemplo del pro-blema 3 de la Ficha 3, en la que es necesario determinar cuánto es 312 veces 6, los niños debieran reconocer que deben efectuar la multiplicación 312 x 6.

Para realizarla se puede descomponer el 312 canónicamente e interpretar:

312 veces 6 como 300 veces 6 más 10 veces 6 más 2 veces el 6

Cálculos que para los niños son conocidos: 300 x 6 = 1800; 10 x 6 = 60 y 2 x 6 = 12

Luego 312 x 6 = 1800 + 60 + 12 = 1872

c) Por otra parte, si los datos son la medida y la cantidad total de unidades, la pre-gunta que se puede formular es: ¿Cuántos paquetes puedo formar? En ese caso, dicha pregunta se resuelve dividiendo la cantidad total de unidades entre la cantidad de uni-dades por paquete.

d) Respecto a resolver divisiones cuando el dividendo es un número de tres cifras, sistematice que entre los procedimientos que hay para calcular el cuociente y/ o resto, hay algunos que son más eficaces. Destaque que la clave está en la estrategia de bús-queda; cuando el dividendo es un número de 3 cifras, se debe comenzar multiplicando el divisor por un múltiplo de 100, luego de 10 y números de una cifra. Por ejemplo, para resolver el problema 1 de la ficha 3, se debe calcular la división 808 : 3

Procedimiento Argumento

808 : 3 = 200- 600 208 : 3 = 60- 180 28 : 3 = 9- 27 1

Como el dividendo es un número de 3 cifras, se comienza multiplicando el divisor por múltiplos de 100:100 • 3 = 300 < 808, se prueba con el siguiente múltiplo de 100200 • 3 = 600 < 808, se prueba con el siguiente múltiplo de 100300 • 3 = 900 > 808 entonces el cuociente se encuentra entre 200 y 300

Se utiliza como estrategia multiplicar el divisor por múltiplos de 10:10 • 3 = 30 < 208, se probará con un múltiplo de 10 mayor40 • 3 = 120 < 208 , se probará con otro múltiplo de 10 mayor60 • 3 = 180 < 20870 • 3 = 210 > 208 entonces el cuociente se encuentra entre 260 y 270

Como 28 es mayor que 3, continuamos aproximándonos al cuociente, esta vez dividiendo 28 entre 3.

Se pueden hacer 200 + 60 + 9 = 269 paquetes de cebollines y queda un cebollín.

cUARTA clAse

orientaciones

3�

Es importante formar el hábito de comprobar los resultados obtenidos, porque así los niños y niñas controlan sus procedimientos y, además, enfatizan la relación inversa entre la multiplicación y la división.

Es probable que quienes utilicen el algoritmo tradicional de la división lleguen, en algunos casos, a resultados errados que podrán reconocer si comprueban la división.

En esta clase se pretende que los niños y niñas sepan formular y resolver problemas multiplicativos de iteración de una medida, reparto equitativo y agrupamiento en base a una medida. Además, se espera que sean capaces de distinguir claramente el rol que juega cada uno de los datos y la incógnita en el problema (número de grupos, medida de grupo, cantidad total de unidades), que interpreten correctamente el resto y que utilicen la calculadora para calcular productos y divisiones.

Momento de inicio

En el momento inicial de la clase se propone empezar jugando el juego “Plantean-do problemas” en grupos de 3 a 4 alumnos. Utilizar Ficha 4.

Es importante que cada docente se asegure de que los alumnos entienden bien las instrucciones y que haga especial énfasis en que en los problemas formulados la pregunta debe ser clara y se deben incorporar todos los datos en el problema. Además, que no es necesario resolverlos, sino que basta con plantear correctamente la operación que los resuelve.

Veamos un ejemplo del juego. Supongamos que nuestro tablero es el siguiente y que al sacar las cartas de los mazos salen los números 100 y 8;

Actividad 1. Formulando problemas con caramelos

Entonces, con estas tarjetas y ese tablero los problemas con solución que se pueden plantear son:

Problema 1 Problema 2

cUARTA clAse

? ?? 100 8

cantidad totalde caramelos

caramelosen cada bolsa

númerode bolsas Tarjetas que salieron

100


8


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númerode bolsas

100


?


8

númerode bolsas

orientaciones

40

Problema 3 Problema 4

ya que los problemas que aparecen al ubicar el 8 en el total de caramelos no tienen so-lución. Eso se debe a que la cantidad total de unidades debe ser mayor que la cantidad de unidades en cada bolsa (o sea que la medida), y que la cantidad de bolsas (o sea que la cantidad de veces que se repite la medida).

Hay que tener presente que en la actividad es posible que los alumnos planteen algunos problemas que no tienen solución. En ese caso es bueno abrir la discusión de por qué ese problema “no sirve” y tratar de que emerja por parte de los alumnos que la cantidad total de unidades tiene que ser mayor que la cantidad de grupos que se deben formar o la cantidad de unidades que tiene cada grupo.

De los cuatro problemas que pueden aparecer en el juego con solución, el Problema 1 corresponde a un agrupamiento, el Problema 2 a un reparto equitativo, mientras que los Problemas 3 y 4 corresponden a la iteración en base a una medida.

Se espera que alumnas y alumnos sean capaces de plantear la operación que resuel-ve el problema planteado especificando qué representa cada dato y qué representa la incógnita. Por ejemplo, la formulación del Problema 1 podría ser: Si tenemos 100 cara-melos y los agrupamos en bolsas de a 8, ¿cuántas bolsas se pueden formar?

La operación que resuelve el problema sería 100 : 8, siendo 100 la cantidad total de caramelos, 8 los caramelos que hay en cada bolsa y el resultado de la operación sería la cantidad de bolsas que puedo formar.

Con esta actividad se espera lograr que los alumnos sean capaces de, además de plantear problemas, especificar la operación que los resuelve y el significado de cada dato, así como del resultado. En esta actividad no se pretende que realicen la división o el producto, basta con que lo planteen.

Luego del momento del inicio, el profesor(a) selecciona tres problemas que hayan planteado distintos grupos en que uno sea de agrupamiento, otro de iteración y otro de reparto equitativo y se hace una breve puesta en común sobre estos tres problemas. El profesor guía la discusión y anota en el pizarrón tanto los problemas planteados como las operaciones planteadas por el curso e identifica el significado de cada dato y el sig-nificado del resultado.


En el momento de desarrollo de la clase, el profesor plantea una situación análoga a la actividad 1, en el pizarrón, con un tablero donde figuran la cantidad total de manza-nas, manzanas en cada bandeja, y el número de bandejas, siendo 24 y 6 las dos tarjetas.

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8


100

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8

númerode bolsas

orientaciones

41

Alumnas y alumnos trabajan en forma individual, o en parejas y en sus cuadernos tratan de plantear los problemas a partir de las diversas combinaciones que el profesor(a) es-cribe en el pizarrón.

Actividad 2

Los alumnos deben formular y resolver cada problema. Hay que tener presente que tanto (p1) como (p6) no tienen solución, así que podrían considerarse como problemas mal formulados. También es importante reflexionar que si bien el cálculo implicado en los problemas (p2) y (p3) es el mismo, ambos son problemas distintos. En (p2) se tienen seis bandejas con 24 manzanas en cada bandeja, mientras que en (p3) se tienen 24 ban-dejas con seis manzanas en cada bandeja.

Una vez que han resuelto los cuatro problemas, el docente pide a los alumnos que asocien la palabra repetir, agrupar o repartir a cada problema resuelto según sea la ac-ción involucrada para resolverlo, especificando en cada caso la cantidad que hay que repetir, agrupar o repartir.

(p1) sin solución

(p2) Se repite seis veces la bandeja de 24 manzanas (de iteración; la medida 24 manzanas por bandeja)

(p3) Se repite 24 veces la bandeja de 6 manzanas (de iteración; la medida 6 manzanas por bandeja)

(p4) Se agrupan 24 manzanas en bandejas de a seis manzanas cada una (de agrupamiento; la medida 6 manzanas por bandeja)

(p5) Se reparten 24 entre seis bandejas (de reparto equitativo; la medida 4 manzanas por bandeja)

(p6) Sin solución.

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cantidad totalde manzanas

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24

númerode bandejas

(p4)(p1) 24


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númerode bandejas

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númerode bandejas

(p5)(p2) 24


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númerode bandejas

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númerode bandejas

(p6)(p3) 6


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númerode bandejas

orientaciones

42

Una vez los niños han formulado y resuelto los problemas, el profesor escribe en el pizarrón y pide voluntarios que le dicten el problema que han formulado, la operación y la respuesta y los anota en la pizarra, corrigiéndolos en caso que sea necesario.

Luego, en la Actividad 3 se propone trabajar en forma individual (o por parejas) los problemas propuestos en la Ficha 5.

El primer problema de la ficha plantea una situación de agrupamiento en base a una medida.

Mireya tenía que poner 315 bebidas en cajas de a 12. ¿Cuántas cajas usó?

Para resolverlo se tiene que averiguar cuántos grupos de a 12 bebidas puedo for-mar, de manera que hay que dividir 315:12, o buscar qué cantidad multiplicada por 12 se acerca más a 315 sin pasarse.

La intención didáctica de estas actividades es que niñas y niños comparen los pro-cedimientos utilizados para resolver distintos problemas de división y puedan concluir que, independiente del contexto, los procedimientos aprendidos les permiten resol-verlos.

? cajas • 12 botellas = 315 botellas

Acá pueden proceder de la siguiente forma 10 x 12 = 120, 20 x 12 = 240

315 – 240 = 75, es decir formo 20 cajas y todavía me quedan 75 botellas. Lleno 4 cajas más (4 x 12 = 48), con lo que me quedan 75 – 48 = 27 botellas. Vuelvo a llenar dos cajas y me sobran 3 botellas. De forma que el resultado es 20 + 4 + 2 = 26 cajas y quedan 3 botellas.

El procedimiento desarrollado de la división podría ser:

315 : 12 = – 240 75– 60 15– 12 3

20 5+ 1 26

20 x 12 = 240 5 x 12 = 60 1 x 12 = 12

26 x 12 = 312 312 + 3 = 315

Resultado 26 cajas y quedan 3.

Comprobación:

orientaciones

43

3 botellas

315 botellas

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

caja ¿Cuántas cajas?caja caja

Resultado 10 + 10 + 5 + 1 = 26 cajas y quedan 3 botellas sueltas

Un esquema para este problema podría ser:

El segundo problema de la ficha, que pese a que la acción efectuada en el problema fue un reparto equitativo, los datos del problema son la cantidad de amigos (o sea la cantidad de grupos) y los caramelos que le tocan a cada amigo (o sea la medida) y la pre-gunta hace referencia al total de caramelos.

Luz repartió una bolsa de caramelos entre sus cinco amigos y le tocaron 20 caramelos a cada amigo. ¿Cuántos dulces tenía la bolsa?

Este problema pone de manifiesto la necesidad de que los alumnos no se guíen ex-clusivamente por palabras clave a la hora de resolver los problemas, sino que sean capa-ces de interpretar el rol de cada uno de los datos en el problema y puedan resolverlo.

En este caso, pese a que la acción efectuada por Luz fue un reparto equitativo, el problema se resuelve mediante un producto, dado que la incógnita del problema son los dulces que repartió; en este sentido, siguiendo la nomenclatura utilizada en el campo de problemas aditivos, se podría clasificar este problema como inverso, dado que la acción del problema involucra una división, pero sin embargo se resuelve con un producto.

De ese modo, la operación sugerida por el problema es la división:

¿Total de dulces? : 5 amigos = 20 dulces c/amigo

Un esquema para representar este problema y que podría ayudarnos a resolverlo sería:

¿Total caramelos?

20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces 20 dulces

amigo 1 amigo 2 amigo 3 amigo 4 amigo 5

orientaciones

44

Ahora bien, para poder obtener la cantidad total de dulces basta con interpretar correctamente el significado de cada dato. De ese modo, 20 dulces es la medida que le toca a cada amigo y dado que eran cinco amigos, podemos pensar el problema como de iteración de una medida para resolverlo. De ese modo la operación que lo resuelve sería:

5 amigos x 20 dulces c/amigo = Total de dulces

No es de sorprender que la mayoría de alumnos responda erróneamente el pro-blema, en ese caso es bueno insistir en que traten de reconocer el rol de los datos y la pregunta que plantea el problema.

El problema 3 de la Ficha 5 es un problema donde se itera una medida (la cantidad de hamburguesas de una caja); dado que los datos son el número de veces que se itera (18) y la medida (20 hamburguesas) y la pregunta es la cantidad total, que se resuelve mediante el producto entre los dos datos.

Momento de cierre

Al cierre de esta clase se enfatiza la importancia que tiene a la hora de resolver problemas identificar el papel de cada uno de los datos dentro del problema y el signifi-cado de la respuesta. Para ello sugerimos que el profesor retome los problemas 3, 4 y 5 planteados por los alumnos en la Actividad 2, y sobre ellos analice en voz alta junto con los alumnos el significado de cada dato, la operación que lo resuelve, y el resultado del problema.

Los problemas planteados podrían ser:

P3. Tengo 24 bandejas de 6 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas tengo en total?

P4. Tengo 24 manzanas y las agrupo en bandejas de a 6. ¿Cuántas bandejas puedo formar?

P5. Repartí 24 manzanas entre sus seis amigos. ¿Cuántas manzanas le tocaron a cada amigo?

Luego, se propone recordar que no siempre que sale la palabra agrupar o repartir tengo que dividir para resolver el problema, ya que la operación que lo resuelve no solo depende de la acción realizada (reparto, agrupamiento, iteración), sino también de cuá-les son los datos del problema, tal y como sucedía en el Problema 2, de la Actividad 3. Sugiera que propongan un ejemplo similar, en que la acción involucrada en el problema es un reparto, y sin embargo, se resuelve con una multiplicación (para ello los datos del problema deben ser la cantidad de personas participantes del reparto y la cantidad que le toca a cada uno, mientras que la pregunta debe ser la cantidad repartida).

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orientaciones

4�

En esta clase se pretende que los niños y niñas usen los procedimientos estudiados para plantear y resolver problemas multiplicativos de proporcionalidad y sean capaces de comprobar el resultado de una división. También se espera trabajar los procedimien-tos para dividir surgidos de las clases 2 y 3.

Así, esta clase tiene el propósito principal de trabajar lo estudiado en las clases anteriores, de forma que los niños puedan apropiarse de forma adecuada de los cono-cimientos construidos.

Momento de inicio

En el momento inicial de la clase se propone empezar con un Actividad similar a la Actividad 2 de la clase anterior, donde se les plantea a los alumnos que con las tarjetas 150 y 40 y el Tablero de Fósforos, planteen tres problemas distintos y los resuelvan. La actividad se realiza individualmente, si bien está permitido consultar al compañero en caso de tener dudas. Utilizar Ficha 6.

Una vez resueltos los problemas planteados, se pide a los alumnos que, por parejas traten establecer un procedimiento para comprobar el resultado de las divisiones que hayan efectuado.

El resultado de la división que van a tener que comprobar es 150 : 40. Un razona-miento que podrían establecer para elaborar un procedimiento de comprobación es el siguiente;

Si el resultado de la división 150 : 40 me ha dado 3 y sobran 30, eso significa que el 40 cabe (está contenido) tres veces dentro del 150, y todavía sobran 30 unidades. Enton-ces 3 veces 40 más los 30 que me sobran debería ser igual a los 150 que es la cantidad total. De lo contrario, es que me he equivocado al dividir.

Veamos un ejemplo de cómo podría ser el proceder de algún alumno(a):

qUinTA clAse

150 : 40 = – 80 70– 40 30

2 + 1 3

40 x 2 = 80 40 x 1 = 40

3 x 40 = 120120 + 30 = 150

Resultado 3 y sobran 30.

Comprobación:

orientaciones

4�

El momento inicial se cierra con una pequeña puesta en común de los resultados obtenidos en los problemas planteados y de lo que hay que hacer para comprobar el resultado de la división 150 : 40.


En el momento de desarrollo de la clase se propone que los alumnos trabajen indi-vidualmente en las Actividades 2 y 3 de la Ficha 7.

La actividad 2 es una actividad centrada en el cálculo, con el propósito de que los alumnos practiquen las técnicas de cálculo que han aprendido en esta unidad y en uni-dades anteriores. A su vez se pretende que practiquen la técnica de comprobación de la división vista en el momento inicial.

Una vez que la mayoría haya finalizado la Actividad 2, comentan los resultados de cada cálculo para que puedan darse cuenta de los errores cometidos y corregirlos. En la corrección es recomendable dejar espacio a los alumnos para que puedan comentar entre ellos las dudas que tengan al respecto de la solución de los problemas y plantearle al profesor las cosas que no entienden.

Luego, proceden a resolver individualmente los problemas planteados en la Activi-dad 3. Una vez resueltos los problemas, por parejas, comparan los resultados obtenidos con los obtenidos por su compañero(a).

Es probable que bastantes alumnos se equivoquen en la resolución del Problema 1, dado que es un problema inverso. Pese a que la acción del problema es de agrupar, para resolverlo hay que realizar el producto entre los dos datos. En ese sentido, se puede pedir que representen los datos del problema utilizando un esquema, de forma que les pueda ayudar a deducir la operación que lo resuelve.

Momento de cierre

En el momento de cierre se propone que el profesor(a), junto con su curso, siste-maticen lo más importante de lo que han estudiado en la unidad.

1. La importancia de entender bien el significado de cada dato y de la incógnita en un problema antes de resolverlo. En este aspecto, en los problemas estudiados tenemos tres cantidades distintas: la cantidad de unidades que tiene cada grupo, el número de grupos y el total de unidades, dos de ellas son conocidas y la tercera desconocida.

2. En los problemas estudiados (sugerimos tomar como referencia los problemas propuestos en la Actividad 3).

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orientaciones

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• Si nos dan como datos la cantidad total y la cantidad de unidades que tiene cada grupo, la pregunta del problema hace referencia al número de grupos que se pueden formar y se resuelve dividiendo el total entre la cantidad de unidades que tiene cada grupo.

• Si nos dan como datos la cantidad total y el número de grupos, la pregunta hace referencia a la cantidad que tiene cada grupo y se resuelve dividiendo el total entre el número de grupos.

• Si nos dan como dato el número de grupos y la cantidad de unidades que tiene cada grupo, la pregunta del problema hace referencia a la cantidad total y se resuelve multiplicando el número de grupos por las unidades que tiene cada grupo.

3. Para comprobar el resultado de una división hay que multiplicarlo por el divisor y a ese producto añadirle el resto. Si ese cálculo coincide con el dividendo, el resultado es correcto (Aquí sugerimos comprobar el cálculo que los alumnos hayan realizado en el Problema 4 de la Actividad 3).

En la primera parte de la clase, se aplica la Prueba de la unidad. En la aplicación se recomienda a profesoras y profesores leer las preguntas y cerciorarse de que todos los alumnos y alumnas comprendan lo que se les solicita, sin entregar información adicio-nal a la planteada en los problemas.

En la segunda parte de la clase, se sugiere que el profesor(a) realice una corrección de la prueba en la pizarra, preguntando a niños y niñas los procedimientos que utiliza-ron. Si hubo errores, averiguar por qué los cometieron.

Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los fundamentos centrales de la unidad y señale que estos se relacionan con aprendizajes que se trabajarán en unidades posteriores.

Incluimos, además de la prueba, una pauta de corrección, que permite organizar el trabajo del profesor(a) en cuanto al logro de los aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el dominio del curso de las tareas matemáticas estudiadas en esta unidad. Estos materiales se encuentran disponibles después del plan de la sexta clase.

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¿Cóm

o ca

lcul

an 5

x 6

y 1

0 x

7?

¿Cóm

o di

vide

n 56

: 8 y

78

: 9 ?

Fina

lice

siste

mat

izan

do la

sig

uien

te id

ea p

ara

el c

aso

de la

div

isión

: Una

bue

na e

stra

tegi

a pa

ra

reso

lver

la d

ivisi

ón c

omie

nza

por p

regu

ntar

se q

ué n

úmer

o m

ultip

licad

o po

r 9 e

s o

se a

prox

ima

a 78

. Par

a bu

scar

dic

ho n

úmer

o (q

ue c

orre

spon

de a

la c

antid

ad d

e pa

quet

es) s

e pu

ede

utili

zar l

a Ta

bla

Pita

góric

a.

• Resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida.

* Ta

reas

mat

emát

icas

.

4�

planes de clases

Plan

de

la s

egun

da c

lase

Mat

eria

les:

Inst

rucc

ione

s de

l jue

go “¿

Cuán

tos

paqu

etes

? ¿C

uánt

as u

nida

des?

” y la

s de

tarje

tas

que

se u

tiliz

an p

ara

juga

rlo,

reco

rtad

as (M

ater

ial 1

, 2, 3

y 4

). La

Fic

ha 2

.

T M

Activ

idad

esEv

alua

ción

n

Iden

tifica

r a

los

niño

s qu

e tie

nen

dific

ul-

tade

s pa

ra

reco

noce

r la

op

erac

ión

que

resu

elve

el p

robl

ema

y aq

uello

s qu

e no

se

sabe

n la

s co

mbi

naci

ones

adi

tivas

bás

icas

, pa

ra a

poya

rlos.

n

Cerc

ióre

se q

ue d

uran

te e

l de

sarr

ollo

del

ju

ego:

• Po

r tu

rnos

los n

iños

dan

vue

lta d

os c

arta

s y

form

ulan

una

pre

gunt

a qu

e re

laci

ona

ambo

s dat

os.

• Q

ue e

l ni

ño q

ue d

ice

¡alto

!, ex

plic

a el

pr

oced

imie

nto

utili

zado

par

a en

cont

rar l

a re

spue

sta.

• Re

gist

re a

quel

los

pare

s de

tarje

tas

dond

e lo

s ni

ños

no s

aben

res

olve

r el

pro

blem

a en

unci

ado.

n

Com

prue

be q

ue lo

s ni

ños

com

pren

den

la

rela

ción

ent

re lo

s da

tos

y la

incó

gnita

par

a de

term

inar

si l

a op

erac

ión

que

resu

elve

el

prob

lem

a es

una

div

isión

o u

na m

ultip

lica-

ción

.

n

Verifi

que

que

la e

stra

tegi

a de

bús

qued

a de

l cu

ocie

nte

en l

as d

ivisi

ones

la

real

iza

par-

tiend

o de

la m

ultip

licac

ión

entr

e un

múl

ti-pl

o de

10

y la

med

ida

del g

rupo

.

Mo

MEN

To D

E IN

ICIo

: El p

rofe

sor (

a) p

ropo

ne p

robl

emas

de

itera

ción

de

una

med

ida

y de

agr

u-pa

mie

nto

en b

ase

a un

a m

edid

a, s

imila

res

a lo

s es

tudi

ados

en

la c

lase

ant

erio

r, pa

ra e

vide

ncia

r el

prog

reso

de

las

estr

ateg

ias

de re

solu

ción

de

prob

lem

as y

de

cálc

ulos

de

mul

tiplic

acio

nes

y di

vi-

sione

s. S

e su

gier

e pl

ante

arlo

s en

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a or

al o

, si e

s nec

esar

io, e

scrit

os e

n la

piz

arra

. Se

trat

a de

gen

erar

un

trab

ajo

ágil,

cent

rado

en

la u

tiliz

ació

n de

las c

ombi

naci

ones

mul

tiplic

ativ

as b

ásic

as y

las d

ivisi

ones

as

ocia

das

para

obt

ener

el r

esul

tado

de

la o

pera

ción

que

resu

elve

el p

robl

ema.

Mo

MEN

To D

E D

EsA

RRo

llo

: El p

rofe

sor(a

) pla

ntea

una

act

ivid

ad e

n qu

e lo

s ni

ños

teng

an q

ue

form

ular

pre

gunt

as e

n sit

uaci

ones

en

las

que

se re

pita

una

med

ida

o se

agr

upen

col

ecci

ones

de

obje

tos e

n ba

se a

una

med

ida,

y q

ue la

rela

ción

ent

re lo

s núm

eros

invo

lucr

ada

en a

mba

s situ

acio

-ne

s los

des

afíe

a p

rogr

esar

en

sus p

roce

dim

ient

os d

e cá

lcul

o.Ac

tivid

ad: J

uego

“¿C

uánt

os p

aque

tes?

¿Cu

ánta

s uni

dade

s?” E

n gr

upos

y si

guie

ndo

las i

nstr

uc-

cion

es d

adas

y la

s señ

alad

as e

n el

inst

ruct

ivo

del j

uego

, los

niñ

os ju

egan

has

ta q

ue e

n ca

da g

rupo

re

sulte

un

gana

dor,

es d

ecir,

un

niño

que

teng

a 4

tarje

tas c

on v

erdu

ras d

istin

tas.

Activ

idad

: Niñ

os y

niñ

as, e

n fo

rma

indi

vidu

al o

en

pare

jas

resu

elve

n lo

s pr

oble

mas

de

la F

icha

2.

Los p

robl

emas

de

esta

fich

a es

tán

en e

l con

text

o de

l jue

go, c

on la

fina

lidad

que

exp

licite

n la

s pre

-gu

ntas

que

form

ulan

a p

artir

de

los d

atos

y la

resu

elva

n re

curr

iend

o a

la m

ultip

licac

ión

o di

visió

n.

Mo

MEN

To D

E CI

ERRE

: El p

rofe

sor(a

) sis

tem

atiz

a la

s sig

uien

tes i

deas

:a)

Si l

os d

atos

de

un p

robl

ema

son

la m

edid

a y

el n

úmer

o de

paq

uete

s, la

pre

gunt

a se

pue

de fo

r-m

ular

de

dist

inta

s m

aner

as, p

ero

debe

con

tene

r la

expr

esió

n cu

ánto

es

el to

tal d

e un

idad

es y

di

cha

preg

unta

se re

spon

de m

edia

nte

el p

rodu

cto

entr

e el

núm

ero

de p

aque

tes p

or la

med

ida

de c

ada

paqu

ete.

b) P

or o

tra

part

e, s

i los

dat

os s

on la

med

ida

y la

can

tidad

tota

l de

unid

ades

, la

preg

unta

que

se

pued

e fo

rmul

ar e

s ¿Cu

ánto

s paq

uete

s pue

do fo

rmar

? Y e

n es

e ca

so d

icha

pre

gunt

a se

resu

elve

di

vidi

endo

la c

antid

ad to

tal d

e un

idad

es e

ntre

la c

antid

ad d

e un

idad

es p

or p

aque

te.

c) ¿

Cóm

o m

ultip

licar

30

x 4

ó 43

x 5

?d)

¿Có

mo

divi

dir 9

6 : 3

?

• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida y de iteración de una medida.

�0

planes de clases

Plan

de

la T

erce

ra c

lase

M

ater

iale

s: In

stru

ccio

nes

del j

uego

“¿Cu

ánto

s pa

quet

es?

¿Cuá

ntas

uni

dade

s?” y

las

tarje

tas

de la

cla

se 2

, que

se

utili

zan

para

juga

rlo, r

ecor

-ta

das.

Las

tarje

tas

con

núm

eros

de

la c

lase

3 (M

ater

ial 5

y 6

), re

cort

ada.

La

Fich

a 3.

n

Cuid

e qu

e la

for

mul

ació

n de

la

preg

unta

re

laci

ona

bien

los d

atos

pro

porc

iona

dos p

or

las t

arje

tas.

n

Verifi

que

que

cada

niñ

o id

entifi

ca la

ope

ra-

ción

que

resu

elve

el p

robl

ema.

n

Que

todo

s res

uelv

en la

ope

raci

ón.

n

Que

inte

rpre

tan

el re

sulta

do e

n fu

nció

n de

la

pre

gunt

a.

n

Cerc

ióre

se q

ue d

uran

te e

l de

sarr

ollo

del

ju

ego:

• Lo

s niñ

os fo

rmul

an b

ien

la p

regu

nta.

• El

niñ

o qu

e di

ce ¡a

lto!,

expl

ica

el p

roce

-di

mie

nto

utili

zado

par

a en

cont

rar

la r

es-

pues

ta.

n

Com

prue

be q

ue la

est

rate

gia

de b

úsqu

eda

del c

uoci

ente

en

las d

ivisi

ones

la re

aliz

a pa

r-tie

ndo

de la

mul

tiplic

ació

n en

tre

un m

últi-

plo

de 1

0 ó

100

y la

med

ida

del g

rupo

.

n

Com

prue

be q

ue l

os n

iños

com

pren

den

la

rela

ción

ent

re lo

s da

tos

y la

incó

gnita

par

a de

term

inar

si l

a op

erac

ión

que

resu

elve

el

prob

lem

a es

una

div

isión

o u

na m

ultip

lica-

ción

.

n

Verifi

que

que

utili

zan

proc

edim

ient

os e

co-

nóm

icos

par

a m

ultip

licar

y d

ivid

ir.

Mo

MEN

To D

E IN

ICIo

: El p

rofe

sor (

a) p

lant

ea u

na a

ctiv

idad

que

per

mite

afia

nzar

lo a

pren

dido

las

clas

es a

nter

iore

s.D

irige

col

ectiv

amen

te e

l jue

go “¿

Cuán

tos

paqu

etes

? ¿C

uánt

as u

nida

des?

” ut

iliza

ndo

los

set d

e ta

rjeta

s co

n nú

mer

o co

n la

pal

abra

uni

dade

s y

paqu

etes

y la

s ta

rjeta

s co

n lo

s di

bujo

s de

ver

dura

s co

n qu

e se

trab

ajó

en la

segu

nda

clas

e.

Se d

ebe

gene

rar u

na d

inám

ica

de tr

abaj

o a

part

ir de

pre

sent

arle

s dos

tarje

tas a

los n

iños

. Pid

a qu

e un

niñ

o fo

rmul

e un

a pr

egun

ta, q

ue la

esc

riba

en la

piz

arra

y q

ue ca

da a

lum

no en

su cu

ader

no es

crib

a la

ope

raci

ón q

ue re

suel

ve e

l pro

blem

a y

calc

ule

el re

sulta

do. P

oste

riorm

ente

, con

front

e lo

s di

fere

ntes

pr

oced

imie

ntos

util

izad

os p

ara

reso

lver

la m

ultip

licac

ión

o la

div

isión

. Se

deb

e cu

idar

que

los p

ares

de

tarje

tas e

legi

das p

erm

itan

el p

lant

eam

ient

o de

pro

blem

as d

e ite

ra-

ción

de

una

med

ida

y de

agr

upam

ient

o en

bas

e a

una

med

ida,

don

de la

div

isión

sea

inex

acta

.

Mo

MEN

To D

E D

EsA

RRo

llo

: El p

rofe

sor(a

) pla

ntea

una

act

ivid

ad e

n qu

e lo

s ni

ños

teng

an q

ue

form

ular

pre

gunt

as e

n sit

uaci

ones

en

las

que

se re

pita

una

med

ida

o se

agr

upen

col

ecci

ones

de

obje

tos e

n ba

se a

una

med

ida,

y q

ue la

rela

ción

ent

re lo

s núm

eros

invo

lucr

ada

en a

mba

s situ

acio

nes

los d

esaf

íe a

pro

gres

ar e

n su

s pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

de m

ultip

licac

ione

s y d

ivisi

ones

.Ac

tivid

ad: J

uego

“¿C

uánt

os p

aque

tes?

¿Cu

ánta

s un

idad

es?”

. Seg

ún c

omo

estim

e co

nven

ient

e or

gani

ce a

los n

iños

par

a qu

e ju

egue

n, u

tiliz

ando

solo

tarje

tas m

últip

lo d

e 10

o 1

00, d

e m

aner

a qu

e re

cuer

den

la m

ultip

licac

ión

con

dich

os n

úmer

os, q

ue e

s un

cono

cim

ient

o ba

se p

ara

divi

dir c

uand

o el

div

iden

do e

s un

núm

ero

de tr

es c

ifras

.Po

ster

iorm

ente

, int

rodu

zca

el re

sto

de la

s ta

rjeta

s qu

e co

nfor

man

el s

et p

ara

esta

terc

era

clas

e y

orga

nice

a lo

s niñ

os p

ara

jueg

uen

una

vez

en g

rupo

s.Ac

tivid

ad: N

iños

y n

iñas

, en

form

a in

divi

dual

o e

n pa

reja

s, re

suel

ven

los

prob

lem

as d

e la

Fic

ha

3, id

entifi

cand

o la

ope

raci

ón q

ue lo

s re

suel

ve y

bus

cand

o pr

oced

imie

ntos

más

eco

nóm

icos

par

a di

vidi

r.

Mo

MEN

To D

E CI

ERRE

: El p

rofe

sor(a

) sist

emat

iza

las s

igui

ente

s ide

as:

a) S

i los

dat

os d

e un

pro

blem

a so

n la

med

ida

y el

núm

ero

de p

aque

tes,

la p

regu

nta

se p

uede

form

u-la

r de

dist

inta

s man

eras

, per

o de

be c

onte

ner l

a ex

pres

ión

cuán

to e

s el t

otal

de

unid

ades

y d

icha

pr

egun

ta se

resp

onde

med

iant

e el

pro

duct

o en

tre

el n

úmer

o de

paq

uete

s por

la m

edid

a de

cada

pa

quet

e.b)

Por

otr

a pa

rte,

si l

os d

atos

son

la m

edid

a y

la c

antid

ad t

otal

de

unid

ades

, la

preg

unta

que

se

pued

e fo

rmul

ar e

s ¿C

uánt

os p

aque

tes

pued

o fo

rmar

? D

icha

pre

gunt

a se

resu

elve

div

idie

ndo

la

cant

idad

tota

l de

unid

ades

ent

re la

can

tidad

de

unid

ades

por

paq

uete

.c)

¿Có

mo

mul

tiplic

ar 3

00 x

3 ó

312

x 6

?d)

¿Có

mo

divi

dir 8

08 : 3

?

• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida e iteración de una medida. • Comprobar el resultado de la división.

T M

Activ

idad

esEv

alua

ción

�1

planes de clases

Plan

de

la C

uart

a cl

ase

Mat

eria

les:

Fic

ha 4

, Ins

truc

cion

es d

el ju

ego

“For

mul

ando

Pro

blem

as”,

los

maz

os 1

y 2

(Mat

eria

l 7) d

el ju

ego

y lo

s tr

es t

able

ros

del j

uego

re

cort

ados

. La

Fich

a 5.

n

Cuid

e de

que

los

alum

nos

entie

nden

bie

n la

s in

stru

ccio

nes.

Hag

a én

fasis

en

que

la

preg

unta

deb

e se

r cla

ra y

se d

eben

inco

rpo-

rar t

odos

los d

atos

en

el p

robl

ema.

n

Por

turn

os lo

s ni

ños

dan

vuel

ta d

os c

arta

s y

form

ulan

una

pre

gunt

a qu

e re

laci

ona

ambo

s dat

os.

• Q

ue e

l niñ

o qu

e di

ce a

lto, e

xplic

a el

pro

-ce

dim

ient

o ut

iliza

do p

ara

enco

ntra

r la

re

spue

sta.

n

Verifi

que

que

cada

niñ

o id

entifi

ca la

ope

ra-

ción

que

resu

elve

el p

robl

ema

y qu

e in

ter-

pret

an e

l sig

nific

ado

del r

esul

tado

. n

Cerc

ióre

se q

ue d

uran

te e

l des

arro

llo d

e la

ac

tivid

ad lo

s al

umno

s so

n ca

pace

s de

for-

mul

ar lo

s pr

oble

mas

e id

entifi

car

la o

pera

-ci

ón q

ue lo

s res

uelv

e.n

Que

los

niño

s re

cono

cen

aque

llos

caso

s en

lo

s que

no

es p

osib

le fo

rmul

ar u

n pr

oble

ma

que

teng

a so

luci

ón.

n

Verifi

car

que

en e

l Pro

blem

a 2

de la

Fic

ha

inte

rpre

tan

corr

ecta

men

te e

l sig

nific

ado

de

cada

dat

o y

la p

regu

nta.

Mo

MEN

To D

E IN

ICIo

: El p

rofe

sor(a

) diri

ge c

olec

tivam

ente

el j

uego

“Fo

rmul

ando

Pro

blem

as”,

utili

zand

o lo

s set

de

tarje

tas c

on n

úmer

os d

e tr

es c

ifras

y n

úmer

os d

e un

a o

dos c

ifras

y lo

s tab

lero

s de

jueg

o.Ac

tivid

ad: J

uego

”For

mul

ando

Pro

blem

as”.

Segú

n co

mo

estim

e co

nven

ient

e, o

rgan

ice

a lo

s niñ

os

para

que

jueg

uen

en g

rupo

s, ut

iliza

ndo

un ta

bler

o de

jueg

o ”F

orm

ulan

do P

robl

emas

” y

los

dos

maz

os d

e nú

mer

os, u

no co

n nú

mer

os h

asta

el 2

0 y

otro

con

núm

eros

del

25

hast

a el

900

. Par

a co

ntar

la

s ins

truc

cion

es e

l pro

feso

r esc

oge

dos t

arje

tas,

una

de ca

da m

azo

y di

buja

un

tabl

ero

en e

l piz

arró

n co

n la

tarje

ta m

ayor

en

la p

osic

ión

del t

otal

y la

men

or e

n la

pos

ició

n de

l núm

ero

de g

rupo

s y le

s pid

e a

los a

lum

nos q

ue fo

rmul

en u

na p

regu

nta

y la

ope

raci

ón q

ue la

resu

elve

. Lue

go, p

one

en c

omún

las

resp

uest

as.

Sele

ccio

na tr

es p

robl

emas

que

hay

an p

lant

eado

dist

into

s gru

pos,

cuid

ando

que

uno

sea

de a

grup

a-m

ient

o, o

tro

de it

erac

ión

y ot

ro d

e re

part

o eq

uita

tivo

y se

hac

e un

a br

eve

pues

ta e

n co

mún

sob

re

esto

s tr

es p

robl

emas

. Guí

a la

disc

usió

n y

anot

a en

el p

izar

rón

tant

o lo

s pr

oble

mas

, así

com

o la

s op

erac

ione

s pla

ntea

das p

or lo

s alu

mno

s e id

entifi

ca e

l sig

nific

ado

de c

ada

dato

y e

l sig

nific

ado

del

resu

ltado

. Pro

pone

que

cal

cule

n la

s ope

raci

ones

util

izan

do la

Tab

la P

itagó

rica

Ext

endi

da.

‘Mo

MEN

To D

E D

EsA

RRo

llo

: Act

ivid

ad 2

: El p

rofe

sor(a

) pla

ntea

una

situ

ació

n an

álog

a a

la A

cti-

vida

d 1,

en

el p

izar

rón,

con

un

tabl

ero

de la

s man

zana

s y la

s tar

jeta

s 24

y 6.

Los

alu

mno

s tra

baja

n en

fo

rma

indi

vidu

al, o

en

pare

jas y

en

sus c

uade

rnos

trat

an d

e pl

ante

ar lo

s pro

blem

as a

par

tir d

e la

s sei

s po

sible

s com

bina

cion

es q

ue e

l pro

feso

r esc

ribe

en e

l piz

arró

n.

Activ

idad

3: N

iños

y n

iñas

en

form

a in

divi

dual

o e

n pa

reja

s re

suel

ven

los

prob

lem

as d

e la

Fic

ha 5

. Re

suel

ven

los

prob

lem

as id

entifi

cand

o la

ope

raci

ón q

ue lo

s re

suel

ve y

bus

cand

o pr

oced

imie

ntos

pa

ra re

aliz

ar e

l cál

culo

.

Mo

MEN

To D

E CI

ERRE

: El p

rofe

sor (

a) si

stem

atiz

a la

s sig

uien

tes i

deas

:n L

a im

port

anci

a qu

e tie

ne a

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ora

de re

solv

er p

robl

emas

iden

tifica

r el p

apel

de

cada

uno

de

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s den

tro

del p

robl

ema

y el

sign

ifica

do d

e la

resp

uest

a.n R

ecor

dar q

ue n

o sie

mpr

e qu

e sa

le la

pal

abra

agr

upar

o re

part

ir te

ngo

que

divi

dir p

ara

reso

lver

el

prob

lem

a, y

a qu

e la

ope

raci

ón q

ue re

suel

ve e

l pro

blem

a no

sol

o de

pend

e de

la a

cció

n re

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ada

(repa

rto,

agr

upam

ient

o, it

erac

ión)

, sin

o ta

mbi

én d

e cu

áles

son

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atos

del

pro

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a.n L

os a

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nos

prop

onen

un

ejem

plo

simila

r, en

que

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cció

n in

volu

crad

a en

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robl

ema

es u

n re

part

o y,

sin

emba

rgo,

se re

suel

ve c

on u

na m

ultip

licac

ión.

• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida, iteración de una medida, y de reparto equitativo. • Comprobar el resultado de la división.

T M

Activ

idad

esEv

alua

ción

�2

planes de clases

Plan

de

la Q

uint

a cl

ase

Mat

eria

les:

Fic

ha 6

y 7

.

n

Cuid

e q

ue lo

s alu

mno

s tra

ten

de fo

rmul

ar lo

s pr

oble

mas

por

sí m

ismos

y q

ue lo

s pro

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as

que

form

ulan

sean

dist

into

s.

n

Verifi

que

que

los

alum

nos

logr

en e

stab

lece

r un

pro

cedi

mie

nto

para

com

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ar la

div

isión

.

n

En la

cor

recc

ión

deje

esp

acio

a lo

s al

umno

s pa

ra q

ue c

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ten

entr

e el

los

las

duda

s re

s-pe

cto

de la

sol

ució

n de

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lem

as, y

par

a qu

e pl

ante

en la

s cos

as q

ue n

o en

tiend

en.

n

Pong

a es

peci

al a

tenc

ión

a có

mo

los

niño

s pl

ante

an e

l Pr

oble

ma

1, d

ado

que

se t

rata

de

un

prob

lem

a in

vers

o, p

ues

se r

esue

lve

med

iant

e un

pro

duct

o pe

se a

que

se

efec

tuó

un a

grup

amie

nto.

Mo

MEN

To D

E IN

ICIo

: Se

pro

pone

em

peza

r con

la A

ctiv

idad

1 d

onde

se

prop

one

a lo

s al

umno

s qu

e co

n la

s tar

jeta

s 150

y 4

0 y

el Ta

bler

o de

Fós

foro

s, pl

ante

en tr

es p

robl

emas

dist

into

s y lo

s res

uel-

van.

La

activ

idad

se re

aliz

a in

divi

dual

men

te.

Una

vez

resu

elto

s los

pro

blem

as p

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eado

s, se

pid

e qu

e, p

or p

arej

as, t

rate

n de

est

able

cer u

n pr

oce-

dim

ient

o pa

ra c

ompr

obar

el r

esul

tado

de

las d

ivisi

ones

que

hay

an e

fect

uado

.El

pro

feso

r diri

ge u

na b

reve

pue

sta

en co

mún

de

los r

esul

tado

s obt

enid

os e

n lo

s pro

blem

as p

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ea-

dos y

de

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ue h

ay q

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acer

par

a co

mpr

obar

el r

esul

tado

de

la d

ivisi

ón 1

50 : 4

0.

Mo

MEN

To D

E D

EsA

RRo

llo

: Act

ivid

ad 2

: Los

niñ

os re

suel

ven

indi

vidu

alm

ente

los c

álcu

los p

lan-

tead

os e

n la

Fic

ha 6

y c

ompr

ueba

n lo

s res

ulta

dos d

e la

s div

ision

es.

Los a

lum

nos c

omen

tan

los r

esul

tado

s de

cada

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culo

par

a qu

e pu

edan

dar

se c

uent

a de

los e

rror

es

com

etid

os y

cor

regi

rlos.

Activ

idad

3: N

iños

y n

iñas

en

form

a in

divi

dual

o e

n pa

reja

s res

uelv

en lo

s pro

blem

as d

e la

Fic

ha 7

. U

na v

ez re

suel

tos l

os p

robl

emas

, por

par

ejas

, com

para

n lo

s res

ulta

dos o

bten

idos

con

los o

bten

idos

po

r su

com

pañe

ro.

Pedi

r que

repr

esen

ten

los d

atos

del

pro

blem

a ut

iliza

ndo

un e

sque

ma,

de

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a qu

e le

s pue

da ay

udar

a

just

ifica

r la

oper

ació

n qu

e lo

resu

elve

.

Mo

MEN

To D

E CI

ERRE

: El p

rofe

sor(a

) sis

tem

atiz

a la

s prin

cipa

les i

deas

est

udia

das e

n la

uni

dad:

1.

La im

port

anci

a de

rela

cion

ar e

n lo

s pro

blem

as lo

s dat

os y

la in

cógn

ita c

on la

can

tidad

de

unid

a-de

s que

tien

e ca

da g

rupo

, el n

úmer

o de

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pos y

el t

otal

de

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ades

.2.

En

los p

robl

emas

est

udia

dos (

suge

rimos

tom

ar c

omo

refe

renc

ia lo

s pro

blem

as p

ropu

esto

s en

la

Activ

idad

3).

n

Si lo

s dat

os so

n la

can

tidad

tota

l y la

can

tidad

de

unid

ades

que

tien

e ca

da g

rupo

, la

preg

unta

de

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blem

a ha

ce re

fere

ncia

al n

úmer

o de

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pos

que

se p

uede

n fo

rmar

y s

e re

suel

ve d

ivi-

dien

do e

l tot

al e

ntre

la c

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ad d

e un

idad

es q

ue ti

ene

cada

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po.

n

Si n

os d

an c

omo

dato

s la

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tidad

tota

l y e

l núm

ero

de g

rupo

s, la

pre

gunt

a ha

ce re

fere

n-ci

a a

la c

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ad q

ue ti

ene

cada

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po y

se

resu

elve

div

idie

ndo

el to

tal e

ntre

el n

úmer

o de

gr

upos

.n

Si n

os d

an c

omo

dato

el n

úmer

o de

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pos y

la c

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ad d

e un

idad

es q

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ene

cada

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po,

la p

regu

nta

del p

robl

ema

hace

refe

renc

ia a

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ad to

tal y

se

resu

elve

mul

tiplic

ando

el

núm

ero

de g

rupo

s por

las u

nida

des q

ue ti

ene

cada

gru

po.

3.

La d

ivisi

ón e

ntre

dos

núm

eros

nos

per

mite

cal

cula

r cuá

ntas

vec

es c

abe

el d

iviso

r en

el d

ivid

endo

; po

r eso

dec

imos

que

al i

gual

que

la m

ultip

licac

ión

repr

esen

ta u

na su

ma

itera

da, la

div

isión

repr

e-se

nta

una

rest

a ite

rada

.4.

Pa

ra c

alcu

lar

el re

sulta

do d

e un

a di

visió

n, p

or e

jem

plo

198

: 7 s

e tr

ata

de b

usca

r qu

é nú

mer

o m

ultip

licad

o po

r 7 se

ace

rca

más

a 1

98 si

n pa

sars

e. E

ste

se p

uede

obt

ener

med

iant

e la

sum

a de

va

rios p

rodu

ctos

; 20

x 7

= 14

0, 8

x 7

= 5

6, 1

40+5

6 =

196,

el r

esul

tado

es 2

8 y

qued

an 2

uni

dade

s.5.

Pa

ra c

ompr

obar

el r

esul

tado

de

una

divi

sión

hay

que

mul

tiplic

arlo

por

el d

iviso

r y a

ese

pro

duct

o añ

adirl

e el

res

to. S

i ese

cál

culo

coi

ncid

e co

n el

div

iden

do e

l res

ulta

do e

s co

rrec

to (S

uger

imos

co

mpr

obar

el c

álcu

lo q

ue h

ayan

real

izad

o en

el P

robl

ema

4 de

la A

ctiv

idad

3).

• Plantear y resolver problemas de agrupamiento en base a una medida, iteración de una medida, y de reparto equitativo. • Comprobar el resultado de la división.

T M

Activ

idad

esEv

alua

ción

�3

planes de clases

Plan

de

la s

exta

cla

seM

ater

iale

s: P

rueb

a de

la u

nida

d pa

ra lo

s ni

ños;

Pau

ta d

e co

rrec

ción

par

a el

pro

feso

r.

n C

erci

óres

e de

que

han

ent

endi

do c

ada

una

de la

s pre

-gu

ntas

de

la p

rueb

a.

n P

regú

ntel

es c

ómo

cont

esta

ron.

¿E

n qu

é se

equ

ivoc

aron

?

APl

ICAC

IóN

DE

lA P

RUEB

A.

En la

apl

icac

ión

se re

com

iend

a a

los p

rofe

sore

s (as

) que

lean

las p

regu

ntas

y se

cer

cio-

ren

de q

ue to

dos c

ompr

enda

n lo

que

se le

s sol

icita

, sin

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rega

r inf

orm

ació

n ad

icio

nal

a la

pla

ntea

da e

n lo

s pro

blem

as.

CoRR

ECCI

óN

DE

lA P

RUEB

A.

En la

seg

unda

par

te d

e la

cla

se, s

e su

gier

e re

aliz

ar u

na c

orre

cció

n de

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rueb

a en

la

piza

rra,

pre

gunt

ando

a n

iñas

y n

iños

los

proc

edim

ient

os q

ue u

tiliz

aron

. Ana

lice

una

a un

a la

s re

spue

stas

que

die

ron,

con

front

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las

dife

rent

es re

spue

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en

el c

aso

de

habe

rlas.

CIER

RE D

E lA

UN

IDA

D D

IDáC

TICA

Conv

erse

con

niñ

os y

niñ

as so

bre

cóm

o le

s fue

en

la p

rueb

a, y

qué

difi

culta

des e

ncon

-tr

aron

.

Activ

idad

esEv

alua

ción

54

Nombre: Escuela:

Curso: Fecha: Puntaje:

Indicaciones para el profesor (a):Leer la prueba completa, pregunta por pregunta, señalando los espacios en que se debe responder y cuidando de no dar información adicional.

Resuelvelossiguientesproblemas:

1. DonRaúldeseaecharlamismacantidaddeajosen4bolsas.

Nota

Prueba y PautaV

Prueba de la tercera unidad didácticamatemática • cuarto año básico

2. LaseñoraMartatiene960cebollines.Quierehacerpaquetescon3cebollinescadauno.

¿Cuántospaquetespuedehacer?

¿Cuántosajosdeberáecharencadabolsasitiene58ajos?

¿Cuántosajoslequedansinrepartir?

55

3. antoniatiene43sobrescon6láminasencadasobre.

726:7=

4. Formulaunproblema,resuélveloapartirdelosdatosquepresentaelsiguientetableroycompruebaelresultado.

5. Resuelvelassiguientesoperaciones:

87x5=

105

cantidadtotaldetomates

8

tomatesencadabandeja

?

númerodebandejas

¿Cuántasláminastieneantonia?

56

Evaluación de la unidad por el curso

Pauta de Corrección de Prueba de la Unidad

Sialcorregir lapruebacon lapautasugerida,encuentraalgunasrespuestasambiguasde losniños, se sugiere que los entreviste solicitando que frente a la pregunta en cuestión puedanexplicarsusrespuestas.

Puntaje máximo 20

% total de logro del curso

Pregunta Tareas matemáticasCantidad de alumnos que

respondió bien% de logro

1 Resuelvenunproblemaderepartoequitativodistinguiendolacantidaddeobjetosquerecibecadagrupoylosobjetosquequedansinrepartir.

2 Resuelvenunproblemadeagrupamientoenbaseaunamedida,dondelacantidadtotaldeobjetosesunnúmerodetrescifras.

3 Resuelvenunproblemadeiteraciónenbaseaunamedida.

4a Formulanyresuelvenunproblemateniendocomodatoslacantidadtotaldeobjetosylamedidadecadagrupo.

4b Compruebanelresultadodeunadivisión.5a Resuelvenunadivisiónconeldividendodetrescifras.5b Resuelvenunamultiplicación.

Pregunta Respuesta Puntos

1

Responde14ajosencadabolsa,utilizandocomoprocedimientoparabuscarelcuocientemultiplicarpor10yluegopor4oelalgoritmoconvencional.Responde14paquetes,utilizandocomoprocedimientoparabuscarelcuocientemultiplicarporunnúmerocualquiera.Responde14paquetes,sinutilizar larelacióninversaentrelamultiplicaciónyladivisión(dibujan,sumanorestan).Respondequequedan2ajossinrepartir.

3

2

11

4

2

Responde 320 paquetes, utilizando el algoritmo convencional o el procedimiento de loscuocientesparcialesmultiplicandopor300y20,elmayormúltiplode100yelmayormúlti-plode10,respectivamente.Responde320paquetes,utilizandocomoprocedimientolabúsquedadecuocientesparcia-lesmultiplicandopornúmerosdistintosa300y20.Responde320paquetes,sinutilizarlarelacióninversaentrelamultiplicaciónyladivisión(dibujan,sumanorestan).

3

2

1

3

3Responde258láminas,utilizandoelalgoritmoconvencionaloelprocedimientobasadoenladescomposicióncanónicade43.Responde258láminas,utilizandocomoprocedimientolasumade43seisveces.

3

23

4

Formulanunproblemadeltipoderepartoequitativo,porejemplo:Sitengo105tomatesylosquieroagruparenbandejasdeaocho¿cuántasbandejaspuedoformar?Escribenladivisión105:8Escriben13comoelcuocientedeladivisión.Compruebanelresultadoverificandoque13x8+1=105

2111

5

5 a)Resuelveladivisión726:7yescribe103decuocientey5derestob)Resuelvelamultiplicación87x5yescribe435.

32

5

57

• Busqueenelmomentodecierredecadaunodelosplanesdeclase,elolosfundamen-toscentralesdelaunidadconelcualsecorresponde:

• Describa los principales aportes que le ha entregado esta Unidad y la forma en quepuedeutilizarlosenlaplanificacióndesusclases:

esPacio Para la reflexión PersonalVI

58

GlosarioVII

Incluye todos aquellos problemas aritméticos que se re-suelven mediante un producto y/o cuociente entre losdatos.

Campo deproblemasmultiplicativos :

Problemassimples :

Problemasdecálculoaritmético,encuyoenunciadoapa-recensolodosdatosyunaincógnita,salvoenelcasodedivisiones inexactas en que aparecen dos incógnitas: elcuocienteyelresto.Losproblemasdeestaunidadsonto-dosdeestetipo.

Un problema multiplicativo es inverso cuando la acciónpresente en el enunciado no se asocia con la operaciónque debe efectuarse para resolverlo. Un ejemplo de pro-blemainversoes:

• anitarepartiótodos losdulcesdeunabolsaentresus5amigosy le tocaron20dulcesacadauno.¿Cuántosdulcesteníalabolsa?

aquellosenlosquesetieneunadeterminadamedidaqueserepiteunacantidaddevecesylaincógnitasueleserlacantidad total. algunos problemas de iteración de unamedidason:

• En cada pocillo ponemos 6 castañas. Si tenemos 12pocillos,¿cuántascastañasnecesitamos?

• Joan compró ocho bandejas de 6 tomates cada una.¿Cuántostomatescompró?

Problemasmultiplicativos deproporcionalidaddirecta :

Problemasinversos :

Problemasmultiplicativos deiteración de unamedida :

Problemasdelcampomultiplicativoenlosquelarelacióndeproporcionalidaddirectaexistenteentedatoseincóg-nitaeslaquepermiteresolverlos.

Número de veces x Medida = Total

59

aquellos en los que se tiene una determinada cantidadtotalquehayqueagruparenunadeterminadamedidaylaincógnitasueleserlacantidaddegruposquesepuedenformar. algunos problemas de agrupamiento en base aunamedidason:

• Noracompróunsacocon238betarragas.Luegoformópaquetes de 5 betarragas para venderlos en la feria.¿Cuántospaquetesobtuvo?

• Pablotienequeponer256bebidasencajas.Siencadacajacaben12bebidas,¿cuántascajasnecesita?

Problemasmultiplicativos deagrupamiento en base a unamedida :

aquellos en los que se tiene una determinada cantidadtotalquehayquerepartirequitativamenteenunadeter-minadacantidaddegruposopersonassiendolaincógnitalamedida(ocantidad)queletocaacadagrupoopersona.Unproblemaderepartoequitativoes:

• Josérepartióequitativamenteunmazode62cartasdeMitos y Leyendas entre sus 7 amigos. ¿Cuántas cartasle tocaron a cada amigo? ¿Le quedaron cartas porrepartir?

Problemasmultiplicativos de repartoequitativo :

fichas y materiales Para alumnas y alumnosVIII

63

Tercera UnidadClase 1Ficha 1 Cuarto Básico

Nombre:Curso:

1) Enlaferiasevendenalgunasverdurasenpaquetes.Porejemplo,laszanahoriassevendenenpaquetesdea8.

2) DoñaMaríatiene24cebollines.Paravenderlos,ellahacepaquetesdea3cebollines.

¿Cuántospaquetesdecebollinespuedehacer?

Resuelveelproblemaentucuaderno.

DoñaMaríatieneunpuestodeverdurasyhavendido6paquetesdezanahoria.

¿Cuántaszanahoriashavendido?


3) adonMatías,quientambiénvendeenlaferia,lequedaronluegodeundíadeventa,9paquetesdezanahorias.

¿Cuántaszanahoriaslequedan?



4) DonMatíasestáhaciendopaquetesdebetarragasparavenderlas.

Sitiene45betarragas,¿cuántospaquetespodráformar?

64


Nombre:Curso:

2) Sieneljuego“¿Cuántospaquetes?¿Cuántasunidades?”dasvuelta2tarjetasytesalen:

10alcachofastieneunpaquete

15paquetes


96unidades

Escribeentucuadernounapreguntaquerelacioneambosdatos.

Respondelapreguntaquetehiciste.



Loscebollinessevendenenpaquetesde3

4) DonMatíastiene72betarragasyvaahacerpaquetesde5.

¿Cuántospaquetespuedehacer?


3) DoñaMaríatiene36paquetesdeajos.

¿Cuántosajostiene,siencadapaquetehay4ajos?


65


Nombre:Curso:




808unidades

2) DonFermínrecogió343tomates.Paravenderlosamejorpreciolosenvasaenbandejasde6tomatescadauna.

¿Cuántasbandejasdebecomprar?

3) Enuncriaderodeavesserecogióalfinaldeldía,loshuevosquepusieronlasgallinasyconelloshizo312cajasdehuevos,con6huevoscadauna.

4) LaseñoraBertacompróunpaquete con500cuchuflíes.Quiereponerlos enbolsasde7cuchuflíescadauna.

¿CuántasbolsasnecesitalaseñoraBerta?

Resuelvelosproblemasentucuaderno.

Unpaquetetiene8zanahorias

¿Cuántoshuevospusieronlasgallinasenesedía?

66


Nombre:Curso:

Materiales:• Dossetde24tarjetasconnúmeros.• tablero.• Cadaalumnodebetenersucuadernoylápiz.

Actividad 1. Planteando Problemas

Porturnossacadostarjetas,unadecadamazo.

Ubicarlastarjetasdeformaquetapendosdelosinterrogantesdeltableroyusandotodoslosdatosdeltableroformulaunproblemaatuscompañeros.

El primer compañero de juego que plantea la operación que resuelve elproblemadice¡alto!ylacomparteconelrestodesuscompañeros.

Elcompañeroquehaplanteadolaoperaciónmueveunaolasdostarjetascambiando su posición en el tablero y formula un nuevo problema a suscompañeros.

Elprocesoserepitehastaquesehayanformuladotresproblemasdistintosusandounmismopardetarjetas.

Luegootroniñooniñasacadosnuevastarjetasdelosmazosyserepiteelproceso.

Resuelveentucuadernocadaunodelosproblemasquesepuedenplantearconcadaparejadedatosdelpizarrón.Sicreesquenotienesoluciónescribe:“notienesolución”.

67


Nombre:Curso:

1) Mireyateníaqueapilar315bebidasencajasdea12.¿Cuántascajasusó?

Resuelvelosproblemasentucuaderno.

Actividad 3:

2) Luzrepartióunabolsadecaramelosentresuscincoamigosyletocaron20caramelosacadaamigo.¿Cuántosdulcesteníalabolsa?

3) Pablo compró 18 cajas de hamburguesas para vender en su carnicería. Si cada bandeja trae 20hamburguesas,¿cuántashamburguesascompróPablo?

68


Nombre:Curso:

Actividad 1:

Conlastarjetas 150 40 yeltablerosiguiente,planteatresproblemasdistintosquetengan

soluciónyescribelaoperaciónqueresuelvecadaunodeellos.cantidad

defósforos

?fósforoscadacaja

?númerodecajas

?Problema1:

Problema2:

Problema3:

69


Nombre:Curso:

Actividad 2:

Realiza en tu cuaderno los siguientes cálculos y en el caso de las divisiones comprueba el resultado.

Problema1:Davidagrupólaszanahoriasdeunsacoenpaquetesdea10.obtuvo32paquetesylesobraron3.¿Cuántaszanahoriashabíaenelsaco?

Problema2:anita repartió una bolsa de 100 caramelos entre sus ocho amigos. ¿Cuántos caramelos letocaronacadauno?¿Sobróalgúndulce?

Problema4:Manuel compró 250 bombones al por mayor para ponerlos en cajitas y venderlos. Si pone6 bombones en cada cajita, ¿cuántas cajitas necesita comprar?, ¿podrías comprobar turesultado?

305x15=a)

62:4=c)

620:6=e)

745:20=b)

56x12=d)

198:7=f)

Actividad 3:

Resuelvelosproblemassiguientes:

Problema3:¿Cuántoshuevoshayen35docenas?

70

Tercera UnidadClase 2Material 1 Cuarto Básico

Nombre:Curso:

Instrucciones:

Puedenjugarde3a5niñosyniñas.

Ponersobrelamesadosmazosdetarjetasbocaabajo:lastarjetasconnúmerosylastarjetasconlosdibujosdeverduras.

Porturno,unjugadorsacaunacartadecadamazoylasdavueltaparaquelaspue-danobservartodoslosjugadores.

Eljugadorquedavueltalascartastienelamisióndeplantearenformaoralunapre-guntaquerelacioneambastarjetasvolteadas.

Porejemplo,paraestastarjetassepuedeformularlasiguientepregunta:

Si tengo 56 betarragas, ¿cuántos paquetes de 5 puedo formar?

Losjugadoresbuscanlarespuestaindividualmente.Elprimeroenencontrarladice¡Alto!

Muestrasurespuestaylaexplicaasuscompañerosdejuego.Sihaycualquierdudaodesacuerdo,sedeberácomprobarqueelprocedimientoutilizadoestácorrecto.

Silarespuestaescorrecta,eljugadorsequedaconlatarjetadelaverdura.

Ganaaqueljugadorqueprimeroreúne4tarjetasdeverdurasdistintas.

Juego: ¿Cuántos paquetes? ¿Cuántas unidades?

56unidades

Materiales:• Unsetde24tarjetasconnúmeros,12quetienenlapalabraunidades

más12tarjetasquetienenlapalabrapaquetes.• Unsetde12tarjetascondibujodepaquetesdeverduras.• Cadajugadordebetenersucuadernoylápiz.

5betarragastieneunpaquete

71


Nombre:Curso:

Set de tarjetas con números para segunda clase. (Recortarlastarjetas).

5paquetes

10paquetes

15paquetes

6paquetes

4paquetes

7paquetes

9paquetes

8paquetes

6paquetes

8paquetes

12paquetes

10paquetes

72

Tercera UnidadClase 2 y 3Material 3 Cuarto Básico

Nombre:Curso:

Set de tarjetas con dibujos de paquetes de verduras. (Recortarlastarjetas).



Loscebollinessevendenen

paquetesde3

Loscebollinessevendenen

paquetesde3



4ajostieneunpaquete

4ajostieneunpaquete

6tomatesenunabandeja

6tomatesenunabandeja



73


Nombre:Curso:

Set de tarjetas con números para primera clase. (Recortarlastarjetas).

35unidades

40unidades

48unidades

50unidades

56unidades

66unidades

68unidades

72unidades

75unidades

81unidades

85unidades

96unidades

74


Nombre:Curso:

Set de tarjetas con números para tercera clase. (Recortarlastarjetas).

300unidades

500unidades

600unidades

800unidades

540unidades

252unidades

766unidades

153unidades

808unidades

316unidades

407unidades

960unidades

75


Nombre:Curso:

Set de tarjetas con números para la tercera clase. (Recortar las tarjetas).

86paquetes

200paquetes

30paquetes

60paquetes

50paquetes

64paquetes

58paquetes

71paquetes

100paquetes

120paquetes

132paquetes

140paquetes

76


Nombre:Curso:

Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 1

960360120966026450540

143600500300Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase. Mazo 2

22181472561512810205

77


Nombre:Curso:

Set de tarjetas para “Planteando Problemas” de la cuarta clase.

? ? ?cantidadtotaldecaramelos

caramelosencadabolsa

númerodebolsas

Tablero 1

? ? ?cantidadtotal

delápiceslápicesen

cadaestuchenúmero

deestuches

Tablero 2

? ? ?cantidadtotaldezanahorias

zanahoriasencadapaquete

númerodepaquetes

Tablero 3

78

Tercera UnidadMaterial 9 Cuarto BásicoNombre:Curso:

Tabla Pitagórica

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

79

Tercera UnidadMaterial 10 Cuarto BásicoNombre:Curso:

Tabla Pitagórica ExtendidaX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 14 15 16 17 18 19 202 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 403 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 604 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 805 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1006 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 1207 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 1408 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 1609 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 20011 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 22012 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 24013 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 26014 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 28015 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 30016 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 32017 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 34018 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 36019 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 38020 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 40021 21 42 63 84 105 126 147 168 189 210 231 252 273 294 315 336 357 378 399 42022 22 44 66 88 110 132 154 176 198 220 242 264 286 308 330 352 374 396 418 44023 23 46 69 92 115 138 161 184 207 230 253 276 299 322 345 368 391 414 437 46024 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 48025 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 50026 26 52 78 104 130 156 182 208 234 260 286 312 338 364 390 416 442 468 494 52027 27 54 81 108 135 162 189 216 243 270 297 324 351 378 405 432 459 486 513 54028 28 56 84 112 140 168 196 224 252 280 308 336 364 392 420 448 476 504 532 56029 29 58 87 116 145 174 203 232 261 290 319 348 377 406 435 464 493 522 551 58030 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 60031 31 62 93 124 155 186 217 248 279 310 341 372 403 434 465 496 527 558 589 62032 32 64 96 128 160 192 224 256 288 320 352 384 416 448 480 512 544 576 608 64033 33 66 99 132 165 198 231 264 297 330 363 396 429 462 495 528 561 594 627 66034 34 68 102 136 170 204 238 272 306 340 374 408 442 476 510 544 578 612 646 68035 35 70 105 140 175 210 245 280 315 350 385 420 455 490 525 560 595 630 665 70036 36 72 108 144 180 216 252 88 324 360 396 432 468 504 540 576 612 648 684 72037 37 74 111 148 185 222 259 296 333 370 407 444 481 518 555 592 629 666 703 74038 38 76 114 152 190 228 266 304 342 380 418 456 494 532 570 608 646 684 722 76039 39 78 117 156 195 234 273 312 351 390 429 468 507 546 585 624 663 702 741 78040 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560 600 640 680 720 760 80041 41 82 123 164 205 246 287 328 369 410 451 492 533 574 615 656 697 738 779 82042 42 84 126 168 210 252 294 336 378 420 462 504 546 588 630 672 714 756 798 84043 43 86 129 172 215 258 301 344 387 430 473 516 559 602 645 688 731 774 817 86044 44 88 132 176 220 264 308 352 396 440 484 528 572 616 660 704 748 792 836 88045 45 90 135 180 225 270 315 360 405 450 495 540 585 630 675 720 765 810 855 90046 46 92 138 184 230 276 322 368 414 460 506 552 598 644 690 736 782 828 874 92047 47 94 141 188 235 282 329 376 423 470 517 564 611 658 705 752 799 846 893 94048 48 96 144 192 240 288 336 384 432 480 528 576 624 672 720 768 816 864 912 96049 49 98 147 196 245 294 343 392 441 490 539 588 637 686 735 784 833 882 931 98050 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

80

Terc

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•10

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8090

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200

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•2

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56

78

9

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6080

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4080

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07.

200

4º básico unidad 3 matemática

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