TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos...

TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos

Equivalencia entre los tres Sistemas

360º = 2Rad = 400G

Longitud de la Circunferencia

Funciones Trigonométricas

sen = ordenada = y radio vector

y cos = abscisa = x

radio vector

x tg = ordenada = y abscisa x

cotg = abscisa = x ordenada y

sec = radio vector = abscisa x

cosec = radio vector = ordenada y

Resolución de Triángulos Rectángulos

B

C = a2 + b2 tg = a

b = arco tg a

b a c

tg = b a

= arco tg b a

C A

b

Matemática – Carrera Arquitectura 1

C = 2 . radio

º = R

= G

360º 2 400G

Área del Circulo = . r2

Área de Anillo o Corona

Circular = . R2 - . r2

r

R

Área del Sector Circular

= arco x radio

2

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

Teorema del Seno B

a c a

sen

b

sen

c

sen = =

C A b Teorema del Coseno

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos

b2 = a2 + c2 – 2 a c cos

c2 = a2 + b2 – 2 a b cos

Calculo de Área

Área de un Triangulo en función de sus tres lados – Formula de Herón -

donde p = a + b + c. 2

a, b, c son lados del triángulo Area = p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c )

GEOMETRÍA ANALÍTICA. SISTEMAS DE COORDENADAS

Sistema de Coordenadas Unidimensional

Distancia entre dos puntos. La distancia entre los puntos A(x1) y B(x2) Distancia horizontal

|AB| = es la longitud del segmento AB (Las barras | | se lee: valor

absoluto)

La distancia vertical entre los puntos C(y1) y D(y2)


|CD| = |(y2 – y1)| = |(y1 – y2)|

|AB| = |(x2 – x1)| = |(x1 – x2)|

Área del triang = b x h . 2

Teorema Fundamental

Area = b . c . sen 2

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO

Distancia entre dos puntos. P1 (x1;y1) y P2 (x2;y2)

Punto Medio de un Segmento.

Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO

Sistema de coordenadas Notación del punto

Distancia entre dos puntos A(x1;y1;z1) y B(x2;:y2;z2)

Punto Medio de un Segmento


z1 + z2

zm = ----------------- 2

y1 + y2

ym = ----------------- 2

x1 + x2

xm = --------------- 2

|AB| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)

2 +(z2 – z1)2

Cartesianas rectangulares P ( x; y; z )

Polares P( ; ; ; )

Cilíndricas P(( ; ; z) .

Esféricas P( ; ; ).

x = cos

y = sen

=x2+ y2

= arc tg y x

y 1 + y 2

ym = ------------ 2

x 1 + x 2

xm = ------------ 2

|P1P2| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)

2

Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.

Relaciones que ligan las coordenadas Cilíndricas con las Rectangulares

Relaciones que ligan las coordenadas Esféricas con las Rectangulares

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES LA RECTA

Ecuación General Forma explícita : Forma implícita:

y = a x + b

Variable Dependiente Ordenada al

orígen Coef. angular

Variable Independiente


Ax + By + C = 0

x = cos cos

y = cos sen

z = sen

= x2 + y2 + z2

= arc sen z

= arc tg y

x

x = cos

y = sen

z = z

= x2 + y2

= arc tg y x

z = z

x = cos

y = cos

z = cos

= x2 + y2 + z2)

= arc cos x

= arc cos y

= arc cos z

Forma Segmentarla o Reducida:

Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente a Punto - Pendiente

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Cartesiana

Condición de paralelismo entre rectas

Dadas las rectas: y1 = a1x + b1

y2 = a2x + b2

Condición de perpendicularidad entre rectas

Dadas las rectas: y1 = a1x + b1

y2 = a2x + b2

Intersección entre dos rectas

Para hallar el punto de intersección de dos rectas en el plano, 1. 2. 3.

Igualar ambas rectas (y1= y2) despejar el valor de la abscisa (x ) para el cual ambas rectas tienen idéntica ordenada (y). Para hallar el valor de y reemplazar en cualquiera de las dos expresiones matemáticas

originales la variable x por el valor encontrado.

Ángulo entre dos rectas: Fórmula trigonométrica: tangente de la diferencia de dos ángulos.


a1 - a2

tg = ------------------

1 + (a1 . a2 )

y1 y2 <=> a1 = - 1

a2

y1 // y2 <=> a1 = a2

y2 – y1

y – y1 = ( x – x1)

x2 – x1

y – y1 = a ( x – x1 )

x y + = 1

a b

CONICAS Circunferencia Ecuación ordinaria. Centro (h; k) y radio r

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

Si el Centro esta en el origen del S. de coord.

h = k = 0 la ecuación será x 0

x2 + y2 = r2 Ecuación canónica

F = h2

+ k2 – r

2

r = √ h2 +k

2 – F

D = -2h E = -2k

k = - E

2

Ecuación General h = - D

2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 en donde

Determinación de los focos Elipse

Distancia focal

Eje Menor = 2b A2 A1

Ecuación Canónica

y Elipse con centro en el origen del S. de coord. Cartesianas (0;0)

y 2 2 x + y

a

= 1 F

x2 y2 + = 1

a2 b2 x 0;0 x 0;0 F´ F

F´


Perímetro = 2√1/2(a2 +b

2)

Aproximadamente

Área de la elipse = a.b.

La long del lado recto para el foco F y F´ es 2b2

a

b a

F’ C(h;k)

c

F a

Excentricidad de la elipse e

c < a e c <

1 a

2c

C(h;k )

D

F’ F D´

Eje Mayor =2a

c = √a2 – b2

k

;0

y

c

r

h

Segunda forma Ordinaria

Elipse con centro en el punto ( h;k)

y eje focal paralelo al eje X

Elipse con centro en el punto ( h;k)

y eje focal paralelo al eje Y

( x – h )2 + ( y – k )2 = 1 ( x – h )2

a2

+ ( y – k )2 = 1

b2 b2 a2

y

x 0;0

Directriz y Parábola (Geometría Analítica)

Foco x 0:0

(p;0)

Vértice (h;k)

Ecuación Canónica (Vértice en el origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas)

y2 = 4 p x y y

0;0 Foco x p>0 Foco 0;0

x

x2 = 4 p y

y p>0

p<0 y x 0;0

Foco Foco

x

0;0


0;0

x

Ecuación Ordinaria Vértice en el punto ( h; k) Eje focal paralelo al eje X

y

p>0 p<0 Foco Foco

x 0;0 x 0;0

Vértice en el punto ( h;k) Eje focal paralelo al eje Y

y y p>0 p<0

0;0 x Foco

Foco

Parábola (Análisis Matemático) Función cuadrática, o trinomio de 2do Grado

y = a x2 + b x + c

xv = - b = x1 + x2 Propiedades de las Raíces 2 a 2

x1 . x2 = c a

- b

a

Coordenadas del Vértice

yv = - b2 – 4 a c b2

4a = c -

para a = 1 4a

(x1 + x2) =

Relación entre Geometría Analítica y Análisis Segmento de Parabola

a 4 p p = 1

4 a b


Area = 2/3 a. b

Ecuación Completa

0 = a x2 + b x + c Las raíces x1, x2 se calculan

x1 - b b2 – 4 a c

x2 =

2 a

Ecuación Incompleta

0 = a x2

Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice en el origen


0 = a x2 + c

Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice desplazado del origen


0 = a x2 + b x parábola a eje vertical y desplazado a la izquierda o derecha del eje de ordenadas.

(x – h)2 = 4 p (y – k)

(y – k)2 = 4 p (x – h)

Hipérbola

ASÍNTOTA

Y

a a w

c

.F

b P(X;Y)

. F’ v v’ o X

w’ a a

c

Eje Focal = 2c

Eje real = 2a

Eje imaginario = 2b

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ABCISAS

CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE

y

x

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ORDENADAS

CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE

y

x


y2/a2 – x2/b2 = 1

x2/a2 – y2/b2 = 1

PF’- PF = 2a

2 2 2

Ecuación de la Asínt.:

y = -bx/a

Ecuación de la Asínt.:

y = bx/a

2

POLIGONOS

POLÍGONOS REGULARES Ángulos de un polígono regular

Ángulo Interior = 2R (n - 2) n

Angulo Central 4R n

( 4 rectos) (número de lados)

Superficie del Polígono Regular


Superficie Perimetro x Apotema

2

PROPIEDADES

SUMA DE

ANGULOS

EXTERIORES

S = 4 R

SUMA DE

ANGULOS

INTERIORES

Y EXTERIORES

S = 2 R . n

SUMA DE

ANGULOS

INTERIORES

S = 2 R ( n - 2)

NUMERO

DE

DIAGONALES

N° de diag de un pol. =

(n- 3) . n

2

A =

AREAS Y VOLÚMENES

A = l2 A = 1/2 B .h

A = B . h A = B . h

B + b A = 1/2 D .d h A =

2

P . a A = A = R2

2

R2 A = (R2 - r2)

A =


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