TRIGONOMETRÍA -...

Matemática Diseño Industrial Trigonometría Ing. Avila – Ing. Moll

TRIGONOMETRÍA Es la rama de la matemática que tiene por objeto el estudio de las relaciones numéricas que existen entre los elementos rectilíneos y angulares de un triángulo o de una figura geométrica en general y su aplicación a la solución numérica de los problemas que puedan presentarse.

Para calcular la longitud de las barras de este cuerpo de tribuna, la longitud de las barras del cuadro de la bicicleta, la longitud de las barras que conforman el tren de aterrizaje del avión o la altura que alcanzará la escalera según el ángulo de apertura necesitamos conocer los ángulos y los lados de los triángulos que se forman.

1


TRIÁNGULO: Definimos un triángulo como una figura geométrica formada por una poligonal cerrada, delimitada por tres lados. Elementos de un triángulo:

A

B C a

b c

γ β

α

- Lados: a, b , c - Ángulos: α, β, γ

- Vértices: A, B, C

Propiedad: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º”, Es decir que α + β + γ = 180º Clasificación de los triángulos: Clasificación por sus lados:

equilátero isósceles escaleno

Equilátero: tiene todos sus lados iguales Isósceles: tiene dos lados iguales y uno desigual Escaleno: tiene todos sus lados desiguales

2


Clasificación por sus ángulos:

acutángulos

obtusángulos- oblicuángulos

- rectángulos

rectángulo acutángulo obtusángulo

oblicuángulo

Líneas y puntos notables de un triángulo: Bisectrices de un triángulo:

cb

C

A

B a

o

A

acutángulo

BC

c

a

b o

rectángulo

B

A

C

b

a

oc

obtusángulo

3


Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus lados. El punto “O” se denomina incentro. Mediatrices de un triángulo:

acutángulo

A

B C M1

M2 M3 o

rectángulo

A

BC

o

M1

M2 M3

obtusángulo

A

BC

o

M1

M2

M3

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus vértices. El punto “O” se denomina circuncentro. Alturas de un triángulo:

B

rectángulo

C

c

oba

A

obtusángulo

BC

o

ab

c

A

acutángulo

B C a

b c

o

A Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto “O” se denomina centro ortogonal u ortocentro.

4


Medianas de un triángulo:

acutángulo

A

B C a

b c o

rectángulo

A

BC a

b co

obtusángulo

A

B C a

b c o

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente. El punto “O” se denomina baricentro (centro de gravedad). RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA DE PITÁGORAS: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

+

c

b

a

25

16

9

de donde:

22 cba +=

22 cab −=

22 bac −=

5


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Si consideramos un ángulo α orientado (puede ser positivo o negativo) respecto de un sistema de ejes de coordenadas rectangulares, de manera que el vértice coincida con el origen y su lado inicial con el semieje positivo de las x, se dice que es un ángulo del primer cuadrante si su lado terminal cae en dicho cuadrante. Definiciones semejantes se aplican a otros cuadrantes.

Utilizaremos tres funciones trigonométricas de α, definidas en base a la abscisa, la ordenada y la distancia ρ (radio vector) y en base a los lados de un triángulo rectángulo como sigue:

y (ordenada)

O

P

Mα

ρ = r = 1

x (abscisa)

yy

xx

y

xO M

α

Pρ

cateto adyacente

cateto opuestohipotenusa

* seno α =hipotenusa

opuestocatetoyvectorradio

ordenadasen ..

===ρ

α

* coseno α = hipotenusa

adyacentecatetoxvectorradio

abscisa ..

cos ===ρ

α

* tangente α = tg α = adyacentecatetoopuestocateto

xy

abscisaordenada

..

==

Además observemos que: tg α = αα

cossen

Estas tres funciones nos servirán para resolver los distintos triángulos rectángulos que se puedan presentar.

6


Ejercicios: Encontrar el valor de las tres funciones trigonométricas del ángulo α, de un triángulo rectángulo, sabiendo que:

a) cateto opuesto = 5 13

5α x

hipotenusa = 13

h2 = x2 + y2 ⇒ x2 = h2 – y2 ⇒ x = 1214425169513 2222 ==−=−=− yh

sen α = 3846,0135==

ρy

cos α = 92307,01312

==ρx

tg α = 41666,0125==

xy

b) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 45º

Cuando tengo α = 45º, como Â = 90º debe ser el otro ángulo: Ĉ = 45º, por lo tanto deben ser x = y.

x

h 45º

C

A 90º

B 45º

y Supongamos x = y = 1 Será h = 211 2222 =+=+ yx

sen α = 70710,02

1==

ρy

cos α = 70710,02

1==

ρx

tg α = 111==

xy

7


c) Encontrar los valores de las tres funciones trigonométricas de 30º

Supongamos un triángulo equilátero con lados a = 1 , b = 1, c = 1

B

c

ba

A

30º x

60º y

Será: y = 5,021

2==

c

C a2 = x2 + y2 ⇒ x2 = a2 – y2 ⇒ x = 866,075,025,015,01 2222 ==−=−=− ya

sen 30º = 5,015,0.===

ay

hipotenusaopcat

cos 30º = 866,01866,0..

===ax

hipotenusaadycat

tg 30º = 577,0866,05,0

..

===xy

adycatopcat

d) ¿Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 mts. de altura cuando el Sol se eleva a 20º sobre el horizonte?

150 m20º

b

c Csombra

B

A

sen 20º = mmsen

BCbb

BC 57,43834202,0

150º20

===⇒

cos 20º = 12,41293969,0.57,438º20cos. ===⇒ mbACb

ACm

8


e)Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud. Encontrar el ángulo de elevación del sol.

tg α = 83333,0120100

=

120 m

α = ? 100 m

arc tg 0,8333 = 39,80557 º

1º 60 ´

0,80557º x = ´3342,48º180557,0´.60

=

1 ´ 60 ´´

0,3342 ´ x = 201́

´3342,0´´.60= ´´

Respuesta: el ángulo α = 39 º 48 ´ 20´´

Tabla de las funciones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º 0 º 30º 45 º 60º 90º Seno 0 2/1 2/2 2/3 1 Coseno 1 2/3 2/2 2/1 0 tangente 0 3/3 1 3 ∞ RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA:

a2 = b2 + c2 1 = cos2 α + sen2 α

9


FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

C

90ºc B A

a b

Los ángulos agudos B y Ĉ de un triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir:

B + C = 90º Se tiene que:

sen B = =ab cos C cos B =

ac = sen C

tg B = B

senBcos

Así, cualquier función de un ángulo agudo, es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario. Esta propiedad permite confeccionar la tablas de las funciones trigonométricas a doble entrada. Ejercicios: Calcular las siguientes funciones y determinar a qué otra función corresponden: a) sen 17 º 16 ´ sen 17 º 16 ´ = 0,296819 complementario: β = 72 º 44 ´

cos β = 0,296819

b) cos 68 º 12´ cos 68º 12´ = 0,37136 complementario: β = 21º 48´

sen β = 0,37136

ctg 400º = 19175,1839099,0

1º400

1 ==

tg tg β = tg 50º = 1,19175

10


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Cualquier triángulo rectángulo puede resolverse, es decir, conocer todos sus elementos en base a dos de ellos, de los cuales uno por lo menos será un lado. Las relaciones que unen los elementos conocidos con las incógnitas serán:

• las funciones trigonométricas de ángulos agudos • el teorema de Pitágoras

B

Así por ejemplo, si conocemos del triángulo ABC, los lados b y c , las incógnitas serán a, B y C, y cuando se requiera, la superficie del triángulo.

c dato

b ddato

a

A 90º

C Entonces será: a = 22 cb +

tg C = ⇒bc C = arc tg

bc tg B =

cb ⇒ B = arc. tg

cb Superficie =

2.cb

Ejercicios: Resolver los siguientes triángulos rectángulos: a) Datos: a = 765,40 m B = 68 º 46´ C es complementario de B ⇒ C = 90º - 68 º 46´ = 21º 14´

b

c

a C

A B

sen B = ab ⇒ b = a . sen B = 768,40 m . 0,93211 = 716,23 m

a2 = b2 + c2 ⇒ c = mmmba 30,278)23,716()40,768( 2222 =−=−

Superficie = 2.cb =

230,27823,716 mm× = 99.663,40 m2

b) Datos: a = 96,59 m b = 76,30 m

c

ab

C

A

sen B = ab = 78993,0

59,9630,76

=mm

B B = arc.sen 0,78993 = 52,179610º

11


1º 60 ´

0,179610º x = ´7766,10º1

179610,0´60=

×

1 ´ 60 ´´

0,7766 ´ x = 461́

´7766,0´´60=

× ´´

Respuesta: el ángulo B = 52 º 10 ´ 46´´

C = 90º - 52 º 10 ´ 46´´ = 37º 49´ 14´´

tg B = cb ⇒ c =

28823,130,76 m

tgBb

= = 59,23 m

c) Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que

del pie de la escalera al edificio hay 12 unidades. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 70º con el suelo?

tg 70º = u

h12

⇒ h = 12 u . tg 70º

h = 12 u . 2,747477 = 32,97 u l = ? h =?

l = =+ 22 )97,32()12( uu 35,08 u 70º

12 u d) Un hombre recorre 500 m a lo largo de un camino que tiene una inclinación de

20º respecto de la horizontal. ¿Qué altura alcanza respecto al punto de partida? ¿Cuál es la pendiente del camino?

sen 20º = lh ⇒ h = l . sen 20º l = 500m

hh = 500 m . 0,34202 = 171,01 m

b20º

12


pend = tg 20º = 3639,0=bh

e) La distancia entre dos edificios de tejado plano es de 60 mts. Desde la azotea

del edificio más bajo, cuya altura es de 40 mts., se observa la azotea del otro con un ángulo de elevación de 40º. ¿Cuál es la altura del edificio más alto?

40 m

40º

60 m

AB

C

h = 40 m + BC

tg40º = m

BC60

⇒ BC = 60 m . tg 40º =

BC = 60 m . 0,839099 =

BC = 50,34 m

h = 40 m + BC = 40 m + 50,34 m = 90,34 m

f) Un techo tiene la forma de una pirámide rectangular, siendo la base 3 veces

más larga que ancha. Sabiendo que la altura es de 3 mts. y que el ángulo diedro que tiene por arista el lado menor del rectángulo vale 26º 33´, calcular la superficie del techo.

h = 3 m

Kc

d

I

J

α

α = 26º 33´

h = 3

a = 3 u

b = 1

tg 26º 33´ = cm3 ⇒ c = ==

49967,03

´33º263 m

tgm

6 m

a = 2 . c = 2 . 6 m = 12 m

b = 3

1233

ma= = 4 m d = 708,6)6()3( 22 =+ mm

13


Superficie de la cara IJK (triángulo) : SIJK = 2708,64 mm× = 13,41 m2

22dMJIJ +=

==2

4mMJ 2 m

=+= 22 )708,6()2( mmIJ 7 m

I

L Ñ

J M

K

d

22)7( ÑJmIÑ −=

212

2mLJÑJ == = 6 m

=−=−= 364967 22IÑ 3,60 m

J

I

L Ñ

12 m

7 m

SUPILJ = 2

60,3.122

mmIÑLJ=

× = 21,60 m2

SUPTECHO =2 . SUPILJ + 2 . SUPIJK = 2 x 21,60m2 + 2 x 13,41 m2 = 70,02 m2

14


FUNCIONES GONIOMÉTRICAS Las funciones vistas eran para ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Ahora se generaliza para cualquier ángulo.

x

y

O Q α

P

ρ=1

T

R

x´E

Si a la línea generadora del ángulo α, que inicialmente está en OX la hacemos girar en sentido (+) barriendo un ángulo α, y por un punto cualquiera de OX, por ejemplo T, trazamos un círculo con centro en O, podremos formar dos triángulos: uno será el ORT. El punto R se encuentra trazando la perpendicular a OX que pasa por T.

El otro triángulo, se obtiene mediante el punto P (intersección del círculo con X´) y la proyección de OP sobre OX, que es OQ.

Los triángulos OPQ y ORT son proporcionales, por lo tanto también lo serán sus lados. Asignemos al radio el valor de 1 unidad. Será entonces:

rPQsen =α ⇒ PQ = sen α . r = sen α . 1 tg α = TRsen

OQPQ

==αα

cos

cos α = r

OQ ⇒ OQ = cos α . r = cos α . 1

Conociendo una de las funciones trigonométricas, podemos deducir las demás. Por ejemplo, dado el sen α

12 = sen2 α + cos2 α

cos2 α = α21 sen−

α 1 sen α

α21 sen−

tg α = α

α21.

.sen

senadyacentecatetoopuestocat

−=

Hipotenuscateto opuesto

15


Otro ejemplo, dado tg α

ρ = α22 tgx + = α21 tg+

sen α = α

αρ 21 tg

tgy+

=

cos α = αρ 21

1tg

x+

=

ρ tg α

x = 1 por ser el radio

x

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

A

C

B

bD

ca

h

b1 b2

α

β γ

En el triángulo ABC, no necesariamente rectángulo, trazamos la perpendicular a uno de sus lados que pase por el vértice opuesto, obteniendo su altura, y de paso, dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos ADB y BDC.

Entonces se cumple que: a2 = h2 +b22 donde b2 = b – b1

b22 = (b – b1)2 = b2 – 2b.b1 + b1

2

reemplazando:

a2 = h2 + b2 – 2b.b1 + b12 (todavía no conocemos b1)

pero: c2 = h2 + b12 ⇒ h2 = c2 – b1

2

reemplazando queda: a2 = c2 – b12 + b2 – 2b.b1 + b1

2

cancelando queda: a2 = c2 + b2 – 2b.b1

pero b1 = c . cos α

entonces:

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos α que es válida para cualquier triángulo.

αc

hb1

16


TEOREMA DEL COSENO

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos α

“En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo del producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido”

Nota: es la generalización del Teorema de Pitágoras al triángulo no rectángulo.

En el caso de ser un triángulo rectángulo, el coseno de 90º es cero.

a2 = c2 + b2 – 2b.c.cos 90º

a2 = c2 + b2 – 2b.c.0 ⇒ a2 = c2 + b2 b

c a

90º

TEOREMA DEL SENO

“En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”

sen α =ch ⇒ h = c . sen α

(1)

sen γ = ah ⇒ h = a . sen γ

(2) A

C

B

bD

ca

h

b1 b2

α

β γ

igualando (1) con (2):

h = c . sen α = a . sen γ

αγ sen

asen

c=

generalizando: γβα sen

csen

bsen

a==

17


ÁREA DE UN TRIÁNGULO

“El área de un triángulo cualquiera, es igual a la mitad del producto de dos de sus lados, multiplicado por el seno del ángulo comprendido”

A

C

B

bD

ca

h

b1 b2

α

β γ

S = γsenba×

×2

Ärea = 22

hbalturabase ×=

×

Pero sen γ = ah ⇒ h = a . senγ

Reemplazando: Área = 2

γsenab ××

FORMULA DE HERÓN

S = ))()(( cpbpapp −−− siendo a, b y c los lados del triángulo

p es el semi – perímetro

p = 2

cba ++

Teorema: “El área de un triángulo cualquiera es igual a la raíz cuadrada del producto del semi-perímetro, por cada uno de los números que se obtiene al restar a éste cada uno de los lados del triángulo”

18


EJERCICIOS:

1) Calcular los ángulos interiores del triángulo.

cos α = 28571,072= ⇒ α = arc.cos 0,28571

α= 73,3984º

7

2α 90º

β

1º 60 ´

0,3984º x = ´9070,23º13984,0´60

=×

1 ´ 60 ´´

0,9070 ´ x = 541́

´9070,0´´60=

× ´´

α = 73º 23´ 54 ´´ α + β = 90º ⇒ β = 90º - α = 90º - 73º 23´ 54´´ = 16º 36´ 6´´ 2) Calcular el área de la figura

d = 2422)2()2( 2222 ==+=+=+ ba

Sup = 122

24

222

2===

×=

×ba d

a = 2

45º 90º

β b = 2

3) En el triángulo de la figura, calcular h y a sabiendo que cos α = 43

cos α = 434

=a

⇒ a = 3

163

44=

×

a2 = h2 + 42 ⇒ h = =−=− 16)3

16(4 222a

αh

a

4

h = 53,39

1129

144256169

256− ==

−=

Otro camino:

19


α = arc.cos 43 = 41,409622º tg 41,409622º = 0,881917

tg α = 881917,04=

h ⇒ h = 4 x 0,881917 = 3,53

4) Calcular el área de la figura

Área = 2

102

hhbase ×=

×

tg 60º = 5h ⇒ h = 5 x tg 60º = 5 x 1,732051 = 8,66

10

1 10 h

Área = 3,432

66,810=

×

5) Calcular el perímetro de la figura

Según el teorema del seno es:

º60º45 senb

sena

=

866,07071,0

12 b= ⇒ b = 70,14

7071,0866,012

=×

β = 180º - 60º - 45º = 75º

º75º45 senc

sena

= ⇒ c = 39,167071,0

9659,012º45

º75=

×=

×sen

sena

perímetro = a + b + c = 12 + 16,39 + 14,70 = 43,09

6) Calcular h

0

60º

60º 60º

60º h

5 5

60º 45º

β a = 12 b

c

20


2 m y = 1

90º

90º 60º

30º h

α

30º

cos 30º = 1h

yh= ⇒ h = 1 x cos 30º = 0,866

7) Calcular la longitud del segmento OC

cos 30º = 5

OA ⇒ OA = 5 x cos 30º = 4,33

AC = radio = 5 30º

A O

5

C

OC = 5 – OA = 5 – 4,33 = 0,67

8) Calcular la longitud del segmento OA

cos 30º = AM

8,0 ⇒

mAM 92,0º30cos

8,0==

d = 45,08,092,08,0 2222AM m

e = 2m

30ºO

M α

α d

90º

A

b

30º 0,8 m

=−=−

e = 2 m – 0,45 m = 1,55 m

sen 30º = e

OM ⇒ 775,0º3055,1º30 =×=×= senseneOM m

OA = OM + AM = 0,775 + 0,92 = 1,69 mts.

21


9) En el triángulo de la figura calcular h, sabiendo que el área es 323

90º

α3

h

c

b =

β tg α = 57735,0

33

3==

b

⇒ α = arc.tg 0,57735 = 30º

β = 180º - 30º - 90º = 60º

sen 30º = 3h ⇒ h = 3 x sen 30º = 1,5

Otro camino:

º60

3º90 sensen

c= ⇒ c = 46,3

º60º903=

×sen

sen

Área = 22

33 ch×=

h = 5,146,32

233

=×

10) Calcular el área y los ángulos interiores del triángulo de la figura.

7

3 6

α β

γ Semi perímetro = p = 8

216

2763

==++

Por fórmula de Herón:

S = )68)(78)(38(8))()(( −−−=−−− cpbpapp =

95,8802158 ==×××

Por el teorema del coseno:

* 62 = 32 + 72 – 2 x 3 x 7 x cos α

36 = 9 + 49 – 42 cos α ⇒ cos α = 523809,042

49936=

−−−

α = arc.cos 0,526809 = 58º 24´ 42´´

22


* 32 = 62 + 72 – 2 x 6 x 7 x cos β ⇒ cos β = 90476,084

49369=

−−−

β = arc.cos 0,90476 = 25º 12´ 31´´

* γ = 180º - α - β = 180º - 58º 24´ 42´´ - 25º 12´ 31´´ = 96º 22´ 47´´

11) Calcular el ángulo α de la figura, sabiendo que la arista del cubo mide 40 mi

1) a es la diagonal de un cuadrado de 40 mm de arista.

a = mm57,564040 22 =+

d1

a

b

α

4

40

40 a

2) b es la hipotenusa de un triángulo de 40 mm de altura (arista) y d1 = a = 56,57 mm

b = 28,6957,5640 22 =+ mm

Por teorema del coseno:

402 = a2 + b2 – 2.a . b . cos α

⇒ cos α = =−

−−ab

ba2

40 222

=××−−−

28,6957,56228,6957,5640 222

cos α = 816339,034,783875,6398

=−−

α = arc cos 0,816339 = 35º 16´ 47´´

23


PREGUNTAS DE AUTO EVALUACIÓN

1) ¿Cómo se clasifican los triángulos de acuerdo a sus ángulos?

2) ¿Qué dice el Teorema de Pitágoras?

3) ¿A qué tipo de triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras?

4) ¿Qué forma toma el teorema de Pitágoras en el caso de un triángulo oblicuángulo?

5) ¿Pueden ser utilizadas las funciones trigonométricas en triángulos oblicuángulos?

6) ¿Cómo elegimos qué función trigonométrica utilizar al resolver un triángulo?

7) ¿Qué dice el teorema del coseno?

8) ¿Qué dice el teorema del seno?

9) ¿Cuándo utilizamos uno u otro teorema?

10) ¿Cómo se calcula el área de un triángulo?

11) ¿Para qué se utiliza la fórmula de Herón?. Explique sus términos.

24

TRIGONOMETRÍA -...

Documents

Transcript of TRIGONOMETRÍA -...