[Trigonometria 1] tpm001v1

1

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Trigonometría-1

Idea y elaboraciónIng. Pablo Gonzalez

ww

w.innovacionysociedad.com

.artpm

001v1

Teoría Preuniversitaria - Matemática

www.innovacionysociedad.com.ar - tpm001v1 2

Idea y elaboración:Ing. Pablo G

onzalez–

pmgonzalez@

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Ángulo en el plano

Definición:Un ángulo es la sección del plano que queda formada cuando se cruzan:• Dos rectas• Dos semirrectas• O dos segmentos

Así definidos, los ángulos son siempre positivos (no tienen signo), y se usan para delimitar polígonosPor convención se toma del cruce el menor ángulo que se ha formado

2



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comÁngulo en el plano

Ej:

α

β

θ



onzalez–

pmgonzalez@

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Ángulo en el plano

Ángulo normal, estándar o normalizado:

y

x

αLADO INICIAL

LADO TERMINAL

ROTACIÓN AH

VÉRTICE

3



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comUnidades de ángulos

Grados sexagesimalesAsigna 360º a un giro completo

RadianesAsigna ángulo 1 radián cuando el arco de circunferencia es igual al radio

Cuatro cuadrantes II I

III IV0º

270º

90º

180º



onzalez–

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El radián

1 rad

r

s = r

s α

2 π r 360ºr 1 rad = 360º/2 π @ 57,3º

4



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comEl radián

α s

360º 2 π rα s = 2 π r . α / 360º = 2 π r . α / 2 π

En gradossexagesimales

Enradianes

s = r . α

Enradianes

“arco = radio x ángulo en radianes”Radián es la “unidad natural”



onzalez–

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Algunos ángulos notables

60º = π / 3

30º = π / 6

45º = π / 4

90º = π / 2

180º = π

270º = 3/2 π

0

2 π

5



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunciones trigonométricas

Presentación del tema: triángulos semejantesy

xα



onzalez–

pmgonzalez@

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Funciones trigonométricas

En todos los triángulos rectángulos semejantes:

Hay coincidencia entre cocientes entre dos lados cualesquiera de los triángulos:

Cocientes se llaman funciones trigonométricasy dependen solamente del ángulo

...3

3

2

2

1

1 ===ba

ba

ba

6



onzalez–

pmgonzalez@


hysen =α

hx

=αcos

xytg =α

yxctg =α

xh

=αsecyhec =αcos

αx

yh



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Signos de las funciones

-+-IVC

T

S

xy

+--III

--+II

+++I

tgcossen

7



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comIdentidad trigonométrica

Ecuación de la circunferencia:Puntos del plano que equidistan de un centro

1cos22

222

=+

=+

ααsenhyx

1

h



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Complementarios / suplementarios

Dos ángulos complementariosson aquellos que suman un “recto”

Dos ángulos suplementarios son aquellos que suman un “llano”

º90=+ βα

º180=+ βα

α

x

y β

α

x

yβ

α

β

8


[email protected]

Relaciones trigonométricas

Igualdades entre funciones



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Complementarios / suplementarios

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= απα

2cossen 2

( )απα −= sensen 3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= απα

2cos sen 4

( )απα −−= coscos 5

9



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comCom / sup / suma y resta de ángulos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= απα

2ctgtg 6

( )απα −−= tgtg 7

( ) βαβαβα sensen+=− coscoscos

( ) βαβαβα sensen−=+ coscoscos 11

10



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Doble / suma / resta

1cos22cos 2 −= αα 12

αα 2212cos sen−= 13

( ) αββαβα coscos sensensen +=+

( ) αββαβα coscos sensensen −=− 15

14

10



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comDoble / suma / resta sen y cos

ααα cos22 sensen = 16

2cos

22 qpqpsenqsenpsen −+

=+ 17

2cos

22 qpqpsenqsenpsen +−

=−

2cos

2cos2coscos qpqpqp −+

=+ 19

18



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Doble / suma / resta sen y cos

222coscos qpsenqpsenqp −+

−=− 20

2cos

22 ααα sensen = 21

22coscos 22 ααα sen−=

2cos1

2cos αα +

±= 23

22

11



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comDoble / suma / resta sen y cos

2cos1

2αα −

±=sen 24


[email protected]

Valores exactos de F.T

De algunos ángulos notables

12



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comα = 30º

lado

lado

lado

30º

30ºTriánguloequilátero

212º30 ==

l

lsen

234º30cos

22

=−

=l

ll



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

α = 45º

r

r

45º

45ºTriángulorectánguloisósceles

22

22º45

222===

+==

xx

xy

yxy

rysen

45º

45º

13



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comα = 60º

21º30º60

2º60cos

23º30cosº60

2cosº60

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

sensen

sen

π

π

Usando propiedades de ángulos complementarios:



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Cuadro sinóptico

45º 60º

cos

sen

90º30º0º

20

21

22

23

24

24

23

22

21

20

14



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comRecta: pendiente (m) - inclinación (θ)

A la luz de la trigonometría podemos expresar:y

x

f (x)

P1

P2

catetoadyacente

catetoopuesto

θ

θ

θ: inclinación de la recta

m = tg θ



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Reducción de ángulos al primer giro

Todos los ángulos, sea cual sea su valor, tienen sus FT iguales a las de algún ángulo equivalente del 1º giroLa operación que encuentra dicho ángulo del 1º giro se llama “reducción al 1º giro”

2π 4π 6π

1120º

15



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comCálculo de FT usando ángulos del I

El valor absoluto de todas las FT de ángulos en cualquier cuadrante, puede hallarse usando ángulos exclusivamente del I

II: visto en ángulos suplementarios

sen α = sen (π - α)cos α = - cos (π - α)

βα

β



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Cálculo de FT usando ángulos del I

III: por opuestos por el vértice es β = γ

γα

β

sen α = - sen β= - sen γ

cos α = - cos β= - cos γ

16



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comCálculo de FT usando ángulos del I

IV:

α

β

sen α = - sen β

cos α = cos β



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Área de un triángulo

Hallar el área de un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendido

αa

b

ch

αα

sencbAsench

hbA21

2.

=⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

17



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comDistancia entre dos puntos (en el plano)

y

xx1 x2

P1

P2

(x1‐x2)2y1

y2

(y1‐y2)2

( ) ( ) ( )2212

2121; yyxxPPd −+−=


[email protected]

Gráficas de F.T.

Análisis de las funciones trigonométricas

18



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunción sen x

0 p

2p 3 p

22 p

-1

0

10

p

2 p3 p2 2 p

-1

0

1

Seno

Ángulo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función sen x

Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?

0 p

2p 3 p

22 p

-1

0

10

p

2 p3 p2 2 p

-1

0

1

Seno

Ángulo

19



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunción cos x

0 p

2p 3 p

22 p

-1

0

10

p

2 p

3 p2 2 p

-1

0

1

Coseno

Ángulo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función cos x

Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?

0 p

2p 3 p

22 p

-1

0

10

p

2 p

3 p2 2 p

-1

0

1

Coseno

Ángulo

20



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comSeno y coseno juntas

0 p

2p 3 p

22 p 5 p

23 p 7 p

24 p

-1

0

10

p

2 p3 p2 2 p

5 p2 3 p

7 p2 4 p

-1

0

1

Se ve gráficamente que son la misma, desplazadas en xsen x = cos (x ‐ π/2) cos x = sen (x + π/2)



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función tg x

0 p

2p 3 p

22 p

-101

0p

2 p3 p2 2 p

-101

Tangente

Ángulo

21



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunción tg x

Dominio?Conjunto imagen?Paridad?Máximos / mínimos?Período?Inyectividad / sobreyectividad / biyectividad?Positividad / Negatividad / Ceros?Función inversa?Asíntotas?

0 p

2p 3 p

22 p

-101

0p

2 p3 p2 2 p

-101

Tangente

Ángulo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función ctg x

0 p

2p 3 p

22 p

-101

0p

2 p3 p2 2 p

-101

Cotangente

Ángulo

22



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunción ctg x


0 p

2p 3 p

22 p

-101

0p

2 p3 p2 2 p

-101

Cotangente

Ángulo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función sec x

0 p

2p 3 p

22 p 5 p

23 p 7 p

24 p

-1

0

1

0p

2 p3 p2 2 p

5 p2 3 p

7 p2 4 p

-1

0

1

Secante

Ángulo

23



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunción sec x


0 p

2p 3 p

22 p 5 p

23 p 7 p

24 p

-1

0

1

0p

2 p3 p2 2 p

5 p2 3 p

7 p2 4 p

-1

0

1

Secante

Ángulo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Función cosec x

0 p

2p 3 p

22 p 5 p

23 p 7 p

24 p

-101

0p

2 p

3 p2 2 p

5 p2 3 p

7 p2 4 p

-101

Cosecante

Ángulo

24



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comTeorema del coseno

Permite hallar un lado de un triángulo, conocidos los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

γ

β

α

cos2cos2cos2

222

222

222

babaccacabcbcba

−+=

−+=

−+=

α

β

γa

b

c



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Teorema del seno

Cocientes entre lados y senos de ángulos coinciden en todo triángulo

γβα senc

senb

sena

==

α

β

γa

b

c

25



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comFunciones periódicas

Una función es periódica cuando:Repite la misma gráfica (pares ordenados) de la misma manera, en igual secuencia, a iguales intervalos de x

El CICLO de una función es:La forma geométrica (secuencia de pares ordenados) más pequeña que se repite

El PERÍODO de una función es:La distancia x en que la función recorre un ciclo completo



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Funciones periódicas

-2 -1 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Período = 1

ciclo

Ninguna función periódica es biyectiva (repite valores)

26



onzalez–

pmgonzalez@


f(x) = ± A sen (ω x - ϕ) + c

amplitudExpansión ocompresión

vertical

pulsación

Expansión ocompresiónhorizontal

fase inicial

Desplazamientohorizontal

valor medio

Desplazamientovertical

Tπω 2

=



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com


Ej f(x) = 4 sen 2x

0 p

2p 3 p

22 p

-4

-1

0

1

40

p

2 p3 p2 2 p

-4

-1

0

1

4

A = 4T = π

27



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com… continúa el ejemplo:

O también el análisis analítico:

4]4;4[424

4244121

=−=

≤

≤≤−≤≤−

AIf

xsenxsen

xsen

πππ

=≤≤≤≤

Txx

0220



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com


Ej f(x) = 4 sen (2x+π)

A = 4T = π

0 p

2p 3 p

22 p

-4

-1

0

1

40

p

2 p

3 p2 2 p

-4

-1

0

1

4

2x+π = 2(x-ϕ)ϕ = - π/2

28



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comF. T. inversas

Ninguna FT es biyectiva (ninguna función periódica lo es)Para poder armar la FT inversa, se requiere tomar un tramo que sea biyectivo, lo más grande posible, de cada una de las FT



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

-4 -2 2 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

F. T. inversas

arc sen x arc cos x

arc tg x

29



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

0 p4

p2

- p4

- p2

-1

0

1

0p4

p2

- p4

- p2

-1

0

1

arc sen x

arc sen x

x

sen x



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

- p4

0 p4

p2

p3p4

-1

0

1

2

3

- p4 0

p4

p2 p

3p4

-1

0

1

2

3

arc cos x

arc cos x

x

cos x

30



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

0 p

4p

2- p

4- p

2

-1

0

1

0p4

p2

- p4

- p2

-1

0

1

arc tg x

arc tg x

x

tg x


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Apéndice

Funciones trigonométricas con calculadora y ángulos dentro del primer giro

31



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comUnidades de los ángulos

Configurar para que trabaje con la unidad de ángulos correcta

Grados sexagesimales Radianes Gradianes (nunca)

Tecla “mode” hasta que aparezca:

Luego presionar la tecla 1 (Degree)



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

Funciones y funciones inversas

Las calculadoras tienen las tres funciones trigonométricas básicas:

sin xcos xtan x

Y sus inversas:sin-1 x arc sen xcos-1 x arc cos xtan-1 x arc tg x

32



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comLos resultados de las funciones inversas

Al hallar el valor de una función inversa de un número, sea este positivo o negativo, siempre se obtienen, si nos circunscribimos al primer giro:

DOS ÁNGULOSUNO EN UN CUADRANTEOTRO EN OTRO CUADRANTE

LA CALCULADORA con las funciones “arc..”SÓLO ENTREGA UNO DE ESTOS DOS ÁNGULOS, es “tarea humana” hallar el otro ángulo



onzalez–

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yahoo.com

arc sen x de un número positivo

La calculadora responde sólo con el ángulo del primer cuadranteEj:arc sen 0,5responde 30º

α1

La respuesta correcta es: α1= 30º y α2 = 150º

α2

α1 α1

33



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comarc sen x de un número negativo

Y responde sólo con un ángulo del IV, pero negativoEj:arc sen (‐0,5)responde ‐30º

ββ


α1 α2



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.com

arc cos x de un número positivo

La calculadora responde sólo con el ángulo del primer cuadrante.Ej:arc cos 0,5responde 60º

β


α1

α2

34



onzalez–

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yahoo.comarc cos x de un número negativo

La calculadora responde sólo con el ángulo del segundo cuadrante.Ej:arc cos (‐0,5)responde 120º


α1

α2



onzalez–

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yahoo.com

arc tg x de un número positivo

α1

α2

La calculadora responde sólo con el ángulo del 1ºcuadrante.Ej:arc tg (raíz(3))responde 60º


35



onzalez–

pmgonzalez@

yahoo.comarc tg x de un número negativo

α1

α2

La calculadora responde sólo con el ángulo del segundo cuadrante.Ej:arc tg (‐raíz(3))responde ‐60º




onzalez–

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