Triángulo

TRIANGULOTRIANGULO

ESCUELA AGRÍCOLA SAN FELIPE

MATEMATICA II - 2010María Isabel Navarrete Lizama

Ingeniero de Ejecución en Computación e Informática

A B

C

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Aprendizajes esperados:• Identificar los elementos primarios de un triángulo y sus

propiedades.• Reconocer los elementos secundarios de un triángulo y sus

propiedades.• Clasificar los triángulos según sus lados y ángulos.

Matemática II - 2010

• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras

• Calcular áreas y perímetros de triángulos.

• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.

• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.


TriánguloTriángulo

Es un polígono de tres lados.

Elementos primariosElementos primarios

• Vértices:

Corresponde a la intersección de dos trazos, los que se identifican con letras mayúsculas.

En la figura, los vértices son A, B y C.

A B

C


corresponden a los vértices, lados, ángulos interiores y ángulos exteriores.


• Lados: En la figura, los trazos AB, BC y CA, corresponden a los lados del triángulo ABC, los que se identifican con letras minúsculas.

A B

C

ab

cAB = c, BC = a, AC = b

Teorema: La suma de dos lados debe ser siempre mayor que el tercero.

a + b > c

b + c > a

a + c > b



Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 7 cm.

Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

Ejemplo:

3 + 4 = 7 No se cumple.

4 + 7 > 3 Sí se cumple.

3 + 7 > 4 Sí se cumple.

Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.



Teorema:Teorema: La diferencia positiva de dos lados debe ser siempre menor que el tercero.

a - b < c

b - c < a

a - c < bEjemplo:Ejemplo:

Determinar si existe el triángulo cuyos lados miden 8 cm, 5 cm y 2 cm.Para determinar si existe el triángulo, debemos verificar que se cumple el teorema.

8 - 5 = 3 > 2 No se cumple.

8 - 2 = 6 > 5 No se cumple.

5 - 2 = 3 < 8 Sí se cumple.

Como una de ellas NO se cumple, no existe dicho triángulo.



• Ángulos interiores:Ángulos interiores:

A B

C

α β

γα, β y γ

son los ángulos interiores del triángulo ABC.

Son aquellos que se forman por la intersección de dos lados, en el interior de la figura.

Teorema:La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180º

α + β + γ = 180°


Ejemplos:


Teorema:En todo triángulo, a mayor ángulo, se opone mayor lado y viceversa.

Ejemplo:

A B

C

ab

c

En el triángulo de la figura,

c > a > b



• Ángulos exteriores:Ángulos exteriores:

α´, β´ y γ´

son los ángulos exteriores del triángulo de la figura.

Son los suplementos de los ángulos interiores.

Teorema:La suma de los ángulos exteriores de todo triángulo es 360º.

α´ + β´ + γ´ = 360°



Teorema: Cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores NO adyacentes a él.

α’ = β + γ

β’ = α + γ

γ’ = α + β

Ejemplo:



Elementos SecundariosElementos Secundarios

• Altura (h):Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

En la figura, CD es la altura (hc) desde el vértice C.

Ortocentro (H): Es el punto de intersección de las alturas

A B

C

hc

D


corresponden a la altura, bisectriz, simetral, transversal de gravedad y mediana.

h


• Bisectriz (b):Es el segmento que “dimidia” un ángulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.

En la figura, el ACD = DCB = α

B

C

DA

bc

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, que corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo.



A B

C

S

• Simetral (S):

Es la perpendicular levantada desde el punto medio de un lado. En la figura, está representada la simetral levantada desde D, punto medio del lado AB.

Circuncentro: Punto de intersección de las simetrales y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.



• Mediana:

Es el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos.La mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él.

D, E y F: Puntos medios.

DF, DE y EF: Medianas

DE// BC y DE = BC 2

EF// AC y EF = AC 2

DF// AB y DF = AB 2


Al trazar las tres medianas de un triángulo, se forman 4 triángulos iguales.

El área de cada uno, es ¼ del área total del triángulo ABC.


• Transversales de gravedad (t):Es el segmento que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

tctc: transversal desde C

D: Punto medio del lado AB

Centro de gravedad o baricentro(G):

Punto de intersección de las transversales.El centro de gravedad (G), divide a cada transversal en razón 2:1.



D, E y F: Puntos medios.AE = ta

BF = tb

CD = tc

G: Centro de gravedad

Ejemplo:En la figura, G es centro de gravedad. Si BG = 8 cm, entonces GF = 4 cm.



Clasificación de los triángulos según sus ángulos:Clasificación de los triángulos según sus ángulos:

- Acutángulo : 3 ángulos agudos

- Rectángulo : 1 ángulo recto

- Obtusángulo : 1 ángulo obtuso

Clasificación de los triángulos según sus lados:Clasificación de los triángulos según sus lados:

- Escaleno : 3 lados distintos y 3 águlos distintos.- Isósceles : 2 lados iguales (el distinto se llama base).

Los ángulos ubicados en las bases son iguales.

- Equilátero : 3 lados iguales. Sus 3 ángulos son iguales y miden 60º



Generalidades:Generalidades:

2*alturabaseÁrea =

lados los de sumaPerímetro =

43*2aÁrea =

23*ah =

a

a

a

ha

b

c

a, b : catetosc : hipotenusa

222 bac +=2*baÁrea =



Teoremas válidos para Triángulos rectángulos

Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:

hipotenusa

cateto

cate

to

El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.



Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2 ó



De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide

Ejemplo:

(Aplicando teorema de Pitágoras)

(Desarrollando)

(Restando)

(Aplicando raíz)

152 + (QR)2 = 252

225 + (QR)2 = 625

(QR)2 = 625 - 225

(QR)2 = 400

QR = 20

(Despejando (QR)2 )



EJERCICIOS

1.- Hallar el área del siguiente triángulo:

2.- Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

3.- Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

4.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?



RESULTADOS EJERCICIOS

1.-

2.-

3.-

4.-


a2 + b2 = c2

cc

cc

==

=+=+

5/25

91634

2

2

222


TAREA

Investigar y copia en tu cuaderno de geometría las formulas para calcular el área y el perímetro de las siguientes figuras geométricas.


TRIÁNGULO CUADRADO RECTÁNGULO

ROMBO TRAPECIO CIRCUNFERENCIA


GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓNMatemáticas II – 2010

María Isabel Navarrete LizamaIngeniero de Ejecución en Computación e Informática


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