TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS

CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN.

• Triángulo

• Elementos

• Ángulos del triángulo

• Construcción de triángulos

• Puntos y rectas notables del triángulo

– Mediatrices. Circuncentro

– Bisectrices. Incentro.

– Medianas. Baricentro.

– Alturas. Ortocentro.

Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras

TRIÁNGULO.

Llamamos triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados. A estos

puntos se les llama vértices del triángulo.

Si unimos cada uno de los tres vértices mediante segmentos, a estos

segmentos se le llama lados del triángulo.

- Un triángulo se llama equilátero si tiene los tres lados iguales.

- Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales

-Un triángulo se llama escaleno si tiene los tres lados desiguales.

Además en cada vértice del triángulo se forma un ángulo. A estos

ángulos se les llama ángulos del triángulo

- Un triángulo con los tres ángulos agudos se llama acutángulo.

- Un triángulo con un ángulo obtuso se llama obtusángulo.

ELEMENTOS.

El triángulo que aparece en el dibujo es un triángulo acutángulo.

En él puedes observar:

• Los vértices

• Los lados y sus medidas

• Los ángulos y sus medidas

Vértice BVértice A

Vértice C

9,97 cm

5,75 cm8,81 cm Lado a= BC

Lado c = AB

Lado b= AC

Ángulo Â

Ángulo C

35 °61,46 °

83,54 °

Ángulo B

ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO.

La suma de ángulos de un triángulo es igual a 180º

Luego la suma de ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos

CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO.

A continuación veremos cuándo es posible construir un triángulo

dados tres datos de él, es decir:

Dados tres lados.

Dados dos lados y un ángulo.

Dados un lado y dos ángulos.

DADOS TRES LADOS. La condición para poder construir un triángulo a partir de tres segmentos,

es: La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. Esto

supone tres condiciones, que se pueden resumir: La suma de dos lados es La suma de dos lados es

mayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-cmayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-c

Ejemplo:Ejemplo: a

bc

ca

b

Construcción paso a paso::

1. Coloco uno de los segmentos como base

del triángulo

2. Con centro en cada uno de los

extremos del segmento dibujo dos arcos:

Uno con radio a Otro con radio c

3. Se unen los extremos del segmento que

he tomado como base, con el punto de

corte de los arcos y ya se tiene construido

el triángulo.

DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 1 (SIEMPRE ES POSIBLE):

Conocemos dos lados y el ángulo comprendido por ellos

Ejemplo:Ejemplo:

ab

Ángulo comprendido = 30º

Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:

1. Colocamos como base a uno de los lados2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º.3. Con esa inclinación trazamos una recta.4. Sobre la recta medimos el otro lado.

5. Unimos los extremos libres de los dos lados.a

30º

b

DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 2 (POSIBLE EN ALGUNOS CASOS):

Conocemos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos

Ejemplo:Ejemplo:

a

b

Ángulo adyacente a a = 30º

Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:

1. Colocamos como base al lado a

2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º.

3. Con esa inclinación trazamos una recta.4. En el otro extremo del lado trazo un arco con radio b.

5. El punto de corte de la recta con el arco, si es que este existe, da el tercer vértice del triángulo.

a

30º

COMO PUEDES OBSERVAR EN ESTE CASO EXISTEN DOS SOLUCIONES

b

b

DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. Para poder construir el triángulo, la suma de los dos ángulos dados

debe de ser menor de 180º

Ejemplo:Ejemplo: aÁngulos adyacentes 40º y 70º

Construcción paso a paso:Construcción paso a paso:

1. Colocamos como base al lado2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos uno de los ángulos y trazamos una recta con esa inclinación. 3. Hacemos lo mismo con el otro ángulo en el otro extremo.

4. El punto de corte de esas rectas es el tercer vértice.

a

70º 40º

Puntos y rectas notables del triángulo

Estudiaremos la construcción y las Estudiaremos la construcción y las

propiedades de los siguientes puntos y propiedades de los siguientes puntos y

rectas notables de un triángulo:rectas notables de un triángulo:

Mediatrices. CircuncentroMediatrices. Circuncentro

Bisectrices. Incentro.Bisectrices. Incentro.

Medianas. Baricentro.Medianas. Baricentro.

Alturas. OrtocentroAlturas. Ortocentro

Mediatrices.Mediatriz de un segmento:Mediatriz de un segmento: Es la recta  perpendicular al

segmento que pasa por el punto medio de dicho segmentoLos puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.

Construcción de la mediatriz: Con radio un poco mayor que la mitad del

segmento trazo dos arcos, cada uno con centro en cado uno del los extremos del

segmento.

Mediatrices de un triángulo.

Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de

los tres vértices del triángulo.los tres vértices del triángulo.

a

bc

P

A

BC

El punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de El punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de

los tres vérticeslos tres vértices

Circuncentro de un triángulo.

Al punto donde se cortan la mediatrices le llamaremos circuncentro

del triángulo.

Como P equidista de los vértices del triángulo, P esComo P equidista de los vértices del triángulo, P es el centro de la el centro de la

circunferencia que pasa por tres vértices, y se denomina CIRCUNCENTRO.circunferencia que pasa por tres vértices, y se denomina CIRCUNCENTRO.

a

bc

P

A

B C

A la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo se le llama circunferencia circunscrita.circunferencia circunscrita.

Bisectriz de un ángulo. Bisectriz de un ángulo eBisectriz de un ángulo es la recta  que, pasando por el vértice, divide

al ángulo en dos partes iguales

Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Bisectrices de un triángulo.

Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto.

AB

C

P

Incentro.

Al punto donde se cortan la bisectrices le llamaremos incentro del

triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla.

B

C

P

A la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo se le llama

circunferencia inscrita.circunferencia inscrita.

A

Medianas. Baricentro.

Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G denominado Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G denominado

BARICENTRO que dista del vértice el doble que del lado.BARICENTRO que dista del vértice el doble que del lado.

a

bc

G

A

B C

Llamamos mediana a la recta  que une el punto medio del lado con el Llamamos mediana a la recta  que une el punto medio del lado con el

vértice opuesto.vértice opuesto.

Alturas. Ortocentro. Altura sobre un lado. Es la recta  perpendicular al lado que pasa por Altura sobre un lado. Es la recta  perpendicular al lado que pasa por

el vértice opuesto.el vértice opuesto.

Las alturas del triángulo se cortan en un punto llamado Las alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO..

Ejemplo:Ejemplo:

A B

C

B’ A’

C’

c

ab

hc

ha

hb

Dado el triángulo ABC, observamos

empíricamente que las alturas

coinciden en un puntoConstruimos ahora el triángulo triángulo

asociadoasociado trazando paralelas a

cada lado por el vértice

opuesto.

Como se puede observar el punto

obtenido anteriormente es el

circuncentrocircuncentro del triángulo A’B’C’.

El Teorema de Pitágoras.

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los

catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a

b

c

2 2 2a b c

El recíproco del Teorema de Pitágoras.

Dado un triángulo cuyos lados a, b y c cumplen que

ab

c2 2 2a b c

2 2 2a b c Entonces, el triángulo es rectánguloes rectángulo en el vértice C.

b

ac

A

B

C

ˆ 90ºC

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