Triángulo de Tartaglia

8/17/2019 Triángulo de Tartaglia

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Universidad Nacional Mayor

de San Marcos

Decana de América

El

triángulo de Tartaglia

E.A.P: Ingeniería Electrónica

Curso: Complemento de Matemáticas

Docente: José Saldaña Tovar


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Estudiante: Gardia !ópe" Samel Artro

#$%&

Tabla de contenido

Introdcción'((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((()

*istoria'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((()

+ropiedades'((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((,

%( Sma de los n-meros del triánglo'((((((((((((((((,#( .-meros poligonales'(((((((((((((((((((((((((((((((((((((,

Aplicaciones del triánglo de Tartaglia(((((((((((((((((((((&

%(Scesión de /i0onacci'((((((((((((((((((((((((((((((((((((&

#(El 1stic2 de 3oc2e41(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((&

5(.-meros Com0inatorios (((((((((((((((((((((((((((((((((6)(7inomio de .e8ton((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((9

,(!os repartos entre :gadores(((((((((((((((((((((((((((;

&(Triánglo de Sierpins2i((((((((((((((((((((((((((((((((((%$


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Introducción:

El triánglo de +ascal es n triánglo de n-meros enteros< in=inito 4 simétrico Se

empie"a con n % en la primera =ila< 4 en las =ilas sigientes se van colocando

n-meros de =orma >e cada no de ellos sea la sma de los dos n-meros >e

tiene encima( Se spone >e los lgares =era del triánglo contienen ceros< de=orma >e los 0ordes del triánglo están =ormados por nos( Ss características

son'

• El vértice sperior comien"a con n %(

• En los lados del triánglo tam0ién se escri0en nos(

• !as diagonales son las líneas paralelas a los lados del triánglo(

• !as =ilas son las líneas 3ori"ontales del triánglo(

• Todas las =ilas son simétricas respecto a la 0isectri" del triánglo(

• Cada =ila tiene tantos n-meros más %< como indica el n-mero de la =ila(

Historia:

El Triánglo de +ascal o Tartaglia tiene n origen< como en mc3os otros casos<

m4 anterior al de estos dos matemáticos( Se tienen re=erencias >e datan del

siglo ?II en C3ina( De 3ec3o< algnas de ss propiedades 4a =eron estdiadas

por el matemático c3ino @ang *i siglo ?IIIB< así como el poeta persa mar

3a44am siglo ?IIB(

El >e se le asocie el nom0re del =ilóso=o< matemático +ascal %%&B se

de0e a >e el =rancés escri0ió el primer tratado so0re el triánglo( !o de

Tartaglia %,$$%,,6B viene por>e el italiano =e de los primeros >e lo

p0licaron en Eropa(

Niccolo Fontana, Tartaglia !"##$!""%&

.icolás /ontana nació en la cidad de

7rescia ItaliaB< posi0lemente en el año

%,$$( S =amilia era 3milde( M4 pronto<

a los seis años< >edó 3ér=ano< 4

drante el sa>eo de la cidad por los

=ranceses en el año %,%# resltó 3erido

por n sa0la"o en el rostro< lo >e le

casó na tartamde" de por vida 4 el

apodo de Tartaglia o tartamdo él mismo

adoptó el apodo pes lo escri0ía en lgar

de s apellidoB(

Propiedades:

El Triánglo de +ascal tiene innmera0les propiedades< algnas son'


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Su'a de los n('eros del triángulo: !a sma de los n-meros de

cada =ila es igal al do0le de la anterior( @ además< son scesivas

potencias de # con eFponente natral(

% #$ H( /ila $

% % # #% H( /ila %% # % ) ## H( /ila #% 5 5 % 9 #5 H( /ila 5% ) & ) % %& #) H( /ila )

En general< la sma de todos los n-meros de na =ila 4 de los n-meros de

la =ila >e están por encima de ellas es igal a' ∑ ¿2n+1−1

N('eros )oligonales: !os n-meros poligonales =erondesc0iertosinventados por los pitagóricos( +odemos disponer los

n-meros enteros =ormando =igras geométricas !os números triangulares: %< 5< &< %$< %,ierda( +ara ello reslta m4

cómodo constrir el triánglo tal cal si de na pirámide de tacos de

! ! !

! !! - - !

! / !


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madera se tratara< e ir coloreando seg-n esa norma de varios colores

di=erentes( !os n-meros de /i0onacci aparecen al smar todos los

términos de cada diagonal(

. El 0stic1 de

2oc1ey0

Cal>ier diagonal >e empiece en n eFtremo del triánglo< 4 de la

longitd >e sea< cmple la sigiente propiedad'

K!a sma de todos los n-meros >e la integran se encentran :sto

de0a:o del -ltimo de ellos< en la diagonal contraria(L

1 + 9 = 10

1 + 5 + 15 + 35 +

1 + 3 + ! = 10


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-. N('eros Co'+inatorios C n

k ¿

Es costm0re representar de manera grá=ica los coe=icientes 0inómicos

Cn< 2B< o indistintamente k n

¿ < mediante el triánglo de +ascalTartaglia'

el parámetro n eti>eta los KpisosL del triánglo< empe"ando en n $(

+ara >e todo cadre< de=inimos C $< $B % este n-mero< desde lego<

no tiene signi=icado com0inatorio< pero la de=inición es de nevo

consistente con la =órmla de los =actoriales( El parámetro 2< por s parte<

marcará la coordenada de las scesivas diagonales( !os valores en los

0ordes las =ronterasB del triánglo son siempre %( @ las casillas interiores

se rellenan sigiendo la ecación de recrrencia< cada coe=iciente

0inómico se pede o0tener smando los valores de los dos

inmediatamente speriores( Con esta regla< 4 los valores en los 0ordes<

podemos completar el triánglo(

Así< se le pede dar el carácter de =órmla general para sa0er< sin

necesidad de constrir todas las =ilas anteriores< cál es el n-mero >e

ocpa n lgar determinado< a la de los n-meros com0inatorios'

C n , k =( k

n )= n!k ! . (n−k ) !


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. 3ino'io de Ne4ton

El 0inomio de .e8ton es n algoritmo >e permite calclar na potencia

cal>iera de n 0inomio< para ello se emplean los coe=icientes

0inomiales< >e no son más >e na scesión de n-meros com0inatorios(!a =órmla general del 0inomio de .e8ton dice'

(¿nn)bn

(¿n−1n )abn−1+¿

(¿2

n)an−2b2+…+¿

(¿1

n)an−1b+¿

(¿0

n)an+¿

(a

+b

)

n

=¿

En el 0inomio de .e8ton se consideran las com0inaciones por>e para

:sti=icar este método se tili"a n método de mltiplicación >e se

conoce como el eFponente =i:o< 4 este método consiste en 0scar de

cántas =ormas distintas podemos mltiplicar los términos de dos

polinomios para o0tener n eFponente dado(

Se inscri0e el triánglo de +ascal en na ta0la para poder nom0rar a cada

coe=iciente del mismo( El n-mero en la línea n 4 la colmna p se denota'

(¿k n)¿

En resmen !a =órmla general del llamado 7inomio de .e8ton está

=ormada por nos coe=icientes >e coinciden con los elementos de la =ilac4o n-mero de orden es la potencia a la >e está elevado el 0inomio(


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". 5os re)artos entre 6ugadores

Se tiene mc3as veces la idea de >e +ascal< inventor del cálclo de

pro0a0ilidades< podría 3a0er introdcido esta noción drante el estdio de

s triánglo aritmético dando >e el pro0lema de los repartos< >e

pertenece a los :egos de a"ar< lo reselve apo4ándose en s triánglo(

Nealmente la noción de pro0a0ilidad =igra por primera ve" en ss cartas

K+rovincialesL< en %&,&< cando +ascal está empeñado en ss re=leFiones

de orden moral 4 teológico so0re opiniones pro0a0les 4 no so0re el a"ar(

El cálclo de pro0a0ilidades era desconocido para los antigos( /e

intido tanto por Cardano como por Galileo< pero ss =ndamentos 4

desc0rimientos se de0en a +ascal 4 /ermat esa cltra =e

aprovec3ada 4 ampliada< más tarde< por 7ernolli< Moivre< !aplace 4

Gass(

+ascal mantenía na correspondencia a0ndante con los matemáticos de

s época< 4 especialmente con /ermat( En %&,) trata con él el pro0lema

de los partis, pro0lema al >e +ascal llegará a dar solción plena 4

rigrosa 0asada en s triánglo aritmético(

El pro0lema de los repartimientos consiste en determinar la parte de na

sma apostada o pesta en :ego< >e de0e ser entregada a cada

:gador cando se interrmpe el :ego< +ascal 3a0la< en esta solción< de

solo dos :gadores< no menciona la solción del pro0lema de ningno dess predecesores< demestra >e propestos dos :gadores a cada no

de los cales le =alta n cierto n-mero de partidas para aca0ar< es posi0le

encontrar mediante el triánglo aritmético el repartimiento >e es preciso

3acer si ellos >isieran separarse sin :gar< considerando las partidas >e

le =alta a cada no( !a solción está en las 0ases del triánglo aritmético(

+or e:emplo< consideremos n :ego entre dos :gadores< A 4 7< en >e al

primero le >edan partidas para ganar< mientras >e al segndo le

=altan ( +ara determinar los repartimientos >e le corresponde a cada

no< 0asta con leer en el triánglo aritmético el contenido de la 0ase >econtiene tantas casillas como partidas >e le >edan a los dos :gadores

:ntos< es decir< de la 0ase< 7 8 /< 4 smar todos los contenidos de

esa 0ase< ! 7 " 7 !# 7 !# 7 " 7 ! 8 -( +ara determinar a3ora lo >e le

corresponde a no de los :gadores< por e:emplo al A< se calcla< en

primer lgar< la sma de los contenidos de tantas casillas< )< como

:gadas le =altan al adversario a contar desde el eFtremo de la 0ase< es

decir< !# 7 !# 7 " 7 ! 8 /( Entonces< al :gador A< le corresponderá na


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=racción igal a 26

32 ( De igal manera se calclará la =racción >e le

corresponde al :gador 7' ! 7 "& 9 - 86

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/. Triángulo de Sier)ins1i

El matemático Oacla8 Sierpins2i< =e n importante matemático polaco

>e dedicó na parte de ss

investigaciones al estdio de

distintas =ormas de =ractales

introd:o el >e anali"aremos

en %;%;B< 3o4 nos centraremos

en na de las más conocidas(El triánglo de Sierpins2i se

pede descomponer en tres

=igras congrentes( Cada na

de ellas con eFactamente la

mitad de tamaño de la original(

Si do0lamos el tamaño de na

de las partes recperamos el

triánglo inicial( El triánglo de

Sierpins2i está =ormado por tres copias ato similares de él

mismo( Decimos >e es ato similar propiedades especí=icas de los

=ractalesB

El crioso di0:o >e se =orma al pintar de negro los n-meros impares del

triánglo 4 de 0lanco los pares< recerda al triánglo de Sierpins2i< n

=amoso con:nto geométrico n =ractal determinístico >e se pede

constrir a partir de cal>ier triángloB(


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#ri$ngulo aritm%ti&o original de 'as&al

Triángulo de Tartaglia

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