Alturas de un tr iángulo

Altura es cada una de las rectas perpendicu lares t razadas

desde un vért ice a l lado opuesto (o su pro longac ión) .

Ortocentro

Es e l punto de corte de las t res

a l turas .

Medianas de un tr iángulo

Mediana es cada una de las rectas que une e l punto medio de

un lado con e l vért ice opuesto.

Bar icentro

Es e l punto de

corte de las tres

medianas.

E l ba r i cen t ro

d i v ide a cada med iana

en dos segmentos , e l

segmento que une e l

ba r i cen t ro con e l

vé r t i ce m ide e l dob le

que e l segmento que

une ba r i cen t ro con e l

pun to med io de l l ado

opues to .

BG = 2GA

Mediatr ices de un tr iángulo

Med ia t r i z es cada una de l as rec tas pe rpend i cu la res

t razadas a un l ado po r su punto med io .

Circuncentro

Es e l

punto de corte

de las tres

mediatr ices.

Es e l

cen t ro de una

c i r cun fe renc ia

c i r cunsc r i ta a l

t r i ángu lo .

Bisectr ices de un tr iángulo

B isec t r i z es cada una de l as rec tas que d iv ide a un

ángu lo en dos ángu los i gua les .

Incentro

Es e l

punto de

corte de

las tres

b isetr ices

.

Es

e l cen t ro

de una

c i r cun fe r

enc ia

i nsc r i ta

en e l

t r i ángu l

o .

Recta de Euler

13.2  Alturas, mediatrices y medianas de un triángulo

Alturas del triángulo, calcular mediatrices , bisectrices y medianas del triángulo.

Calcular mediatrices y coordenadas del circuncentro

Calcular alturas y coordenadas del ortocentro

Actividades interactivas

>    Alturas y mediatrices. Ver las coordenadas del circuncentro y del ortocentro

Calcular medianas y coordenadas del baricentro

Calcular bisectrices y coordenadas del incentro

Actividades interactivas

alternados, cada jugador traza una recta que una dos de los puntos. Se debe evitar que la nueva línea trazada forme un triángulo que tenga los tres lados del mismo color: quien traza un triángulo de ese tipo, tenga otra opción o no, pierde.Cabe señalar que sólo se consideran los triángulos cuyos vértices son alguno de los puntos iniciales.

Luego de haber terminado el juego, se hará una puesta en común de la jugada que ha hecho cada dúo.Se les preguntará a los alumnos:* ¿Qué cuál creen que será el tema a desarrollar?

FASE 2: DESARROLLO

En primer lugar se les dictará a los alumnos la definición de triángulo.Un TRIÁNGULO, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

BCA

* AB, BC, CA = son los lados* α,β,π = son los ángulos.* A, B, C = son los vértices.

Después de dejar en claro a los alumnos que es un triángulo, se les preguntará: * ¿Qué clases de triángulos conocen?, y se hará la siguiente clasificación.

CLASIFICACIÓN:

* Según sus lados:

* EQUILÁTERO: es aquel triángulo que tiene

odos sus lados iguales.

AB = BC = CA

Para construir un triángulo equilátero se siguen los siguientes pasos:1. Trazo un segmento de x longitud. 2. Tomo un compas, y lo abro de la mida del segmento trazado.3. En uno de los extremos del segmento, asiento el compás y con la punta sobrante trazo un arco hacia arriba.4. Luego, desde el otro extremo aplico la operación anterior.5. En donde se intersectan los dos arcos, marco un vértice.6. Desde el vértice a cada uno de los extremos de los segmentos, trazo los lados que me formarán, así, el triángulo equilátero.

* ISÓSCELES: es aquel triángulo que tiene al menos dos de sus lados iguales.

AB= BC

Para construir un triángulo isósceles se siguen los siguientes pasos:1. Trazo un segmento de x longitud.2. Tomo el compás, y lo abro a la medida del segmento trazado.3. Desde un extremo de dicho segmento, asiento el compás y con dicha abertura marco un punto en una dirección. 4. Desde ese punto a uno de los extremos del segmento que en primer lugar se marcó, trazo el segmento congruente.5. Finalmente, uno los extremos que me quedan, formando, así, el triángulo isósceles.

* ESCALENO: es aquel triángulo que tiene todos sus lados desiguales.

AB ≠ BC ≠CA

Para la construcción deltriángulo escaleno, al tener todos sus lados desiguales, no sigue determinados pasos para obtenerlo.

Se les hará la siguiente pregunta a los alumnos para pensar.

¿El triángulo equilátero es isósceles? ¿Por qué?Se les da a los alumnos unos minutos para que debatan entre ellos al respecto, y luego se les dirá la respuesta correcta.

El triángulo equilátero, es también isósceles, ya que cumple con la condición de tener al menos dos de sus lados iguales.

* Según sus ángulos

* ACUTÁNGULO: es aquel triángulo que tiene sus tres ángulos agudos (menores que 90 grados).

* OBTUSÁNGULO: es aquel triángulo que tiene uno de sus ángulos igual a un obtuso (mayor que 90 grados).

* RECTÁNGULO: es aquel triángulo que tiene uno de sus ángulos igual a un recto (igual a 90 grados).

Se les pedirá a los alumnos que piensen en los siguientes enunciados.1

Piensen los siguientes enunciados y respondan si son verdaderos o falsos.

I. Un triángulo obtuso puede ser acutángulo.II. Un triángulo rectángulo puede ser obtuso.III. Un triángulo escaleno puede ser rectángulo.IV. Un triángulo equilátero puede ser obtusángulo.V. Un triángulo isósceles puede ser acutángulo.

Se hará un debate de las respuestas obtenidas. Y a partir de ésto, se explicará que hay ciertos puntos notables que caracterizan los triángulos.

PUNTOS NOTABLES

* ALTURA: La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.Todo triángulo ABC, tiene tres alturas  que denotaremos como sigue: * La altura respecto del lado 'a'=BC, se denota por haPara trazar la altura respecto del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Ubicar el ángulo recto de la escuadra sobre el lado desde el cual se va a trazar la altura; hacer pasar el borde de la escuadra por el vértice correspondiente y trazar.

* La altura  respecto del lado 'b'=AC, se denota por hb Para trazar la altura respecto del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, se tiene que hacer lo mismo que en el paso anterior.

* La altura respecto del lado 'c'=AB, se denota por hcPara trazar la altura respecto del lado "c"=AB de un triángulo de vértices ABC, se tiene que hacer lo mismo que en los pasos anteriores.EL PUNTO DE CORTE DE LAS TRES ALTURAS SE LLAMA ORTOCENTRO.

* MEDIATRIZ: La mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices  que denotaremos como sigue: * La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por MaPara trazar la mediatriz del lado "a"=BC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Localizas el lado "a" (segmento que une los vértices B y C del triángulo) 2. Con origen en el vértice B, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado BC)>3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que se corten con los anteriores.4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origen en los vértices B y C. 5. Pones a la recta la etiqueta Ma para indicar que se trata de la mediatriz del lado "a" del triángulo.

* La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb Para trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Localizas el lado "b" (segmento que une los vértices A y C del triángulo) 2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado AC) 3. Con origen en el vértice C, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que se corten con los anteriores. 4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origen en los vértices A y C. 5. Pones a la recta la etiqueta Mb para indicar que se trata de la mediatriz del lado "b" del triángulo.

* La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por McPara trazar la mediatriz del lado "b"=AC de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:

1. Localizas el lado "c" (segmento que une los vértices A y B del triángulo) 2. Con origen en el vértice A, y el radio que quieras, trazas dos arcos de circunferencia (uno a cada lado del lado AC) 3. Con origen en el vértice B, y el mismo radio, trazas dos arcos de circunferencia hasta que se corten con los anteriores. 4. Trazas la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos que trazaste con origen en los vértices A y B. 5. Pones a la recta la etiqueta Mc para indicar que se trata de la mediatriz del lado "c" del triángulo. EL PUNTO DE CORTE DE LAS MEDIATRICES SE LLAMA CIRCUNCENTRO, por ser el centro de una circunferencia exterior al triángulo en cuya longitud se hallan los vértices.

* MEDIANA: La mediana de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice)  que denotaremos como sigue: * Mediana correspondiente al vértice A, se denota por  mA Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente: 1. Localizas el vértice A.2. Calculas el punto medio del lado BC (lado opuesto al vértice A).3. Trazas la recta que pasa por el vértice A y el punto medio del lado BC.4. Se denota mA, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice A.

* Mediana correspondiente al vértice B, se denota por  mB Para trazar la mediana con respecto al vértice B, tienes que hacer lo siguiente: 1. Localizas el vértice B2. Calculas el punto medio del lado AC (lado opuesto al vértice B)3. Trazas la recta que pasa por el vértice B y el punto medio del lado AC4. Se denota mB, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice B.

* Mediana correspondiente al vértice C, se denota por  mC Para trazar la mediana con respecto al vértice C, tienes que hacer lo siguiente: 1. Localizas el vértice C2. Calculas el punto medio del lado AB (lado opuesto al vértice C)3. Trazas la recta que pasa por el vértice C y el punto medio del lado AB4. Se denota mC, para indicar que se trata de la mediana correspondiente al vértice C.

EL PUNTO DE CORTE DE LAS TRES MEDIANAS SE LLAMA BARICENTRO.

* BICECTRIZ: La bisectriz de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partes iguales.Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo)  que denotaremos como sigue:* Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bAPara trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Localizas el vértice A.2. Con origen en el vértice A, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte los lados AB y AC en dos puntos que llamaremos N y M3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia.4. Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que interseque con el anterior, en un punto.5. Une este punto con el vértice A mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del ángulo A.6. Se denota "bA".

* Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bBPara trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Localizas el vértice B.2. Con origen en el vértice B, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte los lados BA y BC en dos puntos que llamaremos N y M3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..4. Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que interseque con el anterior, en un punto.5. Une este punto con el vértice B mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del ángulo B..6. Se denota "bB"

* Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bCPara trazar la bisectriz del ángulo A de un triángulo de vértices ABC, tienes que hacer lo siguiente:1. Localizas el vértice C. 2. Con origen en el vértice C, trazas un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que corte los lados CA y CB en dos puntos que llamaremos N y M3. Con origen en N, y radio cualquiera, traza un arco de circunferencia..4. Con origen en M, y el mismo radio, traza otro arco de circunferencia que interseque con el anterior, en un punto.5. Une este punto con el vértice C mediante una línea recta, y ya tienes la bisectriz del ángulo C.6. Se denota "bC".

EL PUNTO DE CORTE DE LAS TRES BISECTRICES SE LLAMA INCENTRO, por ser el centro de una circunferencia interior al triángulo y tangente a sus lados.

Después de haber visto todos estos contenidos, se trata de establecer, con los alumnos, las propiedades de los triángulos.

PROPIEDADES

Si tenemos el siguiente triángulo, se tiene:

BCA

* Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.AB< BC + CAAB> BC - CA* La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.α+β + π =180ºLuego se tiene:* El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = A + B α = 180º - C

* En un triángulo el mayor lado se opone mayor ángulo.

* Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

* Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices que definen dicho lado.* Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con alguno de sus lados (según el tipo de triángulo):* Si el triángulo es RECTÁNGULO: "La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con los catetos del triángulo"  * Si el triángulo es ACUTÁNGULO:"Las tres alturas son interiores al triángulo"   * Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturas exteriores al triángulo" * En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado desigual divide el triángulo en

dos triángulos iguales.* Las tres medianas de un triángulo son interiores al mismo, independientemente del tipo de triángulo que sea.* Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos de igual área.* Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

2

Con ayuda de una regla y un compás: a. Dibuja un triángulo acutángulo y denota sus vértices con las letras A, B y C.b. Siguiendo los pasos indicados en las construcciones que has visto, dibuja las tres alturas del triángulo anterior. Observa si son interiores o exteriores al triángulo.c. Repite el mismo ejercicio con un triángulo rectángulo.d. Repiteel mismo ejercicio con un triángulo obtusángulo.e. Construye un triángulo isósceles, traza la bisectriz, y marca incentro.f. Construye un triángulo equilátero cuyos lados midan 7 cm.g. Construye un triángulo obtusángulo, marca mediatrices y circuncentro.

3Resolver:a. En un triángulo, se conocen los valores de los ángulos α ,β, donde: * α= 65, β=35, ¿Cuál es el valor de γ? ¿De que tipo de triángulo se trata?

FACE 3: CIERRE

* Resolver el siguiente crucigrama aplicando lo visto en clase.| | | | | T | | | || R | | | | || I | | | | | | | | || Á | | | | | | || | | | | N | || | | | | | | G | | | || | | | | U | | | | | | | || L | | | | || | | | | | | | | O |

1) Recta que divide al ángulo en dos partes iguales. 2) El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo…………..3) ¿Cómo se llama el triángulo que tiene al menos dos de sus lados iguales?4) Los triángulos se clasifican según sus lados y sus…………………….5) Nombre de la recta que une el punto medio de un lado con su vértice opuesto.6) Triángulo que tiene un ángulo obtuso.7) Punto de corte de las mediatrices.8) Nombre de la recta perpendicular a los lados de un triángulo y que pasa por el vértice opuesto.9) Punto de corte de las tres medianas de un triángulo.