Perímetro de un triángulo

El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

Triángulo Equilátero Triángulo Isósceles Triángulo Escaleno

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2.

La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplo

Hallar el área del siguiente triángulo:

Área de un triángulo equilátero

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

Área de un triángulo rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es igual al producto de los catetos partido por 2.

Ejemplo

Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm.

Semiperímetro

El semiperímetro de un triángulo es igual a la suma de sus lados partido por 2.

Se nombra con la letra p.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón se utiliza para hallar el área de un triángulo conociendo sus tres lados.

Ejemplo

Hallar el área del triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cm.

Circunferencia circunscrita a un triángulo

R = radio de la circunferencia circunscrita

Circunferencia inscrita en un triángulo

r = radio de la circunferencia inscrita

p = semiperímetro

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

Herón de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. Son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón, que nos permite calcular el área de un triángulo conocidos los tres lados. No es necesario por tanto conocer la altura ni ninguno de los ángulos. Si llamamos s al semiperímetro y a, b, c a los tres lados:

     Llamando al semiperímetro

entonces el área puede expresarse como

 

        La demostración de Herón es realmente sorprendente. Combinando elementos geométricos sencillos llega a construir una de las demostraciones más ricas y elegantes de toda la matemática. Esta demostración puede verse en la Gacetilla Matemática ( http://www.arrakis.es/~mcj ). Presentamos aquí otra más moderna basada en el teorema del coseno.

      La fórmula clásica para el área del triángulo nos dice que A=c*h/2; o lo que es lo mismo, A=c*a*sen()/2. Por otro lado, el teorema delcoseno nos asegura que b2=a2+c2-2ac*cos().

     El camino a seguir será despejar cos() de la última ecuación y sustituir sen() en la anterior.

        Tenemos pues que cos()=(a2+c2-b2)/(2ac), y como sen2()=1-cos2() entonces:

 o lo que es lo mismo

    Teniendo en cuenta que el numerador es una diferencia de cuadrados y el denominador un cuadrado obtenemos:

sen()  =  raíz[(2ac-(a2+c2-b2))*(2ac+(a2+c2-b2))]/(2ac)  =  raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/(2ac)

    Sustituyendo ahora en la fórmula del área, tenemos que A = raíz[(b2-(a-c)2)*((a+c)2-b2)]/4 y utilizando de nuevo la descomposición de la diferencia de cuadrados como suma por diferencia, nos queda:

   Finalmente, introducimos el 4 dentro de la raíz quedando 16, y si observamos que (b+a-c)/2 = (s-c)/2, y que (b-a+c)/2 = (s-a)/2 y así sucesivamente, llegamos a la fórmula final:

    q.e.d.

 

    Una demostración basada en geometría sintética y en una buena dosis de ingenio fue publicada por el gran Leohard Euler en el libro Variae demonstrationes geometricae (1747). Pincha en este vínculo para ver esta magnífica demostración (en breve)

Área de un triángulo

Conociendo la base y la altura

Conociendo dos lados y el ángulo que forman.

Circunferencia circunscrita a un triángulo

R = radio de la circunferencia circunscrita

Circunferencia inscrita en un triángulo

r = radio de la circunferencia inscrita

p = semiperímetro

Fórmula de Herón

p = semiperímetro

Área de un triángulo conociendo las coordenadas de los vértices

El área de un triángulo es igual al la mitad del producto escalar, en valor absoluto, del

vector perpendicular a por el vector .

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

Área de un triángulo por determinantes

Para resolver el determinante de orden tres utilizamos la regla de Sarrus.

El determinante está en valor absoluto

Ejemplo

Calcular el área de un triángulo cuyos vértices son: A(2, 0), B(3,4) y C(-2,5).

Área de un triángulo por vectores

Ejemplo

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo

Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo

que tiene por lados los vectores y ·

Área de un cuadrilátero conociendo las coordenadas de los vértices

Para hallar el área de un cuadrilátero cualquiera, lo dividimos en dos triángulos cuya suma de áreas será la pedida.

Ejemplo

Calcular el área del cuadrilátero de vértices A(1, 0), B(3, 1), C(2, -1) y D(0, 4).

Área de un paralelogramo conociendo las coordenadas de los vértices

Como una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, basta hallar el área de un triángulo y multiplicarla por dos.

Ejemplo

Calcular el área del paralelogramo que tiene de vértices: A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0) y D(-6, 2).

El área es igual a dos veces el área del triángulo ABC.

Tres puntos alineados

Tres puntos están alineados cuando el área del triángulo es igual a cero.

Ejemplo

Averiguar si están alineados los puntos: A(-2, -3), B(1, 0) y C(6, 5).

Los tres puntos están alineados.

ÁreaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Este artículo trata sobre el concepto geométrico. Para otros usos de este término, véase Área (desambiguación).

El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Contenido

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1 Historia 2 Área de figuras planas

o 2.1 Área de un triángulo o 2.2 Área de un cuadrilátero o 2.3 Área del círculo y la elipse o 2.4 Área delimitada entre dos funciones o 2.5 Relación área-perímetro

3 Área de superficies curvas o 3.1 Superficie de revolución o 3.2 Cálculo general de áreas

4 Unidades de medida de superficies o 4.1 Sistema Internacional o 4.2 Sistema anglosajón de unidades

5 Véase también 6 Referencias 7 Bibliografía 8 Enlaces externos

[editar] Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.[1]

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y cincunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con este sistema, que se conoce como método de exhausción de Eudoxo, consiguió hallar la fórmula para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[2] así como el cálculo aproximado del número π.

[editar] Área de figuras planas

[editar] Área de un triángulo

Áreas.

El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:[3]

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

donde a y b son los catetos.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplica la fórmula de Herón.

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

donde a es un lado del triángulo.

[editar] Área de un cuadrilátero

Trapezoide.

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del angulo que forman.

El área también se puede obtener mediante triangulación:

Siendo:

el ángulo comprendido entre los lados y .

el ángulo comprendido entre los lados y .

El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:[3]

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:[3]

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:[3]

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):[3]

[editar] Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:[4]

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:[5]

[editar] Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: y

en el intervalo .

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

Por lo que se concluye que el área delimitada es .

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

[editar] Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

(left)

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

[editar] Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Una condición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.

Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

[editar] Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por una tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva

generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

El área de esfera de radio R que viene dada por

El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente

[editar] Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superificie en las coordenadas paramétricas u y v.

Fórmula de HerónDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Triángulo de lados a, b, c.

En geometría, la fórmula de Herón, descubierta por Herón de Alejandría, relaciona el área de un triángulo en términos de las longitudes de sus lados a, b y c:

donde s es el semiperímetro:

La fórmula puede reescribirse de la siguiente forma:

Contenido

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1 Demostración 2 Estabilidad numérica 3 Generalizaciones 4 Notas y referencias 5 Enlaces externos

[editar] Demostración

Una demostración moderna, que emplea álgebra y trigonometría (bastante distinta a la que dio Herón en su libro), podría ser la siguiente. Sea un triángulo de lados a, b, c,

cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son Entonces, por el teorema del coseno:

.

De la identidad pitagórica

se obtiene:

.

La altura de un triángulo de base a tiene una longitud

Como , se llega finalmente a:

[editar] Estabilidad numérica

La fórmula de Herón dada más arriba es numéricamente inestable para triángulos de ángulos muy pequeños (como ocurre frecuentemente en astronomía). Una alternativa numéricamente más estable[1] implica reordenar las longitudes de los lados de modo que a ≥ b ≥ c, y luego realizar el computo con acuerdo total a la siguiente forma reordenada, de la fórmula de Herón:

En la fórmula precedente los paréntesis son absolutamente necesarios para evitar la inestabilidad numérica en la evaluación.

[editar] Generalizaciones

Desigualdad triangular, .

La fórmula de Herón es un caso particular de la fórmula de Brahmagupta para el cálculo del área de cuadriláteros inscritos en una circunferencia; y ambas son casos particulares de la fórmula de Bretschneider para calcular área de un cuadrilátero.

Expresando parte de la fórmula de Herón (solo los términos internos a la raíz) de forma matricial dentro de un determinante en términos de cuadrados de distancias de los tres vértices dados (más precisamente, el valor absoluto del determinante), obtenemos:

Donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A será el área del mismo. Hay que asegurarse que los datos a, b y c que se proveen al determinante cumplan con la desigualdad triangular (véase figura), de lo contrario no se trataría de un triángulo y en ese caso el determinante daría resultados positivos o cero pero erróneos. Por otra parte con datos que si cumplan con la desigualdad triangular el determinante da siempre resultados negativos (no necesariamente erróneos pero inapropiados dentro de una raíz) por lo cual es necesario tomar el valor absoluto del determinante que está dentro de la raíz, de lo contrario obtendríamos resultados complejos.

Así como un triángulo está determinado por las longitudes de sus tres lados, un tetraedro lo está por las longitudes de sus seis lados. Tartaglia halló la fórmula del volumen del tetraedro en función de las longitudes de sus lados. Los determinantes de Cayley-Menger generalizan esta fórmula a dimensiones por encima de tres.