elementos notables de un triángulo 1.

8/16/2019 elementos notables de un triángulo 1.

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Clase142


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Revisión del estudio individual.Revisión del estudio individual.

xx

A E B

D C

En la figuraEn la figura

∠ A = A =∠B yB y AD AD|| CE.|| CE.

Probar que: Probar que:

∠x =x =∠BB

∠ A = A =∠ B por datosB por datos

∠ A = A =∠ x porx porcorrespondientescorrespondientes entre ADentre AD||CE y AB secante||CE y AB secante∠ x =∠ B por carácter transitivo

l.q.q.d.


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TriánguloTriángulo

Se llama triángulo a la porción delSe llama triángulo a la porción del plano limitada por tres rectas que plano limitada por tres rectas quese cortan dos a dos.se cortan dos a dos.

A B

C

abc

β

γ

ementos: ementos:

Vértices:Vértices: A, B C A, B C !ados:!ados:

AB, BC AC AB, BC AC ó a, b c ó a, b c "ngulos: "ngulos:∠ A, A,∠B B

∠CCóó ,, β γ


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En todo triángulo se cumple queEn todo triángulo se cumple quecada lado es menor que la sumacada lado es menor que la sumade los otros dos maor que sude los otros dos maor que su

di#erencia.di#erencia.

En todo triángulo se cumple queEn todo triángulo se cumple quecada lado es menor que la sumacada lado es menor que la sumade los otros dos maor que sude los otros dos maor que su

di#erencia.di#erencia.

Desigualdad triangularDesigualdad triangular

A

B C a

bc

En s$mbolos:En s$mbolos:

aa % b & c % b & c bb % a & c % a & c

cc % a & b% a & b

aa ' b ( c' b ( cbb ' a ( c' a ( c

cc ' a ( b' a ( b

a ' b ' c a ' b ' c


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Clasi#icación de los triángulosClasi#icación de los triángulosseg)n sus ladosseg)n sus lados

EquiláteroEquilátero *sósceles*sósceles EscalenoEscaleno

+iene sus+iene sustres ladostres ladosiguales.iguales.

A B

C

+iene dos+iene dosladosladosiguales.iguales.

A B

C

+iene sus+iene sustres ladostres ladosdesiguales.desiguales.

A B

C


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Clasi#icaciónClasi#icaciónde losde los

triángulostriángulosseg)n susseg)n susángulosángulos

Acutángulo Acutángulo

ectánguloectángulo-btusángulo-btusángulo

+iene sus tres+iene sus tres

ángulos agudos.ángulos agudos.

no de susno de susángulos es recto.ángulos es recto.

no de susno de susángulos esángulos esobtuso.obtuso.


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Ángulos interiores Ángulos interiores

En todo triángulo, la suma de losEn todo triángulo, la suma de losángulos interiores es igual a /01 ángulos interiores es igual a /01 1 1 ..

A B

C

β

γ

En símbolos: En símbolos:

&&β

&&γ

2 /01 2 /01 1 1

γ

β


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Ángulos exteriores Ángulos exteriores

!os ángulos e3teriores de un!os ángulos e3teriores de untriángulo son los #ormados por untriángulo son los #ormados por unlado la prolongación de otro delado la prolongación de otro de

los lados.los lados.

A B

C

β

γ

δ

Propiedad: Propiedad:

δ

22 &&γ


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Rectas y puntos Rectas y puntos

notables delnotables del

triángulotriángulo


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A!+A: A!+A: es el es el segmento desegmento de perpendicular tra4ado desde un perpendicular tra4ado desde un

5értice de un triángulo al lado5értice de un triángulo al ladoopuesto.opuesto.

A!+A: A!+A: es el es el segmento desegmento de perpendicular tra4ado desde un perpendicular tra4ado desde un

5értice de un triángulo al lado5értice de un triángulo al ladoopuesto.opuesto.

A B

C

ab

c

hc hc AB


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En todo triángulo e3isten tres alturasEn todo triángulo e3isten tres alturasque se intersecan en un puntoque se intersecan en un punto

llamadollamado -+-CE6+- -+-CE6+- ..


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7ED*A6A:7ED*A6A: es eles el segmento tra4adosegmento tra4adodesde cada 5értice de un triángulodesde cada 5értice de un triángulo

8asta el punto medio del lado8asta el punto medio del ladoopuesto.opuesto.

A B

C

ab

c

D

D: punto medio

de AB


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En todo triángulo e3isten tresEn todo triángulo e3isten tresmedianas que se intersecan enmedianas que se intersecan en

un punto llamadoun punto llamado BA*CE6+- BA*CE6+- ..


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B*SEC+* B*SEC+* 9 9 :: es eles el segmento de bisectri4segmento de bisectri4de un ángulo interior de un triángulode un ángulo interior de un triángulo

determinado por un 5értice el puntodeterminado por un 5értice el puntoen que la misma corta al lado opueen que la misma corta al lado opuessto.to.

A B

C

ab

c D

CD: bisectriz del ∠ ACB


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En todo triángulo e3isten tresEn todo triángulo e3isten tresbisectrices que se intersecan enbisectrices que se intersecan enun punto llamadoun punto llamado *6CE6+- *6CE6+- ..


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7ED*A+*9: es la7ED*A+*9: es larecta perpendicular enrecta perpendicular enel punto medio deel punto medio decada lado de uncada lado de un

triángulo.triángulo.

AB

C

a

b

c D

r

r ⊥ AB

D: punto medio del AB


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En todo triángulo e3isten tresEn todo triángulo e3isten tresmediatrices que se intersecan en unmediatrices que se intersecan en un

punto llamado punto llamado C*C6CE6+-.C*C6CE6+-.


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Recta notable Intersección Propiedad

Altura Ortocentro

Medianas Baricentro

Centro de

gravedad

BisectrizIncentro

Centro cir.

inscrita

Mediatriz CircuncentroCentro cir.

circunscrita


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Eercicio /Eercicio /

Determina si se puede construirDetermina si se puede construirun triángulo con tres segmentosun triángulo con tres segmentosque midan respecti5amente:que midan respecti5amente:

a; ? cm.a; ? cm.

b; >@= @ @= @ /,?= 0,/@ cm.c; >/,?= 0,/@ cm.

6o= /> ' < & ?

Si= @ & @

6o= >/,? ' 0,/@ &


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Eercicio > Eercicio >

A B A B

C DC DE E

En la #igura ABEn la #igura ABCD=CD= ∠ DAB2 > DAB2 > 1 1 ==DE: bisectri4 delDE: bisectri4 del

∠

ADC= ADC= AD: bisectri4 del AD: bisectri4 del

∠

CAB.CAB.CalculaCalcula

A BA B


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∠

DAB 2∠

ADC por ser alternosentre AB

CD AD secante.∠ ADC 2 >

1

∠ EDA 2∠ ADC > por ser DEbisectri4 del∠ ADC.

∠

EDA 2

> 1

> 2 @/1

A B A B

C DC DE E

A B


22/23

En EAD tenemos: 2 ∠ CAD & ∠ ADE por ser e3terior

al EAD.2 > 1 &@/1

2 @1

∠ CAD 2 ∠ DAB

por ser AD bisectri4del ∠CAB.∠ CAD 2 > 1

A B A B

C DC DE E


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Para el estudio individual Para el estudio individual

/./.En la #igura:En la #igura:EDED BC BC ;;

β

2

elementos notables de un triángulo 1.

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