Universidad Politcnica SalesianaINGENIERA MECNICA AUTOMOTRIZTRABAJO INTEGRADOR DE:ECUACIONES DIFERENCIALESAMORTIGUACIN DE UNA MOTOCICLETA APLICANDO LAPLACE.Fecha: 31 de julio del 2014Integrantes: Ordoez Wilson Reyes Nilo Villa Diego

1. TEMA: Amortiguacin de una motocicleta aplicando Laplace.

2. OBJETIVOS:

Determinar la solucin de la ecuacin diferencial de nuestro problema planteado desarrollndola a travs de la transformada de la place. demostrar que al utilizar el mtodo de la trasformada de Laplace del ejercicio planteado se puede llegar al mismo resultado que al utilizar (otros mtodos), donde podemos apreciar que es mucha ms fcil realizar. El objetivo es transformar la ecuacin diferencial compleja a una solucin donde pueda ser obtenida con mayor facilidad. Por lo tanto aplicaremos tambin la transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

3. MARCO TEORICO

HistoriaPierre Simn Mrquez de Laplace (1749-1827) matemtico y astrnomo francs. Sus principales campos de inters fueron la Mecnica Celeste, o movimiento planetario, la teora de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos sonMecnico Celeste, el principal legado de esta publicacin reside en el desarrollo de la teora de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Fsica que van desde la gravitacin, la mecnica de fluidos, el magnetismo y la fsica atmica.Thorie Analytique des Probabilits que se considera la ms grande contribucin a esa parte de las matemticas. Como ancdota, el libro inicia con palabras que ms o menos dicen "En el fondo, la teora de probabilidades no es sino el sentido comn reducido a clculos", puede ser que s, pero las 700 pginas que le siguen a esas palabras son un anlisis intrincado, en el cual usa a discrecin la transformada de Laplace, las funciones generatrices, y muchas otras tcnicas no triviales.Tras la Revolucin Francesa, el talento poltico y la ambicin de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fcilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monrquico emergiendo siempre con una mejor posicin y un nuevo ttulo.La ayuda prestada a los jvenes talentos cientficos fue un gran acierto; entre esos jvenes se encuentran: el qumico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el fsico Poisson, y al joven Cauchy, que estara destinado a convertirse en uno de los artfices principales de las matemticas del siglo XIX

Transformada de Laplace.La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la funcin en la variable independiente que aparece en la ED es una funcin seccionada. Cuando se resuelven ED usando la tcnica de la transformada, se cambia una ecuacin diferencial en un problema algebraico. La metodologa consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una funcin en la variable independiente tenga una cierta expresin como transformada. (Transformada de Laplace y sus propiedades, 2010) Definicin de la Transformada Sea f una funcin definida para ,la transformada de Laplace de f(t) se define como cuando tal integral converge. Notas1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracin se considera constante2. La transformada de Laplace convierte una funcin en t en una funcin en la variable s 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin: 1. De orden exponencial2. Continua a trozos (Transformada de Laplace y sus propiedades, 2010) Definicin de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una funcin de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso Esta definicin obliga a que se cumpla:

y

Vibracin mecnica.Los sistemas mecnicos de traslacin pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres elementos bsicos: masas, resortes y amortiguadores, cuyas unidades de medida son, respectivamente, Kg, N/m y Ns/m. En este caso slo tendremos en nuestro sistema masas y resortes.Las variables asociadas son el desplazamiento x(t) (medido en metros) y la fuerza F(t) (medida en Newton). A continuacin se muestra una representacin grfica del sistema mencionado. Figura 1Suponiendo que estamos tratando con resortes ideales (esto es, suponiendo que se comportan linealmente), las relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos en el tiempo t son:

Usando estas relaciones llegamos a las ecuaciones del sistema, las que pueden ser analizadas utilizando las tcnicas de la transformada de Laplace.Ley de Hooke Supongamos que un resorte se suspende verticalmente de un soporte rgido y luego se fija una masa m, a su extremo libre por supuesto la cantidad de alargamiento o elongacin del resorte depende de la masa con pesos diferentes alargamiento el resorte en cantidades diferentes.Por la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitucin, F, opuesta a la direccin del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento (s). En concreto, F = Ks, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este esta caracterizado esencialmente por su nmero kSegunda ley de Newton Despus de unir una masa M a un resorte, sta lo estira una longitud s y llega a una posicin de equilibrio, en la que su peso, W, est equilibrado por la fuerza de restauracin ks. Recurdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slug, kilogramos o gramos respetivamente Como se indica en la figura 2(b),

Figura2La condicin de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posicin de equilibrio, la fuerza de restitucin del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que acten sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza restauradora y el peso:

Ecuacion1El signo negativo de la ecuacin indica que la fuerza de restitucin del resorte acta en la direccin opuesta del movimiento. Adems, podemos adoptar la convencin que los desplazamientos medidos abajo de la posicin de equilibrio son positivos.Movimiento libre no amortiguadoSi dividimos la ecuacin (1) por la masa m, obtendremos la ecuacin diferencial de segundo orden d^2 x/dt^2 + (k/m) x =0, sea

Ecuacion2Donde w^2= k/m. Se dice que la ecuacin (2) describe el movimiento armnico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son x(0) = 0, la cantidad de desplazamiento inicial, y x(0) = 0, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si x> 0, , x1 < 0, la masa parte de un punto abajo de la posicin de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si x (0) = 0, se dice que la masa se libera al partir del reposo.Ecuacin del movimiento para resolver la ecuacin (2) observemos que las soluciones de la ecuacin auxiliar m^2+w^2=0 son los nmeros complejos m1= wi, m2 = -wi As la solucin general de (2) es

Ecuacion3El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 2 /w el numero T representa el tiempo (medidos en segundos que tarda una masa en generar un ciclo de movimiento). Un ciclo es una oscilacin completa la frecuencia de movimiento f=1/w w/2 es el nmero de ciclos completado cada segundo como w tambin se conoce como la frecuencia natural del sistema.Sistemas resorte/masa movimiento libre amortiguamiento El concepto del movimiento armnico libre es un poco irreal porque el movimiento que describe la ecuacin (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa est colgada en un vaco perfecto, cuando menos habr una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Ecuacin de movimiento libre amortiguado En mecnica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantnea. En particular, supondremos en el resto de la descripcin que esta fuerza est expresada por un mltiplo constante de dx/dt Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

Figura3

Ecuacion4Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora acta en direccin opuesta a la del movimiento.Al dividir la ecuacin (5) por la masa m, la ecuacin diferencial del movimiento amortiguado libre es d^2 x/dt^2 + (/m)dx/dt + (k/m) x=0

Ecuacion5

El smbolo 2 se usa solo para conveniencia algebraica porque la ecuacin auxiliar es m + las races correspondientes son entonces m1= , m2= Ahora podemos distinguir tres casos posiblesCASO I; Aqu, se dice que el sistema est sobre amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento , es grande comparado con la constante de resorte, k. La solucin correspondiente es x (t) = c1+ c2Caso II Se dice que el sistema est crticamente amortiguado puesto que cualquier pequea disminucin de la fuerza de amortiguamiento originara un movimiento oscilatorio. La solucin general de la ecuacin (ll)X (t) = c1+ c2tX (t)= (c1+c2t)Caso III En ste caso se dice que el sistema est sub amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeo en comparacin con la constante del resorte. Ahora las races m1 y m2 son complejas:m1= m2= As que la ecuacin general es x(t) = + c2 sen)Sistema Resorte / Masa Movimiento Forzado Ecuacin diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa, f (t), que acta sobre una masa oscilatoria en un resorte por ejemplo, f (t) podra representar una fuerza de impulsin que causara un movimiento oscilatorio vertical del soporte del resorte. La inclusin de y(t) en la formulacin de la segunda ley de Newton da la ecuacin diferencial del movimiento forzado:

Ecucacion6Dividiendo la ecuacin entre m se obtiene

Ecuacion6

Figura4Donde F(t) =f(t)/m y, al igual que en la seccin anterior, 2 = /m, = K/m. Para resolver esta ecuacin no homognea tenemos el mtodo de los coeficientes indeterminados o el de la variacin de parmetros.Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamientoCuando se ejerce una fuerza peridica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solucin de un problema. Veremos tambin que si se ejerce una fuerza peridica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mecnico oscilatorio

Ecuacion6DesarrolloAmortiguador de una motocicleta Un amortiguador de una motocicleta de 200 kg de masa se somete a una velocidad inicial de 1.5m /seg debida a un bache. La constante de amortiguamiento es de 550 N-s/m, y la rigidez 2350N/m.

a) Exprese todas las leyes de la Fsica mecnica a partir de las cuales pueda elaborar un modelo matemtico que describa el movimiento de la masa. Considere el desplazamiento metros y el tiempo en segundos.

En nuestro trabajo integrador nos hemos podido plantear nuestro modelo matemtico por medio de la transformada de Laplace donde hemos planteado El planteamiento que nos podido formular por medio de la transformada de Laplace es la siguiente ecuacin:

b) Encuentre la solucin de dicho problema con valores iniciales. Identifique el trmino correspondiente al estado transitorio (rgimen transitorio) y al estado estable (estado estacionario).

En nuestro planteamiento de condiciones iniciales nos podemos dar cuenta que el ejercicio implcitamente nos proporciona las condiciones iniciales donde esto debemos aplicar como condiciones iniciales en la ecuacin de la transformada de Laplace donde nos da los siguientes datos.

Donde podemos interpretar estos datos como cuando el tiempo es cero el hay un desplazamiento cero y tambin parte el resorte del reposo con una velocidad de 1.5 m/seg, donde tenemos que reemplazar en la ecuacin de nuestro modelo matemtico pero ahora tenemos que resolver por medio de la transformada de Laplace.

Donde por medio de los conocimientos recibidos en la clase con la ayuda de las tablas procedemos a resolver la ecuacin donde esta nos queda de la siguiente manera.

c) Grafique la solucin con escalas adecuadas (tiempos no negativos) aplicando software matemtico.En la siguiente grafica podemos apreciar nuestro modelo matemtico que describe la amortiguacin de la motocicleta cmo se comporta en tiempo donde esto podemos decir la descripcin del resorte con la masa que est sometido.

aqu describe nuestro modelo matemtico que describe la amortiguacin de la moto su comportamiento en el tiempo que es la de color rojo.La grafica de color naranja describe la velocidad de nuestro modelo matemtico donde aqu podemos verificar la velocidad mxima que puede estar sometida.

Fuente: autorFuente: autor

Fuente: autor

Fuente: autorEn esta figura podemos ver la primera parte de nuestra ecuacin la parte del exponencial.

Fuente: autorObservaremos el desplazamiento de la masa respecto al tiempo como tambin la velocidad y su periodo.

d) Analizar con las grficas, tabla de valores y realizar clculos matemticos para determinar lo siguiente : La respuesta del desplazamiento. El perodo de vibracin amortiguada. El desplazamiento mximo de la masa y el instante en que se produce. La velocidad mxima La velocidad inicial mnima que produce un desplazamiento mximo de 250 mm

Desplazamiento mximo de la masa en el instante en que se produce

ty

0.200.21

0.100.13

0.050.037

0.50.247

0.30.25

1.3-0.06

20

2.32.3

dezplasamiento

Velocidad mxima.

tv

0.101.29

0.200.768

1-45

20.115

30.030

0.340.11

La velocidad inicial mnima que produce un desplazamiento mximo de 250 mmy (0) = - 0.66m/sEl perodo de vibracin amortiguada.T=1.833//

CONCLUSIONES La utilizacin de la transformada de Laplace facilita notablemente la resolucin de ecuaciones diferenciales de cualquier orden (en este caso de orden uno), posibilitando un anlisis rpido y certero de cualquier sistema fsico que se presente en el estudio de diversas ramas de la Ingeniera.

Las transformadas de Laplace son muy tiles y mucho ms sencillas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales, por ello se pueden aplicar en cualquier materia en la que haya que resolver dichas ecuaciones, como en nuestro caso, para encontrar la solucin de dicho problema con valores iniciales, nos result ms fcil realizarlo, al utilizar el mtodo de Laplace.

La utilizacin de la transformada de Laplace facilita notablemente la resolucin de ecuaciones diferenciales de cualquier orden (en este caso de orden uno), posibilitando un anlisis rpido y certero de cualquier sistema fsico que se presente en el estudio de diversas ramas de la Ingeniera.

Anexos

Clculo de la ecuacin, para la solucin de nuestro sistema planteado, utilizando la transformada de Laplace.

C.I.

Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuacin quedara lo siguiente:

El periodo de la ecuacion.

BibliografaNagle, R. K. (2005). Transformada de Laplace. En R. K. Nagle, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera 4 edicin (pgs. 347-414). Mxico: Pearson Educacin.Zill, D. G. (2009). Transformada de Laplace. En D. G. Zill, Ecuaciones Direnciales con problemas con valores en la frontera 7ma Edicin (pgs. 255-292). Mxico: Cengage Learning Editores. (2010). TRANSFORMADA DE LAPLACE. TRANSFORMADA DE LAPLACE. Obtenido de http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm

ordoez, reyes, villa18