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TESIS DE LICENCIATURA

Representaciones de los grupos simétricos

Gastón Andrés García

Director: Dr. Nicolás Andruskiewitsch

Codirector: Dr. Fernando Cukierman

Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires

Marzo 2001

Índice general

1. Representaciones Lineales de Grupos Finitos 7

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Completa Reducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Teoría de caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1. Lema de Schur y algunas fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.2. Número de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.3. Propiedades de integriadad de los caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5. Representaciones Inducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.1. Carácter de una representación inducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5.2. Restricción a los subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Representaciones del grupo simétrico 39

2.1. El grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Diagramas, tableros y tabloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Ejemplos de orden parcial entre tabloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Módulos de Specht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4. Base estándar de los módulos de Specht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5. Tabla de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Introducción a las representaciones modulares 67

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2. Grupos de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. El mapa de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

4 ÍNDICE GENERAL

3.3.2. Extensiones de cuerpos de base y grupos de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.4. Caracteres de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4.1. Cuerpos de descomposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4.2. Caracteres de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5. El triángulo de Cartan-Brauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5.1. Envolventes Proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.5.2. La aplicación de Cartan y el triángulo de Cartan-Brauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.3. Propiedades del triángulo de Cartan-Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4. Representaciones modulares del grupo simétrico 109

4.1. Particiones p-regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.2. Representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.3. Factores de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.4. Algunos módulos de Specht irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.5. Matrices de descomposición de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

IntroducciónLa noción de grupo fue introducida por E. Galois hacia 1829, si bien está implícita en obras de Lagrange

y Gauss. Su importancia no fue reconocida durante un largo período, hasta que Felix Klein le dio un lugarfundamental en su interpretación de la geometría no euclideana. A fines del siglo XIX, la teoría de grupos finitosinicia un vigoroso desarrollo a través de los trabajos de Frobenius y Burnside, y más adelante de Schur.

Un problema fundamental de la teoría es determinar todas las representaciones de dimensión finita de ungrupo dado G, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K. Este problema no sólo es interesante en sí mismoy por sus aplicaciones en otros campos, sino que es importante para entender la estructura interna del grupoG. Las posibles soluciones de estos problemas se encuadran en dos casos radicalmente diferentes: cuando lacaracterística del cuerpo es cero o no divide al orden del grupo G, y cuando la característica de K divide alorden de G.

En el primer caso, toda representación es completamente reducible, esto es, es suma directa de representacio-nes irreducibles; donde la cantidad de representaciones irreducibles es igual a la cantidad de clases de conjugacióndel grupo G y las dimensiones de las representaciones irreducibles dividen al orden del grupo. Este materiales expuesto en el capítulo 1. Sin embargo, el problema de describir explícitamente todas las representacionesirreducibles del grupo fijo G es mucho más complicado en cada caso particular. El caso fundamental del gruposimétrico Sn es estudiado en detalle en el capítulo 2.

En el segundo caso, es decir cuando la característica del cuerpo divide a orden del grupo, hay representacionesque no son completamente reducibles y la teoría es mucho más difícil. En este trabajo, esencialmente en elcapítulo 3, nos concentramos en estudiar las representaciones irreducibles del grupo G usando el método deBrauer. A fin de completar el estudio de las representaciones irreducibles del grupo simétrico, exponemos enel último capítulo la descripción de éstas sobre cuerpos de característica positiva. Si bien no se conoce dichadescipción en forma explícita para todos los grupos simétricos, con lo visto aquí nos alcanza para exponer lasrepresentaciones modulares de S5 sobre F2, F3 y F5.

Capítulo 1

Representaciones Lineales de GruposFinitos

En este capítulo analizaremos las representaciones lineales de grupos finitos sobre un cuerpo K. Exceptuandolas primeras nociones básicas, supondremos a partir del lema de Schur que K es algebraicamente cerrado. Seránde suma importancia las condiciones sobre la característica del cuerpo, aunque en gran parte de esta sección sesupondrá que la característica es cero. En tal caso, sin pérdida de generalidad, supondremos que el cuerpo esC. Comenzaremos con algunas definiciones y propiedades básicas de la teoría.

1.1. Definiciones

En lo que sigue, K será un cuerpo.

Definición 1 Sean G un grupo y V un espacio vectorial sobre K. Una representación lineal de G en Ves un homomorfismo ρ del grupo G en el grupo GL(V) de isomorfismos de V. Es decir, a cada elemento x ∈ Gse le asocia un elemento ρ(x) ∈ GL(V ) de modo que

ρ(st) = ρ(s)ρ(t), ∀ s, t ∈ G .

Es claro que si e es el elemento neutro de G se tiene que

ρ(e) = I y que ρ(s−1) = (ρ(s))−1.

Se notará (ρ, V ) para enfatizar el hecho de que la representación ρ de G es sobre el espacio lineal V. A dichoespacio lineal V se lo llamará espacio de representación y a su dimensión el grado de la representación.

Definición 2 Sean G un grupo y X un conjunto. Una acción de G sobre X es un homomorfismo s : G→S(X), donde S(X) es el grupo de permutaciones de elementos de X. Esto es, a cada elemento g ∈ G se le asignauna aplicación biyectiva s(g) del conjunto X en sí mismo tal que

s(g1g2) = s(g1)s(g2), ∀ g1, g2 ∈ G.

7

8 CAPÍTULO 1. REPRESENTACIONES LINEALES DE GRUPOS FINITOS

Cuando es claro a qué acción nos referimos, notaremos gx en lugar de s(g)(x). Si X tiene una estructura deespacio vectorial sobre K, decimos que la acción es lineal si s(g) ∈ GL(X). Esto implica que

g(v + w) = g(v) + g(w), ∀ v, w ∈ X, g ∈ G,g(λv) = λg(v), ∀ λ ∈ K, g ∈ G.

En este caso, X se denomina un G-módulo. Basta recordar la definición 1 para ver que esta estructura deG-módulo define una representación (s,X) de G sobre X. Recíprocamente, si (ρ, V ) es una representación de G,entonces V adquiere una estructura de G-módulo, donde la acción de G sobre V esta definida por el morfismoρ tal que gv = ρ(g)(v), ∀g ∈ G, v ∈ V . Cuando sea conveniente, usaremos esta correspondencia para notarlas representaciones como G-módulos.

Sea (ρ, V ) una representación de G de grado finito. Tomemos (ei) una base de V y sea R(s) la matriz deρ(s) con respecto a esta base, entonces se tiene que

det(R(s)) 6= 0, R(st) = R(s)R(t), s, t ∈ G.

Si rij(s) son los coeficientes de la matriz R(s), la segunda fórmula se escribe

rik(st) =∑j rij(s).rjk(t), para todo i, k.

Recíprocamente, si disponemos de matrices inversibles R(s) = (rij(s)) que verifican las identidades anteriorestenemos una representación lineal ρ de G en V. En este caso diremos que se tiene una representación en formamatricial de G en V.

Definición 3 Sean (ρ, V′) y (ρ

′, V′) dos representaciones lineales de un grupo G en dos espacios vectoriales

sobre K, V y V′respectivamente. Un morfismo de representaciones es una aplicación lineal ϕ : V → V

′de

K espacios vectoriales que verificaϕρ(s) = ρ

′(s)ϕ ∀ s ∈ G.

Es decir, ϕ transforma ρ en ρ′; a esta aplicación frecuentemente se la llama entrelazamiento. De acuerdo a

la notación de G-módulos, los morfismos de representaciones son aplicaciones lineales que preservan la acciónde G sobre V , por tanto se los llamará morfismos de G-módulos o directamente G-morfismos.

La definición anterior es más clara si se ve de la siguiente manera: si (ρ, V ) y (ρ′, V′) se dan en forma

matricial por R(s) y R′(s) respectivamente, el morfismo se traduce en una matriz T tal que

TR(s) = R′(s)T ∀ s ∈ G.

Si ϕ resulta ser un isomorfismo lineal, diremos que es un isomorfismo de representaciones y en este caso parala forma matricial se tiene que, al ser T una matriz inversible, la siguiente identidad

R′(s) = TR(s)T−1 ∀ s ∈ G.

De esta manera, dos representaciones isomorfas se pueden identificar; en particular, tienen el mismo grado.Es claro que si tenemos una representación (ρ, V ) dada en forma matricial con respecto a dos bases distintas deV R(s) y R

′(s), estas representaciones en forma matricial resultan isomorfas, siendo ϕ el isomorfismo dado por

el cambio de base.

Cabe preguntarse cuándo un subespacio W de un espacio V hereda la estructura de G-módulo de V. Paraesto sólo basta que W sea invariante por la acción del grupo G, es decir que W sea un G-submódulo; o seasi w ∈W entonces ρ(s)(w) ∈W,∀ s ∈ G. En efecto, la restricción ρ|W (s) es un automorfismo de W para todo

1.2. EJEMPLOS 9

s ∈ G y como ρ|W (st) = ρ|W (s).ρ|W (t) tenemos que ρ|W : G→ GL(W ) es una representación lineal de G sobreW. En esta situación se dice que (ρ|W ,W ) es una subrepresentación de (ρ, V ).

La palabra representación sugiere que, dada una representación matricial, los elementos del grupo G sepueden ver como matrices o, en otras palabras, que existe un isomorfismo del grupo dado con algún grupode las matrices. En los casos donde el grupo G tiene una estructura complicada, podría resultar que unarepresentación matricial lineal sea la única manera simple de describirlo. Sin embargo, debemos enfatizar queuna representación lineal no siempre da un isomorfismo entre el grupo G y algún subgrupo de GLm(K). Larazón es que una misma matriz puede corresponder a distintos elementos de G, y esto ocurre si y sólo si existenelementos en G distintos del elemento neutro que tiene como imagen a la matriz identidad.

El conjunto de los elementos de G tal que la imagen por la representación matricial R es la matriz identidades un subgrupo normal de G que se denomina el núcleo de la representación R y se denota ker(R). Cuandoocurre que ker(R) = G, es decir, la imagen de todos los elementos de G por R es la matriz identidad, diremosque R es una representación trivial de G.

Sea (ρ, V ) una representación de G sobre K, definimos la componente trivial de G al G-submódulo de Vdado por

W = v ∈ V : ρ(g)(v) = v, ∀ g ∈ G.

1.2. Ejemplos

a) Sea K = C. Una representación de grado 1 de un grupo no es más que un morfismo ρ : G → C∗,donde C∗ es el grupo multiplicativo de los complejos no nulos. Estas representaciones se denominan caracteresmultiplicativos. Como G tiene orden finito, todos sus elementos son de orden finito, luego las imágenes ρ(s) deρ deben ser raíces de la unidad; en particular |ρ(s)| = 1. Por ejemplo, sea Zn el grupo aditivo de los restos dela división por n en Z y consideremos la siguiente representación: sea w ∈ C∗ una raíz n-ésima de la unidad,

ρ : Zn → C∗,ρ(x) = wx, ∀ x ∈ Zn.

En particular, si w1 y w2 son raíces n-ésimas de la unidad tal que w1 6= w2, entonces ρw1 6= ρw2 . En efecto,si ρ1, ρ2 : G→ C∗ son dos representaciones, entonces ρ1

∼= ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2.

Demostración:Una implicación es trivial, demostremos la otra. Si ρ1

∼= ρ2 entonces existe un λ ∈ C tal que ρ1(x).λ = λ.ρ2(x),pero esto implica que ρ1 = ρ2 como se quería demostrar.

b) Sea n el orden de G, y sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n; sea (et)t∈G una base de Vindicada por los elementos de G. Definamos la siguiente representación: si s ∈ G, sea ρ(s) el endomorfismode V que transforma et en est; es claro que resulta una representación lineal de G. Esta representación sellama la representación regular de G. Como es = ρ(s)(e1), los transformados de e1 forman una base de V.Recíprocamente, si (ρ

′,W ) es una representación de G para la cual existe un vector w tal que ρ′(s)(w)s∈G

sea una base de W; entonces W es isomorfa a la representación regular vía el isomorfismo:

τ : V →W,

τ(es) = ρ′(s)(w), ∀ s ∈ G.

Sea M el subespacio de dimensión 1 generado por el elemento x =∑s∈G es. Como ρ(s)(x) = x para todo

s ∈ G , tenemos que (ρ|M ,M) es una subrepresentación de la representación regular, isomorfa a la representación


trivial; en particular, si el orden del grupo es mayor o igual a dos, la representación regular siempre contieneuna subrepresentación propia no nula.

c) Tomemos el grupo diedral de orden 6, D3, generado por dos elementos s y ρ con relaciones

s2 = 1, ρ3 = 1, s.ρ.s = ρ2.

Así D3 = 1, ρ, ρ2, s, s.ρ, s.ρ2. Sea V el espacio vectorial sobre K de dimensión 6 con base

B = v1, vρ, vρ2 , vs, vs.ρ, vs.ρ2

inducido por la representación regular. Luego, la acción de ρ está dada por:

ρ.v1 = vρ, ρ.vρ = vρ2 , ρ.vρ2 = v1

ρ.vs = vs.ρ2 , ρ.vs.ρ = vs, ρ.vs.ρ2 = vs.ρ.

Análogamente se puede dar la acción de s y así conocer la acción del grupo D3 sobre V. Es claro que laforma matricial de la representación dará matrices de permutación para cada elemento x ∈ D3. Por ejemplo, lamatriz R(ρ) ∈ GL(V ) viene dada por:

R(ρ) =

0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0

.

d) Análogamente, consideremos ahora el grupo diedral de orden 2n, Dn definido por los generadores ρ, s conrelaciones s2 = 1, ρn = 1, sρs = ρn−1. Es claro que para definir una representación sólo basta hacerlo sobre losgeneradores, sea entonces τ : Dn → GL(2,R) definida por:

τ(s) =

1 0

0 −1

, τ(ρ) =

cos(2πn ) −sen( 2π

n )

sen( 2πn ) cos( 2π

n )

.

Se deduce de las fórmulas trigonométricas de adición que para todo t, r ∈ R se tiene

cos(t+ r) −sen(t+ r)

sen(t+ r) cos(t+ r)

=

cos(t) −sen(t)

sen(t) cos(t)

cos(r) −sen(r)

sen(r) cos(r)

.

Por tanto, esta representación real se puede ver como los movimientos rígidos de un polígono regular de nlados, donde τ(ρ) es la rotación en un ángulo de 2π

n y τ(s) es la simetría con respecto al eje de las abscisas.

e) Consideremos (ρ1, V1) y (ρ2, V2) dos representaciones de G sobre K. Sabemos que el conjunto V = V1⊕V2

hereda una estructura de K espacio vectorial tomando las operaciones coordenada a coordenada. Análogamente,las acciones de G sobre ambos espacios de representación inducen una representación de G en la suma directadefiniendo la acción de G coordenada a coordenada, es decir ρ(g)(v, w) = (ρ1(g)(v), ρ2(g)(w)). Por tanto, lasuma directa de G-módulos hereda una estructura de G-módulo. Si las dimensiones de V1 y V2 son n y mrespectivamente, la representación (ρ, V1 ⊕ V2) tendrá grado n+m.

1.2. EJEMPLOS 11

f) Sean V1 y V2 espacios vectoriales sobre K. Se llama producto tensorial de V1 y V2 a un K espacio vectorialV1 ⊗ V2 provisto de una aplicación bilineal

V1 × V2 → V1 ⊗ V2,

(x1, x2) 7→ x1 ⊗ x2,

la cual es universal; es decir, para toda aplicación bilineal β : V1×V2 →W , siendoW un K espacio vectorial,existe una única aplicación lineal

ψ : V1 ⊗ V2 →W,

x1 ⊗ x2 7→ β(x1, x2),

tal que el siguiente diagrama resulta conmutativo

V1 × V2//

β%%LLLLLLLLLL V1 ⊗ V2

∃!ψ

W

. (1)

Se demuestra que tal espacio existe y que es único salvo isomorfismos. Es fácil ver que dim(V1 ⊗ V2) =dim(V1).dim(V2)

Si (ρ1, V1) y (ρ2, V2) son dos representaciones lineales de un grupo finito G, de la misma manera que en elejemplo anterior, las acciones de G sobre V1 y V2 inducen sobre el producto tensorial V1⊗ V2 una estructura deG-módulo definida por:

ρ : G→ V1 ⊗ V2,

ρ(s)(x1 ⊗ x2) = ρ1(s)(x1)⊗ ρ2(s)(x2), x1 ∈ V1, x2 ∈ V2.

Es decir, el producto tensorial de G-módulos es un G-módulo.

g) Supongamos que G es un grupo de permutaciones de un conjunto X y KX el espacio vectorial deaplicaciones de X en K. Si f ∈ V y s ∈ G, definimos la acción de G sobre KX como

ρ : G→ KX ,

(ρ(s)(f))(x) = f(s−1x), ∀x ∈ X, s ∈ G.

Como ρ(s)(f + g) = ρ(s)(f) + ρ(s)(g) y ρ(s)(λf) = λρ(s)(f), tenemos que ρ(s) depende linealmente de f ;es decir, ρ(s) es un automorfismo lineal de KX en si mismo ∀ s ∈ G. Más aún, se tiene que

(ρ(st)(f))(x) = f((st)−1x)

= f(t−1s−1x)

= (ρ(t)(f))(s−1x)

= (ρ(s)ρ(t)(f))(x), ∀ s, t ∈ G, x ∈ X, f ∈ KX .


Por tanto, KX tiene una estructura de G-módulo.

h) Observar que KX admite ciertos subespacios que son naturalmente G-submódulos. Por ejemplo,

1) K(X) = f ∈ KX / sop(f) es finitoEn efecto, el hecho de que K(X) sea un G-submódulo se deduce de la igualdad sop(ρ(g)f) = g.(sop(f)); es

decir que ρ(g)(f) tiene soporte finito ∀ g ∈ G, f ∈ K(X) y por tanto ρ(g)(f) ∈ K(X), ∀ g ∈ G.2) Si K = C y X es un espacio topológico, decimos que una representación es continua si vale que el

isomorfismo ρ(g) es continuo como función de KX en KX para todo g ∈ G. Luego, el subespacio de KX

definido por C(X,C) = f : X → C : f es continua resulta ser un G-submódulo.

3) En el caso particular de que X sea un espacio vectorial sobre K, sea

X∗ = f : X → K : f es lineal sobre K.

Si la acción de G es lineal sobre X, este subespacio de KX es claramente invariante por la acción de G y larepresentación que induce se denomina la representación dual de G sobre X.

1.3. Completa Reducibilidad

Recordando un poco de álgebra lineal, dado un espacio vectorial V de dimensión finita y un subespacio W,siempre se podía encontrar un subespacio W

′tal que V = W ⊕W ′

. Mas aún, W′es el núcleo de la proyección

π : V → W , donde π(x) = w , para todo x = w + w′ ∈ V . Recíprocamente, sea π ∈ GL(V ) una proyección,

es decir π2 = π, siempre se tiene que V = ker(π) ⊕ im(π). Si la proyección es sobre W , entonces W = im(π)y de aquí se deduce que V es suma directa de W más el núcleo de esta aplicación lineal π. De esta manera seestablece una correspondencia biunívoca entre los proyectores de V sobre W y los complementos W

′de W en

V. En esta sección veremos que si W tiene una estructura de G-módulo y la característica del cuerpo no divideal orden del grupo, entonces se puede encontrar un subespacio complementario que sea invariante por la acciónde G.

Para entender mejor la noción de completa reducibilidad comencemos con un ejemplo. Sea Zn el grupoaditivo de las clases de restos modulo n. Consideremos la representación:

ρ : Zn → GLm(C),ρ(1) = T, T ∈ GLm(C).

Al ser ρ un morfismo, se debe tener que Tn = I. Fijando la base canónica de Cm, asociemos a cadaisomorfismo de GLm(C) su matriz inversible de m × m. Luego, al isomorfismo T le corresponde una matrizinversible M tal que Mn = I. Por tanto, su polinomio característico q divide a p = Xn − 1. Como las raíces dep son todas de multiplicidad 1, se tiene que las raíces de q son todas de multiplicidad 1. Por tanto, M resultadiagonalizable y sus autovalores son raíces n-ésimas de la unidad. Luego, ∃ P ∈ GLm(C) tal que PMP−1 = Ddonde D es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos en la diagonal principal son las raíces de p. De estose deduce que PM i = DiP para todo i ∈ Z.

Esto dice que si consideramos ρ′

: Zn → GLm(C) definida por ρ′(x) = Dx, tenemos que P es un isomorfismo

de representaciones. Luego podemos identificar ρ con ρ′.

Al ser D diagonal, es fácil ver que

ρ′

= ρw1 ⊕ ρw2 ⊕ ...........⊕ ρwm ,

1.3. COMPLETA REDUCIBILIDAD 13

aquí los wi, i = 1, ...,m son los elementos de la diagonal de D y (ρwi ,C) son los caracteres multiplicativos dadospor ρwi(x) = wi

x, ∀ x ∈ Zn. Por tanto, tenemos que

ρ ∼= ρw1 ⊕ ρw2 ⊕ ...........⊕ ρwm .

En conclusión, toda representación (ρ,Cm) de Zn es isomorfa a una suma directa de ρw1 , ......, ρwm , donde wison raíces n-esimas de la unidad. Más aún, por el ejemplo a) tenemos que ρwi ∼= ρwj si y sólo si wi = wj , ∀ i, j.

El siguiente teorema es esencial para mostrar que ésta es la situación general, es decir que toda representaciónsobre un cuerpo K de característica cero se puede escribir como suma directa de otras más simples.

Teorema 1.1 (Teorema de Maschke).

Sean G un grupo finito, K un cuerpo cuya característica no divide al orden del grupo y V un K espaciovectorial. Sean ρ : G → GL(V ) una representación lineal de G en V y W un subespacio vectorial de V establepor la acción de G. Existe entonces un complemento W 0 de W en V que es estable por la acción de G.

Demostración:Sea n el orden de G. Sabemos que existe un subespacio V

′en V que es complemento de W. Sea π el proyector

de V sobre W tal que V ′ es su núcleo. Es claro que V = W ⊕V ′ , pero V ′ no tiene porque ser un G-submódulo.Para encontrar un complemento invariante por la acción de G, tomemos el promedio π0 de los transformadosde π por los elementos de G:

π0 =1n

∑

t∈Gρ(t)π ρ(t)−1

Como π manda V en W y ρ(t) deja invariante W para todo t ∈ G, entonces π0 manda V en W. Por otrolado, si x ∈ W , ρ(t)−1(x) ∈ W , de donde se tiene que π ρ(t)−1(x) = ρ(t)−1(x) y que ρ(t)π ρ(t)−1(x) = x, osea que π0(x) = x. En particular, se deduce que π02 = π0. Luego, π0 es un proyector de V sobre W al cual lecorresponde un cierto subespacioW 0 complementario de W. Para ver queW 0 es un G-submódulo basta ver quese verifica ρ(t)π0 = π0ρ(t), ∀t ∈ G. En efecto, si x ∈ W 0 y t ∈ G, entonces ρ(t)π0(x) = π0ρ(t)(x), pero comoπ0(x) = 0 tenemos que π0ρ(t)(x) = 0 y esto implica que ρ(t)(x) ∈ W 0, es decir que W 0 es un G-submódulo.Veamos entonces que ρ(s)π0 = π0ρ(s), ∀s ∈ G.

ρ(s)π0ρ(s)−1 = 1n

∑t∈G ρ(s)ρ(t)π ρ(t)−1

ρ(s)−1

= 1n

∑t∈G ρ(st)π ρ(st)−1

= π0.

Observación: Manteniendo las notaciones y las hipótesis del teorema anterior, sea x ∈ V y sean w y w0 susproyecciones sobre W y W 0 respectivamente. Entonces, ρ(s)(x) = ρ(s)(w+w0) = ρ(s)(w) + ρ(s)(w0); como Wy W 0 son invariantes por la acción de G, ρ(s)(w) ∈ W y ρ(s)(w0) ∈ W 0 y por tanto ρ(s)(w) y ρ(s)(w0) sonlas proyecciones de ρ(s)(x). De ello se deduce que las representaciones W y W 0 son suficientes para conocer larepresentación V, ya que V = W ⊕W 0 y todo elemento de V se identifica con un par (w,w0) tal que w ∈ Wy w0 ∈ W 0. Si ambas subrepresentaciones se dan en forma matricial por R(s) y R0(s), la forma matricial deV = W ⊕W 0 viene dada por (

R(s) 00 R0(s)

). (2)

Definición 4 Una representación lineal (ρ, V ) de un grupo G se dice irreducible si V 6= 0 y V no contienesubespacios estables por la acción de G, excepto 0 y V. Es decir, V no contiene G-submódulos no triviales.


Observación: Si la característica del grupo no divide al orden de G entonces la definición anterior, equivale adecir que V no es suma directa de dos G-submódulos propios.

Con esta definición queda claro entonces que toda representación de grado 1 resulta irreducible. Al principiode esta sección vimos como toda representación de Zn se descompone como suma directa de representacionesirreducibles de dimensión 1. Más adelante veremos que esto se cumple para todo G grupo abeliano finito.

Teorema 1.2 Sean G un grupo finito y K un cuerpo tal que su característica no divide al orden de G. Todarepresentación de G de dimensi’on finita es suma directa de representaciones irreducibles.

Demostración:Se demuestra este resultado por inducción sobre la dimensión de V. Si dim(V)=0, no hay nada que demostrar.Supongamos que dim(V ) ≥ 1 y que el teorema vale para todo V tal que dim(V ) < n. Si (ρ, V ) es irreducibleno hay nada que probar. Si (ρ, V ) no es irreducible, entonces V contiene a un G-submódulo V

′propio, por el

teorema 1.1 y la observación que le sigue, sabemos que existe V′′un G-submódulo de V tal que V = V

′ ⊕ V ′′ ,donde dim(V

′) < dim(V ) y dim(V

′′) < dim(V ). Por hipótesis inductiva tenemos que (ρV ′ , V

′) y (ρV ′′ , V

′′) son

suma directa de representaciones irreducibles, por tanto, al ser V suma directa de estas dos, resulta ser que (ρ, V )es también suma directa de representaciones irreducibles, como se quería demostrar.

Observación: Usando el lema de Zorn, es fácil ver que toda representación de G de dimensión infinta es sumadirecta de representaciones irreducibles.

Observación: Podemos preguntarnos si la descomposición que nos da el teorema anterior es única. Es claroque para la representación trivial ρ(s) = 1 para todo s ∈ G esto no es así, ya que todo espacio vectorial se puededescomponer como suma directa de rectas y éstas no están unívocamente determinadas. Sin embargo veremosmás adelante que el número de representaciones irreducibles isomorfas a una representación irreducible dada nodepende de la descomposición elegida.

Observación: Si consideramos a las representaciones de G como G-módulos, el teorema anterior dice que, si lacaracterística del cuerpo no divide al orden del grupo, entonces todo G-módulo es suma directa de G-submódulossimples.

Definición 5 Sea K un anillo conmutativo y G un grupo. Consideremos el conjunto

K[G] =∑

g∈G λg.g : λg ∈ K, con λg = 0, salvo finitos g,

con las siguientes operaciones:∑g∈G λg.g +

∑g∈G µg.g =

∑g∈G(λg + µg).g,

(∑g∈G λg.g )(

∑g∈G µg.g) =

∑g∈G(

∑h,k∈G, h.k=g λh.µk)g.

Es claro que, con las operaciones antes definidas, K[G] resulta un anillo con unidad 1.e, tal que e es elelemento neutro del grupo. Más aún, K[G] es una K-álgebra sobre G que se denomina el álgebra de grupo deG.

Sea (ρ, V ) una representación de G sobre K. Entonces el espacio de representación V hereda una estructurade K[G]-módulo a izquierda vía la acción:

(∑g∈G λg.g)(v) :=

∑g∈G λg.ρ(g)v, ∀ v ∈M, g ∈ G.

1.3. COMPLETA REDUCIBILIDAD 15

De esta manera, toda representación es un K[G]-módulo. Recíprocamente, dado M un K[G]-módulo, seinduce sobre M una representación de G, es decir, M resulta ser un espacio de representación de G. La acciónde G está dada por

ρ(g).v = (1.g).v, ∀ g ∈ G, v ∈M.

Los axiomas que definen la representación se verifican fácilmente por tener M una estructura de K[G]-módulo.

Sean (ρ, V ) la representación regular de un grupo finito G y (eg)g∈G una base de V indexada por elementosde G. El K[G]-módulo inducido por la representación regular resulta isomorfo a K[G] como módulo a izquierdasobre si mismo, via el isomorfismo de K[G]-módulos inducido por la aplicación τ(eg) = g sobre la base de V .Es decir, si extendemos la definición de la aplicación sobre la base en forma lineal sobre K tenemos que

τ : V → K[G],τ(∑g∈G λg.eg) =

∑g∈G λg.g.

Además, nos queda que el isomorfismo τ conmuta con la acción de G. En efecto,

h.τ(eg) = h.g = hg = τ(ehg) = τ(h.eg).

Por tanto, τ resulta un isomorfismo de K[G]-módulos.

En conclusión, si consideramos a toda representación de G como un K[G]-módulo, el teorema anterior nosdice que todo K[G]-módulo de dimensión finita es suma directa de K[G]-módulos simples. Esto quiere decirque, si la característica del cuerpo no divide al orden del grupo, el álgebra de grupo K[G] resulta semisimple.

Consideremos ahora algunos ejemplos para entender mejor la relación del álgebra de grupo con la represen-tación regular de G:

a) Consideremos el espacio vectorial de dimensión finita

(K[G])∗ = f : K[G]→ K : f es lineal.

Luego, por la definición del álgebra de grupo K[G], para conocer un elemento de este conjunto basta condecir cuanto vale sobre los elementos de G; en particular, si f ∈ KG definimos f ∈ (K[G])∗ por

f(∑g∈G λg.g) =

∑g∈G λg.f(g).

De esta manera, se tiene una aplicación entre KG y (K[G])∗ que por definición resulta un isomorfismo lineal.Por tanto, se tiene que KG ∼= (K[G])∗, como G-módulos.

b) La estructura de grupo de G induce un endomorfismo ρ tal que

ρ : G→ G,

ρ(s)(t) = s−1ts, ∀ s, t ∈ G.

De manera muy semejante al ejemplo anterior, este endomorfismo define sobre K[G] una acción lineal delgrupo definida por:

g.(∑x∈G λx.x) = (

∑x∈G λx.ρ(g)(x)) =

∑x∈G λx.g

−1.x.g, ∀ g ∈ G.

Por tanto, se tiene una representación de G (ad,K[G]) dada por

ad(s)(t) = s−1ts, ∀ s, t ∈ G,


que se denomina la representación adjunta.

Para finalizar la discusión de completa reducibilidad, veremos que si la característica del cuerpo K no divideal orden del grupo, toda representación irreducible de G es isomorfa a una subrepresentación de la representaciónregular. De esta manera se podría conocer el número de representaciones irreducibles. En la siguiente secciónse desarrollará una herramienta muy útil para este propósito.

Teorema 1.3 Sean G un grupo finito y K un cuerpo tal que su característica no divide al orden de G. Todarepresentación irreducible (ρ, S) de G es isomorfa a una subrepresentación de la representación regular.

Demostración:Sea S el espacio de representación y sea x ∈ S no nulo. Notaremos la acción de G sobre S como ρ(g)(t) =g.t, ∀ t ∈ S. Consideremos

K[G]x = ∑g∈G λg(g.x) : λg ∈ K.

Es claro que K[G]x es invariante por la acción de G y que x ∈ K[G]x. Al ser (ρ, S) irreducible y K[G]xun G-submódulo de S, tenemos que K[G]x = S. Sea (ϕ, V ) la representación regular de G, y sea π : V → Sla aplicación lineal suryectiva definida de la siguiente manera: si w ∈ V , entonces w se escribe de la forma∑g∈G λg.vg para ciertos λg ∈ K. Entonces sea

π(∑g∈G λg.vg) :=

∑g∈G λg(g.x).

Mediante un simple cálculo se puede ver que π conmuta con la accíon de G, es decir, π resulta ser unmorfismo de representaciones. En efecto,

π(h.∑g∈G λg.vg) = π(

∑g∈G λgh.vg) = π(

∑g∈G λg.vhg)

=∑g∈G λg(h.g.x) = h.(

∑g∈G λg.(g.x))

= h.π(∑g∈G λg.vg).

Sea K=ker(π), siguiendo la demostración del teorema de completa reducibilidad se sigue que K es un G-módulo que admite un complemento L, invariante por la acción de G tal que V = K ⊕ L.

Sea f:= π|L : L → S la aplicación lineal definida por la restricción de π al subespacio L. Como ker(f)=0,se tiene que f es un inyectiva. Al ser S irreducible, f 6= 0 e im(f) un G-submódulo de S, se tiene que im(f)=Slo que implica que f es suryectiva. Por tanto, f resulta ser un isomorfismo de G-módulos entre L y S, es decir,(ρ, S) es isomorfa a una subrepresentación de la representación regular.

1.4. Teoría de caracteres

Una vez que sabemos que toda representación de un grupo finito G sobre un cuerpo K, tal que su caracterís-tica no divide al orden del grupo, nos interesa conocer la cantidad de representaciones irreducibles involucradasen la descomposición en suma directa y la cantidad de sumandos isomorfos a una representación irreducibledada. Para encontrar los G-submódulos simples de un G-módulo V, basta con encontrar subespacios invariantespor la acción de G, que resulten irreducibles como espacios de representación. Estos son fáciles de hallar unavez que se conocen los autovectores asociados a los isomorfismos ρ(x),∀ x ∈ G. Sin embargo, veremos que sóloes necesario conocer la suma de los autovalores de cada uno de ellos.

1.4. TEORÍA DE CARACTERES 17

Definición 6 Si (ρ, V ) es una representación de G, su carácter χV es una función a valores complejossobre el grupo G definida por

χV (g) = Tr(ρ|V (g)).

En particular, cuando la representación es de dimensión 1, los isomorfismos ρ(g) son escalares no nulos∀ g ∈ G. Luego, el carácter está definido por χ(g) = ρ(g) y verifica que χ(gh) = χ(g)χ(h), ∀ h, g ∈ G. Por tanto,el carácter resulta un morfismo de grupos entre G y el grupo de los escalares no nulos de K; es decir, χ es uncarácter multiplicativo.

La aparición de la traza en la definición aporta importantes propiedades:

Proposición 1.1 Si χ es el carácter de una representación ρ de dimensión n, entonces

a) χ(1) = n,

b) χ(s−1) = χ(s),c) χ(tst−1) = χ(s).

Demostración:a) Como ρ(1) = I y Tr(I) = n por ser V de dimensión n, es claro que χ(1) = n.

b) Al ser G de orden finito y ρ una representación, tenemos que ρ(s) es de orden finito para todo s ∈ G. Luegosus autovalores λ1, ........., λn son raíces de la unidad de módulo 1. Entonces

χ(s) = Tr(ρ(s)) =∑ni=1 λi

=∑ni=1 λi

−1 = Tr(ρ(s)−1)

= χ(s−1).

Para demostrar c) no hace falta más que agregar que para todo par A, B de endomorfismos de GL(V) secumple la fórmula Tr(AB) = Tr(BA).

Definición 7 Decimos que una función f sobre G es una función central si cumple que f(st) = f(ts) ∀ s, t ∈G.

Observación: Equivalentemente, f es una función central si verifica que f(t−1st) = f(s). En particular, lafunción resulta constante sobre las orbitas definidas por la acción de G sobre sí mismo a través de la conjugación.Por este motivo también se las suele llamar función de clases.

Proposición 1.2 Sean (ρ1, V1) y (ρ2, V2) dos representaciones lineales de G, y sean χV1 y χV2 sus caracteres.Entonces

a) El carácter χV1⊕V2 de la representación suma directa V1 ⊕ V2 viene dado por χV1 + χV2 .

b) El carácter χV1⊗V2 de la representación producto tensorial V1 ⊗ V2 viene dado por χV1 .χV2 .

Demostración:Expresemos ρ1 y ρ2 en forma matricial R1 y R2 para tener un mejor manejo de sus caracteres. Como vimosantes, la forma matricial de V1 ⊕ V2 es (

R1(s) 00 R2(s)

), (3)


de donde se deduce fácilmente que Tr(R(s)) = Tr(R1(S)) + Tr(R2(s)) ∀ s ∈ G, es decir que

χV1⊕V2(s) = χ1(s) + χ2(s).

Para demostrar b) fijemos uini=1 y vimi=1 bases de V1 y V2 respectivamente, tal que las formas matricialessean de la forma R1(s) = (rij) y R2(s) = (tij). Luego, ui ⊗ vji,j es una base para el producto tensorial y si

R1(s)(ui) =∑nk=1 rik(s).uk, R2(s)(vj) =

∑ml=1 tjl(s).vl,

entoncesR(s)(ui ⊗ vj) = R1(s)(ui)⊗R2(s)(vj)

=∑nk=1 rik(s).uk ⊗

∑ml=1 tjl(s).vl

=∑k,l rik.rjl(s).uk ⊗ vl.

Por definición se tiene que

χV1(s) =∑ni=1 rii(s), χV2(s) =

∑mj=1 tjj(s),

χV1⊗V2(s) =∑i,j rii.tjj(s) = (

∑ni=1 rii(s)).(

∑mj=1 tjj(s)).

Por tanto, tenemos que χV1⊗V2(s) = χV1(s).χV2(s) como se quería probar.

1.4.1. Lema de Schur y algunas fórmulas

Salvo que se mencione lo contrario, supondremos de aquí en más que el cuerpo es algebraicamente cerrado.

Lema 1.1 (Lema de Schur).

Sean (ρ1, V1) y (ρ2, V2) dos representaciones irreducibles de G y sea f una aplicación lineal de V1 en V2 talque ρ2(s)f = fρ1(s) ∀s ∈ G.

a) Si (ρ1, V1) y (ρ2, V2) no son isomorfas, entonces f=0.

b) Si V1 = V2 y ρ1 = ρ2, entonces f es una homotecia, es decir, un múltiplo escalar de la identidad.

Demostración:Si f = 0 no hay nada que demostrar. Supongamos que f 6= 0 y sea N su núcleo. Dado x ∈ N , ρ2(s)(f(x)) =f(ρ1(s)(x)) = 0, esto implica que ρ1(s)(x) ∈ N ∀ s ∈ G, y esto implica que N es G-estable. Como V1 es unespacio de representación irreducible, debe ser que N = V1 o N = 0. El primer caso fue descartado desde elprincipio, por tanto N=0 y f resulta un monomorfismo. El mismo argumento muestra que si M es la imagen def, entonces M = V2 o M = 0; el segundo caso es el mismo que el primero anterior que fue descartado, luegodebe ser que M = V2, es decir f es un epimorfismo. Por tanto, f es un isomorfismo de V1 en V2 quedando laparte a) demostrada.

Supongamos ahora que V1 = V2 y que ρ1 = ρ2. Al estar trabajando sobre un cuerpo algebraicamente cerrado,sabemos que existe un λ ∈ K que es un autovalor de f. Sea f

′= f−λ.I; como λ es un valor propio de f, tenemos

que el núcleo N de f′es no nulo. Por otra parte, es claro que ρ2(s)f

′= f

′ρ1(s) ∀ s ∈ G, es decir, f ′ conmuta

con la acción de G. Siguiendo los razonamientos anteriores se deduce que N = V1 y por tanto f′

= f − λ.I = 0.


Es decir, f es una homotecia.

A partír de ahora, supondremos que la característica del cuerpo es cero y que g = |G|, el orden de G.

Corolario 1.1 Sean (ρ1, V1) y (ρ2, V2) dos representaciones irreducibles de G sobre K. Sea h una aplicaciónlineal de V1 en V2 y sea

h0 = 1g

∑t∈G(ρ2(t))−1hρ1(t).

Entonces

a) Si (ρ1, V1) y (ρ2, V2) no son isomorfas, entonces h0 = 0.

b) Si V1 = V2, ρ1 = ρ2, entonces h0 es una homotecia de razón 1nTr(h), siendo n = dim(V1).

Demostración:Gran parte del corolario se deduce de manera inmediata del lema de Schur verificando simplemente la condiciónρ2(s)h0 = h0ρ1(s) ∀ s ∈ G. Veamos

(ρ2(s))−1h0ρ1(s) = 1g

∑t∈G(ρ2(s))−1(ρ2(t))−1hρ1(t)ρ1(s)

= 1g

∑t∈G(ρ2(ts))−1hρ1(ts)

= h0.

En el caso que h0 6= 0, V1 = V2 y ρ1 = ρ2, tenemos que h0 es un escalar por la identidad. Luego, Tr(λ.I) = n.λy como

Tr(h0) = 1g

∑t∈G Tr((ρ2(t))−1.h.ρ1(t))

= 1g

∑t∈G Tr(h)

= Tr(h),

tenemos que n.λ = Tr(h). Por tanto debe ser λ = Tr(h)n .

Veamos ahora que significa el corolario 1.1 cuando las representaciones (ρ1, V1) y (ρ2, V2) se dan en formamatricial, R1(s) = (rij(s)) y R2(s) = (tkl(s)).

Corolario 1.2 Supongamos que, tomando las bases correspondientes a cada espacio, la matriz de la aplica-ción lineal h definida anteriormente es de la forma (xki) y la matriz de h0 es de la forma (x0

ki). Entonces,

i) En las condiciones del ítem a) del corolario anterior tenemos que

1g

∑s,j,l tkl(s

−1).rji(s) = 0, cualesquiera que sean i, j, k, l.

ii) En las condiciones del ítem b) del corolario anterior tenemos que

1g

∑s,j,l tkl(s

−1).rji(s) = 1nδki.δlj

=

1n si i = k y j = l0 en otro caso


Demostración:Por la definición de h0 se tiene que

x0i2i1

= 1g

∑s,j,k tkl(s

−1).xlj .rji(s).

El segundo miembro de esta igualdad es una forma lineal en las variables xlj ; en el caso del ítem a) tenemosque esta forma lineal se anula para todo sistema de valores xlj , por tanto sus coeficientes deben ser nulos, esdecir

1g

∑s,j,l tkl(s

−1).rji(s) = 0, cualesquiera que sean i, k, j, l.

Suponiendo ciertas las condiciones del ítem b) tenemos que h0 = λ.I, es decir, x0ki = λ.δki donde λ = Tr(h)

n .Entonces

λ = 1n

∑δlj .xlj .

Considerando las igualdades anteriores se deduce que

x0ki = 1

g

∑s,j,l tkl(s

−1).xlj .rji(s) = 1n

∑j,l δki.δlj .xlj .

Por tanto, igualando coeficiente a coeficiente se obtiene

1g

∑s,j,l tkl(s

−1).rji(s) = 1n

∑j,l δki.δlj ,

como se quería probar.

Supongamos por un momento que K = C. Eligiendo convenientemente una base, podemos suponer que lasmatrices (tkl(s)) son unitarias. Entonces tenemos que tkl(s−1) = tkl(s), por tanto el corolario anterior se puedever como relaciones de ortogonalidad de caracteres. Para ello, debemos introducir una noción de productointerno:

Sean ϕ y ψ dos funciones de G a valores complejos, definimos entonces una aplicación

(−,−) : CG × CG → C,

(ψ,ϕ) = 1g

∑t∈G ψ(t)ϕ(t), siendo g el orden de G.

Es claro que esta aplicación es lineal en la primera variable, semilineal en la segunda y que (ϕ,ϕ) > 0 siϕ 6= 0; en particular, resulta un producto escalar.

Teorema 1.4 a) Si χV es el carácter de una representación irreducible (ρ, V ), entonces

(χV , χV ) = 1.

b) Si χV y χV ′ son dos caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas, entonces (χV , χV ′ ) = 0.

Demostración:Supongamos que la dimensión del espacio de representación V es n. Luego, teniendo en cuenta la definición deproducto interno, tenemos que

(χV , χV ) = 1g

∑t∈G χV (t)χV (t) = 1

g

∑t∈G χV (t)χV (t−1).


Si consideramos ρ en forma matricial R(t) = (rij(t)), tenemos que χ(t) =∑t∈G rii(t) deduciéndose entonces

la siguiente igualdad:(χV , χV ) = 1

g

∑t,i,j rii(t)rjj(t

−1).

Por el corolario anterior sabemos que 1g

∑t∈G rii(t)rjj(t

−1) es igual a 0 si i 6= j y 1n si i = j, entonces se

tiene que1g

∑t,i,j rii(t)rjj(t

−1) = 1g

∑t,i

1n = 1

g

∑t∈G 1 = 1.

Por tanto (χV , χV ) = 1, como se quería demostrar.

Análogamente, se demuestra la parte b) escribiendo la igualdad en forma matricial y usando el corolarioanterior. En efecto, si (ρ, V ) y (ρ

′, V′) son dos representaciones irreducibles no isomorfas cuyas formas matriciales

viene dadas por R(s) = (rij)ij y R′(s) = (r

′ij)ij respectivamente, por la parte a) del corolario anterior vale que

(χV , χV ′ ) = 1g

∑t,i,j rii(t)rjj

′(t−1) = 0, para todo i, j.

Es decir, χV y χV ′ son ortogonales con respecto a este producto escalar.

Este teorema nos da una forma de conocer la cantidad de representaciones isomorfas a una representaciónirreducible dada:

Teorema 1.5 Sea (ρ, V ) una representación lineal de G de carácter χV , y descompongamos a V en sumadirecta de G-módulos simples.

V = W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wk.

Entonces, si (ρ,W ) es una representación irreducible de carácter χW , el número de Wi isomorfas a W vienedado por (χW , χV ).

Demostración:Por la proposición 1.2 sabemos que el carácter χV se escribe de la forma

χV = χW1 + χW2 + · · ·+ χWk.

Por tanto (χW , χV ) = (χW , χW1) + (χW , χW2) + · · · + (χW , χWk) y por el teorema anterior sabemos que

(χW , χWi) es 1 si son isomorfas y 0 si no lo son, luego (χW , χV ) da la cantidad de Wi que son isomorfas a W.

Observación: Como el producto escalar antes definido es independiente de la descomposición en suma directade representaciones irreducibles, tenemos que el número de representaciones irreducibles (ρi,Wi) isomorfas a(ρ,W ) no depende de la descomposición elegida. A este número se lo llama multiplicidad de W en V o “númerode veces que W está en V”. De esta manera, se adquiere un sentido de unicidad en la descomposición en sumadirecta de representaciones irreducibles.

Sean χ1, χ2, ......., χk los caracteres de las clases de isomorfismos de representaciones irreducibles de G y(ρ1,W1), (ρ2,W2), ........, (ρk,Wk) representantes para cada clase, de grados n1, ......, nk respectivamente.

Entonces, todo espacio de representación V es isomorfo a una suma directa

V ∼= m1W1 ⊕m2W2 ⊕ . . .⊕mkWk, donde mi ∈ N.


Luego, el carácter χV de (ρ, V ) es igual a m1χ1 + m2χ2 + ....... + mkχk, donde mi = (χV , χi). Por lasrelaciones de ortogonalidad se tiene que

(χV , χV ) =∑ki=1m

2i .

Esto da lugar al siguiente teorema que provee un criterio de irreducibilidad muy útil:

Teorema 1.6 Si χV es el carácter de una representación (ρ, V ), entonces (χV , χV ) = 1 si y sólo si V esirreducible

Demostración:Si (χV , χV ) =

∑ki=1m

2i = 1 entonces debe ser que uno de los mi es igual a 1 y todo los demás son nulos. Luego

χV = χi y por el corolario 1.3 tenemos que V ∼= Wi, es decir, (ρ, V ) es irreducible.

Si (ρ, V ) es irreducible, por el teorema 1.4 tenemos que (χV , χV ) = 1 como se quería demostrar.

Definición 8 Sean (ρ, V ) una representación de G, (ρ,W ) una subrepresentación irreducible. Supongamosque la descomposición de V en suma directa de irreducible es V = W1 ⊕W2 ⊕ . . . ⊕Wk y que (ρi,Wi), coni = 1, . . . , s, son representaciones irreducibles de G isomorfas a (ρ,W ). La componente isotípica de tipo Wes el espacio de representación dado por

W =⊕s

i=1Wi, Wi∼= W.

Si U es una subrepresentación irreducible de U isomorfa a W , entonces U ⊆ W . En efecto, como U es unarepresentación irreducible y U ∩W es una subrepresentación de U , debe ser que

U ∩W = 0 ó U ∩W = U.

Luego, si U no está incluida en W tenemos que U ∩W = 0; en particular, queda definido el siguiente G-módulo W ∗ = W ⊕ U . Al ser el espacio de representaciones completamente reducible (car(K) = 0), existe unG-submódulo U

′de V tal que V = W ∗⊕U ′ . Por definición, sabemos que U

′no contiene ninguna representación

irreducible isomorfa aW , luego tenemos una nueva descomposición de V en suma directa V =⊕s

i=1Wi⊕U⊕U ′ ,que tiene distinta cantidad de representaciones irreducibles isomorfas a W , lo cual es absurdo. Por tanto, debeser que U ⊆W .

En particular, del párrafo anterior se deduce que la componente isotípica no depende de la descomposiciónen suma directa de representaciones irreducibles.

De esta manera, se obtiene una descomposición de la representación regular que no depende de elecciones derepresentantes de clases de isomorfismos de representaciones irreducibles. Esta es la descomposición canónicade la representación regular (V, ρ) y está dada por

V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vk, donde Vi son las componentes isotípicas de V.

Además de poder reconocer si una representación es irreducible a través de su carácter, también podemosdeterminar si dos representaciones dadas son isomorfas o no.

Corolario 1.3 Dos representaciones (ρ1, V ) y (ρ2,W ) son isomorfas si y sólo si tienen el mismo carácter.

Demostración:Sean (ρ1, V ) y (ρ2,W ) dos representaciones de G sobre K. Si las representaciones son isomorfas entonces


existe un isomorfismo τ : V → W tal que ρ2(s)τ = τρ1(s),∀ s ∈ G. Luego, Tr(ρ2(s)) = Tr(τρ1(s)τ−1) =Tr(ρ1(s)), ∀ s ∈ G, es decir que χV (s) = χW (s).

Si ambas representaciones tienen el mismo carácter, por el teorema anterior contienen el mismo númerode veces a cualquier representación irreducible dada. Esto dice que sus descomposiciones en suma directa derepresentaciones irreducibles son isomorfas; en particular, las representaciones resultan isomorfas.

Estos resultados confirman la idea de que, cuando el cuerpo es algebraicamente cerrado y su característicano divide al orden del grupo, el carácter de una representación “caracteriza” dicha representación, permitiendode esta forma reducir el estudio de representaciones al de caracteres.

Lema 1.2 Sean V un G-módulo y (Vi)1≤i≤n una familia de G-submódulos de V irreducibles tales que Vi noes isomorfa a Vj , si i 6= j. Entonces la suma

∑ni=1 Vi es una suma directa.

Demostración:Demostraremos el lema por inducción en la cantidad de elementos de la familia. Si la cantidad de submódulosirreducibles es 1, es decir, si V1 es irreducible, no hay nada que probar. Supongamos que es cierto para n yprobémoslo para n+ 1, o sea, que

∑n+1i=1 Vi es una suma directa. Es claro que

∑n+1i=1 Vi =

∑ni=1 Vi + Vn+1

=⊕n

i=1 Vi + Vn+1.

Luego, para demostrar que la suma es directa, basta probar que Vn+1 ∩∑ni=1 Vi = 0. Sean χi los caracteres

irreducibles correspondientes a los espacios de representación Vi, donde 1 ≤ i ≤ n + 1. Entonces, es claro queel carácter correspondiente al espacio de representación

∑ni=1 Vi está dado por

∑ni=1 χi. Por tanto,

(∑ni=1 χi, χn+1) =

∑ni=1(χi, χn+1) = 0,

puesto que los espacios de representación Vi, 1 ≤ i ≤ n + 1 son no isomorfos entre sí. En particular, sededuce que la suma

∑n+1i=1 Vi es directa.

Como una consecuencia inmediata del lema anterior tenemos el siguiente

Corolario 1.4 Si (Vi)1≤i≤N es una familia de G-submódulos irreducibles de V , tales que Vi no es isomorfoa Vj , si i 6= j, entonces N ≤ dim(V ).

Demostración:Supongamos que Vi es un G-módulo simple no nulo, luego 1 ≤ dim(Vi). Entonces

N = 1 + 1 + · · ·+ 1 ≤ ∑ni=1 dim(Vi) ≤ dim(V ).

Sabemos que toda representación irreducible es isomorfa a una subrepresentación de la representación regular(ρ, V ); en particular si el grupo tiene orden finito, entonces la dimensión del espacio de representación V es finitay del corolario anterior se deduce que

Corolario 1.5 Hay sólo un número finito de clases de isomorfismos de representaciones irreducibles.


Se sigue que hay un número finito de caracteres irreducibles. Esto también surge de las relaciones de orto-gonalidad (χV , χW ) = δV, W , si V, W son irreducibles, puesto que

χV : V es irreducible,

es un sistema ortonormal de funciones de clases.

Notemos que toda la información que necesitamos sobre las representaciones de G viene dada por unarepresentación, luego basta conocer bien esta representación para caracterizar al grupo. Analicemos entoncesalgunos hechos sobre la representación regular:

Proposición 1.3 El carácter ϕ de la representación regular viene dado por la siguiente fórmula:

ϕ(1) = g, siendo g el orden de G.ϕ(s) = 0, si s 6= 1.

Demostración:Sea V un espacio vectorial de dimensión g, fijemos una base (es)s∈G indexada por elementos de G. La repre-sentación regular viene dada por su acción sobre la base: ρ(t)(es) = ets. Si t 6= 1 entonces ts 6= s, ∀ s ∈ G y portanto, los elementos de la diagonal de la matriz de ρ(t) son todos nulos; en particular Tr(ρ(t)) = 0, es decir,ϕ(t) = 0 para todo t 6= 1 ∈ G. Si t=1, se tiene que ρ(1)(es) = es, por tanto Tr(ρ(1)) = g, es decir ϕ(1) = g.

Antes dijimos que toda representación irreducible es isomorfa a una subrepresentación de la representaciónregular y que la cantidad de estas representaciones es finita. Esto quiere decir que toda representación irreducibleestá contenida por lo menos una vez en la representación regular y hay a lo sumo tantas como el orden delgrupo, si éste es finito. El siguiente corolario da la cantidad de veces que la regular lo contiene:

Corolario 1.6 Cada representación irreducible (ρi,Wi) está contenida en la representación regular un nú-mero de veces igual a su grado ni.

Demostración:Por el teorema 1.5, este número viene dado por (χi, ϕ), donde ϕ es el carácter de la representación regular.Luego,

(χi, ϕ) = 1g

∑t∈G χi(t)ϕ(t−1) = 1

gχi(1)g = χi(1) = ni

De esta manera, si V es el espacio de representación de dimensión n inducido por la representación regularse tiene que

V ∼= n1W1 ⊕ n2W2 ⊕ . . .⊕ nkWk.

y por tanto su carácter seráϕ = n1χ1 + · · ·+ nkχk. (4)

Luego, usando las relaciones de ortogonalidad se deduce que∑ki=1 n

2i = g.

En efecto, aplicada a 1 la igualdad (4) nos da que g = ϕ(1) =∑ki=1 niχi(1) =

∑ki=1 n

2i . La igualdad

anterior desempeña un papel importante en la teoría ya que permite saber cuando se encuentran todas lasrepresentaciones irreducibles del grupo G.


Resumamos en un ejemplo lo visto hasta aquí: Sea S3 el grupo de permutaciones de tres elementos. Hallemostodas las representaciones irreducibles de S3 sobre C.

Sabemos que el orden del grupo es 3! = 6, entonces si W1, . . . ,Wk son las representaciones irreducibles degrados n1, . . . , nk respectivamente, debe ser que 6 = n1

2 + · · ·+ nk2.

La idea es encontrar algunas representaciones irreducibles y luego probar que son todas. Consideremosprimero la representación trivial de G sobre un espacio U de dimensión 1. Entonces ρU : S3 → C∗ y estadefinida por ρ(σ) = 1, ∀ σ ∈ S3. Por ser unidimensional, esta representación resulta irreducible; en particular severifica trivialmente que (χU , χU ) = 1. En efecto,

(χU , χU ) = 16

∑σ∈S3 χU (σ)χU (σ−1) = 1

6

∑σ∈S3 1 = 1.

Para encontrar las representaciones irreducibles restantes, definiremos a continuación representaciones delgrupo simétrico Sn para todo n sobre un cuerpo arbitrario K. En particular, estas definiciones nos darán losS3-módulos simples que estamos buscando.

Por diversos motivos que se verán más adelante, a cada permutación queremos asociarle un signo ±1 demanera tal que quede definido un morfismo de grupos. Hay varias maneras de hacer esto, sin embargo, loharemos de la manera tradicional evitando demostraciones engorrosas.

Sean σ ∈ Sn y e1, . . . , en la base canónica de Zn. Consideremos la transformación lineal π(σ) definida por

π(σ) : Zn → Zn, (π(σ))(ei) = eσ(i).

Definimos entonces la función signo sg : Sn → ±1 de la siguiente manera

sg(σ) = det(π(σ)).

Es claro que la función signo resulta un morfismo de grupos y, por ser el determinante una función multilinealy alternada, para toda trasposición τ ∈ Sn se verifica que sg(τ) = −1.

En particular, si σ = τ1τ2 . . . τm es un producto de trasposiciones, entonces sg(σ) = (−1)m. Por una cuestiónde terminología, llamaremos a las permutaciones pares si sg(σ) = 1 e impares si sg(σ) = −1. Las permutacionespares constituyen el núcleo de sg, que se denomina el grupo alternado An.

El morfismo sobre Sn se denomina la función signo o signatura. Como el morfismo no depende de la escri-tura de la permutación σ como producto de ciclos, su cálculo es bastante fácil, ya que como toda permutación sepuede escribir como producto de trasposiciones, su signatura será (−1)m, siendo m la cantidad de trasposicionesinvolucradas en la escritura.

Consideremos ahora la representación sobre un espacio U′de dimensión 1, dada por

ρU ′ (σ) = sg(σ),

Esta representación de Sn se denomina la representación signo; de manera análoga a la representacióntrivial es una representación irreducible por ser unidimensional.

Si n es impar y el cuerpo K es de característica cero, estas dos representaciones resultan no isomorfas, yaque todo isomorfismo lineal sobre K es un múltiplo escalar de la identidad y estas dos representaciones no sonuna múltiplo de la otra.

De esta manera, como suponemos que K = C en nuestro ejemplo, hemos encontrado otro S3-módulo irre-ducible. Para encontrar todas las representaciones irreducibles de S3 no isomorfas entre sí basta encontrar unarepresentación irreducible de dimensión 2 o cuatro representaciones irreducibles de dimensión 1 no isomorfasentre sí, ni a las anteriores.


Consideremos el subespacio de Kn definido por:

V = (x1, . . . , xn) ∈ K3 : x1 + · · ·+ xn = 0.

La acción de Sn sobre V está dada por:

ρV : Sn → GL(V ),

ρV (σ)(x1, . . . , xn) = (xσ(1), . . . , xσ(n)).

Es claro que V es de dimensión n−1 y que la acción de G es estable sobre V . Por tanto, (ρV , V ) resulta unarepresentación de G de grado n− 1 sobre K. Esta representación se denomina la representación estándar deSn.

Veamos que ésta es una representación irreducible de S3 si K = C. Sea χV su carácter. Luego basta verificarque (χV , χV ) = 1. Por definición, sabemos que

χV (σ) = Tr(ρV (σ)|V ) y que (χV , χV ) =∑σ∈S3 χV (σ)χV (σ).

Entonces, fijemos una base de V y calculemos la traza de cada elemento ρV (σ), σ ∈ S3. Sea B =(1, 0,−1), (0, 1,−1), mediante un simple cálculo se puede ver que B es base de V y que la forma matri-cial de ρV y su carácter χV están dados por:

ρV (id) =(

1 00 1

), χV (id) = 2,

ρV (1 2) =(

0 11 0

), χV (1 2) = 0,

ρV (1 3) =( −1 −1

0 1

), χV (1 3) = 0,

ρV (2 3) =(

1 0−1 −1

), χV (2 3) = 0,

ρV (1 2 3) =( −1 −1

1 0

), χV (1 2 3) = −1,

ρV (1 3 2) =(

0 1−1 −1

), χV (1 3 2) = −1.

Por tanto se tiene que (χV , χV ) = 16

∑σ∈S3 χV (σ)χV (σ) = 1; en particular, V resulta irreducible.

Observar que ésta es la representación discutida anteriormente para D3∼= S3 la cual da las permutaciones

de un triángulo equilátero. Veremos más adelante que la representación estándar de Sn es una representaciónirreducible de dimensión n− 1, siempre y cuando la característica del cuerpo no divide al orden del grupo.

Entonces, si W es el espacio de representación de dimensión 6 inducido por la representación regular y ϕ sucarácter, debe ser que

W ∼= U ⊕ U ′ ⊕ 2V,

ϕ = χU + χU ′ + 2χV .

En consecuencia, tenemos que la representación trivial (ρU , U), la representación signo (ρU ′ , U′) y la repre-

sentación estándar (ρV , V ) son todas las representaciones irreducibles de S3 sobre C salvo isomorfismos.


1.4.2. Número de representaciones irreducibles

En el parágrafo anterior vimos que la cantidad de clases de isomorfismo de representaciones irreducibles deun grupo finito es finita y es igual a la cantidad de clases de isomorfismos de subrepresentaciones irreduciblesde la representación regular. Como otra aplicación del lema de Schur y de la teoría de caracteres daremos sunúmero exacto. Recordamos que g = |G| y que K es algebraicamente cerrado y de característica cero.

Proposición 1.4 Sean f una función de clases definida en G y (ρ, V ) una representación lineal de G. Seaρf el endomorfismo de V definido por la fórmula:

ρf =∑t∈G f(t)ρ(t).

Si V es irreducible, de grado n y de carácter χV , entonces ρf es una homotecia de razón λ, donde

λ = 1n

∑t∈G f(t)χV (t) = g

n (χV , f).

Demostración:Por el lema se Schur, sabemos que ρf es una homotecia si se verifica que ρ(s)ρf = ρfρ(s), ∀ s ∈ G. Por tanto,calculemos (ρ(s))−1ρfρ(s):

(ρ(s))−1ρfρ(s) =∑t∈G f(t)(ρ(s))−1ρ(t)ρ(s) =

∑t∈G f(t)(ρ(s−1ts)),

si tomamos u = s−1ts y lo aplicamos a la igualdad anterior, tenemos que

(ρ(s))−1ρfρ(s) =∑u∈G f(sus−1)ρ(u)

=∑u∈G f(t)ρ(u)

= ρf , ∀ s ∈ G.

Como la traza de una homotecia de razón λ debe ser λ.n y la traza de ρf es

Tr(ρf ) =∑t∈G f(t)Tr(ρ(t)) =

∑t∈G f(t)χV (t),

debe ser queλ = 1

n

∑t∈G f(t)Tr(ρ(t)) = g

n (χV , f),

como se quería demostrar.

Consideremos el espacio vectorial H de las funciones de clases de G. Es claro que los caracteres χ1, ...., χkde las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles de G son elementos de H; más aún, veremosque forman una base de este espacio vectorial.

Teorema 1.7 Los caracteres χ1, ...., χk de las clases de isomorfismo de las representaciones irreduciblesforman una base ortonormal de H.

Demostración:Por el teorema 1.4 sabemos que los caracteres χ1, ..., χk forman un sistema ortonormal con respecto al productointerno que se definió en las secciones anteriores. Luego, falta sólo demostrar que este sistema es completo.


Supongamos que existe una función f ∈ H que es ortonormal a χj ,∀ j = 1, ..., k y demostremos que debe sernula.

Sea (ρ, V ) una representación de G, y sea ρf definido por:

ρf =∑t∈G f(t)ρ(t).

La proposición anterior muestra que ρf es nula si V es irreducible; se V no es irreducible, decomponiéndoloes suma directa de irreducibles se deduce que ρf es nula sobre V .

Apliquemos este resultado a la representación regular (ρ,R) y calculemos la imagen del vector e1 de la basepor ρf :

ρf (e1) =∑t∈G f(t)ρ(t)(e1) =

∑t∈G f(t)et.

Como ρf es nula sobre R, esta igualdad implica que f(t) = 0, ∀ t ∈ G; es decir que f es nula y entoncesχ1, ....., χk es un sistema ortonormal.

Recordemos la acción de G sobre sí mismo dada por la representación adjunta, esto es

ad(s)(t) = s−1ts,∀ s, t ∈ G.

Esta acción se denomina conjugación y divide a G en órbitas de conjugación. Si un elemento de G es imagende otro por la representación adjunta, diremos que estos elementos son conjugados.

Teorema 1.8 El número de clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de G es igual al nú-mero de clases de conjugación de G. En particular, la cantidad de clases de isomorfismo de representacionesirreducibles divide al orden de G.

Demostración:Supongamos que C1, ......, Ch son las clases de conjugación de G. Es fácil ver que una función f es de clasessi y sólo si es constante en cada una de las clases C1, ......, Ch. En consecuencia, tal función esta determinadapor h valores λ1, ...., λh que se pueden elegir arbitrariamente. Por tanto, la dimensión del espacio vectorial Hde funciones de clases es igual a h. Por otra parte, debido al teorema anterior, sabemos que esta dimensión esigual a la cantidad de clases de isomorfismo de representaciones irreducibles, luego debe ser que h = k como sequería demostrar.

Como rápida consecuencia del teorema se obtiene algunas fórmulas:

Sean s ∈ G, cs el número de elementos de la clase de conjugación de s y fs la función que asigna el valor 1a todo elemento de esta clase y 0 a los demás. Por definición esta función resulta de clases, por tanto se tieneque existen x1, ....xk ∈ K tal que

fs =∑hi=1 xiχi, donde xi = (fs, χi) = cs

g χi(s).

Entonces, para todo t ∈ G vale que

fs(t) = csg

∑hi=1 χi(s)χi(t).

Luego, por la definición de fs, tenemos que∑hi=1 χi(s)χi(t) = cs

g , si t ∈ Cs,∑hi=1 χi(s)χi(t) = 0 si t /∈ Cs.


Una aplicación del teorema anterior es la siguiente:

Proposición 1.5 Sea G un grupo finito. G es conmutativo si y sólo si todas sus representaciones irreduciblesson de dimensión 1.

Demostración:Supongamos que G es conmutativo y que (ρ, V ) es una representación irreducible de G, luego st = ts,∀ s, t ∈ G,y como ρ es un morfismo de grupos, vale que ρ(s)ρ(t) = ρ(t)ρ(s),∀ s, t ∈ G. Según el lema de Schur, ρ(t) es unahomotecia para todo t ∈ G y por tanto todo subespacio vectorial de V es estable por la acción de G; como Ves irreducible debe ser que dim(V ) = 1.

Supongamos ahora que todas las representaciones de G son de dimensión 1 y probemos que G es conmu-tativo. Si g es el orden de G, entonces g =

∑ni

2, donde los ni designan los grados de las representacionesirreducibles. Como aquí los ni son todos iguales a 1, se deduce que la cantidad de clases de isomorfismo derepresentaciones irreducibles es igual a g. Por otra parte, sabemos que este número es igual a la cantidad declases de conjugación de G, por tanto hay tantas clases de conjugación como elementos de G y esto sólo esposible si G es conmutativo.

Sea V una representación de G de dimensión finita. Por lo hecho anteriormente, sabemos que el carácter χVde V es una combinación lineal de coeficientes positivos de los caracteres de las representaciones irreducibles.Veremos en los siguientes capítulos que es bastante productivo extender la idea al caso en que los coeficientesson enteros no necesariamente positivos. Este paso significativo fue tomado por Brauer, en su trabajo sobre laaplicación de la teoría de representaciones aplicada al estudio de las L- funciones de Artin. Definimos entonces

ch KG =⊕

i Z · χi = ∑i aiχi : ai ∈ Z.

Definición 9 A los elementos de ch KG los llamaremos caracteres virtuales de G sobre K.

Es fácil ver que este conjunto tiene una estructura de anillo, cuyas operaciones están inducidas por la sumadirecta y el producto tensorial de las representaciones de G sobre K.

Para facilitar el manejo de las representaciones de un grupo finito G dado, se suele incorporar toda lainformación básica de los caracteres de las representaciones irreducibles de G en una tabla. Esta tabla sedenomina tabla de caracteres. Veamos como se construye a través de un ejemplo:

Sea G=S3 el grupo de permutaciones de tres elementos. Sabemos que su orden es 3! = 6 y que las representa-ciones irreducibles son la trivial (ρU , U) y la representación signo (ρ

′U , U

′), ambos de grado 1 y la representación

estándar (ρV , V ) de grado 2, cuyos caracteres son χU , χU ′ , χV respectivamente.

La tabla se compone de las clases de conjugación Ci de G (usualmente dadas por un elemento de la clase),en el borde superior, la cantidad de elementos en cada clase de conjugación sobre ésta, los G-módulos simplessobre el borde izquierdo y en cada lugar correspondiente, el valor de los caracteres χW evaluados en cada clasede conjugación Ci.

Sabemos que S3 tiene tres clases de conjugación dadas por C1 = [id], C2 = [1 2], C3 = [1 2 3]. Es claro que,por ser (ρU , U) la representación trivial, χU toma los valores (1, 1, 1) en las clases de conjugación, mientras queel carácter χU ′ de la representación signo toma los valores (1, -1, 1). Por un ejemplo anterior, sabemos que elcarácter χV de la representación estándar viene dado por (2, 0, -1). En conclusión, la tabla de caracteres será:

1 3 2S3 id (1 2) (1 2 3)

la trivial U 1 1 1signo U

′1 −1 1

la estándar V 2 0 −1

.


1.4.3. Propiedades de integriadad de los caracteres

Definición 10 Sean R un anillo conmutativo y A una R-álgebra. Decimos que un elemento α ∈ A esíntegro sobre R si existe un polinomio mónico f(X) ∈ R[X] tal que f(α) = 0.

Diremos que un elemento s de K es íntegro si s es íntegro sobre Z. Por ejemplo, es bien sabido que si a ∈ Qes un elemento íntegro entonces a ∈ Z.

Proposición 1.6 Si χ es el carácter de una representación ρ de G, entonces χ(s) es íntegro para todo s ∈ G.

Demostración:Por definición, χ(s) es la traza del endomorfismo ρ(s), que es igual a la suma de autovalores de ρ(s). Si g = |G|,entonces ρ(s)g = ρ(sg) = I, lo cual implica que los autovalores de ρ(s) son raíces de la unidad y por tantoelementos íntegros. Se sabe que los elementos íntegros forman un subanillo de K; en particular, χ(s) es íntegro.

Proposición 1.7 Sean χ el carácter de una representación irreducible ρ de grado d, y C una clase deconjugación de G. Entonces 1

d

∑s∈C χ(s) es íntegro.

Demostración:Sea CentK(G) y CentZ(G) los centros deK[G] y Z[G], respectivamente. Es claro que los elementos eC =

∑s∈C s

forman una base de CentK(G). Por otra parte, eC ∈ CentZ(G), que es un Z-módulo de tipo finito; entonces eCresulta ser un elemento íntegro. Ahora bien, por ser ρ una representación de G, define un morfismo

ρ : K[G]→ End(W ).

Por el lema de Schur, la imagen de CentK(G) por este morfismo sólo contiene homotecias. Entonces ρ(eC) =λI, siendo λ un elemento íntegro. Tomando trazas a ambos lados de la igualdad tenemos

d · λ =∑

s∈Cχ(s),

de dondeλ =

1d

∑

s∈Cχ(s),

lo cual demuestra la proposición.

Daremos a continuación un importante teorema que facilita la búsqueda de representaciones irreducibles.

Teorema 1.9 (Frobenius).

Sean G un grupo finito de orden g y W un espacio de representación irreducible de G de dimensión d.Entonces d es un divisor de g.

Demostración:Si χ es el carácter asociado a la representación (ρ, W ), sabemos que (χ, χ) = 1; al explicitar esta igualdad

1.5. REPRESENTACIONES INDUCIDAS 31

obtenemosgd = 1

d

∑s∈G χ(s−1)χ(s)

= 1d

∑C∈C(

∑s∈C χ(s−1)χ(C))

= 1d

∑C∈C χ(C)

∑s∈C χ(s−1),

que podemos poner en la formag

d=∑

C

χ(s−1)(∑

t∈C

χ(t)d

),

El segundo miembro de la igualdad anterior es íntegro por las proposiciones antes demostradas. Como gd ∈ Q,

tenemos que gd ∈ Z; por tanto d es un divisor de g, como se quería demostrar.

1.5. Representaciones Inducidas

Si H es un subgrupo de G, cualquier representación (ρ, V ) de G se restringe a una representación de H,que se denota ResGH V o simplemente Res V , si H está fijo. En esta sección describiremos una importanteconstrucción que produce representaciones de G de las representaciones de H. Supongamos que (ρ, V ) es unarepresentación de G, y W un subespacio de V que es invariante por la acción de H, i.e. h.W = W ∀h ∈ H. Paracualquier g ∈ G, el subespacio g.W = g.w : w ∈ W depende únicamente de la coclase a izquierda gH de gmódulo H, ya que gh.W = g.(h.W ) = g.W, ∀ h ∈ H. Para una coclase σ ∈ G/H = gH : g ∈ G, escribimosσ.W para denotar este subespacio de V .

Definición 11 Sean V una representación de G, y W ⊆ V un subespacio H-invariante. Decimos que Vestá inducida por W si todo elemento de V se puede escribir de manera única como suma de elementos delos trasladados σ.W , es decir,

V =⊕

σ∈G/H σ.W.

En este caso, escribimos V = IndGH W = Ind W .

Ejemplos

a) La representación de permutación asociada a la acción a izquierda de G sobre G/H es inducida por larepresentación trivial de H sobre W . Donde V tiene base eσ : σ ∈ G/H, y W = C.eH , siendo H la coclasetrivial.

En efecto, W es un subespacio de V que resulta invariante por la acción de H y por definición, sabemos queV =

⊕σ∈G/H C.eσ. Como la acción de G sobre V definida sobre la base está dada por g.eσ = eg.σ = eτ , ∀ g ∈ G,

se tiene que, si σ = g.H para algún g ∈ G,

eσ = eg.H = g.eH = g′.eH , ∀ g, g′ ∈ σ.

Por tanto, V =⊕

σ∈G/H σ.C.eH ; es decir, V = IndGH W.

b) La representación regular (ρ,W ) de H induce la representación regular (ρ, V ) de G. Aquí, la base de Vestá dada por B = eg : g ∈ G mientras que la base de W está dada por BH = eh : h ∈ H.


Resulta evidente que W es un H-submódulo de V ya que la acción de todo elemento x ∈ H permuta loselementos de la base BH . Luego, basta verificar la igualdad

V =⊕

σ∈G/H σ.W .

Por ser V yW espacios de representación de la representación regular sobre G y H respectivamente, tenemosque

V =⊕

g∈G C.eg, W =⊕

h∈H C.eh. (5)

Veamos como actúa una coclase de G/H sobre W : Tomemos un representante gσ de la coclase σ ∈ G/H,entonces gσ.eh = egσh, ∀ h ∈ H. Por tanto, la acción de gσ transforma la base BH en BgσH = egσh : h ∈ H.

Es claro que si gσ′es otro representante de la coclase σ, entonces BgσH = Bgσ ′H . Luego, la base no depende

del representante elegido y por tanto da como resultado una base del espacio σ.W . De las igualdades en (4), sededuce que V =

⊕σ∈G/H σ.W , es decir, V = IndGH W .

Hemos dado dos ejemplos de representaciones de H que inducen representaciones ya conocidas de G. Estolleva a preguntarnos lo siguiente: ¿dada cualquier representación de H, existe la representación inducida de G?.La siguiente proposición no sólo nos da la respuesta, sino que también aporta una manera de construirla.

Proposición 1.8 Existe una representación de G y sólo una (salvo isomorfismos) inducida por una repre-sentación cualquiera de H prefijada.

Demostración:Sea W el espacio de representación de H correspondiente a la representación prefijada, entonces W admiteuna estructura de C[H]-módulo a izquierda. Por otra parte, la inclusión C[H] → C[G] induce sobre C[G] unaestructura de C[H]-módulo a derecha, vía la restricción de la multiplicación a derecha en el álgebra C[G]. Luego,V0 = C[G]⊗C[H] W admite una estructura de C[G]-módulo a izquierda.

El grupo G opera en V0 de la siguiente manera: a cada s ∈ G se le asocia el endomorfismo s ⊗ 1 de V0. Esclaro que, si restringimos esta acción de G a la acción de H, W resulta un C[H]-submódulo de V0. Por otraparte, sabemos que C[G] es un C[H]-módulo libre a derecha, que admite como base un sistema de representantesS de G/H; por tanto V0 =

⊕s∈S s.W , que es lo que se quería probar. La unicidad resulta inmediata, ya que

si V =⊕

σ∈G/H σ.W es otra representación inducida, la inclusión s.W → σ.W sobre cada sumando define unisomorfismo de representaciones de V0 en V .

Por tanto, toda representación (ρ, V ) de G que es inducida por la representación de H es isomorfa a V0, estoes

IndGH W ∼= C[G]⊗C[H] W.

Definición 12 De aquí en adelante, llamaremos a C[G]⊗C[H] W la representación inducida por W .

Usando la construcción de la representación inducida, se deduce su transitividad. Es decir, si G es un grupo,H2 un subgrupo y H1 un subgrupo de H2, entonces la representación de G inducida por la de H1 es equivalentea la representación que se obtiene induciendo primero la de H1 en H2 y luego la de H2 en G.

En efecto, supongamos que (ρ1,W1) es la representación de H1 y que V = IndGH1W1, por tanto debe ser

que V = C[G] ⊗C[H1] W1. Sea W2 = C[H2] ⊗C[H1] W1 la representación de H2 inducida por la de H1 yV′

= C[G]⊗C[H2] W2 la representación de G inducida por la de H2. Debemos ver que V′ ∼= V , y esto se deduce


de un simple cálculo. A saber,

V′

= C[G]⊗C[H2] W2

= C[G]⊗C[H2] (C[H2]⊗C[H1] W1)

∼= C[G]⊗C[H1] W1

∼= V,


Como consecuencia inmediata de la definición tenemos la siguiente proposición.

Proposición 1.9 Sea V una representación de G tal que V =⊕

i Wi, donde

a) G permuta los Wi,

b) G los permuta transitivamente.

Sea H ⊆ G el estabilizador de Wi0 , para un i0 fijo. Entonces H opera en Wi0 , y esta representación inducela representación V de G.

Recordemos que el estabilizador de un espacio de representación W es un subgrupo de G y está definido porg ∈ G : g.w = w, ∀ w ∈W.Observación: Si la representación V es irreducible, la condición b) es consecuencia de la condición a), pues∑s∈G s.Wi0 es un subespacio invariante no nulo de V , y por tanto igual a V .

Para seguir con la descripción de las representaciones inducidas debemos demostrar la siguiente proposiciónde carácter técnico.

Proposición 1.10 Sean W un espacio de representación de H, U un espacio de representación de G, ysupongamos que V = IndGH W . Entonces cualquier morfismo de H-módulos ϕ : W → U se extiende de maneraúnica a un morfismo de G-módulos ϕ : V → U ; es decir,

HomH(W,Res U) ∼= HomG(Ind W,U).

En particular, esta propiedad universal determina Ind W salvo isomorfismos canónicos.

En otras palabras, como la aplicación Ind define un funtor de la categoría HM de H-módulos en la categoríaGM de G-módulos y la aplicación Res un funtor entre las categorías de G-módulos y H-módulos,

Ind : HM→ GM,

Res : GM→ HM,

la proposicíon anterior afirma que los funtores Ind y Res resultan ser funtores adjuntos.

Demostración:Sabemos que V =

⊕σ∈G/H σ.W , luego basta definir ϕ sobre cada espacio σ.W . Entonces, definimos ϕ como la

siguiente composición:

σ.Wg−1σ //W

ϕ //Ugσ //U . (6)


Esta definición no depende del representante gσ ∈ σ debido a que ϕ es H-lineal.

Veamos a través de un simple cálculo que ϕ resulta G-lineal. Para esto, basta verificar que lo es sobre cadaespacio σ.W . Sean g ∈ G, gσ un representante de σ ∈ G/H, y supongamos que g.gσ = gτ , donde τ ∈ G/H.Luego, tenemos que

ϕ(g.gσw) = ϕ(gτw), ∀ w ∈W.

Como gτ .w ∈ τ.W , por definición de la aplicación vale

ϕ(g.gσw) = gτ .ϕ(g−1τ .gτw), ∀ w ∈W,

= gτ .ϕ(w)

= g.gσ.ϕ(w)

= g.ϕ(gσ.w), ∀ w ∈W.

La unicidad se deduce inmediatamente usando la definición sobre los espacios σ.W, σ ∈ G/H.

1.5.1. Carácter de una representación inducida

Sean H un subgrupo de G, (ρ,W ) una representación de H de carácter χW , y V la representación de Ginducida por W ; queremos determinar el carácter χV de V . Un elemento x ∈ G define un automorfismo de Vque permuta los s.W, s ∈ G/H; por consiguiente, su traza es la suma de las trazas de las restricciones de esteautomorfismo a los s.W que deja invariantes, lo cual equivale a la relación s−1xs ∈ H; de donde

χV (x) = TrV (x) =∑s∈G/H, s−1xs∈H Trs.W (x).

De la conmutatividad del diagrama

Ws−1xs //

s

W

s

s.W

x // s.W

(7)

resulta que Trs.W (x) = TrW (s−1xs), ∀x ∈ G, y por tanto

χV (x) = 1|H|∑s∈G, s−1xs∈H TrW (s−1xs). (8)

Por ser los caracteres de las representaciones irreducibles una base ortonormal de las funciones de clases, lafórmula (8) se extiende por linealidad, obteniendo la siguiente definición.

Definición 13 Si f es una función de clases de H definimos la función inducida Ind f como

Ind f(x) = 1|H|∑s∈G, s−1xs∈H f(s−1xs). (9)

Además, si ψ es una función de clases de G, notamos Res ψ a la restricción de la función ψ|H sobre elsubgrupo H.


El siguiente teorema debido a Frobenius muestra la fuerte relación entre ambas funciones.

Teorema 1.10 (Reciprocidad de Frobenius).

Si ϕ y ψ son funciones de clases de H y G respectivamente, entonces los productos escalares (ϕ,Res ψ)H y(Ind ϕ, ψ)G son iguales.

Demostración:La demostración de este teorema consiste en la realización explícita de los cálculos. A saber, de la definición de(Ind ϕ, ψ)G y de Ind ϕ resulta inmediatamente que

(Ind ϕ, ψ)G = 1gh

∑y−1∈G, z−1y−1z∈H ψ(y)ϕ(z−1y−1z),

donde g = orden de G y h = orden de H. Si hacemos el cambio de variables z−1y−1z = x−1, x ∈ H, la igualdadanterior en cuestión es evidente,

(ψ, Ind ϕ)G = 1gh

∑zxz−1∈G, x−1∈H ψ(zxz−1)ϕ(x−1)

= 1gh

∑zxz−1∈G, x−1∈H ψ(x)ϕ(x−1)

= 1gh .g

∑x∈H ψ(x)ϕ(x−1)

= (Res ψ, ϕ)H .

En particular, el teorema anterior se podía haber demostrado en el caso en que ψ y ϕ son caracteres, ya queestos forman una base ortonormal del espacio vectorial de funciones de clases. Sean V1 y V2 son dos espacios derepresentación de G de dimensión finita y χV1 , χV2 sus caracteres. Se deduce fácilmente del lema de Schur y dela definición del producto interno y de sus propiedades la siguiente igualdad:

(χV1 , χV2) = dim HomG (V1, V2). (10)

Sean χV y χW los caracteres de las representaciones (ρ1, V ) de G y (ρ2,W ) de H respectivamente. Entonces,el teorema anterior dice que

(χW , Res χV )H = (Ind χW , χV )G.

Esta igualdad se deduce inmediatamente de la igualdad (10) y de la proposición 1.10. En efecto, tenemosque

(χW , Res χV )H = dim HomH (W,Res V ),

(Ind χW , χV )G = dim HomG (Ind W, V ).

Como HomH(W,Res V ) = HomG(Ind W, V ); en particular tienen la misma dimensión, es decir que

(χW , Res χV )H = (Ind χW , χV )G.


Observación: Este teorema expresa que las aplicaciones Ind y Res son aplicaciones adjuntas respecto de losproductos internos sobre las funciones de clases de H y de G respectivamente.

Un caso particular del teorema 1.10, es la siguiente proposición:

Proposición 1.11 Sean W y V sendas representaciones irreducibles de H y G. Entonces, el número deveces que Res V contiene a W es igual al número de veces que Ind W contiene a V .

La Reciprocidad de Frobenius puede ser usada para encontrar los caracteres de G si los caracteres de H sonconocidos.

Por ejemplo, supongamos que G = S3 y consideremos H = S2 como subgrupo de S3. Es claro que W = V2

el espacio de la representación estándar de S2, resulta isomorfo al espacio U′de la representación signo de

S2. Por otro lado, sabemos que las representaciones irreducibles de S3 son la representación trivial (ρU3 , U3),la representación signo (ρU ′3 , U

′3) y la representación estándar (ρV3 , V3); las cuales restringidas a H dan las

representaciones (ρU2 , U2), (ρU ′2 , U′2) y (ρU2⊕U ′2 , U2 ⊕ U ′2) respectivamente.

En efecto, como tenemos sólo dos órbitas de conjugación en S2, sabemos que hay sólo dos clases de isomorfis-mo de representaciones irreducibles. Como U2 no es isomorfa a U

′2, debe ser que la restricción de V3 es isomorfa

a una suma directa de combinaciones de ambas. Consideremos los subespacios W2 y W′2 de V3 generados por

los vectores (1, 1, −2) y (1, −1, 0) respectivamente. Es claro que estos espacios son estables por la acción deS2 y a través de simples cálculos se deduce que

ResH V3 = W2 ⊕W ′2 = U2 ⊕ U ′2.

Siendo la acción de H sobre W2 la trivial y sobre W′2 la dada por el signo.

Entonces, para calcular IndGH V2, debemos calcular los productos internos

(Ind χV2 , χV3), (Ind χV2 , χU3), y (Ind χV2 , χU ′3).

Por Frobenius sabemos que los podemos calcular de la siguiente manera:

(χV2 , Res χV3) = 1,

(χV2 , Res χU3) = (χV2 , χU2) = 0,

(χV2 , Res χU ′3) = (χV2 , χU ′2

) = 1.

Por tanto, tenemos que IndGH V2 = V3 ⊕ U ′3.

1.5.2. Restricción a los subgrupos

Sean H y K subgrupos de G y (ρ,W ) una representación lineal de H, y V = IndGH W la representacióninducida de G. Nos proponemos determinar la restricción ResK V de V a K.

Elijamos primero un conjunto de representantes S de las clases dobles de G módulo (H,K); es decir, G esla unión disjunta de los conjuntos KsH, s ∈ S. Equivalentemente escribiremos s ∈ K|G/H. Dado s ∈ S, seaHs = sHs−1 ∩K; donde Hs resulta un subgrupo de K.


Si definimosρs(x) = ρ(s−1xs), x ∈ Hs,

obtenemos un homomorfismo ρs : Hs → GL(W ). Al espacio vectorial correspondiente a esta representaciónlineal de Hs lo llamaremos Ws. Como Hs es un subgrupo de K, tenemos definida la representación IndKHs Ws.

Proposición 1.12 La representación ResK IndGH W es isomorfa a la suma directa de las representacionesIndKHs Ws, s ∈ K|G/H.

Demostración:Por ser V una representación inducida, sabemos que es igual a una suma directa de los transformados s.W, s ∈G/H. Sea V (s) el subespacio generado por los transformados x.W, x ∈ KsH; entonces V es suma directa delos espacios V (s), donde dichos espacios son estables por la acción K. Luego, el teorema se reduce a probar queV (s) es K-isomorfa a IndKHs Ws.

El subgrupo de K formado por los elementos x tal que x(s.W ) = s.W es igual a Hs, y V (s) es suma directade los transformados x(s.W ), x ∈ K/Hs; es decir, V (s) = IndKHs s.W . Por tanto, sólo falta ver que s.W es Hs-isomorfa a Ws; pero esto es inmediato, pues el isomorfismo buscado es

s : Ws → s.W, w 7→ s.w, ∀ w ∈Ws.

Cabe preguntarse bajo qué condiciones una representación inducida resulta irreducible. Para responderlo,aplicaremos el caso anterior a K = H. Si s ∈ G, Hs es el subgrupo s−1Hs∩H de H; luego, la representación ρde H define por restricción a Hs una representación Ress ρ.

Proposición 1.13 La representación inducida V = IndGH W es irreducible si y sólo si se verifican lassiguientes condiciones:

a) W es irreducible,

b) Para todo s ∈ G, s /∈ H, las representaciones ρs y ResHs ρ de Hs no tienen ninguna componente encomún (es decir, sus caracteres son ortogonales).

Demostración:Sean χV el carácter de la representación inducida y χW el carácter de la representación de H; donde χV =Ind χW . Por lo hecho hasta ahora, sabemos que V es irreducible si y sólo si (χV , χV )G = 1 y que vale laigualdad (χV , χV )G = dim HomG(V, V ). Por tanto, aplicando la fórmula de Frobenius se tiene que

(χV , χV )G = (Res χV , χW )H .

De acuerdo a la proposición anterior, debe ser que

Res χV =∑x∈H|G/H Ind

HHs

(ρx).

Aplicando otra vez la fórmula de Frobenius se obtiene que

(χV , χV )G =∑x∈H|G/H dx, dx = (ρx, Resx(ρ))Hs .

Para x = 1, dx = (ρ, ρ)Hs ≥ 1. Luego, para que (χV , χV )G = 1 es necesario y suficiente que d1 = 1 y quedx = 0 para todo x 6= 1 módulo (H,H); es decir, para todo x /∈ H. Pero esto es precisamente lo que se pide en


a) y en b).

Para el caso en que H es un subgrupo normal se tiene el siguiente corolario:

Corolario 1.7 Sean H un subgrupo normal de G y (ρ,W ) una representación de H. Entonces V = IndGH Wes irreducible si y sólo si (ρ,W ) es irreducible y no es isomorfa a ninguna de sus represenatciones conjugadasρs, ∀ s /∈ H.

Para finalizar este capítulo, enunciaremos un teorema de Artin y un corolario que caracterizan a los subgruposque inducen las representaciones del grupo G; ambas demostraciones se pueden encontrar en [S].

Recordemos que ch KG es el anillo de caracteres virtuales de G sobre K. Supongamos que K = C y notemosal anillo ch CG simplemente por R(G). Si H es un subgrupo de G, la operación restricción define un morfismode anillos

Res : R(G)→ R(H).

Análogamente, la operación inducción IndGH define un morfismo de anillos

Ind : R(H)→ R(G).

Teorema 1.11 (E. Artin)

Sea X una familia de subgrupos de G. Entonces, son equivalentes

a) La unión de los conjugados de los subgrupos pertenecientes a X es igual a G.

b) La imagen de la aplicación Ind :⊕H∈X R(H)→ R(G) tiene índice finito.

c) Para todo carácter χ de G, existen elementos (ψH)H∈X , ψH ∈ R(H), y un número natural d ≥ 1 talesque

d.χ =∑H∈X Ind

GHψH .

En particular, la familia de los subgrupos cíclicos de G verifica a). Por tanto,

Corolario 1.8 Todo carácter de G es combinación lineal a coeficientes en Q de caracteres inducidos porcaracteres de subgrupos cíclicos de G.

Capítulo 2

Representaciones del grupo simétrico

En este capítulo describiremos las representaciones irreducibles de los grupos simétricos sobre un cuerpoK algebraicamente cerrado y de característica cero. Haremos uso de algunas nociones básicas desarrolladas enel capítulo anterior aunque los grupos simétricos gozan de propiedades especiales que hacen posible que estasección esté, en su gran parte, autocontenida.

La teoría de representaciones de los grupos simétricos fue en un principio estudiada por Frobenius y Schur,y luego desarrollada en una larga serie de trabajos por Young.

Análogamente al capítulo anterior, comenzaremos con algunas definiciones básicas y propiedades correspon-dientes a los grupos simétricos.

2.1. El grupo simétrico

Una función biyectiva del conjunto In = 1, 2, . . . , n en sí mismo se denomina una permutación de nnúmeros. El conjunto de permutaciones de n números, munido de la operación composición usual de funciones,tiene una estructura de grupo. Este grupo se denomina el grupo simétrico de grado n y se denota con Sn; enparticular, Sn está definido para todo n ≥ 0 y su orden es n!. La composición de permutaciones la notaremoscomo la composición de funciones.

Observación: Notar que una función de In en In es biyectiva si y sólo si es inyectiva, si y sólo si es suryectiva.

Más generalmente, dado un conjunto X definimos SX = f : X → X, f biyectiva. Si Y → X, entoncesSY se identifica naturalmente con un subgrupo de SX . En particular, si Y → X, Z → X, siendo Y ∩ Z = 0,entonces el producto cartesiano SY × SZ entre ambos conjuntos también se identifica con un subgrupo de SX .Por ejemplo, S1, 2 × S3, 4 → S4, siendo X = I4, Y = 1, 2 y Z = 3, 4.

En la práctica es común escribir cada permutación σ como

σ =(

1 2 3... ...nσ(1) σ(2) σ(3)... ...σ(n)

).

Si fijamos σ ∈ Sn, tenemos una acción del grupo aditivo Z en In dada por j · x = σj(x). Una órbita de estaacción para x ∈ In es simplemente

Ox = y ∈ In : ∃j, σj(x) = y.

39

40 CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DEL GRUPO SIMÉTRICO

Estas órbitas se denominan ciclos de la permutación σ y se escriben de la siguiente manera

(i1 i2 . . . ik) donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3 . . . σ(ik) = i1.

Luego, In se puede descomponer como una unión disjunta de órbitas dadas por la acción de Z, y por tantocomo una unión disjunta de ciclos. La acción de σ sobre In se representa como el producto de ciclos disjuntos.

Por ejemplo, el ciclo (1 3 2) representa la permutación σ dada por

σ(1) = 3, σ(3) = 2 y σ(2) = 1.

Además tenemos que σ2(1) = 2, y que σ3(1) = 1. Luego, 1, 3, 2 es la órbita de 1 dada por la accíon deZ sobre In.

Consideremos la permutación σ dada por

σ =(

1 2 3 4 53 5 4 1 2

).

Como σ2(1) = 4, σ3(1) = 1, y σ2(2) = 2, las órbitas de 1 y de 2 por la acción de Z son 1, 3, 4 y 2, 5respectivamente; en particular, σ admite la siguiente escritura

σ =(

1 2 3 4 53 5 4 1 2.

)= (1 3 4)(2 5).

Por una cuestión de notación, generalmente los 1-ciclos se omiten cuando se escribe una permutación; enparticular, si una permutación σ intercambia dos números diferentes a, b de In y deja todos los demás fijos,entonces σ se denomina una trasposición y se escribe como σ = (a b). Por ejemplo,

σ =(

1 2 3 4 51 5 3 4 2.

)= (2 5).

Como para todo ciclo (i1 i2... ...n) se tiene que

(i1 i2... ...in) = (i1 i2)(i1 i3)... ...(i1 in),

entonces toda permutación se puede escribir como producto de trasposiciones. Más aún, como cualquier traspo-sición (a b) con a < b se puede escribir como un conjugado de (b−1 b) por τ = (b−2, b−1)(b−3, b−2) . . . (a, a+1),es decir (a b) = τ−1(b− 1 b)τ , se deduce la siguiente propiedad:

Proposición 2.1 Las trasposiciones (x− 1 x) si 1 < x ≤ n generan Sn.

Definición 14 Decimos que λ = (λ1, λ2, . . . , λj) es una partición de n si se cumplen las siguientes condi-ciones

i) λi ∈ N0, ∀ i = 1, ..., j,

ii) λ1 ≥ λ2 ≥ ...... ≥ λj ,

iii)∑ji=1 λi = n.

El conjunto de particiones de n acepta un orden parcial y un orden total, a saber

2.1. EL GRUPO SIMÉTRICO 41

Definición 15 Si µ y λ son particiones de n, decimos que µ domina a λ, y escribimos µ ≥ λ, si para todoj se tiene que ∑j

i=1 µi ≥∑ji=1 λi.

Es claro que este orden es un orden parcial sobre el conjunto de particiones de n. Las relaciones de ordenparcial entre los elementos de las particiones de 6 se muestran en el siguiente arbol:

(6)

(5, 1)

(4, 2)

KKKKKKKKKK

ssssssssss

(3, 3)

KKKKKKKKKK (4, 12)

ssssssssss

(3, 2, 1)

KKKKKKKKKK

ssssssssss

(3, 13)

KKKKKKKKK(23)

ssssssssss

(22, 12)

(2, 14)

(16)

Este orden es el que más se adecúa a nuestro propósito; sin embargo, a menudo utilizaremos un orden total≺ sobre el conjunto de particiones dado por la siguiente definición:

Definición 16 Si µ y λ son particiones de n, escribimos µ λ si y sólo si para el menor j tal que µj 6= λjse tiene que µj ≥ λj. Este orden se denomina el orden lexicográfico.

Es fácil ver que el orden total ≺ contiene al orden parcial <, en el siguiente sentido: si µ > λ entonces µ λ.Sin embargo, la recíproca no es cierta.

A continuación damos la relación de orden total entre los elementos en el conjunto de particiones de 6:

(6) (5, 1) (4, 2) (4, 1, 1) (3, 3) (3, 2, 1) (3, 1, 1, 1)

(2, 2) (2, 2, 1, 1) (2, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1, 1).

Observación: El único uso que se le da a este orden total es para especificar el orden que se toma para ubicarlas columnas en la tabla de caracteres de Sn.


Una permutación σ se dice de tipo λ si las órbitas del grupo generado por σ tienen órdenes λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥λj ; o sea, los ciclos disjuntos de σ tienen longitud λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λj . Por ejemplo, si σ = (1 3 4)(2 5) ∈ S5,entonces σ es de tipo (3, 2, 0, 0, 0, . . .). Para describir los tipos, se usarán algunas abreviaciones como lassiguientes:

(3, 2, 0, 0, 0, . . .) = (3, 2)

(4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, . . .) = (4, 2, 2, 2) = (4, 23).

Esto es, se suprimen los ceros al final del tipo y se indican con exponentes las repeticiones de igual longitud.

Proposición 2.2 Dos elementos σ, τ ∈ Sn son conjugados si y sólo si tienen el mismo tipo.

Demostración:Es claro que si σ y τ son conjugados, entonces las órbitas de los grupos generados por ambos tienen el mismoorden, luego deben tener el mismo tipo. Esto es, si µ ∈ Sn tal que σ = µτµ−1, y τ = τ1τ2 . . . τk entonces

σ = µτ1τ2 . . . τkµ−1

= µτ1µ−1µτ2µ

−1 . . . µτkµ−1.

Como µτiµ−1 es un ciclo disjunto de µτjµ−1 si τi y τj son ciclos disjuntos, la igualdad del tipo se deduce delhecho que el orden de la órbita del grupo generado por τi es el mismo que el de la órbita del grupo generadopor µτiµ−1.

Supongamos ahora que σ y τ tienen el mismo tipo. Descompongamos al conjunto In como unión disjuntade las órbitas determinadas por σ y τ respectivamente. Luego,

In =∐ri=1Xi, donde Xi son órbitas dadas por σ, |Xi| ≤ |Xi+1|,

In =∐si=1X

′i , donde X

′i son órbitas dadas por τ, |X ′i | ≤ |X

′i+1|.

Por tanto, como σ y τ tiene el mismo tipo, debe ser que r = s y que |X ′i | = |Xi| para todo i = 1, ..., r.Elegimos entonces r biyecciones µi : X

′i → Xi tal que cada una hace conmutar al diagrama

X′i

τ //

µi

X′i

µi

Xi σ

// Xi

,

siendoXi = xi, σ(xi), σ2(xi), . . . , σk(xi)

X′i = xi, τ(xi), τ2(xi), . . . , τk(xi).

Luego, definimos µ de la siguiente manera

µ =∐ri=1 µi : In → In.

Claramente se verifica que σ = µτµ−1, ya que se cumple para cada órbita.

Es claro que toda partición se puede ver como el tipo de alguna permutación en Sn. Por tanto, se tiene elsiguiente

2.2. DIAGRAMAS, TABLEROS Y TABLOIDES 43

Corolario 2.1 El número de clases de conjugación de Sn es igual al número de particiones de n.

Sabemos que, para todo grupo finito G, el número de clases de isomorfismo de C[G]-módulos simples es igualal número de clases de conjugación de G, entonces

Corolario 2.2 La cantidad de clases de isomorfismo de representaciones irreducibles de Sn es igual alnúmero de particiones de n.

Por tanto, nuestro objetivo es construir una representación irreducible de Sn para cada partición dada.

Ejemplo

Existe una representación natural de Sn, n ≥ 2, que se desprende del hecho que este grupo permuta loselementos del conjunto In. Consideremos un espacio vectorial W sobre K de dimensión n, cuya base esté dadapor ciertos vectores e1, e2, . . . , en. Dejemos actuar Sn sobre la base por σ(ei) = eσ(i); extendiendo esta acciónlinealmente se obtiene una representación del grupo simétrico que denotaremos M (n−1, 1). Este Sn-módulo, engeneral, no resulta irreducible ya que es fácil encontrar un Sn-submódulo propio de M (n−1, 1); en efecto, elsubespacio vectorial U de W generado por el elemento w =

∑ni=1 ei es invariante por la acción de Sn, que actúa

trivialmente sobre él.

Como el cuerpo K es de característica cero, se puede encontrar un complemento de U que sea estable por laacción de Sn. En particular, si K = C, en el capítulo anterior hemos dado la descomposición de C3 como sumadirecta de espacios de representación dados por la trivial y la estándar, es decir C3 = U ⊕ V . Esto ocurre engeneral; si consideramos el espacio vectorial

V = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Cn : x1 + x2 + · · ·+ xn = 0,

es fácil ver que es un Sn-submódulo de Cn y que tiene dimensión n− 1. Tomando la base canónica de Cn y elSn-submódulo trivial U , es claro que U ∩ V = 0. Entonces

Cn = U ⊕ V,

y V resulta ser un complemento de U que es estable por la acción de Sn.

Notemos que V resulta siempre un Sn-módulo sin importar el cuerpo de base. Este Sn-módulo se denominamódulo de Specht y generalmente se nota como S(n−1, 1). Más adelante, veremos que este módulo es irreducibley corresponde a la partición (n− 1, 1) de n.

En la proxima sección se mostrará una forma de construir módulos de representación de Sn, entre ellos losmódulos de Specht, que son irreducibles y están parametrizados por las particiones de n. Para ello debemosintroducir primero la terminología y la notación correcta.

2.2. Diagramas, tableros y tabloides

Definición 17 Si λ es una partición de n, entonces un diagrama de Young [λ] es el conjunto

[λ] = (i, j) : i, j ∈ Z, 1 ≤ i, 1 ≤ j ≤ λi.

Si (i, j) ∈ [λ], entonces (i, j) se denomina un nodo de [λ]. Entonces la k-ésima fila (o columna) del diagramaconsiste en aquellos nodos cuya primera (respectivamente, segunda) coordenada es k.


Dibujaremos los diagramas como en el siguiente ejemplo:

Supongamos que λ = (4, 22, 1), entonces el diagrama correspondiente a [(4, 22, 1)] será

.

Es costumbre quitar los paréntesis cuando se denota un diagrama, por ejemplo [λ] = [(4, 22, 1)] = [4, 22, 1].

Definición 18 Decimos que una partición λ′es conjugada de una partición λ si se obtiene cambiando las

filas por las columnas en el diagrama de [λ].

Por ejemplo, si λ = (4, 3, 1) es una partición de 8, entonces

[λ] = .

Si cambiamos filas por columnas obtenemos el diagrama

[λ′] = ,

siendo λ′

= (3, 22, 1) la partición de 8 conjugada de (4, 3, 1).

Definición 19 Un tablero de λ es una de los n! matrices obtenidas por la sustitución de cada nodo en [λ]por uno de los enteros 1, ......, n, sin repetición.

Por ejemplo, los siguientes son tableros de λ = (4, 3, 1)

1 2 4 53 6 78

,

4 5 7 32 1 86

.

El grupo simétrico Sn actúa sobre el conjunto de los tableros de λ en una forma natural permutando loscoeficientes. Si consideramos el ejemplo anterior, la permutación (1 4 7 8 6)(2 5 3) manda el primer tablero enel segundo. En particular, un tablero se puede definir como una biyección de [λ] en el conjunto 1, ..., n; portanto, dado un tablero t y una permutación σ, la composición σot define un nuevo tablero que denominamos σt.

El siguiente resultado relaciona el orden parcial dado sobre las particiones y una propiedad de los tableros.

Lema 2.1 Sean µ y λ particiones de n, y supongamos que t1 es un tablero de λ y que t2 es un tablero deµ. Si para todo i, los números de la i-ésima fila de t2 pertenecen a distintas columnas de t1, entonces λ ≥ µ.

2.2. DIAGRAMAS, TABLEROS Y TABLOIDES 45

Demostración:Tomemos la primera fila del tablero t2, como cada elemento de esta fila se encuentra en diferente columna enel tablero t1, debe ser que la cantidad de columnas en el tablero t1 es mayor o igual a la del tablero t2, es decirλ1 ≥ µ1. Como los elementos de la segunda fila de t2 se encuentran en distintas columnas de t1, tenemos queλ1 + λ2 ≥ µ1 + µ2. Siguiendo así, se concluye que λ ≥ µ.

Definición 20 Si t es un tablero, su estabilizador de filas Rt es el subgrupo de Sn cuyos elementos dejaninvariantes cada fila de t. Es decir,

Rt = σ ∈ Sn : ∀ i, i y σ(i) pertenecen a la misma fila.

Análogamente se define al estabilizador de columnas Ct de t. Por ejemplo, si

t =1 2 4 53 6 78

, entoncesRt = S1, 2, 4, 5 × S3, 6, 7 × S8,

Ct = S1, 3, 8 × S2, 6 × S4, 7 × S5.

En particular, |Rt| = 4! 3! 1!, y |Ct| = 3! 2! 2! 1!.

Definición 21 Se define sobre el conjunto de los tableros asociados a una partición, una relación de equi-valencia dada por

t1 ∼ t2 si y sólo si σ(t1) = t2, para algún σ ∈ Rt1 .Esta relación divide al conjunto de tableros de una partición en un conjunto de clase de equivalencias. Llama-remos tabloide t a la clase de equivalencia de t.

Generalmente, es útil pensar a los tabloides como tableros sin un orden entre los elementos de cada fila.Notaremos al tabloide t eliminando las líneas verticales del tablero t, por ejemplo

1 2 4 53 6 78

=4 5 1 27 6 38

,

son el mismo (4, 3, 1)-tabloide correspondiente a la clase de conjugación del tablero t.

El grupo simétrico actúa naturalmente sobre el conjunto de los tabloides de la partición λ por πt = πt.Veamos que esta acción resulta bien definida:

Supongamos que t1 = t2, entonces por definición sabemos que existe σ ∈ Rt1 tal que σ(t1) = t2. ComoRπt1 = πRt1π

−1, entonces πσπ−1 ∈ Rπt1 y al ser πt2 = πσπ−1πt1 se deduce que πt1 = πt2; es decir, laacción está bien definida.

Los siguientes son tabloides de (2, 1):

3 21

,1 32

,1 23

.

En el ejemplo anterior, los tabloides de (2, 1) se dieron ordenados según el orden total:

Definición 22 t1 ≺ t2 si y sólo si para algún i

a) Si j > i, j está en la misma fila de t1 y t2,b) La fila de t1 que contiene a i es mayor que la fila de t2 que contiene a i.


Sin embargo, como en las particiones, el orden más adecuado para nuestro propósito es un orden parcial yestá dado por la siguiente definición:

Definición 23 Dado un tablero t, denotemos pormir(t) a la cantidad de coeficientes menores o iguales a i enlas primeras r filas del tablero t. Entonces t1 ≤ t2 si y sólo si para todo i, r tenemos que mir(t1) ≤ mir(t2).

La definición anterior permite ordenar tabloides de todo tipo y tamaño, sin embargo nosotros sólo compa-raremos tabloides asociados a la misma partición.

2.2.1. Ejemplos de orden parcial entre tabloides

a) Consideremos los siguientes tableros de (3, 3, 1),

t1 =1 3 62 5 74

, y t2 =1 2 43 5 67

.

Luego, las matrices (mir(t1))ir y (mir(t2))ir son

(mir(t1))ir =

1 1 11 2 22 3 32 3 42 4 53 5 63 5 7

, (mir(t2))ir =

1 1 12 2 22 3 33 4 43 5 53 6 63 6 7

.

Comparando los coeficientes de las matrices, se tiene que t1 ≤ t2.b) Supongamos que w < x y que w está en la a-ésima fila y x en la b-ésima fila. Luego, por la definición de

mir(t) tenemos que

mir((w x)t)−mir(t) =

1 si b ≤ r < a y w ≤ i < x

−1 si a ≤ r < b y w ≤ i < x

0 en cualquier otro caso

Por tanto, tenemos que

t ≤ (w x)t si w < x y w está por debajo de la fila que contiene a x. (1)

Es fácil ver que los tabloides t y (x − 1 x)t son inmediatamente adyacentes en este orden (ver [J]), esdecir:

Proposición 2.3 Si x − 1 está por debajo de la fila que contiene a x en el tablero t de la partición λ,entonces t < (x− 1 x)t y además no existe un tablero de λ t1 tal que t < t1 < (x− 1 x)t.

c) El siguiente árbol muestra la relación de orden parcial ≤ entre los tabloides de (3, 2):

2.3. MÓDULOS DE SPECHT 47

3 4 51 2

2 4 51 3

vvvvvvvvv

HHHHHHHHH

1 4 52 3

HHHHHHHHH

2 3 51 4

vvvvvvvvv

HHHHHHHHH

1 3 52 4

HHHHHHHHH

vvvvvvvvv

2 3 41 5

vvvvvvvvv

1 2 53 4

HHHHHHHHH

1 3 42 5

vvvvvvvvv

1 2 43 5

1 2 34 5

2.3. Módulos de Specht

En esta sección encontraremos todos los Sn-módulos irreducibles para cada natural n sobre un cuerpo decaracterística cero; es decir, se dará una parametrización de las representaciones irreducibles del grupo simétricode n elementos a través de las particiones de n. Muchos de los teoremas y proposiciones valen sobre cuerpos decualquier característica y serán usados en capítulos siguientes; por ello supondremos que el cuerpo es arbitrarioy haremos hincapié en aquellos resultados donde sea necesario que la característica del cuerpo sea cero; enparticular, notaremos SµK y Mµ

K si queremos especificar sobre qué cuerpo se trabaja.

Definición 24 A cada partición µ = (µ1, . . . , µl) de n le asociamos un Subgrupo de Young Sµ de Sntomando

Sµ = S1, 2,..., µ1 × Sµ1+1,..., µ1+µ2 × . . .× Sµ1+...+µl−1,..., µ1+...+µl.

Por ejemplo, si µ = (3, 2, 1) es una partición de 6, el subgrupo de Young S(3, 2, 1) correspondiente estádado por

S(3, 2, 1) = S1, 2, 3 × S4, 5 × . . .× S6.

El estudio de las representaciones de Sn comienza con el estudio del módulo de permutaciónMµ de Sn sobreSµ. El módulo de Specht Sµ es un submódulo de Mµ, y cuando el cuerpo es de característica cero, los diferentes


módulos de Specht dan todas las representaciones irreducibles de Sn a medida que varían las permutaciones den.

Definición 25 Sea K un cuerpo. Notaremos como Mµ al espacio vectorial sobre K de dimensión finitacuya base son los diferentes tabloides de µ.

En la sección anterior definimos la acción de Sn sobre el conjunto de tabloides y vimos que estaba biendefinida. Extendiendo linealmente esa acción sobre Mµ, obtenemos sobre Mµ una estructura de K[Sn]-módulo.

Es claro que la acción del subgrupo de Young Sµ de una partición µ sobre Mµ deja fijo uno de los tabloides.Supongamos que ese tabloide es t y que W es el K[Sµ] generado por ese tabloide. Es claro que el subgrupode Young Sµ actúa trivialmente sobre el módulo W , o sea, W es el módulo trivial de Sµ. Luego, como la acciónde Sn sobre los tabloides es de permutación, es fácil ver que

Mµ =⊕

σ∈Sn/Sµ σ.W.

Es decir, Mµ es la representación inducida IndSnSµ W . En particular se tiene la siguiente proposición:

Proposición 2.4 Mµ es un módulo de permutación de Sn sobre el subgrupo Sµ. Mµ es un K[Sn]-módulocíclico, generado por cualquier tabloide, y dim Mµ = n!/(µ1!µ2!....µl!).

Definición 26 Sea t un tablero de µ. La suma signada por columnas κt es un elemento del álgebra degrupo K[Sn] obtenido mediante la suma de los elementos del estabilizador de columnas Ct de t, multiplicadospor su signatura. Esto es,

κt =∑σ∈Ct sg(σ)σ.

Un politabloide et asociado a un tablero t está dado por et = κtt ∈Mµ.

Observación: Notar que un politabloide no sólo depende del tabloide t sino que también depende del tablerot.

Definición 27 Un módulo de Specht Sµ para una partición µ de n el submódulo de Mµ generado por lospolitabloides.

Por ejemplo, si

t = 2 5 13 4

entoncesκt = 1− (2 3)− (4 5) + (2 3)(4 5) = (1− (2 3))(1− (4 5)).

Por tanto,

et = 2 5 13 4 − 3 5 1

2 4 − 2 4 13 5 + 3 4 1

2 5 .

Veamos como actúa Sn sobre el conjunto de los politabloides:

Sean π ∈ Sn y et un politabloide de t, luego

πet = πκtt

= π∑σ∈ Ct

sg(σ)σt

=∑σ∈ Ct

sg(σ)πσt,


recordando que Cπt = πCtπ−1 se tiene entonces

πet =∑πσ∈ Cπtπ

sg(π−1π)sg(σ)πσt

=∑µ∈ Cπt

sg(π)sg(µ)µπt

= sg(π)eπt.

Por tanto, Sµ es un módulo cíclico, generado por cualquier politabloide.

Ejemplos

Sea Sn el grupo simétrico de n elementos. Veamos dos ejempos del Sn-módulo cíclico Sµ para dos particionesdistintas de n.

a) Si µ = (n), entonces Sµ = Sn. Por tanto, Mµ es el Sn-módulo trivial generado por el tabloide

1 2... ...n.

Luego, Mµ = Sµ y Sµ es el módulo trivial de K[Sn].

b) Si µ = (1n), entonces Sµ = S1 × S2 × . . . × Sn = Id. Luego, Mµ resulta isomorfo al espacio derepresentación de la representación regular y Sµ es isomorfo al espacio de representación de la representaciónsigno, puesto que πet = sg(π)et, ∀π ∈ Sn.Observación: Notar que en ambos ejemplos, los espacios de representación Sµ son de dimensión 1 y en conse-cuencia sus representaciones resultan irreducibles.

En lo que sigue demostraremos un lema y un corolario del mismo usando algunas propiedades combinatoriasbásicas que vimos al principio del capítulo. Estos serán de gran utilidad para demostrar que los Sn-submódulosSµ resultan irreducibles si la característica del cuerpo es cero.

Lema 2.2 Sean λ y µ dos particiones de n. Supongamos que t es un tablero de λ, t∗ es un tablero de µ yque κtt∗ ∈Mµ es no nulo. Entonces λ ≥ µ y si λ = µ entonces κtt∗ = ±κtt = ±et.

Demostración:Sean a y b dos números distintos que pertenecen a la misma fila de t∗. Luego,

(1− (a b))t∗ = t∗ − (a b)t∗ = 0.

Por tanto, a y b no pueden pertenecer a la misma columna en el tabloide t. En efecto, si fuera de otramanera, se podrían conseguir representantes σ1, . . . , σk en el conjunto de estabilizadores con signo de columnasde t que contengan a 1 y a (a b) de modo que κt admita la escritura

κt = (σ1 + . . .+ σk)(1− (a b)).

Luego, tendríamos que κtt = (σ1 + · · ·+ σk)(1− (a b))t = 0 y esto contradice las hipótesis.

Tenemos entonces que para todo i, los número que pertenecen a la i-ésima fila de t∗ pertenecen a distintascolumnas de t. Luego, el lema 2.1 nos dice que λ ≥ µ.


Por otra parte, si λ = µ entonces debe ser que t∗ es uno de los tabloides involucrados en κtt; en esecaso, σt = t∗, para alguna permutación σ ∈ Ct. Por tanto, se tiene que

κtt∗ = κtσt = sg(σ)κtt =+− κtt.

Corolario 2.3 Si u es un elemento de Mµ y t es un tablero de µ, entonces κtu es un múltiplo de et.

Demostración:Si u ∈Mµ, entonces u es combinación lineal de tabloides t∗ de µ. Por el lema anterior tenemos que κtt∗ esun múltiplo de et, luego resulta que u es un múltiplo de et.

Hemos definido el Sn-módulo Mµ como el espacio vectorial generado por los tabloides; en particular sepuede definir sobre él una forma bilineal simétrica dando solamente sus valores sobre los elementos de la base.Definimos entonces

< −,− >: Mµ → K, tal que < ti, tj >=

1 si ti = tj,0 si ti 6= tj.

Claramente esta forma bilineal sobreMµ resulta no degenerada, simétrica y Sn-invariante (si π ∈ Sn entonces< πv, πw >=< v,w >, ∀ v, w ∈ Mµ). En particular, si el cuerpo de base es Q entonces esta forma bilinealresulta un producto interno.

Teorema 2.1 Teorema del submódulo (James).

Si U es un submódulo de Mµ, entonces U ⊃ Sµ ó U ⊂ Sµ⊥.

Demostración:Sean u ∈ U y t un tablero de µ. Por el corolario 2.3 sabemos que κtu es un múltiplos de et.

Si este múltiplo es cero para todo u ∈ U y t tablero de µ, entonces tenemos que

0 =< κtu, t >= <∑σ∈ Ct

sg(σ)σu, t >

=∑σ∈ Ct

< sg(σ)σu, t >

=∑σ∈ Ct

< u, sg(σ)σ−1t >

=< u,∑σ∈ Ct

sg(σ)σ−1t >

=< u, κtt >

=< u, et > .

Como Sµ es un Sn-módulo que está generado por los politabloides et y < u, et >= 0, ∀ u, t, se deduce queU ⊂ Sµ⊥.

Supongamos ahora que podemos elegir u y t tal que κtu = a.et, a 6= 0. Se deduce entonces que et ∈ U .Al ser Sµ un módulo cíclico generado por cualquier politabloide , se tiene que U ⊃ Sµ como se quería probar.


Definición 28 Diremos que un K[G]-módulo V es absolutamente irreducible si para toda extensiónE ⊇ K, la representación que se obtiene extendiendo escalares de K en E sigue siendo irreducible. A estarepresentación de E[G] se la denota V E.

Proposición 2.5 Sea V un K[Sn]-módulo munido de una forma bilineal. La dimensión de V/(V ∩ V ⊥) esigual al rango de la matriz de Gram respecto a una base dada de V .

Demostración:Consideremos la aplicación

θ : V → V ∗,

v 7→ ψv, donde ψv(u) =< u, v >, ∀ u ∈ V.

Supongamos que e1, ...., ek es la base dada de V y que ε1, ...., εk es la base dual de V ∗. Como < ei, ej >=ψej (ei) tenemos que

ψej =< e1, ej > ε1 + .....+ < ek, ej > εk.

Si tomamos la matriz de Gram A para la base e1, ...., ek de V , tenemos que (aij)ij = (< ei, ej >)ij . Es claroque esta matriz coincide con la matriz de θ con respecto a las bases e1, ...., ek de V y ε1, ...., εk de V ∗.

Por definición de la aplicación de V en V ∗, es fácil ver que Ker θ = (V ∩ V ⊥). Luego,

dim V/(V ∩ V ⊥) = dim Im θ = rango de la matriz de Gram.

Teorema 2.2 El Sn-módulo Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es cero o es absolutamente irreducible. Más aún, si el cocientees no nulo, entonces (Sµ ∩ Sµ⊥) es el único submódulo maximal de Sµ, y Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) resulta isomorfo a sumódulo dual.

Demostración:Por el teorema del submódulo, sabemos que cualquier K[Sn]-submódulo de Sµ es el mismo Sµ o está contenidoen (Sµ ∩ Sµ⊥); en particular, si V es un K[Sn]-submódulo de Sµ tal que

(Sµ ∩ Sµ⊥) ⊆ V ⊆ Sµ,entonces V = Sµ ó V = (Sµ ∩ Sµ⊥).

Esto dice que, si el cociente es no nulo, (Sµ ∩ Sµ⊥) es el único submódulo maximal de Sµ. Como los [Sn]-submódulos del cociente corresponden biunívocamente a los Sn-submódulos que contienen a (Sµ ∩ Sµ⊥), sededuce que Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es un Sn-módulo simple.

Se deduce fácilmente de los teoremas de isomorfismos de módulos y de que V/U ∼= al dual de U⊥/V ⊥, siendo0 ⊆ U ⊆ V , que el cociente Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es isomorfo a su propio dual.

Para terminar la demostración debemos ver que Sµ/(Sµ ∩Sµ⊥) se mantiene irreducible cuando extendemosel cuerpo de escalares. Tomemos una base e1, . . . , ek de politabloides de Sµ, por la proposición 2.5 sabemos quela dimensión de Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es igual al rango de la matriz de Gram con respecto a la base e1, . . . , ek de Sµ.Como los coeficientes de los tabloides involucrados en los elementos de la base son ±1, tenemos que los coeficien-tes de la matriz de Gram pertenecen al subcuerpo primo de K. Entonces, el rango de la matriz de Gram es elmismo sobre K que sobre el subcuerpo primo, y por tanto la dimensión de (Sµ∩Sµ⊥) no cambia si extendemosK; en particular si el cociente es no nulo sobre K entonces resulta no nulo sobre cualquier extensión. Al serSµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) siempre irreducible, se deduce que es absolutamente irreducible.


Corolario 2.4 Si el cuerpo de base es de característica cero, entonces Sµ es irreducible.

Demostración:Podemos suponer que el cuerpo es Q ya que es el cuerpo primo de todo cuerpo K de característica cero.Para demostrar el corolario basta verificar que (Sµ ∩ Sµ⊥) = 0. Pero si el cuerpo de base es Q, la formabilineal definida anteriormente resulta un producto interno; en particular esto implica que (Sµ ∩ Sµ⊥) = 0.

De los teoremas anteriores se deduce que para cada partición µ de n existe una representación irreducible Sµsi el cuerpo de base es de característica cero. Veamos que si µ y λ son dos particiones distintas de n, entonceslas representaciones irreducibles correspondientes resultan no isomorfas.

Lema 2.3 Si θ es un morfismo de Sn-módulos de Mλ en Mµ y Sλ no está incluido en Ker θ, entoncesλ ≥ µ. Si λ = µ, entonces θ(Sλ) = Sλ.

Demostración:Sea t un tablero de λ tal que et /∈ Ker θ. Tenemos entonces que

0 6= θet = θκtt = κtθt.

Luego, al ser θt una combinación lineal de tabloides de µ y κtθt 6= 0, por el lema 2.2 tenemos que λ ≥ µ.Si λ = µ, entonces θet es un múltiplo de et. Como Sλ es un módulo cíclico generado por cualquier politabloide,se tiene que θ(Sλ) = Sλ.

Corolario 2.5 Si la característica de K es cero, y θ ∈ HomK[Sn] (Sλ, Mµ) es no nulo, entonces λ ≥ µ. Siλ = µ, entonces θ(Sλ) = Sλ.

Demostración:Si K = Q, entonces < −,− > resulta un producto interno. El rango de la matriz de Gram con respecto a unabase de Sλ es igual a la dimensión de Sλ para cualquier cuerpo de característica cero. Por tanto, si car(K) = 0,

(Sλ ∩ Sλ⊥) = 0 y Mλ = Sλ ⊕ Sλ⊥,

Si Sλ no está incluido en Ker θ, entonces por el teorema del submódulo tenemos que Ker θ ⊆ Sλ⊥.En particular, cualquier morfismo definido sobre Sλ se puede extender a un morfismo sobreMλ definiéndolo

nulo sobre Sλ⊥. Por tanto, el corolario se sigue del lema anterior.

Teorema 2.3 (Representaciones Irreducibles Ordinarias de Sn).

Sea K de característica cero. Los módulos de Specht sobre K son isomorfos a su módulo dual, son absoluta-mente irreducibles y dan todas las representaciones ordinarias de Sn

Demostración:Si SλQ ∼= SµQ, entonces por el corolario 2.5 λ ≥ µ, y análogamente, se tiene λ ≤ µ. Por tanto resulta λ = µ.


Observación: Con lo hecho hasta aquí, hemos encontrado una representación irreducible Sµ de Sn para cadapartición µ de n. Notar que aquí se hace explícita la relación entre las clases de conjugación de Sn y lasrepresentaciones irreducibles, tarea difícil de resolver cuando se trabaja con otros grupos.

Como Mλ completamente reducible cuando car(K) = 0, del corolario 2.5 también se deduce el siguiente

Teorema 2.4 Si car(K) = 0, Mλ es completamente reducible y sus sumandos directos son Sλ, una solavez, y algunos Sµ : λ < µ, posiblemente con repeticiones.

Observación: Las representaciones irreducibles de Sn se pueden construir de manera intrínseca al álgebra degrupo K[Sn], correspondiendo a ideales generados por elementos del álgebra que se denominan simetrizadoresde Young y se construyen de la siguiente manera:

Sean λ una partición de n y t un tablero de λ. Consideremos los subgrupos de Sn dados por Ct y Rt. En elálgebra de grupo, introducimos dos elementos que corresponden a estos dos subgrupos, a saber

aλ =∑σ∈ Rt

σ, κλ =∑σ∈ Ct

sg(σ)σ.

Para ver como actúan estos elementos, primero necesitamos algunas definiciones.

Definición 29 Sea V un K espacio vectorial. Definimos las potencias exteriores∧n

V , a veces notadascomo Altn V , como un espacio vectorial sobre K munido de una aplicación multilineal y alternada

V × . . .× V → ∧nV,

v1 × . . .× vn 7→ v1 ∧ . . . ∧ vn,tal que cumple la siguiente propiedad universal: Para toda aplicación multilineal y alternada β : V ×....×V → U ,se tiene que existe una única función ψ :

∧nV → U tal que el siguiente diagrama conmuta

V × ....× V //

β&&MMMMMMMMMMMM∧n

V

∃!ψ

U

. (2)

Una función multilineal β se dice alternada si β(v1, . . . , vn) = 0 cada vez que dos de los vectores vi soniguales. Esto implica que β(v1, . . . , vn) cambia de signo cuando dos vectores se intercambian, es decir

β(vσ(1), . . . , vσ(n)) = sg(σ)β(v1, . . . , vn), ∀ σ ∈ Sn.

Si eii es una base de V , entonces

ei1 ∧ ei2 ∧ . . . ∧ ein : i1 < i2 < .... < in,es una base para

∧nV . En particular,

∧nV = 0 si n > dim V .

Análogamente se definen las potencias simétricas:

Definición 30 Sea V un espacio vectorial sobre K. Las potencias simétricas Symn V son espacios vecto-riales munidos con una aplicación multilineal simétrica universal

V × . . .× V → Symn V,

v1 × . . .× vn 7→ v1 · · · · · vn.


Una función multilineal β : V × . . .× V → U se dice simétrica si no cambia su valor cuando se intercambiancualquier par de factores, esto es

β(vσ(1), . . . , vσ(n)) = β(v1, . . . , vn), ∀ σ ∈ Sn.

Si eii es una base de V , entonces

ei1 · ei2 · · · · · ein : i1 ≤ i2 ≤ .... ≤ in,es una base para Symn V .

Ahora bien, supongamos que V es un espacio vectorial y que Sn actúa sobre la n-ésima potencia tensorialV ⊗n permutando factores. La imagen del elemento at en End(V ⊗n) es el subespacio

Im(aλ) = Symλ1 V ⊗ Symλ2 V ⊗ . . .⊗ Symλk V → V ⊗n,

donde la inclusión de la derecha se obtiene reagrupando los factores de V ⊗n de acuerdo con las filas del tablerode Young.

Análogamente, la imagen de κλ sobre la potencia tensorial viene dada por

Im(κλ) =∧µ1 V ⊗∧µ2 V ⊗ . . .⊗∧µk V → V ⊗n,

donde la partición µ es la conjugada de la partición λ.

Finalmente, tomamoscλ = aλ.κλ ∈ Sn.

Este elemento del álgebra de grupo se denomina simetrizador de Young.

Por ejemplo, cuando λ = (n) tenemos que

c(n) = a(n) =∑σ∈Sn σ,

y la imagen de c(n) en V ⊗n es Symn V . Cuando λ = (1n) tenemos que

c(1n) = b(1n) = κ(1n) =∑σ∈Sn sg(σ)σ

y la imagen de c(1n) en V ⊗n es∧n

V .

Veamos cómo se relaciona con la construcción de los módulos de Specht dados anteriormente. Sea t un tablerode una partición λ de n y consideremos la siguiente aplicación definida sobre el ideal a derecha I = aλK[Sn] deK[Sn] generado por aλ

θ : I →Mλ,

aλπ 7→ πt, π ∈ Sn.

Claramente θ es un K[Sn] isomorfismo bien definido del ideal I en Mλ. La buena definición se deduce de losiguiente:

aλπ = aλ ⇔ π ∈ Rt ⇔ πt = t.

Si restringimos θ al ideal a derecha aλκλK[Sn] se obtiene un isomorfismo de aλκλK[Sn] en Sλ. Usando esteisomorfismo, cada resultado puede ser interpretado en términos del álgebra de grupo.


2.3.1. Ejemplos

a) Consideremos la partición (n−1, 1) de n y su correspondiente módulo de permutación M (n−1, 1). Luego,sabemos que en su descomposición encontramos una vez a S(n−1, 1) y algunos Sµ : (n−1, 1) < µ, posiblementemás de una vez. Como existe sólo una partición µ de n tal que (n−1, 1) < µ y ésa es (n), si car K = 0, tenemosque

M (n−1, 1) = S(n−1, 1) ⊕ a.S(n).

Sabemos queM (n−1, 1) tiene dimensión n, ya que hay n tabloides distintos para esta partición. Sea 1, 2, ..., nuna base de M (n−1, 1). Luego, podemos definir S(n−1, 1) de la siguiente manera

S(n−1, 1) = K[Sn](e2 − e1) = ∑i ai.i : a1 + ...+ an = 0.

Por tanto, se deduce que la dimensión de S(n−1, 1) es n − 1; y como dim(S(n)) = 1, debe ser que a = 1,entonces

M (n−1, 1) = S(n−1, 1) ⊕ S(n).

Claramente, S(n−1, 1)⊥ = K[Sn](1 + 2 + ...+ n). Luego, si la característica de K no divide a n, entonces

M (n−1, 1) = S(n−1, 1) ⊕ S(n−1, 1)⊥.

Notar que en todos los casos, tenemos que S(n−1, 1)⊥ ∼= S(n) y que la dimensión de S(n−1, 1) es n− 1.

b) Sea n = 3 y descompongamos M (2, 1) como en el ejemplo a)

M (2, 1) = S(2, 1) ⊕ S(3),

siendo dim(S(2, 1)) = 2 y dim(S(3)) = 1. Esto concuerda con los ejemplos que vimos en el capítulo 1 dondeencontramos las representaciones irreducibles de S3. Supongamos que K = C, entonces M (2, 1) resulta isomorfoa C3, S(3) a la representación trivial U y S(2, 1) a la representación estándar V . En conclusión, recordando quela tercera representación irreducible de S3 viene dada por la representación signo U

′, tenemos que

M (2, 1) ∼= C3, S(3) ∼= U,

S(2, 1) ∼= V, S(13) ∼= U′.

En particular, tenemos la siguiente tabla de caracteres

1 3 2S3 id (1 2) (1 2 3)S(3) 1 1 1S(2, 1) 2 0 −1S(1, 1, 1) 1 −1 1

.

Observación: Notar que se ha cambiado el orden de las filas y la notación de las representaciones irreducibles.El orden de las filas está dado por el orden total definido sobre el conjunto de particiones de 3.


2.4. Base estándar de los módulos de Specht

En esta sección se dará una base para cada módulo de Specht; en particular se dará a conocer la dimensiónde cada uno que resulta de gran utilidad cuando se calculan tablas de caracteres.

Definición 31 Sea λ una partición de n. Un tablero t de λ se dice un tablero estándar si los coeficientesaumentan a lo largo de las filas y hacia abajo en las columnas de t.

Un tabloide t de λ se dice tabloide estándar si existe un tablero estándar en la clase de equivalencia det. Un politabloide et se dice estándar si t es estándar.

Por ejemplo, los siguientes son tableros estándar de la partición (3, 2) de 5:

t1 =1 3 52 4

, t2 =1 2 53 4

, t3 =1 3 42 5

,

t4 = 1 2 43 5

, t5 = 1 2 34 5

.

Observación: Un tabloide estándar contiene sólo un tablero estándar, dado que los coeficientes deben aumentara lo largo de las filas de un tablero estándar. Sin embargo, un politabloide puede contener más de un tabloideestándar, como por ejemplo et5 que contiene a t1 y a t5:

et5 = 1 2 34 5 − 2 3 4

1 5 − 1 3 52 4 + 3 4 5

1 2 .

Veremos que los politabloides estándar forman una base para los módulos de Specht, definidos sobre cualquiercuerpo.

En las secciones anteriores hemos dado un orden total para los tabloides de una partición µ dada. Laindependencia lineal de los politabloides se deduce del siguiente lema:

Lema 2.4 Sean v1, v2, . . . , vm elementos de Mµ y supongamos que ti es el mayor tabloide involucrado envi respecto al orden total ≺. Si los tabloides ti son todos diferentes, entonces v1, v2, . . . , vm son linealmenteindependientes.

Demostración:Podemos suponer que t1 < t2 < . . . < tm. Si

a1v1 + a2v2 + · · ·+ amvm = 0, ai ∈ K y aj+1 = . . . = am = 0,

entonces aj debe ser cero ya que tj está involucrado en vj y no lo está en vk, con k < j. Por tanto, tenemosque a1 = a2 = . . . = am = 0, es decir, los vectores son linealmente independientes.

Es claro que t es el mayor tablero involucrado en et cuando t es estándar. De este hecho se deduce quelos politabloides estándar son linealmente independientes, ya que los tabloides estándar involucrados en cadapolitabloide son distintos. Sin embargo, damos a continuación un resultado más fuerte donde se usa sólo el ordenparcial sobre los tabloides.

Lema 2.5 Si t tiene los coeficientes que aumentan hacia abajo en las columnas, entonces todos los tabloidest′ involucrados en et satisfacen que t′ < t.

2.4. BASE ESTÁNDAR DE LOS MÓDULOS DE SPECHT 57

Demostración:Si t

′= πt, tal que π es un elemento distinto de la identidad en el estabilizador de columnas de t, entonces

en alguna columna de t′existen coeficientes w < x tal que w está en alguna fila abajo de x. Luego, por (1)

tenemos que t′ < (w x)t′. Como (w x) está involucrado en et, aplicando un argumento inductivo se tiene

que (w x)t′ ≤ t, entonces t′ < t.

Para demostrar que los politabloides estándar generan el módulo de Specht, debemos primero encontrarelementos del álgebra de grupo K[Sn] que anulen a un politabloide et dado.

Fijemos un tablero t de una partición µ de n. Sean X un subconjunto de la i-ésima columna de t, e Y unsubconjunto de la (i+ 1)-ésima columna de t. Sean σ1, σ2, . . . , σk representantes de las coclases para el cocienteSX∪Y /(SX × SY ), y sea

GX,Y =∑kj=1 sg(σj)σj .

GX,Y se denomina el elemento de Garnir. De aquí en adelante, X se tomará al final de la i-ésima columnade t e Y se tomará al principio de la (i + 1)-ésima columna. Claramente, las permutaciones σ1, σ2, . . . , σkno son únicas; sin embargo, para fines prácticos, podemos tomar σ1, σ2, . . . , σk tal que σ1(t), σ2(t), . . . , σk(t)sean tableros que coinciden con el tablero t excepto en las posiciones ocupadas por X ∪ Y , cuyos coeficientesaumentan verticalmente hacia abajo en las posiciones ocupadas por X ∪ Y .

Por ejemplo, si

t =1 24 35

X = 4, 5 e Y = 2, 3,

entonces se pueden tomar σ1(t), σ2(t), . . . , σk(t) como

t = t1 =1 24 35

, t2 =1 23 45

, t3 =1 23 54

,

t4 =1 32 45

, t5 =1 32 54

, t6 =1 42 53

,

(3)

donde

sg(σi) =

1 para i = 1, 3, 4, 6

−1 para i = 2, 5,

entonces GX,Y = 1− (3 4) + (3 4 5) + (2 3 4)− (2 3 4 5) + (2 4)(3 5).

Daremos a continuación un teorema que muestra el elemento que anula a un politabloide dado. Su demos-tración se puede encontrar en [P].

Teorema 2.5 Sean µ = (µ1, . . . , µl) una partición de n y µ′

= (µ′1, . . . , µ

′s) la partición conjugada de µ. Si

|X ∪ Y | > µ′i entonces GX,Y et = 0 sobre cualquier cuerpo.

Para el ejemplo anterior, del teorema se deduce que

0 = GX,Y et = et1 − et2 + et3 + et4 − et5 + et6 ,


entonces se tiene que

et = et2 − et3 − et4 + et5 − et6 .

Ahora estamos en condiciones de probar que los politabloides estándar generan los módulos de Specht.

Teorema 2.6 El conjunto et : t es un tablero estándar de µ es una base de Sµ.

Demostración:Se ha probado que los politabloides estándar son linealmente independientes, ahora usaremos las relacionesde Garnir para probar que cualquier politabloide se puede escribir como combinación lineal de politabloidesestándar.

Notaremos por [t] a la clase de equivalencia de t por Ct; esto es,

[t] = t′ ; t′ = πt, para algún π ∈ Ct.Esta clase de equivalencia está totalmente ordenada de manera similar al orden sobre las clases de equivalenciapor filas (22).

Supongamos que t no es un tablero estándar, demostraremos que et se puede escribir como combinaciónlineal de politabloides estándar por inducción sobre el orden; es decir, supondremos que es cierto para et′

cuando [t′] < [t] y probaremos el resultado para et. Es fácil ver que se cumple para el primer elemento, ya que

el politabloide que lo contiene es estándar.

Como πet = sg(π)et, si π ∈ Ct, podemos suponer que los coeficientes de t están en orden creciente haciaabajo en las columnas. Si el tablero t no es estándar, entonces deben existir dos columnas, digamos la j y(j + 1)-ésima columnas, tal que sus coeficientes son a1 < a2 < . . . < ar y b1 < b2 < . . . < bs y que aq > bq paraalgún q.

Sean X = aq, . . . , ar e Y = b1, . . . , bq y consideremos el elemento de Garnir correspondiente GX,Y =∑sg(σ)σ. Por el teorema 2.5, tenemos que

0 = GX,Y et =∑sg(σ)σet =

∑sg(σ)eσt. (4)

Por construcción de X e Y tenemos que b1 < . . . < bq < aq < . . . < ar. Luego, para cualquier σ en lasumatoria del elemento de Garnir, se tiene que [σt] < [t].

Por hipótesis inductiva, tenemos que para todo σ involucrado en el elemento de Garnir se cumple que eσtes una combinación lineal de politabloides estándar. Por tanto, la demostración del teorema se sigue del hechoque et1 = et y de la igualdad (4).

De aquíse deduce inmediatamente el siguiente corolario, que afirma que la dimensión de los módulos deSpecht no varía cuando se cambia el cuerpo de base.

Corolario 2.6 La dimensión de los módulos de Specht Sµ es independiente del cuerpo de base y es igual alnúmero de tableros estándar.

De la demostración del teorema anterior se deduce otro corolario. Este permite reducir representaciones deSn sobre Q a representaciones sobre un cuerpo finito.

Corolario 2.7 En SµQ cualquier politabloide se puede escribir como una combinación lineal con coeficientesenteros de los politabloides estándar.


Diremos que una base de Sµ es estándar si todos sus elementos son politabloides estándar. Entonces, delcorolario anterior se deduce lo siguiente:

Corolario 2.8 Las matrices de representación de Sn sobre Q con respecto a una base estándar de SµQ tienentodos los coeficientes enteros.

Demostración:Se deduce inmediatamente del hecho que πet = eπt, ∀ π ∈ Sn, que vale en particular para la base de politabloi-des estándar, y del corolario anterior.

Daremos ahora un corolario que nos será de gran utilidad más adelante, cuando estudiemos las representa-ciones de Sn sobre cuerpos de característica positiva.

Corolario 2.9 Sea v un elemento no nulo de Sµ y ordenemos los tabloides de v, según el orden parcial, encadenas crecientes. Entonces todo tabloide involucrado en v que resulte el último de una cadena ascendente (elmayor entre los elementos de la cadena), es estándar.

Demostración:Como v es un elemento de Sµ, sabemos que es una combinación lineal de los politabloides estándar. Por otrolado, por el lema 2.5 tenemos que todos los tabloides t′ involucrados en el politabloide estándar eti verifi-can t′i < ti, siendo ti un tablero estándar. Por tanto, los tabloides que resultan los mayores son estándar.

El orden parcial nos permite parametrizar la base de los módulos de Specht por los politabloides estándar,lo cual resulta muy útil para cálculos numéricos.

Corolario 2.10 Existe una base de Sµ cuyos elementos contienen un único tabloide estándar.

Demostración:Sean t1 < t2 < . . . < tk los tabloides estándar de µ. Por el lema 2.5 sabemos que t1 es el único tabloideestándar involucrado en et1 . Sin embargo, et2 puede contener a t1. Supongamos que el coeficiente de t1 enet2 es a, entonces reemplacemos et2 por ft2 = et2 − a.et1 . Luego, t2 es el único tabloide estándar involucradoen ft2 . Continuando de esta manera, se construye la base deseada.

Ejemplo

Examinemos M (3, 2) en detalle, a través de una descripción geométrica.

Un tabloide de la partición (3, 2) está determinado por el par de números ij que forman su segunda fila.Por tanto, podemos representar cada tabloide de S(3, 2) por su correspondiente par de números ij. Para obteneruna descripción geométrica de M (3, 2), consideremos el conjunto de grafos con 5 nodos, sin lazos, tales que acada arista se le permite tener un peso determinado por un coeficiente en el cuerpo de base. Identificando ijcon la arista que une los nodos i y j, obtenemos una costrucción isomorfa de M (3, 2). Por ejemplo, el elemento

2 5 13 4

− 3 5 12 4

− 2 4 13 5

+ 3 4 12 5

,

corresponde a la figura


1

51

−1TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT 2

−1

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

41

3

Sabemos que el módulo de Specht S(3, 2) está generado por los politabloides estándar eti ; más aún, existeuna base cuyos elementos involucran solamente un tabloide estándar. Estos se deducen de la construcción delos tableros estándar dados en (2.4) y corresponden a los siguientes grafos:

1

−1

1

..............

5 2−1

1


4 3

1

−1

1NNNNNNNNNNNNNN

5 2−1

41

3

1−1

pppppppppppppp

1

..............

51

2−1

4 3

1−1

pppppppppppppp

1NNNNNNNNNNNNNN

5

1TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT 2−1

4 3

1−1

pppppppppppppp

1NNNNNNNNNNNNNN

5

1 >>>>>>> 2−1


4 3

respectivamente.

Las diez aristas están ordenadas por 22 de la siguiente manera:

1 2 < 1 3 < 2 3 < 1 4 < 2 4 < 3 4 < 1 5 < 2 5 < 3 5 < 4 5,

donde los últimas aristas involucradas en et1 , et2 , et3 , et4 , et5 son

2 4 < 3 4 < 2 5 < 3 5 < 4 5;

los cuales corresponden a los tabloides t1, t2, t3, t4 y t5.Por lo dicho anteriormente, estos politabloides son linealmente independientes ya que sus últimos tabloides

son todas diferentes, y generan el módulo de Specht S(3 2); en particular se tiene que dim(S(3 2)) = 5.

Como et5 contiene dos tabloides estándar, a saber 2 4 y el 4 5, reemplazemos et5 por ft5 = et1 + et5 paraobtener una base que cada elemento contenga a solo un tabloide estándar. Luego, e1, e2, e3, e4, ft5 contiene a2 4, 3 4, 2 5, 3 5, 4 5 respectivamente, con coeficiente 1.


Por tanto, si v ∈ S(3 2) es de la forma

1−1

pppppppppppppp

−1

1

..............

1NNNNNNNNNNNNNN

5

3 >>>>>>> −1


−1

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj1

4 −13

,

tenemos que v involucra a −2 4,−3 4,−2 5,−3 5, 3.4 5,. Luego, debe ser que

v = −et1 − et2 − et3 − et4 + 3.ft5

= 2.et1 − et2 − et3 − et4 + 3.et5 .

Recordemos que la partición λ′conjugada de una partición λ se obtiene cambiando las filas por las columnas

en el diagrama de [λ].

Como los coeficientes de los tabloides involucrados en los politabloides están en el anillo de los enteros,podemos analizar las representaciones irreducibles de Sn sobre un cuerpo de característica cero, directamentesobre el cuerpo Q de los enteros racionales.

Teorema 2.7 Si λ es una partición de n, entonces la representación dada por SλQ ⊗ S(1n)Q es isomorfa al

dual de la representación dada por Sλ′

Q .

Nota: Por el teorema 2.2, si car K = 0 entonces Sλ′

Q es isomorfo a su dual. Por tanto, en la demostración delteorema se omitirán las palabras “el dual de”. Cabe remarcar que si el cuerpo es de característica positiva, estadistinción debe ser hecha, ya que Sλ

′

Q y su dual no resultan isomorfos, en general.

Demostración:Sea t un tablero de λ y t

′el correspondiente tablero de la partición conjugada λ

′. Por ejemplo, si

t =1 2 34 5

entonces t′

=1 42 53

.

Consideremos los siguientes elementos del álgebra de grupo:

ρt′ =∑π∈ R

t′ π y κt′ =

∑π∈ C

t′ sg(π)π.

Sea u un generador del módulo cíclico S(1n), tal que πu = sg(π)u, π ∈ Sn. Es fácil ver que se puede definirun epimorfismo θ sobre Q[Sn] tal que

θ : Mλ′

Q → SλQ ⊗ S(1n)Q ,

t′ 7→ ρt′ (t ⊗ u).

En efecto, si t′ = t′1, entonces existe σ ∈ Rt′ tal que t′1 = σt

′. Luego,

θ(t′1) = θ(σt′) = ρσt′ (t ⊗ u) = ρt′ (t ⊗ u) = θ(t′).


Como σt′ : σ ∈ Sn es una base del módulo cíclico Mλ′

Q , θ queda definido por

θ(σt′) = σρt′ (t ⊗ u) = σ(ρt′t ⊗ ρt′u)

= σ(κtt ⊗ u) = (σκtt ⊗ σu)

= (κσtσt ⊗ sg(σ)u) = sg(σ)(κσtσt ⊗ u).

Luego,θ(κt′t

′) = κt′ρt′ (t ⊗ u) = ρtκtt ⊗ u.

Por otra parte,< ρtκtt, t >=< κtt, ρtt >=< κtt, |Rt|t >= |Rt|.

Como |Rt| es un escalar no nulo sobre Q, tenemos que θ(κt′t′) 6= 0. Por tanto, Ker θ 6⊇ Sλ

′

Q , y por el

teorema del submódulo se tiene que Ker θ ⊆ (Sλ′

Q )⊥. Entonces

dim(SλQ) = dim( Im θ) = dim(Mλ′

Q /Ker θ) ≥ dim(Mλ′

Q /(Sλ′

Q )⊥)) = dim(Sλ′

Q ).

De manera análoga, se tiene que

dim(Sλ′

Q ) ≥ dim(Sλ′′

Q ) = dim(SλQ).

Por tanto, en (2.4) tenemos una igualdad; en particular resulta que Ker θ = (Sλ′

Q )⊥ y esto implica que

Mλ′

Q /(Sλ′

Q )⊥ ∼= SλQ ⊗ S(1n)Q ,

como se quería probar, siendo Mλ′

Q /(Sλ′

Q )⊥ ∼= al dual de Sλ′

Q .

2.5. Tabla de Caracteres

Para finalizar el capítulo daremos en esta sección una fórmula, debida a Frobenius, para calcular la tabla decaracteres de Sn. En particular, se facilita el cálculo de la dimensión de estos módulos irreducibles.

Sin embargo, la mejor forma para calcular la tabla de caracteres de Sn para n chico, es deducir los caracteresque no se conocen de los triviales a través de las relaciones de ortogonalidad.

Por tanto, primero expondremos aquellos caracteres cuyo cálculo resulta trivial, debido a los teoremasanteriores, y luego mostraremos un ejemplo de cómo hallar los restantes cuando n es chico. Posteriormentedaremos la fórmula de Frobenius para el cálculo de la tabla de caracteres y una fórmula para calcular ladimensión de los módulos de Specht.

Para que la notación no sea tan engorrosa, a partir de este momento los caracteres de los módulos de SpechtSµQ, correspondientes a una partición µ de n, se escribirán como

χSµQ = χµ.

2.5. TABLA DE CARACTERES 63

Lema 2.6 El valor del carácter χ(n−1, 1) correspondiente a la representación irreducible S(n−1, 1)Q sobre una

permutación σ ∈ Sn es uno menos a la cantidad de elementos que deja fijo σ.

Demostración:Es claro que la cantidad de elementos que deja fijo σ es exactamente la traza del endomorfismo que define sobreM

(n−1, 1)Q (recordar que este espacio es el generado por 1, . . . n).

Por otro lado, sabemos que el carácter χ(n) es el carácter de la representación trivial y vale 1 para todapermutación σ ∈ Sn. Como M (n−1, 1)

Q = S(n)⊕S(n−1, 1)Q , el resultado es inmediato.

Ejemplo: Consideremos el grupo de permutaciones de 4 elementos y hallemos la tabla de caracteres del mismo.

Las clases de conjugación de S4 son 5 y cada una corresponde a una partición de 4. Las notaremos como lasclases de equivalencia de un elemento, es decir [1 2 3 4], [1 2 3], [(1 2)(3 4)], [1 2], [id], que corresponden a lasparticiones (4), (3, 1), (2, 2), (2, 12) y (14) respectivamente.

Por el lema anterior, sabemos que M (3, 1)Q = S(4)⊕S(3, 1)

Q . Luego, el carácter χ(3, 1) se deduce de la igualdad

χM

(3, 1)Q

= χ(4) + χ(3, 1),

y toma los valores −1, 0, −1, 1, 3 sobre las clases de conjugación de S4 dadas en orden decreciente,respectivamente. En particular, la dimensión de S(3, 1)

Q es 3. Como los caracteres de S(4)Q , S

(14)Q y S(3, 1)

Q son

conocidos, debemos encontrar los caracteres de las representaciones que faltan, a saber S(2, 2)Q y S

(2, 12)Q . Es

claro que la partición conjugada de S(3, 1)Q es S(2, 12)

Q , entonces

S(2, 12)Q

∼= S(14)Q ⊗ S(3, 1)

Q ,

y su carácter viene dado porχ(2, 12) = χ(14) · χ(3, 1).

Por tanto, sólo falta encontrar el carácter de la representación S(2, 2)Q , pero éste se deduce fácilmente de las

relaciones de ortogonalidad. En conclusión, la tabla de caracteres de S4 sobre Q es la siguiente:

6 8 3 6 1S4 [1 2 3 4] [1 2 3] [(1 2)(3 4)] [1 2] [id]

S(4) 1 1 1 1 1S(3, 1) −1 0 −1 1 3S(2, 2) 0 −1 2 0 2S(2, 12) 1 0 −1 −1 3S(14) −1 1 1 −1 1

.

Expondremos a continuación la fórmula de Frobenius para el cálculo del carácter del módulo de Specht Sλ,siendo λ una partición de n; su demostración se puede encontrar en [F-H].

Denotemos por Ci las clases de conjugación en Sn donde i está determinada por la sucesión

i = (i1, i2, . . . , in) tal que n =∑αiα.

Es decir, Ci consiste en aquellas permutaciones que tienen i1 ciclos de longitud 1, i2 ciclos de longitud 2,. . . , e in ciclos de longitud n.


Definición 32 Sean x1, . . . , xk variables independientes tal que k es mayor o igual a la cantidad de filas enel diagrama de Young de λ. Definimos la suma de potencias Pj(x), 1 ≤ j ≤ n y el discriminante ∆(x) por

Pj(x) = xj1 + xj2 + · · ·+ xjk,

∆(x) =∏i<j(xi − xj).

Definición 33 Sean f(x) = f(x1, · · · , xk) una serie formal de potencias y (l1, l2, . . . , lk) una k- tupla deenteros no negativos. Definimos entonces

[f(x)](l1, l2,..., lk) = coeficiente de xl11 · xl22 · · ·xlkn en f.

Dada una partición λ de n tal que λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk ≥ 0, consideremos la siguiente sucesión estrictamentedecreciente de k enteros no negativos

l1 = λ1 + k − 1, l2 = λ2 + k − 2, . . . lk = λk.

Luego, el carácter de Sλ viene dado por la siguiente

Fórmula de Frobeniusχλ(Ci) = [∆(x) ·∏j Pj(x)ij ](l1, l2,..., lk).

Por ejemplo, si n = 5, λ = (3, 2), y Ci es la clase de conjugación de (1 2)(3 4 5), es decir i1 = 0, i2 = 1, i3 = 1,entonces

χ(3, 2)(Ci) = [(x1 − x2)(x21 + x2

2)(x31 + x3

2)](4, 2).

Se puede ver fácilmente que los coeficientes dados en las tablas de caracteres de S3 y S4 verifican esta fórmula.Por ejemplo, sabemos que

χ(2, 2)((1 2 3)) = −1,

veamos que se verifica la fórmula:

Tenemos entonces que Ci = [1 2 3], i1 = 1, i2 = 0 e i3 = 1. Como λ = (2, 2), tomamos k = 2 y según lafórmula de Frobenius se tiene que

χ(2, 2) = [(x1 − x2)(x1 + x2)(x31 + x3

2)](3, 2)

= [(x21 − x2

2)(x31 + x3

2)](3, 2)

= [x51 − x3

1x22 + x2

1x32 − x5

2](3, 2)

= −1.

Usemos la fórmula de Frobenius para calcular la dimensión del módulo de Specht Sλ. Sabemos que éstaviene dada por χλ(Ci), siendo Ci la clase de conjugación de la identidad que corresponde a i = (n). Luego,

dim(Sλ) = χλ(C(n)) = [∆(x)(x1 + x2 + · · ·+ xk)n](l1, l2,..., lk).

Ahora bien, es claro que ∆(x) es el determinante de la matriz de Vandermonde:

1 xk . . . xk−1k

......

...1 x1 . . . xk−1

1

=∑σ∈Sn sg(σ)xσ(1)−1

k · · ·xσ(k)−1k ,

2.5. TABLA DE CARACTERES 65

y que el otro término se puede escribir de la siguiente manera:

(x1 + x2 + · · ·+ xk)n =∑

n!r1!·...rk!x

r11 · xr22 · · ·xrkk ,

donde la suma se realiza sobre todas las k-tuplas (r1, r2, . . . , rk) que suman n. Para obtener el coeficientecorrespondiente a xl11 ·xl22 · · ·xlkk redistribuimos los terminos en ambas sumas y obtenemos que dicho coeficientees ∑

sg(σ) n!(l1−σ(k)+1)!·...(lk−σ(1)+1)! ,

donde la suma se realiza sobre σ ∈ Sk tal que

lk−i+1 − σ(i) + 1 ≥ 0, ∀ 1 ≤ i ≤ k.En particular, esta suma se puede escribir como

n!l1!···lk!

∑σ∈Sk sg(σ)

∏kj=1 lj(lj − 1) · · · (lj − σ(k − j + 1) + 2),

y ésto, por definición de determinante, es igual a

n!l1! · · · lk!

1 lk lk(lk − 1) · · ·...

......

...1 l1 l1(l1 − 1) · · ·

.

Operando sobre las columnas, el determinante anterior se reduce a un determinante de Vandermonde, portanto se obtiene la siguiente fórmula para la dimensión de los módulos de Specht Sλ

dim(Sλ) = n!l1!···lk!

∏i<j(li − lj),

recordando que li = λi + k − i.Existe otra forma de expresar la dimensión de Sλ. Dicha forma está directamente ligada al diagrama [λ].

Definición 34 Un gancho en (i, j) sobre el diagrama de [λ] consiste en el nodo (i, j) junto con los λi− jnodos a la derecha de él y los λ

′j − i nodos debajo de él, los cuales se denominan el brazo y la pierna del

gancho, respectivamente.

Aquí mostramos un gancho en el nodo (1, 2) sobre el diagrama [4, 3, 1] de una partición de 8:

La longitud de un gancho en un nodo (i, j), correspondiente a un diagrama de Young [λ], es el número denodos involucrados en el gancho. Claramente este número viene dado por

hij = λi + λ′j + 1− i− j.

Si reemplazamos el nodo (i, j) de [λ] por la longitud hij del gancho que determina, obtenemos un grafosemejante a un tablero. En el caso anterior, dicho grafo sería:

6 4 3 14 2 11


Con esta nueva definición, la dimensión de los módulos de Specht se puede expresar de la siguiente manera:

dim(Sλ) = n!Qi,j hij

,

donde el producto se hace sobre todos los ganchos posibles en el diagrama de [λ].

Demostración:Mostraremos a través de un razonamiento inductivo que el resultado es cierto cuando λ tiene sólo tres coeficientesno nulos; es decir, λ = (λ1, λ2, λ3) tal que λi 6= 0 ∀ i. Claramente la demostración funciona para el caso general,pero una prueba completa de este resultado resultaría demasiado engorrosa y ocultaría la simplicidad de lasideas que ella involucra.

Hasta aquí, la fórmula de la dimensión de los módulos Specht involucra a li = λi+k− i y no se hace menciónde la longitud de los ganchos. Sin embargo, es claro que la longitud de los ganchos correspondientes a la primeracolumna coinciden con los números li, esto es

hi1 = λi + λ′1 − i− 1 + 1 = λi + k − i = li.

En particular, tenemos la siguiente igualdad:

dim(Sλ)n! =

Qi<j(hi1−hj1)

h11!···hk1! .

Entonces, recordando el determinante de Vandermonde tenemos que

dim(Sλ)n! = 1

h11!1h21!

1h31! ·

h11(h11 − 1) h11 1h21(h21 − 1) h21 1h31(h31 − 1 h31 1

=

1(h11−2)!

1(h11−1)!

1h11!

1(h21−2)!

1(h21−1)!

1h21!

1(h31−2)!

1(h31−1)!

1h31!

.

Utilizando algunas propiedades de determinantes obtenemos

dim(Sλ)n! = 1

h11h21h31·

1(h11−3)!

1(h11−2)!

1(h11−1)!

1(h21−3)!

1(h21−2)!

1(h21−1)!

1(h31−3)!

1(h31−2)!

1(h31−1)!

.

Aplicando la hipótesis inductiva al diagrama [λ∗] = [λ1 − 1, λ2 − 1, λ3 − 1] que se obtiene del diagrama [λ]quitándole la primera columna, tenemos que

dim(Sλ)n! = 1

h11h21h31· 1Q longitud de los ganchos en [λ∗]

= 1Qi,j hij

,


Capítulo 3

Introducción a las representacionesmodulares

Este capítulo contiene una introducción a la teoría de Brauer de representaciones modulares. Sea G un grupofinito y p un número primo que divide al orden de G. La estructura p− local de G es la familia de p-subgrupos deG, juntos con sus normalizadores. Las estructuras p-locales de G, para varios primos p, determinan la estructurade G y juegan un papel preponderante en el problema de clasificación de los grupos finitos simples.

El objetivo principal de la teoría de Brauer ha sido relacionar la teoría de caracteres G sobre el cuerpo delos números complejos con las estructuras p-locales de G para primos que dividen al orden de G. Comienza conun trabajo de Brauer en representaciones de un grupo finito G sobre un cuerpo modular k de característicap. En su forma actual, es el estudio de la teoría de representaciones de G sobre tres anillos R, K y k, y lasrelaciones que hay entre ellos. Aquí, el anillo k es un cuerpo de característica p y el anillo K es un cuerpo,generalmente de característica cero. Sin embargo, no haremos suposición alguna sobre la característica de K,salvo que se mencione lo contrario. La situación más importante es aquella en la que el cuerpo K es un cuerpode descomposición de G (cuya definición se verá más adelante). Podremos entonces relacionar los KG-módulosy sus caracteres con los kG-módulos y la estructura p-local de G.

Por otro lado, como los kG-módulos pueden no ser semisimples, la maquinaria de anillos y módulos semi-simples no se puede aplicar directamente al estudio de los kG-módulos. Por tanto, se usará la teoría de anillosartinianos con radical y los resultados se darán en términos de Grupos de Grothendieck y de caracteres deBrauer.

Comenzaremos con algunas definiciones y terminología que usaremos a través de todo el capítulo. De aquíen adelante, todos los módulos se supondrán finitamente generados, salvo que se especifique lo contrario.

3.1. Definiciones

Definición 35 Sea R+ el conjunto de los número reales positivos. Una valuación sobre un cuerpo K es unaaplicación ϕ : K → R+ tal que para todo a, b ∈ K se tiene que

ϕ(a) = 0 si solo si a = 0

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

ϕ(a+ b) ≤ ϕ(a) + ϕ(b)

67

68 CAPÍTULO 3. INTRODUCCIÓN A LAS REPRESENTACIONES MODULARES

Una valuación no-arquimedeana es aquella que satisface

ϕ(a+ b) ≤ max(ϕ(a), ϕ(b)).

Una valuación se dice discreta si su grupo de valores ϕ(a) : a ∈ K, a 6= 0 es un grupo cíclico e infinito. Sepuede ver que una valuación discreta es también no-arquimedeana.

Cada valuación induce una métrica sobre K tomando los entornos para cada a ∈ K como las esferas abiertasde radio ε ∈ R+,

x ∈ K : ϕ(x− a) < ε.

Los axiomas de métrica se deducen trivialmente de la definición de valuación y del hecho de que ϕ(1) =ϕ(−1) = 1 para toda valuación. Dos valuaciones se dicen equivalentes si definen la misma topología sobre K.

Dada una valuación no-arquimedeana sobre K definimos los siguientes subconjuntos de K:

R = a ∈ K : ϕ(a) ≤ 1, ℘ = a ∈ K : ϕ(a) < 1.

Luego, R resulta un anillo, que se denomina anillo de valuación de ϕ y ℘ es el único ideal maximal de R;en particular, R resulta ser un anillo local. Se verifica fácilmente que R es un anillo y que ℘ es un ideal, veamosentonces que éste ideal es maximal y que es el único:

Supongamos que J es un ideal no nulo de R tal que ℘ ⊂ J ⊂ R. Luego, existe un elemento x ∈ J tal queϕ(x) = 1. Como 1 = ϕ(1) = ϕ(x · x−1) = ϕ(x)ϕ(x−1), tenemos que x−1 ∈ R y al ser J un ideal de R, debe serque x−1 · x ∈ J ; lo cual implica que J = R. Por tanto, ℘ es un ideal maximal.

Si Q es otro ideal maximal de R distinto de ℘, entonces existe un elemento b de Q tal que ϕ(b) = 1.Siguiendo el razonamiento anterior se deduce que Q = R. Si para todo elemento b de Q se tiene ϕ(b) < 1, en-tonces Q ⊂ ℘, lo cual es una contradicción. Luego, ℘ es el único ideal maximal de R.

Más aún, si ϕ es una valuación discreta, entonces ℘ = Rπ es un ideal principal, generado por cualquierelemento π ∈ ℘ tal que ϕ(π) genera el grupo de valores de ϕ. En este caso, el anillo R se denomina un anillode valuación discreto, cuyo nombre abreviaremos por d.v.r. Análogamente, se tiene que todo ideal no nulode R es de la forma πkR, para algún k ≥ 0; en particular, resulta que el anillo de valuación discreto es undominio principal.

Por ser ℘ un ideal maximal de R, el cociente R/℘ es un cuerpo que se denomina el cuerpo de residuos deϕ.

Un ejemplo de valuación es el siguiente:

Sea Q el cuerpo de los números racionales y sea p un número entero primo. Para cada a ∈ Q sea νp(a) elnúmero que resulta de restar el exponente de p que aparece en la factorización del numerador por el exponente dep que aparece en la factorización del denominador; por ejemplo νp(p) = 1 y νp( 1

p ) = −1. Tomemos νp(0) = +∞y sea κ un número real mayor a 1. Definimos entonces

ϕp(a) = κ−νp(a), ∀ a ∈ Q.

Esta valuación ϕp es una valuación discreta no-aquimedeana sobre Q que se denomina la valuación p-ádicade Q. Observar que cambiar el valor de κ no cambia la clase de equivalencia de la valuación.

3.1. DEFINICIONES 69

El anillo de valuación de ϕp es precisamente

Rp = a ∈ Q : ϕp(a) ≤ 1

= a ∈ Q : νp(a) ≥ 0

= xs ∈ K : x ∈ Z, s ∈ Z− p · Z.

Esto es, la localización de Z en p. Análogamente, su ideal maximal será

℘ = a ∈ Q : ϕp(a) < 1

= a ∈ Q : νp(a) > 0

= xs ∈ K : x ∈ p · Z, s ∈ Z− p · Z.

Por tanto, el cuerpo de residuos Rp/℘ resulta isomorfo al cociente Z/p · Z, esto es

Rp/℘ ∼= Zp.

Hemos visto que una valuación sobre un cuerpo le da a éste una estructura de espacio métrico. Podemos entoncescompletar dicho espacio métrico para que resulte completo. Este proceso se realiza de la manera usual; es decir,se toman los elementos de K la completación de K como las clases de equivalencia de las sucesiones de Cauchyde K. Luego, K resulta un cuerpo, que se denomina la completación ϕ-ádica de K. La valuación ϕ se extiendeúnicamente a una valuación ϕ de K, y K resulta completo con respecto a la métrica definida por ϕ. Si ϕ esuna valuación no-arquimedeana, entonces ϕ también es no-arquimedeana y el grupo de valores es el mismo.Por tanto, si ϕ es una valuación discreta, también lo es ϕ. Su anillo de valuación y su ideal maximal son lossiguientes:

R = a ∈ K : ϕ(a) ≤ 1, ℘ = a ∈ K : ˆϕ(a) < 1.

Se puede demostrar que hay un isomorfismo de cuerpos R/℘ ∼= R/wp. Más aún, se tiene que

℘ = ℘ · R, ℘ = ℘ ∩R.

Recordaremos ahora la definición de módulos proyectivos y sus equivalencias que necesitaremos a lo largode todo el capítulo.

Definición 36 Sea A un anillo. Un A-módulo se dice proyectivo si es un sumando directo de un A-módulolibre.

Definición 37 Sea A un anillo arbitrario, y sea C una categoría de A-módulos a izquierda. Una sucesiónexacta corta (s.e.s.) es una sucesión de A-módulos tal que

0 //Lψ //M

θ //N //0 , (1)

donde Ker θ = Im ψ, θ es un epimorfismo y es ψ un monomorfismo.

Proposición 3.1 Sea P un A-módulo. Las siguientes condiciones son equivalentes:

i) P es proyectivo.


ii) Toda sucesión exacta 0→ X → Y → P → 0 de A-módulos se parte. Es decir, Y ∼= X ⊕ P .iii) Para cada diagrama con la última fila exacta

Ph

~~~~

~~

f

X g

// Y // 0

existe un morfismo de A-módulos h tal que f = gh.

iv) Para cada morfismo suryectivo g : X → Y , la aplicación inducida

g∗ : HomA(P,X)→ HomA(P, Y ),

es también suryectiva.

v) El funtor HomA(P,−) es exacto.

Definición 38 Sea A un anillo. La torsión de un A-módulo M está definido por

t(M) = m ∈M : r ·m = 0, para algún r ∈ A, r 6= 0.

Supongamos que A es un dominio íntegro y sea K el cuerpo de cocientes de A. Es claro que t(M) es elnúcleo del morfismo natural

Mψ //K ⊗AM .

Decimos queM es libre de torsión si t(M) = 0. En este caso, ψ es inyectivo yM está inmerso en K⊗AM .De aquí en adelante, si M es libre de torsión, identificaremos a M con su imagen por ψ, 1⊗AM en K ⊗AM .Además,

K ⊗AM = K(1⊗AM) = KM,

siendo KM el conjunto de combinaciones lineales sobre K de elementos de M . Es claro que para todo elementov ∈ KM , existe r ∈ A no nulo tal que r · v ∈M .

Definición 39 Sea R un anillo conmutativo arbitrario. Un R-retículo es un R-módulo proyectivo finita-mente generado.

Si G es un grupo finito, un RG-retículo es un RG-módulo tal que el R-módulo subyacente es un R-retículo.

Supongamos que R es un anillo de valuación discreto; luego, es un dominio principal. Por tanto, todo R-módulo proyectivo finitamente generado es un R-módulo libre con base finita. En particular, los RG-retículosson RG-módulos libres con una base finita sobre R. Dado un RG-retículo M , podemos formar el KG-móduloKM = K ⊗R M , y el kG-módulo M = M/℘ ·M , cuya construcción se verá en detalle más adelante. En estecapítulo, estudiaremos la conexión entre M, KM y kM a través del mapa de descomposición y el triángulo deBrauer-Cartan.

Definición 40 Sea p un número primo. Un sistema p-modular (K, R, k) consiste de un anillo de valua-ción discreta R con cuerpo de cocientes K, ideal maximal ℘ = πR, y cuerpo residual k = R/℘ de característicap.

3.2. GRUPOS DE GROTHENDIECK 71

Recordemos que el anillo R es un anillo local, que ℘ es su único ideal maximal y ℘ = R ·π, siendo π cualquierelemento de ℘ que genere el grupo de valores de la valuación. Los sistemas modulares se pueden encontrar enun cuerpo K de números algebraicos, tomando una valuación ϕ no-arquimedeana p-ádica sobre K, R comoel anillo de valuación de ϕ y k como el cuerpo de residuos R/℘. En el ejemplo anterior vimos que el cuerporesidual tenía característica p y era isomorfo a Zp. En ese caso, el sistema p-modular sería (Q, Rp, Zp), siendoRp la localización de Z en p. También se puede tomar K como la completación p-ádica de un cuerpo algebraicode números; de esta forma, el anillo de valuación R resulta completo con la topología p-ádica. Sea a la imagende un elemento a ∈ R por la aplicación natural R → R/℘ = k. Sea M un RG-retículo en un KG-módulo V .Entonces M = M/℘ ·M es un RG-módulo que es anulado por ℘, por tanto, puede adquirir una estructura dekG-módulo, donde la acción de kG está dada por

(∑

x∈Gaxx) · m =

∑

x∈Gaxx ·m, ax ∈ R, m ∈M,

siendo m la imagen en M del elemento m ∈M por la aplicación natural.

Denotamos por M al kG-módulo que se obtiene de M por reducción módulo ℘.

Definición 41 Un elemento x ∈ G se dice p-regular si su orden es un número coprimo con p. Diremosque x ∈ G es un p-elemento si el orden de x es una potencia de p.

La identidad 1G de G es el único elemento que es p-regular y es un p-elemento. Se puede ver que todoelemento x ∈ G se escribe de manera única como x = s · u, siendo s un elemento p-regular, u un p -elemento ys · u = u · s. Esto se deduce fácilmente debido a que u y s resultan ser potencias de x. Diremos entonces que ses la parte p-regular de x, y que u es la p-parte de x. De esta forma, definimos

Gp′ = elementos p-regulares de G.

3.2. Grupos de Grothendieck

Sean A un anillo arbitrario y C una subcategoría plena de la categoría de A-módulos a izquierda. Conside-remos la siguiente sucesión exacta corta de A-módulos:

0 //Lψ //M

θ //N //0 . (2)

Si cada módulo de la sucesión exacta anterior pertence a C, decimos que (2) es una s.e.s. de C. Supondremossiempre que 0 ∈ C, y que si M, N ∈ C entonces M ⊕N ∈ C. Asumiremos también que la colección de clasesde isomorfismos de módulos en C forman un conjunto. Por ejemplo, C se puede elegir como una de estas trescategorías:

AM = categoría de todos los A-módulos a izquierda,

Amod = categoría de todos los A-módulos a izquierda finitamente generados,

P(A) = categoría de todos los A-módulos proyectivos a izquierda finitamente generados.

Considerando invariantes de módulos, usualmente se busca construir una aplicación h : C → T , que asignaa cada módulo M ∈ C un elemento h(M) en algún grupo abeliano fijo T . Se desea que el mapa sea aditivo ensucesiones exactas cortas de C, esto es,

h(M) = h(L) + h(N),


para toda s.e.s. (1) en C. Esto implica en particular que la imagen de cada módulo sólo depende de la clasede isomorfismo del mismo. Por ejemplo, sea C la categoría de todos los CG-módulos a izquierda de dimensiónfinita, y para cada M ∈ C, sea h(M) = χM el carácter de M . Luego, la aplicación h va de C al grupo aditivoch CG de los caracteres virtuales de G, definido en (9). Por lo visto en el primer capítulo, sabemos que h esaditiva sobre s.e.s. en C ya que toda sucesión exacta se parte por ser el anillo CG un anillo semisimple.

Definición 42 Sea C una categoría de A-módulos. Sea F el grupo abeliano libre generado por los símbolos(M), uno por cada clase de isomorfismo de módulos en C. Sea F0 el subgrupo de F generado por todas lasexpresiones

(M)− (L)− (N),

provenientes de todas las s.e.s. (1) en C. El grupo de Grothendieck K0(C) de la categoría C está definidocomo el grupo abeliano aditivo construido a través del cociente

K0(C) = F/F0.

Para la construcción de un grupo abeliano libre se puede consultar [L].

Si M ∈ C, escribiremos [M ] para denotar la imagen de M en K0(C). De la definición del grupo de Grothen-dieck se deduce inmediatamente la siguiente

Proposición 3.2 Sean T un grupo abeliano fijo y h : C → T una aplicación que es aditiva sobre s.e.s. enC. Entonces existe un único morfismo aditivo

g : K0(C)→ T,

que extiende h, y está dado por la fórmula

g([M ]) = h(M), ∀ M ∈ C.

Si la categoría en cuestión es la categoría Amod de los A-módulos a izquierda finitamente generados, sugrupo de Grothendieck se notará

G0(A) = K0(Amod).

Por otra parte, el grupo de clases proyectivas K0(A) de un anillo A está definido por

K0(A) = K0(P(A)).

Luego, K0(A) está generado por las expresiones [P ], una para cada clase de isomorfismo (P ) de A-módulosproyectivos finitamente generados, con relaciones

[P ⊕ P ′ ] = [P ] + [P′], ∀ P, P ′ ∈ P(A).

Notar que para este grupo, las relaciones se puede expresar de manera más simple debido a que toda s.e.s.en la categoría de A-módulos proyectivos f.g. se parte.

Dados un sistema modular (K, R, k) y un grupo finito G, estudiaremos principalmente los grupos deGrothendieck G0(KG), G0(kG) y los grupos de clases proyectivas K0(KG) y K0(kG).

Más adelante mostraremos que si la característica de K es cero, entonces G0(KG) = ch (KG), el anillo decaracteres virtuales de los KG-módulos. Como un primer paso, tenemos la siguiente proposición:

3.2. GRUPOS DE GROTHENDIECK 73

Proposición 3.3 Sean A un anillo artiniano y V1, . . . , Vs un conjunto de representantes de clases deisomorfismo de A-módulos simples a izquierda. Entonces

G0(A) =s⊕

i=1

Z [Vi];

es decir, el grupo de Grothendieck G0(A) es un grupo abeliano libre con base [V1], . . . , [Vs].

Demostración:Cada A-módulo U finitamente generado tiene una cadena de composición

U = U0 ⊃ U1 ⊃ · · · ⊃ Ut+1 = 0,

y factores de composición (Ui/Ui+1), que son A-módulos simples por ser A artiniano. Como la sucesión

0 //Ui+1//Ui //(Ui/Ui+1) //0 ,

es exacta para cada i, se sigue de la definición de G0(A) que

[U ] =t∑

i=0

[Ui/Ui+1], en G0(A).

Luego, como V1, . . . , Vs es un conjunto base de A-módulos simples, tenemos que

[U ] =t∑

i=0

ri(U)[Vi], en G0(A),

donde para cada i, ri(U) es la multiplicidad de Vi como factor de composición de U . Por el teorema de Jordan-Hölder, se tiene que ri(U) está bien definido y claramente ri es aditivo en s.e.s. de A-módulos. Luego, por lapropopsición anterior, tenemos que existe un morfismo aditivo

g : G0(A)→ Zs,

definido por g[U ] = (r1(U), . . . , rs(U)); siendo claramente un morfismo suryectivo.

Por otra parte, existe un morfismo f : Zs → G0(A), definido por

f(r1, . . . , rs) =t∑

i=0

ri(U)[Vi], ri ∈ Z.

Es claro que gf = id y que fg = id; por tanto, f y g son isomorfismos, siendo uno inversa del otro. Luego,[V1], . . . , [Vs] forma una base libre sobre Z de G0(A).

Daremos a continuación, sin demostración aunque los argumentos son muy similares a los utilizados en lademostración anterior, un teorema que describe la estructura aditiva de K0(A) para el caso que A sea un anillosemiperfecto, es decir, un anillo que cumple las siguientes condiciones:

i) A/rad A es un anillo artiniano semisimple.


ii) Todo idempotente en A/rad A se puede levantar a un idempotente en A.

Los anillo semiperfectos que estudiaremos son RG y kG, donde (K, R, k) es un sistema modular. Se puedeprobar que RG es un anillo semiperfecto siempre que R sea completo con la topología ℘-ádica; esto es, latopología que tiene como base de entornos abiertos de a ∈ RG a los conjuntos

a+ ℘k : k = 0, 1, 2, . . ..

En general, dado un anillo A y un ideal bilátero N contenido en rad A, se define la topología N -ádica, comola topología cuya base de entornos abiertos de a ∈ A son los conjuntos

a+Nk : k = 0, 1, 2, . . ..

Decimos que A es completo con la topología N -ádica si toda sucesión de Cauchy de A, converge (en latopología N -ádica) a un único elemento de A. Si R es un anillo de valuación discreto completo con la topologíainducida por la valuacíon discreta ϕ, entonces R es completo con la topología ℘-ádica. Más aún, es fácil ver quela topología ℘-ádica es equivalente a la topología ϕ-ádica.

Por otro lado, kG es semiperfecto para cualquier cuerpo arbitrario k. (Ver [C-R] para las demostraciones deestos hechos y para la demostración de la proposición).

Proposición 3.4 Sean A un anillo semiperfecto y P1, . . . , Pr un conjunto de representantes de clases deisomorfismo de A-módulos a izquierda, proyectivos, indescomponibles y finitamente generados. Es decir, todoA-módulo a izquierda, finitamente generado, proyectivo e indescomponible es isomorfo a exactamente uno delos Pi. Entonces

K0(A) =r⊕

i=1

Z [Pi].

Es decir, el grupo de clases proyectivas es un grupo abeliano libre con base [P1], . . . , [Pr].

Sean K un cuerpo arbitrario y G un grupo finito. Mostraremos en lo que sigue que el grupo de GrothendieckG0(KG) se puede transformar en un anillo conmutativo, con la multiplicación correspondiendo al productotensorial de KG-módulos.M, N un par de KG-módulos finitamente generados, yM⊗KN el producto tensorialusual, que también tiene una estructura deKG-módulo. Intentamos definir la multiplicación en G0(KG) a partirde la siguiente fórmula:

[M ][N ] = [M ⊗K N ],

y extenderla a todo el grupo por linealidad. Sin embargo, este proceso tiene una dificultad extra que es la dedemostrar que la multiplicación está bien definida. Por tanto, lo haremos de la siguiente manera:Recordandola costrucción del grupo de Grothendieck, sabemos que G0(KG) = F/F0, donde F es un grupo abeliano libregenerado por las clases de isomorfismos (M) de KG-módulos a izquierda finitamente generados. Por tanto,podemos definir sobre F la multiplicación sin ambigüedad, esto es

(M)(N) = (M ⊗K N),

para cada par de KG-módulos M, N . Por tanto, F resulta un anillo conmutativo y asociativo con unidad. Paraver que esta multiplicación se puede llevar a cabo en G0(KG), basta ver que F0 es un ideal de F . Consideremosuna s.e.s. de KG-módulos como en (1), y sea X cualquier KG-módulo. Entonces, la sucesión de KG-módulos

0 //X ⊗K L //X ⊗K M //X ⊗K N //0 ,

3.3. EL MAPA DE DESCOMPOSICIÓN 75

es exacta. Por tanto, tenemos que

(X)((M)− (L)− (N)) = (X ⊗K M)− (X ⊗K L)− (X ⊗K N) en F.

Luego, F0 es un ideal en F ; lo que implica que la multiplicación pase al cociente y le de a G0(KG) unaestructura de anillo conmutativo con unidad. Observar que luego de esta construcción, la fórmula (3.2) es válida.

Estableceremos ahora la relación entre el grupo de Grothendieck G0(KG) y el anillo de caracteres virtualesch KG definido en el capítulo 1.

Proposición 3.5 Sean K un cuerpo de característica cero y G un grupo finito. Existe un isomorfismo deanillos

G0(KG) ∼= ch KG,

dado por la aplicación que a cada KG-módulo M le asigna su carácter.

Demostración:Sea ψ : G0(KG) → ch KG, definida por ψ(M) = χM . Como los caracteres son aditivos sobre s.e.s. de KG-módulos, se tiene que la aplicación ψ está bien definida sobre G0(KG). Por definición, sabemos que ch KG esZ libre sobre los caracteres irreducibles de G; y por la proposición 3.3 se tiene que G0(KG) es Z libre sobrelos KG-módulos simples. Al ser K de característica cero, es claro que ψ es un isomorfismo de grupos aditivos.Más aún, si N es un KG-módulo de carácter χN , entonces por lo visto en el capítulo 1 sabemos que el carácterde M ⊗K N está dado por χM · χN . Esto implica que el isomorfismo es de anillos, como se quería probar.

Para un sistema modular (K, R, k) y un grupo finito G, esperamos que el grupo de Grothendieck G0(kG)sirva como objeto de estudio; ya que, al no ser kG un anillo semisimple, un kG-módulo nunca está unívocamentedeterminado por su carácter, es por eso que no se considera el anillo de caracteres virtuales ch kG.

3.3. El mapa de descomposición

A través de esta sección, (K, R, k) será un sistema modular y G un grupo finito. Obtendremos aquílas primeras conexiones entre los KG-módulos, los RG-modulos y los kG-módulos. Recordemos que los RG-retículos son RG-módulos que tiene una base finita sobre R. Como R es un dominio principal, los submódulosde RG-retículos son necesariamente subretículos.

Definición 43 Sea V un KG-módulo a izquierda finitamente generado. Un RG-retículo completo M enV es un RG-retículo M contenido en V tal que KM = V .

Observemos que para cada RG-retículo M en V tenemos que

K ⊗RM ∼= KM,

como KG-módulos. A saber, la suryección K ⊗R M → KM , es un morfismo sobre KG; y como M es unR-módulo libre de torsión, dicha suryección es un isomorfismo.

Mostraremos ahora que todo KG-módulo contiene un RG-retículo completo M . Luego, se considerará elkG-módulo M = M/℘ ·M , que se obtiene a partir de M por reducción módulo ℘. Para un KG-módulo fijoV puede haber muchos RG-retículos completos M en V , más aún, los kG-módulos M , que se obtienen por


reducción módulo ℘, en general no resultan ser isomorfos. Sin embargo, veremos que si son iguales en el grupode Grothendieck G0(kG). Esta observación es el punto de partida de la teoría de representaciones modulares.

Veamos ahora un lema, cuya demostración es trivial, que nos muestra dos condiciones sobre un RG-módulode V para que sea un RG-retículo completo en V .

Lema 3.1 Sea V un KG-módulo a izquierda finitamente generado. Un RG-submódulo M de V es un RG-retículo completo en V si y sólo si se cumplen las condiciones:

i) M tiene una base finita sobre R,

ii) KM = V .

En particular, si M es un RG-retículo completo en V , entonces para cada base m1, . . . , md sobre R deM , el conjunto 1⊗m1, . . . , 1⊗md es una base sobre K para el KG-módulo K ⊗RM . Identificando M con1⊗M tenemos el siguiente

Corolario 3.1 Si M es un RG-retículo completo en V , entonces toda base de M sobre R, es también unabase de V sobre K.

Recordemos del primer capítulo que las equivalencias de representaciones de G sobre K de un KG-móduloprovienen de cambios de bases sobre K. En consecuencia, tenemos el siguiente resultado:

Corolario 3.2 Toda representación de G sobre K cuyo módulo admite un RG-retículo completo, es equi-valente sobre K a una representación de G sobre R, esto es, una representación por matrices con coeficientesen R.

Veamos ahora el problema de existencia de RG-retículos completos en KG-módulos.

Proposición 3.6 Todo KG-módulo a izquierda finitamente generado V contiene RG-retículos completos.

Demostración:Sea vi una base sobre K de V . Luego, tenemos que V =

∑di=1K · vi. Definimos entonces

M =d∑

i=1

RG · vi.

Entonces,M es un RG-módulo finitamente generado sobre R y es libre de torsión, por tanto es un RG-retículoen V . Claramente, KM = V , es decir que M es un RG-retículo completo en V .

Hemos visto la construcción de un kG-módulo a partir de un RG-retículo a través de la reducción módulo ℘en la sección anterior. Esta construcción puede ser reformulada de varias maneras, y aquí expondremos algunasde ellas que nos serán de utilidad para más adelante.

Por el corolario 3.2, sabemos que toda representación de G sobre K es equivalente a una representación deG sobre R. Sea T : G→ GLd(R) una representación matricial de G sobre R, dada por

T (x) = (aij(x)), aij(x) ∈ R, x ∈ G.

Luego, definimos T : G→ GLd(k) una representación matricial de G sobre k por

T (x) = (aij(x)), x ∈ G.


Por tanto, si T es una representación lineal de G sobre R dada por un RG- retículo completo M en V ,con respecto a una base m1, . . . , md de M , entonces m1, . . . , md es una base de M sobre k, y T es unarepresentación matricial de G sobre k dada por M con respecto a la base m1, . . . , md.

Una segunda interpretación de M está dada por el isomorfismo

M ∼= k ⊗RM.

Verifiquemos dicho isomorfismo. Consideremos la sucesión exacta corta

0 //℘ //R //k //0 ,

y apliquemos (−)⊗RM para obtener la sucesión

0 //℘⊗RM //R⊗RM //k ⊗RM //0 ,

que es exacta pues M es libre. Identificando R ⊗R M con M , tenemos que la imagen de ℘ ⊗R M se identificacon ℘ ·M , y por tanto, M/℘ ·M ∼= k ⊗RM como se quería probar.

Veremos ahora una proposición que nos da una cierta unicidad de RG-retículos completos en el grupo deGrothendieck.

Proposición 3.7 Sean M y N un par de RG-retículos completos en un KG-módulo V . Entonces [M ] = [N ]en G0(kG), o equivalentemente, los kG-módulos M y N tienen los mismos factores de composición.

Demostración:(Idea) Por el Lema 3.1, la suma M +N es un RG-retículo completo que contiene a M y a N . Por tanto, bastacon demostrar la proposición para RG-retículos L y M tal que L ⊂ M . Como RG es un anillo noetheriano,tenemos que M es un RG-módulo noetheriano, luego se puede suponer que L es un submódulo maximal de M .Más aún, se puede demostrar, usando el lema de Nakayama, que ℘ ·M ⊆ L. Por tanto, se tiene que

℘ · L ⊆ ℘ ·M ⊆ L ⊆M.

Entonces, debemos demostrar que L y M tienen los mismos factores de composición. Pero como estos kG-módulos tienen los factores de composición de L/℘ ·M en común, la demostración se termina demostrando queM/L y ℘ ·M/℘ · L tienen los mismos factores de composición. Para ver la demostración completa ver [C-R].

Proposición 3.8 Existe un morfismo de grupos abelianos

d : G0(KG)→ G0(kG),

tal que para cada KG-módulo a izquierda finitamente generado V , la aplicación le asigna a [V ] ∈ G0(KG), elelemento [M ] ∈ G0(kG), siendo M un RG-retículo completo en V .

Demostración:Por la proposición anterior, la imagen [M ] es independiente del RG-retículo que se elija en V , por tanto d estábien definida si es aditiva sobre s.e.s. Dada una s.e.s de KG-módulos

0 //V1//V2

ψ //V3//0 ,


sea M2 un RG-retículo competo en V2, y pongamos M3 = ψ(M2). Luego, M3 es un RG-retículo en V3, y comoψ es un morfismo de KG-módulos, se tiene que

KM3 = Kψ(M2) = ψ(KM2) = ψ(V2) = V3.

Es decir, M3 es un RG-retículo completo en V3. Supongamos que la aplicación V1 → V2 es la inclusión ypongamos M1 = M2 ∩ V1. Claramente M1 es un RG-retículo, y obtenemos entonces la s.e.s.

0 //M1//M2

ψ //M3//0 . (3)

Luego, 0 //KM1//KM2

//KM3//0 , es exacta; en particular, KM1 = V1, siendo M1 un RG-

retículo completo en V1. Como M3 es un R-módulo proyectivo, la sucesión (3) se parte. Por tanto, tensorizarpor k sobre R mantiene la exactitud. Como k ⊗RMi

∼= Mi, tenemos entonces una s.e.s. de kG-módulos

0 //M1//M2

//M3//0 .

Por tanto, [M2] = [M1] + [M3] en G0(kG), esto es

d[V2] = d[V1] + d[V3].

Es decir que d es aditiva para s.e.s. como se quería probar.

Como los anillos KG y kG son artinianos, se puede aplicar la proposición 3.3. Sea entonces [Z1], . . . , [Zs]una Z-base libre de G0(KG) de KG-módulos simples y sea [F1], . . . , [Fr] una Z-base libre de G0(kG) dekG-módulos simples. Entonces

d[Zi] =r∑

j=0

dij [Fj ], 1 ≤ i ≤,

siendo dij la multiplicidad de Fj como factor de composición del kG-módulo que se obtiene por reducciónmódulo ℘ de un RG-retículo completo en Zi.

Definición 44 El morfismo de grupos abelianos

d : G0(KG)→ G0(kG),

se denomina el mapa de descomposición o morfismo de descomposición asociado al sistema p-modular(K, R, k) y el grupo finito G. La matriz D = (dij) definida en (3.3) se denomina la matriz de descompo-sición.

3.3.1. Ejemplos

a) Supongamos que G = S3, p = 2, y que el sistema p-modular es (Q2, R, k); siendo Q2 el cuerpo queresulta de completar Q con respecto a la topología 2-ádica, R el anillo de los enteros 2-ádicos correspondientea la valuación 2-ádica sobre Q, ℘ = 2 · R, y k = R/2 · R = Z2. Por lo visto en los primeros capítulos, sabemosque hay tres representaciones irreducibles de S3 sobre Q, las cuales son la estándar, la representación signo yla representación trivial, cada una asociada a una partición de 3. Como las representaciones sobre Q2 son las


mismas que sobre Q, la tabla de caracteres es la siguiente:

Q2S3 1 3 2S3 id (1 2) (1 2 3)

la trivial S(3) 1 1 1la estándar S(2, 1) 2 0 −1

signo S(1, 1, 1) 1 −1 1

.

En el capítulo 2 vimos que estas representaciones se realizan sobre Z; luego, reduciendo módulo 2 las tresrepresentaciones irreducibles, obtenemos dos representaciones de Z2S3, una de dimensión 1 y otra de dimensión2. La primera es la imagen de la representación trivial y de la representación signo, que claramente es la misma,y la segunda es la reducción de la estándar. A través de un simple cálculo, es fácil ver que dicha reducción resultauna representación irreducible de S3 sobre Z2. Si no lo fuera, debería tener un subrepresentación propia, quepor cuestión de dimensiones, debe estar generada por un vector que sería autovector de todos los endomorfismosdefinidos por la representación. Pero, ningún vector de S(2, 1) genera un subespacio estable por la acción de S3

sobre Z2. Luego, su matriz de descomposición es

D =

1 00 11 0

.

Para el ejemplo ii) necesitamos una proposición, cuya demostración se puede encontrar en [C-R].

Proposición 3.9 Sean D un p-subgrupo normal de G, y (K, R, k) un sistema modular arbitrario. Entonces

i) D actúa trivialmente sobre todos los kG-módulos simples V , y por tanto, los kG-módulos simples coincidencon los k(G/D)-módulos simples.

ii) La suryección natural τ : RG → R(G/D) tiene la propiedad de que ker τ es nilpotente módulo ℘ · G, ypor tanto ker τ ⊂ rad RG.

b) Sean G = S4, p = 2, y (Q2, R, k) el sistema 2-modular definido en el ejemplo anterior. Sabemos que hay 5representaciones irreducibles de S4 sobre Q, de dimensiones 1, 3, 2, 3, 1. Ellas son S(4), S(3, 1), S(2, 2), S(2, 1, 1)

y S(1, 1, 1, 1), respectivamente. La primera es la representación trivial, la segunda la representación estándar, laúltima la representación signo y la cuarta la representación que se obtiene tensorizando sobre Q la representaciónsigno con la estándar.

Sea H el 2-subgrupo abeliano normal generado por producto de dos trasposiciones que conmutan, esto es

H = id, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4).

Luego, el orden deH es 4. Consideremos el cociente de S4 con este subgrupo normal, su orden será |S4/H| = 6.Claramente, el cociente no es un grupo abeliano, por tanto debe ser que S4/H ∼= S3. Por la proposición anterior,el 2-subgrupo H actúa trivialmente sobre cada Z2S4-módulo simple y los Z2S4-módulos simples coinciden conlos Z2S3-módulos simples. Por tanto, tenemos dos Z2S4-módulos simples F1, F2, ver el ejemplo a).

Claramente, S(4) y S(1, 1, 1, 1) tienen la misma imagen, así también como los módulos S(3, 1) y S(2, 1, 1) ∼=S(3, 1) ⊗ S(1, 1, 1, 1). La representación de dimensión dos tiene la misma imagen que la representación estándarde S3, ya que es la única de dimensión 2 y resulta ser una representación irreducible sobre Z2, por los mismos


argumentos expuestos en el ejemplo anterior. Por tanto, la matriz de descomposición es la siguiente:

D =

1 01 10 11 11 0

.

Recordemos que ordenamos la base de los QSn-módulos simples según el orden establecido en el capítulo2. Cabe destacar que la reducción de los módulos simples S(3, 1) y S(2, 1, 1) dejó de ser simple para ser unacombinación lineal de Z2S4-módulos simples.

3.3.2. Extensiones de cuerpos de base y grupos de Grothendieck

Durante el transcurso de esta sección seguiremos con la intención de no hacer tantas demostraciones parapoder dar una idea general de la teoría. Las demostraciones de las proposiciones que aquí expondremos sepueden ver en [C-R].

Sean (K, R, k) un sistema p-modular, donde la característica de K es cero, y sea K′una extensión finita

de cuerpos de K. Se intenta encontrar un sistema p-modular (K′, R

′, k′) que extienda al sistema original. Esto

siempre se puede lograr debido a la siguiente proposición:

Proposición 3.10 Sea (K, R, k) un sistema p-modular y denotemos por ν a la valuación sobre K cuyoanillo de valuación es R. Para cada cuerpo K

′que es una extensión finita de K, la valuación ν se puede

extender a una valuación discreta ν′sobre K

′. Sean R

′el anillo de valuación de ν

′, ℘′el ideal maximal de R

′,

y k′

= R′/℘′el cuerpo residual. Entonces

R′ ∩K = R, ℘

′ ∩K = ℘,

y k′es una extensión finita del cuerpo k.

Demostración:(Idea). Expondremos, sin demostración, algunos hechos relevantes para la prueba de esta proposición. El d.v.r.R es el anillo asociado a alguna valuación discreta ν sobre K, por tanto

R = a ∈ K : ν(a) ≥ 0, ℘ = a ∈ K : ν(a) > 0.

Sea K la completación p-ádica de K, luego la valuación ν se extiende a una valuación discreta ν sobre K:Sea Ω alguna clausura algebraica de K. Entonces ν se extiende a una valuación ω sobre Ω, definida por

ω(x) =1nν(Nx), n = dimK K(x), x ∈ Ω,

siendo Nx la norma de x que proviene de la extensión finita K(x) de K. Ahora, sea Ω es un cuerpo algebraica-mente cerrado que contiene a K. Sean θi : K

′ → Ω, 1 ≤ i ≤ m, las distintas inclusiones de K′en Ω. Entonces,

la valuación discreta ν tiene exactamente m extensiones distintas ν1, ν2, . . . , νm en K′, dadas por la fórmula

νi(a) = ω(θia), a ∈ K ′ , 1 ≤ i ≤ m.

Dejando i fijo, la valuación que se obtiene es una valuación discreta sobre K′, con anillo de valuación R

′e

ideal maximal ℘′, donde

R′

= a ∈ K ′ : νi(a) ≥ 0, ℘ = a ∈ K ′ : νi(a) > 0.

3.4. CARACTERES DE BRAUER 81

La aplicación R → R′ → k

′, tiene núcleo R ∩ ℘′ . Esta intersección es justamente ℘, por tanto obtenemos

una inyección natural de k en k′.

Por conveniencia, al sistema p-modular (K′, R

′, k

′) lo llamaremos una extensión finita del sistema p-

modular (K, R, k). Estudiaremos ahora el comportamiento de los grupos G0(KG), K0(kG) y G0(kG) cuandose extiende el cuerpo de base.

Proposición 3.11 Sea (K′, R

′, k

′) una extensión finita del sistema p-modular (K, R, k). Entonces,

existen morfismos aditivos

G0(KG)→ G0(K′G), K0(kG)→ K0(k

′G), G0(kG)→ G0(k

′G),

definidos mediante la tensorización por K′, k

′y k

′respectivamente. Las tres aplicaciones son inyectivas. Más

aún, las aplicacionesK0(kG)→ K0(k

′G), G0(kG)→ G0(k

′G),

son inyecciones que identifican a K0(kG) y G0(kG) como sumando directos sobre Z de K0(k′G) y G0(k

′G),

respectivamente.

Existen ejemplos que muestran que la inyección G0(KG)→ G0(K′G) no identifica a G0(KG) como sumando

directo sobre Z de G0(K′G). Por ejemplo, sean G el grupo de los cuaterniones de orden 8 y K una extensión

finita de Q que contiene las 8-ésimas raíces de la unidad. Sea M = Q⊕Q · i⊕Q · j⊕Q · k el QG-módulo simplede los cuaterniones sobre Q. Es fácil ver que

[K ⊕QM ] = 2[W ] en G0(KG),

donde W es un KG-módulo simple de dimensión 2 sobre K. De aquí se deduce que la imagen de G0(QG) enG0(KG) no es un sumando directo sobre Z de G0(KG).

Proposición 3.12 Sea (K′, R

′, k′) una extensión finita del sistema p-modular (K, R, k). Entonces existe

un diagrama conmutativoG0(KG) //

d

G0(K′G)

d

G0(kG) // G0(k

′G),

donde las aplicaciones verticales son los morfismos de descomposición, y las aplicaciones horizontales son lasinyecciones definidas en la proposición anterior.

3.4. Caracteres de Brauer

En esta sección, interpretaremos el mapa de descomposición en término de caracteres. Como ya nos eshabitual, daremos algunas definiciones antes de desarrollar la teoría.


3.4.1. Cuerpos de descomposición

Definición 45 Sea G un grupo finito de exponente m, es decir, el máximo común múltiplo de los órdenesde los elementos en G. Diremos que un cuerpo E es suficientemente grande con respecto a G, si contiene atodas las raíces m-ésimas de la unidad.

Si la característica de E es 0, entonces E es suficientemente grande con respecto a G si y sólo si E contieneal cuerpo ciclotómico de las raíces m-ésimas de la unidad. Por otra parte, si car E = p > 0, y m = pa ·m′ ,donde p no divide a m

′, entonces en E[X] tenemos la siguiente igualdad:

Xm − 1 = (Xm′− 1)p

a

,

y por tanto, E contiene a las raíces m-ésimas de la unidad si y sólo si E contiene a las raíces m′-ésimas de la

unidad. Más aún, el polinomio Xm′− 1 es separable sobre E, y todas sus raíces forman un grupo cíclico de

orden m′generado por cualquier raíz m

′-ésima primitiva de la unidad.

Sean A una K-álgebra de dimensión finita, M un A-módulo a izquierda y E una extensión de cuerposde K. Entonces la E-álgebra AE = E ⊗K A, que se obtiene extendiendo escalares, es de dimensión finita yME = E ⊗K M tiene una estructura de AE-módulo a izquierda inducida por la acción

(e⊗K a) · (e′ ⊗K m) = ee′ ⊗K a ·m, e, e

′ ∈ E, a ∈ A, m ∈M.

Definición 46 Sean A una K-álgebra de dimensión finita y M un A-módulo a izquierda. Decimos que Mes absolutamente simple si para toda extensión de cuerpos E de K, el AE-módulo ME es simple.

Traduciendo esta definición al lenguaje de representaciones sobre G, y recordando la definición 28 del capítulo2, un espacio de representación M se dice absolutamente irreducible si para toda extensión de cuerpos E de K,la representación que se obtiene extendiendo escalares de K en E sigue siendo irreducible. A esta representaciónde E[G] = EG la denotábamos ME .

No todos los módulos simples resultan absolutamente simples. Consideremos, por ejemplo, G = Z4 el grupocíclico aditivo de orden 4. El anillo R[Z4] es un anillo semisimple, siendo

R[Z4] = Rtr ⊕ Rsg ⊕ V ;

donde (Rtr, tr) es la representación trivial de dimensión 1 sobre R, (Rsg, sg) es la representación signo dedimensión 1, y (V, ρ) es la representación de dimensión 2 de Z4 dada por

ρ(u) =(

0 −11 0

)∈ R2×2,

siendo u un generador de Z4. Claramente, V es una representación irreducible de Z4 sobre R. Sin embargo,al extender escalares al cuerpo de los números complejos, deja de ser simple. A saber,

C⊗R V = Ci ⊕ C−i,

donde Ci es el espacio generado por el autovector asociado al autovalor i y C−i es el espacio generado por elautovector asociado al autovalor −i.

Definición 47 Sea A una K-álgebra de dimensión finita sobre K y sea E una extensión de cuerpos de K.Decimos que E es un cuerpo de descomposición de A sobre K, si todo AE-módulo a izquierda simple esabsolutamente simple.


La siguiente proposición se sigue inmediatamente de la definición anterior:

Proposición 3.13 Si E es un cuerpo de descomposición de A sobre K, entonces toda extensión de cuerposF de E también es un cuerpo de descomposición.

Las siguientes proposiciones no son tan inmediatas, para sus demostraciones ver [C-R].

Proposición 3.14 Para toda K-álgebra A, cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a K esun cuerpo de descomposición de A.

Proposición 3.15 Toda K-álgebra A de dimensión finita admite un cuerpo de descomposición E tal que laextensión E/K es finita.

Teorema 3.1 Si E es suficientemente grande con respecto a G, entonces E es un cuerpo de descomposiciónde G, y de todos sus subgrupos.

Observación: En el caso particular que A = KG, es claro que este teorema implica la proposición anterior. Enefecto, basta adjuntar a K todas las raìces primitivas de orden m = exp G.

Corolario 3.3 Sea (K, R, k) un sistema p-modular tal que car K = 0. Si K es suficientemente grandecon respecto a G, entonces k también es suficientemente grande, y ambos son cuerpos de descomposición de Gy de todos sus subgrupos.

Demostración:Sean m el exponente de G, m = pa ·m′ , donde p no divide a m

′, y ω una raíz m-ésima primitiva de la unidad

en K. Como K es el cuerpo de cocientes del anillo de valuación R y ω cumple que ωm − 1 = 0, entonces ω ∈ Kes raíz de un polinomio con coeficientes en Z; esto implica que ω ∈ R. Tenemos entonces que

Xm − 1 =m−1∏

i=0

(X − ωi), en R[X].

Pasando esta igualdad al cuerpo residual tenemos que

(Xm′− 1)p

a

= Xm − 1 =m−1∏

i=0

(X − ωi), en k[X].

Por tanto, las potencias ωi, 1 ≤ i ≤ m − 1, dan todas las raíces m′-ésimas de la unidad, cada una con

multiplicidad pa. Cada ωi ∈ k, puesto que ωi ∈ R. Luego, k contiene las raíces m′-ésimas de la unidad, y por

consiguiente las m-ésimas. Esto implica que k es suficientemente grande con respecto a G. Lo que sigue de lademostración se deduce inmediatamente del teorema anterior.

Para finalizar esta sección, daremos un resultado de Dedekind que nos será muy útil en la siguiente.


Teorema 3.2 Sean E un cuerpo arbitrario y G un grupo finito. Los caracteres dados por el conjunto basede EG-módulos simples son linealmente independientes sobre E.

3.4.2. Caracteres de Brauer

En esta sección desarrollaremos una idea fundamental en la teoría, debida a Brauer. A lo largo de estaexposición, (K, R, k) será un sistema p-modular, tal que car K = 0, y K es suficientemente grande conrespecto a un grupo finito G dado. Por m denotaremos al exponente de ese grupo finito, donde m = pa ·m′tal que p no divide a m

′, y por ω ∈ K a una raíz m

′-ésima primitiva de la unidad. Veremos que los caracteres

de las representaciones irreducibles de G sobre k son linealmente independientes sobre k. Sin embargo, hayejemplos donde dos kG-módulos tiene el mismo carácter sobre k sin ser isomorfos, ni tener los mismos factoresde composición. La gran utilidad de los caracteres sobre cuerpos de característica cero motivó la búsqueda demanejar los caracteres de los kG-módulos sin perder mucha información. Brauer encontró una manera ingeniosade hacer esto asociando a cada kG-módulo M una función a valores en K, definida sobre el conjunto Gp′ de loselementos p-regulares de G.

Por el corolario 3.3, si K es suficientemente grande, entonces k es suficientemente grande con respecto aG, siendo además K y k cuerpos de descomposición de G y de todos sus subgrupos. Más aún, siguiendo lademostración de ese corolario, la imagen de ω por el morfismo natural f : R → k, f(ω) = ω, es una raízm′-ésima primitiva de la unidad en k. Por tanto,

f :< ω >→< ω >,

es un isomorfismo entre los grupos cíclicos de raíces m′-ésimas de la unidad en K y k, respectivamente.

Sea L un kG-módulo a izquierda. Para cada elemento p-regular de G, x ∈ Gp′ , los autovalores ξ1, . . . , ξdasociados al endomorfismo de L que define x son raíces m

′-ésimas de la unidad. Luego, se pueden expresar como

potencias de ω, digamos ωi1 , . . . , ωid, siendo d = dimk L. Definimos entonces una función a valores en K porla fórmula

λL(x) = ωi1 + · · ·+ ωid . (4)

Utilizando el isomorfismo f , la definición anterior en término de los autovalores ξi del endomorfismo de Ldeterminado por x es

λL(x) =d∑

i=1

f−1(ξi).

Es claro que una vez fijado el sistema p-modular (K, R, k), no hay ambigüedad en la definición de λ, yaque el isomorfismo f :< ω >→< ω > queda determinado por la aplicación natural R→ R/℘.

Definición 48 Sea L un kG-módulo a izquierda. La función a valores en K

λ : Gp′ → K,

definida en (4) se denomina el carácter de Brauer de G inducido por L.

La función traza x 7→ Tr(x, L), x ∈ G a valores en k, se denomina el k-carácter de L. En su trabajo,Brauer solía llamar a estas funciones a valores en K caracteres modulares.


Proposición 3.16 i) El carácter de Brauer λL, L un kG-módulo a izquierda de dimensión finita, es unafunción de clases sobre los elementos p-regulares de G.

ii) El carácter de Brauer λL toma valores en R, y además

λL(x) = Tr(x, L), x ∈ Gp′ .

iii) Consideremos un kG-módulo L0 y un kG-submódulo L1 no nulo. Sean χ el carácter de Brauer inducidopor L0/L1, χ1 el carácter de Brauer inducido por L1 y χ0 el carácter de Brauer inducido por L0. Entoncesχ0 = χ+ χ1.

iv) Sea V un KG-módulo con carácter sobre K χV . Entonces para cada RG-retículo completo M en V , laimagen de la restricción χV |G

p′ de χV a Gp′ es el carácter de Brauer del kG-módulo M .

Demostración:i) Sean x, y ∈ Gp′ , y supongamos que existe z ∈ G tal que x = z−1yz. Entonces los polinomios característicosde los endomorfismos de L que inducen x e y son el mismo. Luego, sus autovalores son los mismos, y por tanto,también lo deben ser sus caracteres de Brauer.

ii) Por lo visto en la sección anterior, si K es suficientemente grande, las raíces m′-ésimas de la unidad

pertenecen a R. Luego, el carácter de Brauer toma valores en R. Como el morfismo R → k es un isomorfismocuando se restringe al grupo cíclico de raíces m

′-ésimas de la unidad, tenemos que la reducción del carácter de

Brauer λ debe ser el k-carácter de L.

iv) Sea M la matriz de representación de G inducida por V , con respecto a una base sobre R de un RG-retículo completo M en V . Para cada x ∈ Gp′ , los autovalores ξi1≤i≤d de M(x) pertenecen a R, y

χV (x) = ξ1 + · · ·+ ξd.

Como M es la matriz de la representación de G dada por el kG-módulo M , bastaría ver que ξi1≤i≤dson los autovalores de M(x). La matriz M(x) tiene coeficientes en R, por tanto su polinomio característicoPM(x) ∈ R[X], y

PM(x) =d∏

i=1

(X − ξi), en R[X].

El polinomio que se obtiene reduciendo los coeficientes de PM módulo ℘ es el polinomio característico deM(x). Por tanto,

PM(x) =d∏

i=1

(X − ξi), en k[X].

Luego, ξi1≤i≤d son los autovalores de M(x), como se quería probar.

iii) Es consecuencia inmediata de iv) y de que la igualdad vale para carácteres inducidos por representacionessobre K.

Sean F1, . . . , Fr un conjunto base de kG-módulos simples y ϕ1, . . . , ϕr los caracteres de Brauer inducidospor los kG-módulos simples, a los cuales llamaremos caracteres de Brauer irreducibles. Sea Zi un KG-módulo simple con carácter ξi. Entonces por la proposición anterior, más especificamente por el ítem iii), elmapa de descomposición está dado en términos de caracteres por

ξi(x) =r∑

j=1

dijϕj(x), ∀ x ∈ Gp′ ,


siendo D = (dij) la matriz de descomposición.

Sabemos por el teorema 3.2 que los k-caracteres inducidos por los módulos F1, . . . , Fr son linealmente in-dependientes sobre k. En lo que sigue, veremos que los caracteres de Brauer ϕi son linealmente independientessobre K. Sin embargo, necesitamos primero demostrar el siguiente lema.

Lema 3.2 Sea M : G → GLn(k) una representación matricial de G sobre k. Sea x ∈ G, tal que sudescomposición en partes p-regular s y en p-parte u está dada por x = s ·u. Entonces las matrices M(x) y M(s)tienen los mismos autovalores, contados con multiplicidad.

Demostración:Por definición, tenemos que M(x) = M(s)M(u), donde las matrices M(s) y M(u) conmutan. Luego, se diago-nalizan en la misma base y, por consiguiente, el conjunto de autovalores de M(x) está dado por producto de apares entre autovalores de M(s) y autovalores de M(u). Como u es un elemento cuyo orden es potencia de p,debe ser que M(u)p

k

= I, para cierto k ∈ N. Como car k = p, se tiene que todos los autovalores de M(u) debenser igual a 1. En particular, esto implica que los autovalores de M(x) y los autovalores de M(s) son iguales,contados con multiplicidad.

Teorema 3.3 Los caracteres de Brauer irreducibles ϕ1, . . . , ϕr forman una base sobre K del espacio defunciones de clases sobre Gp′ a valores en K.

Al espacio de funciones de clases sobre Gp′ a valores en K lo notaremos como cfK(Gp′ ).

Demostración:Veamos primero que el conjunto ϕ1, . . . , ϕr es linealmente independiente sobre K. Supongamos que no, yconsideremos una combinación lineal de dependencia lineal no trivial con coeficientes en K. Como K es elcuerpo de cocientes de R, limpiando denominadores obtenemos una relación con coeficientes en R. Por lo vistoanteriormente, toda no unidad de R es divisible por una potencia de π, siendo π un elemento de ℘ que generael grupo de valores de la valuación. Luego, dividiendo por una potencia apropiada de π, tenemos la siguienterelación

r∑

i=1

aiϕi(s) = 0, ∀ s ∈ Gp′ ,

donde ai ∈ R, y algún ai0 /∈ ℘. Reduciendo módulo ℘ obtenemos

r∑

i=1

aiϕi(s) = 0, ∀ s ∈ Gp′ ,

donde por lo menos un coeficiente ai0 6= 0 en k. Por (3.16.ii), podemos escribir la relación anterior como

r∑

i=1

aiTr(s, Fi) = 0, ∀ s ∈ Gp′ .

Por la proposición anterior, tenemos que Tr(s, Fi) = Tr(x, Fi), si s es la parte p-regular de x, ya queTr(x, Fi) es la suma de los autovalores del endomorfismo de Fi que determina x. Se sigue entonces que

r∑

i=1

aiTr(x, Fi) = 0, ∀ x ∈ G.


Como ai0 6= 0 en k, tenemos una relación de dependencia lineal sobre k de los k-caracteres correspondientesa los kG-módulos simples Fi. Esto contradice (3.2). Por tanto, ϕ1, . . . , ϕr es linealmente independientesobre K.

Veamos ahora que generan cfK(Gp′ ). Sea ξ ∈ cfK(Gp′ ) una función de clases a valores en K sobre Gp′ .Luego, ξ se puede extender a una función de clases ξ sobre todo G, poniendo por ejemplo ξ(x) = 0 para x /∈ Gp′ .Al ser car K = 0 yK suficientemente grande, del primer capítulo sabemos que ξ es combinación de los caracteresirreducibles ξ1, . . . , ξs correspondientes a las representaciones irreducibles sobre K de G. Entonces

ξ(x) =s∑

j=1

αjξj , ∀ x ∈ G,

para cierto coeficientes αj ∈ K. Restringiendo la igualdad anterior al subgrupo de elementos p-regulares de Gtenemos

ξ =s∑

j=1

αjξj |G

p′ ,

Pero ξj |Gp′ es una combinación lineal sobre K de los caracteres de Brauer irreducibles ϕ1, . . . , ϕr, por

tanto también lo es ξ.

Dado que dos representaciones de G sobre k no isomorfas pueden tener el mismo carácter de Brauer, cabepreguntarse cómo se relacionan. El siguiente corolario nos dice que al menos determinan el mismo elemento enel grupo de Grothendieck G0(kG), es decir, tienen los mismos factores de composición.

Corolario 3.4 Sean L, M dos kG-módulos. Si λL = λM , entonces L y M tienen el mismo conjunto defactores de composición, y por tanto [L] = [M ], en G0(kG).

Demostración:Supongamos que L y M tienen series de composición tales que los kG-módulos simples Fi aparecen ai veces enL y bi veces en M . Por (3.16.iii), se sigue que

λL =r∑

i=1

aiϕi, λM =

r∑

i=1

biϕi.

Por el teorema anterior, si λL = λM , entonces ai = bi, 1 ≤ i ≤ r. Por tanto, L yM tienen el mismo conjuntode factores de composición.

El siguiente corolario es de suma importancia porque determina la cantidad de kG-módulos simples en unconjunto base.

Corolario 3.5 Sea E un cuerpo de descomposición de G de característica p. Entonces el número de clasesde isomorfismo de EG-módulos absolutamente simples es igual al número de clases de conjugación de elementosp-regulares de G.

Demostración:Veamos primero que es suficiente probarlo para kG-módulos, donde k es parte del sistema p-modular (K, R, k).


Recordemos que K y por tanto k son suficientemente grandes por hipótesis. A saber, existe un cuerpo decomposición que es extensión de E y de k,

L = kE

HHHHHHHHH

wwwwwwwww

k

FFFFFFFFF E

wwwwwwwww

Fp

.

Como E es un cuerpo de descomposición de G, los EG-módulos simples deben coincidir con los L-módulossimples. Análogamente, los kG-módulos simples deben coincidir con los L-módulos simples, por tanto, los EG-módulos simples deben coincidir con los kG-módulos simples.

Luego, debemos probar que el número de clases de isomorfismo de kG-módulos es igual al número de cla-ses de conjugación de G contenidas en Gp′ . Pero esto es inmediato, pues los caracteres de Brauer irreduciblesϕ1, . . . , ϕr forman una base sobre K de cfK(Gp′ ).

Interpretaremos ahora el mapa de descomposición en términos de los caracteres de Brauer.

Definición 49 Un carácter virtual de Brauer sobre G es una combinación lineal sobre Z de caracteresde Brauer de kG-módulos. El conjunto de los caracteres virtuales de Brauer se denota por Bch kG.

Lema 3.3 Sean L y M dos kG-módulos. Entonces el carácter de Brauer dado por el kG-módulo L⊗kM esλLλM .

Demostración:Sea x ∈ Gp′ . Las transformaciones lineales que define sobre L y sobre M son diagonalizables. Tomando basesde autovectores sobre L y sobre M , podemos formar una base de L⊗kM tomando el producto tensorial entrelos elementos de ambas bases. Luego, los autovalores de x sobre L ⊗k M son el producto de los autovaloresde x sobre L y los autovalores de x sobre M . Como los caracteres de Brauer están definidos en términos deautovalores, se deduce que el carácter de Brauer asociado a L⊗kM debe ser λµ.

Proposición 3.17 El conjunto de caracteres virtuales de Brauer Bch kG es un anillo cuyas operacionesson la suma y el producto de funciones. La aplicación que asigna a cada elemento t ∈ G0(kG) el carácter virtualde Brauer asociado a él, define un isomorfismo de Z-álgebras, esto es

G0(kG) ∼= Bch kG.

Demostración:Dado un elemento t ∈ G0(kG), sabemos que es combinación lineal de F1, . . . , Fr, con coeficientes en Z,

t =r∑

i=1

ai[Fi], ai ∈ Z,


estando los coeficientes unívocamente determinados. El carácter virtual de Brauer τ asociado a t está definidopor

τ =r∑

i=1

aiϕi, ai ∈ Z.

Por el teorema anterior, sabemos que ϕ1, . . . , ϕr forma una base sobre Z de Bch kG. Por tanto, laaplicación

t 7→ τ,

es un isomorfismo de Z-módulos libres. Por el lema anterior, se deduce que este isomorfismo es de Z-álgebras,como se quería probar.

Finalizaremos esta sección con la siguiente proposición:

Proposición 3.18 El diagrama

G0(KG) //

d

ch KG

d′

G0(kG) // Bch kG

,

es un diagrama conmutativo, donde las aplicaciones horizontales son los isomorfismos definidos en (3.5) y en(3.17). La aplicación vertical d es el mapa de descomposición, y d

′es la restricción ψ 7→ ψ|G

p′ de los caracteres

virtuales ψ ∈ ch KG a Gp′ .

Demostración:Basta verificar que el diagrama conmuta en cada elemento de la base [Zj ] de G0(KG) que corresponde alKG-módulo simple Zj . Por lo visto anteriormente sabemos que

d[Zj ] =r∑

i=1

ri(Zj)[Fi], en G0(kG).

Luego, el carácter virtual de Brauer asociado a d[Zi] está dado por

ξj =r∑

i=1

ri(Zj)ϕi, sobre Gp′ .

Pero

ξj |Gp′ =

r∑

i=1

ri(Zj)ϕi, sobre Gp′ .

Por tanto, ξj = ξj |Gp′ , lo que implica que el diagrama conmuta para los elementos [Zi], como se quería

probar.


Ejemplo

Sean p un primo impar y G = Sl2(p) el grupo de matrices de 2 × 2 con coeficientes en el cuerpo Fp yde determinante 1. Sea |G| = pa · m′ , donde p no divide a m

′y sea (K, R, k) un sistema p-modular con

car K = 0 y K suficientemente grande con respecto a G. Es fácil ver que las clases de conjugación de loselementos p-regulares de G están determinadas por su ecuación característica y que hay exactamente p clasesde conjugación de elementos p-regulares. A saber, si dos elementos a, b ∈ G son conjugados, entonces tienen elmismo polinomio característico Pa(X) en Fp[X]. Como las matrices son de 2× 2, este polinomio tiene la forma

Pa(X) = X2 − tr(a)X + 1, donde tr(a) ∈ Fp,

siendo tr(a) la suma de los autovalores del endomorfismo que determina a ∈ G. Como a ∈ Gp′ , éstos son raíces dela unidad, una conjugada de la otra. Como p > 2, se deduce que el polinomio es minimal y que si dos elementosp-regulares tienen el mismo polinomio característico, entonces son conjugados. Como la cantidad de polinomioscaracterísticos que dividen a Xm

′− 1 es p, tenemos que la cantidad de clases de conjugación de elementos

p-regulares es p. Luego, por (3.5) sabemos que hay exactamente p clases de isomorfismo de kG-módulos simples,cuya construcción es la siguiente:

Para cada d, 0 ≤ d ≤ p−1, sea Md el espacio sobre k de polinomios homogéneos de grado d en dos variablesX, Y . El grupo G actúa sobre k[X,Y ] como un grupo de automorfismos por

gX = αX + βY, gY = γX + δY,

siendog =

(α βγ δ

)∈ G.

Los subespacios Md0≤d≤p−1 de k[X,Y ] son kG-módulos de dimensión 1, 2, . . . , p, respectivamente. Porla definición de la acción de G sobre Md, es claro que los elementos

Xd, Xd−1Y, . . . , XY d−1, Y d,

generan subespacios no isomorfos de dimensión 1 que son estables por la acción de T , siendo T ⊂ G el subgrupode las matrices diagonales. En particular, dichos subespacios tiene una estructura de kT -módulos. Siguiendoeste razonamiento, se puede ver que los espacios Md son kG-módulos simples, con 1 ≤ d ≤ p− 1. Comparandola dimk Md con |G|, se ve que las dimensiones de los kG-módulos simples no tienen por qué dividir al orden delgrupo.

3.5. El triángulo de Cartan-Brauer.

En la sección anterior definimos el morfismo de descomposición para un sistema p-modular arbitrario(K, R, k) y un grupo finito G. En esta sección supondremos que RG es un anillo semiperfecto. Mostrare-mos que existe un diagrama conmutativo entre G0(KG), G0(kG) y K0(kG), que se denomina el triángulo deCartan-Brauer. Las propiedades de dicho triángulo se deducen de suponer K suficientemente grande, y luegoéstas se aplican para obtener relaciones de ortogonalidad para los caracteres de Brauer de los kG-módulos y desus envolventes proyectivas.

La hipótesis de que RG sea un anillo semiperfecto se cumple cuando R es completo con la topología ℘-ádica.Esto ocurre cuando K es la completación de algún cuerpo algebraico con respecto a una valuación discreta,siendo R el anillo de valuación en K. Se puede ver que la condición se mantiene sobre cualquier cuerpo K que

3.5. EL TRIÁNGULO DE CARTAN-BRAUER. 91

sea suficientemente grande con respecto a G y cuya característica no divida al orden del grupo. Por otro lado,kG es un anillo semiperfecto para cualquier cuerpo. En las siguientes subsecciones no supondremos que K seasuficientemente grande o de característica cero.

3.5.1. Envolventes Proyectivas

Sea A un anillo cualquiera. Comenzaremos con la definición y algunas propiedades de la envolvente proyectivade un A-módulo cualquiera, y veremos bajo qué condiciones ésta existe.

Definición 50 Sean A un anillo y M, N dos A-módulos a izquierda. Una aplicación f ∈ HomA(M,N) se

dice esencial si f es suryectiva, y para cada sucesión de A-módulos Xg //M

f //N tal que fg es suryectiva,entonces la aplicación g es también suryectiva.

En otras palabras, una aplicación suryectiva f : M → N es esencial si ningún submódulo propio de M tienecomo imagen N .

Definición 51 Una envolvente proyectiva de un módulo M es un diagrama

Pf //M ,

donde P es un A-módulo proyectivo y f es esencial.

Proposición 3.19 Las envolventes proyectivas son únicas salvo isomorfismos. Esto es, dadas dos envolven-

tes proyectivas Pf //M y P

′ f′

//M , existe un isomorfismo θ entre P y P′tal que f = f

′θ.

Demostración:Al ser P un A-módulo proyectivo y la aplicación f

′suryectiva, existe un morfismo θ tal que el siguiente diagrama

P

θ

~~

f

P′

f′

// M

,

resulta conmutativo, es decir que f = f′θ. Luego, θ es suryectiva ya que f

′θ es suryectiva y f

′es esencial. Análo-

gamente, al ser P′proyectivo, existe un morfismo ϕ : P

′ → P , tal que θϕ = idP ′ . Entonces fϕ = f′θϕ = f

′; en

particular, resulta que ϕ es suryectiva ya que fϕ es suryectiva y f es esencial. Por tanto, ϕ y θ son isomorfismos.

Observación: Algunos módulos pueden no tener envolvente proyectiva. Por ejemplo, el Z-módulo Z/2 · Z notiene ninguna. A saber, si f : P → Z/2 · Z es una envolvente proyectiva, con P proyectivo sobre Z; entonces Pes libre sobre Z por ser Z un dominio principal, y 3 ·P es un submódulo propio de P tal que f(3 ·P ) = Z/2 ·Z,lo cual es una contradicción porque suponíamos que f era esencial. El próximo resultado nos muestra cómo sepueden determinar envolventes proyectivas en algunos casos.

Lema 3.4 Sea f : X →M una aplicación suryectiva de A-módulos a izquierda finitamente generados. Si

ker f ⊆ (rad A)X,

entonces f es esencial.


Demostración:Sea Y ⊆ X un submódulo tal que f(Y ) = M . Entonces

X = Y + ker f = Y + (rad A)X.

Luego, X = Y por el lema de Nakayama; lo que prueba que f es esencial.

Corolario 3.6 Sea P un A-módulo a izquierda proyectivo finitamente generado, y sea J un ideal biláterocontenido en rad A. Entonces la aplicación natural P → P/JP da una envolvente proyectiva del A-móduloP/JP .

Demostración:Se deduce inmediatamente del lema anterior debido a que P → P/JP resulta esencial.

Supongamos que A es un anillo semiperfecto y que N = rad A. Luego, el anillo A = A/N es un anillosemisimple; en particular se tiene una descomposición

A =⊕

Aei,

siendo ei idempotentes primitivos centrales y Aei son A-módulos a izquierda simples. Más aún, todo A-módulosimple es isomorfo Aei para algún i. Usando esto se puede probar el siguiente teorema:

Teorema 3.4 Sean A un anillo semiperfecto, N = rad A y A = A/N . Entonces todo A-módulo a izquierdafinitamente generado X tiene una envolvente proyectiva. Esto es, existe un A-módulo a izquierda proyectivofinitamente generado P tal que P/NP ∼= X/NX como A-módulos, y este isomorfismo se levanta a una aplicaciónsuryectiva P → X dando una envolvente proyectiva de X.

Demostración:(Ver [C-R])

Más aún, se puede ver que si todo A-módulo tiene una envolvente proyectiva, entonces A es semiperfecto.(Anderson-Fuller [73, th. 27.6, p. 304])

Considerando sólo A-módulos finitamente generados, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 3.7 Sean A un anillo semiperfecto y N = rad A.

i) Sea f : P → X una aplicación suryectiva, con P proyectivo. Entonces f da una envolvente proyectiva siy sólo si ker f ⊆ N · P .

ii) Para cada A-módulo X, los módulos X y X/NX tienen la misma envolvente proyectiva como A-módulos.

iii) Las envolventes proyectivas son aditivas; esto es, si fi : Pi → Xi, 1 ≤ i ≤ k, son envolventes proyectivas,entonces

k⊕

i=1

fi :k⊕

i=1

Pi →k⊕

i=1

Xi,

es una envolvente proyectiva.


Para finalizar daremos, sin demostración, una proposición que se deriva del teorema de Krull-Schmidt-Azumaya y que es de gran interés para la siguiente sección.

Proposición 3.20 Sean A un anillo semiperfecto, N un ideal bilátero contenido en rad A y A = A/N .Para cada A-módulo X, sea X = X/N el correspondiente A-módulo. Sea

A = Ae1 ⊕ · · · ⊕Aen,

una descomposición de A en ideales a izquierda indescomponibles, numerados de manera tal que los módulosAe1, . . . , Aem son representantes de clases de isomorfismos de módulos no isomorfos entre los Aei. Entonces

i) Para cada P ∈ P(A), existen enteros no negativos ri tal que

P ∼=m⊕

i=1

(Aei)(ri).

ii) Si ri y si son enteros no negativos, entonces

m⊕

i=1

(Aei)(ri) ∼=m⊕

i=1

(Aei)(si) si y sólo si ri = si para todo i.

iii) Para cada Y ∈ P(A), existen enteros no negativos ri tal que

Y ∼=m⊕

i=1

(Aei)(ri),

donde las multiplicidades ri están unívocamente determinadas por las clases de isomorfismo de Y .

iv) Las clases de isomorfismo en P(A) corresponden biyectivamente a aquellas en P(A), donde la corres-pondencia está dada por la aplicación que a cada clase P ∈ P(A) le asigna la clase P ∈ P(A).

3.5.2. La aplicación de Cartan y el triángulo de Cartan-Brauer.

Comenzaremos dando algunos resultados con respecto a la estructura de RG, kG y sus módulos. Como enlas secciones anteriores, denotaremos RG/℘G por RG o por kG; denotando a 7→ a tanto el morfismo de R a k,como el de RG a kG. Sean N = rad RG y ℘G = ℘ · (RG). Entonces ℘G ⊆ N y RG/N ∼= kG/rad kG. El últimoisomorfismo implica que los kG-módulos simples se pueden identificar con los RG-módulos simples.

Para ver que ℘G ⊆ N , veamos que ℘GM = 0 para todo RG-módulo simple M . Como M = RG · m,para cada m ∈ M no nulo, se tiene que M es finitamente generado como R-módulo. Ahora bien, ℘M es unsubmódulo de M , por tanto debe ser M o 0. Por el lema de Nakayama, ℘M 6= M , puesto que en ese casoresultaría M = 0. Entonces ℘M = 0, y por tanto ℘GM = 0 para todo RG-módulo simple M . Ahora veamosque RG/N ∼= kG/rad kG. Es claro que la aplicación suryectiva ϕ : RG → RG se factoriza en una aplicaciónsuryectiva

RG/N → RG/rad RG.

Por otro lado, como ℘G ⊆ N , existe otra suryección

ψ : RG→ A/N.


Al ser ψ una suryección, se tiene que ψ(rad RG) ⊆ rad(RG/N) = 0, y por tanto, existe una suryección

RG/rad RG→ A/N.

Como RG/N y RG/rad RG son álgebras de dimensión finita sobre el cuerpo k, y cada una tiene unasuryección en la otra; debe ser que las suryecciones son isomorfismos, obteniendo

RG/rad RG ∼= RG/N.

De la teoría de envolventes proyectivas y de la proposición 3.20, se deduce que todo módulo proyectivofinitamente generado sobre RG y kG, respectivamente, se descompone en suma directa de módulos proyectivosindescomponibles, los cuales son únicos salvo isomorfismos y orden de ocurrencia. Esto se deduce de lo siguiente:si ℘G ⊆ N , entonces Aei es una envolvente proyectiva de Aei. Luego, por la unicidad de la envolvente proyectivase tiene que

Aei ∼= Aej si y sólo si Aei ∼= Aej .

De lo hecho hasta ahora se deduce gran parte de la siguiente proposición:

Proposición 3.21 Sea (K, R, k) un sistema p-modular tal que RG es un anillo semiperfecto.

i) Sea F1, . . . , Fr un conjunto base de kG-módulos simples. Cada módulo Fi tiene una envolvente proyectivaindescomponible Ui, la cual es isomorfa a un ideal a izquierda de kG generado por un idempotente primitivo.Cada módulo indescomponible proyectivo Ui tiene un único submódulo maximal rad Ui, y Ui/rad Ui ∼= Fi.

ii) A través del isomorfismo RG/rad RG ∼= RG/N , los módulos simples F1, . . . , Fr se pueden identificarcon un conjunto base de RG-módulos simples. Cada RG-módulo simple Fi tiene una envolvente proyectivaindescomponible Pi ∈ P(RG) tal que Pi ∼= Ui, 1 ≤ i ≤ r. El módulo Pi se puede tomar como el ideal a izquierdaRGei, donde ei es un idempotente primitivo en RG tal que ei es primitivo en kG, y kGei ∼= Ui.

iii) Todo RG-módulo proyectivo finitamente generado. M se puede expresar como una suma directa

M ∼=⊕

miPi,

donde las multiplicidades mi están unívocamente determinadas. Dos módulosM yM′ ∈ P(RG) son isomorfos

si y sólo si M ∼= M ′ . Un módulo M ∈ P(RG) es indescomponible si y sólo si M es indescomponible.

iv) Cada módulo M ∈ P(RG) es la envolvente proyectiva de un módulo semisimple M/rad M . El móduloM ∈ P(RG) es indescomponible si y sólo si M/rad M es simple, y en ese caso, rad M es el único submódulomaximal de M .

El hecho que Pi ∼= Ui se sigue de que Pi es un módulo proyectivo, pues es sumando directo de RG, y de queambos Pi y Ui son envolventes proyectivas de Fi, para 1 ≤ i ≤ r.

Por (3.4) sabemos que los grupos de Grothendieck K0(RG) y K0(kG) son grupos abelianos libres con base[P1], . . . , [Pr] y [U1], . . . , [Ur] que corresponden a representantes de clases de isomorfismo de módulosproyectivos indescomponibles en P(RG) y P(kG), respectivamente. Por (3.21ii), estas bases se pueden elegir demanera tal que [Pi] = [Ui], para 1 ≤ i ≤ r. Esto da el siguiente

Teorema 3.5 La aplicación [M ]→ [M ], para M ∈ P(RG), define un isomorfismo de grupos abelianos:

K0(RG) ∼= K0(kG).


Demostración:Por lo dicho en el parágrafo anterior, existe un isomorfismo de grupos abelianos entre K0(RG) y K0(kG) dadopor

r∑

i=1

ai[Pi] 7→r∑

i=1

ai[Pi], ai ∈ Z.

Claramente esta aplicación es biyectiva; por tanto, solamente resta verificar que la aplicación manda [M ] en[M ] para todo M ∈ P(RG). Por (3.21iii) sabemos que

M ∼=r⊕

i=1

miPi,

para ciertos enteros no negativos mi. Como las relaciones en K0(RG) están dadas por descomposiciones ensuma directa, tenemos que

[M ] =r∑

i=1

mi[Pi].

Por otro lado, la descomposición de M da

M ∼=r⊕

i=1

miPi,

por tanto, tenemos que

[M ] =r∑

i=1

mi[Pi].

Luego, la imagen de [M ] por el isomorfismo es [M ], como se quería probar.

Dado una s.e.s. de RG-módulos proyectivos, es claro que tensorizar por K mantiene la exactitud de lasucesión. Por tanto, la aplicación

P 7→ K ⊗R P, P ∈ P(RG),

define un morfismo de grupos abelianos entre K0(RG) y G0(KG). Componiendo esta aplicación con el isomor-fismo K0(kG)→ K0(RG), dado por el teorema anterior, obtenemos un morfismo de grupos abelianos:

e : K0(kG)→ G0(KG). (5)

Sean U ∈ P(kG) y ci(U) la multiplicidad del módulo simple Fi como factor de composición de U . Estenúmero está unívocamente determinado por el teorema de Jordan-Hölder. Luego, existe un morfismo de gruposaditivos

c : K0(kG)→ G0(kG),

definido por

c[U ] = [U ] =r∑

i=1

ci(U)[Fi] para cada U ∈ P(kG).


Definición 52 El morfismoc : K0(kG)→ G0(kG),

definido anteriormente se denomina el morfismo de Cartan. La matriz de Cartan de r × r, C = (cij) dekG está definida por

c[Ui] =r∑

i=1

cij [Fj ], 1 ≤ i ≤ r.

Luego, la matriz de Cartan es la traspuesta de la matriz de c con respecto a las bases [Ui] y [Fj ] deK0(kG) y xyG0(kG), respectivamente.

Proposición 3.22 El triángulo de Cartan-Brauer

G0(KG) d // G0(kG)

K0(kG)

e

eeKKKKKKKKKK c

99sssssssss

,

es un diagrama conmutativo de grupos abelianos y morfismos aditivos; siendo d el mapa de descomposición, cel morfismo de Cartan, y e la aplicación definida en (5).

Demostración:Debemos probar que d(e[U ]) = c[U ], para cada U ∈ P(kG). De la proposición 3.21 se deduce que existeP ∈ P(RG) tal que P = U . Entonces, por definición de e, tenemos que e[U ] = [K ⊗R P ]. Claramente, Pes un RG-retículo completo en K ⊗R P , por tanto, la definición del mapa de descomposición nos dice qued(K ⊗R P ] = [P ]. Luego,

d(e[U ]) = [P ] = [U ], en G0(kG).

Por otra parte, el elemento [U ] ∈ G0(kG) es la imagen c[U ] del elemento [U ] ∈ K0(kG). Por tanto,d(e[U ]) = c[U ], como se quería probar.

3.5.3. Propiedades del triángulo de Cartan-Brauer

En esta sección, seguiremos pidiendo que (K, R, k) sea un sistema p-modular tal que RG es un anillosemiperfecto. También supondremos que K es suficientemente grande,y que car K = 0. Como señalábamosantes, si K es la completación de un cuerpo con respecto a una valuación discreta, las hipótesis anterioresgarantizan que el anillo RG sea semiperfecto. Más aún, vimos que K y k son cuerpos de descomposición de Gy de todos sus subgrupos. Las propiedades del triángulo de Cartan-Brauer son fundamentales para el estudiode los caracteres de Brauer y generalmente, resultan equivalentes a propiedades de la matriz C de Cartan y lamatriz D del mapa de descomposición.

Denotaremos por Z1, . . . , Zs al conjunto base de KG-módulos simples y por ξ1, . . . , ξs a sus respectivoscaracteres irreducibles. Recordamos la aplicación bilineal definida en el capítulo 1 por

(ξ, ξ′) =

1|G|

∑

x∈Gξ(x)ξ

′(x−1), (6)


para caracteres ξ y ξ′sobre K. Como K es un cuerpo de descomposición, los caracteres irreducibles ξ1, . . . , ξs

forman una base ortonormal de las funciones centrales sobre K, cfK(G), con respecto a la forma bilineal. Másaún, tenemos que

(ξ, ξ′) = i(M, M

′), (7)

para KG-módulos M y M′que inducen los caracteres ξ y ξ

′, respectivamente. Donde i(M, M

′) es el número

entero definido pori(M, M

′) = dimK(HomKG(M, M

′)).

Por (3.5), sabemos que G0(KG) ∼= ch KG cuando car K = 0. Luego, podemos definir una aplicación bilinealsobre Z

iK : G0(KG)×G0(KG)→ Z,

que corresponde a la forma bilineal sobre ch KG definida en (6). Usando la igualdad (7), la formas bilineal iKse define por

iK([M ], [M′]) = i(M, M

′) = (ξ, ξ

′),

para KG-módulos M y M′cuyos caracteres son ξ y ξ

′, respectivamente. De las relaciones de ortogonalidad se

tiene queiK([Zi], [Zj ]) = δij , 1 ≤ i, j ≤ s.

Esto da lugar a la siguiente proposición, que define una forma bilineal sobre el cuerpo de residuos k:

Proposición 3.23 Sea k un cuerpo de descomposición de G. Existe una aplicación bilineal

ik : K0(kG)×G0(kG)→ Z,

tal queik([U ], [M ]) = dimk(HomkG(U, M)), (8)

para todos los módulos U ∈ P(kG) y M ∈ kGmod. Más aún, si U1, . . . , Ur y F1, . . . , Fr denotan lascorrespondientes bases de módulos proyectivos indescomponibles y de módulos simples de kG, respectivamente,tenemos que

ik([Ui], [Fj ]) = δij , 1 ≤ i, j ≤ r.

Demostración:Definamos primero la aplicación bilineal por (8) sobre la base y luego extendámosla por linealidad a unaaplicación

ik : K0(kG)×G0(kG)→ Z.

Primero debemos probar que la aplicación ik está bien definida, es decir, que es aditiva en sucesiones exactascortas. Sean

0→M′ →M →M

′′ → 0,

una s.e.s. de kG-módulos y U ∈ P(kG). Luego, como P es un kG-módulo proyectivo, tenemos que la sucesión

0→ HomkG(P, M′)→ HomkG(P, M)→ HomkG(P, M

′′)→ 0,

es exacta. Por otro lado, si tenemos una sucesión exacta en P(kG) dada por

0→ U′ → U → U

′′ → 0,


entonces U ∼= U ′ ⊕ U ′′ , y esto implica que

HomkG(U, M) = HomkG(U′, M)⊕HomkG(U

′′, M),

para todo kG-módulo finitamente generado M . De esto se sigue que ik está bien definida y es lineal en ambasvariables sobre los correspondientes grupos de Grothendieck.

Supongamos ahora que los conjuntos Ui y Fj se corresponden entre sí como en la proposición 3.21.Luego, rad Ui es el único submódulo maximal de Ui, y Ui/rad Ui es un kG-módulo simple que resulta isomorfoa Fi, para 1 ≤ i ≤ r, por unicidad de la envolvente proyectiva. Al ser k un cuerpo de descomposición de G, setiene que

dimk(HomkG(Ui, Fj)) = δij , 1 ≤ i, j ≤ r,

completando así la demostración de la proposición.

Teorema 3.6 El mapa de descomposición d y la aplicación e : K0(kG)→ G0(KG) definida anteriormenteson traspuestas con respecto a las formas bilineales iK e ik. Esto es,

ik(u, d(z)) = iK(e(u), z), ∀u ∈ K0(kG), z ∈ G0(KG).

Demostración:Basta demostrar que el resultado es cierto para los conjuntos de generadores de K0(kG) y de G0(KG). Supon-gamos que u = [U ] y que z = [Z], para módulos U ∈ P(kG) y Z ∈ KGmod. Como el anillo RG es semi-perfecto, podemos aplicar el isomorfismo definido en (3.5) y encontrar un kG-módulo proyectivo P ∈ P(kG)tal que P = U . Entonces e[U ] = K ⊗R P . Supongamos que L es un RG-retículo completo de Z, entoncesd[Z] = [L] en G0(KG). Por otro lado, tenemos el siguiente isomorfismo

K ⊗R HomRG(P, L) ∼= HomKG(K ⊗R P, K ⊗R L),

donde HomRG(RG, L) ∼= L como RG-módulos. Por tanto,

HomRG(RG, L) ∼= L ∼= HomkG(kG, L).

Al ser P un módulo proyectivo y Hom aditivo, de la última igualdad se deduce que

HomRG(P, L) ∼= HomkG(P , L).

Combinando estos resultados, obtenemos

iK(e[U ], [Z]) = dimK(HomKG(K ⊗R P, K ⊗R Z))

= dimK(K ⊗R HomRG(P, Z))

= dimR(HomRG(P, Z))

= dimk(HomkG(P , L))

= dimk(HomkG(U, L))

= ik([U ], d[Z]),



Corolario 3.8 Sea C la matriz de Cartan y D la matriz de descomposición de G, para un sistema p-modular(K, R, k). Entonces C es una matriz simétrica, siendo

C = DtD.

Demostración:Sea Et la matriz de e : K0(kG) → G0(KG), con respecto a las bases Ui1≤i≤r y Zj1≤j≤s. Usando una delas formas bilineales anteriores, se tiene que

dij = ik([Fj ], d[Zi]) = ik([Uj ], d[Zi]),

siendo Fj1≤j≤r un conjunto base de módulos simples en G0(kG) cuyas envolventes proyectivas son Ui1≤i≤rtales que ik([Ui], [Fj ]) = δij . Por el teorema anterior, tenemos que

dij = iK(e[Uj ], [Zi]) = eji.

Luego, resulta que Dt = E. Por otro lado, el triángulo de Cartan-Brauer nos dice que c = de; usando lasdefiniciones de las matrices C y D se obtiene

C = ED = DtD.

Por tanto, Ct = C, lo cual completa la demostración.

En un ejemplo anterior hemos dado la matriz de descomposición para G = S4 y el sistema modular(Q, R2, Z2):

D =

1 01 10 11 11 0

.

Luego, la matriz de Cartan está dada por C = DtD y es la siguiente:

C =(

4 22 3

).

Corolario 3.9 Supongamos que p no divide al orden de G. Entonces G = Gp′ , r = s, C es la matrizidentidad, y D es una matriz de permutación. Cada carácter de Brauer de un kG-módulo coincide con uncarácter sobre K correspondiente a un KG-módulo.

Demostración:Si p no divide al orden del grupo, entonces el anillo kG es semisimple, y por tanto la cantidad de kG-módulossimples coincide con la cantidad de órbitas de conjugación de G. Por tanto, la cantidad de kG-módulos simplescoincide con la cantidad de KG-módulos simples. Los conjuntos bases [Fi], [Zj ] de módulos simples enG0(kG) y en G0(KG), son ortonormales con respecto a las formas bilineales ik, iK , respectivamente. Como loscoeficientes de D son enteros no negativos, la matriz de descomposición es una matriz de permutación, es decirque DtD = I. Luego, se deduce del corolario anterior que C = I.

El siguiente resultado, además de interés en sí mismo, nos será de gran utilidad para encontrar más propie-dades del triángulo de Cartan-Brauer. Como es usual, su demostración se puede encontrar en [C-R].


Teorema 3.7 Sea λL un carácter de Brauer correspondiente a un kG-módulo L. Extendemos λL a una funciónde clases λ sobre todo G, por

λL(x) = λ(s), x ∈ G,

donde s es la parte p-regular de x. Entonces λL es un carácter virtual de G sobre K.

Definición 53 El carácter virtual λ sobre K, asociado al carácter de Brauer λ de G, se denomina ellevantamiento de Brauer de λ.

Corolario 3.10 El mapa de descomposición d : G0(KG)→ G0(kG), es suryectivo.

Demostración:Por la proposición 3.18, es suficiente probar que todo carácter de Brauer λ es la restricción de un elementode chKG. Por el teorema anterior, sabemos que λ es la restricción λ|G

p′ de su levantamiento de Brauer λ,

puesto que se deduce inmediatamente de su definición. Por tanto, el mapa de descomposición es suryectivo.

Corolario 3.11 La aplicación e : K0(kG)→ G0(KG) es inyectiva.

Demostración:Sea u ∈ ker e. Entonces iK(e(u), z) = 0, ∀z ∈ G0(KG). Al ser d la traspuesta de e, se tiene que ik(u, d(z)) =0, ∀z ∈ G0(KG). Como el mapa de descomposición d es suryectivo, debe ser que

ik(u, v) = 0, ∀v ∈ G0(kG).

Por (3.23), G0(kG) y K0(kG) admiten bases duales con respecto a la forma bilineal ik; luego, se deduce queu = 0, probando de esta manera que e es inyectivo.

Como consecuencia inmediata del corolario anterior tenemos el siguiente resultado:

Corolario 3.12 Supongamos que P, P′ ∈ P(RG) tal que los KG-módulos correspondientes K ⊗R P y

K ⊗R P ′ son isomorfos. Entonces P ∼= P′, como RG-módulos.

3.6. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres de Brauer

Antes de continuar con las propiedades de los caracteres de Brauer, recordamos que (K, R, k) es un sistemap-modular, tal que car K = 0, K es suficientemente grande con respecto a G y RG es un anillo semiperfecto.

De aquí en adelante supondremos que F1, . . . , Fr son representantes de las clases de isomorfismo de kG-módulos simples y que ϕ1, . . . , ϕr son los caracteres de Brauer inducidos por estos módulos simples. Más aún,supondremos que U1, . . . , Ur son los representantes de las clases de isomorfismo de KG-módulos proyectivosindescomponibles tal que Ui es la envolvente proyectiva de Fi, 1 ≤ i ≤ r, y cuyos caracteres de Brauer están

3.6. RELACIONES DE ORTOGONALIDAD DE LOS CARACTERES DE BRAUER 101

dados por ν1, . . . , νr. Los módulos Ui se denominan módulos principales indescomponibles. Siguiendolos razonamientos y la notación de la sección anterior, notaremos por P1, . . . , Pr al conjunto base de RG-módulos proyectivos indescomponibles, tal que Pi = Ui y por Cj1≤j≤r a las clases de conjugación de elementosp-regulares de G.

Luego, si χi1≤i≤s son los caracteres irreducibles de los KG-módulos simples Vi1≤i≤s, de (3.18) y de laestructura de los grupos de Grothendieck se deduce que

χi|Gp′ =

∑rj=1 dijϕ

j , 1 ≤ i ≤ s,

νi =∑rj=1 cijϕ

j , 1 ≤ i ≤ s.

Entonces, si Φ = (ϕi(xj))1≤i,j≤r, H = (νi(xj))1≤i,j≤r y Z = (χi(xj), donde xj ∈ Cj , tenemos que

Z = DΦ, H = CΦ.

Lema 3.5 i) det Φ es una unidad de R.

ii) det C 6= 0.

Demostración:Como k es un cuerpo de descomposición de G, por (3.2), los k-caracteres de F1, . . . , Fr son linealmenteindependientes sobre k. Estos caracteres están determinados por las filas de Φ, por tanto, det Φ 6= 0. Como Res un anillo local con cuerpo residual k, tenemos que det Φ es una unidad de R, probando así i). Para probarii), aplicando una de las relaciones de ortogonalidad del primer capítulo, obtenemos

1|G|

s∑m=1

χi(xm)χj(x−1m ) = (h−1

i δij), xm ∈ Cm.

Entonces, det ZtZ 6= 0 y por las igualdades anteriores tenemos que

ZtZ = ΦtDtDΦ = ΦtCΦ.

Como det Φ es una unidad en R, tenemos que det C 6= 0, como se quería probar.

Teorema 3.8 Relaciones de ortogonalidad de los caracteres de Brauer

i)∑rj=1 hjϕ

i(xj)νk(x−1j ) = |G|δik, xj ∈ (C)j , 1 ≤ j ≤ r.

ii)∑rj=1 hjϕ

i(xj)ϕk(x−1j ) = |G|γik, donde C−1 = (γij).

iii)∑rj=1 hjν

i(xj)νk(x−1j ) = |G|cik.

Demostración:Por el lema y las igualdades anteriores sabemos que C es inversible y que

ZtZ = Y, Z = DΦ, H = CΦ = DtZ,

donde Y = (|G|h−1i δij). Por tanto, operando sobre estas igualdades se obtiene

ΦY−1Φt = C−1, ΦY−1Ht = I, y HY−1Ht = C.


Se deduce inmediatamente que las fórmulas anteriores implican ii), i) y iii), respectivamente; completandoasí la demostración.

Daremos ahora una variación del levantamiento de Brauer, también sin demostración, que usaremos en lademostración de una de las propiedades de la matriz de Cartan.

Lema 3.6 Sean |G| = pa ·m, tal que p no divide a m, y λ un carácter de Brauer asociado a un kG-móduloL. Definimos

θ(x) =

paλ(x), x ∈ Gp′ ,

0, x /∈ Gp′ .

Entonces θ es un carácter virtual de G.

Teorema 3.9 Sea C la matriz de Cartan, entonces det C = pl, para algún entero no negativo l.

Demostración:Supongamos que |G| = pa ·m, tal que p no divide a m, y sea θi ∈ ch KG el carácter virtual, definido en el lemaanterior, que corresponde al carácter de Brauer irreducible ϕi, 1 ≤ i ≤ r. Luego, tenemos que

θi =s∑

j=i

aijχj , aij ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r.

Más aún, tenemos que

aij = (θi, χj) = 1|G|∑x∈G θi(x

−1)χj(x)

= pa

|G|∑x∈G

p′ ϕ

i(x−1)χj(x)

= pa

|G|∑x∈G

p′ ϕ

i(x−1)∑rk=1 djkϕ

k(x)

= pa∑rk=1 djk

|G|−1

∑x∈G

p′ ϕ

i(x−1)ϕk(x)

= pa∑rk=1 djkγki, C−1 = (γij).

Luego, si A = (aij), como C−1 es simétrica, la igualdad anterior se traduce en

A = paC−1Dt.

Entonces, por (3.8) tenemos que

AAt = p2aC−1DtDC−1 = p2aC−1.

Por tanto,(det C)(det(AAt)) = p2a;

en particular, det C debe ser una potencia de p.


Definición 54 Diremos que un elemento x ∈ G es p-irregular si x /∈ Gp′ .

Teorema 3.10 Sea P1, . . . , Pr un conjunto base de RG-módulos proyectivos indescomponibles, y τi loscaracteres sobre K inducidos por los KG-módulos K ⊗R Pi, 1 ≤ i ≤ r. Entonces

i) τi =∑sj=i djiχi, 1 ≤ i ≤ r.

ii) τi(x) = 0, para todo elemento p-irregular x ∈ G.iii) τ1, . . . , τr forma una base sobre Z de caracteres virtuales de G tales que se anulan en los elementos

p-irregulares de G.

Demostración:Al ser Pi ∼= Ui, 1 ≤ i ≤ r, debe ser que τi|G

p′ = νi. Luego, por (3.23) tenemos que

iK([K ⊗R Pi], [Zj ]) = ik([Ui], d[Zj ])

= ik([Ui],∑rh=1 djh[Fh])

= dji.

Como τi es el carácter correspondiente al KG-módulo K ⊗R Pi, debe ser que

(τi, χj) = dji,

por la definición de la forma bilineal. Esto implica que

τi =s∑

j=1

djiχj , 1 ≤ i ≤ r.

Se puede demostrar, usando la igualdad anterior, que τi es linealmente independiente; pero extenderíademasiado la demostración y no aporta nuevas ideas. Los detalles se pueden ver [C-R]. Probaremos ahora quelos caracteres τi se anulan en las clases p-irregulares de G. De las relaciones de ortogonalidad de los caracteressobre K y de (3.8), se deduce que

1|G|

∑

x∈G|τi(x)|2 =

s∑

j=1

d2ji = cii.

Por otro lado, de las relaciones de ortogonalidad de los caracteres de Brauer, tenemos que

1|G|

∑

y∈Gp′

|τi(y)|2 =1|G|

s∑

j=1

hjνi(xj)νi(x−1

j ) = cii,

donde xj ∈ Cj . Comparando ambas igualdades, debe ser que τi = 0 para todo x /∈ Gp′ .Para terminar la demostración, debemos mostrar que todo carácter virtual θ ∈ ch KG que se anula en los

elementos p-irregulares es combinación lineal a coeficientes en Z de τi. Supongamos que

θ =∑

aiτi,


y tratemos de encontrar los coeficientes ai en Z. Por tanto, nuestro problema es resolver las ecuaciones

θ(xi) =r∑

j=1

ajτj(xi) =r∑

j=1

ajνj(xi), donde xi ∈ Ci, 1 ≤ i ≤ r

Luego, la matriz de coeficientes es H = CΦ y es inversible, puesto que C y Φ lo son. Por tanto, bastademostrar que las soluciones ai son números enteros. De las relaciones de ortogonalidad de los caracteres deBrauer se tiene que

aj =1|G|

r∑

i=1

hiθ(xi)ϕj(x−1i ).

Como el mapa de descomposición es suryectivo (suponiendo que K es suficientemente grande), podemossuponer que

ϕj =s∑

k=1

mjkχk,

para ciertos coeficientes mjk ∈ Z. Al ser θ un carácter virtual que se anula en los elementos p-irregulares,tenemos que

aj = 1|G|∑ri=1

∑sk=1 hiθ(xi)mjkχk(x−1

i )

=∑sk=1mjk(θ, χk), ∈ Z,


Veamos ahora algunas propiedades adicionales del triángulo de Cartan-Brauer, que se deducen de lo hechohasta el momento.

Proposición 3.24 i) El morfismo de Cartan c : K0(kG)→ G0(kG) es inyectivo, y su conúcleo es un grupofinito cuyo orden es una potencia de p.

ii) Im e consiste en aquellos a ∈ G0(KG) cuyos caracteres virtuales α se anulan en las clases p-irregularesde G.

iii) La aplicación e : K0(kG)→ G0(KG) es una inyección directa, esto es, e es una inyección y la imagende e es un sumando directo sobre Z de G0(KG).

Para finalizar este capítulo, daremos algunos ejemplos que muestran lo hecho hasta aquí. Algunos de ellosson un caso particular del teorema de Fong-Swan-Rukolaine, que enunciaremos al finalizar la sección.

3.6.1. Ejemplos

a) Sean G = S4, p = 2, y (Q2, R, k) el sistema 2-modular tal que Q2 es la completación de Q con respecto ala valuación 2-ádica, R es el anillo de enteros 2-ádicos, y k ∼= R/2 ·R ∼= Z/2 ·Z. En los ejemplos anteriores vimosque hay exactamente dos clases de isomorfismos de kS4-módulos simples y que la matriz de descomposición y


la matriz de Cartan eran las siguientes

D =

1 01 10 11 11 0

, C =

(4 22 3

).

Como las clases de elementos 2-regulares son 2 y están dadas por las clases de id, (1 2 3), la tabla decaracteres de Brauer será:

kS4 1 8S4 [id] [1 2 3]F1 1 −1F2 2 −1

.

Luego, los caracteres de G inducidos por los RG-módulos proyectivos indescomponibles son

τ1 =∑sj=i dj1χi = χ1 + χ2 + χ4 + χ5

= χ(4) + χ(3, 1) + χ(2, 12) + χ(14)

τ2 =∑sj=i dj2χi = χ2 + χ3 + χ4

= χ(3, 1) + χ(2, 2) + χ(2, 12).

Por tanto, hay dos kS4-módulos proyectivos indescomponibles U1, U2 de dimensión 8. A saber, la dimensiónde Ui está dada por τi(1), entonces

dimk(U1) = τ1(1) = χ(4)(1) + χ(3, 1)(1) + χ(2, 12)(1) + χ(14)(1)

= 1 + 3 + 3 + 1 = 8

dimk(U2) = τ2(1) = χ(3, 1)(1) + χ(2, 2)(1) + χ(2, 12)(1)

= 3 + 2 + 3 = 8.

Mediante un simple cálculo, usando la tabla de caracteres de S4, se puede ver que efectivamente los caracteresτi se anulan en los elementos 2-irregulares. Por ejemplo, para τ1 tenemos

τ1(1, 2) = χ(4)(1, 2) + χ(3, 1)(1, 2) + χ(2, 12)(1, 2) + χ(14)(1, 2)

= 1 + 1− 1− 1 = 0

τ1((1, 2)(3, 4)) = 1− 1− 1 + 1 = 0

τ1((1, 2, 3, 4)) = 1− 1− 1 + 1 = 0.

b) Encontremos ahora la tabla de caracteres de Brauer de G = S4 para p = 3 y sistema modular (Q3, R, k)tal que Q3 es la completación de Q con respecto a la valuación 3-ádica, R es el anillo de enteros 3-ádicos en Q,


y k ∼= R/3 ·R ∼= Z/3 ·Z. La cantidad de clases3-regulares en S4 es 4 y están dadas por [id], [1 2], [(1 2)(3 4)] y[1 2 3 4]. Luego, tenemos 4 kS4-módulos simples cuyos caracteres son

6 3 6 1S4 [1 2 3 4] [(1 2)(3 4)] [1 2] [id]F1 1 1 1 1F2 −1 −1 1 3F3 1 −1 −1 3F4 −1 1 −1 1

.

A través de un simple cálculo, se puede ver que la matriz de descomposición es la siguiente

D =

1 0 0 00 1 0 01 0 0 10 0 1 00 0 0 1

.

En consecuencia, existen cuatro kS4-módulos proyectivos indescomponibles de dimensión 3, cuyos caracteresestán dados por

τ1 =∑sj=i dj1χi = χ1 + χ3

= χ(4) + χ(2, 2)

τ2 =∑sj=i dj2χi = χ2 = χ(3, 1)

τ3 =∑sj=i dj3χi = χ4 = χ(2, 12)

τ4 =∑sj=i dj4χi = χ3 + χ5

= χ(2, 2) + χ(14).

c) Sean G un p-grupo, es decir, un grupo cuyo orden es una potencia de p, y (K, R, k) un sistema p-modularcon car K = 0 y K suficientemente grande. Luego, la cantidad de clases p-regulares es 1 y está dada por launidad de G. Por tanto, la única clase de isomorfismos de kG-módulos simples está dada por la reducción dela representación trivial de G sobre K; esto es, los elementos de G actúan trivialmente sobre el único (salvoisomorfismos) kG-módulo simple.

d) Sea (K, R, k) un sistema p-modular tal que car K = 0, K suficientemente grande y RG es un anillosemiperfecto. Si G es un grupo finito cuyo orden es coprimo con p, se tiene lo siguiente:

i) Los kG-módulos simples Fi, 1 ≤ i ≤ r coinciden con los kG-módulos proyectivos indescomponiblesUi, 1 ≤ i ≤ r.

ii) Para cada i, 1 ≤ i ≤ r, existe unRG-retículo proyectivo Pi tal que Pi = Fi.iii) Para cada i, KPi = K⊗RPies un KG-módulo simple tal que d[KPi] = [Fi].

iv) Los módulos KPi, 1 ≤ i ≤ r son una base de KG-módulos simples.

Demostración:Al ser (|G|, p) = 1, resulta que el anillo kG es semisimple. Por tanto, toda sucesión exacta de kG-módulosse parte; en particular, todos los kG-módulos simples son proyectivos. Como la envolvente proyectiva es únicasalvo isomorfismos, se tiene que Fi, 1 ≤ i ≤ r es una base de kG-módulos proyectivos indescomponibles quecoincide con Ui, 1 ≤ i ≤ r.


Sea RG = RG/(rad RG). Como este anillo es semisimple y artiniano, tiene una descomposición

RG ∼= RGe1 ⊕ · · · ⊕RGen,

donde ei es un conjunto de idempotentes primitivos. Al ser RG un anillo semiperfecto, esta descomposiciónse levanta a una descomposición de RG

RG ∼= RGe1 ⊕ · · · ⊕RGen,

resultando RGei un RG-módulo proyectivo indescomponible. Más aún, RGei es un RG-retículo. Sea Pi = RGei.Entonces Pi = Pi/℘Pi ∼= kGei es un kG-módulo simple, puesto que ℘G ⊆ rad RG y su envolvente proyectivaPi es un módulo indescomponible. Por tanto, debe ser que Pi ∼= Fj , para algún j, 1 ≤ j ≤ r. Reordenando,podemos suponer que Pi ∼= Fi, obteniendo de esta manera ii). Consideremos ahora el KG-módulo dado porK ⊗R Pi = KPi. Entonces, por la definición del mapa de descomposición, tenemos que

d[K ⊗R Pi] = [Pi] = [Fi].

Esto implica que el único factor de composición de KPi es Fi, es decir que KPi es un KG-módulo simple.Como la cantidad de KG-módulos simples es igual a la cantidad de kG-módulos simples que es igual a lacantidad de clases de conjugación de G, se deduce que KPi, 1 ≤ i ≤ r es una base de KG-módulos simples.

Observar que, en los dos últimos ejemplos, todo kG-módulo simple se obtiene por reducción módulo ℘ dealgún KG-módulo simple. Esto ocurre en una situación un poco más general:

Definición 55 Un grupo finito G se dice p-soluble si cada factor de la serie de composición de G es unp-grupo o su orden es coprimo con p.

Teorema 3.11 Fong-Swan-RukolaineSea F un kG-módulo simple, donde G es un grupo finito p-soluble.Existe entonces un KG-módulo simple Z tal que F ∼= Z0/℘Z0, para cada RG-retículo completo Z0 en Z.

Capítulo 4

Representaciones modulares del gruposimétrico

En esta sección describiremos representaciones modulares de algunos grupos simétricos, debido a que lacompleta clasificación de módulos de Specht irreducibles sobre un cuerpo de característica positiva es aún unproblema abierto. Actualmente, no existe una manera de determinar los factores de composición para un módulode Specht general cuando el cuerpo de base es de característica positiva. Por tanto, no se pueden determinarlos coeficientes de la matriz de descomposición de Sn, excepto en algunos casos especiales. Mantendremos lanotación introducida en el capítulo 2 a lo largo de toda esta sección.

En el capítulo 2 hemos construido las representaciones irreducibles Sµ de Sn sobre un cuerpo de característicacero; correspondiendo cada módulo simple a una clase de conjugación de Sn. Nos proponemos ahora encontrarla representación modular que se obtiene de éstas al considerar el sistema modular (Qp, R, Fp), donde Qp esla completación de Q respecto de la valuación p-ádica, R es el anillo de enteros p-ádicos y Fp ∼= Z/p · Z es elcuerpo de p elementos.

Proposición 4.1 Si v ∈ SµQ y los coeficientes de los tabloides involucrados en v son todos enteros, entoncesv es una combinación lineal con coeficientes en Z de politabloides estándar.

Demostración:Si v = 0, no hay nada que probar. Supongamos que v 6= 0 y ordenemos los tabloides involucrados en v demenor a mayor según el orden parcial < definido en (23). Sea t el último tabloide involucrado en v, digamoscon coeficiente a ∈ Z. Por la proposición 2.9, sabemos que dicho tabloide debe ser estándar. Ahora, el lema2.5 muestra que el último tabloide involucrado en v − a · et está antes del tabloide t. Luego, por induc-ción, tenemos que v−a · et es una combinación lineal con coeficientes en Z de politabloides estándar. Por tanto,v debe ser una combinación lineal con coeficientes enteros de politabloides estándar.

Corolario 4.1 Si v ∈ SµQ y los coeficientes de los tabloides involucrados en v son todos enteros, entoncespodemos reducir todos los coeficientes módulo p y obtener un elemento de SµFp , donde Fp es el cuerpo de pelementos.

Demostración:Por la proposición anterior, v es una combinación lineal con coeficientes enteros de politabloides estándar,

109

110 CAPÍTULO 4. REPRESENTACIONES MODULARES DEL GRUPO SIMÉTRICO

digamos

v =∑

ai · ei, ai ∈ Z.

Reduciendo módulo p todos los coeficientes de los tabloides en v, obtenemos v. Sea ai la reducción de ai,entonces

v =∑

ai · ei, ai ∈ Z,

muestra que v ∈ SµFp .

Observación: Dada la base de politabloides estándar et de SµQ y el sistema modular (Qp, R, Fp), podemosconstruir un RSn-retículo completo M de SµQ dado por

M =∑

RSn · et, et politabloide estándar.

Sabemos que SµQ está generado por cualquier politabloide estándar bajo la acción de Sn, es decir que SµQ esun módulo cíclico. Entonces, debe ser que

M =∑

R · et, et politabloide estándar.

Supongamos que ℘ ⊂ R es el único ideal maximal del anillo de valuación discreto R. Luego, ℘ = p · R yR/℘ ∼= Fp. Por tanto, el Fp-módulo M que se obtiene por reducción módulo ℘, es el módulo SµFp , cuyos elementosson combinaciones lineales sobre Fp de los politabloides estándar. Esto da lugar al siguiente corolario:

Corolario 4.2 Si Fp es el cuerpo de p elementos, entonces SµFp es la representación p-modular de Sn quese obtiene de SµQ.

Observación: Por los resultados anteriores, se deduce que los politabloides se pueden escribir como combinaciónlineal de politabloides estándar sobre cualquier cuerpo. Por tanto, los politabloides estándar generan Sµ sobrecualquier cuerpo.

Lema 4.1 Supongamos que θ ∈ HomQSn(MλQ , M

µQ) y que todos los tabloides involucrados en θt tienen

coeficientes enteros, donde t ∈MλQ. Entonces, la reducción de todos los coeficientes módulo p da un elemento

no nulo θ ∈ HomFpSn(MλFp , M

µFp), donde Fp es el cuerpo de p elementos. Si Ker θ = SλQ

⊥, entonces Ker θ ⊇SλFp⊥.

Demostración:Es claro que si θ es un morfismo de QSn-módulos tal que los tabloides de θt tienen coeficientes enteros paratodo t ∈ Mλ

Q , entonces θ ∈ HomFpSn(MλFp , M

µFp). Para demostrar la segunda afirmación, tomemos una base

f1, . . . , fk de SλQ⊥ y extendámosla a una base de Mλ

Q agregando una base de politabloides estándar de SλQ.

Recordemos que esto es posible debido a que SλQ⊥ ∩ SλQ = 0. Sean t1, . . . tm los diferentes tabloides de λ.

Definimos la matriz N pornij = < fi, tj > .

4.1. PARTICIONES P -REGULARES 111

Habiendo elegido convenientemente la base, podemos suponer que los coeficientes deN son enteros; más aún,por reducción en las primeras k filas también podemos suponer que las primeras k filas de N son linealmenteindependientes sobre Fp.

Reduciendo todos los coeficientes de N módulo p, obtenemos un conjunto de vectores en MλFp , donde los

últimos m − k vectores son una base estándar de SλFp , y los primeros k son linealmente independientes yortogonales a la base estándar de SλFp . Como la dimensión de Sλ es independiente del cuerpo de base, tenemosque

dim SλFp⊥

= dim MλFp − dim SλFp = k.

Luego, hemos construido una base de SλQ⊥ cuyos elementos dan una base de SλFp cuando los coeficientes de

los tabloides se reducen módulo p.

Si Ker θ = SλQ⊥, entonces todo elemento fj de la base de SλQ

⊥ es combinación lineal a coeficientes enterosde tabloides de λ y θ lo anula. Por tanto, cuando reducimos todos los coeficientes de θ(fj) módulos p, éstosdeben ser cero. Es decir, Ker θ ⊇ SλFp

⊥.

Antes de finalizar esta sección, daremos un teorema que extiende al teorema 2.7 dando el mismo resultadosobre cualquier cuerpo de base.

Teorema 4.1 Sobre cualquier cuerpo, Sλ⊗S(1n) es isomorfo al dual de Sλ′, siendo λ

′la partición conjugada

de λ.

Demostración:Basta con demostrar el caso cuando el cuerpo de base es Fp, el cuerpo de p elementos, puesto que hemosdemostrado el resultado cuando el cuerpo de base es Q.

En la demostración del teorema 2.7, dimos un QSn-morfismo θ de Mλ′

Q en MλQ ⊗M (1n)

Q y probamos que

Ker θ = (Sλ′

Q )⊥. Usando el lema anterior, definimos θ por

θ : πt 7→ sg(π)κπtπt ⊗ u.

Luego, θ es un FpSn-morfismo en SλFp ⊗ S(1n)Fp y, por el teorema anterior, su núcleo contiene a (Sλ

′

Fp)⊥. Por

dimensiones, debe ser que Ker θ = (Sλ′

Fp)⊥. Por tanto,

SλFp ⊗ S(1n)Fp∼= Mλ

Fp/Ker θ = MλFp/(S

λ′

Fp)⊥ ∼= (Sλ′

Fp)∗.

4.1. Particiones p-regulares

Hemos visto que Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es cero o absolutamente irreducible, y sólo puede ser cero si el cuerpo debase tiene característica positiva. Para distinguir entre las particiones µ tales que Sµ está contenido en Sµ⊥ yaquéllas que no lo verifican, debemos hacer algunas definiciones.

Definición 56 Sea p un número primo. Una partición µ se dice p-singular si para algún i se tiene que

µi+1 = µi+2 = · · · = µi+p > 0.


De lo contrario, la partición µ se denomina p-regular.

Por ejemplo, la partición µ = (62, 54, 1) es p-regular si y sólo si p ≥ 5.

Lema 4.2 El número de clases p-regulares de Sn es igual al número de particiones p-regulares de n.

Demostración:Sea π ∈ Sn, y supongamos que está descompuesta como producto de ciclos disjuntos. Luego, es claro que πtiene orden coprimo con p si y sólo si ningún ciclo tiene longitud divisible por p. Por tanto, el número de clasesp-regulares de Sn es igual al número de particiones µ de n tales que ningún sumando µi es divisible por p.

Consideremos el siguiente cociente(1− xp)(1− x2p) · · ·(1− x)(1− x2) · · · .

Si cancelamos los factores (1− xmp) en el numerador y en el denominador, tenemos que el cociente es

∏

p6\i(1− xi)−1 =

∏

p6\i(1 + xi + (xi)2 + (xi)3 · · ·),

siendo el coeficiente de xn el número de particiones de n tales que ningún sumando es divisible por p; es decir,la partición (. . . , 3c, 2b, 1a) corresponde a tomar el monomio dado por xa · (x2)b · (x3)c · · ·.

Por otra parte, si para cada m separamos en el numerador (1−xmp) y (1−xm) en el denominador, tenemosque

(1−xp)(1−x2p)···(1−x)(1−x2)··· =

∏m

(1−xmp)(1−xm)

=∏m(1 + xm + (xm)2 · · ·+ (xm)p−1).

Aquí cada coeficiente de xn es el número de particiones de n tales que ningún sumando se repite p veces omás; en particular, este coeficiente es la cantidad de particiones p-regulares de n.

Por tanto, comparando los coeficientes de xn, se deduce que la cantidad de particiones p-regulares de n esigual a la cantidad de clases p-regulares de Sn.

Análogamente al capítulo 2, gran parte da las propiedades de los módulos simples estudiados se deducende resultados combinatorios. Observar que en dichos resultados no se pide que p sea primo, sin embargo esasuposición se debe hacer cuando se trabaja en teoría de representaciones.

Definición 57 Sea gµ el entero definido por

gµ = M.C.D.< et, et∗ >: et, et∗ son politabloides en SµQ.

Como todo politabloide de Sµ es combinación lineal con coeficientes enteros de politabloides estándar, resultaque gµ es el máximo común divisor de los coeficientes de la matriz de Gram con respecto a una base estándardel módulo de Specht Sµ.

Lema 4.3 Supongamos que la partición µ tiene zj sumandos iguales a j. Entonces∏∞j=1 zj ! divide a gµ y

gµ divide a∏∞j=1(zj !)j.

4.1. PARTICIONES P -REGULARES 113

Observación: Como 0! = 1, no hay problemas en tomar infinitos productos en∏∞j=1 zj !.

Demostración:Definamos una relación de equivalencia ∼ sobre el conjunto de tabloides de µ por: t1 ∼ t2 si y sólo si paratodo par i, j que pertenece a la misma fila de t1, entonces i, j pertenecen a la misma fila de t2. Es decir,t2 se obtiene a partir t1 intercambiando filas. Cada clase de equivalencia tiene orden

∏∞j=i zj !.

Si t1 está involucrado en et y t1 ∼ t2, entonces la definición de politabloides muestra que t2 estáinvolucrado en et, siendo los coeficientes de ambos iguales o uno el inverso de otro. Por tanto, cualquier par depolitabloides tienen un múltiplo de

∏∞j=i zj ! tabloides en común; en particular

∏∞j=i zj ! divide a gµ. Sean t un

tablero de µ y t∗ el tablero de µ que se obtiene revirtiendo el orden de los coeficientes en cada fila del tablerot. Por ejemplo, si

t =

1 2 3 45 67 89

, entonces t∗ =

4 3 2 16 58 79

.

Sea π un elemento del estabilizador de columnas de t tal que para todo i, los números i y π(i) pertenecena filas de t que tienen el mismo tamaño. En el ejemplo anterior, π se puede tomar como cualquier elementodel subgrupo S5, 7 × S6, 8. Luego, πt es un tabloide que está involucrado en et y en et∗ con el mis-mo coeficiente. Es claro que todos los tabloides que tienen en común et y et∗ tienen esta forma. Por tanto,< et, et∗ > =

∏∞j=i(zj !)

j ; en particular, se deduce que gµ divide a∏∞j=i(zj !)

j . En el ejemplo anterior, tenemosque zj = 2 que j = 2, entonces 2! = 2/gµ y gµ/22.

Corolario 4.3 El primo p divide a gµ si y sólo si µ es p-singular.

Demostración:µ es p-singular si y sólo si p divide a zj ! para algún j. Por el lema anterior, esto ocurre si y sólo si p divide agµ.

Corolario 4.4 Si t∗ se obtiene a partir de un tablero t de µ cambiando de orden los números en cada filade t, entonces κtet∗ es un múltiplo de et, y este múltiplo es coprimo con p si y sólo si µ es p-regular.

Demostración:El corolario 2.3 muestra que κtet∗ es un múltiplo de et, digamos κtet∗ = h · et. Entonces

h = h < et, t > = < het, t > = < κtet∗ , t >

= < et∗ , κtt > = < et∗ , et > .

Por la demostración del lema anterior sabemos que h =∏∞j=1(zj !)j . Por tanto, p divide a h si y sólo si p

divide a∏∞j=1(zj !)j si y sólo si µ es p-singular.

Sean µ una partición de n y µ′la partición conjugada de µ. Recordemos que

κt =∑

π∈Ctsg(π)π, y ρt =

∑

π∈Rtπ,

donde Ct ⊆ Sn es el estabilizador de columnas y Rt ⊆ Sn es el estabilizador de filas.


Lema 4.4 Supongamos que el cuerpo de base es Q y sea t un tablero de µ. Entonces

i) El máximo común divisor de los coeficientes de los tabloides involucrados en ρtκtt es gµ′.

ii) κtρtκtt =∏

(longitud de ganchos en [µ])κtt.

Demostración:Por definición, sabemos que

gµ′

= M.C.D.< et′ , πet′ > : et′ es un politabloide estándar y π ∈ Sn.

Perosg(π) < et′ , πet′ > = sg(π) < t′, κt′πκt′t

′ >

=∑sg(π)sg(σ)sg(τ) : σ, τ ∈ Ct′ , τπσ ∈ Rt′

=∑sg(ω) : τ ∈ Ct′ , π−1τ−1ω ∈ Rt′

=∑sg(ω) : τ ∈ Rt, π−1τ−1ω ∈ Ct

=< t, π−1ρtκtt >

=< πt, ρtκtt > .

Luego, gµ′es el máximo común divisor de los politabloides involucrados en ρtκtt.

El corolario 2.3 muestra que κtρtκtt = cκtt, para algún c ∈ Q. Para encontrar el valor de c, trabajaremossobre el álgebra de grupo QSn. Tenemos entonces que

κtρtκtρt = cκtρt en QSn.

Por otro lado, debido al teorema de Maschke, el ideal a izquierda QSn · κtρt de QSn, que es isomorfo a Sµ,tiene un ideal a izquierda complementario U . Esto es, QSn = U ⊕QSn ·κtρt. Luego, la multiplicación a derechapor κtρt da una transformación lineal de QSn. Si tomamos una base de QSn · κtρt seguida por una base de U ,la matriz de la transformación lineal está representada por

c 0 . . . 0 0 . . . 00 c . . . 0 0 . . . 0...

. . ....

......

0 . . . . . . c 0 . . . 0

∗ ∗ ∗ ∗ ......

......

......

......

∗ ∗ ∗ ∗ 0 . . . 0

.

En cambio, si tomamos la base natural π : π ∈ Sn para QSn, la transformación lineal estará representadapor una matriz con unos en la diagonal, puesto que la identidad ocurre una sola vez en el producto κtρt concoeficiente 1.

Comparando las trazas, tenemos que c · dim Sµ = n!. Por la fórmula (2.5) para el módulo de Specht Sµ,sabemos que

dim Sµ =n!∏

(longitud de los ganchos en [µ]).

4.2. REPRESENTACIONES IRREDUCIBLES 115

Por tanto, se tiene que

c =∏

(longitud de los ganchos en [µ]),


4.2. Representaciones irreducibles

En el capítulo 2 hemos construído las representaciones irreducibles sobre un cuerpo de característica cero.Ahora, construiremos las representaciones irreducibles de Sn sobre un cuerpo de característica positiva.

Teorema 4.2 Sea K un cuerpo de característica positiva. El cociente Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es no nulo si y sólosi µ es p-regular.

Demostración:Sµ ⊆ Sµ⊥ si y sólo si < et, et∗ >= 0 en K, para cada par de politabloides et, et∗ en Sµ. Pero esto ocurre si ysólo si p divide a < et, et∗ > para todo par de politabloides; es decir, si y sólo si p divide a gµ. Por el corolario4.3, sabemos que p divide a gµ si y sólo si µ es una partición p-singular. Por tanto, se deduce que Sµ/(Sµ∩Sµ⊥)es no nulo si y sólo si µ es p-regular.

Definición 58 Sean K un cuerpo de característica p y µ una partición p-regular. Definimos entonces DµK

comoDµK = SµK/(S

µK ∩ SµK⊥).

Probaremos que todos los KSn-módulos irreducibles están dados por los módulos DµK . Para demostrar que

dos de estos módulos no son isomorfos necesitamos el siguiente lema, el cual nos dice que Sλ tiene imagen nulapor cualquier elemento de HomKSn(Mλ, Mµ), salvo que λ ≥ µ.

Análogamente al capítulo 2, omitiremos el subíndice K cuando los resultados son independientes del cuerpode base.

Lema 4.5 Sean λ y µ dos particiones de n, tal que λ es una partición p-regular. Supongamos que U es unsubmódulo de Mµ y que θ es un KSn-morfismo no nulo de Sλ en Mµ/U . Entonces λ ≥ µ y si λ = µ, entoncesIm θ ⊂ (Sµ + U)/U .

Demostración:Sean t un tablero de λ, t∗ el tablero de λ que se obtiene invirtiendo el orden de los números en las filas de t.Por el corolario 4.4, tenemos que

κtet∗ = het, donde h 6= 0.

Como θ es un KSn-morfismo, tenemos que

θ(het) = θ(κtet∗) = κtθ(et∗).

Al ser h 6= 0, tenemos que κtθ(et∗) 6= 0. El lema 2.2 nos dice que λ ≥ µ, y si λ = µ entonces

θ(et) = h−1κtθ(et∗) = un múltiplo de et + U ∈ (Sµ + U)/U.


Por tanto, Im θ ⊂ (Sµ + U)/U si λ = µ, puesto que et genera Sλ como módulo cíclico.

Corolario 4.5 Sean λ y µ dos particiones de n, tal que λ es una partición p-regular. Supongamos que U esun submódulo de Mµ y que θ es un KSn-morfismo no nulo de Dλ en Mµ/U . Entonces λ ≥ µ y U ⊇ Sµ.

Demostración:El morfismo θ se puede levantar a un elemento de HomKSn(Sλ, Mµ/U) definido por

Sλ //Sλ/(Sλ ∩ Sλ⊥)θ //Mµ/U .

Por el lema anterior, debe ser que λ ≥ µ. Si λ = µ, entonces Im θ es un submódulo no nulo de (Sµ +U)/U ,por tanto U no puede contener a Sµ. En consecuencia, si U ⊆ Sµ entonces λ > µ.

Teorema 4.3 Supongamos que el cuerpo de base K tiene característica positiva p. Los KSn-módulos Dµ

tales que µ es una partición p-regular, forman un conjunto completo de KSn-módulos irreducibles no isomorfos.Cada Dµ es absolutamente irreducible y es isomorfo a su dual. En particular, todo cuerpo es un cuerpo dedescomposición de Sn.

Demostración:Los teoremas 2.2 y 4.2 muestran que Dµ es absolutamente irreducible y que es isomorfo a su dual.

Supongamos que Dµ ∼= Dλ. Entonces tenemos un KSn-morfismo no nulo de Dλ en Mµ/(Sµ ∩ Sµ⊥); luego,por el corolario anterior tenemos que λ ≤ µ. Análogamente, tenemos que µ ≤ λ, y por tanto λ = µ. Enparticular, la cantidad de KSn-módulos Dµ es igual a la cantidad de particiones p-regulares µ. Falta demostrarque éstas son todas las representaciones irreducibles de Sn sobre K. Para ello, basta ver que Q es cuerpo dedescomposición de Sn: como todo cuerpo K de característica cero es isomorfo a un cuerpo de extensión de Q, siQ es cuerpo de descomposición de Sn entonces K es cuerpo de descomposición de Sn. Más aún, si consideramosel sistema p-modular (Qp, R, Fp), siendo Qp un cuerpo completo con respecto a la valuación p-ádica, R el anillode enteros p-ádicos y Fp el cuerpo de p elementos, el corolario 3.3 nos dice que Fp es un cuerpo de descomposiciónde Sn y de todos sus subgrupos; en particular, todo cuerpo de característica p es un cuerpo de descomposiciónde Sn.

Por el teorema 2.3, sabemos que Q es un cuerpo de descomposición de Sn, ya que los módulos de SpechtSµ son absolutamente irreducibles. Por tanto, todo cuerpo K es de descomposición de Sn y la cantidad declases de KSn-módulos simples es igual al número de clases de conjugación de elementos p-regulares de Sn. Porel lema 4.2 sabemos que la cantidad de clases de conjugación de elementos p-regulares es igual a la cantidadde particiones p-regulares. Luego, el conjunto Dµ : µ p − regular es un conjunto completo de KSn-módulossimples no isomorfos.

Observación: Por la proposición 2.5, sabemos que la dimensión del KSn-módulo Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) = Dµ estádada por el rango de la matriz de Gram con respecto a la base estándar de Sµ. Luego, tenemos el siguiente

Teorema 4.4 La dimensión de las representaciones irreducibles Dµ de Sn sobre un cuerpo K de carac-terística p se pueden calcular evaluando el rango de la matriz de Gram con respecto a la base estándar deSµ.

4.3. FACTORES DE COMPOSICIÓN 117

Por ejemplo, supongamos que n = 4 y que µ = (2, 2). Luego, la dimensión de S(2, 2) es 2 y la base depolitabloides estándar es la siguiente:

e1 = 1 23 4

− 3 21 4

− 1 43 2

+ 3 41 2

e2 = 1 32 4

− 2 31 4

− 1 42 3

+ 2 41 3

Entonces, la matriz de Gram que se obtiene es

A =(

4 22 4

).

Si la característica de K es 2, el rango de A es 0 y en consecuencia, D(2, 2) es nulo. Si car K = 3, entoncesrg(A) = 1 y resulta que D(2, 2) es un KS4-módulo simple de dimensión 1. Finalmente, si car K > 3, entoncesrg(A) = 2 y la reducción módulo p de S(2, 2) es un KS4-módulo simple.

Teorema 4.5 La dimensión de toda representación 2-modular irreducible no trivial de Sn es par.

Demostración:Si µ 6= (n) y t es un tablero de µ, entonces < et, et > es par, puesto que es el orden del estabilizador de columnasde t. Luego, si car K = 2 tenemos que < −, − > es una forma bilineal alternada, y como es sabido, el rangode una forma bilineal alternada es par. Por el teorema anterior se deduce que toda representación 2-modularirreducible no trivial tiene dimensión par.

4.3. Factores de composición

Daremos en esta sección resultados generales acerca de los factores de composición de Mµ y Sµ cuando elcuerpo de base tiene característica positiva. Estos resultados serán útiles cuando calculemos las matrices dedescomposición para las representaciones modulares de Sn.

Si la característica del cuerpo es cero, el problema está resuelto, es decir que los factores de composición deMµ son conocidos (ver [J]). Sin embargo, el cálculo de los factores de composición de Sµ cuando el cuerpo tienecaracterística positiva sigue siendo un problema abierto.

Teorema 4.6 Todos los factores de composición de Mµ son de la forma Dλ tal que λ > µ, excepto si µ esp-regular, en cuyo caso Dµ ocurre exactamente solamente una vez.

Demostración:


Consideremos el siguiente diagrama:

Mµ

Sµ + Sµ⊥

JJJJJJJJJ

Sµ⊥

Sµ

JJJJJJJJJ

Sµ ∩ Sµ⊥

0

Por el corolario 4.5, todos los factores de composición de Mµ/Sµ son de la forma Dλ para λ > µ. ComoSµ⊥ es isomorfo al dual de Mµ/Sµ, debe tener los mismos factores de composición, en orden opuesto. Sabemosque Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es no nulo si y sólo si µ es p-regular, y en ese caso, resulta igual a Dµ. Como

0 ⊆ (Sµ ∩ Sµ⊥) ⊆ Sµ ⊆Mµ,

es una serie de composición de Mµ, el teorema queda demostrado

Daremos ahora un corolario cuya demostración es una aplicación directa del teorema anterior y de (2.2).

Corolario 4.6 Si µ es p-regular, Sµ tiene un único primer factor de composición Dµ = Sµ/(Sµ ∩Sµ⊥). SiD es factor de composición de (Sµ ∩ Sµ⊥), entonces D ∼= Dλ para algún λ > µ. Si µ es p-singular, todos losfactores de composición de Sµ son de la forma Dλ con λ > µ.

Gracias al corolario anterior podemos conocer parte de la matriz D de descomposición de Sn, la cual estádada en el siguiente corolario:

Corolario 4.7 La matriz D de descomposición de Sn para un número primo p tiene la forma

1 0 . . . . . . 01 0 . . . 0

. . ....

1 01

,

donde las particiones p-regulares están ubicadas en orden lexicográfico de mayor a menor antes de todas las par-ticiones p-singulares, y los lugares que se omiten en la matriz son aquéllos que todavía no podemos determinar.

4.4. ALGUNOS MÓDULOS DE SPECHT IRREDUCIBLES 119

Ejemplo

Sea n = 3. Las representaciones irreducibles de S3 sobre Q son S(3), S(2, 1) y S(13). En particular, S(3) = D(3)

es la representación p-modular trivial y S(13) es la representación signo, siendo S(13) ∼= S(3) si y sólo si p = 2.

Por el ejemplo (3.3.1a), sabemos que la matriz de descomposición de S3 para p = 2 es

D =

1 00 11 0

.

Si p = 3, tenemos que S(3) = D(3) y S(13) = D(13) no son isomorfos. Como la cantidad de F3S3-módulossimples es igual a la cantidad de clases de conjugación de elementos p-regulares, éstos forman un conjuntocompleto de F3S3-módulos simples. Por tanto, ambos dos deben ser factores de composición de S(2, 1), resultandouno de ellos isomorfo a D(2, 1). A saber, (2, 1) es una partición 3-regular de 3, entonces por el teorema anteriorsus factores de composición deben ser D(2, 1), que ocurre exactamente una sola vez, y posiblemente D(3). Comodim S(2, 1) = 2, se deduce que D(2, 1) ∼= D(13). Por tanto, la matriz de descomposición es la siguiente:

D =

1 01 10 1

.

Si p > 3, todas las particiones son p-regulares, entonces hay 3 FpS3-módulos simples no isomorfos que formanun sistema completo. Por el teorema anterior, éstos deben ser D(3), D(2, 1) y D(13). Por tanto, tenemos que

D =

1 0 00 1 00 0 1

.

4.4. Algunos módulos de Specht irreducibles

Los módulos de Specht Sµ son irreducibles sobre cuerpos de característica cero, y como todo cuerpo es uncuerpo de descomposición de Sn, Sµ es un irreducible sobre un cuerpo de característica positiva si y sólo si esirreducible sobre el cuerpo de p-elementos. Por tanto, éste es el caso que en esta sección trataremos, es decir queK = Fp será el cuerpo de p-elementos. Como la completa clasificación de los módulos de Specht es un problemaabierto, trataremos en esta sección algunos casos particulares.

Lema 4.6 Supongamos que HomFpSn(Sµ, Sµ) ∼= Fp. Entonces Sµ es irreducible si y sólo si Sµ es isomorfoa su dual Sµ∗.

Demostración:Si Sµ es irreducible, entonces su carácter modular ϕ es real. En particular, el FpSn-módulo dual de Sµ tiene lamisma dimensión que Sµ. Luego, Sµ resulta isomorfo a su dual.

Sea U un submódulo irreducible de Sµ. Si Sµ es isomorfo a su dual Sµ∗, entonces

U ∼= (Sµ/U⊥)∗ ∼= Sµ/(U⊥)∗.


Luego, existe un submódulo V de Sµ tal que Sµ/V ∼= U . Como la aplicación

Sµ → Sµ/V → U,

da un elemento no nulo de HomFpSn(Sµ, Sµ), debe ser que U ∼= Sµ. Por tanto, Sµ es irreducible.

Observación:Veremos más adelante un ejemplo que muestra que la hipótesis HomFpSn(Sµ, Sµ) ∼= Fp no se puede omitir. Sinembargo, esta condición se cumple para la mayoría de los módulos de Specht.

Sabemos que πκt = κπtπ, y que πρt = ρπtπ, ∀π ∈ Sn. Luego, tenemos que πρtκtt = ρπtκπtπt, ∀π ∈ Sn.Usando el lema anterior y la proposición 4.1 podemos definir:

Definición 59 Sean Fp el cuerpo de p elementos y θ el elemento no nulo de HomFpSn(Mµ, Sµ) dado porla siguiente aplicación

θ : t 7→ (1gµ′ ρtκtt)p.

Es decir, la imagen de t se obtiene del vector 1

gµ′ ρtκtt ∈ SµQ reduciendo todos los coeficientes de los

tabloides módulo p.

Como primera aplicación del lema y la definición anterior tenemos el siguiente teorema:

Teorema 4.7 i) Si Im θ ⊂ Sµ, o equivalentemente si Ker θ ⊃ Sµ⊥, entonces Sµ es reducible.

ii) Si Im θ = Sµ, o equivalentemente si Ker θ = Sµ⊥, y si HomFpSn(Sµ, Sµ) ∼= Fp, entonces Sµ esirreducible.

Demostración:Si el cuerpo de base es Q, entonces el lema anterior nos dice que el morfismo ϕ definido por

ϕt =1gµ′ ρtκtt,

manda κt a un múltiplo no nulo de él mismo. Luego, tenemos que dim Ker ϕ = dim SµQ⊥, y por el teorema

del submódulo se deduce que Ker ϕ = SµQ⊥. Por el lema 4.1, sabemos que si trabajamos sobre el cuerpo de

p elementos tenemos que Ker θ ⊇ Sµ⊥. Por tanto, Ker θ ⊃ Sµ⊥ si y sólo si Im θ ⊂ Sµ. De aquí se sigueinmediatamente la primera parte del teorema, ya que Im θ es un submódulo propio de Sµ.

Si Ker θ = Sµ⊥, entonces θ da un isomorfismo entre Mµ/Sµ⊥ y Sµ. Como Mµ/Sµ⊥ ∼= Sµ∗, resulta queSµ ∼= Sµ∗, y por el lema 4.6 se sigue que Sµ es un FpSn-módulo irreducible.

El siguiente teorema nos da una forma de determinar si un módulo de Specht es reducible a través de uncálculo combinatorio. Sin embargo, este cálculo no siempre es fácil de realizar.

Teorema 4.8 Supongamos que µ es p-regular. Entonces Sµ es reducible si y sólo si p divide al entero∏

(longitud de los ganchos en [µ])gµ′ .

4.4. ALGUNOS MÓDULOS DE SPECHT IRREDUCIBLES 121

Demostración:Se puede ver que si µ es p-regular o p 6= 2, entonces HomFpSn(Sµ, Sµ) ∼= Fp (ver [J] Corolario 13.17). Luego,el teorema anterior muestra que Sµ es reducible si y sólo si Ker θ ⊃ Sµ⊥.

Como µ es p-regular, tenemos que Sµ/(Sµ ∩ Sµ⊥) es no nulo. Luego, por el teorema 2.2, Mµ/Sµ⊥ ∼= Sµ∗

tiene un único submódulo minimal, a saber (Sµ+Sµ⊥)/Sµ⊥. Por tanto, Sµ es reducible si y sólo si Ker θ ⊃ Sµ.Por (4.4ii) tenemos que

θκtt = ( 1

gµ′ κtρtκtt)p

= (Q

(longitud de los ganchos en [µ])

gµ′ κtt)p.

Al ser Sµ un módulo cíclico generado por et, tenemos que Sµ es reducible si y sólo si p divide al enteroQ(longitud de los ganchos en [µ])

gµ′ .

Ejemplos

i) Si µ es p-regular y p no divide a∏

(longitud de los ganchos en [µ]), entonces Sµ es irreducible.

ii) Si µ y su partición conjugada µ′son p-regulares, entonces por el corolario 4.3, p no divide a gµ

′. Luego,

Sµ es reducible si y sólo si p divide a∏

(longitud de los ganchos en [µ]). En particular, Sµ es reducible siµ = ((p− 1)x), donde 1 < x < p.

iii) Sean µ = (3, 2) y t =1 2 34 5

. Un cálculo directo nos muestra que, siguiendo la notación de 2.4,

ρtκtt es igual a1

−4

pppppppppppppp

−4

4

..............

4NNNNNNNNNNNNNN

5

12 >>>>>>> −4


−4

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj4

4 −43

.

Luego, el máximo común divisor de los coeficientes de los tabloides involucrados en ρtκtt es 4, es decirque gµ

′= 4. Si calculamos las longitudes hij de todos los ganchos (i. j) en el diagrama [µ] y las reemplazamos

por los nodos obtenemos el tablero4 3 12 1

.

Entonces, el producto de las longitudes de los ganchos en [µ] es 24. Por tanto, Sµ es reducible si y sólo si lacaracterística del cuerpo es 2 o 3.

Definición 60 Decimos que una partición µ de n es una partición de tipo gancho si es de la formaµ = (n) o µ = (x, 1y), tal que 0 ≤ x ≤ n− 1, 1 ≤ y ≤ n.

Es claro que el diagrama asociado [µ] a este tipo de partición es un gancho del nodo (1, 1). En particular,la longitud del gancho es n.


Por ejemplo, (5), (4, 1), (3, 12), (2, 13) y (15) son todas las particiones de tipo gancho de 5. A saber,

[(5)] = , [(4, 1)] = ,

[(3, 12)] = , [(2, 13)] =

y [(15)] = .

(1)

Teorema 4.9 Supongamos que µ es una partición tipo gancho de n, y que Sµ está definido sobre el cuerpode p elementos. Entonces Sµ es irreducible si y sólo si cumple una de las siguientes proposiciones:

i) µ = (n) o µ = (1n).

ii) p 6 \n y µ = (n− 1, 1) o µ = (2, 1n−2).

iii) p 6 \n y p 6= 2.

Demostración:Como S(n) y S(1n) son de dimensión 1, ambas son irreducibles. Luego, podemos suponer que µ = (a, 1b) talque a > 1, b > 0 y que a+ b = n.

Sea κt =∑sg(σ)σ : σ ∈ S2, 3,...,b+1 tal que

t =

1 b+2 . . . b+a2...b+1

.

Supongamos por un momento que el cuerpo de base es Q. Un simple cálculo nos muestra que

κt = κt(1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))

= (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))κt.

Por otro lado, tenemos que

κtρtκtt = ρtκtκtt = b!ρtκtt.

4.5. MATRICES DE DESCOMPOSICIÓN DE SN 123

Luego,b!(1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))ρtκtt =

= (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))κtρtκtt =

= κtρtκtt =

=∏

(longitud de los ganchos en [µ])κtt =

= (a− 1)!b!(a+ b)κtt.

Por el lema 4.3 tenemos que (a − 1)!/gµ′y gµ

′/((a − 1)!)1, es decir gµ

′= (a − 1)!. Entonces la igualdad

anterior se traduce en la siguiente:

1gµ′ (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))ρtκtt = (a+ b)κtt. (2)

Sea θ el morfismo definido en (59). La igualdad (2) nos muestra que

θ(1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))t = (a+ b)κtt.

Por tanto, si trabajamos sobre el cuerpo de p elementos y p no divide a n, resulta que Im θ = S(a, 1b). Enparticular, S(a, 1b) es isomorfo a su dual. Pero HomFpSn(Sµ, Sµ) ∼= Fp si p 6= 2 o µ = (n− 1, 1) ([J] Corolario13.17). Luego, el lema 4.6 nos dice que Sµ es irreducible si p no divide a n y p 6= 2 o µ = (n − 1, 1). ComoSµ′ ∼= Sµ ⊗ S(1n) sobre cualquier cuerpo, se deduce que Sµ también es irreducible si p 6 \n y µ = (2, 1n−2) =

(n− 1, 1)′.

Hasta aquí hemos probado la suficiencia. Para probar la necesidad, supongamos que p/n. Entonces

(1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))t ∈ Ker θ.

Sea t∗ el tablero tipo gancho que se obtiene invirtiendo el orden de los coeficientes en la primera fila de t.Como a > 1, todos los tabloides involucrados en et∗ tienen a 1 en la primera fila. Por tanto, t = t∗ es elúnico tabloide involucrado en et∗ y en (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))t, esto es,

< (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))t, et∗ > = 1.

Luego, (1− (1, 2)− (1, 3)− · · · − (1, b+ 1))t ∈ Ker θ/Sµ⊥, es decir que Ker θ ⊃ Sµ⊥. Por el teorema4.7 tenemos que Sµ es reducible.

En conclusión, hemos probado que si p/n, entonces Sµ es reducible. Por tanto, para finalizar la demostración,debemos probar que Sµ es reducible cuando µ = (a, 1b), siendo a > 1, b > 1 y p = 2. Dicha demostración sededuce fácilmente de la regla de Littlewood-Richardson (ver [J]) y del hecho que S(n) ∼= S(1n) cuando el cuerpode base tiene característica 2.

4.5. Matrices de descomposición de Sn

Como hemos dicho anteriormente, no hay manera de determinar los factores de composición de un módulode Specht general cuando la característica del cuerpo de base es p. Por tanto, no podemos determinar los


coeficientes de las matrices de descomposición de Sn, los cuales dan la multiplicidad de cada representación p-modular irreducible Dµ como factor de composición de Sµ, salvo en algunos casos particulares. Daremos comoejemplo las matrices de descomposición de S5 sobre cuerpos de característica 2, 3 y 5.

El primer teorema que expondremos es de gran utilidad para el cálculo de matrices de descomposición ytablas de caracteres de Sn. Su demostración se deduce de un caso particular de la regla de Murnaghan-Nakayama,la cual proporciona una manera fácil de encontrar coeficientes en la tabla de caracteres de Sn. Ver [J].

Definición 61 Dada una partición µ de n y su correspondiente diagrama [µ]. Un semigancho de [µ] esuna parte conexa sobre el borde derecho del diagrama que puede ser quitada para dejar un diagrama menor [v]contenido en [µ].

Por ejemplo, sea µ = (42, 3) y notemos a los semiganchos por el conjunto de nodos indicados por ∗. Entonces

* ** *

y*

* **

,

son los únicos semiganchos de longitud 4 en (42, 3). Este diagama también contiene un semigancho de longitud6, dos de longitud 5, dos de longitud 3, dos de longitud 2, y dos de longitud 1. Consideremos ahora los ganchosde [µ] y sus longitudes. Reemplazando cada longitud en el nodo correspondiente obtenemos el tablero

t =6 5 4 25 4 3 13 2 1

.

Comparando, hemos mostrado la propiedad de los diagramas:

Lema 4.7 Existe una correspondencia 1-1 natural entre los ganchos de [µ] y los semigamchos de [µ].

Demostración:Es fácil verificar que dicha correspondencia está dada por lo siguiente: el semigancho que comienza en la j-ésimafila y termina en la i-ésima columna corresponden al gancho cuyo nodo es (i, j).

La longitud de una pierna de un semigancho se define como la suma de las longitudes de las piernas de losganchos que contiene. En el ejemplo anterior, dichas longitudes son 1 y 2 respectivamente

Teorema 4.10 Si v es una partición de n− r, entonces el carácter generalizado de Sn que corresponde a

∑(−1)i[λ] : [λ]/[v] es un semigancho de longitud r y longitud de pierna i,

es nulo sobre todas las clases de conjugación excepto aquéllas que contengan a un ciclo de longitud r.

Hagamos dos ejemplos para entender la idea de este teorema:


i) Sean n = 5 y v una partición de 3, digamos (2, 1). Aquellos diagramas [λ] que contienen a [v] tal que[λ]/[v] es un semigancho de longitud 2, se obtienen agregando al diagrama [v] nodos en el borde derecho demanera que los nodos agregados formen un semigancho. Por ejemplo

* * y**

,

son los únicos diagramas [λ] tales que [λ]/[v] es un semigancho de longitud 2. Por tanto, tenemos que

χ(4, 1) − χ(2, 13) = 0,

sobre todas las clases de conjugación de S5 excepto aquéllas que contengan un ciclo de longitud 2; es decir,lasclases de conjugación de elementos 2-regulares.

ii) Si n = 5 y v = 0, entonces los diagramas [λ] tales que [λ]/[µ] es un semigancho de longitud 5 sonexactamente las particiones tipo gancho de 5 dadas en (1). Por tanto, el teorema nos dice que

χ(5) − χ(4, 1) + χ(3, 12) − χ(2, 13) + χ(15) = 0,

sobre todas las clases de conjugación de S5 excepto aquéllas que contengan a un ciclo de longitud 5; en particular,la igualdad anterior vale sobre las clases de conjugación de elementos 5-regulares.

El teorema que expondremos a continuación da resultados parciales, sin embargo, nos alcanza para poderdescribir las matrices de descomposición de S5 sobre cuerpos de característica 2, 3 y 5.

Teorema 4.11 Supongamos que el primo p es impar.

i) Si p 6 \n, todas las representaciones Sµ de Sn dadas por particiones tipo gancho permanecen irreduciblescuando se reducen módulo p. Más aún, si Sµ ∼= Sλ, siendo ambas particiones de tipo gancho, entonces µ = λ.

ii) Si p/n, una parte de la matriz de descomposición de Sn es la siguiente:

(n) 1(n− 1, 1) 1 1(n− 2, 2) 1 1...

. . .(2, 1n−2) 1 1(1n) 1

,

donde listamos en la primer columna las particiones µ de tipo gancho para identificar la fila correspondiente aSµ y los coeficientes que se omiten se consideran nulos.

Demostración:Demostraremos los resultados por inducción. Si n = 0, no hay nada que probar. Supongamos entonces que escierto para n− 1 y probémoslo para n. Notar que si χµ es el carácter de Sµ, entonces

ResSn−1 χ(x, 1y) = χ(x−1, 1y) + χ(x, 1y+1), si x > 1, y > 0, x+ y = n. (3)

Supongamos que p no divide a n. Como p es un primo impar, por el teorema 4.9 sabemos que Sµ es irreduciblepara toda partición µ de tipo gancho.


Sean µ y λ dos particiones tipo gancho tales que las reducciones m’odulo p de los QSn-módulos Sµ y Sλ sonisomorfas. Luego, las restricciones de ambas a Sn son isomorfas. Como el resultado su supone cierto sobre Sn−1,ambas restricciones tienen los mismos sumandos; en particular, se sigue que µ = λ, como se quería demostrar.

Supongamos ahora que p divide a n, y que x > 1, y > 0. Por (4.9iii), las representaciones S(x, 1y) sonreducibles y por tanto, la restricción de χ(x, 1y) a Sn−1 debe tener por lo menos dos componentes. Como pno divide a n − 1, las componentes que aparecen en (3) son irreducibles y por tanto deben ser las únicas doscomponentes de Res χ(x, 1y). Sean ϕ+

x la componente modular de χ(x, 1y) tal que

Res ϕ+x = χ(x−1, 1y),

y ϕ−x aquella componente modular que satisface

Res ϕ−x = χ(x, 1y−1),

siendo ϕ−n = 0 y ϕ+1 = 0. Para terminar la demostración basta mostrar que ϕ−x−1 = ϕ+

x , para todo x; puestoque no puede haber otra igualdad ya que las restricciones a Sn−1 son diferentes.

Por el teorema 4.10, la siguiente relación entre caracteres se mantiene sobre todas las clases de conjugaciónde Sn, excepto sobre la correspondiente a la partición (n). En particular, la igualdad vale sobre las clasesp-regulares:

χ(n) − χ(n−1, 1) + χ(n−2, 12) − · · · ± χ(1n) = 0.

En términos de caracteres modulares o de Brauer, la igualdad anterior se traduce en la siguiente

ϕ+n − (ϕ−n−1 + ϕ+

n−1) + (ϕ−n−2 + ϕ+n−2)− · · · ± ϕ−1 = 0.

Como los caracteres de Brauer de Sn son linealmente independientes sobre Q, debe ser que ϕ−x−1 = ϕ+x , para

todo x.

Tenemos entonces la siguiente igualdad de caracteres de Brauer sobre las clases p-regulares:

χ(x, 1y) = ϕ+x + ϕ−x = ϕ+

x + ϕ+x+1.

En consecuencia, se deduce que

d[S(x, 1y)] = [D(x+1, 1y−1)] + [D(x, 1y)];


De ahora en adelante, notaremos las filas de la matriz de descomposición de Sn por las particiones y lascolumnas por particiones p-regulares. Es decir, el coeficiente correspondiente a la µ-ésima fila y a la λ-ésimacolumna es la multiplicidad de Dλ como factor de composición de Sµ sobre un cuerpo de característica p.Escribiremos χµ para designar el carácter de Brauer de Sµ y ϕλ para el carácter de Brauer de Dλ.

Para finalizar, daremos las matrices de descomposición de S5 sobre cuerpos de característica p tal que pdivide al orden del grupo.

4.5.1. Ejemplos

Sea (Qp, R, Fp) el sistema p-modular dado por la valuación p-ádica sobre el cuerpo Q de los racionales,siendo QP la comletación de Q, R el anillo p-ádico de enteros y Fp el cuerpo de p elementos. Como el orden deS5 es 23 · 3 · 5, consideraremos las representaciones modulares sobre F2, F3 y F5.


a) Sea p = 2. Las clases de elementos 2-regulares de S5 son [1 2 3 4 5], [1 2 3] y [id], entonces hay 3 clasesde isomorfismos de F2S5-módulos simples. Podemos representar a cada una de ellas por el elemento Dµ tal queµ es una partición 2-regular de 5. A saber, las particiones 2-regulares son (5), (4, 1) y (3, 2), entonces la basede clases de isomorfismo de F2S5-módulos simples está constituida por

D(5), D(4,1) y D(3, 2).

Como 2 no divide a 5, el teorema 4.9 nos asegura que los módulos D(5), D(4,1), D(2, 13) y D(15) sonirreducibles. Es claro que cuando reducimos módulo 2 las representaciones S(5) y S(15), sus imágenes resultanisomorfas, es decir D(5) ∼= D(15). Por otro lado, como (2, 13) es la partición conjugada de (4, 1), por el teorema4.1 sabemos que

S(2,13) ⊗ S(15) ∼= S(4,1)∗.

Al ser la reducción de S(4,1) irreducible y (4, 1) una partición 2-regular, tenemos que S(4,1) es isomorfo asu dual. Esto implica que

S(2,13) ⊗ S(15) ∼= S(4,1).

Reduciendo módulo 2 tenemos queD(2,13) ⊗D(15) ∼= D(4,1),

siendo D(15) la representación trivial de S5 sobre F2. De aquí se deduce que

D(2,13) ∼= D(4,1).

Por el ejemplo iii) hecho en la sección 4.4, sabemos que la reducción de S(3, 2) es reducible si la característicadel cuerpo es 2 ó 3. Luego, S(3, 2) tiene por lo menos dos factores de composición.

Observar que los F2S5-módulos simples D(5) y D(4, 1) se obtienen por reducción módulo 2 de los QS5-módulos simples S(5) y S(4, 1). Al confeccionar la matriz de descomposición, veremos que D(3, 2) no se obtienepor reducción de un QS5-módulo simple.

Hasta aquí, hemos encontrado los factores de composición de S(5), S(4,1), S(2, 13) y S(15). Para encontrar lamatriz de descomposición de S5 sobre F2 nos faltan encontrar los factores de S(3, 2), D(3,12) y D(22,1). En esesentido, usaremos el teorema 4.10 para obtener relaciones lineales entre los caracteres de dichas representacionesy los caracteres modulares irreducibles.

Para v1 = (3), v2 = (2, 1) y v3 = (13) particiones de 3, el teorema 4.10 nos dice que

χ(5) − χ(3, 12) + χ(3, 2) = 0,

χ(4, 1) − χ(2, 13) = 0 y

−χ(22, 1) + χ(3, 12) − χ(1n) = 0,

sobre los elementos 2-regulares de S5. La segunda igualdad ya era conocida y no aporta nada nuevo, nosconcentraremos en las dos restantes. Operando sobre esas igualdades se obtiene

χ(3, 12) = χ(5) + χ(3, 2),

χ(3, 12) = χ(22, 1) + χ(1n),

(4)

sobre los elementos 2-regulares de S5. De aquí se deduce que

χ(3, 2) = χ(22, 1), (5)


lo cual nos muestra que los factores de composición de S(3, 2) y de S(22, 1) son los mismos. Por tanto, si encon-tramos los factores de composición de S(3, 2), por (5) y (4)obtenemos también los factores de composición deS(22, 1) y S(3, 12).

Al ser (3, 2) una partición 2-regular, sabemos que la reducción de S(3, 2) tiene a D(3, 2) como factor decomposición con multiplicidad 1 y si Dµ es factor de composición, entonces µ > (3, 2). Luego, el carácter deBrauer de S(3, 2) es de la forma

χ(3, 2) = aϕ(5) + bϕ(4, 1) + ϕ(3, 2), a, b ∈ N.

Si evaluamos la igualdad anterior en 1 y usamos la fórmula de los ganchos para calcular las correspondientesdimensiones, obtenemos la siguiente igualdad:

dim S(3, 2) = a · dim D(5) + b · dim D(4, 1) + dim D(3, 2),

5 = a · 1 + b · 4 + dim D(3, 2), a, b ∈ N.

La dimensión de D(3, 2) viene dada por el rango de la matriz de Gram A sobre F2. Usando el ejemplo de lasección 2.4, es fácil ver que dicha matriz es la siguiente:

A =

4 −2 0 −1 −1−2 4 1 2 10 1 4 2 1−1 2 2 4 2−1 1 1 2 4

.

Reduciendo módulo 2 la matriz anterior, obtenemos una nueva matriz A sobre F2 dada por

A =

0 0 0 1 10 0 1 0 10 1 0 0 11 0 0 0 01 1 1 0 0

,

cuyo rango es claramente 4. Luego, dim D(3, 2) = 4 y esto implica que a = 1 y b = 0. Por tanto, tenemos que

d[S(3, 2)] = [D(5)] + [D(3, 2)],

d[S(22, 1)] = [D(5)] + [D(3, 2)],

d[S(3, 12) = 2[D(5)] + [D(3, 2)].

En conclusión, la matriz de descomposición de S5 sobre F2 es la siguiente:

D =

1 0 00 1 01 0 12 0 11 0 10 1 01 0 0

.


b) Sea p = 3. Las clases de elementos 3 regulares de S5 son [1 2 3 4 5], [1 2 3 4], [1 2][3 4], [1 2] y [id].Entonces, la cantidad de clases de isomorfismo de F3S5-módulos simples es 5 y su base está dada por los módulosDµ, donde µ es una partición 3-regular. Es decir que los módulos

D(5), D(4, 1), D(3, 2), D(3, 12) y D(22, 1),

forman una base de F3S5-módulos simples, salvo isomorfismos. Como p 6= 2 y p no divide a 5, el teorema 4.9nos dice que la reducción de todas las representaciones dadas por particiones tipo gancho son irreducibles y noisomorfas entre sí. Esto es

d[S(5)] = [D(5)],

d[S(4, 1)] = [D(4, 1)],

d[S(3, 12)] = [D(3, 12)],

d[S(2, 13)] = [D(2, 13)] y

d[S(15)] = [D(15)].

En particular, tenemos 5 F3Sn-módulos simples que se obtienen por reducción módulo 3 de QS5-módulossimples. Claramente, D(3, 2) y D(22, 1) deben ser isomorfos a algunos de los expuestos anteriormente. Observarque, como p = 3, la reducción módulo 3 de ambas representaciones S(3, 2) y S(22, 1) son representacionesreducibles.

Análogamente al ejemplo anterior, usaremos el teorema 4.10 para establecer relaciones lineales entre loscaracteres modulares. Sea v = (2) una partición de 2, entonces los diagramas [λ] asociados a particiones λ de 5,que satisfacen que [λ]/[µ] es un semigancho de longitud 3, son los siguientes:

* * * , * **

y***

,

siendo las longitudes de las piernas de los semiganchos 0, 1 y 2, respectivamente. Por tanto, tenemos que

χ(5) − χ(22, 1) + χ(2, 13) = 0,

sobre todas las clases de conjugación 3-regulares. Siguiendo el mismo procedimiento con v = (12) obtenemos

χ(4, 1) − χ(3, 2) + χ(15) = 0,

sobre todas las clases de conjugación 3-regulares. De aquí se deduce la siguiente igualdad de caracteres de Brauersobre las clases de conjugación 3-regulares:

χ(22, 1) = ϕ(5) + ϕ(2, 13),

χ(3, 2) = ϕ(4, 1) + ϕ(15).

Como (22, 1) y (3, 2) son particiones 3-regulares, D(22, 1) y D(3, 2) son factores de composición con multi-plicidad 1 de S(22, 1) y S(3, 2), respectivamente. Más aún, los demas factores de composición de S(22, 1) y S(3, 2)


son de la forma Dµ y Dλ para µ > (22, 1) y λ > (3, 2), respectivamente. Luego, debe ser que

ϕ(22, 1) = ϕ(2, 13) y ϕ(3, 2) = ϕ(15).

Se deduce entonces que D(22, 1) ∼= D(2, 13) y D(3, 2) ∼= D(15); en particular, se tiene que

d[S(22, 1)] = [D(5)] + [D(22, 1)],

d[S(3, 2)] = [D(4, 1)] + [D(3, 2)].


D =

1 0 0 0 00 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 1 01 0 0 0 10 0 0 0 10 0 1 0 0

.

c) Para terminar con los ejemplos, supongamos que p = 5. Las clases de conjugación de elementos 5-regularesson [1 2 3 4], [1 2 3][4, 5], [1 2][3 4], [1 2 3], [1 2] y [id]. Por tanto, la cantidad de clases de isomorfismos deF5S5-módulos simples es 6 y están representadas por

D(5), D(4, 1), D(3, 2), D(3, 12), D(22, 1) y D(2, 13).

Por el teorema 4.11, conocemos la imagen del mapa de descomposición de las representaciones dadas porparticiones tipo gancho. A saber,

d[S(5)] = [D(5)],

d[S(4, 1)] = [D(5)] + [D(4, 1)],

d[S(3, 12)] = [D(4, 1)] + [D(3, 12)],

d[S(2, 13)] = [D(3, 12)] + [D(2, 13)],

d[S(15)] = [D(15)].

En particular, las reducciones de S(4, 1), S(3, 12) y S(2, 13) son reducibles. Esto también se podía deducir delhecho que 5 divide al entero

∏( longitudes de los ganchos de [µ]), para µ = (4, 1), (3, 12) y (2, 13).

Para encontrar la matriz de descomposición, nos falta conocer las reducciones de S(3, 2) y S(22, 1). Comop = 5, tenemos que la reducción de S(3, 2) es irreducible; veamos que ocurre con S(22, 1):

Calculemos las longitudes de los ganchos en el diagrama asociado a [(22, 1)] y reemplacemos cada nodo deldiagrama por la longitud del gancho correspondiente para obtener el tablero

4 23 11

.


Luego,∏

( longitudes de los gancho de [(22, 1)]) = 4! y claramente 5 no lo divide. Al ser (22, 1) una partición5-regular, se deduce que la reducción módulo 5 de S(22, 1) es irreducible, es decir que

d[S(22, 1)] = [D(22, 1)].

Sabemos que la reducción de S(15) es irreducible, por tanto, debe ser isomorfa a algún Dµ, siendo µ unapartición 5-regular. Para hallarla, usaremos nuevamente el teorema 4.10:

Supongamos que v = 0, entonces los diagramas [λ] que cumplen que [λ]/[0] es una semigancho de longitud5 son aquéllos que vienen dados por particiones tipo gancho. Tenemos entonces la siguiente igualdad sobre lasclases 5-regulares:

χ(5) − χ(4, 1) + χ(3, 12) − χ(2, 13) + χ(15) = 0,

reemplazando cada carácter por su escritura como combinación lineal de los caracteres de Brauer irreduciblesϕµ tenemos que

ϕ(5) − (ϕ(5) + ϕ(4, 1)) + (ϕ(4, 1) + ϕ(3, 12))− (ϕ(3, 12) + ϕ(2, 13)) + ϕ(15) = 0,

de donde se deduce queϕ(2, 13) = ϕ(15),

esto es, D(2, 13) ∼= D(15).


D =

1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 1 0 10 0 0 0 0 1

.

Si ordenamos las filas de manera tal que las particiones tipo gancho estén ubicadas por encima de las queno lo son, la matriz de descomposición tiene la forma

D =

1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 00 1 1 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

,

como se muestra en el teorema 4.11.

Bibliografía

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