Algebra Fundamentos, Grupos, Anillos, Cuerpos y Teor´ıa de Galois

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  • Algebra

    Fundamentos, Grupos, Anillos,Cuerpos y Teora de Galois

    Jairo A. Charris CastanedaAcademia Colombiana de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales

    Bernarda Aldana GomezEscuela Colombiana de Ingeniera

    Primitivo Acosta-HumanezUniversidad del Norte

  • ii

  • Introduccion

    El texto que sigue es una elaboracion y ampliacion por los dos ultimos autores

    de las notas de clase presentadas por el primero a estudiantes de los cursos

    de Algebra Abstracta (I y II) del Programa de Pregrado en Matematicas de

    la Universidad Sergio Arboleda de Bogota durante el perodo 2001/2002.

    Los Captulos 1 a 12 del presente volumen corresponden al material publica-

    do por los autores en [9], corregido y actualizado, esta basicamente dedicado

    a la teora elemental de los grupos.

    De hecho, solo la segunda parte, Captulos 2 a 8, fue presentada detallada-

    mente en las clases del curso Algebra Abstracta I. La primera parte, Captulo

    1, fue redactada para los propositos de referencia, y contiene las nociones basi-

    cas indispensables para el resto del trabajo sobre la teora de los conjuntos y

    los sistemas numericos clasicos (numeros naturales, enteros, racionales, reales

    y complejos), incluyendo nociones elementales de aritmetica. Esta primera

    parte suministra, ademas de instrumentos, ejemplos concretos del material

    mas abstracto de las segunda y tercera partes, y puede constituir de por si

    la base para un curso de un semestre sobre los temas citados arriba y sobre

    la generacion de estructuras abstractas. Es razonable suponer, sin embargo,

    que su contenido es suficientemente bien conocido por los estudiantes del pri-

    mer curso de Algebra. La tercera parte, Captulos 9 a 12, dedicada a grupos

    y resultados especiales, es de un nivel mas elevado que el de las otras dos y

    fue incluida para beneficio de los estudiantes mas sobresalientes del curso,

    que pueden encontrar en ella tecnicas y resultados relativamente avanzados

    que, sin embargo, constituyen aun material indispensable para una compren-

    iii

  • iv CAPITULO 0. INTRODUCCION

    sion aceptable de los metodos de la teora moderna de los grupos, y que, de

    ser cubierto totalmente en un curso, hara de este un primer curso al nivel

    de posgrado.

    La segunda parte pretende familiarizar al estudiante con las nociones y desa-

    rrollos basicos de la teora de los grupos (grupos, subgrupos, subgrupos nor-

    males, grupos producto y grupos cociente, homomorfa e isomorfa), con al-

    gunas consideraciones sobre el problema de la existencia y las propiedades

    estructurales de los grupos abelianos finitos, y con un examen mas o menos

    detallado de los grupos finitos de permutaciones, que no solo suministran

    ejemplos significativos de grupos no abelianos, sino que son indispensables

    en cualquier estudio serio tanto de estos ultimos objetos como de muchas

    otras partes del algebra moderna. Tambien incursionamos en esta parte en

    la teora de Sylow en el caso conmutativo, mas accesible de lo que lo es en

    el caso general. La exposicion de esta segunda parte es, dados sus objeti-

    vos, pausada, detallada y rigurosa: todos los resultados que se mencionan,

    y sobre todo aquellos que son indispensables en desarrollos posteriores, se

    demuestran cuidadosamente. Hemos procurado que cada captulo conten-

    ga al menos un resultado significativo y no del todo trivial, pues un primer

    curso de algebra, y especialmente uno dedicado a la teora de los grupos, es

    un marco excelente para ir familiarizando a los estudiantes con el poder y

    omnipresencia del metodo deductivo en matematicas y con algunas de sus

    caractersticas mas relevantes. Asimilar las nociones y resultados basicos

    de esta parte es, como lo hemos mencionado, indispensable para cualquier

    estudio posterior de la teora de los grupos y, de hecho, para el de muchas

    otras partes del algebra. En particular, es indispensable para una buena

    comprension de la tercera parte.

    Debemos advertir al lector que hemos dejado por fuera de nuestras consi-

    deraciones al menos dos captulos notables de la teora de los grupos. El

    concerniente a las llamadas Series de Composicion y los importantes resulta-

    dos de Schreier, Zassenhaus y Jordan-Holder sobre las mismas (aunque algo

    mencionamos de ellas en el Captulo 12), y el relacionado con los denomi-

    nados Grupos Libres (sobre los cuales algo decimos en el Captulo 11). La

    razon para excluir estos temas tiene que ver con el grado de exigencia de los

    mismos. Del primero, no tanto en su desarrollo (al fin y al cabo, aplicaciones

  • v

    ingeniosas de los teoremas de isomorfa) como en su significado y objetivos

    (describir en forma precisa cualquier grupo en terminos de los llamados gru-

    pos simples, algo que los principiantes pueden no estar listos para apreciar

    en toda su dimension), y del segundo, no tanto en su significado y objetivos

    (construir, o lo que es equivalente, establecer la existencia de grupos sobre

    medidas), como en su desarrollo (notablemente abstracto: alfabetos, pala-

    bras, generadores y relaciones, etc.). De usarse el presente documento como

    base para un curso de posgrado, algo habra que hacer con respecto a estas

    omisiones.

    La cuarta parte contiene una presentacion clasica de la teora de cuerpos,

    por lo que se hace en el contexto de los cuerpos numericos y se omite, en lo

    posible, el uso del Algebra Lineal. En la quinta parte se estudian las estructu-

    ras abstractas basicas, anillos y cuerpos generales, as como sus propiedades

    aritmeticas, generalizando y unificando temas ya explorados para las estruc-

    turas numericas. Se introducen los espacios vectoriales y se muestra como su

    uso permite simplificar notablemente la demostracion de muchos de los re-

    sultados precedentes. Se termina con la teora de Galois de los cuerpos finitos.

    Como iniciativa del segundo y tercer autores, siguiendo los lineamientos del

    texto, se incluye un apendice sobre la teora de Galois diferencial desde un

    punto de vista basico, el cual puede ser entendido por los lectores sin recurrir

    a otro texto.

    Cada captulo contiene un numero apreciable de ejercicios, la mayor parte

    de los cuales se resuelve por aplicacion directa de los desarrollos del captulo

    que los incluye y de los resultados mas basicos de los captulos previos. Al-

    gunos contienen ejemplos y contraejemplos que es conveniente conocer. Es

    razonable esperar que el lector intente resolver algunos de ellos, con el fn de

    poner a prueba su comprension del material tratado. Los mas difciles (en el

    criterio de los autores, lo cual no deja de ser subjetivo) estan marcados con

    un asterisco (*) y, a veces, con dos (**). En opinion de los autores, estos

    ejercicios pueden omitirse en un curso de pregrado, pero sera aconsejable

    que se los considerara siempre en uno de posgrado. (En general, un asterisco

    previo a un lema, teorema, corolario, etc., indica que este presenta alguna

    caracterstica que puede hacer conflictiva su comprension o asimilacion en

  • vi CAPITULO 0. INTRODUCCION

    un primer contacto con tal material.)

    La presentacion que hacemos (y que esperamos que ocupe un justo medio

    entre un texto divulgativo y un tratado sobre las estructuras algebraicas

    abstractas, compartiendo las virtudes pero no los defectos de tal tipo de do-

    cumentos) ha sido altamente influida por la de los excelentes libros de I. N.

    Herstein [18] y[19]. De hecho, puede decirse que la nuestra es en esencia una

    elaboracion del material de estas obras, presentandolo en forma algo mas de-

    tallada, con el fn de adaptarlo a las necesidades de nuestros estudiantes y al

    estilo de los cursos en nuestras universidades. Esperamos as haber comunica-

    do suficientes conocimientos tecnicos sobre el tema para permitir autonoma

    de pensamiento en el mismo sin pretender crear un erudito. Otros textos

    han tenido tambien influencia, como es facilmente detectable, aunque de una

    manera mas local. Esto es evidente de los magnficos libros de T. W. Hun-

    gerford [20], S. Lang [24], J. Rotman [27] y [28], E. Artin [4], I. Kaplansky

    [22] y B. L. Van der Waerden [32], aunque todos ellos son de un nivel mas

    avanzado que el nuestro. Tambien se han consultado, con gran beneficio, el

    texto de J. F. Caycedo [8] y las notas del curso que sobre la teora de los gru-

    pos imparte el Profesor V. S. Albis en la Universidad Nacional en Bogota [3],

    a quien agradecemos habernos puesto a nuestra disposicion el contenido total

    de las mismas, incluyendo material aun no publicado.

    Hemos procurado que tanto la notacion como la terminologa sean las mas

    usuales. En cuanto a la primera, tal vez solo las expresiones A := B o

    B =: A, que indican que A se define en terminos de B, son algo exoticas.

    En cuanto a la segunda, hemos preferido el lenguaje clasico, tal vez un poco

    anticuado, de los anos 30 y 40 del Siglo XX, antes de la Teora de las Cate-

    goras y el Algebra Homologica hicieran su impacto (a comienzos de los anos

    50).

    Los dos ultimos autores terminaron de escribir este libro como homenaje a

    su maestro Jairo Charris Castaneda, despues de su muerte, y agradecen a

    los profesores Vctor Albis y Xavier Caicedo por la lectura del material y sus

    valiosos aportes, correcciones y sugerencias.

  • Indice general

    Introduccion III

    I Fundamentos 1

    1. Conjuntos, funciones y s