Estructuras Algebraicas Trabajo Final Teor´ıa de Galois

Click here to load reader

  • date post

    14-Feb-2017
  • Category

    Documents

  • view

    215
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Estructuras Algebraicas Trabajo Final Teor´ıa de Galois

  • Estructuras Algebraicas

    Trabajo Final

    Teora de Galois

    Ghiglioni, EduardoVescovo, Nicolas

    Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

    16 de mayo de 2012

    1

  • Estructuras Algebraicas Trabajo Final

    Indice

    1. Introduccion 3

    2. Que es la Teora de Galois? 3

    3. Biografa 3

    4. Preliminares 4

    5. Extensiones de cuerpos 5

    6. Teorema Fundamental de la Teora de Galois 11

    7. Clausura algebraica 16

    8. Extensiones separables 19

    9. Extensiones trascendentales 20

    10.Extensiones normales 21

    11.Extensiones cclicas 24

    12.Resolucion por radicales 28

    Departamento de Matematica - UNLP Hoja 2 de 33

  • Estructuras Algebraicas Trabajo Final

    1. Introduccion

    El tema del trabajo es la Teora de Galois. El objetivo es demostrar el teorema de Abel queenuncia: el polinomio general de grado n es resoluble por radicales si y solo si n 4. Es conocida,desde el siglo XVI por las formulas de Cardano, la solucion por radicales de polinomios de grado3 y 4. Una vez desarrollada la teora de Galois se uso para demostrar el mismo resultado pero porotro metodo. Ademas se logro demostrar la no resolucion por radicales para polinomios de gradomayor o igual que 5, lo cual demostraremos en este trabajo.

    El trabajo esta divido en varias secciones. La seccion 2 y 3 esta enfocada en la historia de lateora de Galois, bajo que contexto surge, el porque de su importancia y la relacion con el trabajode Abel. En la seccion 4 se encuentran resultados necesarios sin demostracion de teora de grupos,anillos y polinomios. El resto de las secciones enuncia y demuestra todos los teoremas que usaremospara llegar a demostrar el teorema de Abel. En ellos se tratan distintos tipos de extensiones decuerpos: extensiones separables, extensiones trascendentales, extensiones normales y extensionescclicas. Ademas se demuestra en la seccion 6 el teorema fundamental de la teora de Galois.

    2. Que es la Teora de Galois?

    En sus principios gran parte del algebra se centro en la busqueda de formulas explcitas para lasraces de ecuaciones polinomiales en una o mas indeterminadas. La solucion de ecuaciones linealeso cuadraticas con una indeterminada estaba resuelto, mientras que, formulas en general para lasraces de ecuaciones cubicas o cuartas con valores reales fue resuelto en el siglo XVI. Estas solucionesinvolucran numeros complejos mas que reales. Para principios del siglo XIX no haba solucionesgenerales para ecuaciones polinomiales generales por radicales. Finalmente el trabajo de Galois yAbel nos gua a un nuevo marco para una total comprension del problema y la comprension de queen general las ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que 5 no siempre puede ser resueltapor radicales. La idea principal de la teora de Galois es relacionar una extension de cuerpos K Fcon el grupo de todos los automorfismos de F que actuan como la identidad sobre K. Lo cual nospermite aplicar la teora de grupos para el estudio de cuerpos. Esta correspondencia de Galoispuede ser generalizada para aplicar a diversos temas como la teora de anillos, teora algebraica denumeros, geometra algebraica, ecuaciones diferenciales y topologa algebraica.

    3. Biografa

    Evariste Galois nacio en Bourg-la-Reine, una comuna a las afueras de Pars, el 25 de octubrede 1811. Hasta los doce anos, Evariste fue educado por su madre, junto con su hermana mayorNathalie-Theodore, consiguiendo una solida formacion en latn y griego. Su educacion academicaempezo a la edad de 12 anos cuando ingreso en el liceo Royal de Louis-le-Grand de Pars. Galoistuvo un rendimiento normal e incluso llego a ganar algunos premios en griego y latn. Pero entercero, su trabajo de retorica fue reprobado y tuvo que repetir curso. Fue entonces cuando Galoisentro en contacto con las matematicas: tena entonces 15 anos.

    El programa de matematicas del liceo no difera mucho del resto. Sin embargo, Galois en-contro en el el placer intelectual que le faltaba. El curso impartido por Ms Vernier, desperto elgenio matematico de Galois. Tras asimilar sin esfuerzo el texto oficial de la escuela, Galois em-pezo con los textos mas avanzados de aquella epoca: estudio la geometra de Legendre y el algebrade Lagrange. Galois profundizo considerablemente en el estudio del algebra.

    Siendo todava estudiante del Louis-le-Grand, Galois logro publicar su primer trabajo (una de-mostracion de un teorema sobre fracciones continuas periodicas) y poco despues dio con la clavepara resolver un problema que haba tenido en jaque a los matematicos durante mas de un siglo(las condiciones de resolucion de ecuaciones polinomicas por radicales). Sin embargo, sus avances

    Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 33

  • Estructuras Algebraicas Trabajo Final

    mas notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teora nueva cuyas aplicaciones des-bordaban por mucho los lmites de las ecuaciones algebraicas: la teora de grupos. Sus artculosnunca llegaron a ser publicados mientras que Galois viva. Inicialmente se lo envio a Cauchy, quienlo rechazo porque su trabajo tena puntos en comun con un reciente artculo publicado por Abel.Galois lo reviso y se lo volvio a remitir, y en esta ocasion, Cauchy lo remitio a la academia parasu consideracion; pero Fourier, el secretario vitalicio de la misma y el encargado de su publicacion,murio poco despues de recibirlo y la memoria fue traspapelada. El premio fue otorgado a Abel ya Jacobi, y Evariste acuso a la academia de una farsa para desacreditarle. A pesar de la perdidade la memoria enviada a Fourier, Galois publico tres artculos aquel mismo ano en el Bulletindes sciences mathematiques, astronomiques, physiques et chimiques del Baron de Ferussac. Estostrabajos presentan los fundamentos de la Teora de Galois. Durante el ano 1831 Galois por finhaba redondeado las cuestiones pendientes en su trabajo y lo haba sometido a la consideracionde Poisson, quien le recomendo que lo presentara de nuevo a la Academia. Mas tarde, aquel mismoano, el propio Poisson recomendo a la Academia que rechazara su trabajo con la indicacion de que:sus argumentaciones no estaban ni lo suficientemente claras ni suficientemente desarrolladas parapermitirles juzgar su rigor.

    El 30 de mayo de 1832, a primera hora de la manana, Galois perdio un duelo de espadas contrael campeon de esgrima del ejercito frances, falleciendo al da siguiente a las diez de la manana a laedad de 20 anos. Las contribuciones matematicas de Galois fueron publicadas finalmente en 1843cuando Joseph Liouville reviso sus manuscritos y declaro que aquel joven en verdad haba resueltoel problema de Abel por otros medios que suponan una verdadera revolucion en la teora de lasmatematicas empleadas. El manuscrito fue publicado en el numero de octubre de 1846 del Journaldes mathematiques pures et appliquees.

    4. Preliminares

    Teorema 4.1. Sea H un subconjunto no vaco de un grupo G. Entonces H es un subgrupo de Gsi y solo si ab1 H para todo a, b H.

    Teorema 4.2. Sean R y S anillos conmutativos con 1 y : R S un morfismo de anillos talque (1R) = 1S. Si s1, s2, ..., sn S, entonces hay un unico morfismo de anillos : R[x1, ..., xn] S tal que | R = y (xi) = si para i = 1,...,n.

    Corolario 4.3. (Primer Teorema del Isomorfismo) Si f : R S es un morfismo de anillos,entonces f induce un isomorfismo de anillos R/Kerf = Imf .

    Corolario 4.4. Si F es un cuerpo entonces el anillo de polinomios F [x] es un dominio Euclideo,de ah se deduce que F [x] es un dominio ideal principal.

    Teorema 4.5. En un anillo conmutativo R con 1R 6= 0, un ideal P es primo si y solo si R/P esun dominio integro.

    Teorema 4.6. Sean p y c elementos no nulos de un dominio integro R.

    (a) p es primo si y solo si (p) es un ideal primo no nulo.

    (b) c es irreducible si y solo si (c) es maximal en el conjunto S de todos los ideales principalespropios de R.

    (c) Todo elemento primo de R es irreducible.

    (d) Si R es un dominio ideal principal, entonces p es primo si y solo si p es irreducible.

    (e) Todo asociado de un elemento irreducible de R es irreducible (respectivamente primo).

    Departamento de Matematica - UNLP Hoja 4 de 33

  • Estructuras Algebraicas Trabajo Final

    (f) Los unicos divisores de un elemento irreducible de R son los asociados y las unidades de R.

    Teorema 4.7. Sea M un ideal de un anillo R con 1R 6= 0.

    (a) Si M es maximal y R es conmutativo, entonces R/M es un cuerpo.

    (b) Si R/M es un anillo de division entonces M es maximal.

    Teorema 4.8. (Teorema de factorizacion) Sea I un ideal de un anillo R. Para todo morfismo deanillos : R S cuyo nucleo contiene a I existe un unico morfismo : R/I S tal que = o donde : R R/I es la proyeccion canonica.

    R //

    !!

    R/I

    S

    Proposicion 4.9. (propiedad universal) Sean R y S anillos y : R S un morfismo de anillos.Sea s un elemento de S que conmuta con (r) para todo r R (un elemento arbitrario si S esconmutativo). Entonces existe un unico morfismo de anillos : R[x] S que extiende a y mandaa x en s, llamado (A) = A(s).

    R //

    !!

    R[x]

    S

    Proposicion 4.10. Si R es conmutativo, entonces una raz r R de un polinomio p R[x] essimple si y solo si p

    (r) 6= 0.

    Proposicion 4.11. En un anillo conmutativo R de caracterstica prima p, (x + y)p = xp + yp y(x y)p = xp yp para todo x, y R.

    Corolario 4.12. (teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simetricoSG.

    Teorema 4.13. Sn es resoluble si y solo si n 4.

    Lema 4.14. (Lema de Zorn) Si A es un conjunto no vaco parcialmente ordenado tal que todacadena en A tiene una cota superior en A, entonces A tiene un elemento maximal.

    5. Extensiones de cuerpos

    Definicion. Si K y F son cuerpos tales qu