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Felipe Zaldıvar

Introduccion al algebraconmutativa

16 de febrero de 2011

Prefacio

Desde Descartes (geometrıa coordenada) hasta Hilbert (variedades algebraicas yalgebras conmutativas) y Grothendieck (esquemas y anillos conmutativos), una delas ideas mas fructıferas en matematicas ha sido la de la dualidad o correspondenciaentre el algebra y la geometrıa. Esta correspondencia establece que para cada con-cepto o afirmacion en el algebra se tiene un concepto o afirmacion correspondienteen geometrıa. La formulacion precisa de esta dualidad o correspondencia es pormedio de una equivalencia entre las categorıas asociadas. Por ejemplo, el teoremade los ceros de Hilbert muestra que la categorıa de variedades algebraicas (afines)sobre un campo algebraicamente cerrado es equivalente a la categorıa (opuesta) dealgebras conmutativas finitamente generadas sin elementos nilpotentes (i.e., alge-bras reducidas). Otro ejemplo es el teorema de Serre que muestra que la categorıade haces vectoriales sobre una variedad algebraica afın es equivalente a la categorıade modulos proyectivos finitamente generados sobre el algebra de funciones regula-res en la variedad. Varias de estas dualidades permean explıcita o implıcitamente lostemas considerados en este libro que, como otros ilustres antecesores, inicio comoun apendice a unas notas de geometrıa algebraica, y por un severo caso de apendi-citis es que ahora, despues de una cirugıa mayor, se ha independizado sin olvidar suorigen, como lo delatan los ejemplos geometricos distribuidos a lo largo del texto.Los requisitos para el libro son mınimos, usualmente adquiridos en la licenciatura:una introduccion a la teorıa de anillos, campos y teorıa de Galois como en [17]. Losmetodos homologicos se introducen al mınimo y con aplicaciones al algebra con-mutativa inmediatos. El libro hereda de los textos clasicos, principalmente Bourbaki[2], Zariski-Samuel [19], Atiyah-MacDonald [1], Matsumura [8] y Kunz [6], variasdemostraciones y formas de presentar los temas.

El lenguaje categorico. El lector atento ya habra notado que del lenguaje de lateorıa de categorıas se asume lo esencial: categorıas, funtores, transformaciones na-turales. En un tiempo, ya muy preterito, los textos de este nivel comenzaban listandoel lenguaje y notacion de conjuntos que se iban a usar. Quiza las lıneas que siguensean la evolucion natural de lo anterior: una categorıa C consiste de una familia de

V

VI Prefacio

objetos Ob(C ) y una familia de flechas o morfismos Fl(C ) entre (algunos) pares deobjetos de C que satisfacen las condiciones mınimas siguientes:

(0) Si A,B ∈ Ob(C ), denotamos a la familia de flechas entre A y B mediante

HomC (A,B)

y si f ∈HomC (A,B) usaremos la notacion f : A→ B y diremos que f es una flechao morfismo de A a B.

(1) Existe una composicion de flechas compatibles, es decir, siempre que f : A→ By g : B→C sean dos flechas de C se tiene una flecha g f : A→C. Es decir, se tieneuna funcion

HomC (A,B)×HomC (B,C)→ HomC (A,C)

que manda al par ( f ,g) a la composicion g f .

(2) La composicion anterior es asociativa, es decir, siempre que f ∈ HomC (A,B),g ∈ HomC (B,C), h ∈ HomC (C,D), se tiene que

h (g f ) = (hg) f .

(3) Para todo A ∈ Ob(C ) se tiene una flecha idA ∈ HomC (A,A), llamada la flechaidentidad y que satisface que para cualquier flecha f ∈ HomC (B,C), las composi-ciones

f idB = f y idC f = f .

Ejemplo 1. La categorıa de conjuntos tiene como objetos a los conjuntos y comoflechas a las funciones entre conjuntos. En este ejemplo la composicion de flechases la composicion de funciones.

Ejemplo 2. La categorıa de grupos tiene como objetos a los grupos y como flechasa los homomorfismos entre grupos. En este ejemplo la composicion de flechas es lacomposicion de homomorfismos.

Ejemplo 3. La categorıa de espacios topologicos tiene como objetos a los espaciostopologicos y como flechas a las funciones continuas entre espacios. En este ejemplola composicion de flechas es la composicion de funciones.

Ejemplo 4. La categorıa de espacios vectoriales sobre un campo K tiene como ob-jetos a los K-espacios vectoriales y como flechas a las transformaciones K-linealesentre estos. En este ejemplo la composicion de flechas es la composicion de trans-formaciones lineales.

Si A y B son dos categorıas, un funtor (covariante) entre A y B, denotado F :A →B es un par de funciones:

F : Ob(A )→ Ob(B) y F : Fl(A )→ Fl(B)

Prefacio VII

tales que para todo f ∈ HomA (A,B) y todo g ∈ HomA (B,C) se tiene que

F(g f ) = F(g)F( f ) ∈ HomB(F(A),F(C))

(preserva composiciones), y para todo idA ∈ Fl(A ) se tiene que

F(idA) = idF(A) ∈ HomB(F(A),F(A))

(preserva identidades).

Ejemplo 5. La identidad idC : C → C (identidad en objetos e identidad en morfis-mos) es un funtor. Si F : A →B y G : B→ C son funtores, la composicion

GF : A → C

(definida en forma obvia en objetos y morfismos) tambien es un funtor.

Ejemplo 6. Si G es la categorıa de grupos y C es la categorıa de conjuntos, asociandoa cada grupo G ∈Ob(G ) el conjunto subyacente, i.e., olvidando que G es un grupo,se tiene el funtor que olvida F : G →C , definido en los morfismos (homomorfismosde grupos) considerando estos solo como funciones entre conjuntos.

Se tienen funtores que olvidan similares para la categorıa de espacios topologi-cos, o para la categorıa de espacios vectoriales (aquı se puede recordar que cadaespacio vectorial V es un grupo abeliano (aditivo) o recordar que es un conjunto, esdecir se tienen funtores que olvidan:

F : K-espacios vectoriales→ Grupos abelianos

oG : K-espacios vectoriales→ Conjuntos.

Es decir, hay distintos niveles de olvidos.

Ejemplo 7. Si C es la categorıa de conjuntos y K es un campo, se tiene el funtor

L : C → K-espacios vectoriales

que asocia a cada conjunto B el K-espacio vectorial V = 〈B〉 con base B. Este funtorse define para una funcion entre conjuntos asociando a esta la transformacion linealdeterminada por su valor en las bases correspondientes.

Si F,G : A →B son dos funtores, una transformacion natural ϕ : F ·→ G entrelos funtores F y G es una funcion

ϕ : Ob(A )→ Fl(B)

que asocia a cada objeto A de A una flecha ϕA : F(A)→ G(A) en B de tal maneraque si f : A→ B es una flecha de A los diagramas siguientes conmutan

VIII Prefacio

F(A)ϕA //

F( f )

G(A)

G( f )

F(B)ϕB// G(B).

Ciudad de Mexico, Septiembre de 2010 Felipe Zaldıvar.

Indice general

1. Anillos, ideales y el espectro primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1El anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Dominios de factorizacion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4El teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Ideales primos y maximos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6El espectro primo de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Radicales y el nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9El espectro primo como funtor contravariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12El espectro maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Conjuntos algebraicos afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Modulos y algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Operaciones con modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Propiedades de exactitud del Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Producto tensorial de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Propiedades de exactitud del producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Producto tensorial de algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Conjuntos algebraicos afines y K-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Anillos de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Morfismos entre variedades afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Producto tensorial de algebras y producto de variedades afines . . . . . . . . . . 49Producto fibrado de espectros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IX

X Indice general

3. Localizacion, finitud y el teorema de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Anillos de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Localizacion e ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Algebras finitas y de tipo finito. Integridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62El lema de normalizacion de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67El teorema de los ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 73Propiedades locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4. Anillos noetherianos y artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87El teorema de la base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88El lema de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90El teorema de interseccion de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Ideales primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Descomposicion primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96El asociado de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Descomposicion primaria en anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Anillos artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Series de composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5. Anillos de valuacion discreta y de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Anillos de valuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Valuaciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Anillos de valuacion discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Anillos de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Traza, norma y discriminante de campos de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120La norma de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Factorizacion unica de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126El grupo de clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Finitud del grupo de clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6. Dimension de algebras y anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Grado de trascendencia de K-algebras afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Dimension de Krull de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142La altura de un ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142El teorema del ideal principal de Krull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Anillos locales regulares y espacios tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7. Topologıas, filtraciones y completaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Filtraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Sucesiones y filtraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Completaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Propiedades de exactitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Anillos y modulos graduados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Indice general XI

El lema de Artin-Rees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Noetherianidad de una completacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Localizacion y lımites directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175El lema de Hensel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Anillos henselianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Algebras separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8. Derivaciones y diferenciales de Kahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Las sucesiones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Diferenciales y extensiones de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Extensiones separablemente generadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197p-bases de Teichmuller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Capıtulo 1Anillos, ideales y el espectro primo

Un anillo (conmutativo) con uno es un grupo abeliano (A,+) con un productoA×A→ A que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene neutro mul-tiplicativo. Ejemplos importantes de anillos conmutativos son el anillo de enterosZ, campos (tales como Q, R, C), el anillo de enteros modulo un entero dado, Z/nZ(este es un campo si y solo si n es primo), y si K es un campo el anillo de polinomiosen n indeterminadas K[x1, . . . ,xn].

Un morfismo de anillos es una funcion f : A→ B entre anillos que respecta lasuma y producto de estos, es decir, f (a+ b) = f (a)+ f (b) y f (ab) = f (a) f (b).La funcion identidad idA : A→ A es un morfismo de anillos y la composicion dedos morfismos de anillos tambien lo es. Si B es un anillo, un subanillo de B es unsubconjunto A ⊆ B que es anillo con las operaciones de B restringidas a A. Ası, lainclusion i : A → B es un morfismo de anillos y es inyectivo.

De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todos los anillos sonconmutativos y los morfismos de anillos llevan el uno en el uno.

Ideales. Si A es un anillo, un ideal I de A es un subgrupo aditivo I ⊆ A tal quepara todo a ∈ A y x ∈ I se tiene que ax ∈ I. Claramente la interseccion de cualquierfamilia de ideales de A es de nuevo un ideal de A. Si S⊆ A es cualquier subconjunto,el ideal generado por S es la interseccion de todos los ideales de A que contienen aS. Usaremos la notacion 〈S〉 para el ideal generado por S. Ası

〈S〉=

∑i aisi : sumas finitas con ai ∈ A,si ∈ S.

Cuando S = s1, . . . ,sn es finito, usaremos la notacion 〈s1, . . . ,sn〉 para el idealgenerado por S y diremos que este es un ideal finitamente generado. En el casoparticular cuando S = s consta de un unico elemento, diremos que 〈s〉 es un idealprincipal.

El anillo cociente. Si A es un anillo e I⊆A es un ideal, en el grupo abeliano (aditivo)A/I de clases laterales de A modulo I se define un producto mediante (a+ I)(b+I) = ab+ I. Es facil ver que este producto esta bien definido, i.e., no depende de laeleccion de los representantes de las clases laterales dadas y hace de A/I un anillo

1

2 1 Anillos, ideales y el espectro primo

conmutativo con uno al que se llama el anillo cociente de A modulo I. El cero de A/Ies I y el uno es 1+ I. La funcion natural ρ : A→ A/I dada por ρ(a) := a+ I es unmorfismo suprayectivo de anillos al que se conoce como el epimorfismo canonico.

Dominios de factorizacion unica. En el anillo de enteros Z, todo entero no ceroni unidad se puede factorizar, en forma unica, como producto de enteros primos.A continuacion probaremos que lo mismo es cierto para el anillo mas importan-te en geometrıa algebraica: el anillo de polinomios con coeficientes en un campoK[x1, . . . ,xn]. Comenzamos recordando los conceptos pertinentes. En un dominioentero A un elemento irreducible o primo es un elemento π ∈ A no nulo ni unidadtal que siempre que π = ab con a,b ∈ A, se tiene que a o b es una unidad. Si todoelemento no nulo ni unidad de A se puede escribir en forma unica (salvo unidades oel orden de los factores) como producto de irreducibles, se dice que A es un domi-nio de factorizacion unica o DFU. Todo dominio de ideales principales (DIP) es unDFU, en particular todo dominio euclidiano es un DFU. Los ejemplos mas impor-tantes de dominios euclidianos son Z y K[x], con K un campo. Observe que si A esun DFU y π es un primo tal que π|ab con a,b ∈ A, entonces π|a o π|b ya que escri-biendo a y b como producto de primos, entonces la factorizacion en primos de ab seobtienen pegando las de a y b por lo que si π aparece como factor en ab es porqueya estaba en a o en b. Nuestro objetivo ahora es probar que, si K es un campo, elanillo de polinomios K[x1, . . . ,xn] es un DFU. Note que ya sabemos que K[x1] lo es(de hecho, es un dominio euclidiano y ası es un DIP; sin embargo, el anillo K[x1,x2]no es un DIP ya que el ideal 〈x1,x2〉 no es principal). La demostracion sera por in-duccion sobre el numero n de variables y el paso principal es la demostracion deque si A es un DFU entonces A[x] tambien es un DFU. Con este objetivo necesita-remos los resultados siguientes sobre la factorizacion de polinomios. Un polinomiof (x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn ∈ A[x] se dice que es primitivo si mcd(a0, . . . ,an) = 1(o una unidad). El contenido de un polinomio g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm ∈ A[x]es c(g) := mcd(b0, . . . ,bm), el cual esta definido salvo unidades. Ası g(x) ∈ A[x] esprimitivo si y solo si c(g) = 1 (o una unidad). Observese que cualquier polinomiog(x)∈ A[x] se puede escribir de la forma g(x) = d f (x) con d = c(g) y f (x) primitivosimplemente factorizando el mcd de los coeficientes de g(x). Es claro que la sumade dos polinomios primitivos en general no es primitivo, sin embargo se tiene:

Lema 1.1 (Gauss) Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x] son primitivos, entonces suproducto f (x)g(x) tambien es primitivo.

Demostracion. Si f (x) = a0 + a1x + · · ·+ amxm y g(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn,ai,b j ∈ A, supongamos que f (x) · g(x) = c0 + c1x+ · · ·+ crxr no es primitivo. En-tonces, mcd(c0, . . . ,cr) 6= 1, y ası existe un primo π ∈ A tal que π|ck para todoslos k = 0, . . . ,r. Ahora, como f (x) es primitivo, este primo π no divide a todos loscoeficientes ai. Sea pues as el primer coeficiente de f (x) no divisible por π . Similar-mente, sea bt el primer coeficiente de g(x) no divisible por π . Consideremos ahoraal coeficiente cs+t de f (x) ·g(x):

1 Anillos, ideales y el espectro primo 3

cs+t = (a0bs+t +a1bs+t−1 + · · ·+as−1bt+1)+asbt

+(as+1bt−1 +as+2bt−2 + · · ·+as+tb0)

y observese que como π|ai, 0≤ i≤ s−1, entonces π divide al primer parentesis enla ecuacion de arriba, y similarmente π divide al segundo parentesis. Y como porhipotesis π|cs+t , entonces π debe dividir a asbt , en contradiccion con el hecho deque π no divide a as ni a bt . ut

Corolario 1.2 Si A es un DFU y f (x), g(x) en A[x], entonces c( f g) = c( f )c(g). Sesigue que todo factor de un polinomio primitivo en A[x] tambien es primitivo.

Demostracion. Escribamos f = c( f ) f1, g = c(g)g1 con f1,g1 primitivos. Enton-ces, f g = c( f )c(g) f1g1, donde f1g1 es primitivo por el lema anterior. Se sigue quec( f g) = c( f )c(g). ut

Corolario 1.3 (Lema de Gauss) Sea A un DFU con campo de fracciones K. Si unpolinomio f (x)∈ A[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio en K[x]tambien es irreducible.

Observese que como, obviamente, si f (x) es irreducible en K[x] tambien es irre-ducible en A[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f (x) ∈ A[x] es irreducibleen A[x] si y solo si f (x) es irreducible en K[x].

Demostracion. Supongamos primero que f (x) ∈ A[x] es primitivo. Si f (x) = p(x) ·q(x), con p(x),q(x) ∈ K[x], escribamos

p(x) = a0/b0 +(a1/b1)x+ · · ·+(am/bm)xm,

con ai/bi ∈ K, y

q(x) = a′0/b′0 +(a′1/b′1)x+ · · ·+(a′n/b′n)xn

con a′i/b′i ∈ K.Si b = b0b1 · · ·bm y b′ = b′0b′1 · · ·b′n, entonces p(x) = (1/b)b · p(x) y q(x) =

(1/b′)b′ ·q(x), con b · p(x) y b′ ·q(x) en A[x]. Mas aun, si d es el contenido de b · p(x)y d′ es el contenido de b′ ·q(x), entonces b · p(x) = d ·u(x) y b′ ·q(x) = d′ · v(x) conu(x),v(x) ∈ A[x] primitivos. Se sigue que

f (x) = p(x)q(x) =1b(d ·u(x)) 1

b′(d′ · v(x)) = dd′

bb′·u(x)v(x) = s

t·u(x)v(x)

y asıt · f (x) = s ·u(x)v(x)

y como f (x) es primitivo, entonces c(t · f (x)) = t, y tambien, como u(x) y v(x) sonprimitivos, el producto u(x)v(x) es primitivo y ası c(s · u(x)v(x)) = s. Se sigue quet = c(t · f (x)) = c(s ·u(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto

f (x) = u(x) · v(x)


con u(x),v(x) ∈ A[x].Finalmente, si f (x) ∈ A[x] no es primitivo, escribamos f (x) = d · g(x) con

g(x) ∈ A[x] primitivo. Si f (x) se factoriza en K[x] como f (x) = p(x)q(x), enton-ces d ·g(x) = f (x) = p(x)q(x) y ası

g(x) =(1

dp(x)

)q(x)

con (1/d) · p(x),q(x) ∈ K[x], y entonces por la primera parte de la demostracion,como g(x) es primitivo, entonces g(x) = u(x)v(x) con u(x),v(x) ∈ A[x]. Se sigueque f (x) = d ·g(x) = (d ·u(x))v(x) con d ·u(x),v(x) ∈ A[x]. ut

Teorema 1.4 Si A es un DFU, entonces A[x] tambien lo es.

Demostracion. De la factorizacion f = c( f ) f1 se sigue que los elementos irreduci-bles de A[x] deben buscarse entre los polinomios constantes y los polinomios primi-tivos. Ahora, un polinomio constante c es irreducible si y solo si c es irreducible enA y un polinomio primitivo es irreducible si y solo si no tiene un factor primitivo degrado menor por 1.2. Por lo tanto, todo polinomio no nulo ni unidad de A[x] es unproducto de elementos irreducibles. Supongamos ahora que se tienen dos factoriza-ciones en irreducibles de f ∈ A[x]:

f = c1 · · ·cm f1 · · · fr = d1 · · ·dng1 · · ·gs

con los ci,d j constantes y fi,g j polinomios primitivos. Entonces

c( f ) = c1 · · ·cm = d1 · · ·dn (salvo unidades de A)

y como A es un DFU se debe tener que m = n y, reordenando si hiciera falta, ci = disalvo unidades de A. Cancelando se sigue que

(∗) f1 · · · fr = g1 · · ·gs (salvo unidades de A).

Ahora, si K es el campo de cocientes de A, viendo a los polinomios anteriores enK[x], por el lema de Gauss los fi,g j son irreducibles en K[x], y como este anilloes un DFU, la igualdad (∗) implica que r = s y, reordenando si hiciera falta, fi = gisalvo unidades en K. Pero, si fi = (ui/vi)gi con ui/vi no cero (i.e., una unidad en K),entonces vi fi = uigi y como fi y gi son primitivos, calculando contenidos la igualdadanterior implica que ui = vi salvo unidades en A; se sigue que ui/vi es una unidadde A. ut

Corolario 1.5 Si K es un campo, entonces K[x1, . . . ,xn] es un DFU. ut

Operaciones con ideales. Si I,J son ideales de A, su suma es el ideal

I + J = a+b : a ∈ I,b ∈ J


es obvio que este es un ideal y es el menor ideal de A que contiene a I y J. Engeneral, si I j j∈Γ es una familia de ideales, la union de ideales no es un ideal. Sedefine la suma de ideales ∑ j∈Γ I j como el ideal generado por la union S =

⋃j∈Γ I j.

Por lo tanto,

∑j∈Γ

I j = ai1xi1 + · · ·+ainxin : con los ai j ∈ A y los xi j ∈ Ii j.

Es decir, ∑ j∈Γ I j es el ideal dado por las combinaciones lineales finitas de elementosde la union de los ideales I j.

El ideal generado por los productos ab : a ∈ I,b ∈ J se llama el producto delos ideales I y J, y se denota por IJ. Ası,

IJ =

∑i aibi : sumas finitas con ai ∈ I,bi ∈ J.

Es claro que IJ ⊆ I e IJ ⊆ J y por lo tanto IJ ⊆ I ∩ J. Por recursion se define elproducto de un numero finito de ideales I1, . . . , In y se denota por I1 · · · In.

La correspondencia entre ideales inducida por un epimorfismo. Si f : A→ B esun morfismo de anillos, el nucleo ker f = a ∈ A : f (a) = 0 es un ideal de A y siI ⊆ A es cualquier ideal, el epimorfismo canonico ρ : A→ A/I tiene como nucleo aI. De hecho, ρ induce una correspondencia biunıvoca entre la familia de ideales delanillo cociente A/I y la familia de ideales de A que contienen a I

ideales de A que contienen a Iρ // ideales de A/Iρ−1oo

dada por J 7→ ρ(J) con inversa J′ 7→ ρ−1J′.

El teorema chino del residuo. Dos ideales I,J de A se dice que son coprimos siI + J = 〈1〉 = A. Note que si I,J son coprimos entonces IJ = I∩ J, lo cual es partedel teorema siguiente:

Teorema 1.6 (Teorema chino del residuo) Si I1, . . . , In son ideales de A coprimospor pares, i.e., Ii + I j = A, para i 6= j, entonces la funcion

φ : A−→ A/I1×·· ·×A/In

dada por a 7→ (a+I1, . . . ,a+In) es un epimorfismo con nucleo I1 · · · In = I1∩·· ·∩In.

Demostracion. Supongamos primero que n = 2. Como I1 + I2 = A, existen xi ∈ Iitales que 1 = x1 + x2. Entonces, dado el elemento (a1 + I1,a2 + I2) ∈ A/I1×A/I2,para x = a1x2 +a2x1 ∈ A escribiendo x2 = 1− x1 se tiene que

x+ I1 = a1x2 +a2x1 + I1 = a1−a1x1 +a2x1 + I1 = a1 + I1

y similarmente x+ I2 = a2 + I2 por lo que φ(x) = (x+ I1,x+ I2) = (a1 + I1,a2 + I2)y ası φ es suprayectiva. Tambien, en el caso n = 2, el nucleo de φ esta formado


por los x ∈ A tales que x + I1 = I1 y x + I2 = I2, es decir, tales que x ∈ I1 ∩ I2,como se querıa. Resta probar que I1 ∩ I2 = I1I2. Claramente I1I2 ⊆ I1 ∩ I2. Para laotra inclusion, como I1 + I2 = A escribamos 1 = x1 + x2 como antes. Si x ∈ I1∩ I2,entonces x = x1 = x(x1 + x2) = xx1 + xx2 ∈ I1I2.

Supongamos ahora que n > 2. Mostraremos que los ideales I1 e I2 · · · In son co-primos. En efecto, como I1 e Ii son coprimos, para i≥ 2, existen elementos ai ∈ I1 ybi ∈ Ii tales que ai +bi = 1 para i≥ 2 y por lo tanto el producto ∏i≥2(ai +bi) = 1 yademas esta en el ideal I1 + I2 · · · In y por lo tanto I1 + I2 · · · In = A, como se querıa.Podemos entonces aplicar el caso n = 2 a estos dos ideales, en particular para elelemento (1,0) ∈ A/I1×A/(I2 · · · In) por el caso n = 2 existe un y1 ∈ A tal que

(y1 + I1,y1 + I2 · · · In) = (1+ I1,0+ I2 · · · In = (1,0)

y ası y1 ∈ I2 · · · In de donde se sigue que y1 ∈ Ii para todo i≥ 2, es decir,

φ(y1) = (1,0, . . . ,0).

En forma analoga se encuentran elementos y2, . . . ,yn ∈ A tales que

φ(yi) = (0, . . . ,1, . . . ,0) (1 en el lugar i y 0 en las otras coordenadas).

Ası, dado (x1 + I1, . . . ,xn + In), el elemento x = ∑i xiyi ∈ A es tal que

φ(x) = (x1 + I1, . . . ,xn + In)

lo cual muestra que φ es suprayectiva. Claramente el nucleo de φ es la interseccion⋂i Ii y solo resta probar que es igual a I1 · · · In. Por induccion podemos suponer que⋂i≥2 Ii = I2 · · · In, y como mostramos antes, I1 e I2 · · · In son coprimos y ası por el

caso n = 2 se tiene que I1∩(⋂

i≥2 Ii)= I1(I2 · · · In), como se querıa. ut

Ideales primos y maximos. Un ideal propio p A se dice que es primo si siempreque ab ∈ p se tiene que a ∈ p o b ∈ p. Equivalentemente, p es primo si y solo si A/pno es el anillo cero y es un dominio entero. En un DFU los ideales primos son losideales principales generados por un elemento irreducible:

Lema 1.7 Sean A un dominio entero y 〈π〉 un ideal principal no trivial de A.

(1) Si 〈π〉 es primo, entonces π es irreducible.

(2) Si A es un DFU, entonces 〈π〉 es primo si y solo si π es irreducible.

Demostracion. Si 〈π〉 es primo, 〈π〉 6= 0 y 〈π〉 6= 〈1〉, entonces π no es cero ni unidad.Si π = ab, entonces ab ∈ 〈π〉 y como este es un ideal primo, entonces a ∈ 〈π〉 ob ∈ 〈π〉. Si a ∈ 〈π〉 escribiendo a = πc se tiene que π = ab = πcb y cancelandose tiene que 1 = cb, i.e., b serıa una unidad y por lo tanto π es irreducible. Estoprueba (1) y una implicacion de (2). Para la implicacion faltante, si π es irreducibley ab ∈ 〈π〉 entonces π|ab y como π es irreducible, por lo observado antes del lemase sigue que π|a o π|b, i.e., a ∈ 〈π〉 o b ∈ 〈π〉 y por lo tanto 〈π〉 es un ideal primo.

ut


Corolario 1.8 Si K es un campo, un ideal principal 〈 f 〉 en K[x1, . . . ,xn] es primo siy solo si f es irreducible.

ut

Un ideal propio m A se dice que es maximo si para todo ideal I de A tal quem ⊆ I ⊆ A se tiene que m = I o I = A. Equivalentemente, m es maximo si y solosi A/m es un campo. Como todo campo es dominio entero, se sigue que todo idealmaximo es primo. Sin embargo, no todo ideal primo es maximo, por ejemplo el idealcero 0⊆ Z es primo (porque Z es dominio entero) pero no es maximo. Todo anillono trivial tiene al menos un ideal maximo como una consecuencia directa del lemade Zorn1 ya que si A es el conjunto de todos los ideales propios de A (i.e., distintosde A), ordenando A mediante la inclusion⊆ de ideales, como 0∈A, entonces A 6= /0y si C ⊆ A es una cadena, para cualesquiera I,J ∈ C se tiene que I ⊆ J o J ⊆ I porlo que la union M =

⋃I∈C I es un ideal de A. Claramente M es un ideal propio ya

que si 1 ∈M entonces 1 ∈ I para algun I ∈ C, en contradiccion con el hecho de quelos ideales de A son propios. Por el lema de Zorn se sigue que A tiene elementosmaximos. Una forma equivalente de formular la afirmacion anterior es: todo idealpropio I A esta contenido en un ideal maximo de A, lo cual se sigue al considerarel anillo cociente A/I.

Proposicion 1.9 (1) Si I1, . . . , In son ideales de A y p es un primo que contiene a lainterseccion

⋂j I j, entonces p⊇ I j, para algun j. De hecho, si p⊇ I1 · · · In, entonces

p⊇ I j, para algun j. Mas aun, si⋂

j I j = p, entonces p= I j, para algun j.

(2) Si p1, . . . ,pn son ideales primos de A y J es un ideal contenido en⋃

i pi, entoncesJ ⊆ pi, para algun i.

(3) Si m es un ideal maximo de A, entonces para todo entero n > 0, el unico idealprimo que contiene a mn es m.

Demostracion. (1): Supongamos que la afirmacion es falsa, i.e., que p 6⊇ Ii para todoi. Entonces, para cada i existe un xi ∈ Ii− p y ası x1 · · ·xn ∈ I1 · · · In ⊆ I1 ∩ ·· · ∩ Inpero x1 · · ·xn 6∈ p porque este es primo. Una contradiccion, y por lo tanto p⊇ Ii, paraalgun i. Finalmente, si p =

⋂i Ii, entonces p ⊆ Ii para cada i y por el resultado del

parrafo anterior p= Ii, para algun i.

(2): Por induccion sobre n para la contrapositiva: ((Si J no esta contenido en ningunpi, entonces J no esta contenido en la union de los pi)). Para n = 1 no hay nadaque probar. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es valido para n− 1.Entonces, fijando cualquier i se tiene que si J 6⊆ p j, para todo j 6= i, entonces J 6⊆⋃

j 6=i p j, por hipotesis de induccion. Por lo tanto, para este i, existe un elemento xi ∈ Jtal que xi 6∈ p j para todo j 6= i. Si sucediera que uno de estos xi tambien satisfaceque xi 6∈ pi, entonces xi 6∈

⋃i pi y ya acabamos. Supongamos entonces que para todo

i estos xi ∈ pi, y consideremos el elemento

1 Si (A,) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena C ⊆A (subconjuntototalmente ordenado) tiene una cota superior en A (i.e., existe un c ∈A tal que u c para todou ∈ C), entonces A tiene al menos un elemento maximo, i.e., un elemento m ∈A para el cual noexiste x ∈A con x 6= m y tal que m x,


x =n

∑i=1

x1 · · ·xi−1xixi+1 · · ·xn (donde xi quiere decir omitir xi)

y note que como cada x j ∈ J, entonces x ∈ J, pero como x j 6∈ p j para j 6= i, entoncesx 6∈ p j para toda j, incluyendo j = i y por lo tanto x ∈ J−

⋃i pi.

(3): Si un primo p⊇mn, entonces por la parte (1) se tiene que p contiene a un factor,que debe ser m, y como m es maximo, entonces p=m. ut

El espectro primo de un anillo. Al conjunto de ideales primos de un anillo A se ledenota por

SpecA = p⊆ A : p es un ideal primo de A

y se le llama el espectro primo de A .Si f : A→ B es un morfismo de anillos y si q ⊆ B es un ideal primo, entonces

su imagen inversa f−1(q) es un ideal primo de A, ya que si ab ∈ f−1(q) entoncesf (a) f (b) = f (ab) ∈ q y ası f (a) ∈ q o f (b) ∈ q, es decir, a ∈ f−1(q) o b ∈ f−1(q).Se tiene ası la funcion

a f : SpecB→ SpecA

dada por a f (q) = f−1(q). A continuacion mostraremos que SpecA tiene una to-pologıa natural y con esta topologıa la funcion asociada a un morfismo de anillosf : A→ B es continua. La definicion de SpecA generaliza lo que sucede en geo-metrıa algebraica, vea la pagina 17 o el capıtulo 1 de [17], donde para una variedadafın sus puntos corresponden a ideales maximos en su anillo de coordenadas. Elcambio de ideales maximos a ideales primos se debe, principalmente, al hecho deque, dado un morfismo de anillos, la imagen inversa de un ideal maximo no siemprees maximo, el ejemplo mas sencillo es para la inclusion i : Z →Q donde el ideal 0es maximo en Q, pero i−1(0) = 0 no es maximo en Z. Sin embargo, si I ⊆ A es unideal y ρ : A→ A/I es el epimorfismo canonico, entonces bajo la correspondenciabiunıvoca entre ideales de A/I e ideales de A que contienen a I se tiene que:

Corolario 1.10 Si I ⊆ A es un ideal y ρ : A→ A/I es el epimorfismo canonico,entonces

(1) p es primo en A (que contiene a I) si y solo si ρ(p) es primo de A/I.

(2) m es maximo en A (que contiene a I) si y solo si ρ(m) es maximo en A/I.ut

La topologıa de Zariski en SpecA. Se introduce una topologıa en SpecA asociandoa cada subconjunto E de A el conjunto

V (E) = p ∈ SpecA : p⊇ E ⊆ SpecA

formado por los ideales primos de A que contienen a E. Comenzamos observandoque si E ⊆ E ′ son dos subconjuntos de A, entonces V (E)⊇V (E ′). En particular, siI = 〈E〉 es el ideal generado por los elementos de E, entonces V (E) ⊇ V (I), y dehecho se tiene que V (E) = V (I) ya que para la otra inclusion, si p ⊇ E entonces el


ideal primo p contiene a los generadores de I y por lo tanto contiene a I. Podemosentonces restringirnos a considerar solo los conjuntos V (I) para I un ideal de A. Queestos conjuntos definen los cerrados en una topologıa de SpecA es parte del lemasiguiente:

Lema 1.11 Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces,

(1) V (A) = /0 y V (0) = SpecA.

(2) Si I, J son ideales de A, entonces V (IJ) =V (I)∪V (J).

(3) Si I j son ideales de A, entonces V(⋃

j

I j

)=V

(∑

jI j

)=⋂

j

V (I j).

(4) Si I ⊆ J son ideales de A, entonces V (I)⊇V (J).

Demostracion. (2): Si p ∈ V (I)∪V (J) entonces p ⊇ I o p ⊇ J y ası p ⊇ IJ por serp ideal. Recıprocamente, si p ∈ V (IJ) y si p 6∈ V (J), entonces existe un b ∈ J talque b 6∈ p, y como para todo a ∈ I se tiene que ab ∈ IJ ⊆ p y p es primo con b 6∈ p,entonces ab ∈ p implica que a ∈ p y por lo tanto I ⊆ p.

(3): Note que un ideal primo p contiene a la suma ∑ j I j si y solo si p contiene a cadaI j ya que la suma ∑ j I j es el menor ideal que contiene a todos los I j.

La parte (1) es obvia y (4) se probo antes del enunciado del lema. ut

A la topologıa definida por los cerrados V (I) anteriores, se le llama la topologıade Zariski en SpecA. Se tiene la construccion recıproca de V (I): dado un subcon-junto U ⊆ SpecA se define

I(U) :=⋂p∈U

p.

Las propiedades siguientes son inmediatas:


(1) Si U ⊆U ′ ⊆ SpecA, entonces I(U)⊇ I(U ′).

(2) I(⋃

i Ui) =⋂

i I(Ui).

(3) I(p) = p.ut

Mostraremos a continuacion, que bajo ciertas condiciones, las correspondenciasanteriores son inversas una de la otra, y para probar esto necesitaremos las propie-dades y conceptos adicionales siguientes:

Radicales y el nilradical. Si I ⊆ A es un ideal, su radical es el conjunto√

I := a ∈ A : at ∈ I para algun entero t ≥ 1.

Es facil probar que√

I es un ideal de A que contiene a I y el ejercicio 1 lista laspropiedades basicas de esta construccion. Para el caso particular del ideal 0 ⊆ A el


radical√

0 se llama el nilradical del anillo A y algunas veces lo denotaremos pornilA. Note que

√0 = nilA consta de los elementos a ∈ A para los cuales existe un

entero t ≥ 1 tal que at = 0, a estos elementos se les conoce como nilpotentes y porlo tanto nilA consiste de todos los elementos nilpotentes de A.

Proposicion 1.13 Si I ⊆ A es cualquier ideal, entonces√

I =⋂

p⊇I p, la intersec-cion de todos los ideales primos de A que contienen a I. En particular, el nilradicalnilA es la interseccion de todos los ideales primos de A.

Demostracion. Si a ∈√

I y p ⊇ I es un ideal primo que contiene a I, entonces paraalgun entero n ≥ 1 se tiene que an ∈ I ⊆ p y como p es primo, entonces a ∈ p yası a ∈

⋂p⊇I p. Recıprocamente, si a ∈

⋂p⊇I p y si sucediera que a 6∈

√I, entonces

an 6∈ I para todo n ≥ 1. Ası, la familia F de ideales J de A que contienen a I perotales que an 6∈ J para todo n ≥ 1 es no vacıa ya que contiene a

√I, y si damos a F

el orden inducido por la inclusion, para cualquier cadena C de ideales Ji en F, suunion J =

⋃Ji pertenece a F porque si no fuera ası alguna potencia de a estarıa en J

y por lo tanto en algun Ji, una contradiccion. Claramente J es una cota superior de lacadena y ası, por el lema de Zorn, F contiene un elemento maximo q para el ordendado por la inclusion. Mostraremos que q es un ideal primo. En efecto, si xy ∈ qy si sucediera que x 6∈ q y y 6∈ q, entonces los ideales q+ 〈x〉 y q+ 〈y〉 contienenpropiamente a q y ası, por la maximalidad de q, estos ideales no estan en F y por lotanto am ∈ q+ 〈x〉 y an ∈ q+ 〈y〉, para algunos m,n≥ 1. Escribiendo am = q+ rx yan = q′+ sy, con q,q′ ∈ q se tiene que

am+n = aman = (q+ rx)(q′+ sy) = qq′+qsy+q′rx+ rsxy ∈ q

porque xy ∈ q. Esto contradice el hecho de q ∈ F. Ası, q es primo y a 6∈ q porquean 6∈ q para todo n ≥ 1, lo cual de nuevo es una contradiccion con el hecho de a seescogio en la interseccion de todos los primos que contienen a I. ut


(1) V (I) =V (√

I).

(2) Si I, J son ideales de A, entonces V (I)⊆V (J) si y solo si√

I ⊇√

J.

(3) Si I ⊆ A, entonces I(V (I)) =√

I.

(4) Si U ⊆ SpecA, entonces V (I(U)) =U (la cerradura de U).

Demostracion. Para (1), como I ⊆√

I, de (4) se sigue que V (I) ⊇ V (√

I). Para laotra inclusion recuerde que

√I es la interseccion de todos los ideales primos que

contienen a I y por lo tanto si p ∈ V (I) entonces p ⊇ I y ası p ⊇⋂q⊇I

q =√

I, i.e.,

p ∈V (√

I). Para la parte (2), observe primero que J ⊆√

J ⊆√

I implica que V (I) =V (√

I) ⊆ V (√

J) = V (J). Recıprocamente, si V (I) ⊆ V (J), entonces⋂

p∈V (I) p ⊆⋂p∈V (J) y por lo tanto

√J ⊆√

I.Para (3) observe que

√I =

⋂p⊇I p=

⋂p∈V (I) p= I(V (I)). Para (4), como V (I(U))

es un cerrado que contiene a U entonces V (I(U)) ⊇U ; recıprocamente, si V (I) es


un cerrado que contiene a U , entonces para todo p ∈U , I ⊆ p y ası I ⊆ I(U) y porlo tanto V (I)⊇V (I(U)). ut

Corolario 1.15 Las correspondencias siguientes invierten inclusiones y son inver-sas una de la otra:

subconjuntos cerrados de SpecAI // ideales radicales de A.V

oo

ut

Corolario 1.16 (1) Para todo p ∈ SpecA, la cerradura de p esta dada por p=V (p). Se sigue que p es cerrado si y solo si p es maximo.

(2) El espacio SpecA es T0.

Demostracion. Por definicion, Ip = p y ası, por 1.14 (4) y 1.12 (3), p =V (Ip) =V (p). Para la parte 2, si p,q ∈ SpecA son dos puntos distintos, entoncesp 6⊆ q o q 6⊆ p y por la parte 1 esto quiere decir que q 6∈ p=V (p) o p 6∈ q=V (q).

ut

El espectro de un anillo como funtor contravariante. A cada anillo conmutativoA le hemos asociado un espacio topologico SpecA y es facil ver que esta asociaciondefine un funtor contravariante de la categorıa de anillos conmutativos a la categorıade espacios topologicos, ya que si φ : A→ B es un morfismo de anillos (siemprepediremos que φ(1) = 1), sabemos que si q⊆B es un ideal primo, su imagen inversaφ−1(q)⊆ A tambien es un ideal primo de tal forma que se tiene la funcion asociada

aφ : SpecB→ SpecA dada por a

φ(q) := φ−1(q)

y resulta que esta es continua en la topologıa de Zariski, ya que si I es un ideal deA, para V (I)⊆ SpecA se tiene que (a

φ)−1(V (I)) =V (φ(I)). En efecto,

p ∈ aφ−1(V (I))⇔ a

φ(p) ∈V (I)⇔ φ−1(p) ∈V (I)⇔ φ

−1p⊇ I⇔ p⊇ φ(I)

⇔ p ∈V (φ(I)).

Lema 1.17 Sea φ : A → B un morfismo de anillos tal que todo b ∈ B se puedeescribir de la forma b = uφ(a) con u invertible en B (lo cual sucede, por ejemplo, siφ es suprayectiva). Entonces, a

φ : SpecB→ SpecA es un homeomorfismo de SpecBen su imagen.

Demostracion. (1) Mostraremos primero que para todo subconjunto E ⊆ B existeun subconjunto E ′ ⊆ A tal que V (E) = V (φ(E ′)). En efecto, para cada b ∈ E ⊆ Bpor hipotesis existen u ∈ B∗ y a ∈ A tales que b = uφ(a); sea E ′ ⊆ A el conjunto detodas esas a ∈ A obtenidas al variar b ∈ E. Note entonces que si p ∈ V (E), i.e., sip ⊇ E, entonces p ⊇ φ(E ′) ya que todos los elementos φ(a) ∈ φ(E ′) son tales queφ(a) = bu−1 con b ∈ p y u−1 ∈ B por lo que φ(a) ∈ p. La inclusion recıproca essimilar.

(2) Note ahora que como los espectros son espacios T0 y como aφ−1(V (E ′)) =

V (φ(E ′)), se sigue que aφ es inyectiva.


(3) Finalmente, por la parte (1) y la formula aφ−1(V (E ′)) = V (φ(E ′)) = V (E),

se sigue que aφ(V (E)) =V (E ′) y por lo tanto a

φ es cerrada y continua y ası, comoes inyectiva, es un homeomorfismo sobre su imagen. ut

La consecuencia siguiente puede considerarse un ((ejemplo)) (obtener el espectrodel cociente en terminos del anillo dado):

Corolario 1.18 Sean A un anillo e I ⊆A un ideal. Entonces, el epimorfismo canoni-co ρ : A→ A/I induce un homeomorfismo de SpecA/I en el subespacio cerradoV (I) de SpecA.

Demostracion. El epimorfismo canonico da una correspondencia biyectiva entre losideales (respectivamente, ideales primos) de A/I con los ideales (respectivamente,ideales primos) de A que contienen a I. ut

Corolario 1.19 Los espacios topologicos SpecA y Spec(A/√

0) son canonicamentehomeomorfos.

Demostracion. El corolario anterior identifica Spec(A/√

0) con V (√

0) = V (0) =SpecA. utIrreducibilidad. Si X es un espacio topologico, un subespacio no vacıo Z de X sedice que es irreducible si no se puede escribir como la union de dos subconjuntoscerrados propios de Z.

Lema 1.20 Sea X un espacio topologico arbitrario. Son equivalentes:

(1) X es irreducible.

(2) Si U1,U2 son subconjuntos abiertos no vacıos de X, entonces U1∩U2 6= /0.

(3) Todo subconjunto abierto no vacıo de X es denso en X.

Demostracion. (1)⇒ (2): Si U1∩U2 = /0, tomando complementos X = (X −U1)∪(X −U2) con X −Ui cerrados propios de X y ası, por hipotesis, se debe tener queX = X−U1 o X = X−U2, i.e., U1 = /0 o U2 = /0, una contradiccion.(2)⇒ (1) es similar.(1)⇔ (3) es directo de la definicion de densidad. ut

Corolario 1.21 Sea Y ⊆ X un subconjunto de un espacio topologico X. Si Y esirreducible entonces su cerradura Y es irreducible.

Demostracion. Un abierto U intersecta a Y si y solo si intersecta a Y . utUna componente irreducible de un espacio topologico X es un subconjunto irre-

ducible maximo de X . Por el corolario anterior, las componentes irreducibles soncerradas y ası, en el caso del espectro primo, las componentes irreducibles son de laforma V (I), que por 1.18 son homeomorfas a Spec(A/I).

Proposicion 1.22 Sea X un espacio topologico. Entonces,

(1) Cada subconjunto irreducible de X esta contenido en una componente irreduci-ble.

(2) X es la union de sus componentes irreducibles.


Demostracion. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x ∈ X el conjunto xes irreducible y ası, por (1), esta contenido en una componente irreducible de X .

Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W ⊆ X un subconjunto irreducibley sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W . Como W ∈F, entonces F 6= /0, y si Xii∈Λ es una cadena en F, entonces su union Y =

⋃i∈Λ Xi

tambien esta en F ya que X ⊆ Y y Y es irreducible porque si U1,U2 son abiertos deX tales que Ui∩Y 6= /0, entonces existen ındices i1, i2 ∈Λ tales que Ui∩Xik 6= /0 paraj = 1,2, y como Xi es una cadena podemos suponer que Xi2 ⊆ Xi1 y por lo tantoUi∩Xik 6= /0, pero como Xik son irreducibles por 1.20 se sigue que U1∩U2∩Xik 6= /0 ypor lo tanto U1∩U2∩Y 6= /0 que por 1.20 implica que Y es irreducible, y por lo tantoY ∈ F. Claramente Y es cota superior de esta cadena y ası, por el lema de Zorn, Fdebe tener un elemento maximo, que es, por definicion, una componente irreduciblede X que contiene a W , como se querıa. ut

Corolario 1.23 El espacio topologico SpecA es irreducible si y solo si A/√

0 es undominio entero, o equivalentemente si el nilradical

√0 es un ideal primo.

Demostracion. Por el corolario anterior podemos asumir que√

0 = 0. Ahora, siSpecA fuera reducible existirıan cerrados X1, X2 contenidos propiamente en SpecAtales que SpecA = X1∪X2 y por lo tanto I(X1)∩ I(X2) = I(X1∪X2) = I(SpecA) =nil(A) = 0 y los ideales I(X1) e I(X2) no serıan 0 por la correspondencia 1.15 y por-que I(SpecA) = 0. Entonces se tendrıan elementos no nulos f ∈ I(X1) y g ∈ I(X2)y su producto f g ∈ I(X1)∩ I(X2) = 0, i.e., A no serıa un dominio entero. Recıpro-camente, si A no fuera dominio entero existirıan elementos f ,g distintos de ceroen A tales que f g = 0. Note que como f 6= 0 entonces V ( f ) SpecA ya que delo contrario I(V ( f )) = I(SpecA) = 0 y por lo tanto se tendrıa que f = 0. Similar-mente, V (g) SpecA. Ahora, como f g = 0 entonces SpecA = V (0) = V ( f g) =V ( f )∪V (g) y ası SpecA serıa reducible. ut

Corolario 1.24 (1) En la correspondencia entre subconjuntos cerrados de SpecAe ideales radicales de A, (ver 1.15), los subconjuntos cerrados irreducibles corres-ponden a los ideales primos de A. En particular, las componentes irreducibles deSpecA corresponden a ideales primos mınimos.

(2) La aplicacion x 7→ x establece una biyeccion entre los puntos de SpecA y lossubconjuntos cerrados irreducibles de SpecA. En otras palabras, todo subconjuntocerrado irreducible de SpecA admite un unico punto generico.

NOTA. Si X es cualquier espacio topologico y W ⊆ X , un punto x ∈W se dice quees un punto generico de W si W = x. Observe que si W tiene un punto generico,entonces W es irreducible ya que x es irreducible y ası, por 1.21, x tambien loes.

Demostracion. (1): Si p es ideal primo, por 1.18 V (p) = SpecA/p y como el nilra-dical de A/p es

√p = p, la ultima igualdad porque p es primo, entonces por 1.21,

como A/p es dominio entero, se sigue que SpecA/p=V (p) es irreducible.

(2) Si Y ⊆ SpecA es un cerrado irreducible, entonces I(Y ) es un ideal primo p de Apor la parte 1 y ası, para p= I(Y ) se tiene que


p=V (Ip) =V (p) = Y

la penultima igualdad por 1.14(3) y la ultima porque p = I(Y ) y 1.14(4). Se sigueque p es un punto generico de Y . Supongamos ahora que q es otro punto genericode Y . Entonces, Y = q=V (Iq) =V (q), la ultima igualdad por 1.12(3). Ahora,como I(Y ) = p, la igualdad anterior implica que p= I(Y ) = I(V (q)) = q. ut

En ocasiones, es mas facil trabajar con una base sencilla de la topologıa de Za-riski en SpecA y el lema siguiente nos da una tal base:

Lema 1.25 Sea A un anillo conmutativo y para cualquier f ∈ A denotemos porD( f ) al abierto dado por el complemento del cerrado V (〈 f 〉). A los abiertosD( f ) := SpecA−V 〈 f 〉 los llamaremos abiertos distinguidos.

(1) Si f ,g ∈ A, entonces D( f g) = D( f )∩D(g). En particular, D( f ) = D( f n).

(2) D( f )⊇ D(g) si y solo si g ∈√〈 f 〉=:

√f .

(3) D( f ) = D(g) si y solo si√

f =√

g, lo cual equivale a que los ideales primosmınimos que contienen a 〈 f 〉 y 〈g〉 son iguales. En particular, esto sucede si f = ugcon u ∈ A∗ una unidad.

(4) Los conjuntos D( f ), variando f ∈ A, forman una base para la topologıa deSpecA.

(5) Si fii∈Λ es una familia de elementos de A, entonces

SpecA =⋃i∈Λ

D( fi)

si y solo si 1 ∈ 〈 fi : i ∈Λ〉, i.e., si y solo si el ideal generado por los fi es todo A.

(6) SpecA es cuasicompacto.

Demostracion. (1): Por 1.11(2), V ( f g) =V ( f )∪V (g) y el resultado se sigue toman-do complementos.

Para (2), recordemos que√〈 f 〉 =

⋂f∈p p. Usando esta igualdad se tiene la pri-

mera equivalencia en:

g 6∈√〈 f 〉 ⇔ existe un ideal primo p con f ∈ p pero g 6∈ p

⇔ existe un ideal primo p tal que p 6∈ D( f ) pero p ∈ D(g)

⇔ D( f ) 6⊇ D(g).

La parte (3) se sigue de la parte (2) o de 1.14(3) y 1.14(1).Para (4), si U = SpecA−V (I) es cualquier abierto, note que

p⊇ I⇔ f ∈ p para todo f ∈ I⇔ p ∈V ( f ) para todo f ∈ I⇔ p ∈⋂f∈I

V ( f )

i.e., V (I) =⋂

f∈I V ( f ) y por lo tanto al tomar complementos


U = SpecA−V (I) = SpecA−⋂f∈I

V ( f ) =⋃f∈I

(SpecA−V ( f )

)=⋃f∈I

D( f ).

Para (5), observe que SpecA =⋃

i D( fi) si y solo si todo punto p ∈ SpecA nocontiene a algun fi, i.e., si y solo si ningun ideal primo p contiene al ideal 〈 fi : i ∈Λ〉, y esto sucede si y solo si este ideal es todo A.

Para (6), observe primero que basta probar que cualquier cubierta por abiertosbasicos D( f ) tiene una subcubierta finita. Para probar esto ultimo, en la demostra-cion previa observe que 1 ∈ 〈 fi : i ∈ Λ〉 si y solo si existe un subconjunto finitof j1 , . . . , f jn de los fi y escalares a1, . . . ,an ∈ A tales que

1 =n

∑i=1

ai f ji

y por lo tanto 1∈ 〈 f ji : 1≤ i≤ n〉, que por la parte 5 implica que SpecA = D( f j1)∪·· ·∪D( f jn). ut

Ejemplos. Los ejemplos siguientes ilustran la correspondencia funtorial:

Anillos conmutativos−→ Espectros primos.

Ejemplo 1. Si K es un campo, su unico ideal primo es el 0 y ası SpecK = 0.

Ejemplo 2. Sea K un campo y consideremos el anillo de polinomios K[x]. Este es unDIP y sus primos son el ideal 〈0〉 y los ideales maximos de K[x]. Es claro que V (0)=SpecK[x], es decir, la cerradura de 〈0〉 es todo el espacio SpecK[x] por lo que 〈0〉es un punto generico de SpecK[x]. Los otros puntos de SpecK[x], correspondientesa ideales maximos (que son todos los primos porque K[x] es DIP) 〈mi〉 (con mipolinomio irreducible de K[x]) son puntos cerrados, ya que, como K[x] es dominiode factorizacion unica, para cualquier ideal I = 〈 f 〉 6= 0 de K[x], se tiene que

V (I) =V 〈 f 〉= 〈mi〉 ∈ SpecK[x] : mi| f

es el conjunto de divisores primos de f (x) y ası V (I) es un subconjunto finito deSpecK[x], en particular, si mi es irreducible, V (〈mi〉) = 〈mi〉.

En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, los ideales maximos de K[x]corresponden a polinomios mi de grado 1, digamos mi = x−ai con ai ∈ K y por lotanto, los puntos cerrados de SpecK[x] corresponden biyectivamente a los elementosde K mediante 〈x− ai〉 7→ ai, que son los puntos de la recta (afın) K, de tal formaque

SpecK[x] = K∪punto generico :

〈0〉

0 a• •〈x〉〈x−a〉


Ejemplo 3. En el caso cuando K no es algebraicamente cerrado se tienen otros idea-les primos en K[x] ademas de los de la forma 〈x− a〉. Por ejemplo, si K = R, porel teorema fundamental del algebra hay dos tipos de ideales primos (maximos) enR[x]:

De la forma 〈x−λ 〉 con λ ∈ R, como antes, yDe la forma 〈x2 + bx+ c〉 con b,c ∈ R tales que b2− 4c < 0. Note que estosultimos ideales se pueden factorizar como 〈x− γ〉〈x− γ〉, con γ ∈ C−R.

Ası, los puntos cerrados de SpecR[x] corresponden a numeros reales o a paresconjugados de numeros complejos no reales. Observe tambien que SpecR[x] tieneun unico punto no cerrado, correspondiente al ideal primo cero.

El espectro maximo. Antes de tratar de generalizar el ejemplo anterior para consi-derar el espectro primo

SpecK[x1, . . . ,xn]

de un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K (algebrai-camente cerrado), comenzamos observando que los ideales

〈x1−a1, . . . ,xn−an〉

con ai ∈ K son ideales maximos de K[x1, . . . ,xn] porque los cocientes

K[x1, . . . ,xn]/〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 ' K

(el isomorfismo es f (x1, . . . ,xn) 7→ f (a1, . . . ,an)). Un tal ideal 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉corresponde a una n-ada ordenada (a1, . . . ,an) ∈ Kn, por lo que podemos inden-tificar al conjunto de ideales maximos anteriores con Kn. En el capıtulo 3 (3.22pagina 71) probaremos el teorema de los ceros de Hilbert que afirma que estos sontodos los ideales maximos de K[x1, . . . ,xn] cuando K es algebraicamente cerrado.Aceptando lo anterior, e identificando el ideal maximo 〈x1− a1, . . . ,xn− an〉 conla n-ada ordenada (a1, . . . ,an) ∈ Kn, podemos visualizar a los ideales maximos enSpecK[x1, . . . ,xn] como los puntos de Kn. En otras palabras, podemos pensar que

Kn ⊆ SpecK[x1, . . . ,xn]

y para hacerlo mas formal conviene definir el espectro maximo de un anillo A comoel conjunto

Specm(A) = m⊆ A : m es un ideal maximo de A,

de tal forma que, si K es algebraicamente cerrado

Kn = SpecmK[x1, . . . ,xn]

identificando cada ideal maximo 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 con el punto (a1, . . . ,an).El paso siguiente es ver como la topologıa de Zariski de SpecK[x1, . . . .xn] se

restringe al subconjunto Kn = SpecmK[x1, . . . ,xn]. Para esto, considere un ideal I ⊆


K[x1, . . . ,xn] y el conjunto cerrado V (I)⊆ SpecK[x1, . . . ,xn]. Su restriccion a Kn es

V(I) :=V (I)∩SpecmK[x1, . . . ,xn = m ∈ SpecmK[x1, . . . ,xn] : m⊇ I.

El objetivo entonces es dilucidar lo que significa geometricamente el hecho deque m ⊇ I. Para esto, observe que si f = f (x1, . . . ,xn) ∈ I es cualquier elemen-to, entonces f ∈ m = 〈x1 − a1, . . . ,xn − an〉 y por lo tanto el punto correspon-diente (a1, . . . ,an) ∈ Kn es un cero de f . Por lo tanto, identificando al ideal m =〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 con el punto (a1, . . . ,an) ∈ Kn, el que m ⊇ I quiere decir queel punto (a1, . . . ,an) es un cero comun a todos los polinomios de I. En otras palabras,podemos identificar

V(I) := m= 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 ∈ SpecmK[x1, . . . ,xn] : m⊇ I= (a1, . . . ,an) ∈ Kn : f (a1, . . . ,an) = 0 para todo f ∈ I.

Conjuntos algebraicos afines. Hemos mostrado que los cerrados del subespacioKn ⊆ SpecK[x1, . . . ,xn] son los conjuntos de la forma

V(I) = (a1, . . . ,an) ∈ Kn : f (a1, . . . ,an) = 0 para todo f ∈ I

a los que se llama conjuntos algebraicos afines. La topologıa correspondiente enKn se llama la topologıa de Zariski y se dice que Kn es el espacio afın de di-mension n sobre K. Cuando el conjunto algebraico afın V(I) ⊆ Kn es irreducible,diremos que V(I) es una variedad algebraica afın o variedad afın. Note que co-mo todo ideal propio I $ K[x1, . . . ,xn] esta contenido en un ideal maximo m que,por el teorema de los ceros de Hilbert, es de la forma m = 〈x1− a1, . . . ,xn− an〉,se sigue que (a1, . . . ,an) ∈ V(I) y por lo tanto estos conjuntos no son vacıos paraI$K[x1, . . . ,xn]. A la luz de la discusion anterior, no es de extranar que en geometrıaalgebraica se haya definido primero el espectro maximo Specm(A) de un anillo A,ya que esto es lo natural y es un punto de vista que conviene usar, y se usa. Note queSpecm(A) es el conjunto de puntos cerrados de SpecA. Una desventaja, no pequena,del espectro maximo es que si f : A→ B es un morfismo de anillos, en general nose tiene la funcion asociada a f : Specm(B)→ Specm(A).

Los ejemplos 4 al 9 siguientes, de conjuntos o variedades afines, ilustran la natu-raleza geometrica del espectro maximo, considerando ideales del anillo de polino-mios K[x1, . . . ,xn] con K algebraicamente cerrado. Comenzamos retomando el casode una variable del ejemplo 2:

Ejemplo 4. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afın K1,¿cuales son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es unDIP, entonces todo conjunto algebraico V ⊆ K1 es de la forma V = V( f ) para unpolinomio f ∈K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f (x) se factorizacomo f (x) = c(x−a1) · · ·(x−ak) con c,ai ∈ K y por lo tanto

V( f ) = a1, . . . ,an,


es decir, los conjuntos algebraicos de K1 son los conjuntos finitos, el espacio total yel vacıo.

Lo anterior sirve para mostrar que la topologıa de Zariski en K1 es muy debil ybastante diferente de la topologıa usual en K1 = K, por ejemplo si K =C, ya que enC1 = C se tienen mas cerrados en la topologıa metrica usual que en la topologıa deZariski. Note tambien que los cerrados en la topologıa de Zariski son cerrados enla topologıa metrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topologıausual.

Ejemplo 5. Si E ⊆ K[x1, . . . ,xn] es un conjunto finito de polinomios lineales, la va-riedad V(E) ⊆ Kn se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es estudiadapor el algebra lineal.

Ejemplo 6. Si E ⊆ K[x1, . . . ,xn] consiste de un unico polinomio no constantef ∈ K[x1, . . . ,xn], a la variedad V(E) =: V( f ) ⊆ Kn se le llama una hipersuperfi-cie. Si f es de grado 1, se dice que V( f ) es un hiperplano afın en Kn. En el casoparticular cuando n = 2, V( f ) es una curva en K2 y es una recta si f es lineal. En elcapıtulo 4 se probara que todos los ideales I ⊆ K[x1, . . . ,xn] tienen un numero finitode generadores, el teorema de la base de Hilbert (4.2 pagina 88), y por lo tanto todoconjunto algebraico afın V(I) es una interseccion finita de hipersuperficies.

Ejemplo 7. Si K es un campo, dada a una matriz m×n con entradas en K, desplegan-do sus renglones la podemos pensar como un elemento de Kmn. Entonces, si m = n,el grupo lineal especial SLn(K)⊆Kn2

de matrices cuadradas n×n con determinante1, es un conjunto algebraico afın porque el determinante es un polinomio, es decir,para (xi j)n×n, su determinante det(xi j) ∈ K[x11,x12, . . . ,xnn].

En forma similar se muestra que el grupo ortogonal On(K) de matrices cuadradasA tales que ATA = idn es un conjunto algebraico afın.

Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales. Antes de ver otros ejemplos,veamos como se restringe la funcion

I : subconjuntos de SpecA −→ ideales radicales de A,

en el caso cuando A = K[x1, . . . ,xn] con K algebraicamente cerrado, al subespacioSpecmA. Denotemos esta restriccion por I. Ası, por definicion, para cualquier sub-conjunto U ⊆ SpecmK[x1, . . . ,xn] se tiene que

I(U) =⋂m∈U

m⊆ K[x1, . . . ,xn].

Note ahora que, identificando U ⊆ SpecmK[x1, . . . ,xn] = Kn con un subconjunto deKn, se tiene que

f ∈ I(U) =⋂m∈U

m⇔ f ∈m para todo m ∈U

⇔ f ∈m= 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 para todo m ∈U

⇔ f (a1, . . . ,an) = 0 para todo (a1, . . . ,an) ∈U .


Es decir, para U ⊆ SpecmK[x1, . . . ,xn] = Kn, el ideal I(U) esta dado por todos lospolinomios en K[x1, . . . ,xn] que se anulan en los puntos de U . Observe ahora queI(U) es un ideal radical, ya que si f ∈

√I(U), entonces f r ∈ I(U) para algun r≥ 1,

y por lo tanto para todo punto a = (a1, . . . ,an) ∈U se tiene que f r(a) = 0, es de-cir, ( f (a))r = 0 y consecuentemente f (a) = 0, es decir, f ∈ I(U). Hemos mostradoası que

√I(U)⊆ I(U), y la otra inclusion siempre se tiene. Veamos algunos ejem-

plos de como se calcula el ideal I(U), para algunos U ⊆ Kn = SpecmK[x1, . . . ,xn].

Ejemplo 8. Para K algebraicamente cerrado, I(Kn) = 0. Antes de probar este resul-tado, note que no es trivial. Por ejemplo, si K es un campo finito, digamos K = Fq,el polinomio de Frobenius f (x) = xq− x ∈ Fq[x] se anula en todos los puntos deU = F1

q, pero no es el polinomio cero, es decir, I(F1q) 6= 0. Sin embargo, si K es

un campo infinito (cuando K es algebraicamente cerrado, claramente es infinito) setiene que

I(Kn) = 0.

Note que lo anterior equivale a demostrar que si K es un campo infinito, entonces

I(Kn) = I(SpecmK[x1, . . . ,xn]) =⋂

m ideal maximo

m= 0,

es decir, que la interseccion de todos los ideales maximos del anillo K[x1, . . . ,xn] escero. A la interseccion de todos los ideales maximos de un anillo A se le llama elradical de Jacobson del anillo A. Demostraremos el resultado deseado por induccionsobre n ≥ 1. El caso n = 1 es porque si f ∈ I(K1) ⊆ K[x] no fuera cero, como elnumero de raıces de f es ≤ que su grado, esto contradice el que K es infinito.Supongamos ahora que el lema es valido para≤ n−1 y sea f ∈ I(Kn). Supongamosque f 6= 0. Observe primero que Kn−1 ⊆ Kn identificando (α1, . . . ,αn−1) ∈ Kn−1

con (α1, . . . ,αn−1,0) ∈ Kn. Factorizando las potencias xk en los monomios de f ,escribamos

(∗) f = ak(x1, . . . ,xn−1)xkn + · · ·

y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable xn en f )porque entonces f ∈ K[x1, . . . ,xn−1] se anula en todo Kn, en particular en Kn−1 yası f = 0, por hipotesis de induccion. Podemos entonces suponer que k ≥ 1 y queak(x1, . . . ,xn−1) 6= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipotesis de induccionse tiene que ak 6∈ I(Kn−1) y por lo tanto existe un punto (α1, . . . ,αn−1) ∈ Kn−1

tal que ak(α1, . . . ,αn−1) 6= 0. Substituyendo el punto (α1, . . . ,αn−1) en todos loscoeficientes ai en (∗) se obtiene el polinomio en una variable:

f = ak(α1, . . . ,αn−1)xkn + · · · ∈ K[xn]

donde el coeficiente ak(α1, . . . ,αn−1) 6= 0 y por lo tanto f tiene ≤ gr( f ) raıces,i.e., no se puede anular en todo K1, i.e., existe αn ∈ K = K1 tal que 0 6= f (αn) =f (α1, . . . ,αn−1,αn), i.e., no se anula en todo Kn. ut


Parte de la importancia del ideal I(U), para U ⊆Kn = SpecmK[x1, . . . ,xn] radicaen que detecta cuando el subespacio U es irreducible, para U un conjunto algebraico(i.e., cerrado) de Kn:

Proposicion 1.26 Un conjunto algebraico V ⊆Kn es irreducible si y solo si su idealasociado I(V ) es un ideal primo.

Demostracion. Si V es irreducible y si f ,g ∈ K[x1, . . . ,xn] son tales que f g ∈ I(V ),entonces poniendo W1 = V( f ), W2 = V(g), se tiene que V = (V ∩W1)∪ (V ∩W2),con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es irreducible,se sigue que V = V ∩W1 o V = V ∩W2, es decir, V ⊆W1 o V ⊆W2, por lo quef ∈ I(W1)⊆ I(V ) o g ∈ I(W2)⊆ I(V ), i.e., I(V ) es ideal primo.

Recıprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados(i.e., conjuntos algebraicos afines) W1,W2 tales que V = W1 ∪W2 con Wi V . Por1.2 se tiene que I(V ) = I(W1)∩ I(W2) y ademas, por la inyectividad de I, I(V ) I(Wi). Por lo tanto, existen polinomios fi ∈ I(Wi)− I(V ) y como los I(Wi) sonideales, entonces f1 f2 ∈ I(Wi) y consecuentemente f1 f2 ∈ I(W1)∩ I(W2) = I(V ),una contradiccion con la hipotesis de que I(V ) es primo. ut

Ejemplo 9. Kn es irreducible ya que, por el ejemplo 8, su ideal I(Kn) = 0, que esprimo.

Ejemplo 10. Si f ∈ K[x,y] es un polinomio irreducible, entonces p= 〈 f 〉 es un idealprimo y por lo tanto X =V( f )⊆K2 es irreducible. Note que esta variedad algebraicaes la curva afın definida por f (x,y) = 0. Las figuras siguientes son algunas curvasen R2, todas ellas irreducibles excepto la ultima:

-

6

-

6

V〈y2− x3〉 V〈y2− x2(x+1)〉


-

6

-

6

V〈x2 + y2−1〉 V〈(y− x2)(y− x)〉

El resultado siguiente, y su corolario, son los analogos para el especto maximode 1.14 y 1.15, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbertcuya demostracion se hara mas adelante.

Teorema 1.27 Sea K un campo algebraicamente cerrado.

(1) Si V es un subconjunto arbitrario de Kn, entonces V ⊆ V(I(V )), y la igualdadse tiene si y solo si V es un subconjunto algebraico afın.

(2) Si J es un ideal de K[x1, . . . ,xn], entonces J ⊆ I(V(J)). Mas aun, IV(J) =√

J ypor lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y solo si J es un ideal radical.

Demostracion. Para (1), si P∈V , entonces para todo f ∈ I(V ) se tiene que f (P) = 0y por lo tanto f ∈ V(I(V )) y ası V ⊆ V(I(V )). Supongamos ahora que V = V(J) esalgebraico afın. Entonces, J ⊆ I(V ) y como la funcion V invierte inclusiones 1.11se sigue que V = V(J) ⊇ V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )).Recıprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definicion.

Para (2), si f ∈ J, entonces para todo P ∈ V(J) se tiene que f (P) = 0 y por lotanto J ⊆ IV(J). La segunda afirmacion de la parte (2) es (una parte de) el contenidodel teorema de los ceros de Hilbert y su demostracion se pospondra hasta la seccionsobre este teorema. ut

Un consecuencia inmediata del teorema anterior es que las correspondencias

subconjuntos algebraicos de KnI // ideales radicales de K[x1, . . . ,xn]Voo

invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esta es una perfecta correspon-dencia que traduce la geometrıa de los conjuntos algebraicos afines a una situacionalgebraica.


Ahora, aprovechando que ya se tiene una vision geometrica de los subconjuntoscerrados del espectro maximo SpecmK[x1, . . . ,xn] con K algebraicamente cerrado,podemos ilustrar geometricamente lo que sucede cuando se toma el espacio masgrande, el espectro primo SpecK[x1, . . . ,xn], en los ejemplos que siguen:

Ejemplo 11. Sea K un campo y consideremos SpecK[x,y]. De nuevo, como K[x,y]es dominio entero, 〈0〉 es ideal primo, su cerradura es todo SpecK[x,y] y ası 〈0〉 esun punto generico. Ahora, desafortunadamente K[x,y] no es un DIP (por ejemplo,el ideal 〈x,y〉 no es principal). Para ver algunos ejemplos de puntos en SpecK[x,y],por el ejemplo 4 para n = 2, los ideales 〈x− a,y− b〉, con a,b ∈ K, son maxi-mos. Pero ademas de los ideales maximos anteriores, hay otros ideales primos, asaber los ideales 〈 f (x,y)〉 con f ∈ K[x,y] irreducible (por ejemplo, f (x,y) = y− x2

o f (x,y) = y2− x3). Mas adelante probaremos que estos son todos los ideales pri-mos de K[x,y]: la ((idea geometrica)) es que los primos (maximos) 〈x− a,x− b〉corresponden a puntos (a,b) ∈ K2, i.e., de dimension cero; los primos 〈 f (x,y)〉con f irreducible son curvas f (x,y) = 0, i.e., de dimension 1; al ideal 0 de algu-na manera lo pensaremos de dimension 2 (aunque en toda esta discusion no hemosdefinido el concepto de dimension) y esto cubre todas las posibilidades geometri-cas en SpecK[x,y]. Resumiento, los ideales maximos en SpecK[x,y] correspondena los puntos en K2 y ademas SpecK[x,y] contiene al punto generico 0 y a los puntoscorrespondientes a curvas f (x,y) = 0 asociadas a polinomios irreducibles f :

SpecK[x,y] = K2∪〈0〉∪〈 f (x,y)〉 : f (x,y) irreducible :

•

punto generico en el eje X

punto generico en el eje Y

punto generico en la curva 〈 f (x,y)〉

punto generico de K2

〈0〉

〈y〉

〈x〉

〈x−a,y−b〉punto cerrado

Ejemplo 12. Generalizando el ejemplo anterior, sea K un campo algebraicamentecerrado y consideremos el espectro SpecK[x1, . . . ,xn], y para ser concretos consi-deremos el caso n = 3, i.e., SpecK[x,y,z]. De nuevo, por el teorema de los cerosde Hilbert, los ideales 〈x− a,y− b,z− c〉, para a,b,c ∈ K son todos los maximosde K[x,y,z], y a los primos anteriores los pensamos como puntos (a,b,c) ∈ K3, i.e.,


de dimension 0. Tambien, el ideal 0 es primo y su cerradura es todo SpecK[x,y,z],i.e., 0 es un punto generico de SpecK[x,y,z]. De nuevo, tenemos para cada poli-nomio irreducible f ∈ K[x,y,z] el ideal primo 〈 f (x,y,z)〉 con el cual asociamos lahipersuperficie f (x,y,z) = 0 y pensamos a estos primos como de dimension 2. Sinembargo, estos no son todos los primos de K[x,y,z], nos faltan los de dimension1, por ejemplo el ideal 〈x,y〉 es primo ya que el cociente K[x,y,z]/〈x,y〉 ' K[z] esun dominio entero; de hecho, hay muchos primos unidimensionales y mas adelanteveremos que corresponden a ((curvas irreducibles)): una respuesta geometrica a unapregunta algebraica: ¿cuales son los primos de K[x,y,z]? Resumiendo,

SpecK[x,y,z] = K3∪〈0〉∪otros primos.

De aquı puede inferirse lo que sucede en el caso general: SpecK[x1, . . . ,xn] contiene,como subespacio de puntos cerrados, al espacio afın Kn y ademas un punto pZ porcada subvariedad (irreducible) Z ⊆ An

K de dimension ≥ 1:

SpecK[x1, . . . ,xn] = Kn∪〈0〉∪pZ : Z ⊆ Kn variedad irreducible de dim≥ 1.

Ejemplo 13. Si A = K[x,y], con K algebraicamente cerrado, e I = 〈xy〉, por el ejem-plo 12 sabemos que SpecA = SpecK[x,y] es K2 junto con puntos de dimensiones 1y 2. Por la proposicion 1.18, SpecK[x,y]/〈xy〉 se identifica con V 〈xy〉 ⊆ SpecK[x,y],y este subespacio cerrado incluye, por ejemplo, los puntos 0-dimensionales (a,0) y(0,b), i.e., los ((ejes coordenados)), y tambien los primos unidimensionales 〈x〉 y 〈y〉.

Ejemplo 14. En general, si K es algebraicamente cerrado y V ⊆ Kn es un conjuntoalgebraico afın con ideal I = I(V ) ⊆ K[x1, . . . ,xn] y anillo de coordenadas K[V ] :=K[x1, . . . ,xn]/I, su espectro asociado es SpecK[V ] y el epimorfismo canonico ρ :K[x1, . . . ,xn] K[V ] induce el monomorfismo de espectros

aρ : SpecK[V ] SpecK[x1, . . . ,xn]

y recordando que los ideales maximos de K[V ] corresponden a ideales maximos deK[x1, . . . ,xn] que contienen a I y los ideales maximos de K[V ] corresponden a lospuntos de V , entonces podemos identificar a V con el subconjunto de puntos cerra-dos de SpecK[V ]. Ademas, SpecK[V ] tiene un punto generico por cada subvariedadalgebraica (irreducible) Z ⊆V de dimension ≥ 1.

Espectros de tipo aritmetico. Los anillos que consideraremos en este caso son ani-llos finitamente generados sobre Z y estan naturalmente asociados a problemas deorigen aritmetico, ya sea como anillos de enteros en campos de numeros, o asocia-dos a problemas diofantinos (soluciones a ecuaciones polinomiales con coeficientesenteros o racionales). Comenzamos con el prototipo de todos estos ejemplos:

Ejemplo 15. Para el anillo Z, SpecZ = 0,〈2〉,〈3〉,〈5〉, . . . ,〈p〉, . . .. Ahora, V 0) =SpecZ por lo que este espacio es irreducible y 0 es un punto generico. Ahora,


como Z es DIP, todos sus ideales son de la forma I = 〈a〉 por lo que si 〈a〉 6= 0,entonces V (〈a〉) = 〈p〉 ∈ SpecZ : 〈p〉 ⊇ 〈a〉, y como 〈p〉 ⊇ 〈a〉 ⇔ p|a, enton-ces V (〈a〉) = 〈p〉 : p es primo y p|a. Explıcitamente, si a = pe1

1 · · · perr , entonces

V (〈a〉) = 〈p1〉, . . . ,〈pr〉. Ası, los abiertos de SpecZ se obtienen como comple-mentos de conjuntos finitos de primos (((botando subconjuntos finitos de primos))).Note tambien que, como Z es un DIP, los ideales primos son maximos y ası cadapunto 〈p〉 ∈ SpecZ es cerrado: V 〈p〉= 〈p〉.

•2•3

•5

•7

•11 · · ·

•p · · ·

•

〈0〉

Ejemplo 16. Consideremos la inclusion ϕ : Z → Z[i] del anillo Z en el anillo deenteros gaussianos. El morfismo inducido aϕ : SpecZ[i]→ SpecZ es simplementeaϕ(p) = ϕ−1(p) = p∩Z = 〈p〉, para p = 0 o p primo de Z. Como Z[i] es dominioentero, entonces 0 es ideal primo y claramente aϕ(0) = 0. Por otra parte, sabemosque los ideales primos de Z[i] son factores de primos de Z, y para los primos de Z, el2 se factoriza en Z[i] como 2 = (1− i)(1+ i) =−i(1− i)2 (donde −i es una unidadde Z[i]), entonces ((arriba)) del 2 hay un primo elevado al cuadrado, a saber (1− i)y decimos que 2 se ((ramifica)) en Z[i]; para los primos impares, si p ≡ 3 (mod 4),entonces p permanece primo enZ[i] (decimos que p es ((inerte))) y si p≡ 1 (mod 4),entonces p se factoriza en Z[i] como producto de dos primos a+bi conjugados, i.e.,p = (a+ bi)(a− bi) (decimos que p no se ((ramifica))) lo cual corresponde al casocuando el primo p se puede escribir como la suma de dos cuadrados. Podemosvisualizar la situacion anterior como sigue:

••

•• •

•

••

· · ·

· · ·

· · ·

· · · · · ·

· · ·

· · ·

SpecZ[i]

?

aϕ

SpecZ0

•

•2

•3

•5

•7

•11 · · ·

•4m+1 · · ·

•4n+3

Ejercicios

1.1. En el parrafo antes de 1.1 usamos que en un DFU dados dos elementos existesu maximo comun divisor y este es unico salvo unidades. Demuestre formalmentelo anterior.

1.2. Si A es un DFU y a,b ∈ A son coprimos, i.e., su maximo comun divisor es unaunidad, y si a|bc en A, demuestre que a|c.


1.3. Si A es un anillo y A[[x]] es el anillo de series de potencias formales con coefi-cientes en A, demuestre que

f = a0 +a1x+a2x2 + · · · ∈ A[[x]]

es una unidad si y solo si a0 es unidad de A.

1.4. Si K es un campo, demuestre que K[[x]] es un DFU.

1.5. Sea I ⊆ A un ideal. Considere su radical:√

I := a ∈ A : an ∈ I para algun entero n≥ 1.

Demuestre que:

(i)√

I es un ideal de A.(ii) I ⊆

√I.

(iii)√√

I =√

I.(iv)

√IJ =

√I∩ J =

√I∩√

J. En general, si Ii es una familia finita de idealesde A, demuestre que √⋂

i Ii =⋂

i√

Ii.

(v)√

I + J =√√

I +√

J.(vi) Si p es primo, entonces

√pn = p, para todo entero n≥ 1.

(vii) Se puede definir el radical de cualquier subconjunto E ⊆ A, aun cuando√

Eno es un ideal, en general. Demuestre que√⋃

i Ei =⋃

i√

Ei

para cualquier familia de subconjuntos Ei ⊆ A.(vii)

√I = A si y solo si I = A.

(viii) Si I, J son ideales de A tales que√

I y√

J son coprimos, demuestre que I, Json coprimos.

1.6. Calcule el nilradical del anillo Z/nZ.

1.7. Por el ejercicio 5(iii) se tiene que√√

I =√

I. Un ideal J ⊆ A tal que√

J = J sellama un ideal radical. Ası,

√I es un ideal radical. Demuestre que

√I es el menor

ideal radical que contiene a I.

1.8. Si I A es un ideal propio, demuestre que I es un ideal radical si y solo si I esla interseccion de ideales primos.

1.9. Si I, J son ideales de A, demuestre que

(J : I) := a ∈ A : ax ∈ J para todo x ∈ I ⊆ A

es un ideal de A. Decimos que (J : I) es el ideal que traslada I a J. En el casoparticular cuando J = 0, al ideal (0 : I) que traslada I a 0, se le llama el anulador deI. Demuestre que:


(i) (⋂

i Ji : I) =⋂

i(Ji : I).(ii) (J : ∑i Ii) =

⋂i(J : Ii).

(iii) Si D =⋃

x 6=0(0 : x) es el conjunto de divisores de cero de A, demuestre queD =

⋃x 6=0√(0 : x).

1.10. Si A es un anillo, un elemento a ∈ A se dice que es idempotente si a2 = a.Demuestre que a ∈ A es idempotente si y solo si 1−a es idempotente.

1.11. Si A es un anillo, demuestre que las propiedades siguientes son equivalentes:

(i) A tiene solo un ideal primo.(ii) Todo elemento de A es una unidad o es nilpotente.(iii) A/nilA es un campo.

1.12. Un anillo A se dice que es reducido si nilA = 0. Si A es cualquier anillo con-mutativo, demuestre que A/nilA es reducido.

1.13. Si K es un campo y p(x)∈K[x], demuestre que el anillo K[x]/〈p(x)〉 es reduci-do si y solo si p(x) no es divisible por el cuadrado de algun polinomio no constante.

1.14. Si I ⊆ nilA y u ∈ A es tal que u es una unidad de A/I, demuestre que u esunidad de A.

1.15. Si u es una unidad del anillo A y x ∈ A es nilpotente, demuestre que u+ x esuna unidad de A.

1.16. Si p es un ideal primo de A e I,J son ideales de A tales que I 6⊆ p y J 6⊆ p,demuestre que IJ 6⊆ p.

1.17. Si I ⊆ A es un ideal finitamente generado tal que I = I2, demuestre que Iesta generado por un idempotente, i.e., un e ∈ I tal que e2 = e.

1.18. Si A 6= 0 es un anillo no trivial, demuestre que el conjunto SpecA de idealesprimos de A tiene elementos mınimos con respecto a la inclusion.

1.19. Si φ : A→ B es un morfismo de anillos y si f ∈ A, demuestre que

aφ−1(D( f )) = D(φ( f )).

1.20. Si φ : A→B es un morfismo de anillos y si J⊆B es cualquier ideal, demuestreque

aφ(V (J)) =V (φ−1(J)).

1.21. Si φ : A→ B es un morfismo de anillos y si q ∈ SpecB, muestre que φ induceel monomorfismo φq : A/a

φ(q)→ B/q tal que el diagrama siguiente conmuta

A

φ // B

A/a

φ(q)φq // B/q


con las flechas verticales las canonicas. Demuestre que, para todo f ∈ A se tiene que

φq( f + aφ(q)) = (φ( f )+q).

Concluya que aφ es continua.

1.22. Si φ : A→ B y ψ : B→C son morfismos de anillos, demuestre que

a(ψ φ) = aφ a

ψ.

1.23. Si φ : A→ B es un morfismo de anillos, demuestre que la imagen aφ(SpecB)

es densa en SpecA si y solo si kerφ es nilpotente.

1.24. Sean A un anillo y f ,g ∈ A. Demuestre que

√g⊆

√f ⇔V ( f )⊆V (g)⇔ g ∈

√f .

1.25. Demuestre que un espacio topologico irreducible es conexo. De un contra-ejemplo de espacio conexo que no sea irreducible.

1.26. Demuestre que en un espacio topologico Hausdorff los puntos son los unicossubconjuntos irreducibles.

1.27. Si I,J ⊆ A son ideales, demuestre que

Spec(A/(I∩ J)) = Spec(A/I)∪Spec(A/J).

1.28. Con las mismas hipotesis, ¿quien es Spec(A/(I + J))?

1.29. Si K es algebraicamente cerrado, para los ideales I = 〈x〉⊆K[x,y] y J = 〈x2〉⊆K[x,y], identifique los subconjuntos cerrados (afines) V(I) y V(J). Demuestre quela inclusion 〈x2〉 ⊆ 〈x〉 induce el epimorfismo K[x,y]/〈x2〉 K[x,y]/〈x〉, que a suvez induce la inclusion

V(x) = SpecmK[x,y]/〈x〉 → K[x,y]/〈x2〉= V(x2).

¿Puede identificar, geometricamente, ambos lados de la inclusion anterior?

1.30. Encuentre las tres componentes irreducibles del conjunto algebraico afın dadopor

V(5x2− y3z,xz−5x)⊆ K3.

Capıtulo 2Modulos y algebras

Si A es un anillo, un A-modulo es un grupo abeliano M junto con una accionA×M→M, denotada por (a,x) 7→ ax, que satisface las condiciones siguientes:

(i) a(x+ y) = ax+ay, para a ∈ A, x,y ∈M.(ii) (a+b)x = ax+bx, para a,b ∈ A, x ∈M.(iii) (ab)x = a(bx), para a,b ∈ A, x ∈M.(iv) 1x = x, para 1 ∈ A, x ∈M.

Ejemplo 1. Si K es un campo, un K-modulo es un K-espacio vectorial.

Ejemplo 2. Un Z-modulo es un grupo abeliano.

Ejemplo 3. Todo anillo A es un A-modulo.

Morfismos. Si M, N son A-modulos, un A-morfismo es una funcion f : M→ N quees A-lineal, i.e., que satisface:

f (x+ y) = f (x)+ f (y)

f (ax) = a f (x)

para todo x,y ∈ M y a ∈ A. Si f : M → N es un A-morfismo, diremos que es unepimorfismo si es suprayectivo. Diremos que es un monomorfismo si es inyectivo ydiremos que es un isomorfismo si es biyectivo. En ocasiones usaremos las notacionesM N para un epimorfismo, M N para un monomorfismo y M ' N si hay unisomorfismo entre M y N, en cuyo caso diremos que M y N son isomorfos.

Ejemplo 4. Si M, N son K-espacios vectoriales, un K-morfismo es una transforma-cion K-lineal. Si M, N son grupos abelianos, un Z-morfismo es un homomorfismode grupos. Si f : M→N y g : N→ T son A-morfismos, su composicion g f : M→ Tes un A-morfismo. La funcion identidad id : M→M dada por id(x) = x es un mor-fismo.

Si f ,g : M→ N son dos A-morfismos, su suma f +g : M→ N es la funcion dadapor ( f + g)(x) := f (x)+ g(x). Claramente f + g es un morfismo. Similarmente, si

29

30 2 Modulos y algebras

a ∈ A se define la funcion a f : M→ N mediante (a f )(x) := a f (x) y tambien es unmorfismo. Ası, el conjunto de todos los A-morfismos de M a N, denotado por

HomA(M,N)

es un A-modulo.

Proposicion 2.1 Si M es un A-modulo, se tiene un isomorfismo natural

HomA(A,M)'M.

Demostracion. Defina φ : HomA(A,M)→M enviando un f : A→M a φ( f ) := f (1).ut

Operaciones con modulos. Si M es un A-modulo, un A-submodulo de M es un sub-conjunto N ⊆M tal que es modulo con las operaciones de M. Ası, N es submodulode M si y solo si N ⊆M es un subgrupo aditivo y es cerrado bajo multiplicacion porlos escalares de A.

Si N ⊆ M es un submodulo, se define el modulo cociente M/N como el grupoabeliano aditivo de clases laterales de N en M con la estructura de A-modulo dadapor: a(x+N) := ax+N, para a ∈ A y x+N ∈M/N. La funcion ρ : M M/N dadapor ρ(x) := x+N es un morfismo suprayectivo.

Si f : M→ N es un A-morfismo, su nucleo es

ker f := x ∈M : f (x) = 0

y su imagen esIm( f ) := f (x) ∈ N : x ∈M.

Ambos son submodulos de los modulos correspondientes. El conucleo de f es

Coker( f ) := N/ Im f

y la coimagen de f esCoim( f ) := M/ker f ,

sin embargo la coimagen no es muy interesante en este caso porque se tiene elresultado siguiente:

Teorema 2.2 (Noether) Si f : M→ N es un A-morfismo, entonces f induce un iso-morfismo f : M/ker f → Im f tal que le diagrama siguiente conmuta:

Mf //

ρ

Im f ⊆ N

M/ker ff

99

2 Modulos y algebras 31

Demostracion. Si x+ ker f ∈ M/ker f , se define f (x+ ker f ) := f (x). Se muestrafacilmente que f esta bien definida, hace conmutar el diagrama, i.e., f ρ = f y esun isomorfismo. ut

Interseccion y suma de modulos. Si Mii∈Γ es una familia de A-modulos, suinterseccion

⋂i∈Γ Mi es un submodulo de cada Mi. Si todos los Mi son submodulos

de un A-modulo M, se define la suma ∑i∈Γ Mi como el conjunto

∑i∈Γ

Mi :=

∑i xi ∈M : sumas finitas con xi ∈Mi

que claramente es un A-modulo y es el menor submodulo de M que contiene a todoslos Mi.

Si S es un subconjunto de un A-modulo M, la interseccion de todos los submodu-los de M que contienen a S es un submodulo de M y se dice que es el submodulogenerado por el conjunto S y se denota por 〈S〉, y se dice que los elementos de S sonlos generadores de 〈S〉. Claramente,

〈S〉=

∑i aixi : sumas finitas con ai ∈ A y xi ∈ S.

Si S = x1, . . . ,xn es un conjunto finito, escribiremos 〈S〉= 〈x1, . . . ,xn〉, y diremosque 〈S〉 es un submodulo finitamente generado. En particular, si S = x, observeque 〈x〉= Ax = ax : a ∈ A y por lo tanto, si S = x1, . . . ,xn, entonces

〈x1, . . . ,xn〉=n

∑i=1

Axi.

Producto directo y suma directa de modulos. Si Mii∈Γ es una familia de A-modulos, su producto directo es el conjunto

∏i∈Γ

Mi :=(xi) : xi ∈Mi para todo i ∈ Γ

de todas las Γ -adas ordenadas con xi ∈ Mi para cada i ∈ Γ y con las operacionesdefinidas componente a componente, i.e.,

(xi)+(yi) := (xi + yi)

a(xi) := (axi).

Se tienen epimorfismos naturales pi : ∏i Mi Mi definidos por las proyeccionespi(xi) = xi en el i-esimo factor.

La suma directa de la familia anterior es el conjunto⊕i∈Γ

Mi :=(xi) ∈∏

iMi : con casi todos los xi = 0


donde por ((casi todos)) queremos decir ((todos, excepto por un numero finito)). Lasoperaciones en la suma directa definen tambien componente a componente. Se tie-nen monomorfismos naturales i j : M j

⊕M j definidos, para x j ∈M j, por las inclu-

siones i j(x j) = (. . . ,0,x j,0, . . .), es decir, la Γ -ada con 0 en todas las componentesexcepto en la componente j-esima donde se tiene a x j. Observe que si el conjuntode ındices Γ es finito, entonces ∏i∈Γ Mi '

⊕i∈Γ Mi.

Si L =⊕

i∈Γ A es una suma directa de copias del anillo A indexadas por Γ , di-remos que L es un A-modulo libre. En general, cualquier A-modulo L isomorfo auna suma directa de la forma

⊕i∈Γ A se dira que es un modulo libre. En ocasiones

usaremos la notacionA(Γ ) :=

⊕i∈Γ

A.

Note que los elementos de A(Γ ) se pueden expresar en forma unica como sumasfinitas de la forma

∑i

aiγi con ai ∈ A y γi ∈ Γ

donde Aγi ' A para todo γi ∈ Γ . A los elementos de Γ se les llama los generadoresdel modulo libre A(Γ ). Observe que todo A-modulo M es cociente de un A-modulolibre ya que se tiene el epimorfismo A(M) M dado enviando un generador x ∈Ma sı mismo. Cuando Γ = 1, . . . ,n, usaremos la notacion An para la suma directa⊕n

i=1 A de n copias de A.

Sucesiones exactas. Una sucesion de A-modulos y A-morfismos

· · · →Mi−1fi−1−→Mi

fi−→Mi−1→ ···

se dice que es exacta en Mi si Im fi−1 = ker fi. Diremos que es una sucesion exactasi lo es en cada Mi.

Lema 2.3 (1) Una sucesion 0→M′f−→M es exacta si y solo si f es inyectivo.

(2) Una sucesion Mg−→M′′→ 0 es exacta si y solo si g es suprayectivo.

(3) Si N ⊆M es un submodulo, se tiene la sucesion exacta

0→ Ni→M

ρ−→M/N→ 0

donde i : N → M es la inclusion de N en M, que obviamente es un morfismo, yρ : M→M/N es el epimorfismo canonico.

Demostracion. Todo es obvio. ut

Una sucesion exacta de la forma

0→M′→M→M′′→ 0

se dice que es una sucesion exacta corta.


El lema del quinto y el lema de la serpiente. Los dos resultados siguientes, quecombinan la conmutatividad de unos diagramas con la exactitud de los renglonescorrespondientes, a pesar de ser elementales seran de gran utilidad en seccionessubsiguientes.

Proposicion 2.4 (El lema de la serpiente) Dado el diagrama conmutativo siguien-te, con renglones exactos:

M′

α

f // M

β

g // M′′

γ

// 0

0 // N′f ′// N

g′// N′′

Existe una sucesion exacta de la forma

kerαf−→ kerβ

g−→ kerγδ−→ Cokerα

f ′−→ Cokerβg′−→ Cokerγ

donde los morfismos entre nucleos son las restricciones de f y g y los morfismosentre conucleos son los inducidos por f ′ y g′. Mas aun, si f es inyectiva, entoncesf tambien lo es, y si g es suprayectiva entonces g tambien lo es. El morfismo δ sellama el morfismo de conexion o de frontera.

Demostracion. El punto importante es la definicion del morfismo de conexion δ :kerγ → Cokerα . Dado x′′ ∈ kerγ , como g es suprayectivo existe un x ∈M tal queg(x) = x′′. Por la conmutatividad del cuadrado de la derecha g′β (x) = γg(x) = γx′′=0 y por lo tanto βx ∈ kerg′ = Im f ′ (por la exactitud del renglon inferior); por lotanto, existe un unico y′ ∈ N′ tal que f ′(y′) = βx (es unico porque f ′ es inyectivo).Ahora, como Cokerα = N′/ Imα , entonces y′ ∈ Cokerα . Se ((define)) δ (x) := y′.Note que en la ((definicion)) de δ (x) hay un punto donde se tiene que hacer unaeleccion (cuando se usa que g es suprayectivo). Supongamos que z ∈ M tambiensatisface que g(z) = x′′. Entonces, x− z ∈ kerg = Im f (por la exactitud del renglonsuperior) y ası existe un unico x′ ∈M′ tal que f x′ = x− z. Se sigue que

β (x)−β (z) = β (x− z) = β ( f x′) = f ′αx′ ∈ Im f ′ = kerg′

y como f ′−1β (x) = y′ entonces

y′− f ′−1(β z) = f ′−1

(βx)− f ′−1(β z) = f ′−1 f ′αx = αx

es decir, y′ difiere de la otra eleccion f ′−1(β z) por un elemento de Imα , i.e., y′

esta bien definida en el cociente N′/ Imα = Cokerα , como se querıa. Resumiendo,δ esta bien definido y, abusando de la notacion, su definicion es δx′′ := f ′−1

βg−1x′′,que en un diagrama se ve como:


x

β

x′′g−1oo

y′ βxf ′−1oo

que, con un poco de imaginacion, recuerda a una serpiente. La verificacion de quela sucesion del enunciado es exacta, es rutina. ut

Proposicion 2.5 (El lema del quinto) Dado el diagrama conmutativo siguiente,con renglones exactos

M1 //

f1

M2

f2

// M3

f3

// M4

f4

// M5

f5

N1 // N2 // N3 // N4 // N5

(1) Si f2 y f4 son suprayectivas, f5 es inyectiva, entonces f3 es suprayectiva.(2) Si f2 y f4 son inyectivas, f1 es suprayectiva, entonces f3 es inyectiva.(3) Si f1, f2, f4 y f5 son biyectivas, entonces f3 es biyectiva.

Demostracion. Etiquete las flechas horizontales y cacerıa en el diagrama. ut

Propiedades de exactitud del Hom. Si f : M′→M es un A-morfismo y N es cual-quier A-modulo, entonces f induce un A-morfismo

f ∗ : HomA(M,N)→ HomA(M′,N)

definido, para α ∈ HomA(M,N) mediante f ∗(α) = α f : M′f−→ M α−→ N. Se

verifica directamente que f ∗ es un morfismo. Similarmente, si f : N → N′ es unmorfismo y M es cualquier modulo, entonces f induce el morfismo

f∗ : HomA(M,N)→ HomA(M,N′)

definido, para α ∈ HomA(M,N) mediante f∗(α) = f α : M α−→ Nf−→ N′.

Lema 2.6 (1) Si M′f−→M

g−→M′′ son morfismos y N es otro modulo, entonces

(g f )∗ = f ∗ g∗ : HomA(M′′,N)g∗−→ HomA(M,N)

f ∗−→ HomA(M′,N).

(2) Si N′f−→ N

g−→ N′′ son morfismos y M es otro modulo, entonces

(g f )∗ = g∗ f∗ : HomA(M,N′)f∗−→ HomA(M,N)

g∗−→ HomA(M,N′′).

Demostracion. Calculos directos. ut


Teorema 2.7 (1) Si 0→M′f−→M

g−→M′′→ 0 es una sucesion exacta y N es otromodulo, entonces la sucesion siguiente es exacta:

0→ HomA(M′′,N)g∗−→ HomA(M,N)

f ∗−→ HomA(M′,N).

(2) Si 0→N′f−→N

g−→N′′→ 0 es exacta y M es otro modulo, entonces la sucesionsiguiente es exacta:

0→ HomA(M,N′)f∗−→ HomA(M,N)

g∗−→ HomA(M,N′′).

Demostracion. (2): Primero, f∗ es inyectiva ya que si f∗(α) = 0, entonces f α =0 : M→ N, i.e., para todo x ∈M se tiene que f (α(x)) = 0 y como f es inyectivo,esto implica que α(x) = 0 para todo x ∈ M, i.e., α = 0. Segundo, mostraremosque Im f∗ ⊆ kerg∗, o lo que es lo mismo, mostraremos que g∗ f∗ = 0. Pero comog∗ f∗ = (g f )∗ y como Im f = kerg por hipotesis, entonces g f = 0 y por lotanto g∗ f∗ = (g f )∗ = 0∗ = 0. Finalmente, mostraremos que kerg∗ ⊆ Im f∗. Enefecto, dado β ∈ kerg∗ se tiene que 0 = g∗(β ) = gβ y ası para toda x ∈M se tieneque g(β (x)) = 0, i.e., β (x) ∈ kerg y por la exactitud de la sucesion de la hipotesis,β (x) ∈ kerg = Im f , existe x′ ∈ N′ tal que f (x′) = β (x). Como f es inyectiva, estax′ ∈ N′ es unica con la propiedad de que f (x′) = β (x). Definimos la funcion α ∈HomA(M,N′) mediante α(x) = x′ y se verifica facilmente que es un morfismo. Noteentonces que f∗(α) = f α : M→ N′→ N satisface que para todo x ∈M,

( f α)(x) = f (α(x)) = f (x′) = β (x)

y por lo tanto f∗(α) = f α = β , i.e., β ∈ Im f∗, i.e., kerg∗ ⊆ Im f∗, como se querıa.La parte (1) se demuestra en forma similar. ut

Producto tensorial de modulos. Sean M,N,P tres A-modulos. Una funcion A-bilineal f : M×N→ P es una funcion que es A-lineal en cada una de sus dos varia-bles, es decir, fijando la segunda variable, digamos y∈N, la funcion f (−,y) : M→Pes un A-morfismo, y similarmente fijando la primera variable, f (x,−) : N → P esun A-morfismo. Podemos entonces considerar el conjunto de todas las funcionesA-bilineales anteriores, al que denotaremos por

BilA(M×N,P)

y nos preguntamos por la existencia de un solo A-modulo, digamos T , tal que lasfunciones A-bilineales f : M×N→ P correspondan a funciones A-lineales f : T →P, de tal forma que

(∗) BilA(M×N,P) ∼−→ HomA(T,P)

(diremos en este caso que T linealiza las funciones bilineales con dominio M×N.)La respuesta a esta pregunta es afirmativa: existe un tal modulo T y es unico con la


propiedad (∗) anterior. En efecto, sean M y N dos A-modulos y sea L el A-modulolibre A(M×N). Entonces, los elementos de L son sumas finitas de la forma

∑i

ai(xi,yi) con ai ∈ A y (xi,yi) ∈M×N.

Sea R⊆ L el submodulo generado por los elementos de la forma:

(x+ x′,y)− (x,y)− (x′,y)

(x,y+ y′)− (x,y)− (x,y′)

(ax,y)−a(x,y)

(x,ay)−a(x,y)

y sea T := L/R. Para cada elemento basico (x,y)∈M×N ⊆ L = A(M×N) denotemoscon x⊗y a su clase lateral (x,y)+R en T = L/R. Entonces, T esta generado por losx⊗ y, y la funcion

φ : M×N→ T

dada por φ(x,y) := x⊗ y es A-bilineal, ya que, por ejemplo,

(x+ x′)⊗ y = (x+ x′,y)+R = (x,y)+(x′,y)+ [(x+ x′,y)− (x,y)− (x′,y)]+R

la ultima igualdad es porque el termino entre parentesis es uno de los generadores deR. Similarmente para las otras igualdades necesarias para mostrar que φ es bilineal.Hemos ası construido un A-modulo T y una funcion A-bilineal φ : M×N → T . Elpar (T,φ) satisface la propiedad universal siguiente:

Proposicion 2.8 Si P es cualquier A-modulo y si f : M×N → P es una funcionA-bilineal, entonces existe un unico A-morfismo f : T → P que hace conmutar eldiagrama siguiente

M×N

φ

f // P

Tf

<<

es decir, f φ = f .

Demostracion. Como f esta definida en los basicos del modulo libre L, entonces fse puede extender por linealidad a todo L. Ahora, como f es A-bilineal, entoncesse anula en los generadores de R y ası en todo R. Pasando al cociente f induce elA-morfismo f : T → P. Las definiciones hacen evidente que el diagrama conmuta.Finalmente, si h : T →P es tal que hφ = f , restringiendo a los generadores se tieneque f (x,y) = hφ(x,y) = h(x⊗ y) por lo que h coincide con f en los generadoresx⊗ y de T y por lo tanto h = f en todo T . ut

Note que otra forma de leer esta proposicion es que a cada funcion bilinealf : M×N → P le corresponde en forma unica una funcion lineal f : T → P, la


correspondencia dada con el auxilio de la funcion bilineal φ : M×N→ T . Equiva-lentemente, la proposicion nos dice que para dar una funcion lineal con dominio Tbasta dar una funcion bilineal con dominio M×N. Esto nos dice que:

Corolario 2.9 Existe un isomorfismo entre BilA(M×N,P) y HomA(T,P), dado porf 7→ f φ , es decir, la correspondencia (∗). El A-modulo T anterior es unico, salvoisomorfismo.

Demostracion. Solo resta probar que si T ′ y una funcion bilineal ψ : M×N →T ′ satisfacen lo enunciado en la proposicion anterior, con T ′ reemplazando T y ψ

reemplazando φ , entonces T ' T ′. En efecto, para el caso especial de la funcionA-bilineal φ : M×N→ T se tiene que, por la propiedad anterior de T ′ y ψ , que eldiagrama del lado izquierdo siguiente conmuta

M×N

ψ

φ // T M×N

φ

ψ // T ′

T ′φ

<<

Tψ

<<

Similarmente, por la propiedad de T y la funcion φ (de la proposicion anterior),para la funcion A-bilineal ψ : M×N→ T ′, se tiene que el diagrama del lado dere-cho anterior conmuta. Entonces, considerando la composicion ψ φ se tiene que eldiagrama del lado izquierdo siguiente conmuta:

M×N

ψ

ψ // T ′ M×N

φ

φ // T

T ′ψφ

<<

Tφψ

<<

Similarmente para el diagrama del lado derecho. Pero como las funciones idT ′ e idThacen conmutar los diagramas respectivos, por la unicidad de las funciones marca-das con flechas punteadas se debe tener que ψ φ = idT ′ y φ ψ = idT , es decirT ' T ′. ut

Gracias al corolario anterior, si M,N son dos A-modulos, el modulo T es unico,salvo isomorfismo, y lo podemos denotar entonces por T = M⊗A N, y decimos queT es el producto tensorial de M y N. A la aplicacion bilineal φ : M×N→M⊗A Nla llamaremos la aplicacion canonica del producto tensorial. Note que T = M⊗A Nesta generado por los elementos (llamados tensores) de la forma x⊗ y con (x,y) ∈M×N. Si el anillo A no cambia en toda la discusion, escribiremos M⊗N en lugarde M ⊗A N. Observe que, en virtud de la bilinealidad de la aplicacion canonicaφ : M×N→M⊗N, se tienen relaciones como

(ax+by)⊗ z = a(x⊗ z)+b(y⊗ z).

Las propiedades siguientes son inmediatas:


Proposicion 2.10 (1) Si M es cualquier A-modulo, entonces

M⊗A A'M.

(2) Si M y N son A-modulos, entonces existe un isomorfismo natural

M⊗A N ' N⊗A M.

(3) Si M, N, P son A-modulos, se tiene un isomorfismo natural

M⊗A (N⊗A P)' (M⊗A N)⊗A P.

Demostracion. Estas propiedades se prueban facilmente, por ejemplo para (2) ob-serve que la aplicacion φ : M×N → N ⊗A M dada por φ(v,w) = w⊗ v es bili-neal y ası por la propiedad del producto tensorial induce una unica funcion linealφ : M⊗A N→ N⊗A M tal que φ(v⊗w) = w⊗ v. Similarmente se tiene una aplica-cion lineal ψ : N⊗A M→M⊗A N tal que ψ(w⊗v) = v⊗w, y se prueba facilmenteque φ y ψ son inversas una de la otra. ut

Propiedades de exactitud del producto tensorial. Si f : M → N y g : M′ → N′

son A-morfismos, entonces la funcion f × g : M×M′ → N ⊗A N′ dada por ( f ×g)(x,x′) = f (x)⊗g(x′) es A-bilineal y por lo tanto induce un A-morfismo

f ⊗g : M⊗A M′→ N⊗N′

tal que ( f ⊗g)(x⊗ x′) = f (x)⊗g(x′).

Si M′f ′−→M

f−→M′′ y N′g′−→ N

g−→ N′′ son A-morfismos, entonces en

M′⊗N′f ′⊗g′−→ M⊗N

f⊗g−→M′′⊗N′′

se tiene que ( f ⊗ g) ( f ′⊗ g′) = ( f f ′)⊗ (g g′) ya que ambas funciones tienenlos mismos valores en x⊗ y.

Teorema 2.11 Si 0→M′f−→M

g−→M′′→ 0 es una sucesion exacta y N es otromodulo, entonces

M′⊗A Nf⊗id // M⊗A N

g⊗id // M′′⊗A N // 0

es exacta.

Demostracion. Para mostrar que Im( f ⊗ id) ⊆ ker(g⊗ id) debemos mostrar que(g⊗ id)( f ⊗ id) = 0. Pero, por el parrafo previo al enunciado, (g⊗ id) ( f ⊗ id) =(g f )⊗ id = 0, la ultima igualdad porque g f = 0. Para mostrar que ker(g⊗ id)⊆Im( f ⊗ id), considere el diagrama siguiente


M′⊗A Nf⊗id // M⊗A N

g⊗id //

ρ

M′′⊗A N // 0

(M⊗A N)/ Im( f ⊗ id)

φ

66

donde ρ es epimorfismo canonico y note que, como Im( f ⊗ id)⊆ ker(g⊗ id), enton-ces g⊗ id induce el morfismo φ por paso al cociente, i.e., el triangulo en el diagramaconmuta. Mostraremos que φ es un isomorfismo, y note que una vez hecho esto setiene que

ker(g⊗ id) = ker(φ ρ) = ker(ρ) = Im( f ⊗ id)

que es lo que se querıa. Para mostrar que φ es un isomorfismo, construiremos suinversa, ψ : M′′⊗A N → (M⊗A N)/ Im( f ⊗ id) como sigue: defina p : M′′×N →(M⊗A N)/ Im( f ⊗ id) para (x′′,y) ∈ M′′×N escogiendo para x′′ ∈ M′′ un x ∈ M(porque g es suprayectiva) tal que g(x) = x′′ y poniendo p(x′′,y) := x⊗ y. Se ve-rifica facilmente que p esta bien definida, es bilineal y el morfismo ψ que inducees inverso de φ . Resta mostrar que g⊗ id es suprayectiva y para esto note que si∑x′′i ⊗ yi ∈M′′⊗A N, como g es suprayectiva existen xi ∈M tales que g(xi) = x′′i , yse tiene que

(g⊗ id)(∑xi⊗ yi

)= ∑g(xi)⊗ yi = ∑x′′i ⊗ yi.

ut

Teorema 2.12 (El isomorfismo de adjuncion) Si M,N,P son A-modulos, se tieneun isomorfismo natural

ϕ : HomA(M⊗A N,P) '−→ HomA(M,HomA(N,P)).

Demostracion. Para α ∈ HomA(M⊗A N,P) defina ϕ(α) : M → HomA(N,P) co-mo la funcion que asigna a x ∈ M el morfismo ϕ(α)(x) : N → P dado, paray ∈ N, como ϕ(α)(x)(y) := α(x⊗ y). Es claro que, tanto ϕ(α) como ϕ son A-morfismos. Para mostrar que ϕ es inyectivo, supongamos que ϕ(α) = 0, i.e., paratodo x ∈ M, ϕ(α)(x) = 0, i.e., para todo y ∈ N, 0 = ϕ(α)(x)(y) = α(x⊗ y), paratodo x⊗ y ∈ M×A N, y por lo tanto α = 0. Para mostrar que ϕ es suprayectiva,dado f : M→ HomA(N,P), defina α : M×N→ P mediante α(x,y) := f (x)(y). Severifica directamente que α es bilineal y por lo tanto induce α : M⊗A N→ P tal queϕ(α) = f . ut

Planitud. En el teorema 2.11, no necesariamente f ⊗ id es inyectivo, por ejemplo,dada la sucesion de Z-modulos

0→ Z f−→ Z ρ−→ Z/nZ→ 0

donde f es multiplicacion por n≥ 2, i.e., f (x) = nx, y ρ es el epimorfismo canoni-co, claramente esta es una sucesion exacta corta. Sin embargo al tensorar conN = Z/nZ, el morfismo


Z⊗ZZ/nZ f⊗id−→ Z⊗ZZ/nZ

no es inyectivo, porque para todo x⊗ y ∈ Z⊗ZZ/nz se tiene que

( f ⊗ id)(x⊗ y) = f (x)⊗ id(y) = nx⊗ y = x⊗ny = x⊗0 = 0

y ası f ⊗ id es el morfismo cero pero Z⊗ZZ/nZ' Z/nZ 6= 0.

Un A-modulo N se dice que es plano si para toda sucesion exacta de A-modulosde la forma

0→M′f−→M

g−→M′′→ 0

se tiene que la sucesion

0→M′⊗A Nf⊗id−→M⊗A N

g⊗id−→M′′⊗A N→ 0

es exacta.

Ejemplo 5. El anillo A, considerado como A-modulo, es plano. Esto se sigue de lapropiedad (1) en 2.10. En general, como el producto tensorial conmuta con sumasdirectas (vea el ejercicio 3), entonces todo modulo libre es plano. Como vimos antes,el Z-modulo Z/2Z no es plano. En general, todo grupo abeliano de torsion no esplano.

El resultado siguiente nos dice que para verificar si un modulo es plano, bastaverificar la condicion de la definicion para modulos finitamente generados:

Proposicion 2.13 Sea M un A-modulo. Entonces, M es plano si y solo si para todomonomorfismo 0→ N′0 → N0 con N′0,N0 finitamente generados, la sucesion 0→M⊗A N′0→M⊗A N0 es exacta.

Demostracion. Para la implicacion no trivial, supongamos que 0→N′f−→N es una

sucesion exacta de A-modulos arbitrarios y supongamos que z = ∑xi⊗yi ∈M⊗A N′

es tal que (id⊗ f )(z) = 0. Sea N′0 el submodulo de N′ generado por los yi anteriores,por lo que N′0 es finitamente generado.

Como 0 = (id⊗ f )(∑xi ⊗ yi) = xi ⊗ f (yi) ∈ M ⊗A N, recordando que M ⊗AN = AM×N/R (vea la construccion antes de 2.8), entonces ∑(xi, f (yi)) ∈ R yası ∑(xi, f (yi)) es una suma finita de los generadores de R. Sea N0 ⊆ N el submodu-lo generado por los f (yi) y los elementos de N que ocurren como segundas coor-denadas de los generadores de R en la expresion de ∑(xi, f (yi)) como suma finitade generadores de R. Entonces, N0 es finitamente generado y ∑xi⊗ f (yi) = 0 en

M⊗A N0. Entonces, 0→ N′0f−→ N0 es exacta con N′0 y N0 finitamente generados y

ası, por hipotesis, M⊗A N′0id⊗ f−→M⊗A N0 es inyectiva y como z=∑xi⊗yi ∈M⊗A N′0

es tal que (id⊗ f )(z) = 0, entonces z = 0. ut

Modulos fielmente planos. Como vimos en el parrafo anterior, los modulos Z/2Zy Z/3Z, por ejemplo, no son planos. Peor aun, note que


Z/2Z⊗ZZ/3Z= 0

porque el uno del lado izquierdo es el 3 que es cero en el lado derecho y el −1 dellado derecho es el 2 que es cero del lado izquierdo. Un A-modulo M se dice que esfielmente plano si es plano y para todo A-modulo N, la igualdad M⊗A N = 0 implicaque N = 0.

Proposicion 2.14 Sea M un A-modulo. Las propiedades siguientes son equivalen-tes:

(1) M es fielmente plano.

(2) Una sucesion de A-modulos

(∗) 0→ N′f−→ N

g−→ N′′→ 0

es exacta si y solo si la sucesion

0 // M⊗A N′id⊗ f // M⊗A N

g id⊗g // M⊗A N′′ // 0

es exacta.

Demostracion. (1)⇒ (2): Como M es plano, la exactitud de (∗) implica la exactitudal tensorar con M. Recıprocamente, supongamos que la sucesion obtenida al tenso-rar (∗) con M es exacta. Queremos probar que (∗) es exacta. Primero mostraremosque f es inyectivo. En efecto, sea N0 = ker f . La exactitud de la sucesion obtenidaal tensorar con M implica que 0 = ker(id⊗ f ) = M⊗A N0 y como M es fielmenteplano, la igualdad anterior implica que N0 = 0, i.e., ker f = 0, como se querıa. Enforma analoga se demuestra la exactitud de (∗) en los otros lugares.

(2) ⇒ (1): Claramente (2) implica que M es plano. Supongamos ahora que M⊗AN = 0 y considere la sucesion

(†) 0→ N→ 0→ 0→ 0

y note que al tensorar esta sucesion con M se obtiene la sucesion exacta

0→ 0→ 0→ 0→ 0

porque M⊗A N = 0 por hipotesis. Por (2) la exactitud de esta ultima sucesion implicala exactitud de (†), lo cual solo es posible si N = 0. ut

Algebras. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo, defina laaccion de A en M mediante a · x := f (a)x, para a ∈ A, x ∈ M y donde f (a)x es laaccion dada de f (a) ∈ B en x ∈M. Dejamos como el ejercicio 12 el probar que conesta accion, M es un A-modulo. Diremos entonces que el B-modulo M se vuelve unA-modulo por cambio de anillos o restriccion de escalares. En particular, el anillo Bmismo es un A-modulo por cambio de anillos usando f . Ası, B tiene dos estructurasalgebraicas, es un anillo y un A-modulo y ambas estructuras son compatibles (comoel grupo aditivo es el mismo, lo anterior se refiere solo al producto, y para probar


esta compatibilidad, suponga que b ∈ B esta en la imagen de f , es decir, b = f (a)con a ∈ A, entonces, para todo x ∈ B, a · x := f (a)x = bx, donde a la izquierda setiene el producto como modulo y a la derecha como anillo). En la situacion anterior,se dice que B es una A-algebra, es decir, una A-algebra es un anillo B junto conun morfismo de anillos f : A→ B. Si B y C son dos A-algebras, un morfismo de A-algebras φ : B→C es un morfismo de anillos tal que el diagrama siguiente conmuta:

Af

g

B

φ

// C

es decir, φ f = g. Note que como el anillo A actua en B y C mediante los mor-fismos f : A→ B y g : A→ C, respectivamente, si φ : B→ C es un morfismo deA-algebras, entonces para todo a ∈ A y x ∈ B se tiene que φ(ax) = aφ(x), lo cualpuesto explıcitamente en terminos de f y g quiere decir

φ( f (a)x) = g(a)φ(x)

porque ax = f (a)x y aφ(x) = g(a)φ(x). Note que poniendo x = 1 en la igualdadanterior se obtiene la conmutatividad del diagrama de arriba.

Ejemplo 6. Todo anillo A es unaZ-algebra ya que se tiene el morfismo naturalZ→Bque manda 1 ∈ Z al 1 ∈ B y ası n ∈ Z va a dar al n ·1 ∈ B.

Ejemplo 7. Observe que si K es un campo y A es una K-algebra (no trivial, i.e., A 6=0), el morfismo K→A es inyectivo (a menos que A= 0, por supuesto) y ası podemosidentificar a K con su imagen en A y pensar que K es un subanillo de A. La K-algebramas importante en geometrıa algebraica es la K-algebra de polinomios K[x1, . . . ,xn].

Producto tensorial de algebras. Si k es un anillo y A,B son dos k-algebras, enparticular son k-modulos (por cambio de anillos, vea el ejercicio 12) y ası podemosconsiderar su producto tensorial A⊗k B que es un k-modulo y de hecho es una k-algebra. En efecto, para comenzar es un anillo, es decir, se tiene un producto

µ : (A⊗k B)× (A⊗k B)→ A⊗k B

que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene uno. Para definir µ ,observe que se tiene una funcion A×B×A×B→ A⊗k B dada por (a,b,a′,b′) 7→aa′⊗bb′ que es k-lineal en cada una de sus variables y por lo tanto (vea el ejercicio10) induce un k-morfismo A⊗k B⊗k A⊗k B→ A⊗k B, que podemos escribir como

(A⊗k B)⊗k (A⊗k B)→ A⊗k B

que a su vez, por 2.9, corresponde a una funcion k-bilineal


µ : (A⊗k B)× (A⊗k B)→ A⊗k B

tal que µ(a⊗b,a′⊗b′) = aa′⊗bb′. Se verifica facilmente que A⊗k B es un anillocon la multiplicacion µ y de hecho es un k-modulo. Observe ahora que si f : B→A⊗k B y g : A→ A⊗k B son los morfismos dados por f (b) = 1⊗b y g(a) = a⊗1,entonces el cuadrado siguiente conmuta, i.e., g f = g f :

kf //

g

A

g

B

f// A⊗k B

En efecto, en A⊗k B la estructura de k-modulo esta dada por

r · (a⊗b) = (ra)⊗b := ( f (r)a)⊗b

= a⊗ (rb) := a⊗ (g(r)b)

y asıg f (r) = f (r)⊗1 = 1⊗g(r) = f g(r).

Observe tambien que A⊗k B es una k-algebra, con la estructura definida por el mor-fismo de anillos k→ A⊗k B dado por a 7→ f (a)⊗1 = 1⊗g(a), donde f : k→ A yg : k→ B, son los morfismos de anillos que dan a A y B las estructuras de k-algebrasrespectivas. A continuacion mostramos que A⊗k B junto con los morfismos f y gestan unıvocamente determinados:

Proposicion 2.15 (Propiedad universal del producto tensorial de algebras) Si Ay B son dos k-algebras con morfismos estructurales f : k→ A y g : k→ B, entoncesla terna (A⊗k B, f , g) que hace conmutativo el cuadrado del diagrama anterior estal que, si M es otra k-algebra junto con morfismos φ : A→M y ψ : B→M talesque f φ = ψ g, entonces existe un unico morfismo ϑ : A⊗k B→ M tal que lostriangulos laterales del diagrama siguiente conmutan, i.e., ϑ g = φ y f ϑ = ψ:

kf //

g

A

g φ

Bf //

ψ //

A⊗k B

ϑ

""M

Demostracion. Defina θ : A×B→M mediante θ(a,b) := φ(a)ψ(b) y observe queθ es k-bilineal y ası, por la propiedad universal del producto tensorial 2.8, induceun morfismo ϑ : A⊗k B→M tal que ϑ(a⊗b) = φ(a)φ(b). Entonces, si a ∈ A,

ϑ g(a) = ϑ(a⊗1) = φ(a)ψ(1) = φ(a)

y si b ∈ B,


ϑ f (b) = ϑ(1⊗b) = φ(1)ψ(b) = ψ(b)

es decir, los dos triangulos conmutan.Ahora, si ξ : A⊗k B→M es otro morfismo tal que ξ g= φ y ξ f =ψ , entonces

para todo generador a⊗b de A⊗k B, escribiendo

a⊗b = (a⊗1)(1⊗b) = g(a) f (b)

(usando el producto µ definido arriba), se tiene que

ξ (a⊗b) = ξ (g(a) f (b)) = ξ (g(a))ξ ( f (b) = φ(a)ψ(b) = ϑ(a⊗b)

i.e., ξ = ϑ . ut

Conjuntos algebraicos afines y K-algebras. La algebra mas importante en geo-metrıa algebraica, es la K-algebra de polinomios K[x1, . . . ,xn], con K algebraica-mente cerrado. En en capıtulo 1, en las secciones sobre conjuntos algebraicos afi-nes, le hemos asociado a cada ideal I ⊆ K[x1, . . . ,xn] el conjunto algebraico afınV(I) ⊆ Kn, ya sea como el conjunto de ideales maximos de K[x1, . . . ,xn] que con-tienen a I (que por 1.10 corresponde al conjunto de ideales maximos del cocienteK[x1, . . . ,xn]/I) o, equivalentemente, como el conjunto de puntos de Kn que sonceros comunes de todos los polinomios de I:

V(I) = m ∈ SpecmK[x1, . . . ,xn] : m⊇ I= Specm(K[x1, . . . ,xn]/I)

= (a1, . . . ,an) ∈ Kn : f (a1, . . . ,an) = 0 para todo f ∈ I

y es esta ultima interpretacion la que permite visualizar estos objetos algebraicoscomo objetos geometricos: conjuntos algebraicos afines.

Anillos de coordenadas. Ası como el anillo K[x1, . . . ,xn] esta naturalmente asocia-do al espacio afın Kn, a cada variedad algebraica V ⊆ Kn se le asocia, en formanatural, su anillo de coordenadas afın identificando los polinomios que definen lamisma funcion en V , es decir, se define

K[V ] := K[x1, . . . ,xn]/I(V ).

Observacion. Los elementos φ del anillo de coordenadas K[V ] de una K-variedadV ⊆Kn se pueden considerar como funciones φ : V →K, ya que si φ = f +I∈K[V ],con f ∈ K[x1, . . . ,xn], para P = (a1, . . . ,an) ∈V se define

φ(P) := f (a1, . . . ,an),

y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral φ , yaque si g es otro tal representante, se tiene que f − g ∈ I(V ) y ası f (a1, . . . ,an)−g(a1, . . . ,an) = 0, para todo (a1, . . . ,an) ∈V .


Ejemplo 8. Las coordenadas xi ∈ K[V ] = K[x1, . . . ,xn]/I(V ) las podemos ver comofunciones xi : V → K que asignan a cada punto P = (a1, . . . ,an) ∈ V su i-esimacoordenada xi(P) := ai.

Observacion. El anillo K[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene alas funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos comofunciones constantes).

Una consecuencia directa de 1.26 es:

Corolario 2.16 Un subconjunto algebraico afın V ⊆ Kn es irreducible si y solo sisu anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero. ut

Morfismos entre variedades afines. Ya que hemos definido variedades algebraicasafines, para poder compararlas necesitamos definir morfismos entre ellas, donde laidea es pensar a un morfismo como una funcion definida por polinomios o cocientesde ellos. Para formalizar esto comenzamos definiendo las funciones regulares en unavariedad afın, analogas a las funciones holomorfas en una superficie de Riemann.

Aplicaciones polinomiales. Si V ⊆ Kn y W ⊆ Km son conjuntos algebraicos afi-nes, una funcion f : V →W se dice que es una aplicacion polinomial si existenpolinomios f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . ,xn] tales que para todo punto P ∈V se tiene que

f (P) =(

f1(P), . . . , fm(P)).

Observe que si W = K1 = K, una aplicacion polinomial f : V →W = K es unelemento del anillo de coordenadas K[V ], vistos estos como funciones V → K.

Proposicion 2.17 Sean V ⊆ Kn, W ⊆ Km conjuntos afines. Denotemos medianteK[x1, . . . ,xn] y K[y1, . . . ,ym] a los anillos polinomiales correspondientes. Entonces,una funcion f : V →W es una aplicacion polinomial si y solo si y j f ∈ K[V ], paratodas las funciones coordenadas y j ∈ K[W ] (del ejemplo 8):

Vf //

f j ##

W ⊆ Km

y j

K

Demostracion. Si f esta dada por ( f1, . . . , fm), entonces la composicion y j f calcu-lada en un punto P es y j f (P)= y j( f1(P), . . . , fm(P))= f j(P) la cual es una funcionpolinomial porque f j lo es y ası y j f ∈K[V ]. Recıprocamente, si f = ( f1, . . . , fm) ysuponemos que y j f = f j ∈ K[V ] = K[x1, . . . ,xn]/I(V ) para toda j, entonces exis-ten Fj ∈ K[x1, . . . ,xn] tales que f j ≡ Fj (mod I(V )) y por lo tanto para todo P ∈ Vse tiene que f j(P) = Fj(P) y ası f = (F1, . . . ,Fm) con cada Fi un polinomio y ası fes polinomial. ut

Ejemplo 9. Para la curva afın C= V(y2−x3−x2)⊆R2 (la cubica nodal), la funcion


f : R1 = R→ C⊆ R2

-f

R1 C

dada por f (t) = (t2−1, t3− t) es una aplicacion polinomial. Claramente esta dadapor polinomios y solo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, lo cuales un calculo directo. Note que f es inyectiva en R1−±1 y que f (−1) = (0,0) =f (1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en el origen).

La composicion de aplicaciones polinomiales se define en forma natural comosigue: si V ⊆Kn, W ⊆Km, U ⊆Kr son conjuntos afines y si f : V →W y g : W →Uson aplicaciones polinomiales, entonces la composicion de funciones usual

g f : V →U

es polinomial ya que si f =( f1, . . . , fm) con los fi ∈K[x1, . . . ,xn] y si g=(g1, . . . ,gr)con los g j ∈ K[y1, . . . ,ym], entonces g f esta dada por los polinomios

g1( f1, . . . , fm), . . . ,gr( f1, . . . , fm) ∈ K[x1, . . . ,xn].

Claramente la identidad idV : V → V es una aplicacion polinomial. Hemosası mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entreellas forman una categorıa y ası podemos definir el que una aplicacion polinomialf : V →W entre conjuntos afines sea un isomorfismo pidiendo que exista una apli-cacion polinomial g : W →V tal que f g = idW y g f = idV . El resultado siguienterelaciona la categorıa anterior con una categorıa algebraica:

Teorema 2.18 Sean V ⊆ Kn, W ⊆ Km conjuntos afines.

(1) Una aplicacion polinomial f : V →W induce un morfismo de K-algebras f ∗ :K[W ]→ K[V ].

(2) Recıprocamente, cualquier morfismo de K-algebras ϕ : K[W ]→ K[V ] es de laforma ϕ = f ∗ para una unica aplicacion polinomial f : V →W.

En otras palabras, se tiene una biyeccion


Aplicaciones polinomiales f : V →W↔ HomK-alg(K[W ],K[V ])

dada por f ↔ f ∗.

(3) La correspondencia anterior es contravariante, i.e., si f : V →W y g : W →Uson aplicaciones polinomiales, entonces

(g f )∗ = f ∗ g∗.

Una consecuencia inmediata es que f : V →W es un isomofismo si y solo sif ∗ : K[W ]→ K[V ] es un isomorfismo de K-algebras.

Demostracion. (1): La funcion polinomial f : V →W induce f ∗ : K[W ]→ K[V ] pormedio de la composicion con f , es decir, si g ∈ K[W ] la vemos como una funcion

g : W → K, entonces f ∗(g) := g f : Vf→W

g→ K. Se prueba facilmente que f ∗ esun K-morfismo.

(2): Sean y j ∈ K[W ] = K[Y1, . . . ,Ym]/I(V ) las funciones coordenadas del ejemplo8. Usando el morfismo dado ϕ : K[W ]→ K[V ] calculandolo en las y j obtenemosque ϕ(y j) ∈ K[V ] y ponemos entonces f j := ϕ(y j). Considere entonces la funcionf : V →Km dada por las f j, i.e., f (P) = ( f1(P), . . . , fm(P)). Como las f j son polino-miales entonces f es una aplicacion polinomial y solo falta verificar que su imagenesta en W . Para esto, supongamos que g ∈ I(W )⊆ K[Y1, . . . ,Ym]; entonces

g(y1, . . . ,ym) = 0 ∈ K[W ]

porque g ∈ I(W ). Se sigue que

ϕ(g(y1, . . . ,ym)) = 0 ∈ K[V ]

porque ϕ es morfismo. Pero como g tiene coeficientes en K y ϕ es K-morfismo,entonces

0 = ϕ(g(y1, . . . ,ym)) = g(ϕ(y1), . . . ,ϕ(ym)) = g( f1, . . . , fm).

Ahora, las fi son funciones en V y g( f1, . . . , fm) ∈ K[V ] es la funcion dada porP 7→ g( f1(P), . . . , fm(P)), la cual hemos visto que se anula para todo g ∈ I(W ), ycomo W es el conjunto de ceros de I(W ), se sigue que ( f1(P), . . . , fm(P)) ∈W , i.e.,f (P)∈W , como se querıa. Resta probar que para la aplicacion polinomial f anteriorse tiene que f ∗ = ϕ : K[W ]→ K[V ]. Para esto, basta verificarlo en los generadoresyi del dominio. Ahora, como f = ( f1, . . . , fm) y los fi = ϕ(yi), entonces

f ∗(y j) = y j f = f j = ϕ(y j)

como se querıa. En forma analoga se prueba que f es unica con la propiedad de quef ∗(y j) = ϕ(y j).

(3): Directo usando la asociatividad de la composicion de funciones. ut


Ejemplo 10. La aplicacion polinomial f :R1 =R→ C=V(y2−x3) dada por f (t) =(t2, t3)

-f

R1 C

no es un isomorfismo porque el morfismo de R-algebras correspondiente

f ∗ : R[C] = R[x,y]/〈y2− x3〉 −→ R[t]

esta dado por x 7→ t2, y 7→ t3, por lo que la imagen de f ∗ es la R-algebra generadapor t2, t3, i.e., R[t2, t3] que no es todo R[t].

Este ejemplo nos sirve tambien para notar que a pesar de que f es una aplicacionpolinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversa g : C→ R1

esta dada por:

(x,y) 7→

0 si x = y = 0,y/x si x 6= 0

que no es polinomial.

Ejemplo 11. Si C = V(y− x2)⊆ K2 es la parabola afın:

C ⊆ K2

π

K1?

la proyeccion π : C → K1 en la primera coordenada: π(x,y) = x es polinomial ysu inversa es la parametrizacion de la parabola ϕ : K1 →C ⊆ K2 dada por ϕ(t) =(t, t2). Claramente ϕ es polinomial y es inversa de π . El hecho de que ϕ es un


isomorfismo tambien puede verse algebraicamente ya que el morfismo que induceen los anillos de coordenadas ϕ∗ : K[C]→ K[K1] esta dado mediante x 7→ t dondeK[C] = K[x,y]/〈y− x2〉 ' K[x] y K[K1]' K[t].

Producto tensorial de algebras y producto de variedades afines. Para comenzar,observe que se tiene una biyeccion obvia

Km×Kn ∼→ Km+n

dada por((x1, . . . ,xm),(y1, . . . ,yn)

)7→ (x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn). Como queremos, al

menos, un homeomorfismo entre Km×Kn y Km+n, observemos que algebraicamen-te la biyeccion anterior proviene de notar que el anillo de polinomios K[x1, . . . ,xm]es el anillo de coordenadas de la variedad afın Km, y similarmente para Kn =SpecmK[y1, . . . ,yn]. Se tiene ademas que el producto tensorial de estas dos K-alge-bras de polinomios es

K[x1, . . . ,xm]⊗K K[y1, . . . ,yn]' K[x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn]

como el lector comprobara en el ejercicio 21, y las observaciones previas nos dicenque el producto Km×Kn se debe definir como

Km×K Kn = Specm(K[x1, . . . ,xm]⊗K K[y1, . . . ,yn]

),

donde usamos el subındice en Km×K Kn para indicar que estamos considerando eneste producto la topologıa de Zariski.

En el caso general, si V ⊆ Km y W ⊆ Kn son dos variedades afines, dadas por

V = SpecmK[V ] = Specm(K[x1, . . . ,xm]/I)

W = SpecmK[w] = Specm(K[y1, . . . ,yn]/J)

se define su producto V ×K W ⊆ Km×Kn ' Km+n como

V ×K W = Specm(K[V ]⊗K K[W ]),

donde usamos el subındice V ×K W para recordar que lo anterior no es un produc-to cartesiano, en general. El ejercicio 22 pide probar que V ×K W es la variedadalgebraica cuyo ideal esta generado por I(V ) e I(W ) en K[x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn].

Ahora, la propiedad universal 2.15 del producto tensorial de estas dos K-algebrasdice que el producto tensorial K[V ]⊗K K[W ] satisface que para cualquier otra K-algebra Λ y morfismos φ y ψ que hacen conmutar el cuadrado externo del diagramasiguiente, existe un unico morfismo ϑ : K[V ]⊗K K[W ]→Λ que hace conmutar losdos triangulos del diagrama:


Λ

K[V ]⊗K K[W ]

ϑ

ee

K[W ]

φoo

goo

K[V ]

ψ

SS

f

OO

Kgoo

f

OO

En terminos de los espectros maximos correspondientes, la propiedad universalanterior se traduce en la propiedad universal siguiente para el producto de variedadesV ×K W = Specm(K[V ]⊗K K[W ]):

Specm(Λ)

aϑ

**

aφ

((

aψ

**

SpecmK[V ]×SpecmK SpecmK[W ]ag //

a f

SpecmK[W ]

a f

SpecmK[V ] ag

// SpecmK

donde si escribimos U = SpecmΛ , ∗ = SpecmK, V = SpecmK[V ], etcetera, detal forma que el diagrama anterior queda como:

U

aϑ

##

aφ

aψ

))

V ×K Wag //

a f

W

a f

V ag// ∗

la propiedad universal del producto

V ×K W = SpecmK[V ]×SpecmK SpecmK[W ]

es que en el diagrama anterior el cuadrado interior conmuta y para cualquier otravariedad U junto con morfismos a

φ y aψ que hacen conmutar el cuadrado externo,existe un unico morfismo de variedades afines a

ϑ que hace conmutar los triangu-los correspondientes. Se dice entonces que V ×K W es el producto fibrado de lasvariedades V y W .

Como SpecmK = ∗ es un punto, los morfismos V → ∗ y W → ∗ son losunicos posibles, y el diagrama anterior se suele simplificar de la forma siguiente:


W

Uaϑ //

aφ00

aψ ..

V ×K W

ag

OO

a f

V

con la formulacion correspondiente de la propiedad universal.

Producto fibrado de espectros primos. Con la experiencia anterior, si ahora setienen dos espectros primos SpecA y SpecB, observando que cualquier anillo Aes una Z-algebra ya que se tiene el morfismo de anillos natural Z→ A dado por1 7→ 1, entonces podemos formar el producto tensorial A⊗ZB y se define el productofibrado de los espectros primos como

SpecA×SpecZ SpecB = Spec(A⊗Z B).

Ejercicios

2.1. Si m,n son enteros coprimos, muestre que (Z/mZ)⊗Z (Z/nZ) = 0.

2.2. Si M,N,P son A-modulos, demuestre que

M⊗A (N⊕P)' (M⊗A N)⊕ (M⊗A P).

2.3. En general, demuestre que el producto tensorial conmuta con sumas directas,i.e., si Nii∈Λ es una familia de A-modulos y M es cualquier otro A-modulo, de-muestre que se tiene un isomorfismo

M⊗A

(⊕i∈Γ

Ni

)'⊕i∈Γ

(M⊗A Ni).

2.4. Demuestre que M es plano si y solo si para toda sucesion exacta de la forma

0→ N′f−→ N se tiene que la sucesion

0 // M⊗A N′id⊗ f // M⊗A N

es exacta.

2.5. Si Mi es una familia de A-modulos, demuestre que⊕

i Mi es plano si y solosi cada Mi es plano.

2.6. Si M,N son A-modulos planos, demuestre que M⊗A N es plano.

2.7. Si 0→M′→M→M′′→ 0 es una sucesion exacta de A-modulos con M′,M′′

finitamente generados, demuestre que M es finitamente generado.


2.8. Si M→M′′→ 0 es exacta y M es finitamente generado, demuestre que M′′ esfinitamente generado.

2.9. Si A es un anillo, I⊆A es un ideal y M es un A-modulo, demuestre que (A/I)⊗AM 'M/IM.

2.10. Si M1, . . . ,Mn y P son A-modulos, una funcion A-multilineal f : M1× ·· · ×Mn→ P es una funcion que es A-lineal en cada una de sus variables.

(i) Generalizando la construccion del producto tensorial de dos modulos, constru-ya el producto tensorial M1⊗A · · · ⊗A Mn y demuestre que se tiene una funcionA-multilineal canonica φ : M1 × ·· · ×Mn → M1 ⊗A · · · ⊗A Mn que satisface lapropiedad universal 2.8 correspondiente.

(ii) Concluya, como en 2.9, que se tiene un isomorfismo

MultA(M1×·· ·×Mn,P)' HomA(M1⊗A · · ·⊗A Mn,P).

2.11. Si A,B son dos k-algebras, demuestre que su producto tensorial A⊗k B, es uni-co, salvo isomorfismo, con la propiedad universal establecida en 2.15. Sugerencia:Vea la demostracion de la unicidad del producto tensorial de modulos en 2.9.

2.12. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo, defina la accionde A en M mediante a · x := f (a)x, para a ∈ A, x ∈ M y donde f (a)x es la acciondada de f (a) ∈ B en x ∈ M. Demuestre que con esta accion, M es un A-modulo.Diremos entonces que el B-modulo M se vuelve un A-modulo por cambio de anilloso restriccion de escalares.

2.13. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y M es un A-modulo, considerandoa B como A-modulo por cambio de anillos, se tiene el A-modulo MB := B⊗A M.Demuestre que MB es un B-modulo mediante b(b′⊗ x) := bb′⊗ x. Se dice que MBse obtuvo por extension de escalares.

(i) Demuestre que si M es finitamente generado como A-modulo, entonces MB esfinitamente generado como B-modulo.

(ii) Demuestre que si M es plano como A-modulo, entonces MB es plano comoB-modulo.

2.14. Sean f : A→ B un morfismo de anillos y M un B-modulo. Si M es finitamentegenerado como B-modulo y B es finitamente generado como A-modulo, demuestreque M es finitamente generado como A-modulo.

2.15. Si M es un A-modulo, demuestre que M es finitamente generado si y solo siexiste un epimorfismo An M.

2.16. Un A-modulo M es simple si M 6= 0 y sus unicos submodulos son el ceroy el total. Demuestre que todo modulo simple es cıclico, i.e., es generado por unsolo elemento. Mas aun, si M es simple, demuestre que todo endomorfismo no nulof : M→M es un isomorfismo. Este resultado se conoce como el lema de Schur.


2.17. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y B es fielmente plano como A-modulo(por cambio de anillos usando f ), demuestre que para todo A-modulo M el morfismoM→M⊗A B dado por x 7→ x⊗1, es inyectivo. En particular, si M = A, f : A→ Bes inyectivo.

2.18. Dado el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos:

0 // M′

α

f // M

β

g // M′′

γ

0 // N′

f ′// N

g′// N′′

demuestre que existe un unico morfismo α : M′ → N′ que hace que el diagramaaumentado conmute. Mas aun, si β y γ son isomorfismos, entonces α tambien lo es.

2.19. Sea M un A-modulo. Demuestre que M es plano si y solo si para todo ideal I ⊆A finitamente generado el morfismo I⊗A M→A⊗A M'M es inyectivo. Sugerencia:Para la implicacion no trivial, si 0→ N′ → N es exacta, a la luz de 2.13, primeroconsidere el caso cuando M es libre y luego en el caso general M es cociente de unlibre.

2.20. Si A 6= 0 es un anillo y Am ' An, demuestre que m = n. Sugerencia: Reduzcaal caso cuando A es un campo.

2.21. Demuestre que se tiene un isomorfismo de K-algebras:

K[x1, . . . ,xm]⊗K K[y1, . . . ,yn]' K[x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn].

2.22. Sean V = V(I) = SpecmK[x1, . . . ,xm]/I y W = V(J) = SpecmK[y1, . . . ,yn]/Jdos conjuntos algebraicos afines. Suponga ademas que I y J son radicales. Demues-tre que V ×K W es el conjunto algebraico afın cuyo ideal I(V ×K W ) esta generadopor I(V ) e I(J) en K[x1, . . . ,xm,y1, . . . ,yn].

2.23. Si V y W son dos variedades afines (i.e., son conjuntos algebraicos irreduci-bles), demuestre que V ×K W tambien es irreducible.

Capıtulo 3Localizacion, finitud y el teorema de los ceros

Una tecnica usual al estudiar objetos geometricos es la de concentrarse cerca deun punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geometricas se puedendeducir de este proceso localizado. Similarmente, en teorıa de numeros al estudiarcongruencias, por ejemplo, modulo un entero n, factorizando el entero n como pro-ducto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estas congruen-cias modulo un primo p o potencias pr de este primo. Este proceso de localizaciontiene gran importancia, no solo en geometrıa y teorıa de numeros, sino en el algebraen general y en otras ramas de la matematica. En la primera parte de este capıtulose algebriza el proceso de localizacion generalizando la construccion del campo delos numeros racionales Q a partir del dominio entero Z. En la segunda parte de es-te capıtulo estudiamos la nocion de dependencia entera, de crucial importancia enteorıa de numeros y geometrıa algebraica. En la teorıa de numeros algebraicos seestudian extensiones de camposQ⊆ K donde todos los elementos α ∈ K son raıcesde un polinomio monico f (x) = xn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0 con coeficientes enQ y decimos que estos elementos son algebraicos (sobre Q). Es natural entoncesel considerar aquellos elementos α ∈ K que sean raıces de un polinomio monicocon coeficientes en Z, y se dice que estos elementos de K son enteros algebraicosde K. Como parte de un resultado mas general se probara que el conjunto OK deelementos de K que son enteros algebraicos, es un subanillo de K que contiene a Z:

OK // K

Z //?

OO

Q?

OO

Sera hasta el capıtulo 5 cuando se estudiaran mas propiedades aritmeticas de estosanillos de enteros. Resulta que esta teorıa de origen aritmetico tiene una contra-parte geometrica: una variedad algebraica V puede estudiarse como un cubriente(ramificado) de un espacio afın Kn y esta situacion exhibe una similitud algebrai-ca con las extensiones de anillos donde los elementos del anillo grande satisfacenun polinomio monico con coeficientes en el anillo pequeno. En esta segunda parteprobaremos el lema de normalizacion de Noether que formaliza lo anterior y como

55

56 3 Localizacion, finitud y el teorema de los ceros

una consecuencia casi inmediata obtendremos el teorema de los ceros de Hilbert, unresultado de gran importancia para la geometrıa algebraica y que habıamos dejadopendiente desde el capıtulo 1.

Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S ⊆ A es un subconjunto multiplicati-vo, i.e., 1 ∈ S y a,b ∈ S implica que ab ∈ S, se define la relacion (que resulta deequivalencia, como se verificara en el ejercicio 1) en A× S mediante (a,s) ∼ (b, t)⇔ existe u ∈ S tal que u(at− bs) = 0. En el conjunto cociente S−1A := A× S/ ∼denotamos a la clase de equivalencia de (a,s) como [a,s] o como a/s y se definenlas operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q:

as+

bt

:=at +bs

sty

as

bt

:=abst

y resulta que, para comenzar, estan bien definidas, y hacen de S−1A un anillo con-mutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s∈ S y el unoes s/s, para cualquier s ∈ S. Mas aun, se tiene un morfismo de anillos ϕ : A→ S−1Adado por ϕ(a) := a/1, al que se llama el morfismo canonico, que en general noes inyectivo. Al anillo S−1A se le conoce como el anillo de fracciones de A conrespecto a S.

Ejemplo 1. La construccion anterior generaliza la construccion del campo de nume-ros racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z−0. De hecho, engeneral, si A es un dominio entero y S = A−0, entonces S es un subconjuntomultiplicativo y S−1A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo defracciones de A. En este caso, el morfismo ϕ : A→ K(A) es inyectivo.

Las primeras propiedades del anillo S−1A son:

Lema 3.1 Si S⊆ A es cualquier conjunto multiplicativo y ϕ : A→ S−1A es el mor-fismo canonico, entonces:

(1) s ∈ S⇒ ϕ(s) es unidad de S−1A, i.e., ϕ(S)⊆(S−1A

)∗.(2) ϕ(a) = 0⇔ as = 0 para algun s ∈ S. En otras palabras,

kerϕ = a ∈ A : existe s ∈ S tal que sa = 0.

(3) Todo a/s ∈ S−1A es de la forma ϕ(b)ϕ(t)−1, para b ∈ A, t ∈ S.

Demostracion. Solo probaremos (1). En este caso note que si s ∈ S entonces 1/s ∈S−1A y se tiene que ϕ(s) · (1/s) = (s/1)(1/s) = s/s = 1. ut

De hecho, el anillo S−1A junto con el morfismo canonico ϕ : A→ S−1A estandeterminados por la propiedad (1) del lema anterior:

Teorema 3.2 (Propiedad universal del anillo de fracciones) Sea ϕ : A→ S−1A elmorfismo canonico. Si f : A → B es cualquier otro morfismo de anillos tal quef (S) ⊆ B∗, entonces existe un unico morfismo de anillos f : S−1A→ B tal que eldiagrama siguiente conmuta:

3 Localizacion, finitud y el teorema de los ceros 57

A

ϕ

f // B

S−1Af

==

Demostracion. Los elementos de S−1A son clases de equivalencia de la forma a/sy escogiendo un representante (a,s) ∈ a/s ponemos f (a/s) := f (a) f (s)−1, recor-dando que por hipotesis f (s) ∈ B∗ y por lo tanto f (s)−1 ∈ B. Observe ahora que si(a′,s′) ∈ a/s es otro representante, entonces existe u ∈ S tal que u(as′−a′s) = 0, yaplicando f a esta igualdad se obtiene que f (u)( f (a) f (s′)− f (a′) f (s)) = 0 dondef (u) ∈ B∗ por lo que f (a) f (s′) = f (a′) f (s) con f (s), f (s′) ∈ B∗ y ası f (a) f (s)−1 =f (a′) f (s′)−1, y consecuentemente f es una funcion. Claramente es un morfismoporque f lo es, y si a ∈ A entonces

f (ϕ(a)) = f (a/1) = f (a) f (1)−1 = f (a),

i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora que g : S−1A→ B es otromorfismo tal que g ϕ = f . Para mostrar que f = g, sea a/s ∈ S−1A arbitarrio.Escribiendo a/s = (a/1)(1/s) en S−1A, notamos que g(a/1) = g(ϕ(a)) = f (a) yg(1/s) = g

((s/1)−1

)= g(ϕ(s)−1

)=(gϕ(s)

)−1= f (s)−1 y ası

g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = f (a) f (s)−1 = f (a/s).

utComo una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior deter-

minan S−1A salvo isomorfismo:

Corolario 3.3 Si S⊆A es un subconjunto multiplicativo y f : A→B es un morfismode anillos tal que

(1) f (S)⊆ B∗.(2) f (a) = 0⇒ existe s ∈ S tal que as = 0.(3) Todo b ∈ B es de la forma f (a) f (s)−1, con a ∈ A, s ∈ S.

Entonces, existe un unico isomorfismo f : S−1A→ B tal que el diagrama siguienteconmuta:

A

ϕ

f // B

S−1Af

'==

Demostracion. La tıpica de objetos que satisfacen propiedades universales. ut

Lema 3.4 Si f : A → B es cualquier morfismo de anillos y S ⊆ A, T ⊆ B sonsubconjuntos multiplicativos tales que f (S) ⊆ T , entonces f induce un morfismof : S−1A→ T−1B tal que f (a/1) = f (a)/1, para todo a ∈ A.


Demostracion. Esto se sigue de la propiedad universal 3.2 ya que en el diagrama

A

ϕA

f // B

ϕB

S−1Af// T−1B

como f (S)⊆ T , entonces ϕB f (s) es una unidad en T−1B para todo s ∈ S y ası por2.2 existe un unico f que hace conmutar el diagrama, i.e, f (a/s) = f (a)/ f (s). ut

Ejemplo 2. Si p⊆ A es un ideal primo, entonces S = A−p es multiplicativo. Se sueleusar la notacion

Ap := S−1A.

Note que A es un dominio entero si y solo si el ideal 0 ⊆ A es primo. Por lo tantoA0 = K(A) es el campo de fracciones de A.

Mostraremos a continuacion que Ap es un anillo local, i.e., un anillo con un uni-co ideal maximo. Al anillo Ap se le llama la localizacion de A en p. En el corolariosiguiente probaremos que el ideal maximo del anillo local Ap es el ideal pAp gene-rado por la imagen de p en Ap. Al campo Ap/pAp se le llama el campo residual delanillo local (Ap,pAp) y lo denotaremos por k(p).

Corolario 3.5 Si p es un ideal primo de A, entonces Ap es un anillo local con idealmaximo el ideal generado por la imagen de p en Ap

pAp = a/s ∈ Ap : a ∈ p.

El campo residual k(p) = Ap/pAp del anillo local (Ap,pAp) es isomorfo al campode fracciones del dominio entero A/p.

Demostracion. Si a/t 6∈ pAp, entonces a 6∈ p y ası a ∈ S = A−p por lo que a/t ∈ A∗pes una unidad. Se sigue que pAp es un ideal maximo. Por otra parte, si I es cualquierideal de Ap e I 6⊆ pAp, entonces existe u∈ I−pAp y ası u∈ A∗p y por lo tanto I = Ap.Se sigue que pAp es el unico ideal maximo de Ap.

En el lema 3.4, poniendo S = A− p por lo que S−1A = Ap y si f : A→ A/pes el epimorfismo canonico observe que T = f (S) = A/p− 0 es un conjuntomultiplicativo porque A/p es un dominio entero y ası T−1(A/p) = K(A/p) es elcampo de fracciones de A/p. Se tiene entonces que f : Ap→K(A/p) es suprayectivoporque siendo f : A→ A/p suprayectivo, para todo (x+p)/t ∈ K(A/p), con x+p ∈A/p y t ∈ T = f (S) se tiene que t = f (s) para algun s∈ S y ası f (x/s) = f (x)/ f (s) =(x + p)/t. Finalmente, si I = ker f , entonces se tiene el isomorfismo de Noetherinducido por f

Ap/I ' K(A/p)

y por lo tanto I deber ser maximo y ası I = pAp porque Ap es local. Como k(p) =Ap/pAp, ya acabamos. ut


Ejemplo 3. Si p ∈ Z es un entero primo, Z〈p〉 = a/s ∈ Q : p - s y se tiene que〈p〉Z〈p〉 = pa/s ∈Q : p - s y su campo residual es Z〈p〉/〈p〉Z〈p〉 ' Z/pZ.

Ejemplo 4. Si f ∈ A y S = f n : n≥ 0, entonces S es multiplicativo. Usaremos lanotacion A f := S−1A.

Lema 3.6 (Rabinowitzch) Si f ∈ A y A f es la localizacion de A con respecto alconjunto multiplicativo S = f n ; n≥ 0, entonces la funcion

A[t]/〈 f t−1〉 −→ A f

dada por antn + · · ·+a1t +a0 7→ an/ f n + · · ·+a1/ f +a0 es un isomorfismo.

Demostracion. Si f = 0 ambos anillos son cero y ası podemos suponer que f 6= 0.Ahora, en el anillo A[t]/〈 f t − 1〉 se tiene que 1 = f t, donde t es la clase de t enel cociente, y por lo tanto f es una unidad. Sea φ : A→ B cualquier morfismo deanillos tal que φ( f ) sea una unidad en B. Entonces, φ se extiende a un morfismo

∑ait i 7→∑φ(ai)φ( f )−i : A[t]→ B

(i.e., mandando t en φ( f )−1) el cual se factoriza a traves de A[t]/〈 f t−1〉 :

A

φ // B

A[t]

99

A[t]/〈 f T −1〉

CC

porque f t−1 7→ φ( f )φ( f )−1−1 = 1−1 = 0, y como φ( f ) es una unidad en B estemorfismo que extiende φ : A→ B a A[t]/〈 f t− 1〉 es unico con esta propiedad. Sesigue que este cociente tiene la propiedad universal de A f y por lo tanto es isomorfoa A f por medio de un isomorfismo que fija a A y manda t a f−1. ut

Ejemplo 5. Si A es cualquier anillo y S0⊆A es el subconjunto de elementos de A queno son divisores de cero, i.e., S0 = f ∈ A : (0 : f ) = 0, entonces S0 es un conjuntomultiplicativo ya que claramente 1 ∈ S0 y si a,b ∈ S0 entonces ab ∈ S0 porque siabx = 0, se sigue que a(bx) = 0 y ası bx = 0 y por lo tanto x = 0. El anillo S−1

0 Ase conoce como el anillo total de fracciones de A. Note que el morfismo canonicoϕ : A→ S−1

0 A es inyectivo, ya que si ϕ(a) = 0, entonces a/1= 0/s y ası existe t ∈ S0tal que t(sa−0) = 0, i.e., tsa= 0 con ts∈ S0, i.e., no es divisor de cero, y por lo tantoa = 0. Mas aun, S0 es el mayor subconjunto multiplicativo S de A tal que A→ S−1Aes inyectivo, porque por 3.1(2) el nucleo del morfismo canonico inyectivo anteriores a ∈ A : existe s ∈ S tal que sa = 0 y como este nucleo es cero entonces a = 0,i.e., (0 : s) = 0 para todo s ∈ S y por lo tanto S⊆ S0.


Localizacion e ideales. Si S ⊆ A es multiplicativo, ϕ : A→ S−1A es el morfismocanonico y J ⊆ S−1A es un ideal, entonces su imagen inversa es el ideal

ϕ−1(J) = a ∈ A : a/1 ∈ J

y si I ⊆ A es un ideal, el ideal generado por la imagen ϕ(I) en S−1A es

S−1I := ϕ(I)S−1A = a/s ∈ S−1A : a ∈ I, s ∈ S.

Observe ahora que si S∩ I 6= /0, entonces S−1I contiene una unidad y por lo tantoes el anillo total S−1A. Ası, algo de la estructura de ideales de A se pierde al pasar aS−1A, pero como el lema siguiente muestra, algo se mantiene:

Proposicion 3.7 Si S⊆ A es multiplicativo, entonces

(1) S−1(ϕ−1(J)) = J, para todo ideal J ⊆ S−1A.

(2) ϕ−1(S−1p) = p, para todo ideal primo p⊆ A disjunto con S.

(3) Mas aun, P 7→ ϕ−1P es una biyeccion entre el conjunto de todos los idealesprimos de S−1A y el conjunto de ideales primos de A disjuntos con S, de hecho, lainversa es la funcion p 7→ S−1p.

Demostracion. (1): Sea J ⊆ S−1A un ideal. Si a/s ∈ S−1(ϕ−1J), entonces a ∈ϕ−1(J), i.e., a/1 = ϕ(a) ∈ J y ası a/s = (1/s)(a/1) ∈ J, i.e., S−1(ϕ−1J) ⊆ J.Recıprocamente, si a/s ∈ J, entonces a/1 = (s/1)(a/s) ∈ J, i.e., a ∈ ϕ−1(J) y porlo tanto a/s ∈ S−1(ϕ−1J), i.e., J ⊆ S−1(ϕ−1J).

(2): Sea p ⊆ A un ideal primo disjunto con S. Si a ∈ p, entonces a/1 ∈ S−1p, i.e.,ϕ(a) = a/1 ∈ S−1p por lo que a ∈ ϕ−1(S−1p) y ası p ⊆ ϕ−1(S−1p). Para la otrainclusion, si a ∈ ϕ−1(S−1p) entonces a/1 ∈ S−1p, i.e., a/1 = a′/s para algun a′ ∈ py s∈ S. Se sigue que t(as−a′) = 0 para algun t ∈ S, y ası ast = a′t ∈ p. Como st 6∈ pentonces a ∈ p y por lo tanto ϕ−1(S−1p)⊆ p.

(3): Si p⊆ A es un primo disjunto con S, sea S⊆ A/p la imagen de S bajo el epimor-fismo A→ A/p. Claramente S es un subconjunto multiplicativo de A/p y se tieneque

(∗) S−1(A/p)' S−1A/S−1p

porque, como se verificara en el ejercicio 2, el lado derecho tiene la propiedad uni-versal requerida. Finalmente, como A/p es un dominio entero y S no contiene alcero, entonces S−1

(A/p) es un dominio entero y por lo tanto el lado derecho de (∗)tambien es un dominio entero y consecuentemente S−1p es un ideal primo de S−1A.Como la imagen inversa de un primo es primo, entonces P 7→ ϕ−1P manda primosde S−1A en primos de A y las dos correspondencias anteriores son inversa una de laotra. ut

La consecuencia siguiente es analoga a 1.18 en el sentido de que identifica elespectro de una localizacion S−1A en terminos del espectro de A:


Corolario 3.8 (1) El morfismo ϕ : A→ S−1A induce la biyeccion

aϕ : SpecS−1A→p ∈ SpecA : p∩S = /0 ⊆ SpecA.

(2) En particular, si p⊆ A es un ideal primo, entonces el morfismo canonico induceuna biyeccion entre el conjunto de ideales primos de Ap y el conjunto de ideales deA que estan contenidos en p. En otras palabras, el morfismo canonico ϕ : A→ Ap

induce una biyeccion

aϕ : SpecAp→q ∈ SpecA : q⊆ p ⊆ SpecA.

(3) Si S= 1, f , f 2, f 3, . . .⊆A, los primos de S−1A=A f corresponden a los primosde A que no contienen a f . Es decir,

Spec(A f )' p ∈ SpecA : f 6∈ p= D( f ).

Se sigue que el abierto basico D( f ) se identifica canonicamente con SpecA f . ut

Una motivacion para la definicion de la topologıa de Zariski. Para hacer masclara la analogıa con la definicion de variedad algebraica afın, consideremos la in-terpretacion siguiente de los cerrados V (I) de SpecA: dado un ideal primo p de A,consideremos el anillo localizado Ap y sea mp su ideal maximo (que, de hecho, es elideal pAp generado por p en Ap) y sea k(p) := Ap/mp su campo residual y note quek(p) es tambien el campo de cocientes del dominio entero A/p. Se tienen entoncesmorfismos canonicos

A→ A/p→ k(p)

y ası, a cada elemento f ∈A le podemos asignar su imagen f +p en A/p⊆Ap/mp =k(p) y decimos que este es el ((valor)) f (p) de f en p, y se tiene ası una ((funcion)) fdefinida en SpecA y cuyo ((codominio)) varıa, ya que a diferentes puntos p ∈ SpecAles corresponden valores f (p) ∈ k(p) donde el campo k(p) esta variando con p. Sinembargo, pensemos a los elementos f ∈ A como ((funciones))

f : SpecA→ k(p)

dadas por la regla de correspondencia p 7→ f (p) y donde estos valores caen en co-dominios que cambian con los puntos de SpecA.

Ejemplo 6. Para A = Z y p= 〈p〉, si f = m ∈ Z, su ((valor)) en 〈p〉 es m (mod p) enk(p) = Fp = Z/pZ (ya que en este caso, Z/pZ' Z〈p〉/pZ〈p〉).

Regresando ahora a la analogıa con la definicion de una variedad algebraica, ob-serve que aun cuando la ((definicion)) de la funcion f : SpecA→ k(p) no es tal yaque los codominios estan variando, sı tiene sentido la frase ((los ceros de f ∈ A)),que en el contexto anterior quiere decir que la clase lateral f (p) = f + p es ceroen el campo k(p), i.e., f ∈ p, y por lo tanto podemos hablar del lugar geometricode f como el conjunto de puntos en SpecA donde f ((vale)) cero. Note que en estadefinicion se estan usando los ceros de los distintos campos residuales k(p), y como


se quiere que las funciones f sean continuas, usando que el 0 ∈ k(p) debe ser ce-rrado, entonces su imagen inversa V ( f )⊆ SpecA debe ser cerrado; mas aun, comola interseccion arbitraria de cerrados debe ser cerrada esto nos lleva a definir, paracualquier conjunto E ⊆ A, V (E) como el conjunto de ((ceros comunes)), en SpecA,de los elementos de I, i.e.,

V (E) = p ∈ SpecA : f (p) = 0 para todo f ∈ E,= p ∈ SpecA : f ∈ p para todo f ∈ E,= p ∈ SpecA : p⊇ E,

que es la definicion que se dio en el capıtulo 1. Similarmente, para la construccionrecıproca, dado un subconjunto U ⊆ SpecA, se tiene la interpretacion siguiente:

I(U) := f ∈ A : f (p) = 0 para todos los p ∈U= f ∈ A : f ∈ p para todos los p ∈U

=⋂p∈U

p,

el ideal de los elementos que se ((anulan)) en U .

Con las dos interpretaciones anteriores, la analogıa entre la defincion de la topo-logıa de Zariski en una variedad afın (ceros de un ideal de polinomios) y la topologade Zariski en el espectro primo, es clara.

Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A ⊆ B anillos de tal forma queB es una A-algebra.

Diremos que B es una A-algebra finita si B es finitamente generado como A-modulo, i.e., si existen α1, . . . ,αn ∈ B tales que todo b ∈ B es una combinacionlineal de los αi con coeficientes en A:

b = a1α1 + · · ·+anαn con los ai ∈ A.

Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen α1, . . . ,αn ∈ B tales que todoelemento b ∈ B es un polinomio en los αi con coeficientes en A, i.e., existe unpolinomio f ∈ A[x1, . . . ,xn] tal que b = f (α1, . . . ,αn).Si b ∈ B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio monico

φ(x) = xm +am1xm−1 + · · ·+a1x+a0 ∈ A[x]

tal que φ(b) = 0.Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobre A.

Claramente toda A-algebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondientees de primer grado f = a1x1 + · · ·+anxn. Tambien, B es una A-algebra de tipo finitosi y solo si existe un epimorfismo de A-algebras


ϕ : A[x1, . . . ,xn] B

sencillamente definiendo αi = ϕ(xi).

Ejemplo 7. Si A⊆ B son anillos, todo elemento α de A es entero sobre A ya que esraız del polinomio monico x−α ∈ A[x].

Ejemplo 8. Para Z⊆Q, los racionales r/s∈Q que son enteros son los elementos deZ. En efecto, si a/b ∈Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimos ycomo se tiene una igualdad de la forma

an

bn + rn−1an−1

bn−1 + · · ·+ r1ab+ r0 = 0 con ri ∈ Z

multiplicando por bn queda

an + rn−1an−1b+ · · ·+ r1abn−1 + r0bn = 0

de donde se sigue que b divide a an y como mcd(a,b) = 1 entonces b|a pero siendocoprimos esto solo es posible si b =±1 y por lo tanto a/b ∈ Z, como se querıa.

Lema 3.9 Sean A⊆ B anillos y α ∈ B. Son equivalentes:

(1) α es entero sobre A.

(2) El subanillo A[α]⊆ B es finitamente generado como A-modulo.

(3) Existe un subanillo C con A⊆C ⊆ B tal que α ∈C y C es finitamente generadocomo A-modulo.

Demostracion. (1)⇒ (2): Como α es entero sobre A se tiene que

αn =−(an−1α

n−1 + · · ·+a1α +a0) ∈ 〈1,α, . . . ,αn−1〉

y por lo tanto

αn+1 =−an−1α

n− (an−2αn−1 + · · ·+a1α

2 +a0α) ∈ 〈1,α, . . . ,αn−1〉

y por induccion, para todo k ≥ 0:

αn+k =−(an−1α

n+k−1 + · · ·+a1αk+1 +a0α

k) ∈ 〈1,α, . . . ,αn−1〉

de donde se sigue que todas las potencias α t con t ≥ 0 estan el el A-modulo〈1,α, . . . ,αn−1〉 y como estas potencias generan A[α], entonces este es un A-modulofinitamente generado.

(2)⇒ (3): Sea C = A[α].

(3) ⇒ (1): Sea y1, . . . ,yn un conjunto de generadores de C como A-modulo, i.e.,C = Ay1 + · · ·+Ayn. Como α ∈ C, los yi ∈ C y C es un anillo entonces αyi ∈ C yescribiendo estos elementos en terminos de los generadores yi de C:


αyi = ai1y1 + · · ·+ainyn con los ai j ∈ A

y la igualdad anterior se puede escribir como

n

∑j=1

(δi jα−ai j

)y j = 0 con 1≤ i≤ n y δi j una delta de Kronecker

el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogeneas en y1, . . . ,yn. Por la reglade Cramer se tiene que det(δi jα − ai j) · yi = 0 para todo i, y como C esta genera-do por los yi se sigue que det(δi jα − ai j) ·C = 0 y ası para el 1 ∈ C se tiene quedet(δi jα−ai j) ·1 = 0, i.e., det(δi jα−ai j) = 0. Finalmente, desarrollando el deter-minante det(δi jx− ai j) (poniendo la indeterminada x en lugar de α) se obtiene unpolinomio con coeficientes en A que se anula en α y este polinomio es monico por-que el termino de grado xn proviene del producto de los elementos de la diagonalprincipal (x−a11) · · ·(x−ann). Se sigue que α es entero sobre A. ut

Corolario 3.10 Si A⊆ B son anillos y α1, · · · ,αn ∈ B son enteros sobre A, entoncesA[α1, . . . ,αn] es un A-modulo finitamente generado.

Demostracion. Induccion sobre n. ut

Corolario 3.11 Si A⊆ B son anillos y α,β ∈ B son enteros sobre A, entonces α±β

y αβ son enteros sobre A.

Demostracion. Por el corolario anterior A[α,β ] es finitamente generado sobre A ycomo α ±β y αβ estan en A[α,β ], por la parte (3) del lema anterior se sigue queson enteros sobre A. ut

Corolario 3.12 Si A⊆ B son anillos y A := α ∈ B : α es entero sobre A, enton-ces A es un anillo y A⊆ A⊆ B.

Demostracion. Directo del corolario anterior. ut

El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que Aes integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo defracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado ensu campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado.

Ejemplo 9. Todo dominio de factorizacion unica (DFU) es integralmente cerrado.Note que esto generaliza el ejemplo 8 y la demostracion es similar: si A es un DFUcon campo de fracciones K y si a/b ∈ K es entero sobre A, si suponemos que a/b 6∈A, entonces existe un elemento irreducible p ∈ A tal que p|b pero p - a. Por otraparte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuacion polinomial

(a/b)n + cn−1(a/b)n−1 + · · ·+ c1(a/b)+ c0 con ci ∈ A.

Multiplicando por bn se obtiene la ecuacion

an + cn−1an−1b+ · · ·+ c1abn−1 + c0bn = 0


donde p divide a cada termino de la izquierda excepto a lo mas a an y ası debedividir a an y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradiccion.

Corolario 3.13 Si A⊆ B son anillos, son equivalentes:

(1) B es una A-algebra finita.

(2) B es una A-algebra de tipo finito y es entera sobre A.

Demostracion. (1)⇒ (2): Toda A-algebra finita es de tipo finito. Mas aun, como Bes finitamente generado como A-modulo, por la parte (3) del lema 3.9 anterior B esentera sobre A.

(2)⇒ (1): Por hipotesis existen α1, . . . ,αn ∈ B tales que B = A[α1, . . . ,αn], y comolos αi son enteros sobre A, entonces por el lema 3.9 anterior (de hecho, por el coro-lario 3.10) B = A[α1, . . . ,αn] es un A-modulo finitamente generado. ut

Corolario 3.14 (Transitividad de la dependencia entera) Si A ⊆ B ⊆ C son ani-llos con C entero sobre B y B entero sobre A, entonces C es entero sobre A.

Demostracion. Si α ∈C se tiene una ecuacion polinomial

(∗) αn +bn−1α

n−1 + · · ·+b1α +b0 = 0 con los bi ∈ B

y el anillo A[b0, . . . ,bn−1] es un A-modulo finitamente generado por 3.10 ya que losbi son enteros sobre A. Como la ecuacion (∗) tiene coeficientes en A[b0, . . . ,bn−1]entonces α es entero sobre este anillo y ası A[b0, . . . ,bn−1][α] es finitamente gene-rado como A[b0, . . . ,bn−1]-modulo. Se sigue que A[b0, . . . ,bn−1][α] es finitamentegenerado como A-modulo y por lo tanto α es entero sobre A por 3.9. ut

Proposicion 3.15 Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L es uncampo que contiene a K. Si α ∈ L es algebraico sobre K, entonces existe un d ∈ Atal que dα es entero sobre A.

Demostracion. Como es algebraico α satisface una ecuacion polinomial

αn +an−1α

n−1 + · · ·+a1α +a0 = 0 con los ai ∈ K.

Sea d el comun denominador de los ai de tal forma que dai ∈ A y multipliquemosla igualdad anterior por dn para obtener

dnα

n +an−1dnα

n−1 + · · ·+a1dnα +a0dn = 0

que se puede reescribir como

(dα)n +an−1d(dα)n−1 + · · ·+a1dn−1(dα)+a0dn = 0

donde los coeficientes an−1d, . . . ,a1dn−1,a0dn ∈A y ası la igualdad anterior muestraque dα es raız de un polinomio monico con coeficientes en A, i.e., dα es enterosobre A. ut


Corolario 3.16 Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L una ex-tension algebraica de K. Entonces L es el campo de fracciones de la cerraduraentera de A en L.

Demostracion. Por la proposicion anterior todo α ∈ L se puede escribir como α =β/d con β entero sobre A y d ∈ A, i.e, α = β/d con β ,d en la cerradura entera deA en L. ut

Lema 3.17 Sean A un dominio entero integralmente cerrado (por ejemplo, unDFU) y L una extension finita del campo de fracciones K de A. Entonces, α ∈ Les entero sobre A si y solo si su polinomio monico irreducible Irr(α,K) tiene coefi-cientes en A.

Demostracion. Si f (x) = Irr(α,K) y α es entero sobre A, entonces existe una ecua-cion polinomial para α:

(1) αm +am−1α

m−1 + · · ·+a1α +a0 = 0 con los ai ∈ A

Si α es cualquier conjugado de α , i.e., una raız de Irr(α,K), se tiene un K-isomorfismo

K(α)φ // K(α)

K

que manda α en α . Aplicando φ a la igualdad (1) se sigue que

αm +am−1α

m−1 + · · ·+a1α +a0 = 0

lo cual muestra que α es entera sobre A. Ası, todos los conjugados de α son enterossobre A y de la relacion de Viete entre los coeficientes y raıces de un polinomio sesigue que los coeficientes de Irr(α,K) son enteros sobre A y como estos coeficientesestan en K que es el campo de fracciones de A y como A es integralmente cerrado,entonces estos coeficientes estan en A, como se querıa. La otra implicacion es trivial.

ut

Proposicion 3.18 Sea A un dominio entero con campo de fracciones K y sea L unaextension finita de K. Si α ∈ L es entero sobre A, entonces su norma NmL/K(α)∈Ktambien es entera sobre A y, de hecho, NmL/K(α) ∈ A, y α divide a NmL/K(α) enel anillo A[α].

Demostracion. Sea f (x) = Irr(α,K) = xr +ar−1xr−1+ · · ·+a0 y sea F/K un campode descomposicion de f (x). Escribamos

f (x) = (x−α1) · · ·(x−αr) con α1 = α , α1 · · ·αr =±a0 y los αi ∈ F .

Como α es entero sobre A cada uno de sus conjugados αi tambien lo es y por lotanto


NmL/K(α) =( r

∏i=1

αi

)[L:K(α)]

es entero sobre A. Mas aun, como a0 ∈A por el lema anterior, entonces NmL/K(α) =

±an/r0 ∈ A, con n = [L : K] y r = [K(α) : K]. Ahora, de la igualdad

0 = αr +ar−1α

r−1 + · · ·+a1α +a0 = α(α

r−1 +ar−1αr−2 + · · ·+a1

)+a0

se sigue que α divide a a0 en A[α] y por lo tanto divide a NmL/K(α) =±an/r0 . ut

Si K es un campo y A es una K-algebra de tipo finito sobre K y A es un dominioentero, diremos que A es una K-algebra afın. Si K(A) es el campo de fracciones deA, entonces la extension de campos K/K(A)

K → A → K(A)

es finitamente generada (con generadores los mismos elementos que generan A co-mo K-algebra) y al grado de trascendencia de K(A) sobre K se le llama tambien elgrado de trascendencia de A sobre K y usamos la misma notacion

grtrK(A) = grtrK K(A).

Teorema 3.19 (Lema de normalizacion de Noether) Si K es un campo y A es unaK-algebra afın de grado de trascendencia n, entonces existen α1, . . . ,αn ∈ A al-gebraicamente independientes sobre K tales que A es entera sobre el subanilloK[α1, . . . ,αn] generado por los αi:

K ⊆ K[α1, . . . ,αn]⊆ A.

Demostracion. Por hipotesis A es una K-algebra de tipo finito y ası existe un epi-morfismo K[x1, . . . ,xm] A, i.e, A = K[x1, . . . ,xm]/p, con p un ideal primo (porqueA es dominio entero) y claramente n ≤ m. Usaremos induccion sobre m ≥ n. Sim = n las imagenes αi de las variables xi deben ser algebraicamente independientesy ası p = 0, A = K[α1, . . . ,αn] = K[x1, . . . ,xn] y no hay nada que probar. Supon-gamos entonces que m > n y p 6= 0. Basta entonces mostrar la existencia de unasubalgebra B⊆ A generada por m−1 elementos tal que A es entera sobre B ya queaplicando la hipotesis de induccion a B existirıan elementos α1, . . . ,αn ∈ B algebrai-camente independientes sobre K y tales que B es entero sobre K[α1, . . . ,αn] y por latransitividad de la dependencia entera se seguirıa inmendiatemente que A es enterasobre K[α1, . . . ,αn], que es lo que se quiere probar.

Resta mostrar la existencia de la subalgebra B con las propiedades requeridas ypara esto observe primero que los m generadores αi de A (imagenes de las xi enA) no pueden ser algebraicamente independientes porque m > n y grtrK A = n. Ası,existe una relacion no trivial de dependencia algebraica entre ellas:

(1) f (α1, . . . ,αm) = 0


es decir, con f (x1, . . . ,xm) ∈ p−0. Para abreviar la notacion consideremos mul-tiındices ν = (r1, . . . ,rm)∈Nm (pensamos que 0∈N) y escribamos Xν := xr1

1 · · ·xrmm .

Ası podemos escribir el polinomio f anterior como

(2) f (X) = ∑ν∈Nm

aν Xν ∈ p−0.

La idea ahora es hacer un cambio de variables

(3) yi = xi− xbim 1≤ i≤ m−1

donde notamos que K[x1, . . . ,xm] = K[y1, . . . ,ym−1,xm] de tal forma que al substituir(3) en (2) se obtenga un polinomio de la forma

(4) f (X) = axem +q1(Y )xe−1

m + · · ·+qe(Y )

con a ∈ K∗, e ≥ 1 y q j(Y ) ∈ K[y1, . . . ,ym−1]. Para darnos una idea de lo que hayque hacer, desarrollemos los monomios que se obtienen al substituir (3) en (2), paraν = (i1, . . . , im) y β = (b1, . . . ,bm−1,1):

aν Xν = aν xi11 xi2

2 · · ·xim−1m−1xim

m

= aν(y1 + xb1m )i1(y2 + xb2

m )i2 · · ·(ym−1 + xbm−1m )im−1xim

m

= aν xi1b1+i2b2+···+im−1bm−1+imm + terminos que mezclan x j

m y los yi

= aν xν ·βm + terminos que mezclan x j

m y polinomios q(y1, . . . ,ym−1)

donde hemos usado el producto escalar

ν ·β = (i1, . . . , im−1, im) · (b1, . . . ,bm−1,1) = i1b1 + i2b2 + · · ·+ im−1bm−1 + im.

Como lo anterior sucede para cada monomio de (2), para obtener (4) debemos mos-trar que se puede elegir el vector (multi-ındice) β = (b1, . . . ,bm−1,1) para el cambiode variables (3) de tal manera que exista un multi-ındice ν0 en (2) tal que el pro-ducto escalar ν0 ·β sea estrictamente mayor que los otros ν ·β . De esta manera seobtendra (4) como se desea.

Para hacer lo anterior, escojamos un entero b > 1 que sea mayor que todas lascomponentes de los vectores ν =(i1, . . . , im) que ocurren en (2), i.e., con aν 6= 0. Ası,todas los componentes i j de los vectores ν satisfacen que 0≤ i j ≤ b−1, es decir, losvectores ν estan en el cubo [0,b− 1]m (donde solo consideramos puntos con coor-denadas enteras, i.e, [0,b− 1]m = [0,b− 1]m ∩Zm. Ordenemos lexicograficamentelos vectores ν de [0,b−1]m y considere el vector β = (bm−1,bm−2, . . . ,b,1) ∈Nm yla funcion

ϕm : [0,b−1]m→ [0,bm−1]

dada por ϕm(ν) := ν ·β = i1bm−1 + i2bm−2 + · · ·+ im−1b+ im. Note que como cadai j < b, la imagen de ϕm esta en el codominio indicado.

Afirmacion: La funcion ϕm es biyectiva y preserva el orden.


Aceptando por un momento la afirmacion anterior, se sigue que existe un vectorν0 tal que aν0 6= 0 y es el mayor ν tal que aν 6= 0. Por la biyeccion que preserva elorden ϕm, el producto escalar satisface que

ν0 ·β > ν ·β

para todo ν 6= ν0 tal que aν 6= 0. Se sigue que el polinomio f de (2), usando elcambio de variable (3) es de la forma (4) deseada. Note que si ϑi = αi−α

bim , por (1)

se sigue que αm es raız del polinomio

f (ϑ1 + xb1m , . . . ,ϑm−1 + xbm−1

m ,xm) ∈ K[ϑ1, . . . ,ϑm−1][xm]

que tiene la forma (4). Dividiendo este polinomio por el coeficiente a de xmse obtiene un polinomio monico el cual muestra a αm como un entero sobreel anillo K[ϑ1, . . . ,ϑm−1], y claramente los α1, . . . ,αm−1 tambien son enteros so-bre K[ϑ1, . . . ,ϑm−1] porque αi = ϑi + α

bim y los terminos del lado derecho son

enteros sobre K[ϑ1, . . . ,ϑm−1]. Se sigue que A = K[α1, . . . ,αm] es entera sobreB := K[ϑ1, . . . ,ϑm−1], como se querıa. ut

Resta probar la afirmacion usada en la parte final de la demostracion del lema denormalizacion de Noether:

Demostracion. Note primero que la funcion

ϕm : [0,b−1]m→ [0,bm−1]

esta dada como un producto escalar

ϕm(i1, . . . , im) =m

∑j=1

i jbm− j = (i1, . . . , im) · (bm−1, . . . ,b1,1).

Demostraremos que ϕm es biyectiva y preserva el orden por induccion sobre m. Sim = 1, ϕ1 : [0,b−1]1→ [0,b1−1] es la identidad ϕ1(i1) = i1b0 = i1.

(i) Supongamos ahora que la afirmacion es valida para m y sea ϕm+1 : [0,b−1]m+1 → [0,bm+1− 1]. Para ν = (i1, . . . , im, im+1) ∈ [0,b− 1]m+1 considere su pro-yeccion ν = (i1, . . . , im) ∈ [0,b−1]m y observe que la funcion

[0,b−1]m+1→ [0,b−1]m× [0,b−1]

dada por ν 7→ (ν , im+1) es una biyeccion que preserva los ordenes lexicograficos.Note ahora que

ϕm+1(ν) = (i1, . . . , im, im+1) · (bm,bm−1, . . . ,b,1) = i1bm + · · ·+ imb+ im+1

= b(i1bm−1 + · · ·+ im−1b+ im)+ im+1

= bϕm(ν)+ im+1.


(ii) Observamos primero que ϕm+1 tiene el codominio indicado ya que, por hipotesisde induccion ϕm(ν)≤ bm−1 y ası, por la igualdad de (i),

ϕm+1(ν) = bϕm(ν)+ im+1 ≤ b(bm−1)+ im+1

≤ bm+1−b+ im+1 ≤ bm+1−b+b−1 ya que im+1 ≤ b−1

= bm+1−1.

(iii) Probaremos ahora que ν < ν ′ en [0,b−1]m+1 implica que ϕm+1(ν)<ϕm+1(ν′).

En efecto, ν < ν ′ quiere decir que ν < ν′ o ν = ν

′ e im+1 = i′m+1. En el primer casola hipotesis de induccion implica que ϕm(ν)< ϕm(ν

′) y ası ϕm(ν′)≥ ϕm(ν)+1 por

lo que

ϕm+1(ν′) = bϕm(ν

′)+ i′m+1 ≥ b(ϕm(ν)+1

)+ i′m+1

= bϕm(ν)+b+ i′m+1

> bϕm(ν)+ im+1 ya que im+1 ≤ b−1 < b

= ϕm+1(ν),

es decir, ϕm+1(ν′)> ϕm+1(ν), como se querıa.

En el segundo caso, ν = ν′ e im+1 < i′m+1, y se tiene que

ϕm+1(ν′) = bϕm(ν

′)+ i′m+1 = bϕm(ν)+ i′m+1

< bϕ(ν)+ im+1 = ϕm+1(ν),

como se querıa. Finalmente, observe que como ϕm preserva el orden, entonces ϕmes inyectiva, y como el cardinal de [0,b− 1]m es bm que es igual al cardinal de[0,bm−1], se sigue que ϕm es biyectiva, como se querıa. ut

Para demostrar el teorema de los ceros de Hilbert, necesitaremos un resultado deZariski que es consecuencia del lema siguiente:

Lema 3.20 Sean K ⊆ L anillos tales que L es entero sobre K. Si L es un campoentonces K es un campo.

Demostracion. Mostraremos que todo elemento a 6= 0 de K tiene inverso multipli-cativo. Como 0 6= a ∈ K ⊆ L y L es campo, entonces 1/a ∈ L y como L es enterosobre K entonces para 1/a existe un polinomio monico

f (x) = xn +bn−1xn−1 + · · ·+b1x+b0 ∈ K[x]

tal que f (1/a) = 0, i.e.,

1an +

bn−1

an−1 + · · ·+ b1

a+b0 = 0

y multiplicando por an−1 obtenemos que


1a=−bn−1−abn−2−·· ·−an−1b1 ∈ K

y ası K es un campo. ut

Corolario 3.21 (Lema de Zariski) Si K ⊆ L son campos con L de tipo finito, en-tonces L/K es una extension algebraica y por lo tanto L/K es una extension finita.

Demostracion. Sea n = grtrK L. Por el lema de normalizacion de Noether existenα1, . . . ,αn ∈ L algebraicamente independientes sobre K y tales que L es entera sobreK[α1, . . . ,αn]. Por el lema anterior se sigue que K[α1, . . . ,αn] es un campo. Ahora,como las αi son algebraicamente independientes sobre K entonces K[α1, . . . ,αn] esun anillo de polinomios, y como es un campo se debe entonces tener que n = 0 ypor lo tanto L/K es algebraica. ut

Teorema 3.22 (Teorema de los ceros de Hilbert) Si K es un campo algebraica-mente cerrado, entonces:

(1) Los ideales maximos del anillo K[x1, . . . ,xn] son de la forma

m= 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉

con los ai ∈ K.

(2) Si I ⊆ K[x1, . . . ,xn] es un ideal, entonces V(I) 6= /0.

(3) Para todo ideal I ⊆ K[x1, . . . ,xn] se tiene que I(V(I)) =√

I.

Demostracion. Para la parte (2) podemos suponer que I es maximo, ya que de locontrario tomando m maximo tal que I ⊆ m, como V(m) ⊆ V(I), si probamos queV(m) 6= /0 entonces V(I) 6= /0. Ahora, para la parte (1), claramente el ideal 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 es maximo porque el cociente K[x1, . . . ,xn]/〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 'K. Por otra parte, si m es maximo, el cociente K[x1, . . . ,xn]/m es un campo extensionde K:

K → K[x1, . . . ,xn] K[x1, . . . ,xn]/m=: L

donde L es de tipo finito sobre K y ası, por el corolario anterior, L/K es algebraicay como K es algebraicamente cerrado entonces K = L = K[x1, . . . ,xn]/m. Se sigueque, para todo 1 ≤ i ≤ n y para xi +m ∈ L existe ai ∈ K tal que xi +m = ai, i.e.,xi−ai ∈m y por lo tanto

〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 ⊆m

y como el ideal 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉 es maximo se sigue que

m= 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉

y por lo tanto

V(m) = V〈x1−a1, . . . ,xn−an〉= (a1, . . . ,an) 6= /0.


Lo anterior demuestra las primeras dos partes del teorema.Para (3), observe primero que

√I ⊆ IV(I), ya que si f ∈

√I entonces f m ∈ I

para algun m ≥ 1 y por lo tanto si P ∈ V(I), se debe tener que 0 = f m(P) = f (P)m

y ası f (P) = 0, i.e., f ∈ IV(I). Recıprocamente, si f 6∈√

I, como√

I =⋂

I⊆p p, conlos p primos, entonces f 6∈

√I quiere decir que existe un primo p tal que I ⊆ p pero

f 6∈ p. Sea f la clase de f en A = K[x1, . . . ,xn]/p y considere la localizacion A f ynote que este anillo no es cero porque f no es nilpotente. Sea m un ideal maximode A f . Note que como K[x1, . . . ,xn] es una K-algebra de tipo finito, entonces A y A ftambien lo son. Ademas se tiene una extension de campos

K → K[x1, . . . ,xn] A→ A f A f /m

donde A f /m es de tipo finito sobre K. Por 3.18 la extension es algebraica y como Kes algebraicamente cerrado, entonces K = A f /m y las imagenes ti ∈ A f /m = K delas xi ∈ K[x1, . . . ,xn] definen el punto P = (t1, . . . , tn) ∈ Kn y se tiene que:

(i) P ∈ V(I), ya que para todo g ∈ I, como I ⊆ p, entonces g se anula en P porquelas ti son imagenes de las xi pasando al cociente por m⊇ p.

(ii) f (P) 6= 0 ya que por la eleccion de p se tiene que f 6∈ p.

Claramente (i) y (ii) implican que f 6∈ IV(I). ut

Otra demostracion del lema de normalizacion de Noether. En geometrıa alge-braica es importante tener otra demostracion del lema de normalizacion de Noetherdonde el cambio de variables

yi = xi− xbim

sea lineal. Esto es posible en el caso cuando el campo K es infinito, que es lo quese tiene en geometrıa algebraica donde K es algebraicamente cerrado. Para poderdemostrar lo anterior, necesitaremos usar que si un polinomio f ∈ K[x1, . . . ,xn] seanula en todo Kn, entonces f = 0 es el polinomio cero. Para un campo finito K = Fqlo anterior no es cierto, por ejemplo el polinomio f (x) = xq− x ∈ Fq[x] se anula entodo Fq (por el teorema pequeno de Fermat) pero no es el polinomio cero.

Lema 3.23 Sea K un campo infinito. Si 0 6= f ∈K[x1, . . . ,xn], entonces, V( f ) 6= Kn.

Demostracion. Induccion sobre n ≥ 1. El caso n = 1 es porque si f ∈ K[x] no escero, el numero de raıces de f es≤ que su grado, y K es infinito. Supongamos ahoraque el lema es valido para ≤ n− 1 variables y sea 0 6= f ∈ K[x1, . . . ,xn]. Observeprimero que Kn−1 ⊆Kn identificando (α1, . . . ,αn−1)∈Kn−1 con (α1, . . . ,αn−1,0)∈Kn. Factorizando las potencias xi

n en los monomios de f , escribamos

(∗) f = ak(x1, . . . ,xn−1)xkn + · · ·

y note que si no aparece la variable xn en f , entonces f ∈ K[x1, . . . ,xn−1] y porhipotesis de induccion existe un punto (α1, . . . ,αn−1,0) ∈ Kn−1 ⊆ Kn tal que fno se anula en ese punto. Podemos entonces suponer que xn aparece en f y queak(x1, . . . ,xn−1) 6= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipotesis de induccion


existe un punto (α1, . . . ,αn−1) ∈ Kn−1 tal que ak(α1, . . . ,αn−1) 6= 0. Substituyendoel punto (α1, . . . ,αn−1) en todos los coeficientes ai en (∗) se obtiene el polinomioen una variable:

f = ak(α1, . . . ,αn−1)xkn + · · · ∈ K[xn]

donde el coeficiente ak(α1, . . . ,αn−1) 6= 0 y por lo tanto f tiene ≤ gr( f ) raıces,i.e., no se puede anular en todo K, i.e., existe αn ∈ K tal que 0 6= f (αn) =f (α1, . . . ,αn−1,αn), i.e., no se anula en todo Kn. ut

Lema 3.24 Si K es un campo infinito y f ∈ K[x1, . . . ,xn] es un polinomio no nulode grado d, entonces existe un cambio de variables lineal x′i = xi− aixn, para 1 ≤i≤ n−1, y con ai ∈ K, tales que el polinomio

f (x′1 +a1xn, . . . ,x′n−1 +an−1xn,xn) ∈ K[x′1, . . . ,x′n−1,xn]

tiene un termino de la forma cxdn , con c ∈ K.

Demostracion. Escribamos x′i = xi− aixn, para alguna eleccion de ai ∈ K, 1 ≤ i ≤n−1. Sea fd la componente homogenea de f de grado d y escribamos f = fd +g,con g de grado ≤ n−1. Entonces,

f (x′1 +a1xn, . . . ,x′n−1 +an−1xn,xn) = fd(a1, . . . ,an−1,1)xdn + terminos degrado menor en xn

ya que cada monomio de grado d en fd es de la forma axe11 · · ·xen

n con ∑ei = d, y alsubstituir xi por x′i, 1≤ i≤ n−1 el monomio queda de la forma

a((x′1 +a1xn)e1 · · ·(x′n−1 +an−1xn)

en−1xenn

donde al expandir los binomios notamos que al juntar los terminos de mayor gradoen xn queda

a(ae11 xe1

n · · ·aen−1n−1 xen−1

n xenn ) = a(ae1

1 · · ·aen−1n−1 ·1)x

enn = md(a1, . . . ,an−1,1)xd

n

porque ∑ei = d, de donde se sigue la afirmacion con fd = ∑md . Finalmente, nota-mos ahora que fd(x1, . . . ,xn−1,1) es un polinomio en x1, . . ., xn−1 que no es nulo,porque de lo contrario f no tendrıa grado d; se sigue que V( fd) 6= Kn por el lemaanterior. Ası, existen a1, . . . ,an−1 ∈ K tales que fd(a1, . . . ,an−1,1) 6= 0 y poniendoc = fd(a1, . . . ,an−1,1) se sigue la conclusion del lema. ut

Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg. Si A⊆ B son anillos conB entero sobre A, hay una relacion entre las cadenas de ideales de A y las de B, losteoremas de ((subida y bajada)) de Cohen-Seidenberg que a continuacion probare-mos. En su demostracion usaremos el lema de Krull siguiente:

Lema 3.25 (Krull) Sean I ⊆ A un ideal y S ⊆ A un subconjunto multiplicativo talque S∩ I = /0. Entonces, el conjunto

M= J ⊆ A : J es un ideal tal que I ⊆ J y J∩S = /0


tiene un elemento maximo y este es un ideal primo.

Demostracion. Sea C= Jλλ∈Λ una cadena en M y sea J :=⋃

λ∈Λ Jλ . Entonces, Jes un ideal de A, I⊆ J y J∩S= /0. Por el lema de Zorn M tiene un elemento maximo,digamos p. Supongamos ahora que ab∈ p y que a,b∈A−p. Como a∈ 〈a〉 y b∈ 〈b〉,entonces p 〈a〉+p y p 〈b〉+p y ası, por la maximalidad de p se debe tener que

(〈a〉+p)∩S 6= /0 y (〈b〉+p)∩S 6= /0.

Por lo tanto, existen p, p′ ∈ p y r,r′ ∈ A tales que

ra+ p ∈ S y r′b+ p′ ∈ S

y consecuentemente

(ra+ p)(r′b+ p′) = rr′ab+ rap′+ r′bp+ pp′ ∈ p∩S

(porque en el lado derecho ab ∈ p y los otros sumandos tienen un factor p o p′ dep), pero lo anterior es una contradiccion con el hecho de que p∩S = /0. Se sigue quep es primo.

NOTA. Si S = 1, el lema anterior muestra que todo ideal propio I (lo cual es loque dice I∩S = I∩1= /0) esta contenido en un ideal maximo. ut

Lema 3.26 Sean A⊆ B anillos con B entero sobre A. Sea J ⊆ B un ideal e I = A∩J.Entonces,

(1) B/J es entero sobre A/I

(2) Si J contiene un elemento que no es divisor propio de cero, entonces I 6= 0.

Demostracion. Claramente A/I es un subanillo de B/J y si b+J ∈ A/J, como b ∈ Bes entero sobre A, entonces satisface una ecuacion polinomial de la forma bn +an−1bn−1 + · · ·+a1b+a0 = 0, con los ai ∈ A. Reduciendo modulo J se obtiene que

(b+ J)n +(an−1 + I)(b+ J)n−1 + · · ·+(a1 + I)(b+ J)+(a0 + I) = 0

que muestra que b+ J es entero sobre A/I. Para la parte (2), si 0 6= b ∈ J no esdivisor de cero y satisface la ecuacion de dependencia entera bn +an−1bn−1 + · · ·+a1b+ a0 = 0, con los ai ∈ A, podemos asumir que a0 6= 0 ya que si no fuera ası,factorizando a b lo podemos cancelar porque no es divisor de cero y obtenemos deesta manera una ecuacion de grado menor. Se sigue que 0 6= a0 ∈ J∩A = I y por lotanto I 6= 0. ut

Lema 3.27 Sean A⊆ B anillos con B entero sobre A. Entonces,

(1) Si I ⊆ A es un ideal (en particular, I es subanillo de B), entonces√

IB son loselementos de B que son enteros sobre I.


(2) Para todo ideal primo p⊆ A existe un ideal primo P⊆ B tal que1 P∩A = p. Enotras palabras, la funcion SpecB→ SpecA dada por P 7→P∩A es suprayectiva.

(3) Si P1 ⊆P2 son primos de B tales que P1∩A =P2∩A, entonces P1 =P2.

Demostracion. Si α ∈ B es entero sobre I, entonces satisface una ecuacion αn +an−1αn−1 + · · ·+ a1α + a0 = 0 con los ai ∈ I. Se sigue que αn = −an−1αn−1−·· ·−a1α−a0 ∈ IB y por lo tanto α ∈

√IB. Recıprocamente, si α ∈

√IB, entonces

una potencia αm ∈ IB y la podemos escribir como αm =∑ni=1 aibi con ai ∈ I y bi ∈B.

Como los bi son enteros sobre A, entonces A[b1, . . . ,bn] es un A-modulo finitamentegenerado y αm = ∑

ni=1 aibi ∈ IA[b1, . . . ,bn]. Por el ejercicio 22 se sigue que αm es

entero sobre I y ası satisface una ecuacion (αm)k + ak−1(αm)k−1 + · · ·+ a1(α

m)+a0 = 0 con los ai ∈ I, y por lo tanto α satisface la ecuacion αmk + ak−1αm(k−1)+· · ·+a1αm +a0 = 0 con los ai ∈ I, , es decir, α es entero sobre I.

Para (2), si p es un ideal primo de A, considere el conjunto multiplicativo S =A− p. Como pB ⊆ B y B es entero sobre A, por la parte (1) los elementos α de Bque son enteros sobre p son los α ∈

√pB y ası satisfacen una ecuacion de la forma

αn +an−1α

n−1 + · · ·+a1α +a0 = 0 (n > 0, ai ∈ p).

Si sucediera que α ∈ pB∩ S (en particular α ∈ A), entonces αn ∈ p y como p esprimo se tendrıa que α ∈ p, en contradiccion con el hecho de que α ∈ S = A−p. Sesigue que pB∩S = /0 y ası por el lema de Krull 3.25 existe un primo P⊆ B tal quepB⊆P y P∩S = /0, lo cual implica que P∩A = p, como se querıa.

Para (3), pongamos p = P1 ∩ A = P2 ∩ A. Por la parte (1) del lema anteriorB/P1 es entero sobre A/p y como P2 ⊇P1, entonces P2/P1 es un primo de B/P1y ademas (A/p)∩ (P2/P1) =

(A/(P2 ∩A)

)∩(P2/P1

)= 0. Por la parte (2) del

lema anterior se debe tener que P2/P1 = 0, ya que B/P1 es dominio entero. Sesigue que P1 =P2. ut

Teorema 3.28 Sean A⊆ B anillos con B entero sobre A. Entonces,

(1) Si P0 P1 · · · Pn es una cadena de primos de B y si pi =Pi∩A, entoncesp0 p1 · · · pn es una cadena de primos de A.

(2) (Teorema de ((subida)) de Cohen-Seidenberg). Para toda cadena de primos p0 p1 · · · pn de A y para cualquier primo P0 de B arriba de p0, existe una cadenade primos P0 P1 · · · Pn de B tales que pi =Pi∩A.

(3) (Teorema de ((bajada)) de Cohen-Seidenberg). Supongamos ademas que A y Bson dominios enteros con A integralmente cerrado (en su campo de fracciones K).Si p0 p1 son primos de A y P1 es un primo de B arriba de p1, entonces existe unprimo P0 de B arriba de p0 y tal que P0 P1.

Demostracion. Claramente los ideales pi estan encadenados porque los Pi lo estan.Que las inclusiones son propias es la parte (3) del lema anterior. Para (2), por 3.27 (2)

1 Se suele decir que arriba de cualquier primo de A hay algun primo de B.


existe P0 arriba de p0. Supongamos por induccion que ya se construyo una cadenaP0 · · · Pk de primos de B arriba de p0 · · · pk. Entonces, para pk =Pk ∩Ay para la extension de anillos A/pk ⊆ B/Pk, que es entera por 3.26, y para el idealprimo pk+1/pk de A/pk, por el lema 3.27 (2) existe un primo Pk+1/Pk de B/Pkarriba de pk+1/pk y por lo tanto Pk+1 es un primo de B arriba de pk+1.

Para (3), observe que los conjuntos S0 = A−p0, S1 = B−P1 y S = S0S1 = ab :a ∈ S0,b ∈ S1 ⊆ B son multiplicativos y ademas Si ⊆ S. Mostraremos que

(∗) p0B∩S = /0.

Note que una vez probado (∗), por el lema de Krull 3.25, existe un primo P0 ⊆ B talque p0B⊆P0 y P0∩S= /0. Por lo tanto P0∩S1 = /0 y consecuentemente P0⊆P1 yde P0∩S= /0 se sigue que P0∩A= p0. La inclusion P0 P1 es propia por 3.27(3).Esto prueba la parte (3) y ası solo resta demostrar (∗). Para esto, supongamos queexiste un c ∈ p0B∩ S. Entonces, c es entero sobre p0 y ası su monico irreducibleIrr(c,K) tiene coeficientes en p0:

Irr(c,p0) = xn +an−1xn−1 + · · ·+a1x+a0 ai ∈ p0.

Ahora, como c ∈ S, entonces c = ab con a ∈ S0,b ∈ S1, y el polinomio monicoirreducible de b = c/a es

Irr(b,p0) = xn +an−1

axn−1 + · · ·+ a1

an−1 x+a0

an

y como b es entero sobre A, entonces los coeficientes ai/an−i de este polinomioestan en A. Poniendo ai/an−i = ρi ∈ A, se sigue que ai = an−iρi con ρi ∈ A, y comoai ∈ p0 y a 6∈ p0, entonces ρi ∈ p0 y por lo tanto b es entero sobre p0 y ası, por 3.27(1)se sigue que b∈

√p0B⊆P1, en contradiccion con el hecho de que b∈ S1 = B−P1,

y esto prueba (∗). utut

Propiedades locales. Si A es un anillo arbitrario, al localizarlo en un ideal primop, el anillo Ap es, de cierta forma, mas sencillo que el anillo A, por ejemplo Ap esun anillo con un unico ideal maximo y los ideales de Ap se corresponden biyectiva-mente con los ideales de A contenidos en p. Todo esto se captura al decir que Ap esun anillo local.

Muchas de las propiedades del anillo A siguen siendo validas para sus localiza-ciones Ap. Por ejemplo, si A es un dominio entero, entonces cada Ap tambien es undominio entero ya que si (a/s)(b/t) = 0 en Ap, entonces ab/st = 0 en Ap y ası exister ∈ A− p tal que r(ab) = 0, y como r 6= 0 y A es dominio entero, entonces ab = 0en A y ası a = 0 o b = 0, por lo que a/s = 0 o b/t = 0 en Ap.

En general, si un anillo A tiene una propiedad P y si los localizados Ap tam-bien tienen la propiedad, uno puede esperar que la demostracion sea razonable. Estaexpectativa se conoce como el paso de global a local.


Recıprocamente, si cada anillo localizado Ap tiene la propiedad P, en generalsera difıcil probar que el anillo A tiene esa misma propiedad. Esto es lo que seconoce como el paso de local a global.

La propiedad P se dice que es una propiedad local del anillo A si y solo si pasade local a global y viceversa, para todo ideal primo p de A. Si M es un A-moduloy P es una propiedad de modulos, en forma similar se define el que P sea unapropiedad local. Si φ : M→N es un A-morfismo y P es una propiedad de morfismos,se dice que P es una propiedad local si y solo si la satisfacen las localizacionesφp : Mp → Np, para todo ideal primo p de A. A continuacion probamos algunosejemplos de propiedades locales.

Ser cero es una propiedad local:

Proposicion 3.29 Sea M un A-modulo. Son equivalentes:

(1) M = 0.

(2) Mp = 0, para todo ideal primo p de A

(3) Mm = 0, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. Claramente (1)⇒ (2)⇒ (3). Para (3)⇒ (1), supongamos que M 6=0 y sea 0 6= x ∈M. Pongamos I = (0 : x). Entonces, I A porque 1 6∈ I ya que x 6= 0.Por lo tanto, existe un ideal maximo m tal que m⊇ I. Localizando en m, considerex/1 ∈Mm = 0. Entonces, x/1 = 0 y ası existe s ∈ A−m tal que sx = 0 y por lo tantos ∈ (0 : x) = I ⊆m, una contradiccion porque s 6∈m. ut

Ser reducido es una propiedad local:

Corolario 3.30 Sea A un anillo. Son equivalentes:

(1) A es reducido.

(2) Ap es reducido, para todo ideal primo p de A.

(3) Am es reducido, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. Recordemos que un anillo es reducido si su unico elemento nilpo-tente es el cero, i.e., si su nilradical nilA = 0. Ahora, por el ejercicio 14, localizacionconmuta con la formacion de nilradicales y ası nilAp = (nilA)p. Entonces el coro-lario de sigue de la proposicion anterior aplicada a M = nilA. ut

Ser inyectivo, suprayectivo o biyectivo, son propiedades locales:

Proposicion 3.31 Sea φ : M→ N un A-morfismo. Son equivalentes:

(1) φ es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo).

(2) φp : Mp→Np es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), para todoideal primo p de A.

(3) φm : Mm → Nm es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), paratodo ideal maximo m de A.


Demostracion. (1)⇒ (2): 0→ Mφ−→ N exacta implica que 0→ Mp

φp−→ Np esexacta, porque la localizacion es un funtor exacto. Como antes, (2)⇒ (3) es porquetodo maximo es primo. Para (3) ⇒ (1), sea M′ := kerφ de tal forma que se tiene

la sucesion exacta 0→ M′ → Mφ−→ N. De nuevo, como localizar es un funtor

exacto se sigue que 0→M′m→Mmφm−→ Nm es una sucesion exacta, y como φm es

inyectivo, por hipotesis, se sigue que M′m = 0 para todo ideal maximo de A y ası,por la proposicion anterior, M′ = 0 y por lo tanto φ es inyectiva. Para el caso desuprayectividad, invierta las flechas anteriores. ut

Ser plano es una propiedad local:

Proposicion 3.32 Sea M un A-modulo. Son equivalentes:

(1) M es plano como A-modulo.

(2) Mp es plano como Ap-modulo, para todo ideal primo p de A.

(3) Mm es plano como Am-modulo, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. (1) ⇒ (2): Supongamos que 0→ N′ → N es una sucesion exactade Ap-modulos y tensoremos con Mp para formar la sucesion 0→ N′⊗Ap Mp →N⊗Ap Mp la cual queremos probar que es exacta. Para los modulos en esta sucesionse tienen los isomorfismos

N⊗Ap Mp ' N⊗Ap Ap⊗A M ' N⊗A M

y similarmente N′⊗Ap Mp ' N′⊗A M y ası la sucesion anterior se puede escribircomo 0→ N′⊗A M→ N⊗A M, la cual es exacta porque M es plano como A-modu-lo y la sucesion exacta 0→ N′ → N la podemos pensar como de A-modulos, porcambio de anillos usando el morfismo canonico ρ : A→ Ap. Como siempre, (2)⇒(3) es trivial. Para (3)⇒ (1), si 0→ N′

φ−→ N es exacta, como localizar es un funtor

exacto, entonces para todo ideal maximo m se tiene que 0→ N′mφm−→ Nm es exac-

ta y ası 0→ N′m⊗Am Mmφm⊗id−→ Nm⊗Am Mm es exacta porque Mm es plano. Por el

ejercicio 12 tensorar y localizar conmutan y ası la sucesion exacta anterior se puede

escribir como la sucesion exacta 0→ (N′⊗A M)m(φ⊗id)m−→ (N⊗A M)m, lo cual im-

plica que 0→ N′⊗A Mφ⊗id−→ N⊗A M es exacta, por la proposicion anterior. ut

Ser integralmente cerrado es una propiedad local:

Proposicion 3.33 Sea A un dominio entero. Son equivalentes:

(1) A es integralmente cerrado.

(2) Ap es integralmente cerrado, para todo ideal primo p de A.

(3) Am es integralmente cerrado, para todo ideal maximo m de A.


Demostracion. Sea K el campo de fracciones de A. Claramente, K es el campo defracciones de Ap, para todo ideal primo p de A. Sea A la cerradura entera de A en Ky sea f : A → A la inclusion. Por el lema siguiente, la cerradura entera de Ap en K es(A)p y la inclusion de Ap → (A)p es la localizacion fp : Ap → (A)p. Entonces, A esintegralmente cerrado si y solo si f es un epimorfismo, lo cual por una proposicionanterior y las observaciones previas, sucede si y solo si fp es suprayectiva, para todoideal primo o maximo de A, i.e., si y solo si Ap es integralmente cerrado. ut

Lema 3.34 Sean A ⊆ B anillos, A la cerradura entera de A en B y S ⊆ A un sub-conjunto multiplicativo. Entonces, S−1A es la cerradura entera de S−1A en S−1B.

Demostracion. De A⊆ A⊆ B se sigue que S−1A⊆ S−1A⊆ S−1B, y por el ejercicio18, S−1A es entero sobre S−1A. Por otro lado, si b/s ∈ S−1B es entero sobre S−1A,se tiene una ecuacion de dependencia entera

(b/s)n +(an−1/sn−1)(b/s)n−1 + · · ·+(a1/s1)(b/s)+a0/s0 = 0

con ai ∈ A, si ∈ S. Sea t = s0 · · ·sn−1 ∈ S y multipliquemos ambos lados de la ecua-cion anterior por (st)n para obtener que

(bt)n + cn−1(bt)n−1 + · · ·+ c0 = 0

con los ci ∈ A lo cual muestra que bt es entero sobre A y por lo tanto bt ∈ A yası b/s = bt/st ∈ S−1A. ut

Ejercicios

3.1. Verifique que la relacion usada para definir el anillo de fracciones S−1A es, enefecto, de equivalencia.

3.2. En la demostracion de la parte 3 de 3.7 compruebe que S es un conjunto multi-plicativo de A/p y que se tiene el isomorfismo S−1

(A/p)' S−1A/S−1p.

3.3. Sean A un anillo y S ⊆ A cualquier subconjunto. Es claro que existen subcon-juntos multiplicativos S′ ⊆ A que contienen a S, por ejemplo S′ = A. Tambien, lainterseccion de subconjuntos multiplicativos es multiplicativo. Entonces, la inter-seccion de todos los subconjuntos multiplicativos de A que contienen a S es unsubconjunto multiplicativo de A y se llama el subconjunto multiplicativo generadopor S. Es el menor subconjunto multiplicativo de A que contiene a S.

(1) Demuestre que el subconjunto multiplicativo generado por S consiste de todoslos productos finitos de elementos de S.

(2) Sean f : A→ B un morfismo de anillos, S ⊆ A, T ⊆ B subconjuntos multipli-cativos tales que f (S)⊆ T y f : S−1A→ T−1B el morfismo inducido 3.4. Supongaademas que T es igual al subconjunto multiplicativo de B generado por f (S).


Si f es inyectiva demuestre que f lo es tambien.Si f es suprayectiva demuestre que f lo es tambien.

3.4. Si S ⊆ A, es multiplicativo y f : A→ B es un monomorfismo de anillos tal quef (S)⊆ B∗, demuestre que f en 3.2 tambien es inyectivo.

3.5. Si S⊆ T son subconjuntos multiplicativos de un anillo A, demuestre que existeun unico morfismo ϕ : S−1A→ T−1A tal que el diagrama siguiente conmuta

Aϕ1

!!

ϕ2

S−1A

ϕ// T−1A

3.6. Si (A,m) es un anillo local, demuestre que A' Am. Sugerencia: A−m= A∗.

3.7. Localizacion de modulos. Si M es un A-modulo y S ⊆ A es un conjunto mul-tiplicativo, como en el ejercicio 1 verifique que se tiene la relacion de equivalencia∼ en M×S dada por

(x,s)∼ (y, t)⇔ existe u ∈ S tal que u(tx− sy) = 0.

El conjunto cociente se denota por S−1M y a la clase de equivalencia de (x,s) sele denota por x/s ∈ S−1M. Compruebe entonces que se tienen bien definidas lasoperaciones siguientes:

(i) Suma: Para x/s,y/t ∈ S−1M,

xs+

yt

:=tx+ sy

st.

(ii) Accion de S−1A en S−1M: Para a/s ∈ S−1A y x/s ∈ S−1M,

as· x

t:=

axst.

Demuestre que, con las operaciones anteriores, S−1M es un S−1A-modulo. Note que,por cambio de anillos (o restriccion de escalares) mediante el morfismo canonicoϕ : A→ S−1A, se sigue que S−1M tambien es un A-modulo. En los casos particularescuando S = A−p, para p un ideal primo, se usara la notacion Mp = S−1M. Tambien,cuando S = f n : n≥ 0, usaremos la notacion M f = S−1M.

3.8. Si f : M → N es un A-morfismo, demuestre que f induce un S−1A-morfismoS−1 f : S−1M → S−1N dado por x/s 7→ f (x)/s. Si g : N → P es otro A-morfismo,demuestre que S−1(g f ) = S−1(g)S−1( f ). Se sigue que

S−1 : A-mod→ S−1A-mod

es un funtor covariante.


3.9. Demuestre que S−1 es un funtor exacto.Se sigue que, si M′ ⊆M es un submodulo, entonces S−1M′ S−1M es un mo-

nomorfismo y por lo tanto S−1M′ se puede ver como un submodulo de S−1M.

3.10. Usando la observacion final del ejercicio anterior, si S ⊆ A es multiplicativo,demuestre que si N,N′ son submodulos de M, entonces:

(i) S−1 conmuta con sumas finitas, i.e., S−1(N +N′) = S−1N +S−1N′.(ii) S−1 conmuta con intersecciones finitas, i.e., S−1(N∩N′) = S−1N∩S−1N′.(iii) S−1 conmuta con cocientes, i.e., S−1(M/N)' S−1M/S−1N.

3.11. Si S ⊆ A es multiplicativo y M es un A-modulo, demuestre existe un unicoS−1A-isomorfismo

ψ : S−1A⊗A M ∼−→ S−1M

tal que ψ((a/s)⊗ x) = ax/s, para todo a ∈ A, s ∈ S, x ∈ M. Sugerencia: Muestreque S−1A×M→ S−1M dada por (a/s,x) 7→ ax/s es A-bilineal y use la propiedaduniversal del producto tensorial para definir unıvocamente a ψ . Para la inyectividad,dada una suma finita de elementos del dominio use un denominador comun paracaracterizar los elementos de S−1A⊗A M y cuando este elemento va a dar a cero,use la relacion de equivalencia que define a S−1M.

3.12. Si M,N son A-modulos y S ⊆ A es multiplicativo, demuestre que se tiene ununico S−1A-isomorfismo

ψ : S−1M⊗S−1A S−1N ∼−→ S−1(M⊗A N)

tal que ψ((x/s)⊗ (y/t)) = (x⊗ y)/st.

3.13. Si S ⊆ A es multiplicativo, por el ejercicio 10, S−1 conmuta con sumas finitase intersecciones finitas de ideales. Demuestre que conmuta con productos finitos deideales y con la formacion de radicales, i.e., si I ⊆ A es un ideal, demuestre queS−1√

I =√

S−1I.

3.14. Si S⊆ A es multiplicativo, demuestre que nil(S−1A) = S−1(nilA).

3.15. Si S⊆ A es cualquier conjunto multiplicativo, escojamos un conjunto de inde-terminadas xss∈S indexadas por S. Considere el anillo de polinomios A[xs : s ∈ S]y el ideal I generado por los polinomios de la forma sxs− 1, variando s ∈ S. Seai : A→ A[xs : s ∈ S]/I el morfismo natural. Demuestre que A[xs : s ∈ S]/I es natu-ralmente isomorfo al anillo de fracciones S−1A. Sugerencia: Vea el lema 3.6.

3.16. Un A-modulo M se dice que es fiel si siempre que a ∈M es tal que aM = 0 setiene que a = 0. Si A⊆ B son anillos y α ∈ B, demuestre que α es entero sobre A siy solo si existe un A-submodulo fiel M ⊆ B finitamente generado tal que αM ⊆M.

3.17. Si A es un dominio entero integralmente cerrado en su campo de fracciones Ky si f (x) ∈ A[x] es monico, demuestre que todo factor monico de f (x) en K[x] dehecho esta en A[x]. Sugerencia: basta considerar factores monicos irreducibles def (x).


3.18. Si A⊆ B son anillos con B entero sobre A y S⊆ A es un subconjunto multipli-cativo, demuestre que S−1B es entero sobre S−1A.

3.19. Demuestre que el lema de Zariski 3.21 se sigue del teorema de los ceros deHilbert 3.22.

3.20. El lema 3.18 se puede mejorar: si K ⊆ L son dominios enteros tales que L esentero sobre K, demuestre que L es un campo si y solo si K es un campo.

3.21. Si A ⊆ B son anillos y B es entero sobre A, demuestre que m ⊆ B es un idealmaximo si y solo si m∩A es maximo.

3.22. Si A⊆B son anillos, I ⊆A es un ideal y α ∈B, demuestre que las afirmacionessiguientes son equivalentes:

(i) α es entero sobre I.(ii) A[α] es un A-modulo finitamente generado y α ∈

√IA[α].

(iii) Existe un subanillo A⊆C⊆ B tal que α ∈C, C es finitamente generado comoA-modulo y α ∈

√IC.

3.23. Si A⊆B son dominios enteros con campos de fracciones K y L respectivamen-te. Demuestre que si L/K es algebraica y simple, i.e., existe un elemento primitivoα ∈ L tal que L = K(α), entonces existe un elemento primitivo en B.

3.24. Sea K un campo. Demuestre que toda K-algebra A ⊆ K[x] es de tipo finitosobre K.

3.25. Si A⊆ B son anillos con B entero sobre A, demuestre que la funcion SpecB→SpecA de 3.26 es cerrada.

3.26. Si A es un anillo y G ⊆ Aut(A) es un subgrupo finito del grupo de automor-fismos de A (i.e., el conjunto de isomorfismos de A en A con la composicion comooperacion de grupo), sea AG el subanillo de G-invariantes de A, i.e., el conjunto depuntos fijos de A bajo la accion de G:

AG := a ∈ A : σ(a) = a para todo σ ∈ G.

(i) Demuestre que A es entero sobre AG. Sugerencia: Si a ∈ A, muestre que aes raız del polinomio ∏σ∈G(x−σ(a)) y que este polinomio es monico y tienecoeficientes en AG.

(ii) Si S⊆A es un subconjunto multiplicativo tal que σS⊆ S, para todo σ ∈G, seaSG := S∩AG. Claramente SG es un subconjunto multiplicativo de AG. Demuestreque la accion de G en A se extiende a una accion G×S−1A→ S−1A.

(iii) En la situacion del inciso anterior, demuestre que (SG)−1AG ' (S−1A)G.(iv) Si p es un ideal primo de AG y P es el conjunto de primos P de A tales que

P∩AG = p, demuestre que G actua transitivamente en P. Concluya que P esfinito.


(v) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es una exten-sion finita, normal y separable, sea G = Gal(L/K) el grupo de Galois de L/K ysea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que σB = B para todo σ ∈ G yque A = BG.

(vi) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es una exten-sion finita, sea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que para todo primo pde A, el conjunto de primos P de B tales que P∩A = p es finito.

3.27. Si I A es un ideal propio, demuestre que S= 1+a : a∈ I es multiplicativoy que los ideales primos de S−1A se corresponden biyectivamente con los idealesprimos p de A tales que p+ I 6= A.

3.28. Si S⊆ A es multiplicativo e I ⊆ A es un ideal tal que I∩S = /0, demuestre queexiste un ideal primo p tal que I ⊆ p y p∩S = /0.

3.29. Si K es un campo, demuestre que el anillo de series formales en n indetermi-nadas K[[x1, . . . ,xn]] (vea los ejercicios 34 y 35 del capıtulo 1) es un anillo local conideal maximo 〈x1, . . . ,xn〉.

3.30. Si A⊆ B son anillos con B entero sobre A y para un primo p⊆ A solo hay unprimo q⊆ B arriba de p, demuestre que Bp ' Bq. Sugerencia: Bp ' B⊗A Ap es localcon ideal maximo q.

3.31. Si f ∈M no es nilpotente, entonces A f 6= 0 y ası A f contiene un ideal primo.Concluya que

⋂p∈SpecA p= nilA.

3.32. Muestre que ser dominio entero no es una propiedad local. Note que en eltexto probamos que se tiene el paso de global a local, ası que lo que debe fallar esel paso de local a global.

3.33. Sean A un dominio entero y M un A-modulo. Un elemento x ∈M se dice quees de torsion si (0 : x) 6= 0, i.e., si existe 0 6= a ∈ A tal que ax = 0.

(i) Si t(M) := x ∈ M : x es de torsion, demuestre que t(M) es un submodulode M. A t(M) se le llama el submodulo de torsion de M. Si t(M) = 0 se dice queM es libre de torsion. Si t(M) = M se dice que M es de torsion.

(ii) Demuestre que t(M) es de torsion.(iii) Demuestre que M/t(M) es libre de torsion.(iv) Si φ : M→ N es un A-morfismo, demuestre que φ(tM)⊆ tN.(v) Si 0→ M′ → M → M′′ es exacta, demuestre que 0→ tM′ → tM → tM′′ es

exacta.(vi) Si K es el campo de fracciones de A y M→K⊗A M es el morfismo x 7→ 1⊗x,

demuestre que tM es el nucleo del morfismo anterior.(vii) Si S⊆A es multiplicativamente cerrado, demuestre que t(S−1M)= S−1(tM).

3.34. Si A es un dominio entero, demuestre que ser libre de torsion es una propiedadlocal.


3.35. Demuestre que ser iguales es una propiedad local, i.e., si M,N son A-modulos,las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) M = N.(ii) Mp = Np, para todo ideal primo p de A.(iii) Mm = Nm, para todo ideal maximo m de A.

Sugerencia: Considere los cocientes (M+N)/N y (M+N)/M.

3.36. Sean M un A-modulo, N ⊆M un submodulo y x ∈M un elemento. Demuestreestar en N es una propiedad local, es decir, las afirmaciones siguientes son equiva-lentes:

(i) x ∈ N.(ii) x/1 ∈ Np, para todo ideal primo p de A.(iii) x/1 ∈ Nm, para todo ideal maximo m de A.

Donde x/1 es la imagen canonica de x en el modulo localizado correspondiente.Sugerencia: Use la negacion de la proposicion 3.29 aplicada a (N + 〈x〉)/N.

3.37. Sean M un A-modulo y xii∈Γ , con xi ∈M. Demuestre generar es una pro-piedad local, es decir, las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) xii∈Γ ⊆M genera M.(ii) xi/1i∈Γ ⊆Mp genera Mp, para todo ideal primo p de A.(iii) xi/1i∈Γ ⊆Mm genera Mm, para todo ideal maximo m de A.

Donde xi/1 es la imagen canonica de xi en el modulo localizado correspondiente.

3.38. Demuestre que ser exacta es una propiedad local, i.e., demuestre que las afir-maciones siguientes son equivalentes:

(i) La sucesion M′f−→M

g−→M′′ es exacta.

(ii) La sucesion M′pfp−→Mp

gp−→M′′p es exacta para todo ideal primo p de A.

(iii) La sucesion M′mfm−→Mm

gm−→M′′m es exacta para todo ideal maximo m de A.

3.39. Una sucesion exacta corta

0 // M′f // M

g // M′′h

oo // 0

se escinde si existe un A-morfismo h : M′′→M tal que gh = idM′′ . Demuestre quela sucesion exacta corta anterior se escinde si y solo si el A-morfismo

g∗ : HomA(M′′,M)−→ HomA(M′′,M′′)

dado por g∗(α) := gα , es suprayectivo.

3.40. Un A-modulo M se dice que es finitamente presentado si existe un n∈N y unasucesion exacta corta de la forma

0→ K→ An→M→ 0


con K finitamente generado. Es decir, M es finitamente generado y el nucleo deAn M tambien es finitamente generado.

De un ejemplo de un A-modulo finitamente generado que no sea finitamentepresentado.

3.41. Sea S ⊆ A un subconjunto multiplicativo y sean M,N dos A-modulos. Paracada A-morfismo f : M→ N le hemos asociado el S−1A-morfismo S−1 f : S−1M→S−1N dado por S−1 f (x/s) := f (x)/s. Demuestre que la funcion f 7→ S−1 f :

HomA(M,N)→ HomS−1A(S−1M,S−1N)

es un A-morfismo. Concluya que el A-morfismo anterior induce un S−1A-morfismo

φ : S−1(HomA(M,N))→ HomS−1A(S

−1M,S−1N).

3.42. Para φ : S−1(

HomA(M,N))→ HomS−1A(S

−1M,S−1N), demuestre que:

(i) Si M es finitamente generado, entonces φ es inyectivo.(ii) Si M es finitamente presentado, entonces φ es un isomorfismo.

3.43. El que una sucesion exacta corta se escinda es una propiedad local cuando elultimo modulo es finitamente presentado, i.e., si M′′ es un A-modulo finitamentepresentado, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) La sucesion exacta corta 0→M′f−→M

g−→M′′→ 0 se escinde.

(ii) La sucesion exacta corta 0→M′pfp−→Mp

gp−→M′′p → 0 se escinde, para todoideal primo p de A.

(iii) La sucesion exacta corta 0→M′mfm−→Mm

gm−→M′′m→ 0 se escinde, para todoideal maximo m de A.

3.44. Un morfismo de anillos f : A→ B es plano si B es plano como A-modulo. Elmorfismo f se dice que es fielmente plano si B es fielmente plano como A-modulo.Si (A,m) y (B,n) son anillos locales, un morfismo de anillos f : A→ B se diceque es un morfismo local si f (m)⊆ n. Si f : (A,m)→ (B,n) es un morfismo local,demuestre que f es plano si y solo si f es fielmente plano.

3.45. Si M es un A-modulo finitamente generado y M⊗A k(m) = 0 para todo idealmaximo m de A, demuestre que M = 0. Aquı, k(m) := Am/mAm es el campo resi-dual del anillo local Am. Sugerencia: M⊗A k(m)'Mm/mMm.

3.46. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo tal que M⊗Ak(p) = 0 para todo ideal primo p de A, demuestre que M = 0. Aquı, k(p) es elcampo residual de Ap.

3.47. Si (A,m) es un anillo local y M,N son dos A-modulos finitamente generados,demuestre que M⊗A N = 0 si y solo si M = 0 o N = 0. Sugerencia: Vea el ejercicio17 de §1.


3.48. Sea A un anillo. Demuestre que D( f ) = /0⇔ A f = 0⇔ f es nilpotente.

3.49. Sean A un anillo, S ⊆ A un subconjunto multiplicativo y M un A-modulo.Demuestre que

(i) lim−→f∈S

A f ' S−1A.

(ii) lim−→f∈S

M⊗A A f ' S−1M.

3.50. Si f : A→ B es un morfismo plano (vea el ejercicio 3.44), demuestre que paratodo q ∈ SpecB, si p = a f (q) ∈ SpecA se tiene que a fq : SpecBq → SpecAp essuprayectiva.

3.51. En 3.8 demuestre que las funciones biyectivas correspondientes son homeo-morfismos.

3.52. Si f : A→ B es un morfismo de anillos, S ⊆ A es multiplicativo, muestre quef (S)⊆ B es multiplicativo. Para la funcion continua a f : SpecB→ SpecA, identifi-cando SpecS−1A con su imagen en SpecA (por el ejercicio anterior) y Spec f (S)−1Bcon su imagen en SpecB, demuestre que:

(i) aS−1 f : Spec f (S)−1B→ SpecS−1A es la restriccion de a f : Spec→ SpecA.(ii) Spec f (S)−1B = (a f )−1(SpecS−1A).

3.53. Sean f : A→B un morfismo de anillos, p∈ SpecA, S =A−p y f (S)⊆B comoen el ejercicio anterior. Sea a f : SpecB→ SpecA. Demuestre que la fibra (a f )−1(p)de a f en p es homeomorfa al espectro Spec(k(p)⊗A B), donde k(p) = Ap/pAp es elcampo residual del anillo local Ap.

3.54. Sea, p ∈ SpecA, ϕ : A→ Ap el morfismo canonico y aϕ : SpecAp → SpecAla funcion continua correspondiente. Demuestre que la imagen de SpecAp es lainterseccion de todas las vecindades abiertas de p en SpecA.

3.55. Sean f : A→ B un morfismo de anillos, I ⊆ A un ideal y J = f (I)B el ideal ge-nerado por su imagen en B. Sea f : A/I→B/J inducido por f , i.e., f (a+I)= f (a)+J. Identificando Spec(A/I)'V (I)⊆ SpecA y Spec(B/J)'V (J)⊆ SpecB, demues-tre que a f : Spec(B/J)→ Spec(A/I) es la restriccion de a f : SpecB→ SpecA.

3.56. Sean A ⊆ B anillos con B entero sobre A y sea ai : SpecB→ SpecA inducidapor la inclusion i : A ⊆ B. Demuestre que ai se restringe a un homeomorfismo ai :SpecmB→ SpecmA.

Capıtulo 4Anillos noetherianos y artinianos

Muchos anillos de importancia, tanto en geometrıa algebraica como en teorıade numeros, satisfacen ciertas condiciones de finitud que se suelen expresar mejor,siguiendo a Noether y Artin, en terminos de condiciones de cadena en sus ideales.Ejemplos de especial importancia son los anillos de polinomios con coeficientes enun campo K[x1, . . . ,xn] y el anillo de enteros Z.

Anillos noetherianos. Un anillo A es noetheriano si todos sus ideales son finita-mente generados.

Proposicion 4.1 Si A es anillo, son equivalentes:

(1) A es noetheriano.

(2) Toda cadena ascendente de ideales propios

I1 ⊆ I2 ⊆ ·· · ⊆ In ⊆ ·· ·

se estaciona, i.e., existe un entero m tal que Im = Im+1 = · · · .

(3) Todo conjunto no vacıo de ideales propios de A tiene un elemento maximo, i.e.,un ideal que no esta contenido en ninguno de los ideales de la familia dada.

Demostracion. (1) ⇒ (2): Sea I :=⋃

I j. Como los ideales I j estan encadenados,entonces I es un ideal de A y es propio porque los I j lo son. Por hipotesis I esfinitamente generado, digamos I = 〈a1, . . . ,an〉, donde notamos que para m sufi-cientemente grande se tiene que ai ∈ Im y por lo tanto I ⊆ Im, i.e., Ik = Im para todak ≥ m.

(2)⇒ (3): Si F es una familia no vacıa de ideales propios de A que no contiene unelemento maximo, entonces para cualquier I1 ∈ F existe un I2 ∈ F tal que I1 I2.De esta manera se construye una cadena que no se estaciona.

(3)⇒ (1): Si I A es un ideal propio, sea F la familia de ideales contenidos en I dela forma 〈a1, . . . ,am〉. Por hipotesis esta familia tiene un elemento maximo, digamos〈a1, . . . ,an〉. Entonces, para todo a ∈ I se tiene que 〈a1, . . . ,an,a〉 ⊆ 〈a1, . . . ,an〉,

87

88 4 Anillos noetherianos y artinianos

y como este es maximo se sigue que 〈a1, . . . ,an,a〉 = 〈a1, . . . ,an〉 y por lo tantoa ∈ 〈a1, . . . ,an〉 y ası I = 〈a1, . . . ,an〉. ut

Ejemplo 1. El anillo Z es un DIP y por lo tanto es noetheriano. Todo campo K esnoetheriano y el anillo de polinomios K[x1, . . . ,xn] tambien es noetheriano por elteorema siguiente:

Teorema 4.2 (Teorema de la base de Hilbert) Si A es un anillo noetheriano, en-tonces A[x] tambien lo es. En particular, si K es un campo, entonces el anillo depolinomios K[x1, . . . ,xn] es noetheriano.

Demostracion. La segunda afirmacion se sigue de la primera por induccion. Parademostrar la primera afirmacion, mostraremos que si A[x] no fuera noetheriano en-tonces A no lo es. Supongamos entonces que A[x] no es noetheriano y sea I ⊆ A[x]un ideal que no es finitamente generado. Sea f1 ∈ I de grado mınimo. Escojamosf2 ∈ I−〈 f1〉 de grado menor (el cual existe porque I no es finitamente generado).Iterando este proceso, escojamos fk+1 ∈ I−〈 f1, . . . , fk〉 de grado menor. Por la elec-cion de los fi, sus grados ni satisfacen que n1≤ n2 · · · . Mas aun, si ai es el coeficientede grado de fi, entonces

〈a1〉 ⊆ 〈a1,a2〉 ⊆ · · · ⊆ A

es una cadena de ideales de A que no se estaciona, ya que si lo hiciera, digamos

〈a1, . . . ,ak〉= 〈a1, . . . ,ak,ak+1〉

se tendrıa una igualdad de la forma

ak+1 =k

∑i=1

riai con los ri ∈ A

y poniendo

g := fk+1−k

∑i=1

rixnk+1−ni fi ∈ I−〈 f1, . . . , fk〉

este es un polinomio de grado gr(g) < gr( fk+1) porque el coeficiente ak+1 de fk+1se cancela en

ak+1xnk+1−k

∑i=1

rixnk+1−niaixni = ak+1xnk+1 −k

∑i=1

riaixnk+1 = 0

porque ∑ki=1 riai = ak+1, lo cual contradice la minimalidad del grado de fk+1. ut

Observacion. En el capıtulo 1, pagina 17, se definieron los conjuntos algebraicosafines V(I) ⊆ Kn para I ⊆ K[x1, . . . ,xn] un ideal, con K algebraicamente cerrado.Por el teorema de la base de Hilbert, todos estos ideales son finitamente generados,digamos I = 〈 f1, . . . , fk〉 con fi ∈ I. Se sigue que

V(I) = V( f1)∩·· ·∩V( fk),

4 Anillos noetherianos y artinianos 89

es decir, todos los conjuntos algebraicos afines son la interseccion un numero finitode hipersuperficies V( fi) ⊆ Kn (vea el ejemplo 6 del capıtulo 1 en la pagina 18).Dicho en otras palabras, en la definicion de los conjuntos algebraicos afines V(I)basta considerar conjuntos finitos de polinomios (que generen el ideal I).

Localizacion preserva la noetherianidad:

Proposicion 4.3 Si A es noetheriano y S⊆ A es multiplicativo, entonces S−1A tam-bien es noetheriano.

Demostracion. Si J es cualquier ideal de S−1A, entonces ϕ−1J ⊆ A es finitamentegenerado y por lo tanto S−1ϕ−1J tambien es finitamente generado, pero por 3.7 esteultimo ideal es J. ut

Corolario 4.4 Ser noetheriano es una propiedad local, es decir, para un anillo Alas afirmaciones siguientes son equivalentes:

(1) A es noetheriano.

(2) Ap es noetheriano, para todo p ∈ SpecA.

(3) Am es noetheriano, para todo m ∈ SpecmA.

Demostracion. Se sigue del ejercicio 37 del capıtulo 3. ut

Recordemos ahora del capıtulo 1, pagina 18, que si U ⊆ SpecmK[x1, . . . ,xn],entonces I(U) =

⋂m∈U m; en particular para U = SpecmK[x1, . . . ,xn] se tiene que

I(Specm(K[x1, . . . ,xn])) =⋂

m∈SpecmK[x1,...,xn]

m

y dejamos como el ejercicio 27 el probar que si K es un campo infinito, entonces

I(Specm(K[x1, . . . ,xn])) = 0

(note que en particular si K es algebraicamente cerrado, el ejemplo 2 en la pagina93 prueba el caso correspondiente).

Si A es cualquier anillo, a la interseccion de todos los ideales maximos de A sele llama el radical de Jacobson de A y lo denotaremos por J(A). Ası, el ejercicio 27citado anteriormente, pide probar que J(K[x1, . . . ,xn]) = 0.

Lema 4.5 Si A es un anillo y c ∈ A, entonces c ∈ J(A) si y solo si 1−ac ∈ A∗ (unaunidad) para todo a ∈ A.

Demostracion. Si 1−ac no es una unidad, entonces esta contenido en un ideal maxi-mo m de A y como c ∈ J(A) ⊆ m entonces ac ∈ m y por lo tanto 1 ∈ m, lo cual esimposible.

Recıprocamente, si c 6∈m para algun ideal maximo, entonces m+〈c〉= 〈1〉 y porlo tanto 1 = m+ac para algun m ∈m y c ∈ A. Se sigue que 1−ac = m ∈m y por lotanto no es una unidad. ut


Teorema 4.6 (Lema de Nakayama) Sean I ⊆ A un ideal tal que I ⊆ J(A) y M unA-modulo finitamente generado.

(1) Si M = IM, entonces M = 0.

(2) Si N es un submodulo de M tal que M = N + IM, entonces M = N.

Demostracion. (1): Si x1, . . . ,xn generan M, por hipotesis podemos escribir

xi = ∑j

ai jx j con los ai j ∈ I.

Entonces, x1, . . . ,xn son soluciones del sistema de n ecuaciones en n incognitas

∑j(δi j−ai j)x j = 0 donde δi j es una delta de Kronecker

y ası, por la regla de Cramer det(δi j− ai j) · xi = 0 para toda i. Observe ahora queen la expansion del determinante anterior todos los sumandos tienen un factor en Iexcepto el termino correspondiente a la diagonal que es de la forma (1−a11) · · ·(1−ann); por lo tanto el determinante anterior se expande como un 1 mas una suma deelementos de I, digamos 1+c con c∈ I ⊆ J(A). Se sigue que d = det(δi j−ai j)∈ A∗

porque de lo contrario existirıa un ideal maximo m tal que d ∈m, y como d = 1+ccon c ∈ J(A), entonces c ∈m y consecuentemente 1 ∈m, una contradiccion. Por lotanto, det(δi j− ai j) ∈ A∗. Ası, la igualdad det(δi j− ai j) · xi = 0 implica que xi = 0para todo i y por lo tanto M = 0.

(2): La hipotesis dice que M/N = (N + IM)/N = I(M/N) y ası por la parte (1) sesigue que M/N = 0, i.e., M = N. ut

Un caso importante del lema de Nakayama es cuando A es un anillo local, i.e.,cuando tiene solo un ideal maximo m. Observe entonces que todo elemento u ∈A−m es una unidad porque de lo contrario estarıa contenido en un ideal maximodiferente de m. Se sigue que A−m= A∗.

Corolario 4.7 (Lema de Nakayama) Sean (A,m) un anillo local y M un A-modulofinitamente generado.

(1) Si M =mM, entonces M = 0.

(2) Si N es un submodulo de M tal que M = N +mM, entonces M = N.ut

Observacion. Si (A,m) es un anillo local, viendo al ideal m como un A-modulo,para el A-modulo cociente m/m2, como m anula a m/m2, la accion A×m/m2 →m/m2 se factoriza a traves del epimorfismo canonico al campo residual ρ : A→A/m=: k(m), i.e., se tiene un diagrama conmutativo:

A×m/m2

ρ×id

// m/m2

k(m)×m/m2

88


de tal forma que m/m2 es un k(m)-espacio vectorial.

Corolario 4.8 Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Entonces, m es un ideal fi-nitamente generado por los elementos α1, . . . ,αn si y solo si sus clases residualesmodulo m2 generan m/m2 como k(m)-espacio vectorial. En particular, el numeromınimo de generadores de m es igual a la dimension del k(m)-espacio vectorialm/m2.

Demostracion. Si α1, . . . ,αn generan m, claramente sus clases residuales generan elcociente m/m2. Recıprocamente, si sus clases residuales αi +m2 generan m/m2,entonces

m= 〈α1, . . . ,αn〉+m2.

Como A es noetheriano, entonces m es finitamente generado y ası aplicando la se-gunda parte del lema de Nakayama con M = m y N = 〈α1, . . . ,αn〉 se sigue quem= 〈α1, . . . ,αn〉. ut

Lema 4.9 En un anillo noetheriano todo conjunto de generadores de un ideal con-tiene un conjunto finito de generadores.

Demostracion. Si I = A, 1 ∈ I se puede escribir como 1 = r1a1 + · · ·+ rnan conlos ai en cualquier conjunto de generadores de I. Se sigue que I esta generado pora1, . . . ,an. Supongamos ahora que I A es un ideal propio y sea Λ un conjunto degeneradores de I. Sea F el conjunto de ideales generados por subconjuntos finitos deΛ . Como A es noetheriano F tiene un elemento maximo m y este m debe contener atodos los elementos de Λ (si no fuera ası anadiendo cualquier otro elemento de Λ alos generadores de m se obtendrıa otro ideal mayor que m) y por lo tanto m= I. ut

Teorema 4.10 (Teorema de interseccion de Krull) Si A es un anillo noetherianoe I un ideal tal que I ⊆ J(A), entonces

⋂n≥1 In = 0.

Demostracion. Mostraremos primero que, para cualquier ideal I en un anillo noe-theriano

(1)⋂n≥1

In = I ·⋂n≥1

In.

Note entonces que, en el caso cuando I ⊆ J(A), por el lema de Nakayama se sigueque

⋂n≥1 In = 0, como se querıa. Basta entonces probar (1) y para comenzar note

que la inclusion ⊇ es obvia. Para la otra inclusion, sean a1, . . . ,ar generadores de I.Entonces, In consiste de las sumas finitas

∑i1+···+ir=n

λi1···ir ai11 · · ·a

irr λi1···ir ∈ A.

En otras palabras, In consiste de los elementos de la forma g(a1, . . . ,ar) para algunpolinomio homogeneo g(x1, . . . ,xr)∈A[x1, . . . ,xr] de grado n. Denotemos con Hm alconjunto de polinomios homogeneos f de grado m tales que f (a1, . . . ,ar) ∈

⋂n≥1 In

y sea J el ideal de A[x1, . . . ,xr] generado por⋃

m Hm. Por el lema anterior existe


un conjunto finito f1, . . . , fk de elementos de⋃

m Hm que genera a J. Sean di =gr( fi) y sea d = maxdi. Si b ∈

⋂n≥1 In, en particular b ∈ Id+1 y por lo tanto

b = f (a1, . . . ,ar) para algun polinomio homogeneo f de grado d+1. Por definicionf ∈ Hd+1 ⊆ J = 〈 f1, . . . , fk〉 y ası existen gi ∈ A[x1, . . . ,xr] tales que

f = g1 f1 + · · ·+gk fk.

Como f y los fi son homogeneos, podemos omitir de cada gi los terminos que nosean de grado gr( f )−gr( fi) = d+1−di > 0 y suponer que los gi son homogeneosde grado d+1−di > 0 y por lo tanto no son constantes. Entonces, gi(a1, . . . ,ar) ∈ Iya que los ai ∈ I y los gi son homogeneos no constantes. Por lo tanto

b = f (a1, . . . ,ar) = ∑i

gi(a1, . . . ,ar) · fi(a1, . . . ,ar) ∈ I ·⋂n≥1

In

lo cual demuestra (1), como se querıa. ut

Corolario 4.11 Si A es noetheriano e I ⊆A es un ideal, entonces⋂n≥1

In = x ∈ A : existe a ∈ I tal que (1−a)x = 0.

Demostracion. Si M =⋂

In, en la demostracion del teorema anterior se mostro queIM = M. Ahora, si S = 1+ I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A ynote que para todo a/s en el ideal S−1I ⊆ S−1A (donde a ∈ I,s ∈ S) se tiene que

1+as=

s+as

donde s∈ S = 1+ I implica que s= 1+a′ con a′ ∈ I por lo que s+a= 1+(a+a′)∈1+ I y ası 1+a/s ∈ (S−1A)∗ y por lo tanto a/s ∈ J(S−1A) por 4.5, es decir, S−1I ⊆J(S−1A) donde S−1A es noetheriano por 4.3. Observe ahora que de M = IM se sigueque S−1M = (S−1I)(S−1M). Como S−1I ⊆ J(S−1A), por el lema de Nakayama sesigue que S−1M = 0. Finalmente, como A es Noetheriano, entonces M es finitamentegenerado; se sigue que la igualdad S−1M = 0 es equivalente a que exista s ∈ S talque sM = 0. En efecto, claramente sM = 0 implica que S−1M = 0. Recıprocamente,si S−1M = 0, escribamos M = 〈a1, . . . ,am〉; entonces los ai/1 generan S−1M comoS−1A-modulo, y como S−1M = 0 lo anterior quiere decir que ai/1 = 0, i.e., existesi ∈ S tal que siai = 0, para toda 1 ≤ i ≤ m. Poniendo s = s1 · · ·sm ∈ S se tiene quesai = 0 para toda i y por lo tanto sM = 0. ut

Proposicion 4.12 Si A es un anillo noetheriano, todo ideal I contiene una potenciade su radical

√I. En particular, su nilradical es nilpotente.

Demostracion. Como A es noetheriano, podemos suponer que√

I esta generadopor a1, . . . ,an. Entonces, para cada i una potencia ari

i ∈ I. Por lo tanto, para cadaelemento α1a1 + · · ·+αnan de

√I (αi ∈ A) en la potencia

(α1a1 + · · ·+αnan)r1+···+rn


al expandirla cada uno de sus sumandos tiene un factor de la forma arii para algun i

y por lo tanto esta en I. ut

Proposicion 4.13 Si K es un campo y A una K-algebra de tipo finito, entonces,J(A) =

√0 = nilA. En particular, si A es reducido, entonces J(A) = 0.

Demostracion. Como nilA =⋂p y los maximos son primos, entonces nilA⊆ J(A).

Recıprocamente, si f ∈ J(A) queremos mostrar que f es nilpotente. Supongamosque no lo es; entonces A f 6= 0 y ası existe un ideal maximo m ⊆ A f , y como A f 'A[T ]/〈 f T − 1〉 por 3.6, entonces A f es una K-algebra de tipo finito, porque A loes y consecuentemente A[T ] tambien lo es. Se sigue que A f /m es una extensionde tipo finito de K y ası, por 3.21 es una extension algebraica. Sea ρ : A→ A f elmorfismo canonico. Entonces ρ induce un monomorfismo A/ρ−1(m) A f /m, i.e.,A/ρ−1(m) es una K-subalgebra de A f /m. Por 3.20 se sigue que A/ρ−1(m) es uncampo y por lo tanto ρ−1(m) es un ideal maximo de A. Note ahora que f 6∈ ρ−1(m)porque ρ( f ) es una unidad de A f . Finalmente, el hecho de que f no este en el idealmaximo ρ−1(m) de A contradice el que f ∈ J(A). Se sigue que f es nilpotente,como se querıa. ut

Ejemplo 2. Si K es un campo algebraicamente cerrado y p⊆K[x1, . . . ,xn] es un idealprimo, el anillo A = K[x1, . . . ,xn]/p es una K-algebra de tipo finito y es un dominioentero (en particular es reducido) y ası la proposicion anterior dice que J(A) = 0.

Proposicion 4.14 Si A es noetheriano, m⊆ A es maximo y mAm es el ideal maximodel anillo local Am, entonces para todo n≥ 0 la funcion

A/mn→ Am/(mAm)n

dada por a+mn 7→ (a/1)+(mAm)n es un isomorfismo. Mas aun, induce isomorfis-

mosmk/mn ∼−→ (mAm)

k/(mAm)n

para toda k < n.

Demostracion. La segunda afirmacion se sigue de la primera aplicando el lema delquinto ya que se tiene el diagrama conmutativo siguiente, para todo k < n:

0 // mk/mn //

A/mn //

'

A/mk //

'

0

0 // (mAm)k/(mAm)

n // Am/(mAm)n // Am/(mAm)

k // 0

y por lo tanto basta probar la primera afirmacion. Sean S = A−m y ϕ : A→ Am

el morfismo canonico (que induce la funcion que queremos probar que es un iso-morfismo). Para mostrar que A/mn → Am/(mAm)

n es inyectiva, notamos primeroque S−1(mn) = (mAm)

n y ası debemos mostrar que ϕ−1S−1(mn) = mn. Para esto,si a ∈ ϕ−1S−1(mn), entonces ϕ(a) = a/1 ∈ S−1(mn) y ası a/1 = b/s con b ∈mn ys ∈ S. Se sigue que tsa ∈ mn para algun t ∈ S y por lo tanto tsa = 0 en A/mn. Por


otra parte, el unico ideal maximo que contiene a mn es m por 1.9, y por la corres-pondencia con los ideales del cociente A/mn se sigue este es un anillo local cuyounico ideal maximo es m/mn, y como t,s ∈ S = A−m, entonces ts 6∈ m/mn debeser una unidad en A/mn, y ası la igualdad tsa = 0 implica que a = 0 en A/mn, i.e.,a ∈mn. Hemos ası mostrado que ϕ−1S−1(mn)⊆mn. La otra inclusion es directa.

Resta probar que A/mn→ Am/(mAm)n es suprayectiva. Para esto, sea a/s∈ Am,

i.e., a ∈ A y s ∈ A−m. Como antes, el unico ideal maximo de A que contiene amn es m y por lo tanto ningun ideal maximo contiene a s y mn, i.e., 〈s〉+mn = A.Se sigue que existen x ∈ A y b ∈ mn tales que sx+ b = 1. Como s es invertible enAm/(mAm)

n, entonces a/s es el unico elemento de este anillo tal que s(a/s) = a.Como s(ax) = a(1−b) con b ∈mn, entonces ab ∈ (mAm)

n por lo que la imagen deax en Am satisface que s(ax) = a en Am/(mAm)

n y por lo tanto ax/1 = a/s, es decirϕ(ax) = a/s. ut

Ejemplo 3. Si p ∈ Z es primo, entonces

Z〈p〉/pZ〈p〉 ' Z/pZ

y en general,Z〈p〉/pnZ〈p〉 ' Z/pnZ.

Ideales primarios. Un ideal q de A es primario si es propio y ab ∈ q implica quea ∈ q o bn ∈ q para algun n ≥ 1. Equivalentemente, q A es primario si y solo sitodos los divisores de cero de A/q son nilpotentes (ya que si q es primario y si xy= 0en A/q y si x 6= 0, entonces xy ∈ q y x 6∈ q y como q es primario se tiene que yn ∈ qpara algun n≥ 1, i.e., yn = 0 y por lo tanto y es nilpotente. El recıproco es similar).

Ejemplo 4. Todo ideal primo p de A es primario.

Ejemplo 5. En Z los ideales 0 y 〈pn〉, para p primo, son primarios. En efecto, 0 esprimo y ası es primario. Ahora, si p > 1 es primo de Z y si xy∈ 〈pn〉, entonces pn|xyy si pn - x, entonces algun pk|y, 1 ≤ k ≤ n y ası y = pkt por lo que yn = pkntn, i.e.,yn ∈ 〈pn〉.

Ejemplo 6. En K[x,y] el ideal q = 〈x2,y〉 es primario porque en K[x,y]/〈x2,y〉 'K[x]/〈x2〉 (se ((muere)) la variable y) los divisores de cero son los multiplos de x ypor lo tanto son nilpotentes porque x2 = 0 en el cociente.

Lema 4.15 Si q es primario, entonces√q es un ideal primo.

Demostracion. Si ab∈√q, entonces (ab)n ∈ q para algun n≥ 1 y ası an ∈ q o bmn ∈q. En cualquier caso, a ∈√q o b ∈√q. ut

Si q es primario y p=√q, diremos que q es p-primario.

Ejemplo 7. En Z el ideal 0 es 0-primario, y para p ∈ Z primo los ideales 〈pn〉 son〈p〉-primarios porque

√〈pn〉 = 〈p〉 ya que si a ∈

√〈pn〉, entonces at ∈ 〈pn〉, i.e,


at = pnu⊆〈p〉 y por lo tanto a∈ 〈p〉. Recıprocamente, si a∈ 〈p〉, entonces an ∈ 〈pn〉y ası a ∈

√〈pn〉. Mostraremos ahora que estos son todos los ideales primarios de Z.

En efecto, si I = 〈a〉 ⊆Z es un ideal primario, entonces√

I = 〈0〉 o 〈p〉. En el primercaso I = 0 ya que Z no tiene nilpotentes. En el segundo caso, 〈a〉 = I ⊆

√I = 〈p〉

por lo que p | a, y escribiendo a = pmu con p - u, si sucediera que u > 1, entoncesexistirıa otro primo q tal que q|u y ası a = pmu = pmqnv con p,q - v y notamos queI = 〈a〉 ⊆ 〈q〉 y consecuentemente 〈p〉 =

√I ⊆

√〈q〉 = 〈q〉, i.e., 〈p〉 ⊆ 〈q〉 por lo

que p = q. Se sigue que u = 1 y a = pm, como se querıa.

Lema 4.16 Sean m un ideal maximo y q un ideal arbitrario. Son equivalentes:

(1) q es m-primario.

(2)√q=m.

(3) m es el unico primo mınimo que contiene a q.

Demostracion. Claramente (1)⇒ (2) y (2)⇒ (3) por definicion de radical. Para(3)⇒ (1) note que la hipotesis implica que A/q tiene un unico ideal primo, a saber,m/q. En efecto, si q′/q⊆ A/q es primo, entonces q′ ⊇ q y ası (3) implica que m⊆ q′

y como m es maximo se sigue que q′ = m. Por lo tanto, nil(A/q) = m/q y ası loselementos de m/q son nilpotentes y como A/q es local con ideal maximo m/q, loselementos de A/q fuera de m/q son unidades. ut

Corolario 4.17 Si m es maximo, entonces las potencias mk son m-primarios. ut

Lema 4.18 Si f : A→ B es un morfismo de anillos y q ⊆ B es primario, entoncesf−1(q)⊆ A es primario.

Demostracion. Si ab∈ f−1(q) y a 6∈ f−1(q), entonces f (a) f (b) = f (ab)∈ q y comof (a) 6∈ q se sigue que f (b)n ∈ q, i.e., bn ∈ f−1(q), para algun n≥ 1. ut

Lema 4.19 Si q1, . . . ,qn son p-primarios (para el mismo p), entonces q =⋂qi es

p-primario.

Demostracion.√q =√⋂

qi =⋂√

qi = p. Ahora, si ab ∈ q con b 6∈ q, entoncesab ∈ qi para todo i y existe un j tal que b 6∈ q j, y como q j es primario se tiene queat ∈ q j para algun t ≥ 1 y ası a ∈√q j = p=

√q, i.e., ar ∈ q, para algun r. ut

Si I es un ideal de A y x ∈ A, considere el ideal que traslada x a I (vea el ejercicio9 de la pagina 25)

(I : x) := a ∈ A : ax ∈ I

y note que claramente x ∈ I implica que (I : x) = A.

Lema 4.20 Sean q un ideal p-primario de A y x ∈ A.

(1) Si x 6∈ q, entonces (q : x) es p-primario y ası√(q : x) = p.

(2) Si x 6∈ p, entonces (q : x) = q.


Demostracion. (1): Mostraremos primero que√(q : x) = p: Si a ∈

√(q : x), enton-

ces an ∈ (q : x) para algun n ≥ 1. Ası, anx ∈ q y como x 6∈ q, entonces amn ∈ qy ası a ∈ √q = p. Recıprocamente, si a ∈ p como p =

√q entonces at ∈ q y

ası at ∈ (q : x), i.e., a ∈√(q : x). Ahora, si ab ∈ (q : x) entonces abx ∈ q y co-

mo q es p-primario se sigue que an ∈ q o bx ∈ q. En el primer caso se tiene quean ∈ (q : x) y en el segundo caso se tiene que b ∈ (q : x) y por lo tanto (q : x) esprimario.

Para (2), claramente q ⊆ (q : x) y para la otra inclusion, si a ∈ (q : x) entoncesax ∈ q con x 6∈ p=√q, i.e., para todo n≥ 1 se tiene que xn 6∈ q. Como q es primariose sigue que a ∈ q. ut

Descomposicion primaria. Una descomposicion primaria de un ideal I de A es unaexpresion de I como interseccion finita de ideales primarios:

(∗) I =m⋂

i=1

qi.

Hay ejemplos de ideales que no tienen una tal descomposicion primaria. En la sec-cion siguiente veremos que si A es noetheriano todos sus ideales admiten una des-composicion primaria. Una descomposicion primaria (∗) se dice que es mınima si:

(i) Los ideales primos√qi = pi son distintos

(ii) Ninguno de los qi puede ser omitido de (∗), es decir, para todo i = 1, . . . ,n,⋂j 6=i

q j 6⊆ qi.

Observacion. Si I admite una descomposicion primaria (∗), entonces admite unadescomposicion primaria mınima ya que, por 4.19 podemos combinar ideales pri-marios con el mismo radical y ası (i) se puede tener. Para (ii), note que cualquier qien (∗) que no satisfaga (ii) puede ser omitido.

Los ideales primos pi =√qi que ocurren en una descomposicion primaria mıni-

ma de I se dice que pertenecen o que estan asociados a I.

Si I es cualquier ideal de A, los ideales primos mınimos de I son los elementosmınimos del conjunto V (I) de ideales primos que contienen a I. Note que si I esun ideal propio, entonces existe un ideal maximo que lo contiene y por lo tanto Itiene ideales primos que lo contienen. Cuando I admite una descomposicion pri-maria sus ideales primos mınimos son los radicales de los ideales primarios de ladescomposicion de I:

Proposicion 4.21 Si I = q1∩·· ·∩qn, con los qi primarios y pi =√qi, entonces los

ideales primos mınimos de I son los elementos mınimos del conjunto p1, . . . ,pn.

Demostracion. Para comenzar, observe que como pi =√qi, entonces qi ⊆ pi y por

lo tanto I = q1∩·· ·∩qn ⊆ pi y ası cada pi contiene a I. Ahora, si p es un primo quecontiene a I, entonces p⊇

⋂ni=1 qi y por lo tanto


p=√p⊇

n⋂i=1

√qi =

n⋂i=1

pi

y ası p⊇ pi para algun i (porque si no fuera ası, para cada i existirıa un ai ∈ pi−p ya1 · · ·an ∈

⋂i pi ⊆ p, una contradiccion con el hecho de que p es primo), vea tambien

1.9. ut

La proposicion anterior nos dice que, cuando I admite una descomposicion pri-maria, I tiene un conjunto finito de primos mınimos que lo contienen y por lo tantosu radical

√I es una interseccion finita de primos. El teorema siguiente nos dice que

los primos asociados a I estan unıvocamente determinados por I:

Teorema 4.22 (Primer teorema de unicidad) Si I = q1 ∩ ·· · ∩ qn es una descom-posicion primaria mınima de I y pi =

√qi, entonces

p1, . . . ,pn= √

(I : x) :√(I : x) es primo y x varıa en A.

En particular, el conjunto p1, . . . ,pn es independiente de la eleccion de la des-composicion primaria de I.

Demostracion. Para cualquier x ∈ A se tiene que

(I : x) =(⋂

qi : x)=⋂(qi : x)

y por lo tanto √(I : x) =

√⋂(qi : x) =

⋂√(qi : x) =

⋂x 6∈qi

pi

la ultima igualdad por 4.20. Ahora, si√(I : x) es primo, la igualdad anterior implica

que es igual a uno de los pi ya que, poniendo p :=√(I : x), la igualdad dice que

p⊆ pi para todo i y el argumento en parentesis de la demostracion de la proposicion4.21 anterior (vea tambien 1.9) dice que p⊇ pi, para algun i y por lo tanto

√(I : x) =

p= pi.Recıprocamente, para ver que cada pi =

√qi es de la forma

√(I : x) observe

que para cada pi existe un ai ∈⋂

j 6=i q j− qi porque la descomposicion primaria esmınima. Por el lema 4.20 se sigue que

√(qi : ai) = pi y para j 6= i se tiene que

ai ∈ q j y ası√(q j : ai) = A. Por lo tanto√(I : ai) =

√(⋂q j : ai) =

√(⋂j 6=i q j : ai

)∩ (qi : ai)

=√(⋂

j 6=i q j : ai)∩√(qi : ai) = A∩pi = pi.

utEl asociado de un ideal. Si I es un ideal de A, al conjunto

Ass(I) := √(I : x) :

√(I : x) es primo y x varıa en A


se le llama el asociado del ideal I. Ası, el primer teorema de unicidad dice que si Iadmite una descomposicion primaria, I = q1∩·· ·∩qn y pi =

√qi, entonces

Ass(I) = p1, . . . ,pn

y los ideales primos pi se dice que estan asociados al ideal I. Los elementos mi-nimales de Ass(I) se conocen como los primos aislados asociados a I. Los primosasociados que no son aislados se llaman primos encajados.

Ejemplo 8. En A = K[x,y], K un campo, para el ideal I = 〈x2,xy〉 se tiene la descom-posicion primaria

I = 〈x2,xy〉= p1∩p22 con p1 = 〈x〉, p2 = 〈x,y〉

porque el ideal p1 = 〈x〉 es primo (por lo tanto, primario) ya que el cocienteK[x,y]/〈x〉 ' K[y] y el ideal p2 = 〈x,y〉 es maximo, porque K[x,y]/〈x,y〉 ' K, ypor lo tanto el ideal p2

2 = 〈x,y〉2 es p2-primario. Aquı los primos asociados son p1y p2 y notamos que p1 ⊆ p2 por lo que p1 es un primo aislado y p2 es un primoencajado. Note que en este ejemplo

√I =

√p1∩p2

2 =√p1∩

√p2

2 = p1∩p2 = p1

pero I no es un ideal primario porque en el cociente K[x,y]/〈x2,xy〉 se tiene quexy = 0 por lo que y es divisor de cero, pero no es nilpotente.

En el ejemplo anterior note que se tiene tambien otra descomposicion primariadiferente

I = 〈x2,xy〉= 〈x〉∩ 〈x2,y〉,

donde 〈x2,y〉 es 〈x,y〉-primario por el ejemplo 6.

NOTA. Los terminos aislado y encajado provienen de la geometrıa, ya que siI ⊆ K[x1, . . . ,xn], con K algebraicamente cerrado, el ideal I define la variedad afınV(I) ⊆ Kn (vease la pagina 17 del capıtulo 1) y los primos aislados de I corres-ponden a los puntos genericos (vea la pagina 13 del capıtulo 1) de las componentesirreducibles de V(I) ya que la cerradura de p es toda la componente irreduci-ble correspondiente, y los primos encajados corresponden a subvariedades de estascomponentes irreducibles, i.e., variedades encajadas en las componentes irreduci-bles.

En el ejemplo 8 anterior, si K es algebraicamente cerrado, la variedad afın

V(I) = V〈x2,xy〉 ⊆ K2

es la interseccion del eje coordenado x (correspondiente a los ceros de x2) y la unionde los dos ejes coordenados x, y (correspondiente a los ceros de xy) por lo queV(I) es el eje x, que es irreducible. De hecho, corresponde al primo aislado 〈x〉,i.e., V(I) = V〈x〉 y el primo encajado 〈x,y〉 corresponde al origen (0,0)= V〈x,y〉encajado en el eje x.


Este ejemplo ilustra la unicidad de los primos asociados a un ideal que admiteuna descomposicion primaria, pero tambien ilustra la no unicidad de los idealesprimarios involucrados en la descomposicion. De hecho, lo que el ejemplo muestraadicionalmente es que en las dos descomposiciones siempre aparecen los factorescorrespondientes a los primos aislados y esto es precisamente lo que nos dira elsegundo teorema de unicidad. Antes de demostrarlo, mostraremos que en un anillonoetheriano todos los ideales tienen una descomposicion primaria.

Descomposicion primaria en anillos noetherianos. Un ideal I de A es irreducible1

si para cualesquiera ideales J1,J2 tales que I = J1 ∩ J2 se tiene que I = J1 o I =J2. El resultado principal es que en un anillo noetheriano todo ideal admite unadescomposicion primaria.

Teorema 4.23 Sea A un anillo noetheriano. Entonces,

(1) Todo ideal irreducible es primario.

(2) Todo ideal de A es una interseccion finita de ideales irreducibles. Consecuente-mente, todo ideal de A es una interseccion finita de ideales primarios.

Demostracion. (1): Si I es irreducible, supongamos que xy∈ I y que y 6∈ I. Queremosprobar que xn ∈ I, para algun n. Como A es noetheriano, la cadena de ideales

(I : x)⊆ (I : x2)⊆ ·· ·

se estaciona, i.e., (I : xn) = (I : xn+1) = · · · , para algun n≥ 1. Se sigue que

(∗) (〈xn〉+ I)∩ (〈y〉+ I) = I.

En efecto, si a ∈ (〈xn〉+ I)∩ (〈y〉+ I), escribiendo a = xns+ b y a = yt + b′, conb,b′ ∈ I, lo segundo implica que ax = xyt+b′x∈ I y lo primero implica que xn+1s =ax−bx∈ I. Por lo tanto s∈ (I : xn+1)= (I : xn) y ası a= xns+b∈ I. La otra inclusiones obvia.

Ahora, como I es irreducible, la igualdad (∗) junto con la hipotesis de que y 6∈ I(por lo que (〈y〉+ I) 6= I) implican que (〈xn〉+ I) = I y por lo tanto xn ∈ I, como sequerıa.

Finalmente, si (2) fuera falsa, el conjunto de ideales para los cuales la afirmacion(2) es falsa serıa no vacıo y como A es noetheriano este conjunto tendrıa un elementomaximo, digamos I. Ası, I es reducible y lo podemos escribir como I = J1∩ J2 conI $ Ji. Por la maximalidad de I cada Ji es una interseccion finita de irreducibles yjuntandolas se tiene que I es interseccion finita de irreducibles, una contradiccion.

ut

El segundo teorema de unicidad. Para probar que las intersecciones de idealesaislados asociados a un ideal descomponible no dependen de la descomposicion

1 Este concepto coincide con el de espacio irreducible para el caso del subespacio V (I) de SpecA,ya que V (I) =V (J1 ∩ J2) =V (J1)∪V (J2) y ası I es irreducible si y solo si V (I) es un subespacioirreducible. Vea la pagina 12 del capıtulo 1.


primaria del ideal, necesitaremos estudiar primero como se comportan los idealesprimarios bajo localizacion.

Proposicion 4.24 Sean S ⊆ A un conjunto multiplicativo y q ⊆ A un ideal p-primario.

(1) Si S∩p 6= /0, entonces S−1q= S−1A.

(2) Si S∩p = /0, entonces S−1q es un ideal S−1p-primario de S−1A. Mas aun, bajoel morfismo de localizacion ϕ : A→ S−1A, la imagen inversa de S−1q en A es q.Ası, bajo la correspondencia entre ideales de S−1A e ideales de A inducida por ϕ ,ideales primarios de S−1A corresponden a ideales primarios de A.

Demostracion. (1): Si s∈ S∩p, entonces para algun n≥ 1, sn ∈ S∩q ya que p=√q.

Se sigue que S−1q= a/s : a∈ q, s∈ S contiene a sn/1 que es una unidad de S−1Ay por lo tanto S−1q= S−1A.

(2): Si S∩ p = /0, entonces para todo s ∈ S, as ∈ q implica que a ∈ q (ya que comosn ∈ S entonces sn no puede estar en q para algun n porque lo contrario implicarıaque s∈ p, en contradiccion con la hipotesis). Por lo tanto, si a/s∈ S−1A esta en S−1q,entonces a ∈ q y como q A, entonces S−1q S−1A. Ahora, si (x/s)(y/t) ∈ S−1q yx/s 6∈ S−1q, entonces x 6∈ q y como este es primario se sigue que yn ∈ q, para algunn ≥ 1, y por lo tanto (y/t)n = yn/tn ∈ S−1q y ası S−1q es primario. Ahora, comoel radical conmuta con localizacion, entonces

√S−1q = S−1√q = S−1p, y S−1p es

primo porque p lo es. Finalmente, por 4.18, la imagen inversa de un ideal primarioes primario. ut

Si I ⊆ A es un ideal y S ⊆ A es multiplicativo, a la imagen inversa de S−1I, bajoel morfismo de localizacion ϕ : A→ S−1A, lo denotaremos por S(I).

Proposicion 4.25 Sean S ⊆ A un subconjunto multiplicativo, I ⊆ A un ideal des-componible e I =

⋂ni=1 qi una descomposicion primaria mınima de I. Sean pi =√

qi y supongamos que los qi estan numerados de tal forma que S intersecta apk+1, . . . ,pn y es disjunto con p1, . . . ,pk. Entonces,

S−1I =k⋂

i=1

S−1qi y S(I) =k⋂

i=i

qi

y estas son sus descomposiciones primarias mınimas.

Demostracion. Se tiene

(∗) S−1I = S−1( n⋂

i=1

qi

)=

k⋂i=1

S−1qi,

la ultima igualdad por 4.24 ya que si S∩ pi 6= /0 entonces S−1qi = S−1A. Tambien,por 4.24, si S∩pi = /0, entonces los S−1qi son S−1pi-primarios. Por otra parte, comolos pi son distintos, entonces los S−1pi, 1 ≤ i ≤ k, tambien lo son y ası (∗) es una


descomposicion primaria mınima por la correspondencia biunıvoca de 4.24. Final-mente, tomando las imagenes inversas, bajo el morfismo de localizacion, de amboslados en (∗), obtenemos que

S(I) = ϕ−1(

S−1I)= ϕ

−1( k⋂

i=1

S−1qi

)=

k⋂i=1

ϕ−1(S−1qi

)=

k⋂i=1

qi

por la segunda parte de 4.24. ut

Un subconjunto Σ ⊆ Ass(I) se dice que es aislado si siempre que p′ ∈ Ass(I)es tal que p′ ⊆ p para algun p ∈ Σ , se tiene que p′ ∈ Σ . Por ejemplo, si Σ es unsubconjunto de primos aislados de Ass(I), entonces Σ es un conjunto aislado.

Observacion. (1) Si Σ ⊆ Ass(I) es aislado, entonces S = A−⋃

p∈Σ p es multi-plicativamente cerrado. De hecho, la observacion es valida para todo subconjuntoΣ ⊆ SpecA.

(2) Si Σ ⊆ Ass(I) es aislado y S = A−⋃

p∈Σ p, entonces para todo p′ ∈ Ass(I) setiene que

p′ ∈ Σ ⇒ p′∩S = /0p′ 6∈ Σ ⇒ p′∩S 6= /0.

La observacion (1) es porque si a,b ∈ S, entonces a,b 6∈ p para todo p ∈ Σ , ycomo los p son primos, entonces ab 6∈ p para todo p ∈ Σ y por lo tanto ab ∈ S.

Para (2), la primera parte es por la definicion de S. Para la segunda parte, observeque si p′ 6∈ Σ , entonces p′ 6⊆

⋃p∈Σ p porque si se tuviera la inclusion entonces se

tendrıa que p′ ⊆ p, para algun p ∈ Σ por 1.9, y como Σ es aislado esto ultimoimplicarıa que p′ ∈ Σ , una contradiccion; se sigue que p′ ∩ S 6= /0, por definicionde S.

Teorema 4.26 (Segundo teorema de unicidad) Sean I ⊆ A un ideal descomponi-ble e I =

⋂ni=1 qi una descomposicion primaria mınima. Si Σ = pi1 , . . . ,pik ⊆

Ass(I) es un conjunto aislado, entonces qi1 ∩ ·· · ∩ qik es independiente de la des-composicion primaria mınima de I.

Demostracion. Si S = A−⋃

p∈Σ p, por la observacion (2), para todo p ∈ Ass(I),p∩S = /0 si p ∈ Σ , y p∩S 6= /0 si p 6∈ Σ , y por la proposicion anterior

S(I) =⋂

pi j∈Σ

qi j = qi1 ∩·· ·∩qik

y ası qi1 ∩·· ·∩qik es independiente de la descomposicion ya que S(I) solo dependede Σ ⊆ Ass(I) y el primer teorema de unicidad dice que los primos de Ass(I) nodependen de la descomposicion. ut

Anillos artinianos. Un anillo A es artiniano si toda cadena descendente de idealesde A:


I1 ⊇ I2 ⊇ ·· ·

se estaciona, i.e., existe un n tal que In = In+k para toda k ≥ 0.

Proposicion 4.27 Si A es un anillo, son equivalentes:

(1) A es artiniano.

(2) Todo conjunto no vacıo de ideales de A tiene un elemento mınimo, i.e., un idealque no contiene propiamente otro ideal de la familia.

Demostracion. Se sigue del lema de Zorn. Vea 4.1. ut

Ejemplo 9. Z es noetheriano pero no es artiniano porque la cadena de ideales

〈a〉 ⊇ 〈a2〉 ⊇ · · ·

no se estaciona, si a 6= 0,±1. Similarmente, si K es un campo, el anillo de polino-mios K[x] es noetheriano pero no es artiniano.

Proposicion 4.28 Un anillo artiniano tiene dimension2 de Krull cero. En otras pa-labras, en un anillo artiniano todo ideal primo es maximo.

Demostracion. Sea p un ideal primo en un anillo artiniano A. Entonces, B = A/p esun dominio entero artiniano. Para cualquier elemento no nulo b ∈ B la cadena deideales 〈b〉 ⊇ 〈b2〉 ⊇ · · · se estaciona, i.e., 〈bn〉 = 〈bn+1〉 = · · · , para algun n ≥ 1.En particular, bn = bn+1c para algun c ∈ B y n≥ 1. Como b 6= 0 y B es un dominioentero, podemos cancelar bn de la igualdad anterior y obtener que 1 = bc, i.e., b esuna unidad y por lo tanto todo elemento distinto de cero de B es invertible y ası B esun campo y consecuentemente p es maximo. ut

Corolario 4.29 En un anillo artiniano el nilradical y el radical de Jacobson soniguales.

Demostracion. J(A) =⋂

maximosm=⋂

primos p= nilA. ut

Proposicion 4.30 Un anillo artiniano tiene solo un numero finito de ideales maxi-mos.

Demostracion. Si F es el conjunto de todas las intersecciones finitas m1 ∩ ·· · ∩mrde ideales maximos de un anillo artiniano A, por 4.27 F tiene un elemento mınimom1 ∩ ·· · ∩mn. Por lo tanto, para cualquier ideal maximo m de A se tiene que m esuno de los mi en la interseccion anterior porque si no fuera ası, como m no puedeestar contenido propiamente en ningun mi por maximalidad, entonces existirıan ai ∈mi−m para cada i, y el elemento a1 · · ·an ∈ m1 ∩ ·· · ∩mn pero no estarıa en m(porque este es primo). Ası, m∩m1∩·· ·∩mn m1∩·· ·∩mn, lo cual contradice laminimalidad de este ultimo. ut

2 En lo que sigue, y hasta antes del capıtulo 6 donde se estudia la dimension de Krull de un anilloarbitrario, solo consideraremos el caso de dimension de Krull cero, donde la definicion equivale aque todo ideal primo sea maximo.


Proposicion 4.31 En un anillo artiniano A su nilradical es nilpotente.

Demostracion. La cadena de ideales nilA ⊇ nil2 A ⊇ ·· · se estaciona, i.e., niln A =niln+1 A = · · · para algun n≥ 1. Supongamos que niln A 6= 0. Existen ideales I talesque I niln A 6= 0, por ejemplo I = nilA y ası la familia F de tales ideales tiene unelemento mınimo, digamos J. Entonces, existe un a ∈ J tal que aniln A 6= 0. Comoa ∈ J, entonces 〈a〉 ⊆ J y por la minimalidad de J se debe tener que 〈a〉= J. Ahora,(aniln A)niln A = anil2n A = aniln A 6= 0 y como 〈a〉 es ideal aniln A⊆ 〈a〉, entoncespor la minimalidad de J = 〈a〉 se sigue que aniln A = 〈a〉. Por lo tanto a = ax paraalgun x ∈ niln A y consecuentemente a = ax = ax2 = · · · = axn = · · · = a · · ·a · xt =a ·0 = 0 porque x ∈ niln A⊆ nilA y ası algun xt = 0. Esto contradice la eleccion dea con aniln A 6= 0. Se sigue que niln A = 0. ut

Series de composicion. Para demostrar el lema 4.36 siguiente, necesitaremos algu-nos resultados sobre longitud de modulos que introducimos a continuacion.

Si M es un A-modulo, una cadena de longitud n en M es una sucesion desubmodulos de M de la forma

(∗) 0 = M0 ⊆M1 ⊆ ·· · ⊆Mn = M.

Si la cadena es maxima, i.e., ya no se pueden insertar submodulos en (∗) diremosque la cadena (∗) es una serie de composicion de longitud n de M. Note que decirque la cadena (∗) es maxima es equivalente a pedir que los cocientes consecutivosM j/M j−1 sean modulos simples (vea el ejercicio 16 en la pagina 52 del capıtulo 2).

Ejemplo 10. Si A = K es un campo y M es un K-espacio vectorial de dimensionfinita n, una serie de composicion de M es una bandera en M, i.e., una cadena desubespacios vectoriales de la forma

0 = M0 ⊆M1 ⊆ ·· · ⊆Mn = M

donde dimM j = dimM j−1 +1, por lo que los cocientes M j/M j−1 tienen dimension1 y ası son simples. Note que la longitud de esta serie de composicion es igual an = dimM.

Si un A-modulo M tiene una serie de composicion de longitud n, denotaremoscon `(M) a la longitud menor de todas las series de composicion de M. Ası, `(M)≤n. Si M no tiene una serie de composicion pondremos `(M) = ∞. El numero `(M)satisface las propiedades siguientes:

(i): Si N M, entonces `(N) < `(M). En efecto, si Mi es una serie de compo-sicion (∗) de M de longitud mınima `(M) = n, poniendo Ni = N ∩Mi observe queNi/Ni−1 ⊆Mi/Mi−1 y como los Mi/Mi−1 son simples entonces Ni/Ni−1 = Mi/Mi−1o Ni = Ni−1. En el segundo caso se puede remover al termino repetido para al finalobtener una serie de composicion de N que muestra que `(N) ≤ `(M). Ahora, sisucediera que `(N) = `(M) = n, entonces Ni/Ni−1 = Mi/Mi−1 para todo i = 1, . . . ,ny por lo tanto Ni = Mi para todo i, en particular N = M, una contradiccion. Se sigueque `(N)< `(M).


(ii): Cualquier cadena en M tiene longitud ≤ `(M). En efecto, si

0 = M′0 M′1 · · · M′k = M

es una cadena en M de longitud k, por la observacion (i) anterior

0 = `(M0)< `(M1)< · · ·< `(Mk) = `(M)

donde notamos que hay k enteros entre 0 y `(Mk), i.e., `(M)≥ k.

Lema 4.32 Si M tiene una serie de composicion de longitud n, entonces todas lasseries de composicion de M tienen la misma longitud n. Mas aun, toda cadena enM se puede extender a una serie de composicion de M.

Demostracion. Si una serie de composicion de M es de longitud k, por la observacion(ii) anterior se tiene que k ≤ `(M), y como por definicion `(M) ≤ k, entonces setiene la igualdad. Consideremos ahora cualquier cadena en M. Si su longitud es n =`(M), entonces por (ii) es una serie de composicion de M. Si su longitud es < `(M),entonces por la primera parte de la proposicion no es una serie de composicion deM y por lo tanto no es una cadena maxima, i.e., se pueden insertar terminos hastaque su longitud sea n = `(M). ut

Si M tiene una serie de composicion, a `(M) se le llama la longitud de M y sedice que M es de longitud finita.

Proposicion 4.33 Un A-modulo M tiene una serie de composicion si y solo si M esnoetheriano y artiniano. (Para las definiciones de modulo noetheriano y artiniano,que generalizan las del caso de anillos, vea los ejercicios 4.8 y 4.9).

Demostracion. Si M tiene una serie de composicion, todas las cadenas de M tienenlongitud ≤ `(M) y ası son acotadas y por lo tanto se estacionan. Recıprocamente,construimos una serie de composicion de M como sigue: pongamos M0 = M. ComoM0 es noetheriano, la familia M′ M0 tiene un elemento maximo M1 M0.Repetimos el procedimiento para M1 y tenemos ası una cadena descendente

M = M0 ⊇M1 ⊇M2 ⊇ ·· ·

y como M es artiniano la cadena descendente anterior se estaciona dando lugar auna cadena de la forma

M = M0 ⊇M1 ⊇M2 ⊇ ·· · ⊇Mn = 0

que se puede completar a serie de composicion de M. ut

Proposicion 4.34 La longitud `(M) es una funcion aditiva en la clase de todos losmodulos de longitud finita.

Demostracion. Mostraremos que si 0f−→ M′ → M

g−→ M′′ → 0 es una sucesionexacta corta de A-modulos de longitud finita, entonces `(M) = `(M′)+ `(M′′). En


efecto, para cualquier serie de composicion M′i0≤i≤k de M′ consideremos susimagenes bajo f notando que M′i ' f (M′i):

0 = f (M′0) f (M′1) · · · f (M′k) = f (M′)'M′

y para cualquier serie de composicion M′′i 0≤i≤t de M′′ consideremos sus preimage-nes bajo g notando que como M′′ 'M/M′ los submodulos M′′i corresponden (bajog) a submodulos M′′i de M que contienen a M′ y el cero de M′′ corresponde a M′:

0 = M′ 'M′′0 M′′1 · · · M′′t 'M′′.

Pegamos las dos sucesiones anteriores de submodulos de M para obtener

0 = f (M′0) f (M′1) · · · f (M′k) = f (M′)'M′ = M′′0 M′′1 · · · M′′t = M

que es una serie de composicion de M de longitud k+ t, como se querıa. ut

Proposicion 4.35 Si K es un campo y M es un K-espacio vectorial, son equivalen-tes:

(1) dimK M < ∞.

(2) `(M)< ∞.

(3) M es noetheriano.

(4) M es artiniano.

Mas aun, si se satisfacen las condiciones anteriores, entonces dimK M = `(M).

Demostracion. (1)⇒ (2): Si dimM = n < ∞, una serie de composicion de M es unabandera

0 = M0 M1 · · · Mn = M

por lo que dimMi = i y los cocientes Mi/Mi−1 de dimension 1 por lo que `(M) =n = dimM.(2)⇒ (3) y (2)⇒ (4) se siguen de 4.33. Para (3)⇒ (1), supongamos que (1) esfalso. Entonces, existe un numero infinito de vectores x1,x2, . . . de M linealmente in-dependientes. Consideremos entonces los subespacios vectoriales Mi = 〈x1, . . . ,xn〉y note que estos forman una cadena ascendente infinita

M1 M2 · · ·

contradiciendo que M es noetheriano. La implicacion (4)⇒ (1) es similar, soloconsiderando los subespacios Ni = 〈xi+1, . . .〉 que forman la cadena descendenteinfinita

N1 ⊇ N2 ⊇ ·· ·

que contradice que M es artiniano. ut

Lema 4.36 Sea A un anillo en el cual algun producto finito de ideales maximos escero. Entonces, A es artiniano si y solo si A es noetheriano.


Demostracion. Supongamos que m1 · · ·mn = 0 con los mi ideales maximos no ne-cesariamente distintos. Considere la cadena de ideales

A⊇m1 ⊇m1m2 ⊇ ·· · ⊇m1 · · ·mn = 0

y los cocientes consecutivos

Mr :=m1 · · ·mr−1/m1 · · ·mr

como A-modulos y observe que la accion de A en los Mr se factoriza a traves delepimorfismo canonico al campo residual ρ : A→ A/mr =: k(mr), i.e., se tiene undiagrama conmutativo:

A×Mr

ρ×id

// Mr

k(mr)×Mr

::

y los subespacios del espacio vectorial Mr estan en correspondencia biunıvoca conlos ideales de A contenidos entre m1 · · ·mr−1 y m1 · · ·mr. Si A es noetheriano (arti-niano) entonces Mr es noetheriano (artiniano) y por lo tanto es de dimension finitacomo k(mr)-espacio vectorial por la proposicion anterior, y es noetheriano y ar-tiniano como A-modulo por la correspondencia mencionada arriba. Aplicacionesiteradas del ejercicio 10 a las sucesiones exactas siguientes

0→ 0 =m1 · · ·mn→m1 · · ·mn−1→Mn→ 0

0→m1 · · ·mn−1→Mn−1→ 0

...

0→m1m2→m1→M2→ 0

0→m1→ A→M1→ 0

muestran que si A es artiniano (respectivamente, noetheriano) entonces es noethe-riano (respectivamente, artiniano) como A-modulo y por lo tanto como anillo. ut

Teorema 4.37 Un anillo es artiniano si y solo si es noetheriano de dimension cero.

Demostracion. Si A es artiniano, por 4.28, dimA = 0. Por 4.30, A tiene un numerofinito de ideales maximos m1, . . . ,mn y ası

m1 · · ·mn ⊆m1∩·· ·∩mn = J(A) = nilA

donde la ultima igualdad es por 4.29, y por 4.31 una potencia de este productom1 · · ·mn es cero y ası A es noetheriano por el lema anterior.

Recıprocamente, si dimA = 0 y A es noetheriano entonces el ideal 0 admite unadescomposicion primaria y ası A tiene un numero finito de ideales primos mınimos


y estos son maximos porque dimA = 0. Ahora, el nilradical de A es la interseccionde estos ideales primos mınimos y ası nilA es la interseccion de un numero finito deideales maximos, y como A es noetheriano, por 4.12, alguna potencia de su nilradi-cal es cero y ası podemos aplicar el lema anterior para concluir que A es artiniano.

ut

Teorema 4.38 (Teorema de estructura de los anillos artinianos) Todo anillo ar-tiniano A se puede escribir de forma unica, como producto directo finito de anillosartinianos locales.

Demostracion. Si m1, . . . ,mn son los ideales maximos distintos de A, en la demos-tracion del teorema anterior vimos que algun producto mk

1 · · ·mkn = 0. Como se tiene

que√mk

i = mi, entonces para i 6= j los radicales√mk

i y√mk

j son coprimos y por

lo tanto los ideales mki y mk

j tambien son coprimos por el ejercicio 5, inciso (ix) delcapıtulo 1. Del teorema chino del residuo se tiene un isomorfismo

A' A/mr11 ×·· ·×A/mrn

n ,

y cada anillo artiniano A/mrii es obviamente local porque el unico ideal maximo de

A que contiene a mrii es mi por 1.9. ut

Proposicion 4.39 Sea (A,m) un anillo artiniano local. Si m es principal, entoncestodo ideal de A es principal. De hecho, si m = 〈π〉 e I ⊆ A es un ideal, entoncesI = 〈πr〉, para algun r ≥ 0.

Demostracion. Por 4.29, nilA = J(A) = m y ası por 4.31 alguna potencia de m escero, i.e., mn = 〈πn〉 = 0 para algun n. Sea I 6= 0 un ideal propio de A. Entonces,existe un entero r ≥ 0 tal que I ⊆mr pero I 6⊆mr+1 (por ejemplo r = 1 sirve para laprimera condicion y note que r≤ n porque mn = 0). Por lo tanto, existe un elementoa∈ I tal que a∈ 〈πr〉 pero a 6∈ 〈πr+1〉, es decir, a= uπr para algun u∈A y la segundacondicion implica que u 6∈m y por lo tanto u es una unidad de A y ası πr = au−1 ∈ Ipor lo que I = 〈πr〉. ut

Si (A,m) es artiniano local, como nilA = J(A) = m, entonces por 4.31 el idealm es nilpotente y como A es local, entonces todo elemento de A es una unidad o esnilpotente.

Ejemplo 11. Si p es primo, el anillo Z/pn es artiniano local con ideal maximo elcorrespondiente a 〈p〉. Si n = pe1

1 ×·· ·× perr , el teorema anterior dice que

Z/n' Z/pe11 ×·· ·×Z/per

r

es artiniano.

Proposicion 4.40 Si (A,m) es noetheriano local, entonces se cumple una y solouna de las afirmaciones siguientes:

(1) mn 6=mn+1 para todo n≥ 1.


(2) mn = 0 para algun n, y en este caso A es artiniano.

Demostracion. Si sucediera que mn =mn+1 para algun n, por el lema de Nakayamase sigue que mn = 0 y como A es noetheriano por 4.36 se sigue que A es artiniano.

ut

Proposicion 4.41 Sea A un anillo noetheriano. Son equivalentes:

(1) A es artiniano.

(2) SpecA es finito y discreto.

(3) SpecA es discreto.

Demostracion. (1)⇒ (2): Por 4.28 y 4.30, SpecA es finito y discreto. (2)⇒ (3) esobvio. (3)⇒ (1): Como SpecA es discreto, entonces para todo p ∈ SpecA, p escerrado y ası p es maximo por lo que dimA = 0 y ası, por 4.37, A es artiniano. ut

Proposicion 4.42 Sean K un campo y A una K-algebra de tipo finito. Son equiva-lentes:

(1) A es artiniana.

(2) A es una K-algebra finita.

Demostracion. (1)⇒ (2): Por el teorema de estructura de anillos artinianos 4.38, elanillo A es un producto directo finito de anillos artinianos locales y si probamos quecada uno de estos es una K-algebra finita, entonces A tambien lo es. Supongamosentonces que (A,m) es un anillo artiniano local que es de tipo finito como K-algebra.Entonces, en K→ A→ A/m el campo residual A/m es una extension finita de K porel teorema de Zariski 3.21. Como A es artiniana, entonces tambien es noetheriana ypor 4.33 tiene longitud finita como A-modulo y consecuentemente no se puede teneruna cadena infinita

0⊆ 〈x1〉〈x1,x2〉 · · · ⊆M

con los xi ∈M. Se sigue que M es finitamente generado como A-modulo.(2)⇒ (1): Como A es K-algebra, todo ideal de A es un K-espacio vectorial y por lahipotesis (2) se tiene que dimK A = n < ∞. Entonces los ideales de A son tambiende dimension finita como espacios vectoriales sobre K y por lo tanto son artinianospor 4.35. ut

Ejercicios

4.1. Los ejercicios siguientes son variantes del ((lema de Nakayama)) y tendremosocasion de usar varias de estas versiones.

(1) Si M es un A-modulo finitamente generado y M = IM, entonces existe un a ∈ Acon a≡ 1 (mod I) tal que aM = 0.


(2) Si I ⊆ J(A), entonces todo a ∈ A tal que a≡ 1 (mod I) es invertible.

(3) Si M es finitamente generado, I ⊆ J(A) y N ⊆M es tal que N/IN →M/IM esun isomorfismo, entonces M = N.

(4) Si (A,m) es local, M es finitamente generado y si x1, . . . ,xn ∈ M son tales quesus imagenes x1, . . . ,xn generan M/mM, entonces los xi generan M.

(5) Si (A,m) es local y k = A/m es su campo residual, entonces m(M/mM

)= 0 y

ası M/mM es un k-espacio vectorial de dimension finita.

4.2. Si A es un anillo, se dice que A es reducido si su nilradical es cero. Si A es unanillo reducido que tiene solo un numero finito de ideales primos, demuestre que lasafirmaciones siguientes son equivalentes:(i) La dimension de Krull de A es cero.(ii) A es isomorfo a un producto directo de un numero finito de campos.Sugerencia: use el teorema chino del residuo.

4.3. Si p es un ideal primo de A y n≥ 1, demuestre que√pn = p.

4.4. Demuestre que un anillo local (A,m) de dimension cero consiste solo de unida-des y elementos nilpotentes.

4.5. Si (A,m) es un anillo local de dimension cero, demuestre que 0 y 1 son losunicos elementos idempotentes.

4.6. Si I A es un ideal propio, demuestre que√

I = I si y solo si I es la interseccionde ideales primos.

4.7. Sean K un campo y p ⊆ K[x1, . . . ,xn] un ideal primo. Demuestre que si L es elcampo de fracciones del dominio entero K[x1, . . . ,xn]/p, entonces grtrK L≤ n−1.

4.8. Sea M un A-modulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalen-tes:(i) Todo submodulo de M es finitamente generado.(ii) Toda cadena ascendente de submodulos de M:

N1 ⊆ N2 ⊆ ·· ·

se estaciona, i.e., existe un n≥ 1 tal que Nn = Nn+k, para todo k ≥ 0.(iii) Toda familia no vacıa de submodulos de M tiene un elemento maximo para elorden dado por la inclusion.

Un modulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es noetheriano.

4.9. Sea M un A-modulo. Demuestre que las propiedades siguientes son equivalen-tes:(i) Toda cadena descendente de submodulos de M:

N1 ⊇ N2 ⊇ ·· ·


se estaciona, i.e., existe un n≥ 1 tal que Nn = Nn+k, para todo k ≥ 0.(ii)Toda familia no vacıa de submodulos de M tiene un elemento mınimo para elorden dado por la inclusion.

Un modulo que satisface las condiciones anteriores se dice que es artiniano.

4.10. Si 0→ M′ → M→ M′′ → 0 es una sucesion exacta corta de A-modulos, de-muestre que:(i) M es noetheriano si y solo si M′ y M′′ lo son.(ii) M es artiniano si y solo si M′ y M′′ lo son.

4.11. Si Mi, 1≤ i≤ n son A-modulos noetherianos (respectivamente, artinianos),demuestre que su suma directa es noetheriano (respectivamente, artiniano). Suge-rencia: por induccion sobre n basta considerar el caso n = 2.

4.12. Si A es un anillo noetheriano (respectivamente, artiniano) y M es un A-modulofinitamente generado, demuestre que M es noetheriano (respectivamente, artiniano).Sugerencia: M es isomorfo a un cociente de An.

4.13. Sean K un campo y A una K-algebra de tipo finito. Si I ⊆ A es cualquier ideal,demuestre que

√I = J(I) =

⋂m maximo ⊇ I

m.

4.14. Si A ⊆ B son anillos con B entero sobre A y B noetheriano, demuestre quesobre cada primo p ∈ SpecA hay solo un numero finito de primos P ∈ SpecB, esdecir, para la funcion ai : SpecB→ SpecA inducida por la inclusion i : A → B, lafibra (ai)−1(p) es finita.

4.15. Si K es un campo, todo K-espacio vectorial de dimension finita V es obvia-mente noetheriano. Demuestre que tambien es artiniano. Por otra parte, todo K-espacio vectorial noetheriano es de dimension finita. Demuestre que todo K-espaciovectorial artiniano es de dimension finita.

4.16. Si todos los ideales primos de A son finitamente generados, demuestre que Aes noetheriano.

4.17. Si M es un A-modulo noetheriano, demuestre que A/(0 : M) es noetheriano.Aquı (0 : M) se define como para el caso de ideales y es el anulador de M.

4.18. Si A es noetheriano y f : A→ A es un epimorfismo de anillos, demuestre quees inyectivo.

4.19. Si M,N son A-modulos tales que M +N y M∩N son finitamente generados,demuestre que M y N tambien lo son.

4.20. Si M es un A-modulo finitamente generado e I ⊆ A es un ideal, demuestre que√(0 : M/IM) =

√(0 : M)+ I.

4.21. Si f : A→ B es un morfismo de anillos, demuestre que f (J(A))⊆ J(B).


4.22. Un anillo A es semilocal si solo tiene un numero finito de ideales maximos. SiA es semilocal con ideales maximos m1, . . . ,mn, demuestre que

J(A) =m1∩·· ·∩mn =m1 · · ·mn.

4.23. Si A es semilocal y f : A → B es un morfismo de anillos, demuestre quef (J(A)) = J(B).

4.24. Sea An(M) = (0 : M) = a ∈ A : ax = 0 para todo x ∈M el anulador de M.Si M es un A-modulo finitamente generado y p ∈ SpecA, demuestre que Mp = 0 siy solo si p ∈V (AnM). Sugerencia: M finitamente generado implica que An(Mp) =An(M)p.

4.25. Si M es un A-modulo, su soporte es el conjunto

suppM = p ∈ SpecA : Mp 6= 0.

(i) Si M,N son finitamente generados, demuestre que

supp(M⊗A N) = suppM∩ suppN.

(ii) Si M es finitamente generado e I ⊆ A es un ideal, demuestre que

supp(M/IM) = (suppM)∩V (I).

Sugerencia: M/IM 'M⊗A (A/I), I = An(A/I) y supp(A/I) =V (I).

4.26. Si K es un campo infinito, demuestre que I(Kn) = 0, donde para U ⊆ Kn

interprete a I(U) como

I(U) = f ∈ K[x1, . . . ,xn] : f (P) = 0 para todo P ∈U.

Note que cuando K es algebraicamente cerrado el ejemplo 2 de la pagina 93 de-muestra el caso correspondiente.

4.27. Sea M un A-modulo. Demuestre el teorema de Jordan-Holder: Si Mi y M′ison dos series de composicion de M, entonces existe una biyeccion entre la familiade cocientes Mi/Mi−1y la familia M′i/M′i−1 tal que los cocientes correspondien-tes son isomorfos.

4.28. Si I ⊆ A es un ideal que solamente esta contenido en un ideal maximo m, de-muestre que A/I es un anillo local con ideal maximo m/I y campo residual isomorfoa A/m. Note que si I =mk con m⊆ A cualquier ideal maximo, esto es lo que usamosen la demostracion de 4.14.

4.29. Si (A,m) es un anillo local e I A es un ideal propio, demuestre que A/I eslocal y que el epimorfismo canonico ρ : A→ A/I es un morfismo local que induceun isomorfismo en los campos residuales correspondientes.


4.30. Si (A,m) es un anillo local, demuestre que el epimorfismo canonico ϕ : A→Am es un isomorfismo local.

4.31. Si p ∈ SpecA e I ⊆ A es un ideal no contenido en p, demuestre que IAp = Ap

y que (A/I)p = 0.

4.32. Si f : A→ B es un morfismo de anillos, q ∈ SpecB y p = f−1(q) ∈ SpecA,demuestre que:

(i) f (A−p)⊆ B−q.(ii) Por (i) se sigue que f induce fp : Ap→ Bq. Demuestre que fp es local.

4.33. Si A es noetheriano e I ⊆ A es un ideal, demuestre que⋂

In = 0 si y solo sitodos los elementos de 1+ I no son divisores de cero.

4.34. Si A es un dominio entero noetheriano e I ⊆ A es cualquier ideal, demuestreque

⋂In = 0.

Capıtulo 5Anillos de valuacion discreta y de Dedekind

En teorıa de numeros, el anillo mas importante es el anillo de enteros Z, para elcual se tiene el teorema fundamental de la aritmetica, a saber, que todo entero nocero ni unidad se puede factorizar en forma unica, salvo orden o unidades, comoproducto de enteros primos. Si K es un campo de numeros, es decir, si K es unaextension finita de Q, el campo de fracciones de Z, la cerradura entera de Z en Kse conoce como el anillo de enteros de K y lo denotaremos por OK . Por 3.17, unelemento α ∈ K esta en OK si y solo si su polinomio monico irreducible Irr(α,K)tiene coeficientes en Z. Existen anillos de enteros OK para los cuales no se tiene unteorema de factorizacion unica en sus elementos que no son cero ni unidades. Sinembargo se tiene el resultado, un tanto mas debil pero de mucha importancia, quelos ideales propios no nulos de OK se pueden escribir en forma unica como productode ideales primos. Para probar lo anterior, usaremos algunos resultados sobre des-composicion primaria en anillos noetherianos que son relevantes en este contextoy comenzamos introduciendo algunos resultados sobre anillos de valuacion discre-ta que nos seran utiles ya que los anillos de valuacion discreta son la contrapartelocal de la clase de anillos a la que pertenecen los anillos de enteros mencionadosanteriormente.

Anillos de valuacion. Si A es un dominio entero y K es su campo de fracciones, sedice que A es un anillo de valuacion de K si para cada α ∈ K∗ se tiene que α ∈ Ao α−1 ∈ A.

Proposicion 5.1 Si A es un anillo de valuacion de K, entonces:

(1) A es un anillo local.

(2) Si B es un anillo tal que A⊆ B⊆ K, entonces B es anillo de valuacion de K.

(3) A es integralmente cerrado en su campo de fracciones K.

Demostracion. (1): Si m = A−A∗, entonces α ∈ m si y solo si α = 0 o α−1 6∈ A.Si a ∈ A y α ∈ m, entonces aα ∈ m ya que si no fuera ası entonces (aα)−1 ∈ A,i.e., α−1a−1 = b ∈ A por lo que α−1 = ab ∈ A, una contradiccion. Ahora, si α,β ∈

113

114 5 Anillos de valuacion discreta y de Dedekind

m son no nulos, entonces αβ−1 ∈ A o α−1β ∈ A. Si αβ−1 ∈ A, entonces, por lodemostrado antes con a = 1+αβ−1 ∈ A,

α +β = (1+αβ−1)β ∈ Am⊆m

y similarmente si α−1β ∈ A. Se sigue que m es un ideal, y es el unico ideal maximoporque consiste de las no unidades de A.

(2): Se sigue de las definiciones.

(3): Si α ∈ K es entero sobre A, entonces satisface una ecuacion de la forma

(∗) αn +an−1α

n−1 + · · ·+a1α +a0 = 0 con a j ∈ A.

Si α ∈ A, no hay nada que probar. Si α 6∈ A, entonces α−1 ∈ A y ası α1−n ∈ A ymultiplicando (∗) por α1−n se sigue que

α +an−1 +an−2α−1 + · · ·+a1α

2−n +a0α1−n = 0

por lo que

α =−(an−1 +an−2α−1 + · · ·+a1α

2−n +a0α1−n) ∈ A,

una contradiccion. ut

Valuaciones discretas. Anillos de valuacion aparecen naturalmente cuando se con-sideran valores absolutos o valuaciones en un campo. Las valuaciones que nos in-teresaran son las siguientes. Si K es un campo, una valuacion discreta de K es unafuncion suprayectiva v : K∗ Z tal que

(i) v(ab) = v(a)+ v(b), para a,b ∈ K∗.

(ii) v(a+b)≥mınv(a),v(b).

Es conveniente extender v a todo K poniendo v(0) := +∞, donde el sımbolo ∞

satisface que, para todo n ∈ Z, ∞ > n, n+∞ = ∞, ∞+∞ = ∞ y n∞ = ∞ si n≥ 1. Deesta manera, la condicion (ii) tiene sentido cuando a+b = 0 y las condiciones (i) y(ii) son validas para todo a,b ∈ K.

Ejemplo 1. Si K = Q es el campo de los numeros racionales y p ∈ Z ⊆ Q es unprimo, cada numero racional x = a/b 6= 0 se puede escribir de forma unica como

x =ab= pr a′

b′

con r,a′,b′ ∈ Z y p - a′b′. Se define entonces vp(x) := r y vp(0) :=+∞. Claramentevp satisface la condicion (i) y si x = pra/b y z = psc/d con p - abcd, entonces

x+ z =prad + psbc

bd

5 Anillos de valuacion discreta y de Dedekind 115

donde p - bd. Ahora, sea pt la mayor potencia de p que divide al numerador. Enton-ces, t ≥mınr,s y

vp(x+ z) = t ≥mınr,s ≥mınvp(x),vp(z).

La valuacion vp anterior se llama la valuacion p-adica de Q.

Ejemplo 2. Este ejemplo es formalmente analogo al anterior. Sea K = F(x) el campode funciones racionales en una indeterminada x con coeficientes en el campo F . Siπ(x) ∈ F [x] es un polinomio irreducible dado, entonces todo elemento α 6= 0 de Kse puede escribir de manera unica como

α = π(x)r f (x)g(x)

con f (x),g(x) ∈ F [x], π - f g y r ∈ Z. Se define entonces v(α) := r y v(0) := ∞. Estaes una valuacion en K = F(x).

Ejemplo 3. Sea K = F((T )) el campo de series formales de Laurent en una variableT con coeficientes en el campo F . Los elementos de K son de la forma

α = ∑n≥n0

anT n

con an ∈ F y n,n0 ∈ Z. Si α 6= 0 en K esta dado como arriba con n0 6= 0, se defineentonces v(α) = n0 y v(0) = +∞, y se verifica facilmente que esta es una valuacionde K = F((T )).

Si K es un campo con una valuacion discreta v, diremos que K es un campovaluado discreto. Si v es una valuacion en K, convencionalmente lo denotaremospor v : K∗ Z, asumiendo tacitamente que v(0) = +∞. A continuacion listamosalgunas propiedades basicas de una valuacion.

Lema 5.2 Sea K,v un campo valuado discreto. Entonces:

(1) v(1) = 0.

(2) v(−a) = v(a) para todo a ∈ K.

(3) v(a−1) =−v(a) para todo a ∈ K∗.

(4) Si v(a) 6= v(b), entonces v(a+b) = mınv(a),v(b).

Demostracion. La partes (1) y (3) son porque v : K∗ Z es un homomorfismo degrupos. Para (2), como 1 = (−1)(−1) entonces 0 = v(1) = v(−1)+ v(−1) en Z yası v(−1) = 0. Se sigue que v(−a) = v((−1)a) = v(−1)+ v(a) = v(a). Para (4),supongamos que v(a) < v(b); entonces v(a+ b) ≥ mınv(a),v(b) = v(a) y comoa = (a+ b)− b, entonces v(a) = v((a+ b)− b) ≥ mınv(a+ b),v(b) = v(a+ b)ya que no puede suceder que mınv(a+b),v(b)= v(b) porque entonces se tendrıaque v(a)≥ v(b), en contradiccion con la hipotesis de que v(a)< v(b). Se sigue quev(a)≥ v(a+b)≥ v(a), i.e., v(a) = v(a+b). ut


Lema 5.3 Si K,v es un campo valuado, entonces:

(1) El conjunto Ov := a ∈ K : v(a) ≥ 0 un anillo de valuacion de K, y ası, por5.1, es un anillo local con ideal maximo pv := a ∈ K : v(a)> 0.

(2) El grupo de unidades del anillo Ov es el nucleo del homomorfismo v : K∗ Z,i.e., O∗v = a ∈ K : v(a) = 0. Ası, v induce un isomorfismo K∗/O∗v ' Z.

Demostracion. Claramente 1,0 ∈ Ov. Ahora, si a,b ∈ Ov entonces v(a± b) ≥mınv(a),v(b) ≥ 0 y ası a± b ∈ Ov. Similarmente, v(ab) = v(a) + v(b) ≥ 0 yası ab∈Ov. Ov es un dominio entero porque es subanillo de K. Para ver que es anillode valuacion, si a∈K y a 6∈Ov, entonces v(a)< 0 y por lo tanto v(a−1) =−v(a)> 0por lo que a−1 ∈ Ov y ası Ov es un anillo de valuacion. Por 5.1 se sigue que Ov esanillo local y su ideal maximo es pv = Ov−O∗v y para ver que pv tiene la formadada en el enunciado basta mostrar que el grupo de unidades del anillo es como en(2), que se demuestra como sigue: si α ∈ K es tal que v(α) = 0, sea β ∈ K∗ tal queαβ = 1; entonces, 0 = v(1) = v(α)+ v(β ) = v(β ) ya que v(α) = 0. Se sigue queβ ∈Ov y ası α es una unidad de Ov. Recıprocamente, si a∈O∗v entonces a−1 ∈Ov yası v(a−1) =−v(a) con ambos v(a),v(a−1)≥ 0, por lo que v(a) = 0 = v(a−1). ut

Si K,v es un campo valuado discreto, el anillo local Ov se llama el anillo de lavaluacion. El ideal pv es el ideal maximo de la valuacion v. El grupo O∗v = Ov−pves el grupo de unidades de la valuacion. El campo cociente Kv = kv := Ov/pv es elcampo residual de la valuacion.

Ejemplo 4. Si K = Q y v = vp es la valuacion p-adica, se tiene que (ver el ejemplo3 del capıtulo 3 en la pagina 59):

Ov = Z〈p〉 =a

b∈Q : p - b

pv = pZ〈p〉 =

ab∈Q : p - b y p|a

O∗v =

ab∈Q : p - b y p - a

Kv = Z〈p〉/pZ〈p〉 = Fp.

Esto se sigue directamente de las definiciones y solo verificaremos que K = Fp. Enefecto, la inclusion Z →Z〈p〉 dada por m 7→m/1 es tal que manda al ideal pZ dentrodel ideal pZ〈p〉 y ası induce por paso al cociente el morfismo Z/pZ→ Z〈p〉/pZ〈p〉,el cual es facil ver que es un isomorfismo.

Si K es un campo con una valuacion discreta v : K∗ Z, a cualquier elementoπ ∈ K∗ tal que v(π) = 1 (el generador del grupo Z) se le llama un elemento primoo parametro uniformizador de K. Ası, en el ejemplo 4 anterior, p es un parametrouniformizador de la valuacion p-adica vp. Notese que cualesquiera dos elementosprimos de K difieren solo por una unidad. Si π ∈K∗ es un elemento primo, entoncesπ ∈ pv ya que v(π) = 1 > 0. Mas aun, pv es un ideal principal generado por π:


pv = 〈π〉= πOv,

ya que si a∈ pv sea n = v(a)∈Z y notemos que v(aπ−n) = v(a)+v(π−n) = n−n =0, y ası aπ−n ∈ O∗v , digamos aπ−n = u ∈ O∗v y por lo tanto a = πnu con u ∈ O∗v . Sesigue que a ∈ 〈π〉 y ası pv = 〈π〉 es un ideal principal (de hecho, probaremos en 5.5que Ov es un dominio de ideales principales). El lema siguiente recoge lo que hemosprobado en estas observaciones:

Lema 5.4 Si K,v es un campo valuado discreto y π es un elemento primo de K,entonces todo α ∈ K∗ se puede escribir en forma unica como

α = πnu

con n = v(α) ∈ Z y u ∈ O∗v .

Demostracion. Antes del enunciado del lema probamos que todo α ∈ K∗ se puedeescribir como α = πnu con u ∈ O∗v . Ahora, si sucediera que α = πnu = πmε conn,m ∈ Z y u,ε ∈ O∗v , entonces n = v(α) = v(πmε) = m y consecuentemente πnu =πnε , por lo que u = ε . ut

Proposicion 5.5 Sean K un campo valuado discreto, Ov su anillo de valuacion,pv = 〈π〉 su ideal maximo y π un elemento uniformizador. Entonces:

(1) El anillo Ov es un dominio de ideales principales y de hecho todo ideal no nuloI ⊆ Ov es de la forma

I = pnv = π

nOv = 〈πn〉 para algun entero n≥ 0.

Se sigue que Ov es un dominio entero noetheriano local de dimension1 1 en el cualtodo ideal no nulo es una potencia de su ideal maximo.

(2) La interseccion de todos los ideales propios no nulos de Ov es el ideal 0, es decir,⋂n≥0

pnv = 0.

(3) Para cada n≥ 0, pnv = α ∈ K : v(α)≥ n y se tiene la cadena de ideales

Ov ⊇ pv ⊇ p2v ⊇ p3

v ⊇ ·· ·

Demostracion. Sea 0 6= I Ov un ideal propio. Entonces, el conjunto v(a) : a ∈I,a 6= 0 ⊆ N tiene un elemento mınimo, digamos n > 0, n = v(a) con a ∈ I−0.Usando el lema anterior escribamos a = πnu con u ∈ O∗v una unidad. Ası, πn =au−1 ∈ I y por lo tanto 〈πn〉 ⊆ I. Ahora, si β ∈ I es otro elemento entonces v(β )≥ npor la eleccion de n = v(a), y ası v(β ) = n+ t con t ≥ 0 y por lo tanto β = πnπ tε

con ε ∈O∗v y en consecuencia, β ∈ 〈πn〉, i.e., I ⊆ 〈πn〉. Esto prueba la primera partede (1). Para la segunda parte de (1) observe que los ideales 〈πn〉 solo son primos si

1 Como en el capıtulo anterior, dimA = 1 quiere decir que los ideales primos no cero son maximos.


n = 1, por lo que dimOv = 1 ya que 0 es primo. Para (2), si a ∈⋂

n≥1 pnv entonces

a ∈ 〈πn〉 para toda n≥ 1 y ası a = πnun con un ∈ Ov para todo n≥ 1 y por lo tantov(a)≥ n para toda n ∈ N. Esto solo es posible si v(a) = +∞, i.e., si a = 0. La parte(3) es obvia. ut

Anillos de valuacion discreta. Un dominio entero A se dice que es un anillo devaluacion discreta si para su campo de fracciones K existe una valuacion discretav tal que su anillo de valuacion es Ov = A. Varias de las propiedades que hemosobtenido de los anillos de valuacion discreta de hecho caracterizan a estos anillos,como veremos en el teorema siguiente, despues de un lema preliminar:

Lema 5.6 Sea (A,m) un dominio noetheriano local de dimension 1.

(1) Si 0 6= I A es un ideal propio no nulo, entonces I es m-primario y mn ⊆ I paraalgun n≥ 1.

(2). Para todo n≥ 0, mn 6=mn+1.

Demostracion. (1): Siendo A noetheriano, I tiene una descomposicion primaria ycomo A es de dimension 1 sus ideales primos no nulos son maximos, y siendo Alocal solo hay un ideal maximo m y ası el unico primo asociado a I tiene que ser my por lo tanto I es m-primario. Mas aun, como

√I =m, entonces por 4.3 mn⊆ I =m,

para algun n≥ 1. Para (2), si mn =mn+1 para algun n, por el lema de Nakayama sesigue que mn = 0 y por lo tanto, si p es cualquier primo de A, entonces mn = 0⊆ p,y como p primo se sigue que m ⊆ p, pero como m es maximo esto implica quem = p y consecuentemente m es el unico ideal primo de A y ası dimA = 0, unacontradiccion. Vea tambien 4.40. ut

Teorema 5.7 Sean A un dominio entero con anillo de fracciones K. Son equivalen-tes:

(1) A es un anillo de valuacion discreta.

(2) A es un anillo noetheriano local de dimension 1 integralmente cerrado.

(3) A es un anillo noetheriano local cuyo ideal maximo m es principal.

(4) A es un DIP local tal que todo ideal no nulo de A es de la forma 〈πn〉, para algunn≥ 0 y algun π ∈ A.

(5) A es un DFU con un unico elemento irreducible π , salvo unidades.

(6) A es un anillo noetheriano local de dimension 1 y si k = A/m es su camporesidual, se tiene que dimk(m/m2) = 1.

Demostracion. (1) ⇒ (2): Por 5.3 todo anillo de valuacion discreta es un anillode valuacion y ası por 5.1 es un anillo local integralmente cerrado y por 5.5 esnoetheriano de dimension 1.

(2) ⇒ (3): Como dimA = 1, no puede ser un campo y ası m 6= 0. Por el lema deNakayama m 6=m2 y ası existe π ∈m−m2. Mostraremos que 〈π〉=m. Claramente


〈π〉 ⊆m y para la otra inclusion, observe primeto que como A es noetheriano enton-ces√〈π〉 tiene una descomposicion primaria y como m es el unico ideal primo no

nulo de A, porque dimA = 1, entonces√〈π〉=m. Sea n≥ 1 el menor entero tal que

mn ⊆ 〈π〉; mostraremos que n = 1. Supongamos que n > 1; entonces mn−1 6⊆ 〈π〉 ypor lo tanto existe x ∈mn−1−〈π〉. Se sigue que xm⊆mn ⊆ 〈π〉. Sea z = x/π ∈ K,el campo de fracciones de A. Entonces, z 6∈ A porque de lo contrario se tendrıa quex = zπ ∈ 〈π〉, en contradiccion con el hecho de que x 6∈ 〈π〉. Mostraremos ahoraque z es entero sobre A, y como A es integralmente cerrado esto ultimo implicaque z ∈ A, una contradiccion. Para exhibir una ecuacion de dependencia entera paraz, note que como xm ⊆ 〈π〉, entonces zm ⊆ A, ya que xm ⊆ 〈π〉 implica que pa-ra todo m ∈ m, se tiene que xm ∈ 〈π〉 y ası xm = πt, para algun t ∈ A; se sigueque zm = (x/π)m = πt/π = t ∈ A y ası zm ⊆ A y es un ideal de A porque m loes. Si sucediera que zm = A, existirıa un m ∈ m tal que zm = 1 y en consecuenciaπ = π1 = πzm = xm ∈ mn ⊆ m2, en contradiccion con la eleccion de π ∈ m−m2.Se sigue que zm A es un ideal propio y como A es noetheriano, sean m1, . . . ,mkgeneradores de m. Entonces, zm j = ∑i ai jmi, con ai j ∈ A, lo cual se puede escribircomo ∑i(δi jz−ai j)mi = 0. Sea d = det(δi jz−ai j). Por la regla de Cramer dmi = 0para todo i, y ası dm= 0. Como m 6= 0 se sigue que d = 0 y ası det(δi jz−ai j) = 0es una ecuacion de dependencia entera para z, como se querıa.

(3) ⇒ (4): Sea m = 〈π〉 el ideal maximo de A y sea 0 6= I A cualquier ideal.Queremos mostrar que I es principal. Como A es noetheriano local entonces I ⊆ my existe un entero mayor tal que I ⊆ mn = 〈π〉 (porque si I estuviera contenido entodos los mm, entonces por 5.5, I ⊆

⋂mm = 0, una contradiccion porque I es no

nulo). Para la otra inclusion note que mn+1 ⊆mn = 〈πn〉 y para x ∈ I−mn+1 este lopodemos escribir como x = uπn con u 6∈ m, y ası u es una unidad porque (A,m) eslocal. Por lo tanto πn = u−1x ∈ I y ası 〈πn〉 ⊆ I, como se querıa.

(4)⇒ (5): Todo DIP es un DFU. Ahora, sea m= 〈π〉 el ideal maximo del DIP localA. Para comenzar, π es irreducible porque si no lo fuera, π = ab con a,b no unidadesy ası π ∈ 〈a〉〈b〉 y como 〈a〉 ⊆ m y 〈b〉 ⊆ m, entonces π ∈ 〈a〉〈b〉 ⊆ 〈π〉〈π〉, i.e.,π ∈ 〈π2〉, i.e., π = π2v y ası 1= πv por lo que π serıa una unidad, una contradiccion.Se sigue que π es irreducible. Por otra parte, si t es otro irreducible, como A es DFUentonces 〈t〉 serıa maximo y ası 〈t〉= 〈π〉 por lo que t = π , salvo unidades.

(5) ⇒ (1): Si π es el (unico) irreducible de A, el ideal m = 〈π〉 es primo y dehecho es maximo por la unicidad de π . Ahora, dado a ∈ A, existe un n ≥ 0 tal queπn|a pero πn+1 - a. Se define entonces v(a) := n y se extiende a todo K mediantev(a/b) = v(a)− v(b). Claramente v es una valuacion de K con anillo de valuacionA.

(3)⇔ (6): Se sigue de 4.8. ut

Corolario 5.8 Un anillo de valuacion A es un anillo de valuacion discreta si y solosi es noetheriano.

Demostracion. Por el teorema anterior todo anillo de valuacion discreta es noethe-riano. Recıprocamente, si A es un anillo de valuacion noetheriano, dado un ideal no


nulo I de A, poniendo I = 〈a1, . . . ,an〉 con un conjunto mınimo de generadores, paralos ideales 〈ai〉 y 〈a1, . . . , ai, . . . ,an〉 donde ai quiere decir que se omite ese elemento,por el ejercicio 1 se tiene que 〈ai〉 ⊆ 〈a1, . . . , ai, . . . ,an〉 o 〈a1, . . . , ai, . . . ,an〉 ⊆ 〈ai〉.El primer caso no se puede dar por la minimalidad en la eleccion de los generadoresde I y el segundo caso implica que 〈ai〉 = I y consecuentemente A es un DIP. Enparticular, como A es local, su ideal maximo m es principal y ası por el teoremaanterior A es un anillo de valuacion discreta. ut

Corolario 5.9 Si A es un dominio entero noetheriano integralmente cerrado de di-mension 1, entonces para todo ideal primo p ⊆ A el localizado Ap es un anillo devaluacion discreta.

Demostracion. Los ideales primos de Ap corresponden a ideales primos de A conte-nidos en p. Se sigue que dimA = 1 si y solo si dimAp = 1, para todo primo p. Porotra parte, Ap es un dominio entero noetheriano local integralmente cerrado (porqueser integralmente cerrado es una propiedad local por 3.33). Por lo tanto, el resultadose sigue del teorema anterior. ut

Anillos de Dedekind. Un dominio entero noetheriano, integralmente cerrado y dedimension 1 (i.e., todo ideal primo no nulo es maximo), se llama un dominio deDedekind. Ası, los dominios de Dedekind son los analogos globales de los dominiosde valuacion discreta.

Ejemplo 5. Todo DIP es un dominio de Dedekind, ya que es un DFU y por lo tantointegralmente cerrado, y en un DFU todo primo no nulo es maximo.

Ejemplo 6. El ejemplo mas importante es el siguiente: si K es un campo de numeros,i.e., una extension finita deQ, a la cerradura entera OK de Z en K se le conoce comoel anillo de enteros de K:

OK // K

Z?

OO

// Q?

OO

Ası, OK = α ∈ K : α es entero sobre Z. Para probar que OK es un anillo deDedekind, necesitaremos los resultados siguientes.

Traza, norma y discriminante de campos de numeros. Si K/Q es una extensionfinita de campos de grado n y α1, . . . ,αn ∈ K es una base de K sobre Q, dado unelemento cualquiera α ∈K se tiene la funcionQ-lineal α : K→K dada por la multi-plicacion por α . Sea [α] = (ai j), con ai j ∈Q, la matriz asociada a la transformacionlineal anterior en la base considerada. La norma de α es NK/Q(α) = det[α], la trazade α es TrK/Q(α) = Tr[α]. Estas definiciones son independientes de la base elegidade K/Q (ejercicio 17). Por propiedades de la traza y el determinante es claro que

NK/Q : K∗→Q∗ y TrK/Q : K→Q


son homomorfismos de grupos, multiplicativo para la norma y aditivo para la traza.

Lema 5.10 Si K/Q es una extension finita de grado n, entonces existen exactamenten monomorfismos distintos σi : K C que fijan a Q.

Demostracion. Como la extension es separable, por el teorema del elemento primi-tivo K = Q(α) y como [K : Q] = n, el monico irreducible Irr(α,Q) tiene exacta-mente n raıces distintas, digamos α = α1, . . . ,αn ∈ C. Se tienen ası las n funcionesσi : K→C dadas por σi(α) := αi (basta definirlas en α porque todos los elementosdeQ(α) son de la forma f (α), con f (x)∈Q[x] y ası σi( f (α))= f (σi(α))= f (αi)).Claramente los σi son monomorfismos, fijan a Q y cualquier otro monomorfismocon esta propiedad esta determinado por su valor en α y debe mandar a este a unaraız de Irr(α,Q), i.e., es uno de los σi. utObservacion. Si σ1, . . . ,σn son los n monomorfismos de K en C que fijan aQ, 5.10,el ejercicio 18 pide probar que

NK/Q(α) =n

∏i=1

σi(α) y TrK/Q(α) =n

∑i=1

σi(α).

Mas aun, en el ejercicio 20 se pide probar que si

ϕ(x) = Irr(α,Q) = xd +ad−1xd−1 + · · ·+a1x+a0

es el monico irreducible de α y si α = α1, . . . ,αn son las raıces de ϕ(x), el coe-ficiente ad−1 = −TrQ(α)/Q(α) y el termino constante es a0 = (−1)dNQ(α)/Q(α).

Si α1, . . . ,αn ∈ K es un n-ada de elementos de K, su discriminante es

disc(α1, . . . ,αn) = det(

TrK/Q(αiα j).

Lema 5.11 α1, . . . ,αn ∈ K es base de K/Q si y solo si disc(α1, . . . ,αn) 6= 0.

Demostracion. Si sucediera que los α1, . . . ,αn son linealmente dependientes, enton-ces existirıan a1, . . . ,an en Q, no todos cero, tales que ∑i aiαi = 0. Multiplicandoesta ecuacion por α j y calculando la traza correspondiente obtenemos

0 = Tr(α j ∑

iaiαi

)= ∑

iai Tr(αiα j)

para 1 ≤ j ≤ n. Esto muestra que la matriz [Tr(αiα j)] es singular, y por lo tanto sudeterminante es cero. Supongamos ahora que α1, . . . ,αn es una base de K/Q y quedisc(α1, . . . ,αn) = 0. Ası, 0 = det[Tr(αiα j)] por lo que los renglones Ri de la matriz[Tr(αiα j)] son linealmente dependientes y por lo tanto existen ai ∈Q no todos cerotales que

0 = ∑i

aiRi = ∑i

ai Tr(αiα j),

1 ≤ j ≤ n. Consideremos ahora un α := ∑i aiαi 6= 0. Entonces, Tr(αα j) = 0 paracada 1 ≤ j ≤ n (considerando solo la j-esima coordenada de cada renglon). Co-


mo α1, . . . ,αn son linealmente independientes sobre Q entonces tambien lo sonαα1, . . . ,ααn ya que α 6= 0, y ası Tr(αβ ) = 0 para todo β ∈ K. Esto implica queTr(β ) = 0 para todo β ∈ K (poniendo β = α−1 en la igualdad previa se implica queTr(1) = 0 y por lo tanto Tr(β ) = 0 para todo β ∈ K); pero esto es una contradiccionya que K/Q es separable. ut

Proposicion 5.12 Si α1, . . . ,αn y β1, . . . ,βn son dos bases de K/Q y M = (ai j), conai j ∈Q, es la matriz de cambio de base, entonces

disc(α1, . . . ,αn) = det(ai j)2 disc(β1, . . . ,βn).

Demostracion. La matriz M = (ai j) esta dada escribiendo una base en terminos dela otra: β j = ∑k ak jαk y ası

disc(β1, . . . ,βn) =(

det(σi(β j)))2

=(

det( n

∑k=1

ak jσi(αk)))2

=(

det[σi(αk)][a jk]T)2 por definicion de producto

= (det[σi(αk)])2(det[a jk])

2 = disc(α1, . . . ,αn)det(M)2.

ut

La proposicion anterior dice que para cualesquiera dos bases de K/Q sus dis-criminantes son iguales modulo cuadrados, i.e., son iguales en el grupo cocienteQ∗/(Q∗)2. A la clase lateral ∆K/Q := disc(α1, . . . ,αn) ∈ Q∗/(Q∗)2 para cualquierbase α1, . . . ,αn de K/Q, la llamamos el discriminante de la extension K/Q.

Lema 5.13 Si K/Q es una extension finita de campos, de grado n, y σ1, . . . ,σn sonlosQ-monomorfismos de K enC, y si α1, . . . ,αn es una base de K sobreQ, entonces

disc(α1, . . . ,αn) = det(σi(α j)

)2 6= 0.

Demostracion. La igualdad es porque:

disc(α1, . . . ,αn) = det(Tr(αiα j)) = det(∑k σk(αiα j)) = det(∑k σk(αi)σk(α j))

= det(σk(αi))det(σk(α j)) = det(σi(α j))2.

ut

Lema 5.14 Si K/Q es una extension finita de grado n, entonces todo ideal I ⊆ OKno nulo contiene una base de K sobre Q.

Demostracion. Sea α1, . . . ,αn ∈ K una base de K sobre Q. Por 3.15 existe un en-tero d ∈ Z tal que dα1, . . . ,dαn ∈ OK . Escogiendo cualquier 0 6= a ∈ I se tiene quedaα1, . . . ,daαn ∈ I y sigue siendo base de K/Q. ut

Observacion. Si α ∈ OK , entonces su traza y norma tambien son enteros algebrai-cos por el ejercicio 18 ya que si σi, 1 ≤ i ≤ n, son las n inmersiones de K en C,


entonces los σi(α) satisfacen el mismo polinomio monico con coeficientes enterosque satisface α . Por otra parte, la traza y norma de α estan en Q y por lo tanto estanen OK ∩Q= Z. En particular, si α1, . . . ,αn ∈ I ⊆ OK es una base de K/Q como enel lema anterior, entonces su discriminante esta en Z y tiene sentido entonces hablardel mınimo de los valores absolutos |disc(α1, . . . ,αn)| de los discriminantes de lasbases de K que estan en el ideal I.

Lema 5.15 Si K/Q es una extension finita de grado n, I ⊆ OK un ideal no nulo,α1, . . . ,αn ∈ I una base de K/Q como en el lema 5.14 anterior, y si |disc(α1, . . . ,αn)|es mınimo (como en la observacion anterior), entonces I = Zα1 + · · ·+Zαn.

Demostracion. Por el lema anterior existe una base α1, . . . ,αn ∈ I de K/Q y su-pongamos ahora que |disc(α1, . . . ,αn| es mınimo. Para α ∈ I escribamos α =a1α1 + · · ·+ anαn con ai ∈ Q. Mostraremos que todas las ai ∈ Z. En efecto, sino fuera ası algun ai 6∈ Z, y renumerando si hiciera falta podemos suponer quea1 6∈ Z. Escribamos a1 = m+b con m ∈ Z y 0 < b < 1. Pongamos β1 = α−mα1,β2 = α2, . . . ,βn = αn. Entonces, β1, . . . ,βn ∈ I es una base de K/Q y como

β1 = α−mα1 = a1α1 + · · ·+anαn−mα1 = bα1 +a2α2 + · · ·+anαn

entonces la matriz de cambio de base esb a2 · · · an0 1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0 1

y ası, por 5.12, |disc(β1, . . . ,βn)| = b2|disc(α1, . . . ,αn)|, con b2 < 1, en contradic-cion con la minimalidad de |disc(α1, . . . ,αn)|. ut

Ejemplo 7. El discriminante de una base de K/Q puede ser negativo, como lo mues-tra el ejemplo del anillo de enteros gaussianos Z[i] = OQ(i) correspondiente a laextension cuadratica Q(i)/Q (vea 5.18), donde para la base 1, i ∈ Z[i] de Q(i) setiene que

disc(1, i) = det(

2 00 −2

)=−4.

El ejercicio 22 pide calcular el discriminante de cualquier extension cuadratica.

La norma de un ideal. Sabemos que si 0 6= 〈a〉 ⊆ Z, entonces el cociente Z/〈a〉 esun anillo finito. Se tiene una generalizacion de este hecho a los anillos OK :

Proposicion 5.16 Sean K/Q una extension finita y 0 6= I ⊆ OK un ideal. Entonces,el cociente OK/I es finito. Al cardinal N(I) = |OK/I| se le llama la norma del idealI.

Demostracion. Por el lema 3.26 (2) existe 0 6= m ∈ I ∩Z al cual podemos supo-ner positivo y ası se tienen inclusiones 〈m〉 ⊆ I ⊆ OK que inducen un epimorfismo


OK/〈m〉→OK/I, y por lo tanto basta probar que OK/〈m〉 es finito. Para probar esto,por 5.15 con I = OK , se tiene que OK = Zα1 + · · ·+Zαn, y pongamos

C :=

∑i

aiαi : 0≤ ai < m, ai ∈ Z.

Probaremos que C es un conjunto de representantes de las clases laterales deOK/〈m〉. En efecto, sea α = ∑miαi ∈ OK con mi ∈ Z, y escribamos mi = mqi + ricon 0≤ ri < m. Entonces,

α = ∑i

miαi = ∑i(mqiαi + riαi)≡∑

iriαi (mod 〈m〉),

lo cual implica que toda clase [α] ∈ OK/I contiene un representante en C. Estoprueba la finitud requerida. ut

El resultado principal, en este contexto, es:

Teorema 5.17 Si K ⊇Q es un campo de numeros, entonces el anillo de enteros OKes un dominio de Dedekind.

Demostracion. Por el lema anterior OK es noetheriano ya que si I1 ⊆ I2 ⊆ ·· · escualquier cadena de ideales y si I1 6= 0, entonces O/I1 es finito y por lo tanto solohay un numero finito de ideales de OK que contienen a I1 y ası la cadena se estaciona.Tambien, como Z⊆OK ⊆ K y OK es la cerradura entera de Z en K, entonces OK esintegralmente cerrado en K (ya que si b∈K es entero sobre OK , entonces b es enterosobre Z por transitividad de la dependencia entera, y ası b ∈ OK). Falta unicamentemostrar que todo ideal primo no nulo p ⊆ OK es maximo, pero esto se sigue dellema anterior porque OK/p es un dominio entero finito y por lo tanto es un campo yası p es maximo. ut

Un ejemplo: extensiones cuadraticas de Q. Comenzamos describiendo las exten-siones cuadraticas, i.e., de grado 2 de Q, para despues obtener sus anillos de ente-ros. Si [K : Q] = 2, entonces K = Q(α) y el monico irreducible de α es de grado2, digamos m(x) = x2 + rx+ s con r,s ∈Q. Como α es raız de m(x), eliminado de-nominadores de r y s podemos suponer que α es raız de un polinomio cuadraticof (x) = ax2 +bx+ c con coeficientes en Z; entonces α es de la forma

α =− b2a±√

b2−4ac2a

,

i.e., poniendo D = b2 − 4ac ∈ Z, se tiene que K = Q(α) = Q(√

D) con D ∈ Z.Notemos ahora que si D = e2d con e,d ∈ Z y d libre de cuadrados, entonces K =Q(√

D) =Q(√

d). Hemos ası probado que toda extension cuadratica de Q es de laforma K =Q(

√d) con d ∈ Z libre de cuadrados. Se sigue que

K =Q(√

d) = a+b√

d : a,b ∈Q, d ∈ Z libre de cuadrados.


Claramente K/Q es de Galois y como un Q-automorfismo σ : Q(√

d)→ Q(√

d)esta determinado por su valor en

√d y como σ(

√d)2 = σ(d) = d, entonces σ(

√d)

es una raız cuadrada de d, i.e., σ(√

d) = ±√

d por lo que los dos elementos delgrupo de Galois Gal(Q(

√d)/Q) son la identidad y el automorfismo σ : a+b

√d 7→

a−b√

d (al que podemos llamar la conjugacion de Q(√

d)).

El anillo de enteros de una extension cuadratica. Si α = a + b√

d ∈ K =Q(√

d), y si m(x) = Irr(α,Q) ∈ Q[x] es su monico irreducible entonces para to-do σ ∈ Gal(K/Q) se tiene que σ(m(x)) = m(x) por lo que el conjugado σ(α) =σ(a+ b

√d) = a− b

√d tambien es raız de m(x). Ası las dos raıces de m(x) son

a+b√

d y a−b√

d, por lo que

m(x) = (x− (a+b√

d))(x− (a−b√

d)) = x2− (2a)x+(a2−b2d).

Esto prueba la primera parte del resultado siguiente que describe explıcitamente elanillo de enteros de una extension cuadratica de Q:

Teorema 5.18 Sea K =Q(√

d) una extension cuadratica de Q, con d ∈ Z libre decuadrados.

(1) α = a+b√

d ∈ K es un entero algebraico si y solo si 2a ∈ Z y a2−b2d ∈ Z.

(2) Si d ≡ 2,3 (mod 4), entonces OK = Z+Z√

d.

(3) Si d ≡ 1 (mod 4), entonces OK = Z+Z(−1+√

2)/2.

Demostracion. Por la parte (1), a+b√

d ∈OK si y solo si 2a y a2−db2 ∈ Z. Ahora,a2−db2 ∈ Z implica que 4(a2−db2) ∈ Z y como 2a ∈ Z entonces 4a2 ∈ Z por loque 4db2 ∈ Z, i.e., d(2b)2 ∈ Z y como d es libre de cuadrados esto ultimo implicaque 2b ∈ Z. Escribamos 2a = m ∈ Z y 2b = n ∈ Z. Entonces, a2−db2 ∈ Z implicaque (m/2)2−d(n/2)2 ∈ Z por lo que m2−dn2 ∈ 4Z, i.e., m2−db2 ≡ 0 (mod 4).

(2): Supongamos ahora que d ≡ 2 o 3 (mod 4). Entonces

m2−dn2 ≡

m2 +2n2 ya que −2≡ 2 (mod 4)m2 +n2 ya que −3≡ 1 (mod 4)

y como m2−dn2 ≡ 0 (mod 4), la unica posibilidad para que m2 +2n2 ≡ 0 o m2 +n2 ≡ 0 es que m2 ≡ 0 ≡ n2 (mod 4) (ya que cualquier cuadrado en Z es ≡ 0 o 1(mod 4)); por lo tanto m y n deben ser ambos pares y como 2a = m y 2b = nentonces a,b deben ser enteros. Esto prueba (2).

(3): Si d ≡ 1 (mod 4), entonces m2− dn2 ≡ m2− n (mod 4). Pero m2− n2 ≡ 0(mod 4)⇔ m2 ≡ n2⇔ m2 ≡ 0≡ n2 o m2 ≡ 1≡ n2 (por la misma observacion entreparentesis de arriba)⇔ m y n son ambos pares o m y n son ambos impares, i.e.,⇔m≡ n (mod 2). Finalmente, como 2a = m y 2b = n, se sigue que

OK =1

2(m+n

√d) : m≡ n mod 2

y notamos que


12(m+n

√d)=

m2+

n2− n

2+

n2

√d =

m+n2

+n(−1+

√d

2

)y como m ≡ n (mod 2), entonces m + n ≡ 0 (mod 2) por lo que m+n

2 ∈ Z. Sesigue que OK ⊆ Z+Z((−1+

√d)/2). Para la otra inclusion note que (−1/2) +

(1/2)√

d = (−1+√

d)/2) ∈ OK ya que en este caso d ≡ 1 (mod 4), a = −1/2 yb= 1/2 por lo que d = 1+4t y ası 2a=−1∈Z ya2−db2 =(1/4)−(1+4t)(1/4)=−t ∈ Z. ut

Los primeros ejemplos de anillos de enteros que no son DFU se encuentran enextensiones cuadraticas:

Ejemplo 8. En la extension cuadratica K = Q(√−5)/Q, como −5 ≡ 3 (mod 4)

entonces su anillo de enteros es:

OK = Z[√−5] = a+b

√−5 a,b ∈ Z

donde 6 = 2 ·3 = (1+√−5)(1−

√−5) por lo que OK no es un DFU.

Factorizacion unica de ideales. El ejemplo anterior muestra que un dominio deDedekind no siempre es un DFU. Sin embargo se tiene el resultado, un poco masdebil, de que en un anillo de Dedekind todo ideal propio no nulo se factoriza enforma unica como producto de ideales primos. Para probar lo anterior, comenza-mos observando que en los anillos de Dedekind todo ideal se puede factorizar comoproducto de ideales primarios. Recordemos que en 4.37 y 4.38 del capıtulo 4 carac-terizamos los anillos noetherianos de dimension 0. Al considerar anillos de Dede-kind estamos ahora considerando dominios enteros noetherianos de dimension 1, esdecir, dominios noetherianos en los cuales todo ideal primo no cero es maximo.

Proposicion 5.19 Si A es un dominio noetheriano de dimension 1, entonces todoideal no nulo I ⊆ A se puede expresar, en forma unica, como producto de idealesprimarios cuyos radicales son todos diferentes.

Demostracion. Como A es noetheriano, por 4.23, I tiene una descomposicion pri-maria mınima I =

⋂ni=1 qi, con cada qi un ideal pi-primario. Como dimA = 1 y A es

dominio entero (i.e., 0 es un ideal primo), cada ideal primo no nulo es maximo y porlo tanto los pi asociados a I son maximos distintos (ya que pi ⊇ qi ⊇ I 6= 0 ya ası lospi no son nulos) y por lo tanto coprimos por pares. Se sigue que los qi tambien soncoprimos por pares, ya que√

qi +q j =√√

qi +√q j =

√pi +p j =

√〈1〉= 〈1〉

y por lo tanto qi + q j = 〈1〉, de donde se sigue que q1 ∩ ·· · ∩ qn = q1 · · ·qn por elteorema chino 1.6 y ası I = q1 · · ·qn.

Para la unicidad, si sucediera que I = ∏ri, con los ri primarios, el argumento dearriba muestra que I =

⋂i ri y esta es una descomposicion primaria mınima de I y

cada ri es una componente aislada y por lo tanto unica, por 4.26. ut


Observacion. Si A es un dominio noetheriano de dimension 1 en el cual todo idealprimario es una potencia de un primo, la proposicion anterior nos dice que en estecaso todo ideal propio no cero de A se puede expresar, en forma unica, como pro-ducto de ideales primos. Si ahora localizamos a A con respecto a un ideal primop 6= 0, el anillo local Ap satisface las mismas condiciones que A, i.e., Ap es noethe-riano de dimension 1 y todo ideal primario en Ap es la potencia del unico primo pAp

no trivial de Ap. Anillos donde esto sucede son importantes y ejemplos de ellos sonlos anillos de valuacion discreta que vimos en la seccion anterior.

El analogo global, para anillos de Dedekind, de la caracterizacion 5.7 de anillosde valuacion discreta es:

Teorema 5.20 Sea A un dominio entero. Son equivalentes:

(1) A es un anillo de Dedekind.

(2) A es noetheriano y para cada primo p, el anillo Ap es un anillo de valuaciondiscreta.

(3) A es noetheriano de dimension 1 y todo ideal primario de A es la potencia de unideal primo.

(4) Todo ideal no nulo I de A se puede descomponer como un producto de idealesprimos en forma unica:

I = pe11 · · ·p

err

donde los pi son ideales primos distintos y ei > 0 son enteros. Los pi son los idealesprimos que contienen a I y los exponentes ei estan unıvocamente determinados.

Demostracion. Como los ideales primos de Ap corresponden a ideales primos de Acontenidos en p, se sigue que dimA = 1 si y solo si dimAp = 1, para todo primo p.Ahora, ser noetheriano o ser integralmente cerrado son propiedades locales por 4.4y 3.33. Ası, la equivalencia de (1) y (2) se sigue de 5.7.

(1) y (2)⇒ (3): Por (1), dimA = 1 y es noetheriano. Por (2) Ap es anillo de valua-cion discreta y ası por 5.7 todos sus ideales son potencias de su unico ideal maximopAp, en particular sus ideales primarios son potencias de su ideal maximo y comolos ideales p-primarios de A estan en correspondencia biunıvoca con los ideales pri-marios de Ap y las potencias de ideales se corresponden bajo localizacion, entonceslos ideales p-primarios de A son potencias de p.

(3)⇒ (4): Por 5.19 todo ideal propio no nulo de A se puede descomponer en formaunica como producto de ideales primarios y por (3) estos son potencias de primos.(4)⇒ (2): Sea 0 6= x ∈ A y escribamos 〈x〉= pe1

1 · · ·perr . Si p⊆ A es cualquier ideal

primo, defina

vp(x) =

ei si p= pi,

0 si p 6= pi, para todo i = 1, . . . ,r.

Es inmediato de la definicion que vp satisface las propiedades de una valuacion enA y se extiende a Ap en la forma usual del mismo modo que se extiende al campode fracciones K de Ap, y su anillo de valuacion es Ap. ut


Corolario 5.21 Un dominio de Dedekind es un DIP si y solo si es un DFU.

Demostracion. Todo DIP es DFU. Recıprocamente, si A es un DFU, sea p un idealprimo (no nulo) de A. Sea 0 6= a ∈ p. Por factorizacion unica a = π1 · · ·πn con los πiirreducibles y como p es primo, algun factor irreducible π := π j ∈ p, i.e., 〈π〉 ⊆ p.Ahora, como dimA = 1, entonces 〈π〉= p y ası todo ideal primo de A es principal.Como todo ideal I (no nulo) de A se descompone como producto de ideales primosy estos son principales, entonces I es principal. ut

El grupo de clases de ideales. El ejemplo 7 muestra que hay anillos de enteros queno son DFU, o lo que es lo mismo, no son DIP. Es natural entonces pensar comomedir la discrepancia de que un anillo de enteros OK sea o no un DIP. En esta seccionintroducimos un grupo asociado al anillo OK que mide la obstruccion para que OKsea o no un DIP y al final probamos que este grupo es finito. La idea es natural, siK/Q es un campo de numeros e I,J son ideales no nulos de OK , diremos que I esequivalente a J, denotado I ∼ J, si existen α,β ∈ OK−0 tales que αI = βJ.

Lema 5.22 La relacion anterior es una relacion de equivalencia en el conjunto deideales no nulos de OK . La clase de equivalencia de OK es la clase de todos losideales principales.

Demostracion. Claramente es reflexiva y simetrica. Para la transitividad note quesi αI1 = β I2 y γI2 = δ I3 entonces (αγ)I1 = (βδ )I3. Para la segunda afirmacion, si〈α〉 y 〈β 〉 son ideales principales de OK , entonces β 〈α〉 = α〈β 〉, i.e., 〈α〉 ∼ 〈β 〉.Finalmente, si I ∼ 〈1〉 = OK , entonces existen α,β ∈ OK no nulos tales que αI =βOK = 〈β 〉 y ası β = αλ con λ ∈ I por lo que 〈λ 〉 ⊆ I. Ahora, si a ∈ I entoncesαa ∈ αI = 〈β 〉 por lo que αa = bβ = bαλ y como α 6= 0 se sigue que a = bλ , i.e.,a ∈ 〈λ 〉 y por lo tanto I = 〈λ 〉. ut

Denotemos con Cl(OK) al conjunto de clases de equivalencia de ideales no nulosde OK . Si I 6= 0 es un ideal de OK denotamos con [I] su clase en Cl(OK). En Cl(OK)introducimos la operacion siguiente: dadas dos clases [I], [J] en Cl(OK) definimos[I][J] := [IJ] eligiendo representantes I, J en cada clase. La operacion esta biendefinida ya que si aI = bI′ y cJ = dJ′ entonces (ac)IJ = (bd)I′J′, es decir, [IJ] =[I′J′]. Para probar en 5.27 que la operacion anterior da una estructura de grupo aCl(OK) necesitaremos los resultados siguientes:

Lema 5.23 Sean A un anillo de Dedekind y K su campo de fracciones. Si 0 6= I Aes un ideal propio, entonces existe un γ ∈ K−A tal que γI ⊆ A.

Demostracion. Sea 0 6= a ∈ I. Por 5.20 para el ideal 〈a〉 6= 0 existen ideales primosp1, . . . ,pr tales que p1 · · ·pr = 〈a〉. Como I es un ideal propio existe un ideal maximo(y por lo tanto primo) p A tal que 〈a〉 ⊆ I ⊆ p. Se sigue que p contiene al productop1 · · ·pr y ası, por 1.9, p contiene a algun pi. Renumerando si hiciera falta pode-mos suponer que p ⊇ p1; pero como A es Dedekind, entonces el primo p1 debe sermaximo y por lo tanto p= p1. Ahora, por la unicidad de la descomposicion 5.20, elproducto p2 · · ·pr 6⊆ 〈a〉 y ası existe un b ∈ p2 · · ·pr−〈a〉. Pongamos γ := b/a ∈ K.


Entonces, γ 6∈ A ya que de lo contrario b = aγ ∈ 〈a〉 en contradiccion con la elec-cion de b ∈ p2 · · ·pr−〈a〉. Se sigue que γ = b/a ∈ K−A. Finalmente, γI ⊆ A ya queb ∈ p2 · · ·pr y p1(p2 · · ·pr) ⊆ 〈a〉 implican que p1b ⊆ 〈a〉 y ası, p1ba−1 ⊆ A. PeroI ⊆ p1, y por lo tanto γI = ba−1I ⊆ p1ba−1 ⊆ A. ut

Proposicion 5.24 Sea A un dominio de Dedekind. Si 0 6= I es un ideal de A, entoncesexiste otro ideal 0 6= J de A tal que el ideal IJ es principal.

Demostracion. Sea 0 6= α ∈ I y pongamos J := β ∈ A : β I ⊆ 〈α〉 . Entonces,claramente J es un ideal de A, J 6= 0 ya que α ∈ J, e IJ ⊆ 〈α〉 por definicion de J.Solo falta probar que 〈α〉 ⊆ IJ. Para esto, sea M := 1

αIJ (como A-submodulo del

campo de fracciones K de A). Notese que, de hecho, M ⊆ A ya que IJ ⊆ 〈α〉 =Aα ⊆ A. Mas aun, M es un ideal de A; y de hecho probaremos que M = A. Observeque una vez que probemos que M = A ya habremos terminado porque entoncesA = M = 1

αIJ implica que IJ = 〈α〉, que es lo que afirma el teorema.

Supongamos que M A, entonces por el lema 5.23 existe γ ∈ K − A tal queγM ⊆ A, y como A es integralmente cerrado en K, si probamos que γ satisface unpolinomio monico f (x) ∈ A[x] esto implicara que γ ∈ A. Para probar lo anterior,notemos que M = 1

αIJ contiene a J ya que α ∈ I y por lo tanto M contiene a los

productos de la forma 1α

αβ = β para toda β ∈ J, i.e., J ⊆ M. Se sigue que γJ ⊆γM ⊆ A. Mas aun, γJ ⊆ J ya que para toda β ∈ J y para toda x∈ I se tiene que comoJ ⊆M = 1

αIJ ⊆ A y βx ∈ IJ entonces γ

1α

βx =: a∈ A y por lo tanto γβx = rα ∈ 〈α〉y ası, para γβ ∈ A se tiene, por definicion de J, que γβ ∈ J, i.e., γJ⊆ J. Ahora, comoA es noetheriano, el ideal J es finitamente generado, digamos J = 〈α1, . . . ,αm〉. Peroentonces, como γJ ⊆ J, se sigue que γα j ∈ 〈α1, . . . ,αm〉 y ası existen ai j ∈ A talesque se tienen ecuaciones:

γαi = ai1α1 + · · ·+aimαm, (1≤ i≤ m),

i.e, se tiene una ecuacion matricial

γ

α1...

αm

= (ai j)

α1...

αm

donde la matriz m×m (ai j) tiene coeficientes en A. Reescribiendo esta ecuacionmatricial de la forma

(γIm− (ai j))

α1...

αm

= (0),

y recordando que J 6= 0, se sigue que no todos los αi son cero y por lo tantodet(γIm− (ai j)) = 0. Expandiendo el determinante anterior

0 = det(γIm− (ai j)) = γm + terminos γ i de grado < m con coeficientes en A,

y ası, γ satisface el correspondiente polinomio monico con coeficientes en A. ut


Corolario 5.25 (Ley de cancelacion.) Si A es Dedekind e I,J,L son ideales no nu-los de A, entonces IJ = IL implica J = L.

Demostracion. Por la proposicion anterior existe un ideal M 6= 0 tal que IM = 〈α〉es principal. Y como MIJ = MIL entonces 〈α〉J = 〈α〉L, i.e., αJ = αL; pero, comoA es dominio entero, esto implica que J = L. ut

Corolario 5.26 (Contener es dividir.) Si A es Dedekind e I,J son ideales no nulosde A, entonces I|J si y solo si I ⊇ J.

Demostracion. (Valido en cualquier anillo conmutativo.) Si I|J entonces J = IL paraalgun ideal L, y ası, para α ∈ J se tiene que α = βγ con β ∈ I y γ ∈ L, por lo queα ∈ I y por lo tanto J ⊆ I.

Recıprocamente, si I ⊇ J, por la proposicion anterior sea L un ideal no nulotal que IL = 〈α〉 es principal. Entonces, M = 1

αLJ ⊆ A ya que J ⊆ I implica que

JL ⊆ IL = 〈α〉, i.e., JL ⊆ αA, y por lo tanto M = 1α

JL ⊆ A, y claramente M es unideal. Finalmente, IM = 1

αILJ = 1

α〈α〉J = J, i.e., I|J. ut

Teorema 5.27 Si K/Q es un campo de numeros y OK es su anillo de enteros, en-tonces el conjunto Cl(OK) es un grupo abeliano con la operacion definida arriba ycon elemento neutro dado por la clase de los ideales principales.

Al grupo abeliano Cl(OK) se le llama el grupo de clases de ideales. Observese queCl(OK) = 1 (el grupo trivial) si y solo si OK es un DIP. Ası, Cl(OK) mide laobstruccion para que OK sea o no un DIP.

Demostracion. Claramente la operacion es asociativa, conmutativa y la clase [1] =[〈1〉] es neutro para la operacion. Solo falta mostrar que hay inversos. Para esto, seaC ∈ Cl(OK) cualquier clase de ideales y considere un ideal I 6= 0 en C, por 5.24existe un ideal J 6= 0 en OK tal que el ideal producto IJ es principal y por lo tanto[I][J] = [IJ] = [1]. ut

Finitud del grupo de clases de ideales. En esta seccion probaremos que si K/Qes una extension finita, entonces el grupo de clases de ideales Cl(OK), del anillo deenteros de K, es un grupo finito. Al orden hK del grupo Cl(OK) se le llama el numerode clase del campo K. Notese que la segunda afirmacion del lema 5.23 nos dice queOK es un DIP si y solo si hK = 1. Y como OK es Dedekind, en 5.21 probamos queOK es DIP si y solo si OK es un DFU, y por lo tanto OK es DFU si y solo si hK = 1.Antes de probar que Cl(OK) es finito necesitaremos unos preliminares:

Lema 5.28 Sea K/Q una extension finita de grado n y sea OK el anillo de enterosde K. Entonces, existe un numero real λ > 0, que depende solo de K, tal que todoideal 0 6= I ⊆ OK contiene un elemento 0 6= α ∈ I tal que

|NK/Q(α)| ≤ λN(I).

Demostracion. Fijemos una base entera α1, . . . ,αn de OK y sean σ1, . . . ,σn las ninmersiones de K en C. Definamos


λ :=n

∏i=1

( n

∑j=1|σi(α j)|

),

y notemos que λ es un real positivo ya que σi(α j) 6= 0 para toda i, j. Veremos queesta λ nos sirve. Sea 0 6= I ⊆ OK un ideal cualquiera. Sabemos por 5.16 que sunorma es finita, ası sea m el entero positivo unico con la propiedad

mn ≤ N(I)< (m+1)n.

Consideremos los (m+1)n elementos de OK dados por

(∗)n

∑j=1

m jα j, m j ∈ Z, 0≤ m j ≤ m.

(Son (m+ 1)n elementos ya que los n coeficientes m j se pueden elegir de m+ 1formas del 0 al m). Ahora, como N(I) =

∣∣OK/I∣∣ < (m+ 1)n, por la eleccion de m;

entonces deben existir al menos dos elementos distintos, digamos α ′,α ′′ en OK dela forma (∗) que sean congruentes modulo I, i.e., 0 6= α := α ′−α ′′ ∈ I; y comoα ′,α ′′ tienen la forma (∗), entonces α tiene la misma forma, i.e.,

α =n

∑j=1

m jα j, m j ∈ Z, |m j| ≤ m

y ademas α ∈ I y α 6= 0. Se sigue entonces que

|NK/Q(α)|=∣∣∣ n

∏i=1

σi(α)∣∣∣= n

∏i=1|σi(α)|=

n

∏i=1

∣∣∣σi

( n

∑j=1

m jα j

)∣∣∣=

n

∏i=1

∣∣∣ n

∑j=1

m jσi(α j)∣∣∣ (ya que σ j es aditiva, fija a Q y m j ∈ Z)

≤n

∏i=1

( n

∑j=1

m j|σi(α j)|)

(desigualdad del triangulo y m j ≥ 0)

≤n

∏i=1

( n

∑j=1

m|σi(α j)|)

(ya que m j ≤ m)

≤ mnn

∏i=1

( n

∑j=1|σi(α j)|

)≤ mn

λ ≤ N(I)λ (por definicion de λ y por la eleccion de m).

ut

Corolario 5.29 Sean K/Q una extension finita y λ como en el lema previo. Enton-ces, toda clase de ideales C ∈ Cl(OK) contiene un ideal J ∈C tal que N(J)≤ λ .

Demostracion. Dada cualquier C ∈ Cl(OK) consideremos su clase inversa C−1 ∈Cl(OK) y fijemos un ideal I ∈C−1. Sea α ∈ I como en el lema anterior. Ası, 〈α〉 ⊆ I


en OK , y como este es un anillo de Dedekind, entonces I|〈α〉, i.e., 〈α〉 = IJ paraalgun ideal J. Se sigue que [〈α〉] = [I][J] en el grupo Cl(OK), y como [I] = C−1

y [〈α〉] = e (el neutro de Cl(OK)), entonces necesariamente [J] = C, i.e., J ∈ C.Finalmente, por el ejercicio 23 y el ejercicio 24:∣∣NK/Q(α)

∣∣= N(〈α〉) = N(IJ) = N(I)N(J),

y por el lema anterior∣∣NK/Q(α)

∣∣≤ λN(I), y por lo tanto

N(I)N(J) =∣∣NK/Q(α)

∣∣≤ λN(I),

y cancelando N(I) se tiene el resultado deseado. ut

El resultado principal es:

Teorema 5.30 Si K/Q es una extension finita, entonces Cl(OK) es un grupo finito.

Demostracion. Sea λ como en el lema anterior. Por el corolario de arriba toda claseC ∈ Cl(OK) contiene un ideal J ∈C tal que N(I)≤ λ . Si probamos que solo hay unnumero finito de ideales 0 6= J ⊆ OK tales que N(J) ≤ λ entonces, solo existira unnumero finito de clases de ideales C en Cl(OK), que es lo que queremos. Ahora, siN(J)≤ λ con J 6= 0, y si escribimos J = ∏pei

i con pi ⊆OK ideales primos, entonces

N(J) = ∏i

N(pi)ei ≤ λ ,

de tal forma que, si probamos que solo hay un numero finito de primos pi ⊆OK talesque N(pi) ≤ λ , entonces ya terminamos porque solo existirıa un numero finito deexponentes ei ≥ 0 tales que N(pi)

ei ≤ λ , es decir, solo se tendrıa un numero finito deideales J ⊆ OK tales que N(J)≤ λ . Para probar lo anterior, supongamos que existeun numero infinito de primos pi de OK tales que N(pi) ≤ λ . Entonces, como N(pi)es un entero, se tendrıa que 0≤ N(pi)≤ [λ ], donde [λ ] denota el mayor entero≤ λ ;y como solo hay un numero finito de enteros m tales que 0 ≤ m ≤ [λ ], entoncesexistirıa un numero infinito de primos pi de OK tales que tendrıan la misma normaN(pi) =: N, 0 ≤ N ≤ [λ ]. Ahora, N = N(pi) =

∣∣OK/pi∣∣, y como OK es Dedekind,

entonces OK/pi es un campo (finito) y ası existe un numero infinito de primos pitales que los OK/pi son campos finitos isomorfos. Ası todos estos primos pi estansobre el mismo primo p de Z. Pero esto es una contradiccion ya que arriba de unprimo de Z solo hay un numero finito de primos de OK por el ejercicio 26 inciso(vi) del capıtulo 3. ut

Ejercicios

5.1. Sea A un dominio entero.


(i) Si A es un anillo de valuacion, I,J son ideales de A, demuestre que I ⊆ Jo J ⊆ I.

(ii) Recıprocamente, si para cualesquiera ideales I,J de A se tiene que I ⊆ J o J ⊆I, demuestre que A es un anillo de valuacion.

5.2. Si A es un anillo de valuacion y p es un primo de A, demuestre que A y Ap

tienen el mismo campo de fracciones. (Ap es dominio entero como se demostro enla pagina 76). Demuestre que Ap es un anillo de valuacion.

5.3. Si A es un anillo de valuacion y p es un primo de A, por 2.4 el campo de frac-ciones del dominio entero A/p es el campo residual del anillo local Ap. Demuestreque A/p es un anillo de valuacion.

5.4. Si A es un anillo de valuacion, demuestre que A es noetheriano si y solo si A esun DIP.

5.5. Si A es un anillo de valuacion discreta con valuacion v, demuestre que v : A−0 → N∪0 es una norma euclidiana y por lo tanto A es un dominio euclidianoy ası es un DIP.

5.6. En el ejemplo 2, demuestre que el anillo de valuacion es la localizacionF [x]〈π(x)〉 del anillo F [x] en el ideal primo 〈π(x)〉.

5.7. En el ejemplo 3, demuestre que el anillo de valuacion es el anillo de series depotencias formales F [[T ]].

5.8. Generalize el lema 5.10: si L/K es una extension finita de campos de gradon = [L : K], y Lal = Kal es una cerradura algebraica de ambos, demuestre que existena lo mas n monomorfismos L Lal que restringidos a K son la identidad, y sonexactamente n si y solo si L/K es separable.

Sugerencia: La K-algebra L esta generada por α1, . . . ,αm con m ≤ n. Param = 1, L = K(α1) y para el monico irreducible Irr(α1,K) su grado es n y un K-monomorfismo L Lal esta determinado por su valor en α1 que debe ser una raızde Irr(α1,K). El numero de tales raıces es ≤ n = gr(Irr(α1,K) y es igual a n si ysolo si el polinomio Irr(α1,K) es separable. Si m > 1, considere la torre de campos

K K(α1) K(α1,α2) · · · K(α1, . . . ,αm)

donde para ni = [K(α1, . . . ,αi) : K(α1, . . . ,αi−1)] se tiene que n = n1 · · ·nm.

5.9. Generalize el lema 5.15: si A es un dominio entero noetheriano integralmentecerrado (en su campo de fracciones K), L ⊇ K una extension finita y separable degrado n, y B ⊆ L la cerradura entera de A en L, demuestre que existe una basev1, . . . ,vn de L sobre K tal que B⊆ Av1⊕·· ·⊕Avn. Concluya que B es un A-modulofinitamente generado y por lo tanto es un anillo noetheriano.

5.10. Si A es Dedekind con un numero finito de ideales primos, demuestre que A esun DIP.


5.11. Si A es un dominio de Dedekind con campo de fracciones K y si L/K esuna extension finita separable, demuestre que la cerradura entera de A en L es undominio de Dedekind.

5.12. Demuestre que si A es Dedekind y p es un ideal primo de A, entonces Ap esDedekind.

5.13. Si A es el anillo de enteros de Q(√

10), demuestre que A no es un DIP.

5.14. Si K es un campo y A ⊆ K es un subanillo, sea A la cerradura entera de A enK. Demuestre que A es la interseccion de todos los anillos de valuacion de K quecontienen a A.

5.15. Con la notacion de la demostracion de 5.16, demuestre que |OK/〈m〉| = mn,donde n = [K :Q].

5.16. Sea A un dominio entero. Demuestre que las afirmaciones siguientes son equi-valentes:

(1) A es Dedekind.

(2) A es noetheriano y para todo ideal maximo m⊆ A, el localizado Am es un DIP.

5.17. Si K/Q es una extension finita y α ∈ K, demuestre que la traza y norma de α

no dependen de la base de K elegida.

5.18. Si K/Q es una extension finita de grado [K : Q] = n y σ1, . . . ,σn son las ninmersiones de K en C que fijan Q, demuestre que para todo α ∈ K se tiene que

NK/Q(α) =n

∏i=1

σi(α) y TrK/Q(α) =n

∑i=1

σi(α).

5.19. Si K/Q es una extension finita de grado [K :Q] = n, α ∈ K es tal que [Q(α) :Q] = d,


es el monico irreducible de α , y si α = α1, . . . ,αn son las raıces de ϕ(x), demuestreque

NK/Q(α) =( d

∏i=1

αi

)n/dy TrK/Q(α) =

nd

d

∑i=1

αi.

5.20. Si K/Q es una extension finita de grado [K :Q] = n, α ∈ K es tal que [Q(α) :Q] = d,


es el monico irreducible de α y si α = α1, . . . ,αn son las raıces de ϕ(x), demuestreque el coeficiente ad−1 =−TrQ(α)/Q(α) y a0 = (−1)dNQ(α)/Q(α).


5.21. Sean A un dominio de Dedekind e I ⊆ A un ideal propio no nulo. Demuestreque:

(1) Todo ideal en A/I es principal y A/I es artiniano.

(2) Si I ⊆ J, entonces J = I + 〈a〉, para algun a ∈ A.

(3) I esta generado por dos elementos.

5.22. Usando 5.18 calcule el discriminante de cualquier extension cuadratica.

5.23. Si K/Q es una extension finita y 0 6= α ∈ OK , demuestre que

N(〈α〉) = |NK/Q(α)|.

5.24. Demuestre que la norma de un ideal de un anillo de enteros es completamentemultiplicativa, es decir, si I,J ⊆ OK son dos ideales no nulos, entonces

N(IJ) = N(I)N(J).

Capıtulo 6Dimension de algebras y anillos noetherianos

Para motivar la nocion de dimension de Krull de un anillo, comenzamos conla version algebraica de la dimension geometrica de una variedad afın1 que ori-ginalmente se definio usando el grado de trascendencia del anillo de coordenadasK[V ] asociado a la variedad V (que es una K-algebra), y comenzamos con el aspec-to algebraico considerando una K-algebra arbitraria A, contrapunteando el aspectogeometrico cuando ası sea posible.

Grado de trascendencia de K-algebras afines. Si K es un campo, una K-algebraafın es una K-algebra de tipo finito sobre K que ademas es un dominio entero.El grado de trascendencia sobre K de una K-algebra afın A es igual al grado detrascendencia sobre K de su campo de fracciones K(A). Como motivacion para losresultados acerca de la dimension de estas K-algebras, examinamos primero el casocuando se tiene una variedad afın V = V〈 f1, . . . , fm〉 ⊆ Kn, con K algebraicamentecerrado y con los f j ∈ K[x1, . . . ,xn] polinomios lineales homogeneos:

f j = f j(x1, . . . ,xn) = a1 jx1 + · · ·+an jxn ai j ∈ K

de tal forma que la variedad V ⊆ Kn es un subespacio vectorial. El algebra linealnos dice entonces que la dimension del K-espacio vectorial V es n− r, donde r esel rango de la matriz del sistema M = (ai j). La traduccion a la geometrıa algebraicadel resultado anterior es:

Proposicion 6.1 Si f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . ,xn] son polinomios lineales homogeneos,la K-algebra A = K[x1, . . . ,xn]/〈 f1, . . . , fm〉 es un dominio entero de tipo finito sobreK tal que

grtrK A = dimK V

donde la variedad afın V = V〈 f1, . . . , fm〉 ⊆ Kn es vista como un subespacio vecto-rial de Kn.

Demostracion. Si M = (ai j) es la matriz del sistema de ecuaciones lineales que de-fine V , entonces su rango r es el numero de renglones linealmente independientes

1 Vease la seccion sobre conjuntos algebraicos afines en la pagina 17 del capıtulo 1.

137

138 6 Dimension de algebras y anillos noetherianos

de M y, renumerando si hiciera falta, podemos suponer que los primeros r renglo-nes son linealmente independientes, i.e., los polinomios f1, . . . , fr son linealmen-te independientes. Sea I = 〈 f1, . . . , fr〉 ⊆ K[x1, . . . ,xn] y sean xi1 , . . . ,xin−r tales que f1, . . . , fr,xi1 , . . . ,xin−r es una base del subespacio vectorial de polinomios linealeshomogeneos en K[x1, . . . ,xn]. Entonces,

(∗) K[x1, . . . ,xn]/I ' K[xi1 , . . . ,xin−r ]

ya que si las funciones lineales f1, . . . , fr son x1, . . . ,xr la afirmacion (∗) es obvia.En el caso general, como x1, . . . ,xn y f1, . . . , fr,xi1 , . . . ,xin−r son ambas basesdel espacio vectorial de formas lineales en K[x1, . . . ,xn], cada uno de los elementosde una base se puede expresar como combinacion lineal de los elementos de la otrabase y por lo tanto

K[x1, . . . ,xn] = K[ f1, . . . , fr,xi1 , . . . ,xin−r ]

y asıK[x1, . . . ,xn]/I = K[ f1, . . . , fr,xi1 , . . . ,xin−r ]/I ' K[xi1 , . . . ,xin−r ]

lo cual prueba (∗). Finalmente, note que

〈 f1, . . . , fm〉= 〈 f1, . . . , fr〉= I

lo cual termina la demostracion. ut

Proposicion 6.2 Si f ∈ K[x1, . . . ,xn] es un polinomio irreducible, entonces la K-algebra K[x1, . . . ,xn]/〈 f 〉 tiene grado de transcendencia n−1.

Demostracion. Como K[x1, . . . ,xn] es un DFU, entonces 〈 f 〉 es un ideal primo yası K[x1, . . . ,xn]/〈 f 〉 es un dominio entero. Escribamos

K[α1, . . . ,αn] = K[x1, . . . ,xn]/〈 f 〉 con αi = xi + 〈 f 〉

y sea K(α1, . . . ,αn) el campo de fracciones de K[α1, . . . ,αn]. Como f no es el poli-nomio cero, algun xi ocurre en f y, renumerando si hiciera falta, podemos suponerque xn ocurre en f . Entonces, xn ocurre en todo multiplo no nulo de f y por lo tantoningun polinomio no nulo en x1, . . . ,xn−1 pertenece a 〈 f 〉. Se sigue que α1, . . . ,αn−1son trascendentes algebraicamente independientes sobre K porque si un polinomiose anula en estas αi entonces el polinomio pertenece a 〈 f 〉 por la definicion deαi = xi + 〈 f 〉. Por otro lado, como xn aparece en f , escribiendo a f como

f = ∑i

gi(x1, . . . ,xn−1)xrin , ri ≥ 0

se tiene que

0 = f (α1, . . . ,αn) = ∑i

gi(α1, . . . ,αn−1)αrin = h(αn)

6 Dimension de algebras y anillos noetherianos 139

con h ∈ K(α1, . . . ,αn−1)[xn] un polinomio no nulo. Se sigue que αn es algebrai-co sobre K(α1, . . . ,αn−1) y por lo tanto α1, . . . ,αn−1 es una base trascendente deK[α1, . . . ,αn−1] sobre K. ut

Proposicion 6.3 Si A es una K-algebra de tipo finito que es dominio entero, enton-ces para todo ideal primo no nulo p de A se tiene que

grtrK(A/p)< grtrK(A).

Demostracion. Escribamos A = K[α1, . . . ,αn] = K[x1, . . . ,xn]/I con αi = xi + I. Sif ∈ A, sea f su imagen en A/p y ası A/p = K[α1, . . . ,αn]. Sea d = grtrK(A/p) ynumeremos las xi de tal forma que α1, . . . ,αd son algebraicamente independientessobre K. Mostraremos que, para todo 0 6= f ∈ p, los d + 1 elementos α1, . . . ,αd , fson algebraicamente independientes sobre K y por lo tanto grtrK(A)≥ d +1, comose querıa. Para demostrar lo requerido, supongamos que es falso, i.e., supongamosque existe una relacion algebraica no trivial

(∗) am(α1, . . . ,αd) f m +am−1(α1, . . . ,αd) f m−1 + · · ·+a0(α1, . . . ,αd) = 0

con los ai ∈ K[x1, . . . ,xd ] y am 6= 0. Como A es un dominio entero, si hiciera faltapodemos cancelar potencias de f de tal manera que a0(α1, . . . ,αd) 6= 0. Aplicandoel morfismo A A/p a ambos lados de (∗) y recordando que f ∈ p, se obtiene que

a0(α1, . . . ,αd) = 0

lo cual contradice la independencia algebraica de α1, . . . ,αd . ut

Proposicion 6.4 Si A es una K-algebra de tipo finito que es DFU, entonces paratodo ideal primo p de A tal que grtrK(A/p) = grtrK(A)− 1 se tiene que p = 〈 f 〉,para algun f ∈ A.

Demostracion. Note primero que p 6= 0 porque de lo contrario se tendrıa que A/p=A/0 = A y ası ambos tendrıan el mismo grado de trascendencia. Se sigue que existeun 0 6= f ∈ p y podemos suponer que f es irreducible porque p es un ideal primo.Como A es un DFU, entonces 〈 f 〉 es un ideal primo contenido en p. Si sucediera que〈 f 〉 p, entonces 0 6= p = p/〈 f 〉 ⊆ A/〈 f 〉 =: A′ es un ideal primo de la K-algebraafın A′ y ası, por 6.3,

grtrK(A′/p)< grtrK(A

′) = grtrK(A/〈 f 〉)

donde observamos que A′/p= (A/〈 f 〉)/(p/〈 f 〉)' A/p y por lo tanto

grtrK(A/p) = grtrK(A′/p)< grtrK(A

′) = grtrK(A/〈 f 〉) = grtrK(A)−1

donde la igualdad es por 6.2. Hemos obtenido ası una contradiccion con la hipotesis.ut

Teorema 6.5 Si A es una K-algebra de tipo finito que es dominio entero, y si f ∈ Ano es cero ni unidad y p es un primo de A, mınimo entre los que contienen a 〈 f 〉,


entoncesgrtrK(A/p) = grtrK(A)−1.

Demostracion. (J. Tate). Escribamos√〈 f 〉 = p1 ∩ ·· · ∩ pr como interseccion irre-

dundante de ideales primos pi ⊇ 〈 f 〉. Entonces, V(〈 f 〉) = V(p1)∪ ·· · ∪V(pr) esla descomposicion de V( f ) en sus componentes irreducibles. Ası, existe un puntoP0 ∈ V(p1) que no esta en todos los otros V(pi), porque de lo contrario la descom-posicion V( f ) = V(p1)∪ ·· · ∪V(pr) serıa redundante. Note que, como V(pi) soncerrados, existe una vecindad abierta U = D(h) de P0 que solo intersecta a V(p1) yes disjunta con las otras V(pi). Ahora, el anillo Ah es un dominio entero con el mis-mo campo de fracciones que A y por lo tanto tiene el mismo grado de trascendenciasobre K. Por el mismo argumento, el anillo Ah/S−1p tiene el mismo grado de tras-cendencia que A/p. Observe ahora que en Ah se tiene que

√f/1 =

√f Ah = p1Ah.

Por lo tanto, despues de reemplazar A con Ah podemos suponer que√

f es un idealprimo de A, digamos igual a p.

Por otra parte, como A es un dominio entero y como es una K-algebra finitamen-te generada, por el teorema de normalizacion de Noether 2.16 existen elementosy1, . . . ,yd ∈ A algebraicamente independientes sobre K tales que A es entera sobreK[y1, . . . ,yd ] y K(y1, . . . ,yd)→K(A) es una extension finita de campos, donde K(A)es el campo de fracciones de A. Si Nm : K(A)→ K(y1, . . . ,yd) es la norma de estaextension, para f ∈ K(A) sea f0 = Nm( f ) ∈ K(y1, . . . ,yd). Por 2.15 se tiene quef0 ∈ K[y1, . . . ,yd ]. Mostraremos que

(1) p∩K[y1, . . . ,yd ] =√〈 f0〉.

Antes de probar lo anterior, observe que (1) implica que el morfismo inducidopor la inclusion K[y1, . . . ,yd ] → A al pasar a los cocientes

(2) K[y1, . . . ,yd ]/√〈 f0〉= K[y1, . . . ,yd ]/

(p∩K[y1, . . . ,yd ]

) A/p

es inyectivo. Mas aun, como A es finitamente generada como K[y1, . . . ,yd ]-modu-lo, entonces en (2) se tiene que A/p es finitamente generada como modulo sobreK[y1, . . . ,yd ]/

√〈 f0〉. Se sigue que

grtrK A/p= grtrK K[y1, . . . ,yd ]/√〈 f0〉= d−1,

donde la ultima igualdad es por 6.2 ya que f0 es irreducible. Notamos que comof 6= 0 entonces f0 6= 0 y f0 ∈ p implica que f0 no es constante.

Resta probar la afirmacion (1). Como ya observamos, por el teorema de norma-lizacion de Noether A es entero sobre K[y1, . . . ,yd ] y como la norma Nm : K(A)→K(y1, . . . ,yd) manda elementos enteros (por ejemplo, f ) de K(A) en enteros deK(y1, . . . ,yd) y como K[y1, . . . ,yd ] es integralmente cerrado ya que es DFU, enton-ces estos elementos enteros estan en K[y1, . . . ,yd ], i.e., f0 = Nm( f ) ∈ K[y1, . . . ,yd ].Se sigue que f divide a f0 en A y por lo tanto f0 ∈ 〈 f 〉 ⊆ p y consecuentemente〈 f0〉 ⊆ p∩K[y1, . . . ,yd ] por lo que

6 Dimension de algebras y anillos noetherianos 141√〈 f0〉 ⊆ p∩K[y1, . . . ,yd ]

porque p es primo y por lo tanto es radical. Para la inclusion faltante, si g ∈ p∩K[y1, . . . ,yd ] entonces g ∈ p =

√〈 f 〉 y por lo tanto gm ∈ 〈 f 〉, i.e, gm = f h para

algun h ∈ A y algun m ≥ 1. Tomando normas en esta igualdad, recordando que sie = [K(A) : K(y1, . . . ,yd)] como gm ∈ K[y1, . . . ,yd ] se tiene que que Nm(gm) = gme,se obtiene que

gme = Nm( f h) = Nm( f )Nm(h) = f0 Nm(h) ∈ 〈 f0〉

por lo que g ∈√〈 f0〉, lo cual prueba la inclusion que faltaba. ut

Corolario 6.6 Si A es una K-algebra de tipo finito que es dominio entero y p es unideal primo mınimo no nulo de A, entonces grtrK(A/p) = grtrK(A)−1.

Demostracion. Sea 0 6= f ∈ p; entonces f no es unidad y p es un primo mınimo entrelos que contienen a f . Aplique entonces el teorema previo. ut


Teorema 6.7 Si A es una K-algebra de tipo finito que es dominio entero, entoncesgrtrK(A) es igual a la longitud maxima n de las cadenas de ideales primos de A

(∗) p0 p1 · · · pn.

Demostracion. Como se tiene un epimorfismo K[x1, . . . ,xn] A, por el ejercicio10 del capıtulo 4 se sigue que A es noetheriano, por lo que las cadenas de primos(∗) anteriores son finitas. Supongamos entonces que la cadena de primos (∗) delenunciado es de longitud maxima, en particular p0 = 0 y p1 6= 0 y es primo mınimono nulo de A. Del corolario anterior se sigue que

grtrK(A) = grtrK(A/p1)+1

y como p2 = p2/p1 es un primo mınimo no nulo en A/p1 (por la correspondenciaentre ideales primos de A/p1 e ideales primos de A que contienen a p1) y como(A/p1)/(p2/p1)' A/p2, aplicando de nuevo el corolario anterior se tiene que

grtrK(A/p1) = grtrK(A/p2)+1

y procediendo de esta manera obtenemos que

grtrK(A) = grtrK(A/p1)+1 = grtrK(A/p2)+2 = · · ·= grtrK(A/pn)+n

donde pn es un ideal maximo por la maximalidad de (∗), y por lo tanto A/pn es uncampo y como A es una K-algebra de tipo finito, entonces la extension de camposK→ A A/pn es finita y ası es algebraica, en particular grtrK(A/pn) = 0 y conse-cuentemente grtrK(A) = n, como se querıa. ut


Dimension de Krull de un anillo. Si A es un anillo conmutativo, una cadena delongitud n de ideales primos de A es una sucesion finita de ideales primos de Aincluidos propiamente uno en otro:

p0 p1 · · · pn.

La dimension de Krull de un anillo A, a la que denotaremos por dimA, es el supremode las longitudes de las cadenas de ideales primos de A. Ası, el teorema anteriordice que el grado de trascendencia de una K-algebra de tipo finito A que es dominioentero es igual a la dimension de Krull del anillo A.

Ejemplo 1. Un campo K tiene dimension de Krull dimK = 0.

Ejemplo 2. Para el anillo de enteros Z sus ideales primos son 〈0〉 y 〈p〉 = pZ, parap > 0 un entero primo. Por lo tanto las cadenas mas largas de ideales primos en Zson todas de la forma 0 〈p〉 y ası dimZ= 1.

Ejemplo 3. En general, cualquier DIP que no sea un campo tiene dimension deKrull dimA = 1 porque sus primos son maximos. En particular, para el anillo depolinomios K[x] con coeficientes en un campo, dimK[x] = 1.

Ejemplo 4. Si K es cualquier campo, para el anillo de polinomios en n indetermina-das K[x1, . . . ,xn] se tiene que 〈0〉〈x1〉〈x1,x2〉 · · · 〈x1, . . . ,xn〉 es una cadenade ideales primos de longitud n y por lo tanto dimK[x1, . . . ,xn] ≥ n. De hecho, porel teorema 6.7 se tiene que dimK[x1, . . . ,xn] = n, ya que el grado de trascendenciadel campo de fracciones correspondiente K(x1, . . . ,xn) es n.

La altura de un ideal. Si A es un anillo conmutativo y p ∈ SpecA, la altura h(p)de p es el supremo de las longitudes n de las cadenas ascendentes de ideales primoscontenidos en p:

p0 p1 · · · pn = p.

Ası, la dimension de Krull de A es el supremo de las alturas h(p) variando p en todoslos primos de A. Por convencion, si 0 es ideal primo de A pondremos h(0) =−∞. SiI es cualquier ideal, su altura h(I) es el ınfimo de las alturas de los ideales primosque contienen a I, es decir, h(I) = ınfh(p) : p ∈ V (I) ⊆ SpecA. Si I = A de talforma que V (I) =V (A) = /0, interpretamos h(I) = h(A) = dimA.

Proposicion 6.8 Sea A un anillo conmutativo. Entonces,

(1) dimA = dim(A/nilA).

(2) Si p es un ideal primo de A, entonces dimAp = h(p).

(3) Si I ⊆ J son ideales de A, entonces h(I)≤ h(J).

(4) dimA = supdimAm : m es ideal maximo de A.

(5) Si p ∈ SpecA, entonces h(p)+dim(A/p)≤ dimA.


Demostracion. (1): Como nilA es la interseccion de todos los ideales primos deA, entonces todos los primos de A contienen a nilA y por lo tanto se tiene unacorrespondencia biunıvoca entre los primos de A y los primos de A/nilA y estacorrespondencia preserva inclusiones. Para (2), los primos de Ap corresponden bi-unıvocamente con los primos de A contenidos en p y por lo tanto dimAp = h(p).La parte (3) es porque I ⊆ J implica que V (I) ⊇ V (J). Para (4), todo ideal pro-pio p (primo o no) esta contenido en un maximo m y ası h(p) ≤ h(m) por lo quedimA = suph(m) y por la parte (2), h(m) = dimAm. Para (5) observe que h(p)considera cadenas de primos de A contenidos en p y dim(A/p) considera cadenasde primos de A que contienen a p. ut

El teorema del ideal principal de Krull. Para una variedad afın lineal V ⊆ Kn

(i.e., definida por polinomios lineales), a la cual podemos pensar que pasa por elorigen de tal forma que V es un subespacio vectorial de Kn, descrita por un sistemade ecuaciones lineales en n variables y de rango r, el algebra lineal nos dice quedimV = n−r. Mas aun, cualquier variedad lineal de dimension d se puede describirpor n−d ecuaciones lineales. Para variedades algebraicas, afines o proyectivas, i.e.,ceros de sistemas de ecuaciones polinomiales de grado arbitrario, los resultadoscorrespondientes son mas difıciles de obtener y comenzamos con el teorema delideal principal de Krull, una de cuyas consecuencias es una cota inferior para elnumero de generadores de un ideal en un anillo noetheriano, que al ser aplicadoa un ideal del anillo polinomial K[x1, . . . ,xn] se traduce en una cota inferior parael numero de ecuaciones necesarias para describir una variedad algebraica. Parademostrar este teorema de Krull necesitaremos los dos lemas siguientes:

Lema 6.9 Sean I =⋂n

i=1 qi una descomposicion primaria mınima del ideal I ⊆ A ypi =√qi. Entonces,

⋃ni=1 pi = x ∈ A : (I : x) 6= I. En particular, si el ideal 0⊆ A

tiene una descomposicion primaria y D =⋃

x 6=0(0 : x) es el conjunto de divisores decero de A, entonces D =

⋃p∈Ass(0) p.

Demostracion. Si I ⊆ A es descomponible, entonces el ideal 0 es descomponibleen el anillo cociente A/I, ya que si I =

⋂ni=1 qi, entonces 0 =

⋂ni=1 qi, donde qi es

la imagen de qi en A/I, y notamos que cada qi es primario, ya que si xy ∈ qi conx 6∈ qi, entonces xy ∈ qi y x 6∈ qi y por lo tanto yk ∈ qi, por ser este primario, yası yk ∈ qi. Se sigue que basta probar el lema para el ideal cero, suponiendo que estees descomponible. Ahora, como D =

⋃x 6=0(0 : x), entonces

√D =

√⋃x 6=0(0 : x) =⋃

x 6=0√(0 : x), y si x ∈

√D entonces xr ∈ D para algun r ≥ 1 y ası existe y 6= 0

tal que xry = 0 y por lo tanto x(xr−1)y = 0 y ası xz = 0 para algun z 6= 0 por loque x ∈ D, i.e,

√D ⊆ D; y como D ⊆

√D, entonces D =

√D =

⋃x 6=0√

(0 : x).Finalmente, recordemos que en la demostracion del primer teorema de unicidad,3.21, para el ideal I = 0, mostramos que

√(0 : x) =

⋂x 6∈qi

pi ⊆ pi y por lo tantoD ⊆

⋃pi∈Ass(0) pi. Pero, por el mismo teorema de unicidad, cada pi es de la forma√

(0 : x), para algun x ∈ A y por lo tanto⋃

pi∈Ass(0) pi ⊆ D. ut

Lema 6.10 Si I ⊆ p ⊆ q son ideales de A con q primo y p primo mınimo de I,entonces pAq es primo mınimo de IAq.


Demostracion. Recordemos que el morfismo canonico ρ : A→Aq induce una biyec-cion entre los ideales primos de Aq y los ideales primos de A contenidos en q, por loque p primo implica que pAq es primo de Aq. Ahora, si pAq no fuera primo mınimode IAq, existirıa un primo P de Aq tal que IAq ⊆P pAq, y como p = ρ−1(pAq)es primo y ρ−1(P) 6= p porque P 6= pAq (y la biyeccion citada), entonces

I ⊆ ρ−1(IAq)⊆ ρ

−1(P) ρ−1(pAq) = p

lo que contradice la minimalidad de p. ut

Teorema 6.11 (Teorema del ideal principal de Krull) Sean A un anillo noethe-riano y 〈x〉 A un ideal principal propio. Entonces, para todo primo mınimo pde 〈x〉 se tiene que h(p) ≤ 1. Mas aun, si x no es un divisor de cero de A, entoncesh(p) = 1.

Demostracion. La segunda afirmacion se sigue de la primera parte. En efecto, co-mo A es noetheriano el ideal 0 es descomponible y por el lema 6.9 el conjunto dedivisores de cero de A es D =

⋃pi∈Ass(0) pi. Por lo tanto, si x no es divisor de cero,

x 6∈ pi, para todo pi ∈Ass(0) y ası, si p⊇ 〈x〉 con p primo, p no podrıa ser alguno delos pi, i.e., no serıa primo mınimo de A y por lo tanto contiene propiamente un idealprimo p′ p y ası h(p)≥ 1, lo que implica la segunda afirmacion.

Para probar la primera afirmacion, observe primero que, por el lema 6.10, pAp

es un ideal primo mınimo de 〈x〉Ap, y por la biyeccion inducida por el morfismo delocalizacion ϕ : A→ Ap entre los ideales primos de Ap y los ideales primos de Acontenidos en p (donde q p corresponde a qAp pAp) se sigue que basta probarel teorema para 〈x〉Ap ⊆ pAp, o lo que es lo mismo, suponer que A es un anillonoetheriano local con ideal maximo p que es ademas primo mınimo de 〈x〉.

Asumiendo lo anterior, si q p es cualquier otro ideal primo debemos probarque h(q) = 0. Antes de proceder, note que x 6∈ q porque de lo contrario, como p esprimo mınimo de 〈x〉 se tendrıa que q = p. Observe ahora que, como p es primomınimo de 〈x〉, entonces el anillo A/〈x〉 tiene un unico primo, a saber p/〈x〉 (ya quesi p′ ∈ Spec(A/〈x〉), entonces p′ ⊇ 〈x〉 con p′ ∈ SpecA y como p es el unico idealmaximo de A, entonces p′ ⊆ p y como p es mınimo entre los primos que contienen a〈x〉, entonces p′ = p) y por lo tanto dimA/〈x〉= 0 y como es noetheriano, entoncespor 4.37 es artiniano. Ahora, para demostrar que h(q) = 0, considere las potenciasqiAq y sus imagenes inversas bajo el morfismo de localizacion ρ : A→ Aq a las quese denota por q(i) y se conocen como las potencias simbolicas de q. Observe ahoraque las inclusiones qi+1Aq ⊆ qiAq inducen inclusiones q(i+1) ⊆ q(i) y como A/〈x〉es artiniano la cadena descendente de ideales(

〈x〉+q(1))/〈x〉 ⊇

(〈x〉+q(2)

)/〈x〉 ⊇

(〈x〉+q(3)

)/〈x〉 ⊇ · · ·

se estaciona, i.e., existe n≥ 1 tal que

(1) 〈x〉+q(n) = 〈x〉+q(n+1) = · · ·

Veremos que lo anterior implica que


(2) q(n) = 〈x〉q(n)+q(n+1).

En efecto, si z ∈ q(n), entonces z ∈ 〈x〉+ q(n) = 〈x〉+ q(n+1) y ası z = ax+ q, cona ∈ A, q ∈ q(n+1), y como qn+1 ⊆ qn entonces q(n+1) ⊆ q(n) y ası q ∈ q(n) por lo queax = z− q ∈ q(n) con x 6∈ q. Observe ahora que como qAq es el ideal maximo deAq entonces qnAq es qAq-primario por 4.17, y ası por 4.18 su imagen inversa q(n) esq-primario. Por lo tanto, como ax = z−q∈ q(n) con x 6∈ q=

√q(n) entonces a∈ q(n)

y consecuentemente z = ax+q∈ 〈x〉q(n)+q(n+1) por lo que q(n) ⊆ 〈x〉q(n)+q(n+1) yla inclusion contraria es obvia porque q(n+1) ⊆ q(n), lo cual prueba (2). Ahora, como〈x〉 ⊆ p= J(A), por el lema de Nakayama de la igualdad (2) se sigue que

(3) q(n) = q(n+1)

y la igualdad anterior junto con la biyeccion entre ideales mencionada anteriormenteimplican que qnAq = qn+1Aq, y de nuevo, por el lema de Nakayama esta ultimaigualdad implica que qnAq = 0, es decir, el ideal maximo qAq de Aq es nilpotente yası un producto de ideales maximos es cero y como Aq es noetheriano, por 4.36 sesigue que Aq es artiniano. De 4.37 se sigue que dimAq = 0, como se querıa. ut

NOTA. Antes de generalizar el teorema del ideal principal de Krull, observemos queen terminos de la altura y de la dimension de Krull, en 6.6 se probo que si A es unaK-algebra de tipo finito (que es dominio entero) y si p ⊆ A es un primo de alturah(p) = 1, entonces

(1) dim(A/p) = dimA−1.

En particular, si f ∈ A no es cero ni unidad y p ∈ SpecA es un ideal primo mınimoque contiene a 〈 f 〉, por el teorema del ideal principal de Krull, h(p) = 1 y se tienela igualdad (1).

Para extender el teorema del ideal principal de Krull al caso de ideales finitamen-te generados, necesitaremos el lema siguiente:

Lema 6.12 Sean A un anillo noetheriano, p un ideal primo de A y S = q1, . . . ,qsun conjunto finito de ideales primos de A tales que p 6⊆ qi, para todo i.

(1) Si existe una cadena de ideales primos p0 p1 p, entonces existe una cadenap0 p′1 p con p′1 6⊆ qi, para todo i = 1, . . . ,d−1.

(2) En general, si existe una cadena de ideales primos p0 p1 · · · $ pd−1 p,entonces existe una cadena p0 p′1 · · · $ p′d−1 p con p′j 6⊆ qi, para todo i =1, . . . ,d−1 y todo j.

Demostracion. Note primero que p 6⊆⋃

i qi por 1.3, y por lo tanto existe un a ∈ p,a 6∈ p0, a 6∈ qi, para todo i. Como p⊇ 〈a〉+p0, entonces p contiene a un ideal primomınimo p′1 de 〈a〉+ p0 y ası p′1/p0 es un ideal primo mınimo del ideal principal(〈a〉+ p0)/p0 en A/p0 y por el teorema del ideal principal de Krull, h(p′1/p0) = 1.Sin embargo, la cadena p0/p0 p1/p0 p/p0 muestra que h(p/p0) ≥ 2 y conse-cuentemente p′1 6= p, i.e., p′1 p. Mas aun, p′1 6⊆ qi porque a ∈ p′1 y a 6∈ qi, para todo


i. Tambien, a ∈ p′1−p0 por lo que p0 p′1. Se tiene ası que p0 p′1 p con p′1 6⊆ qi,para todo i.

(2): En el caso general, p0 p1 · · · pd−1 p, aplicando la parte (1) a la cadenapd−2 pd−1 p existe otra cadena pd−2 p′d−1 p con p′d−1 6⊆ qi, para todo i.Luego, aplicando la parte (1) a la cadena pd−3 pd−2 p′d−1 vemos que existe otracadena pd−3 p′d−2 p′d−1 p con p′d−2 6⊆ qi, para todo i. Repetimos estos pasoshasta llegar al resultado deseado. ut

Teorema 6.13 (Teorema generalizado del ideal principal de Krull) Si A es un ani-llo noetheriano e I = 〈a1, . . . ,am〉 A es un ideal propio generado por m elementos,entonces, para cualquier ideal primo mınimo p de I, su altura es h(p)≤ m.

Demostracion. Para m = 1, este es el teorema del ideal principal de Krull. Podemosentonces suponer que m≥ 2 y que el teorema ha sido probado para ideales generadospor a lo mas m− 1 elementos. Sea p un primo mınimo de I = 〈a1, . . . ,am〉 y seanq1, . . . ,qs los primos mınimos de 〈a1, . . . ,am−1〉. Por hipotesis de induccion h(qi)≤m−1. Si sucediera que p esta contenido en algun qi, entonces se tendrıa que h(p)≤h(qi)≤m−1≤m y ya habrıamos acabado. Ası, podemos suponer que p 6⊆ qi, paratodo i. Poniendo d = h(p), queremos probar que d ≤ m. Ahora, como d = h(p), setiene una cadena

(∗) p0 · · · pd−1 pd = p

con d ≥ 2, porque si d = 1, entonces h(p) = 1 ≤ m y no hay nada que probar.Podemos entonces aplicar el lema anterior a la cadena (∗) y suponer que p′i = pi 6⊆ q j,para todo 1 ≤ i ≤ d y todo j, i.e., pi 6⊆

⋃q j. En particular, p′1 = p1 6⊆ qi para todo

i y por lo tanto existe b ∈ p1−⋃qi. Mostraremos que p es un primo mınimo de

〈a1, . . . ,am−1,b〉. Para comenzar, p contiene un primo mınimo p′ de este ideal ycomo p′ ⊇ 〈a1, . . . ,am−1〉, entonces p contiene uno de los qi, pero como b ∈ p− qipara todo i, entonces p no puede ser igual a este qi. Si p 6= p′, entonces qi p′ py ası p := p/〈a1, . . . ,am−1〉 tiene altura ≥ 2 en A := A/〈a1, . . . ,am−1〉. Pero p es unideal mınimo en A del ideal principal 〈a1, . . . ,am〉/〈a1, . . . ,am−1〉 y ası h(p)≤ 1 porel teorema del ideal principal, lo cual es una contradiccion. Se sigue que p = p′ ypor lo tanto p es un primo mınimo de 〈a1, . . . ,am−1,b〉. Pero entonces p/〈b〉 es unprimo mınimo de 〈a1, . . . ,am−1,b〉/〈b〉 en A/〈b〉, que esta generado por las clases dea1, . . . ,am−1 y ası h(p/〈b〉) ≤ m− 1 por hipotesis de induccion. Finalmente, comose tiene la cadena de primos distintos

p1/〈b〉 · · · pd−1/〈b〉 pd/〈b〉= p/〈b〉

entonces d−1≤ h(p/〈b〉)≤ m−1 y por lo tanto d ≤ m. ut

El teorema generalizado del ideal principal de Krull tiene un recıproco:

Teorema 6.14 Sean A un anillo noetheriano e I A un ideal propio de alturah(I) = n. Entonces, existen n elementos a1, . . . ,an ∈ I tales que para cada i ≤ nel ideal 〈a1, . . . ,ai〉 tiene altura i.


Demostracion. Si n = 0, se toma el conjunto vacıo notando que 〈 /0〉 = 0. Podemosası suponer que n ≥ 1. Note entonces que solo hay un numero finito de primos dealtura 0 porque un tal ideal es un primo mınimo de Ass(0) y ninguno de estos primospuede contener a I porque h(I)≥ 1. Por 1.3 se sigue que existe un a1 ∈ I−

⋃h(p)=0 p.

Por construccion 〈a1〉 tiene altura h ≥ 1 y ası por el teorema del ideal principal deKrull se sigue que tiene altura h〈a1〉= 1. Esto completa la demostracion cuando n =1. Podemos entonces suponer que n≥ 2. De nuevo, notamos que solo hay un numerofinito de primos de altura 1 y que contienen a 〈a1〉 porque un tal primo esta enAss〈a1〉, y ninguno de estos primos puede contener a I porque estamos suponiendoque h(I)≥ 2. Por 1.3 existe un a2 ∈ I−

⋃h(p) = 1 y p⊇ 〈a1〉 p. Por construccion 〈a1,a2〉

tiene altura h ≥ 2 y ası por el teorema generalizado del ideal principal de Krull sesigue que h〈a1,a2〉 = 2. Esto completa la demostracion en el caso cuando n = 2.Continuando de esta manera se termina la demostracion. ut

Anillos locales regulares y espacios tangentes. Si A es cualquier anillo, m⊆ A esun ideal maximo y k = A/m es su campo residual, hemos visto en la observacion an-tes de 4.8 que m/m2 es un k-espacio vectorial. Ahora, si (A,m) es un anillo local, por6.8 (3) se tiene que dimA = h(m) y si ademas A es noetheriano y m = 〈a1, . . . ,an〉con n el numero mınimo de generadores, por 4.8 dimk(m/m2) = n y por 6.13 laaltura h(m)≤ n.

Lema 6.15 Si (A,m) es un anillo noetheriano local, entonces

dimA≤ dimk(m/m2).

Aquı, en la izquierda es la dimension de Krull de A y en el lado derecho es ladimension del k-espacio vectorial m/m2.

Demostracion. El argumento previo al lema nos dice que

dimA = h(m)≤ numero mınimo de generadores de m= dimk(m/m2).

ut

El k-espacio vectorial m/m2 es el espacio cotangente de Zariski de A en m. Sudual (

m/m2)∨ := Homk(m/m2,k)

es el espacio tangente de Zariski de A en m.Si se tiene la igualdad dimA = dimk(m/m2), se dice que A es regular en m o que

es liso en m o que es no singular en m y que A es un anillo local regular. Si se tienela desigualdad estricta se dice que A es singular en m.

Si A es un anillo noetheriano arbitrario y p es un ideal primo de A, por 4.6 elanillo local Ap es noetheriano, y se dice que A es regular o liso o no singular en psi Ap es un anillo local regular. Si A es regular en todos sus primos, diremos que Aes un anillo regular.


Ejemplo 5. Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Si dimA = 0, entonces A es re-gular si y solo si m2 = m y por Nakayama esto sucede si y solo si m = 0, i.e., si ysolo si A es un campo porque en este caso las unidades son todo A−0. En par-ticular, A es un dominio entero. El teorema siguiente muestra que, en general, unanillo regular es un dominio entero. Para demostrarlo necesitaremos los dos lemassiguientes:

Lema 6.16 Sea (A,m) un anillo noetheriano local con campo residual k = A/m.Sea c ∈ m−m2. Considere el epimorfismo canonico A A′ := A/〈c〉 y denote susimagenes mediande a 7→ a′. Entonces,

dimk(m/m2) = dimk(m′/m′

2)+1

donde m′ :=m/〈c〉 es el ideal maximo de A′.

Demostracion. Sean α1, . . . ,αn ∈ m tales que α ′1, . . . ,α′n ∈ m′/m′2 es una base co-

mo k-espacio vectorial. Mostraremos que α1, . . . ,αn,c es base de m/m2. En efec-to, por 4.8, α1, . . . ,αn es un conjunto mınimo de generadores de m′ = m/〈c〉 yası m = 〈α1, . . . ,αn〉+ 〈c〉, lo que implica que α1, . . . ,αn,c generan m/m2. Pro-baremos ahora que son linealmente independientes. En efecto, si se tiene una com-binacion lineal

(1) a1α1 + · · ·+anαn +an+1c≡ 0 (mod m2)

con los ai ∈ A (recordando que k = A/m), reduciendo (1) modulo 〈c〉 queda

a′1α′1 + · · ·+a′nα

′n ≡ 0 (mod m′2)

y la independencia lineal de los α ′i implica que a′1, . . . ,a′n son cero en k=A/m, es de-

cir, sus representantes a1, . . . ,an ∈m y (1) queda de la forma an+1c≡ 0 (mod m2),i. e., an+1c ∈ m2. Si sucediera que an+1 6∈ m entonces serıa unidad en A y conse-cuentemente c ∈ m2, lo cual contradice la eleccion de c ∈ m−m2. Se sigue quean+1 ∈m y por lo tanto en (1) todos los coeficientes son cero, i.e., α1, . . . ,αn,c sonuna base de m/m2. ut

Lema 6.17 Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces paratodo c ∈m−m2 el cociente A/〈c〉 tambien es regular. Mas aun,

dimA = dimA/〈c〉+1.

Demostracion. El ejercicio 9 de este capıtulo dice que si A′ = A/〈c〉 y m′ =m/〈c〉,entonces

(1) h(m) = h(m/〈c〉)≤ h(m)≤ h(m/〈c〉)+1 = h(m′)+1

porque 〈c〉 es generado por n = 1 elemento. Por lo tanto,

dimk(m′/m′2

)≥ h(m′)≥ h(m)−1 = dimk

(m/m2)−1 = dimk

(m′/m′2

)


donde la primera desigualdad es por 6.15, la segunda desigualdad es (1), la primeraigualdad es porque (A,m) es regular y la segunda igualdad por 6.16. Se sigue quetodas las desigualdades son igualdades, en particular

dimk(m′/m′2

)= h(m′) = dimA′ = dimA/〈c〉

y por lo tanto A/〈c〉 es regular de dimension dimA−1. ut

Teorema 6.18 Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces esun dominio entero.

Demostracion. Por induccion sobre d = dimA = dimk(m/m2). Si d = 0, es el ejem-plo 5. Supongamos ahora que d ≥ 1 y que el teorema es cierto para anillos regularesde dimension ≤ d− 1. Antes de hacer la induccion observemos que si A contieneideales p 〈c〉, con p primo, entonces A es un dominio entero. En efecto, sea a ∈ py supongamos que a ∈ 〈c〉n = 〈cn〉 para algun n ≥ 1. Entonces, a = bcn con b ∈ A.Como c 6∈ p, se debe tener que b ∈ p 〈c〉 y ası a ∈ 〈cn+1〉. Continuando de estamanera vemos que a ∈ 〈cm〉 para todo m ≥ 1, es decir, a ∈

⋂〈cm〉 = 0 (por 4.10) y

ası p= 0 y como es primo, entonces A es un dominio entero, como se querıa.Regresando ahora a la induccion, sea c ∈ m−m2. Como A/〈c〉 es regular de

dimension d−1 por 6.17, la hipotesis de induccion implica que es un dominio enteroy por lo tanto 〈c〉 es un ideal primo. Si h(〈c〉) = 1, por la observacion del parrafoanterior se sigue que A es dominio entero. Podemos entonces suponer que h(〈c〉)= 0y por lo tanto es primo mınimo de A. Sea S el conjunto de primos mınimos de A(sabemos que S es finito porque sus elementos son los primos mınimos de Ass(0)).Hemos ası mostrado que para todo c ∈m−m2, 〈c〉 ∈ S y por lo tanto

m−m2 ⊆⋃p∈S

p

y consecuentemente m ⊆ m2 ∪(⋃

p∈S p). Por el ejercicio 12 de este capıtulo (que

generaliza 1.9) se sigue que m ⊆ m2 o m esta contenido en alguno de los primosmınimos p ∈ S y por lo tanto es igual a uno de estos. Si m ⊆ m2, entonces m = m2

y por el lema de Nakayama se sigue que m = 0, lo cual contradice el que h(m) =dimA≥ 1. Si m ∈ S, entonces h(m) = 0, lo cual tambien contradice el que h(m) =dimA≥ 1. Se sigue que h(〈c〉)= 0 no es posible y ası h(〈c〉)= 1 y como observamosantes, esto implica que A es dominio entero. ut

Corolario 6.19 Sea (A,m) un anillo noetheriano local. Si A es regular de dimen-sion 1, entonces A es un DIP con un unico ideal primo no nulo.

Demostracion. Sea I cualquier ideal propio no nulo de A. Por 6.14, I es principal,digamos I = 〈a〉, y se tiene que

√I = m porque m es el unico primo que contiene

a I ya que h(m) = 1. Ası, por 4.12, mr ⊆ I para algun r ≥ 1. Se sigue que A/mr esnoetheriano local de dimension 0 y por lo tanto es artiniano local. Por 4.39 todoslos ideales de A/mr son principales, en particular I = 〈as〉 para algun s ≥ 1. Por lotanto, I = 〈as〉+mr y consecuentemente I = 〈as〉, por Nakayama. ut


Ejemplo 6. Si (A,m) es un anillo noetheriano local de dimension 1, entonces Aes regular si y solo si A es un anillo de valuacion discreta. En efecto, esto es laequivalencia entre (1) y (6) del teorema 5.7 del capıtulo anterior.

Ejercicios

6.1. Demuestre que un dominio entero de dimension cero es un campo.

6.2. Si L/K es una extension algebraica de campos y α1, . . . ,αn ∈ L, demuestre queK[α1, . . . ,αn] = K(α1, . . . ,αn).

6.3. Si K es un campo, A=K[α1, . . . ,αn] es un dominio entero, r = grtrK(A) y r > 0,demuestre que A no es un campo.

6.4. Si K es un campo y A es una K-algebra de tipo finito sobre K e I A es un idealpropio, demuestre que √

I =⋂m⊇I

m

donde m recorre los ideales maximos de A que contienen a I.

6.5. En el ejercicio anterior concluya que todo ideal primo de A se puede escribircomo interseccion de ideales maximos.

6.6. Si A es un anillo noetheriano, demuestre que todo ideal primo p de altura naparece como un primo mınimo de un ideal generado por n elementos.

6.7. Si A⊆ B son anillos con B entero sobre A, demuestre que dimA = dimB.

6.8. Sean A ⊆ B anillos que satisfacen las hipotesis del teorema de bajada 2.26. Siq⊆ B es primo y p= q∩A, demuestre que h(q)≥ h(p).

6.9. Si A es un anillo noetheriano e I A es un ideal generado por n elementos,demuestre que para todo ideal primo p que contiene a I se tiene que

h(p/I)≤ h(p)≤ h(p/I)+n.

6.10. Sea K un campo. Demuestre que toda K-algebra A ⊆ K[x] es de tipo finitosobre K y si K A, entonces dimA = 1. Vea el ejercicio 24 del capıtulo 3.

6.11. Si K es un campo algebraicamente cerrado y f ∈ K[x1, . . . ,xn] es un poli-nomio irreducible, un punto P ∈ V〈 f 〉 es liso si y solo si no todas las deriva-das parciales formales ∂ f/∂xi se anulan en P. Sea A = K[x1, . . . ,xn]/〈 f 〉 y seam el ideal maximo correspondiente al punto P, i.e., si P = (a1, . . . ,an), entoncesm= 〈x1−a1, . . . ,xn−an〉. Demuestre que P es liso si y solo si Am es un anillo localregular, i.e., dimk(m/m2) = dimAm. Note que por 4.14, m/m2 'mAm/(mAm)

2.


6.12. (Una generalizacion de 1.9). Sean a,p1, . . . ,pn ideales de un anillo A, con lospi primos. Si I es un ideal de A tal que

I ⊆ a∪( n⋃i=1

pi)

demuestre que I ⊆ a o I ⊆ pi para algun i.

Capıtulo 7Topologıas, filtraciones y completaciones

Cuando se tiene una metrica en un anillo A y se consideran sucesiones con valo-res en A, es sabido que toda sucesion convergente es una sucesion de Cauchy, peroel recıproco no es cierto en general, por ejemplo en la metrica dada por el valorabsoluto usual de Q hay sucesiones de Cauchy cuyo lımite no es un racional. Lacompletacion de Hausdorff de Q es el campo R de los numeros reales y en la to-pologıa inducida Q⊆R es denso. Estas completaciones aparecen tambien en teorıade numeros, por ejemplo al estudiar congruencias modulo un entero m, a las queconviene ver como ecuaciones en el anillo Z/mZ y gracias al teorema chino delresiduo 1.6, estudiar ecuaciones polinomiales en Z/mZ es equivalente a estudiarecuaciones en Z/pnZ para p un primo. Cuestiones importantes de teorıa de nume-ros, relacionadas con estimaciones asintoticas acerca de estas soluciones variandon, pueden ser formuladas mejor considerando las ecuaciones en un ((lımite)) de losanillos Z/pnZ cuando n→ ∞, es decir en el anillo de enteros p-adicos. Kurt Hen-sel introdujo los numeros p-adicos como series de potencias con respecto al primop, usando la analogıa entre el anillo de enteros Z y su campo de cocientes Q y elanillo de polinomios C[x] y su campo de cocientes C(x), y donde los primos p ∈ Zcorresponden a los polinomios irreducibles (x−α) ∈ C[x]; Hensel nota que dadocualquier polinomio f (x) ∈ C[x] y cualquier α ∈ C fijo, es posible escribir (conai ∈ C)

(1) f (x) =n

∑i=0

ai(x−α)i,

por ejemplo usando la expansion de Taylor de f (x). Lo mismo se puede hacer conenteros (digamos, positivos): dado m≥ 1 y un primo p fijo, se tiene que

(2) m =n

∑i=0

ai pi,

con ai ∈ Z y 0 ≤ ai ≤ p− 1. El paso siguiente es observar que en el campo C(x)cualquier funcion racional f (x) tiene una expansion como (1), solo que ahora usual-

153

154 7 Topologıas, filtraciones y completaciones

mente es una serie

(3) f (x) =∞

∑i≥n0

ai(x−α)i

con ai ∈ C y n0 ∈ Z, a saber, la expansion de Laurent de f (x). La idea de Hensel esextender lo anterior, formalmente, a la expansion de un racional a ∈Q en una seriede la forma

(4) a =∞

∑i≥n0

ai pi

con ai ∈ Z, n0 ∈ Z. Por supuesto que estas series de potencias no convergen conrespecto al valor absoluto usual y ası no representan numeros en el sentido comundel termino, de tal forma que esta idea de Hensel y sus consecuencias aritmeticasencontraron varios reparos al principio. En 1912 Josef Kurschak escribe un artıculodonde aclara y fundamenta las ideas de Hensel introduciendo la nocion de valuacionen un campo (mas precisamente, la nocion de valor absoluto generalizado). En esteartıculo encontramos los axiomas ya familiares de un valor absoluto generalizado,i.e., una funcion | |K : K→ R tal que |a|K ≥ 0 para todo a ∈ K, |a|K = 0 si y solo sia= 0, |ab|K = |a|K |b|K y la desigualdad del triangulo en la forma |1+a|K ≤ 1+ |a|K .Los axiomas de Kurschak son generalizaciones de las propiedades que Hensel habıadado (con alguna pequena correccion al reemplazar p con p−1) en la definicion delvalor absoluto p-adico. De esta forma, con el valor absoluto | |p en Q, las series (4)convergen en la completacion Qp de Q con respecto a la nueva metrica.

En este capıtulo formalizamos las ideas anteriores en un contexto mas general,comenzando recordando la formulacion topologica de la completacion de un anilloo un modulo, enfocandonos al caso cuando estos tienen una filtracion que determinala topologıa. Mas adelante se algebriza aun mas el proceso de completacion, que encierta forma es dual al proceso de localizacion del capıtulo 3.

Grupos topologicos. Un grupo topologico es un grupo G que tiene una topologıaque es compatible con la estructura de grupo, es decir, la operacion de grupo G×G→ G es continua (donde a G×G se le da la topologıa producto) y la funcionG→G definida al tomar inversos: a 7→ a−1 tambien es continua. Si a∈G, la funciontraslacion izquierda Ta : G→G dada por x 7→ ax es continua, biyectiva y su inversaes Ta−1 por lo que Ta es un homeomorfismo. Note que Ta no es un homomorfismo degrupos a menos que a = e, el elemento neutro de G en cuyo caso Te = idG. Ahora,si U es cualquier vecindad del neutro e ∈ G, entonces aU es una vecindad de a,porque aU = TaU , y toda vecindad abierta V de a es de la forma anterior, porque siU = Ta−1V = a−1V , entonces TaU =V . Ası, en un grupo topologico G la topologıaesta unıvocamente determinada por las vecindades del elemento neutro de G. Enmuchos casos de interes el grupo G tiene una base de vecindades del neutro dadapor una cadena de subgrupos normales de G:

G = G0 G1 G2 · · ·

7 Topologıas, filtraciones y completaciones 155

e interesa saber cuando la topologıa en G es Hausdorff:

Lema 7.1 Sea G un grupo topologico con una base de vecindades del neutro dadapor una cadena de subgrupos normales G = G0 G1 G2 · · · . Son equivalentes:

(1) G es Haudorff.

(2) Los puntos en G son cerrados.

(3)⋂

Gn = e.

Demostracion. (1) implica (2) es directo. Para (2)⇒ (1), note que si f : G×G→Ges f (a,b) = ab−1, entonces la diagonal de G×G es f−1(e). Para (2)⇒ (3), observeque como cada Gi es abierto, por definicion, entonces los trasladados gGi tambienson abiertos y por lo tanto los complementos G−Gi tambien son abiertos porqueson igual a la union de las clases gGi con g 6∈ Gi; se sigue que los Gi son cerrados.Entonces, a ∈

⋂Gn ⇔ a ∈U , para todas las vecindades U del e ∈ G, y esto ultimo

sucede si y solo si a ∈ e. Claramente (3)⇒ (2). ut

Filtraciones. El caso que interesa en algebra conmutativa es cuando G es el grupoaditivo de un anillo conmutativo A y en los ejemplos que importan se tiene unabase de vecindades del neutro 0 ∈ A dadas por una familia numerable de subgruposaditivos In de (A,+) encadenados en forma decreciente, i.e., tales que

A = I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ ·· · ⊇ In ⊇ ·· ·

de tal forma que V ⊆ A es una vecindad del 0 si y solo si existe un n tal que In ⊆V .Diremos entonces que los subgrupos In forman una filtracion de A. Mas aun,como los In ⊆ A son subgrupos (de la parte aditiva) del anillo A y este tiene unproducto, es natural el pedir que ImIn ⊆ Im+n y decimos entonces que la filtracion Inde A es compatible con el producto del anillo. Las filtraciones que consideraremospueden estar indexadas por todos los enteros y para simplificar un poco la teorıa alfiltrar un anillo asumiremos que los In ⊆ A son ideales, no solo subgrupos aditivos:dado un anillo A, una filtracion en A es una familia de ideales Inn∈Z de A talesque:

(i) I0 = A.

(ii) In+1 ⊆ In.

(iii) ImIn ⊆ Im+n.

Si A tiene una filtracion, diremos que A es un anillo filtrado. Si A es un anillofiltrado, con filtracion In, y M es un A-modulo, una filtracion en M es una familiaMnn∈Z de submodulos de M tales que

(i) M0 = M.

(ii) Mn+1 ⊆Mn.

(iii) ImMn ⊆Mm+n.


Si M tiene una filtracion, diremos que M es un modulo filtrado. Usando la fil-tracion Mnn∈Z como una base de vecindades del cero 0 ∈M, resulta que M tieneuna topologıa que es compatible con las operaciones del modulo M (i.e., la suma yconsiderar inversos aditivos son operaciones continuas y lo mismo multiplicar porescalares) y por lo tanto M es un modulo topologico. Si M = A, resulta que A es unanillo topologico.

Por el lema anterior, la topologıa de M es Hausdorff si y solo si⋂

Mk = 0. Ob-serve tambien que, por definicion cada submodulo Mk de la filtracion es abierto yası, para cada x ∈M las clases laterales x+Mk (i.e., trasladados de Mk) tambien sonabiertas y por lo tanto los complementos M−Mk tambien son abiertos (porque sonunion de las clases laterales x+Mk), es decir, cada Mk es abierto y cerrado. Se sigueque los cocientes M/Mk son discretos en la topologıa cociente.

Ejemplo 1. Si A es cualquier anillo e I ⊆ A es un ideal, la filtracion I-adica de Aesta dada por Inn≥0. Si M es un A-modulo, la filtracion I-adica de M esta dada porMn = InM, para n≥ 0.

Ejemplo 2. Si A es cualquier anillo, siempre se tiene la filtracion trivial dada por

In =

A si n≤ 0,0 si n > 0.

Ejemplo 3. Si N ⊆M es un submodulo de un modulo filtrado M, la filtracion indu-cida en N es la filtracion dada por Nn = N∩Mn. La filtracion cociente en M/N es lafiltracion dada por (M/N)n = (Mn +N)/N (i.e., la imagen de Mn bajo el epimorfis-mo canonico M M/N).

Si M, N son modulos filtrados sobre un anillo filtrado A, un morfismo de modulosfiltrados es un A-morfismo f : M→ N que respeta las filtraciones, i.e., f (Mn)⊆ Nn,para todo n ∈ Z.

Ejemplo 4. Si A es un anillo filtrado, N es un A-modulo filtrado y M es cual-quier A-modulo, entonces HomA(M,Nn) es una filtracion de HomA(M,N). Aquı es-tamos usando que 0→ Nn → N induce el monomorfismo 0→ HomA(M,Nn) HomA(M,N).

La funcion de orden. Si A es un anillo con una filtracion Inn∈Z y M es un A-modulo con una filtracion Mnn∈Z, se define la funcion de orden ν : M→ Z∪∞para x ∈M mediante

ν(x) =

n si x ∈Mn pero x 6∈Mn+1,

∞ si x ∈⋂

Mn.

Note que si⋂

Mn = 0, la ultima condicion es solo ν(0) = ∞. Similarmente se definela funcion ν : A→ Z∪∞. Las propiedades siguientes son directas de las defini-ciones:


Lema 7.2 Sean In una filtracion en el anillo A y Mn una filtracion en un A-modulo M. Entonces:

(1) Como los Mn son subgrupos aditivos de M,

ν(x+ y)≥mınν(x),ν(y).

(2) Mas aun, si a ∈ A y x ∈M,

ν(ax)≥ ν(a)+ν(x)

porque ImMn ⊆Mm+n. En particular, para a,b ∈ A,

ν(ab)≥ ν(a)+ν(b).

(3) Mn = x ∈M : ν(x)≥ n.ut

Las propiedades (1) y (2) dicen que ν es ((como una valuacion)) en M y la pro-piedad (3) dice que la filtracion de M se recupera de la funcion de orden ν .

La metrica asociada. Sea Mn una filtracion en un A-modulo M y sea ν : M→Z∪∞ la funcion de orden asociada. Si ρ es un numero real tal que 0 < ρ < 1, sedefine la funcion d : M×M→ R mediante

d(x,y) = ρν(x−y).

Corolario 7.3 Sea Mn una filtracion en un A-modulo M. Entonces,

(1) d(x,x) = 0.

(2) d(x,y) = d(y,x).

(3) d(x,y)≤maxd(x,z),d(y,z).

(4) Mn = x ∈M : d(x,0)≤ ρn.

Demostracion. La parte (1) es porque ν(x− x) = ν(0) = ∞. La parte (2) es porquex∈Mn implica que−x∈Mn. Las partes (3) y (4) las dejamos como un ejercicio. ut

Si M es Hausdorff, i.e.,⋂

Mn = 0 por 7.1, entonces la parte (1) del corolario sepuede mejorar:

(1’) d(x,y) = 0 si y solo si x = y.

Por lo tanto, las partes (1’), (2) y (3) nos dicen que d es una metrica en M. Laparte (3) es mas fuerte que la desigualdad del triangulo y se dice que d es unaultrametrica:

d(x,y)≤ d(x,z)+d(z,y).

La parte (4) nos dice que la filtracion en M se recupera de la metrica d.


Sucesiones y filtraciones. Supongamos ahora que M es un A-modulo filtrado y quela topologıa inducida es Hausdorff. Si d es la metrica asociada, una sucesion deCauchy en M es una sucesion xn de elementos de M tal que para cada ε > 0existe un entero k > 0 tal que d(xm,xn) < ε , para todo m,n ≥ k. Por la parte (4)del corolario anterior, observe que si xn es de Cauchy entonces existe un enterok > 0 tal que xm− xn ∈ Mk, para todo m,n ≥ k. Similarmente, una sucesion xnse dice que converge al lımite ` ∈ M si existe un entero k > 0 tal que xn − ` ∈Mn para todo n ≥ k. Claramente toda sucesion convergente es de Cauchy, pero laafirmacion inversa no es cierta en general. Cuando toda sucesion de Cauchy en Mconverja a un lımite en M, se dice que M es completo. En un modulo filtrado cuyatopologıa es Hausdorff la convergencia de series se comporta mejor que en el casoreal o complejo, porque la metrica inducida satisface la desigualdad ultrametrica,mas fuerte que la del triangulo.

Proposicion 7.4 Si M es un A-modulo con una filtracion Mk tal que la topologıainducida es Hausdorff y M es completo, entonces una serie ∑

∞n=0 xn, con x ∈ M

converge en M si y solo si la sucesion xn converge a cero.

Demostracion. Si ∑∞n=0 xn = `, entonces la sucesion de sumas parciales Sn = x0 +

x1 + · · ·+ xn converge a ` y por lo tanto lımn→∞(Sn−Sn−1) = 0, donde Sn−Sn−1 =xn. Recıprocamente, si xn → 0, entonces para todo entero n existe un entero N =N(n) tal que si k≥ N se tiene que xk ∈Mn y por lo tanto xk +xk+1 + · · ·+xk+i ∈Mnpara todo i≥ 0, es decir, la sucesion de sumas parciales es de Cauchy y como M escompleto, entonces converge en M. ut

Completaciones. Si M es un A-modulo filtrado Hausdorff y d es la metrica asociada,la completacion de M se construye, como en analisis, considerando el conjunto M

de sucesiones de Cauchy en M. Con la suma usual de sucesiones, M es un grupoabeliano y se tiene una accion de A en M mediante axn= axn (que claramentesigue siendo de Cauchy) y ası el conjunto M de sucesiones de Cauchy en M esun A-modulo. En M se define la relacion xn ∼ yn si y solo si xn− yn → 0(la diferencia converge a cero). Esta es una relacion de equivalencia y el conjuntocociente se denota por M. Se prueba facilmente que M es un A-modulo definiendolas operaciones en las clases de equivalencia [xn]∈ M usando representantes. Resultatambien que M es un espacio metrico con la distancia definida por d([xn], [yn]) :=lımn→∞

d(xn,yn). Enviando x ∈M a la (clase de equivalencia de la) sucesion constante

x se tiene la funcion natural siguiente que claramente es un A-morfismo inyectivocon imagen densa (vea el ejercicio 4):

ρ : M→ M.

Completaciones y lımites inversos. El proceso anterior se puede algebrizar aunmas: si xn es una sucesion de Cauchy en M, para la filtracion Mn de M consi-deremos los epimorfismos M M/Mn. Como xn es de Cauchy, existe un enterok > 0 tal que xn+1− xn ∈Mk para todo n≥ k y por lo tanto xn+1 = xn en M/Mk, es


decir, sus clases laterales ξn+1 = ξn en M/Mk, i.e., las ξn se vuelven constantes enM/Mk. Es claro entonces que, bajo el morfismo natural

φn+1 : M/Mn+1→M/Mn

se tiene que φ(ξn+1) = ξn, para todo n≥ k. Mas aun, si xn ∼ yn, entonces am-bas sucesiones definen la misma sucesion de clases laterales ξn en los cocientesM/Mn. Recıprocamente, dada una sucesion de clases laterales ξn en M/Mn talque φ(ξn+1) = ξn, escogiendo un representante xn ∈ ξn de cada clase lateral, se tie-ne que xn+1−xn ∈Mn y ası xn es una sucesion de Cauchy en M. Por lo tanto, M sepuede construir usando las sucesiones ξn de los cocientes M/Mn, sin tener que pen-sar en clases de equivalencia de xn y a partir de ahora pensaremos que M consistede estas sucesiones de Cauchy ξn a las que podemos considerar como (ciertos)elementos del producto directo ∏n M/Mn. Para saber cuales elementos de ∏n M/Mnestan en M, recordemos que las clases ξn ∈M/Mn son compatibles en el sentido queel morfismo natural φn+1 manda ξn+1 7→ ξn. Por lo tanto, M consiste de los elemen-tos ξn ∈∏n M/Mn que son compatibles con los morfismos φn. De hecho, M es unsubmodulo de ∏M/Mn que satisface las condiciones siguientes: para la familia deA-modulos M/Mnn≥0 y la familia de morfismos φ n

m : M/Mn→M/Mm para cadam≤ n, dados por las composiciones

M/Mnφn−→M/Mn−1

φn−1−→M/Mn−2 −→ ·· · −→M/Mm+1φm+1−→M/Mm

estos satisfacen que siempre que m ≤ n ≤ k se tiene que φ kn φ n

m = φ km. En es-

tas condiciones se dice que M/Mn,φnm es un sistema inverso de modulos. En-

tonces, considerando el producto directo ∏M/Mk y las proyecciones naturalespn : ∏M/Mk→M/Mn en el diagrama siguiente, para m≤ n,

∏M/Mkpn

zzpn−1yy

pm+1 %%

pm

$$M/Mn

φnn−1

// M/Mn−1 // · · · // M/Mm+1φm+1

m

// M/Mm

en general, los triangulos del diagrama no conmutan y por ello tiene que tomarse elsubmodulo M ⊆∏k M/Mk de sucesiones compatibles y las restricciones de las pro-yecciones naturales a M para que en el diagrama siguiente los triangulos inferioresconmuten:

∏M/Mk

pn

pm

M ?

OO

pn

vvpn−1xx

pm+1 &&

pm

%%M/Mn

φnn−1

// M/Mn−1 // · · · // M/Mm+1φm+1

m

// M/Mm


Lımites inversos. La construccion anterior de M es un caso especial del lımite in-verso de un sistema inverso de A-modulos. Como muchas propiedades de la com-pletacion M de un A-modulo filtrado M se pueden deducir mas facilmente de laspropiedades del lımite inverso, a continuacion recordamos la definicion, construc-cion y propiedades que usaremos de este lımite. Para comenzar, los datos de la cons-truccion anterior incluıan una familia de modulos M/Mn indexada por los enterosN∪0 no negativos y para cada m≤ n se tienen un morfismos φ n

m : M/Mn→M/Mmtales que si m≤ n≤ k satisfacen que φ n

m φ kn = φ k

m.

Lo primero que se generaliza es el conjunto ordenado de ındices. Si Λ es unconjunto con una relacion que satisface

(i) Es reflexiva, i.e., i i para todo i ∈ A.

(ii) Es transitiva, i.e., i j y j k implican que i k.

Diremos que (Λ ,) es un conjunto dirigido1 si ademas satisface que:

(iii) Para cada par i, j ∈Λ existe un k ∈Λ tal que i k y j k.

Ahora, si A es un anillo y Λ es un conjunto dirigido, un sistema inverso es unafamilia de A-modulos Mii∈Λ indexada por Λ y una familia de A-morfismos ϕ

ji :

M j→Mi, para cada par de ındices i, j ∈Λ tal que i j (del ((grande al chico))) quesatisfacen las condiciones siguientes:

(i) ϕ ii = idMi , para todo i ∈Λ .

(ii) ϕj

i ϕkj = ϕk

i , siempre que i j k en Λ .

Consideremos entonces el producto directo ∏k Mk y los diagramas siguientes,para cada i j:

∏Mkp j

pi

!!M j

ϕj

i

// Mi

donde pn : ∏Mk→Mn son las proyecciones del producto directo. En general, estosdiagramas no conmutan, ya que dado (xk) ∈∏Mk no hay razon generica para queϕ

ji p j(xk) = ϕ

ji (x j) sea igual a pi(xk) = xi. Consideremos entonces el subconjunto

lim←−Mk ⊆ ∏Mk dado por aquellos elementos (xk) tales que ϕj

i p j(xk) = xi. Cla-ramente, lim←−Mk es un submodulo de ∏Mk y restringiendo las proyecciones pn alim←−Mk los triangulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siempre que i jen Λ :

1 Note que no exigimos que la relacion sea antisimetrica, i.e. que i j y j i impliquen que i = j,sin embargo en muchos de los ejemplos este es el caso y por lo tanto (Λ ,) sera un conjuntoparcialmente ordenado en esos ejemplos.


∏Mk

p j

pi

lim←−Mk

?

OO

p j

||

pi

""M j

ϕj

i

// Mi

El modulo lim←−Mk se conoce como el lımite inverso del sistema Mk,ϕj

i Λ y laproposicion siguiente lista sus propiedades mas importantes, en particular su unici-dad justificando el artıculo determinado:

Proposicion 7.5 (Propiedad universal del lımite inverso) Si Mk,ϕj

i Λ es un sis-tema inverso de A-modulos, el modulo lim←−Mk junto con las proyecciones pn :lim←−Mk→Mn es tal que siempre que i j en Λ , los triangulos siguientes conmutan

lim←−Mkp j

||

pi

""M j

ϕj

i

// Mi

y si M es cualquier otro A-modulo junto con morfismos qk : M → Mk, para cadak ∈Λ , tales que los triangulos del diagrama siguiente conmutan

Mq j

~~

qi

M j

ϕj

i

// Mi

entonces existe un unico morfismo ϑ : M→ lim←−Mk tales que los triangulos lateralesdel diagrama siguiente conmutan:

M

ϑ

q j

qi

lim←−Mkp j

||

pi

""M j

ϕj

i

// Mi

es decir, p j ϑ = q j, para toda j ∈Λ .

Demostracion. La primera parte se probo antes del enunciado. Para definir ϑ , seax ∈M y pongamos ϑ(x) = (qk(x)). Note que si i j entonces,

ϕj

i p j(qk(x)) = ϕj

i (q j(x)) = qi(x)


porque el segundo diagrama del enunciado conmuta por hipotesis. Se sigue que(qk(x)) ∈ lim←−Mk y por lo tanto ϑ tiene el codominio indicado. Como las qk sonmorfismos, ϑ tambien lo es. Ahora, si x ∈M, calculando

p j ϑ(x) = p j(qk(x)) = q j(x)

por lo que ϑ hace conmutar los triangulos laterales. Si γ : M → lim←−Mk es otromorfismo tal que p j γ = q j, para toda j ∈ Λ , entonces si x ∈ M, escribien-do γ(x) = (zk) ∈ lim←−Mk y aplicando las proyecciones canonicas p j se tiene quep j(γ(x)) = p j(zk) = z j y como p j γ = q j, entonces z j = q j(x) y por lo tantoγ(x) = ϑ(x), como se querıa. ut

Corolario 7.6 Si Mk,ϕj

i Λ es un sistema inverso de A-modulos, el modulo lim←−Mkjunto con las proyecciones pk : lim←−Mk → Mk es unico, salvo isomorfismo, con lapropiedad universal de la proposicion anterior.

Demostracion. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. ut

Ejemplo 5. El caso que nos interesa es cuando se tiene un A-modulo filtrado M, confiltracion Mkk∈Z, de tal forma que el sistema inverso esta dado por los cocientesM/Mk y los morfismos naturales φ n

m : M/Mn → M/Mm, siempre que m ≤ n. En elcaso cuando la topologıa inducida por la filtracion Mk es Hausdorff, el modulolim←−M/Mk es isomorfo a la completacion M de M definida usando sucesiones deCauchy.

En el caso general, diremos que por definicion,

M := lim←−M/Mk

es la completacion o completado de M. Observe ahora que los epimorfismos canoni-cos qk : M M/Mk inducen, por la propiedad universal del lımite inverso, un unicoA-morfismo

ϑ : M→ M = lim←−M/Mk

tal que los diagramas del corolario siguiente conmutan:

Corolario 7.7 Si Mkk∈Z es una filtracion de un A-modulos M, existe un unicoA-morfismo ϑ : M → M tal que los diagramas siguientes conmutan, siempre quei≤ j:

M

ϑ

q j

qi

Mp j

||

pi

!!M/M j

ϕj

i

// M/Mi


Dejamos para el ejercicio 4 el probar que, cuando la topologıa es Hausdorff,ϑ : M → M corresponde a la inclusion de M en su completado, enviando un ele-mento x ∈M a la clase de equivalencia de la sucesion constante (x). Otra parte delejercicio sera probar que la imagen ϑ(M)⊆ M es densa, cuando a M se le da la to-pologıa como subespacio de ∏M/Mk, donde cada M/Mk tiene la topologıa discretay ∏M/Mk la topologıa producto. Mas aun, ϑ es continua. Note que en general, elnucleo de ϑ : M→ M es

⋂n≥0 Mn.

Ejemplo 6. Ordenando los enteros de Z por divisibilidad, i.e., m n si y solo si m|n,se tiene la filtracion mZ⊇ nZ siempre que m|n, i.e.,

Z= 1Z⊇ ·· · ⊇ mZ⊇ nZ⊇ ·· ·

y los anillos Z/nZ junto con las proyecciones canonicas Z/nZ→ Z/mZ siempreque m|n, forman un sistema inverso cuyo lımite inverso, la completacion de Z, seconoce como el anillo de Prufer

Z := lim←−mZ/mZ.

Ejemplo 7. Si I = pZ⊆ Z, con p un primo, se tiene la filtracion p-adica pnZn≥0de Z, donde notamos que

⋂pnZ = 0 por lo que la topologıa correspondiente es

Hausdorff. La completacion p-adica de Z esta dada considerando los anillos Z/pnZ,para n ∈ N, junto con los morfismos naturales Z/pnZ→ Z/pmZ para n ≥ m, queforman un sistema inverso:

· · · → Z/pm+1Z→ Z/pmZ→ Z/pm−1Z→ ··· → Z/pZ

cuyo lımite inverso, la completacion p-adica de Z, es el anillo de enteros p-adicos:

Zp := lim←−mZ/pmZ.

Ejemplo 8. En general, si I ⊆ A es un ideal, para la filtracion I-adica Inn≥0 delejemplo 1, la completacion A se llama la completacion I-adica de A. El nucleo delmorfismo A→ A de 6.7 es

⋂In por lo que el morfismo anterior es inyectivo si y solo

si la topologıa I-adica de A es Hausdorff.

Ejemplo 9. Si A es cualquier anillo conmutativo y B=A[x1, . . . ,xn] es el anillo de po-linomios en n indeterminadas con coeficientes en A y m= 〈x1, . . . ,xn〉 (ideal de B),entonces la completacion m-adica de B es el anillo de series de potencias formalescon coeficientes en A:

B' A[[x1, . . . ,xn]]

donde recordamos que los elementos de A[[x1, . . . ,xn]] son las expresiones de laforma


f = ∑(ν)

a(ν)xi11 · · ·x

inn

con (ν) = (i1, . . . , in) n-adas ordenadas de enteros ik ≥ 0 y los coeficientes a(ν) ∈ A.Suma y producto de dos series formales se definen en la forma natural de tal maneraque A[[x1, . . . ,xn]] es un anillo conmutativo con uno. Observe que cada polinomiof ∈ A[x1, . . . ,xn] se puede ver como una serie formal (finita) y por lo tanto se tieneninclusiones

A → A[x1, . . . ,xn] → A[[x1, . . . ,xn]].

Para demostrar la afirmacion inicial de que A[x1, . . . ,xn ] ' A[[x1, . . . ,xn]], comen-zamos observando que se tienen los morfismos

A[[x1, . . . ,xn]]→ A[x1, . . . ,xn]/mi = B/mi

que mandan f 7→ f +mi (notando que esta ultima expresion en efecto trunca la serieformal f a (la clase lateral de) un polinomio de grado ≤ i) y ası, por la propiedaduniversal de la completacion (i.e., del lımite inverso B = lim←−B/mi) los morfismosanteriores inducen un unico morfismo

A[[x1, . . . ,xn]]→ B

que manda f 7→ ( f +m, f +m2, f +m3, . . .) ∈ B ⊆ ∏B/mi. Este morfismo tienecomo inverso a la funcion que manda ( f1 +m, f2 +m2, f3 +m3, . . .) ∈ B, con los fipolinomios compatibles, i.e., tales que

fi = f j + terminos de grado > mıni, j,

a la serie de potencias formales f1 +( f2− f1)+( f3− f2)+ · · · , notando que esta esuna serie de potencias formales porque los grados de fi+1− fi son ≥ i+1 y la seriees independiente de la eleccion de los fi en las clases fi +mi.

En 7.27 probaremos que si A es noetheriano, entonces A[[x1, . . . ,xn]] tambien loes, un hecho analogo al teorema de la base de Hilbert y que sera valido en general,i.e., si A es noetheriano entonces su completacion I-adica A tambien sera noetheria-na, como probaremos en 7.26.

Propiedades de exactitud. Si Mi,ϕj

i Λ y Ni,ψj

i Λ son dos sistemas inversos conel mismo conjunto de ındices Λ , un morfismo de sistemas inversos es una familia deA-morfismos fi : Mi → Nii∈Λ tales que los diagramas siguientes conmutan paratodo i≤ j en Λ

M j

f j

ϕj

i // Mi

fi

N jψ

ji

// Ni


Obviamente la identidad idi : Mi→Mii∈Λ es un morfismo de sistemas inversosy la composicion de dos morfismos de sistemas inversos tambien lo es. Si 0 = 0Λ

es el sistema inverso cero, se tienen los morfismos de sistemas inversos obvios 0→Mi y Mi → 0. Supongamos ahora que fi : Mi → Nii∈Λ es un morfismo desistemas inversos. Considerando los diagramas

lim←−Mkp j

||

pi

""M j

f j

ϕj

i

// Mi

fi

N jψ

ji // Ni

lim←−Nk

q j

bb

qi

<<

notamos que como ψj

i ( f j p j) = fi pi, entonces la propiedad universal de lim←−Niimplica la existencia de un unico morfismo f : lim←−Mk → lim←−Nk tal que q j f =f j p j, para toda j ∈Λ .

Note que si fi : Mi → Nii∈Λ y gi : Ni → Pii∈Λ son morfismos de sistemasinversos y f : lim←−Mk→ lim←−Nk, g : lim←−Nk→ lim←−Pk son los morfismos inducidos enlos lımites inversos, entonces g f : lim←−Mk→ lim←−Pk es el morfismo inducido por lacomposicion gi fi : Mi → Pii∈Λ . Claramente el morfismo inducido por la iden-tidad idi : Mi→Mii∈Λ es la identidad id : lim←−Mk→ lim←−Mk. Hemos ası mostradoque el lımite inverso es un funtor covariante.

Ejemplo 10. Si M es un A-modulo con una filtracion Mn y ademas tiene otra fil-tracion M′n, hemos visto que cada filtracion define una topologıa en M tomandocomo base los submodulos de la filtracion correspondiente. Sabemos entonces quepara que las dos filtraciones definan la misma topologıa en M se requiere que paracada Mi exista un M′j tal que M′j ⊆Mi y recıprocamente, i.e., para cada M′k exista unMt tal que Mt ⊆ M′k. Entonces, las completaciones definidas usando sucesiones deCauchy en M son la misma. Para ver lo anterior usando la definicion de completa-cion en terminos de lımites inversos, observemos que la condicion de que para cadaMi exista un M′k ⊆Mi implica que se tienen morfismos

M/Mi→M/M′k

que son compatibles con las proyecciones, es decir, si i ≤ j escogiendo M′k ⊆ Miy M′t ⊆ M j, y escogiendo ` ≥ k, t de tal forma que M′` ⊆ M′t ⊆ M j y M′` ⊆ M′k, loscuadrados siguientes conmutan


M/M j

// M/Mi

M/M′` // M/M′k

por lo que estos morfismos inducen lim←−M/Mk→ lim←−M/M′k, y similarmente para lacondicion de que para cada M′i exista un M j tal que M j ⊆M′i se tienen los diagramascorrespondientes que inducen el morfismo lim←−M/M′k→ lim←−M/Mk. Dejamos comoun ejercicio el probar que estos dos morfismos son inversos uno del otro y por lotanto

lim←−M/Mk ' lim←−M/M′k

por lo que la completacion M solo depende de la topologıa de M.

Una sucesion de sistemas inversos (indexados por Λ )

0→M′i→ Mi→ M′′i → 0

se dice que es exacta si para cada i ∈Λ las sucesiones de modulos

0→M′i →Mi→M′′i → 0

son exactas. Podemos entonces considerar los morfismos inducidos en los lımites:

0→ lim←−M′i → lim←−Mi→ lim←−M′′i → 0

y la proposicion siguiente nos dice lo que podemos esperar sobre la exactitud de estasucesion, donde la primera parte nos dice que el lımite inverso es un funtor exactoizquierdo:

Proposicion 7.8 Si 0→ M′i → Mi → M′′i → 0 es una sucesion exacta desistemas inversos, entonces:

(1) La sucesion0→ lim←−M′i → lim←−Mi→ lim←−M′′i

es exacta.

(2) Si para el sistema inverso M′j,ϕj

i los morfismos ϕj

i : M′j →M′i son suprayec-

tivos (en cuyo caso diremos que M′i ,ϕj

i es un sistema suprayectivo), entonces

0→ lim←−M′i → lim←−Mi→ lim←−M′′i → 0

es exacta.

Demostracion. Defina d′ : ∏M′i →∏M′i mediante d′(xi) =(xi−ϕ

ji (x j)

)de tal for-

ma que lim←−M′k = kerd′. Similarmente defina d : ∏Mi→∏Mi y d′′ : ∏M′′i →∏M′′i .Como el producto directo es un funtor exacto, entonces la sucesion exacta de sis-temas inversos 0→ M′i → Mi → M′′i → 0 induce el diagrama conmutativosiguiente, con renglones exactos,


0 // ∏M′i

d′

// ∏Mi

d

// ∏M′′i

d′′

// 0

0 // ∏M′i // ∏Mi // ∏M′′i // 0

que, por el lema de la serpiente, induce una sucesion exacta de la forma

0→ kerd′→ kerd→ kerd′′ δ−→ Cokerd′→ Cokerd→ Cokerd′′→ 0

lo cual prueba la parte (1). Para probar (2) debemos mostrar que Cokerd′ = 0 o loque es lo mismo, debemos mostrar que d′ : ∏M′i →∏M′i es suprayectivo, i.e., quepara todo (yk) ∈∏M′i existe (xk) ∈∏M′i tal que d′(xk) = (yk), i.e., tal que

(∗) xi−ϕj

i (x j) = yi

para todo i. Observe ahora que como los ϕj

i : M′j M′i son suprayectivos, entonceslas ecuaciones (∗) siempre son solubles, es decir, para xi−yi ∈M′i existe x j ∈M′j tal

que ϕj

i (x j) = xi− yi, como se querıa. ut

Ejemplo 11. Si M es un A-modulo con una filtracion MiΛ y N⊆M es un submodu-lo con la filtracion inducida Ni = N ∩Mi y la filtracion cociente en M/N dada por(M/N)i = (Mi +N)/N, vea el ejemplo 3, entonces

0→N/Ni→ M/Mi→ (M/N)/(M/N)i→ 0

es una sucesion exacta corta de sistemas inversos ya que

(M/Mi)/(N/Ni) = (M/Mi)/(N/(N∩Mi))' (M/Mi)/((Mi +N)/Mi)

'M/(Mi +N)' (M/N)/((Mi +N)/N)

= (M/N)/(M/N)i

y como los morfismos del sistema (M/N)/(M/N)i son suprayectivos, entonces:

Corolario 7.9 Si M es un A-modulo filtrado y N ⊆M es un submodulo con la fil-tracion inducida y M/N la filtracion cociente, entonces se tiene la sucesion exactade completaciones:

0→ N→ M→ M/N→ 0

y por lo tanto M/N ' M/N.ut

En particular, para N = Mi ⊆M, se tiene la sucesion exacta corta

0→ Mi→ M→ M/Mi→ 0


por lo que M es un modulo filtrado por los Mi, y como vimos en el parrafo antes delejemplo 1, M/Mi es discreto y por lo tanto M/Mi = M/Mi y ası la sucesion exactacorta anterior implica:

Corolario 7.10 Si Mi es una filtracion en el A-modulo M, entonces para la fil-tracion Mi de M se tiene que

M/Mi 'M/Mi.ut

Corolario 7.11 Si Mi es una filtracion en el A-modulo M, entonces ˆM ' M.

Demostracion. Por el corolario anterior

ˆM = lim←−M/Mi ' lim←−M/Mi = M.

ut

Si M ' M, se dice que M es completo. Ası, el corolario anterior dice que elcompletado M de un modulo M es completo.

Ejemplo 12. En los ejemplos 6 y 7, para las completaciones Z y Zp, notese que por7.9 se tienen isomorfismos

Z/nZ' Z/nZ.

Ahora, si cada natural n se descompone como producto de primos n = ∏p pnp , en-tonces, por el teorema chino del residuo, se tiene una descomposicion

Z'∏pZp.

Anillos y modulos graduados. Un anillo graduado es un anillo A junto con unafamilia de subgrupos aditivos Ann≥0 tales que A =

⊕An y AmAn ⊆ Am+n, para

todo m,n≥ 0. En particular, A0A0 ⊆ A0 y por lo tanto A0 es un subanillo de A. Si Aes un anillo graduado con graduacion An, un A-modulo graduado es un A-moduloM junto con una familia de subgrupos aditivos Mnn≥0 tales que M =

⊕Mn y

AmMn ⊆ Mm+n, para todo m,n ≥ 0. Si M =⊕

Mn y N =⊕

Nm son A-modulosgraduados, un morfismo de modulos graduados es un A-morfismo f : M → N talque f (Mm) ⊆ Nm, para todo m ≥ 0. Si x ∈ Mn ⊆ M =

⊕Mk, diremos que x es

homogeneo de grado n. Todo elemento x ∈ M se puede escribir como una sumafinita de elementos homogeneos x =∑xn, con xn ∈Mn, y los sumandos homogeneosxn se llaman las componentes homogeneas de x.

Ejemplo 13. Si A = K[x1, . . . ,xn] es el anillo de polinomios sobre un anillo K, en-tonces A es un anillo graduado definidiendo Ak como el conjunto de polinomioshomogeneos de grado k:


f (x1, . . . ,xn) = ∑i1+···+in=k

ai1+···+in xi11 · · ·x

inn .

Ejemplo 14. Si A es un anillo e I ⊆ A es un ideal, entonces

BI(A) = A∗ :=⊕n≥0

In

es un anillo graduado al que se llama el algebra de dilatacion. Notese que comoA = I0 ⊆ BI(A), entonces BI(A) es, en efecto, una A-algebra. Similarmente, si M esun A-modulo con una filtracion Mnn≥0 compatible con I, i.e., tal que IMn ⊆Mn+1,entonces

BI(M) = M∗ =⊕

Mn

es un A∗-modulo graduado ya que ImMn ⊆Mm+n.

Ejemplo 15. Si A es noetheriano e I = 〈a1, . . . ,an〉, en el ejemplo anterior se tieneque

A∗ = A[a1, . . . ,an]

y es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert.

Ejemplo 16. Si A es un anillo e I es un ideal de tal manera que A tiene la filtracionI-adica Inn≥0, sea

grI(A) = gr(A) :=⊕n≥0

In/In+1 = A/I +⊕I/I2⊕ I2/I3⊕·· ·

donde I0 := A. Entonces, grI(A) es un anillo graduado donde la suma es la del grupoaditivo que define la suma directa y para el producto, si am ∈ Im/Im+1 y an ∈ In/In+1

estan representados por am ∈ Im y an ∈ In, entonces el producto aman := aman ∈Im+n/Im+n+1. Se verifica directamente que lo anterior esta bien definido, i.e., nodepende de los representantes y que gr(A) es un anillo conmutativo con uno, alque se conoce como el anillo graduado asociado a A. Similarmente, si M es unA-modulo con una filtracion Mnn≥0 tal que IMn ⊆ Mn+1, el modulo graduadoasociado de M es

grI(M) = gr(M) :=⊕n≥0

Mn/Mn+1

y se prueba facilmente que gr(M) es un gr(A)-modulo.

Lema 7.12 Sean A un anillo noetheriano, M un A-modulo finitamente generado yMn una filtracion de M tal que IMn ⊆Mn+1. Son equivalentes:

(1) M∗ es un A∗-modulo finitamente generado.

(2) Existe n0 ≥ 0 tal que IMn = Mn+1 para todo n≥ n0. (En este caso diremos quela filtracion es I-estable).


Demostracion. Supongamos que M∗ es finitamente generado. Sus generadores estanentonces en los primeros n0 sumandos Mi, para algun n0. Reemplazando estos ge-neradores por sus componentes homogeneas, estas siguen siendo un numero finitoy generan M∗. Esto implica que Mn0 ⊕Mn0+1 · · · esta generado por Mn0 como A∗-modulo y por lo tanto Mi+no = IiMn0 para todo i ≥ 0, i.e., la filtracion es I-estable.Recıprocamente, si Mi+n0 = IiMn0 para algun n0 y todo i≥ 0, entonces M∗ esta ge-nerado por la union de los generadores de los Mi para i ≤ n0 y este es un conjuntofinito ya que cada Mi es finitamente generado porque A es noetheriano y M es fini-tamente generado. ut

Ejemplo 17. La filtracion I-adica de cualquier A-modulo M es estable porqueI(InM) = In+1M.

El lema de Artin-Rees. Sean I A un ideal propio y N ⊆M un submodulo. Si en Mse considera la filtracion I-adica IiMi≥0, se tienen dos filtraciones en N, a saber,la filtracion I-adica IiNi≥0 y la filtracion inducida N∩ IiMi≥0 como submodulodel modulo filtrado M (ejemplo 3). Claramente

IiN ⊆ N∩ IiM

y en general no se tiene la igualdad, pero si A es noetheriano y M es finitamentegenerado, entonces las dos topologıas en N coinciden como una consecuencia dellema de Artin-Rees que a continuacion probaremos.

Teorema 7.13 (Lema de Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-modu-lo finitamente generado, I ⊆ A un ideal y N ⊆M un submodulo. Entonces, existe unentero n0 tal que para todo n > n0 se tiene que

N∩ InM = In−n0(N∩ In0M).

Como la filtracion I-adica IiM es I-estable, por el ejemplo 17, el teorema an-terior se puede formular de manera mas general:

Teorema 7.14 (Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-modulo finita-mente generado, I ⊆ A un ideal y N ⊆M un submodulo. Si Mii≥0 es una filtracionI-estable de M, entonces la filtracion inducida N ∩Mii≥0 en N es I-estable, esdecir, existe un n0 tal que para todo i≥ 0,

N∩Mi+n0 = Ii(N∩Mn0).

Demostracion. Claramente N∗ ⊆ M∗ es un A∗-submodulo y como I es finitamentegenerado, por el ejemplo 15 se sigue que A∗ es finitamente generada como A-algebray por lo tanto A∗ es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert, y como porhipotesis M∗ es I-estable, por el lema 7.12 anterior M∗ es finitamente generado yası N∗ es finitamente generado tambien ya que A∗ es noetheriano. La generacionfinita de N∗ y el lema 7.12 anterior implican que la filtracion N∩Mii≥ es I-estable.

ut


La completacion I-adica. Por el ejemplo 17 la filtracion I-adica de un A-modulocualquiera es I-estable. Por lo tanto, para mostrar que cualesquiera filtraciones I-estables en M definen la misma topologıa basta compararlas con la topologıa I-adica:

Proposicion 7.15 Si Mn es una filtracion I-estable de M, entonces define la mis-ma topologıa en M que la filtracion I-adica InM.

Demostracion. Se tiene que IMn ⊆Mn+1 para todo n y por lo tanto IM = IM0 ⊆M1y ası I2M ⊆ IM1 ⊆ M2 y recursivamente InM ⊆ Mn para todo n. Recıprocamente,como existe un n0 tal que IMn = Mn+1 para todo n≥ n0, entonces IMn0 = Mn0+1 yası I2Mn0 = IMn0+1 = Mn0+2 y recursivamente

Mn+n0 = InMn0 ⊆ InM

es decir, Mn+n0 ⊆ InM para n≥ n0. ut

De la proposicion anterior y del lema de Artin-Rees y en el caso cuando el anilloA es noetheriano se sigue que:

Corolario 7.16 Si A es un anillo noetheriano, I ⊆ A es un ideal, M es un A-modulofinitamente generado y N ⊆ M es un submodulo, entonces las topologıas I-adicade N y la inducida como subespacio topologico de M, donde M tiene la topologıaI-adica, son la misma.

ut

Propiedades de exactitud de la completacion. Como una aplicacion de 7.9 y 7.16obtenemos:

Teorema 7.17 Sea A un anillo noetheriano y sea 0→ M′ → M → M′′ → 0 unasucesion exacta corta de A-modulos finitamente generados. Sea I un ideal de A.Entonces, la sucesion de completaciones I-adicas siguiente es exacta:

0→ M′→ M→ M′′→ 0.

Demostracion. Solo observamos que por 7.16 la topologıa I-adica de M′ es equiva-lente a la topologıa de M′ como subespacio de M con la topologıa I-adica. ut

El morfismo natural A→ A induce una estructura de A-algebra en A y ası paracualquier A-modulo M se tiene el A-modulo A⊗A M y el A-morfismo M→ M induceel A-morfismo siguiente:

A⊗A M→ A⊗A M→ A⊗A M ' M

Corolario 7.18 Si A es noetheriano y M es finitamente generado, el morfismo na-tural anterior A⊗A M→ M es un isomorfismo.

Demostracion. Considere la sucesion exacta corta 0→M′→M′⊕M′′→M′′→ 0 ysea I ⊆ A un ideal. Como A es noetheriano, por 7.17 se tiene la sucesion exacta corta


de completaciones I-adicas 0→ M′→ M′⊕M′′→ M′′→ 0 que se escinde, porquela sucesion original lo hace. M′⊕M′′ ' M′⊕ M′′. Usando lo anterior e induccionse prueba que la completacion I-adica conmuta con sumas directas finitas. Por lotanto, si n ≥ 1, se tiene que A⊗A An ' (A⊗A A)n ' (A)n ' An. Ahora, como M esfinitamente generado, se tiene una sucesion exacta corta de la forma 0→N→ An→M→ 0, que da lugar al diagrama conmutativo siguiente con renglones exactos:

A⊗A N

f

α // A⊗A An

g

β // A⊗A M

h

// 0

0 // Nγ

// Anδ

// M // 0

donde el renglon inferior es exacto por 7.17 ya que A es noetheriano y los modulosson finitamente generados y el renglon superior es exacto porque tensorar es exactoderecho. Como vimos antes, g es un isomorfismo y por lo tanto h es suprayectivopor la conmutatividad del cuadrado de la derecha. Ahora, como A es noetheriano yAn es finitamente generado, entonces N es finitamente generado, y por el argumentoanterior reemplazando M con N se sigue que f es suprayectivo. Finalmente, unacacerıa en el diagrama demuestra que si h(x) = 0, entonces x = 0, i.e. h es inyectivo.

ut

Corolario 7.19 Si A es noetheriano, entonces A es plano como A-modulo.

Demostracion. Por 7.8 (1), el funtor completacion M 7→ M es exacto izquierdo y ası,por el corolario anterior el funtor M 7→ A⊗A M ' M tambien es exacto izquierdo,en la categorıa de modulos finitamente generados y por lo tanto en la categorıa detodos los A-modulos por 2.13. ut

Ejemplo 18. Si A es noetheriano, el anillo de series formales A[[x1, . . . ,xn]] es unA-modulo plano. En efecto, por el ejemplo 9, el anillo A[[x1, . . . ,xn]] es la com-pletacion 〈x1, . . . ,xn〉-adica del anillo de polinomios A[x1, . . . ,xn] y este ultimo esnoetheriano por el teorema de la base de Hilbert y ası el corolario anterior implicaque A[[x1, . . . ,xn]] es un A[x1, . . . ,xn]-modulo plano. Pero, como A[x1, . . . ,xn] es librecomo A-modulo, entonces A[[x1, . . . ,xn]] es plano como A-modulo.

Si M es un A-modulo finitamente generado y A y M tienen la filtracion I-adica,el resultado siguiente identifica el nucleo

⋂InM del morfismo M→ M:

Corolario 7.20 (Teorema de interseccion de Krull) 2 Sean A un anillo noethe-riano, I A un ideal y M un A-modulo finitamente generado con la filtracion I-adica. Entonces, el nucleo ker(M→ M) =

⋂InM esta dado por

N = x ∈M : existe a ∈ A tal que 1−a ∈ I y ax = 0.

Mas aun, si I ⊆ J(A), entonces N = 0 y por lo tanto la topologıa I-adica de M esHausdorff.

2 Vea 4.10 y 4.11.


Demostracion. Para comenzar, si x ∈ N, es decir, si x ∈ M es tal que ax = 0 con1−a ∈ I, entonces

x = (1−a)x = (1−a)2x = · · · ∈∞⋂

n=1

InM = ker(M→ M).

Para la otra inclusion, si x ∈⋂

InM observe primero que como⋂

InM es la inter-seccion de todas las vecindades del 0 ∈M, la topologıa en

⋂InM como subespacio

de M es la trivial, i.e.,⋂

InM es la unica vecindad del 0 ∈⋂

InM. Por 7.16 la topo-logıa inducida en

⋂InM coincide con su topologıa I-adica y como I(

⋂InM) es una

vecindad del 0 en la topologıa I-adica, se debe tener que

(∗) I(⋂

InM)=⋂

InM.

Observe ahora que, como M es finitamente generado y A es noetheriano, entonces⋂InM es finitamente generado y ası de la igualdad (∗) por el ejercicio 1 inciso (1)

del capıtulo 4 (una variacion del lema de Nakayama 4.8) se sigue que existe a−1∈ Ital que a(

⋂InM) = 0, en particular ax = 0 y por lo tanto x ∈ N.

La ultima afirmacion se sigue del hecho de que 1− a ∈ I ⊆ J(A) implica que aes una unidad de A. ut

Un caso particular del corolario anterior es:

Corolario 7.21 Si (A,m) es un anillo noetheriano local y M es un A-modulo finita-mente generado, entonces las topologıas m-adicas de A y M son Hausdorff.

ut

Si S = 1+ I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A y como el nucleodel morfismo de localizacion A→ S−1A esta formado por los elementos de A quetienen S-torsion, i.e., anulados por algun elemento de S, entonces este nucleo es elmismo N del corolario anterior, es decir, los nucleos de los morfismos

A→ S−1A y A→ A

son iguales. Observe ahora que si a ∈ I, entonces la serie

1+a+a2 +a3 + · · ·

converge en A porque la sucesion an converge a cero. Claramente

(1−a)(1+a+a2 +a3 + · · ·) = 1

y ası para todo elemento de S = 1+I su imagen en A es una unidad. Por la propiedaduniversal de S−1A se sigue que existe un morfismo natural S−1A→ A y el corolarioanterior implica que este morfismo es inyectivo y ası S−1A se puede identificar conun subanillo de A.


Noetherianidad de una completacion. El objetivo principal es probar que si A esnoetheriano e I A es un ideal, entonces A es noetheriano. Comenzamos con unaconsecuencia de 7.10:

Corolario 7.22 Si A es un anillo filtrado por Inn≥0 y M es un A-modulo con unafiltracion Mnn≥0 compatible con la de A, i.e., tal que ImMn ⊆Mm+n, sean

gr(A) :=⊕n≥0

In/In+1 y gr(M) :=⊕n≥0

Mn/Mn+1.

(Generalizaciones del ejemplo 16. Es claro que gr(M) es un gr(A)-modulo). Enton-ces, los morfismos canonicos ϕ : A→ A y ϕ : M→ M inducen isomorfismos

gr(A)' gr(A) y gr(M)' gr(M).

Demostracion. El morfismo canonico ϕ : A→ A es el inducido por los epimorfismosqn : A A/In que hacen conmutar los diagramas

A

ϕ

qm

qn

Apm

pn

~~A/In

ϕnm

// A/Im

y por 7.10 se tiene que A/In ' A/In de donde se siguen, como en 4.14, por el lemadel quinto, los isomorfismos In/In+1' In/In+1 y por lo tanto el isomorfismo gr(A)'gr(A). Para M es similar. ut

Proposicion 7.23 Sea f : M → N un A-morfismo de A-modulos filtrados. Si Mes completo, N es Hausdorff y gr( f ) : gr(M)→ gr(N) es suprayectivo, entoncesf (Mn) = Nn para todo n, y N es completo.

Demostracion. Como f es morfismo de modulos filtrados, entonces f (Mn) ⊆ Nnpara todo n. Mostraremos que f (Mn) =Nn. Supongamos que y∈Nn. Para comenzar,probaremos que existe una sucesion xkk≥0 de elementos de Mn tales que

(∗) xk+1 ≡ xk (mod Mn+k) y f (xk)≡ y (mod Nn+k).

Usaremos induccion, comenzando con x0 = 0 ∈Mn notando que f (x0) = f (0) ≡ y(mod Nn) porque y∈Nn. Supongamos que ya se construyo xk. Entonces, f (xk)−y∈Nn+k y como gr( f ) es suprayectivo existe un tk ∈ Mn+k tal que f (tk) ≡ f (xk)− y(mod Nn+k+1). Poniendo xk+1 = xk− tk claramente se cumple (∗). La sucesion xkes de Cauchy y como M es completo, su lımite x = lımxk ∈ M. Ahora, comoobservamos en el parrafo antes del ejemplo 1, Mn es cerrado y como los xk ∈Mn sesigue que x∈Mn y satisface que f (x) = lım f (xk) = y, porque f (xk)−y∈Nn+k para


todo k. Por lo tanto f (Mn) = Nn, como se querıa. En particular, f es suprayectiva.Finalmente, como la topologıa de N es cociente de la topologıa de M, se sigue queM es completo. ut

Corolario 7.24 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-modulo filtrado Haus-dorff. Sean x1, . . . ,xk ∈M y sean n1, . . . ,nk enteros tales que xi ∈Mni . Sea xi la ima-gen de xi en el cociente Mni/Mni+1. Si los xi generan gr(M) como gr(A)-modulo,entonces los xi generan M como A-modulo y M es completo.

Demostracion. Sea E = Ak (la suma directa de k copias de A) y sea En ⊆ E elsubgrupo aditivo formado por las k-adas (a1, . . . ,ak) tales que ai ∈ In−ni . Note que si(a1, . . . ,ak) ∈ En+1, entonces ai ∈ In+1−ni ⊆ In−ni y por lo tanto (a1, . . . ,ak) ∈ En, esdecir, En es una filtracion de E. Claramente la topologıa que induce esta filtracionen E es la topologıa producto de E = Ak. Ahora sea f : E→M el A-morfismo dadopor f (a1, . . . ,ak) = ∑

ki=1 aixi. Es claro que f es un morfismo de modulos filtrados

y como por hipotesis los xi generan gr(M), entonces el morfismo gr( f ) : gr(E)→gr(M) es suprayectivo con E = Ak completo. Por la proposicion 7.23 anterior sesigue que f : E = Ak→M es suprayectivo, los xi generan M y M es completo. ut

Corolario 7.25 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-modulo filtrado Haus-dorff.

(1) Si gr(M) es finitamente generado como gr(A)-modulo, entonces M es finitamentegenerado.

(2) Si gr(M) es noetheriano como gr(A)-modulo, entonces M es noetheriano tam-bien.

Demostracion. La parte (1) es el corolario anterior. Para (2), si N ⊆M es cualquiersubmodulo, al equiparlo con la filtracion inducida de la de M se tiene que gr(N)es un gr(A)-submodulo graduado de gr(M). Como gr(M) es noetheriano, entoncesgr(N) es finitamente generado y ası, por el corolario anterior (o la parte (1)) se sigueque N es finitamente generado y por lo tanto M es noetheriano. ut

Corolario 7.26 Sean I A un ideal. Si A es noetheriano, entonces A tambien lo es.

Demostracion. Por el ejemplo 15, para I = 〈a1, . . . ,am〉 se tiene que gr(A) =A[a1, . . . ,an] es noetheriano, por el teorema de la base de Hilbert. Por 7.22 se tieneque gr(A)' gr(A) y por lo tanto gr(A) es noetheriano. Por el corolario 7.25 anteriorse sigue que A es noetheriano. ut

Corolario 7.27 Si A es noetheriano, entonces A[[x1, . . . ,xn]] tambien lo es.

Demostracion. Por el ejemplo 9, A[[x1, . . . ,xn]] es la completacion 〈x1, . . . ,xn〉-adicadel anillo de polinomios A[x1, . . . ,xn] el cual es noetheriano por el teorema de labase de Hilbert. ut

Localizacion y lımites directos. En esta seccion, que bien pudiera haber ido en elcapıtulo 3, explicamos la afirmacion de que el proceso de completacion es dual del


proceso de localizacion de un modulo. Comenzamos con la nocion dual de la delımite inverso:

Si (Λ ,) es un conjunto dirigido, un sistema directo de A-modulos y A-morfis-mos consiste de una familia de A-modulos Mii∈Λ indexada por Λ y una familiade A-morfismos ϕ i

j : Mi → M j, para cada par de ındices i, j ∈ Λ tal que i j (del((chico al grande))) que satisfacen las condiciones siguientes:

(i) ϕ ii = idMi , para todo i ∈Λ .

(ii) ϕj

k ϕ ij = ϕ i

k, siempre que i j k en Λ .

Consideremos entonces la suma directa⊕

k Mk y los diagramas siguientes, paracada i j: ⊕

Mk

Mi

µi<<

ϕ ij

// M j

µ jbb

donde µn : Mn →⊕

Mk son las inclusiones canonicas en la suma directa en el lu-gar n. En general, estos diagramas no conmutan, ya que dado xi ∈Mi no hay razongenerica para que µ j ϕ i

j(xi) = ϕ ij(x j) sea igual a µi(xi) = xi. Consideremos enton-

ces el submodulo N de⊕

Mk generado por todas las diferencias

µ j ϕij(xi)−µi(xi) = ϕ

ij(xi)− xi

donde i j y xi ∈ Mi y el modulo cociente lim−→Mk :=⊕

Mk/N. Por abuso de no-

tacion, sigamos denotando con µi a la composicion Miµi−→⊕

Mk ⊕

Mk/N =lim−→Mk. Entonces, los triangulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siem-pre que i j en Λ : ⊕

Mk

lim−→Mk

Mi

µi<<

µi

<<

ϕ ij

// M j

µ jbb

µ j

cc

El modulo lim−→Mk se conoce como el lımite directo del sistema Mk,ϕijΛ y la

proposicion siguiente lista sus propiedades mas importantes, en particular su unici-dad justificando el artıculo determinado:

Proposicion 7.28 (Propiedad universal del lımite directo) Si Mk,ϕijΛ es un sis-

tema directo de A-modulos, el modulo lim−→Mk junto con los morfismos µn : Mn →lim−→Mk es tal que siempre que i j en Λ , los triangulos siguientes conmutan


lim−→Mk

Mi

µi<<

ϕ ij

// M j

µ jbb

y si M es cualquier otro A-modulo junto con morfismos qk : Mk → M, para cadak ∈Λ , tales que los triangulos del diagrama siguiente conmutan

M

Miϕ i

j

//

qi

>>

M j

q j

``

entonces existe un unico morfismo ϑ : lim−→Mk→M tales que los triangulos lateralesdel diagrama siguiente conmutan:

M

lim−→Mk

ϑ

OO

Mi

qi

::

ϕ ij

//

µi<<

M j

qi

dd

µ jbb

es decir, ϑ µ j = q j, para toda j ∈Λ .

Demostracion. La primera parte se probo antes del enunciado. Para definir ϑ , sea(xk)∈ lim−→Mk y pongamos ϑ(xk) = ∑qk(xk) (la suma es finita porque xk = 0 exceptopara un numero finito de ındices) y, recordando que lim−→Mk se definio como uncociente de la suma directa, observe que la conmutatividad del segundo diagramadel enunciado implica que ϑ se anula en el submodulo N ⊆

⊕Mk y por lo tanto ϑ

esta bien definida. Ahora, si xi ∈Mi, calculando

ϑ µi(xi) = ϑ(xi +N) = qi(xi)

por lo que ϑ hace conmutar los triangulos laterales. Si γ : lim−→Mk→M es otro mor-fismo tal que γ µ j = q j, para toda j ∈Λ , entonces si (xk+N)∈ lim−→Mk, escribiendoxk +N = µk(xk)+N se tiene que γ(xk +N) = γ(µk(xk)) = qk(xk) = ϑ(xk +N) y porlo tanto γ = ϑ , como se querıa. ut

Corolario 7.29 Si Mk,ϕijΛ es un sistema directo de A-modulos, el modulo lim−→Mk

junto con los morfismos µk : Mk → lim−→Mk es unico, salvo isomorfismo, con la pro-piedad universal de la proposicion anterior.

Demostracion. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. ut

Ejemplo 19. El caso que nos interesa es cuando se tiene un subconjunto multipli-cativo S ⊆ A. Para comenzar, podemos ordenar S por divisibilidad, i.e., si f ,g ∈ S


diremos que f g si y solo si f |g en A, es decir, si g = f r con r ∈ A. Claramenteesta es una relacion reflexiva y transitiva. Ahora, si f ,g ∈ S y f |g, consideremoslos anillos A f y Ag definidos por los subconjuntos multiplicativos S f = f ii≥0 ySg = gii≥0. Como g = f r, se tiene un morfismo de anillos

ρf

g : A f → Ag dado por a/ f k 7→ ark/gk

donde notamos que como gk = f krk entonces a/ f k = ark/ f krk = ark/gk y la defi-nicion anterior no depende del elemento r y claramente es un morfismo de anillos.Se verifica directamente que si f |g y g|h en S, entonces ρ

gh ρ

fg = ρ

fh y ρ

ff = idA f ,

es decir, A f ,ρf

g es un sistema directo de anillos indexado por S.

Proposicion 7.30 Si S⊆ A es un subconjunto multiplicativo, entonces

S−1A' lim−→f∈S

A f .

Demostracion. Si f ∈ S, en el diagrama de morfismos canonicos de localizaciones

Aρ //

ρ f

S−1A

A f

existe un unico morfismo ϕ : A f → S−1A que hace conmutar el diagrama, de he-cho esta dado por ϕ(a/ f ) = a/ f ya que f ∈ S. Ademas, siempre que f |g en S losdiagramas siguientes conmutan

S−1A

A fρ

fg

//

ρ f

==

Ag

ρg

aa

y por lo tanto existe un unico morfismo ρ : lim−→A f → S−1A tal que los diagramassiguientes conmutan

S−1A

lim−→A f

ρ

OO

A fρ

fg

//

µ f<<

ρ f

;;

Ag

µgaa

ρg

cc

despues use la propiedad universal de S−1 para definir un morfismo ϑ : S−1A→lim−→A f y pruebe que ρ ϑ = id y ϑ ρ = id. ut


El lema de Hensel. Si M es un A-modulo e I ⊆ A un ideal, que M sea completo bajola topologıa I-adica quiere decir que el morfismo M→ M es un isomorfismo, dondeM = lim←−M/IkM, y ası, para cada sucesion de Cauchy xn de elementos de M (i.e.,tal que xk− xk+1 ∈ IkM para toda k), existe un lımite

lımxn= x ∈M

i.e., existe un x ∈M tal que x− xk ∈ IkM, para todo k.

Proposicion 7.31 Sean M un A-modulo e I ⊆ A un ideal.

(1) Si A es completo en la topologıa I-adica, entonces I ⊆ J(A).

(2) Si A y M son completos en la topologıa I-adica y a∈ I, entonces la multiplicacionpor 1+a : M→M es un isomorfismo.

Demostracion. (1): Si a ∈ I, entonces la sucesion (−1)nann≥0 es de Cauchy y porlo tanto la serie

∞

∑n=0

(−1)nan = 1−a+a2−a3 + · · ·

converge en A y claramente su lımite es inverso multiplicativo de 1+a, i.e., 1+a ∈A∗ y ası, por 4.7, a ∈ J(A), i.e., I ⊆ J(A).

(2): Como M ' M, entonces M es un A-modulo y como A es completo y a ∈ I,entonces 1+a es una unidad de A (mas bien, la imagen de 1+a en A' A) y por lotanto 1+a : M→M es un isomorfismo. ut

El lema de Hensel que veremos a continuacion tiene, en cierta forma, algunasemejanza con el lema de Gauss 1.3 que nos dice que si A es un DFU, K es su campode fracciones y un polinomio f (x) ∈ A[x] se factoriza en K[x], entonces se factorizaen A[x]. El lema de Hensel nos dice que, si (A,m) es un anillo local completo en latopologıa m-adica y k = A/m, para un polinomio f (x) ∈ A[x], una factorizacion enk[x] se levanta a una factorizacion en A[x]:

Teorema 7.32 (Lema de Hensel) Sea (A,m) un anillo local completo en la topo-logıa m-adica y sea k = A/m su campo residual. Sea f (x) ∈ A[x] monico y seaf (x) ∈ k[x] el polinomio obtenido al reducir los coeficientes de f (x) modulo m. Siexisten polinomios monicos coprimos G(x),H(x)∈ k[x] tales que f = GH, entoncesexisten polinomios monicos g,h ∈ A[x] tales que f = gh y g = G, h = H.

Demostracion. La idea de la demostracion es aproximarse a la factorizacion deseadapor medio de factorizaciones f (x) ≡ gi(x)hi(x) (mod mk[x]) modulo potencias delideal maximo de A, de tal forma que en el lımite se tenga la factorizacion requerida.Pongamos entonces n = gr( f ) = gr( f ), m = gr(G) y n−m = gr(H). Queremosconstruir dos sucesiones de polinomios gi(x) y hi(x) en A[x] tales que:

(i) Los gi y hi sean monicos de grados m y n−m, respectivamente;

(ii) gi+1 ≡ gi (mod mi[x]) y hi+1 ≡ hi (mod mi[x]);


(iii) f (x)≡ gi(x)hi(x) (mod mi[x]),

donde se entiende que las congruencias son coeficiente a coeficiente. Observemosque una vez construidas estas sucesiones ya habremos probado el teorema ya quedefiniendo g(x) y h(x) como los lımites (coeficiente a coeficiente) de los gi(x) yhi(x), respectivamente, notando que estos lımites existen por la condicion (ii) dearriba y estan en A porque este es completo, se tendra entonces que g(x) y h(x) estandefinidos y de hecho tienen coeficientes en A. Mas aun, como cada gi es monico degrado m, entonces g(x) tambien es monico de grado m, y la condicion (ii) de arribaimplica que g(x) ≡ gi(x) (mod mi[x]) y similarmente h(x) ≡ hi(x) (mod mi[x]), yası por (iii), f (x) ≡ g(x)h(x) (mod mi[x]) para toda i ≥ 1 y por lo tanto f (x) =g(x)h(x) como se quiere.

Resta entonces mostrar la existencia de las sucesiones de polinomios gi y hi conlas propiedades (i), (ii) y (iii) anteriores. Para comenzar, escojamos g1,h1 ∈ A[x]tales que g1 = G y h1 = H. Entonces, f = GH = g1h1 y ası f ≡ g1h1 (mod m[x]).

Para construir g2 y h2, como se debe tener que g2(x) ≡ g1(x) (mod m1[x]), en-tonces se debe tener que g2(x) = g1(x)+ r1(x) con r1(x) ∈ m1[x]. Similarmente sedebe tener que h2(x) = h1(x)+s1(x) con s1(x)∈m1[x]. Ası, para mostrar la existen-cia de g2 y h2 debemos mostrar la existencia de r1 y s1 con las propiedades deseadas,i.e., debemos resolver

f (x)≡ g2(x)h2(x) (mod m2[x])

≡ (g1(x)+ r1(x))(h1(x)+ s1(x)) (mod m2[x])

≡ g1(x)h1(x)+ r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x)+ r1(x)s1(x) (mod m2[x])

≡ g1(x)h1(x)+ r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x) (mod m2[x]).

Ahora, como f (x)≡ g1(x)h1(x) (mod m[x]), entonces f (x)−g1(x)h1(x) = t(x)con t(x) ∈ m[x] y ası, substituyendo en la congruencia anterior debemos resolverpara r1 y s1 la congruencia

(∗) t(x)≡ r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x) (mod m2[x]),

donde cada termino t(x), r1(x)h1(x) y s1(x)g1(x) tiene coeficientes en m. Ahora,como por hipotesis g1 y h1 son coprimos en k[x], existen a(x),b(x) ∈ A[x] tales que

a(x)g1(x)+b(x)h1(x)≡ 1 (mod m[x])

y multiplicando ahora esta congruencia por t(x) obtenemos

a(x)t(x)g1(x)+b(x)t(x)h1(x)≡ t(x) (mod m2[x])

y esto resuelve la congruencia (∗) poniendo r1(x) := b(x)t(x) y s1(x) := a(x)t(x);sin embargo, tenemos el problema de que no se tiene control sobre el grado de r1(x)y por lo tanto no podemos garantizar que g1(x) + r1(x) sea monico (y este es elcandidato para g2(x)). Para remediar esto observemos que lo que necesitamos esun polinomio r1(x) que satisfaga que gr(r1) < gr(g1). Ahora, dividiendo r1(x) por


g1(x) obtenemos r1(x) = g1(x)q(x)+ r1(x) con gr(r1) < gr(g1) y poniendo s1 :=s1(x)+h1(x)q(x) se sigue que

r1h1 + s1g1 ≡ (r1−g1q)h1 +(s1 +h1q)g1

= r1h1−g1h1q+ s1g1 +g1h1q

= r1h1 + s1g1

≡ t (mod m2[x]),

la ultima congruencia porque r1 y s1 son soluciones de (∗); se sigue que los po-linomios r1(x) y s1(x) de A[x] tambien son soluciones de la congruencia (∗) peroahora con la condicion de que gr(r1)< gr(g1), por lo que g2(x) := g1(x)+ r1(x) esmonico y tiene grado m = gr(g). Claramente, g2(x)≡ g1(x) (mod m1[x]). Mas aun,poniendo h2(x) := h1(x)+ s1(x) se tiene que h2(x)≡ h1(x) (mod m1[x]) y

g2h2 = (g1 +πr1)(h1 + s1) = g1h1 +g1s1 + r1h1 + r1s1 ≡ g1h1 ≡ f (mod m2[x]),

como se requerıa. Finalmente, como g1 y h1 son coprimos mod m[x], entonces g2 yh2 tambien son coprimos mod m[x]. El argumento anterior se aplica recursivamentecomenzando ahora con g2 y h2 para producir las sucesiones deseadas. ut

Ejemplo 20. Sea p un primo y consideremos el anillo completo de enteros p-adi-cos Zp y el polinomio f (x) = xp−1− 1 ∈ Zp[x]. Entonces, reduciendo coeficientesmodulo pZp y ya que Zp/pZp = Fp, se tiene que f (x) = xp−1− 1 ∈ Fp[x]. Por elteorema pequeno de Fermat el polinomio f (x) se descompone en factores linealessobre Fp y ası, aplicando repetidamente el ejercicio 12, se sigue que f (x) se des-compone en factores lineales sobre Zp. En otras palabras, Zp contiene a las raıces(p−1)-esimas de la unidad.

Anillos henselianos. Un anillo henseliano es un anillo local (A,m) que satisfacela conclusion del lema de Hensel 7.32, es decir, si k = A/m es su campo residual,f (x) ∈ A[x] es monico y f (x) ∈ k[x] es su reduccion, si se tiene una factorizacionf =GH con polinomios monicos coprimos G(x),H(x)∈ k[x], entonces existen poli-nomios monicos g,h ∈ A[x] tales que f = gh y g = G, h = H. Con esta terminologıa7.16 dice que los anillos locales (A,m) completos en la topologıa m-adica, son hen-selianos. La teorıa de anillos henselianos juega un papel importante en la extensiondel teorema de la funcion implıcita a esquemas arbitrarios y por lo tanto tambienesta ligada al estudio geometrico-algebraico de deformacion de singularidades. Enel caso clasico, si A = OV,x0 es el anillo local de un punto x0 de una variedad alge-braica V , entonces el que A sea henseliano quiere decir que el teorema de la funcionimplıcita es valido en x0, es decir, si se tiene una relacion algebraica f (x,y) = 0 conx ∈ V y que satisface que f (x0,y0) = 0 y (∂ f/∂x)(x0,y0) es invertible, entoncesexiste una funcion y = y(x) en una vecindad de x0 tal que y(x0) = y0. Esta seccion yla siguiente son tan solo una introduccion a los aspectos elementales de la teorıa yreferimos al lector a la bibliografıa para tratamientos mas profundos.

Observaciones. Comenzamos con dos observaciones:


(1) Si g,h ∈ A[x] son los polinomios que levantan G,H ∈ k[x] en un anillo hense-liano, entonces g y h son estrictamente coprimos, en A[x], es decir, 〈g,h〉= A[x]. Dehecho, en general si g,h ∈ A[x] son tales que g,h ∈ k[x] son coprimos y g es monico,entonces g y h son estrictamente coprimos en A[x]. En efecto, sea M = A[x]/〈g,h〉.Observe que como f es monico, entonces M es finitamente generado como A-modu-lo, y como 〈g,h〉= k[x], entonces 〈g,h〉+mA[x] = A[x] y ası mM = M. Por el lemade Nakayama se sigue que M = 0, como se querıa.

(2) La factorizacion f = gh en A[x] es unica. En efecto, si f = gh = g′h′, cong,h,g′,h′ monicos tales que g = g′, h = h

′y g,h coprimos, por la observacion (1)

g y h′ son estrictamente coprimos en A[x], i.e., 〈g,h′〉 = A[x] y por lo tanto existenr,s ∈ A[x] tales que gr = h′s = 1. Entonces,

g′ = g′ ·1 = g′gr+g′h′s = g′gr+gghs

y ası g|g′ y como ambos son monicos del mismo grado, deben ser iguales.

Ejemplo 21. Por definicion, anillos locales (A,m) completos en la topologıa m-adi-ca, son henselianos, en particular lo son los campos K. Antes de poder dar masejemplos, necesitaremos dar algunas caracterizaciones de los anillos henselianos ypara esto necesitaremos algunos resultados sobre algebras, que ademas tienen in-teres propio.

Algebras separables. La generalizacion natural del concepto de extension separa-ble finita de campos es la siguiente. Si k es un campo, una k-algebra de tipo finito Aes separable sobre k si A es isomorfa a un producto directo de un numero finito deextensiones finitas separables de campos Li/k de k:

A' Li×·· ·×Ln.

Lema 7.33 Sean k un campo y A una k-algebra conmutativa de tipo finito. Sonequivalentes,

(1) A es isomorfa a un producto directo finito de extensiones finitas de k.

(2) A es reducida, i.e., nilA = 0.

Demostracion. La implicacion (1)⇒ (2) es obvia. Para la otra implicacion, des-componiendo A como un producto directo de un numero finito de k-algebras ines-cindibles (simples) podemos asumir que A es simple. Entonces, sus unicos idempo-tentes son 0 y 1, ya que si e ∈ A es idempotente con e 6= 0,1, entonces se tiene queA'Ae+A(1−e) es una descomposicion no trivial de A ya que e(1−e)= e−e2 = 0.Probaremos ahora que todo 0 6= a ∈ A es invertible y por lo tanto A es un campo,como se quiere. En efecto, como dimk A es finita la cadena de ideales

〈a〉 ⊇ 〈a2〉 ⊇ · · ·

se estaciona y por lo tanto existe un entero n tal que an = an+1b para algun b ∈ A.Iterando esta igualdad se sigue que an = an+ibn para todo i > 0. En particular, an =


a2nbn y ası anbn = a2nb2n = (anbn)2, es decir, anbn es idempotente y por lo tanto setienen dos posibilidades: anbn = 0, y en este caso an = a2nbn = an(anbn) = 0, lo cuales una contradiccion porque a 6= 0 y por hipotesis A no tiene nilpotentes no nulos.Se sigue que anbn = 1 y por lo tanto a(an−1bn) = 1, es decir, a es invertible. ut

Corolario 7.34 Si k es un campo perfecto y A es una k-algebra conmutativa de tipofinito, entonces A es separable si y solo si A es reducida.

Demostracion. Por el lema anterior A es reducida si y solo si A es isomorfa a unproducto directo finito de extensiones finitas de k, y como k es perfecto estas exten-siones finitas son separables. ut

Teorema 7.35 Sean k un campo, ka una cerradura separable de k y A una k-algebrade tipo finito. Pongamos

A := A⊗k ka.

Son equivalentes:

(1) A es separable sobre k.

(2) A es isomorfa a un producto directo finito de copias de ka.

(3) A es reducida.

Demostracion. La ka-algebra A es de tipo finito y las extensiones finitas de ka sonisomorfas a ka y ası el lema anterior dice que (2)⇔ (3).

(1)⇒ (2): Como A ' ∏ni=1 Li con Li/k finita separable, entonces A = A⊗k ka '

∏ni=1 Li⊗k ka y por lo tanto basta demostrar que L⊗k ka ' ∏

mi=1 ka para cualquier

extension finita separable L/k. Ahora, en este caso L' k[x]/〈 f (x)〉 con f ∈ k[x] unpolinomio cuyos factores en ka[x] son distintos, digamos f (x) = (x−a1) · · ·(x−am).Por el teorema chino del residuo se sigue que

L⊗k ka' k[x]/〈 f (x)〉⊗k ka' ka[x]/〈(x−a1) · · ·(x−am)〉'm

∏i=1

ka[x]/〈x−ai〉'm

∏i=1

ka

ya que ka ka[x]/〈x−a j〉 es un extension finita y por lo tanto es un isomorfismo.

(2)⇒ (1): La k-algebra Ared = A/nilA es reducida y de tipo finito sobre k y ası, porel lema 7.33 se tiene que

Ared 'n

∏i=1

Li con las Li/k extensiones finitas.

Ahora, como ka es reducida (es campo), todos los morfismos de k-algebras A→ ka

se factorizan a traves de Ared:

A //

ka

Ared

==


y por lo tanto a traves de los factores Li de Ared:

A //

ka

Li

??

Observe ahora que como [Li : k]< ∞, el numero de inmersions Li→ ka que dejanfijo a k es ≤ [Li : k] y se tiene la igualdad si y solo si Li/k es separable (vea elejercicio 8 del capıtulo 5). Ası,

(1) |Homk(A,ka)| ≤ |Homk(Ared,ka)| ≤n

∑i=1

[Li : k] = dimk Ared ≤ dimk A,

donde se tienen igualdades si y solo si A = Ared y A es separable. Para ver que setiene la igualdad, observemos que se tiene la biyeccion canonica de conjuntos finitos

(2) Homk(A,ka)' Homka(A,ka)

dada enviando un k-morfismo f : A→ ka al ka-morfismo A⊗k ka f⊗id−→ ka⊗k ka µ−→ka, donde µ es el producto natural. La funcion inversa esta dada enviando un ka-morfismo ϕ : A⊗k ka → ka al morfismo A ' A⊗k k id⊗i−→ A⊗k ka ϕ−→ ka, donde i :k → ka es la inclusion.

Finalmente, note que la hipotesis de que A = A⊗k ka '∏ni=1 ka implica que

(3) |Homka(A⊗k ka,ka)|=∣∣Homka

( n

∏i=1

ka,ka)∣∣= dimka(A⊗k ka) = dimk A.

De (1), (2) y (3) se sigue que

dimk A≥n

∑i=1

[Li : k]≥ |Homk(A,ka)|= |Homka(A⊗k ka,ka)|= dimk A

y por lo tanto en (1) se deben tener igualdades y ası

|Homk(A,ka)|=n

∑i=1

[Li : k],

lo cual, como vimos despues de (1), quiere decir que A es separable. ut

Ejemplo 22. Si k no es perfecto y A es una k-algebra de tipo finito, aun cuandonilA = 0 puede suceder que nilA 6= 0. En efecto, como k no es perfecto, cark = p >0. Poniendo entonces

A = k[x]/〈xp−a〉

para cualquier a ∈ k que no sea una p-potencia, es decir, que no este en la imagendel morfismo de Frobenius ϕ : k→ k (el cual no es suprayectivo porque k no es


perfecto). Entonces, xp− a ∈ k[x] es irreducible y por lo tanto 〈xp− a〉 ⊆ k[x] esmaximo y ası A es un campo y ademas [A : k] = p= gr(xp−a). Se sigue que nilA= 0(porque es campo), pero

A = A⊗k ka = k[x]/〈xp−a〉⊗k ka ' ka[x]/〈xp−a〉

y como ka es cerradura algebraica de k, existe α ∈ ka tal que α p = a, y si x es laimagen de x en A, entonces

(x−α)p = xpα

p = xp−a = 0

en A. Por lo tanto, 0 6= x−α ∈ A es nilpotente, i.e., nilA 6= 0.

Teorema 7.36 Sea (A,m) un anillo local. Son equivalentes:

(1) A es henseliano.

(2) Toda A-algebra finita B es un producto directo de anillos locales

B = ∏Bi.

Note que los Bi deben ser necesariamente isomorfos a los anillos Bmi para mi losideales maximos de B.

(3) Si f : A→ B es etale y existe q ∈ SpecB tal que para p = f−1(q) ∈ SpecA setiene que k(p) = k(q), entonces existe una seccion s : B→ A de f , i.e., s f = idA.

(4) Sean f1, . . . , fn ∈ A[x1, . . . ,xn]. Si existe un punto a = (a1, . . . ,an) ∈ kn tal quef i(a) = 0 para todo i = 1, . . . ,n y ademas

det(

∂ f i

∂x j

∣∣∣a

)= 0,

entonces existe un punto b ∈ An tal que b = a y fi(b) = 0 para todo i = 1, . . . ,n.

(5) Sea f ∈ A[x]. Si f se factoriza como f = GH con G monico y G,H coprimos,entonces f se factoriza como f = gh con g monico y g = G, h = H.

Demostracion. ut

Ejercicios

7.1. Para el lector que necesite recordar algunos resultados de analisis, en el contex-to de modulos filtrados Hausdorff, los ejercicios siguientes pueden ser necesarios.Sea M un modulo con una filtracion Mnn∈Z tal que la topologıa correspondientees Hausdorff. Sean xn y yn sucesiones en M. Demuestre que:


(i) Si xn→ ` y xn→ `′, entonces `= `′.

(ii) Si xn→ ` y yn→ `′, entonces xn + yn→ `+ `′ y xnyn→ ``′.

(iii) Si xn es una sucesion convergente, entonces es de Cauchy.

7.2. Si A es un anillo, I ⊆ A un ideal y M un A-modulo completo en la topo-logıa I-adica, demuestre que una sucesion xn en M es de Cauchy si y solo silımn→∞(xn+1− xn) = 0.

7.3. Si N ⊆ M es un submodulo y M es filtrado, demuestre que en las topologıasinducidas, la cerradura de N es N =

⋂i(N +Mi).

7.4. Si M es un A-modulo con una filtracion Mi, entonces en la topologıa inducidapor la filtracion cada M/Mi es discreto y si ∏i M/Mi tiene la topologıa producto yM = lim←−M/Mi ⊆∏i M/Mi tiene la topologıa como subespacio, entonces el morfis-mo natural ρ : M→ M es continuo y ρ(M) es denso en M.

7.5. Si A es un anillo noetheriano, I,J son ideales de A y A es completo para lastopologıas I-adica y J-adica, demuestre que A es completo para la topologıa (I+J)-adica.

7.6. Si A es un anillo noetheriano, I ⊇ J son ideales de A y A es completo para latopologıa I-adica, demuestre que A es completo para la topologıa J-adica.

7.7. (Chevalley). Si (A,m) es un anillo noetheriano local completo e I1 ⊇ I2 ⊇ ·· ·es una cadena de ideales de A tales que

⋂I j = 0, demuestre que para cada n existe

un entero ν(n) tal que Iν(n) ⊆ mn. Es decir, la topologıa lineal definida por I j j≥1es mas fuerte que la topologıa m-adica.

7.8. Si A es un anillo noetheriano y p∈Ass(A), demuestre que existe un entero n> 0tal que p ∈ Ass(A/I) para todo ideal I ⊆ pn. Sugerencia: Considere la localizacionen p.

7.9. Si A es un anillo semilocal con ideales maximos m1, . . . ,mn y J(A) =m1 · · ·mn(vea el ejercicio 23 del capıtulo 4), demuestre que la completacion J(A)-adica Ade A se descompone como un producto directo A ' A1× ·· · × An, donde Ai es lacompletacion de Ami .

7.10. Si (A,m) es un anillo noetheriano local completo, demuestre que para todoideal propio I A, el cociente A/I es un anillo noetheriano local completo.

7.11. Demuestre que un anillo artiniano local (A,m) es completo. Sugerencia: Por4.29 y 4.31 existe un entero n > 0 tal que mn = 0.

7.12. Sea (A,m) un anillo local completo en la topologıa m-adica y sea k = A/m sucampo residual. Si f (x) ∈ A[x] es un polinomio (monico) y a ∈ A son tales que parasus reducciones modulo m se tiene que f (a) = 0 en k y ademas, para la derivada f ′

de f se tiene que f ′(a) 6= 0, i.e., a es raız simple de f (x), demuestre que existe unα ∈ A tal que f (α) = 0 y α = a.


7.13. Si f ∈ A, defina S′f = g ∈ A : g divide algun f k ∈ S f . Demuestre que:

(i) S′f es un subconjunto multiplicativo.

(ii) A f ' S′f−1A.

(iii) g ∈ S′f si y solo si S′g ⊆ S′f .

7.14. Si A es noetheriano, M es un A-modulo, I ⊆ A es un ideal y consideramoscompletaciones I-adicas, demuestre que si identificamos la completacion de unsubmodulo N de M con un submodulo N de M (recordando que la completaciones un funtor exacto izquierdo), demuestre que:

(i) Si N ⊆M, entonces N = AN.

(ii) N1 + N2 = (N1 +N2).

(iii) N1∩ N2 = (N1∩N2).

Sugerencia: Use que A es plano.

7.15. Si A es noetheriano e I ⊆ A es un ideal, demuestre que las afirmaciones si-guientes son equivalentes:

(i) I ⊆ J(A), donde J(A) es el radical de Jacobson de A.

(ii) Todo A-modulo finitamente generado es Hausdorff en la topologıa I-adica.

(iii) Todo submodulo de un A-modulo finitamente generado es cerrado en la topo-logıa I-adica.

7.16. Si f = a0 +a1x+a2x2 + · · · ∈ A[[x]], demuestre que f es una unidad si y solosi a0 ∈ A∗. En general, f = ∑(ν) a(ν)x

i11 · · ·xin

n ∈ A[[x1, . . . ,xn]] es una unidad si y solosi su termino constante a0 = a(0) es una unidad de A.

7.17. Usando el ejercicio anterior, concluya que si f ∈ 〈x1, . . . ,xn〉, entonces paratodo g ∈ A[[x1, . . . ,xn]], 1+ f g es una unidad y por lo tanto f ∈

√A[[x−1, . . . ,xn]],

es decir, 〈x1, . . . ,xn〉 ⊆√

A[[x−1, . . . ,xn]].

7.18. Si K es un campo, demuestre que K[[x1, . . . ,xn]] es un anillo local con idealmaximo 〈x1, . . . ,xn〉.

7.19. Si A es un dominio entero, demuestre que A[[x]] tambien lo es.

7.20. Si K es un dominio entero, demuestre que el campo de fracciones de K[[x]],denotado K((x)) es el campo de series de Laurent formales, es decir, series formalesde la forma

f (x) = ∑n≥n0

anxn

con n0 ∈ Z y an ∈ K.


7.21. Si p ∈ Z es un primo, demuestre que

Zp ' lim−→pZ p−→ Z p−→ Z p−→ ·· ·,

donde en el lımite directo se tienen multiplicaciones iteradas por p.

7.22. Demuestre que todo A-modulo M es lımite directo de sus submodulos finita-mente generados.

7.23. Si Mk,ϕkj Γ es un sistema directo de A-modulos y cada Mk es A-plano, de-

muestre que lim−→kMk es A-plano. Concluya que si todos los submodulos finitamente

generados de un A-modulo M son A-planos, entonces M es A-plano.

7.24. Si A es un dominio entero, demuestre que su campo de cocientes Q es A-plano.Sugerencia: demuestre que el campo de cocientes Q es lımite directo de A-moduloscıclicos, cada uno de ellos isomorfo al anillo A.

7.25. Sean A un anillo noetheriano e I A un ideal. Si grI(A) es un dominio entero,demuestre que A tambien lo es. Sugerencia: suponga que a,b∈ A son tales que ab =0. Para x ∈ A sea n≥ 0 el mayor entero tal que x ∈ In y defina x ∈ In/In+1 ⊆ grI(A)como la clase lateral de x. Observe que x = 0 si x ∈

⋂In.

7.26. SeaM0

f0←−M1f1←−M2

f2←− ·· · ←−Mnfn←−Mn+1←− ·· ·

un sistema inverso de A-modulos indexado por los enteros no negativos. Se diceque el sistema inverso Mnn≥0 satisface la condicion de Mittag-Lefler si para cadaentero n≥ 0 existe un entero k(n)≥ n tal que

Im(

f mn : Mm→Mn

)= Im

(f k(n)n : Mk(n)→Mn

)para todo m≥ k(n). Dicho de otra forma, la imagen de Mm se estabiliza para m su-ficientemente grande. Por ejemplo, si el sistema Mnn≥0 es suprayectivo, es decir,los morfismos fn : Mn+1→Mn son suprayectivos (vea 7.8(2)), entonces claramentesatisface la condicion de Mittag-Lefler.

Si Mnn≥0 satisface la condicion de Mittag-Lefler y d : ∏Mn→∏Mn es el mor-fismo d(xi)= (xi− f j

i (x j)) (vea la demostracion de 7.8), demuestre que Cokerd = 0.En terminos de funtores derivados, se esta pidiendo probar que el primer funtor de-rivado del lımite inverso es cero:

lim←−1Mn= 0.

Sugerencia: Muestre que puede suponerse que la funcion k(n) es monotona crecien-te.

7.27. Si (A,m) es un anillo local, demuestre que:

(A,m) es local.A es regular si y solo si A es regular.dimA = dim A.

Capıtulo 8Derivaciones y diferenciales de Kahler

Sean k un anillo conmutativo, A una k-algebra y M un k-modulo. Una k-derivacion de A en M, es una funcion k-lineal D : A→ M que satisface la reglade Leibniz:

D(ab) = aDb+bDa.

Observemos, para comenzar, que D(1) = 0 (lo cual se sigue del hecho de que1 = 1 · 1 y la regla de Leibniz) y como D es k-lineal, entonces para todo c ∈ k setiene que D(c) = D(c ·1) = cD(1) = 0.

Por induccion se prueba directamente que, para todo entero n≥ 1 y todo a ∈ A,

D(an) = nan−1D(a).

Tambien, si b ∈ A es invertible, entonces

D(b−1) =−b−2D(b),

lo cual se sigue de: bb−1 = 1 y de D(1) = 0. Como consecuencia se tiene la regladel cociente: si a,b ∈ A con b invertible, entonces

D(ab−1) = b−2(bDa−aDb).

Denotaremos al conjunto de k-derivaciones de A en M mediante

Derk(A,M).

Ejemplo 1. Si k es un anillo conmutativo y A una k-algebra, consideremos el pro-ducto tensorial A⊗k A como A-modulo mediante la accion a · (x⊗ y) := ax⊗ y. Setiene el morfismo de k-algebras ε : A⊗k A→ A definido por ε(x⊗ y) = xy; sea I sunucleo; se define entonces

ΩA/k := I/I2,

y notamos que ΩA/k es un A-modulo mediante la accion dada por

189

190 8 Derivaciones y diferenciales de Kahler

a · (x⊗ y (mod I2)) := ax⊗ y (mod I2).

Finalmente, se tiene una derivacion d : A→ΩA/k definida mediante

d(a) := 1⊗a−a⊗1 (mod I2),

donde para esto observamos que 1⊗ a− a⊗ 1 esta en I = ker(ε) y claramente des una k-derivacion. Al A-modulo ΩA/k, junto con la derivacion d, se le llama elmodulo de diferenciales de Kahler de A sobre k. La importancia de este ejemploesta en el siguiente teorema:

Teorema 8.1 Sean k un anillo conmutativo y A una k-algebra. El par (ΩA/k,d)tiene la propiedad universal siguiente: para todo A-modulo M y toda k-derivacionD : A→M existe una unica aplicacion A-lineal f : ΩA/k→M tal que D = f d:

A d //

D

ΩA/k

fM

y consecuentemente se tiene un isomorfismo natural de A-modulos

Derk(A,M)' HomA(ΩA/k,M).

Demostracion. (Unicidad). Observamos primero que si x⊗ y ∈ A⊗k A, entonces lopodemos escribir como

x⊗ y = xy⊗1+ x(1⊗ y− y⊗1) = ε(x⊗ y)⊗1+ x(1⊗ y− y⊗1)

de tal forma que si ∑xi⊗ yi ∈ I = ker(ε), entonces ∑xi⊗ yi = ∑xi(1⊗ yi− yi⊗1)y por lo tanto todo elemento ∑xi⊗ yi de ΩA/k = I/I2 tiene la forma ∑xidyi ya quedyi = 1⊗ yi− yi⊗ 1 (mod I2). Se sigue que ΩA/k = I/I2 esta generado, como A-modulo, por el conjunto dy : y ∈ A, lo cual implica la unicidad de f .

(Existencia). Sea T = AnM la extension trivial de A por M, i.e., como A-modulosT = A⊕M con el producto dado por (a,x) · (a′,x′) := (aa′,ax′+a′x). Ası, T es unaA-algebra. En el caso particular cuando M = ΩA/k veamos quien es AnΩA/k: paracomenzar, observemos que se tiene una sucesion exacta que se escinde:

0→ Ai1−→ A⊗k A ε−→ A→ 0

donde i1(a) = a⊗1 y ε(x⊗y) = xy; la sucesion la escinde el morfismo i2(b) = 1⊗bya que claramente εi1 = εi2 = idA. Se sigue que

A⊗k A' i1(A)⊕ker(ε) = i1(A)⊕ I

y por lo tanto(A⊗k A)/I2 ' ρi1(A)⊕ΩA/k

8 Derivaciones y diferenciales de Kahler 191

como A-modulos, donde ρ : A⊗k A → (A⊗k A)/I2 es el epimorfismo canonico.Observamos ahora que ρi1(A)' A, por lo que

(A⊗k A)/I2 ' A⊕ΩA/k

como A-modulos y consecuentemente

(A⊗k A)/I2 ' AnΩA/k.

Regresando al caso general, T = AnM, se tiene un morfismo de A-algebras

φ : A⊗k A→ AnM

dado por x⊗y 7→ (xy,xDy) donde observamos que φ(I)⊆M ya que I = ker(ε) conε(x⊗y)= xy; ademas, como M = 0nM⊆AnM, entonces (0,x) ·(0,x′)= (0,0) porlo que M2 = 0 y consecuentemente φ(I2) = 0; se sigue que φ induce un morfismode A-algebras

φ : (A⊗k A)/I2 −→ AnM

que manda dy ∈ΩA/k = I/I2 ⊆ A⊗k A/I2 en

φ(dy) = φ(1⊗ y− y⊗1) = φ(1⊗ y)−φ(y⊗1)= (y,Dy)− (y,yD(1)) = (y,Dy)− (y,0)= (0,Dy).

Se sigue que la restriccion de φ a ΩA/k = I/I2⊆ (A⊗k A)/I2 manda a dy a (0,Dy)y por lo tanto si definimos f como la composicion

f : ΩA/k = (0,ΩA/k)⊆ AnΩA/k = (A⊗k A)/I2 φ−→M = (0,M)⊆ AnM

se tiene que si a ∈ A entonces

f d(a) = φ(da) = φ(1⊗a−a⊗1 (mod I2)

= φ(1⊗a)−φ(a⊗1) = (a,Da)− (a,0)= (0,Da) = Da,

i.e., f d = D, que es lo que se deseaba. ut

El resultado siguiente es un analogo de la regla de la cadena y lo usaremos repe-tidamente:

Lema 8.2 Sea K/k una extension de campos y sea d ∈ Derk(K,K) ' ΩK/k unaderivacion. Sean a ∈ K y f (x) ∈ k[x]⊆ K[x]. Entonces

d( f (a)) = f ′(a) d(a),

donde f ′(x) es la derivada usual del polinomio f (x).


En general, si f (x1, . . . ,xn) ∈ k[x1, . . . ,xn] y a1, . . . ,an ∈ K, entonces

d( f (a1, . . . ,an)) =n

∑i=1

∂ f∂xi

(a1, . . . ,an) d(ai),

donde ∂ f/∂xi es la derivada parcial i-esima del polinomio f (x1, . . . ,xn).

Demostracion. Si f (x) = ∑αixi con los αi ∈ k, entonces

d( f (a)) = d(∑αiai)= ∑αid(ai) = ∑αi iai−1d(a) = f ′(a)d(a).

La segunda parte se prueba similarmente: si f = ∑I

αIxi11 · · ·x

inn , donde I =

(i1, . . . , in) y los αI ∈ k, usando repetidamente la regla de Leibniz se prueba que

d( f (a1, . . . ,an)) =n

∑j=1

∑I

i jαIai11 · · ·a

i j−1j−1a

i j−1j d(a j)a

i j+1j+1 · · ·a

inn

=n

∑j=1

∂ f∂xi

(a1, . . . ,an)d(a j).

ut

Ejemplo 2. Sea k un anillo conmutativo y A una k-algebra generada por un conjuntoαi sobre k. Entonces ΩA/k esta generado por el conjunto dαi como A-modulo.En efecto, si a ∈ A, entonces existen α1, . . . ,αn y un polinomio f ∈ k[x1, . . . ,xn] talque a = f (α1, . . . ,αn) y ası, del lema anterior se sigue que

da =n

∑i=1

fi(α1, . . . ,αn)dαi

donde fi = ∂/∂Xi.

Ejemplo 3. Sean k un campo y K/k una extension algebraica separable. Entonces,ΩK/k = 0. En efecto, por la algebricidad y separabilidad de la extension K/k, paracada a ∈ K existe un polinomio f (x) ∈ k[x] tal que f (a) = 0 y f ′(a) 6= 0. Por lotanto, si d ∈ Derk(K,K)'ΩK/k es una derivacion, por el lema anterior

0 = d(0) = d( f (a)) = f ′(a)da

con f ′(a) 6= 0. Se sigue que da = 0 para cada a ∈ K, y como ΩK/k esta generadopor los da entonces ΩK/k = 0.

Ejemplo 4. Como un caso particular del ejemplo 2, si A = k[xi] = k[. . . ,xi, . . .] esel algebra de polinomios en las indeterminadas xi, entonces ΩA/k es un A-modulolibre con base dxi. En efecto, por el ejemplo 2 ya sabemos que dxi genera aΩA/k. Ahora, si ∑ j f jdx j = 0 con f j ∈A= k[. . . ,xi, . . .], sea ∂/∂xi la derivada parcial


i-esima. Entonces ∂/∂xi ∈ Derk(A) := Derk(A,A) y ası por la propiedad universalexiste una aplicacion lineal f : ΩA/k→ A tal que

f (dx j) =∂x j

∂xi= δi j

(la delta de Kronecker). Aplicando f a la combinacion lineal ∑ j f jdx j = 0 obtene-mos

0 = f(∑

jf jdx j

)= ∑

jf j f (dx j) = ∑

jf jδi j = f j

y ası f j = 0, y como j es arbitrario, entonces f j = 0 para toda j y por lo tanto dxies linealmente independiente sobre A.

Ejemplo 5. Si K = k(x1, . . . ,xn) es el campo de funciones racionales en n variablessobre el campo k, entonces ΩK/k es un K-espacio vectorial de dimension n con base∂/∂xi, 1 ≤ i ≤ n. En efecto, el ejemplo 4 anterior muestra que las parciales ∂/∂xiforman una base de Ωk[x1,...,xn]/k. Una aplicacion de la regla del cociente muestraque las parciales ∂/∂xi forman una base de Ωk(x1,...,xn)/k. Note que grtrk K = n =dimK ΩK/k. Regresaremos a esta igualdad en 8.7 y 8.16 (2).

Las sucesiones fundamentales. A continuacion probamos algunas propiedades delmodulo de diferenciales de Kahler ΩA/k que nos seran de utilidad mas adelante.

Teorema 8.3 (Primera sucesion fundamental) Si kφ−→ K

ψ−→ L son morfismosde anillos, entonces existe una sucesion exacta de L-modulos

L⊗K ΩK/kf−→ΩL/k

g−→ΩL/K → 0

donde g(dL/kz) = dL/Kz y f (x⊗dK/ky) = xdL/kψ(y). Mas aun, la aplicacion f tieneinversa izquierda, i.e., f es inyectiva, si y solo si cualquier k-derivacion de K en unL-modulo T se puede extender a una k-derivacion de L en T .

Demostracion. Claramente g es suprayectivo. Ahora, si x⊗dK/ky ∈ L⊗K ΩK/k en-tonces

g f (x⊗dy) = g(xdψ(y)) = xdψ(y) = 0

porque y ∈ K implica dL/Kψ(y) = 0 por K-linealidad. Se sigue que g f = 0. Paraprobar que ker(g)⊆ Im( f ) es suficiente mostrar que la sucesion

HomL(L⊗K ΩK/k,T )f ∗←− HomL(ΩL/k,T )

g∗←− HomL(ΩL/K ,T )

es exacta para todo L-modulo T (en nuestro caso se toma T = Coker( f )). Pero, paraesta sucesion de Hom’s recordemos que se tienen isomorfismos canonicos (2.12):


HomL(L⊗K ΩK/k,T )' HomK(ΩK/k,HomL(L,T ))

' HomK(ΩK/k,T )

' Derk(K,T )

y tambien HomL(ΩL/k,T )'Derk(L,T ) y HomL(ΩL/K ,T )'DerK(L,T ), de tal for-ma que la sucesion de Hom’s anterior se puede identificar con la sucesion

Derk(K,T )f ∗←− Derk(L,T )

g∗←− DerK(L,T )

donde observamos que el morfismo f ∗ es precisamente f ∗(D) = D ψ . Clara-mente esta ultima sucesion es exacta. Finalmente, recordamos que un morfis-mo f : M′ → M tiene inverso izquierdo si y solo si el morfismo inducido f ∗ :HomL(M′,T )→ HomL(M,T ) es suprayectivo para todo L-modulo T . Ası, el mor-fismo f : L⊗K ΩK/k → ΩL/k tiene inverso izquierdo si y solo si el morfismof ∗ : Derk(L,T )→ Derk(K,T ) es suprayectivo para todo L-modulo T . ut

Corolario 8.4 El morfismo f : L⊗K ΩK/k → ΩL/k es un isomorfismo si y solo sipara todo L-modulo T , toda k-derivacion K→ T se puede extender en forma unicaa una derivacion L→ T .

Demostracion. Por el teorema anterior el morfismo f es inyectivo si y solo si todak-derivacion K→ T se puede extender a una derivacion L→ T y el morfismo h talque h f = id es inyectivo si y solo si la extension es unica. ut

Regresando ahora a la situacion kφ−→K

ψ−→ L del teorema anterior, supongamosademas que ψ es un epimorfismo; entonces ΩL/K = 0 (ya que en general dz = 0siempre que z este en la imagen de ψ , por K-linealidad), pero la primera sucesionexacta se puede extender hacia la izquierda como sigue:

Teorema 8.5 (Segunda sucesion fundamental) Sean kφ−→ K

ψ−→ L morfismos dek-algebras con ψ suprayectivo. Sea J = ker(ψ)⊆ K. Entonces, existe una sucesionexacta de L-modulos

J/J2 d−→ L⊗K ΩK/kDψ−→ΩL/k→ 0

donde d : z 7→ 1⊗dz y Dψ : x⊗dy 7→ xdψ(y).

Demostracion. Observemos primero que d manda J2 en 0 (de tal forma que el mor-fismo d de la sucesion del teorema esta bien definido en J/J2) ya que d : J →L⊗K ΩK/k dado por z 7→ 1⊗ dK/kz esta a su vez dado por la restriccion a J dela derivacion universal d : K → ΩK/k; ası, si z ∈ K y x ∈ J entonces por la reglade Leibniz d(zx) = zdx+ xdz se tiene que d induce una aplicacion K-lineal J →(ΩK/k)/(JΩK/k) ' L⊗K ΩK/k (para el isomorfismo, vea el ejercicio 9 del capıtulo2 y use que L' K/J). Se sigue que si z,x ∈ J entonces d(zx) = zdx+ xdz ∈ JΩK/k,i.e., d(zx) = 0 en el cociente y por lo tanto d(J2) = 0 y ası induce la aplicacion deL-modulos


d : J/J2 −→ L⊗K ΩK/k

del enunciado del teorema. Para probar la exactitud de la sucesion del teorema,observemos primero que Dψ dada por Dψ(x⊗dK/ky) := xdL/kψ(y) es suprayectivoya que ψ : K→ L lo es.

Mas aun, la composicion Dψ d = 0 ya que si x ∈ J ⊆ K entonces

Dψ d(x) = Dψ(1⊗dK/kx) = 1 ·dL/kψ(x) = dL/kψ(x) = dL/k(0) = 0

ya que x ∈ J = ker(ψ). Falta mostrar que ker(Dψ) ⊆ Im(d) y, como en el teoremaanterior, es suficiente probar que la sucesion siguiente es exacta

HomL(J/J2,T ) d∗←− HomL(L⊗K ΩK/k,T )Dψ∗←− HomL(ΩL/K ,T )

para cualquier L-modulo T . De nuevo, esta sucesion la podemos reescribir como

HomK(J,T )d∗←− Derk(K,T )

Dψ∗←− Derk(K/J,T )

donde d∗ : δ 7→ δ |J , y esta ultima sucesion es obviamente exacta. ut

Diferenciales y extensiones de campos. Sea k → K una extension de campos. Co-mo ΩK/k es un K-espacio vectorial nos interesa particularmente el caso cuando esde dimension finita. A continuacion consideraremos primero el caso cuando la ex-tension K/k es finitamente generada y separable y en este caso probaremos en 8.7que dimK ΩK/k = grtr(K/k) es el grado de trascendencia de la extension K/k (vea elejemplo 5). Mas adelante se generaliza el concepto de extension separable y el co-rolario 8.7 se generaliza en 8.15 y 8.16. Comenzanos relacionando la propiedad deseparabilidad de una extension K/k con el espacio vectorial de diferenciales ΩK/kasociado.

Teorema 8.6 Si L/K es una extension algebraica separable, entonces para cual-quier subcampo k ⊆ K, cada k-derivacion de K se extiende en forma unica a unak-derivacion de L. Mas aun, para cada subcampo k ⊆ K se tiene que

ΩL/k ' L⊗K ΩK/k.

Demostracion. Unicidad. Si d1,d2 ∈ΩL/k son dos extensiones de d ∈ΩK/k, enton-ces d1|K = d = d2|K y por lo tanto d1− d2 ∈ ΩL/K , pero como L/K es algebraicaseparable, por el ejemplo 3 despues de 8.2 se tiene que ΩL/K = 0 y ası d1 = d2.

Existencia. Dada una derivacion d ∈Derk(K,K) = ΩK/k mostraremos que se puedeextender a una derivacion D ∈ Derk(L,L) = ΩL/k. Para esto, consideremos primerouna subextension L′/K finita de L/K (separable, por hipotesis); entonces, por elteorema del elemento primitivo podemos escribir L′ = K(α) para algun elementoseparable α ∈ L′. Sea m(x) = Irr(α,K) =∑aixi su polinomio mınimo. Para extenderd a una derivacion D ∈ Derk(L′,L′) definimos primero D(α) mediante:


D(α) :=−∑d(ai)αi

m′(α),

donde m′(x) es la derivada usual del polinomio m(x). Para definir D : L′ → L′ engeneral, dado cualquier β ∈ L′ = K(α) escribimos β = f (α) para algun polinomiof (x) = ∑bixi ∈ K[x]; se define entonces

D(β ) = D( f (α)) := f ′(α)D(α)+∑d(bi)αi.

Un calculo directo, pero tedioso, muestra que D es una k-derivacion de L′ = K(α).Notese que si β ∈ K entonces f (x) ∈ K[x] es el polinomio constante β y por lotanto f ′(x) = 0 y ası D(β ) = d(β ), i.e., D extiende a d. Observemos tambien queeste levantamiento de d a D : K(α)→ K(α) es unico por la primera parte de lademostracion. Denotemos este levantamiento como Dα .

Ahora, si α,β ∈ L y K(α)/K, K(β )/K son las extensiones (separables) finitascorrespondientes, consideremos las extensiones Dα y Dβ de la k-derivacion d : K→K, a K(α) y K(β ) respectivamente; entonces como la extension K(α,β ) de K(α)y K(β ) es separable, existe un γ ∈ L tal que K(α,β ) = K(γ) y la derivacion Dγ

de K(γ) es tal que Dγ |K(α) = Dα y Dγ |K(β ) = Dβ . Tiene sentido entonces definirD : L→ L mediante D(θ) = Dθ (θ) para cualquier θ ∈ L.

Para terminar, en la primera sucesion fundamental asociada a k → K → L:

0→ L⊗K ΩK/kf−→ΩL/k −→ΩL/K → 0

el morfismo f es inyectivo por lo que probamos en la primera parte del teoremay por la segunda parte de 8.3. Mas aun, como L/K es separable algebraica, por elejemplo 3 despues del lema 8.2 se tiene que ΩL/K = 0 en la sucesion exacta anteriory por lo tanto ΩL/k ' L⊗K ΩK/k. ut

Corolario 8.7 Si K/k es una extension separable finitamente generada, entonces

dimK ΩK/k = grtrk K.

Demostracion. Sea α1, . . . ,αn una base trascendente de K/k. Entonces, la subex-tension K/k(α1, . . . ,αn) es algebraica, y es separable porque esta contenida en laextension separable K/k. Por el teorema 8.6 anterior

ΩK/k = K⊗k(α1,...,αn) Ωk(α1,...,αn)/k.

Consideremos entonces las k-derivaciones

Di =∂

∂αi: k(α1, . . . ,αn)→ k(α1, . . . ,αn)

tales que Di(α j) = δi j (la delta de Kronecker), y como K/k(α1, . . . ,αn) es algebrai-ca separable, entonces por el mismo teorema 8.6 las derivaciones Di se extiendena derivaciones unicas Di : K → K. Ahora, como Di(α j) = Di(α j) = δi j, entonces


las diferenciales dα1, . . . ,dαn de ΩK/k son linealmente independientes, y como yasabemos que generan, entonces son una base.

Recıprocamente, supongamos que dα1, . . . ,dαn es una base de ΩK/k. Mostra-remos que α1, . . . ,αn son trascendentes algebraicamente independientes sobre k.En efecto si existiera un polinomio 0 6= f ∈ k[x1, . . . ,xn] tal que f (α1, . . . ,αn) = 0,escojamos una tal relacion de grado menor; sin perder generalidad podemos suponerque x1 aparece en f (de tal forma que α1 es algebraicamente dependiente de losotros α j); entonces, f1 := ∂/∂x1 es 6= 0 y de grado menor que f ; se sigue quef1(α1, . . . ,αn) 6= 0. Ahora, como 0 = f (α1, . . . ,αn), entonces

0 = d f = ∑ fi(α1, . . . ,αn)dαi,

con fi := ∂ f/∂xi y f1(α1, . . . ,αn) 6= 0. Se sigue que los dα1, . . . ,dαn son lineal-mente dependientes, en contradiccion con la hipotesis. ut

Extensiones separablemente generadas. Para poder extender el teorema anteriory su corolario se requiere primero generalizar la definicion de separabilidad de unaextension de campos al caso cuando la extension no es algebraica.

Una extension K/k se dice que es separablemente generada si existe una basetrascendente αi de K sobre k tal que la subextension K/k(αi) es algebraicaseparable. Una extension K/k se llama separable si para todo campo intermedioK ⊇ K′ ⊇ k con K′/K finitamente generada, se tiene que K′/k es separablementegenerada.

Observacion. En caracterıstica 0 toda extension K/k, algebraica o no, es separa-ble, ya que si K′ es cualquier campo intermedio finitamente generado sobre k, en-tonces K′/k tiene una base trascendente α1, . . . ,αn con n = grtr(K′/k), dondeK′/k(α1, . . . ,αn) es una extension algebraica (de hecho, finita) de campos de carac-terıstica 0 y por lo tanto separable en el sentido usual. Ası, en lo que sigue asumire-mos que k es un campo de caracterıstica p > 0.

No es obvio, pero mas adelante en 8.10 probaremos que si K/k es una extensionseparablemente generada, entonces es separable.

Sean k un campo de caracterıstica p > 0, K/k una extension y Kal una cerraduraalgebraica de K; denotemos con

k1/pn:= α ∈ Kal : α

pn ∈ k

al subcampo de Kal dado por las raıces pn-esimas de k. Claramente k ⊆ k1/pn. Sea

k1/p∞

:=⋃n>0

k1/pn;

veremos que la separabilidad de K/k depende de la relacion entre K y k1/p∞

. Peroantes, recordemos que si K y L son subcampos de otro campo F y KL es el campocompuesto, decimos que K y L son linealmente disjuntos sobre k si el morfismo


K⊗k L→ KL dado por a⊗ b 7→ ab es un isomorfismo. Esto es equivalente a decirque para todo conjunto ai de elementos de K linealmente independientes sobre k,este conjunto permanece linealmente independiente sobre L.

Para motivar el teorema que caracteriza a las extensiones separables, con la nuevadefinicion de separabilidad anterior, probamos el resultado siguiente que caracterizala separabilidad usual de una extension algebraica K/k:

Proposicion 8.8 Sea K/k una extension algebraica de campos de caracterısticap > 0. Entonces, K/k es separable, en el sentido usual, si y solo si K y k1/p sonlinealmente disjuntos sobre k.

Demostracion. Supongamos que K/k es algebraica separable. Mostraremos primeroque kK p = K. Para esto, observemos que como k ⊆ K y K p ⊆ K entonces kK p ⊆K y como K/k es separable, entonces K/kKP tambien lo es, i.e., todo α ∈ K esseparable sobre kK p. Ahora, todo α ∈ K es puramente inseparable sobre kK p yaque α p ∈ K p ⊆ kK p. Ası, todo α ∈ K es separable e inseparable sobre kK p y por lotanto α ∈ kK p, i.e., K ⊆ kK p como se querıa.

Ahora, para mostrar que K y k1/p son linealmente disjuntos sobre k, suponga-mos que a1, . . . ,am ∈ K son linealmente independientes sobre k; queremos pro-bar que son linealmente independientes sobre k1/p o, lo que es lo mismo, queap

1 , . . . ,apm son linealmente independientes sobre k. Para esto, consideremos el cam-

po L := k(a1, . . . ,am) y supongamos que a1, . . . ,an es una base de L/k. Como L/kes algebraica separable, por lo que mostramos en el parrafo anterior, se tiene queL = kLp y por consiguiente

L =n

∑i=1

kapi

y por lo tanto los elementos ap1 , . . . ,a

pn forman una base de L/k y ası son linealmente

independientes como se querıa.

Recıprocamente, supongamos ahora que K y k1/p son linealmente disjuntos sobrek y sea α ∈ K cualquier elemento. Sean f (X) = Irr(α,k) y m = gr( f ).

Si r es cualquier entero ≤ m, entonces los r elementos de K: 1,α, . . . ,αr−1 sonlinealmente independientes sobre k y como K y k1/p son linealmente disjuntos sobrek, entonces estos elementos son linealmente independientes sobre k1/p, i.e., sus p-potencias son linealmente independientes sobre k y por lo tanto f (X) 6∈ k[X p], i.e.,f (X) es separable y por lo tanto α es separable sobre k. ut

El resultado siguiente es la generalizacion de la proposicion anterior para la nue-va definicion de separabilidad:

Teorema 8.9 (MacLane) Sea K/k una extension de campos de caracterıstica p >0. Las condiciones siguientes son equivalentes:

(1) K/k es separable.

(2) Para toda extension L/k el anillo L⊗k K es reducido (i.e., no tiene nilpotentes).

(3) El anillo K⊗k k1/p∞

es reducido.


(4) El anillo K⊗k k1/p es reducido.

(5) K y k1/p son linealmente disjuntos sobre k.

(6) K y k1/pnson linealmente disjuntos sobre k, para algun n > 0.

Demostracion. (1)⇒ (2): Escribamos K =⋃

k⊆K′⊆K

K′ como la union de sus subcam-

pos K′ ⊆ K finitamente generados sobre k. Como L es plano sobre k, entonces

L⊗k K '⋃

k⊆K′⊆K

L⊗k K′,

y ası es suficiente considerar el caso cuando K′ es finitamente generado sobre ky entonces podemos suponer desde el principio que K/k es finitamente generada.Descompongamos entonces esta extension como:

K

K′

kdonde K′/k es totalmente trascendente finitamente generada y K/K′ es algebraicafinita (y separable, ya que K/k lo es por hipotesis). Entonces

L⊗k K = (L⊗K′ K′)⊗k K = L⊗K′ (K

′⊗k K)

y ası basta considerar los dos casos siguientes:

Caso (i): Si K = K′ = k(α1, . . . ,αn) con n = grtr(K/k), entonces

L⊗k K′ = L⊗k k(α1, . . . ,αn) = L(α1, . . . ,αn)

es el campo de funciones racionales sobre L, el cual siendo campo es por supuestoreducido.

Caso (ii): Si K = K′ es algebraico (finito) separable sobre k, entonces por el mismoargumento del principio podemos suponer que K = K′ = k(α) con α algebraicosobre k. Sea f (x) = Irr(α,k); entonces K = K′ = k[x]/ f (x) de tal forma que

L⊗k K′ = L⊗k k[x]/ f (x) = L[x]/ f (x).

Descompongamos a f (x) como producto de irreducibles en L[x]: f (x) = ∏i fi(x).Por el teorema chino del residuo

L[x]/ f (x) = L[x]/∏i

fi(x) = ∏i

L[x]/ fi(x),

el cual es un producto directo de campos y por lo tanto reducido.


(2)⇒ (3): Es obvio.

(3)⇒ (4): Tambien es obvio ya que k1/pn ⊆ k1/p∞

.

(4)⇒ (5): Como K es plano sobre k, por el argumento del principio de la demos-tracion se tiene que

k1/p⊗k K =⋃

k⊆K′⊆k1/p

K′⊗k K

donde K′ recorre los subcampos K′ ⊆ k1/p que son extensiones finitas de k; ası, essuficiente probar que K es linealmente disjunto de K′ para esos K′.

Comenzamos observando que K′ ⊆ k1/p se obtiene adjuntando raıces p-esimasa k de tal forma que podemos elegir un campo intermedio k ⊆ K′1 ⊆ K′ tal queK′ = K′1(α) para algun α tal que α p ∈ K′1 y α 6∈ K′1 (puede suceder que K′1 = k).Ahora, como

K′⊗k K = (K′⊗K′1K′1)⊗k K = K′⊗K′1

(K′1⊗k K)

y comok1/p⊗k K = (k1/p⊗K′1

K′1)⊗k K = k1/p⊗K′1(K′1⊗k K)

podemos entonces suponer que K′1 = k y ası K′= k(α) con α 6∈ k y α p ∈ k. Entonces,para mostrar que K es linealmente disjunto (sobre k) con K′ = k(α) como α 6∈ ky ası α ∈ k(α) es linealmente independiente sobre k, entonces basta mostrar queα ∈ k(α) permanece linealmente independiente sobre K. Para probar esto notemosque como α p ∈ k entonces el orden de la extension K(α)/K es 1 o p y ası paramostrar que α es linealmente independiente sobre K debemos mostrar que α 6∈ K,i.e., que [K(α) : K] = p. Supongamos que α ∈K, entonces como Irr(α,k) = xp−α ,este polinomio se descompone en K[x] como

xp−α = (x−α1/p)p

ya que α p ∈ k ⊆ K, y ası

K′⊗k K = K[x]/(xp−α) = K[x]/(x−α1/p)p

el cual no es un anillo reducido; y como K′⊗k K ⊆ k1/p⊗k K esto contradice lahipotesis de que k1/p⊗k K es reducido. Se sigue que K es linealmente disjunto deK′ = k(α) como se querıa.

(5)⇒ (6): Trivial.

(6) ⇒ (1): Como K y k1/pnson linealmente disjuntos para algun n > 0 y co-

mo k1/p ⊆ k1/pnentonces K y k1/p tambien son linealmente disjuntos sobre k y

ası K⊗k k1/p = K · k1/p es el campo compuesto de K y k1/p, en particular es unanillo reducido.

Ahora, si K′ es un campo intermedio de K/k el cual es finitamente generadosobre k, entonces K′ ⊗k k1/p ⊆ K ⊗k k1/p y ası K′ ⊗k k1/p tambien es reducido.


Mostraremos que K′ es separablemente generado sobre k. Para esto escribamosK′ = k(α1, . . . ,αn) y descompongamos a K′ como:

K′

k(α1, . . . ,αr)

kcon r = grtr(K′/k), i.e., α1, . . . ,αr es una base trascendente de K′/k y ademasαr+1, . . . ,αn son algebraicos sobre k(α1, . . . ,αr); supongamos ahora que αr+1,. . . ,αq son algebraicos y separables sobre k(α1, . . . ,αr) y que αq+1 no lo es. Pon-gamos β = αq+1 y sea f (Y p) = Irr(β ,k(α1, . . . ,αr)). Los coeficientes de f (Y p)son, por definicion, funciones racionales en α1, . . . ,αr de tal forma que eliminandodenominadores obtenemos un polinomio irreducible

F(X1, . . . ,Xr,Y p) ∈ k[X1, . . . ,Xr,Y ]

tal que F(α1, . . . ,αr,βp) = 0.

Ahora, si ∂F/∂Xi = 0 para todo 1≤ i≤ r, y si denotamos con X = (X1, . . . ,Xr),entonces F(X ,Y p) es la p-potencia de un polinomio G(X ,Y ) con coeficientes enk1/p y ası tendrıamos que

k(α1, . . . ,αr,β )⊗k k1/p =(k[X ,Y ]/F(X ,Y p))⊗k k1/p = k1/p[X ,Y ]/G(X ,Y )p

el cual es un subanillo de K⊗k k1/p y, mas aun, este subanillo contiene nilpotenteslo cual contradice el hecho, que vimos al principio de esta parte de la demostracion,de que K⊗k k1/p no contiene nilpotentes. Se debe entonces tener que ∂F/∂Xi 6= 0para algun i = 1, . . . ,r. Reordenando si hiciera falta supongamos que ∂F/∂X1 6= 0.Entonces, de la ecuacion F(α1, . . . ,αr,β

p) = 0 se sigue que α1 es algebraico se-parable sobre k(α2, . . . ,αr,β

p) (ya que su derivada, en X1, no se anula y por lotanto su polinomio irreducible no tiene raıces multiples), y como los αr+1, . . . ,αqtambien son algebraicos separables sobre k(α2, . . . ,αr,β ), entonces intercambian-do α1 y β = αq+1 se sigue que αr+1, . . . ,αq+1 son algebraicos separables sobrek(α1, . . . ,αr), i.e., que K′/k(α1, . . . ,αr) es una extension algebraica separable conα1, . . . ,αr una base trascendente de K′/k, i.e., K′ es separablemente generado so-bre k. Hemos probado que todo campo intermedio K′ de K/k finitamente generadosobre k es separablemente generado sobre k y por lo tanto K/k es separable comose querıa. ut

Para extensiones K/k que no son algebraicas no se tiene una equivalencia com-pleta, como la de la proposicion 8.8, entre las propiedades de ser separablementegenerada y ser separable, a menos que K/k sea finitamente generada:

Teorema 8.10 Sea K/k una extension de campos de caracterıstica p > 0.

(1) Si K/k es separablemente generada, entonces K/k es separable.


(2) Recıprocamente, si K/k es separable y ademas es finitamente generada, enton-ces es separablemente generada.

Demostracion. (1): Mostraremos que K y k1/p son linealmente disjuntos sobre k.Ahora, por hipotesis existe una base de trascendencia B de K/k tal que K/k(B) esuna extension algebraica separable. Probaremos primero que los campos k(B) y k1/p

son linealmente disjuntos sobre k. En efecto, esto es equivalente a probar que losanillos k[B] y k1/p son linealmente disjuntos sobre k y para estos anillos el conjuntode monomios α

i11 · · ·α in

n para α j ∈ B es una base de k[B] sobre k y como B esalgebraicamente independiente sobre k entonces es algebraicamente independientesobre k1/p y ası estos monomios son independientes sobre k1/p. Se sigue que k(B)y k1/p son linealmente disjuntos sobre k.

Ahora, sean a1, . . . ,an elementos de k1/p que son linealmente independientes so-bre k. Entonces, por el parrafo anterior, tambien son linealmente independientessobre k(B) y como K/k(B) es una extension algebraica separable entonces, por laproposicion 8.8, K y k1/p son linealmente disjuntos sobre k(B) y ası a1, . . . ,an sonlinealmente independientes sobre K y por lo tanto K y k1/p son linealmente disjuntossobre k como se querıa probar.

(2): Supongamos ahora que K/k es separable (i.e., que K y k1/p son linealmentedisjuntos sobre k) y que es finitamente generada, digamos K = k(α1, . . . ,αn).

Sea r = grtr(K/k) de tal forma que r ≤ n. Si n = r entonces α1, . . . ,αn es unabase trascendente de K/k y ademas k(α1, . . . ,αn) = K y ası no hay nada que probar.Supongamos entonces que n > r; consideraremos este caso en dos partes:

Supongamos primero que n = r + 1; entonces el conjunto α1, . . . ,αr,αn esalgebraicamente dependiente sobre k y por lo tanto el conjunto de polinomiosg(X1, . . . ,Xr+1) con coeficientes en k, tales que g(α1, . . . ,αr+1) = 0 contiene po-linomios 6= 0; sea f (X) el polinomio 6= 0 de grado menor de este conjunto. En-tonces, f (X) es irreducible y divide a cualquier otro polinomio que se anula enα1, . . . ,αr,αr+1. Mostraremos que f (X) 6∈ k[X p

1 , . . . ,Xpr+1]. En efecto, si sucediera

lo contrario, digamos f (X) = g(X p1 , . . . ,X

pr+1) con g(X1, . . . ,Xr+1)∈ k[X1, . . . ,Xr+1],

y si ω1, . . . ,ωm son los monomios en α1, . . . ,αr+1 que aparecen en g(α1, . . . ,αr+1),entonces los ω j son linealmente independientes sobre k (ya que el grado de cadaω j es menor que el grado de f (X) y ası a1ω1 + · · ·+amωm = 0 con los a j ∈ k solopuede suceder si todos los a j = 0 porque si no fuera ası se tendrıa un polinomio degrado menor que el de f (X) que se anula en α1, . . . ,αr+1); sin embargo, ω

p1 , . . . ,ω

pm

son linealmente independientes sobre k ya que

∑j

ωpj = g(α p

1 , . . . ,αpr+1) = f (α1, . . . ,αr+1) = 0

con los a j 6= 0 en k. Por lo tanto los ω1, . . . ,ωm son linealmente dependientes sobrek1/p; esto, junto el hecho de los ω j ∈K son linealmente independientes sobre k comovimos arriba, contradice la hipotesis de que K y k1/p son linealmente disjuntos sobrek. Se debe entonces tener que f (X) 6∈ k[X p

1 , . . . ,Xpr+1]. Entonces, podemos suponer

que una de las r+1 variables X j que ocurre en f (X) aparece en algun termino con


un exponente que no es multiplo de p; sin perder generalidad supongamos que estavariable es Xr+1. Entonces, los elementos α1, . . . ,αr son necesariamente algebrai-camente independientes sobre k y mas aun, αr+1 es algebraico sobre k(α1, . . . ,αr)ya que satisfece al polinomio f (X) con coeficientes en ese campo y ademas es se-parable ya que el grado de f (X) en X = Xr+1 no es divisible por p. Se sigue queα1, . . . ,αr es una base trascendente separable de K/k.

Supongamos ahora que n > r + 1. Usaremos induccion sobre n. Como K =k(α1, . . . ,αn) y k1/p son linealmente disjuntos sobre k por hipotesis, entoncesk(α1, . . . ,αn−1) y k1/p tambien son linealmente disjuntos sobre k. Por hipotesis deinduccion se sigue que k(α1, . . . ,αn−1) es separablemente generado sobre k. Seapues β1, . . . ,βm una base trascendente separable de k(α1, . . . ,αn−1) sobre k. Co-mo r = grtr(k(α1, . . . ,αn)/k), entonces m = r−1 o m = r.

Como β1, . . . ,βm es una base trascendente separable de k(α1, . . . ,αn−1) so-bre k, entonces el campo K = k(α1, . . . ,αn) es una extension algebraica separablede K1 := k(β1, . . . ,βm,αn) y entonces solo falta probar que K1 es separablemen-te generado sobre k. Para esto, observemos que grtr(K1/k) = grtr(K/k) = r y K1esta generado, sobre k, por a lo mas r+1 elementos ya que m ≤ r. Mas aun, comoK1 ⊆ K entonces K1 y k1/p tambien son linealmente disjuntos sobre k y ası, por elcaso n ≤ r+1 ya probado, se sigue que K1 es, en efecto, separablemente generadosobre k, lo cual concluye la demostracion del teorema. ut

En el teorema anterior la hipotesis de que K/k es finitamente generada en la parte(2) no se puede eliminar como lo muestra el ejemplo siguiente:

Ejemplo 6. Si k es un campo perfecto, entonces toda extension K de k es separable yaque como k es perfecto entonces k1/p = k y por lo tanto K y k1/p = k son linealmentedisjuntos sobre k; en particular, si α es trascendente sobre k, la extension

K = k(α,α1/p,α1/p2, . . . ,α1/p j

, . . .)

es separable sobre k y sin embargo es claro que no es separablemente generada.

Si K/k es una extension de campos, sabemos que el K-espacio vectorial ΩK/kesta generado por el conjunto dx : x ∈ K y por lo tanto existe un subconjuntoB⊆ K tal que dx : x ∈B es una base del K-espacio vectorial ΩK/k. Una tal basese llamara una base diferencial de K/k.

Lema 8.11 Sea K/k una extension de campos. Un subconjunto B = xii∈Λ ⊆ Kes una base diferencial de K/k si y solo si para toda funcion f : Λ → K, (λ 7→ yλ ),existe una unica derivacion D ∈ Derk(K,K) tal que D(xλ ) = yλ para toda λ ∈Λ .

Demostracion. Se sigue del isomorfismo

Derk(K,K)' HomK(ΩK/k,K)'ΩK/k.

ut


p-bases de Teichmuller. Para poder distinguir, en el caso de caracterıstica p > 0cuando un conjunto αi ⊆ K tal que dαi genera a ΩK/k es una base diferen-cial, necesitamos los conceptos y resultados siguientes sobre p-bases, debidos aTeichmuller:

Sea K/k una extension de campos de caracterıstica p> 0. Sea K′= kK p el campocompuesto (en particular, K p ⊆ K′ ⊆ K). Una familia de elementos B = αi deelementos de K se dice que es p-independiente sobre K′ si para todo subconjuntofinito αi1 , . . . ,αin ⊆B se tiene que [K′(αi1 , . . . ,αin) : K′] = pn.

El conjunto B= αi ⊆ K se dice que es una p-base de K sobre K′ = kK p si esp-independiente sobre K′ y ademas K′(B) = K.

Observacion. Un conjunto B = αi ⊆ K es p-independiente sobre K′ si y solo siel conjunto de monomios

ΓB := αr11 · · ·α

rnn : αi distintos y 0≤ ri < p

es linealmente independiente sobre K′.

Proposicion 8.12 Sea K/k una extension de campos de caracterıstica p > 0 y seaB = αi ⊆ K. Entonces, B es p-independiente sobre K′ = kK p si y solo si B eslinealmente independiente sobre K′ = kK p (considerando a K como K′-espacio vec-torial).

Demostracion. Supongamos que B es K′-linealmente independiente considerandoa K como K′-espacio vectorial. Mostraremos que B es p-independiente, por induc-cion sobre n, el caso n = 0 siendo trivial. Supongamos ahora que f (X1, . . . ,Xn) es unpolinomio 6= 0 con coeficientes en K′ y de grado < p en cada una de sus variablesXi. Debemos probar que f (α1, . . . ,αn) 6= 0. Para comenzar podemos suponer que Xnaparece en f (ya que de lo contrario f tendrıa n−1 variables y por hipotesis de in-duccion deberıamos tener entonces que f (α1, . . .) 6= 0) y considerando el polinomioen una variable f (α1, . . . ,αn−1,X) con coeficientes en K′(α1, . . . ,αn−1), por hipote-sis de induccion este polinomio es 6= 0; ahora, como este polinomio tiene grado < pen su variable X , entonces es separable (ya que estamos en caracterıstica p y porla clasificacion de polinomios separables) y como αn ∈ K es puramente inseparablesobre K′ y ademas no esta en K′(α1, . . . ,αn−1) ya que α1, . . . ,αn es linealmente in-dependiente sobre K′, se sigue que αn no puede ser una raız de f (ya que si lo fueraentonces αn serıa separable sobre K′(α1, . . . ,αn−1) y ası αn serıa separable e inse-parable sobre K′(α1, . . . ,αn−1) y en consecuencia deberıa estar en K′(α1, . . . ,αn−1),una contradiccion) y por lo tanto B= α1, . . . ,αn es p-independiente.

Recıprocamente, supongamos que B= α1, . . . ,αn es p-independiente. Mostra-remos que B es linealmente independiente sobre K′= kK p. Supongamos que esto nosucede; sin perder generalidad podemos suponer que αn ∈ K′(α1, . . . ,αn−1). Ahora,como α

pi ∈K p⊆K′ entonces podemos escribir αn de la forma αn = g(α1, . . . ,αn−1)

donde g es un polinomio con coeficientes en K′ = kK p de grado < p en cada unade sus variables (factorizando a las potencias de cada αi de grado ≥ p para poner-las en K p ⊆ K′ y dejando solo las de grado < p). Entonces, se tiene la relacion dedependencia (sobre K′):


g(α1, . . . ,αn−1)−αn = 0

entre el monomio αn y los monomios αi11 · · ·α

in−1n−1 , 1≤ it < p, que aparecen en g, lo

cual contradice la hipotesis de que B es p-independiente. ut

Corolario 8.13 Toda extension K/k de campos de caracterıstica p > 0 tiene unap-base y cualesquiera dos p-bases de K tienen la misma cardinalidad.

Demostracion. K tiene una base B como K′ = kK p-espacio vectorial y ası cual-quier subconjunto finito S ⊆ B es K′-linealmente independiente y por lo tanto esp-independiente por la proposicion anterior. ut

Proposicion 8.14 Si K/k es una extension separable finitamente generada de cam-pos de caracterıstica p > 0 y B es una p-base de K/k, entonces K/k(B) es unaextension finita y separable, y B es una base trascendente de K/k.

Demostracion. Supongamos que B es algebraicamente dependiente sobre k, diga-mos que b1, . . . ,bn ∈ B son algebraicamente dependientes sobre k. Sea 0 6= f ∈k[X1, . . . ,Xn] un polinomio de grado mınimo tal que f (b1, . . . ,bn) = 0; sea d = gr( f )y escribamos

f (X1, . . . ,Xn) = ∑0≤i1,...,in<p

gi1···in(Xp1 , . . . ,X

pn )X

i11 · · ·X

inn .

Como los b1, . . . ,bn son p-independientes sobre k y f (b1, . . . ,bn) = 0, entoncesgi1···in(b

p1 , . . . ,b

pn) = 0 para todos los i1, . . . , in. Sin embargo, como

d = gr( f )≥ gr(gi1···in)+ i1 + · · ·+ in,

entonces por la minimalidad del grado de f debemos tener que

f (X1, . . . ,Xn) = g0···0(Xp1 , . . . ,X

pn )

por lo que podemos escribir a f de la forma

f (X1, . . . ,Xn) = h(X1, . . . ,Xn)p

con h ∈ k1/p[X1, . . . ,Xn].Ahora, por el teorema 8.9, K y k1/pn

son linealmente disjuntos sobre k para algunn > 0 y como k1/p ⊆ k1/pn

entonces K y k1/p tambien son linealmente disjun-tos sobre k y por lo tanto los monomios en K de grado < d en b1, . . . ,bn, siendolinealmente independientes sobre k deben tambien ser linealmente independien-tes sobre k1/p. Se sigue que h(b1, . . . ,bn) 6= 0, lo cual contradice el hecho de que0 = f (b1, . . . ,bn) = h(b1, . . . ,bn)

p. Esta contradiccion muestra que B es algebraica-mente independiente sobre k, y como genera a K, entonces es una base trascendentede K/k. Como K/k es finitamente generada, se sigue que K/k(B) es algebraica fi-nitamente generada y por lo tanto finita y separable ya que K/k lo es. ut



Teorema 8.15 Sea K/k una extension de campos finitamente generada y sea B =αii∈Λ un subconjunto de K. Entonces, dαii∈Λ es una base diferencial de ΩK/ksi y solo si:

(1) car(K) = 0 y αii∈Λ es una base trascendente de K/k.

o

(2) car(K) = p > 0 y αii∈Λ es una p-base de K/k.

Demostracion. Como K/k es finitamente generada, podemos suponer que αii∈Λ =α1, . . . ,αn es un conjunto finito.

(1): Supongamos que car(K) = 0 y que α1, . . . ,αn es una base trascendente deK/k. Entonces, K/k(α1, . . . ,αn) es algebraica (y por lo tanto separable, ya que es-tamos en caracterıstica 0) y ası la demostracion continua igual que la de 8.7.

(2): Supongamos ahora que car(K) = p > 0. Si B = αii∈Λ es una p-base de Ksobre k. Mostraremos que cualquier funcion f : Λ → K tiene una unica extensiona una derivacion D ∈ Derk(K). En efecto, dado un p-monomio de B, α

r11 · · ·αrn

n ,pongamos

D(αr11 · · ·α

rnn ) :=

n

∑i=1

riαr11 · · ·α

ri−1i · · ·αrn

n f (αi),

esto define una funcion del conjunto de p-monomios ΓB en K, D : ΓB → K, y sa-bemos que ΓB es linealmente independiente sobre K p · k ya que B es una p-base deK/k. Entonces, extendemos K p ·k-linealmente D a todo K y claramente D es enton-ces una k-derivacion de K unica con la propiedad de que D(αi) = f (αi). Por el lema8.11 se sigue que B= αi es una base diferencial de ΩK/k.

Recıprocamente, si B = αi ⊆ K es una base diferencial de ΩK/k, entoncesB es p-independiente sobre k ya que si no lo fuera, sin perder generalidad pode-mos suponer que α1 depende de los otros, i.e., α1 ∈ K p · k(α2, . . . ,αn) para algunosα2, . . . ,αn ∈ B y ası podemos escribir α1 = f (α2, . . . ,αn) con f un polinomio concoeficientes en K p · k. Entonces, en ΩK/k se tiene que

dα1 =n

∑i=2

(∂ f∂αi

)dαi

lo cual contradice la independencia lineal de los dα1, . . . ,dαn. ut

Corolario 8.16 Sea K/k una extension de campos con K finitamente generado so-bre k. Entonces,

(1) dimK ΩK/k ≥ grtr(K/k).

(2) dimK ΩK/k = grtr(K/k) si y solo si K/k es separable.

Demostracion. Escribamos K = k(α1, . . . ,αn) y sea α1, . . . ,αr una base trascen-dente de K/k.

En caracterıstica 0, dαi1≤i≤r es una base de ΩK/k por la parte (1) del teoremaanterior.


En caracterıstica p > 0, dαi es una base de ΩK/k si y solo si B = αi esuna p-base de K/k por la parte (2) del teorema previo, y cualquier p-base contieneuna base trascendente, que es igual a la p-base en el caso separable finitamentegenerado. ut

Ejercicios

8.1. Si A es una k-algebra y D ∈ Derk(A,A) es una derivacion, note que usando elproducto de A se tiene un producto en Derk(A,A). Demuestre que las potencias deD ∈ Derk(A,A) satisfacen la regla de Leibniz general:

Dn(ab) =n

∑i=1

(ni

)DiaDn−ib.

8.2. En el ejercicio anterior, si carA = cark = p > 0, concluya que

Dp(ab) = (Dpa)b+a(Dpb)

y por lo tanto Dp ∈ Derk(A,A).

8.3. Si cark = 0, K ⊇ k es una extension y 0 6= D ∈ Derk(K,K), demuestre que:

(i) 1,D,D2, . . . ,Dp−1 son linealmente independientes sobre K.

(ii) La combinacion lineal a0 +a1D+ · · ·+ap−1Dp−1, con los ai ∈ K, es una deri-vacion si y solo si ai = 0, para toda i.

8.4. (La formula de Hochschild). Si carA = cark = p > 0, demuestre que para todoa ∈ A, D ∈ Derk(A,A) se tiene que

(aD)p = apDp +(aD)p−1(a)D

i.e., (aD)p es una combinacion lineal de Dp y D.

8.5. Si D,D′ ∈ Derk(A,A), demuestre que

[D,D′] := DD′−D′D ∈ Derk(A,A).

8.6. Si a,b ∈ A, D,D′ ∈ Derk(A,A), demuestre que

[aD,bD′] = ab[D,D′]+aD(b)D′−bD′(a)D.

8.7. Si k es un anillo conmutativo, K,A son dos k-algebras y A′ :=K⊗k A, demuestreque

ΩA′/K 'ΩA/k⊗A A′.

8.8. Si S ⊆ A es un conjunto multiplicativo y D ∈ Der(A), demuestre que D induceuna derivacion en S−1A por medio de D(a/s) = (D(a)s−aD(s))/s2.


8.9. Si k es un anillo conmutativo, A es una k-algebra y S ⊆ A es un subconjuntomultiplicativo, demuestre que

ΩS−1A/k 'ΩA/k⊗A S−1A.

8.10. Si L ⊇ K ⊇ k′ ⊇ k es una torre de campos y K′ ⊇ k es otra extension con K yK′ son linealmente disjuntos sobre k, demuestre que:

(i) K∩K′ = k.

(ii) K y k′K′ son linealmente disjuntos sobre k′.

8.11. Si L/K es una extension separable, demuestre que la extension

L((T1, . . . ,Tn))/K((T1, . . . ,Tn))

tambien es separable. Aquı, L((T1, . . . ,Tn)) es el campo de fracciones del anillo deseries formales L[[T1, . . . ,Tn]] (vea el ejercicio 20 del capıtulo 7).

8.12. Si I ⊆ A es un ideal y A es la completacion I-adica de A, demuestre que paracualquier derivacion D ∈ Der(A) se tiene que D(In) ⊆ In−1, para todo n > 0 y porlo tanto D induce una derivacion en A.

Referencias

1. Atiyah, M. F. and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley,Reading, 1969.

2. Bourbaki, N., Algebre Commutative. Chapitres 1 a 4, 5 a 7, 8 et 9. Hermann, Paris, 1961-1965;Reimpression: Masson, Paris, 1985; Reimpression: Springer Verlag, Berlin, 2006. Traduccional ingles: Commutative Algebra. Chapters 1 to 7. Addison-Wesley, Reading, and Hermann,Paris, 1972.

3. Eisenbud, D., Commutative Algebra: With a View Towards Algebraic Geometry. Springer Ver-lag, Berlin, 1999.

4. Fulton, W., Algebraic Curves. Addison-Wesley, Reading, 1969.5. Grothendieck, A. et J. Dieudonne, Elements de Geometrie Algebrique I. Pub. Math. des IHES,

4, Paris, 1960.6. Kunz, E., Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry. Birkhauser Verlag,

Boston, 1985.7. Kurke, H., Pfister, G., Roczen, M., Henselsche Ringe und Algebraische Geometrie. VEB Deu-

tscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1975.8. Matsumura, H., Commutative Algebra. Benjamin, New York, 1980.9. Matsumura, H., Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

10. Mumford, D., The Red Book of Varieties and Schemes. Springer Verlag, New York, 1994.11. Nagata, M., Local Rings. Interscience, New York, 1962.12. Northcott, D. G., Ideal Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1952.13. Raynaud, M., Anneaux Locaux Henseliens. LNM 169, Springer Verlag, Berlin, 1970.14. Reid, M., Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press, Cambridge,

1996.15. Serre, J.-P., Local Algebra. Springer Verlag, Berlin, 2000.16. Shafarevich, I. R., Basic Algebraic Geometry. Springer Verlag, Berlin, 2000.17. Zaldıvar, F., Teorıa de Galois. Anthropos, Barcelona, 1996.18. Zaldıvar, F., Introduccion a la geometrıa algebraica. 2000-2010.19. Zariski, O. and P. Samuel, Commutative Algebra. Vol. I and Vol. II. Springer Verlag, New

York, 1979.

209

Indice alfabetico

A-algebra, 42A-modulo, 29A-morfismo, 29A-submodulo, 30abiertos distinguidos, 14algebra

de dilatacion, 169separable, 182

algebra de tipo finito, 62algebra finita, 62altura

de un ideal, 142de un ideal primo, 142

anilloartiniano, 101cociente, 2conmutativo, 1de coordenadas afın, 44de Dedekind, 120de enteros, 113, 120de enteros p-adicos, 163de enteros de una extension cuadratica, 125de enteros de una valuacion, 116de fracciones, 56de Prufer, 163de valuacion, 113de valuacion discreta, 118filtrado, 155graduado, 168graduado asociado, 169henseliano, 181local, 58, 90local regular, 147noetheriano, 87reducido, 26, 109regular, 147semilocal, 111

topologico, 156total de fracciones, 59

anulador, 25, 111aplicacion

canonicadel producto tensorial, 37

polinomial, 45Artin-Rees, 170artiniano, 101asociado, 98asociados, 96

bandera, 103bilineal, 35

cambio de anillos, 41, 52campo

de fracciones, 56de funciones, 115de numeros, 113de series de Laurent, 115residual, 58, 61, 116valuado, 116

cerradura entera, 64coimagen, 30completacion, 158, 162

I-adica, 163completado, 162completo, 158, 168componente irreducible, 12componentes

homogeneas, 168conucleo, 30condicion de Mittag-Lefler, 188conjunto

aislado, 101algebraico afın, 17

211

212 Indice alfabetico

dirigido, 160contenido, 2coprimos, 5correspondencia inducida por el epimorfismo

canonico, 5

derivacion, 189descomposicion primaria, 96

mınima, 96DFU, 2diferenciales

de Kahler, 190dimension

de Krull de un anillo conmutativo, 142discriminante, 121dominio

de Dedekind, 120dominio de factorizacion unica, 2

elementoentero, 62homogeneo, 168irreducible, 2primo, 2, 116

entero, 62epimorfismo, 29epimorfismo canonico, 2escinde, 84espacio

afın, 17cotangente de Zariski, 147cuasicompacto, 14irreducible, 12tangente de Zariski, 147

espectro maximo, 16, 17espectro primo, 8estrictamente coprimos, 182extension de escalares, 52extension separable, 197

fiel, 81fielmente plano, 41filtracion

cociente, 156en un anillo, 155en un modulo, 155estable, 169I-adica, 156inducida, 156p-adica, 163trivial, 156

finitamente generado, 31finitamente presentado, 84funcion

asociada, 11bilineal, 35de orden, 156

G-invariants, 82generadores, 32generadores de un modulo, 31global a local, 76grado de trascendencia, 137grupo

de clases de ideales, 130de unidades de la valuacion, 116topologico, 154

Hensel, 179hipersuperficie, 18homogeneo, 168

idealasociado, 96, 98finitamente generado, 1generado, 1irreducible, 99maximo, 7maximo de una valuacion, 116primario, 94primo, 6primo mınimo, 96principal, 1radical, 25trasladado, 25

idempotente, 26imagen, 30integralmente cerrado, 64irreducible, 2isomorfismo

de modulos, 29

K-algebra afın, 67, 137

lemade Artin-Rees, 170de Gauss, 3de Hensel, 179de Krull, 73de la serpiente, 33de Nakayama, 90de normalizacion de Noether, 67de Schur, 52de Zariski, 71de Zorn, 7del quinto, 34

lımite directo, 176lımite inverso, 161

Indice alfabetico 213

linealiza, 35linealmente disjuntos, 197liso, 147local a global, 77localizacion, 58longitud, 104

finita, 104

moduloartiniano, 110cociente, 30completo, 168fiel, 81fielmente plano, 41filtrado, 156finitamente generado, 31graduado, 168graduado asociado, 169libre, 32noetheriano, 109plano, 40simple, 52topologico, 156

Mittag-Lefler, 188monomorfismo, 29morfismo

local, 85canonico, 56de A-algebras, 42de anillos, 1de conexion, 33de modulos, 29de modulos filtrados, 156de modulos graduados, 168de sistemas inversos, 164fielmente plano, 85frontera, 33identidad, 29plano, 85

multilineal, 52

nucleo, 30numero de clase, 130nilpotente, 10nilradical, 10no singular, 147noetheriano, 87norma, 120

de un elemento, 66norma de un ideal, 123norma euclidiana, 133

p-primario, 94parametro uniformizador, 116

pertenecen, 96plano, 40polinomio

primitivo, 2potencia simbolica, 144presentacion finita, 84primario, 94primera sucesion fundamental, 193primo, 2

aislado, 98encajado, 98

productode ideales, 5de variedades afines, 49directo de modulos, 31fibrado, 50, 51tensorial, 37

propiedad local, 77propiedad universal del producto tensorial, 36punto liso, 150puntos

genericos, 13

radical, 25de Jacobson, 89de un ideal, 9

radical de Jacobson, 19reducido, 77, 109regla de Leibniz, 189regular, 147restriccion de escalares, 41, 52

segunda sucesion fundamental, 194separablemente generada, 197serie de composicion, 103series de Laurent, 187singular, 147sistema

directo, 176inverso, 159, 160

soporte, 111subanillo, 1subconjunto multiplicativo, 56subconjunto multiplicativo generado, 79submodulo, 30

de torsion, 83generado por un conjunto, 31

sucesionconvergente, 158de Cauchy, 158exacta, 32

corta, 32suma

de ideales, 4, 5

214 Indice alfabetico

de modulos, 31directa de modulos, 31

tangente de Zariski, 147teorema

de interseccion de Krull, 91, 172de Jordan-Holder, 111de la base de Hilbert, 88de los ceros de Hilbert, 71de MacLane, 198del ideal principal de Krull, 144generalizado del ideal principal de Krull,

146

topologıade Zariski, 9, 17

torsion, 83traslacion izquierda, 154traza, 120

ultrametrica, 157

valuacion, 114discreta, 114p-adica, 115

variedad afın, 17variedad algebraica afın, 17

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