Teor´ıa de grafos. Notas de clase (versión preliminar)

Teorıa de grafos. Notas de clase

(version preliminar)

Raul Gomez Marın Andres Sicard Ramırez

Universidad EAFIT

1999

Indice

1. Definiciones de grafo 4

1.1. El grafo como objeto matematico . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. El grafo como objeto geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Representacion de grafos 12

2.1. Matriz de adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Matriz de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Conectividad 17

3.1. Caminos y circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Relacion de n-conectividad Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Relacion de conectividad general R∞ . . . . . . . . . . . . . . 253.4. Grafos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5. Grafos simplemente conexos y relacion de conectividad simple 283.6. Grafos fuertemente conexos y relacion de conectividad fuerte 313.7. Circuito de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. Subgrafos 36

5. Cerraduras 36

6. Isomorfismo de grafos 41

7. Algoritmo de Warshall 43

8. Arboles y arborescencias 46

1

9. Ejercicios 53

10.Notas bibliograficas 59

Introduccion

Es un hecho conocido que la teorıa de grafos tiene sus raıces en un artıcu-lo del matematico suizo Leonhard Euler, publicado en el ano de 1736. Lasideas basicas de la teorıa las desarrollo Euler en torno al problema conoci-do como el problema de los siete puentes de Koningsberg. Recientemente lateorıa ha conocido nuevos desarrollos y ha realizado extensiones metodicasen las ciencias de la computacion, la quımica y la investigacion de operacio-nes, entre otras. En el caso particular de las ciencias de la computacion, lateorıa de grafos juega un papel importante en areas tales como la teorıa dela conmutacion y diseno logico, la inteligencia artificial, lenguajes formales,sistemas operativos, compiladores, telematica y analisis de algoritmos, entreotras.

La presente leccion tiene como objetivo desarrollar, con cierto gradode formalizacion los objetos y propiedades de la teorıa de grafos. Antesde comenzar nuestro proceso de formalizacion presentamos, a manera deintroduccion y motivacion, el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1. En varias aplicaciones de la ciencias de la computacion es con-veniente modelar (representar) los algoritmos o programas de computadormediante grafos. Un ejemplo de este tipo de aplicacion es el que surge enel contexto de la generacion de casos de prueba para un modulo de algunprograma. Se llega a estas pruebas mediante el analisis de la estructura deun modulo de programa en lo tocante al flujo de control. El flujo de controlde un modulo se modela mediante un grafo de flujo. Cada vertice del grafode flujo representa una o mas sentencias de procedimientos. Una sucesion desentencias de procedimientos seguida por una sentencia condicional, tal co-mo pueda ser una sentencia while o una sentencia case se corresponde conun unico nodo. Los arcos (aristas dirigidas) del grafo de flujo representan elflujo de control.

Cualquier modulo que se haya especificado en algun lenguaje de proce-dimientos se podra traducir a un grafo de flujo. Por ejemplo, la figura 1muestra las representaciones en forma de grafo de flujo correspondientes aalgunas estructuras familiares, que suelen estar disponibles en la mayorıa delos lenguajes de procedimientos. El rotulo V que aparece en algunas aristas

2

Sequence If-then-else While

T

xxqqqqqq

qqqqqq

V

&&▼▼▼▼▼

▼▼▼▼▼▼

▼

F

V

��

&&▼▼▼▼▼

▼▼▼▼▼▼

▼

xxqqqqqq

qqqqqq

cc

Repeat-Until Case

�� xxqqqqqq

qqqqqq

�� ))❙❙❙❙❙❙❙

❙❙❙❙❙❙❙❙

❙❙❙

F

cc

V

�� &&▼▼▼▼▼

▼▼▼▼▼▼

▼

�� uu❦❦❦❦❦❦❦❦

❦❦❦❦❦❦❦❦

❦❦

Figura 1: Notacion de grafos de flujo para distintas estructuras

denota que se ejecuta la opcion Verdadero, y la F denota que se ejecuta laopcion Falso.

Para evitar complejidades innecesarias, se supone que todas las condi-ciones son atomicas, esto es, que no contienen operadores logicos tales comoand y or.

Los modulos de programa contienen una secuencia de estructuras dellenguaje que proceden de un conjunto base tal como el que se da en lafigura 2. En la figura 3 aparece un ejemplo de grafo de flujo correspondienteal esqueleto de modulo de la figura 2, en donde los nodos 1 y 9 denotan,respectivamente, el nodo inicial y final del modulo. Las sentencias s1 a s7de la figura 2 se consideran sentencias que no ejercen control, tales como lassentencias de asignacion.

Para poder pensar y representar formalmente el objeto que denominadosgrafo, es imprescindible realizar multiples distinciones al interior del concep-to. En una primera intancia necesitamos introduccir una distincion que nospermita pensar el grafo bien como objeto matematico o bien como objetogeometrico.

3

procedure Loquesea(. . . )begin

while (. . . ) dobegin

s1;if Indicador1 = 0

then begin

s2;s3;s4

end

else begin

if Indicador2 = 0then s5;else s6;s7

end;end;

end ;

Figura 2: Esqueleto de un modulo

1. Definiciones de grafo

Antes de introducir las diferentes definiciones de una grafo, presentamosalgunas definiciones auxiliares.

Definicion 1 (Lenguaje de la logica de predicados). Un lenguaje de la logicade predicados de primer orden esta definido por:

L = {{Pi, i ∈ I}, {Fj , j ∈ J}, {Ck, k ∈ K}},

donde Pi, Fj y Ck representan sımbolos de predicados, funciones y constan-tes, respectivamente.

Definicion 2 (Modelo). Sea L un lenguaje de la logica de primer orden, unmodelo para L esta definido por:

4

condicion while

V�� F

~~

s1, clausula if

V

}}④④④④④④④④④④④④④④④④④④④

F

))❚❚❚❚❚❚❚

❚❚❚❚❚❚❚❚

clausula ifV

tt❥❥❥❥❥❥❥❥

❥❥❥❥❥❥❥❥

❥❥F

''❖❖❖❖❖

❖❖❖❖❖❖

❖❖

s2, s3, s4

!!❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉❉❉

s5

**❚❚❚❚❚❚❚

❚❚❚❚❚❚❚❚

❚❚❚❚❚ s6

ww♥♥♥♥♥♥

♥♥♥♥♥♥

♥♥

s7

tt❥❥❥❥❥❥❥❥

❥❥❥❥❥❥❥❥

❥❥

fin while

66

fin procedimiento

Figura 3: Modelado de un modulo mediante un grafo de flujo

U =< A,k > donde:

A: Conjunto no vacıo, llamado dominio del modelok: Es una funcion biyectiva de interpretacion tal que:

k-1 Cada sımbolo Pni , de predicado de aridez n, es interpretado por una

relacion n-adica R, es decir:

k(Pni ) = R⇐⇒ R ⊆ An.

k-2 Cada sımbolo Fmj , de funcion de aridez m, es interpretado por una

funcion m-adica, es decir:

k(Fmj ) = f ⇐⇒ f : Am → A.

k-3 Cada sımbolo de constante Ck es interpretado por un elemento fijo deA, es decir:

k(Ck) = t⇐⇒ t ∈ A.

5

Definicion 3 (Cardinalidad de modelos). Sean L un lenguaje de la logica

de primer orden y U =< A,k > un modelo para L.=

U ==

A, es decir, elcardinal del modelo U es el cardinal del dominio del modelo.

1.1. El grafo como objeto matematico

Un grafo, en tanto objeto matematico o estructura relacional, nos obligaa reforzar su distincion entre grafo no dirigido (o simplemente grafo) y grafodirigido (o simplemente digrafo).

Definicion 4 (Digrafo: Como objeto matematico). Un digrafo G, es unmodelo de un lenguaje L = {P 2}, donde P 2 es un sımbolo de predicadode aridez dos. En otros terminos, un digrafo es una estructura G = (V,R),donde:

V : Conjunto no vacıo cuyos elementos llamamos vertices.R: Relacion binaria definida sobre V (R ⊂ V × V ).

Cada digrafo ~G = (V,R) puede ser representado por medio de un dia-grama, en donde cada vertice v ∈ V se representa por medio de un circuloetiquetado con el sımbolo v, y cada (vi, vj) ∈ R se representa por medio deun arco del vertice vi al vertice vj .

Ejemplo 2. Los siguientes objetos matematicos son digrafos infinitos:~G1 = (N, <)~G2 = (Z, R), donde, R = {(x, y) | x2 ≥ y}

Ejemplo 3. Los siguientes objetos matematicos son digrafos finitos:~G1 = ({1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}), representado por la figura 4.

/.-,()*+1 ///.-,()*+2 ///.-,()*+3 ///.-,()*+4

Figura 4: Ejemplo digrafo finito (1).

~G2 = ({0, 2, 5, 7, 8},≥), representado por la figura 5.

~G3 = ({v1}), representado por la figura 6.

~G4 = ({0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}, R), donde, R(a, b) ssi a | b.

6

/.-,()*+8LL (( && "" /.-,()*+7LL 66 88 <</.-,()*+5�� (( &&/.-,()*+2LL ///.-,()*+0RR


76540123v1


~G5 = (A,R), donde, A = {x ∈ N | x es divisor de 128} yR(a, b) ssi (a− b) es divisor de 64.

Definicion 5 (Lazo o bucle). Sea G = (V,R) un digrafo. La pareja ordena(v, v) ∈ R tal que v ∈ V se denomina un lazo o bluce.

Ejemplo 4. Para el digrafo ~G2 = ({0, 2, 5, 7, 8},≥) representado por lafigura 5, las parejas ordenas (0, 0), (2, 2), (5, 5), (7, 7) y (8, , 8) pertenecientesa la relacion ≥, son lazos.

Aunque un grafo G = (V,R) tambien es un modelo de un lenguajeL = {P}, donde P es un sımbolo de predicado de aridez dos, la diferenciaentre un digrafo y un grafo, consiste en que este ultimo debe satisfacer unaxioma no exigido al primero.

Definicion 6 (Grafo: Como objeto matematico). Un grafo G = (V,R) es unmodelo de un lenguaje L = {P 2}, tal que G satisface el axioma de simetrıapara la relacion R, es decir,

G |= ∀x∀y((x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R).

Cada grafo G = (V,R) puede ser representado por medio de un diagramaen donde cada vertice v ∈ V se representa por medio de un circulo etiquetadocon el sımbolo v y cada par de elementos (vi, vj), (vj , vi) ∈ R se representanpor medio de una arista del vertice vi al vertice vj .

Ejemplo 5. Los siguientes objetos matematicos son grafos (algunos infini-tos, otros finitos):G1 = (Z, R), donde, R(x, y) ssi (x = 1 + y ∨ x = y − 1).G2 = ({A,B,C,D}, R), donde,R = {(A,A), (A,B), (B,A), (C,D), (D,C), (A,C), (C,A), (B,D), (D,B)}.El grafo G2 es representado por la figura 7.

7

/.-,()*+A 76540123B

76540123C 76540123D

Figura 7: Ejemplo grafo no dirigido finito.

Nuestra definicion de grafo (digrafo), como objeto matematico, no per-mite representar grafos cuya estructura relacional presenta aristas (arcos)tales como los indicados por la figura 8. La situacion anterior hace nece-sario introducir una distincion adicional que nos permita ampliar nuestranocion de grafo, de forma tal que nos permita capturar objetos tales comoel representado por la figura 8.

'&%$ !"#a /.-,()*+b

Figura 8: No grafo (como objeto matematico).

1.2. El grafo como objeto geometrico

Desde el punto de vista geometrico podemos pensar un grafo como unesquema situado en el espacio R2 y constituido por vertices y lados. Lodenotamos por G = (V,E).

Definicion 7 (Digrafo: Como objeto geometrico). Un digrafo, en tanto ob-jeto geometrico, es un esquema ~G = (V,E), representado en el espacio R2,donde:

V : Conjunto no vacıo cuyos elementos llamamos vertices.E: Conjunto de elementos ei = (va, vb) llamados lados.

Cada digrafo ~G = (V,E) puede ser representado por medio de un dia-grama en donde; cada vertice v ∈ V se representa por medio de un circuloetiquetado con el sımbolo v, y cada ei = (vi, vj) ∈ E se representa por mediode un arco del vertice vi al vertice vj etiquetado con el sımbolo e1.

Ejemplo 6. El siguiente objeto es un ejemplo de un grafo dirigido:~G1 = ({a, b, c, d, f}, {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}), representado por la figura 9,donde:e1 = (b, c),

8

e2 = (c, a),e3 = (c, d),e4 = (a, b),e5 = (a, f),e6 = (d, b),e7 = (f, d).

/.-,()*+b e1 //'&%$ !"#ce2

ww♣♣♣♣♣♣

♣♣♣♣♣♣

♣♣♣e3

��❂❂❂

❂❂❂❂

❂

'&%$ !"#ae4

@@��

e5

��❂❂❂

❂❂❂❂

❂❂/.-,()*+d

e6

gg◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

76540123f

e7

88♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣♣

Figura 9: Ejemplo grafo dirigido.

Definicion 8 (Grafo: Como objeto geometrico). Un grafo, en tanto objetogeometrico, es un esquema G = (V,E) representado en el espacio R2, donde:

V : Conjunto no vacıo cuyos elementos llamamos vertices.E: Conjunto de elementos ei = {va, vb} llamados lados. Se observa que loslados del grafo no tienen orientacion. Para el caso especial en que el la-do ei represente un lazo, es decir, ei = {va, va}, se seguira la convencionmatematica usual que determina que {va, va} = {va}.

Cada grafo G = (V,E) pude ser representado por medio de un diagramaen donde, cada vertice v ∈ V se representa por medio de un circulo etique-tado con el sımbolo v, y cada e = (vi, vj) ∈ E se representa por medio deuna arista del vertice vi al vertice vj etiquetada con el sımbolo e.

Ejemplo 7. Los siguientes objetos son ejemplos de grafos.G1 = ({5, 7, 8, 9}, {e1, e2, e3, e4, e5}), representado por la figura 10, donde:e1 = {5, 7},e2 = {8, 5},e3 = {7, 9},e4 = {8, 9},e5 = {5}.

G2 = ({1, 2, 3}, {e4, e5, e6}), representado por la figura 11.

9

/.-,()*+5 e1

e2

/.-,()*+7

e3

/.-,()*+8 e4 /.-,()*+9

Figura 10: Ejemplo grafo no dirigido (1).

/.-,()*+1 e4

e5

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2

/.-,()*+3

e6��


G3 = ({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {e1, . . . , e9}), representado por la figura 12.

/.-,()*+5 e1

e2

/.-,()*+7e3

/.-,()*+1 e4

e5

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2 /.-,()*+4

e6

e7 /.-,()*+0

/.-,()*+3

e8��

/.-,()*+8 e9 /.-,()*+9


En un grafo, visto como objeto geometrico, es posible que existan almenos dos vertices conectados por dos o mas lados diferentes. En este casose hace necesario introducir otra distincion, llamando a tal grafo: multigrafo.

Definicion 9 (Lados paralelos (grafos)). Sea G = (V,E) un grafo. Dos

10

lados son llamados paralelos si ei = {va, vb} y ej = {va, vb} para i 6= j.

Definicion 10 (Multigrafo (grafos)). Un grafo G = (V,E) es un multigrafosi y solo si G tiene lados paralelos.

Ejemplo 8. Los siguientes objetos son ejemplos de multigrafos.G1 = ({a, b}, {e1, e2, e3}), representado por la figura 13.

'&%$ !"#ae1

e2

/.-,()*+be3

Figura 13: Multigrafo (1).

G2 = ({1, 4, a, c}, {e1, . . . , e8}), representado por la figura 14.

/.-,()*+1

e1 e2 '&%$ !"#ce3

e4

e5

e6 /.-,()*+4e7

'&%$ !"#ae8

Figura 14: Multigrafo (2)

Los lados e2, e3 son lados paralelos de G1; e1, e2 y e4, e5, e6 lo son de G2.

No existe un consenso actual acerca de la definicion de un grafo. Algunosautores solo los consideran desde el punto de vista geometrico o desde elpunto de vista matematico. Otros autores por su parte no admiten los grafoscon lazos ni los multigrafos. Nuestro objetivo en la presentacion que hemosrealizado del concepto de grafo, esta el de presentar el concepto de grafocomo una estructura matemtica de modelamiento con la mayor capacidadde representacion posible.

Los temas siguientes seran ofrecidos para un presentacion de grafo enparticular (como objeto matematico o como objeto geometrico) o para al-guna clase en particular de grafo o para ambas (grafo no dirigido o grafodirigido). Nuestras convenciones seran las siguientes:

11

1. Sea ~G = (V,R) un digrafo . . .En este caso estamos hablando de un digrafo como un objeto ma-tematico.

2. Sea G = (V,R) un grafo . . .En este caso estamos hablando de un grafo como un objeto matemati-co.

3. Sea G = (V,R) un grafo (digrafo) . . .En este caso estamos hablando de un grafo o de un digrafo como unobjeto matematico.

4. Sea ~G = (V,E) un digrafo . . .En este caso estamos hablando de un digrafo como un objeto geometri-co.

5. Sea G = (V,E) un grafo . . .En este caso estamos hablando de un grafo como un objeto geometrico.

6. Sea G = (V,E) un grafo (digrafo) . . .En este caso estamos hablando de un grafo o de un digrafo como unobjeto geometrico.

2. Representacion de grafos

El analisis de un grafo, mediante un computador, requiere representa-ciones diferentes al esquema geometrico. Veamos algunas de ellas.

2.1. Matriz de adyacencia

Sea G = (V,R) un grafo (digrafo) finito. Podemos representar al grafoG mediante una matriz booleana, llamada su matriz de adyacencia.

Definicion 11 (Matriz de adyacencia). Sea G = (V,R) un grafo (digrafo)finito cualquiera. Podemos asociar a G, la matriz booleana (matriz cuyoselementos son uno o cero) M [R], llamada su matriz de adyacencia y, tal

que, si=

V = n, entonces:

M [R] = (Xi,j)n×n ⇐⇒ Xi,j =

{

1, si (vi, vj) ∈ R;

0, si (vi, vj) /∈ R.

12

/.-,()*+A ))76540123Boo //

��

76540123Cuu

76540123D

>>⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦LL

Figura 15: Grafo para obtener la matriz de adyacencia representada por latabla 1.

M [R] v1 v2 v3 v4v1 0 1 0 0v2 1 0 1 1v3 0 1 0 1v4 1 0 1 1

Cuadro 1: Matriz de adyacencia para el grafo de la figura 15.

Ejemplo 9. Dado el grafo representado en la figura 15, obtenemos la matrizM [R] = (Xi,j)4×4 representada por la tabla 1.

Observe que los vertices han sido ordenados alfabeticamente: v1 = A,v2 = B, v3 = C y v4 = D. Ademas; X3,4 = 1, ya que (v3, v4) ∈ R yX1,4 = 0, ya que (v1, v4) /∈ R.

Ejemplo 10. Un fabricante para producir juguetes requiere seis pasos, loscuales obligatoriamente deben realizarse de acuerdo al siguiente orden par-cial. Primero los procesos A o B, luego el proceso C. A continuacion losprocesos D, E o F . Modelizado por un grafo dirigido, obtenemos el grafo Grepresentado por la figura 16 (Diagrama de Hasse) y su matriz de adyacenciaM [R] representada por la tabla 2.

76540123D 76540123E 76540123F

76540123C

``❅❅❅❅❅❅❅❅❅

OO ??⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

/.-,()*+A

77♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ 76540123B

ggPPPPPPPPPPPPPPP

Figura 16: Diagrama de Hasse.

13

M [R] A B C D E F

A 0 0 1 0 0 0B 0 0 1 0 0 0C 0 0 0 1 1 1D 0 0 0 0 0 0E 0 0 0 0 0 0F 0 0 0 0 0 0


Ejemplo 11. Para el grafo representado en la figura 17, obtenemos la matrizM [R] = (Xi,j)6×6 representada por la tabla 3.

76540123D 76540123E 76540123F

76540123C

❅❅❅❅❅❅❅❅❅

⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

/.-,()*+A

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ 76540123B

PPPPPPPPPPPPPPP

Figura 17: Grafo para obtener la matriz de adyacencia representada por latabla 3.

Algunas observaciones con respecto a la matriz de adyacencia

M [R]:

La matriz M [R] es una matriz booleana, lo cual permite optimizar elespacio para almacenarla y el tiempo para manipularla.

La matriz M [R] permite representar lazos.

La matriz M [R] no permite representar lados paralelos (debido a queopera sobre la definicion matematica de grafo (digrafo)).

La matriz M [R] es simetrica en el caso de los grafos, por ello no es unmodo muy eficiente de representacion.

La matriz M [R] no es simetrica en el caso de los digrafos.

14

M [R] A B C D E F

A 0 0 1 0 0 0B 0 0 1 0 0 0C 1 1 0 1 1 1D 0 0 1 0 0 0E 0 0 1 0 0 0F 0 0 1 0 0 0


2.2. Matriz de incidencia

Si el grafo (digrafo) esta definido como un esquema geometrico G =(V,E), podemos representarlo por medio de una matriz, llamada matrizde incidencia. Es necesario que presentemos dos definiciones para la matrizde incidencia, una para grafos y la otra para digrafos; situacion que nose presento, como pudimos observar, en la presentacion de la matriz deadyacencia.

Antes de presentar la matriz de incedencia para grafos, es necesaria lasiguiente definicion:

Definicion 12 (Vertices incidentes). SeaG = (V,E) un grafo, si e = {vi, vj}es un lado de G, entonces se dice que los vertices vi, vj son vertices incidentesal lado e.

Definicion 13 (Matriz de incidencia (grafo geometrico)). Sea G = (V,E)un grafo finito cualquiera. Podemos asociar a G, la matriz M [E], llamada

su matriz de incidencia y, tal que, si=

V = n y=

E = m, entonces:

M [E] = (Xi,j)n×m ⇐⇒ Xi,j =

{

1, si vi es incidente al lado ej ;

0, si vi no es incidente al lado ej .

Ejemplo 12. Dado el grafo representado en la figura 18, obtenemos lamatriz M [E] = (Xi,j)5×7 representada por la tabla 4.

Algunas observaciones acerca de la matriz de incidencia M [E]:

La matriz M [E] permite representar lazos.

La matriz M [E] permite representar lados paralelos.

15

/.-,()*+be2

�� e3

❃❃❃❃

❃❃❃❃

'&%$ !"#ae1

e7

e4 '&%$ !"#c

'&%$ !"#e e6 /.-,()*+de5

Figura 18: Grafo para obtener la matriz de incidencia representada por latabla 4.

M [E] e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7a 1 1 0 1 0 0 1b 0 1 1 0 0 0 0c 0 0 1 1 1 0 0d 0 0 0 0 1 1 0e 0 0 0 0 0 1 1

Cuadro 4: Matriz de incidencia para el grafo de la figura 18.

Antes de presentar la matriz de incidencia para digrafos, necesitamosalgunas definciones adicionales.

Definicion 14 (Extremos, vertice inicial, vertice final). Sea ~G = (V,E)un digrafo, si e = (vi, vj) es un lado de ~G, entonces los vertices vi, vj sonllamados los extremos del lado e. El vertice vi es llamdo el vertice inicial dellado e y el vertice vj es llamado el vertice final del lado e.

Definicion 15 (Matriz de incidencia (digrafo geometrico)). Sea ~G = (V,E)un digrafo finito cualquiera. Podemos asociar a ~G, la matriz M [E], llamada

su matriz de incidencia y, tal que, si=

V = n y=

E = m, entonces:

M [E] = (Xi,j)n×m ⇐⇒ Xi,j =

1, si vi es el vertice inicial del lado ej ;

−1, si vi es el vertice final del lado ej ;

0, si vi no es extremo del lado ej .

Ejemplo 13. Dado el grafo representado en la figura 19, obtenemos lamatriz de incidencia M [E] = (Xi,j)4×7:

Observe que la posicion Xa,e7 tiene el valor ±1, esto debido a que unlazo tiene como extremo inicial y extremo final el mismo vertice.

16

'&%$ !"#ae7

MMe1 ///.-,()*+b

e6

��

/.-,()*+d

e4

OO

e2 //'&%$ !"#c

e3

OO

e5

^^❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃❃

Figura 19: Digrafo para obtener la matriz de incidencia representada por latabla 5.

M [E] e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7a 1 0 0 −1 −1 0 ±1b −1 0 −1 0 0 1 0c 0 −1 1 0 1 0 0d 0 1 0 1 0 −1 0

Cuadro 5: Matriz de incidencia para el grafo de la figura 19.

3. Conectividad

3.1. Caminos y circuitos

Inicialmente realizaremos la formalizacion de ciertos conceptos vincula-dos con la nocion de conectividad, los cuales seran de importancia en lostemas subsiguientes. Comenzamos presentando las definiciones de camino ycircuito para un digrafo como objeto geometrico.

Definicion 16 (Enlace (digrafo geometrico)). Sea ~G = (V,E) un digra-fo. La relacion de enlace entre dos lados de un digrafo, representada porEd(ei, ej), esta definida por:

Sean ei = (xi, yi) y ej = (xj , yj) entonces,

Ed(ei, ey) ⇐⇒def.

(yi = xj).

Definicion 17 (Camino (digrafo geometrico)). Sea ~G = (V,E) un digrafocualquiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesion finita de ladosenlanzados, es decir,

Π = < s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (Ed(si, si+1))).

17

Un camino finito del vertice a al vertice b denotado por Π(a, b), definido por:

Π(a, b) =Π =

< s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (Ed(si, si+1))) ∧

((s1 = (a, y1) ∧ sn = (xn, b))).

Definicion 18 (Circuito (digrafo geometrico)). Sea ~G = (V,E) un digrafocualquiera. Un circuito denotado por Π(a) es un camino del vertice a alvertice a en el cual no es posible repetir lados, es decir:

Π(a) =Π(a, a) =

< s1, s2, . . . , sn−1, sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (Ed(si, si+1))) ∧

((s1 = (a, y1) ∧ sn = (xn, a))) ∧

(∀i ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} (i 6= j =⇒ si 6= sj)).

Para las definiciones de camino y circuito para el caso de los grafos comoobjetos geometricos, es necesario utilizar una nueva relacion de enlace entrelos lados de un grafo no dirigido.

Definicion 19 (Enlace (grafo geometrico)). Sea G = (V,E) un grafo. Larelacion de enlace entre lados de un grafo, representada por End(ei, ej), estadefinida por:

Sean ei = {xi, yi} y ej = {xj , yj} entonces,

End(ei, ey) ⇐⇒def.

((xi = xj) ∨ (xi = yj) ∨ (yi = xj) ∨ (yi = yj)).

Definicion 20 (Camino (grafo geometrico)). Sea G = (V,E) un grafo cual-quiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesion finita de ladosenlanzados, es decir,

Sea si = xi, yi un lado, entonces:

Π = < s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (End(si, si+1))) ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1) ∨ (xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1))).

Un camino finito del vertice a al vertice b denotado por Π(a, b), es uncamino Π =< s1s2 . . . sn > definido por:

18

Sean s1 = {a, y1}, s2 = {x2, y2}, sn−1 = {xn−1, yn−1} y sn = {b, yn}, en-tonces:

Π(a, b) =Π =

< s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (End(si, si+1))) ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1) ∨ (xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1))) ∧

((y1 = x2 ∨ y1 = y2) ∧ (xn−1 = xn ∨ yn−1 = xn)).

Definicion 21 (Circuito (grafo geometrico)). Sea G = (V,E) un grafo cual-quiera. Un circuito denotado por Π(a) es un camino del vertice a al verticea en el cual no es posible repetir lados, es decir:

Sean s1 = {a, y1}, s2 = {x2, y2}, sn−1 = {xn−1, yn−1} y sn = {a, yn}, en-tonces:

Π(a) =Π(a, a) =

< s1, s2, . . . , sn−1, sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (End(si, si+1))) ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1) ∨ (xi ∈ si−1 ∧ yi ∈ si+1))) ∧

((y1 = x2 ∨ y1 = y2) ∧ (xn−1 = xn ∨ yn−1 = xn)) ∧

(∀i ∀j ∈ {1, 2, . . . , n} (i 6= j =⇒ si 6= sj)).

Definicion 22 (Longitud de un camino (grafo o digrafo geometrico)). Sea~G = (V,E) un grafo (digrafo) cualquiera y Π(a, b) =< s1, s2, . . . , sn−1, sn >un camino del vertice a al vertice b. La longitud del camino Π(a, b) denotadapor l(Π(a, b)) esta definida por:

l(Π(a, b)) = l(< s1, s2, . . . , sn−1, sn >)

= n.

Dado que es posible considerar todo grafo (digrafo) matematico comoun grafo (digrafo) geometrico, es posible pensar que no es necesario ofrecerlas definiciones de camino, longitud de un camino y circuito para los grafos(digrafos) como objetos matematicos, ya que se realizaron dichas definicio-nes para los grafos (digrafos) como objetos geometricos. Sin embargo comose observara en las secciones posteriores, las definiciones y en particular al-gunas demostraciones relacionadas con la conectividad entre los vertices de

19

una grafo, son mucho mejor presentadas si se trabaja con los grafos (digra-fos) como objetos matematicos. Por esta razon presentamos las definicionesmencionadas para los grafos (digrafos) como objetos matematicos.

Definicion 23 (Camino (grafo o digrafo matematico)). Sea G = (V,R) ungrafo (digrafo) cualquiera. Un camino finito denotado por Π es una sucesionfinita de vertices enlazados, es decir,

Π = < s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (R(si, si+1))).

Aunque denotamos las sucesiones de vertices enlazados y lados enlazadoscon los mismos sımbolos (< s1, s2, . . . , sn >), el contexto aclarara a cual deellos corresponde.

Un camino finito del vertice a al vertice b denotado por Π(a, b), es uncamino Π =< s1, s2, . . . , sn > definido por:

Π(a, b) =Π =

< s1, s2, . . . , sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (R(si, si+1))) ∧

(a = s1 ∧ b = sn).

Definicion 24 (Circuito (digrafo matematico)). Sea ~G = (V,R) un digrafocualquiera. Como vimos en la definicion de un circuito para una digrafocomo objeto geometrico, un circuito denotado por Π(a) es un camino delvertice a al vertice a en el cual no es posible repetir lados. La sucesionque constituye un circuito para un digrafo como objeto matematico, es unsucesion de vertices, por la tanto, la no repeticion de lados se traduce en queno se pueden repetir parejas de vertices en la sucesion, por lo que el circuitoesta definido por:

Π(a) =Π(a, a)

=< s1, s2, . . . , sn−1, sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (R(si, si+1))) ∧

(a = s1 ∧ a = sn) ∧

(∀i ∀j ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((i < j ∧ si = sj) =⇒ (si+1 6= sj+i)).

Definicion 25 (Circuito (grafo matematico)). Sea G = (V,R) un grafocualquiera. Como acabamos de observar, la definicion de un circuito parauna digrafo como objeto matematico, no admite la existencia de parejas de

20

vertices repetidas en la sucesion de vertices que componen el circuito. En elcaso de una grafo, es necesario anadir que si los vertices vi, vj estan contiguosen la sucesion, no es posible admitir posteriormente la existencia de nuevode los vertices vj , vi contiguos en la sucesion, por la cual la definicion de uncircuito esta dada por:

Π(a) =Π(a, a)

=< s1, s2, . . . , sn−1, sn > ∧

(∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (R(si, si+1))) ∧

(a = s1 ∧ a = sn) ∧

(∀i ∀j ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((i < j ∧ si = sj) =⇒ (si+1 6= sj+i)) ∧

(∀i ∀j ∈ {1, 2, . . . , n− 1} ((i < j ∧ xi = xj+1) =⇒ (xi+1 6= xj)).

Definicion 26 (Longitud de un camino (grafo o digrafo matematico)). SeaG = (V,R) un grafo (digrafo) cualquiera y Π(a, b) =< a, s2, . . . , sn−1, b >un camino del vertice a al vertice b. La longitud del camino Π(a, b) denotadapor l(Π(a, b)) esta definida por:

l(Π(a, b)) = l(< a, s2, . . . , sn−1, b >)

= n− 1.

Ejemplo 14. La figura 20, nos modeliza la estructura de un cierto tipo deelecciones de acciones a realizar.

/.-,()*+5

��❄❄❄

❄❄❄❄

❄

/.-,()*+A //

��

/.-,()*+4

@@✁✁✁✁✁✁✁✁ //

��✁✁✁✁✁✁✁✁

76540123C ///.-,()*+2

��⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

76540123B

OO

/.-,()*+3

WW

/.-,()*+7

OO

///.-,()*+8

OO

Figura 20: Grafo para seleccionar algunos caminos y circuitos sobre el.

De la figura, descubrimos caminos de longitud especificadas, e igualmen-te circuitos sobre ~G.

Π1(A, 8) =< A, 4, 5, C, 2, 7, 8 >, l(Π1) = 6

Π2(A) =< A, 4, 3, A >, l(Π2) = 3

21

Π3(C) =< C, 2, 7, C >, l(Π3) = 3

Π4(B) =< B,A,B >, l(Π4) = 2

Π5(3, 7) =< 3, A, 4, C, 2, 7 >, l(Π5) = 5

Observemos que no existe Π(5), es decir, no exite un circuito que se ori-gine a partir del vertice 5.

3.2. Relacion de n-conectividad Rn

Presentamos a continuacion la relacion de n-conectividad sobre un di-grafo ~G, esta relacion nos representa los caminos de longitud n sobre eldigrafo.

Definicion 27 (Relacion de n-conectividad). Sea ~G = (V,R) un digrafo yn un entero positivo. Definimos en V la relacion de n-conectividad denotapor Rn, como sigue:

Rn(x, y) ⇐⇒def.

(∃Π)(Π(x, y) ∧ l(Π) = n).

Ejemplo 15. Consideremos el grafo dirigido ~G, representado por la figu-ra 21:

/.-,()*+d

��

'&%$ !"#a-- ///.-,()*+b //'&%$ !"#c

@@✁✁✁✁✁✁✁✁

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃

'&%$ !"#e

Figura 21: Digrafo para obtener la relacion de 2-conectividad

Observemos que:

R2(a, c), puesto que: R(a, b) ∧R(b, c), luego (∃Π)(Π(a, c) ∧ l(Π) = 2);

R2(b, c), puesto que: R(b, c) ∧R(c, d), luego (∃Π)(Π(b, d) ∧ l(Π) = 2);

22

R2(a, a), puesto que: R(a, a) ∧R(a, a), luego (∃Π)(Π(a, a) ∧ l(Π) = 2).

Es posible observar ademas que,R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, d), (b, e), (c, e)}.

Esta relacion R2 sobre V = {a, b, c, d, e} nos define una nuevo grafo <V,R2 >, grafo dado por los vertices y las relaciones que indican los verticesque estan conectados por caminos de longitud 2. Este nuevo grafo, para elejemplo, lo representamos por la figura 22.

'&%$ !"#a-- //

��

/.-,()*+b //

��

/.-,()*+d

'&%$ !"#c // '&%$ !"#e

Figura 22: Grafo definido por la relacion R2.

Para presentar algunos teoremas importantes de la teorıa de grafos, ne-cesitamos previamente definir algunas operaciones booleanas, operacionesque operan sobre las matrices booleanas.

Definicion 28 (Operaciones booleanas). Como mencionamos anteriormen-te, una matriz booleana es una matriz cuyos elementos son cero o uno. Lastablas 6 y 7 definen las operaciones booleanas ⊕ y ⊗ respectivamente.

⊕ 0 1

0 0 11 1 1

Cuadro 6: Operacion booleana ⊕.

⊗ 0 1

0 0 01 0 1

Cuadro 7: Operacion booleana ⊗.

Como el lector puede observar, las operaciones ⊕ y ⊗ corresponden ladisyuncion (∨) y a la conjuncion (∧) logicas, respectivamente.

23

Sean Am×p y Bp×n dos matrices booleanas. Se define el producto boo-leano de matrices A⊙B por:

A⊙B = (Xi,j)m×n

= Xi,j = (ai,1 ⊗ b1,j)⊕ (ai,2 ⊗ b2,j)⊕ · · · ⊕ (ai,p ⊗ bp,j).

Es decir, el producto booleano de matrices es similar al producto de matrices,excepto que se cambian las operaciones de suma y multiplicacion ordinariaspor las operaciones ⊕ y ⊗ respectivamente.

Teorema 1. Sea ~G = (V,R) un digrafo finito y sea ~G2 = (V,R2) el digrafoobtenido mediante la relacion de 2-conectividad R2, entonces:

M [R2] =M [R]⊙M [R]

Demostracion. Sean M [R]n×n, Xi,j ∈M [R2] Yi,k ∈M [R] y Yk,j ∈M [R].

Probemos que Xi,j = 1 ⇐⇒ R(vi, vk) ∧ R(vk, vj). Es decir, probemos queexiste un camino de longitud 2 del vertice i al vertice j si y solo si existe al-gun vertice k, tal que, exista un camino de longitud 1 del vertice i al verticek y exista un camino de longitud 1 del vertice k al vertice j. Ası:

① R(vi, vk) ∧R(vk, vj) Hipotesisauxiliar

② Yi,k = 1 ∧ Yk,j = 1 Definicionde M [R]

③ Yi,k ⊗ Yk,j = 1④ Xi,j = (Yi,1⊗Y1,j)⊕· · ·⊕(Yi,k⊗Yk,j)⊕· · ·⊕(Yi,n⊗Yn,j) = 1⑤ M [R2] =M [R]⊙M [R]

Podemos extender el teorema 1 a la relacion de n-conectividad.

Teorema 2. Sea ~G = (V,R) un digrafo finito y sea ~Gn = (V,Rn) el digrafoobtenido mediante la relacion de n-conectividad Rn, entonces para n ≥ 1:

M [Rn] =M [R]⊙M [R]⊙ · · · ⊙M [R]︸︷︷︸

n veces

Demostracion. Por induccion finita:

1. Para n = 1Como R1 = R entonces M [R1] =M [R]

24

2. Hipotesis inductiva: Supongamos para n = k valido el teorema

3. Probemos la validez del teorema para n = k + 1 (con ayuda de lahipotesis inductiva).

Sea M [R]n×n, Xi,j ∈M [Rk+1] y Zi,j ∈M [Rk]⊙M [R].

Probemos que Xi,j = 1 ⇐⇒ Zi,j = 1

① Xi,j = 1 Hipotesis auxi-liar

② ∃Π(Π(vi, vj) ∧ l(Π) = k + 1③ ∃Π′(Π′(vi, vk) ∧R(vk, vj) ∧ l(Π

′) = k)④ Rk(vi, vk) ∧R(vk, vj)⑤ Yi,k = 1 ∧ Wk,j = 1, Yi,k ∈ M [Rk] ∧

Wk,j ∈M [R]⑥ Yi,k ⊗Wk,j = 1,⑦ Zi,j = (Yi,1⊗W1,j)⊕· · ·⊕ (Yi,k⊗Wk,j)⊕· · ·⊕

(Yi,n ⊗ Yn,j) = 1⑧ M [Rn] =M [R]⊙M [R]⊙ · · · ⊙M [R]

︸︷︷︸

n veces

Por principiode induccioncompleta

El retorno Zi,j = 1 =⇒ Xi,j = 1 es inmediato de la demostracion anterior.

3.3. Relacion de conectividad general R∞

La relacion de conectividad general sobre un digrafo ~G, nos representatodos los caminos posibles sobre el digrafo.

Definicion 29 (Relacion de conectividad general). Sea ~G = (V,R) un digra-fo cualquiera, definimos en V la relacion de conectividad general denotadapor R∞:

R∞(x, y) ⇐⇒def.

(∃Π)(Π(x, y)).

Es decir, R∞(x, y) si y solo si existe un camino que va de x a y.

Ejemplo 16. Para el grafo representado por la figura 21 podemos observarque:R∞ = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e)}.

25

Teorema 3. Sea ~G = (V,R) un digrafo tal que,=

V = n, entonces

R∞ = R1 ∪R2 ∪ · · · ∪Rn =n⋃

i=1

Ri,

donde ∪ denota la union de conjuntos.

Demostracion. Ejercicio.

Ejemplo 17. Consideremos el grafo del ejemplo 16, para el cual

M [R] =

1 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0

.

Por el teorema 2 (o por el teorema 1), M [R2] =M [R]⊙M [R].

M [R2] =

1 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0

⊙

1 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 0

=

1 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 00 0 0 0 0

.

Observemos, del ejemplo 15, que M [R2] es efectivamente la matriz de adya-cencia de R2:

Observe que si X3,5 ∈M [R2] entonces X3,5 = 1, ya que,

X3,5 = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) = 1.

Igualmente X2,3 = 0 ya que,

X2,3 = (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) ∨ (0 ∧ 0) = 0.

Para calcular R∞ por metodos matriciales usaremos la suma booleana,pero postergamos este metodo, hasta una seccion posterior en donde estu-diaremos un metodo mas optimo de realizarlo, conocido como algoritmo deWarshall.

26

3.4. Grafos conexos

Definicion 30 (Grafo asociado). Sea ~G = (V,R) un digrafo finito. El grafoobtenido al eliminar las direcciones de los lados de ~G lo llamamos su grafo(no dirigido) asociado.

Definicion 31 (Grafo conexo). Sea G = (V,R) un grafo. G es conexo siy solo si, dados dos vertices diferentes cualesquiera, existe un camino entreellos.

G es conexo ⇐⇒def.

(∀va∀vb)(va, vb ∈ V ∧ va 6= vb =⇒ R∞(va, vb)).

Definicion 32 (Digrafo conexo). Sea ~G un grafo dirigido, ~G es conexo si ysolo si su grafo asociado es conexo.

Ejemplo 18. Consideremos los grafos: G1 representado por la figura 23,~G2 representado por la figura 24, G3 representado por la figura 25 y ~G4

representado por la figura 26.

'&%$ !"#c

'&%$ !"#a /.-,()*+b

/.-,()*+d

Figura 23: Grafo no conexo.

'&%$ !"#a ///.-,()*+b

��

// '&%$ !"#z

76540123B

��⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

��❄❄❄

❄❄❄❄

❄❄

__❄❄❄❄❄❄❄❄❄

??⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

/.-,()*+d '&%$ !"#e

Figura 24: Grafo conexo.

Observemos que de acuerdo a nuestras definiciones los grafos G1 y G3 sonno conexos (inconexos), mientras que los grafos ~G2 y ~G4 son conexos.

27

/.-,()*+1

✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕✕

/.-,()*+2

✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮✮

'&%$ !"#a /.-,()*+b

��

'&%$ !"#c

/.-,()*+3 /.-,()*+4

Figura 25: Grafo no conexo.

76540123B 76540123D

✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍✍

76540123H

76540123E

❅❅❅❅

❅❅❅❅

⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

76540123C 76540123F /.-,()*+J

Figura 26: Grafo conexo.

3.5. Grafos simplemente conexos y relacion de conectividad

simple

Consideremos un grafo G = (V,R). Podemos definir sobre G una nuevarelacion llamada relacion de conectividad simple, que nos particiona el grafode acuerdo a las relaciones de conectividad entre sus vertices.

Definicion 33 (Relacion conectividad simple). Sea G = (V,R) un grafo, osi ~G es dirigido su grafo asociado. Definimos en V la relacion de conectividadsimple (tambien llamada relacion de accesibilidad), denotada por RC , comosigue:

RC(va, vb) ⇐⇒def.

(va = vb) ∨ R∞(va, vb).

Antes de probar que RC es una relacion de equivalencia; es necesariointroducir la nocion de composicion de caminos en un grafo.

Definicion 34 (Composicion de caminos). Sean Π1(a, b), Π2(b, d) dos ca-minos en un grafo G, luego

28

Π1 ◦Π2 =< a, . . . , b, . . . , d > es un camino en G. Esto es,

si Π1 =< a, x1, x2, . . . , xn−1, b > y Π2 =< b, y1, y2, . . . , ym−1, d > es decir,l(Π1) = n y l(Π2) = m, entonces Π1◦Π2 =< a, x1, x2, . . . , xn−1, b, y1, y2, . . . , ym−1, d >es un camino de a hasta b, y de longitud n+m.

Teorema 4. La relacion de conectividad simple RC , definida sobre G esuna relacion de equivalencia.

Demostracion. Demostremos que RC satisface los axiomas de la teorıa derelaciones de equivalencia.

1. Reflexividad:Para todo v ∈ V tenemos① v = v② (v = v) ∨R∞(v, v)③ RC(v, v)

2. Simetrıa:Sean v1, v2 ∈ V tales que① RC(v1, v2) Hipotesis auxiliar② (v1 = v2) ∨R

∞(v1, v2) Definicion de RC

③ (v1 = v2) ∨ (∃Π)(Π(v1, v2)) Definicion de R∞

④ (v2 = v1) ∨ (∃Π)(Π(v2, v1)) G es no dirigido, o el grafo aso-ciado de un grafo dirigido

⑤ (v2 = v1) ∨R∞(v2, v1) Definicion de R∞

⑥ RC(v2, v1) Definicion RC

3. Transitividad:Sean v1, v2, v3 ∈ V tales que RC(v1, v2) ∧ RC(v2, v3). De acuerdo a ladefinicion de la relacion RC se obtiene que:

((v1 = v2) ∨R∞(v1, v2)) ∧ ((v2 = v3) ∨R

∞(v2, v3)),

de donde surgen cuatro posibles casos:

a) caso 1① (v1 = v2) ∧ (v2 = v3) Hipotesis auxiliar② v1 = v3 Transitividad de la igualdad③ RC(v1, v3) Definicion RC

29

b) caso 2① (v1 = v2) ∧R

∞(v2, v3) Hipotesis auxiliar② R∞(v1, v3)) Por ①

③ RC(v1, v3) Definicion RC

c) caso 3① R∞(v1, v2) ∧ (v2 = v3) Hipotesis auxiliar② R∞(v1, v3)) Por ①

③ RC(v1, v3) Definicion RC

d) caso 4① R∞(v1, v2) ∧R

∞(v2, v3) Hipotesis auxiliar② ∃Π1(v1, v2) ∧ ∃Π2(v2, v3) Definicion de R∞

③ ∃(Π1 ◦Π2)(v1, v3) Composicion de caminos④ RC(v1, v3) Definicion RC

El teorema 4 nos garantiza que la relacion RC clasifica o particiona ungrafo G en tipos o clase de subgrafos denominados componentes simplementeconexas. La clase modulo RC , definida por:

cl(v) = {vi ∈ V/RC(vi, v)},

representa el todos los vertices de V que estan conectados con el verticev ∈ V .

Definicion 35 (Componente simplemente conexa). El subgrafo de G dadopor < cl(v), RC > es llamado componente simplemente conexa.

Definicion 36 (Grafo simplemente conexo). Un grafo G es simplementeconexo o tambien denominado conexo si y solo si, G/RC (la particion de Ginducida por la relacion RC) es un conjunto unitario.

Ejemplo 19. Para el grafo de la figura 27 tenemos:

cl(1) = {1, 2, 3} = cl(2) = cl(3);cl(0) = {0, 4, 5};G/RC = {cl(0), cl(1)}.

Las componentes simplementes conexas son los grafos: G1 = (cl(1), RC),representado por la figura 28, y G2 = (cl(0), RC), representado por la figu-ra 29.

30

/.-,()*+1

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+3

/.-,()*+2

/.-,()*+4

��

/.-,()*+0

/.-,()*+5

Figura 27: Grafo para obtener sus componentes simplemente conexas.

/.-,()*+1

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+3

/.-,()*+2

Figura 28: Componente simplemente conexa (1).

3.6. Grafos fuertemente conexos y relacion de conectividad

fuerte

Consideremos de nuevo un grafo G = (V,R). Podemos definir sobre Guna nueva relacion llamada relacion de conectividad fuerte, de manera quenos particione el grafo de acuerdo a las circuitos presentes en el.

Definicion 37 (Relacion de conectividad fuerte). Sea G = (V,R) un gra-fo (digrafo) cualquiera. Definimos en G la relacion de conectividad fuerte,denotada por RF , como sigue:

RF (va, vb) ⇐⇒def.

(va = vb) ∨ (∃v)(∃Π)(Π(v) ∧ va, vb ∈ Π(v)).

Es decir, va = vb o existe un circuito que contiene a va y vb como vertices.

Ejemplo 20. Para el grafo de la figura 30 vemos que:

(a, b) ∈ RF , (a, d) ∈ RF , (d, a) ∈ RF , y

31

/.-,()*+4

��

/.-,()*+0

/.-,()*+5

Figura 29: Componente simplemente conexa (2).

'&%$ !"#a /.-,()*+b

��

'&%$ !"#c

/.-,()*+d /.-,()*+h

Figura 30: Grafo para obtener algunas relaciones de conectividad fuerte.

(a, c) /∈ RF , (b, h) /∈ RF , (d, c) /∈ RF .

AdemasRF = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, c), (d, a), (d, b), (d, d), (h, h)}.

Teorema 5. Sea G = (V,R) un grafo cualquiera. La relacion de conectividadfuerte RF , particiona a G en componentes o subgrafos llamados fuertementeconexos.

Demostracion. Es necesario demostrar que RF es una relacion de equiva-lencia en G. La demostracion de este teorema se deja como ejercicio.

La particion enunciada por el teorema 5 es el conjunto cociente G/RF ,donde, cada clase modulo RF es de la forma:

cl(v) = {vi ∈ V/(∃a ∈ V ) ∧ (∃Π(a))(v, vi ∈ Π(a))},

es decir, cl(v) = {vi ∈ V/ existe un circuito Π(a) tal que, v, vi ∈ Π(a)}.

Definicion 38 (Componente fuertemente conexa). El subgrafo de G deter-minado por < cl(v), RF > se denomina componente fuertemente conexa (osea, un tipo especıfico de circuito del grafo G).

Ejemplo 21. Para el grafo dirigido ~G definido por la figura 31 tenemos:

cl(a) = {a, b};

32

/.-,()*+b

��

'&%$ !"#coo

��

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃❃/.-,()*+koo

'&%$ !"#a

@@✁✁✁✁✁✁✁✁✁ /.-,()*+A

OO

/.-,()*+d

OO GG✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ '&%$ !"#eoo

Figura 31: Grafo para obtener sus componentes fuertemente conexas.

cl(c) = {c, d, e, A, k};

~G/RF = {cl(a), cl(c)}.

Las componentes fuertemente conexas son los grafos: ~G1 = (cl(a), RF ), re-presentado por la figura 32, y ~G2 = (cl(c), RF ), representado por la figura 33.

/.-,()*+b

��'&%$ !"#a

??��

Figura 32: Componente fuertemente conexa (1).

'&%$ !"#c

��

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃❃/.-,()*+koo

/.-,()*+A

OO

/.-,()*+d

GG✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏ '&%$ !"#eoo

Figura 33: Componente fuertemente conexa (2).

Definicion 39 (Grafos fuertemente conexo). Un grafoG se dice fuertementeconexo si y solo, si la particion G/RF es un conjunto unitario.

Ejemplo 22. El grafo G de la figura 34 es un grafo fuertemente conexo.

33

'&%$ !"#a '&%$ !"#c

/.-,()*+d 76540123f

Figura 34: Grafo fuertemente conexo.

cl(A) = {A,C,D, F};

G/RF = {cl(a)}.

El grafo G del ejemplo 20 y el grafo ~G del ejemplo 21 no son fuertementeconexos.

3.7. Circuito de Euler

Como mencionamos en la introduccion, se afirma que la teorıa de grafoses una de las pocas ramas de la matematicas que tiene un fecha de nacimientoexacta. El matematico suizo Leonard Euler (1707-1783) publico el primerartıculo sobre teorıa de grafos (1736), enunciando en este, la solucion a unode los problemas matematicos que hasta la fecha, no tenıa solucion, conocidocomo el Problema de los puentes de Konisgberg.

La ciudad de Konisgberg (hoy llamada Kaliningrado), en Prusia Orien-tal, esta situada sobre las riberas y sobre dos islas del rıo Pregel. Las distintaspartes de la ciudad se hallan conectadas por siete puentes. El Problema delos puentes de Konisgberg consiste en: ¿Sera posible salir a dar un paseodesde algun punto de la ciudad, cruzar los siete puentes exactamente unavez y regresar al punto de partida?

Desde la lente de la teorıa de grafos, se puede considerar cada parte dela ciudad como un vertice de un grafo y cada puente como un lado de dichografo, tal grafo esta representado por la figura 35.

Euler demostro que en este grafo no se puede construir lo que se de-nomina actualmente un circuito de Euler. De allı, que el recorrido de laciudad, pasando por cada puente una y sola una vez, y regresando al puntode partida, no es posible.

Definicion 40 (Circuito de Euler). Sea G = (V,E) un grafo cualquiera. Uncircuito CE se dice circuito de Euler si y solo si CE es un circuito que pasapor cada lado e ∈ E, una y sola una vez.

34

/.-,()*+A❅❅

❅❅❅❅

❅❅❅

76540123B 76540123C

76540123D

⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

Figura 35: Grafo para los puentes de Konisgberg.

Antes de presentar un teorema que nos permite saber si en un grafo existeo no un circuito de Euler, es necesario que presentemos algunas definiciones.

Definicion 41 (Lado incidente). Sea G = (V,E) un grafo cualquiera. Sie = {v1, v2} ∈ E, se dice que e es un lado incidente en los vertices v1 y v2.

Definicion 42 (Grado o valencia de un vertice). Sea G = (V,E) un grafocualquiera. Sea v ∈ V un vertice de G. Llamamos grado o valencia de v,denotado por λ(v), al numero de lados incidentes en v, luego:

λ(v) = m ssi m es el numero de lados incidentes en v.

Ejemplo 23. Para el grafo representado por la figura 36 tenemos:

/.-,()*+A 76540123B

76540123C

Figura 36: Grafo para obtener la valencia de sus vertices.

λ(A) = 4;

λ(B) = λ(C) = 1.

Observe que un lazo, incide dos veces sobre el vertice.

Para el grafo que esquematiza la ciudad de Konisgberg (figura 35) tene-mos que:λ(A) = λ(C) = λ(D) = 3 y

35

λ(B) = 5.

Presentamos sin demostracion el teorema que nos permite determinar siexiste un circuito de Euler en un grafo G.

Teorema 6. Un grafo G tiene un circuito de Euler ssi es conexo y todossus vertices tienen valencia par.

Ejemplo 24. El grafo representado por la figura 37 es conexo y todos susvertices tiene valencia par, entonces tiene un circuito de Euler. El circuitode Euler esta dado por: CE =< v1, v2, v3, v1 >.

76540123v1 // 76540123v2

~~⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

76540123v3

`❇❇❇❇❇❇❇❇❇

Figura 37: Grafo con un circuito de Euler

De acuerdo al ejemplo 23 el grafo que esquematiza la ciudad de Konisg-berg (figura 35) no tiene un circuito de Euler porque todos sus vertices tienenvalencia impar.

4. Subgrafos

Definicion 43 (Subgrafo). Sean G = (V,R) y G′ = (V ′, R′) dos grafos(digrafos) cualquiera. Decimos que el grafo G′ es un subgrafo del grafo G ssi(V ′ ⊆ V ) ∧ (R′ ⊆ R).

Sean G = (V,E) y G′ = (V ′, E′) dos grafos (digrafos) cualquiera. Decimosque el grafo G′ es un subgrafo del grafo G ssi (V ′ ⊆ V ) ∧ (E′ ⊆ E).

Ejemplo 25. El grafo representado por la figura 39 es un subgrafo del graforepresentado por la figura 38.

5. Cerraduras

Sea G = (V,R) un grafo (digrafo). Si R no posee las propiedades dealgun tipo de relacion (en particular reflexividad, simetrıa y transitividad),es deseable adicionar a R las parejas ordenadas que hacen falta para poseer

36

'&%$ !"#a

✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡✡

✹✹✹✹

✹✹✹✹

✹✹✹✹

✹✹✹✹

✹✹✹✹

✹✹✹✹

/.-,()*+1

��

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2

⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧⑧

/.-,()*+3❄❄

❄❄❄❄

❄❄

76540123B 76540123C

Figura 38: Grafo del cual se obtuvo el subgrafo de la figura 39.

/.-,()*+1

��

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2 /.-,()*+3

Figura 39: Subfrafo del grafo de la figura 38.

la propiedad en cuestion. Naturalmente se desea adicionar tan pocas parejasordenadas como sea posible, es decir, se necesita encontrar la mas pequenarelacion R′ ⊂ V × V que contenga a R y que posea la propiedad deseada.R′ es llamada la cerradura (o clausura) de R con respecto a la propiedad encuestion.

Suponemos en esta seccion ya conocidas por el lector las propiedades delas relaciones binarias.

Definicion 44 (Relacion identidad). Sea G = (V,R) un grafo (digrafo). Larelacion de identidad, denotada por Ri, esta definida por:

Ri = {(v, v)/v ∈ V }.

Definicion 45 (Relacion inversa). Sea G = (V,R) un grafo (digrafo). Larelacion inversa de R, denotada por R−1, esta definida por:

R−1 = {(vj , vi)/(vi, vj) ∈ R}.

Definicion 46 (Cerradura reflexiva de R). La cerradura reflexiva de R,denotada por Re, es la relacion definida por:

Re = R ∪Ri,

37

es decir, es la relacion que resulta de poner unos en la diagonal principalde la matriz de adyacencia M [R] del grafo G (es anadir los bucles o lazosnecesarios hasta que todos los vertices esten conectados a si mismos con unbucle).

El grafo (digrafo) resultante Ge = (V,Re) es el cierre reflexivo del grafo(digrafo) G = (V,R), es decir Ge es el menor grafo (digrafo) reflexivo quecontiene a G como subgrafo.

Definicion 47 (Cerradura simetrica de R). La cerradura simetrica de R,denotada por R←→, es la relacion definida por:

R←→ = R ∪R−1.

El grafo resultante G←→ = (V,R←→) es el cierre simetrico del grafo(digrafo) G = (V,R), es decir, G←→ es el menor grafo simetrico que contienea G como subgrafo.


/.-,()*+1

��

��❃❃❃

❃❃❃❃

❃

/.-,()*+2 //

��

/.-,()*+3

��/.-,()*+4 ///.-,()*+5

Figura 40: Grafo para obtener las relaciones Ri, Re, R←→ y R+.

R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)}.

Ri (identidad) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}.

R−1 (inversa) = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (5, 4)}.

Re(cerradura reflexiva) = R ∪Ri =.{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5)(4, 5)}.

R←→ (cerradura simetrica) = R ∪R−1 ={(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5)(4, 5), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 3), (5, 4)}.

38

Definicion 48 (Cerradura transitiva de R (definicion 1)). Sea G = (V,R)un grafo (digrafo) cualquiera. El cierre transitivo de G, denotado por G+ =(V,R+), esta definido por la menor relacion R+ sobre V que sea transitivay que contenga a R como subgrafo, es decir:

1. R+ es transitiva.

2. R ⊆ R+.

3. S transitiva y R ⊆ S =⇒ R+ ⊆ S.

Teorema 7. Sea G = (V,R) un grafo (digrafo), G es transitivo si y solo si,Rn ⊆ R.

Demostracion. =⇒Probemos que se cumple para todo n ≥ 1.① Sea (x, y) ∈ Rn Hipotesis auxiliar② G es transitivo Hipotesis③ ∃Π(Π(x, y) ∧ l(Π) = n) Por ①

④ Sea Π =< x, x2, . . . , xn−1, y >∧ (∀i ∈ {1, 2, . . . , n −1} (R(xi, xi+1)))

Definicion de caminio

⑤ (∀i ∈ {1, 2, . . . , n− 1} (R(xi, xi+1))) Simplificacion de ④

⑥ R(x, x1)∧R(x1, x2)∧· · ·∧R(xn−1, y) Expansion de ⑤

⑦ R(x, y) Por ② (R es transitiva)⑧ Luego (x, y) ∈ R Por ⑦

⑨ Rn ⊂ R

La demostracion reciproca se deja como ejercicio.

Teorema 8. Sea G = (V,R) un grafo (digrafo) cualquiera, entonces R+ =R∞. Es decir, la clausura transitiva es igual a la relacion de conectividadgeneral sobre G = (V,R).

Demostracion.

1. R∞ es una relacion transiva① (x, y) ∈ R∞ ∧ (y, z) ∈ R∞ Hipotesis auxiliar② (∃Π1)(Π1(x, y)) ∧ (∃Π2)(Π2(y, z)) Por ①

③ (∃Π3)(Π3 = Π1 ◦Π2 ∧Π3(x, z)) Por ②

④ R∞(x, z) Por ③

2. R ⊆ R∞. Por definicion de R∞ .

39

3. R∞ es la menor relacion que contiene a R y es transitiva① Sea S una relacion transitiva Hipotesis auxiliar② R ⊆ S Hipotesis auxiliar③ R∞ ⊆ S∞ Todo camino en R, es

un camino en S④ Sn ⊂ S Teorema 7

⑤⋃

=

Vn=1

Sn ⊆ S Por ④

⑥ S∞ ⊆ S, S∞ =⋃

=

Vn=1

Sn Teorema 3⑦ R∞ ⊆ S Por ③ y ⑥

Luego R∞ es la menor relacion transitiva que contiene a R y, por ende,R+ = R∞. Ası: G+ =< V,R∞ >.

Con base en el teorema anterior podemos ofrecer una definicion alterna-tiva para la cerradaura transitiva.

Definicion 49 (Cerradura transitiva de R (definicion 2)). La cerraduratransivita de R, denotada por R+, es la relacion definida por:

R+ =V⋃

n≥1

Rn,

donde Rn es la relacion de n-conectividad.Es decir, el cierre transitivo del grafo (digrafo) G = (V,R) es el grafo

(digrafo) transitivo G+ = (V,R+), donde R+ es el menor conjunto de parejasordenadas que se obtienen de tomar los extremos de todos los caminos (sinimportar su longitud).

Intuitivamente es claro que si G = (V,R) es un grafo transitivo y siexiste un camino de longitud n > 1 de vi a vj , entonces existe un camino delongitud n = 1 de vi a vj , es decir, R(vi, vj).

Existe un procedimiento mecanico llamado algoritmo de Warshall parael calculo de la cerradura transitiva de un grafo. Este algoritmo lo presen-taremos en una proxima seccion.


R = {(1, 1), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 5)}.

R1 = R.

40

R2 = R⊙R = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 5)}.

R3 = R⊙R2 = {(1, 5)}.

R4 = R⊙R3 = ∅.

R5 = R⊙R4 = ∅.

R+ (cerradura transitiva) =⋃V

n≥1Rn = R ∪R2 ∪R3 ∪R4 ∪R5 =

{(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 5)(4, 5), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 5), (1, 5)}.

6. Isomorfismo de grafos

Sabemos que la relacion de isomorfismo es un relacion entre estructurascuya funcion esencial es reconocer y clasificar aquellas que son estructu-ralmente identicas. Igualmente sabemos que toda propiedad o formula quesatisfaga una estructura debe satisfacer la la otra. Tales propiedades lasdenominamos invariantes.

Definicion 50 (Isomorfismo de grafos). Sean G = (V,R) y G′ = (V ′, R′)dos grafos (digrafos). Decimos que G es isomorfo a G′ si y solo si, existe unafuncion biyectiva φ: V → V ′, tal que:

(v1, v2) ∈ R⇒ (ψ(v1), ψ(v2)) ∈ R′; para todo v1, v2 ∈ V .

La funcion ψ: V → V ′ se denomina isomorfismo de grafos. Escribimosψ: G ⋍ G′ para indicar que G es isomorfo a G′.

Ejemplo 28. Los grafos G1 = (V1, R1) y G2 = (V2, R2), representados porlas figuras 41 y 42 respectivamente, son isomorfos.

G1 ⋍ G2, ya que,=

V1 ==

V2 = 4; ademas podemos definir la funcion ψ:V1 → V2 tal que ψ(1) = 2, ψ(2) = b, ψ(3) = c y ψ(4) = d. Entonces,(1, 2) ∈ R1 y (ψ(1), ψ(2)) ∈ R2; (1, 4) ∈ R1 y (ψ(1), ψ(4)) ∈ R2; igualmentepara las parejas restantes.

Teorema 9. Dos grafos G1 y G2 son isomorfos si y solo, si para algunorden establecido sobre sus vertices y lados las matrices de incidencia soniguales.

41

/.-,()*+1

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2

/.-,()*+3 /.-,()*+4

Figura 41: G1 isomorfo al grafo de la figura 42.

'&%$ !"#a

❂❂❂❂

❂❂❂❂

/.-,()*+b

'&%$ !"#c

✁✁✁✁✁✁✁✁✁ /.-,()*+d

Figura 42: G2 isomorfo al grafo de la figura 41.

En el trabajo con grafos, un aspecto importante es el concerniente conla determinacion de grafos que no son isomorfos. Aunque existen algoritmosque pueden determinar en buena medida si dos pares de grafos son isomorfos,una forma de determinar que no lo son consiste en buscar una invarianteque no se preserve (por ejemplo: numero de lados, grado o valencia de losvertices, longitudes de caminos, etc.)

Ejemplo 29. Los grafos G1 y G2, representados por las figuras 43 y 44respectivamente, no son isomorfos puesto que G1 tiene siete lados y G2

tiene ocho lados.

'&%$ !"#a /.-,()*+b

'&%$ !"#e

'&%$ !"#c /.-,()*+d

Figura 43: G1 no isomorfo al grafo de la figura 44.

Ejemplo 30. Los grafos Ga y Gb, representados por las figuras 45 y 46respectivamente, no son isomorfos.

El vertice b en Ga es adyacente a dos vertices, luego le podriamos asociarel vertice 6 de Gb. Igualmente el vertice q de Ga se podria corresponder conel el vertice 1 de Gb. En Ga no existen mas vertices de grado dos, y en Gb

42

/.-,()*+0

��

/.-,()*+1

/.-,()*+2 /.-,()*+3 /.-,()*+4

Figura 44: G2 no isomorfo al grafo de la figura 43.

existe todavıa el vertice 3. Luego no podriamos construir una biyeccion quepreserve las adyacencias.

'&%$ !"#a

✁✁✁✁✁✁✁✁✁

/.-,()*+d

✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏

❂❂❂❂

❂❂❂❂

/.-,()*+b❃❃

❃❃❃❃

❃❃/.-,()*+q

��

'&%$ !"#c '&%$ !"#e

Figura 45: Ga no isomorfo al grafo de la figura 46.

/.-,()*+1

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+2

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❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+3

��

/.-,()*+4

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+5

��

/.-,()*+6

Figura 46: Gb no isomorfo al grafo de la figura 45.

7. Algoritmo de Warshall

Nos proponemos en esta seccion fundamentar el algoritmo ideado porWarshall para calcular de forma efectiva la clausura transitiva R+ = R∞

(por el teorema 8).

43

Definicion 51 (Vertice interior). Sea G = (V,R) un grafo (digrafo) y Π =<a, a1, a2, . . . , b > un camino. Los vertices diferentes de los extremos a y b losdenominamos vertices interiores.

Inicialmente es necesario construir una sucesion finita de matricesM0,M1, . . .Mn

tal que M0 =M [R] y Mn =M [R∞].La matriz Mk, para 0 < k ≤ n se construye como sigue:

aki,j = 1, expresa que existe un 1 en la posicion de la fila i-esima y de lacolumna j-esima de la matriz Mk.

aki,j = 1 ssi ∃Π(Π =< vix1x2 . . . xpvj > ∧ x1, x2, . . . , xp ∈ {v1, v2, . . . vk}.

Es decir los vertices interiores del camino Π son de indice menor o igualque k, ordenando y diferenciando los vertices del camino por indices.

Como=

V = n y k ≤ n entonces se ve que Mn =M [R∞] porque cualquiercamino debe tener como vertices interiores el conjunto V = {v1, v2, . . . , vn}.

Teorema 10. Para la sucesion de matrices M0 = M [R],M1, . . .Mk =M [R∞], si 0 ≤ i, j, k ≤ n entonces wk

i,j = wk−1i,j ⊕ (wk−1

i,k ⊗ wk−1k,j )

Demostracion. =⇒Demostremos que wk

i,j = 1 ssi wk−1i,j = 1 o wk−1

i,k = wk−1k,j = 1.

① wki,j = 1. Hipotesis

② (∃Π(Π =< vi, x1, x2, . . . , xp, vj)) ∧ {x1, x2, . . . , xp} ⊂ {v1, v2, . . . , vk}.

③ Supongamos que respecto al subındice los vertices xi son diferentes.

④ Puede ocurrir que vk sea o no vertice interior de Π.

a) Si vk /∈ {x1, x2, . . . , xp} entonces p ≤ k − 1 y

b) wk−1i,j = 1.

⑤ Si vk ∈ {x1, x2, . . . , xp}, entonces, sean

a) Π1(vi, vk) y Π2(vk, vj), luego

b) los vertices interiores xi son tales que i ≤ k − 1.

c) Luego wk−1i,k = 1 y wk−1

k,j = 1.

d) wk−1i,k ∧ wk−1

k,j = 1.

e) Luego wk−1i,j = 1 ∨ (wk−1

i,k = 1 ∧ wk−1i,j = 1).

44

Demostracion. ⇐=

① wk−1i,j = 1 ∨ (wk−1

i,k = 1 ∧ wk−1i,j = 1). Hipotesis

② Es inmediato que en cualquiera de las dos condiciones se cumple quewki,j = 1, ya que los indices de los vertices interiores no superan a

(k − 1), luego tampoco a k.

Ejemplo 31. Sea ~G = (V,R) el grafo de la figura 47

/.-,()*+1 ((/.-,()*+2hh ///.-,()*+3

��

/.-,()*+4

Figura 47: Grapo para aplicar el algoritmo de Warshall.

Como n = 4

M [R] =

0 1 0 01 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Sea M0 =M [R]

Para hallar M1:Transferimos todos los unos de M0 a M1

M1 =

11 1

1

Para localizar los nuevos unos aplicamos el teorema anterior, como k = 1,buscamos los lugares (columnas (i, k) y filas (k, j)) donde existe unos en lamatriz M0.

45

Como k = 1, vemos que a12,1 y a11,2 = 1 luego a12,2 = 1, ası:

M1 =

0 1 0 01 1 1 00 0 0 10 0 0 0

Para hallar M2:Como k = 2 escribimos a11,2 = a12,1 = 1 y a11,2 = a12,3 = 1, luego a21,1 = 1 y

a21,3 = 1. Transportando los unos ya existentes en M1

M2 =

1 1 1 01 1 1 00 0 0 10 0 0 0

Para hallar M3 (procediendo de forma similar):Como k = 3, existen unos en a21,3 y a23,4, luego en a31,4 = 1; existen unos en

a22,3 y a23,4, luego en a32,4 = 1

M3 =

1 1 1 11 1 1 10 0 0 10 0 0 0

Finalmente, para k = 4, puesto que no hay unos en la cuarta fila de M3,entonces no existen nuevos unos en M4, ası que M3 =M [R∞].

En la figura 48 presentamos esquematizado el algoritmo de Warshall.

8. Arboles y arborescencias

En esta seccion presentaremos aspectos basicos de un cierto tipo de grafoque llamaremos arbol. Los arboles y arborescencias son herramientas impor-tantes para el diseno de problemas, maquinas abstractas y lenguajes.

Presentaremos, en primera instancia, la nocion de arbol libre o arbores-cencia.

Definicion 52 (Arbol libre o Arborescencia). Un arbol o libre o arbores-cencia es un grafo T = (V,R) tal que

46

Warshall(M [R]){cerradura = M[R];FOR k = 1 TO nFOR j = 1 TO nFOR i = 1 TO ncerradura[i][j] = cerradura[i][j] ∨

(cerradura[i][k] ∧ cerradura[k][j]);}

Figura 48: Algoritmo de Warshall.

1. T es antirreflexivo, es decir, no existen bucles en T . Simbolicamente,

∀x(x ∈ V ⇒ ¬R(x, x)).

2. Para todo par de vertices existe un y solo un camino en el cual no serepiten lados. Simbolicamente,

∀x∀y(x, y ∈ V ⇒ ∃!Π(Π(x, y) ∨Π(y, x))).

Ejemplo 32. El grafo de la figura 49 representa geometricamente a un arbollibre.

'&%$ !"#c

❃❃❃❃

❃❃❃❃

'&%$ !"#a /.-,()*+m '&%$ !"#e

/.-,()*+b

��

/.-,()*+d

✁✁✁✁✁✁✁✁ /.-,()*+g

Figura 49: Arbol libre.

Definicion 53 (Arboles con raız). Un arbol con raız, T = (V,R), es undigrafo con un vertice distinguido v0 ∈ V tal que, para todo v 6= v0 existeun unico camino de v0 hasta v. Es decir,

47

∀v(v ∈ V ∧ v 6= v0 ⇒ ∃!Π(Π(v0, v))).

Representaremos el arbol con raız, por medio de la estructura T = (V,R, v0)donde v0 representa la raız del arbol.

Ejemplo 33. Los grafos de las figuras 50 y 51 son ejemplos de arboles conraız.

r

}}④④④④④④④④

!!❈❈❈

❈❈❈❈

❈

��v1

~~⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤⑤

❇❇❇

❇❇❇❇

❇ v2 v3

v4 v5

Figura 50: Arbol con raız (1).

Teorema 11. Sea T = (V,R, v0) un arbol con raız finito, entonces:

1. T es conexo.

2. T no tiene circuitos.

3. Todo vertice v 6= v0 tiene una y solo una entrada.

4. T tiene n− 1 lados, donde=

V = n.

Demostracion.

1. T es conexo.① T es arbol Hipotesis② Sea T ′ el grafo asociado de T T es un digrafo③ ∃!Π(v0, v), para todo v ∈ V Definicion de arbol④ T es conexo

2. T no tiene circuitos (demostracion indirecta).① (∃v ∈ V )((∃Π1)(Π1(v))) Hipotesis indirecta② (∃!Π2)(Π2(v0, v)) Definicion de arbol, v 6= v0③ (Π2 ◦Π1)(v0, v) Composicion de caminos④ Π2 ◦Π1 6= Π2 Contradiccion⑤ Luego, no hay circuitos

48

GFED@ABC100

7654012310

==③③③③③③③③③

!!❉❉❉

❉❉❉❉

❉❉

GFED@ABC101

/.-,()*+1

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GFED@ABC110

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GFED@ABC111

Figura 51: Arbol con raız (2).

3. Todo vertice v 6= v0 tiene una y solo una entrada.

a) Todo vertice tiene una entrada.

① Sea v 6= v0 un vertice cualquiera.

② ∃Π(Π =< v0, v1, . . . , vk, v > ∧(R(vo, v1) ∧ · · · ∧R(vk, v))).

③ R(vk, v).

④ vk es una entrada en v.

b) Unicidad.

49

① Supongamos que x1 6= x2 6= v0 son dosentradas de v

Hipotesis au-xiliar

② R(x1, v) ∧R(x2, v) Parte (a)③ ∃Π1(Π1(vo, x1)) ∧ ∃Π2(Π2(vo, x2)) T es un arbol③ Π1 ◦ (x1, v) =< v0, . . . , x1, v > Composicion

de caminos④ Π2 ◦ (x2, v) =< v0, . . . , x2, v > Composicion

de caminos⑤ Luego, existen dos caminos de v0 a v Contradiccion⑥ Entonces la entrada en v es unica

4. T tiene n− 1 lados, donde=

V = n. Demostracion por induccion sobren.

a) n = 1. Luego existe un vertice y cero lados (n− 1).

b) Supongamos que para n = k existen (k − 1) lados.

c) Probemos que es valido para n = k + 1 o sea=

V = k + 1.

① T es conexo y sin circuitos.

② Sea Π un camino de longitud maxima (T es un arbol finito).

③ (∃x ∈ V )((x ∈ Π) ∧ δ(x) = 1).

④ Sea T1 =< V − {x}, R, v0 >. Entonces V − {x} = k.

⑤ Como T1 = k entonces T1 tiene (k − 1) lados (hipotesis in-ductiva).

⑥ Luego T tiene (k − 1) + 1 lados. Es decir T tiene k lados y(k + 1) vertices.

d) Luego, si=

V = n por principio de induccion finita, T tiene (n−1)lados.

En la teorıa de arboles es de suma importancia la nocion de arbol deramificacion finita y el teorema de Koning, pero antes de presentar la defi-nicion de arbol de ramificacion finita, necesitamos contar con la definicionde sucesor inmediato.

Definicion 54 (Sucesor inmediato). Sea G = (V,R) un grafo *digrafo). Unvertice vj , es un sucesor inmediato del verice vi, ssi (vi, vj) ∈ R. El conjuntode sucesores inmediatos de un vertice vi, denotado por S(vi), esta definidopor:

50

S(vi) = {v ∈ V | (vi, v) ∈ R}.

Definicion 55 (Arbol de ramificacion infinita). Sea T = (V,R) un arbolcon raız. T es un arbol de ramificacion finita si y solo, todo vertice v ∈ Vtiene un numero finito de sucesores inmediatos.

Ejemplo 34. Sea T = ({0, 1}∗, L), donde:{0, 1}∗: Conjunto de sucesiones finitas de ceros y unos, incluyendo la suce-sion vacıa.L: Orden lexicografico sobre {0, 1}∗.El arbol de ramificacion finita T = ({0, 1}∗, L) es representado por la figu-ra 52.

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......

......

...

Figura 52: Arbol de ramificacion finita.

Presentamos ahora un teorema muy importante conocido como el teore-ma de Konig.

Teorema 12 (Teorema de Koning). Sea T un arbol infinito (conjunto devertices infinito) de ramificacion finita, entonces T tiene un camino infinito.

Antes de demostrar el teorema de Koning analicemos intuitivamente lanecesidad o suficiencia de sus hipotesis. Las hipotesis del teorema de Koningson:

H-1 El arbol T = (V,R) es infinito.

H-2 El arbol T = (V,R) es de ramificacion finita.

Ejemplo 35. El arbol del ejemplo 34 (figura 52) satisface la hipotesis H1y la hipoteis H2. Es posible “observar” en la figura la existencia de por lomenos un camino de longitud infinita.

51

Ejemplo 36. El arbol T = (V,R) representado por la figura 53 satisface lahipotesis H1 pero no satisface la hipoteis H2. Es posible “observar” en lafigura que no existe ningun camino de longitud infinita.

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v1 v2 . . . vn . . .

Figura 53: Arbol sin camino de longitud infinita (1).

Ejemplo 37. El arbol T = (V,R) representado por la figura 54 no satis-face la hipotesis H1 pero si satisface la hipoteis H2. De nuevo es posible“observar” en la figura que no existe ningun camino de longitud infinita.

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��v1 v2 v3

Figura 54: Arbol sin camino de longitud infinita (2).

Demostracion. Procedamos a demostrar el teorema de Koning

① Desde r (raız) salen infinitos caminos de longitud finita (H1).

② S(r) (sucesores inmediatos de r)= {a1, a2, . . . , an} es finito (H2).

③ Existe por lo menos un vertice ai ∈ S(r) tal que ai genera infinitoscaminos de longitud finita. De no ser ası, solo habrıa un numero finitode caminos que parten desde r.

④ Sea b1 ∈ V tal vertice.

⑤ b1 tiene un numero finito de sucesores inmediatos y

⑥ de uno de ellos parten infinitos caminos de longitud finita.

⑦ Sea b2 ∈ V tal vertice. Sucesivamente podemos formar la sucesionb1, b2, . . . , bn.

52

⑧ Podemos garantizar por induccion sobre n ∈ Z+ que de bn se siguebn+1, sucesor inmediato de bn y

⑨ que de cada nuevo bn, parten infinitos caminos de longitud finita.

⑩ Luego < b1, b2, . . . , bn, bn+1, · · · > es un camino de longitud infinita.

Pensemos ahora en la validez del inverso del teorema de Koning es decirpensemos si en un arbol T = (V,R) existe un camino de longitud infinita,entonces T = (V,R) es un arbol infinito y es un arbol de ramificacion finita.Como contraejemplo presentamos el siguiente arbol:

Ejemplo 38. El arbol T = (N+, R) dondeR = {(x, y) | y = xp con p primo}tiene un camino de longitud infinita definido por Π =< 20, 21, 22, . . . , 2n, · · · >.Este arbol satisface la hipotesis H1, pero no satisface la hipotesis H2, es de-cir, el arbol es un arbol de ramificacion no finita.

9. Ejercicios

Ejercicio 1. Explique por que la definicion matematica de grafo (digrafo)no permite que estos contengan lados paralelos.

Ejercicio 2. Siete ciudades a, b, c, d, e, f y g estan conectadas por un sis-tema de autopistas como sigue: (1) I − 22 va de a a c, pasando por b; (2)I − 33 va de c a d y entonces pasa por b y continua hacia f ; (3) I − 44 va ded por e hacia a; (4) I−55 va de f a b, pasando por g; y (5) I−66 va de g a d.

Use los vertices para las ciudades y los arcos para los tramos de autopistaque las unen, y dibuje un grafo dirigido que modele esta situacion.

Ejercicio 3. Dado el conjunto A y la relacion R:

a. Determine el tipo de grafo matematico definido por la relacion R.

b. Determine la cardinalidad del grafo.

c. Construya (si es posible) su diagrama.

d. Construya (si es posible) la matriz de adyacencia para el grafo.

1. A = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (a, b), (c, d), (d, c)}.

53

2. A = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (a, b), (b, a), (c, d), (d, c)}. .

3. A = {0, 1, 2, 3, 4}, R = {(x, y) | x = y}. .

4. A = {0, 1, 3, 4, 6, 8, 9}, R(a, b) ⇔ a | b. .

5. A = N, R(a, b) ⇔ a | b. .

6. A = N, R =≤. .

7. A = {x ∈ N | x es divisor de 128}, R(a, b) ⇔ (a− b) es divisor de 64. .

Ejercicio 4. Para los siguientes diagramas:

a. Determine el tipo de grafo geometrico representado por el diagrama.

b. Construya la matriz de incidencia para el grafo.

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e2

/.-,()*+b '&%$ !"#ae1

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e2

66/.-,()*+b

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hh '&%$ !"#ae1

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e2

/.-,()*+b

Ejercicio 5.

Otra forma de representar un digrafo es por medio de su diccionario de pre-cedentes y siguientes.

Sea ~G = (V,R) un digrafo. El vertice vi es un vertice precedente de vjsi (vi, vj) ∈ R. El conjunto de vertices precedentes de un vertice, denotadopor P (vj), esta definido por: P (vj) = {v ∈ V (v, vj) ∈ R}. El vertice vj es unvertice siguiente de vi si (vi, vj) ∈ R. El conjunto de vertices siguientes de unvertice, denotado por S(vi), esta definido por: S(vi) = {v ∈ V (vi, v) ∈ R}.

El diccionario de precedentes y siguientes del grafo ~G(=

V = n) esta definidopor:

54

V P (V ) S(V )

v1 P (v1) S(v1)...

......

vn P (vn) S(vn)

Sea ~G = (V,R) un grafo, donde:V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} yR = {(x, y) | x es divisor de y}.

Construya el diccionario de siguientes y precedentes de ~G.

Ejercicio 6. Para los grafos 1, 2, 2, 4 y 7 del ejercicio 3; hallar:

1. Ri (relacion identidad).

2. R−1 (relacion inversa).

3. R2 (relacion de 2-conectividad).

4. R3 (relacion de 3-conectividad).

5. Re (cerradura reflexiva).

6. R←→ (cerradura simetrica).

7. R+ (cerradura transitiva).

Ejercicio 7. Para el grafo ~G representado por la figura:

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��/.-,()*+1

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��❃❃❃

❃❃❃❃

❃ /.-,()*+4oo

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��/.-,()*+6

@@�� /.-,()*+5

1. Liste todos los caminos de longitud 1.

2. Liste todos los caminos de longitud 2 comenzando en el vertice 2.

3. Liste todos los caminos de longitud 3 comenzando en el vertice 3.

55

4. Encuentre un circuito que comienze en el vertice 2.

5. Encuentre un circuito que comienze en el vertice 6.



8. Dibuje el diagrama de < ~G,R2 >.

9. Halle la matriz de adyacencia para < ~G,R2 >.

10. Encuentre R∞.

11. Halle la matriz de adyacencia para < ~G,R∞ >.


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^❂❂❂❂❂❂❂❂


2. Liste todos los caminos de longitud 2 comenzando en el vertice c.

3. Liste todos los caminos de longitud 3 comenzando en el vertice a.

4. Encuentre un circuito que comienze en el vertice c.

5. Encuentre un circuito que comienze en el vertice d.



8. Dibuje el diagrama de < ~G,R2 >.

9. Halle la matriz de adyacencia para < ~G,R2 >.

10. Encuentre R∞.

56

11. Halle la matriz de adyacencia para < ~G,R∞ >.

Ejercicio 9. Sean R y S relaciones sobre un conjunto G. Demuestre queM [R ∪ S] =M [R]⊕M [S].

Ejercicio 10. Sean R una relacion sobre un conjunto G de n elementos.Demuestre que M [RC ] = M [R∞] ⊕ In, donde In es la matriz identidad den× n.


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��

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///.-,()*+3

��/.-,()*+7 // 33/.-,()*+4

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��

/.-,()*+6

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1. Si Π1 =< 1, 2, 4, 3 > y Π2 =< 3, 5, 6, 4 >. Encuentre la composicionde caminos Π1 ◦Π2.

2. Si Π1 =< 1, 7, 5 > y Π2 =< 5, 6, 7, 4, 3 >. Encuentre la composicionde caminos Π1 ◦Π2.

Ejercicio 12. Demuestre el teorema 3.


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/.-,()*+3oo

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��

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NN

/.-,()*+5LL

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1. Halle RC .

2. Halle las clases modulo RC .

57

3. Determinar las componentes simplemente conexas.

4. ¿Es ~G un grafo simplemente conexo?


/.-,()*+1 //

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❃❃❃❃

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❃❃❃❃

❃

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/.-,()*+4

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@@�� /.-,()*+8oo

1. Halle RF .

2. Halle las clases modulo RF .

3. Determinar las componentes fuertemente conexas.

4. ¿Es ~G un grafo fuertemente conexo?

Ejercicio 15. Demuestre el teorema 5.

Ejercicio 16. Demuestre que si una relacion R es reflexiva y transitivita,entonces Rn = R para toda n.

Ejercicio 17. Demostrar la segunda parte del teorema 7.

Ejercicio 18. Sea G = (V,E) un grafo. G se dice plano si y solo si, sepuede trazar su diagrama en un mismo plano con sus aristas intersectandoseunicamente en los vertices.

Sea V 6= ∅ un conjunto finito de vertices. Podemos definir sobre V unarelacion tal que genere un grafo no dirigido, sin lazos y tal que dos verticescualesquiera esten conectados o relacionados. Tal grafo denotado por Cn si

V = n, se denomina grafo completo en V .Construya los grafos completos C1, C2, C3, C4 y C5 y determine cuales de

ellos, son grafos planos.

Ejercicio 19. Para el arbol libre T representado por la figura:

58

/.-,()*+3

/.-,()*+1 /.-,()*+2

��

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+7

��

❃❃❃❃

❃❃❃❃

/.-,()*+4 /.-,()*+5

/.-,()*+6 /.-,()*+8 /.-,()*+6

1. El vertice 1 se toma como la raız. ¿Cuales son los hijos del vertice 2?¿Los ancestros del vertice 2? ¿Los descendientes del vertice 2?

2. El vertice 5 se toma como la raız. ¿Cuales son los hijos del vertice 2?¿Los ancestros del vertice 2? ¿Los descendientes del vertice 2?

3. El vertice 1 se toma como la raız. ¿Cuales es el nivel de cada verticedel arbol? ¿Cual es la altura del arbol?

4. El vertice 5 se toma como la raız. ¿Cuales es el nivel de cada verticedel arbol? ¿Cual es la altura del arbol?

Ejercicio 20. Trace el arbol que muestre que los resultados posibles de“pase el equipo que gane tres de cinco juegos” en las eliminatorias de balon-cesto.

Ejercicio 21. Trace el arbol que muestre que los resultados posibles deun partido de tennis modificado en el que el vencedor es quien “gana tresde cinco”, en el que para ganar el partido es necesario ganar dos juegosconsecutivos o tres juegos de cinco.

Ejercicio 22. Trace un esquema del arbol presentado en el ejemplo 38.

10. Notas bibliograficas

Las definiciones de lenguaje de primer orden, modelo de un lenguaje deprimer orden y cardinalidad de un modelo fueron tomadas de [9]. El ejem-plo 1 presentado en la introduccion, fue tomado de [5]. Algunos autores pre-sentan los grafos (digrafos) unicamente como objetos geometricos [7]; otros,

59

unicamente presentan los digrafos como objetos matematicos [8]; otros, uni-camente presentan los grafos como objetos matematicos y otros, presentanlos grafos como objetos matematicos y geometricos [3]; por otra parte, al-gunos autores ([4], [5]) ofrecen definiciones diferentes para el concepto degrafo (digrafo) geometrico, en las que ademas del conjunto de vertices y elconjunto de lados, existe una funcion con caracterıticas especiales. El con-cepto de multigrafo es presentado por [3] y [1]. La matriz de adyacenciaes presentada por [7] y [8]; la matriz de incidencia es presentada por [7];algunos autores ([10], [11]) realizan una representacion de los grafos desdeun punto de vista mas informatico, utilizando para ello, listas entrelazadas,entre otros elementos. El circuito de Euler es presentado por [7] y [1], estosautores presentan ademas un tipo de circuito, conocido como circuito deHamilton, el cual presenta interes debido al tipo de complejidad algorıtmicade su implementacion. La relacion de n-conectividad y la relacion de conec-tividad general son presentadas por [8]; la relacion de conectividad simple, larelacion de conectividad fuerte, las componentes simplemente conexas y lascomponentes fuertemente conexas son presentadas por [3]. Las cerradurasson presentadas por [8] y [3]. Los isomorfismos entre grafos son presentadospor [4], [6] y [1]. El algortimo de Warshall es presentado por [8]. Los arbolesy arborescencias son presentados por [8], [5] y [7]; el teorema de Koning espresentado por [2].

Referencias

[1] Bogart, Kenneth P.: Matematicas Discretas. Editorial Limusa S.A. deC.V., 1996.

[2] Caicedo, Xavier: Elementos de Logica y Calculabilidad. Una empresadocente. Universidad de los Andes, 2a edicion, 1990.

[3] Crespo, Decoroso: Informatica teorica. Primera parte. Departamentode Publicaciones de la Facultad de Informatica. Universidad Politecnicade Madrid, 1983.

[4] Deo, Narsing: Graph Theory with Application to Engineering and Com-puter Science. Prentice-Hall, 1974.

[5] Grassman, Karl y Jean Paul Tremblay:Matematicas Discretas y Logica:Una Perspectiva desde la Ciencia de la Computacion. Prentice Hall,1997.

60

[6] Grimaldi, Ralph P.: Matematicas Discreta y Combinatoria. Addison-Wesley Iberoamericana, 3a edicion, 1997.

[7] Johnsonbaugh, Richard: Matematicas Discretas. Mexico D.F.: GrupoEditorial Iberoamerica, S.A., 1988.

[8] Kolman, Bernard y Robert Busby: Discrete Mathematical Structuresfor Computer Sciencs. Prentice-Hall, 1984.

[9] Lopez Lopez, Leon y Raul Gomez Marın: Matematicas Basicas para laInformatica. Volumen I. Universidad EAFIT, 1993.

[10] McHuhg, James A.: Algorithmic Graph Theory. Prentice Hall, 1990.

[11] Tremblay, Jean Paul y Ram Manohar: Matematicas Discretas. Com-panıa Editorial Continental, S.A. (CECSA), 1996.

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Teor´ıa de grafos. Notas de clase (versión preliminar)

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