Polinomios y Teoria de Galois - R. Ramirez - 2003

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  • 7/26/2019 Polinomios y Teoria de Galois - R. Ramirez - 2003

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    Estructuras Algebraicas

    Romina Ramirez

    Abril 2003

    1 Introduccion

    El tema que motiva este estudio, es establecer la estructura de los cuerpos.La idea de la teora de Galois es relacionar un cuerpo de extension K F con el grupode todos los automorfismos de Fque dejan fijo a K.El teorema fundamental de la teora de Galois sera vital, ya que nos permitira trasladarpropiedades y problemas referentes a cuerpos y polinomios en terminos de grupos.

    2 Preliminares

    Esta seccion estara destinada a presentar resultados auxiliares que nos conduciran en elestudio de los grupos de Galois de polinomios y de los Cuerpos Finitos en las seccionesposteriores.

    Teorema 2.1. Todo imagen homomorfa y todo subgrupo de un grupo cclico es cclico.

    Corolario 2.2. El orden de una permuacion enSn es el mnimo comun multiplo de losordenes de sus ciclos disjuntos.

    Teorema 2.3. Todo grupo abeliano finitamente generado de orden n es isomorfo a lasuma directa de sus subgrupo cclicos, los cuales tienen ordenesm1,....,mk dondem1>1ym1| ... | mk.

    Teorema 2.4. SiG es un grupo finito cuyo orden es divisible por un primo p, entoncesG contiene un elemento de ordenp.

    Teorema 2.5. SeaR un anillo con identidad1R y caracteristican >0.

    1. Si :Z R es una aplicacion dada porm m1R, entonces es un homomor-fismo de anillos con nucleo < n >=kn, k Z.

    2. n es el menor entero positivo talquen1R = 0.

    3. Si R no tiene divisores de cero (como caso particular si R es dominio integral),entoncesn es primo.

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    Corolario 2.6. SeaR un dominio integral considerado como un subanillo de su cuerpococienteF.SiE es un cuerpo yf : R E un monomorfismo de anillos, entonces existe un unicomonomorfismo de cuerposf :R E tal quef| R= fTeorema 2.7. SeaR un anillo conmutativo con identidad yf R[x]. El elemento c esraiz defsi y solo si(x c) divide af.Teorema 2.8. SeaD es un dominio integral incluido enEtambien dominio integral yun polinomio f K[x] de grado n. Entoncesftiene a lo sumo n raices diferentes enE.Teorema 2.9. SeaD un dominio de factorizacion unica cuyo cuerpo cociente esF. Seael polinomio f =

    aixi con 1 i n en D[x]. Si u = c/d F con c y d primos

    relativos yu una raiz def, entoncesc divide aa0 yd divide aan.

    Teorema 2.10. Sea D un dominio integral el cual es subanillo de un dominio integral

    E. Tomemosf D[x] yc D.Entonces, siD es cuerpo, f yf, son primos relativos siy solo sifno tiene raices multiples enE.

    El siguiente resultado es conocido como el criterio de Einstein. Permite establecercuando un polinomio es irreducible.

    Teorema 2.11. SeaD un dominio de factorizacion unica cuyo cuerpo cociente esF. Seael polinomio f=

    aixi con1 i n yGr(f) 1 yp un elemento irreducible deD tal

    quepan, p | ai para todo i= 1..,n 1, yp2 a0, entoncesf es irreducible enF[x].Sif es primitivo, entoncesf es irreducible enD[x].

    Teorema 2.12. Todo espacio vectorialV sobre un anillo de divisionD tiene una base y enconsecuencia es unD-modulo libre. Ademas todo subconjunto linealmente independientesubconjunto deV esta contenido en una base deV.

    Definimos los siguientes elementos, para poder estudiar la estructura de los cuerpos.

    Definicion 2.13. Un cuerpoFse dicecuerpo de extension deKsiKes un subcuerpodeF

    Teorema 2.14. SeaFun cuerpo de extension deE, yEun cuerpo de extension deK.Entonces [F :K] = [F :E][E:K].

    Mas aun, [F :K] es finito si y solo si [F :E] y [E:K] son finitos.

    Definicion 2.15. Un elemento u F de dice que es algebraico sobre K (siendo Fextension deK) si es raiz de algun polinomio no nulo enK[x]. De lo contrario se diraque es trascendente. De esta manera las extensiones se clasificaran en extensionesalgebraicas o trascendentes dependiendo del tipo de elemento que extiende el cuerpo.

    Diremos que un polinomio es irreducible si no puede ser factorizada como productode polinomios pertenecientes al cuerpo.

    Teorema 2.16. Si F es extension sobre K, y u F es un elemento algebraico sobreK, entonces K(u)= K[x]/(f) donde f es un polinomio monico irreducible de grado nunivocamente determinado. Ademas [K(u) :K] =n.

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    Corolario 2.17. Sean E y F extensiones de un cuerpo K, u E, v F elementosalgebraicos sobreK. Entonces,u yv son raices del mismo polinomio irreduciblef K[x]si y solo si existe un isomorfismo K(u)= K(v), tal que envau v y es la aplicacionidentidad enK.

    Definicion 2.18. El grupo de los K-automorfismos deF (cuerpo de extension deK) esel llamado Grupo de Galois de F sobre K. Lo denotaremosAutKF

    Teorema 2.19. SeaFun cuerpo de extension deK yf K[x].Siu F es raiz def y AutKF, entonces(u) Fy es raiz def.Definicion 2.20. Llamaremos cuerpo fijo de H Fal cuerpo H={v F/(v) =vpara todo H}.F es una extension de Galois de K(o es Galois sobre K) siF es una extension deKy el cuerpo fijo deAutKF esK.

    El siguiente teorema sera muy utilizado en este trabajo. Es conocido como elTeoremaFundamental de la teora de Galois.

    Teorema 2.21. Si F es una extension de Galois finita dimensional de un cuerpo K,entonces existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los cuerpointermedios de la extension y el conjunto de todos los subgrupos del grupo de Galois talque:

    1. La dimension relativa de dos cuerpos intermedios es igual al ndice de los correspon-dientes subgrupos. En particular, AutKF tiene orden [F :K].

    2. F es Galois sobre todo cuerpo intermedio E. E es Galois sobre K si y solo si elcorrespondiente subgrupo E = AutEF es normal enAutKF. En este caso G/E esisomorfo al grupo de GaloisAutKEdeE sobreK.

    Definicion 2.22. Un polinomio f F[x] seseparasobreF si puede ser escrito comoproducto de factores lineales enF[x], o seaf = a(x u0)..(x un) con cada coeficienteen F.Un cuerpo de extensionF deK, se dice que es cuerpo de separacion de f sobre Ksifse separa enF[x] y ademasF =K(u1,..,un) dondeui son las raices def enF.

    Teorema 2.23. SiKes un cuerpo yf

    K[x] que tiene grado n

    1, entonces existe un

    cuerpo de separacionF def con [F :K] n!.Teorema 2.24. Sea :K L un isomorfismo de cuerpos. Sea S ={fi} un conjuntode polinomios de grado positivo enK[x], yS ={(fi)} su correspondiente conjunto depolinomios enL[x].SiF es cuerpo de separacion deS sobreK, yM es cuerpo de separacion deS, sobreL,entonces es extendible a un isomorfismo F=M.Corolario 2.25. Sea K un cuerpo y S un conjunto de polinomios en K[x] de gradopositivo, entonces dos cuerpos de separacion enS sonK-isomorfos.

    Lema 2.26. F es cuerpo de separacion de S sobre K y E es un cuerpo intermedio,entoncesFes un cuerpo de separacion deS sobreE.

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    Teorema 2.27. SeaFuna extension deK tal que [F :K]< . Entonces, son equiva-lentes:

    1. Fes Galois sobreK.

    2. Fes separable sobreK yFes cuerpo de separacion de un polinomio f K[x].3. Fes cuerpo de separacion sobreKde un polinomio f K[x] cuyos factores irre-

    ducibles son separables.

    3 El grupo de Galois de un polinomio

    En esta seccion nos centraremos en el estudio de los grupos de Galois de los polinomiosdonde existen resultados que nos permiten su caracterizacion.

    Definicion 3.1. SeaK cuerpo. El Grupo de Galois de un polinomio f K[x] esel grupo AutKF dondeF es cuerpo de separacion sobreK def.

    Sea K un cuerpo y f es un polinomio en K[x] de grado positivo (tambien vale enel caso de S conjunto de polinomios de grado positivo). Sean F y F

    dos cuerpos deseparacion de f que son K-isomorfos (por 2.25). Seaf : F F el isomorfismo entreellos.

    Consideremos la aplicacion : AutKF AutKF dada por f f1. Es unaaplicacion bien definida y resulta un isomorfismo entre ambos grupos.

    Por lo tanto, el grupo de Galois de un polinomio es independiente de la eleccion delcuerpo F [esto es admitido de manera tacita cuando decimos El grupo de Galois]

    Definicion 3.2.Un subgrupoGdel grupo simetrico Snse dicetransitivosi para cualquieri =j existe G tal que(i) =j .

    El siguiente resultado muestra cuales son las posibilidades para el grupo de Galois deun polinomio.

    Teorema 3.3. SeaKun cuerpo yf K[x] un polinomio con grupo de GaloisG

    1. G es isomorfo a algun subgrupo de un grupo Sn.

    2. Sifes irreducible separable de grado n, entonces n divide a| G|yG es isomorfoa un subgrupo transitivo deSn.

    Observacion 1. Analicemos los subgrupos deS3 : S3: es transitivo puesi =j existe G tal que(i) =j .

    A3: siendo {(1), (12)(23), (13)(23)} tambien es transitivo, pues para cada elemento 1,2,o3 hay alguna permutacion que aplicada a el lo modifica. El subgrupo trivial: no es transitivo pues por ejemplo no existe tal que(1) = 2. El subgrupo{(1)(12)}: no es transitivo pues (por ejemplo) no existe tal que(3) = 2. El subgrupo{(1)(23)}: no es transitivo pues (por ejemplo) no existe tal que(1) = 2. El subgrupo{(1)(13)}: no es transitivo pues (por ejemplo) no existe tal que(2) = 1.

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    En conclusion, los unicos subgrupos transitivos deS3 sonA3 o S3.As,(utilizando el teorema anterior) el grupo de Galois de un polinomio lineal separablede grado 3 seraA3 o S3.

    Demostracion.

    1. Supongamos que gr(f) =k. Sea u1, ...un son las raices distintas de un polinomio fen algun cuerpo de separacion F, con 1 n k.Como ui son raices,(ui) tambien lo son (por 2.19). Sea (uj) =uij .Consideremos la permutacion Sn dada por(1,..,n) = (i1,..,in). Entoncespodemos ver a