TEORwA DE GALOIS

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  • CURSO DE

    TEORA DE GALOIS

    Nieves Rodrguez Gonzlez Puricacin Lpez LpezEmilio Villanueva Nvoa

    Santiago de Compostela2013

  • ndice general

    1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOS 51.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. GRUPOS FINITOS. TEORA DE SYLOW . . . . . . . . . . . . 141.3. GRUPO SIMTRICO. GRUPOS RESOLUBLES . . . . . . . . . 281.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2. COMPLEMENTOS DE TEORA DE ANILLOS 452.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. DOMINIOS EUCLDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . 512.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. FACTORIZACIN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3. EXTENSIONES DE CUERPOS 793.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3. APLICACIN A LOS PROBLEMAS GEOMTRICOS CLSI-

    COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPS . . . . . . 903.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4. EXTENSIONES SEPARABLESYNORMALES. CLAUSURAALGEBRAICA. 1034.1. EXTENSIN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2. CUERPOS DE ESCISIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 1164.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 1334.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 136

    i

  • ii

    4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    5. TEORA DE GALOIS 1455.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE

    LA TEORA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA . . . . . . . 1525.3. CUERPOS FINITOS. RACES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS

    CICLOTMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . . 1635.5. LA ECUACIN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . . 1835.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    6. Complementos 1976.1. Constructibilidad de polgonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.1976.2. La trascendencia de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    INDICACIONES PARA LA RESOLUCIN DE LOS EJERCI-CIOS 207

    Bibliografa 219

  • PROLOGO

    Salvo en lo concerniente a resolubilidad en caracterstica positiva, el ma-terial utilizado para la elaboracin de este manual est constituido esencial-mente por las notas de clase utilizadas por los autores en los ltimos aospara el desarrollo de la docencia de la asignatura lgebra de la Licenciaturaen Matemticas de la USC. El objetivo nal es la obtencin del Gran Teoremade Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas, y conestas notas se pretende facilitar el acceso al contenido del curso. Para seguirloes muy recomendable haber cursado previamente una materia introductoriade lgebra en la que hayan sido tratados con el detalle necesario gran partede los tpicos fundamentales contemplados sucintamente en el Captulo 2, ycuya presencia en este manual se justica por la intencin de los autores defacilitar la lectura del mismo.La decitaria formacin algebraica de los alumnos en temas de naturaleza

    ms elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio de gruposnitos que incluya la necesaria teora de Sylow, algunos detalles sobre losgrupos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el captulo1. El tratamiento de las generalidades de las teoras de grupos y anillos,que hacemos a lo largo de los dos primeros captulos, es muy esquemticoy reeja tambin la recomendable actitud de brevedad necesaria en el de-sarrollo docente de la materia para poder abarcar el contenido de la mismaen el tiempo asignado, ya que el plan de estudios conna a esta asignaturaen un cuatrimestre de docencia. Esta exigua duracin del curso y el tiempoque es necesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones bsi-cas constituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto laidea de presentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, encaracterstica arbitraria.Tambin se ha pretendido que, de algn modo, estas notas sean testimonio

    de lo realizado a lo largo de los ltimos aos en la docencia de esta materia

    1

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    y por ello presentamos por separado la resolubilidad en caracterstica cero,ya que en ninguna ocasin, durante el perodo de referencia, ha habido laopcin de desarrollarla en caracterstica positiva. No obstante alguna vez,y de modo espordico, se ha podido esbozar un estudio de separabilidaden caracterstica p; y el mencionado carcter testimonial nos ha llevado aincluir ese material, habida cuenta de la enorme importancia que tienen laspeculiaridades de dicha teora para la formacin de un matemtico. Unavez hecho esto, la resolubilidad en caracterstica positiva se obtiene con unpequeo esfuerzo adicional y sta es la razn por la que, nalmente, se hadecidido incluirla con el quiz desmesurado optimismo de que alguna vezsea posible incorporarla al curso, lo que, sin duda, no sera utpico en unamateria con docencia anual.

    No hemos sabido resistir la tentacin de completar el manual con losmtodos de resolucin de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, obtenidosa partir de la teora general, y de aadir adems un apndice dedicado auna prueba relativamente sencilla de la trascendencia de (seccin 6.2),que completa el estudio del problema de la cuadratura del crculo (3.3.8) yatratado en el captulo 2.

    Quien est interesado solamente en la versin en caracterstica cero puedepasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el prrafo de re-solubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de carac-terstica positiva, amn de la nota 4.6.6, nalizando la teora con el teorema deAbel (5.4.19). Por coherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuacingeneral de grado n se ver entonces restringido al caso de caracterstica nula.

    Cada captulo termina con una coleccin de ejercicios y al nal del textohay una seccin con indicaciones para resolverlos. La bibliografa contienealgunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido ms prximo al tratamientoque se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a laopinin de que una formacin matemtica de calidad es connatural con laconsulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en sta como enotras materias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temastratados, y la resolucin de los problemas all propuestos.

    Estas notas, que nacieron con vocacin de ser una referencia sobre lasexigencias mnimas de contenido de un curso cuatrimestral -objetivo estric-tamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a caracterstica cero-, hansido nalmente completadas hasta lo que se puede considerar una declaracinde principios sobre lo que los autores estiman imprescindible para un cur-

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    so obligatorio de lgebra, dedicado a Teora de Galois, en una TitulacinSuperior de Matemticas.

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  • Captulo 1

    COMPLEMENTOS DETEORA DE GRUPOS

    El teorema fundamental de teora de Galois establece un antiisomorsmode retculos entre el de subgrupos de un grupo de automorsmos de un cuerpoy el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo jo dedicho grupo. Esta biyeccin es usada sistemticamente en la obtencin delgran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de la ecuacinalgebraica f(X) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Estaresolubilidad quedar establecida en trminos de las propiedades algebraicasdel grupo de automorsmos del cuerpo de escisin de f sobre su cuerpo decoecientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivacin deeste captulo.

    1.1. GENERALIDADES

    Aunque los conocimientos bsicos necesarios forman parte del contenidode asignaturas de lgebra previas (lgebra Lineal, Introduccin al lgebra),con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de suciencia para elseguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera seccin ala exposicin sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestionesde la teora de grupos.

    Denicin 1.1.1 Un grupo (G; :) es un conjunto no vaco G en el que existeuna operacin

    GG :! G

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  • 6 CAPTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORA DE GRUPOS

    que satisface las siguientes propiedades:i) La operacin es asociativa, (x:y):z = x:(y:z); cualesquiera que sean

    x; y; z elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribir (x:y):z = x:(y:z) =x:y:z. Tambin, cuando ello no suponga ambigedad, se suprimir el : paradesignar la operacin, es decir, se pondr xy en lugar de x:y;(en concordan-cia con ello, diremos tambin que G es un grupo en lugar de: (G; :) es ungrupo).ii) Existe un elemento neutro e 2 G: Es decir, 9 e 2 G j ex = xe = x;

    8x 2 G (el elemento neutro es nico, pues si e0 es neutro tambin, se tienee = ee0 = e0)iii) Para cada x 2 G existe un x1 2 G tal que xx1 = x1x = e. El

    elemento x1 se denomina inverso (u opuesto) de x: (Tal inverso es nicopues si xy = e se tiene y = x1xy = x1e = x1 por la propiedad asociativa).

    Recurdese que si x; y 2 G entonces (xy)1 = y1x1 (ya que, por launicidad del inverso, de y1x1xy = y1y = e se deduce (xy)1 = y1x1).Se dir que un grupo G es abeliano si satisface la propiedad conmutativa,

    es decir, si xy = yx; 8x; y 2 G: Frecuentemente se reserva para estos gruposel smbolo + para denotar la operacin, y con x se indicar el opuesto dex.

    Nota 1.1.2

    Si en un conjunto G est denida una operacin asociativa, se dir queun elemento x 2 G es idempotente si x2 := x:x = x (con lo cual uno tienexn := x