TEORwA DE GALOIS

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CURSO DE TEOR˝A DE GALOIS Nieves Rodrguez GonzÆlez Puricacin Lpez Lpez Emilio Villanueva Nvoa Santiago de Compostela 2013

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CURSO DE

TEORÍA DE GALOIS

Nieves Rodríguez González Puri�cación López LópezEmilio Villanueva Nóvoa

Santiago de Compostela2013

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Índice general

1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 51.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW . . . . . . . . . . . . 141.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES . . . . . . . . . 281.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS 452.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . 512.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3. EXTENSIONES DE CUERPOS 793.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSI-

COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS . . . . . . 903.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. EXTENSIONES SEPARABLESYNORMALES. CLAUSURAALGEBRAICA. 1034.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2. CUERPOS DE ESCISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 1164.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 1334.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 136

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ii

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5. TEORÍA DE GALOIS 1455.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE

LA TEORÍA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA . . . . . . . 1525.3. CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS

CICLOTÓMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . . 1635.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . . 1835.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6. Complementos 1976.1. Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.1976.2. La trascendencia de � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCI-CIOS 207

Bibliografía 219

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PROLOGO

Salvo en lo concerniente a resolubilidad en característica positiva, el ma-terial utilizado para la elaboración de este manual está constituido esencial-mente por las notas de clase utilizadas por los autores en los últimos añospara el desarrollo de la docencia de la asignatura Álgebra de la Licenciaturaen Matemáticas de la USC. El objetivo �nal es la obtención del Gran Teoremade Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas, y conestas notas se pretende facilitar el acceso al contenido del curso. Para seguirloes muy recomendable haber cursado previamente una materia introductoriade Álgebra en la que hayan sido tratados con el detalle necesario gran partede los tópicos fundamentales contemplados sucintamente en el Capítulo 2, ycuya presencia en este manual se justi�ca por la intención de los autores defacilitar la lectura del mismo.La de�citaria formación algebraica de los alumnos en temas de naturaleza

más elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio de grupos�nitos que incluya la necesaria teoría de Sylow, algunos detalles sobre losgrupos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el capítulo1. El tratamiento de las generalidades de las teorías de grupos y anillos,que hacemos a lo largo de los dos primeros capítulos, es muy esquemáticoy re�eja también la recomendable actitud de brevedad necesaria en el de-sarrollo docente de la materia para poder abarcar el contenido de la mismaen el tiempo asignado, ya que el plan de estudios con�na a esta asignaturaen un cuatrimestre de docencia. Esta exigua duración del curso y el tiempoque es necesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones bási-cas constituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto laidea de presentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, encaracterística arbitraria.También se ha pretendido que, de algún modo, estas notas sean testimonio

de lo realizado a lo largo de los últimos años en la docencia de esta materia

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y por ello presentamos por separado la resolubilidad en característica cero,ya que en ninguna ocasión, durante el período de referencia, ha habido laopción de desarrollarla en característica positiva. No obstante alguna vez,y de modo esporádico, se ha podido esbozar un estudio de separabilidaden característica p; y el mencionado carácter testimonial nos ha llevado aincluir ese material, habida cuenta de la enorme importancia que tienen laspeculiaridades de dicha teoría para la formación de un matemático. Unavez hecho esto, la resolubilidad en característica positiva se obtiene con unpequeño esfuerzo adicional y ésta es la razón por la que, �nalmente, se hadecidido incluirla con el quizá desmesurado optimismo de que alguna vezsea posible incorporarla al curso, lo que, sin duda, no sería utópico en unamateria con docencia anual.

No hemos sabido resistir la tentación de completar el manual con losmétodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, obtenidosa partir de la teoría general, y de añadir además un apéndice dedicado auna prueba relativamente sencilla de la trascendencia de � (sección 6.2),que completa el estudio del problema de la cuadratura del círculo (3.3.8) yatratado en el capítulo 2.

Quien esté interesado solamente en la versión en característica cero puedepasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el párrafo de re-solubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de carac-terística positiva, amén de la nota 4.6.6, �nalizando la teoría con el teorema deAbel (5.4.19). Por coherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuacióngeneral de grado n se verá entonces restringido al caso de característica nula.

Cada capítulo termina con una colección de ejercicios y al �nal del textohay una sección con indicaciones para resolverlos. La bibliografía contienealgunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido más próximo al tratamientoque se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a laopinión de que una formación matemática de calidad es connatural con laconsulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en ésta como enotras materias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temastratados, y la resolución de los problemas allí propuestos.

Estas notas, que nacieron con vocación de ser una referencia sobre lasexigencias mínimas de contenido de un curso cuatrimestral -objetivo estric-tamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a característica cero-, hansido �nalmente completadas hasta lo que se puede considerar una declaraciónde principios sobre lo que los autores estiman imprescindible para un cur-

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so obligatorio de Álgebra, dedicado a Teoría de Galois, en una TitulaciónSuperior de Matemáticas.

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Capítulo 1

COMPLEMENTOS DETEORÍA DE GRUPOS

El teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomor�smode retículos entre el de subgrupos de un grupo de automor�smos de un cuerpoy el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo �jo dedicho grupo. Esta biyección es usada sistemáticamente en la obtención delgran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de la ecuaciónalgebraica f(X) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Estaresolubilidad quedará establecida en términos de las propiedades algebraicasdel grupo de automor�smos del cuerpo de escisión de f sobre su cuerpo decoe�cientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivación deeste capítulo.

1.1. GENERALIDADES

Aunque los conocimientos básicos necesarios forman parte del contenidode asignaturas de Álgebra previas (Álgebra Lineal, Introducción al Álgebra),con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de su�ciencia para elseguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera sección ala exposición sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestionesde la teoría de grupos.

De�nición 1.1.1 Un grupo (G; :) es un conjunto no vacío G en el que existeuna operación

G�G :! G

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6 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

que satisface las siguientes propiedades:i) La operación es asociativa, (x:y):z = x:(y:z); cualesquiera que sean

x; y; z elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribirá (x:y):z = x:(y:z) =x:y:z. También, cuando ello no suponga ambigüedad, se suprimirá el : paradesignar la operación, es decir, se pondrá xy en lugar de x:y;(en concordan-cia con ello, diremos también que G es un grupo en lugar de: (G; :) es ungrupo).ii) Existe un elemento neutro e 2 G: Es decir, 9 e 2 G j ex = xe = x;

8x 2 G (el elemento neutro es único, pues si e0 es neutro también, se tienee = ee0 = e0)iii) Para cada x 2 G existe un x�1 2 G tal que xx�1 = x�1x = e. El

elemento x�1 se denomina inverso (u opuesto) de x: (Tal inverso es únicopues si xy = e se tiene y = x�1xy = x�1e = x�1 por la propiedad asociativa).

Recuérdese que si x; y 2 G entonces (xy)�1 = y�1x�1 (ya que, por launicidad del inverso, de y�1x�1xy = y�1y = e se deduce (xy)�1 = y�1x�1).Se dirá que un grupo G es abeliano si satisface la propiedad conmutativa,

es decir, si xy = yx; 8x; y 2 G: Frecuentemente se reserva para estos gruposel símbolo + para denotar la operación, y con �x se indicará el opuesto dex.

Nota 1.1.2

Si en un conjunto G está de�nida una operación asociativa, se dirá queun elemento x 2 G es idempotente si x2 := x:x = x (con lo cual uno tienexn := x n veces::: x = x para todo número natural n): Pues bien, si G es ungrupo, el único elemento idempotente de G es el neutro (x = xx =) e =x�1x = x�1xx = ex = x):

De�nición 1.1.3 Un subconjunto no vacío H de un grupo G se dirá que esun subgrupo de G si la operación de G induce en H una estructura de grupocon el mismo elemento neutro. Es decir,i) xy 2 H; 8x; y 2 H.ii) e 2 Hiii) x�1 2 H; 8x 2 H.

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1.1. GENERALIDADES 7

Nota 1.1.4

Un subconjunto no vacío H de un grupo G es un subgrupo de G si, y sólosi, se satisface la propiedad

x; y 2 H =) x�1y 2 H:

En efecto, si H es subgrupo de G es evidente que la condición se cumple.Recíprocamente, para x 2 H 6= ; se tiene x; x 2 H y por tanto e = x�1x 2 H:Entonces para x 2 H; se tiene x; e 2 H y así x�1 = x�1e 2 H: Finalmente,para x; y 2 H se tiene x�1; y 2 H por lo ya demostrado, y entonces xy =(x�1)

�1y 2 H:

Si fHi j i 2 Ig es una familia de subgrupos del grupo G entoncesTi2IHi es

también subgrupo de G: En efecto, de x; y 2Ti2IHi se deduce inmediatamente

x�1y 2Ti2IHi ya que, para cada i 2 Hi; se tiene x�1y 2 Hi al ser cada Hi un

subgrupo de G:La noción de subgrupo está íntimamente ligada a la de relación de equiva-

lencia compatible (por un lado) con la operación del grupo.Con la determinación de la naturaleza de los subgrupos de (Z;+) se inicia

la teoría de divisibilidad en Z. Si H 6= 0 es un tal subgrupo y si s 6= 0 esel menor entero positivo perteneciente a H entonces H = sZ; es decir Hconsiste en el conjunto de los múltiplos de s (Si t 2 H; el algoritmo deEuclides proporciona enteros q; r con 0 � r < s tales que t = q:s + r; y asír = t� q:s 2 H ya que q:s 2 H; de ello se deduce que r = 0 por la selecciónde s)

De�nición 1.1.5 Si G es un grupo y v es una relación binaria en G, sedirá que v es compatible por la izquierda con la operación de G si

x v y =) zx v zy;8z 2 G:

De modo análogo se de�ne relación binaria enG compatible por la derechacon la operación de G:

Proposición 1.1.6 Sea G un grupo.i) Si H es un subgrupo de G la relación binaria en G, H v de�nida por

xH v y :, x�1y 2 H

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8 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

es de equivalencia y compatible por la izquierda con la operación de G: Aná-logamente, la relación

x vH y :, xy�1 2 Hes de equivalencia y compatible por la derecha con la operación del grupo. Laclase de equivalencia de cada x 2 G módulo la relación H v (respectivamente,la relación vH) es la clase [x]

Hv = xH (respect. [x]vH = Hx):ii) Si v es una relación de equivalencia en G; compatible por un lado

con la operación del grupo, entonces la clase de equivalencia Hv = [e]v delelemento neutro e es un subgrupo.

iii) HHv = H; y Hv v=v (Y también HvH = H; y v

Hv=v)

Demostración. i) xH v y; z 2 G =) (zx)�1zy = x�1z�1zy = x�1y 2H , zxH v zy: Además y 2 [x]

Hv () xH v y , x�1y 2 H () y 2 xH:Para la prueba de ii) obsérvese que de x; y 2 Hv = [e]v ; es decir, de x v e;y y v e se obtiene x�1y v x�1e v x�1x = e por la compatibilidad por laizquierda de v con la operación del grupo, y por tanto Hv es un subgrupode G (1.1.4). Además x 2 H

Hv () xH v e , x 2 eH = H por lo yademostrado. También xHv v y , x�1y 2 Hv , x�1y s e , y v x , x vy; con lo que queda probado iii) también.

Nota 1.1.7

Designaremos conG�H = fxH j x 2 Gg

y conH�G = fHx j x 2 Gg

las particiones de G correspondientes a las anteriores relaciones de equiva-lencia.Como #H = #xH, 8x 2 G (la aplicación H

tx! xH de�nida portx(h) = xh es biyectiva) y como G =

`xH diferentes

xH se tiene que #G =

#H:#(G�H) : De modo análogo se obtiene #G = #H:#(H�G) :

De�nición 1.1.8 Pondremos

(G : H) = # (G�H)

y se denominará índice (por la izquierda) de H en G a este número, queserá divisor del orden de G si éste es �nito.

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1.1. GENERALIDADES 9

De�nición 1.1.9 Si (G; :) y (L; �) son grupos, una aplicación f : G! L esun homomor�smo de grupos si

f(x:y) = f(x) � f(y); 8x; y 2 G:

Un homomor�smo biyectivo se llamará isomor�smo. Así, el homomor�s-mo f : G! L es un isomor�smo si, y sólo si, existe una aplicación inversaf�1 : L ! G (que resulta ser también homomor�smo de grupos). Con lanotación L �= G se indicará que L y G son grupos isomorfos, es decir queexiste un isomor�smo entre ellos.

Nota 1.1.10

Si f : G! L es un homomor�smo de grupos y eG y eL son los correspon-dientes neutros entonces f(eG) = eL (f(eG) = f(eG:eG) = f(eG) � f(eG) =)f(eG) = eL por 1.1.2), y entonces, f(x�1) = [f(x)]�1, para todo x 2 G(eL = f(eG) = f(x:x�1) = f(x) � f(x�1) y se aplica la unicidad del inverso):También, si H es un subgrupo de G, entonces f(H) es subgrupo de L (x =f(h); y = f(k) con h; k 2 H =) x�1 � y = [f(h)]�1 � f(k) = f(x�1:y) 2 H);y si K es subgrupo de L entonces f�1(K) = fx 2 G j f(x) 2 Kg es subgrupode G: (x; y 2 f�1(K) () f(x); f(y) 2 K =) [f(x)]�1 � f(y) = f(x�1:y) 2K =) x�1:y 2 f�1 (K)) (1.1.4).

De�nición 1.1.11 Para el homomor�smo f : G! L se de�nen:i) Imagen de f , el subgrupo f(G) de L y se escribirá Im(f) = f(G):

ii) Núcleo de f; denotado con ker(f); de�nido como ker(f) = f�1(feLg)(obsérvese que feLg es subgrupo de L y se aplica (1.1.10))

Además ker(f) es un subgrupo de G con la siguiente propiedad adicional:si x 2 G e y 2 ker(f) entonces f(x:y:x�1) = f(x) � f(y) � f(x�1) = f(x) �eL � [f(x)]�1 = eL =) x:y:x�1 2 ker(f): La importancia de esta propiedadmerece distinguir con un nombre especial a los subgrupos de un grupo quela satisfacen.

De�nición 1.1.12 Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, se diceque H es subgrupo normal (o invariante) de G si satisface cualquiera de laspropiedades equivalentes siguientes

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10 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

i) xHx�1 � H; 8x 2 Gii) xHx�1 = H; 8x 2 Giii) xH = Hx; 8x 2 Giv) H v=vHLa prueba de la equivalencia de las anteriores condiciones es fácil.i) =) ii) Si i) se satisface para todo elemento de G; se tiene también

x�1H (x�1)�1= x�1Hx � H; y por tanto x (x�1Hx)x�1 = H � x�1Hx:

ii) =) iii) En virtud de la hipótesis, dado un x 2 G, 8h 2 H 9k 2 Htal que xhx�1 = k; y por tanto xh = kx; con lo que se obtiene xH � Hx:También, usando que x�1Hx = H; se tiene que 8h 2 H 9k 2 H tal quex�1hx = k y, entonces, Hx � xH:

iii) () iv) Es evidente, pues dos relaciones son iguales si, y sólo si,determinan la misma clase de equivalencia para cada elemento, es decir, si, ysólo si, determinan la misma partición en el conjunto donde están de�nidas.

iii) =) i) Si x 2 G y h 2 H existe un k 2 H tal que xh = kx; y portanto tal que xhx�1 = k: Resulta así xHx�1 � H:

De�nición 1.1.13 Si G es un grupo se de�ne el centro de G; ZG como elconjunto de elementos de G que conmutan con todos los elementos de G;

ZG := fa 2 G j ab = ba; 8b 2 Gg:

Es muy fácil comprobar que el centro de G es un grupo abeliano, y quetodo subgrupo de ZG es normal en G.Si G es un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales. Por ejemplo

todos los subgrupos de (Z;+) son normales. Existen grupos en los que sucedeprecisamente lo contrario:

De�nición 1.1.14 Se dice que un grupo G es simple si no posee otros sub-grupos normales que feg y el propio G:

Nota 1.1.15

Si H es un subgrupo de G de índice 2 entonces H es normal en G (G=H =fH; xH; con xH = yH para cualquier par x; y =2 H, x; y 2 Gg ya que(G : H) = 2; y por la misma razón HnG = fH;Hx; con Hx = Hy paracualquier par x; y =2 H; x; y 2 Gg; por lo tanto xH = Hx; 8x 2 G; puesG = H t xH = H tHx si x =2 H ).

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1.1. GENERALIDADES 11

Si H es subgrupo normal de G, el conjunto cociente

G�H := fxH j x 2 Gg

adquiere estructura de grupo con la operación (xH):(yH) := xyH; cuyo ele-mento neutro es eH = H; y que la aplicación 'H : G �! G�H de�nida por'H(x) = xH es homomor�smo de grupos al que llamaremos homomor�smocanónico de paso al cociente módulo H. El núcleo de 'H es el grupo H, y asíes evidente la siguiente a�rmación: H es subgrupo normal de G si, y sólo si,existe un grupo L y un homomor�smo de grupos f : G ! L cuyo núcleo esH.Se recordará que una aplicación si f : G ! L admite siempre una de-

scomposición f = f3 � f2 � f1

Gf! L

# f1 " f3G� vf

f2! f(G)

;

(descomposición canónica) en donde vfes la relación de equivalencia en Gde�nida por x vf y :() f(x) = f(y); y G� vf denota, como es habitual, elconjunto cociente, es decir aquél cuyos elementos son las clases de equivalen-cia de los de G para la relación vf ; la aplicación f2 es la biyección de�nidapor f2

�[x]vf

�= f(x); y, �nalmente, f3 es la inclusión.

Supongamos ahora que f : G ! L es un homomor�smo de grupos. En-tonces, si H = ker (f) ; resulta x vf y :() f(x) = f(y)() eL = [f(x)]

�1 �f(x) = [f(x)]�1 � f(y) = f(x�1y) () x�1y 2 H () xH v y; es decir,vf=Hv=vH ; ya que H es subgrupo normal de G: Por tanto G� vf= G�Hy además f1 : G ! G�H es el homomor�smo canónico de paso al cocientemódulo H, pues f1(x) = [x]vf = [x]

Hv = xH = 'H(x) cualquiera que seax 2 G. La biyección f2 es ahora un isomor�smo de grupos pues es biyectivay además

f2 ((xH)(yH)) = f2(xyH) = f(xy) = f(x) � f(y) = f2(xH) � f2(yH):

La inclusión f3 es evidentemente homomor�smo. Así, los términos que in-tervienen en la factorización canónica de un homomor�smo de grupos songrupos u homomor�smos de grupos. Los teoremas de isomorfía de gruposserán consecuencia de la existencia del isomor�smo f2:

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12 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Nota 1.1.16

Si f : G! L es un homomor�smo de grupos (el símbolo de operación seráobviado en ambos grupos de acuerdo con lo anunciado en (1.1.1,apartado i))y si H es un subgrupo normal de G entonces f(H) es un subgrupo normal def(G) (f(H) es subgrupo de f(G) (1.1.10), y dado f(x) 2 f(G) y f(h) 2 f(H)se tiene f(x) f(h) [f(x)]�1 = f(xhx�1) 2 f(H))También, si K es un subgrupo normal de L entonces f�1(K) es subgrupo

normal de G (f�1(K) es subgrupo de G (1.1.10), y si x 2 G e y 2 f�1(K),entonces f(y) 2 K y f(x)f(y) [f(x)]�1 = f(xhx�1) 2 K =) xhx�1 2f�1(K)):

Teorema 1.1.17 Sea G un grupo y H;K subgrupos normales de G tales queH � K: Entonces se tiene

i) K�H es subgrupo normal de G�Hii) (G�H)� (K�H) �= G�K:

Demostración. i) K�H = 'H(K) donde 'H : G! G�H es el homo-mor�smo canónico (que es sobreyectivo) y se aplica (1.1.16).

ii) Existe un homomor�smo sobreyectivo f : G�H ! G�K que estáde�nido mediante f(xH) = xK para cada x 2 G: Ahora

Ker(f) = fxH 2 G�H j f(xH) = Kg =

fxH 2 G�H j xK = Kg = fxH 2 G�H j x 2 Kg = K�H;

y la descomposición canónica de f proporciona el isomor�smo anunciado yaque f es sobreyectiva.

De�nición 1.1.18 Si G es un grupo y H un subgrupo de G, se de�ne elsubgrupo normalizador de H en G como

NG(H) := fx 2 G j xH = Hxg;

que es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Es fácil comprobar que NG(H) es un subgrupo de G que contiene a H(x; y 2 NG(H) =) x�1; y 2 NG(H) =) x�1yH = x�1Hy = Hx�1y; ademáshH = Hh = H para todo h 2 H):

Page 17: TEORwA DE GALOIS

1.1. GENERALIDADES 13

Teorema 1.1.19 Sea G un grupo y H;K subgrupos de G tales que K �NG(H): Entonces

i) HK := fxy j x 2 H; y 2 Kg es un subgrupo de G en el que H esnormal

ii) H \K es subgrupo normal de K y existe un isomor�smo

HK�H �= K�H \K:

Demostración. i) Es evidente que H � KH: Ahora, para x1; x2 2 He y1; y2 2 K se tiene (x1y1)

�1 x2y2 = y�11 x�11 x2y2 = x3y�11 y2 (para un

cierto x3 2 H; pues y�11 H = Hy�11 al ser y�11 2 K � NG(H)): Por tanto(x1y1)

�1 x2y2 2 HK y así HK es subgrupo de G: Además de H;K � NG(H)resulta de modo evidente HK � NG(H):

ii) Para x 2 H \K y k 2 K se tiene kxk�1 2 H \K; pues H es normalen NG(H): Para la obtención del isomor�smo anunciado sea

f := Ki! HK

'H! HK�H;

donde i es la inclusión y 'H el homomor�smo canónico de paso al cociente.El homomor�smo f está entonces de�nido por f(k) = kH; y, para cualquierxyH 2 HK�H (con x 2 H e y 2 K); se tiene xyH = yH (pues de K �NG(H) resulta la existencia de un x0 2 H tal que xy = yx0; y así xyH =yx0H = yH): Por lo tanto f es sobreyectivo y además ker(f) = H \ K(f(k) = kH = H con k 2 K () k 2 H \ K) De la descomposicióncanónica de f resulta el isomor�smo buscado.Para H = rZ � Z; el grupo cociente Z�rZ es el de las clases de restos

de enteros módulo r: Es buen ejercicio comprobar que si r y s son enteros,d es su máximo común divisor y m su mínimo común múltiplo, entoncesrZ\sZ =mZ; y rZ+sZ =dZ. Por aplicación del segundo teorema de isomorfíase obtiene

dZ�sZ =(rZ+sZ)�sZ �= rZ� (rZ\sZ)=rZ�mZ:

Teorema 1.1.20 (En lo sucesivo nos referiremos a este teorema como: "Teo-rema de la correspondencia") Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G:Existe una biyección que conserva las inclusiones entre el retículo de subgru-pos (resp. subgrupos normales) de G�H y el de subgrupos (resp. subgruposnormales) de G que contienen a H.

Page 18: TEORwA DE GALOIS

14 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Demostración. Sean S = fK 0 j K 0 es subgrupo de G�Hg y T = fK jK es subgrupo de G que contiene a Hg: Si 'H : G �! G�H designa elhomomor�smo canónico de paso al cociente la aplicación � : S! T de�nidapor �(K 0) = '�1H (K

0) (1.1.10) tiene por inversa a la aplicación � : T! S

dada por �(K) = 'H(K) (1.1.10): Como consecuencia de (1.1.16) se obtieneque K 0 es subgrupo normal de G�H si, y sólo si, �(K 0) es subgrupo normalde G que contiene a H:Si (Gi)i2I es una familia de grupos, es muy fácil comprobar que el produc-

to cartesianoQi2IGi es un grupo con la operación (xi)i2I : (yi)i2I := (xi:yi)i2I ;

de�nida componente a componente. Para cada j 2 I; la proyección �j :Qi2IGi ! Gj, �j((xi)i2I) = xj; es homomor�smo sobreyectivo de grupos. Se

satisface además la siguiente propiedad universal:

Proposición 1.1.21 Si H es otro grupo y para cada i 2 I está de�nido unhomomor�smo de grupos fi : H ! Gi, entonces existe un único homomor-�smo de grupos f : H !

Qi2IGi tal que �j � f = fj; para cada j 2 J .

Demostración. La única aplicación f : H !Qi2IGi que satisface la

condición �j � f = fj para cada j 2 J; está de�nida por la fórmula f(h) =(fi (h))i2I , y es muy fácil comprobar que f es homomor�smo de grupos.

De�nición 1.1.22 El grupoQi2IGi será llamado grupo producto directo de la

familia de grupos (Gi)i2I y los homomor�smos �j :Qi2IGi ! Gj recibirán el

nombre de proyecciones canónicas.

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

El conocimiento de la estructura de un grupo pasa por el estudio delretículo de sus subgrupos, y, para un grupo �nito, una cuestión fundamentalconsiste en averiguar el número de subgrupos de un cierto orden. Las técnicasnecesarias para iniciar este estudio comenzarán con el

Teorema 1.2.1 (Teorema de Lagrange). Si G es un grupo �nito y H es unsubgrupo de G; entonces el orden de H divide al orden de G: Además

#G = #H:(G : H);

Page 19: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 15

en donde (G : H) indica el índice de H en G; es decir el número de clasesde traslación de H en G:

Demostración. Es el contenido de la nota 1.1.7.

Corolario 1.2.2 Si K y H son subgrupos de G y además K � H, entonces

(G : K) = (G : H):(H : K):

Demostración. La expresión se obtiene fácilmente mediante la apli-cación del teorema de Lagrange a los pares K � H; H � G; y K � G:

Como caso particular, si r y s son enteros, m = m:c:m(r; s) y d =m:c:d(r; s), del isomor�smo dZ�sZ �= rZ�mZ ya mencionado antes, se ob-tiene el conocido teorema m:d = r:s: En efecto, por aplicación del anteriorcorolario a las inclusiones

sZ �dZ � Z, y mZ �rZ � Z;

resulta (Z : sZ) = (Z : dZ):(dZ : sZ) y (Z : mZ) = (Z : rZ):(rZ : mZ); yentonces

m

r= (rZ : mZ) = # (rZ�mZ) = # (dZ�sZ) = (dZ : sZ) =

s

d:

Si G es un grupo y x 2 G consideraremos frecuentemente el homomor�s-mo de grupos 'x : Z!G de�nido por 'x(n) = xn: La imagen 'x(Z)=<x>es el subgrupo de G generado por x:

De�nición 1.2.3 El grupo G es cíclico si existe algún x 2 G tal que <x> =G:Se dirá que x genera el grupo G; y también que x es generador de G:

El núcleo de 'x es un subgrupo de Z y por lo tanto Ker ('x) = nZ paraalgún n 2 Z: Entonces

< x >= 'x(Z) �= Z�nZ

y por lo tanto todo grupo cíclico es isomorfo a algún Zn = Z�nZ (con n 6= 0en el caso �nito) o a Z (que corresponde al caso n = 0).

Page 20: TEORwA DE GALOIS

16 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

De�nición 1.2.4 El entero n = # < x > recibe los nombres de orden operíodo de x denotado aquí con n = jxj : Obsérvese que el período de x estambién el menor entero positivo n tal que xn = e; cada entero m tal quexm = e es un elemento de Ker('x); y por lo tanto es múltiplo de jxj.

Una aplicación inmediata del teorema de Lagrange proporciona:

Proposición 1.2.5 Todo grupo �nito de orden primo es cíclico y cada ele-mento diferente del neutro genera el grupo.�

Proposición 1.2.6 Todo subgrupo y todo grupo cociente de un grupo cíclicoson cíclicos.

Demostración. Si S � G es un conjunto generador de G es decir, si todoelemento x de G es un producto �nito de elementos del conjunto S[S�1; y sif : G! G0 es un homomor�smo de grupos, es evidente que todo elemento def(G) es un producto �nito de elementos de f (S)[f (S)�1. Es decir, la imagenmediante un homomor�smo de un sistema de generadores es un sistema degeneradores de la imagen. En particular es grupo cíclico la imagen de ungrupo cíclico mediante un homomor�smo. También, si H es un subgrupode G, y si G =< x >= 'x(Z); entonces H = 'x ('

�1x (H)) es un grupo cíclico

ya que lo es '�1x (H) al ser subgrupo de Z:

Proposición 1.2.7 Si G =< x > es un grupo cíclico de orden n; un ele-mento y = xr 2 G (1 < r < n) genera G si, y solo si, r es primo conn:

Demostración. En efecto r y n son coprimos si, y sólo si, existen t; q 2 Ztales que 1 = tr + qn: Entonces x = xtr+qn = (xr)t = yt si r y n son primosentre sí, y en ese caso se tiene < x >�< y >�< x > : Recíprocamente, si< y >=< x > se tiene x = yt para algún entero t; y entonces x = xrt con loque resulta x1�rt = e; es decir 1 � rt 2 Ker ('x) = nZ: Por lo tanto r y nson coprimos si y = xr genera < x > :Grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos, los in�nitos son isomorfos

a Z, y los �nitos de orden n lo son a Z=nZ. La anterior proposición estableceque si n y m son primos entre si, entonces Z=mnZ �= Z=nZ� Z=mZ. esteisomor�smo de grupos abelianos es también de anillos y, como tal, es un casoparticular del torema chino de los restos.

Page 21: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 17

Nota 1.2.8

Por lo tanto, si G es cíclico de orden n; el número de generadores de Ges el entero

'(n) = # fr 2 N j 1 � r < n; y mcd(r; n) = 1g :La aplicación ' : Nn f0g �! Nn f0g es conocida con el nombre de "funciónphi de Euler".

Proposición 1.2.9 Si G y H son grupos �nitos, #G = n y #H = m;entonces el producto directo G�H es cíclico si, y sólo si, G y H son cíclicosy n y m son primos entre sí.

Demostración. En efecto, si (a; b) genera el grupo G�H entonces a esgenerador deG y b lo es deH (1.2.6). Como j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj ;necesariamente n = jaj y m = jbj son primos entre sí. Recíprocamente, si< a >= G y < b >= H; el orden j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj al ser jajy jbj primos entre sí, y por lo tanto G�H =< (a; b) > :

Nota 1.2.10

Nótese que si G y H son cíclicos de órdenes respectivos m y n primosentre si, un par (x; y) es generador del grupo producto G �H si, y sólo si,x es generador de G e y lo es de H: Por lo tanto '(mn) = '(n)'(n):

Proposición 1.2.11 Si G =< x > es cíclico de orden n y d es divisor de nentonces existe un único subgrupo de G de orden d:

Demostración. Ciertamente, si n = d:r el elemento xr es de período dy por tanto # < xr >= d: Si H es subgrupo de G de orden d entonces H escíclico 1.2.6 generado por algún h = xt 2 H con 1 � t � n: Como jxtj = dse tiene xtd = e; y entonces td 2 nZ: Pero td = ns =) t = rs con lo queh = xt = (xr)s y así resulta H =< h >�< xr >. Por lo tanto H =< xr >;al ser ambos grupos del mismo orden d:

Teorema 1.2.12 (Teorema de Cauchy para grupos abelianos) Si G es ungrupo abeliano �nito de orden n y p es un número primo divisor de n; en-tonces G contiene un elemento de orden p, o equivalentemente, G tiene algúnsubgrupo de orden p:

Page 22: TEORwA DE GALOIS

18 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Demostración. La prueba será realizada por inducción en n = #G,siendo p divisor primo de n: El caso n = p es trivial, pues por el teoremade Lagrange, G es necesariamente cíclico y cualquier elemento (diferente delelemento neutro) es un generador deG: Sea n > p y supóngase que el teoremaes válido para todos los grupos abelianos de orden t < n; con p j t: Si a 2 G� feg ; entonces m = jaj > 1; y por el teorema de Lagrange m j n; es decirexiste r 2 Z tal que n = mr: Como p es divisor primo de n deberá ser p j mo p j r: Si m = kp; entonces b = ak 2 G tiene período p y el resultado estaríaprobado en ese caso. Si p j r considérese el grupo G0 = G� < a > de ordenr < n: Por inducción, existe un elemento b = b < a >2 G0 de período p: Si ses el período de b 2 G se tiene que b

s= bs < a >= e < a >=< a > y por

lo tanto p j s: Como s = jbj nos encontramos en el caso anterior, es decir, elelemento c = b

sp 2 G es de período p:

Corolario 1.2.13 Si p es número primo, r � 1 un entero, y pr divide alorden del grupo �nito abeliano G; entonces G tiene un subgrupo de orden pr

Demostración. Por el teorema de Cauchy anterior (1.2.12), G admiteun subgrupo H de orden p y a partir de aquí se procede por inducción en r.Sea r > 1 y supóngase que los grupos �nitos abelianos cuyo orden es divisiblepor pr�1 admiten un subgrupo de orden pr�1: El grupo cociente G=H tieneorden n

py por tanto admite un subgrupo K 0 de orden pr�1: Por el teorema

de la correspondencia (1.1.20) existe un subgrupo K de G que contiene a Hy tal que K=H �= K 0: El teorema de Lagrange permite a�rmar ahora que Kes de orden pr:

Corolario 1.2.14 Si m es divisor del orden de un grupo �nito abeliano Gentonces G admite un subgrupo de orden m:

Demostración. Si m = pr11 pr22 :::p

rtt es la factorización de m en potencias

de primos y si Hi es subgrupo de G de orden prii ; entonces el subgrupo H1H2

es de orden pr11 pr22 : En efecto H1H2 es subgrupo de G al ser G abeliano y

H1H2�H2�= H1�H1 \ H2:Teniendo en cuenta que H1 \ H2 = feg al ser

dos subgrupos de órdenes primos entre sí, resulta H1H2�H2�= H1, con lo

cual se obtiene #(H1H2) = pr11 pr22 ; en virtud del teorema de Lagrange. Con

argumentación similar, y usando recurrencia en j; resulta #(H1H2:::Hj) =pr11 p

r22 :::p

rjj para cada j = 1; 2; :::t .

Nota 1.2.15

Page 23: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 19

Obsérvese que tomando m = n = #G en la prueba del corolario ante-rior resulta el teorema de estructura de los grupos abelianos �nitos que, enesencia, a�rma que G = H1H2:::Ht: El grupo G = H1H2:::Ht es isomorfo alproducto directo H1�H2�:::�Ht, pues la aplicación f : H1�H2�:::�Ht !H1H2:::Ht de�nida por f(x1; x2; :::; xt) = x1:x2:::xt es un homomor�smo (Ges abeliano) sobreyectivo y por tanto isomor�smo al ser ambos grupos �ni-tos del mismo orden. La unicidad de los subgrupos H1; H2; :::; Ht puede serobtenida como consecuencia de consideraciones posteriores (1.2.32).

Nota 1.2.16

Si el grupo �nito G es cíclico de orden n = pr11 :::prtt entonces '(n) =

tY1

'(prii ) (1.2.10).

Si G es un grupo no abeliano, la condición d j #G no es su�ciente, engeneral, para que exista un subgrupo de G de orden d: Por ejemplo el grupoalternado A5 tiene orden 60 pero no tiene ningún subgrupo de orden 30 puescualquier tal subgrupo debería ser normal en A5 pues tendría índice 2 en di-cho grupo (1.1.15), lo cual es imposible ya que el grupo A5 es simple (véase elejercicio 28 de este capítulo). Para grupos �nitos no necesariamente conmu-tativos será probado un resultado análogo al teorema de Cauchy utilizandola teoría de G-conjuntos, :

De�nición 1.2.17 Una acción u operación (por la izquierda) de un grupoG sobre un conjunto A es cualquier aplicación

G� A �! A

(g; a) g � aque satisfaga las condiciones:1) (gg0) � a = g � (g0 � a); 8g; g0 2 G y 8a 2 A2) e � a = a; 8a 2 A:También se dirá que A es un G�conjunto por la izquierda.

De modo análogo se de�ne acción por la derecha : A��

G! A; (a; g) a � g; con las obvias propiedades análogas a las 1) y 2) anteriores. En losucesivo, salvo mención expresa de otra cosa, G-conjunto será sinónimo deG-conjunto por la izquierda.

Page 24: TEORwA DE GALOIS

20 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Nota 1.2.18

A es un G-conjunto si, y sólo si, existe un homomor�smo de gruposG! SA; en donde SA denota el grupo de permutaciones deA (i.e. biyeccionesA ! A): En efecto, para la acción � de G sobre A se de�ne la aplicaciónT� : G! SA mediante T�(g)(a) := g � a, pues para cada g 2 G; la aplicaciónT�(g) : A ! A es biyectiva con inversa T�(g�1); y se comprueba fácilmenteque T� es homomor�smo de grupos como consecuencia de las propiedades1) y 2) de la anterior de�nición. Recíprocamente, es fácil comprobar que siT : G ! SA es un homomor�smo de grupos, la aplicación *T : G � A ! Ade�nida por *T (g; a) := T (g)(a) dota a A de estructura de G-conjunto. Esfácil también obtener que *T� = �, y que T�T = T: Cada homomor�smoT : G! SA se denomina también una representación de G por un grupo deautomor�smos de A; y por tanto, para cada conjunto A; existen tantas detales representaciones como acciones diferentes de G sobre A:

Ejemplos1.- Sea G un grupo y A un conjunto cualquiera. La aplicación � : G�A!

A de�nida por g � a = a; 8a 2 A y 8g 2 G es una acción de G sobre A quese denomina acción trivial.2.- La acción de un grupo G sobre sí mismo � : G�G! G de�nida por

g � g0 := gg0 se denomina traslación por la izquierda y se dice entonces queG actúa por la izquierda sobre sí mismo por traslación.3.- Otra acción � : G � G ! G de cualquier grupo G sobre sí mismo, y

que tendrá especial importancia en lo que sigue, es la conjugación, de�nidamediante g � a := gag�1:

4.- Si G es un grupo y H un subgrupo de G entonces G actúa por laizquierda (resp. derecha) sobre el conjunto de las clasesG=H := fgH=g 2 Gg;(resp. HnG := fHg=g 2 Gg) mediante g � (g0H) := gg0H (resp.(Hg0) � g :=Hg0g): Esta acción recibe también el nombre de traslación por la izquierda(resp. derecha).5.- Si G es un grupo y designamos con SG el conjunto de subgrupos de G;

entonces la aplicación � : G�SG ! SG dada por g �H := gHg�1 está biende�nida y constituye una acción (por la izquierda) de G sobre SG: En efectosi H es subgrupo de G también lo es el subconjunto gHg�1; pues para x =ghg�1, e y = gkg�1 con h; k 2 H y g 2 G; resulta xy�1 = ghg�1 (gkg�1)

�1=

ghg�1gk�1g�1 = ghk�1g�1 2 gHg�1 pues hk�1 2 H ya queH es subgrupo deG: Además las condiciones 1) y 2) de la de�nición anterior se satisfacen como

Page 25: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 21

consecuencia de las igualdades gg0 � H = (gg0)H (gg0)�1 = gg0Hg0�1g�1 =g (g0Hg0�1) g�1 = g � (g0 �H); y de e �H = eHe�1 = H:Usaremos el ejemplo 2 anterior para la prueba del

Teorema 1.2.19 (Teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un sub-grupo del grupo SG de sus permutaciones.

Demostración. La representación T : G ! SG de�nida por T (a)(g) =ag; correspondiente (1.2.18) a la acción de traslación por la izquierda de Gsobre sí mismo es homomor�smo inyectivo. En efecto

a 2 KerT () T (a) = idG : G! G() T (a)(g) = ag = g;8g 2 G;()a = e: Por lo tanto T� establece así un isomor�smo de G con T (G):

Según este resultado, para conocer la estructura de todos los grupos �ni-tos sería su�ciente con estudiar el retículo de subgrupos de los grupos depermutaciones. Sin embargo ello no constituye ninguna ventaja en la prác-tica pues el orden del grupo de permutaciones es el factorial del orden delgrupo objeto de estudio y ello supone, en general, una mayor di�cultad ala hora de establecer la naturaleza del retículo de sus subgrupos. Por ello esnecesario desarrollar técnicas y herramientas algo más so�sticadas.

Proposición 1.2.20 Sea G un grupo �nito y H un subgrupo cuyo índice enG es el menor número primo p que divide al orden de G. Entonces H esnormal en G:

Demostración. Como el conjunto de las clases por la izquierda G=Htiene p = (G : H) elementos su grupo de permutaciones es Sp cuyo orden es p!:La acción de traslación de G por la izquierda sobre G=H (ejemplo 4 anterior)determina un homomor�smo de grupos T : G ! Sp (1.2.18) cuyo núcleodeberá tener a un divisor de p! como índice en G; ya que G=KerT ' ImTque es subgrupo de Sp: Además KerT � H � G; puesto que

x 2 KerT () xgH = gH; 8g 2 G;

y por tanto, xH = H (es decir x 2 H) si x es un elemento deKerT: Entonces

(G : H) : (H : KerT ) = (G : KerT ) ;

y así p.(H : KerT ) es divisor de p!; lo cual signi�ca que (H : KerT ) es divisorde (p� 1)!: Por lo tanto, o bien (H : KerT ) = 1, en cuyo caso H = KerT

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22 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

ya sería subgrupo normal de G, o bien cada divisor primo q de (H : KerT )será también divisor de (p� 1)! y por lo tanto q < p: Estos divisores primosde (H : KerT ) lo son también del orden de G y ello contradice la hipótesis deminimalidad de p entre tales divisores. Por lo tanto necesariamente se tiene(H : KerT ) = 1; es decir H = KerT:El concepto de órbita será muy utilizado en lo que sigue.

De�nición 1.2.21 Sea � : G � A ! A una acción del grupo G sobre elconjunto A; y sea a 2 A: Se denominará G-�orbita de a (o simplemente�orbita de a si la referencia a G es innecesaria) al conjunto

OG(a) := fx � a 2 Ajx 2 Gg:

También se de�ne el subgrupo de isotropía (o estabilizador) de a 2 A me-diante

Ga := fx 2 Gjx � a = agque es efectivamente un subgrupo de G (comprobación elemental).

Usaremos frecuentemente la siguiente proposición.

Proposición 1.2.22 Si A es un G� conjunto y a 2 A entonces

#OG(a) = (G : Ga) :

Además la relación binaria en A de�nida por

a s b :() 9x 2 G tal que b = x � a

es de equivalencia y por lo tanto establece una partición de A en clases deequivalencia que son precisamente las diferentes G�órbitas de elementos deA por la acción de G.

Demostración. Si x; y 2 G se tiene:

x � a = y � a() y�1x � a = a() y�1x 2 Ga () xGa = yGa

Por lo tanto se puede a�rmar que hay tantos elementos diferentes y � a comoclases distintas yGa; lo que justi�ca la primera a�rmación de la proposición.Para probar la segunda bastará con demostrar que las órbitas constituyen unapartición de A: Es evidente que cada elemento a = e � a pertenece a alguna

Page 27: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 23

órbita (la suya), y por lo tanto A = [a2AOG(a): Además OG(a)\OG(b) 6= ;si, y solamente si, existen x; y 2 G tales x � a = y � b; lo cual equivale, a suvez, a que exista un z 2 G tal que a = z � b; y por lo tanto a que a 2 OG(b)(y también un z0 2 G tal que b = z0 � a; o sea b 2 OG(a)): Ahora bien

a 2 OG(b)() OG(a) � OG(b);

ya que x � a = x � (z � b) = xz � b 2 OG(b); si a = z � b 2 OG(b): Entonces setiene

OG(a) \OG(b) 6= ; () OG(a) = OG(b):

AsíA =

GOG(a) diferentes

OG(a)

es decir, A es la unión disjunta de las diferentes órbitas de sus elementos.

En el ejemplo 5 anterior, si H es un subgrupo de G, el grupo de isotropíade H es GH = fa 2 G j aHa�1 = Hg que se conoce ya como subgruponormalizador de H, es decir, el mayor subgrupo de G en el que H es normal(1.1.18). Por lo tanto, a la vista de la proposición 1.2.22, se tiene #OG(H) =(G : GH) = 1 si, y solamente si, H es normal en G:La acción de G sobre sí mismo por conjugación (ejemplo 3 anterior) pro-

porcionará una fórmula muy útil en relación con el orden de un grupo �nitoG: Para la acción

G�G �! G

(x; a) x � a := xax�1;

el grupo de isotropía de un elemento a 2 G es

Ga = fx 2 Gjxax�1 = ag = fx 2 Gjxa = axg

que se denomina también el normalizador de fag en G: Nótese que las órbitasno son vacías (a 2 OG(a), 8a 2 G): Nótese también que una órbita OG(a)contiene solamente un elemento precisamente si OG(a) = fag; es decir, si, ysólo si, x � a = xax�1 = a; 8x 2 G; es decir,

OG(a) = fag () a 2 ZG:

Cada órbita OG(a) se denominará clase de conjugación del elemento a; ycualquier elemento de OG(a) será un representante de la clase de conjugaciónde a:

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24 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Se ha probado así la siguiente proposición que establece la que conoce-remos desde ahora como fórmula de las clases para el orden de un grupo�nito.

Proposición 1.2.23 Si G es un grupo �nito entonces

#G = #ZG +

rXi=1

(G : Gai) ;

donde fa1; a2; :::; arg es un conjunto de representantes de las diferentes clasesde conjugación que tienen más de un elemento y solamente de ellas.�

Corolario 1.2.24 Si p es un número primo y G es un grupo de orden pn

para algún n � 1; entonces p j #ZG 6= pn�1.

Demostración. En la fórmula de las clases, los sumandos correspon-dientes a representantes de clases de conjugación que tienen más de un ele-mento son todos divisores de pn y por tanto múltiplos de p: Como #G = pn

resulta p j #ZG; que constituye la primera a�rmación del corolario. Paraobtener la segunda, si #ZG = pn�1 sea a 2 GrZG. Entonces ZG & Ga & G;ya que, por la selección que se ha hecho de a; existe un g 2 G tal que ag 6= galo que proporciona g 2 GrGa, y a 2 GarZG: Ello es imposible pues, por elteorema de Lagrange, el orden de Ga, que ahora es estrictamente mayor quepn�1 = #ZG; deberá ser una potencia de p (al ser divisor de pn) estrictamentemenor que pn:

Corolario 1.2.25 Si p es número primo todo grupo de orden p2 es abeliano.�

Se puede proceder ahora a la prueba de la anunciada generalización, paragrupos no abelianos, del teorema de Cauchy.

Teorema 1.2.26 Sea G un grupo �nito y p un número primo. Si pm divideal orden de G entonces existe un subgrupo de G de orden pm:

Demostración. Sea n = #G que es divisible por pm; y procedamosinductivamente en n: Para n = 1 el resultado es trivial. Sea n > 1 y supóngaseválido el resultado para todos los grupos de orden menor que n. Distingamoslas dos posibilidades: p j #ZG y p - #ZG: En el primer caso el teorema deCauchy para grupos abelianos proporciona la existencia de un subgrupo H

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1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 25

de ZG que es de orden p (y normal en G al ser subgrupo de ZG): El grupocociente G=H es de orden n

p< n y, por inducción, admitirá un subgrupo

K 0 de orden pm�1: El teorema de la correspondencia proporciona ahora unsubgrupoK deG que contiene aH tal queK=H �= K 0: Por lo tanto#K = pm

y el resultado estaría probado en este caso. Si p - #ZG; por la fórmula delas clases existe un elemento a 2 G con (G : Ga) no divisible por p. Paraeste elemento a se tiene Ga $ G (inclusión estricta ya que (G : Ga) > 1) ypor el teorema de Lagrange #G = #Ga: (G : Ga) ; lo que signi�ca que pm esdivisor del orden de Ga que, a su vez, es estrictamente menor que el de G:La hipótesis de inducción proporciona ya un subgrupo de Ga de orden pm:

De�nición 1.2.27 Sea G un grupo �nito y p un número primo.1) Se dirá que G es un p-grupo si el orden de G es una potencia de p:2) Si H es un subgrupo de G de orden una potencia de p se dirá que H

es un p-subgrupo de G: Si pm es la mayor potencia de p que divide al ordende G y si H es un subgrupo de G que tiene orden pm se dirá que H es unp-subgrupo de Sylow de G: Es decir los p-subgrupos de Sylow de G son losp-subgrupos de G de orden mayor posible.

Nota 1.2.28

Si H es p � subgrupo de Sylow de G entonces lo son también todos susconjugados xHx�1 (x 2 G); y por lo tanto G actúa por conjugación en elconjunto de sus p-subgrupos de Sylow, para cada primo p que divide al ordendeG: Por lo tanto siG tiene un único p-subgrupo de SylowH; necesariamenteH es normal en G:

Proposición 1.2.29 Si p es un número primo y G es un p-grupo de ordenpr existe entonces una cadena de subgrupos

G0 = feg � G1 � G2 � ::: � Gr = G;

de tal modo que cada Gies subgrupo normal de Gi+1; y Gi+1�Gi es cíclicode orden p; para todo i = 0; 1; 2; :::; r � 1:

Demostración. Es consecuencia del teorema anterior ya que basta tomarGr�1 subgrupo de G de orden pr�1 y, recurrentemente, Gi subgrupo de Gi+1de orden pi para i = 0; 1; 2; :::; r � 1: Por el teorema de Lagrange el índice(Gi+1 : Gi) = p; que es el menor número primo que divide al orden de Gi+1

Page 30: TEORwA DE GALOIS

26 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

y, por lo tanto Gi es normal en Gi+1(1.2.20): Todos los cocientes Gi+1=Gi songrupos de orden primo y por lo tanto cíclicos.La proposición anterior establece que todo p-grupo es resoluble, concepto

que será de�nido en la próxima sección.

Teorema 1.2.30 (Teorema de Sylow) Sea p un número primo y G un grupo�nito de orden n = pmr; con r no divisible por p: Entoncesa) Existen p-subgrupos de Sylow de G:b) Todo p-subgrupo de G está contenido en un p-subgrupo de Sylow de G:c) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.d) El número sp de p-subgrupos de Sylow de G es divisor de r; y, por

tanto, del orden de G: Además sp es congruente con 1 módulo p (sp � 1(m�odp)); es decir sp = 1 + kp para algún entero k:

Demostración. Del teorema anterior se sigue a) si allí se toma pm comola mayor potencia de p que divide al orden de G: Para la demostración delas restantes a�rmaciones sea P := fP j P es p�subgrupo de Sylow de Gg:Por la nota 1.2.28 se puede considerar a G actuando por conjugación en P:Sea P 2 P �jado arbitrariamente y GP = fx 2 G j xPx�1 = Pg su grupo deisotropía, que resulta ser el normalizador de P en G. El orden de la G�órbitade P es el índice de GP en G; es decir#OG(P ) = (G : GP ) (1.2.22): Se tienenlas inclusiones de grupos

feg � P � GP � G

y, por aplicación reiterada del teorema de Lagrange, las igualdades

pmr = #G = #GP : (G : GP ) = #P: (GP : P ) : (G : GP ) =

= pm: (GP : P ) : (G : GP ) ;

es decir(GP : P ) : (G : GP ) = (GP : P ) :#OG(P ) = r;

de lo que se deduce que p no es divisor de #OG(P ) (en otro caso p dividiríaa r); y además que #OG(P ) es divisor de r y también de #G:Para la prueba de b), sea H un p-subgrupo de G y sea p� = #H (obvia-

mente � � m): El subgrupo H actúa también por conjugación en la G-órbitade P

H �OG(P )! OG(P )

Page 31: TEORwA DE GALOIS

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 27

(h;Q) hQh�1;

ya que si Q = xPx�1 entonces hQh�1 = h (xPx�1)h�1 = (hx)P (hx)�1 2OG(P ): Se tiene ahora que

OG(P ) = OH(P1) tOH(P2) t ::: tOH(Pt);

en donde fP1; P2; :::; Ptg � OG(P ) es un conjunto de representantes de lasdiferentes H-órbitas OH(Pi) de elementos de OG(P ); y por lo tanto

#OG(P ) =tXi=1

#OH(Pi) =tXi=1

(H : HPi) ; (�)

donde HPi denota el grupo de isotropía de Pi para la acción de H (HPi =fh 2 H=hPih�1 = Pig). Por el teorema de Lagrange #H = #HPi : (H : HPi)y por tanto (H : HPi) j p� = #H; es decir

(H : HPi) = p�i ; (��)

con �i � � para cada i = 1; 2; :::; t: Puesto que p - #OG(P ); de (�) y(��) se deduce que existe algún sumando en la (�) no divisible por p; o sea,9i 2 f1; 2; :::; tg tal que �i = 0; o, lo que es lo mismo, tal que H = HPi :Obviamente HPi es un subgrupo de GPi (GPi es el normalizador en G delgrupo Pi); y por lo tanto HPi es subgrupo de G y existe un isomor�smo degrupos (1.1.19)

HPi�Pi �= H�H \ Pi:

De esto se obtiene que

#(HPi) =#H:#Pi#(H \ Pi)

;

en virtud del teorema de Lagrange, de lo que resulta queHPi es un p�subgrupode G al ser potencias de p todos los términos del segundo miembro de laigualdad anterior. Como Pi � HPi, de la maximalidad del orden dePi resultaPi = HPi que admite a H como subgrupo y la a�rmación b) queda probada.La prueba de c) se puede obtener de lo ya demostrado. En efecto, si P

y Q son dos p�subgrupos de Sylow de G hágase jugar a Q el papel que hajugado H en la prueba de b); se encontrará un Pi 2 OG(P ) tal que Q � Pi;y por lo tanto Q = Pi por ser ambos grupos �nitos del mismo orden.

Page 32: TEORwA DE GALOIS

28 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

La demostración de d) es también consecuencia de lo ya dicho. Ahorasabemos que OG(P ) = P para cualquier P (por el apartado b)). También seha visto que sp = #P es divisor de r. Haciendo H = P en la prueba de b) setiene

sp =

tXi=1

(P : PPi) ;

en donde fP1; P2; :::; Ptg es un conjunto de representantes de las P -órbitasOP (Pi) diferentes de elementos deP; y además existe algún sumando (P : PPi)= p�i de valor 1; lo cual sucede solamente si P = Pi (que corresponde al caso,H = P � Pi de la prueba de b)). Por lo tanto en la suma anterior solamentehay un sumando que vale 1 y los restantes son potencias de p; con lo que laa�rmación d) queda demostrada.

Nota 1.2.31

Ahora se puede a�rmar:

sp = 1() P = fPg () P es subgrupo normal de G:

Corolario 1.2.32 (Teorema de estructura de grupos abelianos �nitos) Si Ges un grupo abeliano de orden n = pr11 p

r22 :::p

rtt con p1; p2; ::; pt primos dife-

rentes, entonces G = H1H2:::Ht�= H1 �H2 � ::: �Ht en donde cada Hi es

el único pi-subgrupo de Sylow de G, para cada i = 1; 2; :::; t.

Demostración. La existencia de los grupos Hi (para cada i = 1; 2; :::; t)puede obtenerse como consecuencia inmediata del teorema de Sylow ante-rior (aunque en el caso abeliano no es necesario recurrir a herramientas tanso�sticadas (véase (1.2.15)), y su unicidad de la conmutatividad de G y dela nota 1.2.31. El resto de la prueba es el contenido de la nota 1.2.15.

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

Uno de los resultados �nales de estas notas - y su principal objetivo - loconstituye el teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de ecua-ciones algebraicas. Este teorema establece que dicha resolubilidad es posiblepara una tal ecuación si, y sólo si, un cierto grupo asociado a la misma es ungrupo resoluble. Por ello es importante dedicar nuestra atención al examen

Page 33: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 29

de algunos resultados básicos de la teoría de grupos resolubles. La no resol-ubilidad de los grupos de permutaciones Sn; si n � 5; será de�nitiva parala prueba del teorema de Abel sobre la no resolubilidad por radicales de laecuación general de grado n � 5.Dedicaremos unas líneas a recordar las principales cuestiones y notaciones

de la teoría de grupos de permutaciones. Recuérdese que si X es un conjunto,el grupo SX de las permutaciones de X es el conjunto de las biyeccionesX ! X: La operación de SX es la composición de aplicaciones.

De�nición 1.3.1 Si X = f1; 2; :::; ng es el conjunto de n elementos se de-signará con Sn el grupo de sus permutaciones, que recibe el nombre de gruposimétrico de n elementos.

Sn es un grupo de orden n!; y no es abeliano si n � 3 (comprobación muysencilla). Si � 2 Sn se escribirá

� =

�1 2 ::: n

� (1) � (2) ::: � (n)

�:

Si un elemento j 2 f1; 2; :::; ng es �jo para �; es decir tal que � (j) = j; elsímbolo j será suprimido en la expresión anterior. Por ejemplo para n = 5 lapermutación � (1) = 3; � (2) = 1; � (3) = 5; � (4) = 4; � (5) = 2 se escribirá

� =

�1 2 3 53 1 5 2

�:

Con esta notación es fácil obtener que si m � n entonces Sm se identi�ca conel subgrupo de aquellos � 2 Sn que dejan �jos n�m elementos determinados.

De�nición 1.3.2 Si � 2 Sn es tal que existen a1; a2; :::; ar 2 f1; 2; :::; ngde forma que � (ai) = ai+1 para i = 1; 2; :::; r � 1 y � (ar) = a1; y además� (j) = j; 8j 2 f1; 2; :::; ng� fa1; a2; :::; arg ; se dirá que � es un r-ciclo y seescribirá

� = (a1 a2 :::ar) :

Los 2-ciclos se denominan trasposiciones

Obsérvese que si � es un r-ciclo su período es r:

Page 34: TEORwA DE GALOIS

30 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

De�nición 1.3.3 Dos permutaciones �; � 2 Sn se dice que son disjuntas si,para cada j 2 f1; 2; :::; ng; � (j) 6= j =) � (j) = j (o, lo que es equivalente,� (j) 6= j =) � (j) = j). Es muy fácil comprobar que permutaciones disjuntasconmutan.

Proposición 1.3.4 Toda permutación � 2 Sn es producto de ciclos disjun-tos.

Demostración. Tómese k 2 f1; 2; :::; ng y fórmese el conjunto f�i (k) ji � 0g. Se observará que, como nuestro conjunto f1; 2; :::; ng es �nito y � esbiyectiva, existe un entero m � 0 tal que �m(k) = �i (k) ; para algún 0 � i <m: Si r es el menor de tales enteros, necesariamente se tiene �r(k) = k; puesde la igualdad �r(k) = �j (k) ; para algún 0 � j < r; resultaría �r�j(k) = k,contradiciendo la minimalidad de r si 0 < j: A continuación, para obtener ladescomposición anunciada, comenzamos escribiendo

�1 =

�a � (a) ::: �r1�1 (a)

� (a) �2 (a) ::: �r1 (a) = a

�=�a � (a) ::: �r1�1 (a)

�;

que es un r1-ciclo, donde a es el primer elemento, según el orden natural enf1; 2; :::; ng; que no es �jo para �. Se procede a construir

�2 =

�b � (b) ::: �r2�1 (b)

� (b) �2 (b) ::: �r2 (b) = b

�=�b � (b) ::: �r2�1 (b)

�;

tomando b el primer elemento, según el orden mencionado; que no pertenezcaal conjunto de elementos fa; � (a) ; �2 (a) ; :::; �r1�1 (a)g y que no es �jo para�. Recursivamente se construyen sucesivas �3; :::; �t�1; �t; ::: donde

�t =

�k � (k) ::: �rt�1 (k)

� (k) �2 (k) ::: �rt (k) = k

�=�k � (k) ::: �rt�1 (k)

�;

siendo k el primer elemento de f1; 2; :::; ng; según el consabido orden natural,que no ha sido movido por ninguno de los ciclos ya construidos �3; :::; �t�1;y que no es �jo para �: Los sucesivos conjuntos�a; � (a) ; :::; �r1�1 (a)

;�b; � (b) ; :::; �r2�1 (b)

; :::;

�k; � (k) ; :::; �rt�1 (k)

; :::

son disjuntos. El proceso se detendrá cuando se hayan agotado los elementosde f1; 2; :::; ng que no son �jos para �. Es obvio que � = �l:::�2�1 donde �l esel último ciclo que es posible construir con el proceso anteriormente descrito.

Page 35: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 31

Nota 1.3.5

Cada ciclo es un producto de trasposiciones aunque no de modo único:

� = (a1 a2 :::ar) = (a1 ar) (a1 ar�1) ::: (a1 a3) (a1 a2) =

= (a1 a2) (a2 a3) ::: (ar�2 ar�1) (ar�1 ar) :

Por lo tanto, cada permutación 2 Sn admite al menos una factorizaciónen trasposiciones. El número de tales trasposiciones no está determinado demodo único pero sí lo está su paridad, tal y como se establece en la siguiente

Proposición 1.3.6 Si Id es el elemento neutro de Sn y si Id = � 1� 2:::� res una descomposición de Id como producto de trasposiciones entonces r espar. Como consecuencia, la paridad del número de trasposiciones en que sepuede descomponer una permutación � 2 Sn está determinada por � y sedenominará paridad de �.

Demostración. Para cada entero B de la forma B =Q

(i;j)2�(j� i) y cada

permutación � 2 Sn se de�ne B� :=Q

(i;j)2�(� (j)� � (i)); en donde � designa

un subconjunto arbitrario de f1; 2; :::; ng � f1; 2; :::; ng ; y es fácil comprobarque B�� = (B� )� : También (�B)� = �B�, cualquiera que sea � 2 Sn; puesla expresión�B (respect. �B�) se puede obtener a partir de la de B (respect.B�) modi�cando sólo el signo de uno de sus factores, p.ej. el k � r (respect.� (k)� � (r)):La mayor di�cultad de la prueba consiste en demostrar que si� es una trasposición y A =

Q1�i<j�n

(j � i); entonces A� = �A. Para ello

pongamos � = (h k) (con h < k) y veamos cómo varían los factores de A conla actuación de � para obtener A� .Para ello, obsérvese que cada factor j � i; con i 6= h y j 6= k; permanece

en A� sin variación, es decir los únicos factores j � i que resultan afectadosal calcular A� son de alguno de los siguientes tipos:a) i < h < k, con j = h o j = k y entonces �(h) � �(i) = k � i y

� (k) � � (i) = h � i, produciéndose un cambio de posición de los factoresk � i y h� ib) h < k < j, donde ahora i = h o i = k, resultando �(j)� �(h) = j � k

y �(j)� �(k) = j � h; con lo que se reproduce lo obtenido en a).c) h < i < k = j con lo que el factor i � h es cambiado en el factor

�(i) � �(h) = i � k; pero también el factor k � i es cambiado en el factor

Page 36: TEORwA DE GALOIS

32 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

�(k) � �(i) = h � i; resultando así que se produce solamente un cambio deorden y la modi�cación del signo de dos factores. Estos cambios no afectanal valor del producto.d) Finalmente, i = h < j = k; y entonces el factor j�i de A se transforma

en � (j)� � (i) = i� j:Esto agota todas las posibilidades y signi�ca que A� = �A:Por lo tanto, si Id = � 1� 2:::� r; se tiene que A = AId = A�1�2:::�r =

(�A)�1�2:::�r�1 = [(�1)A]�1�2:::�r�1 = ::: = (�1)rA; de lo que resulta que r esnecesariamente par.Ahora, si � = � 1� 2:::� t = "1"2:::"s son dos factorizaciones de � 2 Sn

en trasposiciones, resulta que Id = � 1� 2:::� t"s"s�1:::"1 con lo cual t y s sonambos pares o ambos impares ya que su suma ha de ser par.

De�nición 1.3.7 Se denomina signatura de la permutación � al valor " (�) =(�1)k ; siendo k el número de trasposiciones de una descomposición de �(como consecuencia de la anterior proposición la signatura está de�nida sinambigüedad) Se designa con An el conjunto de permutaciones que se des-componen en un número par de trasposiciones (permutaciones pares). An esun subgrupo de índice 2 de Sn y recibe el nombre de grupo alternado de nelementos (� 2 An () " (�) = 1): Las � 2 Sn�An son las permutacionesimpares.

An es el núcleo del homomor�smo " : Sn ! f�1; 1g que asocia a cadapermutación su signatura (f�1; 1g es subgrupo del grupo multiplicativo R�de números reales no nulos)

Lema 1.3.8 Sea p un número primo y � 2 Sp. Entonces j�j = p si, y sólosi, � es un p-ciclo.

Demostración. Es evidente que si � es un p-ciclo entonces j�j = p:Recíprocamente, sea � 2 Sp de período p y sea � = �1�2 una factorizaciónen permutaciones disjuntas (1.3.4), con �1 = (a1a2:::ar) un r-ciclo y �2 2Sp�r; con 1 < r � p. Necesariamente se tiene r = p; ya que, en otro caso(es decir, si 1 < r < p), se tendría �r = �r1�

r2 = �r2 2 Sp�r al ser �1 y �2

disjuntas. Ello no es posible pues de �r 2 Sp�r se obtiene, por el teorema deLagrange, que j�rj = p (�r tiene el mismo período p que � por (1.2.7)) es undivisor primo de (p� r)! = #Sp�r; lo que es falso si r > 0: Por lo tanto r = py la permutación �2 es la identidad con lo que � = �1 que es un p�ciclo.

Page 37: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 33

Nótese que la condición de que p es número primo es crucial en la a�r-mación anterior. En efecto, si n = 12; y � = �1�2 con �1 = (1 2 3) y �2 = (45 6 7) resulta j�j = 3;4 = 12 y no obstante � no es un 12�ciclo. Más ge-neralmente, si n = pq con p y q primos diferentes, y si � = �1�2 2 Sn con �1un p�ciclo y �2 un q�ciclo, �1 y �2 disjuntos, resulta que j�j = n y � no esun n-ciclo (solamente actúa sobre p+ q elementos y p+ q < n = pq):Nótese también que le restricción impuesta � 2 Sp es hipótesis esencial,

pues si �; � 2 Sn (con n � 2p) son p-ciclos disjuntos, entonces �� 2 Sn es deperíodo p y no es un p-ciclo.

Proposición 1.3.9 Si p es un número primo y H es un subgrupo de Sp quecontiene un p-ciclo y una trasposición, entonces H = Sp.

Demostración. Si el p-ciclo es � = (a1a2 :::ap) 2 H y la trasposición es� = (aiaj); poniendo

� =

�1 2 ::: pa1 a2 ::: ap

�resulta �0 = ��1�� = (12:::p) 2 H 0 := ��1H�; y también � 0 = ��1�� = (ij) 2 H 0. Ahora H 0 = Sp si, y sólo si, H = Sp pues los grupos H y H 0 tienenel mismo orden.Como p es primo y r = j � i < p; entonces = (�0)r es también un

p�ciclo (el lema anterior permite a�rmar que �0 es p�ciclo al tener períodop) y 2 H 0: Además (i) = i + r = � 0 (i) = j; y así se tiene = (i (i) 2 (i) 3 (i) ::: p�1 (i)), y � 0 = (i (i)). De una nueva renumeración

& =

�1 2 ::: pi (i) ::: p�1 (i)

�resulta que �00 = &�1 & = (1 2:::p) y � 00 = &�1� 0& = (1 2) son elementos delsubgrupo H 00 = &�1H 0&: También H 0 = Sp () H 00 = Sp; y todo lo dichohasta aquí nos permite suponer que � = (12:::p) y que � = (12) :Ahora ����1 = (2 3), �(2 3)��1 = (3 4),...,�(p � 2 p � 1)��1 = (p � 1

p) son elementos de H, y por lo tanto (i i + 1) 2 H, 8i 2 f1; 2; :::; p� 1g :Como (i i+ 2) = (i i+ 1)(i+ 1 i+ 2)(i i+ 1) para cada i = 1; 2; :::; p� 2;resulta, por recurrencia, que cada trasposición

(i i+ s) = (i i+ s� 1) (i+ s� 1 i+ s) (i i+ s� 1)

es un elemento de H: Como Sp está generado por las trasposiciones se tieneH = S:

Page 38: TEORwA DE GALOIS

34 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Una segunda lectura de la proposición anterior es muy simple, el grupoSp está generado por el par formado por un p-ciclo y una trasposición, ambascualesquiera.El concepto de grupo resoluble será esencial en la teoría de Galois de

ecuaciones algebraicas.

De�nición 1.3.10 Una cadena de subgrupos del grupo G

Gr � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G

se dirá que es una cadena (o torre) normalde G si cada Gi+1 es normal enGi: Si además cada grupo cociente Gi�Gi+1 es abeliano (resp. cíclico) se diraque la torre es abeliana (resp. cíclica). El grupo G se dice que es resoluble siexiste una torre abeliana de G como la anterior en la que, además, Gr = feg( o, equivalentemente, el grupo Gr�1 es abeliano). Si existe, diremos que dichatorre es una torre de de resolubilidad para G:

Ejemplos1.-Si G es abeliano G es resoluble; la consideración de la cadena feg � G

es su�ciente argumento.2.-Todo p�grupo es un grupo resoluble (1.2.29).3.-El grupo de las permutaciones de tres elementos S3 es resoluble. La

cadenafeg � A3 =< (123) >� S3

proporciona la resolubilidad.Como ya queda dicho, todo grupo abeliano es resoluble, pero como con-

secuencia de (1.2.29) y de (1.2.32) obtendremos un resultado para grupos�nitos resolubles que será crucial en la prueba del gran teorema de Galois yserá corolario de la siguiente

Proposición 1.3.11 Si G es un grupo abeliano �nito existe una torre

Gr = 0 � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G

tal que cada cociente Gi�1�Gi es cíclico de orden primo.

Demostración. Por el teorema de estructura de grupos abelianos �nitosse tiene que G = H1H2:::Ht (1.2.32) donde cada Hi es el único pi-subgrupo

Page 39: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 35

de Sylow de G: Poniendo Gi�1 := HiHi+1:::Ht, para cada i = 1; 2; :::; t, elpi-grupo

Gi�1�Gi = (Hi:::Ht)� (Hi+1:::Ht) �= Hi

tiene una torre de subgrupos

0 = G0i;ri � G0i;ri�1 � ::: � G0i;0 = Hi

tal que cada cociente G0i;s�1�G0i;s es cíclico de orden pi para todo s = 1; :::; ri(1.2.29). Por aplicación del teorema de la correspondencia al homomor�smode paso al cociente 'i : (H1:::Hi) ! (H1:::Hi)� (H1:::Hi�1) se obtiene unatorre

Gi = Hi+1::::Ht = Gi;ri � Gi;ri�1 � ::: � Gi;0 = Hi:::Ht = Gi�1

de las mismas características que la anterior ya que, en virtud del primerteorema de isomorfía (1.1.17), se tiene Gi;s�1�Gi;s � G0i;s�1�G0i;s; para todos = 1; :::; ri: Se consigue una torre para G por concatenación de las sucesivastorres obtenidas para cada i = 1; 2; :::; t; en la que los cocientes de cada dostérminos consecutivos son grupos cíclicos de orden primo.

Corolario 1.3.12 Un grupo �nito G es resoluble si, y sólo si, existe unatorre normal

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G

en la que cada cociente Gi�1�Gi es cíclico de orden primo.

Demostración. Si G es resoluble existe una torre normal Ht = feg �Ht�1 � Ht�2 � ::: � H0 = G con cada Hi�1�Hi grupo �nito abeliano.Usando la proposición 1.3.11 y el teorema de la correspondencia es posibleintercalar grupos entre cada dos consecutivos de la torre original obteniendo

Hi+1 = Hi;ni � Hi;ni�1 � Hi;ni�2 � :::Hi;0 = Hi

de modo que los cocientes de grupos sucesivos sean grupos de orden primo. Laconcatenación de las torres parciales así obtenidas proporciona lo anunciado.El recíproco es evidente.

Proposición 1.3.13 Sea H un subgrupo del grupo G:a) Si G es resoluble entonces H es resoluble.b) Si H es normal en G son equivalentes las a�rmacionesi) G es resolubleii) H y G�H son resolubles.

Page 40: TEORwA DE GALOIS

36 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

Demostración. a) La cadena de subgrupos de G

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G; (�)

que establece la resolubilidad de G; proporciona otra de subgrupos de H

Gr \H = feg � Gr�1 \H � Gr�2 \H � ::: � G0 \H = H;

en la que cada grupo es normal en el siguiente, y cada cociente

Gi�1 \H�Gi \H

es abeliano al ser subgrupo de Gi�1�Gi.b) \i) =) ii)" Como consecuencia del apartado a) sólo es necesario probar

que G�H es resoluble. Ahora, si ' : G! G=H es el homomor�smo canónicode paso al cociente, a partir de la cadena (�) de resolubilidad para G seobtiene la torre

' (feg) = fHg � ' (Gr�1) � ::: � ' (G1) � ' (G) = G=H

que establece la resolubilidad de G�H; pues cada grupo es normal en elsiguiente por el teorema de la correspondencia, y además

' (Gi�1)�' (Gi)

es abeliano al ser un grupo cociente de Gi�1�Gi que lo es por hipótesis.\ii) =) i)" Sean

Hs = feg � Hs�1 � ::: � H0 = H (+)

yG00t = fHg � G00t�1 � G00t�2 � ::: � G000 = G�H

las cadenas que establecen las resolubilidades respectivas de H y de G�H:Por el teorema de la correspondencia existe una cadena

H = Gt � Gt�1 � Gt�2 � ::: � G0 = G ; (++)

de�nida mediante Gi := '�1(G00i ); que satisface as condiciones de normalidadrequeridas y además Gi�Gi�1 �= G00i�G00i�1; lo que proporciona la conmuta-tividad de cada grupo cociente. La concatenación de las cadenas (+) y (++)proporciona la cadena

feg = Hs � Hs�1 � ::: � H0 = H = Gt � Gt�1 � Gt�2 � ::: � Go = G

que establece la resolubilidad de G:

Page 41: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 37

De�nición 1.3.14 Si G es un grupo y x; y elementos de G se de�ne el con-mutador del par (x; y) como

[x; y] = xyx�1y�1;

y se denotará con G(1); o con [G : G] ; el subgrupo de G generado por todoslos conmutadores de pares de elementos de G;

G(1) :=< f[x; y] j (x; y) 2 G�Gg > :

El subgrupo G(1) recibe el nombre de subgrupo conmutador o subgrupo deriva-do de G; y también abelianizador de G: Recursivamente se de�ne la seriederivada de un grupo G que está formada por la cadena de subgrupos

:::: � G(i+1) :=�G(i) : G(i)

�� ::: � G(2) :=

�G(1) : G(1)

�� G(1) � G =: G(0)

Nótese que en la anterior de�nición todo se trivializa si el grupo G esconmutativo pues en ese caso [x; y] = e;8x; y 2 G:

Lema 1.3.15 Sea G un grupo. Entoncesa) G(1) es subgrupo normal de G y el cociente G�G(1) es abeliano.b) Si H es un subgrupo normal de G son equivalentesi) El cociente G�H es abeliano.ii) G(1) � H:

Demostración. a) G(1) :=< f[x; y] =x; y 2 Gg > : Nótese que [x; y]�1 =[y; x] y que, por lo tanto, cada elemento de G(1) se expresa como un pro-ducto �nito de conmutadores. Un pequeño truco de cálculo proporciona lanormalidad de G(1) :

g [a1; b1] ::: [an; bn] g�1 =

�ga1g

�1; gb1g�1� ::: �gang�1; gbng�1� :

La conmutatividad de G�G(1) resulta de que ba 2 abG(1) pues ab (ba)�1 =aba�1b�1 2 G(1); y por lo tanto

aG(1):bG(1) = abG(1) = baG(1) = bG(1):aG(1):

b) Para a; b 2 G se tiene

aH:bH = abH = baH = bH:aH () ab(ba)�1 = [a; b] 2 H;

Page 42: TEORwA DE GALOIS

38 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

y por lo tanto G�H es abeliano si, y sólo si, H contiene a todos los conmu-tadores.

Como consecuencia del lema anterior, en la serie derivada de un grupo Gcada subgrupo es normal en el siguiente y el cociente de ambos es abeliano.Por consiguiente, si existe un n tal que G(n) es conmutativo (o, equivalente-mente, tal que G(n+1) = feg), la serie derivada termina en el grupo trivialdespués de un número �nito de pasos, y por tanto dicha serie es una cadenaque establece la resolubilidad de G: El recíproco también es cierto ya que siG es un grupo resoluble y

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G1 � G0 = G

es una torre abeliana, en virtud del apartado b) del lema 1.3.15 se tiene queG(1) � G1 y entonces G(2) � G

(1)1 (pues es evidente que si H es subgrupo

de L entonces H(1) es subgrupo de L(1)). Como G1�G2 es abeliano, el lema1.3.15 nos permite a�rmar que G(1)1 � G2; con lo que resulta G(2) � G2:De forma recurrente se obtiene que G(i) � Gi para todo i; y por tanto,necesariamente, G(r) = feg. Así hemos demostrado la

Proposición 1.3.16 Un grupo G es resoluble si, y solamente si, su seriederivada alcanza el grupo trivial después de un número �nito de pasos, esdecir, existe un número natural r tal que G(r) = feg :�

Obsérvese que para un grupo �nito G su serie derivada es necesariamenteestacionaria, es decir existe un k 2 N tal que G(k) = G(k+1) (y por tantoG(i) = G(j) para todos i; j � k). La no resolubilidad del grupo �nito Gsigni�ca, por lo tanto, que su serie derivada estaciona en un grupoG(k) 6= feg.Si G es in�nito no resoluble su serie derivada puede no ser estacionaria.Los últimos resultados de esta sección se dedican al estudio de la resolu-

bilidad de los grupos de permutaciones.

Proposición 1.3.17 S4 y A4 son grupos resolubles.

Demostración.Ya que (S4 : A4) = 2 la resolubilidad de S4 es equivalentea la de A4 en virtud de la proposición 1.3.13, así que probaremos solamenteque el grupo alternado A4 es resoluble: Sea V un 2-subgrupo de Sylow deA4, es decir de orden 4 y (A4 : V ) = 3. Las trasposiciones y los 4-ciclos sonpermutaciones impares y por tanto no son elementos de V . Tampoco son

Page 43: TEORwA DE GALOIS

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 39

elementos de V los 3-ciclos ya que son de período 3 que no divide a #V = 4.Por tanto, como la descomposición de cada � 2 V (� 6= id) en producto deciclos disjuntos es � = � 1� 2 con � 1 y � 2 trasposiciones (n = 4), solamentehay tres de tales elementos, a saber

(12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23) :

Por lo tanto V = fid; (12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23)g es el único 2-subgrupode Sylow de A4, que, entonces, es normal en A4 (1.2.31). Como A4�V esde orden 3 y V de orden 4 ambos son grupos abelianos. Por tanto A4 es ungrupo resoluble.

Este resultado, junto con la resolubilidad de S2 y S3, nos permitirá a�r-mar que existe una fórmula, que contiene solamente expresiones radicales yalgebraicas de los datos, para resolver la ecuación algebraica general de gradon � 4, sin necesidad de obtener dicha fórmula de modo explícito.

Proposición 1.3.18 Si n � 5 el grupo Sn no es resoluble.

Demostración. La prueba se realizará por reducción al absurdo. Se pro-bará, de modo recurrente, que si n � 5 y

fidg = Hm � ::: � Hi+1 � Hi � ::: � H1 � H0 = Sn

es una torre abeliana de Sn, cada subgrupo Hi contiene a todos los 3-ciclos.Esto es imposible pues fidg = Hm. Sea (abc) un 3-ciclo y elíjanse d; e 2f1; 2; :::; ng� fa; b; cg ; lo cual es posible al ser n � 5. Sean � = (cdb) y � =(bae) : Como H0�H1 es abeliano, el conmutador [�; �] = ����1��1 = (abc)es un elemento de H1 (1.3.15). Sea ahora i > 1 y supóngase que todos los3-ciclos son elementos de Hi. Procediendo de forma idéntica al caso i = 1teniendo en cuenta que �; � 2 Hi por ser 3-ciclos, resulta (abc) = [�; �] 2Hi+1 por ser Hi�Hi+1 abeliano.

La no resolubilidad de los grupos de permutaciones Sn para n � 5 serácrucial a la hora de probar la no resolubilidad por radicales de la ecuacióngeneral de grado n � 5.

Page 44: TEORwA DE GALOIS

40 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

1.4. Ejercicios

1.- Sea G un grupo, n un entero y a 2 G: De�nimos las potencias de acomo sigue:A) a0 := e , el elemento neutro de G;B) an =

n vecesa::::::a si n > 0;

C) an =�n veces

a�1:::::::a�1 si n < 0.Dados m;n 2 Z demuéstrese quea) (an)�1 = (a�1)n = a�n

b) am � an = am+n

c)(am)n = amn.

2.- Realícense todos los detalles de las demostraciones de los resultadosque han sido incluidos sin prueba en este primer capítulo.

3.- Sea H un subgrupo del grupo G. Demuéstrese que para cada a 2 G elconjunto aHa�1 := faha�1jh 2 Hg es un subgrupo de G del mismo cardinalque H:

4.- Demuéstrese que si G es un grupo en el que para cada a 2 G se tienea2 = e (elemento neutro de G) entonces G es abeliano.

5.- Dados H;K subgrupos de un grupo G se de�ne el conjunto HK :=fhkjh 2 H; k 2 Kg : Demuéstrese que HK es subgrupo de G si, y sólo si,HK = KH:

6.- Sea V = fid; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g :a) Pruébese que V es subgrupo de A4 (V es el grupo de Klein Z2 � Z2).b) V es subgrupo normal de A4:c) Demuéstrese que W :=< (12)(34) > es subgrupo normal de V y que

no es normal en A4:

7.- Sean H subgrupo de G y K subgrupo de L.a) Demuéstrese que H �K es subgrupo de G� Lb) Demuéstrese que H �K es normal en G� L si y sólo si H es normal

en G y K es normal en L:

8.- Sean G y H grupos, a 2 G y b 2 H elementos de orden �nito. De-muéstrese que (a; b) 2 G�H es un elemento de orden m:c:m(jaj ; jbj):9.- Sea G un grupo y a; b 2 G tales que (jaj ; jbj) = 1: Demuéstrese que si

ab = ba; entonces jabj = jaj jbj :

Page 45: TEORwA DE GALOIS

1.4. EJERCICIOS 41

10.- Sean A =

�0 �11 0

�y B =

�0 �11 �1

�elementos de GL2(R):

Demuéstrese que A tiene orden 4, que B es de orden 3 y que AB es de orden0:

11.- Sea G un grupo y a; b 2 G: Demuéstrense las siguientes identidadesa) jaj = ja�1j = jbab�1jb) jabj = jbaj :12.- Sea G =< a > un grupo cíclico de orden n: Demuéstrense los dos

resultados siguientesa) jajj = n

(n;j)

b) Si r es un entero positivo que divide a n entonces G contiene exacta-mente un subgrupo de orden r:

13.-Sea G =< a > un grupo cíclico de orden 154. SeaH un subgrupo de Ggenerado por fa28; a88g : Pruébese que existe un entero k tal queH =< ak > :

14.- Sean G y H grupos cíclicos de órdenes m y n; respectivamente. De-muéstrese que el grupo G�H es cíclico si, y sólo si (m;n) = 1:

15.- Sea G un grupo, G 6= feg. Pruébese que G no tiene otros subgruposque G y feg si, y sólo si, G es cíclico de orden primo.

16.- Sea G un grupo abeliano �nito de orden n = pr:q con p primo nodivisor de q y r � 1: Demuéstrese que si H es el subgrupo de G de orden pr

que existe, según lo establecido en (1.2.13), se tiene

H = fx 2 G j jxj es una potencia de pg :

17.- Sea f : G ! H un homomor�smo de grupos y a 2 G un elementode orden �nito. Demuéstrese que jf(a)j divide jaj ; y que si, además, f esinyectivo entonces jf(a)j = jaj :18.- Sea G un grupo �nito. Demuéstrese :a) Si G es de orden 4 entonces G es isomorfo a Z4 o al grupo de Klein.b) Si #G � 5 entonces G es abeliano.

19.- Se consideran los subgrupos 5Z y 35Z de Z. Demuéstrese que 5Z=35Z �=Z7:20.- Si G es un grupo �nito abeliano de orden n y m un entero positivo

coprimo con n, entonces la aplicación f : G ! G de�nida por f(a) = am esun automor�smo de G:

Page 46: TEORwA DE GALOIS

42 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

21.- Demuéstrese que (Q;+) no es isomorfo a (Z;+).¿Es (Q�; :) isomorfoa (Z;+)?

22.- Sea G = S3 � Z5: ¿Es G un grupo cíclico?¿Cuántos 5-subgruposde Sylow tiene G?¿Es cíclico todo 5-subgrupo de Sylow de G?¿Cuántos 3-subgrupos de Sylow tiene G?

23.- Sea G un grupo. Dados A y B subgrupos de G se considera la apli-cación � : A � B ! G de�nida por � (a; b) = ab: Demuéstrese que sonequivalentes las a�rmaciones:a) � es isomor�smo.b) A y B son subgrupos normales de G y cada elemento x 2 G se expresa

de forma única como x = ab con a 2 A y b 2 B:c) A y B son subgrupos normales de G; A \B = feg y AB = G:

24.- Sea G un grupo de orden 65. Demuéstrese que existen subgruposnormales H y K de G tales que G = HK: Como consecuencia demuéstreseque G es cíclico.

25.- Demuéstrese que todo grupo de orden 35 es cíclico.

26.- Pruébese que un grupo de orden 56 o 132 no es simple.

27.- Sean H y K grupos y G = H �K: Demuéstrese que G es resolublesi, y sólo si, son resolubles H y K:

28.- Demuéstrese que un grupo G de orden 30 no es simple. ¿Es resoluble?Como consecuencia demuéstrese que si un grupo de orden 60 no es simpleentonces es resoluble. Como aplicación obténgase que A5 es grupo simple.

29.- Sea G un grupo simple de orden 168.a) Calcúlense el número de 7-subgrupos de Sylow de G:b) Si P es un 7-subgrupo de Sylow de G; determínese el orden de NG(P ):c) Utilizando lo anterior, demuéstrese que G no tiene subgrupos de orden

14:

30.- Sean, p un número primo, G un grupo �nito, H un subgrupo normalde G y P un p�subgrupo de Sylow de G. Demuéstrese quea) H \ P es p-subgrupo de Sylow de H:b) HP�H es p-subgrupo de Sylow de G=H:

31.- a) Sean p; q enteros positivos, p primo y q < p: Demuéstrese que si Ges un grupo de orden pq existe un único subgrupo H de G tal que #H = py que H es subgrupo normal de G:

Page 47: TEORwA DE GALOIS

1.4. EJERCICIOS 43

b) Demuéstrese que si G es un grupo de orden 42, entonces G tiene unsubgrupo normal de orden 21.

32.- Demuéstrese que si p 6= 2 es un número primo todo grupo de orden2p es cíclico o bien isomorfo al grupo diedral D2p: Si p = 3 demostrar queD2p�= S3:

33.- Demuéstrese que todo grupo G de orden 12 es resoluble.

34.- Sean p; q números primos.a) Demuéstrese que todo grupo G de orden pq es resoluble.b) Demuéstrese que todo grupo de orden p2q es resoluble.

35.- Se consideran los grupos Z2 � Z2 � Z2; D2;4; y Z4 � Z2:a) Justifíquese que cada dos de ellos no son isomorfos.b) Razónese cuáles son cíclicos y cuáles son resolubles.c)¿Alguno de estos grupos tiene subgrupos de orden 4?

36.- Sea G un grupo �nito y p un número primo.a) Demuéstrese que G es un p-grupo si, y sólo si, todo elemento de G

tiene de período una potencia de p:b) Demuéstrese que existen, al menos, dos grupos no isomorfos de orden

p2.

37.- Sea G un grupo de orden 10a) Demuéstrese que G tiene un subgrupo normal H de orden 5 y al menos

un subgrupo K de orden 2.b) Demuéstrese también que si G es abeliano entonces G es isomorfo a

G=H �G=K y que, como consecuencia, G es cíclico.

38.-a) Sean p; q números primos. Pruébese que un grupo G de orden pqes resoluble. ¿Es abeliano?b) Sea G un grupo tal que para cada par de subgrupos H;K de G se tiene

H � K o K � H: Demuéstrese que G es un p-grupo para algún primo p:c) Si n es un entero positivo descríbase el grupo Aut(Zn):39.- a) Sea p un número primo. Demuéstrese

i) Si G es un p-grupo entonces p divide al orden de ZG:ii) Como consecuencia de i) todo p-grupo tiene un subgrupo normal

de orden p.b) Sea G = S3 � Z4. Justi�car razonadamente las a�rmaciones

i) G es un grupo resoluble.ii) Existe un único 3-subgrupo de Sylow de G:

Page 48: TEORwA DE GALOIS

44 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

iii) G tiene exactamente tres subgrupos de orden 8.

40.- Sea G un grupo de orden 440. Demuéstrese quea) G no es simple.b) G tiene un subgrupo normal de orden 55.

41.- Demuéstrese que si n � 3 el grupo alternado An está generado porlos 3-ciclos.

42.- Usando el ejercicio anterior demuéstrese que An es el subgrupo deriva-do de Sn; si n � 3.

Page 49: TEORwA DE GALOIS

Capítulo 2

COMPLEMENTOS DETEORÍA DE ANILLOS

Se desarrollan aquí de forma muy esquemática los aspectos de la teoríade anillos que van a ser utilizados en lo que sigue. Una parte importante delcontenido del capítulo debe ser conocido para quien haya estudiado un cursoelemental de Álgebra.

2.1. GENERALIDADES.

Se dedica esta primera sección a las nociones de anillo, módulo e ideal,los teoremas de isomor�smo para anillos y el teorema de la correspondenciaen el contexto de anillos, módulos e ideales.

De�nición 2.1.1 Un anillo A es un grupo abeliano (A;+) en el que hayde�nida una segunda operación : : A�A! A (multiplicación) de modo quese satisfacen las siguientes condicionesi)La multiplicación es asociativa (a:b):c = a:(b:c); 8a; b; c 2 A (a partir de

ahora se pondrá abc = (a:b):c = a:(b:c); eliminando el : allí donde no existaambigüedad)ii)Existe un elemento neutro 1 para la multiplicación (el üno"): 1a =

a1 = a;8a 2 Aiii)La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a(b+c) = ab+ac;

(a + b)c = ac + bc; 8a; b; c 2 A (de donde se obtiene a0 = 0;8a 2 A; ya quea0 = a(o+o) = a0+a0 =) a0 = 0 al ser a0 idempotente en el grupo (A;+);de forma análoga se obtiene 0a = 0;8a 2 A):

45

Page 50: TEORwA DE GALOIS

46 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Se dirá que el anillo A es conmutativo si la operación de multiplicar esconmutativa: ab = ba; 8a; b 2 A.

De�nición 2.1.2 Un elemento u 2 A se dirá que es una unidad si tieneinverso para la multiplicación. El conjunto de unidades de A se denotará conA� o con U(A):Se dirá que el anillo A 6= 0 es un anillo de división si cadaelemento no nulo tiene inverso para la multiplicación. Un cuerpo es un anillode división conmutativo.

A� es un grupo respecto de la multiplicación deA:El anilloA es de divisiónprecisamente si A� = A n f0g:

De�nición 2.1.3 Si A es un anillo, un subanillo B de A es un subgrupo delgrupo aditivo (A;+) tal que 1 2 B y tal que ab 2 B; 8a; b 2 B: En otraspalabras B es anillo con las mismas operaciones de A y con el mismo neutropara la multiplicación.

De�nición 2.1.4 Si A y B son anillos, una aplicación f : A ! B es unhomomor�smo de anillos si lo es de los grupos abelianos (A;+) y (B;+) yademási)f(aa0) = f(a)f(a0);8a; a0 2 A; yii)f(1A) = 1B:Un isomor�smo es un homomor�smo biyectivo.

Son a�rmaciones de comprobación inmediata:Si f : A ! B es un homomor�smo de anillos y A0 es subanillo de A;

entonces f(A0) es subanillo de B..Si f : A ! B es un homomor�smo de anillos y B0 es subanillo de B;

entonces f�1(B0) es subanillo de A:

De�nición 2.1.5 Sea A un anillo conmutativo.i)Un elemento no nulo a 2 A se dice que es un "divisor de cero"si existe

un b 2 A, b 6= 0; tal que ab = ba = 0:ii)El anillo A se dirá que es un dominio de integridad (o simplemente un

dominio) si no posee divisores de cero.

Un cuerpo A es un dominio de integridad, pues si a; b 2 A son tales queab = 0; y a 6= 0; entonces b = a�1ab = a�10 = 0:

Page 51: TEORwA DE GALOIS

2.1. GENERALIDADES. 47

De�nición 2.1.6 Si A es un anillo, un grupo abeliano M se dirá que es unA-módulo por la izquierda si existe una operación

: : A�M !M

(a;m) am

que satisface las siguientes condicionesi)1m = m; 8m 2Mii)(ab)m = a(bm);8a; b 2 A;8m 2M:iii)a(m+ n) = am+ an;8a 2 A y 8m;n 2M(a+ b)m = am+ bm; 8a; b 2 A y 8m 2M:

Como consecuencia, se tiene de modo inmediato que 0Am = 0M y a0M =0M ; 8a 2 A y 8m 2 M; en donde se ha escrito 0A (resp. 0M) para indicar elelemento neutro de la suma en A (resp. en M).

De�nición 2.1.7 N es un A�submódulo del A�módulo por la izquierda Msi N es un subgrupo de (M;+) y tal que an 2 N; 8a 2 A y 8n 2 N: Es decirN es también un A�módulo por la izquierda.

Es muy fácil demostrar que N es un submódulo del A-módulo M si, ysólo si, ax+ by 2 N , 8a; b 2 A y 8x; y 2 N:Si N es un A-submódulo del A�módulo por la izquierda M el grupo

abeliano M�N adquiera estructura de A-módulo por la izquierda con laoperación a(m+N) := am+N (que está bien de�nida, pues para m+N =m0 + N se tiene m �m0 2 N; y por tanto a(m �m0) = am � am0 2 N; esdecir am+N = am0 +N;8a 2 A)Análogas consideraciones para estructuras por la derecha. El propio anillo

A es un ejemplo de A�módulo por la derecha y por la izquierda.

De�nición 2.1.8 Si A es un anillo, los A-submódulos del A-módulo por laizquierda (resp. derecha) de A serán denominados ideales por la izquierda(resp. derecha) de A: Los ideales biláteros (que llamaremos ideales) de A sonlos ideales por ambos lados

Si f : A ! B es un homomor�smo de anillos el núcleo de f consideradocomo homomor�smo de grupos abelianos es ahora un ideal bilátero.Si I es un ideal bilátero de A la operación (a + I)(b + I) := ab + I

está bien de�nida y dota al grupo abeliano cociente A�I de estructura de

Page 52: TEORwA DE GALOIS

48 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

anillo, y el homomor�smo canónico de paso al cociente 'I : A ! A�I eshomomor�smo de anillos (comprobación elemental): Si f : A ! B es unhomomor�smo de anillos el núcleo de f considerado como homomor�smo degrupos abelianos es ahora un ideal bilátero. De hecho un subconjunto I delanillo A es ideal bilátero de A si , y sólo si, I es núcleo de un homomor�smode anillos f : A! B; para algún anillo B: Para un homomor�smo de anillosf : A ! B los homomor�smos que aparecen en la descomposición canónicade f como homomor�smo de grupos abelianos son también homomor�smosde anillos. Un isomor�smo de anillos es un homomor�smo biyectivo.

De�nición 2.1.9 Si M y M 0 son A-módulos por la izquierda una aplicaciónf :M !M 0 es un homomor�smo de A�módulos si lo es de grupos abelianosy además f(am) = af(m);8a 2 A;8m 2M: Equivalentemente, la aplicaciónf :M !M 0 es homomor�smo de A-módulos si f(ax+ by) = af(x) + bf(y);8a; b 2 A; y 8x; y 2M:

Si f :M !M 0 es un homomor�smo de A�módulos y N es un A�submó-dulo de M entonces f(N) lo es de M 0: También, si N 0 es A�submódulo deM 0 entonces f�1(N 0) es A�submódulo de M: Los conceptos de núcleo eimagen de f como homomor�smo de A�módulos son los mismos que loscorrespondientes como homomor�smo de grupos abelianos, y las anterioresson a�rmaciones de comprobación inmediata, como lo es también que si f :A ! B es homomor�smo de A�módulos, los homomor�smos que aparecenen la descomposición canónica de f como homomor�smo de grupos abelianosson también homomor�smos de A�módulos. Un isomor�smo de A�móduloses un homomor�smo biyectivo.

Teorema 2.1.10 Sean A un anillo, M un A-módulo por la izquierda y N;LA-submódulos de M tales que L � N: Entoncesi)N�L es un A�submódulo de M�Nii)Existe un isomor�smo de A-módulos por la izquierda

Proposición 2.1.11

M�N �= (M�L)� (N�L)

Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor�s-mos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo degrupos son ahora también homomor�smos de A-módulos.

Page 53: TEORwA DE GALOIS

2.1. GENERALIDADES. 49

Teorema 2.1.12 Sean A un anillo e I y J ideales de A tales que I � J:Entoncesi)J�I es ideal del anillo A�Iii)Existe un isomor�smo de anillos

A�J �= (A�I)� (J�I)Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor�s-

mos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo degrupos son ahora también homomor�smos de anillos.Si (Ni)i2I es una familia de submódulos de un A�módulo por la izquierda

M es fácil comprobar que \i2INi y queP

i2I Ni := fP

i2I xi j xi 2 Ni; yxi = 0 para casi todo i 2 Ig son también submódulos de M: La intersecciónes el mayor submódulo de M que está contenido en todos los Ni; y

Pi2I Ni

el menor submódulo de M que contiene a todos los Ni:

Teorema 2.1.13 Sean A un anillo,M un A�módulo por la izquierda y N;LA�submódulos de M . Entonces existe un isomor�smo

(N + L)�N �= L�N \ L:

Demostración. La prueba consiste en comprobar que los homomor�s-mos que aparecen en la demostración correspondiente al teorema análogo degrupos son ahora también homomor�smos de A-módulos.

Teorema 2.1.14 (Teorema de la correspondencia) Sea A un anillo (respect.M un A-módulo) y J un ideal de A (resp. N un submódulo de M): Existeuna biyección que conserva las inclusiones entre el retículo de ideales de A�J(resp. submódulo de M�N) y el de ideales de A que contienen a J (resp.submódulos de M que contienen a N)

Demostración. Para un homomor�smo de anillos f:A! B el conjuntof(A) es un subanillo de B y son válidas consideraciones semejantes a las dela nota 1.1.10: si I es ideal de A el conjunto f(I) es ideal de f(A); la imageninversa f�1(J) de un ideal J de B es ideal de A que contiene al núcleo def:También, si ' : M ! N es homomor�smo de A-módulos y L (resp.T ) essubmódulo de M (resp N) entonces '(L) (resp.'�1(T )) es submódulo de N(resp.submódulo de M que contiene al núcleo de '). (Compárese con 1.1.20)

Page 54: TEORwA DE GALOIS

50 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

SiM es unA�módulo por la izquierda y S un subconjunto deM; el menorsubmódulo de M que contiene a S, que denotaremos con AS y denominare-mos submódulo de M generado por S, está determinado por cualquiera delas dos propiedades:A) AS es la intersección de todos los submódulos de M que contienen a

S:B) AS es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de

S, es decir

AS =

�x =

Pi

aixi j xi 2 S; y ai 2 A casi todos nulos�:

Si S = fx1; x2; :::; xng entonces AS = Ax1 +Ax2 + :::+Axn en donde seha escrito Axi en lugar de A fxig :Si a1; a2; :::; an son elementos del anillo conmutativo A con (a1; a2; :::; an)

se indicará el ideal generado por el conjunto fa1; a2; :::; ang ; es decir el A-submódulo de A generado por dicho conjunto.Se comprueba fácilmente que si (Ni)i2I es una familia de submódulos de

M entoncesP

i2I Ni es el submódulo generado por el conjunto [i2INi:Para cada anillo A existe un único homomor�smo de anillos c : Z!A:

En efecto, la condición c(1) = 1A determina la imagen de cualquier número

natural (c(n) = 1An veces+:::+ 1A); y por lo tanto de cualquier número entero

(c(�n) = �c(n)): El núcleo de este homomor�smo está generado (comosubgrupo de Z que es) por el menor entero positivo que contiene: ker(c) =nZ = (n).

De�nición 2.1.15 Con las notaciones anteriores si ker(c) = nZ, el númeronatural n recibe el nombre de característica de A (n = Caract(A)); y es

entonces el menor entero positivo n tal que n;1A := 1An veces+:::+1A = 0: Además,

si m es un entero tal que m;1A = 0 entonces m es múltiplo de n: Nótese queCaract(A) = j1Aj es el período de 1A en el grupo abeliano (A;+):

Si A es un dominio de integridad entonces la característica de A es nula oun número primo. (Si n = Caract(A) 6= 0 y si n = ab con a 6= 1 6= b; entoncesn;1A = (a;1A)(b;1A) = 0 y así (a;1A) = 0 o (b;1A) = 0 contradiciendo laminimalidad de n respecto de la condición n;1A = 0):Si A es un dominio, A contiene (una réplica isomorfa) a Z o al cuerpo

Z�pZ, y si además A es cuerpo, entonces contiene (una réplica isomorfa) al

Page 55: TEORwA DE GALOIS

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD 51

cuerpo Q o a Z�pZ. El subanillo Im(c) es el menor subanillo de A (todos lossubanillos contienen a 1A). Si A es cuerpo, los cuerpos Q (si Caract(A) = 0)o Z�pZ (si Caract(A) = p) son, en cada caso, el menor subcuerpo de A; querecibe el nombre de (sub)cuerpo primo de A.

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD

A partir de ahora, y salvo mención explícita de otra cosa, los anillosconsiderados aquí serán siempre conmutativosEn esta sección se revisan los elementos de la teoría de divisibilidad en

dominios de ideales principales.Todo subanillo de un dominio de integridad es también un dominio de

integridad, y en particular todo subanillo de un cuerpo es un dominio deintegridad. Esto agota todas las posibilidades pues de hecho se tiene:

Proposición 2.2.1 Un anillo conmutativo A es un dominio de integridadsi, y sólo si, A es subanillo de un cuerpo. Cada dominio A es subanillo deun cuerpo Q(A); que se denomina cuerpo de fracciones de A y que satisfacela siguiente propiedad universal: Si B es otro anillo conmutativo y f : A !B es un homomor�smo de anillos tal que f(s) es unidad en B; para todos 2 A r f0g ; entonces f se extiende de modo único a un homomor�smof 0 : Q(A)! B:

Demostración. SiA es dominio se considera en el conjuntoA�(Ar f0g)la relación binaria de�nida por

(a; s) � (b; t)() at = bs,

que es de equivalencia (demostración elemental). El conjunto cocienteQ(A) =[A� (Ar f0g)]� � es el cuerpo de fracciones. Cada clase de equivalencia[(a; s)] 2 Q(A) se escribirá ahora [(a; s)] = a

sy con esta notación se tiene

0 = 0sy 1 = s

scualquiera que sea s elemento no nulo de A: Es fácil compro-

bar ahora que con las operaciones de�nidas por

a

s+b

t=at+ bs

st

a

s:b

t=ab

st

Page 56: TEORwA DE GALOIS

52 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

el conjunto Q(A) adquiere estructura de cuerpo (el inverso de ases s

asi a

s6= 0

s;

es decir, si a 6= 0).El dominio A se identi�ca ahora con el subanillo de Q(A) formado por los

elementos x 2 Q(A) que admiten la expresión x = a1: Cada elemento a 2 A se

identi�ca con a1: Si ahora f : A ! B es homomor�smo de anillos, de�nimos

f 0 : Q(A) ! B mediante f 0�as

�:= f(s)�1f(a) (por hipótesis f(s) tiene

inverso en B). Es fácil comprobar que la anterior es una buena de�niciónpara f 0 y que f 0(a

1) = f(a). Para probar la unicidad de f 0 supóngase que

g : Q(A) ! B satisface nuestros requerimientos. Entonces g(as) = g(a

1:1s) =

g(a1)g(1

s) = g(a

1)g(�s1

��1) = g(a

1)(g�s1

�)�1 = f(a):f (s)�1 = f 0(a

s):

En particular Q(A) es el menor cuerpo que contiene a A como subanillo.Es decir, siK es un cuerpo y f : A! K es una inclusión (o un homomor�smoinyectivo de anillos ) entonces existe f 0 : Q(A) ! B cuya restricción a A es

f: Dicho de otro modo se tiene f = A ,! Q(A)f 0

,! K:

De�nición 2.2.2 Sea A un dominio de integridad, se dice que A es un do-minio de ideales principales (DIP en lo sucesivo) si todo ideal I de A esprincipal, es decir I = (a) = Aa = fxa j x 2 Ag para un cierto a 2 I:

Ejemplos1.- Si K es un cuerpo sus únicos ideales son 0 y K = (1):

2.- En el anillo Z de los enteros los ideales son precisamente los subgruposy son todos de la forma nZ = fnr j r2 Zg, es decir el conjunto de los múltiplosde un entero n:

De�nición 2.2.3 Sea A un dominio de integridad. Se dirá que A es undominio euclídeo si existe una aplicación

@ : A n f0g ! Z+

tal que1.- @(a) � @ (ab) ;8a; b 2 A� f0g2.- (Algoritmo de la división euclídea) Dados a; b 2 A; con b 6= 0; existen

q; r 2 A tales quea = bq + r

en donde @ (r) < @ (b) si r 6= 0:

Page 57: TEORwA DE GALOIS

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD 53

Ejemplos1.- Z es dominio euclídeo con la aplicación @ : Z n f0g ! Z+ de�nida por

@ (n) = jnj (valor absoluto).2.- SiK es un cuerpo el anillo de polinomiosK [X] es un dominio euclídeo

con la aplicación @ : K [X]� f0g ! Z+ de�nida por @(f) = grado de f:

Proposición 2.2.4 Todo dominio euclídeo es un DIP.

Demostración. Sea I un ideal de A y sea t el menor entero positivo enel conjunto @ (I) � N (recuérdese que el conjunto N está bien ordenado consu orden natural, es decir que cada subconjunto no vacío de N tiene primerelemento). Sea b 2 I tal que @ (b) = t y sea a cualquier elemento de I. Existenq; r 2 A tales que

a = bq + r

en donde @ (r) < @ (b) = t; si r 6= 0: Como r = a�bq 2 I, r es necesariamentenulo pues en otro caso se entraría en contradicción con la selección de b:

De�nición 2.2.5 Sea A un dominio de integridad.1.- Si a; b 2 A; se dice que a divide a b (y se escribirá a j b) si existe un

c 2 A tal que b = ac2.- Si a; b 2 A�f0g; se dirá que a y b son asociados si a j b y b j a:3.- Un elemento a 2 A es irreducible si a =2 A� y además

a = bc con b; c 2 A =) b 2 A� o c 2 A�

Obsérvese que la relación de divisibilidad puede ser interpretada en tér-minos de ideales:

a j b() b 2 (a)() (b) � (a) :Por lo tanto

a y b son asociados () (a) = (b)

Además a = ub; y b = va proporcionan a(1 � uv) = 0; y, siendo A dominiode integridad, resulta u; v 2 A�: Es decir que los elementos asociados a unodado se obtienen multiplicándolo por unidades.Obsérvese también que la relación "ser asociado.es una relación de equiva-

lencia en A; y que si a y b son asociados entonces a es irreducible si, y sólosi, b es irreducible.La irreducibilidad de un elemento depende del anillo en que se esté con-

siderando. Es decir si A es subanillo de B un elemento a de A puede serirreducible en A pero no en B (3 y �3 son irreducibles en Z pero no en Q).

Page 58: TEORwA DE GALOIS

54 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

De�nición 2.2.6 i)Un ideal p de un anillo conmutativo A se dice que esprimo si es propio (es decir p 6=A) y para a; b 2 A�p se tiene ab =2 p:ii)Un ideal propio m de un anillo conmutativo A se dice que es maximal si

es elemento maximal del conjunto de ideales propios de A respecto del ordende�nido por la inclusión.

Proposición 2.2.7 En un anillo conmutativo A son equivalentesi)p es un ideal primo de Aii)El anillo A�p es un dominio de integridad.

Demostración. \i) =) ii)" Sean a = a + p;b = b + p elementos nonulos de A�p;o, lo que es equivalente, a; b elementos de A que no están enp: Entonces, por la de�nición de ideal primo, se tiene ab =2 p; es decir ab 6= 0en A�p\ii) =) i)" A�p 6=0 (es decir p es ideal propio) y si a; b son elementos

de A que no están en p se tiene que a = a+ p y b = b + p son elementos nonulos de A�p; y como A�p es un dominio se tiene ab 6= 0; es decir ab =2 p:

Proposición 2.2.8 En un anillo conmutativo A son equivalentesi)m es ideal maximal de Aii)El anillo A�m es un cuerpo.

Demostración. \i) =) ii)" Si a = a +m es no nulo en A�m; es decir,si a =2 m, se tiene m $ m+Aa y por tanto m+Aa = A; es decir que para uncierto b 2 A y un ciertom 2 m se tiene 1 = m+ab; y entonces 1�ab = m 2 m,es decir ab = 1:\ii) =) i)" A�m 6=0 (es decir,m es ideal propio). Si además I es un ideal

de A que contiene propiamente a m existirá un a 2 I tal que a =2 m: Elelemento a = a+m no es nulo y tiene entonces un inverso b = b+m para lamultiplicación. Como 1� ab 2 m se tiene 1� ab 2 I y entonces 1 2 I ya queab 2 I: Es decir, necesariamente I = A:Como consecuencia de ambas proposiciones se obtiene de forma inmediata

que todo ideal maximal de un anillo conmutativo es un ideal primo.

De�nición 2.2.9 Un dominio de integridad A es un dominio de factori-zación única (DFU en lo sucesivo) sia) Cada elemento no nulo a 2 A admite una factorización

a = upr11 pr22 :::p

rtt

Page 59: TEORwA DE GALOIS

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD 55

en donde u es una unidad en A y p1; p2; :::; pt son irreducibles, cada dos noasociados (en lo sucesivo "factorización en irreducibles de a"); yb) Tal factorización es esencialmente única; es decir, si

a = vqs11 qs22 :::q

sll

es otra factorización en irreducibles de a entonces l = t y, después de unareordenación, pi y qi son asociados y ri = si; para cada i = 1; 2; :::; t:

La siguiente proposición establece un resultado fundamental.

Proposición 2.2.10 Si A es un DIP, y 0 6= a 2 A; son equivalentesi) (a) es ideal primo de Aii) a es irreducible en Aiii) (a) es ideal maximal de A:

Demostración. \i) =) ii)" El elemento a no es unidad pues el ideal (a)es propio por ser primo, y si a = bc 2 (a) entonces b 2 (a) o c 2 (a) : En elcaso b 2 (a) se tiene b = u:a para algún u 2 A y así a = b:c = a:u:c; de loque resulta a(1� uc) = 0 y por tanto 1 = uc al ser A dominio de integridad.Similar resultado se obtiene si se supone c 2 (a) :\ii) =) iii)" Sea I un ideal de A estrictamente mayor que (a): Como A

es un DIP existe un b 2 A tal que I = (b) y de (a) $ (b) resulta a = bc paraun cierto c 2 A: Como a es irreducible y (a) 6= (b) resulta que b es unidad enA y así I = A:\iii) =) i)" Todo ideal maximal es primo.Por ejemplo en el anillo Z si p 2 Z+ se tiene que p es número primo

() (p) es ideal primo de Z() (p) es ideal maximal de Z.

Proposición 2.2.11 Todo DIP es un DFU.

Demostración. Se probará en primer lugar que todo elemento no nulode A admite una tal factorización. Si a; b 2 A son asociados a admite unafactorización en irreducibles si, y sólo si, b la admite también. Así el conjun-to S = f(a) $ A j 0 6= a no admite factorización en irreduciblesg está biende�nido. Supongamos que S 6= ; y que

(a1) � (a2) � ::: � (ai) � :::

Page 60: TEORwA DE GALOIS

56 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

es una cadena de ideales en S: Entonces [i(ai) es un ideal propio de A (enotro caso 1 sería un elemento de algún (ai)) y por lo tanto [i(ai) = (b) yaque A es un DIP. Por tanto b 2 (ai) para algún i y así (b) = (ai) 2 S conlo cual S resulta un conjunto inductivo si no es vacío y, en ese caso, existenelementos maximales en S en virtud del lema de Zorn : Sea (a) maximal enS: Entonces a no es irreducible y existe por tanto una factorización a = bcen donde ni b ni c son unidades. Ahora (a) $ (b) y (a) $ (c); y por lamaximalidad de (a) los elementos b y c admiten sendas factorizaciones enirreducibles cuyo producto es una factorización en irreducibles para a: Porlo tanto S = ; necesariamente, y cada elemento no nulo a 2 A admite unafactorización en irreducibles.Sean

a = upr11 pr22 :::p

rtt = vqs11 q

s22 :::q

sll (*)

dos factorizaciones en irreducibles de a: Como (p1) es un ideal primo deA (2.2.10), algún qi es elemento de (p1) : Después de una reordenación, sepuede suponer q1 2 (p1) y por tanto (q1) = (p1) ; por la maximalidad de(q1) : Así p1 y q1 son asociados y si r1 � s1 resulta up

r1�s11 pr22 :::p

rtt = v0qs22 :::q

sll

al ser A dominio de integridad, en donde v0 es una unidad. Si r1 > s1; dela anterior igualdad se deduce como antes que p1 es asociado a algún qjcon j 2 f2; 3; :::; lg ; resultando así asociados los irreducibles q1 y qj lo cual escontrario a la naturaleza de las factorizaciones. Si r1 < s1 se tiene up

r22 :::p

rtt =

v00qs1�r11 qs22 :::qsll (con v

00 unidad de A) y de forma análoga se deduce que p1esasociado a otro pi, i 2 f2; 3; :::; tg. Por lo tanto r1 = s1 y así se obtieneupr22 :::p

rtt = v0qs22 :::q

sll : Repitiendo el proceso para irreducibles sucesivos se

llega a una expresión en la que han desaparecido todos los irreducibles de unode los dos miembros de la igualdad inicial (*). Ese es el momento �nal de laprueba ya que ello es solamente posible en el caso de que hayan desaparecidotambién todos los irreducibles del otro miembro de dicha igualdad, pues deotro modo resultaría que un producto de irreducibles es una unidad. Entoncesel número de factores que son potencia de irreducibles es el mismo en las dosfactorizaciones y, como se ha visto, los factores irreducibles de una de ellasson asociados a los correspondientes de la otra que aparecen además con losmismos exponentes.

De�nición 2.2.12 Si A es un dominio de integridad y a1;::; an 2 A se diceque d es un máximo común divisor de los elementos a1,..., an, y se escribirád = m:c:d(a1; :::; an) si1)d j ai; 8i 2 f1; 2; :::; ng ; y además

Page 61: TEORwA DE GALOIS

2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD 57

2)Si c 2 A es tal que c j ai 8i 2 f1; 2; :::; ng ; entonces c j d .Se dirá que a,b 2 A son primos entre sí (o que a y b son coprimos) si

1 = m:c:d(a; b)

Obsérvese que un máximo común divisor, si existe, está de�nido salvounidades, es decir que d = m:c:d(a1; :::; an)() d:u = m:c:d(a1; :::; an);8u 2A�:

Proposición 2.2.13 Si A es un DIP, a1; :::; an 2 A y d = m:c:d(a1; :::; an);entonces (d) = (a1) + :::+ (an) = (a1; :::; an).

Demostración. El ideal (a1)+:::+(an) = (a1; :::; an) está generado por unelemento d 2 A ya que el anillo A es un DIP, y entonces (a1); :::; (an) � (d)o, lo que es lo mismo, ai 2 (d); 8i 2 f1; 2; :::; ng ; es decir d j ai 8i 2f1; 2; :::; ng : Si c 2 A; la condición c j ai 8i 2 f1; 2; :::; ng se escribe ai 2 (c)8i 2 f1; 2; :::; ng ; y en ese caso se tiene (d) = (a1) + :::+ (an) � (c); es decirc j d:

Corolario 2.2.14 (Teorema de Bézout) Si A es un DIP y a; b 2 A; entoncesa y b son coprimos si, y sólo si, existen r; s 2 A tales que 1 = ra+ sb:�

De�nición 2.2.15 Si A es un dominio de integridad y a1; :::; an 2 A sedice que m es un mínimo común múltiplo de a1; :::; an; y se escribirá m =m:c:m(a1; :::; an); si1) ai j m; 8i 2 f1; 2; :::; ng ; y además,2) Si c 2 A es tal que ai j c 8i 2 f1; 2; :::; ng ; entonces m j c

Proposición 2.2.16 Si A es un DIP, a1; :::; an 2 A y si m = m:c:m(a; b);entonces (m) = \ni=1(ai):

Demostración. El ideal \ni=1(ai) está generado por un elemento m 2A ya que el anillo A es un DIP. Además \ni=1(ai) está constituido por loselementos de A que son múltiplos de ai 8i 2 f1; 2; :::; ng ; por lo que unelemento de A es múltiplo de ai; 8i 2 f1; 2; :::; ng si, y sólo si, es múltiplo dem:Obsérvese que, como en el caso del máximo común divisor, el mínimo

común múltiplo está determinado salvo unidades.Recuérdese que si A es un dominio euclídeo con aplicación euclídea @ :

A� f0g ! Z+; existe un algoritmo para el cálculo del máximo común divisor

Page 62: TEORwA DE GALOIS

58 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

de D; d 2 A: Se pone D = dq + d1 con @ (d1) < @ (d) o bien d1 = 0; encuyo caso m:c:d(D; d) = d y se habrá �nalizado ya. Si no es así, se poneotra vez d = d1q1 + d2 con @ (d2) < @ (d1) < @ (d). Recurrentemente seconstruyen di�1 = diqi + di+1 con @ (di+1) < @ (di) < ::: < @ (d1) < @ (d) yexiste entonces un t tal que dt = 0: Si dt es el primer resto nulo entoncesdt�1 = m:c:d(D; d): La prueba consiste en observar que (D; d) = (d; d1) =(d1; d2) = ::: = (dt�2; dt�1) = (dt�1):

2.3. ANILLOS DE POLINOMIOS

Dedicaremos ahora nuestra atención a recordar algunas cuestiones deteoría de anillos de polinomios. No se darán demostraciones de resultadosque supondremos ya conocidos.Si S es un conjunto (el conjunto de indeterminadas) denotaremos con

N hSi el monoide conmutativo libre sobre S cuyos elementos son las aplica-ciones � : S ! N de soporte �nito (es decir, tales que � (X) = 0 para casitodo X 2 S). En el monoide N hSi la operación (multiplicación) está de�nidapor

(�:�) (X) := � (X) + � (X) ;8X 2 S;y si X 2 S y n es un número natural, se denota con Xn 2 N hSi la aplicación�:S ! N tal que � (X) = n y � (Y ) = 0 para todo Y 2 S � fXg : Con estanotación, y con la de�nición de producto en N hSi , se tiene que

Xn:Xm = Xn+m; y que X0 = e; 8X 2 S;

donde e es el elemento neutro de N hSi ; es decir la aplicación constantee(X) = 0;8X 2 S. Si X1; X2; :::; Xr 2 S; la aplicación � = Xn1

1 :Xn22 :::X

nrr :

S ! N es tal que � (Xi) = ni para i = 1; 2; :::; r y � (Y ) = 0 para todoY =2 fX1; X2; :::; Xrg : Obsérvese que cada � 2 N hSi admite una única ex-presión � =

QX2S X

�(X) (en la que casi todos los factores son iguales a e; loscorrespondientes a aquellos X 2 S para los cuales � (X) = 0) como conse-cuencia de la �nitud del soporte de cada � 2 N hSi. A los elementos de N hSise les denominará monomios en S:Si ahora A es un anillo conmutativo y N un monoide (multiplicativo)

conmutativo denotaremos con A [N ] el A-módulo libre de base N: Los ele-mentos de A [N ] son las aplicaciones f : N ! A también de soporte �nito(es decir, tales que f(�) = 0 para casi todo � 2 N): Si � 2 N y a 2 A sedenota con a:� al elemento f 2 A [N ] tal que f(�) = a y f (�) = 0 para todo

Page 63: TEORwA DE GALOIS

2.3. ANILLOS DE POLINOMIOS 59

� 2 N; � 6= �: La suma en A [N ] ; que dota a A [N ] de estructura de grupoabeliano, está de�nida por

(f + g) (�) := f(�) + g(�);

y el producto por elementos de A mediante

(a:f) (�) := a:f (�) ; para a 2 A y � 2 N:

Es fácil comprobar que con estas operaciones A [N ] satisface todas las condi-ciones necesarias para ser el A-módulo libre sobre N: Cada elemento f 2A [N ] tiene una única expresión

f =X�2N

f(�):�

con solamente un número �nito de sumandos no nulos (es decir f(�) = 0 paracasi todo � 2 N):Nótese que el 0 de A [N ] es el elemento 0.� para cualquier� 2 N:El A�módulo libre A [N ] tiene además estructura de anillo conmutativo

como consecuencia de que N es monoide conmutativo. En efecto, se de�neuna multiplicación en A [N ] mediante:

(f:g)( ) :=X�:�=

f (�) :g (�) ;

expresión en la que solamente hay un número �nito de sumandos no nulos, yaque casi todos los f(�) y casi todos los g(�) son nulos. El elemento neutro deeste producto es la aplicación de N ! A que con nuestra notación se escribirá1:e (en donde e es el elemento neutro de N; y 1 es el de la multiplicación deA): Este elemento se denotará con 1 = 1:e: Se comprobará que A [N ] es unanillo conmutativo y que la aplicación ' : A! A [N ] de�nida por '(a) = a:ees homomor�smo de anillos.Si ahora se toma N = N hSi, al anillo A [N hSi] se le denotará con A [S]

y se le llamará anillo de polinomios con indeterminadas en S (o sobre S) ycoe�cientes en A: Cada elemento tienen ahora una única expresión

f =X�2NhSi

a� :� =X�2NhSi

a� :YX2S

X�(X) (*);

Page 64: TEORwA DE GALOIS

60 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

en donde se ha puesto a� = f (�) ; y donde, por supuesto a� = 0 para casitodo � 2 N hSi. Esta expresión se puede hacer más explícita teniendo encuenta que en ella solamente intervienen un número �nito de sumandos nonulos y un número �nito de expresiones X� diferentes de e (ahora e = X0

para cualquier X 2 S)

f =X�2NhSi

a�1;�2;:::;�n :X�11 :X

�22 :::X

�nn (**):

Las X1; X2;; :::; Xn 2 S son las variables que intervienen de modo efectivo(i.e. con algún exponente no nulo) en alguno de los sumandos de (*). Enaquellos sumandos de (*) en las que no interviene, Xi aparecerá elevada aexponente 0 en el correspondiente sumando de (**). La expresión (**) esya más familiar y el elemento f es un polinomio con coe�cientes en A conindeterminadas en S:

Proposición 2.3.1 La aplicación � : S ! A [S] de�nida por �(X) = 1:X1;y el homomor�smo ' : A ! A[S] de�nido por ' (a) = a:e veri�can lasiguiente propiedad universal: si : A! B es un homomor�smo de anillosconmutativos y � : S ! B es otra aplicación, entonces existe un únicohomomor�smo de anillos � : A [S] ! B tal que � � � = � y � � ' = (propiedad universal del anillo de polinomios A [S] ).

Demostración. Utilizando la naturaleza de monoide conmutativo librede N hSi y la de A�módulo libre de A[S] se encuentra el homomor�smo deA�módulos � : A [S]! B de�nido mediante

X�2N<S>

a� :YX2S

X�(X)

!=

X�2N<S>

(a�) :YX2S

[� (X)]�(X) ;

del que es muy fácil probar que es homomor�smo de anillos.El homomor�smo � será denominado evaluación en �:Si ahora S es el conjunto �nito S = fX1; X2; :::; Xng se escribirá A[S] =

A [X1; X2; :::; Xn] y cada polinomio en las variables X1; X2; :::; Xn con coe�-cientes en A; es decir cada f 2 A [X1; X2; :::; Xn] tiene una expresión canónica

f =X

(�)=(�1;�2;:::;�n)

a�1;�2;:::;�nX�11 :X

�22 :::X

�nn

Page 65: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 61

con (�) = (�1; �2; :::; �n) 2 Nn y a�1;�2;:::;�n 2 A casi todos nulos. CadaX�11 :X

�22 :::X

�nn es un monomio y la canonicidad de la expresión anterior indica

que los coe�cientes están determinados de modo único por los monomioscuando se han escrito solamente monomios diferentes. No se olvide que elconjunto de los monomios es una base de A [X1; X2; :::; Xn] como A�módulolibre. Diferentes expresiones no canónicas de f pueden ser obtenidas a partirde la canónica descomponiendo uno o varios de sus coe�cientes en suma denuevos elementos de A:

De�nición 2.3.2 Para un monomio M(�)(X1; X2; :::; Xn) = X�11 :X

�22 :::X

�nn

se de�ne el grado como el entero @(M(�)) = �1 + �2 + ::: + �n: Para elpolinomio f =

P(�)=(�1;�2;:::;�n)

a�1;�2;:::;�nM(�)se de�ne el grado como @(f) =m�axa(�) 6=0 @

�M(�)

�: Un polinomio se dice que es homogéneo si todos sus monomios

(es decir aquellos que aparecen en su expresión canónica acompañados de co-e�ciente no nulo) tienen el mismo grado.

Nota 2.3.3

Si A es subanillo del anillo B se puede considerar A[S] como subanillode B[S]: En efecto a partir de � = idS y de : A ,! B la inclusión, elhomomor�smo � : A [S]! B[S] obtenido como en (2.3.1) es inyectivo.Si S � T es una inclusión de conjuntos y A es anillo conmutativo resulta

también una inclusión de anillosA [S] � A [T ] :Además si T = StL; entoncesA [T ] = A [S] [L] : En particular A [X; Y ] = A [X] [Y ] :

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

La mayor parte de estas notas se dedicarán a estudiar cuestiones queconciernen a polinomios en una variable, es decir elementos de A [X] y, fre-cuentemente, A será además un cuerpo.

De�nición 2.4.1 Si f = anXn + an�1X

n�1 + ::: + a1X + a0 2 A[X] conan 6= 0; entonces @(f) = n es el grado de f y an es su coe�ciente principal;a0 será llamado término independiente de f: El polinomio f se dirá que esmónico si su coe�ciente principal es 1. Los polinomios no nulos de grado ceroson identi�cados con las constantes, es decir, los elementos de A:

Page 66: TEORwA DE GALOIS

62 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Si f =sXi=0

aiXi y g =

sXj=0

bjXj son polinomios con coe�cientes en

cualquier dominio de integridad K con ar 6= 0 6= bs (es decir @ (f) = r y@ (g) = s) entonces @ (fg) = r + s; pues ar:bs 6= 0 y

fg =r+sXk=o

Xi+j=k

ai:bj

!Xk:

Si K es un cuerpo y f = aX + b 2 K[X] es un polinomio lineal (es decirde grado 1) entonces f es irreducible. En efecto, las unidades de K[X] sonlos polinomios de grado 0, y una factorización f = gh; con g; h 2 K[X];proporciona @ (g) = 0 o @ (h) = 0; en virtud de lo anterior

Proposición 2.4.2 (Algoritmo de la división de polinomios) Si A es un ani-llo conmutativo, f; g 2 A [X] son polinomios no nulos y el coe�ciente prin-cipal de g es una unidad de A entonces existen únicos q; r 2 A [X] talesque

f = gq + r con @r < @g; si r 6= 0:Se dice que q y r son, respectivamente, cociente y resto de la división delpolinomio f entre el polinomio g:

Demostración. Se puede suponer @(f) � @(g) pues de lo contrario bas-tará tomar q = 0 y r = f: Sea entonces f = anX

n+an�1Xn�1+ :::+a1X+a0

y g = bmXm + bm�1X

m�1 + ::: + b1X + b0 con bm 2 A�; an 6= 0 y n � m:Poniendo h1 = anb

�1m Xn�m se tiene que el polinomio

f1 = f � gh1 = cr1Xr1 + t�erminos de grado menor

es de grado r1 < n o el polinomio nulo. Si f1 6= 0 y r1 � m tomemosh2 = cr1b

�1m Xr1�m y pongamos

f2 = f1 � gh2 = dr2Xr2 + t�erminos de grado menor

que es de grado r2 < r1 si no es el polinomio nulo. Obsérvese que f =f1+ gh1 = f2+ gh2+ gh1 = g(h1+ h2) + f2: Se reitera el proceso obteniendopolinomios fi de grados descendentes ri < ri�1 < ::: < r2 < r1 < n; procesoque se interrumpe al llegar a un polinomio ft = 0 o con @(ft) < m. Se tienef = g(h1+h2+:::+ht)+ft; y así basta entonces con poner q = h1+h2+:::+hty r = ft.

Page 67: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 63

Si f = q0g+r0 = qg+r también con @(r0) � @(g); se tiene (q�q0)g = r�r0:Como g no es divisor de cero en A[X] al tener coe�ciente principal una unidadde A entonces q = q0 si, y solo si, r = r0. Si fuese q�q0 6= 0; se tendría; @(g) <@ [g(q � q0)] = @(r � r0) � M�axf@(r); @(r0)g ya que el coe�ciente principalde g es una unidad. Resultaría así @(g) < M�axf@(r); @(r0)g; lo cual no esposible. Por tanto q = q0 y así también r = r0.Si K es un cuerpo, la aplicación @ : K [X]r f0g ! Z+; que satisface las

condiciones de (2.2.3), proporciona al anillo de polinomios K [X] la estruc-tura de dominio euclídeo. Por lo tanto K [X] es un dominio de ideales princi-pales (DIP) y entonces un dominio de factorización única (DFU) 2.2.11. Lasunidades del anillo K [X] son los elementos no nulos de K y cada polinomiof(X) 2 K [X] admite una expresión f = pr11 :::p

rtt (esencialmente única) como

producto de factores irreducibles en K[X]:Recíprocamente, si para un anillo conmutativo A el anillo de polinomios

A[X] es un DIP, entonces A es un cuerpo. El homomor�smo h : A[X] ! Aconsistente en la evaluación en 0 2 A; es decir, h(f) = f(0) para f 2 A[X];es sobreyectivo (a = h(a), 8a 2 A) y tiene por núcleo el ideal (X) (h(f) =f(0) = 0() X divide a f): Por lo tantoA �= A[X]=(X): Ahora, en el caso deque A[X] es un DIP el anillo A es un cuerpo ya que el ideal (X) es maximal,pues X es irreducible y se aplica (2.2.10). Para probar la irreducibilidad deX obsérvese que A es dominio de integridad al ser subanillo de A[X] y, comoya se ha dicho, A �= A[X]=(X): En particular Z [X] no es un DIP.

De�nición 2.4.3 Los elementos irreducibles en el DFU K [X] se llamaránpolinomios irreducibles en K [X] (también se dirá que son irreducibles sobreK): Los polinomios no irreducibles se dirá que son reducibles.

Como K [X] es un DIP si K es un cuerpo, se obtiene de forma inmediataun importante

Corolario 2.4.4 Si K es un cuerpo y f 2 K [X] ; son equivalentes las a�r-macionesi) (f) es ideal primo de K [X]ii) f es irreducible en K [X]iii) (f) es ideal maximal de K [X] :

Demostración. Es consecuencia inmediata de (2.2.10)

Page 68: TEORwA DE GALOIS

64 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

De�nición 2.4.5 Si A es subanillo de B, b 2 B, : A ! B es la in-clusión, y b : fXg ! B está de�nida por b (X) = b; el único homomor�smo b : A[X] ! B obtenido por la propiedad universal del anillo de polinomios(2.3.1) se denominará evaluación en b; y para cada f 2 A[X] el elemento b (f) =: f(b) será el valor numérico de f en b: Se dirá que b 2 B es un cero(o una raíz )de f 2 A[X] si f(b) = 0:

Proposición 2.4.6 (Teorema del resto) Sean A un anillo conmutativo, f 2A [X] un polinomio no nulo y � 2 A: El resto de la división de f entre X��es f (�) :

Demostración. Como el coe�ciente principal de X � � es unidad en A;existen únicos q; r 2 A [X] tales que f = (X��)q+r; con @r < @ (X � �) = 1(si r 6= 0). Como la evaluación en � es un homomor�smo A [X]! A; se tieneque f (�) = (���)q(�) + r(�) = r(�): Pero @r = 0, es decir r 2 A; y por lotanto r(�) = r = f(�):

Corolario 2.4.7 (Teorema del factor) Sea A un anillo conmutativo, f 2A [X] un polinomio no nulo y � 2 A . Entonces X � � divide a f en A [X]si, y solamente si, � es un cero de f:

El anterior corolario admite una generalización en el caso de que A seaun dominio de integridad.

Proposición 2.4.8 Si A es un dominio de integridad, f 2 A [X] es unpolinomio no nulo, y si �1; �2; :::; �r 2 A son ceros distintos de f , entonces

el polinomiorYi=1

(X � �i) divide a f en A [X] :

Demostración. Por inducción en r: Para r = 1 es el teorema del fac-tor. Supuesto r > 1 y que el resultado es válido para r � 1 el polinomior�1Yi=1

(X � �i) divide a f en A [X] ; es decir

f = q

r�1Yi=1

(X � �i)

Page 69: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 65

para un q 2 A [X] : Como A es dominio de integridad

f (�r) = q (�r)

r�1Yi=1

(�r � �i) = 0

implica q (�r) = 0; que por el teorema del factor proporciona q = (X � �r)hpara un cierto h 2 A [X]. Se tiene así

f = hrYi=1

(X � �i) :

Corolario 2.4.9 Si A es un dominio de integridad y f 2 A [X] es un poli-nomio no nulo de grado n; entonces1) El número de ceros diferentes de f en A es a lo sumo n2) Si f tiene n ceros diferentes �1; �2; :::; �n 2 A; entonces

f = c(X � �1) (X � �2) ::: (X � �n)

en donde c 2 A es el coe�ciente principal def:

Demostración. 1) Si �1; �2; :::; �r 2 A son los ceros distintos de f en A

f = hrYi=1

(X � �i) ;

con h 2 A [X] por el corolario anterior. Como A es dominio de integridad

n = @ (f) = @ (h) + @

rYi=1

(X � �i)!= @ (h) + r � r:

2) Como consecuencia de 1)

f = h

nYi=1

(X � �i)

con @ (h) = 0; es decir h = c 2 A es el coe�ciente principal de f:Los anteriores resultados no son válidos si A no es un dominio de integri-

dad. Por ejemplo, 1; 3; 5 2 Z6 son ceros del polinomio f = 3X + 3 2 Z6 [X].

Page 70: TEORwA DE GALOIS

66 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

En relación con la estructura de dominio euclídeo de K [X] es importantepoder disponer de criterios que permitan averiguar si un polinomio dadoes irreducible. Obsérvese, en primer lugar, que todo polinomio lineal f =aX + b 2 K[X] es irreducible en K[X]. El recíproco no es cierto en generalcomo establece la siguiente proposición.

Proposición 2.4.10 Si K es un cuerpo son equivalentes las a�rmaciones:i)Todo polinomio irreducible en K [X] es lineal.ii)Todo f 2 K [X] con @ (f) � 1 tiene al menos un cero en K:

Demostración. \i) =) ii)" Sea f 2 K [X] con @ (f) � 1; y sea f =f1:f2:::fr la factorización de f en irreducibles (K [X] es un DFU), que porhipótesis son lineales. Cada fi = aiX + bi admite como cero a � bi

ai2 K; que

también es un cero de f:\ii) =) i)" Si f 2 K[X] y si @(f) > 1, f admite un cero � 2 K en

virtud de la hipótesis, y por lo tanto es divisible por X�� en K[X] (2.4.7),es decir f = (X � �)g con @(g) = @(f) � 1 > 0: Los polinomios (X � �); gno son unidades de K[X] al ser de grado mayor que cero, y entonces f no esirreducible.

Los cuerpos que satisfacen las condiciones de la proposición anterior sedice que son algebraicamente cerrados.La naturaleza del cuerpo de coe�cientes también incide en la posible ir-

reducibilidad de un polinomio. Se demostrará (5.2.4) que todo polinomio noconstante con coe�cientes en C se descompone en factores lineales en C [X] :Según esto los únicos polinomios irreducibles en C [X] son los lineales, sinembargo un polinomio no lineal f 2 R [X] puede ser irreducible en R [X](basta tomar f = aX2 + bX + c con 4 (f) = b2 � 4ac < 0 (2.4.11))

Proposición 2.4.11 Si K es un cuerpo y f 2 K [X] con @ (f) = 2 o @ (f) =3 entonces f irreducible en K [X] si, y sólo si, f no tiene ceros en K:

Demostración. Si f = g:h es una factorización enK[X] y ambos factoresson no constantes entonces necesariamente alguno de ellos es lineal y portanto tiene un cero enK. Recíprocamente si f tiene un cero � enK; entoncesf es divisible por X � � (2.4.7) y el cociente es de grado al menos 1, por loque f resulta factorizado en no unidades de K[X]:

Nota 2.4.12

Page 71: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 67

Solamente con objeto de facilitar la formulación de ejemplos y ejercicios,admitiremos por el momento como verdadero el resultado que a�rma quetodo polinomio no constante con coe�cientes números reales tiene al menosun cero complejo, consecuencia directa del teorema fundamental del Álgebraque será probado más adelante (5.2.4).Si f 2 R [X] y � = a + bi 2 Cr R es un cero de f entonces � = a � bi

también lo es. La conjugación ��� : C! C

� = a+ bi � = a� bies un automor�smo y a = a para todo a 2 R: Ahora, si f = anX

n +an�1X

n�1 + :::+ a1X + a0 2 R [X] ; se tiene f (�) = an�n + an�1�

n�1 + :::+a1�+ a0 = 0; y entonces

0 = 0 = f (�) = an�n + an�1�n�1 + :::+ a1�+ a0 =

= an�n + an�1�

n�1 + :::+ a1�+ a0 =

= an�n + an�1�

n�1 + :::+ a1�+ a0 = f (�) :

Si f es irreducible en R [X] y no lineal entonces f es divisible en C [X] por unpolinomio (X � �)(X � �) pues f admite al menos un cero complejo � (noreal ya que en otro caso f no sería irreducible en R [X]). Como el polinomio(X � �)(X � �) = X2 � (� + �)X+ �� tiene coe�cientes reales, se tienenecesariamente f = c(X � �)(X � �) con c 2 R: Por lo tanto:Los polinomios irreducibles en R [X] son de grado 1 o 2. Un polinomio

f = aX2 + bX + c 2 R [X] ; con a 6= 0; es irreducible en R [X] si, y sólo si,4 (f) = b2 � 4ac < 0.

Nota 2.4.13

Admitiendo, como en la nota anterior, que todo polinomio no constantef 2 R [X] tiene al menos un cero complejo � 2 C; se obtiene también:Si f 2 R [X] es de grado impar entonces f admite, al menos, un cero

realEn efecto, cada cero complejo no real � 2 C�R de f determina que f es

divisible en C [X] por (X � �) (X � �) y, por tanto, existe un g 2 C [X] talque f = g: (X � �) (X � �) : Como (X � �) (X � �) tiene sus coe�cientesreales lo mismo le sucede a g (unicidad del cociente y del resto de la división

Page 72: TEORwA DE GALOIS

68 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

euclídea en C [X](2.4.2)) Reiterando el proceso, resulta que si f no tieneninguna raíz real entonces

f = c

mYi=1

�X2 � (�i + �i)X + �i�i

�;

donde c es el coe�ciente principal de f y los �i son números complejos noreales. Por lo tanto, si f 2 R [X] no tiene ceros reales su grado es par.El estudio de la irreducibilidad en Q [X] es considerablemente más com-

plicado. De hecho veremos que existen polinomios irreducibles de cualquiergrado (2.4.26). Nuestro próximo objetivo es establecer ciertos criterios quepermitirán reconocer la irreducibilidad de algunos polinomios con coe�cientesracionales. No serán criterios que permitan decidir sobre la irreducibilidad decualquier polinomio, pero serán muy útiles en casos particulares importantes.

De�nición 2.4.14 Si f =Pn

0 aiXi 2 Z [X] es no nulo, se de�ne el con-

tenido de f comocont(f) := m:c:d(a0; :::; an):

Se dirá que f es primitivo si cont(f) = 1:

Nota 2.4.15

Sea 0 6= f = anXn + an�1X

n�1 + :::+ a0 2 Z [X] : Entonces:A) Si 0 6= a 2 Z se tiene

cont(af) = a:cont(f)

B) Existe un polinomio primitivo g 2 Z [X] con @(f) = @(g) tal que f =cont(f)g: En efecto basta con considerar que si f = anX

n+an�1Xn�1+ :::+

a1X+a0; y c = cont(f); el polinomio g = ancXn+ an�1

cXn�1+ :::+ a1

cX+ a0

c2

Z [X] satisface los condiciones exigidas.Recíprocamente si 0 6= f 2 Z [X] es tal que f = cf1, con f1 2 Z [X]

primitivo, entonces c = cont(f):C) Si p es un número primo y 'p : Z! Zp es el homomor�smo canónico,

la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1) permite obtener elhomomor�smo 'p : Z [X]! Zp [X] de�nido para h =

Pn0 aiX

i mediante'p(h) = h :=

Pn0 aiX

i: El homomor�smo 'p recibirá el nombre de reducciónmódulo p :

Page 73: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 69

D) Obsérvese también que todo polinomio mónico f 2 Z [X] es primitivo.Como el polinomio h =

Pn0 aiX

i 2 Z [X] es primitivo si, y sólo si, suscoe�cientes ai no tienen ningún divisor primo común, entonces para cadanúmero primo p existe un i 2 f0; 1; :::; ng tal que p no divide a ai: Se puedea�rmar así que h es primitivo si, y sólo si, 'p(h) 6= 0 para todo primo p:

Proposición 2.4.16 (Lema de Gauss) Si f; g 2 Z [X] son polinomios primi-tivos entonces su producto fg es primitivo también.

Demostración. Para cada primo p se tiene 'p(fg) = 'p(f):'p(g) 6= 0 alser primitivos f y g (2.4.15.C) y por ser Zp [X] un dominio de integridad.

Corolario 2.4.17 Si f; g 2 Z [X] entonces cont(fg) = cont(f):cont(g):

Demostración. Por (2.4.15.B) Se puede escribir f = cont(f):f1; g =cont(g):g1 con f1 y g1 polinomios primitivos, y por (2.4.15.A) se tiene

cont(fg) = cont(f):cont(g):cont(f1:g1)

= cont(f):cont(g):

en virtud del lema de Gauss.

Corolario 2.4.18 Si h(X) 2 Z [X] es mónico y si f(X); g(X) 2 Q [X]son mónicos tales que h(X) = f(X):g(X) entonces f(X) y g(X) tienencoe�cientes enteros.

Demostración. Si a; b 2 Z son , respectivamente, los productos de losdenominadores de los coe�cientes de f y de g; poniendo c = ab se tienech(X) = af(X)bg(X) = f1(X):g1(X); con f1(X) = af(X) y g1(X) = bg(X)polinomios con coe�cientes enteros. Por el lema de Gauss (2.4.16) se tienec:cont(h) = c = cont(f1):cont(g1):Además f1 = cont(f1)f2 y g1 = cont(g1)g2,donde f2; g2 2 Z [X] son primitivos. Entonces se tiene h(X) = f2(X)g2(X) ypor tanto f2 y g2 son también mónicos al serlo h:Además f(X) y f2(X) sonpolinomios mónicos con coe�cientes enQ y se tiene af(X) = f1 = cont(f1)f2;de lo que resulta a = cont(f1); y entonces f(X) = f2(X). Con idénticoargumento se prueba g(X) = g2(X).

Lema 2.4.19 Sea f 2 Z [X] : Si f admite una factorización f = gh cong; h 2 Q [X] entonces existen g1; h1 2 Z [X] con @(g) = @(g1); @(h) = @(h1)y tales que f = g1h1.

Page 74: TEORwA DE GALOIS

70 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Demostración. Para la factorización f = gh con f; g 2 Q [X] selec-cionamos c; d 2 Z tales que cg = g0; dh = h0 son polinomios con coe�cientesenteros, y por lo tanto cdf = g0h0; y @(g) = @(g0); @(h) = @(h0): Existe en-tonces un entero n � 1 tal que nf = g0h0 con g0; h0 2 Z [X] y con @(g) = @(g0)y @(h) = @(h0): El conjunto de números naturales m para los cuales existengm; hm 2 Z [X] con @(g) = @(gm), @(h) = @(hm) y tales que mf = gmhm es,por tanto, no vacío y admite entonces un primer elemento (el orden naturales un buen orden para N). Sea t el menor número natural tal que existengt; ht 2 Z [X] con @(g) = @(gt), @(h) = @(ht); y con tf = gtht. Probaremosque t = 1 con lo que el lema quedará demostrado. En efecto, si t 6= 1 existeun número primo p tal que t = pr; con r < t otro número natural. El númeroprimo p no es divisor de todos los coe�cientes de gt ni de todos los coe�cientesde ht: En efecto, si p divide a todos los coe�cientes de gt existe un g00 2 Z [X]con @(g00) = @(gt) y con gt = pg00; con lo cual resulta prf = pg00ht; y portanto rf = g00ht; lo que contradice la minimalidad de t: Lo mismo sucedesi se supone que p divide a todos los coe�cientes de ht: Ahora, utilizando lareducción módulo p; se tiene 'p(tf) = 'p(gt):'p(ht) = 0 en Zp [X] ya que tftiene sus coe�cientes múltiplos de p: Como Zp [X] es dominio de integridadresulta 'p(gt) = 0; o 'p(ht) = 0; lo que contradice la a�rmación ya probadade que p no divide a todos los coe�cientes de gt ni a todos los coe�cientes deht:

Teorema 2.4.20 Sea f 2 Z [X] con @(f) � 1: Son equivalentes las a�rma-cionesi) f es irreducible en Z [X] :ii) f es primitivo e irreducible en Q [X]

Demostración. \i) =) ii)�Si f es irreducible en Z [X], de f = cont(f):f1 se obtiene cont(f) =

1:Supongamos que f = g:h, siendo g; h 2 Q [X] : Por el lema (2.4.19) existeng1; h1 2 Z [X] con @(g) = @(g1); @(h) = @(h1) y tales que f = g1:h1. Dela irreducibilidad de f en Z [X] se obtiene que g1 = �1 o h1 = �1; y así@(g) = @(g1) = 0 o bien @(h) = @(h1) = 0; es decir, uno de los factores g o hes una unidad en Q [X] :\ii) =) i)�Si f es irreducible en Q [X] y si f = g:h con g; h 2 Z [X] � Q [X] ;

necesariamente uno de los factores g o h es una unidad en Q [X] y entoncesun número entero. Si g = c 2 Z entonces f = c:h, y como 1 = cont(f) =

Page 75: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 71

cont(ch) = c:cont(h); resulta g = c = �1; es decir g es una unidad en Z [X] :

La condición de que f es primitivo es fundamental en la a�rmación ante-rior. El polinomio f = 2X + 4 es irreducible en Q [X] y no lo es en Z [X] :Aunque el anillo Z [X] no es un DIP, veremos que es un DFU como

consecuencia del resultado anterior.

Corolario 2.4.21 Z [X] es un DFU. Sus elementos irreducibles son númerosprimos o polinomios primitivos que son irreducibles en Q [X]

Demostración. De una hipotética factorización en Z [X] de un númeroprimo, argumentando con los grados de los factores se obtendría una factor-ización en Z de dicho número primo. Por tanto todo número primo es unelemento irreducible en Z [X] : Además Z [X] es un dominio de integridadal serlo Z: Si f 2 Z [X] y f = cont(f):f1; la factorización en irreduciblesde Q [X] del polinomio primitivo f1 = u:pr11 :::p

rtt (en donde u es un número

racional no nulo) proporciona - mediante su multiplicación por el productode todos los denominadores de los polinomios pi y el de u-; una expresióncf1 = v:qr11 :::q

rtt en donde los qi (i = 1; :::; t) son ahora polinomios con coe�-

cientes enteros y c; v 2 Z, y donde, para cada i; se tiene @qi = @pi al ser qiy pi asociados en Q [X]. Se obtiene cont(cf1) = c = v:

Qi

ri:cont(qi) (2.4.15 ,

B) y 2.4.17), y también la igualdad

cf1 = v:qr11 :::qrtt = v:

Qi

ri:cont(qi):q0r11 :::q0

rt

t ;

en donde, para cada i, se ha puesto qi = cont(qi)q0i con q0i primitivo (e

irreducible en Z [X] al ser asociado a pi en Q [X]): Por lo tanto resultaf1 = q0

r1

1 :::q0rt

t . La factorización de f es ahora el producto de la factorizaciónde cont(f) en primos en Z y la anterior factorización de f1. La unicidad esconsecuencia inmediata de la unicidad de la factorización en Q [X] :Es oportuno preguntarse acerca de la naturaleza de los ceros racionales

de polinomios con coe�cientes enteros ya que ello está relacionado con suposible irreducibilidad.

Proposición 2.4.22 Sea f = arXr + ar�1X

r�1 + ::: + a1X + a0 2 Z [X]y sean n;m enteros primos entre sí. Si el número racional n

mes raíz de f

entonces n divide a a0 y m divide a ar:

Page 76: TEORwA DE GALOIS

72 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Demostración. f( nm) = ar

�nm

�r+ ar�1

�nm

�r�1+ :::+ a1

nm+ a0 = 0 =)

mra0 +mr�1na1 + :::+ arn

r = 0 =) n j mra0 y m j arnr: Por tanto n j a0 ym j ar ya que n y m son primos entre sí.

Corolario 2.4.23 Los ceros racionales de un polinomio mónico con coe�-cientes enteros son números enteros.�

A continuación usaremos los homomor�smos de reducción 'p para el re-conocimiento de polinomios con coe�cientes enteros que son irreducibles sobreQ:

Proposición 2.4.24 (Criterio de reducción) Sea f = anXn + an�1X

n�1 +:::+a1X+a0 2 Z [X] con @(f) � 1; y sea p un número primo que no divide alcoe�ciente principal an: Si 'p(f) = anX

n+an�1Xn�1+:::+a1X+a0 2 Zp [X]

es irreducible sobre Zp; entonces f es irreducible sobre Q.

Demostración. Si f es reducible enQ [X] entonces existen g1; h1 2 Q [X]tales que f = g1:h1 con @(g1) � 1; y @(h1) � 1: Por el lema 2.4.19 existeng; h 2 Z [X] con @(g) = @(g1) y @(h) = @(h1) tales que f = g:h: Ahora, si elnúmero primo p no divide a an tampoco divide al coe�ciente principal de gni al de h; y entonces se tiene que @(f) = @('p(f)); @('p(g)) = @(g) � 1 y@('p(h)) = @(h) � 1, por lo que f resulta reducible en Zp [X].Será muy usado también el siguiente criterio

Proposición 2.4.25 (Criterio de Eisenstein) Sea f = anXn + an�1X

n�1 +::: + a1X + a0 2 Z [X] con @(f) � 1: Si existe un número primo p tal quep j ai para i = 0; 1; :::; n � 1; p - an y p2 - a0 entonces f es irreducible enQ [X] :

Demostración. Como en la demostración de la proposición anterior, sif = anX

n + an�1Xn�1 + ::: + a1X + a0 es reducible en Q [X] se pueden

encontrar g; h 2 Z [X] con @ (g) = r � 1 y @ (h) = s � 1 tales que f = g:h:Ahora, por hipótesis, 'p(f) = anX

n = 'p(g):'p(h); y entonces @�'p(g)

�= r;

y @�'p(h)

�= s: En el DFU Zp [X] el elemento X es irreducible y, por lo

tanto, 'p(g) = brXr y 'p(h) = csX

s como consecuencia de la unicidad de lafactorización en irreducibles de 'p(f) (X es necesariamente, el único factorirreducible tanto de 'p(g) como de 'p(h)). Ahora, si b0 y c0 son los términosindependientes respectivos de g y de

Page 77: TEORwA DE GALOIS

2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 73

h; resulta que a0 = b0c0 ha de ser múltiplo de p2 pues son nulas lasclases de b0 y de c0 módulo p; ya que los polinomios 'p(g) y 'p(h) carecende término independiente. Esto contradice la hipótesis y, por lo tanto, talfactorización de f no es posible.

Por lo tanto existen polinomios irreducibles de cualquier grado en Q [X]y en Z [X], pues, si p es un número primo, el polinomio Xn+ p es irreducibleen ambos anillos para cualquier número natural n � 1..

Page 78: TEORwA DE GALOIS

74 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Nota 2.4.26

Si A es anillo conmutativo y h 2 A[X] es un polinomio cualquiera, lapropiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1) permite asegurar queexiste un único homomor�smo de anillos �h : A [X]! A [X] tal que �h(X) =h y tal que �h(d) = d; 8d 2 A:Si a es una unidad de A; g = aX+ b 2 A [X] y f = a�1X�a�1b 2 A [X],

entonces los homomor�smos �g y �f son isomor�smos mutuamente inversos.En efecto, bastará demostrar que (�g � �f ) (X) = X y que (�f � �g) (X) =X; lo que resulta de cálculos elementales. Por ejemplo

(�g � �f ) (X) = �g�a�1X � a�1b

�= a�1g � a�1b =

= a�1 (aX + b)� a�1b = X:

Nótese que todo homomor�smo de anillos � : A [X] ! A [X] tal que� jA= idA está ligado a la selección de una imagen � (X) = g 2 A [X] quedetermina dicha aplicación (2.3.1). Para f = anX

n+an�1Xn�1+:::+a1X+a0

se tiene � (f) = angn+an�1g

n�1+:::+a1g+a0: Por lo tanto, si A es un dominiode integridad, para que � sea sobreyectiva ha de ser necesariamente @(g) = 1,pues, en otro caso, ninguna de las imágenes � (f) 2 A [X] puede ser de grado1: Además, si � (X) = g = aX+b; para que exista ��1 es necesario que a seauna unidad de A: En efecto, si ��1(X) = cX + d (también polinomio linealpara que ��1 sea sobreyectiva), entonces (��1 � �) (X) = X = c(aX+ b)+d;lo que proporciona ca = 1 y cb+ d = 0.Por lo tanto, si A es un dominio de integridad, todo isomor�smo � :

A [X] ! A [X] tal que � jA= idA está ligado a la elección de un polinomiolineal � (X) = aX + b con a una unidad de A: Tales isomor�smos se denom-inarán cambios de variable.Nótese también que si ' : A ! B es un isomor�smo de anillos y a 2 A

entonces ' (a) es unidad en B si, y sólo si, a es unidad en A:

' (a) :' (b) = ' (a:b) = 1B = ' (1A)()

ab = 1A

Como consecuencia, para el mismo isomor�smo ' : A ! B se tienetambién que ' (a) es irreducible en B si, y sólo si, a es irreducible en A:En efecto, si ' (a) = b1b2 en B; y si a1; a2 2 A son tales que ' (a1) = b1 y' (a2) = b2; entonces ' (a) = ' (a1) :' (a2) = ' (a1:a2) ; por lo que a = a1a2

Page 79: TEORwA DE GALOIS

2.5. EJERCICIOS 75

al ser ' un isomor�smo. Como a es irreducible en A; alguno de los factoresa1 o a2 es unidad en A; y por lo tanto también es unidad en B alguno delos factores b1 o b2: El recíproco se obtiene utilizando el isomor�smo inverso'�1 : B ! A:

Proposición 2.4.27 (Criterio de cambio de variable) Si g = aX+b 2 A[X]y a 2 A�; un polinomio f 2 A [X] es irreducible si, y sólo si, �g (f) lo estambién.�

Corolario 2.4.28 Sea p un número primo. El polinomio f = Xp�1+Xp�2+:::+X + 1 2 Z [X] es irreducible en Q [X] y en Z [X] :

Demostración. Xp � 1 = (X � 1) f: Tomando g = X + 1 resulta

�g [(X � 1) f ] = �g (Xp � 1) lo que equivale a

(X + 1)�g (f)� �g (f) = X�g (f) = (X + 1)p � 1 =

=

�p

0

�Xp +

�p

1

�Xp�1 + :::+

�p

p� 1

�X +

�p

p

�� 1; y ello implica

�g (f) =

�p

0

�Xp�1 +

�p

1

�Xp�2 + :::+

�p

p� 1

�2 Z [X] ;

que es un polinomio irreducible en Q [X] por el criterio de Eisenstein (2.4.25),pues para i = 1; 2; :::; p� 1 el número combinatorio

�pi

�= p!

i!(p�i)! es múltiplo

de p; y�pp�1�= p no lo es de p2: Aplicando ahora el criterio de cambio de

variable resulta que f = Xp�1 +Xp�2 + :::+X + 1 es irreducible en Q [X] yen Z [X] ya que su contenido es 1.

2.5. Ejercicios

1.- Sea J un ideal del anillo conmutativo A:a) Demuéstrese que J [X] := ff = anX

n + an�1Xn�1 + ::: + a1X +

a0 2 A [X] j an; an�1; :::; a1; a0 2 Jg es un ideal de A[X] y que los anillosA [X] =J [X] y (A=J) [X] son isomorfos.b) Utilizando el apartado anterior demuéstrese que J es ideal primo de A

si, y sólo si, J [X] es ideal primo de A [X] :c)¿Puede ser J [X] ideal maximal de A [X]?

Page 80: TEORwA DE GALOIS

76 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

2.- Demuéstrese que un polinomio f 2 Z [X] no tiene raíces enteras sif(0) y f(1) son números impares.

3.- Determínense todos los enteros positivos n para los que X2+2 dividea X5 � 10X + 12 en Zn [X] :4.- Demuéstrese que los anillos Z [X] =(n;X) y Zn son isomorfos.5.- a) Demuéstrese que si f (X) es irreducible en Z2 [X] y @(f) > 1

entonces el número de coe�cientes no nulos de f es impar.b) Calcúlense todos los polinomios irreducibles en Z2 [X] de grado menor

o igual que 4.

6.- Sea J = (X3 + 2X + 1) � Z3 [X] y sea F = Z3 [X] =J:a) Demuéstrese que todo elemento del anillo cociente F admite un único

representante de grado � 2:b) Demuéstrese que F es un cuerpo.c) Calcúlese el número de elementos de F:

7.- Factorícense en irreducibles el polinomio 7X4� 28 en cada uno de losanillos Q [X] ; R [X] ; C [X] ; Z [X] y Z2 [X] :8.- Imitando la prueba del criterio de Eisenstein pruébese el siguiente, que

denominaremos de (Eisenstein)�. Sea f = anXn+an�1X

n�1+ :::+a1X+a0 2Z [X] y p un número primo tal que p j an; an�1; :::; a1; p - a0, y p2 - an; entoncesf es irreducible en Q [X] :9.- Factorícense en irreducibles enQ [X] los polinomiosX7�2X5+14X2�

8X + 22; 4X3 �X2 + 7; X4 + 4; X5 � 2X3 +X2 � 4X + 3; X4 � 3X2 + 9;3X5 � 6X3 � 21X2 � 15X + 100; (X2 � 7)(X6 � 1); X3 �X + (3n+ 2) conn 2 Z:10.- Sea f = X5 � 6X4 + 2X3 + 5X2 �X � 2 2 Z [X] :a) Descompóngase en producto de irreducibles en Z2 [X] la reducción de

f módulo 2:b) Utilizando el apartado anterior demuéstrese que f es irreducible en

Z [X] :11.- Sea f = �5X6 + 12X4 + 3X2 � 18X + 7 2 Z [X]a) Descompóngase en producto de irreducibles en Z2 [X] la reducción de

f módulo 2.b) Descompóngase en producto de irreducibles en Z3 [X] la reducción de

f módulo 3.c) Descompóngase f en producto de irreducibles en Z [X] y en Q [X] :

Page 81: TEORwA DE GALOIS

2.5. EJERCICIOS 77

12.- a) Sea J = ff 2 Z [X] j f(0) = 0g: Demuéstrese que J es un idealprincipal de Z [X] :¿Es J ideal primo de Z [X]?¿Es ideal maximal de Z [X]?b) Demuéstrese que el polinomio X 4 + 6X2 + 7 es irreducible en Q [X] :

13.- a)¿Para qué valores de n 2 Z es X3+X2+ nX +2 irreducible sobreQ?b) Pruébese que X3 +mX + n es irreducible en Z [X] cuando m y n son

impares.c) Sea f(X) 2 Z [X] un polinomio mónico tal que f(0) = p es un número

primo. Pruébese que f(X) tiene a lo sumo tres raíces racionales.

14.- Sabiendo que 1+i es un cero del polinomio f(X) = X4�X3+X2+2 2R [X] descompóngase f en producto de irreducibles en R [X] y en C [X] :

Page 82: TEORwA DE GALOIS

78 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Page 83: TEORwA DE GALOIS

Capítulo 3

EXTENSIONES DECUERPOS

3.1. EXTENSIONES FINITAS

De�nición 3.1.1 Sea K un cuerpo. Una extensión de K es un cuerpo F delcual K es subcuerpo que será denominado cuerpo base de la extensión. ConF : K se indicará que F es una extensión de K. En este caso F puede serconsiderado como espacio vectorial sobre K. La dimensión de este K- espaciose denominará grado de la extensión y se denotará dimK F = [F : K]. Laextensión se dirá que es �nita si dicha dimensión es �nita.Una torre de cuerpos (o de extensiones) es una familia de extensiones

K1 : K2; K2 : K3; :::; Ki : Ki+1; :::;

que más frecuentemente se indicará con

K1 � K2 � K3 � :::Ki � Ki+1 � :::.

Ejemplos1.- [C : R] = 2; ya que cada � 2 C admite una única expresión � = a+b:i

con i2 = �1 y a; b 2 R, lo cual signi�ca que f1; ig constituye una base de Ccomo R- espacio vectorial.2.- C : Q y R : Q son extensiones no �nitas. Obviamente [R : Q] �

[C : Q] ; y si [R : Q] fuese �nito R resultaría numerable (al ser producto carte-siano de un número �nito de conjuntos numerables).3.- Para una extensión F : K se tiene trivialmente que [F : K] = 1 si, y

sólo si, F = K.

79

Page 84: TEORwA DE GALOIS

80 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Teorema 3.1.2 (Teorema del grado)Sea K � F � E una torre de cuerpos. Entonces son equivalentes las

a�rmacionesi) F : K y E : F son �nitas.ii) E : K es �nita.Además, en ese caso se tiene [E : K] = [E : F ] : [F : K] :

Demostración. \ii) =) i)"F es un K-subespacio de E; y por lo tanto [F : K] � [E : K] : Además,

una K-base fz1; ::::; ztg de E es también un sistema de generadores de Ecomo F -espacio vectorial y por lo tanto E : F es �nita.\i) =) ii)"Sean fx1; ::::; xng una K-base de F y fy1; :::; yrg una F -base de E: En-

tonces fxi:yj j 1 � i � n; 1 � j � rg es una K base de E: En efecto, para� 2 E existen b1; :::; br 2 F tales que � =

Pr1 bjyj: Para cada j 2 f1; :::; rg

existen a1;j; :::; an;j 2 K, tales que bj =Pn

1 ai;jxi; y por lo tanto

� =rXj=1

nXi=1

ai;jxi

!yj =

Xi;j

aij (xiyj) ;

lo cual quiere decir que fxiyj j 1 � i � n; 1 � j � rg es un sistema de gener-adores de E como K-espacio. Dicho conjunto de generadores es además li-nealmente independiente sobre K, ya que si

Pi;j ai;j (xiyj) = 0 con ai;j 2 K;

entonces los elementos ai;jxi 2 F son tales queP

j (P

i ai;jxi) yj = 0: LaF -independencia lineal de los yj proporciona entonces que

Pi ai;jxi = 0 para

cada j, y de la K-independencia lineal de los xi resulta ai;j = 0 para todopar i; j: Por lo tanto fxiyj j 1 � i � n; 1 � j � rg constituye una K-base deE:

OBSERVACIONES3.1) Nótese que la anterior demostración es constructiva en el sentido de

que se obtiene directamente una K-base de E multiplicando los elementosde una F -base de E por los de una K-base de F: Este método constructivoserá utilizado muy frecuentemente en lo que sigue.3.2) Nótese también que la igualdad [E : K] = [E : F ] : [F : K] es válida

en el caso de extensiones arbitrarias, en el sentido de que [E : K] no es �nitosi, y sólo si, [E : F ] o [F : K] es no �nito, y que así ambos miembros de dichaigualdad son in�nitos.

Page 85: TEORwA DE GALOIS

3.1. EXTENSIONES FINITAS 81

3.3) Recuérdese que el teorema de Lagrange para grupos establece quesi H � L � G es una torre de grupos entonces (G : H) = (G : L) : (L : H) ;lo que constituye una fórmula similar a la del teorema del grado. Esto noes algo casual, como se comprobará al estudiar el teorema fundamental deteoría de Galois para extensiones �nitas.3.4) Nótese �nalmente que, por aplicación directa del teorema del grado,

si E : K es �nita de grado primo no existen extensiones intermedias entreE y K:

Sea F : K una extensión de cuerpos y sea A un subconjunto de F: ConK [A] se denotará el menor subanillo de F que contiene a A y a K; es decirla intersección de todos los subanillos de F que contienen a A y a K: ConK (A) se denotará el menor subcuerpo de F que contiene a A y a K: K(A)es, entonces, el menor subcuerpo de F que contiene al subanillo K [A] : Setiene una torre K � K(A) � F y se dirá que K(A) es el subcuerpo de Fgenerado por A sobre K: También se dirá que K(A) : K es la subextensiónde F : K generada por A: En particular, si A = fx1; ::::; xng ; se escribiráK(A) = K (x1; ::::; xn) ; y también K [A] = K [x1; ::::; xn] :El cuerpo K(A) es el cuerpo Q(K [A]) de fracciones de K [A] (2.2.1).

De�nición 3.1.3 La extensión K (x1; ::::; xn) : K es �nitamente generada,y fx1; ::::; xng es un conjunto de generadores de dicha extensión. Se dirá quela extensión K(x) : K es simple, o que K(x) es una extensión simple de K:

Proposición 3.1.4 Sea F : K una extensión de cuerpos y fx1; :::; xng � F:Sea 'x1;::::;xn : K [X1; :::; Xn] ! F el único homomor�smo de anillos talque 'x1;::::;xn=K = idK y tal que 'x1;::::;xn (Xi) = xi para cada i = 1; 2; :::; n(evaluación en fx1; ::::; xng (2.3.1)). Entonces

K [x1; ::::; xn] = ff (x1; ::::; xn) j f 2 K [X1; :::; Xn]g = Im�'x1;::::;xn

�, y

cada elemento � 2 K (x1; ::::; xn) es de la forma

� =f (x1; ::::; xn)

g (x1; ::::; xn)= f (x1; ::::; xn) :g (x1; ::::; xn)

�1

con f; g 2 K [X1; :::; Xn] y g (x1; ::::; xn) 6= 0

Demostración. Si B es un subanillo de F que contiene a K y al con-junto A = fx1; ::::; xng ; entonces el único homomor�smo de anillos :

Page 86: TEORwA DE GALOIS

82 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

K [X1; :::; Xn] ! B tal que (a) = a;8a 2 K; y tal que (Xi) = xi; parai = 1; 2; :::; n; (2.3.1) está de�nido por

0@ Xr1;r2;:::;rn

ar1;r2;:::;rnXr11 X

r22 :::X

rrn

1A =X

r1;r2;:::;rn

ar1;r2;:::;rnxr11 x

r22 :::x

rrn :

Por la unicidad de , se tiene necesariamente que 'x1;::::;xn = j� ; denotandocon j : B ,! F la inclusión. Así resulta que A;K � Im

�'x1;::::;xn

�� B, y

por tanto, Im�'x1;::::;xn

�es el menor subanillo de F que contiene a A y a K:

Por otra parte, es evidente que

ff (x1; ::::; xn) j f 2 K [X1; :::; Xn]g = Im�'x1;::::;xn

�:

Si E es un subcuerpo de F que contiene a K y a A entonces E contiene aK [x1; ::::; xn] y al inverso de cada uno de sus elementos no nulos. Por lo tanto,f (x1; ::::; xn) g (x1; ::::; xn)

�1 2 E si f; g 2 K [X1; :::; Xn] y g (x1; ::::; xn) 6= 0:Así el conjunto de tales productos f (x1; ::::; xn) g (x1; ::::; xn)

�1 está con-tenido en E: Ahora, para � = f1(x1;::::;xn)

g1(x1;::::;xn)y � = f2(x1;::::;xn)

g2(x1;::::;xn)(con g1 (x1; ::::; xn)

y g2 (x1; ::::; xn) no nulos) se tiene

�� � =f1 (x1; ::::; xn) g2 (x1; ::::; xn)� f2 (x1; ::::; xn) g1 (x1; ::::; xn)

g1 (x1; ::::; xn) g2 (x1; ::::; xn)=

=(f1g2 � f2g1) (x1; ::::; xn)(g1g2) (x1; ::::; xn)

;

y ���1 = (f1g2)(x1;::::;xn)(g1:f2)(x1;::::;xn)

si � 6= 0; es decir, dicho conjunto es subcuerpo de Fy, por lo tanto, es el menor subcuerpo de F que contiene a K y a A:

Obsérvese que una parte importante del razonamiento anterior puede serobviada a la luz de la proposición 2.2.1.En particular si � 2 F;

K [�] = ff (�) j f 2 K [X]g y

K (�) =

�f (�)

g (�)j f; g 2 K [X] y g (�) 6= 0

�:

Si F : K es una extensión y si se denota con < x1; x2;:::; xn >K el K-subespacio de F generado por los elementos x1; x2;:::; xn 2 F; es decir el

Page 87: TEORwA DE GALOIS

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS 83

conjunto de las combinaciones lineales con coe�cientes en K de dichos ele-mentos, entonces se tiene trivialmente que

< x1; x2;:::; xn >K� K [x1; x2;:::; xn] � F

ya que, si � = a1x1 + a2x2 + ::: + anxn 2< x1; x2;:::; xn >K ; se tiene � ='x1;::::;xn(f) 2 K [x1; x2;:::; xn] ; en donde f = a1X1+a2X2+ :::+anXn: Por lotanto, si los elementos x1; x2; :::; xn 2 F generan F como K-espacio, tambiénse tiene K [x1; x2;:::; xn] = F:En particular, toda extensión �nita es �nitamente generada.Si K y F son subcuerpos de un mismo cuerpo E, entonces K [F ] = F [K]

es el menor subanillo de E que contiene a K y a F: Sus elementos sonexpresiones

Pi aibi con solamente un número �nito de sumandos no nulos,

donde ai 2 K y bi 2 F , ya que el conjunto de tales expresiones es un subanillode E que contiene a K y a F; y todo subanillo de E que contenga a K y a Fdebe contener también a dichas expresiones. El menor subcuerpo de E quecontiene a K y a F es ahora el conjunto de elementos de la forma � =

Pi aibiPj a

0jb0j

con numerador y denominador (éste último no nulo) elementos de F [K]. Lacomprobación es una simple aplicación de (2.2.1), pues de nuevo, KF es elcuerpo de fracciones de K [F ] = F [K].

De�nición 3.1.5 A dicho subcuerpo de E se le denotará con KF = FK yse le denominará composición de K y F:

Nota 3.1.6

Sean F : K y E : K tales que E;F son subcuerpos de un cuerpo L;y tal que existe un subconjunto A de L con E = K(A): Entonces EF =F (A): En efecto F � EF y A � E � EF; y así F (A) � EF: TambiénE = K(A) � F (A) y F � F (A) proporciona EF � F (A): Esta propiedadserá usada frecuentemente en el caso en que A es un conjunto �nito. Enparticular, si E y F son subcuerpos de un cuerpo L; ambos extensiones deK; y E = K(�1; �2; :::; �n); entonces EF = F (�1; �2; :::; �n):

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS

De�nición 3.2.1 Sea F : K una extensión de cuerpos. Un elemento � 2 Fse dice que es algebraico sobre K si existe un polinomio no nulo f 2 K [X]

Page 88: TEORwA DE GALOIS

84 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

tal que f (�) = 0; es decir si � es un cero de algún polinomio no nulo fcon coe�cientes en K: Si � 2 F no es algebraico sobre K se dirá que estrascendente sobre K: Se dirá que la extensión F : K es algebraica si todoelemento � 2 F es algebraico sobre K; y se dirá que es trascendente en casocontrario.

Ejemplos1.- Cada � 2 K es algebraico sobre K ya que dicho elemento es cero del

polinomio X � � 2 K [X] :2.- La extensión C : R es algebraica, pues si � = a+ bi 2 C; y � = a� bi

denota el conjugado, entonces

f (X) = (X � �)(X � �) =

= X2 � (�+ �)X + �� = X2 � 2aX + a2 + b2

es un polinomio no nulo con coe�cientes reales y f (�) = 0:3.- La extensión R : Q es trascendente. C. Hermite (1873) y F. von

Lindemann (1882) probaron, respectivamente, que los números reales e y �son transcendentes sobre Q: En la sección 6.2 daremos una prueba de latrascendencia de �:4.- i;

p7; 3p5; son elementos de C algebraicos sobre Q , y por lo tanto

sobre R (observación 3.6). En efecto, i es un cero de X2 + 1;p7 lo es de

X2 � 7; y 3p5 de X3 � 5; todos ellos polinomios no nulos con coe�cientes

racionales.5.- También � =

p2 + i 2 C, que es algebraico sobre R (ejemplo 2),

lo es también sobre Q, pues � � i =p2 =) �2 � 2i� � 1 = 2 =) 2i� =

�2 � 3 =) �4�2 = (�2 � 3)2 =) �4 � 2�2 + 9 = 0; es decir � es un cero deX4 � 2X2 + 9 2 Q [X] : Sin embargo no todo elemento de C es algebraicosobre Q (e y � son trascendentes sobre Q ya que lo son sobre R)6.- Con K [X1; :::; Xn] se denota el anillo de polinomios en las n variables

(o indeterminadas) X1; :::; Xn; y con K (X1; :::; Xn) su cuerpo de fraccionesque se conoce con el nombre de cuerpo de funciones racionales en dichasvariables. Cada una de las indeterminadas Xi es trascendente sobre K:OBSERVACIONES.3.5) Si '� : K [X] ! F es la evaluación en �, entonces � es algebraico

sobre K si, y sólo si, Ker('�) 6= 0; es decir, si y sólo si, '� no es inyectivo.

Page 89: TEORwA DE GALOIS

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS 85

3.6) Si � 2 F es algebraico sobre algún subcuerpo K 0 de K; entonces �es también algebraico sobre K ya que K 0 [X] � K [X] :3.7) Si � es un cero de f 2 K [X] lo es también de c�1:f siendo c 2

K � f0g : En particular, si se toma c =coe�ciente principal de f; existe unpolinomio mónico (es decir de coe�ciente principal 1) del cual � es un cero.3.8) Sea F : K una extensión y � 2 F:3.8.A) � es trascendente sobre K si, y sólo si, ker('�) = 0 y entonces

Im'� = K [�] es isomorfo al anillo de polinomios K [X] : Obsérvese queK[X] no es cuerpo en ningún caso, y, como consecuencia, si K [�] = K (�) ;es decir, si K [�] es un cuerpo, entonces necesariamente ker('�) es un idealno nulo (y maximal), con lo cual existe f 2 ker('�); f 6= 0 tal que f(�) = 0;es decir, � es algebraico sobre K:3.8.B) Si � es algebraico sobre K; es decir, si ker('�) 6= 0; entonces

Im'� = K [�] t K [X] = ker('�) es un dominio de integridad al ser subanillodel cuerpo F y, por lo tanto, ker('�) = fg 2 K [X] j g(�) = '�(g) = 0g esun ideal primo no nulo del anillo K [X]. Como K [X] es un DIP el idealker('�) está generado por un elemento irreducible g (X) 2 K [X] ; es decirker('�) = (g). Ahora, si c es el coe�ciente principal de g entonces, poniendof(X) = c�1:g(X) resulta que (f) = (g); y f tiene coe�ciente principal 1; esdecir f es un polinomio mónico.

Recuérdese que para un dominio de ideales principales A; dos elementos ay b del anillo A generan el mismo ideal si, y solamente si, a y b son asociados(2.2.5), es decir si existe una unidad u de A tal que a = u:b: En nuestrocaso (A = K [X]) si dos polinomios mónicos f y h generan el mismo ideal deK [X] ; se tiene f = h; pues las unidades de K [X] son los elementos no nulosde K; al ser f y g asociados, deberá ser f = u:h con u 2 K; y así u = 1por la igualdad entre los coe�cientes principales de los polinomios f y u:h:Por lo tanto, para nuestro elemento � 2 F algebraico sobre K existe un

único polinomio mónico f(X) 2 K [X] tal que ker('�) = (f (X)) : Como elideal ker('�) es primo, nuestro polinomio f(X) es irreducible. Recuérdeseque en un DIP A; un elemento p 2 A es irreducible si, y sólo si, el ideal (p)es primo (2.2.10). Recuérdese también que en dicho anillo A un ideal no nuloI es primo si, y solamente si, I es maximal (2.2.10).Conjugando 3.B) con lo anterior, para una extensión F : K y para un

� 2 F; podemos enunciar ahora "� es algebraico sobre K si y sólo si K [�]es cuerpo"Podemos probar ahora el siguiente

Page 90: TEORwA DE GALOIS

86 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Teorema 3.2.2 Sea F : K una extensión de cuerpos y � 2 F un elementoalgebraico sobre K: Entonces

i) K [�] = Im'� t K [X] =(f) en donde f es un polinomio mónico irre-ducible de grado � 1:

ii) K [�] = K (�) :iii) Para un g 2 K [X] ; g(�) = 0() f divide a g en K [X] :iv) f es el único polinomio mónico irreducible en K [X] tal que f(�) = 0:v) f es el polinomio mónico de menor grado en K [X] tal que f(�) = 0:

Demostración. La a�rmación i) es inmediata consecuencia de nuestrasconsideraciones previas.La ii) es consecuencia de la Proposición 3.1.4 y del hecho de que, siendo

ahora el anillo K [�] t K [X] =(f) un cuerpo (última parte de la observación3.8.B), entonces K [�] es el menor subcuerpo de F que contiene a K y a �:Por lo tanto K [�] = K (�) :La iii) es inmediata, ya que un polinomio g 2 K [X] es tal que '�(g) =

g(�) = 0 si, y solamente si, g 2 Ker('�) = (f); es decir si, y sólo si, g esmúltiplo de f en K [X] :La a�rmación iv) resulta del hecho de que si, g es irreducible en K [X] y

además g 2 (f); necesariamente se tiene g = h:f con h una unidad de K [X](es decir, con h 2 K�) ya que g es irreducible. Por tanto, si además g esmónico resulta h = 1 con lo cual f = g:La v) se obtiene de que g 2 (f) =) @(f) � @(g) ya que el grado de un

producto de polinomios (con coe�cientes en un dominio de integridad) es lasuma de los grados de los factores.

De�nición 3.2.3 Sea F : K una extensión de cuerpos y � 2 F un elementoalgebraico sobre K: El único polinomio mónico f (X) irreducible en K [X] talque f(�) = 0 se llamará el polinomio irreducible de � sobre K y se denotaráf = Irr(�;K): A la vista de v) anterior, a Irr(�;K) se le denomina tambiénpolinomio mínimo de � sobre K.

Proposición 3.2.4 Sea F : K una extensión de cuerpos y � 2 F un ele-mento algebraico sobre K: Entonces

i) [K (�) : K] = @(Irr(�;K)):ii) Si @(Irr(�;K)) = n; el conjunto f1; �; �2; :::; �n�1g es una base de

K (�) como K-espacio vectorial.

Page 91: TEORwA DE GALOIS

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS 87

Demostración. i) Es evidente consecuencia de ii): Para probar ii) ob-sérvese que si � = g(�) 2 Im('�) = K (�) con g 2 K [X] ; entoncesg = f:q + r donde q; r 2 K [X] y además r = 0 o bien @(r) < @(f) = n(recuérdese que K [X] es un dominio euclídeo cuya norma euclídea es elgrado). Se tiene así que � = g(�) = f(�):q(�) + r(�) = r(�); y comor = atX

t + at�1Xt�1 + :::+ a1X + a0 con las ai 2 K y t = @(r) < n, resulta

� = r(�) = at�t+at�1�

t�1+:::+a1�+a0: Por lo tanto f1; �; �2; :::; �n�1g es unsistema de generadores deK(�) comoK-espacio. Para probar la independen-cia lineal sobreK de estos elementos, sea bn�1�n�1+bn�2�n�2+:::+b1�+b0 =0; con b0; b1; :::; bn�2; bn�1 2 K: El polinomio h(X) = bn�1X

n�1+ bn�2Xn�2+

:::+b1X+b0 2 K [X] es tal que h(�) = 0; y por lo tanto h 2 (f); pero ello so-lamente es posible si h = 0; pues en otro caso sería n�1 � @(h) � @(f) = n:

Ejemplos

1.-p2 2 R es algebraico sobreQ pues es cero del polinomioX2�2 2 Q [X]

que es irreducible enQ [X] ; y así Irr(p2;Q) = X2�2: Según lo que establece

la Proposición 3.2.4,�1;p2constituye una Q-base de Q

�p2�; y por lo

tanto, cada elemento � 2 Q�p2�admite una única expresión � = a + b

p2

con a; b 2 Q.2.- Sea � =

p1 +p3 2 R. Entonces (�2 � 1)2 = 3; y por lo tanto

� es un cero del polinomio X4 � 2X2 � 2 2 Q [X]. Este polinomio es ir-reducible en Q [X] (criterio de Eisenstein para el primo p = 2) y entoncesIrr(

p1 +p3;Q) = X4 � 2X2 � 2; con lo cual resulta que f1;

p1 +p3; 1 +p

3;�1 +p3�p

1 +p3g constituye una Q-base de Q

�p1 +p3�:

3.- Sea ! la raíz cuarta real positiva de 2: Por el criterio de Eisenstein(para p = 2) el polinomio X4 � 2 es irreducible en Q [X] y tiene a ! comoraíz. Por tanto ! es algebraico sobre Q, Irr(!;Q) =X4�2; y [Q (!) : Q] = 4:Entonces f1; !; !2; !3g es una Q-base de Q (!) ; y cada elemento � de Q (!)admite una única expresión � = a+ b! + c!2 + d!3 con a; b; c; d 2 Q ¿Cuáles la expresión de = 1 + ! � 2!6 2 Q (!) como Q�combinación lineal dela citada base? El siguiente cálculo determina la respuesta.

= 1 + ! � 2!6 = '!(1 +X � 2X6) =

= '!��X4 � 2

� ��2X2

�+��4X2 +X + 1

��=

= '!�X4 � 2

�'!��2X2

�+ '!

��4X2 +X + 1

�= �4!2 + ! + 1:

Page 92: TEORwA DE GALOIS

88 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Una forma alternativa de proceder consiste en utilizar que !4 = 2 parareducir los exponentes en la expresión original de :

Proposición 3.2.5 Toda extensión �nita es algebraica.

Demostración. Sea F : K una extensión �nita. Se trata de probar quecada � 2 F es algebraico sobre K: Se tiene K � K (�) � F: En virtud delteorema del grado [K (�) : K] es también �nito ya que divide a [F : K]. Si[K (�) : K] = n; y si los n + 1 elementos 1; �; :::; �n 2 K (�) son diferentes,entonces son necesariamente K-linealmente dependientes, y por lo tanto ex-isten a0; a1; :::an 2 K , no todos nulos, tales que a0 + a1:� + :::+ an:�

n = 0:El polinomio no nulo f(X) = an:X

n + :::+ a1:X + a0 2 K [X] es talque f(�) = 0: Si, por el contrario, existen i 6= j, con 0 � i < j � n; tales

que �i = �j; entonces �j�i = 1, lo que indica que � es un cero del polinomioXj�i � 1 2 K [X]. En cualquier caso resulta que � es algebraico sobre K.

Corolario 3.2.6 Sea F : K una extensión y sea � 2 F un elemento alge-braico sobre K. Entonces la extensión K (�) : K es algebraica.

Demostración. Por la Proposición 3.2.4 la extensión K (�) : K es �nitay por la Proposición 3.2.5 es, entonces, algebraica.

Proposición 3.2.7 Para una extensión F : K son equivalentes las a�rma-ciones

i) F : K es �nita.ii) F : K es �nitamente generada por elementos algebraicos sobre K.

Demostración. \i) =) ii)"Si fx1; x2;:::; xng es unaK�base de F también se tiene F = K [x1; x2;:::; xn]

(véase el comentario posterior a la Proposición 3.1.4). Además, como con-secuencia de la Proposición 3.2.5, cada xi es algebraico sobre K y F =K (x1; x2; :::; xn) al ser F cuerpo.\ii) =) i)"Sea F = K (�1; �2; :::; �n) con �i algebraico sobre K; para cada i =

1; 2; :::; n, y por tanto sobre K (�1; �2; :::; �i�1). Se tiene así una torre

K � K (�1) � K (�1; �2) = K (�1) (�2) � K (�1; �2) (�3) � :::

� K (�1; �2; :::; �i�1) � K (�1; �2; :::; �i�1) (�i) � :::

� K (�1; �2; :::; �n�1) � K (�1; �2; :::; �n) = F

Page 93: TEORwA DE GALOIS

3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS 89

en la que cada paso es una extensión simple generada por un elemento alge-braico y por lo tanto �nita, en virtud de la proposición 3.2.4. Ahora [F : K]es el producto de los grados de cada una de dichas extensiones (teorema delgrado), y entonces F : K es una extensión �nita.Ya se ha dicho aquí que la extensión R : Q es trascendente y por tanto

in�nita. Obsérvese que ello quizás resulte poco intuitivo si queremos pensaren la dimensión de espacios vectoriales como algo que tiene que ver única yexclusivamente con "lo ancho", "lo largo", "lo alto", etc. La naturaleza dela dimensión tiene mucho que ver también con la posibilidad de elegir coor-denadas, es decir, con la naturaleza del cuerpo de coe�cientes. En particulartodo espacio vectorial V de dimensión �nita sobre R es también espacio vec-torial sobre Q por restricción de escalares, pero con esa estructura V no es�nito dimensional como Q espacio:

Teorema 3.2.8 Para una torre K � F � E son equivalentes las a�rma-ciones

i) F : K y E : F son algebraicas.ii) E : K es algebraica.

Demostración. \ii) =) i)"Es evidente usando la observación 3.6 y el hecho de que cada elemento

de F es un elemento de E:\i) =) ii)"Sea � 2 E y sea 0 6= f(X) 2 K [X] tal que f(�) = 0. Entonces � es

algebraico sobre K (a0; :::; an) ya que f(X) 2 K (a0; :::; an) [X] : Así, en latorre K � K (a0; :::; an) � K (a0; :::; an) (�) ; la extensión K (a0; :::; an) : Kes �nita por la proposición 3.2.7, al ser a0; :::; an 2 F y ser F : K algebraica,y K (a0; :::; an) (�) : K (a0; :::; an) lo es también en virtud de la proposición3.2.4. Por tantoK (a0; :::; an) (�) : K es �nita por el teorema 3.2.2, y entoncesalgebraica por la proposición 3.2.5. Cada elemento de K (a0; :::; an) (�) esalgebraico sobre K y, en particular, � también lo es. Por lo tanto E : K esalgebraica.

Corolario 3.2.9 Sea F : K una extensión y sea

KF:= f� 2 F j � es algebraico sobre Kg :

Entonces KFes cuerpo, la extensión K

F: K es algebraica y K

Fcontiene a

cada cuerpo E tal que K � E � F y tal que E : K es algebraica. El cuerpoKFno tiene extensiones algebraicas propias dentro de F:

Page 94: TEORwA DE GALOIS

90 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Demostración. Es evidente que K � KF � F: Además si �; � 2 K

F

se tiene obviamente que �� �; y �:��1(si � 6= 0) son elementos de K (�; �)que es una extensión algebraica de K en virtud de las proposición 3.2.7. Portanto dichos elementos de F son algebraicos sobre K y entonces pertenecena K

F: Por lo tanto K

Fes cuerpo y la extensión K

F: K es obviamente

algebraica. Es claro que cualquier subextensión de F : K constituida porelementos algebraicos sobre K debe estar contenida en K

Fpor la propia

de�nición de KF: Además, si E : K

Fes algebraica y E � F; resulta que

E : K es algebraica por el teorema 3.2.8, y en virtud de lo anterior se tieneE � K

F:

De�nición 3.2.10 A KFse le denominará clausura algebraica de K en F:

EjemploEn la extensión R : Q el cuerpo QR es una extensión algebraica de Q

pero no �nita. De hecho, para cada n > 0 es posible elegir � 2 QR tal que[Q (�) : Q] = n; y por lo tanto Q (�) � QR y

hQR : Q

i� [Q (�) : Q] = n:

En efecto, para cualquier número primo p > 0 el polinomio Xn � p 2 Q [X]es irreducible en Q [X] (criterio de Eisenstein) y tomando � = n

pp 2 R,

que es algebraico sobre Q por ser un cero de Xn � p; se tiene [Q (�) : Q] =@(Irr(�;Q)) =n. Por tanto � 2 QR y así

hQR : Q

i� n para todo n > 0:

3.3. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSI-

COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS

Finaliza este capítulo con la aplicación de los conocimientos hasta ahoraadquiridos sobre extensiones de cuerpos a la solución de algunos problemasgeométricos clásicos. Por ejemplo, se estudiará ahora la posibilidad de trisecarun ángulo utilizando solamente la regla y el compás, y se verá que el ángulo �

3

no es trisecable, o, lo que es equivalente, que el polígono regular de dieciocholados no se puede construir (con solamente los citados útiles de dibujo). Laposibilidad de construir el polígono regular de n lados quedará establecidaen su total generalidad con el teorema de Gauss-Wantzel que será probadoen la parte �nal del curso.Los problemas geométricos que se resolverán en esta sección tienen su

origen en el trabajo de los geómetras de la Grecia clásica, y dedicaremos

Page 95: TEORwA DE GALOIS

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS 91

nuestra atención también a la duplicación del cubo y a la cuadratura delcírculo, problemas que han llegado a ser famosos y que han permanecido sinresolver durante mucho tiempo.Nos gusta pensar que los geómetras griegos consideraban a la recta y a la

circunferencia como las únicas �guras geométricas perfectas y que ese sería,quizás, el motivo por el cual todas sus argumentaciones geométricas eranconsideradas (�losó�ca y estéticamente) perfectas si estaban realizadas consolamente dichas �guras básicas. En ello estaría el origen de las restriccionesimpuestas sobre el uso exclusivo de la regla (sin graduación) y el compás.Los griegos conocían que, en la medida que las restricciones se relajasen,ciertos problemas podrían ser resueltos. De todos modos la perfección estabacondicionada al uso de esos dos únicos útiles de dibujo.Utilizando solamente la regla y el compás pueden ser realizadas gran can-

tidad de construcciones geométricas. Por ejemplo, se puede trazar (construir)la mediatriz de un segmento dado o la bisectriz de un ángulo dado, y tam-bién la perpendicular o la paralela a una recta dada, que pasen por un puntodado. Estas construcciones son muy conocidas de los cursos elementales degeometría euclídea y no las detallaremos aquí.En lo que sigue, los términos construir o constructible serán sinónimos

de construir o constructible con regla y compás. También conviene precisaren qué términos debe ser establecido lo que se entiende por que una de-terminada �gura sea constructible a partir de los datos. Por ejemplo, en laconstructibilidad de la mediatriz de un segmento deberá ser considerado co-mo dato el propio segmento, o, lo que es equivalente, los dos puntos quelo determinan; en el problema de la bisectriz de un ángulo los datos estánconstituidos por éste último o, equivalentemente, por el vértice y dos puntos,uno sobre cada lado. Por ello un problema de constructibilidad será plantea-do como el estudio de la posibilidad de obtener una �gura geométrica (o unconjunto de puntos que la determinen de modo único) a partir de un conjuntode puntos conocido.Con estas ideas intuitivas podemos plantear una

FORMULACIÓN GEOMÉTRICASea P un conjunto de puntos del plano euclídeo R2: Se supondrá siempre

que #P� 2: Las únicas operaciones elementales permitidas en un problemade constructibilidad son de dos tipos:

Tipo I. Trazar la recta determinada por dos puntos de P:

Page 96: TEORwA DE GALOIS

92 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Tipo II. Trazar una circunferencia con centro en un punto de P y cuyoradio es la distancia entre algún par de puntos de P.

De�nición 3.3.1 Sea P� R2:A) Se dice que un punto A 2 R2 es constructible en un paso a partir de

P si A está contenido en la intersección de dos rectas, o de una recta y unacircunferencia, o de dos circunferencias, todas ellas obtenidas a partir de Pmediante operaciones elementales de los tipos I o II.B) Se dirá que un punto A 2 R2 es constructible a partir de P si existe

una sucesión �nita de puntos A1; A2; :::; An = A del plano R2 tales quei) A1 es constructible en un paso a partir de P:ii) Ai es constructible en un paso a partir de P[fA1; A2; :::; Ai�1g ; para

cada i = 2; :::; n:

FORMULACIÓN ALGEBRAICAProcedemos ahora a dar una formulación algebraica de la constructibili-

dad que será utilizada para dar respuesta a los tres problemas clásicos.Como ya se ha dicho, consideraremos que el conjunto de datos P está

constituido por al menos dos puntos, y que, tras una apropiada elección decoordenadas en R2; P�f(0; 0) ; (1; 0)g :Ya que son constructibles la paralela y la perpendicular a una recta dada

que pasan por un punto dado, es evidente que el punto (x; y) es constructiblea partir de P si, y sólo si, son constructibles a partir de P los puntos (0; y) y(x; 0):Sea A 2 R2 constructible a partir de P � R2 y sea A1;A2; :::; An = A una

sucesión de puntos del plano que determine la constructibilidad de A (de�ni-ción anterior). Para cada i = 1; 2; :::; n sea Ai = (xi; yi) y Ki = Ki�1(xi; yi);llamando K0 = Q (P) al cuerpo generado �nitamente sobre Q por las coor-denadas de todos los puntos de P:Resulta así una torre de cuerpos

Q � K0 = Q(P) � K1 = K0 (x1; y1) � K2 = K1 (x2; y2) � ::: � Kn =

= K0 (x1; x2; :::; xn; y1; y2; :::; yn) (�)

Teorema 3.3.2 Con las notaciones anteriores se tiene [Kn : K0] = 2r para

algún r � 0:

Page 97: TEORwA DE GALOIS

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS 93

La prueba del teorema 3.3.2 será consecuencia inmediata de la aplicacióndel teorema del grado (3.1.2) a la torre (�) y del siguiente

Lema 3.3.3 Con las notaciones anteriores, para cada i = 1; 2; :::; n se tiene

[Ki�1 (xi) : Ki�1] � 2 y [Ki�1 (yi) : Ki�1] � 2:

Demostración. (del lema)La demostración consistirá en probar que si Ai = (xi; yi) es constructible

en un paso a partir de P[fA1; A2; :::; Ai�1g ; entonces xi e yi son ceros de poli-nomios de grado � 2 con coe�cientes en Ki�1: Para ello deben ser estudiadastodas las posibilidades.Caso I. El punto Ai es la intersección de dos rectas diferentes r y r0,

determinadas ambas por pares de puntos de P[fA1; A2; :::; Ai�1g : Los co-e�cientes de las ecuaciones de ambas rectas son elementos de Ki�1 ya que,por ejemplo, si r es la recta determinada por los puntos (�1; �1), (�2; �2) 2P[fA1; A2; :::; Ai�1g ; entonces������

X Y 1�1 �1 1�2 �2 1

������ = 0es la ecuación de r:Ahora, si r � aX + bY + c = 0; y r0 � a0X + b0Y + c0 = 0; se tiene

xi =

���� �c b�c0 b0

�������� a ba0 b0

���� ; yi =���� a �ca0 �c0

�������� a ba0 b0

���� ;y por lo tanto xi; yi 2 Ki�1 en este caso (recuérdese que la oblicuidad de r yr0 proporciona ab0 � a0b 6= 0).Caso II. El punto Ai está en la intersección de una recta r � aX+bY +c =

0 como la del caso I (a; b; c 2 Ki�1); y una circunferencia de ecuación(X � �)2 + (Y � �)2 � �2 = 0 con (�; �) como centro, �2 = (�1 � �2)2 +(�1 � �2)

2 ; y donde (�; �) ; (�1; �1) ; (�2; �2) 2 P[fA1; A2; :::; Ai�1g ; conlo cual �; �; �1; �1; �2; �2 2 Ki�1: Las coordenadas xi; yi del punto Ai de-berán satisfacer simultáneamente ambas ecuaciones, y si b 6= 0 se tiene yi =�b�1c� b�1axi 2 Ki�1 (xi) ; con lo que (xi � �)2 + (�b�1c� b�1axi � �)2 �

Page 98: TEORwA DE GALOIS

94 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

�2 = 0; resultando así que xi es raíz de un polinomio de grado � 2 concoe�cientes en Ki�1. Se obtiene entonces [Ki�1 (xi) : Ki�1] � 2 y también[Ki�1 (yi) : Ki�1] � 2 pues Ki�1 (yi) � Ki�1 (xi) : Si b = 0 necesariamente setiene a 6= 0 y se puede proceder de modo más inmediato, pues en este casoxi = �a�1c 2 Ki�1; y entonces (�a�1c� �)2� (yi� �)2� �2 = 0 resultandoahora [Ki�1 (yi) : Ki�1] � 2.Caso III. El punto Ai está en la intersección de dos circunferencias de

ecuaciones fi (X; Y ) = 0; i = 1; 2; como la anterior. Este caso III se reduceal anterior observando que cada una de las circunferencias tiene la mismaintersección con la otra que con el eje radical r de ambas, que es de ecuaciónf1 (X; Y )� f2 (X; Y ) = 0; y cuyos coe�cientes están en Ki�1:Demostración. (del teorema)Basta con observar que

[Ki�1 (xi; yi) : Ki�1 (yi)] � [Ki�1 (xi) : Ki�1] � 2;

como consecuencia del lema 3.3.3, y que, por lo tanto,

[Ki�1 (xi; yi) : Ki�1] =

= [Ki�1 (xi; yi) : Ki�1 (yi)] : [Ki�1 (yi) : Ki�1]

es 1; 2 o 4:

A partir de ahora supondremos que P=f(0; 0) ; (1; 0)g : También a partirde ahora, constructible (respectivamente, constructibilidad) será sinónimo deconstructible a partir de P (respect. constructibilidad a partir de P).

De�nición 3.3.4 Se dirá que un número real � es constructible si es cons-tructible el punto (�; 0) 2 R2:

Teorema 3.3.5 El conjunto C de números reales constructibles es una ex-tensión algebraica de Q contenida en R y es cerrado para la extracción deraíces cuadradas de números constructibles positivos.

Demostración. Ya que nuestro conjunto de datos P está constituidopor los puntos (0; 0) y (1; 0) es inmediato obtener que todos los númerosenteros son constructibles. El número entero n es constructible ya que lo esel punto (n; 0) como se ve fácilmente utilizando el compás para yuxtaponersegmentos. Con el mismo método de obtiene que la suma y diferencia de

Page 99: TEORwA DE GALOIS

3.3. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS 95

números constructibles es constructible, y el teorema de Thales permite con-struir cualquier número racional. También el teorema de Thales permite laconstrucción del producto de números constructibles y el inverso de cualquiernúmero constructible no nulo. Por lo tanto C es una extensión de Q contenidaen R. Además, si a � 0 es constructible lo es también el número 1 + a; yson constructibles también la perpendicular r al eje de abscisas en el punto(1; 0) y la circunferencia C de radio 1+a

2cuyo centro es el pie de la media-

triz (i.e. el punto medio) del segmento [(0; 0) ; (1 + a; 0)] : El teorema de laaltura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo estableceentonces que, si B 2 r \ C la distancia entre B y (1; 0) es

pa: Por lo tantop

a es también constructible y así C es cerrado para la extracción de raícescuadradas de números constructibles positivos. Finalmente, si (x; 0) es con-structible, el Teorema 3.3.2 permite obtener un cuerpo F; extensión �nita(y por tanto algebraica) de K0 = Q, que contiene al elemento x que será,entonces, algebraico sobre Q.

Teorema 3.3.6 (Teorema fundamental sobre constructibilidad)Sea P= f(0; 0) ; (1; 0)g � R2: Un número real � es constructible a partir

de P si, y solamente si, existe una torre

Q =K0 � K1 � ::: � Km

de subcuerpos de R tales que � 2 Km y [Ki : Ki�1] � 2 para i = 1; 2; :::;m: Enparticular, si � es un número real constructible [Q (�) : Q] es una potenciade 2:

Demostración. Si � 2 R es constructible teniendo en cuenta que aho-ra Q (P) = K0 es el cuerpo Q al ser P= f(0; 0) ; (1; 0)g ; la aplicación dellema 3.3.3 al punto constructible A = (�; 0) proporciona la torre de cuerposanunciada, ya que, con las notaciones de la prueba de dicho lema, � 2 Km:El recíproco será obtenido por inducción en m.Para m = 0 se tiene � 2 Q por hipótesis, y todo número racional es

constructible (3.3.5).Sea m > 0 y supongamos que son constructibles los elementos de Km�1.

Sea � 2 Km del que se puede suponer � =2 Km�1: Entonces, necesariamente,se tiene Km = Km�1 (�) e Irr(�;Km�1) = X2 + bX + c; en donde b; c sonconstructibles por ser elementos de Km�1. Como � = b2 � 4c 2 Km�1 esconstructible, lo es también � = �b�

pb2�4c2

; en virtud del teorema 3.3.5.

Page 100: TEORwA DE GALOIS

96 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

La última a�rmación es consecuencia de que Q (�) � Km y, por lo tanto,[Q (�) : Q] divide a [Km : Q] que es una potencia de 2:

DUPLICACIÓN DEL CUBO.Existe un mito según el cual, con ocasión de una plaga en Atenas, los

atenienses recurrieron al Oráculo de Delos quien, a través de la Pitonisa, lescomunicó que la solución de sus problemas pasaba por duplicar el tamañodel altar del templo de Apolo en aquella isla, el cual estaba formado porun roca tallada en forma cúbica ("Los males presentes de los delios y de losdemás helenos terminarán cuando dupliquen el altar de Delos.�(Plutarco)).Pusieron manos a la obra aquellas buenas gentes y construyeron un nuevoaltar cúbico, del mismo material, cuya arista era de longitud doble de la delantiguo. Como la plaga persistía, indignados, reclamaron al Oráculo el cualles dijo, a través de la habitual intermediaria, que no habían interpretadobien sus instrucciones, ya que aquellas consistían en construir un altar de lamisma forma y con volumen doble del existente.

Teorema 3.3.7 La duplicación del cubo es imposible utilizando solamentela regla y el compás.

Demostración. Si (0; 0) y (1; 0) son extremos de una arista del cuboinicial, se trata de construir otro cubo cuya arista tenga por extremos (0; 0)y (b; 0) tal que b3 = 2 o, lo que es equivalente, que b = 3

p2: Ahora bien�

Q�3p2�: Q�= 3 ya que Irr( 3

p2;Q) =X3 � 2, y así, por el teorema fun-

damental sobre constructibilidad, 3p2 no es constructible pues 3 no es una

potencia de 2.

CUADRATURA DEL CÍRCULO

Teorema 3.3.8 (Lindemann) La cuadratura del círculo es imposible, es de-cir, es imposible construir con regla y compás un cuadrado cuya área sea iguala la de un círculo dado.

Demostración. Si el círculo es de radio 1 (lo cual se puede suponer conun sistema de coordenadas apropiado), el lado l del cuadrado solución serátal que l2 = �: Entonces, si l fuese constructible lo sería �; que, en virtud delteorema 3.3.6, debería ser algebraico sobre Q (6.2.4).TRISECCIÓN DEL ÁNGULO

Page 101: TEORwA DE GALOIS

3.4. EJERCICIOS 97

Teorema 3.3.9 La trisección del ángulo no es posible en general. Es decir,existen ángulos que no son trisecables con regla y compás.

Demostración. La prueba consistirá en demostrar que el ángulo �3no

es trisecable o, lo que es equivalente, que el ángulo �9no es constructible.

Ahora bien, un ángulo � es constructible si, y solamente si, es constructibleel número real cos � (y por lo tanto si, y sólo si, sen� =

p1� cos2 � es

constructible). Obsérvese que, como cos 3� = 4: cos3 �� 3 cos �; si � = �9y se

pone � = 2 cos �9; entonces la anterior expresión del coseno del ángulo triple

se transforma en �3�3��1 = 0: Si el ángulo � = �9es constructible también

lo será el número real �; pero como Irr(�;Q) =X3 � 3X � 1 (pues estepolinomio no tiene raíces racionales) resulta [Q (�) : Q] = 3; lo que estableceuna contradicción con el teorema fundamental sobre constructibilidad , yaque 3 no es potencia de 2 (3.3.6).Por lo tanto, las recetas proporcionadas en todos los cursos de dibujo téc-

nico para dibujar un polígono regular de dieciocho lados solamente permitenla obtención aproximada de dicho polígono.

3.4. Ejercicios

1.- Sea F : K una extensión de cuerpos tal que [F : K] es primo. Pruébeseque F : K es una extensión simple.

2.- Sea A = fp7; 2+

p3; e+3; 5

p7; i+3;

p�1 +

p2; cos

�2�5

�+ isen

�2�5

�g

Determínese el polinomio irreducible sobre Q de los elementos de A queson algebraicos sobre Q.

3.- Sea E : K una extensión de cuerpos y sean �1; �2; :::; �n elementos deE:a) Demuéstrese que para 2 � i � n;

K [�1; �2; :::; �n] = K [�1; �2; :::; �i�1] [�i; �i+1; :::; �n]

y que

K (�1; �2; :::; �n) = K (�1; �2; :::; �i�1) (�i; �i+1; :::; �n) :

b) Demuéstrese que si �1; �2; :::; �n son algebraicos sobre K entonces

K [�1; �2; :::; �n] = K (�1; �2; :::; �n) :

Page 102: TEORwA DE GALOIS

98 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

4.- a) Demuéstrese que Q(i;p2) = Q(i+

p2) y que [Q(i;

p2) : Q] = 4.

b) Calcúlese el polinomio mínimo de i+p2 sobre cada uno de los cuerpos:

i) Q(i), ii) Q(p2), iii) Q(i

p2).

5.- Pruébese que�Q�p3 + 4i+

p3� 4i

�: Q�= 1 y que�

Q�q

1 +p3 +

q1�p3

�: Q�6= 1:

6.- Sea F : K una extensión de cuerpos y � 2 F un elemento algebraicosobre K tal que Irr(�;K) tiene grado impar. Pruébese que �2 es algebraicosobre K y que K(�) = K(�2).

7.-a)Determínese el grado de la extensión Q(�) : Q en los siguientes casos:i)� = 2 +

p3; ii) � = 1 + 3

p2 + 3p4:

b) Calcúlese el polinomio mínimo de 3p2 + 3p4 sobre Q:

8.- Sea F = Q(�1; :::; �n) con �2i 2 Q ,8i = 1; :::; n. Pruébese que3p2 =2 F .

9.- Hállese el grado de la extensión Q(p2;p5; i) : Q.

10.- Sea F : K una extensión �nita y f 2 K[X] un polinomio irreduciblesobre K con grad(f) > 1. Demuéstrese que si m:c:d: (@(f); [F : K]) = 1,entonces f no tiene ceros en F .

11.- Sea F = K (�; �), siendo � y � elementos algebraicos sobre Kde grados n y m, respectivamente. Si m y n son coprimos, pruébese que[K (�; �) : K] = n:m y que Irr(�;K) es irreducible sobre K (�). ¿Cuál es elgrado de la extensión K (a) \K (�) : K?

12.- Sean E : K y F : K extensiones �nitas de grados n y m respectiva-mente, ambos E y F subcuerpos de un cuerpo : Demuéstrese que si n y mson primos entre si entonces [EF : K] = nm:

13.-a) Pruébese: i)p3 =2 Q

�p2�; ii)

�Q(p2;p3) : Q

�= 4; iii)Q

�p2;p3�=

Q�p3�p2�:

b) Calcúlese el polinomio irreducible dep3�p2 sobre Q

�p3�.

c) Sea � = 5p2. Calcúlese Irr(�;Q

�p2;p3�):

14.- a) Determínese una base de Q�p2; 3p2�como Q-espacio.

Page 103: TEORwA DE GALOIS

3.4. EJERCICIOS 99

b) Dedúzcase que 6p2 2 Q

�p2; 3p2�y que Q

�p2; 3p2�es una extensión

simple de Q.c) Demuéstrese que Irr

�p2 + 3p2;Q

�= X6�6X4�4X3+12X2�24X�4:

15.- Sea � una raíz de X3 + 2X + 2 2 Q[X].a) Exprésense los elementos 1

�, 1�2+�+1

y u = �6 + 2�4 + 2�3 + 6� comoQ-combinación lineal de una Q -base de Q (�) :b) Determínese Irr (u;Q) e Irr(1=�;Q):

16.- Sea F : K y f 2 K [X] mónico e irreducible de grado 3. Supongamosque �; �; 2 F son tres ceros distintos de f . Pruébese que:a) [K(�) : K] = 3.b) � es raíz de un polinomio de grado 2 con coe�cientes en K(�).c) K (�; �; ) = K (�; �).d) La extensión K (�; �; ) : K es de grado 3 o de grado 6.

17.- Sea F = Q�p

1 +p3�

a) Calcúlense los polinomios irreducibles de � =p1 +p3 sobre Q y

sobre Q�p3�:

b) Calcúlese [F : Q].

18.- Sea E : K y �; � 2 E elementos algebraicos sobre K.a) Demuéstrese que @ (Irr(�;K)) = @ (Irr(a�1; K)) :b) Si [K(�) : K] = 3 y [K(�) : K] = 8, demuéstrese que Irr(�;K) =

Irr(a;K(�)):

19.- Sea f (X) = X6� 2 2 Q[X] y sea � un cero de f (X) en C. Expresar��1 como combinación lineal de una Q-base de Q (�) y calcular Irr(��1;Q).

20.- a) Sabiendo que 1+i es un cero del polinomio f (X) = X4�X3+X2+2, descompóngase f(X) en producto de irreducibles en Q [X] y en C [X] :b) Demuéstrese que f

p2; 3p2; 5p2g es un conjunto linealmente independi-

ente sobre Q.

21.- Sea f(X) = 2X3 + 10X + 4.a) Justifíquese en cuál de los anillos Z[X];Q[X];R[X];C[X] y Q( 5

p2)[X]

el polinomio f es irreducible.b) Sea � 2 C un cero de f . Calcúlese Irr(1 + �;Q) e Irr(a�1;Q):22.- a) Sea f(X) = X4 � 2X3 + 5X2 � 4X + 6 2 Q[X]. Sabiendo que

f(ip2) = 0, calcúlese la descomposición de f(X) en producto de irreducibles

en cada uno de los siguientes anillos: Z[X];R[X] y Q(p3)[X]:

Page 104: TEORwA DE GALOIS

100 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

b) Justifíquese si i 2 Q[�] en los siguientes casos:b.l) � =

p�2

b.2) � 2 C y �3 + �+ 1 = 0:

23.- Sea � 2 C un cero del polinomio X3 +X + 1 2 Q[:X]:a) Pruébese que Q(�) = Q(�2) $ Q(�

p2).

b) Utilizando el apartado anterior pruébese que Irr(�p2;Q) = X6 +

4X4 + 4X2 � 8:24.- a) Sean F : K una extensión �nita y E : K una extensión arbitraria

tales que E y F son subcuerpos de un mismo cuerpo : Demuéstrese queEF : E es también extensión �nita.b) Con las mismas condiciones de a), demuéstrese que si además E : K

es �nita también lo es la extensión EF : K:c) Pruébese que lo enunciado en a) permanece válido si se sustituye la

condición .extensión �nita"por .extensión algebraica"d) Análogamente, pruébese que si en b) se sustituye la condición .extensión

�nita"por .extensión algebraica.el enunciado resultante también es válido.

25.-Sea F : K una extensión de cuerpos y u; v 2 F: Demuéstrese que sonequivalentes las a�rmaciones

i) u es trascendente sobre K y v es trascendente sobre K(u)ii)El conjunto fu; vg es trascendente sobre K, es decir, si f 2 K [X; Y ] ;

la condición f(u; v) = 0 solo es posible si f = 0:

26.-Sea F : K una extensión de cuerpos y fu1; u2; :::; utg � F un conjuntotrascendente sobre K (es decir, que, para f 2 K [X1; :::; Xt] ; la condiciónf(u1; :::; ut) = 0 solo es posible si f = 0): Demuéstrese que, en este caso,K(u1; u2; :::; ut) es el cuerpo de funciones racionales en t variables sobre K,es decir, el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios en t variables.

27.- Sea F = K(u1; u2; :::; un) una extensión no algebraica �nitamentegenerada del cuerpo K. Demuéstrese que existe un entero t 2 f1; 2; :::; ngtal que fu1; u2; :::; utg es trascendente sobre K y tal que la extensión F :K(u1; u2; :::; ut) es �nita.

28.- Sea A un anillo conmutativo no �nito.a) Demuéstrese que #A = #A [X]b) Conclúyase que si fMtgt2N es una familia de A-módulos libres de rango

1; entonces #(�t2NMt) = #A:c) El mismo resultado se tiene si la familia fMtgt2N está constituida por

A�módulos libres de rango �nito.

Page 105: TEORwA DE GALOIS

3.4. EJERCICIOS 101

d) Si A es dominio de integridad, demuéstrese que #A = #K siendo Kel cuerpo de fracciones de A:

29.- Sea K un cuerpo in�nito. Demuéstrese que si F es una extensiónalgebraica deK, entonces#F = #K: Como consecuencia de lo establecido enel ejercicio anterior, demuéstrese que no existe un conjunto �nito de númerosreales u1; u2; :::; un tal que la extensión R : Q (u1; u2; :::; un) sea algebraica. Enparticular, para cada número natural n > 0 existe un conjunto ft1; :::; tng � Rque es trascendente sobre Q:

Page 106: TEORwA DE GALOIS

102 CAPÍTULO 3. EXTENSIONES DE CUERPOS

Page 107: TEORwA DE GALOIS

Capítulo 4

EXTENSIONESSEPARABLES YNORMALES. CLAUSURAALGEBRAICA.

4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES

Recuérdese que si f : A ! B es un homomor�smo de anillos, entoncesker(f) es un ideal de A; y que f es inyectivo si, y sólo si, ker(f) = 0: Nuestroshomomor�smos son todos propios, es decir tales que f(1A) = 1B; por lo tanto,si B no es el anillo nulo (i:e: si 1B 6= 0) y si A es un cuerpo, el homomor�smo fes cesariamente inyectivo pues, por lo ya dicho, ker(f) 6= A al ser 1 =2 ker(f);ya que en un cuerpo solamente existen dos ideales, el ideal 0 y el propiocuerpo.Los homomor�smos de cuerpos serán denominados aquí encajes, e iso-

mor�smos si son biyectivos

De�nición 4.1.1 Sean F : K y E : L extensiones de cuerpos y � : K ! Lun encaje. Un encaje � : F ! E se dirá que extiende a � si �=K = �; esdecir, si es conmutativo el diagrama

103

Page 108: TEORwA DE GALOIS

104 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

F�! E

" "

K�! L

en el que las �echas verticales indican las inclusiones. También se dirá que �es un encaje sobre �: Si K = L y � = idK se dirá que � es un encaje sobre K;y si además F = E y � es isomor�smo se dirá que � es un K-automor�smode F .

OBSERVACIONES4.1) Nótese que si � es un encaje sobre �, x1; :::; xn son elementos de F;

y k1; :::kn 2 K; entonces

� (k1x1 + :::+ knxn) = � (k1) � (x1) + :::+ � (kn) � (xn)

(es decir � es además �-semilineal). Nótese también que en el caso de que� es un encaje sobre K la anterior igualdad se simpli�ca un poco y aparececomo

� (k1x1 + :::+ knxn) = k1� (x1) + :::+ kn� (xn) ;

es decir � es además una aplicación lineal entre los K- espacios F y E:4.2) Por la propiedad universal del anillo de polinomios (2.3.1), si � : K !

L es un encaje, existe un único homomor�smo de anillos � : K [X]! L [X]tal que � (a) = � (a) para todo a 2 K; y tal que � (X) = X: Entonces, paraf(X) =

Pn0 aiX

i se tiene f�(X) := �(f(X)) =Pn

0 �(ai)Xi: El homomor�s-

mo � es también inyectivo, pues �(f(X)) =Pn

0 �(ai)Xi = 0() � (ai) = 0

para i = 0; 1; :::; n() ai = 0 para i = 0; 1; :::; n; por ser � inyectivo, y porlo tanto f(X) =

Pn0 aiX

i = 0:Nótese que

f(X) 2 K [X] es mónico() f� (X) 2 L [X] es mónico,

y que @ (f (X)) = @ (f� (X)). Además si � es isomor�smo lo es también �;y, ya que, en este caso, �(f(X)) = (f�(X)); se tiene

f(X) 2 K [X] es irreducible en K [X]

() f� (X) 2 L [X] es irreducible en L [X]

Page 109: TEORwA DE GALOIS

4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES 105

4.3) Sean � : K ! L isomor�smo y � : F ! L isomor�smo sobre �.Entonces,4.3.A) F : K es �nita () E : L es �nita.Ello es consecuencia de que � es isomor�smo �-semilineal y por tanto

dimK F = dimLE:4.3.B) Si f 2 K [X] y u 2 F; entonces

u es un cero de f () � (u) es un cero de f�

Para f(X) =Pn

0 aiXi 2 K [X] ; por ser � es isomor�smo se tiene:

u 2 F es un cero de f () f(u) =Pn

0 aiui = 0 () 0 = � (f(u)) =Pn

0 � (ai) � (u)i = f� (� (u)) () � (u) es un cero de f�:

4.3.C) Como consecuencia de las observaciones 4.2, 4.3.A) y 4.3.B) setiene, para u 2 F;

u es algebraico sobre K, y f = Irr(u;K)()

� (u) es algebraico sobre L, y f� = Irr(� (u) ; L)

De todo lo anterior resulta:

Proposición 4.1.2 Si F : K y � : F ! F es un K-automor�smo de F;entonces:

i) Si u 2 F es un cero de f 2 K [X] ; también lo es � (u) :ii) Si u 2 F es algebraico sobre K; también lo es � (u) y además

Irr(� (u) ; K) = Irr(u;K)

Demostración. Basta �jar E = F y K = L en las observaciones 4.3.A)y 4.3.B), con � = idK :

Teorema 4.1.3 (Teorema de extensión de encajes para extensiones sim-ples)Sean, como antes, F : K y E : L extensiones y � : K ! L un iso-mor�smo. Sean � 2 F algebraico sobre K y � 2 E algebraico sobre L. Sonequivalentes las a�rmaciones siguientes:

i) Existe un encaje � : K(�)! L(�) sobre � tal que � (�) = �:ii) Irr(�; L) = Irr� (�;K) :Además, si tal � : K(�)! L(�) existe, es un isomor�smo (sobre �).

Page 110: TEORwA DE GALOIS

106 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. \ii) =) i)"

Si � : K [X] �! L [X] es el isomor�smo inducido por � : K �! L envirtud de la propiedad universal del anillo de polinomios, se tiene el diagramaconmutativo de homomor�smos de anillos

Page 111: TEORwA DE GALOIS

4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES 107

K [X]��! L [X]

" "

K��! L;

en el que las �echas verticales son las inclusiones naturales y � (X) = X(observación 4.2):El isomor�smo � es tal que �(Irr(�;K)) = Irr�(�;K) = Irr(�; L); por

la hipótesis. Por lo tanto

�(Ker('�)) = �(Irr(�;K)) = (�(Irr(�;K)) = (Irr(�; L)) = Ker('�):

Entonces existe un isomor�smo � : K [�] �! L [�] tal que es conmutativoel diagrama

Ker('�) ,! K [X]'�! K [�]

# # � # �

Ker�'��,! L [X]

'��! L [�] ;

en el cual las �echas horizontales de la izquierda son la inclusiones, y �(f(�)) =f�(�), cualquiera que sea f(X) 2 K [X]. En particular, �(X(�)) = �(�) =X(�) = �:Entonces se tiene el diagrama conmutativo

K ! K [X]'�! K [�]

# # � # �

L ! L [X]'�! L [�]

en el que las composiciones de los mor�smos horizontales son, respectiva-mente, las inclusiones K ,! K [�] (la superior) y L ,! L [�] (la inferior).Como K [�] = K (�) y L [�] = L (�) (teorema 3.2.2 apartado ii)) se tiene laa�rmación i).\i) =) ii)"Es la observación 4.3.C) para u = �:

Existe una prueba alternativa de ii) =) i) usando que

[K (�) : K] = @(Irr(�;K) = @(Irr(�; L) = [L (�) : L] = n;

Page 112: TEORwA DE GALOIS

108 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

y que, si � : K �! L es un isomor�smo, existe un único isomor�smo �-semilineal � : K (�) �! L (�) tal que � (�i) = �i para i = 0; 1; 2; :::; n � 1;es decir que transforma la K-base f1; �; �2; :::; �n�1g de K (�) en la L-base�1; �; �2; :::; �n�1

de L (�) : Por tanto, si x 2 K (�) es de la forma x =Pn�1

i=0 ai�i = h(�); con h =

Pn�1i=0 aiX

i entonces,

� (x) = � (h(�)) = �

n�1Xi=0

ai�i

!=

n�1Xi=0

� (ai) �i = h�(�)

La prueba �nalizará demostrando que además � es homomor�smo de anillos.Si f = Irr(�;K); sean x; y 2 K (�) y h; g 2 K [X] tales que @(h), @(g)� n� 1 con x = h(�) e y = g(�): Si h:g = kf + l con @(l) < @(f) (algoritmode Euclides en K [X]), se tiene (hg � l) (�) = 0; es decir hg � l 2 (f) yl (�) = h (�) g (�) = x:y: Por hipótesis f� = Irr(�; L); y (hg � l)� = h�g� �l� 2 (f�) (ya que � : K [X] ! L [X] es homomor�smo de anillos). Portanto (hg � l)� (�) = (h�g� � l�) (�) = h� (�)g�(�)� l�(�) = 0; es decir�(xy) = � (l (�)) = l� (�) = h� (�)g�(�) = � (x) � (y) :EjemploSea � = 1

2+ i

p322 C: El grupo cíclico f�; �2; �3 = �1; �4; �5; �6 = 1g

(subgrupo de C�) está constituido por las raíces sextas de 1, y Irr(�;Q) =X2�X +1: Los posibles automor�smos � : Q(�)! Q(�) sobre Q deben sertales que si � = � (�) entonces Irr(�;Q) = X2 �X + 1: Es decir, los únicosaotomor�smos de Q(�) sobre Q son: la identidad de Q(�), y � : Q(�)!Q(�) con � (�) = �5 = 1

2� i

p32= ��1:

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN

Uno de los objetivos de este capítulo es probar que todo cuerpo K poseeuna extensión algebraica K tal que todo polinomio no constante f 2 K [X]escinde en factores lineales en K [X] : Este objetivo se logrará de forma pau-latina demostrando, en primer lugar, que dado un polinomio no constantef 2 K [X] ; existe una extensión �nita F : K tal que f escinde en factoreslineales en F [X]. A esto se dedicará la presente sección que se inicia proban-do que para un tal f 2 K [X] existe una extensión simple K (�) : K tal quef (�) = 0: En la sección siguiente se procederá a la prueba de la existenciade K:Para nuestras argumentaciones necesitaremos un lema de carácter técnico

y algunas observaciones importantes.

Page 113: TEORwA DE GALOIS

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN 109

Lema 4.2.1 Sea � : K ! F 0 un encaje de cuerpos. Entonces existe unaextensión F : K y un isomor�smo � : F ! F 0 que extiende a � (� es unencaje sobre �):

Demostración. � (K) es un subcuerpo de F 0: Se considera la unión dis-junta conjuntista F := K

F[F 0�� (K)] y se de�ne la aplicación � : F ! F 0

mediante

� (a) := a si a 2 F 0�� (K) y � (a) = � (a) si a 2 K:

La comprobación de que � es biyectiva es inmediata y es un ejercicio para ellector. También es obvio que �=K = �: De�niendo, para a; b 2 F :

a4b := ��1 [� (a) + � (b)] ,

ya � b := ��1 [� (a) :� (b)]

se tiene � (a4b) := � (a) + � (b) y � (a � b) := � (a) :� (b) con lo cual, si(F;4; �) es un cuerpo, la aplicación � es un isomor�smo sobre �: En esecaso, además, para x; y 2 K resultará que

x4y := ��1 [� (x) + � (y)] = ��1 [� (x) + � (y)] = ��1 [� (x+ y)] = x+ y;

y análogamente x � y = x:y: Entonces si F es un cuerpo, sus operacionesson compatibles con las de K, es decir F es una extensión de K: Por lotanto el lema quedará probado si se demuestra que con las operaciones 4; �el conjunto F es cuerpo. Ahora, por ejemplo para la operación 4 se tieneasegurada la asociatividad en virtud de las igualdades

a4(b4c) = a4��1 (� (b) + � (c)) =

= ��1�� (a) + �

���1 [� (b) + � (c)]

��=

= ��1 [� (a) + (� (b) + � (c))] = ��1 [(� (a) + � (b)) + � (c)] =

= (a4b)4c;

que son consecuencia de la de�nición de la operación 4 aplicada varias vecesy de la asociatividad de + en F 0: De forma análoga se prueba la asociatividadde �; y que (F;4) y (F� f0g ; �) son grupos abelianos. La distributividadde � respecto 4 se establece mediante las igualdades

a � (b4c) = ��1 [� (a) :� (b4c)] == ��1 [� (a) : [� (b) + � (c)]] = ��1 [� (a) :� (b) + � (a) :� (c)] =

= ��1 [� (a � b) + � (a � c)] = (a � b)4 (a � c)

Page 114: TEORwA DE GALOIS

110 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

que resultan de las de�niciones de las nuevas operaciones y de la distribu-tividad en F 0:

Page 115: TEORwA DE GALOIS

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN 111

OBSERVACIONES4.4) Nótese que, bajo las hipótesis del lema anterior, si a0; a1; :::; an 2 K

y para � 2 F se pone � (�) = �0 2 F 0; se tiene

� (an) : (�0)n+ � (an�1) : (�

0)n�1

+ :::+ � (a1) :�0 + � (a0) = 0()

��1�� (an) : (�

0)n+ � (an�1) : (�

0)n�1

+ :::+ � (a1) :�0 + � (a0)

�=

= an:�n + an�1:�

n�1 + :::+ a1:�+ a0 = 0;

Lo anterior es inmediata consecuencia de que tanto � como ��1 son isomor-�smos de cuerpos y de que � jK= � (y también de que ��1 j�(K)= ��1).4.5) Nótese que la observación 4.4 establece implícitamente que si � :

K ! F 0 es un encaje tal que para el polinomio f(X) = anXn + an�1X

n�1 +::: + a1X + a0 2 K [X] existe un �0 2 F 0 con f� (�0) = � (an) (�

0)n +� (an�1) (�

0)n�1 + ::: + � (a1)�0 + � (a0) = 0; entonces existe un � 2 F con

f(�) = an�n+an�1�

n�1+:::+a1�+a0 = 0: Es decir, si se puede encontrar unencaje (como nuestro �) de K en otro cuerpo (como nuestro F 0) en el cualun polinomio f� 2 � (K) [X] tiene un cero (en nuestro caso �0), se habráencontrado una extensión F de K en la cual el polinomio f 2 K [X] tieneun cero (el elemento � = ��1 (�0)):

Proposición 4.2.2 Si f es un polinomio irreducible en K [X] ; existe unaextensión simple K (�) : K con f (�) = 0; y entonces [K (�) : K] = @(f):

Demostración. Recuérdese que en un dominio de ideales principales unelemento es irreducible si, y sólo si, genera un ideal maximal (2.2.10). Nuestro(f) es un ideal maximal de K [X] y por lo tanto F 0 := K [X] =(f) es uncuerpo. Si � : K [X] ! K [X] =(f) es el homomor�smo de anillos canónico,se considera la composición � de los homomor�smos

K ,! K [X]�! K [X] =(f) = F 0

a a a+ (f) = a = � (a)

Se obtiene así un encaje � : K ! F 0 y, poniendo �0 := � (X) ; la sobreyectivi-dad de � proporciona F 0 = � (K) (�0): Ahora, si f(X) = Xn + an�1X

n�1 +

Page 116: TEORwA DE GALOIS

112 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

::: + a1X + a0 (se puede suponer que f es mónico, pues f y cf tienen losmismo ceros cualquiera que sea c 2 K�)), de la de�nición de � resulta que

0 = �(f(X)) = �(Xn + an�1Xn�1 + :::+ a1X + a0) =

= � (X)n + � (an�1) :� (X)n�1 + :::+ � (a1) :� (X) + � (a0) =

= (�0)n+ � (an�1) : (�

0)n�1

+ :::+ � (a1) :�0 + � (a0) ;

es decir, f� (�0) = 0: La aplicación del lema 4.2.1 y de la observación 4.5proporciona una extensión F : K y un isomor�smo � : F ! F 0 sobre � de talmodo que f (�) = 0; en donde � 2 F es tal que � (�) = �0: Del isomor�smo��1 : F 0 ! F se obtiene además que F = K (�) : Ahora, como ya se sabe,[K (�) : K] = @(Irr(�;K)) = @(f); ya que, por hipótesis, f es irreducible enK [X].

Se puede enunciar ahora el

Teorema 4.2.3 (Teorema de Kronecker)Si K es un cuerpo y g 2 K [X],con @(g) � 1; existe una extensión F de K con [F : K] � @(g); en la que gtiene un cero.

Demostración. Es consecuencia casi inmediata de la proposición an-terior. Sea f un factor irreducible de g en K [X] (K [X] es un D.F.U), esdecir g = f:h; donde h 2 K [X] es el producto los restantes factores irre-ducibles de dicha factorización). Aplicando la proposición anterior al poli-nomio f se obtiene un cuerpo F; extensión de K; y un elemento � 2 Ftal que F = K (�), con f(�) = 0. Como f es irreducible en K [X] se tiene[K (�) : K] = @(Irr(�); K) = @(f) � @(g) y además g (�) = f (�) :h (�) = 0:

De�nición 4.2.4 Sea K un cuerpo, f 2 K [X] con @(f) = n � 1 y E unaextensión de K:1.- Se dirá que f escinde (en factores lineales) en E si existen �1; �2; :::�n 2

E, no necesariamente distintos, tales que

f = c(X � �1) (X � �2) ::: (X � �n)

en donde, obviamente, c es el coe�ciente principal de f: Dicho de otro modo,los únicos factores irreducibles de f; como elemento del dominio de factor-ización única E [X] ; son lineales.

Page 117: TEORwA DE GALOIS

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN 113

2.- Se dirá que E es un cuerpo de escisión de f sobre K si además setiene

E = K(�1; �2; :::; �n):

OBSERVACIONES4.6) Aunque para un mismo polinomio f 2 K [X] se encuentren diferentes

cuerpos de escisión probaremos que todos ellos son isomorfos sobre K:4.7) Nótese que si el polinomio f 2 K [X] escinde en la extensión E de

K (como en 1 de (4.2.4)) entonces el cuerpo E 0 = K(�1; �2; :::; �n) � E esun cuerpo de escisión de f sobre K:4.8) Nótese también que si f escinde en la extensión E de K, entonces

los elementos �1; �2; :::�n 2 E son los únicos ceros que el polinomio f tieneen cualquier extensión F de E: En efecto, si F : E es una tal extensión y� 2 F es un cero de f 2 K [X] � E [X] � F [X] ; resulta 0 = f (�) =c (� � �1) (� � �2) ::: (� � �n) ; y por tanto alguno de las factores (� � �i)debe ser nulo o, equivalentemente, � = �i para algún i:4.9) Obviamente, si el polinomio f 2 K [X] es lineal, entonces f escinde

en K; y K es cuerpo de escisión de f sobre K; pues para f = cX + b bastatomar � = � b

c2 K para obtener f = c(X � �). Además K = K (�) ya que

� 2 K:4.10) Si E es un cuerpo de escisión sobre K del polinomio f 2 K [X] ; y

si K � F � E; entonces E es también un cuerpo de escisión de f sobre F;pues las condiciones de la de�nición anterior se cumplen para F en lugar deK; con los mismos �1; �2; :::�n 2 E.4.11) Finalmente, la condición 2 de la De�nición 4.2.4 es obviamente

equivalente a :2�- f escinde en E y no existe ningún cuerpo intermedio F entre E y K

tal que f escinda en F:

Ejemplos1.- Para f = X2 + 1 2 R [X], que es irreducible en R [X] (y tam-

bién enQ [X]); un cuerpo de escisión de f sobre R es el cuerpo C = R(i)de los números complejos, pues i2 = �1 proporciona la factorización f =(X � i) (X + i) :2.- También Q (i) es cuerpo de escisión de f = X2 + 1 2 Q [X] sobre Q.3.- Si f = X2 � 5 2 Q [X] ; Q(

p5) es cuerpo de escisión de f sobre Q:

El siguiente teorema establece la existencia de cuerpos de escisión.

Page 118: TEORwA DE GALOIS

114 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Teorema 4.2.5 Sea K un cuerpo y f 2 K [X] con @(f) = n � 1: Existe unaextensión E : K tal que E es cuerpo de escisión de f sobre K y [E : K] � n!

Demostración. La prueba se hará por inducción en n:Para n = 1 es trivial, ya que se puede tomar E = K:Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es cierto para cualquier

polinomio de grado menor que n con coe�cientes en cualquier cuerpo. Por elteorema de Kronecker, existe una extensión K (�1) : K tal que f(�1) = 0 y[K (�1) : K] � n: Ahora, X � �1 divide a f en K (�1) [X] ; es decir, existeh 2 K (�1) [X] tal f = (X��1)h: El grado de h es n�1 < n; y, por hipótesisde inducción, existe E � K (�1) que es cuerpo de escisión de h sobre K (�1)y además [E : K (�1)] � (n� 1)! Se tiene E = K (�1) (�2; :::; �n); siendoh = c(X � �2):::(X � �n); donde c =coe�ciente principal de h = coe�cienteprincipal de f;Ahora f = c(X��1)(X��2):::(X��n); E = K(�1; �2; :::; �n);y el teorema del grado proporciona [E : K] = [E : K (�1)] : [K (�1) : K] �(n� 1)!n = n!

Estableceremos ahora la ünicidad" del cuerpo de escisión de un polinomiosobre un cuerpo que contenga a sus coe�cientes.

Teorema 4.2.6 (Teorema de extensión de encajes para cuerpos de escisión)Sea � : K ! L un isomor�smo de cuerpos y f 2 K [X] con @(f) � 1: SeaF un cuerpo de escisión de f sobre K y sea E un cuerpo de escisión def� 2 L [X] sobre L. Entonces existe un isomor�smo � : F ! E sobre �:

Demostración. Se probará también por inducción en m = [F : K] :Si m = 1 (() F = K) entonces f escinde en K; y si

f = c(X � �1) (X � �2) ::: (X � �n)

con �1; �2; :::�n 2 K; entonces

f� = � (c) (X � � (�1)) (X � � (�2)) ::: (X � � (�n))

con lo cual f� escinde en L y por tanto, necesariamente, L = E y el isomor-�smo � es el � anunciado.Supongamos m > 1: Entonces f no escinde en K y, por lo tanto, en la

factorización de f en K [X]

f = cf1f2:::fr

Page 119: TEORwA DE GALOIS

4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN 115

con cada fi mónico e irreducible, algún fi tiene grado > 1 (en otro casose tendría fi = X � �i con �i 2 K; para cada i = 1; 2; :::; r y entoncesf escindiría en K): Supongamos que tal fi es el polinomio f1: Como, porhipótesis, f escinde en F; cada fi también, ya que el conjunto de los ceros def en F es la unión de los conjuntos de ceros de cada uno de los fi en dichocuerpo (consecuencia de la unicidad de la factorización de f en irreduciblesen F [X] en la cual son todos de la forma (X � �) con � 2 F al ser Fcuerpo de escisión de f sobre K). Sea � 2 F un cero de f1 y, por lo tanto,también de f . Así f1 = Irr(�;K) con [K (�) : K] = @(f1) > 1: Entoncesf� = � (c) f�1 :::f

�r con f�1 mónico e irreducible en L [X] ; que escinde en

E, ya que f� escinde en E por hipótesis. Ahora si � 2 E es un cero def�1 se tiene f

�1 = Irr(�; L); y por el teorema de extensión de encajes para

extensiones simples, existe un isomor�smo e� : K (�)! L (�) sobre � tal quee� (�) = �: Además F es cuerpo de escisión de f sobre K (�) y E lo es def e� sobre L (�). Por el teorema del grado se tiene [F : K (�)] < [F : K] = mal ser [F : K] = [F : K (�)] : [K (�) : K] y [K (�) : K] = @(f1) > 1; comoya se ha dicho. Es ahora cuando interviene la hipótesis de inducción, ya que[F : K (�)] < m permite suponer que existe un isomor�smo � : F ! E sobree� que es isomor�smo sobre �: Así � es isomor�smo sobre � y el teoremaqueda probado.

Corolario 4.2.7 (Unicidad del cuerpo de escisión) Si F y E son cuerposde escisión de un polinomio f 2 K [X] sobre K, entonces F y E son K-isomorfos.

Demostración. Aplíquese el teorema anterior al caso K = L con � =idK :

Corolario 4.2.8 Sea F un cuerpo de escisión de un polinomio f 2 K [X]sobre K; y sean �; � 2 F elementos que tienen el mismo polinomio irreduciblesobre K: Entonces existe un isomor�smo � : F ! F sobre K (es decir unK-automor�smo de F ) tal que � (�) = �:

Demostración. Ya que Irr(�;K) = Irr(�;K) existe un isomor�smo� : K (�) ! K (�) sobre K tal que � (�) = �; en virtud del teorema deextensión de encajes para extensiones simples. Se aplica ahora el teoremaanterior haciendo jugar a K (�) el papel de K; a K (�) el papel de L y aF los papeles de F y de E en el enunciado de dicho teorema. Ello es lícito,

Page 120: TEORwA DE GALOIS

116 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

ya que si F es cuerpo de escisión de f sobre K; lo es también sobre K(�)(observación 4.10), notando además que F es cuerpo de escisión de f� sobreK y sobre K (�) ; ya que f tiene sus coe�cientes en K y por tanto f� = f;pues �=K = idK :

4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO

En la sección anterior hemos visto que existe la posibilidad de encontrarextensiones �nitas de un cuerpo K en las que un polinomio dado f 2 K [X]escinde en factores lineales (teorema 4.2.5), y por lo tanto que existen cuerposde escisión que, además, están determinados de modo esencialmente únicocomo extensión de K (4.2.8). Se trata de obtener ahora una extensión Kde un cuerpo dado K que contenga los ceros de todos los polinomios concoe�cientes en K y de modo que K : K sea algebraica.

Lema 4.3.1 Para un cuerpo E son equivalentes las a�rmaciones:i) Todo elemento irreducible en E [X] es un polinomio lineal.ii) Todo f 2 E [X] con @(f) � 1 escinde en E:iii) Todo f 2 E [X] con @(f) � 1 tiene un cero en E:iv) El cuerpo E no tiene extensiones �nitas propias.v) El cuerpo E no tiene extensiones algebraicas propias.

Demostración. \v) =) iv)"

Es obvio ya que toda extensión �nita es algebraica.\iv) =) v)"

Sea F : E algebraica y � 2 F: El elemento � es algebraico sobre E yentonces E(�) : E es �nita en virtud de la proposición 3.2.4 y por lo tantoE(�) = E; como consecuencia de la hipótesis iv): Cada � 2 F es entoncesun elemento de E y así E = F:

\i) =) ii)"

Si f 2 E [X] con @(f) � 1 y si f = cf1f2:::fr es su factorización enirreducibles en E [X] con cada fi mónico entonces, necesariamente, cada fi =X � �i para algún �i 2 E; en virtud de la hipótesis i):

Page 121: TEORwA DE GALOIS

4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO 117

\ii) =) iii)"Dado un f 2 E [X] con @(f) � 1; cada �i 2 E que interviene en la

factorización f = c(X � �1)(X � �2):::(X � �n) en E [X] es un cero de f:\iii) =) v)"Sea F : E una extensión algebraica y sea � un elemento arbitrariamente

�jado en F . Sea f = Irr(�;E) 2 E [X] : En virtud de la hipótesis iii); existeun � 2 E tal que f (�) = 0 y entonces f es divisible por X � � en E [X] :De la irreducibilidad de f en E [X] resulta f = (X � �): Ahora f(�) = 0proporciona � = � 2 E: Es decir F = E\iv) =) i)"Si f 2 E [X] es un polinomio irreducible @(f) � 1; por la proposición

4.2.2 existe una extensión E(�) : E tal que f(�) = 0 y tal que [E(�) : E] =@(Irr(�;E)). La extensión E(�) : E es �nita, y f = c:Irr(�;E): Por lahipótesis iv) se tiene � 2 E(�) = E; y por lo tanto Irr(�;E) = (X��): Asíf = c(X � �) es un polinomio lineal.Obsérvese que la equivalencia "i)() ii)" ya ha sido probada en (2.4.10).

De�nición 4.3.2 Se dirá que un cuerpo E es algebraicamente cerrado si Esatisface cualquiera de las condiciones equivalentes del lema anterior. Se diráque E es una clausura algebraica de K si E : K es una extensión algebraicay E es algebraicamente cerrado.

Antes de probar la existencia de clausura algebraica de un cuerpo, pro-baremos que, si existe, es esencialmente única. Explícitamente:

Proposición 4.3.3 Sea K un cuerpo, F : K una extensión algebraica y L uncuerpo algebraicamente cerrado. Si � : K ! L es un encaje, entonces existeun encaje � : F ! L que extiende a �: Si, además, L : � (K) es algebraica yF es algebraicamente cerrado, entonces � es un isomor�smo. En particular,dos clausuras algebraicas de un mismo cuerpo K son K-isomorfas.

Demostración. Sea

= = f(E; �) =E : K es subextensión de F : K y � : E ! L es un encaje sobre �g :

El conjunto = no es vacío ya que (K;�) 2 =: De�nimos en = una relaciónde orden (comprobación estándar muy fácil) mediante

(E1; � 1) � (E2; � 2) :() E1 � E2 y � 2=E1 = � 1;

Page 122: TEORwA DE GALOIS

118 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

y con la cual el conjunto = es inductivamente ordenado. En efecto, si ::: �(Ei; � i) � (Ej; � j) � ::: es una cadena de elementos de = el conjunto E 0 :=[iEi es un subcuerpo de F que contiene a K (comprobación sencilla) y, sise de�ne � 0 : E 0 ! L mediante � 0 (x) := � i (x) cuando x 2 Ei; se obtieneque � 0 es un encaje sobre �: Nótese que � 0 está bien de�nido, ya que six 2 Ei y x 2 Ek; como necesariamente se tiene (Ei; � i) � (Ek; � k) o bien(Ei; � i) � (Ek; � k) ; resulta � k (x) = � i (x) : Entonces (E 0; � 0) es una cotasuperior de dicha cadena.

El lema de Zorn permite a�rmar que nuestro conjunto = tiene elementosmaximales. Sea (E; �) uno de ellos. Entonces, necesariamente, E = F: Enefecto, supongamos que E $ F y sea � 2 F�E, que por hipótesis es alge-braico sobre K (y por lo tanto sobre E) y sea f = Irr(�;E): El polinomiof � 2 L [X] tendrá un cero � 2 L ya que L es algebraicamente cerrado, yf � es irreducible en � (E) [X] ya que � : E [X] ! � (E) [X] es isomor�smode anillos. Entonces f � = Irr (�; � (E)), y por el teorema de extensión deencajes a extensiones simples, existe un encaje ��;� : E (�) ! � (E) (�) so-bre � ; tal que ��;� (�) = �: El encaje ��;� es también encaje sobre � (yaque extiende a �), y, llamando j a la inclusión � (E) (�) ,! L; se obtiene unencaje := j � ��;� : E (�) ! L que extiende a � y (E; �) � (E (�) ; ) :La maximalidad de (E; �) proporciona E = E (�) ; y así resulta � 2 E; encontradicción con la selección de �: Por lo tanto E = F:

Si además L : � (K) es algebraica y F es algebraicamente cerrado seobtiene una torre de cuerpos � (K) � � (F ) � L en la cual todas las exten-siones son algebraicas y � (F ) es también algebraicamente cerrado (véase laobservación a continuación de esta prueba). Entonces, por el apartado iv)del lema 4.3.1, resulta � (F ) = L y por tanto � es un isomor�smo.

Si F y L son dos clausuras algebraicas de K se aplica lo anterior tomandocomo � la inclusión de K en L, y así el isomor�smo � es un K-isomor�smo.

Si � : E ! E 0 es un isomor�smo de cuerpos, entonces E es algebraica-mente cerrado si, y solamente si, E 0 lo es también. En efecto cada f 0 2 E 0 [X]es de la forma f 0 = f � para un único f 2 E [X] del mismo grado que f 0, yun elemento � 2 E es un cero de f si, y solamente si, � (�) 2 E 0 es un cerode f 0: Por lo tanto, cada f 2 E [X] no constante tiene un cero en E si , ysólo si, cada f 0 2 E 0 [X] no constante tiene un cero en E 0:La prueba de la existencia de clausura algébrica será realizada en varios

pasos siguiendo una demostración dada por E. Artin, que ha sido tomada del

Page 123: TEORwA DE GALOIS

4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO 119

libro Algebra de S. Lang [LAN], y que utilizará la propiedad universal delanillo de polinomios sobre un conjunto �nito de indeterminadas (2.3.1).

Teorema 4.3.4 (Teorema de Steinitz) Si K es un cuerpo existe una clausuraalgebraica K de K; que está determinada salvo K-isomor�smos.

Demostración. En primer lugar se construirá una extensión de K enla que todo polinomio con coe�cientes en K tiene un cero. A continuaciónse probará que existe una extensión E : K tal que E es algebraicamentecerrado. Finalmente, tomando K

Ese obtendrá una clausura algebraica de

K: La unicidad ha sido ya establecida en la proposición 4.3.3.Sea, entonces, S = fXf j f 2 K [X] con @(f) � 1g y sea K [S] el anillo

de todos los polinomios sobre S con coe�cientes en K: En el anillo K [S] elideal

I =< ff(Xf ) j Xf 2 Sg >es propio. En efecto 1 2 I () 9f1; f2; :::; fr 2 S y 9h1; h2; :::; hr 2 K [S]tales que

rX1

hi:fi(Xfi) = 1:

Si en la expresión anterior, que involucra sólo a un número �nito t de variablesXf , se pone Xfi := Xi resulta que 1 2 I()

rX1

hi(X1; X2; :::; Xt):fi(Xi) = 1 (*):

Sea F una extensión �nita de K en la que cada polinomio fi tiene, almenos, un cero �i(tal extensión existe, pues basta con tomar F como cuerpode escisión sobre K del polinomio g =

Qr1 fi). La anterior expresión (*) es

una igualdad en K [X1; X2; :::; Xt], que es subanillo de K [S], y la propiedaduniversal del anillo de polinomios nos permite obtener un homomor�smo deanillos : K [X1; X2; :::; Xt] ! F tal que =K = idK , que (Xi) = �i parai = 1; 2; :::; r, y con (Xj) = �j arbitrariamente pre�jado en F para cadaj 2 fr + 1; :::; tg. Entonces,

1 = (1) =

"rX1

hi(X1; X2; :::; Xt):fi(Xi)

#=

=rX1

hi(�1; �2; :::; �t):fi(�i) = 0

Page 124: TEORwA DE GALOIS

120 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

lo que no es posible pues, en cualquier cuerpo, 1 y 0 son elementos diferentes.

Sea ahora m un ideal maximal de K [S] tal que I �m y sea � : K [S]!K [S] =m el epimor�smo canónico. Obtenemos así el cuerpo K [S] =m y unencaje � : K ! K [S] =m de�nido como la composición de la inclusiónK ,! K [S] con el epimor�smo �: Cada polinomio f� con @(f) � 1 tiene uncero en K [S] =m: En efecto, poniendo �f := Xf +m 2K [S] =m resulta que

� (f (Xf )) = f (Xf ) +m = 0K[S]=m

ya que f (Xf ) 2 m; y como � (f (Xf )) = f�(� (Xf )) = f�(�f ) se tiene que�f 2 K [S] =m es un cero de f�:

De este modo hemos construido un encaje � : K ! F 0 = K [S] =m talque, para cada f 2 K [X] ; con @(f) � 1; el polinomio f� tiene al menos uncero en F 0. Utilizando ahora el lema 4.2.1 y la observación 4.5, resulta que loanterior es equivalente a probar la existencia de una extensión F1 de K talque cada polinomio f 2 K [X] de grado � 1 tiene al menos un cero en F1 .Se puede construir así, de modo inductivo, una torre de cuerpos

K = F0 � F1 � F2 � ::::: � Fi � Fi+1 � :::

caracterizada por la propiedad de que, para todo i; cada polinomio no cons-tante f 2 Fi [X] tiene al menos un cero en Fi+1: Sea E = [iFi: Entonces E esun cuerpo que admite a cada Fi como subcuerpo (comprobación inmediatay conocida), y si f 2 E [X] existe un i tal que f 2 Fi [X] (basta tomar elíndice i su�cientemente alto para que todos los coe�cientes de f pertenezcana Fi), por lo que, si @(f) � 1, el polinomio f tiene al menos un cero enFi+1 � E. Entonces el cuerpo E es algebraicamente cerrado y contiene a Kcomo subcuerpo (4.3.1).

Sea ahora K := KEla extensión algebraica maximal de K en E (3.2.10).

Por construcción K : K es una extensión algebraica y además K es alge-braicamente cerrado. En efecto, si f 2 K [X] es de grado � 1 el polinomiof tiene algún cero � 2 E y entonces � es algebraico sobre K. En la torreK � K � K (�) todas las extensiones son algebraicas, y por tanto � esalgebraico sobre K (3.2.8), con lo que se tiene � 2 K; por la construcción deK:

Page 125: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 121

OBSERVACIÓN4.12) A partir de ahora, a menudo, consideraremos a cada cuerpo K

incluido dentro de "su" clausura algebraica, y si f 2 K [X] es un polinomiono constante nos referiremos a sus ceros (o raíces) dentro de K. Si F : K esuna extensión algebraica y F es una clausura algebraica de F entonces F estambién una clausura algebraica de K: Así las clausuras algebraicas de F yde K son iguales.

4.4. SEPARABILIDAD.

Esta sección se dedica al estudio de la multiplicidad de las raíces de poli-nomios con coe�cientes en un cuerpo K, noción que está íntimamente ligadaal número de encajes de su cuerpo de escisión sobre K en una clausura alge-braica de dicho cuerpo.

De�nición 4.4.1 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante y sea Ef uncuerpo de escisión de f sobre K: Entonces existen elementos diferentes �1;�2; :::; �r 2 Ef tales que

f = c (X � �1)m1 (X � �2)m2 ::: (X � �r)mr :

Cada mi será denominado la multiplicidad de la raíz �i de f: Una raíz �ise dirá que es simple si mi = 1: En otro caso se dirá que es múltiple (doble,triple, cuádruple,..., etc, si mi = 2; 3; 4; :::; etc):

OBSERVACIONES4.13) En virtud de la unicidad de la factorización de f en Ef [X], la

multiplicidad de cada �i 2 Ef está determinada de modo único.4.14) Si f 2 K [X] y E1 y E2 son dos cuerpos de escisión de f sobre K,

sabemos que existe un K�isomor�smo � : E1 ! E2 (4.2.7). Por lo tanto, si

f = c (X � �1)m1 (X � �2)m2 ::: (X � �r)mr

yf = c (X � �1)

n1 (X � �2)n2 ::: (X � �t)

nt

son las factorizaciones correspondientes de dicho polinomio enE1 [X] yE2 [X] ;respectivamente, entonces r = t y, salvo una permutación de índices, se tiene,

Page 126: TEORwA DE GALOIS

122 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

�i = � (�i) y mi = ni para todo i = 1; 2; :::; r: En efecto f� = f ya quef 2 K [X] y así resulta que

f� = c (X � � (�1))m1 (X � � (�2))m2 ::: (X � � (�r))mr =

= f = c (X � �1)n1 (X � �2)

n2 ::: (X � �t)nt

en E2 [X] : De la factorización única en E2 [X] se obtiene lo anunciado.4.15) Como consecuencia de lo anterior, aunque las raíces de un polinomio

f dependen del cuerpo de escisión en que éstas se consideren, el número dediferentes raíces de f y los exponentes asociados a ellas, a los que hemosdenominado multiplicidades, están determinados de modo único por f; esdecir, no dependen del cuerpo de escisión en que se consideren.

De�nición 4.4.2 1) Se dirá que un polinomio f 2 K [X] es separable sisolamente posee raíces simples.2) Sea F : K una extensión y sea � 2 F algebraico sobre K: Se dirá que

� es separable sobre K si Irr(�;K) 2 K [X] es un polinomio separable.3) Si F : K es una extensión algebraica, se dirá que F : K es separable

si cada � 2 F es separable sobre K:

OBSERVACIÓN4.16) Si K � F � E es una torre de cuerpos y � 2 E es separable sobre

K entonces lo es también sobre F: Ello es inmediata consecuencia de quef = Irr(�; F ) divide a g = Irr(�;K) en F [X] ; y por tanto también en elanillo F 0 [X], para cualquier F 0 cuerpo de escisión de g sobre F:

De�nición 4.4.3 La aplicación (�)0 : K [X] ! K [X] ; de�nida para cadaf = anX

n + an�1Xn�1 + :::+ a1X + a0 por

(�)0 (f) = f 0 = n:anXn�1 + (n� 1) :an�1Xn�2 + :::+ a1;

se denominará derivación (o K-derivación) ordinaria. A f 0 se le denominarála derivada de f:

Es un sencillo ejercicio comprobar que se veri�can las bien conocidaspropiedades

(f + g)0 = f 0 + g0

(fg)0 = f 0g + fg0;

Page 127: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 123

de las que resulta que si a 2 K entonces a0 = 0 ((X + a)0 = X 0 + a0 y así1 = 1 + a0), y que, por lo tanto, (a:f)0 = a:f 0;8a 2 K; lo cual establece quela derivación es también un homomor�smo de K-espacios.

La derivada se utiliza para el estudio de la multiplicidad de las raíces depolinomios.

Proposición 4.4.4 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante y sea Ef uncuerpo de escisión de f sobre K: Un elemento � 2 Ef es raíz múltiple de fsi, y sólo si, � es raíz de f y de f 0:

Demostración. Es obvio que si � 2 Ef es raíz múltiple de f entonces(X � �)2 divide a f en Ef [X] ; es decir, existe h 2 Ef [X] tal que f =(X � �)2 h; y entonces f 0 = (X � �)2 h0 + 2(X � �)h, lo cual proporcionaf 0(�) = 0:Recíprocamente, como � es raíz de f se tiene f = (X � �)g en Ef [X] ;

con lo cual f 0 = (X � �)g0 + g: Ahora, si � es raíz también de f 0 resultaf 0 (�) = (�� �) g0 (�)+g (�) = 0; y por tanto (X � �) divide a g en Ef [X] :Es decir 9h 2 Ef [X] tal que g = (X � �)h; y entonces f = (X � �)2 h:

Proposición 4.4.5 Sea f 2 K [X] un polinomio no constante. Entonces elpolinomio f es separable si, y solamente si, m:c:d(f; f 0) = 1 en el D.F.U.K [X] :

Demostración. Sea d = m:c:d(f; f 0) 2 K [X]. Si d es de grado � 1; esdecir si d no es una constante, todo cero de d (en K) es también un cerotanto de f como de f 0; ya que d es divisor (en K [X] y por tanto en K [X])de ambos polinomios. Por la proposición 4.4.4 f tiene algún cero múltiple yentonces no es separable.Recíprocamente, si d = 1; el teorema de Bézout (2.2.14) a�rma que en

el D.I.P. K [X] existen elementos g; h tales que 1 = fg + f 0h. Si f no fueseseparable f y f 0 tendrían alguna raíz común � 2 K (4.4.4), con lo cual

1 = 1 (�) = f (�) g (�) + f 0 (�)h (�) = 0;

lo que es imposible.

Corolario 4.4.6 Si f es un polinomio irreducible deK [X] y si Caract(K) =0; entonces f es separable.

Page 128: TEORwA DE GALOIS

124 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. Si d = m:c:d(f; f 0) 2 K [X] ; d es divisor en K [X] deambos polinomios f y f 0 y por tanto @(d) � @(f); @(f 0): Ahora, como lacaracterística de K es 0, @(f 0) = @(f)� 1; y así @(d) < @(f); con lo cual elpolinomio d es necesariamente una constante, pues f es irreducible en K [X](si d fuese un polinomio no constante sería un divisor de f , y no unidad enK [X]).

Corolario 4.4.7 Si la característica de K es nula, toda extensión algebraicade K es separable.�

Aunque la resolubilidad por radicales - que en gran medida constituye elobjetivo �nal del curso - será desarrollada de modo especí�co para cuerposde característica 0, será contemplada también la resolubilidad en caracterís-tica positiva de modo separado en el párrafo 4 del capítulo 6. El resto deeste párrafo se dedica de modo exclusivo al estudio de la separabilidad encaracterística p 6= 0, hipótesis bajo la cual la teoría comienza a enriquecerseintroduciendo la nueva noción de inseparabilidad. La siguiente proposición,que proporciona además una prueba alternativa de los corolarios (4.4.6) y(4.4.7), es básica para ese tratamiento.

Proposición 4.4.8 Sea K un cuerpo y f un polinomio irreducible en K [X] :Entonces todos los ceros de f tienen la misma multiplicidad m: Ademásm = 1 si la característica de K es cero y f es separable en ese caso. Sila característica de K es un número primo p, entonces existe un númeronatural � tal que m = p�:

Demostración. En primer lugar, nótese que si a es cualquier elementono nulo de K; las raíces (y sus multiplicidades) de los polinomios f y af , sonlas mismas. Por ello se puede suponer que nuestro polinomio irreducible f esmónico.Sea E un cuerpo de escisión de f sobre K; y sea

f = (X � �1)m1 (X � �2)m2 ::: (X � �r)mr

su factorización en E [X], que lo es también en E [X], donde E es la clausuraalgebraica de E (y de K): Para cada �i que interviene en tal descomposiciónse tiene f = Irr(�i; K), y entonces, para cada índice i = 1; 2; :::; r; existe un�i : K (�1) ! K (�i) � E � E; encaje sobre K; tal que �i (�1) = �i, envirtud del teorema de extensión de encajes a extensiones simples (4.1.3). Tal

Page 129: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 125

encaje �i : K (�1) ! E admite una extensión a un encaje (que seguiremosdenominando �i) �i : E ! E, en virtud de (4.3.3) Como f 2 K [X] y�i=K = idK se tiene

(X � �1)m1 (X � �2)m2 ::: (X � �r)mr = f =

= f�i = (X � �i (�1))m1 (X � �i (�2))m2 ::: (X � �i (�r))mr =

= (X � �i)m1 (X � �i (�2))m2 ::: (X � �i (�r))mr

y, por la unicidad de la factorización en E [X] ; se tendrá, en particular, quemi = m1: Por lo tanto queda probada la primera parte de la proposición.Si m > 1 es la multiplicidad común de todos los ceros de f , cada raíz de

f , por ejemplo la �1, es raíz también de la derivada f 0. Entonces f dividea f 0 en K [X] pues f = Irr (�1; K) ; lo que conduce a un absurdo pues@ (f 0) < @ (f) ; salvo que f 0 sea el polinomio nulo, lo cual es imposible siCaract(K) = 0 (4.4.7). Si Caract(K) = p 6= 0, y m > 1; para f = Xn +an�1X

n�1 + :::+ a1X + a0 se tiene

f 0 = nXn�1 + (n� 1) an�1Xn�2 + :::+ a1 = 0

por lo ya dicho, y entonces, si ai 6= 0 deberá ser i un múltiplo de p (para queiai sea nulo). Ya que los monomios X i que aparecen en f deben ser todos deexponente múltiplo de p; se puede escribir

f (X) = Xp:sn + :::+ aiXp:si + :::+ a0 =

= (Xp)sn + :::+ ai (Xp)si + :::+ a0 = g1 (X

p) ;

donde g1 = Xsn + :: + aiXsi + ::: + a0 2 K [X] y @(f) = p@(g1): Nuestro

polinomio g1 es irreducible en K [X] ; puesto que una factorización g1 = khen K [X] conduciría a f(X) = g1(X

p) = k(Xp)h(Xp); lo cual no es posiblepor la irreducibilidad de f en K [X] ; salvo que alguno de los factores k o hsea una constante. Además � 2 K es un cero de f (y en ese caso entoncesf = Irr(�;K)) si, y sólo si, �p es un cero de g1 (pues g1 (�p) = f (�) = 0), yasí g1 = Irr(�p; K). Repitiendo el proceso para el polinomio g1; si sus raícesson múltiples, se obtendrá un polinomio g2 2 K [X], irreducible también enK [X], tal que g1(X) = g2(X

p) y del cual ((�p)p) = �p2será raíz si, y sólo

si, � 2 K es un cero de f: Ahora f(X) = g1(Xp) = g2(X

p2) con @(f) =p:@(g1) = p2:@(g2): El método podrá reiterarse, obteniendo una sucesión depolinomios f; g1; g2; :::; gi; ::de grados estrictamente decrecientes, si cada gi

Page 130: TEORwA DE GALOIS

126 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

tiene raíces múltiples. Como el proceso debe �nalizar tras un número �nitode pasos, existe necesariamente un � tal que g� solamente tiene raíces simples.De todo el proceso iterativo resulta que si �1; �2; :::; �r son todos los cerosde f; nuestro g� tiene a �

p�

1 ; �p�

2 ; :::; �p�

r por únicos ceros (que además sonsimples). Entonces g� (X) = (X � �p

1 )(X � �p�

2 ):::(X � �p�

r ): Ahora, de lafactorización única de f en K [X], y de las igualdades

f (X) = g��Xp�

�= (Xp� � �p

1 )(Xp� � �p

2 ):::(Xp� � �p�r ) =

= (X � �1)p�

(X � �2)p�

::: (X � �r)p�

== (X � �1)m (X � �2)m ::: (X � �r)m ;

se obtiene m = p�:

Nota 4.4.9

Se ha utilizado que en un anillo conmutativo A de característica p, sia; b 2 A; se tiene que (a:b)p = ap:bp (lo que resulta de la conmutatividad deA) y que (a + b)p =

Pp0

�pr

�ap�rbr = ap + bp puesto que los coe�cientes

�pr

�de la última expresión son múltiplos de p para r 6= 0; 1; y

�p0

�=�pp

�= 1:

También se ha usado que (�a)p�

= �ap� lo cual es cierto también para p = 2,pues en ese caso x = �x; 8x 2 A.

Corolario 4.4.10 Para una extensión F : K con Caract(K) = p 6= 0; si� 2 F es algebraico sobre K; y f = Irr(�;K), entonces existe un entero� � 0 tal que �p

�es separable sobre K: Además se tiene [K (�) : K] =

p��K��p

��: K�:

Demostración. En la demostración de la proposición anterior para elpolinomio f = Irr(�;K), se obtiene el polinomio g� 2 K[X] que es sepa-rable e irreducible en K[X] (de una factorización de g� en K[X] y de laigualdad f (X) = g�

�Xp�

�resultaría una factorización de f) y además

f(�) = g���p

��= 0: Por lo tanto se tiene g� = Irr(�p

�; K), y entonces

@f = [K (�) : K] = p�:@g = p��K��p

��: K�

Page 131: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 127

Nota 4.4.11

Si K es un cuerpo de característica p 6= 0; lo establecido en la notaanterior permite de�nir un encaje 'p : K ! K (denominado endomor�smode Frobenius) de�nido por 'p (a) = ap; cuya imagen denotaremos por Kp:Nótese que, si se pone b = ap 2 Kp el elemento a 2 K es un cero delpolinomio Xp � b 2 Kp [X] ; y por tanto la extensión K : Kp es algebraica.Obsérvese también que el polinomio Xp � b 2 Kp [X] escinde en K; ya queXp � b = (X � a)p con X � a 2 K [X] ; con lo que Xp � b es un polinomiono separable.Con las hipótesis y notaciones del párrafo anterior, supóngase además

que a =2 Kp: Se tiene entonces que Xp � b = Irr(a;Kp): En efecto, si f =Irr(a;Kp) el polinomio f divide a Xp � b = (X � a)p en Kp [X] ; y por lotanto

f = (X � a)d = Xd � daXd�1 + :::+ (�1)d ad 2 Kp [X]

para un cierto d � p; con lo cual, en particular, da = (d;1) a 2 Kp: Si se

supone d < p; el elemento d;1 =d veces

1 + :::+ 1 2 Kp no es nulo, y entoncesresulta que a = (d;1)�1 da 2 Kp, en contra de la hipótesis. Se tiene entoncesd = p; y por tanto f = (X � a)p = Xp� b y f es un polinomio irreducible enKp [X] pero no separable. Esto es exclusivo de los cuerpos de característicano nula y la extensión K : Kp es prototipo de las que llamaremos extensionesalgebraicas puramente inseparables.Se puede construir una torre de extensiones algebraicas

::: � Kp� � Kp��1 � ::: � Kp2 � Kp � K �� K

1p � K

1p2 � ::: � K

1p��1 � K

1p� � :::

en la cual cada cuerpo está constituido por las raíces p-ésimas de los ele-mentos del anterior más pequeño. Es muy fácil probar que si un paso de estacadena es trivial (i.e. de grado 1), entonces todos los pasos son triviales.

De�nición 4.4.12 Un cuerpo K de característica p 6= 0 se dice que es uncuerpo perfecto si 'p es isomor�smo, o lo que es lo mismo, si K = Kp(y porlo tanto la anterior cadena de extensiones es trivial):

Los cuerpos �nitos son perfectos (#K = #'p (K) ya que 'p es inyectivo),y lo son también los cuerpos algebraicamente cerrados (para cualquier b 2 Kel polinomio Xp � b 2 K [X] tiene al menos un cero en K; y, por lo tanto,existe un a 2 K tal que b = ap).

Page 132: TEORwA DE GALOIS

128 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Nota 4.4.13

Volviendo sobre lo descrito en la prueba de (4.4.8) se debe constatar queel número r de diferentes encajes � : K(�)! K que extienden a la inclusión:K ,! K es precisamente el número r de diferentes ceros del polinomio f� 2K [X], siendo f = Irr(�;K), y es un divisor del grado de f . La separabilidaddel polinomio f tiene que ver con el valor de r, es decir, con el número detales encajes. Así, f es separable precisamente si r = @f .En relación con la separabilidad estudiaremos entonces el número de en-

cajes � : F ! L que extienden a un encaje dado � : K ! L; siendo F : K al-gebraica y L algebraicamente cerrado, y veremos que este número no dependemás que de la extensión F : K. Para cada uno de tales encajes � : F ! L

se tiene que �(F ) : �(K) es algebraica, así que �(F ) � �(K)L(donde �(K)

L

(3.2.9) es algebraicamente cerrado, según se establece en la prueba del teo-rema de Steinitz (4.3.4)), con lo que, para este estudio será su�ciente conconsiderar la situación inicial en donde además L : �(K) es algebraica. Paraun encaje � : K ! L pongamos S� := f� : F ! L j �=K = �g: Se tieneentonces

Proposición 4.4.14 Sean � : K ! L y �0 : K ! L0 encajes con L y L0

algebraicamente cerrados, y L : �(K), L0 : �0(K) extensiones algebraicas. SiF : K es algebraica se tiene #S� = #S�0 :

Demostración. Poniendo � = �0 � ��1 : �(K) ! �0(K) nuestro � seextiende a un isomor�smo : L! L0 (4.3.3) y es fácil ver que, para � 2 S�

el encaje � � es elemento de S�0 : Como la aplicación � � : S� ! S�0 esinyectiva al serlo ; se tiene #S� � #S�0 : Razonando con �

�1 = � � �0�1 seobtiene de modo análogo que #S�0 � #S�:La importancia de este hecho motiva la siguiente

De�nición 4.4.15 Sea F : K una extensión �nita. Se denominará grado deseparabilidad de dicha extensión al número de diferentes encajes � : F !K sobre K; y se denotará con [F : K]s : Dicho número es también el deextensiones a F de un encaje dado � : K ! L; en donde L es un cuerpoalgebraicamente cerrado cualquiera.

De modo informal se puede decir que el grado de separabilidad de laextensión algebraica F : K designa el número de posibilidades de mover F

Page 133: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 129

dentro de K dejando los elementos de K �jos (siempre se puede suponer Fdentro de K, a la luz de (4.4.14))Obsérvese que según lo establecido hasta ahora, si � es algebraico y

separable sobre K (por ejemplo si K es de característica nula) entonces[K(�) : K]s = #{ceros de Irr(�;K)} = @ (Irr(�;K)) = [K(�) : K]:

Nota 4.4.16

Recuérdese una vez más que si K � F � E es una torre de extensionesalgebraicas, cada encaje : F ! K = F = E sobre un encaje dado � : K !K se extiende a otro � : E ! K (4.3.3): Además si f�igi2I es el conjunto deencajes de F en K sobre � : K ! K; y ,si para cada i 2 I; f� i;jigji2Ji es elconjunto de encajes � i;ji : E ! K que extienden a �i; entonces, todos los � i;jison encajes sobre �; y #Ji = #Ji0 cualesquiera que sean i; i0 2 I (4.4.14):Además cualquier � : E ! K sobre � es uno de los � i;ji ; pues su restriccióna F es un encaje sobre �; y por tanto �=F = �i para algún i: Por lo tantose tiene

Proposición 4.4.17 Con las mismas notaciones que en (4.4.16), si I y Jison �nitos se tiene #I = [F : K]s ; #Ji = [E : F ]s para cada i 2 I: Además[E : K]s = [F : K]s : [E : F ]s :�Proposición 4.4.18 Sea F : K una extensión �nita. Entonces [F : K]s di-vide a [F : K] : El cociente [F :K]

[F :K]srecibe el nombre de grado de inseparabilidad

de la extensión y se designa con [F : K]i :

Demostración. Sea F = K(�1; �2; :::; �n) con cada �i algebraico sobreK. Se considera la torre

K � K(�1) � K(�1; �2) � :::::: � K(�1; :::; �n) = F

en cada paso de cual se tiene [K(�1; :::; �i+1) : K(�1; :::; �i)]s = #{ceros deIrr(�i+1; K(�1; :::; �i))}, que es divisor de

@(Irr(�i+1; K(�1; :::; �i))) = [K(�1; :::; �i+1) : K(�1; :::; �i)] :

De la nota anterior (4.4.16) y del teorema del grado se obtiene que [F : K]sdivide a [F : K] :Nótese que si F = K(�) con � 2 F algebraico sobreK entonces [F : K]i =

multiplicidad común de todos los ceros de Irr(�;K) y por tanto [F : K]i =p�, con � � 0, si K es de característica p 6= 0. Si Caract(K) = 0 se tiene[F : K]i = 1:

Page 134: TEORwA DE GALOIS

130 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Corolario 4.4.19 Sea F : K una extensión �nita Entonces F : K es sepa-rable si, y sólo si, [F : K]s = [F : K]

Demostración. Como consecuencia de (4.4.17) y del teorema del grado,si [F : K]s = [F : K] se tiene [K(�) : K] = [K(�) : K]s ; para cada � 2 F:Por (4.4.13) se tiene [K(�) : K]s = #fceros de Irr(�;K)g; y entonces

#fceros de Irr(�;K)g = @ (Irr(�;K)) ;

es decir, Irr(�;K) es un polinomio separable y por lo tanto � es separablesobre K:Recíprocamente si F : K es separable �nita, F = K(�1; �2; :::; �n) con

cada �i algebraico y separable sobre K (y por lo tanto sobre K(�1; :::; �i�1)).Como consecuencia de lo establecido hasta ahora (4.4.13) se tiene

[K(�1; :::; �i) : K(�1; :::; �i�1)] = [K(�1; :::; �i) : K(�1; :::; �i�1)]s

para cada i = 1; 2; :::; ; n: De la multiplicatividad en torres de ambos grados((3.1.2),(4.4.17)) se obtiene [F : K]s = [F : K] :En otras palabras, si F = K (�1; :::; �n) con cada �i algebraico y separa-

ble sobre K entonces [F : K]s = [F : K] y así cada � 2 F es separable sobreK:

Corolario 4.4.20 Si F : K es una extensión, y si �1; �2; :::; �n 2 F son ele-mentos algebraicos separables sobreK entonces la extensiónK(�1; �2; :::; �n) :K es separable.�

Como consecuencia inmediata del corolario anterior, dada una extensiónF : K algebraica, el conjunto

Fs(K) := fa 2 F j a es separable sobre Kg

es un cuerpo extensión algebraica separable de K: Si �; � 2 F son separablessobre K también lo son los elementos � � � y ���1 (si � 6= 0) pues ambosson elementos de K(�; �) que es extensión separable de K (4.4.20).De (4.4.19) y de (4.4.18) se obtiene fácilmente también el

Corolario 4.4.21 Una extensión �nita F : K es separable si, y sólo si,[F : K]i = 1:�

Page 135: TEORwA DE GALOIS

4.4. SEPARABILIDAD. 131

En el otro extremo del espectro de divisores de [F : K] se encuentran lasextensiones puramente inseparables

De�nición 4.4.22 Se dice que la extensión �nita F : K es puramente in-separable si [F : K]i = [F : K] (o equivalentemente [F : K]s = 1).

Sea K � F � E es una torre de extensiones �nitas Como consecuenciade (3.1.2), (4.4.17) y (4.4.18) resulta que [E : K]i = [F : K]i : [E : F ]i.

Nota 4.4.23

Obsérvese que siK es de característica p y el grado de una extensión �nitaF : K no es divisible por p entonces F : K es separable, ya que el grado deinseparabilidad (que siempre es una potencia de p y divisor de [F : K]) esahora necesariamente 1. El recíproco no es cierto. En efecto, para cada entero� > 0 existe una extensión F : Zp de grado � que es el cuerpo de escisiónsobre Zp del polinomioXp��X; que es separable (5.3.1) y así lo es también laextensión F : Zp: Basta tomar � un múltiplo de p para obtener una extensiónseparable de grado divisible por p. También es separable sobre Zp el cuerpode escisión del polinomio Xp�X�1 2 Zp [X] sobre Zp; pues dicho polinomiono tiene ningún cero en Zp (por el pequeño teorema de Fermat (4.5.2)) y portanto es irreducible y separable (véase (5.4.25)).

Proposición 4.4.24 Sea K � F � E una torre de extensiones �nitas.i)E : K es separable si, y sólo si, son separables E : F y F : Kii)E : K es puramente inseparable si, y sólo si, son puramente insepara-

bles E : F y F : K:�

Entonces, en una extensión �nita F : K puramente inseparable cada ele-mento � 2 F genera una extensión K(�) : K que es puramente inseparable.

De�nición 4.4.25 En una extensión algebraica F : K un elemento � 2 Fse dirá que es puramente inseparable sobre K si K(�) : K es una extensiónpuramente inseparable.

Si F : K es una extensión algebraica, y si el elemento � 2 F es puramenteinseparable sobre K; el Irr(�;K) tiene solamente un cero y su multiplicidades p�, como consecuencia de (4.4.8). Así Irr(�;K) = (X � �)p

= Xp���p�

y por lo tanto �p� 2 K; para algún número natural � (consúltese también el

corolario 4.4.10)

Page 136: TEORwA DE GALOIS

132 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Nota 4.4.26

Es necesario destacar que el recíproco también es cierto. Si �p� 2 K

para algún número natural �, sea � el menor de tales enteros. EntoncesIrr(�;K) es divisor de Xp� ��p� en K[X]: Por tanto Irr(�;K) = (X ��)ncon n � p�. En todo caso n es la multiplicidad de la raíz � del polinomioIrr(�;K) y, por tanto, debe ser una potencia de la característica (4.4.8).Así n = p� con � � � (para que sea n = p� � p�). De este modo se tieneIrr(�;K) = (X � �)n = (X � �)p� = Xp� � �p� 2 K [X], y en consecuenciaap

� 2 K, con lo cual � = � por la minimalidad de �. Obsérvese que seha probado que si � es el menor número natural tal que �p

� 2 K, entoncesIrr(�;K) = Xp� � �p�.Por lo tanto

Proposición 4.4.27 Si F : K es una extensión de cuerpos de característicap 6= 0; un elemento � 2 F es puramente inseparable sobre K si, y sólosi, existe un número natural � tal que �p

� 2 K: Si � es el menor de talesnúmeros naturales entonces Irr(�;K) = Xp� � �p�.�

Esto sugiere la siguiente de�nición

De�nición 4.4.28 Se dice que una extensión algebraica (no necesariamente�nita) F : K es puramente inseparable si cada a 2 F es puramente insepa-rable sobre K:

Nótese que a la luz de la anterior proposición, una extensión F : K espuramente inseparable si, y sólo si, para cada cada a 2 F existe un entero� > 0 (que depende de �) tal que �p

� 2 KEjemplos1.- Si K es un cuerpo de característica p 6= 0 y no perfecto, entonces

K : Kp es una extensión puramente inseparable no trivial. Si a 2 K rKp;entonces Irr(a;Kp) = (X � a)p. Las extensiones Kps : Kpt (con t � s) sontodas puramente inseparables:2.- Si K es como en el ejemplo anterior, entonces el cuerpo K

1p1 :=

[�2ZK1p� es una extensión algebraica no �nita puramente inseparable de K

(y de cualquiera de los cuerpos K1p� ).

Nota 4.4.29

Page 137: TEORwA DE GALOIS

4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO 133

Para una extensión algebraica F : K de característica p 6= 0 la ex-tensión F : Fs(K) (4.4.20) es puramente inseparable. Si a 2 F�Fs(K) yf = Irr(a;K) el polinomio f no es separable y existe un entero � � 0 talque ap

�es raíz simple de un cierto polinomio separable g 2 K[X] tal que

f(X) = g(Xp�) ((4.4.8) y (4.4.10)): El polinomio Irr(ap�; K) es divisor en

K[X] del polinomio g y por tanto también separable. Entonces ap� 2 F es

separable sobre K y por tanto ap� 2 Fs(K):

Si �; � son puramente inseparable sobre K y �ps; �p

r 2 K, entonces paracualquier x 2 K(�; �) se tiene xp

s+r 2 K; y por lo tanto una extensión�nitamente generada por elementos puramente inseparables es puramenteinseparable. En particular, para una extensión algebraica en característica p,el conjunto Fpi(K) = f� 2 F j � es puramente inseparable sobre Kg es unsubcuerpo de F que contiene a K:Se tiene así que la extensión original F : K determina un diagrama

Fs(K)p:insep:,! F

"sep "K

p:insep:,! Fpi(K):

Obsérvese que Fs(K) \ Fpi(K) = K (solamente los elementos de K sonseparables y puramente inseparables sobre K), y que Fs(K):Fpi(K) : Fpi(K)es separable y F : Fs(K):Fpi(K) puramente inseparable. Entonces F : Fpi(K)es separable si, y sólo si, F = Fs(K):Fpi(K):De las a�rmaciones de la nota anterior resulta fácilmente el siguiente

corolario

Corolario 4.4.30 Una extensión �nita es puramente inseparable si, y so-lamente si, está generada por un número �nito de elementos purameneteinseparables.�

4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO

El siguiente lema tendrá más aplicaciones en el futuro desarrollo de lamateria, y ahora posibilita la prueba del teorema del elemento primitivo.

Lema 4.5.1 Si G es un subgrupo �nito del grupo multiplicativo de un cuerpoK, entonces G es cíclico.

Page 138: TEORwA DE GALOIS

134 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. Sea #G = n = pr11 :pr22 ::::p

rtt la factorización de #G en

factores primos. Para cada i = 1; 2; :::; t, seaHi el único pi-subgrupo de Sylowde G. Entonces G = H1:H2:::Ht

�= H1 � H2 � ::: � Ht (1.2.32). Ya que losórdenes de dichos grupos son primos entre si, bastará demostrar que cada Hi

es grupo cíclico, reduciendo así el problema al caso en que el subgrupo �nitoH del grupo multiplicativo del cuerpo K es un p-grupo.Sea entonces H un p-grupo que es subgrupo del grupo K� y sea h 2 H de

período máximo entre los períodos de los elementos de H: Dicho período esnecesariamente una potencia de p; ya que divide al orden de H: Si j h j= pm,entonces, para cada x 2 H se tiene j x j= ps con s � m; y por lo tanto

xpm=�xp

s�pm�s= 1p

m�s= 1: En consecuencia todos los elementos de H son

ceros (en K) del polinomio

Xpm � 1 2 K [X]

que admite en K a lo sumo pm ceros. Por lo tanto #H � pm y así # < h >=pm � #H � pm: Es decir < h >= H; por ser < h >� H; ambos grupos�nitos del mismo orden pm.

Proposición 4.5.2 (Pequeño teorema de Fermat) Si p es un número primoZ�p es un grupo cíclico. En particular si a es cualquier número entero se tienea � ap(m�od p)

Demostración. El grupo multiplicativo Z�p es cíclico, por aplicación di-recta del lema anterior, y tiene orden p� 1. Por lo tanto ap�1 = 1 para todoa 2 Z�p; pues jaj es necesariamente divisor de p� 1 = #Z�p; por lo tanto ap =a en este caso. Además si a := a + pZ =0 es evidente que a = ap = ap = 0:Entonces ap = a para todo a 2 Zp.Nótese que en la prueba de la proposición anterior no es necesario conocer

que Z�p es cíclico, pues es su�ciente con tener ap�1 = 1 para todo a 2 Z�p; locual es evidente pues el período de a es necesariamente divisor de p�1 = #Z�p:

Teorema 4.5.3 (Teorema del elemento primitivo) Si K es un cuerpo todaextensión �nita y separable F de K es simple, es decir, existe un � 2 Ftal que F = K(�): El elemento � será denominado elemento primitivo de laextensión.

Demostración. En primer lugar consideramos el caso en que K es uncuerpo �nito. Si F : K es �nita entonces F también es �nito pues #F =

Page 139: TEORwA DE GALOIS

4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO 135

(#K)[F :K]; y por lo tanto F � es cíclico (4.5.1). Si � genera el grupo F � setiene también F = K(�) y la hipótesis de separabilidad no es necesaria eneste caso.Se puede suponer entonces que K es un cuerpo in�nito, condición que

acoge al caso de característica nula (situación en la que la hipótesis de sep-arabilidad sería redundante también (4.4.7)). Una extensión F : K es �nitasi, y sólo si, es �nitamente generada por elementos algebraicos (3.2.7). Porlo tanto existe una torre

K � K (�1) � K (�1; �2) � ::: � K (�1; �2; :::; �n) = F

en la que cada �i es algebraico y separable sobre K (�1; :::; �i�1) al serlosobre K. Si se demuestra para n = 2 se habrá terminado la prueba ya queK(�1; �2; �3) = K(�1; �2)(�3) = K( 1)(�3) = K( 1; �3) = K ( 2) ; paraciertos 1; 2 2 K(�1; �2; �3), (que serán también separables sobre K porserlo todo elemento de F ), y, recurrentemente, obtendremos F = K ( ),para algún 2 F . Por lo tanto la prueba quedará completa si se demuestrael siguiente

Lema 4.5.4 SeaK un cuerpo in�nito y E una extensión algebraica separablede K: Si �; � 2 E la extensión F = K (�; �) de K es simple.

Demostración. Por la separabilidad de � y �, los polinomios f =Irr(�;K) y g = Irr(�;K) se factorizan en K = F cada uno de ellos enfactores lineales diferentes

f =

rY1

(X � �i)

g =

sY1

(X � �j);

donde, pongamos por caso, � = �1 y � = �1. Como K es in�nito se puedeelegir c 2 K tal que c 6= ���i

�j�� para todo i = 1; 2; :::; r y todo j = 2; :::; s: Si = �+ c� 2 K(�; �) entonces K � K ( ) � F = K (�; �) y � es algebraicosobre K( ) al serlo sobre K. Sea g1 = Irr(�;K ( )). El polinomio g1 estambién separable pues es divisor de g en K )[X], y por tanto también enF [X]. Sea h(X) = f( � cX) 2 K ( ) [X] : Entonces h (�) = f( � c�) =

Page 140: TEORwA DE GALOIS

136 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

f (�) = 0; y como g 2 K [X] � K ( ) [X] tiene a � como raíz, el polinomiog1 divide a h y a g en K ( ) [X] : Por tanto

f�g ��ceros de g1 en F

��ceros de g en F

\�ceros de h en F

:

Ahora, 8j = 2; :::; s; la raíz �j de g no es un cero de h pues, en caso contrario,se tendría h

��j�= f

� � c�j

�= 0; y por tanto � c�j = �i; para algún

i 2 f1; 2; :::; rg ; con lo cual � + c� � c�j = �i y de este modo sería c =���i�j��

; lo que contradice la selección de c. Por lo tanto�ceros de g en F

\�

ceros de h en F= f�g =

�ceros de g1 en F

: Entonces g1 = X � �; y

así � 2 K ( ) ; con lo que resulta � = � c� 2 K ( ) : Se tiene ahoraK (�; �) � K ( ) ; y por lo tanto la igualdad buscada F = K (�; �) = K ( ) :

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL

El objetivo de esta sección es analizar más detenidamente la naturaleza delos cuerpos de escisión considerando sus posibles encajes en la clausura alge-braica del cuerpo base. Este análisis tendrá gran importancia en el desarrollode la Teoría de Galois.

De�nición 4.6.1 Se dice que una extensión algebraica E : K es normal sicada polinomio f irreducible en K [X] que tiene un cero en E escinde en E.(o, "grosso modo": cada polinomio f irreducible en K [X] que tenga un ceroen E tiene "todos sus ceros" en E).

Ejemplos1.- La clausura algebraica K es una extensión normal de K:2.- Si [E : K] = 2 entonces E : K es normal. En efecto, sea f un polinomio

irreducible en K [X] que tiene un cero � 2 E: Veamos que f escinde en E:El elemento � es algebraico sobre K; y entonces f = c:Irr(�;K) por serf irreducible en K [X] ; donde c =coe�ciente principal de f . Ahora @(f) =[K (�) : K] � [E : K] = 2, y por tanto, o f es lineal, y entonces escinde enK (y, como consecuencia, en E), o f = c(X ��)g con g 2 E [X] y @(g) = 1,con lo cual g escinde en E. Por tanto f escinde en E en cualquier caso.Recuérdese que para grupos existe el resultado: "si H es un subgrupo

del grupo G y (G : H) = 2 entonces H es subgrupo normal de G". El

Page 141: TEORwA DE GALOIS

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL 137

parecido entre ambos resultados no es casual, como quedará claro a la vistadel Teorema Fundamental de Teoría de Galois.En particular, como [C : R] = 2, la extensión C : R es normal, y es normal

también la extensión Q (pn) : Q para todo n 2 N.

3.- Si p es un número primo la extensión�Q�3pp�: Q�no es normal, pues

X3 � p = Irr( 3pp;Q); y este polinomio irreducible en Q [X] tiene una raíz,

3pp; en Q

�3pp�pero las otras dos raíces son complejas no reales y por tanto

no son elementos de dicho cuerpo.

Teorema 4.6.2 Sea E : K una extensión �nita y sea E una clausura alge-braica de E (y por lo tanto de K). Son equivalentes las a�rmaciones

i) La extensión E : K es normal.ii) E es cuerpo de escisión sobre K de algún polinomio f 2 K [X].iii) Todo encaje � : E ! K = E sobre K es un isomor�smo de E (es

decir � (E) = E).

Demostración. \i) =) ii)"ComoE : K es �nita, existen �1; �2; :::; �n 2 E tales queE = K(�1; �2; :::; �n)

(3.2.7): Sea fi = Irr(�i; K), para i = 1; 2; :::n, y sea f =Qn1 fi 2 K [X]. Ya

que E : K es normal, cada polinomio fi escinde en E pues tiene en E almenos una raíz �i. Como toda raíz � de f es raíz de algún fi, el polinomio fescinde también en E = K (�1; �2; :::; �n). Ahora E está generado sobre Kpor las raíces de f (de hecho basta con las �1; �2; :::; �n pues, como ya se hadicho, las restantes están en E = K(�1; �2; :::; �n)). Entonces E es cuerpo deescisión de f sobre K.\ii) =) iii)"Sea f 2 K [X] tal que E es cuerpo de escisión de f sobre K y sea

� : E ! E un encaje sobre K. Entonces E = K(�1; �2; :::; �n), en donde las�1; �2; :::; �n son todas las raíces de f en E. Como � jK= idK y f 2 K [X]se tiene f� = f , y entonces � (f (�i)) = f� (� (�i)) = f (� (�i)) = � (0) = 0.Por tanto � (�i) es también un cero de f en E para cada i = 1; 2; :::; n.Así � establece una permutación de las �1; �2; :::; �n y por lo tanto � (E) �E. Como � es también homomor�smo inyectivo de K-espacios se tiene quedimK � (E) = dimK E; con lo que resulta E = � (E) al ser ambos K-espaciosde la misma dimensión �nita. (De modo alternativo, todos los generadores�1; �2; :::; �n de E como K-álgebra son imágenes de elementos de E, con locual �(E) = E al ser � homomor�smo de K-álgebras)\iii) =) i)"

Page 142: TEORwA DE GALOIS

138 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Sea f 2 K [X] un polinomio irreducible en K [X] que tiene un cero � enE. Se trata de probar que f escinde en E. Sea � 2 E = K otro cero def . Por el teorema de extensión de encajes a extensiones simples, existe unisomor�smo � : K (�) ! K (�) sobre K tal que � (�) = �; pues amboselementos tienen el mismo polinomio irreducible g = c�1f sobre K, dondec =coe�ciente principal de f . El isomor�smo � determina un encaje sobreK de�nido como la composición de � con la inclusión K (�) ,! E, es decir : K (�)

�! K (�) ,! E. Como E : K es algebraica y E es algebraicamentecerrado, nuestro se extiende a un � : E ! E que es un encaje sobre K(4.3.3). En virtud de la hipótesis iii) � (E) = E, y así � = � (�) es unelemento de E pues � 2 E. Por lo tanto cada raíz de f en E es elemento deE, y entonces f escinde en E.Este último teorema establece claramente que la condición de normalidad

para extensiones �nitas es una nueva propiedad de los cuerpos de escisión.Además se tiene

Corolario 4.6.3 Si K � F � E es una torre de cuerpos y si E : K esnormal �nita, entonces la extensión �nita E : F es también normal.

Demostración. E : F es �nita por (3.1.2), y en virtud del apartado ii)del teorema anterior, E es cuerpo de escisión de un polinomio f 2 K [X]sobre K y por tanto también sobre F .

Veremos que, en las hipótesis del corolario 4.6.3, la extensión F : K no esnecesariamente normal. El apartado iii) del teorema 4.6.2 permite estableceruna condición bajo la cual sí lo es.

Corolario 4.6.4 Si K � F � E es una torre de cuerpos y si E : K esnormal �nita, entonces son equivalentes

i) F : K es normal.ii) Para cada automor�smo � : E ! E sobre K se tiene � (F ) = F .

Demostración. \i) =) ii)"Si � es un automor�smo de E sobre K, el encaje � : F ! F = E de�nido

como� := F ,! E

�! E ,! F

es necesariamente un automor�smo de F , en virtud del teorema 4.6.2, ya que,por hipótesis, F : K es normal. Como � (F ) = � (F ) se tiene el resultado.

Page 143: TEORwA DE GALOIS

4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL 139

\ii) =) i)"

Como consecuencia del apartado iii) del teorema 4.6.2 bastará con demos-trar que cada encaje � : F ! F = E = K sobre K es un automor�smo de F .Para un tal encaje existe una extensión � : E ! F ya que E : F es algebraica(por ser �nita) y F es algebraicamente cerrado (4.3.3). Como E : K es normal�nita � (E) = E por el mencionado apartado del teorema 4.6.2, y, en virtudde la hipótesis, se tiene � (F ) = F = � (F ).

Existen torres de extensiones �nitas K � F � E con E : K normal, enlas que F : K NO es normal, como prueba el primero de los siguientes

Page 144: TEORwA DE GALOIS

140 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Ejemplos1.- Sea � 2 C, � 6= 1 tal que �3 = 1 (p. ej. � = cos 2�

3+ i:sen2�

3=

�12+ i

p32). Entonces Q

�3p2; ��es cuerpo de escisión de X3 � 2 sobre Q.

En efecto los elementos 3p2; � 3p2; �2 3p2 2 C son raíces de dicho polinomio

y todas están en la extensión Q�3p2; ��de Q. Por lo tanto Q

�3p2; ��: Q

es una extensión �nita (está generada por un número �nito de elementosalgebraicos sobre Q) y también normal (4.6.2). Sin embargo la extensiónintermediaQ

�3p2�: Q no es normal ya que el polinomioX3�2 = Irr( 3

p2;Q)

tiene un cero en Q�3p2�pero no los restantes (en caso contrario se tendría

� =�3p2��1

:�: 3p2 2 Q

�3p2�� R, lo cual es absurdo).

Es importante señalar también que si en una torre K � F � E deextensiones �nitas, F : K y E : F son extensiones normales, en general NOes normal la extensión E : K, como se ve en el siguiente ejemplo2.- Sean

p2; 4p2 2 R. Entonces son normales y �nitas las extensiones

Q�p2�: Q y Q

�4p2�: Q�p2�y, sin embargo, la extensión �nita Q

�4p2�: Q

no es normal. En efecto, Irr( 4p2;Q

�p2�) = X2�

p2; e Irr(

p2;Q) =X2�2;

por lo que�Q�4p2�: Q�p2��= 2 =

�Q�p2�: Q�, y así ambas extensiones

son normales. La extensión Q�4p2�: Q no es normal ya que el polinomio

X4� 2 = Irr( 4p2;Q) no escinde en Q

�4p2�; que es un subcuerpo de R, y no

todos los ceros de X4� 2 son reales (los únicos números reales que son cerosde dicho polinomio son � 4

p2):

Recuérdese que si L � H � G es una torre de grupos y si L es normal enG entonces L es normal en H; pero H puede no ser normal en G. También,aunque L sea normal enH yH sea normal en G no se tiene, en general, que Lsea normal enG. Estos resultados de grupos son los correspondientes análogosa los referidos en los dos anteriores ejemplos de extensiones de cuerpos.

Teorema 4.6.5 Si L : K es una extensión �nita, existe una extensión F : Lque veri�ca

i) F : K es normal �nita.ii) Si F 0 : K es otra extensión normal tal que K � L � F 0 � F entonces

F = F 0:El cuerpo F está determinado salvo isomor�smos sobre L y será denom-

inado "clausura normal de L sobre K":

Demostración. Por ser �nita la extensión L : K; existen �1; �2; :::�n 2 L(que son algebraicos sobre K) tales que L = K (�1; �2; :::�n) : Para cada

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4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL 141

i = 1; 2; :::; n, sea fi = Irr (�i; K), y sea f =Qn1 fi: Si F � L es cuerpo

de escisión de f sobre K la extensión F : K es �nita (está generada por unnúmero �nito de elementos algebraicos sobre K, las raíces en L del polinomiof), y F : K es normal por el teorema 4.6.2. Como los elementos �i son cerosde f en L, se tiene L = K (�1; �2; :::�n) � F , y así la condición i) se cumple.Sea ahora F 0 : K normal y F � F 0 � L � K. Entonces, como L =

K (�1; �2; :::�n), cada cero (en F = L) de fi = Irr(�i; K) es elemento deF 0. Así, todos los ceros de f =

Qni fi están en F

0, y como tales ceros sonlos generadores de F sobre K, se tiene F � F 0, y por lo tanto la igualdadF = F 0.Para probar la última a�rmación sea, como antes, F � L cuerpo de

escisión de f =Qn1 fi sobre K, y sea E la clausura normal de L cons-

truida dentro de otra clausura algebraica L0de L. Por la proposición 4.3.3

sabemos que existe un isomor�smo � : L ! L0sobre L. Entonces � (F )

está generado sobre K por el conjunto�� (�) j � es un cero de f en L

. Los

�1; �2; :::�n 2 L, que son elementos de dicho conjunto, son también elementosde E, y por tanto � (�) 2 E ya que E : K es normal y cada � (�) es cerode algún fi = Irr(�i; K). Por lo tanto � (F ) � E, y como además � (F ) : Kes normal (es cuerpo de escisión, dentro de L

0, de f� = f sobre K), resulta

� (F ) = E por la minimalidad de la clausura normalE.

Nota 4.6.6

Supóngase ahora que L : K separable y �nita. En ese caso L = K(�) paraalgún � 2 L separable sobre K (4.5.3). El cuerpo F está ahora generado portodos los ceros en L de Irr(�;K) que es un polinomio separable. Entonces laextensión F : K es separable al ser separables sobre K todos los generadoresde F ya que todos ellos tienen el mismo polinomio irreducible sobre K que� (4.4.20).Si L = K (�1; �2; :::; �n) con cada �i algebraico sobre K, entonces so-

lamente hay un número �nito de encajes � : L ! K = L. En efecto cadauno de dichos encajes � está determinado por los elementos �(�i) que, nece-sariamente, han de ser raíces de Irr(�i; K), y por tanto solamente existe unnúmero �nito de ellos.

Proposición 4.6.7 Si L : K es una extensión �nita, y �1 = idL; �2; :::; �tson los diferentes encajes de L en K = L sobre K, entonces la clausuranormal de L sobre K es el cuerpo N = �1 (L)�2 (L) :::�t (L) :

Page 146: TEORwA DE GALOIS

142 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

Demostración. La extensión N : K es �nita al serlo las �i (L) : K parai = 1; 2; :::; t. Para probar la normalidad de la extensión sea � : N ! K =L = N un encaje sobre K: La composición de la restricción de � a �i (L) concada �i es, necesariamente, uno de los encajes �1 = idF ; �2; :::; �t: Pondremos�0i : L

�i! �i (L) ,! N��! K = L = N: Por lo tanto,

�(N) = � (�1 (L)�2 (L) :::�t (L)) =

= � (�1 (L)) � (�2 (L)) :::� (�t (L)) =

= �01(L)�02(L):::�

0t(L) = N ,

pues la composición con � establece una permutación de las �1; �2; :::; �tsegún se ha dicho. Por lo tanto la extensiónN : K es normal ((4.6.2) apartadoiii)), y L � N . Sea ahora E : K normal con L � E � N . Entonces E contienea cada uno de los cuerpos �i (L) y por tanto E = N . En efecto, cada encaje�i : L ! K = L = N = E sobre K se extiende a un encaje �0i : E ! Epara el cual se tiene �0i (E) = E en virtud de (4.6.2) y, por lo tanto, �i (L)� �0i (E) � E:

4.7. Ejercicios

1- Sea � la raíz séptima real de 3 y � una raíz séptima de 1, � 6= 1:Pruébese que Q (�; �) es cuerpo de escisión para X7 � 3 sobre Q.2.- Encuéntrese un cuerpo de escisión sobre Q para cada uno de los poli-

nomios X4 + 5X2 + 6; X7 � 1; X3 � 3X2 + 3X � 2; X4 � 3; X6 � 8; X6 + 1,(X2 � 3)(X2 � 7), X5 � 2 y (X3 � 2)(X2 � 7). Determínense los grados delas correspondientes extensiones sobre Q.

3.- Sea f = (X12�16)(X2�3) 2 Q[X]. Demuéstrese queE = Q�3p2;p3; i�

es un cuerpo de escisión para f sobre Q y calcúlese [E : Q] :

4.- Si Ef denota un cuerpo de escisión sobre Q de f 2 Q[X], encuéntreseun elemento primitivo para la extensión Ef : Q en cada uno de los siguientescasos:a) f = X4 + 1.b) f = X4 + 4.

5.- Obténgase el grupo de Galois de cada uno de los siguientes polinomiossobre los cuerpos que se indican:

Page 147: TEORwA DE GALOIS

4.7. EJERCICIOS 143

a) f(X) = X3 �X � 1 2 Q [X] sobre Q:b) f(X) = X3 � 10 2 Q [X] sobre Q; sobre Q

�p2�y sobre Q

�ip3�:

c) f(X) = X3 �X � 1 2 Q [X] sobre Q(p�23):

d) X4� 5 2 Q [X] sobre Q, sobre Q�p5�; sobre Q

�p�5�y sobre Q (i) :

6.- Sean E : F : K extensiones �nitas de cuerpos.a) Pruébese que si E : K es normal, entonces E : F es normal.b) Si K = Q; F = Q( 3

p2), y E = Q( 3

p2; �); siendo � una raíz primitiva

sexta de la unidad, pruébese que E : K es normal y que F : K no lo es.

7.- Se consideran cuerpos de escisión Ef y Eg sobre Q de los polinomiosf = X6 � 2 , g = X3 � 2 2 Q[X], respectivamente.a) Pruébese que Eg � Ef y calcular [Ef : Q]b) Sea � un cero de f en C. Exprésese ��1 como combinación lineal de

una Q-base de Q(�) y calcúlese Irr(��1;Q).

8.- Sean f = (X2 � 3) (X3 + 1) y g = (X2 � 2X � 2) (X2 + 1), f; g 2Q [X] : Pruébese que Q

�p3; i�es cuerpo de escisión sobre Q tanto de f

como de g:

9.- Justifíquense las siguientes a�rmacionesa) El polinomio X5� 9X3+15X+6 2 Q [X] tiene al menos un cero real.b) X5 � 9X3 + 15X + 6 es irreducible en Q

�3p2�[X] :

c) La extensión Q�3p2; i�: Q es de grado 6 y no es normal.

10.- Sea � la raíz cúbica real de 2 y � una raíz cúbica de 1, � 6= 1.Pruébese que Q(�; �) es un cuerpo de escisión de X3� 2 sobre Q y calcúlese[Q(�; �) : Q].

11.- Pruébese que si f 2 K[X] es irreducible de grado n y E es un cuerpode escisión de f sobre K, entonces n divide a [E : K]. Plantéese un ejemploque muestre que esto no es necesariamente cierto si f no es irreducible.

12.- Sea f = X4+X2+1 2 Q[X]. Demuéstrese que un cuerpo de escisiónpara f sobre Q es Q(�), siendo �2 = �1+i

p3

2:

13.- Sea E un cuerpo de escisión de (X3 � 2)(X2 � 5) sobre Q(p�3).

Calcúlese�E : Q(

p�3)

�:

14.-Sean L1 = Q(p3) y L2 = Q(

pp3 + 1). Demuéstrese que L1 : Q y

L2 : L1 son normales y que L2 : Q no lo es.

15.- Sea f = X5 �X4 �X3 �X2 �X � 2 2 Q[X].

Page 148: TEORwA DE GALOIS

144 CAPÍTULO 4. EXTENSIONES SEPARABLES Y NORMALES

a) Factorícese f en irreducibles en Q[X]. Calcúlese un cuerpo de escisiónEf para f sobre Q y el grado de la extensión Ef : Q.b) Demuéstrese que si a 2 Z; f no tiene ningún cero en común con el

polinomio X3 � 3aX + 3:

16.- Sea � = (1 + i) 4p5: Pruébese que Q (�) : Q

�ip5�es normal. De-

muéstrese que Q (�) : Q no es normal y encuéntrese una clausura normal deQ (�) sobre Q.

17.- Pruébese que Q�p2�y Q (i) son isomorfos como Q-espacios vecto-

riales pero no como cuerpos.

18.- Calcúlese el número de Q-isomor�smos entre Q (�) y Q (�) en lossiguientes casosa) � = i

p2; � = i

p3:

b) � = e2�5i , � = �3

19.- Sea � = (1 + i) 4p7:

a) Calcúlese [Q(�) : Q] y exprésese �6 + 2�5 � �3 + 1 como combinaciónlineal con coe�cientes en Q de una Q-base de Q(�).b) Calcúlese una clausura normal de la extensión Q(�) : Q ¿Es Q(�) : Q

una extensión normal?

20.- Sea f(X) = X5 � 3 2 Q (X) y E cuerpo de escisión de f sobre Q.a) Calcúlese [E : Q] :b) Demuéstrese que existe una única subextensión normal F de E sobre

Q tal que [F : Q] = 4:c) Demuéstrese también que para cada número natural d divisor de [E : Q]

existe una subextensión Fd de E sobre Q tal que [Fd : Q] = d:

21.- Sea � = e2�i7 y � = 7

p5 2 R.

a) Calcúlese el grado del polinomio Irr(� + �6;Q).b) Determínese un elemento primitivo de la única subextensión de Q (�)

de grado 2 sobre Q.c) Pruébese que Q (��) 6= Q

���2�

Page 149: TEORwA DE GALOIS

Capítulo 5

TEORÍA DE GALOIS

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTALDE LA TEORÍA DE GALOIS

Esta sección está dedicada a la demostración del Teorema Fundamental dela Teoría de Galois para extensiones de cuerpos. Para una tal extensión F : Kse considera el grupo de automor�smos de F que dejan �jos los elementos deK, y el resultado fundamental establece que, bajo ciertas condiciones, existeuna biyección, que invierte las inclusiones, entre el retículo de subgrupos dedicho grupo y el de cuerpos intermedios de la extensión.Si F es un cuerpo, el conjunto Aut(F ) de todos los automor�smos de F

es un grupo con la operación de�nida por la composición de aplicaciones.

De�nición 5.1.1 Sea F un cuerpo y H un subgrupo del grupo Aut(F ): Sede�ne el cuerpo �jo por G como

FH := fx 2 F j � (x) = x; 8� 2 Hg :

Si F : K es una extensión de cuerpos se de�ne

Gal(F=K) := f� 2 Aut(F ) j �(x) = x; 8x 2 Kg

que se denominará Grupo de Galois de la extensión F : K:

OBSERVACIONES5.1) FH es efectivamente un subcuerpo de F; ya que para x; y 2 FH y

para cualquier elemento � 2 H, se tiene �(x + y) = � (x) + � (y) = x + y,

145

Page 150: TEORwA DE GALOIS

146 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

� (x:y) = � (x) :� (y) = x:y, � (�x) = �� (x) = �x, y si x 6= 0, � (x�1) =(� (x))�1 = x�1. Entonces x� y 2 FH y, si y 6= 0, x:y�1 2 FH .También se comprueba fácilmente que Gal(F=K) es un subgrupo del

grupoAut(F ), pues si �; � 2 Gal(F=K) entonces, 8x 2 K se tiene (� � �) (x) =� (� (x)) = � (x) = x y también � (x) = x () ��1 (� (x)) = ��1 (x) ()x = ��1 (x).5.2) Sean F : K, F 0 : K 0 extensiones de cuerpos y � 2 F un elemento

algebraico sobre K. Si � : K ! K 0 y � : F ! F 0 son encajes tales que� jK= � (es decir, si � es un encaje sobre �), entonces � jK(�): K (�) ! F 0

está determinado por el elemento � (�) 2 F 0. En efecto, cada x 2 K (�)admite una única expresión x = a0 + a1� + a2�

2 + ::: + an�1�n�1, con

a0; a1; a2; :::; an�1 2 K, si el polinomio Irr(�;K) es de grado n, ya que en estecaso f1; �; �2; :::; �n�1g constituye una base deK (�) comoK-espacio (3.2.4).Entonces � (x) = � (a0) + � (a1)� (�) + � (a2)� (�)

2 + :::+ � (an�1)� (�)n�1.

En particular, poniendo K = K 0 y F = F 0 = K (�), resulta que cada auto-mor�smo � 2 Gal(K (�) =K) está determinado por � (�) 2 K (�).5.3) Además � (�) es un cero del polinomio � (Irr(�;K)) 2 K 0 [X], pues

si Irr(�;K) = Xn + bn�1Xn�1 + ::: + b1X + b0, entonces �n + bn�1�

n�1 +:::+ b1�+ b0 = 0

=) ���n + bn�1�

n�1 + :::+ b1�+ b0�= � (�)n+� (bn�1)� (�)

n�1+:::+� (b1)� (�)+� (b0) = � (0) = 0.

En particular, se obtiene que � (�) es necesariamente un cero de Irr(�;K);para cada � 2 Gal(K (�) =K):5.4) Nótese también que, en virtud del teorema de extensión de encajes

a extensiones simples (4.1.3), para cada raíz � 2 K (�) del Irr(�;K) existeun encaje ��;� : K (�) ! K (�) tal que ��;� (�) = �. Tal encaje debe serun automor�smo de K (�), ya que ��;� es, en particular, un homomor�smoinyectivo entre K-espacios de la misma dimensión �nita.Como consecuencia de las anteriores observaciones se obtiene directa-

mente la siguiente

Proposición 5.1.2 Si F : K es una extensión de cuerpos y si � 2 F es alge-braico sobreK; entonces#(Gal(K (�) =K)) � @ (Irr(�;K)) = [K (�) : K] �[F : K] :�

La desigualdad #(Gal(K (�) =K)) � [K (�) : K] es estricta en general.Por ejemplo, para la extensión Q

�3p2�: Q (donde se ha tomado 3

p2 2 R)

se tiene que�Q�3p2�: Q�= @(Irr

�3p2;Q

�) = @ (X3 � 2) = 3; mientras

Page 151: TEORwA DE GALOIS

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS 147

que el orden del grupo de Galois de dicha extensión es 1. En efecto, si � 2Gal(Q

�3p2�=Q) entonces �

�3p2�2 Q

�3p2�� R ha de ser necesariamente

un cero real de X3 � 2 (observación 5.3); y por tanto ��3p2�= 3p2, con lo

que � = idQ( 3p2) (observación 5.2). Los restantes ceros son

3p2:�; 3p2:�2, en

donde � = cos 2�3+ i:sen2�

3= e

2�i3 , y ambos son números complejos no reales.

Proposición 5.1.3 Sea F : K una extensión normal �nita.1) Si �; � 2 F se tiene

Irr(�;K) = Irr(�;K)() 9� 2 Gal (F=K) tal que � (�) = �:

2) Si además F : K es separable se tiene

#Gal (F=K) = [F : K] :

Demostración. La a�rmación 1) resulta del teorema 4.1.3 de extensiónde encajes a extensiones simples y de la aplicación combinada de la proposi-ción 4.3.3 y del corolario 4.6.4. En efecto,

Irr(�;K) = Irr(�;K)()9��;� : K (�)! K (�) isomor�smo sobre K tal que ��;� (�) = �:

Ahora, para K (�)��;�! K (�) ,! F ,! F existe una extensión � : F ! F

(4.3.3) que es un automor�smo de F sobre K (4.6.2), tal que � (�) = �:Recíprocamente, si � 2 Gal (F=K) es tal que � (�) = �, la proposición 4.1.2proporciona que Irr(�;K) = Irr(�;K):Para la demostración de 2) considérese un elemento primitivo � 2 F de

la extensión F : K; que existe al ser F : K separable (4.5.3). Así F = K (�)y, si f = Irr(�;K); entonces f es separable y [F : K] = @(f) = n. Como laextensión F : K es normal el polinomio f escinde en F; y por tanto, F escuerpo de escisión de f sobre K. Si � = �1; �2; :::; �n 2 F son los diferentesceros de f; se tiene que f = Irr(�i; K) para cada i = 1; 2; :::; n; y, en virtuddel apartado 1), para cada �i existe un �i 2 Gal (F=K) tal que �i (�) = �i:Se obtienen así n diferentes automor�smos de F sobre K; con lo que resultan = [F : K] � #Gal (F=K) : De la proposición 5.1.2 se deduce directamenteque [F : K] � #Gal (F=K) ; y de ahí el resultado.

Page 152: TEORwA DE GALOIS

148 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Ejemplos1.- Gal(C=R) t Z22.- Gal(Q

�3p2�=Q) es el grupo de un solo elemento.

Consideramos ahora a cada subgrupo H del grupo Gal (E=K) actuandosobre el cuerpo E mediante la acción

H � E ! E

(�; �) � (�) :

Recuérdese (1.2.21) que si � 2 E, laH-órbita de � es el conjuntoOH (�) :=H:� = f� (�) = �:� j � 2 Hg, y que si H� := f� 2 H j � (�) = �g denota elsubgrupo de isotropía de � entonces (1.2.22) #OH (�) = (H : H�) que es undivisor de #H si este grupo es �nito.El siguiente lema será muy usado en lo sucesivo.

Lema 5.1.4 Sea E : K una extensión �nita y H un subgrupo de G =Gal(E=K). Entonces todo � 2 E es algebraico sobre EH y además

Irr(�;EH) =Y

�(�)2OH(�)

(X � � (�)) :

Por lo tanto �EH (�) : EH

�= #OH (�) = (H : H�) ;

que es divisor de #H.

Demostración. La extensión E : EH es �nita (al ser EH un cuerpointermedio entre E y K) y, por lo tanto algebraica. Sea � 2 E y sea f =Irr

��;EH

�. Cada � (�) es necesariamente un cero de f en E si � 2 H �

Gal(E=EH), y, por lo tanto, el polinomio g (X) =Q�(�)2OH(�)(X � � (�)) 2

E [X] es un divisor de f en el anillo E [X]. Por otra parte, si � 2 H se tiene� :H = H y entonces OH (�) = f� (�) j � 2 Hg = f�� (�) j � 2 Hg, con locual resulta que

g� (X) =Y

�(�)2OH(�)

(X � �� (�)) =

=Y

�(�)2OH(�)

(X � � (�)) = g (X) .

Page 153: TEORwA DE GALOIS

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS 149

Es decir, los coe�cientes del polinomio g 2 E [X] quedan �jos por cada� 2 H, lo que signi�ca que g 2 EH [X]. Ahora, como � es un cero de g, ycomo f = Irr

��;EH

�, resulta que f divide a g en EH [X] y por lo tanto

también en E [X]. Como ambos polinomios tienen coe�ciente principal 1 setiene f = g.La segunda a�rmación es consecuencia inmediata de lo ya demostrado.

Proposición 5.1.5 Si E : K es �nita y separable, para cada subgrupo H delgrupo Gal(E=K) se tiene�

E : EH�= #H y H = Gal(E=EH).

Demostración. Como E : K es �nita y separable, también lo es E :EH al ser EH un cuerpo intermedio entre E y K, y, por el teorema delelemento primitivo (4.5.3), existe un � 2 E tal que E = EH (�). Por ellema 5.1.4, se puede a�rmar que

�EH (�) : EH

�= #OH (�) = (H : H�).

Como E = EH (�) resulta H� = f� 2 H j � (�) = �g =�idEH(�)

= fidEg,

pues � jEH= idEH ,8� 2 H. Se tiene así que (H : H�) = #H y la primeraa�rmación queda probada. Ahora, como #Gal(E=EH) �

�E : EH

�= #H

(por la proposición 5.1.2 y por lo demostrado hasta ahora), y como H essubgrupo del grupo �nito Gal(E=EH), se obtiene H = Gal(E=EH).

De�nición 5.1.6 Una extensión E : K se dirá que es una extensión deGalois si es algebraica normal y separable.

En lo sucesivo nos ocuparemos exclusivamente de las extensiones de Ga-lois �nitas. El estudio de las extensiones de Galois no �nitas puede ser abor-dado utilizando la topología de Krull en el grupo G de automor�smos, enla cual el retículo de subgrupos correspondientes a subextensiones de Galois�nitas constituye un sistema fundamental de entornos de la identidad, re-specto de la cual el grupo topológico G resulta cuasi compacto y totalmentedesconexo. El análisis de estas extensiones rebasa ampliamente los objetivosdel curso y no se tratará aquí.

Proposición 5.1.7 Sea E : K una extensión �nita y separable. Entoncesson equivalentes las a�rmaciones

i) E : K es de Galois.ii) [E : K] = #Gal(E=K).iii) K = EGal(E=K).

Page 154: TEORwA DE GALOIS

150 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Demostración. \i) =) ii)"Directamente de la proposición 5.1.3 en su apartado 2).\ii) =) iii)"La extensión E : K es algebraica al ser �nita y la torre K � EGal(E=K) �

E proporciona [E : K] =�E : EGal(E=K)

�:�EGal(E=K) : K

�, como consecuen-

cia del teorema del grado. Por la proposición 5.1.5 se tiene�E : EGal(E=K)

�=

#Gal(E=K), poniendo allí H = Gal(E=K). Como, por hipótesis [E : K] =#Gal(E=K), se tiene forzosamente que

�EGal(E=K) : K

�= 1, es decir

EGal(E=K) = K.\iii) =) i)"Probaremos que E : K es normal. Sea E = K (�) (4.5.3), y sea H =

Gal(E=K). Por hipótesis se tiene que EH = K; y así E = EH (�). Por ellema 5.1.4, se puede a�rmar que

f = Irr(�;EH) = Irr(�;K) =Y

�(�)2OH(�)

(X � � (�)) .

Como consecuencia se obtiene que E es cuerpo de escisión de f sobre EH =K. En efecto, para cada � 2 H = Gal(E=K) = Gal(K (�) =K) el ele-mento � (�) pertenece a E = K(�); y f� (�) j � 2 Hg es el conjunto delos ceros de f; a la vista de la anterior factorización de dicho polinomio:Entonces f escinde en E = K(�) = K (f� (�) j � 2 Hg), con lo que quedaprobado que E : K es una extensión normal.

Corolario 5.1.8 Si E : K es de Galois �nita y K � F � E es una torre decuerpos, entonces F = EGal(E=F ).

Demostración.De los resultados análogos para extensiones �nitas (3.1.2),para extensiones normales (4.6.3) y para extensiones separables (observación4.16), resulta que E : F es de Galois �nita. El resultado se obtiene aplicandoa esta extensión el apartado iii) de la proposición anteriorAunque el siguiente resultado formará parte del enunciado del Teorema

Fundamental de Teoría de Galois interesa que quede explícito para su futurouso.

Lema 5.1.9 Sea K � F � E una torre en la que E : K es normal. Entoncessi F : K es normal el gruo Gal(E=F ) es subgrupo normal de Gal(E=K) yse tiene un isomor�smo:

Gal(F=K) �= Gal(E=K)�Gal(E=F ).

Page 155: TEORwA DE GALOIS

5.1. EXTENSIONES DE GALOIS 151

Demostración. Para cada automor�smo � de E sobreK resulta � (F ) =F en virtud de (4.6.4), y entonces � jF es un automor�smo de F . De estemodo se obtiene que la aplicación rF : Gal(E=K) ! Gal(F=K), rF (�) =� jF , está bien de�nida y es inmediato comprobar que es un homomor�smode grupos. Además rF es sobreyectivo ya que si � : F ! F � K es unautomor�smo de F sobre K, el encaje � : F ! K se extiende a otro � :E ! K (por ser E : F algebraica y K algebraicamente cerrado (4.3.3))que es necesariamente un automor�smo de E al ser E : K normal, y así� 2 Gal(E=K), con lo cual rF (�) = �=F = � . Por otra parte Ker (rF ) =f� 2 Gal(E=K) tales que � jF= idFg, es decir Ker (rF ) = Gal(E=F ); y portanto dicho grupo es un subgrupo normal de Gal(E=K):Obsérvese que además se ha probado la última a�rmación, pues la exis-

tencia del homomor�smo sobreyectivo rF : Gal(E=K)! Gal(F=K) propor-ciona

Gal(F=K) �= Gal(E=K)�Ker (rF ) = Gal(E=K)�Gal(E=F ).

Teorema 5.1.10 (Teorema Fundamental de la Teoría de Galois)Sea E : K una extensión �nita de Galois. Si G = Gal(E=K) entonces

existe una biyección que invierte las inclusiones

F = fF j F es cuerpo intermedio entre K y Eg ! S = fH j H es subgrupo de Gg

de�nida por (F ) = Gal(E=F ); cuya inversa es la aplicación � : S ! Fde�nida mediante �(H) = EH .Para cada F 2 F la extensión E : F es de Galois, y son equivalentes las

a�rmacionesi) F : K es de Galois.ii) El grupo (F ) = Gal(E=F ) es un subgrupo normal de G.Además, si F : K es de Galois se tiene

Gal(F=K) �= Gal(E=K)�Gal(E=F ).

Demostración. Es evidente que las aplicaciones y� están bien de�nidas.Además, para F 2 F el corolario 5.1.8 a�rma que E : F es de Galois, y

Page 156: TEORwA DE GALOIS

152 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

entonces F = EGal(E=F ) = E(F ) = �( (F )). Por otra parte si H 2 Sla proposición 5.1.5 establece que H = Gal(E=EH) = Gal(E=� (H)) = (� (H)). Por lo tanto dichas aplicaciones � y son inversas.Si H1 � H2 son subgrupos de G y x 2 EH2 entonces para cada � 2 H1

se tiene � (x) = x ya que tal � es elemento de H2; y por lo tanto x 2 EH1 .De forma análoga, si F1 � F2 son cuerpos intermedios de la extensión E : K,entonces cada � 2 Gal(E=F2) es tal que � (x) = x para todo x 2 F1 ya quex es también elemento de F2, y así Gal (E=F1) � Gal(E=F2). De este modoqueda probado que � y invierten las inclusiones.Veamos ahora que las condiciones i) y ii) del enunciado son equivalentes.\ii) =) i)"Sea H = Gal(E=F ) subgrupo normal de G = Gal(E=K). Ya que la

separabilidad esta asegurada, para probar que F : K es de Galois es su�cientedemostrar que esta extensión es normal (5.1.7), y para ello, utilizando denuevo (4.6.4), se demostrará que si � : E ! E es automor�smo de E sobreK entonces � (F ) = F . Por la biyección ya probada bastará demostrar quepara y 2 F se tiene que � (y) 2 EH = F . Sea entonces y 2 F y sea x = � (y).Para cada � 2 H = Gal(E=F ) = �H��1 existe un � 2 H tal que � =����1y por tanto � (x) = ����1(x) = ����1(� (y)) = ��(y) = � (y) = x,ya que � 2 Gal(E=F ). Así x = � (y) 2 EH = F . Por lo tanto F : K es deGalois.\i) =) ii)"Es el lema anterior

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Esta sección está dedicada a la prueba del teorema que establece que elcuerpoC de los números complejos es algebraicamente cerrado. Consideramosa C como cuerpo de escisión del polinomio X2 + 1 2 R [X] sobre R.El siguiente resultado es una de las aplicaciones clásicas del teorema de

Bolzano y será admitido aquí sin prueba pues ésta es de índole no algebraicay puede ser consultada en cualquier texto de Análisis real.

Lema 5.2.1 Si f 2 R [X] es un polinomio de grado impar entonces f admiteun cero real.�

Lema 5.2.2 Si � 2 C existe � 2 C tal que �2 = �.

Page 157: TEORwA DE GALOIS

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 153

Demostración. Para � = a + bi se consideran los números reales nonegativos b0 = �a+

pa2+b2

2, a0 = a+

pa2+b2

2; y c; d 2 R tales que c2 = a0; y

d2 = b0: Un cálculo sencillo proporciona que el número complejo � = c + dies tal que �2 = �.

Lema 5.2.3 Cada polinomio f(X) = �X2 + �X + 2 C [X] escinde enfactores lineales en C [X]. En particular C no admite extensiones de grado2:

Demostración. La primera a�rmación es consecuencia directa del lemaanterior ya que el discriminante � = �2 � 4� de f es un cuadrado en C yentonces f = �

�X � ��+

p�

2�

�:�X � ���

p�

2�

�es la factorización anunciada.

La segunda a�rmación es consecuencia de la primera. En efecto, sea L : Cde grado 2, y sea � 2 L r C: Entonces L = C (�) por el teorema del grado(observación 3.4). Como [L : C] = grad(Irr(�;C)) = 2; dicho polinomioirreducible escindirá en C - por lo ya demostrado - lo que constituye unacontradicción.

Teorema 5.2.4 (Teorema Fundamental del Álgebra)El cuerpo C de los números complejos es algebraicamente cerrado.

Demostración. Como se sabe, bastará con demostrar que C no tieneextensiones �nitas propias (4.3.1). Si F : C es una tal extensión, entoncesla clausura normal N de F sobre R es también una extensión �nita de R. Seobtiene así una torre de cuerpos R � C �F � N y, para probar que F = Cserá su�ciente con demostrar que N = C.La extensión N : R es de Galois �nita (es normal �nita en característica

0), y entonces, por el apartado ii) de la proposición (5.1.7), se tiene que#Gal(N=R) = [N : R] = [N : C] : [C : R], resultando así que #Gal(N=R) espar. Pongamos G = Gal(N=R) y seaH un 2-subgrupo de Sylow de G: Si E =NH es el cuerpo �jo de H la extensión N : E es de Galois y H = Gal (N=E) ;en virtud del teorema 5.1.10. Como [N : E] = #H y [N : R] = #G, delteorema del grado se deduce que [E : R] es necesariamente un número impar.Sea � 2 E un elemento primitivo de la última extensión, es decir tal queE = R (�) : El polinomio f = Irr(�;R) es de grado impar y, por tantonecesariamente de grado 1; pues en caso contrario f no sería irreducible enR [X] al tener un cero real según se establece en el lema 5.2.1. EntoncesE = R y así H = Gal(N=NH) = Gal(N=E)=Gal(N=R) =G es un 2-grupo.

Page 158: TEORwA DE GALOIS

154 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Sea ahora G1 = Gal (N=C) � Gal (N=R) = G: Si el 2-grupo G1 es distintodel grupo trivial fidNg (o, lo que es equivalente, si N 6= C, al ser la extensiónN : C de Galois), G1 admitirá un subgrupo G2 de índice 2 según estableceun conocido resultado de la teoría de Sylow (1.2.29). Sea ahora E2 = NG2

y entonces, C �E2 � N con lo que G2 = Gal(N=E2); ya que N : E2 esde Galois (corolario 4.6.3). Además como G2 es normal en G1 la extensiónE2 : C es también de Galois con grupo isomorfo a G1=G2; y, por lo tanto, deorden 2. Se llega así a que la extensión E2 : C es de grado 2, lo que contradicela tesis del lema 5.2.3. Por lo tanto, necesariamente #G1 = 1 = [N : C], esdecir, N = C.

5.3. CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINO-

MIOS CICLOTÓMICOS

Esta sección se inicia con algunas precisiones sobre la estructura de loscuerpos �nitos. Se obtiene que estos son los cuerpos de escisión sobre Zp delos polinomios de la forma Xq�1�1, donde q es potencia de la característica,y se analiza el retículo de subcuerpos. El resto de la sección se dedica alestudio de las ecuaciones de la forma Xn � a = 0 con coe�cientes en uncuerpo que, a menudo, será considerado de característica cero. Los cuerposde escisión de estos polinomios jugarán un papel esencial en el estudio de laresolubilidad por radicales.Si F es un cuerpo �nito con q elementos, F es necesariamente de ca-

racterística un número primo p, y el subcuerpo primo Fp de F es isomorfo alde las clases de restos de enteros módulo p. Desde ahora pondremos Fp = Zp,pues no existe ningún argumento algebraico que permita establecer distin-ciones.Sea r = [F : Fp] = dimFp F . Entonces F es isomorfo a (Fp)

rcomo Fp-espacio vectorial, y por lo tanto #F = q = pr. El grupo multiplicativoF � = F � f0g tiene orden q � 1, y por lo tanto �q�1 = 1, para cada � 2F �. Esto signi�ca que los elementos no nulos de F son los ceros (en F ) delpolinomio Xq�1 � 1 2 Fp [X], o, lo que es equivalente, F es el conjunto deceros del polinomio Xq � X, y cuerpo de escisión sobre Fp del polinomioXq�1 � 1 2 Fp [X].Para cada entero r > 0 existe un cuerpo de pr elementos, y está cons-

tituido por los ceros (en Fp) del polinomioXpr�X 2 Fp [X]. En efecto, sea F

Page 159: TEORwA DE GALOIS

5.3. CUERPOS FINITOS 155

dicho conjunto de ceros y �; � 2 F . Entonces (�� �)pr

=Ppr

0

�pr

i

��i�p

r�i =

�pr � �p

r

= � � � (ya que CaractFp = p (4.4.9)). Además����1

�pr=

�pr ���1�pr

= �pr ��p

r��1= ���1, y así F es un subcuerpo de Fp (y por

tanto de característica p). El cuerpo F tiene pr elementos, pues el polinomioXpr � X 2 Fp [X] es separable (4.4.4) al no tener ceros en común con suderivada prXpr�1 � 1 = �1. Obsérvese de paso, que la extensión F : Fp esseparable ya que para cada � 2 F el Irr(�; Fp) es divisor de Xpr �X.Se puede enunciar ahora

Proposición 5.3.1 El número de elementos de un cuerpo �nito es una po-tencia de su característica. Para cada número primo p y cada entero r > 0existe un cuerpo Fpr con pr elementos, de característica p, y que es extensiónde Galois de su cuerpo primo Fp = Zp. Si q = pr, el cuerpo con q elementoses cuerpo de escisión del polinomio Xq�1 � 1 sobre Fp, y, por tanto, estádeterminado de modo único salvo isomor�smos. Además [Fpr : Fp] = r, y,para enteros r; s > 0, se tiene Fpr � Fps () r es divisor de s:

Demostración. Sólo será necesario probar la última a�rmación con-cerniente a los enteros r y s:Para s = rt , si � 2 Fpr (lo que equivale a �p

r= �), se tiene

�ps

= �prt

=

����p

r�pr�pr t veces::::

�pr=

=���p

r�pr t�1 veces::::�pr

= ::: = �;

y, por lo tanto, � 2 Fps : Recíprocamente, si Fp � Fpr � Fps ; de las considera-ciones previas se obtiene s = [Fps : Fp] = [Fps : Fpr ] : [Fpr : Fp] = [Fps : Fpr ] :r,en virtud del teorema del grado.

Proposición 5.3.2 Todo cuerpo �nito es perfecto y el grupo de sus auto-mor�smos es cíclico generado por el endomor�smo de Frobenius.

Demostración. Si F = Zp el endomor�smo de Frobenius en F es laidentidad como consecuencia del pequeño teorema de Fermat (4.5.2). Si F =Fpn es el cuerpo de q = pn elementos y ' : F ! F es el endomor�smode Frobenius de F , se tiene 'n (x) = xp

n= x; 8x 2 F , como consecuencia

de la proposición 5.3.1, y así 'n = idF . Por lo tanto el período de ' es un

Page 160: TEORwA DE GALOIS

156 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

divisor de n: Si j'j = s con s � n; se tiene 's (x) = xps= x, para cada

x 2 F , de lo que se deduce Fpn � Fps . La proposición 5.3.1, antes citada,permite a�rmar n � s; de donde resulta la igualdad s = n: Además cadaautomor�smo de F deja �jos los elementos del cuerpo primo Fp y, por lotanto, el grupo de todos los automor�smos de F es el grupo de Galois de laextensión F : Fp cuyo grado es igual al orden de dicho grupo (5.1.7). Se tieneasí n = [F : Fp] = #Gal(F=Fp) = #Aut(F ): Por lo tanto Aut(F ) =< ' >

El resto de la sección se dedicará al estudio de las raíces de la unidad, esdecir las raíces de polinomios de la forma Xn � 1:

Proposición 5.3.3 Si K es un cuerpo, entonces el conjunto Un de las raícesen K de la ecuación Xn � 1 = 0 es un grupo cíclico respecto de la multipli-cación. Si además K es de característica nula o un primo no divisor de n,dicho grupo es de orden n.

Demostración. En cualquier caso si �; � 2 Un se tiene que (��)n =

�n�n = 1. También (��1)n = (�n)�1 = 1, y como 1 2 Un, el lema 4.5.1proporciona directamente el resultado.Bajo ambas hipótesis acerca de la característica deK, el polinomioXn�1

es separable ya que su derivada nXn�1 6= 0 solamente tiene al 0 como raíz.Por lo tanto el grupo Un es de orden n:

De�nición 5.3.4 Cada generador del grupo cíclico Un se llamará raíz primi-tiva n-ésima de 1.

Nota 5.3.5

Nótese que, en virtud de la proposición 5.3.3, si la característica de K esnula o un número primo no divisor de n; el número de posibles generadoresde Un es el indicador de Euler

' (n) := # fr 2 N j1�r<n; (r; n) = 1g ,

ya que, dado un generador � de Un, el elemento �r es también generador si,

y solamente si, r y n son primos entre sí (observación 1.3)).

Proposición 5.3.6 SeaK un cuerpo y sea � 2 K una raíz primitiva n-ésimade 1.

Page 161: TEORwA DE GALOIS

5.3. CUERPOS FINITOS 157

1) K (�) : K es una extensión normal, y si K es de característica nula oun primo no divisor de n, dicha extensión es de Galois.2) En cualquier caso el grupo Gal(K (�) =K) es abeliano y por lo tanto

resoluble.

Demostración. 1) K (�) es cuerpo de escisión sobre K del polinomioXn� 1. En efecto, tal cuerpo de escisión está generado sobre K por los cerosde dicho polinomio, es decir, por los elementos de Un. Ahora, cada elementode Un pertenece a K (�) ya que < � >= Un, y así Un � K (�). Es decirK (�) = K

�1; �; �2; :::; �n�1

�yK (�) : K es , por tanto, una extensión normal.

La separabilidad de � sobre K es consecuencia de que el polinomio Irr (�;K)es divisor (en K [X]) del polinomio Xn � 1 que es separable en virtud de lahipótesis sobre la característica, ya que la derivada (Xn � 1)0 = nXn�1 soloadmite al cero como raíz en ese caso. De (4.4.20) resulta la separabilidad deK (�) : K.2) Para probar que Gal(K (�) =K) es abeliano bastará con demostrar que

si �; � 2 Gal(K (�) =K) entonces (� � �) (�) = (� � �) (�), pues, en ese caso,se tendría (� � �) (x) = (� � �) (x) ; 8x 2 K (�) (observación 5.2): Ahora, si 2 Gal(K (�) =K), se tiene (�) = �r para algún r < n; pues �n = 1 () (�n) = [ (�)]n = (1) = 1; y por tanto j (�) j = j�j: Es decir (�) estambién raíz primitiva n-ésima de 1. Sean � (�) = �r; y � (�) = �t: Entonces(� � �) (�) = � (� (�)) = �

��t�= (� (�))t = (�r)t = �rt; y (� � �) (�) =

� (� (�)) = �(�r) = (� (�))r =�(�)t�r= �tr; de lo que se deduce � � � = � � �

(observación 5.2):

Proposición 5.3.7 Sea � 2 Q una raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces1)

Irr(�;Q) =Y

m<n;(m;n)=1

(X � �m) =: �n (X)

es la factorización de Irr(�;Q) en Q [X]. . �n (X) es el n-ésimo polinomiociclotómico, y la extensión Q (�) : Q se denomina extensión ciclotómica.2) [Q (�) : Q] = @(Irr(�;Q)) = '(n).

Demostración. 1) Para la prueba de este resultado demostraremos enprimer lugar que cada raíz primitiva n-ésima de 1 es una raíz de f(X) =Irr(�;Q). Para ello será su�ciente con demostrar que �p es un cero de f cadavez que p < n sea un primo no divisor de n. En efecto, cada raíz primitivan-ésima es de la forma �r con 1 � r < n y (r; n) = 1. Ahora, cada primo p

Page 162: TEORwA DE GALOIS

158 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

divisor de r no es divisor de n y entonces �r = (�p)t, con r = p:t, en donde,otra vez 1 � t < n; (t; n) = 1; por lo tanto, si �p es raíz de f , se tiene quef = Irr(�p;Q), y de nuevo se tendrá que (�p)q = �pq es raíz de f para cadadivisor primo q de t. Por este método se agotarán todos los factores primos der, y, por recurrencia, resultará que �r es un cero de f cada vez que 1 � r < n;y (r; n) = 1.Sea g (X) 2 Q [X] tal que Xn � 1 = f (X) g (X). Tal polinomio g existe

ya que � es un cero de Xn � 1 2 Q [X] y f(X) = Irr(�;Q). Además, comoconsecuencia del corolario 2.4.18, se puede suponer que g (X) ; f (X) 2 Z [X].Pongamos g(X) = Xr + ar�1X

r�1 + :::+ a0 2 Z [X].Sea ahora p un número primo no divisor de n. Como �p 2 Un es también

un cero de Xn � 1 entonces �p es necesariamente un cero de f o de g. Enel primer caso la prueba terminaría aquí, por lo que se puede suponer que� es un cero del polinomio g(Xp) 2 Z [X]. Pero g(Xp) � [g(X)]p (m�od (p)),ya que cada coe�ciente ai 2 Z del polinomio g satisface ai � api (m�od p)en virtud del pequeño teorema de Fermat (4.5.2), y entonces el homomor-�smo de anillos 'p : Z [X] ! Zp [X], (reduccióm módulo p) de�nido por'p (bsX

s + bs�1Xs�1 + :::+ b0) = bsX

s+ bs�1Xs�1+ :::+ b0, proporciona que

'p(g(Xp) =

�Xpr + ar�1X

p(r�1) + :::+ a0�= Xpr + ar�1X

p(r�1) + :::+ a0 =

= Xpr + apr�1Xp(r�1) + :::+ ap0 = Xpr + ar�1

pXp(r�1) + :::+ a0p =

=�Xr + ar�1X

r�1 + :::+ a0�p=�'p(g(X))

�p= 'p (g(X))

p

(4.4.9) al ser p la característica de Zp [X]. Resulta así :a) g(Xp) = f(X)h(X), para un cierto h 2 Z [X] al ser � un cero de

g(Xp) y f(X) = Irr(�;Q) (nótese que se puede suponer h con coe�cientesenteros, sea como consecuencia del algoritmo de Euclides en Z [X], pues f(X)y g(Xp) son elementos de Z [X] y el coe�ciente principal de f es 1, sea comoconsecuencia del corolario 2.4.18).

b) Poniendo l(X) := 'p(l(X)) 2 Zp [X] para denotar la redución m�od(p)de cualquier l(X) 2 Z [X], se tiene

�g(X)

�p= g(Xp) = f(X):h(X), lo que

signi�ca que f(X) y g(X) tienen algún factor común en Zp [X] al ser esteúltimo anillo un dominio de factorización única. Ello signi�ca que ambospolinomios tienen algún cero común en Zp, lo cual está en contradicción conel hecho de que el polinomio 1:Xn� 1 = Xn � 1 = f(X):g(X) no tiene cerosmúltiples pues su derivada

�n1�Xn�1 no es nula, ya que p no es divisor de

n, y por tanto solamente admite a 0 como raíz.

Page 163: TEORwA DE GALOIS

5.3. CUERPOS FINITOS 159

En consecuencia �p es necesariamente un cero de f , y entonces, como yafue indicado, todas las raíces primitivas n-ésimas de 1 son ceros de f .Veamos ahora que tales raíces primitivas son los únicos ceros de f , con

lo que quedará probado 1). Tenemos que f es divisor en Q [X] del polinomioXn � 1, y así todo cero de f es una raíz n-ésima de 1. Sea � 2 Un un cerode f y supongamos que j�j = r; con r j n. Entonces f = Irr(�;Q) al ser fmónico e irreducible en Q [X], y como � es un cero de Xr � 1, resultará quef divide a Xr � 1 en Q [X], por lo que todo cero de f será también cero deXr � 1 y, en particular, se tendrá que �r = 1. Ello sólo es posible si r = n yaque � es de período n.2) Es consecuencia inmediata de 1). Como @(f) = 'n(X) es el número de

raíces primitivas n-ésimas de 1, se tiene [Q (�) : Q] = @(Irr(�;Q)) = '(n).

Corolario 5.3.8 Sea n > 1 un número natural. Entonces

Xn � 1 =Ydjn

�d (X) :

Demostración. En primer lugar obsérvese que Ud es (el único) subgrupo(de orden d) de Un, para cada d j n. En la factorización

Xn � 1 =Y�2Un

(X � �)

agrúpense los factores correspondientes a aquellas � 2 Un que tienen igualperíodo. Para un período d, necesariamente divisor de n,�d (X) =

Qj�j=d (X � �)

(por el apartado 1 de la proposición anterior), y el resultado se sigue de formainmediata.

Nota 5.3.9 Una extensión abeliana (resp. cíclica) es una extensión de Ga-lois con grupo abeliano (resp. cíclico).

Proposición 5.3.10 Sea K es un cuerpo de característica nula o un primop no divisor de n. Si � 2 K es una raíz primitiva n-ésima de 1, y � 2 K estal que a = �n 2 K, entonces K (�; �) es cuerpo de escisión del polinomioXn � a sobre K, y por tanto K (�; �) : K es una extensión �nita de Galois.Además, si � 2 K, dicha extensión es abeliana.

Page 164: TEORwA DE GALOIS

160 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Demostración.���i�n= �n (�n)i = a, para cualquier i; y así los elemen-

tos �; ��; ��2; :::; ��n�1 de K son ceros del polinomio Xn � a; �; ��; ��2; :::; ��n�1 son diferentes ya que de ��i = ��j (con 1 � i < j < n) resultaría�j�i = 1 con j � i < n, lo cual es absurdo, pues el grupo Un es de orden n(5.3.3). Es inmediato entonces que

K (�; �) = K��; ��; ��2; :::; ��n�1

�y por tanto K (�; �) es cuerpo de escisión de Xn�a sobre K: Los polinomiosIrr(��i; K) (i = 0; 1; :::; n � 1) son todos separables por ser divisores delXn�a que tiene n ceros diferentes. Entonces K (�; ��) : K es separable por(4.4.20).Para probar la segunda a�rmación obsérvese que si � 2 K se tiene

K (�; �) = K (�), y cada � 2 Gal (K (�) =K) está determinado por el valor� (�) ; como ya es bien conocido. Además � (�) es necesariamente un cero deXn � a (5.1.3). Sean entonces �; � 2 Gal (K (�) =K) y � (�) = ��r; � (�) =��s: Se tiene (� � �) (�) = � (� (�)) = � (��s) = � (�) :� (�)s = ��r�s = ��r+s

ya que � (�) = � 2 K; de modo análogo se obtiene (� � �) (�) = ��s+r; conlo cual resulta � � � = � � �:

Corolario 5.3.11 Bajo las mismas hipótesis acerca de la característica de Kque en la proposición anterior, si � 2 K es raíz primitiva n-ésima de 1, y � 2K es cero del polinomio Xn� a 2 K[X], entonces el grupo Gal(K (�; �) =K)es resoluble.

Demostración. Sabemos queK(�) : K es una extensión abeliana (5.3.6).AdemásGal(K (�; �) =K(�)) es subgrupo normal deGal(K (�; �) =K); en vir-tud del teorema fundamental de teoría de Galois, ya que K(�) : K es de Ga-lois, y , en virtud del mismo teorema, se tieneGal(K(�)=K) �= Gal(K (�; �) =K)�Gal(K (�; �) =K(�)).Poniendo F := K(�), la extensión F (�) = K (�; �) : K (�) = F es abelianasegún establece la proposición anterior en su segunda a�rmación. El resultadoes ahora consecuencia del apartado b) de (1.3.13).OBSERVACIONES5.5) �1 (X) = X � 1:5.6) �2 (X) = X + 1; pues X2 � 1 = �1 (X) :�2 (X) :5.7) Si p es un número primo Xp � 1 =

Qdjp�d (X) = �1 (X) :�p (X) ; y

entonces �p (X) = Xp�1 +Xp�2 + :::+X + 1:5.8) X4 � 1 = �1 (X) :�2 (X) :�4 (X) =) �4 (X) = X2 + 1:

Page 165: TEORwA DE GALOIS

5.3. CUERPOS FINITOS 161

5.9)X6�1 = �1 (X) :�2 (X) :�3 (X) :�6 (X)) �6 (X) =X6�1

�1(X):�2(X):�3(X)

= X6�1(X�1):(X+1):(X2+X+1)

= X2�X+1:De modo alternativo: los ceros de �6 (X)son las dos raíces primitivas sextas de 1 (a saber: � = cos2�

6+ i:sen2�

6; y

�5 = cos 10�6+ i:sen10�

6= � = ��1), y entonces �6 (X) = (X � �) :

�X � �

�=

X2 � (� + �):X + �:� = X2 � 2: cos 2�6:X + 1 = X2 �X + 1:

5.10) X12 � 1 = �1 (X) :�2 (X) :�3 (X) :�4 (X) :�6 (X) :�12 (X) =

=�X6 � 1

�:�4 (X) :�12 (X) =)

�12 (X) =X12 � 1

(X6 � 1) (X2 + 1)=X6 + 1

X2 + 1= X4 �X2 + 1:

Nota 5.3.12

Si � es una raíz primitiva n-ésima de 1; entonces � (�) es también raízprimitiva n-ésima de 1; para cada � 2 Gal(Q (�) =Q): De hecho �r = 1 ,� (�)r = 1: Además según lo establecido en el teorema de extensión de encajesa extensiones simples 4.1.3, y a la luz de las proposiciones 5.3.7 y 5.1.3 setiene:

� es raíz primitiva n-ésima de 1 , Irr(�;Q) =Irr(�;Q) = �n(X), 9� 2 Gal(Q (�) =Q) tal que � (�) = �:

EjercicioSea � una raíz primitiva duodécima de 1 2 Q. Como ' (12) = 4 el número

de raíces primitivas duodécimas de 1 es 4, y tales raíces son �; �5; �7; �11:Por la proposición 5.3.7, la extensión Q (�) : Q es de Galois y por tanto[Q (�) : Q] = #Gal (Q (�) =Q) = 4: El ejercicio consiste en determinar laestructura del grupo Gal (Q (�) =Q) ; su retículo de subgrupos y los cuerposintermedios de la extensión Q (�) : Q.SoluciónSea

��0 = idQ(�); �1; �2; �3

= Gal (Q (�) =Q) = G; con �1 (�) = �5;

�2 (�) = �7; �3 (�) = �11 (recuérdese que la imagen de � mediante cualquierautomor�smo de Q (�) sobre Q debe ser una raíz primitiva duodécima de 1(5.3.12)). Para cada i = 0; 1; 2; 3 sea Hi =< �i >. Es fácil comprobar que

Page 166: TEORwA DE GALOIS

162 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

H0 =�idQ(�)

; y que H1; H2 y H3 son subgrupos diferentes de G de orden

2. Por ejemplo,

�21 (�) = �1 (�1 (�)) = �1��5�= (�1 (�))

5 =��5�5

= �2.12+1 =���12��2

:� = 12:� = �;

y entonces �21 = �0 = idQ(�): Se puede a�rmar entonces que G no es un grupocíclico (si G fuese cíclico solamente admitiría un único subgrupo de orden2 (observación 1.5)). Por lo tanto G �= Z2 � Z2; y los anteriores Hi son losúnicos subgrupos propios de G:Por el Teorema Fundamental de Teoría de Galois, para la determinación

de los cuerpos intermedios bastará con obtener los cuerpos �jos de dichossubgrupos. Para ello considérese la Q-base

�1; �; �2; �3

de Q (�) ; respecto

de la cual cada elemento x 2 Q (�) admite una única expresión x = a+ b� +c�2 + d�3 con a; b; c; d números racionales. Considérese también que �12 = 1;y que Irr(�;Q) =�12 (X) = X4 �X2 + 1:Obtención de Q (�)H1. Se tiene, para x = a + b� + c�2 + d�3 2 Q (�) ;

�1 (x) = a + b�1 (�) + c�1��2�+ d�1

��3�= a + b�5 + c�10 + d�15; y como

dX15 + cX10 + bX5 + a = (X4 �X2 + 1)(dX11 + aX9 + cX6 � dX5 + cX4 �d3+X� c)+ (b+d)X3� cX2� bX+ c+a (algoritmo de Euclides en Q [X]);resulta �1 (x) = (a+ c)� b� � c�2 + (b+ d) �3

Entonces, x 2 Q (�)H1 , x = �1 (x)

() a+ b� + c�2 + d�3 = (a+ c)� b� � c�2 + (b+ d) �3

() a+ c = a; b = �b; � c = c; b+ d = d

() b = c = 0() x = a+ d:�3:

Por lo tanto �1 (x) = x =) x 2 Q��3�; es decirQ (�)H1 � Q

��3�. Como, por

otra parte �1(�3) = �15 = �3 se tieneQ

��3�� Q (�)H1 ; y asíQ (�)H1 = Q

��3�

(La expresión de �1 (x) se puede obtener de forma alternativa a partir de laigualdad �1 (x) = a + b�5 + c�10 + d�15; haciendo uso de que �15 = �3 y�4 = �2 � 1; pues entonces �5 = �3 � �; y también �10 =

��5�2=��3 � �

�2=

�6 � 2�4 + �2 = �4 � �2 � 2��2 � 1

�+ �2 = ��2 + 1):

De forma similar se prueba que Q (�)H2 = Q��2�y que Q (�)H3 =

Q��2� + �3

�; que, junto con Q (�)H1 = Q

��3�; constituyen los únicos cuer-

pos estrictamente intermedios de la extensión Q (�) : Q.

Page 167: TEORwA DE GALOIS

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 163

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES

En el caso de característica positiva, en la extensión �nita F : K puedenaparecer elementos puramente inseparables y es por esto que, para ampliar lavalidez del gran teorema de Galois al caso de característica p, la de�nición deextensión radical deberá admitir extensiones intermedias con grado divisiblepor la característica.

De�nición 5.4.1 Si p = Caract(K) una extensión �nita F : K se dice quees radical si existe una torre (en lo sucesivo torre radical)

K = K0 � K1 � ::::: � Ki�1 � Ki � ::::: � Kr = F

tal que cada paso Ki�1 � Ki es de uno de los siguientes tipos:1) Ki = Ki�1(�i) con �i una raíz ni-ésima primitiva de 1, para algún

entero positivo ni:2) Ki = Ki�1(�i) con ai = �nii 2 Ki�1 para algún entero positivo ni no

divisible por p:3) Ki = Ki�1(�i) donde �i es un cero de algún polinomio Xp � X � ai

con ai 2 Ki�1:4) Ki = Ki�1(�i) donde �i es un cero de algún polinomio X

p�i � bi conbi 2 Ki�1 y �i un entero positivo.

OBSERVACIÓN5.14) Es preciso hacer notar que si K es de característica p 6= 0 el poli-

nomio Xp�X�a 2 K [X] es separable pues su derivada (Xp�X�a)0 = �1.O, de otro modo, obsérvese que si � es un cero de f = Xp�X � a; entonceslos p elementos diferentes �; �+ 1; :::; � + p� 1 son todos los ceros de f

Nota 5.4.2

Sea K de característica p 6= 0 y F = K (�) con �n 2 K para un enteron > 0: Si F : K es separable, el entero n que satisface esta propiedad sepuede seleccionar primo con p: En efecto si n = prm con p - m entonces�n = (�m)p

r

2 K y por tanto �m es puramente inseparable sobre K; conlo que resulta �m 2 K en virtud de la separabilidad supuesta (4.4.29). SiCaract(K) = 0 las condiciones 3) y 4) de la de�nición 5.4.1 son, evidente-mente super�uas, y, según lo dicho más arriba, en cualquier característica,las condiciones 1) y 2) pueden ser englobadas en la 2) suprimiendo allí lacondición p - ni.Por lo tanto

Page 168: TEORwA DE GALOIS

164 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Nota 5.4.3 Sea K un cuerpo de característica 0: Una extensión F : K esradical si existe una torre de cuerpos (en lo sucesivo torre radical)

K = K0 � K1 � ::::: � Ki�1 � Ki � ::::: � Kr = F

donde, para cada i = 1; 2; :::; r, existe �i 2 Ki tal que Ki = Ki�1(�i), yademás ai = �nii 2 Ki�1 para ciertos enteros positivos ni�:

OBSERVACIONES5.12) Si F : K es extensión radical entonces F = K(�1; �2; :::; �r) y por

tanto F : K es �nita ya que cada �i es algebraico sobre K(�1; �2; :::; �i�1) =Ki�1:5.13) Si F : K es extensión radical, como

�1; �1; �

21; :::; �

n1�11

es un

sistema de generadores de K(�1) como K-espacio, resulta

�2 = n2pa2 =

n2

rc0 + c1 n1

pa1 + :::+ cn1�1

n1

qan1�11 (�)

con a1 = �n11 ; cj 2 K para j = 0; 1; :::; n1�1: De forma recurrente, �3 = n3pa3

con a3 2 K(�1)(�2); y, por tanto �3 será una expresión del tipo (*) cona2 en lugar de a1; con n2 en lugar de n1; con n3 en lugar de n2; y conlos cj 2 K(�1) que serán, a su vez, por tanto, expresiones del tipo gj(�1)con gj(X) 2 K [X] : Procediendo de modo iterativo se obtiene que cualquierelemento deK(�1; :::; �n) es una expresión algebraica de expresiones radicalesde expresiones algebraicas ... de elementos de K.

Proposición 5.4.4 Si K es de característica p 6= 0, una extensión separable�nita es radical si, y solo si, existe una torre como en (5.4.1) tal que cadapaso Ki�1 � Ki es de uno de los siguientes tipos:1) Ki = Ki�1(�i) con ai = �nii 2 Ki�1 para algún entero positivo ni:2) Ki = Ki�1(�i) donde �i es un cero de algún polinomio Xp � X � ai

con ai 2 Ki�1:

Demostración. Por lo dicho en la nota 5.4.2, la separabilidad permitea�rmar que la condición p - ni puede ser suprimida con lo cual las condiciones1) y 2) de (5.4.1) quedan englobadas en una, y la 4) es obviamente super�ua.

Nota 5.4.5

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5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 165

Si además el cuerpo K es extensión algebraica de Zp;la condición 2) de(5.4.4) queda subsumida en la 1), pues si Ki = Ki�1(�i) donde �i es un cerode algún polinomio Xp �X � ai con ai 2 Ki�1 -ahora extensión algebraicade Zp- resulta que �i es también algebraico sobre Zp y por tanto Zp (�i) : Zpes �nita, con lo que Zp (�i) = Fpmi para algún entero mi. De este modo seobtiene que �i es un cero del polinomio Xpmi�1 � 1 2 Zp [X] � Ki�1 [X](5.3.1) y la extensión Ki : Ki�1 es de las de tipo 1).La condición de que K : Zp sea extensión algebraica es crucial en la

anterior argumentación. De hecho, la a�rmación de más arriba: "la condición2) de (5.4.4) queda subsumida en la 1)", no es válida si K = Zp (t), siendo tuna trascendente sobre Zp. En efecto, si � es un cero del polinomio separableXp � X � t 2 Zp (t) [X], entonces �m =2 K, cualquiera que sea el enterom > 0. En caso contrario se podría seleccionar, como antes, el menor m talque �m 2 K, y en ese caso p no divide a m. En efecto, si fuese m = pr:s, conp - s, se tendría �m = (�s)p

r

2 Zp (t), con lo que �s 2 Zp (t), pues �s seríaentonces un elemento separable y puramente inseparable sobre Zp (t), y estoes contradictorio con la selección de m. Poniendo �m = f(t)

g(t)con f; g 2 Zp [t]

coprimos, resultag(�p � �):�m � f(�p � �) = 0:

Ello signi�ca que � es cero del polinomio

F (Y ) = g(Y p � Y )Y m � f(Y p � Y ),

de lo que se deduce necesariamente F (Y ) = 0, ya que � es trascendentesobre Zp (en otro caso t = �p � � sería algebraico sobre Zp). Los polinomiosf(Y p�Y ) y g(Y p�Y ) son coprimos en Zp [Y ] y, por lo tanto, necesariamente,g(Y p�Y ) = c 2 Zp y Y m = c�1f(Y p�Y ) por la factorización única en Zp [Y ].Ahora, si c�1f(t) = ant

n + an�1tn�1 + :::+ a0 2 Zp [t] ; se tiene

Y m � an (Y p � Y )n � an�1 (Y p � Y )n�1 � :::� a0 =

= Y m � anY p:n +H(Y ) = 0;

y entonces, por la trascendencia de Y sobre Zp, es nulo el polinomio Y m �anY

p:n ya que, de no serlo, sería de grado estrictamente mayor que el deH(Y )y no podría ser nula, entonces, la suma de ambos. Resulta así m = p:n, loque contradice la selección de m.Tampoco es posible, en general, encontrar un � 2 K (�) que satisfaga la

condición �m 2 K = Zp (t), para algún entero m > 0, con K (�) = K (�),

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166 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

siendo � un cero deXp�X�t 2 K [X]. Para ver esto, consideraremos el casomás sencillo, es decir el correspondiente a p = 2. Si tal � 2 K (�) existe, seexpresará como � = �� + � con 0 6= �; � 2 K = Z2 (t), y también �0m 2 K,siendo �0 = �

�= �+ �

�= �+ , que cumple también K (�) = K (�0) = K(�),

lo que nos permite suponer � = � + , 2 K. Como 0 = �2 � � � t =(� � )2 � (� � ) � t = �2 � � � ( 2 � + t), resulta de modo inmediatoIrr(�;Zp (t)) = X2 � X � t0, donde t0 = 2 � + t 2 K = Zp (t). Comoconsecuencia, � es algebraico de grado 2 tanto sobre Z2 (t) como sobre Z2 (t0)y, por lo tanto, se tiene Z2 (t) = Z2 (t0) = K, con lo que nuestro � se encuentraahora en las mismas condiciones que el � elegido inicialmente, para el cualno existe ningún entero m > 0 tal que �m 2 K.

Proposición 5.4.6 i) Sea K � F � E una torre de cuerpos. Entonces, siF : K y E : F son radicales, E : K es radical también .

ii) Sean F y L subcuerpos de un mismo cuerpo E tales que F : K yL : K son extensiones radicales. Entonces LF : K es también una extensiónradical.

iii) Si F : K es radical y � : F ! F 0 es un isomor�smo, entonces,poniendo �(K) = K 0, la extensión F 0 : K 0 es radical también. En particular,si �=K = idK; entonces F 0 : K es radical.

iv) Si F : K es radical entonces la clausura normal de F sobre K estambién una extensión radical de K.

Demostración. La prueba de i) es obvia. La concatenación de las dostorres radicales, existentes por hipótesis, proporciona una torre radical parala extensión E : K.Para demostrar ii) obsérvese que la torre radical

K = K0 � K1 � ::: � Ki�1 � Ki � ::: � Kr = F

proporciona una torre del mismo tipo

L = LK � LK1 � ::: � LKi�1 � LKi � ::: � LKr = LF;

ya que LKi = LKi�1(�i) por ser Ki = Ki�1(�i); donde �i es raíz primitivani-ésima de 1;o �i es cero de Xni � ai 2 Ki�i [X] � Ki�1L[X] con p - ni;o �ies cero de Xp �X � ai con ai 2 Ki�1 � LKi�1);o KiL = Ki�1L(�i) donde�i 2 Ki � KiL es un cero de algún polinomioXp�i�bi con bi 2 Ki�1 � LKi�1y �i un entero positivo. Por tanto LF : L es radical y, por aplicación de i);resulta que LF : K es radical al serlo también L : K:

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5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 167

iii) Si K = K0 � K1 � ::::: � Ki�1 � Ki � ::::: � Kr = F es una torreradical, y si Ki = Ki�1(�i); con �i 2 Ki tales que �

nii 2 Ki�1 para ciertos

enteros positivos ni; poniendo �(Ki) = K 0i resulta que K

0 � K 01 � ::::: �

K 0r = F 0 es también una torre radical, pues K 0

i = K 0i�1 (��i) y [�(�i)]

ni =�(�i

ni) 2 �(Ki�1) = K 0i�1: Si Caract(K) = p 6= 0 y �i es un cero del

polinomio Xp�X�ai 2 Ki�1[X]; entonces � (�i) es cero de Xp�X��(ai) 2K 0i�1[X].iv) Es consecuencia inmediata de la proposición 4.6.7 y de las a�rmaciones

ii) y iii) ya demostradas.

De�nición 5.4.7 Si P es el cuerpo primo de K (es decir, el menor sub-cuerpo de K), y si f = anX

n + ::: + a0 2 K[X], llamaremos aquí cuerpo decoe�cientes de f al menor subcuerpo de K que contiene dichos coe�cientes,es decir al cuerpo Kf = P (a0; :::; an). Entonces, Kf = Q(a0; :::; an) en casode característica 0, o Kf = Zp(a0; :::; an) si la característica es p 6= 0:

De�nición 5.4.8 Un polinomio f 2 K [X] se dice que es resoluble por ra-dicales sobre K (o que la ecuación algebraica f(X) = 0 es resoluble porradicales sobre K) si un cuerpo de escisión de f sobre K está contenido enuna extensión radical de K: La expresión "f es resoluble por radicales" serásinónima de "f es resoluble por radicales sobre su cuerpo de coe�cientes Kf".

EjemploQ(p2; 3p2) : Q es una extensión radical. La torre

Q0 = Q � Q1 = Q(p2 ) � Q2 = Q1( 3

p2) = Q(

p2;

3p2)

es una torre radical.Nótese que si el cuerpo de escisión sobre Q del polinomio f(X) 2 Q [X]

está contenido en E = Q(p2; 3p2), entonces los ceros de f son combinación

lineal, con coe�cientes en Q, de los elementos 1;p2; 3p2;p2 3p2;p2( 3p2)2;

( 3p2)2. Es decir, los ceros de f serán una expresión algebraica de ciertos

radicales.Supóngase ahora f(X) = anX

n + ::: + a0 2 R [X] y que un cuerpo deescisión de f sobre Kf es E = Kf (

p2; 3p2). En ese caso los ceros de f

aparecerán como combinación lineal con coe�cientes en Kf de los mismos1;p2; 3p2;p2 3p2;p2( 3p2)2; ( 3

p2)2: Ahora, los coe�cientes de dicha expresión

lineal son, a su vez, expresiones algebraicas en las que intervienen solamentelos coe�cientes de f y números racionales. Este es el genuino signi�cado de la

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168 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

expresión: la ecuación algebraica f(X) = 0 es resoluble por radicales. En losucesivo no se hará uso explícito del cuerpo de coe�cientes de un polinomioKf , pero será muy ilustrativo su uso en la interpretación de los resultadossobre resolubilidad.En general, si f(X) 2 K [X] es tal que su cuerpo de escisión sobre K está

contenido en una extensión radical F de K, entonces los ceros de f son unaexpresión algebraica del tipo de las de la observación 5.13.Como consecuencia de que la condición de extensión radical es invariante

para isomor�smos (apartado iii) de la Proposición 5.4.6), de (5.4.10), y deque cuerpos de escisión del mismo polinomio f 2 K [X] sobre K son K-isomorfos (corolario 4.2.7), resulta que la condición de resolubilidad sobre Kpara un polinomio f 2 K [X] no depende del cuerpo de escisión de f sobreK que se considere. Nótese que, en característica 0, las raíces de f puedenser obtenidas mediante expresiones como las establecidas en la observación5.13.

De�nición 5.4.9 Si E es un cuerpo de escisión sobre K del polinomiof 2 K [X], al grupo Gal(E=K) se le denomina grupo de Galois de f so-bre K y se denotará por GalK(f). En la línea de lo establecido en (5.4.8) conGal(f) se indicará el grupo de Galois de f sobre su cuerpo de coe�cientes yse denominará grupo de Galois de f .

Nota 5.4.10

Este grupo está determinado salvo isomor�smos. Es decir, si E y F soncuerpos de escisión del mismo polinomio f 2 K [X] sobre K, es sabido queexiste un isomor�smo : E ! F sobre K (4.2.7) y entonces la aplicación

Gal(E=K)! Gal(F=K)

� � � � �1

es un isomor�smo de grupos.Para la prueba del Teorema 5.4.15, que constituye el resultado principal

de esta sección -y de estas notas-, necesitaremos los dos lemas siguientes.

Lema 5.4.11 Sea F : K una extensión �nita de Galois de grado primoq 6= Caract(K); tal que K contiene una raíz primitiva q-ésima de 1. Entoncesexiste un � 2 F tal que F = K(�) y �q 2 K:

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5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 169

Demostración. Como F : K es �nita de Galois se tiene #Gal(F=K) =[F : K] = q y entonces Gal(F=K) es cíclico. Sea � 2 K raíz primitiva q-ésimade 1. Las potencias �i; con i = 1; 2; :::; q�1; son precisamente todas las raícesprimitivas q-ésimas de 1 ya que q 6= Caract(K) y así Uq es de orden q (5.3.3)(nótese que si fuese q = Caract(K) resultaría Xq�1 = (X�1)q; y que, comoF : K es de Galois, se tendría #Gal(F=K) = [F : K] = 1 (5.1.7), apartadoii)): Sea Gal(F=K) =< � >; y sea � 2 F�K: Si para cada i = 0; 1; :::; q � 1consideramos la resolvente de Lagrange de�nida por

�i := � + �i�(�) + �2i�2(�) + ::::+ �(q�1)i�q�1(�);

entoncesq�1X0

�i = q� +

q�1Xj=1

(1 + �j + �2j + :::+ �(q�1)j)�j(�);

y por lo tantoPq�1

0 �i = q�; ya que las �j son los ceros del polinomioXq�1+Xq�2+ :::+X+1 2 K [X] (son ceros de Xq�1 y no lo son de X�1).Por lo tanto

Pq�10 �i = q� =2 K pues, en caso contrario, se tendría � 2 K al

ser q� = (q1)�; y q1 2 K� (q 6= Caract(K)), en contra de la selección de �:En particular, algún �i =2 K:Ahora, para un tal �i se tiene

�(�i) = �(� + �i�(�) + �2i�2(�) + :::+ �(q�1)i�q�1(�)) =

= � (�) + �i�2(�) + �2i�3(�) + :::+ �(q�1)i� = (�i)�1�i;

ya que �i 2 K para todo i;y por lo tanto �(�qi ) = ((�i)�1�i)

q = ((�i)q)�1�qi =�qi . Entonces �

qi 2 K ya que dicho elemento es �jo para cualquier auto-

mor�smo de F sobre K; es decir �qi 2 FGal(F=K) = K al ser la extensiónF : K de Galois. Por otra parte, como �i 2 F�K; se tiene F = K(�i) comoconsecuencia del teorema del grado, al ser [F : K] = q primo.

Nota 5.4.12

Es evidente que, en característica 0, el lema anterior es válido para cualquierprimo q.

Lema 5.4.13 Sea K un cuerpo de característica 0 o un primo p no divisordel número natural m, y sea F : K una extensión �nita de Galois de grado nque es múltiplo de m. Entonces, si � 2 F es una raíz primitiva m-ésima de 1;la extensión F (�) : K(�) es de Galois �nita cuyo grupo de Galois es isomorfoa un subgrupo de Gal(F=K), y por tanto [F (�) : K(�)] divide a [F : K].

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170 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Demostración. Si f 2 K [X] es tal que F es cuerpo de escisión de f sobreK, entonces F (�) es cuerpo de escisión de f(X):(Xm�1) 2 K [X] sobre K; ytambién sobre K (�) : Además F = K(�1; :::�s); donde �1; :::�s son los dife-rentes ceros de f; con lo que F (�) = K(�1; :::�s; �); y así resulta que F (�) : Kes separable pues los elementos �1; :::�s; � son todos separables sobre K y seaplica (4.4.20) (el elemento � es separable sobre K en virtud de la hipótesissobre la característica). Por lo tanto F (�) : K (�) es también de Galois �nita.La aplicación : Gal(F (�)=K) ! Gal(F=K), con (�) := � jF está biende�nida ya que �=F (F ) = F al ser F : K de Galois (4.6.4). Además esobviamente un homomor�smo de grupos: (� � �) jF= (� jF ) � (� jF ) : Ahora,si � 2 Gal(F (�)=K(�)) � Gal(F (�)=K) y si (�) = idF ; se tiene � = idF (�)pues � (�) = �: Por lo tanto jGal(F (�)=K(�)): Gal(F (�)=K(�)) ! Gal(F=K)es inyectiva y (Gal(F (�)=K(�)) será así un subgrupo de Gal(F=K) isomorfoa Gal(F (�)=K(�)) cuyo orden divide entonces a #Gal(F=K); por el teoremade Lagrange. Siendo de Galois las extensiones F : K y F (�) : K(�) susgrados coinciden con los órdenes de sus grupos respectivos, y de ahí se sigueel resultado.

Nota 5.4.14

El lema anterior admite dos lecturas según sea la característica de K:En el caso de característica cero la distinción entre los enteros m y n delenunciado es innecesaria y puede ser considerado m = n.

Teorema 5.4.15 (Gran teorema de Galois)SeaK un cuerpo y sea f 2 K [X]con @(f) � 1: Entonces la ecuación algebraica f(X) = 0 es resoluble porradicales sobre K si, y solamente si, el grupo GalK(f) es un grupo resoluble.

Demostración. (Por el momento nos limitaremos al caso de queK sea decaracterística 0) Sea f resoluble por radicales sobre K. Por hipótesis, existeuna extensión radical F : K tal que un cuerpo Ef ; de escisión de f sobre K,está contenido en F: Pondremos K � Ef � F � K = F = Ef . Además sepuede suponer que F : K es una extensión normal (es decir de Galois, al serK de característica 0), pues en otro caso, la clausura normal N de F sobreK estaría en las mismas condiciones, es decir K � Ef � N � K = F = Efy, por la Proposición 4.6.5, N : K sería radical, �nita y de Galois.Sea entonces F : K radical de Galois �nita, y sea

K = K0 � K1 � ::: � Kr = F

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5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 171

donde, para cada i = 1; 2; :::; r, Ki = Ki�1(�i) con los �i 2 Ki tales que�nii 2 Ki�1 para ciertos enteros positivos ni. Sea n =

Qi ni y sea � 2 K una

raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces, poniendo Fi = Ki(�) = K(�)Ki seobtiene una torre radical

K = K0 � F0 � F1 � :::: � Fr = Kr(�) = F (�),

ya que Fi = Ki(�) = Ki�1(�i; �) = Ki�1(�)(�i) = Fi�1(�i), y �nii 2 Ki�1 �

Fi�1 = Ki�1(�), para todo i = 1; 2; :::; r. Además F0 = K(�) con �n =1 2 K. Nótese que �n=ni 2 F0 es una raíz primitiva ni-ésima de 1, paracada i = 1; 2; :::r. Por lo tanto cada extensión Fi : Fi�1 es una extensión�nita de Galois de grupo abeliano (Gal(Fi=Fi�1 es abeliano (5.3.10)), y tam-bién lo es la extensión F0 = K (�) : K0 = K (5.3.6, apartado 2). AdemásF (�) : K es �nita de Galois ya que F es cuerpo de escisión sobre K dealgún polinomio g 2 K [X] al ser F : K normal, y por lo tanto F (�)es cuerpo de escisión sobre K del polinomio g(X):(Xn � 1) 2 K [X]. SiG = Gal(F (�)=K), cada Hi := Gal(F (�)=Fi) es un subgrupo normal deHi�1 := Gal(F (�)=Fi�1), como consecuencia del teorema fundamental deteoría de Galois (5.1.10), y además Gal(Fi=Fi�1) �= Hi�1=Hi es un grupoabeliano. El grupo G = Gal(F (�)=K) es entonces resoluble y por tanto tam-bién lo es el grupo GalK(f) = Gal(Ef=K) ya que, como Ef : K es de Galois,Gal(F (�)=Ef ) es subgrupo normal de G y G=Gal(F (�)=Ef ) �= GalK(f) escociente de un grupo resoluble (1.3.13).Recíprocamente, sea E cuerpo de escisión de f sobre K, y supong-

amos que GalK(f) = Gal(E=K) es un grupo resoluble. El teorema quedaráprobado si se encuentra una extensión radical de K que contiene a E: Sean = [E : K] = #Gal(E=K) (la última igualdad se tiene al ser E : K deGalois), y sea � una raíz primitiva n-ésima de 1. Por el Lema 5.4.13 sabemosque [E(�) : K(�)] es divisor de n y que el grupo eG := Gal(E(�)=K(�)) esresoluble al ser isomorfo a un subgrupo de G := Gal(E=K), que es resolublepor hipótesis. Existe entonces una torre normal�

idE(�)= Hr � Hr�1 � ::: � H1 � H0 = eG

en la que cada grupo cociente Hi=Hi+1 es de orden primo qi (1.3.12), divisorde # eG = [E(�) : K(�)] que es, a su vez, divisor de n, y así cada qi divide an. Sea Fi = E(�)Hi, para cada i = 0; 1; :::; r� 1. Por el teorema fundamentalde teoría de Galois resulta entonces una torre de cuerpos

K(�) = F0 � F1 � F2 � ::: � Fi�1 � Fi � ::: � Fr = E(�),

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172 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

y como E(�) : E(�)Hi+1 y E(�) : E(�)Hi son extensiones de Galois y, siendoHi subgrupo normal de Hi�1, resulta que Fi : Fi�1 es una extensión deGalois con grupo isomorfo a Hi�1=Hi. Además, para cada i = 0; 1; 2; :::; r�1,qi = #(Hi�1=Hi) es divisor de n y, como � es raíz primitiva n-ésima de 1,Fi = E(�)Hi contiene a �n=qi, que es una raíz primitiva qi-ésima de 1. Como�E(�)Hi : E(�)Hi�1

�= qi es primo y E(�)Hi�1 contiene una raíz primitiva qi-

ésima de 1, la aplicación del Lema 5.4.11 proporciona la existencia de un�i 2 Fi tal que Fi = Fi�1(�i) y tal que �

qii 2 Fi. Entonces la torre

K � K(�) = F0 � F1 � F2 � ::: � Fi�1 � Fi � ::: � Fr = E(�)

es una torre radical y E � E(�). Por tanto f es resoluble por radicales sobreK.

La resolubilidad por radicales de la ecuación f(X) = 0 (f 2 Q [X]) es bienconocida para polinomios f de grados 2, 3, y 4. Se cree que la de grado 2 eraconocida ya por la civilización babilónica (1700 a. C.), y para los grados 3 y 4las soluciones fueron dadas por Tartaglia (1539) y Cardano (1545). Durantemucho tiempo han sido infructuosos los intentos de encontrar procedimientosalgebraicos análogos para la ecuación algebraica de grado 5. El primero enresolver el problema fué el matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) quien prueba (en 1824) que la ecuación algebraica general de gradon � 5 no es resoluble por radicales.El objetivo del resto de la sección es la prueba de este teorema. Nece-

sitaremos algunos resultados previos.

Proposición 5.4.16 Si f 2 K [X] es un polinomio con m ceros diferentes,entonces el grupo GalK(f) es isomorfo a un subgrupo del grupo Sm de laspermutaciones de m elementos.

Demostración. Sea E = K(�1; �2; :::; �m) � K cuerpo de escisión de fsobre K y sea f (X) = c(X � �1)r1(X � �2)r2 :::(X � �m)rm su factorizaciónen E [X]. Para � 2 GalK(f) = Gal(E=K) se tiene f(X) = f�(X) = c(X ���1)

r1(X���2)r2 :::(X���m)rm : Entonces, por la unicidad de la factorizaciónen irreducibles en E [X] ; se tiene que f�1; �2; :::; �mg = f��1; ��2; :::; ��mg,es decir, � establece una permutación del conjunto f�1; �2; :::; �mg : Ademássi �; � 2 Gal(E=K) establecen la misma permutación necesariamente se tiene� = � ; pues el valor de cada isomor�smo en un x 2 E está determinado porsu valor en los generadores de la extensión. Sea e� 2 Sm de�nida por e� (i) = j

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5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 173

() � (�i) = �j: Entonces la aplicación GalK (f) ! Sm, dada por � e�;es un homomor�smo inyectivo de grupos que establece un isomor�smo entreGalK (f) y el grupo imagen, que es un subgrupo de Sm:Esta proposición tiene un corolario inmediato.

Corolario 5.4.17 Si K es de característica 0 y f(X) 2 K [X] es de gradomenor o igual que 4, entonces f es resoluble por radicales sobre K:

Demostración. Si r � 4 es el número de raíces diferentes de f entonces,en virtud de la proposición anterior, GalK(f) es isomorfo a un subgrupo delgrupo Sr que es resoluble (1.3.17). En virtud del gran teorema de Galois elpolinomio f es resoluble por radicales sobre K:Obsérvese que sin haber hecho mención explícita del procedimiento de ob-

tención de las raíces de un polinomio de grado � 4 con coe�cientes racionalesmediante expresiones algebraicas con radicales, como se indicaba en la ob-servación 5.13, el corolario 5.4.17 a�rma que tal procedimiento existe.

Lema 5.4.18 Si f 2 Q [X] es un polinomio irreducible en Q [X] de gradoprimo p y con exactamente dos raíces complejas no reales, entonces GalQ(f) �=Sp

Demostración. El polinomio f es separable al ser Q de característica0 y por lo tanto f = c

Qp1(X � �i); con �1; �2; :::; �p diferentes elementos

de C. Sean �1; �2 2 C�R, �3; :::�p 2 R y sea Ef = Q (�1; �2; �3; :::; �p)el cuerpo de escisión (� C) de f sobre Q: Por la proposición 5.4.16 sesabe que GalQ(f) es isomorfo a un subgrupo H del grupo Sp de las per-mutaciones de p elementos. Además la torre de cuerpos Q � Q (�1) � Efproporciona [Ef : Q] = [Ef : Q (�1)] : [Q (�1) : Q] = [Ef : Q (�1)] :p; ya quef = c:Irr (�1;Q) (donde c =coe�ciente principal de f), y entonces p es di-visor del orden de H, pues [Ef : Q] = #GalQ(f) = #H al ser de Galoisla extensión Ef : Q. Por el teorema de Cauchy (1.2.26) sabemos que existeun elemento e� 2 H de período p y que por tanto es un p-ciclo (1.3.8). Elsubgrupo H de Sp contiene entonces un p-ciclo. Además, necesariamente setiene �1 = �2 (y �1 = �2 ) ya que los coe�cientes de f son números reales,y así la conjugación (�) : C! C se restringe a un automor�smo

� : Q (�1; �2; �3; :::; �p)! Q (�1; �2; �3; :::; �p)

sobreQ, ya queQ (�1; �2; �3; :::; �p) : Q es normal y � (Q (�1; �2; �3; :::; �p)) �Q � C. El automor�smo � 2 GalQ(f) está de�nido por las condiciones

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174 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

� (�1) = �1 = �2; � (�2) = �2 = �1; y � (�i) = �i para i = 3; :::; p: Enconsecuencia, utilizando las notaciones de la prueba de (5.4.16), resulta quela trasposición e� y el p-ciclo e� son elementos de H. El subgrupo H de Spsatisface entonces las hipótesis de la proposición 1.3.9 y por lo tanto se tieneGalQ(f) �= H = Sp:

Teorema 5.4.19 (Teorema de Abel)Para cada n � 5 existe una ecuación al-gebraica f(X) = 0 con coe�cientes racionales y de grado n que no es resolublepor radicales sobre Q.

Demostración. Bastará con encontrar un f 2 Q [X] de grado 5 que nosea resoluble por radicales sobre Q, ya que para n > 5, el polinomio g (X) =Xn�5:f(X) es de grado n, tiene el mismo cuerpo de escisión que f sobreQ, y por lo tanto el mismo grupo de Galois sobre Q, cuya no resolubilidadestablecerá el resultado.Sea f(X) = 2X5�10X+5 2 Q [X]. Por el criterio de Eisenstein (para el

primo 5) f es irreducible sobre Q (y por lo tanto, separable sobre Q) y tieneexactamente dos raíces complejas no reales. En efecto, la función continuaf : R! R es creciente en el intervalo (�1;�1), tiene un máximo en x = �1,es decreciente en el intervalo (�1; 1), tiene un mínimo en x = 1; y es crecienteen el intervalo (1;1) : Además f(�2) < 0 < f(�1), f(1) < 0 < f(2). Por lotanto, como consecuencia del teorema de Bolzano, f(X) = 0 tiene tres raícesreales �1 2 [�2;�1], �2 2 [�1; 1], �3 2 [1; 2]. En virtud del teorema de Rollese puede a�rmar que éstas son las únicas raíces reales de f . Las otras dos�; � son elementos de la clausura algébrica de Q que está contenida en C.Entonces el polinomio f satisface las hipótesis del lema 5.4.16 y por lo tantoGalQ(f) �= S5, que es un grupo no resoluble (1.3.18). El gran teorema deGalois proporciona el resultado.Para el estudio de la resolubilidad por radicales en característica p nece-

sitaremos estudiar por separado las extensiones cíclicas, tanto de orden pcomo de orden primo con p. Las versiones aditiva y multiplicativa del Teore-ma 90 de Hilbert - que a su vez necesitan de ciertas consideraciones acerca dela norma y la traza de una extensión �nita - abrirán el camino a la proposi-ción 5.4.24 y al teorema de Artin-Schreier (5.4.25) que caracterizan dichasextensiones.Si S es un conjunto y K un cuerpo, el conjuntoM(S;K) de aplicaciones

' : S ! K es un K-espacio vectorial con las operaciones (' + )(x) ='(x) + (x) y (a') (x) = a:'(x) para todos x 2 S y a 2 K: Si ahora

Page 179: TEORwA DE GALOIS

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 175

G es un grupo nos �jaremos en aquellos ' 2 M(G;K) tales que establecenhomomor�smos deG enK�. Estos homomor�smos se denominarán caracteresde G en K:

Lema 5.4.20 (Lema de Dedekind) Si G es un grupo, entonces cualesquieran diferentes caracteres de G en K, �1;...,�n : G! K�; son elementos lineal-mente independientes del K-espacio vectorial M(G;K):

Demostración. Es lícito suponer que n > 1; pues un carácter es obvi-amente independiente al ser un elemento no nulo de M(G;K): De entre las

hipotéticas relaciones de dependencia linealnP1

ai�i = 0 seleccionamos una

de menor número de sumandos con constante ai no nula. Tras una apropidarenumeración se puede suponer que tal relación de dependencia minimal es

a1�1 + :::+ ar�r = 0; (�)

con todos los ai 6= 0 (y r � 2): Siendo diferentes los caracteres, existe un

g 2 G tal que �1(g) 6= �2(g); y dado cualquier h 2 G se tienerP1

ai�i (gh) =

rP1

ai�i(g)�i(h) =

�rP1

ai�i(g)�i

�(h) = 0; es decir

rP1

ai�i(g)�i = 0: Como

�1 (g) 6= 0 se obtiene la relación

a1�1 + a2�2(g)�1(g)�1�2 + :::+ ar�r(g)�1(g)

�1�r = 0

que restada de la (�) proporciona�a2�2(g)�1(g)

�1 � a2��2 + :::+

�ar�r(g)�1(g)

�1 � ar��r = 0;

que es una relación de dependencia lineal con menor número de sumandosno triviales que la (�), lo que contradice la minimalidad con la que fue selec-cionada dicha relación.Si ahora E es un cuerpo, diferentes encajes �1; :::; �n : E ! K pueden

ser considerados como caracteres de E�en K�:

De�nición 5.4.21 Sea E : K una extensión �nita y sea [E : K]s = r(=[E : K] si K es de característica 0) y [E : K]i = p�(como se sabe estaúltima igualdad sólo tiene sentido si Caract(K) = p). Sean �1; :::; �r los

Page 180: TEORwA DE GALOIS

176 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

diferentes encajes de E en K sobre K: Para un elemento � 2 E se de�ne sunorma y su traza respecto de la extensión E : K mediante las expresiones

NEK(�) =

rQ1

�i�p� =

�rQ1

�i�

�[E:K]i;

y

TrEK(�) = [E : K]irPi

�i�;

expresión, esta última, que es obviamente nula en el caso de que la extensiónE : K no sea separable (i.e. � 6= 0). Si E : K es separable se tiene NE

K(�) =rQ1

�i� y TrEK(�) =rPi

�i�.

Para un elemento � 2 E algebraico sobreK el conjunto de raíces distintasenK del polinomio Irr(�;K) es, precisamente, el conjunto f�1 (�) ; :::; �r (�)g ;en donde �1;...,�r son todos los encajes de K(�) en K sobre K. Por tanto setiene

Irr(�;K) = Xn � TrK(�)K (�)Xn�1 + :::+ (�1)nNK(�)K (�);

en donde n = r si � es separable sobre K; y TrK(�)K (�) = 0 en otro caso.Obsérvese que NK(�)

K (�) y TrK(�)K (�) son , por lo tanto, elementos de K:En nuestro estudio, la utilidad de la norma y la traza estará restringida a

la obtención del teorema 90 de Hilbert en sus formas aditiva y multiplicativa,que será usado para la caracterización de extensiones cíclicas. Recuérdeseque una extensión cíclica es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois escíclico.

Teorema 5.4.22 (Teorema 90 de Hilbert. Forma multiplicativa) Sea E : Kuna extensión cíclica de grado n, G = h�i su grupo de Galois y � 2 E:Entonces NE

K(�) = 1 si, y sólo si, existe un � 2 E� tal que � = ��(�)

:

Demostración. Cada � 2 G será considerado como un encaje de E enK = E sobre K y por lo tanto como un elemento del K-espacio (y portanto E-espacio) M(G;K): Para � ; � 0 2 G denotamos con � � � 0 2M(G;K)la aplicación de�nida por (� � � 0) (x) = � (x) � 0 (x) ; y usaremos la notaciónexponencial x� = �(x); con lo que se tiene x���

0= x� :x�

0: Como consecuencia

del lema de Dedekind (5.4.20) la aplicación

idE + �� + �1���2 + :::+ �1����2�:::��n�2�n�1 : E ! K

Page 181: TEORwA DE GALOIS

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 177

no es idénticamente nula (los caracteres idE; �; �2; :::; �n�1 son diferentes) ypor lo tanto existe un 2 E tal que

� =�idE + �� + �1���2 + :::+ �1����

2�:::��n�2�n�1�( ) =

= + � � + �1�� �2

+ :::+ �1����2�:::��n�2 �

n�1 6= 0:Ahora, si 1 = NE

K(�) = �1����2�:::��n�2��n�1 ; se tiene

��(�) = � � + �1�� �2

+ :::+ �1����2�:::��n�2 �

n�1 + �1����2�:::��n�1 = �:

Recíprocamente, si existe � 2 E tal que � = ���

resulta NEK(�) =

NEK(

��(�)

) =NEK(�)

NEK(�(�))

= 1; ya que NEK es evidentemente multiplicativa y

además NEK(� (�)) = NE

K(�); pues las expresiones para ambos miembrosdadas por 5.4.21 sólo se diferencian en una permutación del orden de susfactores.

Teorema 5.4.23 (Teorema 90 de Hilbert. Forma aditiva) Sea E : K unaextensión cíclica de grado n con grupo G = h�i : Entonces � 2 E es tal queTrEK(�) = 0 si, y sólo si, existe un � 2 E tal que � = �� � (�) :

Demostración. Si existe tal elemento � se tiene TrEK(�) = TrEK(� �� (�)) = 0 ya que TrEK es evidentemente aditiva y TrEK (�) = TrEK (� (�))pues ambos miembros sólo se diferencian en el orden de los sumandos.Recíprocamente, si TrEK(�) = 0; utilizando la misma notación exponencial

que antes, podemos a�rmar que existe un 2 E tal que TrEK( ) 6= 0; comoconsecuencia del lema de Dedekind. Entonces, poniendo

� =1

TrEK( )

h� + (� + ��) � + :::+ (� + �� + :::+ ��

n�2) �

n�2i

resulta

�� � (�) = 1

TrEK( )[� + (� + ��) � + :::+ (� + �� + :::+ ��

n�2) �

n�2 �

�[�� � + (�� + ��2

) �2

+ :::+ (�� + ��2

+ :::+ ��n�1) �

n�1]] =

=1

TrEK( )

h� + � � + :::+ � �

n�1i= �:

Page 182: TEORwA DE GALOIS

178 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Para los anteriores cálculos se ha tenido en cuenta la hipótesis TrEK(�) = 0y que TrEK( ) 2 K (pues es evidente que �

�TrEK( )

�= TrEK( )).

Las dos versiones del teorema 90 permitirán caracterizar las extensionescíclicas de grado p y las de grado primo con p; siendo p la característica deK.

Proposición 5.4.24 Sea p un primo no divisor de n > 0 y sea K un cuerpode característica p que contiene una raíz primitiva n-ésima de 1. Entonces,si E : K es una extensión cíclica de grado n, entonces existe un � 2 E talque E = K (�) y tal que �n = a 2 K: Recíprocamente, si � 2 K es un cerode Xn � a 2 K [X] ; entonces la extensión K(�) : K es cíclica de grado dque es divisor de n y además �d 2 K:

Demostración. Sea � 2 K raíz primitiva n-ésima de 1 y sea G =Gal(E=K) = h�i : Siendo separable la extensión E : K, y como �

���1�=

��1; resulta NEK(�

�1) =nQ1

�i(��1) =���1�n= 1; con lo cual, en virtud

del teorema 90 de Hilbert en su forma multiplicativa (5.4.22), podemosa�rmar que existe un � 2 E tal que �(�) = ��: Como � 2 K resulta�2 (�) = � (��) = �2� y también �i (�) = �i� para i = 1; :::; n: Por lo tantoel polinomio irreducible de � sobre K tiene al menos n ceros diferentes (los�i (�) = �i�) y así n = [E : K] � [K(�) : K] = @Irr(�;K) � n: Resulta asíE = K (�) ; y además � (�n) = (� (�))n = (��)n = �n�n = �n; con lo que setiene �n 2 EG = K:Si � 2 K es un cero de f = Xn � a 2 K [X], todos los ceros de f

son los n elementos diferentes �i� 2 K(�) (i = 1; :::; n), y así K(�) escuerpo de escisión de f sobre K. La extensión K(�) : K es separable alserlo el polinomio f y por tanto también el Irr(�;K); divisor de f . AsíK(�) : K es de Galois �nita. Si G = Gal(K(�)=K) y � 2 G entonces� (�) es también un cero de Xn � a y por lo tanto � (�) = ��; siendo � una raíz de la unidad (es decir una potencia de �). Se establece así unhomomor�smo G ! Un, � � obviamente inyectivo de G en el grupode las raíces n-ésimas de 1 2 K, que es de orden n al ser n primo con p(5.3.5). Entonces G es cíclico y su orden d es divisor de n. Si se pone G = h�iresulta �

��d�= (� (�))d = ( ��)

d = d��d = �d pues � es una raíz d-ésima

(primitiva) de 1. Por lo tanto �d 2 K(�)G = K.

Proposición 5.4.25 (Artin-Schreier) Sea K un cuerpo de característica p:Si E : K es cíclica de grado p entonces E = K (�) donde � 2 E es un cero

Page 183: TEORwA DE GALOIS

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 179

de algún polinomio Xp � X � a 2 K [X] : Recíprocamente, si un polinomiof(X) = Xp �X � a 2 K [X] no escinde en K es irreducible en K [X], y, si� es cualquier cero de f , la extensión K(�) : K es cíclica de grado p:

Demostración. Sea G = h�i = Gal(E=K) que es de orden p: La ex-tensión E : K es separable y por tanto TrEK(x) =

Pp1 �

i(x) para x 2 E:Ahora TrEK(�1) =

Pp1 �

i(�1) = p(�1) = 0; y por el teorema 90 de Hilberten su forma aditiva (5.4.23) se puede asegurar la existencia de un � 2 Etal que 1 = � (�) � �: Por lo tanto �i (�) = � + i (i = 1; :::; p); ele-mentos todos ellos ceros del Irr(�;K); que, al ser diferentes, proporcionanp = [E : K] � [K(�) : K] = @Irr(�;K) � p: Por lo tanto E = K (�) yademás � (�p � �) = � (�)p � � (�) = (�+ 1)p � (�+ 1) = �p � �; conlo cual se tiene a = �p � � 2 EG = K; es decir, � es cero del polinomioXp�X�a 2 K [X] que es de grado p; y por tanto Xp�X�a = Irr(�;K):Recíprocamente, el conjunto de las raíces de f = Xp �X � a 2 K [X] es

f�; �+ 1; :::; �+ p� 1g; siendo � 2 K cualquier cero de f: Por lo tanto f esseparable y [K(�) : K] es de Galois �nita, que será la extensión trivial si fescinde en K: Supongamos que f no escinde en K y probemos que, entonces,f es irreducible en K[X]; con lo cual dicha extensión será cíclica de grado p:Para ello si f = g:h es una factorización de f en K[X] y si g no es constanteserá un producto de algunos de los factores (X � � � i); (i 2 f1; 2; :::; pg.Si @g = d, el coe�ciente del término de grado d � 1 de g es una suma de dsumandos de la forma �(� + i), y por tanto igual �d� + j para un ciertoentero j: Por lo tanto, si d < p se tiene � 2 K ya que d� = (d;1)� y d;1 6= 0en ese caso. Ello contradice la hipótesis de que f no escinde en K. Por lotanto f es irreducible enK[X]: La extensión [K(�) : K] es de Galois de gradop y por lo tanto cíclica.

Nota 5.4.26

Es necesario destacar que si K es de característica p, F : K es unaextensión �nita, y Fs(K) es la subextensión maximal separable de K en Fde�nida en (4.4.29), entonces Gal(F=Fs(K)) = f1g. En efecto si � 2 F; elelemento � es el único cero del polinomio Irr(�; Fs(K)) =Xp��b= (X��)p�

(4.4.26) y por lo tanto, para cada encaje � : F ! K = F = Fs(K) sobreK (y en particular para cada � 2 Gal(F=Fs(K))) se tiene necesariamente� (�) = �. Además, si � 2 Fs(K) y � 2 Gal(F=K), entonces � (�) es uncero del polinomio separable Irr(�;K) y así Irr(�;K) = Irr(� (�) ; K), de

Page 184: TEORwA DE GALOIS

180 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

lo que resulta que � (�) es un elemento de F también separable sobre K.Es decir, para cada � 2 Gal(F=K), su restricción a Fs(K) establece unencaje Fs(K) ! Fs(K) que es necesariamente un automor�smo de Fs(K)al ser este cuerpo una extensión �nita de K. Ahora, el homomor�smo degrupos Gal(F=K) ! Gal(Fs (K) =K); de�nido por � � jFs(K), tiene pornúcleo el grupo Gal(F=Fs(K)) = f1g y entonces la restricción establece unisomor�smo de Gal(F=K) con un subgrupo de Gal(Fs (K) =K). Si ademásF : K es normal el anterior homomor�smo restricción es un isomor�smo. Enefecto, cada � 2 Gal(Fs (K) =K) se extiende a un encaje � : F ! K = F =Fs(K) sobre K que, ahora, es necesariamente un automor�smo de F , por lanormalidad de F : K.Obsérvese también que si F : K es una extensión normal, entonces Fs(K):

K es una extensión de Galois. En efecto si f es un polinomio irreducible enK[X] que tiene un cero � en Fs(K), los restantes ceros de f (como elementosde F = K), que están en F al ser F : K normal, son también separablessobre K pues todos tienen el mismo polinomio irreducible sobre K, y así fescinde en Fs(K).Se puede enunciar ahora:

Proposición 5.4.27 Si p = Caract(K) 6= 0 y F : K es una extensiónnormal �nita entonces la subextensión maximal separable Fs(K) deK en F esuna extensión �nita de Galois de K y los grupos Gal(F=K)y Gal(Fs (K) =K)son isomorfos.�

Nota 5.4.28

Como consecuencia de lo anterior, conviene destacar que el orden delgrupo de Galois de una extensión normal F : K es divisor del grado de laextensión ya que

#Gal(F=K) = #Gal(Fs (K) =K) = [Fs (K) : K]

que divide a [F : K] :

Nota 5.4.29

Si F : E es puramente inseparable �nita, entonces F = E(�1; :::; �t)para ciertos �1; :::; �t puramente inseparables sobre E (4.4.30), y por tantoexisten enteros �i (i = 1; :::; t) tales que �

p�ii 2 E. Es entonces evidente que

Page 185: TEORwA DE GALOIS

5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES 181

la extensión F : E es radical; la torre E � E(�1) � ::: � E(�1; :::; �t) es unatorre radical (5.4.1).El siguiente teorema establece la resolubilidad por radicales en caracterís-

tica positiva.

Teorema 5.4.30 Sea K un cuerpo de característica p 6= 0 y f 2 K[X] unpolinomio no constante. Entonces son equivalentes las a�rmaciones

i) El polinomio f es resoluble por radicales sobre Kii) GalK(f) es un grupo resoluble.

Demostración. \ii) =) i)"Sea F cuerpo de escisión de f sobre K y sea E la subextensión maxi-

mal separable de F sobre K: Por (5.4.27) la extensión E : K es de Galoisy los grupos GalK(f) = Gal(F=K) y Gal(E=K) son isomorfos. Por tantoGal(E=K) es un grupo resoluble en virtud de la hipótesis. Sea n = [E : K] =#Gal(E=K) = prm con p no divisor de m; y sea � 2 K = E = F unaraíz primitiva m-ésima de 1: Si F = E(�1; :::; �t) con �

�ii 2 E; para cada

i = 1; :::; t) la extensión F (�) : E(�) es radical pues F (�) = E(�)(�1; :::; �t)y se aplica (5.4.29). Por otra parte, la extensión E(�) : K(�) es de Galois congrupo eG = Gal(E(�)=K(�)) isomorfo a un subgrupo del grupo Gal(E=K)y por tanto resoluble de orden un divisor de n = [E : K] = #Gal(E=K)(5.4.13). Resulta de este modo una torre

K � K (�) � E (�) � F (�)

en la que el primero y tercer pasos son extensiones radicales ((5.4.6) y(5.4.29)) con lo que i) quedará probado si se demuestra que E(�) : K(�)es radical pues, así, el cuerpo F resultará contenido en la extensión radicalF (�) de K: Por la resolubilidad del grupo Gal(E(�)=K(�)) existe una torrenormal �

idE(�)= Hr � Hr�1 � ::: � H1 � H0 = eG

en la que cada grupo cociente Hi=Hi+1 es de orden primo qi (1.3.12), divisorde # eG = [E(�) : K(�)] que es, a su vez, divisor de n, y así cada qi divide an: Sea Fi = E(�)Hi, para cada i = 0; 1; :::; r� 1: Por el teorema fundamentalde teoría de Galois se obtiene una torre de cuerpos

K(�) = F0 � F1 � ::: � Fi � Fi+1 � ::: � Fr = E(�);

Page 186: TEORwA DE GALOIS

182 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

y como E(�) : E(�)Hi+1 y E(�) : E(�)Hi son extensiones de Galois, siendoHi+1 subgrupo normal de Hi; resulta que Fi+1 : Fi es una extensión de Galoiscon grupo isomorfo a Hi=Hi+1: Nótese que, cada qi = #(Hi=Hi+1) 6= p esdivisor de m al ser divisor de n y primo con p; por la selección que se hahecho del entero m. Como

�E(�)Hi+1 : E(�)Hi

�= qi 6= p es primo y, como �

es raíz primitiva m-ésima de 1, resulta que Fi = E(�)Hi contiene a �m=qi quees una raíz primitiva qi-ésima de 1. La aplicación de la proposición 5.4.24 (o ,alternativamente, el lema 5.4.11) proporciona la existencia de un �i 2 Fi+1 talque Fi+1 = Fi(�i) y tal que �

qii 2 Fi: En el caso de un qj = #(Hj=Hj+1) = p

la extensión Fj+1 : Fj es cíclica de grado p y se aplica el lema de Artin-Schreier(5.4.25), con lo cual Fj+1 = Fj (�) siendo � un cero de un polinomio del tipoXp �X � a 2 Fj [X] : Entonces la torre

K � K(�) = F0 � F1 � ::: � Fi � Fi+1 � ::: � Fr = E(�)

es una torre radical.\i) =) ii)"Sea F � K cuerpo de escisión del polinomio f sobre K, y sea L una

extensión radical de K que contiene a F . Supondremos además que la ex-tensión L : K es normal �nita pues, en otro caso, el cuerpo L puede sersustituido por su clausura normal sobre K (5.4.6). Sean E y M las subex-tensiones maximales separables de K en F y en L; respectivamente, queson extensiones �nitas de Galois de K y además Gal(F=K) �= Gal(E=K)y Gal(L=K) �= Gal(M=K) (5.4.27). Obviamente se tiene E � M: Sean = [L : K] = prm con p - m y r � 0; y sea � 2 K una raíz primitivam-ésima de 1 2 K: Si

K = K0 � K1 � ::: � Kr = L

es una torre radical con pasos de los tipos especi�cados en (5.4.1), la torreobtenida a partir de ésta por �-levantamiento

K0 (�) � K1 (�) � ::: � Kr (�)

tiene los correspondientes pasos de los mismos tipos que la anterior, peroahora cada cuerpo contiene raíces primitivas de la unidad su�cientes co-mo para poder a�rmar, a la luz de (5.4.24), que todas aquellas extensionesKi+1(�) : Ki(�); tales que [Ki+1 : Ki] es primo con p; tienen grupo de Galoiscíclico de orden primo con p (isomorfo por (5.4.13) a un subgrupo del grupo

Page 187: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 183

de Galois de la extensión de Galois Ki+1 : Ki cuyo grado es divisor de n yprimo con p): Las extensiones con grado una potencia de p tienen gruposde Galois de orden también potencias de p (5.4.28) y, por tanto, resolubles(1.2.29). Resulta así que el grupo Gal(L (�) =K (�)) �= Gal(M (�) =K (�)) esresoluble y entonces lo es también el grupo Gal(M (�) =K) pues

Gal(K (�) =K) �= [Gal(M(�)=K)]� [Gal(M(�)=K (�))] ;ya que K (�) : K es normal cuyo grupo de Galois es resoluble, en virtud dela selección del entero m (5.3.6), y se aplica (1.3.13). Ahora

Gal(F=K) �= Gal(E=K) �= [Gal(M (�) =K)]� [Gal(M (�) =E)] ;

por la misma proposición (1.3.13), y por lo tanto F : E es resoluble.Conviene hacer un comentario acerca de la forma en que el gran teorema

de Galois en característica p aparece en la literatura. No existe uniformi-dad en el modo de abordar la noción de extensión radical, aunque en lamayor parte de los manuales se restringe al caso de extensiones separables(por ejemplo [LAN]), e incluso de extensiones algebraicas del cuerpo primoZp(confróntese la noción de extensión radical dada en [DFX] con la de estemanual, a la luz de los comentarios de la nota 5.4.2). La prueba del teoremaestará mediatizada entonces por estas convenciones. Hemos presentado aquíuna noción de extensión radical no necesariamente separable - siguiendo unasugerencia de Lang [LAN]- y ello ha permitido acceder a la demostración delgran teorema de Galois sin grandes complicaciones.

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n.

Esta sección ilustra la teoría desarrollada hasta ahora obteniendo, paracada n, una ecuación algebraica de grado n cuyo grupo de Galois (5.4.9) esel grupo simétrico SnA partir de ahora K es un cuerpo y ft1; t2; :::; tng es un conjunto trascen-

dente sobre K cuyos elementos supondremos que están en una extensión Fde K. Ello signi�ca, esencialmente, que K [t1; t2; :::; tn] es el anillo de poli-nomios en n variables sobre K y que la subextensión K (t1; t2; :::; tn) de F esel cuerpo de funciones racionales en n variables sobre K (véase ejercicio 26del capítulo 3).Por la propiedad universal del anillo de polinomios, cada � 2 Sn induce

un isomor�smo de K-álgebrase� : K [t1; t2; :::; tn]! K [t1; t2; :::; tn]

Page 188: TEORwA DE GALOIS

184 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

e�(f (t1; t2; :::; tn)) = f�t�(1); t�(2); :::; t�(n)

�;

cuyo inverso es g��1; de�nido de similar modo a partir de ��1 2 Sn: Nótese quela existencia de e� solamente está garantizada si ft1; t2; :::; tng es un conjuntotrascendente sobre K; es decir, si K [t1; t2; :::; tn] es un anillo de polinomios.El isomor�smo e� se extiende a un automor�smo de K (t1; t2; :::; tn) sobre K;que seguiremos denotando con e�:De�nición 5.5.1 Un elemento s 2 K [t1; t2; :::; tn] se dirá que es un poli-nomio simétrico (en las variables t1; t2; :::; tn) si para cada permutación � 2Sn se tiene

s(t1; t2; :::; tn) = e�(s (t1; t2; :::; tn)) = s(t�(1); t�(2); :::; t�(n)):

Los polinomios homogéneos (2.3.2)

s1 = t1 + t2 + :::+ tn;

s2 =P

1�i<j�ntitj

:::

sr =P

1�i1<i2<:::<ir�nti1ti2 :::tir

:::

sn = t1t2:::tn

reciben el nombre de polinomios simétricos elementales.

De�nición 5.5.2 El polinomio

Fn(X) = (X � t1)(X � t2):::(X � tn) == Xn � s1Xn�1 + :::+ (�1)rsrXn�r + :::+ (�1)nsn 2 K (t1; t2; :::; tn) [X]tiene sus coe�cientes en el subcuerpo K(s1; s2; :::; sn); y la ecuación

Fn(X) = 0

recibe el nombre de ecuación algebraica general de grado n (sobre K).

Obsérvese que si se sustituye tn = 0 en la expresión para Fn(X) dada en(5.5.2) resulta

(Fn)0 (X) := (X � t1)(X � t2):::(X � tn�1)X =

= Xn � (s1)0Xn�1 + :::+ (�1)r (sr)0Xn�r + :::+ (�1)n�1 (sn�1)0X;(aquí, con (si)0 se indica el resultado de sustituir tn = 0 en la expresión desi). Los (si)0 son precisamente los polinomios simétricos elementales en lasvariables t1; t2; :::; tn�1, y además (Fn)0 (X) = XFn�1(X):

Page 189: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 185

Nota 5.5.3

Nótese también que si �1; :::; �n 2 K; la evaluación ' : K [t1; t2; :::; tn]!K de�nida por ' (ti) = �i (i = 1; 2; :::; n) induce el homomor�smo de K-álgebras ' [X] : K [t1; t2; :::; tn] [X]! K [X] de�nido por

' [X] [ar(t1; :::; tn)Xr + :::+ a0(t1; :::; tn)] =

= ar(�1; :::; �n)Xr + :::+ a0(�1; :::; �n):

En particular, si f = Xn+an�1Xn�1+ :::+a0 2 K[X] � K[X]; y �1; :::; �n 2

K son los ceros de f; entonces

' [X] (Fn(X)) = f(X):

Cualquier polinomio mónico f de grado n es una especialización del polinomiogeneral Fn.Si � 2 Sn y e� es el automor�smo de K (t1; t2; :::; tn) sobre K de�nido

antes, sabemos que e� induce un isomor�smoe� : K (t1; t2; :::; tn) [X]! K (t1; t2; :::; tn) [X]

mediante e�(Pi

riXi) =

Pi

e�(ri)X i;

en donde las ri denotan funciones racionales en las trascendentes t1; t2; :::; tn:El polinomio Fn(X) = Xn � s1Xn�1 + ::: + (�1)nsn es tal que e�(Fn(X)) =Fn(X); ya que Fn(X) = (X� t1)(X� t2):::(X� tn) y la aplicación e� consistesolamente en la alteración del orden de los factores.ComoK (t1; t2; :::; tn) = K(s1; s2; :::; sn)(t1; t2; :::; tn); resulta queK (t1; t2; :::; tn)

es el cuerpo de escisión de Fn(X) sobre K(s1; s2; :::; sn); es decir, la extensiónK (t1; t2; :::; tn) : K(s1; s2; :::; sn) es normal. Tenemos así

GalK(s1;s2;:::;sn)(Fn) = Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn)):

Además, se tiene un homomor�smo de grupos

Sn ! Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn))

� e�que será isomor�smo como consecuencia de la siguiente proposición, en cuyaprueba usaremos la noción de peso de un polinomio.

Page 190: TEORwA DE GALOIS

186 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

De�nición 5.5.4 Se de�ne el peso del monomio

M(X1; X2; :::; Xn) = X�11 X

�22 :::X

�nn

como el entero w(M) := �1 + 2�2 + ::: + n�n: Para un polinomio f =P(�)

a(�)M(�)(X1; X2; :::; Xn) 2 K [X1; :::; Xn] el peso w(f) queda de�nido como

el máximo de los pesos de sus monomios, es decir

w(f) = m�axa(�) 6=0

w(M(�)):

Proposición 5.5.5 Si A es un anillo conmutativo y f (t1; t2; :::; tn) 2 A [t1; t2; :::; tn]es simétrico de grado d; entonces existe un polinomio g (X1; :::; Xn) 2 A [X1; :::; Xn]de peso � d tal que f (t1; t2; :::; tn) = g(s1; :::; sn): En particular, si f (t1; t2; :::; tn) 2A [t1; t2; :::; tn] es simétrico, entonces f (t1; t2; :::; tn) 2 A [s1; s2; :::; sn] ; es de-cir A [s1; s2; :::; sn] es el anillo de los polinomios simétricos con coe�cientesen A:

Demostración. La prueba será por inducción en n. La tesis es obvia enel caso n = 1: Supondremos el teorema cierto para polinomios en n� 1 vari-ables, y para polinomios en n variables procederemos a razonar por inducciónen el grado d. Es evidente que el enunciado es válido (en cualquier númerode variables) si d = 0: Sea d > 0 y supongamos entonces que el resultadoes cierto para polinomios en n variables de grado menor que d: Tomemosnuestro f (t1; t2; :::; tn) simétrico de grado d > 0 (en el cual intervienen todaslas variables t1; t2; :::; tn pues en otro caso no habría nada que probar) para elcual se tiene necesariamente que @f (t1; t2; :::; tn�1; 0) < @f (t1; t2; :::; tn) =d; en virtud de la simetría de f , y entonces, por hipótesis de inducciónen n, existe un polinomio g1 (X1; :::; Xn�1) con peso w(g1 (X1; :::; Xn�1)) �@f (t1; t2; :::; tn�1; 0) < d tal que

f (t1; t2; :::; tn�1; 0) = g1 ((s1)0 ; :::; (sn�1)0) :

Comow(g1 (X1; :::; Xn�1)) = @g1 ((s1)0 ; :::; (sn�1)0) < d; el polinomio simétri-co

f1(t1; t2; :::; tn) := f (t1; t2; :::; tn)� g1 ((s1)0 ; :::; (sn�1)0)tiene grado d (en las t1; t2; :::; tn). Además

f1(t1; t2; :::; tn�1; 0) = f (t1; t2; :::; tn�1; 0)� g1 ((s1)0 ; :::; (sn�1)0) = 0;

Page 191: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 187

es decir, tn es divisor de f1(t1; t2; :::; tn) en A [t1; t2; :::; tn] ; y por la simetríade f1; deberá ser cada sn divisor de f1 (en la expresión f =

P(�) a(�)t

�11 :::t

�nn

se tiene �i > 1; para todo i; en cada monomio). Resulta entonces que

f1(t1; t2; :::; tn) = snf2(t1; t2; :::; tn);

para un cierto f2(t1; t2; :::; tn) 2 A [t1; t2; :::; tn] ; necesariamente simétrico,cuyo grado es d � n < d: Por lo tanto f2(t1; t2; :::; tn) = g2 (s1; :::; sn) paraun cierto g2 (X1; :::; Xn) de peso � @f2 < d , en virtud de la hipótesis deinducción en d. Se tienen así las igualdades

f (t1; t2; :::; tn) = f1(t1; t2; :::; tn) + g1 (s1; :::; sn�1)

= g1 (s1; :::; sn�1) + snf2(t1; t2; :::; tn) =

g1 (s1; :::; sn�1) + sng2 (s1; :::; sn) ;

la última de las cuales culmina la demostración, pues el polinomio

g(X1; :::; Xn) := g1 (X1; :::; Xn�1) +Xng2 (X1; :::; Xn)

tiene peso � d:Nótese que g en realidad tiene peso d pues dicho peso es el grado de f en

las trascendentes ft1; t2; :::; tng:

Nota 5.5.6

Nótese que un polinomio simétrico en n variables f(t1; t2; :::; tn) 2 A [s1; :::; sn]se puede interpretar como un polinomio simétrico en r variables si r � n;teniendo en cuenta que A [s1; :::; sn] � A [s1; :::; sr] (el j-ésimo polinomiosimétrico elemental en n variables sj(t1; t2; :::; tn) puede ser considerado comoun polinomio simétrico (no elemental) en r variables en el cual no intervienentn+1; :::; tr). Además, el homomor�smo canónico

' : A [t1; t2; :::; tr]! A [t1; t2; :::; tn]

de�nido por

'jA = idA; ' (ti) = ti si i = 1; 2; :::; n; y ' (tk) = 0; si k = n+ 1; :::; r

es tal que ' (A [s1; s2; :::; sr]) = A [s1; s2; :::; sn] y además 'jA[s1;s2;:::;sn] =idA[s1;s2;:::;sn]: El j-ésimo polinomio simétrico elemental sj(t1; t2; :::; tn) en lasn variables t1; t2; :::; tn puede ser obtenido a partir del j-ésimo polinomiosimétrico elemental sj(t1; t2; :::; tr) mediante la sustitución sj(t1; t2; :::; tn) =sj(t1; t2; :::; tn; 0; :::; 0) = ' [sj (t1; t2; :::; tr)].

Page 192: TEORwA DE GALOIS

188 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

Corolario 5.5.7 Con las mismas notaciones que hasta ahora se tiene

Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn)) �= Sn:

Demostración. Si � es un automor�smo de K (t1; t2; :::; tn) que deja�jos los elementos de K(s1; s2; :::; sn); � deja �jos los polinomios simétricoselementales y entonces

F �n (X) := Xn � � (s1)Xn�1 + :::+ (�1)n� (sn)

= (X � � (t1))(X � � (t2)):::(X � � (tn))

= Xn � s1Xn�1 + :::+ (�1)nsn= (X � t1)(X � t2):::(X � tn) = Fn(X):

De la factorización única en K (t1; t2; :::; tn) [X] se obtiene que � determina,necesariamente, una permutación del conjunto ft1; t2; :::; tng: Es muy fácilprobar que la aplicación resultante

Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn))! Sn

� b�(con b�(i) = j :() �(ti) = tj), es inversa del homomor�smo

Sn ! Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn))

� e�de�nido más arriba.Como consecuencia de todo lo anterior resulta

Teorema 5.5.8 Si K es un cuerpo, la ecuación general de grado n sobre Kes resoluble por radicales si, y sólo si, n � 4.

Demostración. Si P es el cuerpo primo de K; el polinomio Fn(X) =Xn � s1Xn�1 + :::+ (�1)nsn tiene coe�cientes en P (s1; s2; :::; sn): La resolu-bilidad por radicales aquí debe ser entendida sobre P (s1; s2; :::; sn) según loestablecido en 5.4.8. El teorema 5.4.30 y el corolario anterior proporcionanel resultado.

Page 193: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 189

LAS ECUACIONES DE GRADOS 3 Y 4 Utilizando la teoría deGalois daremos ahora las indicaciones necesarias para la obtención de losmétodos clásicos de resolución de la cúbica y la cuártica sobre un cuerpo Kque supondremos de característica diferente de 2 y de 3. La resolución de lascorrespondientes ecuaciones generales de grados 3 y 4 proporcionará las decualquier cúbica o cuártica por conveniente especialización (5.5.3).

De�nición 5.5.9 Siendo t1; :::; tn como antes, se pone

�n =Q

1�i<j�n(ti � tj)

y se de�ne el discriminante de Fn como

Dn = (�n)2 :

El discriminante de un polinomio f 2 K [X] de grado n se obtiene como

D(f) = ' [X] (Dn) ;

con el ' [X] de�nido en (5.5.3).

De la propia de�nición y de (1.3.6) es muy fácil obtener que si e� 2Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn)) �= Sn entonces e� (�n) = " (�) �n; sien-do � 2 Sn la permutación de subíndices correspondiente a e� en la pruebadel isomor�smo que establece el corolario 5.5.7. Por lo tanto es evidente quee� (Dn) = Dn para todo e� 2 Gal(K (t1; t2; :::; tn) =K(s1; s2; :::; sn)), con lo queresulta que Dn 2 K(s1; s2; :::; sn) y es un polinomio simétrico en las t1; :::; tn:Por ejemplo, para n = 2D2 = (t1 � t2)2 = t21 + t

22 � 2t1t2 = (t1 + t2)

2 � 4t1t2 = s21 � 4s2; y para elpolinomio f = X2 + bX + c se tiene D(f) = b2 � 4cPara n = 3D3 = �4s31s3 + s21s

22 + 18s1s2s3 � 4s32 � 27s23; y para el polinomio f =

X3�a1X2+a2X�a3 se tiene D(f) = �4a31a3+a21a22+18a1a2a3�4a32�27a23:Mediante el cambio de variable (Tschirnhausen) X X + a1

3(se supone

que la característica de K es diferente de 3) el anterior polinomio cúbico se

Page 194: TEORwA DE GALOIS

190 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

transforma en f = X3 + pX + q con lo que el discriminante adopta la formaD(f) = �4p3 � 27q2:Para n = 4, suponiendo que K no es de característica 2, el polinomio de

grado 4 f = X4�a1X3+a2X2�a3X+a4 se transforma en f = X4+pX2+

qX + r mediante el cambio (Tschirnhausen) X X + a14; y se puede probar

que D(f) = 16p4r � 4p3q2 � 128p2r2 + 144pq2r � 27q4 + 256r3:

LACÚBICA Supondremos queK contiene las raíces cúbicas de la unidad.Ello no constituye ninguna restricción pues en otro caso se procederá susti-tuyendo K por K(�); siendo � una raíz primitiva cúbica de 1.La ecuación general de grado 3 es F3(X) = X3 � s1X

2 + s2X � s3.Para abreviar pondremos F = K(s1; s2; s3) y L = K(t1; t2; t3): La extensiónL : F es de Galois y su grupo será identi�cado con S3 (5.5.7). Sabemos queD = D3 = (�3)

2 2 F; y que � = �3 =2 F (el polinomio �3(t1; t2; t3) no essimétrico), con lo cual se tiene [F (�) : F ] = 2, y así L : F (�) es una extensiónde Galois cíclica de grado 3. Por el teorema fundamental de teoría de Galois(5.1.10) la torre de cuerpos

F � F (�) � L

proporciona la de grupos

G = Gal(L=K) = S3 � A3 � f1g;

ya que � 2 LA3 y Gal(L=F (�)) = A3 es el único subgrupo de orden 3 deS3:Obsérvese que t1; t2; t3 =2 F (�) = LA3 ; y que, en virtud de la hipótesissobre la característica, se puede aplicar ahora el lema 5.4.11 a la extensiónL : F (�). En la prueba de dicho lema se supone dado un generador � de laextensión, y ahora se puede tomar � = ti para cualquier i = 1; 2; 3; ya que,por el teorema del grado se tiene [L : F (�)(ti)] = 1: Entonces, poniendo � =t1 la resolvente de Lagrange adopta la forma

�i = t1 + �i�(t1) + �2i�2(t1)

para i = 0; 1; 2 (5.4.11), donde h�i = A3: Poniendo ahora � = (123) resultade�nitivamente

�0 = t1 + t2 + t3 = s1�1 = t1 + �t2 + �2t3�2 = t1 + �2t2 + �t3:

(�)

Page 195: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 191

La trascendencia de ft1; t2; t3g sobre K proporciona �0; �1; �2 =2 F (�) = LA3

(por ejemplo, de � (�1) = �1 se obtendría (1 + �)t1 + t2 + �t3 = 0). Resultaentonces L = F (�)(�1) y (�1)3 2 F (�): Así

(�1)3 = R +Q�

para ciertos R;Q 2 F = K(s1; s2; s3) -cuyo cálculo es tedioso y no se realizaráaquí- de lo que resulta

�1 =3pR +Q�:

Poniendo � = (23) 2 S3 se tiene �2 = � (�1), por lo que

(�2)3 = R�Q�;

y así�2 =

3pR�Q�;

ya que R , Q 2 F = LS3 ; � (�) = ��:Para la obtención de las expresiones radicales de las t1; t2; t3 comenzare-

mos sumando miembro a miembro las ecuaciones (�); con lo que resulta3t1 + (1+ � + �

2)t2+ (1+ � + �2)t3 = 3t1 = �0 + �1 + �2; ya que � 6= 1 es un

cero de X3 � 1 = (X � 1)(X2 +X + 1): De forma análoga, a partir de

�0 = t1 + t2 + t3��1 = �t1 + �2t2 + t3�2�2 = �2t1 + t3 + �t2

se obtiene 3t3 = �0 + ��1 + �2�2; y a partir de

�0 = t1 + t2 + t3�2�1 = �2t1 + t2 + �t3��2 = �t1 + �2t3 + t2

resulta 3t2 = �0 + �2�1 + ��2: Por lo tanto

t1 =13(�0 + �1 + �2)

t2 =13

��0 + �2�1 + ��2

�t3 =

13

��0 + ��1 + �2�2

�son las expresiones buscadas para las raíces de F3 que culminan la resoluciónpor radicales de la ecuación cúbica general pues los elementos �0; �1; �2 sonexpresiones radicales de los coe�cientes del polinomio F3:

Page 196: TEORwA DE GALOIS

192 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

LA CUÁRTICA: Dada la cuártica general F4 =4Q1

(X�ti) = X4�s1X3+

s2X2 � s3X + s4 = 0 se trata de obtener t1; t2; t3 y t4 como expresiones

radicales de los coe�cientes s1; s2; s3 y s4: Como antes, denotaremos con L =K(t1; t2; t3; t4) el cuerpo de escisión de F4 sobre F = K(s1; s2; s3; s4): Por(5.5.7) el grupo de Galois de F4 sobre F es G = GalF (F4) = Gal(L=F ) = S4:Recuérdese que la resolubilidad de G se obtiene en la prueba de (1.3.17)mediante la construcción de la torre

f1g � W � V � A4 � G = S4

en la cual V = fidF ; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g es el grupo de Klein (véaseel ejercicio 6 del capítulo 1) considerado como subgrupo normal de A4; yW =< (12)(34) > que es subgrupo normal de V pero no de A4: Por elteorema fundamental de teoría de Galois (5.1.10) se obtiene así la cadena deextensiones

L � LW � LV � LA4 = F (�) � F

cuyos grados se determinan a continuación.�L : LW

�= #W = j(13)(24)j = 2;�

LW : LV�= (V : W ) = 2;�

LV : LA4�= (A4 : V ) = 3 (véase prueba de (1.3.17))�

LA4 : F�= (S4 : A4) = 2:

La extensión LV : LA4 es cíclica de grado 3; y admite como elemento primitivocualquier � 2 LV (es decir un � 2 L que quede �jo por los elementos de V )que no sea elemento de LA4 . El elemento � = (t1 + t2)(t3 + t4) es tal que(123)(�) = (t2 + t3)(t1 + t4) 6= �, y � queda �jo por cualquier elementode V: Así se tiene LV = LA4(�) = F (�; �): Ahora, como

�LV : LA4

�= 3 el

polinomio Irr(�;LA4) = X3 � a1X3 + a2X2 � a3X + a4 2 LA4 [X] tiene por

ceros todos los conjugados de � por la acción del grupoGal(LV =LA4) = A4=Vque es cíclico de orden 3 generado por � = �:V; la clase módulo V de cualquierpermutación par � 2 S4 que no sea elemento de V . El elemento � = (123)satisface las condiciones y de ello resultan las igualdades

Irr(�;LA4) = X3 � a1X3 + a2X2 � a3X + a4 =

(X � �)(X � � (�))(X � �2 (�)) == (X � ((t1 + t2)(t3 + t4)) (X � ((t2 + t3)(t1 + t4)) (X � ((t3 + t1)(t2 + t4)) ;

Page 197: TEORwA DE GALOIS

5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO N. 193

que, tras un cálculo laborioso y las correspondientes identi�caciones, nospermiten obtener las ai como el valor en �; � = � (�) ; y = �2 (�) =(t3+t1)(t2+t4) de los polinomios simétricos elementales de tres variables. Porlo tanto �; � y se obtienen como expresiones radicales de las a1; a2; a3; a4 2F (�) resolviendo la cúbica X3 � a1X3 + a2X

2 � a3X + a4 = 0:El elemento � = (t1 + t2) es un generador de la extensión cuadrática

LW : LV ya que � 2 LW pero ((13)(24)) (�) 6= �: Ahora, de

t1 + t2 + t3 + t4 = s1(t1 + t2) (t3 + t4) = �

resulta t1+ t2 =s1�ps21�4�2

; y entonces t3+ t4 =s1�ps21�4�2

; donde la elecciónde un signo en la raíz para el valor de t1+ t2 condiciona la selección del signocontrario para la raíz que expresa el valor de t3 + t4:De forma análoga, las igualdades

t1 + t2 + t3 + t4 = s1(t2 + t3) (t1 + t4) = �

proporcionan t1 + t4 =s1�ps21�4�2

; y entonces t2 + t3 =s1�ps21�4�2

; con lasmismas consideraciones acerca de los signos de los radicales.Y también, de

t1 + t2 + t3 + t4 = s1(t1 + t3) (t2 + t4) =

se obtiene t1 + t3 =s1�ps21�4 2

; y entonces t2 + t4 =s1�ps21�4 2

; con consid-eraciones análogas respecto de los signos de los radicales.En cualquier caso, una vez seleccionados los valores de dos de los elemen-

tos t1 + t2; t1 + t4; t1 + t3 la selección del tercero está condicionada por elhecho de que �� = a4; y las expresiones radicales de las t1; t2; t3 y t4 seobtienen ahora de lo anterior. Así, por ejemplo, seleccionando signo + parael radical de las expresiones correspondientes a t1 + t2 y t1 + t3 se obtiene

t1 =1

4

�s1 +

qs21 � 4�+

qs21 � 4 �

qs21 � 4�

�;

en donde, la correspondiente imprecisión de signo en el último radical estásujeta a las restricciones antes mencionadas.

Page 198: TEORwA DE GALOIS

194 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

5.6. Ejercicios

1.- Sea E = Q(p2;p3). Calcular el grupo de Galois de la extensión E : Q,

así como todos los cuerpos intermedios entre Q y E.

2.- Descríbase el grupo de Galois sobre Q de cada uno de los siguientespolinomios:a) X4 + 4:b) X4 � 3X2 � 28c) X3 � 2.3.- Si E es cuerpo de escisión sobre Q del polinomio X4 + 1 demuéstrese

que Gal(E=Q) tiene orden 4. Utilizando la correspondencia de Galois, jus-tifíquese que Gal(E=Q) no es un grupo cíclico.

4.- Sea E un cuerpo de escisión de f = X5 � 1 sobre Q.a) Demuéstrese que Gal(E=Q) es un grupo cíclico de orden 4.b) Calcúlense los cuerpos intermedios entre Q y E.c) Si � = e2�i

5, calcúlense Irr(�2 + �3;Q) e Irr(�;Q(�2 + �3)).

5.- Sea E cuerpo de escisión de X4 � 2 sobre Q.a) Pruébese que G = Gal(E=Q) es isomorfo a D2;4.b) Calcúlense los subgrupos de G de orden 4 y sus cuerpos �jos.

6.- Demuéstrese que si p 6= 2 es número primo y � es una raíz primitivap-ésima de la unidad el grupo Gal(Q(�)=Q) es cíclico y está generado por elQ-automor�smo � de Q(�) de�nido por �(�) = �2:

7.- Calcúlese el número de subcuerpos de Q(cos 2�i13):

8.- Estúdiese cuales son los elementos de Gal(Q(2�i7)=Q) que dejan �jo

isen2�7: Calcúlense los grados

�(Q(2�i

7) : Q(isen2�

7)�y�Q(isen2�

7) : Q

�:

9.- Sea L : K una extensión de Galois �nita tal que Gal(L=K) �= Zpq,siendo p; q primos diferentes.¿Cuántos cuerpos intermedios existen entre Ky L?

10.- Demuéstrese que para cada número par n > 0 existe un polinomiof 2 Q [X] de grado n que tiene n raices no racionales distintas y cuyo grupode Galois sobre Q es Z2:

11.- Sean p; q números primos tales que p = 2q+1: ¿Cuántos subcuerpostiene Q(e

2�ip )?

Page 199: TEORwA DE GALOIS

5.6. EJERCICIOS 195

12.- Sean p; n un números enteros, p primo, y sea � = e2�ip . Demuéstrese

que son equivalentes las a�rmacionesi) n es un cubo perfecto (es decir 3

pn 2 Z)

ii) 3pn 2 Q(�):

13.- Sea � una raíz primitiva séptima de la unidad. Pruébese que:a) El grado de Q(�) : Q es 6:b) Gal(Q(�)=Q) =< � >, siendo � el automor�smo de Q(�) dado por

�(�) = �3.c) Irr(1 + 2(� + �2 + �4);Q) = X2 + 7:

14.- Justifíquese la veracidad o la falsedad de la siguiente a�rmación:Si E es el cuerpo de escisión de X4�2 sobre Q en C, para demostrar que

el grado del polinomio irreducible de i + 4p2 sobre Q es igual al grado de E

sobre Q basta con probar que existen al menos 5 elementos distintos en laórbita de i+ 4

p2 mediante la acción del grupo Gal(E : Q).

15.- a) Sea f = X4+X2�6 2 Q[X]. ¿Es f irreducible sobre Q? Determí-nese su cuerpo de escisión Ef sobre Q calculando, si es posible, un elementoprimitivo de Ef : Q. HallarGal(Ef=Q) y sus subgrupos. ¿Existe algún cuerpointermedio F tal que F : Q es normal?b) Pruébese que si g es un polinomio irreducible sobre un cuerpoK y tiene

un cero en una extensión radical de K entonces g es resoluble por radicales.

16.- Sea f = X5 � 2 2 Q[X] y sea G = GalQ (f) :a) Calcúlese el orden de G.b) Demuéstrese que G tiene un subgrupo normal de orden 5.c) Pruébese que G es resoluble.d) Demuéstrese que G no es abeliano.e) Pruébese que G es isomorfo a un subgrupo de S5 que no contiene

trasposiciones.

17.- Sea E = Q(p2; 7p5; i).

a) Calcúlese [E : Q] y pruébese que E : Q no es normalb) Demuéstrese que E : Q( 7

p5) es normal y determinar una Q

�7p5�-base

de E.c) Pruébese que G = Gal(E=Q( 7

p5)) � Z2 � Z2:

d) ¿Es �p2 + 5i un cero de Irr(

p2 + 5i);Q( 7

p5))?

18.- Justifíquese la veracidad o la falsedad de las siguientes a�rmaciones:a) X4 + 1 2 Q[X] es un polinomio ciclotómico.

Page 200: TEORwA DE GALOIS

196 CAPÍTULO 5. TEORÍA DE GALOIS

b) X3 + aX2 + bX + 2 2 Q[X] no tiene ceros en R.c) El grupo de Galois de la extensión Q(

p3; 3p2; i) : Q es un grupo cíclico.

19.-Sea � una raíz primitiva novena de la unidad.a) Justifíquense las relaciones de inclusión existentes entre los siguientes

cuerpos: Q(�), Q(�3) y Q(�6).b) Calcular Irr(�2;Q

��6�):

20.- Sea p un número primo. Demuéstrese que si r es un número naturalentonces �pr (X) = �p(XP r�1):

21.- Sea K un cuerpo, n � 1 un entero impar y � 2 K una raíz primitivan-ésima de 1. Demuéstrese que K contiene también una raíz primitiva 2n-ésima de 1.

22.- ¿Para qué enteros n una raíz primitiva n-ésima tiene grado 2 sobreQ?

23.- Para r 2 N denotamos con Ur el grupo de las raíces r-ésimas de 1 2 Q:Demuéstrese que si n y m son enteros positivos primos entre si, entonces setiene que Un \ Um = f1g y que Un:m = Un:Um � Un � Um:24.- Para r 2 N denotamos con �r una raíz primitiva r-ésima de 1 2 Q.

Demuéstrese que si n y m son enteros positivos primos entre si, entoncesQ (�n)Q (�m) = Q (�n:m) y Q (�n) \Q (�m) = Q:

Page 201: TEORwA DE GALOIS

Capítulo 6

Complementos

6.1. Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.

La �nalidad de este apéndice es desarrollar una interesante aplicaciónde la teoría de Galois a la Geometría Euclídea plana, completando algúnaspecto del contenido de la sección 3.3 que se ha dedicado al estudio de losproblemas geométricos clásicos. Con la imposibilidad de trisecar el ángulo �

3

queda demostrado que el polígono de 18 lados no es constructible con reglay compás. Se trata ahora de determinar cuáles son los polígonos regularesconstructibles. Comenzamos con la noción de primo de Fermat.

De�nición 6.1.1 Si m es un número natural y p = 2m + 1 es un númeroprimo se dirá que p es un primo de Fermat.

Proposición 6.1.2 Los primos de Fermat son todos de la forma p = 22n+1:

Demostración. Bastará con demostrar que si p = 2m + 1 (m > 1)es un número primo entonces m solamente admite a 2 como divisor primo.Supóngase quem admite algún divisor impar q: Entonces, dem = q:r resulta:

a) Xq + 1 admite a �1 como raíz al ser q impar, lo cual implica queXq + 1 = (X + 1)g(X) donde g 2 Z [X].

b) Como consecuencia de a) se tiene que p = 2m + 1 = (2r)q + 1 =(2r + 1):g(2r) y, por ser p número primo, resulta 2r + 1 = 2rq + 1: Entoncesdebe ser r:q = r; es decir q = 1:Resumiendo, 1 es el único divisor impar de m; y entonces m = 2n para

algún entero n:

197

Page 202: TEORwA DE GALOIS

198 CAPÍTULO 6. COMPLEMENTOS

Los primos de Fermat han sido bautizados así por Mersenne. Fermathabía conjeturado que todos los números de la forma 22

n+ 1 eran primos,

pero Euler probó que 225+1 = 4;294;967;297 no lo es. Son primos de Fermat

los números 3 = 220+1; 5 = 22

1+1; 17 = 22

2+1; 257 = 22

3+1 y 65;357 =

224+ 1, y no se conoce ninguno más. Actualmente se sabe que 22

n+ 1 no es

primo si 5 � n � 16:OBSERVACIONES6.1) El polígono regular de n lados (o n-ágono regular) es constructible

si, y solamente si, cos 2�nes un número real constructible.

6.2) Si � = cos 2�n+ isen2�

n= e

2�in (por tanto � es raíz primitiva n-ésima

de 1), entonces cos 2�n= 1

2

�� + �

�2 Q (�) ; ya que � = ��1(al ser � un número

complejo de módulo 1). Se tiene así una torre de cuerpos Q � Q�cos 2�

n

��

Q (�) :6.3) Recuérdese que, según establece el teorema fundamental sobre cons-

tructibilidad (3.3.6), un número real � es constructible si, y sólo si, existeuna torre

Q =F0 � F1 � ::: � Fr � Rtal que [Fi : Fi�1] � 2, para i = 1; 2; :::; r, y tal que � 2 Fr.

Proposición 6.1.3 Sea � 2 R algebraico sobre Q y sea E cuerpo de escisiónsobre Q del polinomio f = Irr(�;Q): Si E � R y si [E : Q] es una potenciade 2; entonces � es constructible.

Demostración. E : Q es extensión �nita de Galois y por tanto se tiene#G = [E : Q] = 2r; en donde se ha puesto G = Gal(E=Q): Así G es un2-grupo que admitirá una �ltración de subgrupos

feg = H0 � H1 � ::: � Hr = G

en la cual cada Hi es subgrupo normal, y de índice 2; de Hi+1 (1.2.29): SeanFi := EHi, para i = 0; 1; :::; r; los correspondientes cuerpos �jos. El teoremafundamental de teoría de Galois (5.1.10) proporciona una torre de subcuerposde R

E = EH0 � F1 = EH1 � ::: � Fi =

= EHi � Fi+1 = EHi+1 � ::: � Fr = EG = Q,

en la cual cada Fi : Fi+1 es una extensión de Galois de grado 2 puesGal(Fi=Fi+1) �=Hi+1=Hi: Entonces, como � 2 E � R, el elemento � 2 R es constructible.

Page 203: TEORwA DE GALOIS

6.1. POLÍGONOS REGULARES 199

La última a�rmación del teorema fundamental sobre constructibilidad(3.3.6) establece que si � es un número real constructible, entonces [Q (�) : Q]es una potencia de 2.

Lema 6.1.4 Sean � = 2�ny � = cos � + i:sen� (raíz primitiva n-ésima de

1). Entonces1) [Q (cos �) : Q] es potencia de 2() [Q (�) : Q] es potencia de 2:2) [Q (cos �) : Q] es potencia de 2() cos � es constructible.

Demostración. Obsérvese que el polinomio f(X) = (X � �) :�X � �

�=

X2� 2 cos �:X +1 2 Q (cos �) [X] es irreducible en Q (cos �) [X] ya que tienea � y � como ceros, y ninguno de ellos es elemento de Q (cos �) ; que essubcuerpo de R. Por lo tanto Q (cos �) (�) = Q (�) : Q (cos �) es de grado2; y entonces [Q (�) : Q] = 2 [Q (cos �) : Q] ; con lo que la a�rmación 1) esevidente ahora.2) " =) "Q (�) es cuerpo de escisión de Irr(�;Q) sobre Q (5.3.7), con lo que

Q (�) : Q es de Galois de grupo abeliano (apartado 2 de la proposición5.3.6), y así resulta que Q (cos �) : Q es de Galois también cuyo grupoGal (Q (cos �) =Q) es isomorfo a un grupo cociente de Gal(Q (�) =Q) y que,por lo tanto, es abeliano también. Entonces Q (cos �) es cuerpo de escisión so-bre Q de Irr(cos �;Q) (ya que, al ser Q (cos �) : Q normal, el cuerpo Q (cos �)debe contener a todos los ceros de dicho polinomio, y así Q (cos �) está gen-erado sobre Q por dichos ceros). Como, por hipótesis, [Q (cos �) : Q] es unapotencia de 2; la aplicación de la proposición 6.1.3 al elemento � = cos �proporciona que cos � es un número real constructible.2)"(= "Si cos � es constructible [Q (cos �) : Q] es una potencia de 2 (comentario

previo al enunciado de este lema).Lo obtenido permite demostrar el resultado de�nitivo sobre la constructi-

bilidad de polígonos regulares:

Teorema 6.1.5 (Teorema de Gauss-Wantzel)Sea n > 2 un número entero. Son equivalentes las a�rmacionesi) El n-ágono regular es constructible.ii) El indicador de Euler ' (n) es potencia de 2.iii) n = 2mp1p2:::pt; con m; t números naturales, y p1; p2; :::; pt primos de

Fermat diferentes.

Page 204: TEORwA DE GALOIS

200 CAPÍTULO 6. COMPLEMENTOS

Demostración. "i)() ii)"

En efecto, siendo � = 2�n; el n-ágono regular es constructible() cos � es

constructible () [Q (cos �) : Q] es una potencia de 2; (en virtud del lema6.1.4 en su apartado 2) () [Q (�) : Q] = 2s, siendo � una raíz primiti-va n-ésima de 1 ((6.1.4), apartado 1) () [Q (�) : Q] = grad(Irr(�;Q)) =grad(�n (X)) = ' (n) = 2s (5.3.7).Ahora, si n = pr11 :::p

rtt es la factorización de n en números primos, es

conocido que ' (n) = (p1 � 1) pr1�11 ...(pt � 1) prt�1t ; y entonces, ' (n) es unapotencia de dos () para cada pj 6= 2, rj = 1 y pj � 1 es una potencia de 2:Ello es equivalente a decir que para cada pj 6= 2 en la anterior factorizaciónde n; rj = 1 y pj es un primo de Fermat (proposición 6.1.2). Esto establecela equivalencia ii)() iii) y el teorema queda probado.Así, por ejemplo, no son constructibles ni el heptágono ni el undecágono

regulares ni los polígonos regulares de trece o dieciocho lados. Los polígonosregulares con un número de lados primo p son constructibles si, y sólo si,p es un primo de Fermat. Son constructibles - entre una in�nidad de ellos- los polígonos regulares de 15 = 3;5 = 20

�22

0+ 1��22

1+ 1�, 16 = 22

2,

17 = 222+ 1, 257 = 22

3+ 1 y 65;537 = 22

4+ 1 lados.

6.2. La trascendencia de �

Recuérdese que la prueba completa de la imposibilidad de obtener lacuadratura del círculo utilizando solamente la regla y el compás está supe-ditada a la demostración de la trascendencia de �. Como ya se he dicho elresultado se debe a Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Über die Zahl �:Mathematische Annalen Vol. 20 (1882)213-225). A continuación transcribi-mos la prueba que aparece en las páginas 170-177 de [HAWR] y que, segúnsus autores, es esencialmente la misma que puede ser consultada en Vor-lesungen über Zahlentheorie (Hirzel, Leipzig (1927) de E. Landau, o en Irra-tionalzahlen (de Gruyter, Berlin (1910)) de O. Perron (discípulo de Linde-mann al igual que Hilbert). Se completa así el contenido de estas notas en lorelativo a construcciones geométricas.Recordemos la de�nición de exponencial compleja e� poniendo, para � =

a+ bi

e� = eaebi = ea(cos b+ isenb):

Page 205: TEORwA DE GALOIS

6.2. LA TRASCENDENCIA DE � 201

Se de�ne el símbolo hr, en donde r es un número natural, poniendo

h0 := 1; y hr := r!, si r � 1:

Con esta convención, si f(X) =Pm

r=0 crXr 2 C [X] es cualquier polinomio

de grado m se tiene, formalmente,

f(h) :=mPr=0

crhr =

mPr=0

crr!;

y, poniendo F (Y ) = f(X + Y ); resulta f(X + h) = F (h): Además, es fácilcomprobar (recurriendo por ejemplo a la fórmula de Taylor) que

f(X + Y ) =mPr=0

f (r)(X)

r!Y r;

y por lo tanto

f(X + h) = F (h) =mPr=0

f (r)(X)

r!hr =

mPr=0

f (r)(X)

Para x 2 C y r = 0; 1; 2; ::: se de�ne también, ur(x) y �r(x) mediante

ur(x) =x

r + 1+

x2

(r + 1) (r + 2)+ ::: =

Xn>0

r!xn

(n+ r)!=: ejxj�r(x)

Por comparación con el desarrollo de Taylor de la función eX resulta jur(x)j <ejxj; puesto que

Pn�0

xn

n!>P

n�0r!xn

(n+r)!al ser r!

(r+n)!< 1

n!; para todo r > 0:

En consecuencia j�r(x)j < 1; para cualquier x 2 C.

Lema 6.2.1 Si para un polinomio � (X) =Ps

r=0 crXr 2 C [X] se considera

la expresión (x) =Ps

r=0 cr�r(x)xr; de�nida para cualquier x 2 C, se tiene

entonces la igualdad

ex�(h) = �(x+ h) + (x)ejxj

para cualquier x 2 C.

Demostración.

(X + h)r =rPj=0

�r

j

�Xjhr�j = hr + rXhr�1 +

r (r � 1)2

X2hr�2 + :::+Xr

Page 206: TEORwA DE GALOIS

202 CAPÍTULO 6. COMPLEMENTOS

= r! + r (r � 1)!X +r (r � 1)

2(r � 2)!X2 +

r (r � 1) (r � 2)3!

(r � 3)!X3 + :::

:::+Xr = r!

�1 +X +

X2

2!+ :::+

Xr

r!

�Ahora para cualquier x 2 C

= r!

�1 + x+

x2

2!+ :::+

xr

r!

�= r!ex � ur(x)xr = exhr � ur(x)xr:

Entonces

exhr = (x+ h)r + ur(x)xr = (x+ h)r + ejxj�r(x)x

r:

Multiplicando la última igualdad por cr y sumando se obtiene el resultado.

Lema 6.2.2 Si m � 2, f(X) 2 Z [X] ; y se pone

F1(X) =Xm�1

(m� 1)!f(X); F2(X) =Xm

(m� 1)!f(X);

entonces F1(h) y F2(h) son números enteros y además

F1(h)� f(0) y F2(h)

son múltiplos de m:

Demostración. Sea f(X) =PL

l=0 alXl 2 Z [X] : Se tiene

F1(X) =LPl=0

alX l+m�1

(m� 1)! ;

y por tanto

F1(h) =LPl=0

al(l +m� 1)!(m� 1)! :

Como (l+m�1)!(m�1)! = (l +m� 1) (l +m� 2) :::m es múltiplo de m si l � 1;

resulta que F1(X)� a0 es múltiplo de m: De modo análogo

F2(X) =LPl=0

alX l+m

(m� 1)!

Page 207: TEORwA DE GALOIS

6.2. LA TRASCENDENCIA DE � 203

y entonces

F2(h) =LPl=0

al(l +m)!

(m� 1)!

es múltiplo de m, pues para l = 0; :::; L el entero (l+m)!(m�1)! es múltiplo de m:

Lema 6.2.3 Sean �1; :::; �m 2 C las raíces de un polinomio dXm+d1Xm�1+

::: + dm 2 Z [X]. Entonces si f(t1; :::; tm) 2 Z [t1; :::; tm] es un polinomiosimétrico, el valor numérico f(d�1; d�2; :::; d�m) es un número entero. Dehecho, para cada tal f existe un g(t1; :::; tm) 2 Z [t1; :::; tm] tal que

f(d�1; d�2; :::; d�m) = g(d1; d2; :::; dm):

Demostración. Es conocido que Z [s1; :::; sm] es el anillo de los poli-nomios simétricos enm variables (5.5.5), siendo s1 (t1; :::; tm) ; :::; sm (t1; :::; tm)los polinomios simétricos elementales (cada si es homogéneo de grado i): Seaentonces f(t1; :::; tm) = k(s1; :::; sm) con k 2 Z [X1; :::; Xm] ; es decir un poli-nomio enm variables con coe�cientes enteros. Además, como es bien conocido

d1d= �s1(�1; :::; �m);

:::did= (�1)i si(�1; :::; �m);

:::dmd= (�1)m sm(�1; :::; �m);

y entonces f(d�1; d�2; :::; d�m) =

= k(s1 (d�1; :::; d�m) ; s2 (d�1; :::; d�m) ; :::; sm (d�1; :::; d�m)) =

= k(�d1dd;d2d

2

d; :::; (�1)mdmd

m

d);

en virtud de la homogeneidad de los si: Se tiene ahora

f(d�1; d�2; :::; d�m) = k(�d1; dd2; :::; (�1)mdm�1d) = g(d1; d2; :::; dm);

en donde se ha puesto g(X1; X2; :::; Xn) := k(�X1; dX2; :::; (�1)mdm�1Xm):

Teorema 6.2.4 � es trascendente sobre Q.

Page 208: TEORwA DE GALOIS

204 CAPÍTULO 6. COMPLEMENTOS

Demostración. Supongamos que � es algebraico sobre Q. En ese casoQ(i; �) es extensión �nita de Q y por lo tanto también es algebraico sobre Qel complejo i� que será entonces un cero de algún polinomio no nulo f(X) =dXm+ d1X

m�1+ :::+ dm 2 Z [X] ; con m = grad(f): Sean !1; !2; :::; !m 2 Clos ceros de f , con !j = i� para algún j; y por lo tanto

mQk=1

(1 + e!k) = 0;

(recuérdese la identidad euleriana �1 = ei�). Efectuando el producto indica-do en la anterior igualdad resulta una expresión,

1 +2m�1Xi=1

e�i = 0 (�) ;

en donde la sucesión de números complejos

�1; �2; :::; �2m�1

es la formada por

!1; :::; !m; !1 + !2; !1 + !3; :::; !m�1 + !m; :::; !1 + :::+ !m; (**)

de los cuales supondremos que son nulos C � 1 de ellos y que, por tanto,después de una reordenación, se tiene la sucesión

�1; �2; :::; �n; 0; 0; :::; 0

con n = 2m � 1 � (C � 1) 6= 0; y los �1; �2; :::; �n no nulos. Con estasconvenciones la expresión (�) adquiere la forma

C +nXi=1

e�i = 0 (� � �) :

Sea ahora p un número primo tal que p > m�ax(d; C; jdn�1:::�nj) y de�-namos

�(X) :=dnp+p�1Xp�1

(p� 1)! [(X � �1) ::: (X � �n)]p =

=Xp�1

(p� 1)!dp�1 [(dX � d�1) ::: (dX � d�n)]p =

Page 209: TEORwA DE GALOIS

6.2. LA TRASCENDENCIA DE � 205

=Xp�1

(p� 1)!dp�1

"nXk=0

sk (d�1; :::; d�n) (dX)k

#pdonde s0 = 1 y cada sk (t1; :::; tn) es el polinomio simétrico elemental de gradok. Realizando las operaciones indicadas en el segundo miembro de la anteriorigualdad, y agrupando monomios del mismo grado, resulta

�(X) =Xp�1

(p� 1)!

npXk=0

dp�1gl (d�1; :::; d�n) (dX)l ;

en donde ahora, de nuevo, los gl (d�1; :::; d�n) son expresiones polinómicassimétricas y con coe�cientes enteros. Ahora bien, por (5.5.6), si f es unpolinomio simétrico en n variables con coe�cientes enteros f puede ser consi-derado como polinomio simétrico con coe�cientes enteros en 2m�1 variables(no intervienen en f las restantes 2m � 1� n variables) y así se tiene

f(d�1; d�2; :::; d�n) = f(d�1; d�2; :::; d�n; o;2m�1�nveces::: ; o)

= f(d�1; d�2; :::; d�2m�1)

Teniendo en cuenta la forma de las �j (**) resulta que f(d�1; :::; d�2m�1) =g(d!1; d!2; :::; d!m); siendo de nuevo g un polinomio simétrico con coe�-cientes enteros. Por aplicación de (6.2.3) se obtiene que f(d�1; :::; d�n) es unnúmero entero. En particular, cada dp�1gl (d�1; :::; d�n) es un número entero.Sean, ahora,

S0 = C� (h) ; S1 =nXt=1

� (�t + h) ; S2 =nXt=1

(�t) ej�tj

(6.2.1), con cuyas convenciones la (***) adquiere el aspecto

S0 + S1 + S2 = 0:

Como consecuencia del lema 6.2.2 resulta que

�(h) =hp�1

(p� 1)!

npXl=0

dp�1gl (d�1; :::; d�n) dlhl =

=

npXl=0

dp�1gl (d�1; :::; d�n) dll!

Page 210: TEORwA DE GALOIS

206 CAPÍTULO 6. COMPLEMENTOS

es un entero congruente, módulo p; con el entero

dp�1 [(d0� d�1) ::: (d0� d�n)]p = (�1)npdp�1 (d�1:::d�n)p ;que no es múltiplo de p por la selección que se ha hecho de este primo. Comoconsecuencia S0 es un entero no divisible por p ya que p no divide a C.Por otro lado, después de la correspondiente substitución y de reordenar seobtiene

�(�j + x) =xp

(p� 1)!

np�1Xl=0

fl;jxl

en donde fl;j = fl(d�j; d�1; :::;dd�j; :::; d�n) es una expresión polinómica concoe�cientes enteros que es simétrica en las d�1; :::; d�j�1; d�j+1:::; d�n: En-tonces

nXj=1

�(�j + x) =xp

(p� 1)!

np�1Xl=0

Flxl;

siendo Fl =P

j fl;j =Pn

j=1 fl(d�j; d�1; :::;dd�j; :::; d�n) que es ahora una ex-

presión polinómica simétrica con coe�cientes enteros en las d�1; d�2; :::; d�n;y por tanto

Pnj=1 �(�j + x) es un entero. Además, por el lema 6.2.2 resulta

que S1 =Pn

j=1 �(�j + h) es múltiplo de p:Como consecuencia S0+S1 es un entero no nulo que no es múltiplo de p.Por otra parte, para cualquier x se tiene

j (x)j < jdjnp+p�1 jxjp�1

(p� 1)! [(jxj+ j�1j) ::: (jxj+ j�nj)]p

que de�ne una sucesión de números reales convergente a cero según se in-cremente el valor de p (para el cual, en todo lo dicho, sólo existe restricciónsobre su valor mínimo). Por tanto, para valores de p su�cientemente grandesse tiene

jdjnp+p�1 j�tjp�1

(p� 1)! [(j�tj+ j�1j) ::: (j�tj+ j�nj)]p <1

2nej�tj;

para cualquier valor t = 1; 2; :::; n; y entonces

jS2j =�����nXt=1

(�t) ej�tj

����� < 1

2:

Así tenemos jS0 + S1j � 1 (ya que S0 + S1 es un entero no nulo) y jS2j < 12:

Ambas a�rmaciones son incompatibles con S0 + S1 + S2 = 0:Por lo tanto � es trascendente sobre Q:

Page 211: TEORwA DE GALOIS

INDICACIONES PARA LARESOLUCIÓN DE LOSEJERCICIOS

Capítulo 1

3.- La aplicación 'a : G ! G; 'a(x) = axa�1 (conjugación por a) esisomor�smo de grupos.4.- x = x�1; 8x 2 G =) ab = (ab)�1 = b�1a�1 = ba:5.- Con la notación S�1 = fs�1js 2 Sg se puede escribir (HK)�1 =

H�1K�1: El resto es fácil.6.- a) Si � = (12)(34); � = (13)(24); = (14)(23) un sencillo cálculo

proporciona �� = ; � = �; � = � y �2 = �2 = 2 = id: b) V es elúnico 2-subgrupo de Sylow de A4 (véase prueba de 1.3.17): c) Es fácil verque V es abeliano (por ejemplo, usando el ejercicio 3) y que (123)(12)(34) 6=(12)(34)(123):8.- (a; b)r = (ar; br) = (eG; eH)() r es múltiplo de jaj y de jbj :9.- ab = ba =) (ab)r = arbr, 8r 2 Z. Si jabj = s se tiene as = b�s 2

< a > \ < b >= feg =) jaj y jbj son divisores de s: El resto es fácil.10.- Un cálculo elemental con matrices proporciona

(AB)n =

�(�1)n (�1)n�1 n0 (�1)n

�:

11.- a) es fácil y b) se deduce de a) observando que ba = b(ab)b�1:12.- a) (aj)r = arj = e () rj 2 nZ()rj = t(m:c:m:(n; j)); para

un cierto entero t () 9t 2 Zjrj = nj(n;j)

:t ()r = n(n;j)

:t; para un ciertoentero t: b) n = rs =) jasj = r =)< as >= H es de orden r; si x = al

207

Page 212: TEORwA DE GALOIS

208 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

es de período r entonces xr = arle =) rl = nt = rst para un cierto enterot =) 9t 2 Zjl = st =) x = al = (as)t 2 H:13.- H =< a4 > :14.- < (a; b) >= G � H () j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = mn (ejercicio

7)() (jaj ; jbj) = 1:15.- G es �nito, pues en otro caso contendría un subgrupo propio isomorfo

a Z. Ahora G =< x >;8x 2 Grfeg ; rj#G =) 9H subgrupo de G de ordenr(1.2.11)16.- En primer lugar pruébese que H 0 = fx 2 G j jxj es una potencia de

pg es subgrupo de G con lo que necesariamente H es subgrupo de H 0: Si lainclusión H � H 0 es estricta se llega a un absurdo, pues #H 0 deberá ser, enese caso, divisible por un primo p0 diferente de p, y, aplicando lo establecidoen (1.2.12), deberá existir en H 0 un elemento de periodo p0:17.- ar = eG =) (f(a))r = f(ar) = eH ; y si f es inyectivo ar = eG ()

(f(a))r = eH :18.- Si G = fe; �; �; g no es cíclico se tiene j�j = j�j = j j = 2: Además

�� 6= e; �; � =) �� = : Análogamente � = �; y � = � (véase ejercicio6).19.- Z35=(5Z=35Z) �= Z5 =) #(5Z=35Z)=7:20.- f(a) = am 6= e; 8a 2 G.21.- Ni (Q;+) ni (Q�; :) son cíclicos. En el primer caso porque de lo

contrario existiría pq2 Q (siempre se puede suponer que p y q son enteros

primos entre sí) tal que cada x 2 Q se pondría como x = nxpqcon nx 2 Z y

en particular sería 1 = n1pqy así q = n1p lo cual es absurdo salvo que q = 1;

pero en ese caso n1 no sería entero. En el caso de (Q�; :), si pq genera Q�

multiplicativamente, se tiene 1 =�pq

�n1. Entonces p

q= �1 y < p

q> tiene a

lo sumo dos elementos.22.- G no es cíclico pues no lo es S3�

�0: El grupo fidg �Z5 es el único

5-subgrupo de Sylow de G y es cíclico. s3 = 1 ya que A3 ��0es subgrupo

normal de G. De forma alternativa, todo 3-subgrupo de Sylow de G es deorden 3. Si (a; b) 2 G es de orden 3 necesariamente se tiene b = 0 y a 2 S3de período 3, es decir 3-ciclo y así h(a; b)i = A3 �

�0.

23.- La parte difícil es c) =) a); ya que hay que probar que � es homo-mor�smo. Pero para a 2 A y b 2 B se tiene aba�1b�1 2 A \B = feg por lashipótesis de c):24.- Es fácil demostrar que s5 = s13 = 1:25.- Es fácil demostrar que s7 = s5 = 1:

Page 213: TEORwA DE GALOIS

209

26.- En el grupo de orden 56 s2 = 1 o s7 = 1: En el grupo de orden 132se tiene s2 = 1; o bien s3 = 1; o bien s11 = 1:28.- s2 = 1; o bien s3 = 1 o bien s5 = 1: Sí, G es resoluble. Si G es de

orden 60 y H es subgrupo normal propio de G el grupo cociente G=H esresoluble. Esto se obtiene argumentando con los posibles órdenes de H y deG=H.29.- s7 = 8 = OG(P ) = (G : NG(P )) =) #NG(P ) = 21: Si #H = 14

H contiene un 7�subgrupo de Sylow P que es normal en H y por tantoH � NG(P ) lo que es imposible pues #NG(P ) = 21:30.- a) (H : H\P ) (HP : H) = (P : H\P ) (HP : P ) ; y como(HP : H) =

(P : H\P ) al serHP=H �= P=H\P resulta que (H : H\P ) divide a (G : P )y por tanto es primo con p: Además H \ P es p�grupo:b) Para #G = pmr;#H = pnl se tiene n � m y r = ls con s 2 Z: Por a) #(H \ P ) = pn y porel teorema de Lagrange #(G=H) = pm�ns y #(HP�H) = #(P=H \ P ) =pm�n.31.- a) Necesariamente sp = 1: b) Tiene un subgrupo normal de orden 7

y un subgrupo de orden 3.32.- Si P es p-subgrupo de Sylow y K es subgrupo de orden 2 entonces P

es normal y asíKP=P �= K puesK\P = feg; con lo que resulta#(KP ) = 2py por lo tanto G = KP: Ahora K =< x >; con x2 = e; y P =< y > conjyj = p: Si G no es cíclico jxyj = 2 o bien jxyj = p: Como P es el único p-subgrupo de Sylow de G necesariamente (xy)2 = e =) xy = (xy)�1 = y�1x:Como G =< x; y > de lo anterior se deduce G �= D2p:33.- Estudiando los posibles períodos de los elementos de G se demuestra

que s3 = 1 o s2 = 1; y que, por tanto, existe un subgrupo normal de orden 3o de orden 4. El grupo cociente es de orden 4 o de orden 3 y por lo tanto esresoluble. Ahora se aplica (1.3.13).34.- a) G es un p-grupo si p = q: Si p > q, sp = 1 y el único p-subgrupo

de Sylow P es normal en G siendo el cociente G=P de orden primo q. b) Sepuede suponer p < q pues en caso contrario el único p-subgrupo de Sylowsería normal y G sería resoluble. Ahora sq = 1 + kq j p2 =) sq = 1 (encuyo caso el único q-subgrupo de Sylow de G es normal y G es resoluble por(1.3.13)) o sq = p2 (pues p < q); en este caso kq = (p� 1) (p+ 1) y entoncesp < q j p + 1; por lo que q = p + 1: Necesariamente se tiene p = 2 y q = 3;con lo cual #G = 12 y así G es resoluble.35.- a) D2;4 no es abeliano, Z2 � Z2 � Z2 no tiene subgrupo cíclico de

orden 4. b) Ninguno cíclico; todos resolubles. c) Todos.36.- a) q primo, q 6= p; q j #G =) 9x 2 G con jxj = q: b) Zp2 � Zp�Zp:

Page 214: TEORwA DE GALOIS

210 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

37.- a) s5 = 1: b) G = HK �= G=H � G=K pues jHj = jG=Kj = 5 yjKj = jG=Hj = 2 números primos.38.- a) Si p < q y H es q-subgrupo de Sylow de G; entonces H es normal

en G y G=H es cíclico de orden p: S3 no es abeliano. b) pq j #G; p 6= qnúmeros primos=) 9H;K subgrupos de G con H * K y K * H). c) #(Aut(Zn)) = # fm 2 Z j0 < m < n; y (m;n) = 1g :39.- a)i) Es (1.2.24); ii) Es (1.2.12) aplicado a ZG:b) i) G=(fidg � Z4) �=

S3; ii) S3��0 �= S3 tiene un único subgrupo de orden 3 que es A3; iii) < (1

2) > �Z4 no es normal en G:40.- a) G Tiene un subgrupo normal H de orden 11. b) G=H es de orden

40 y tiene un subgrupo normal de orden 5 y el teorema de la correspondenciaproporciona un subgrupo normal K de G tal que H � K y K=H de orden 5.41.- (ab) � (cd) = (abc) � (bcd); y (ab) � (bc) = (abc)42.- Para n � 3 obsérvese que si � es un 3-ciclo, entonces < � >=<

�2 >� S(1)n ya que �2 es un conmutador (� es par). Como consecuencia del

ejercicio 41 se tiene An � S(1)n � An ya que Sn=An �= Z2 es grupo abeliano

1.3.15.

Capítulo 2

1.- a) El homomor�smo de anillos ' [X] : A [X]! (A=J) [X] de�nido por' [X] (anX

n + an�1Xn�1 + :::+ a1X + a0) = anX

n+an�1Xn�1+:::+a1X+a0

es sobreyectivo y de núcleo J [X] : b) J primo de A() A=J es dominio deintegridad() (A=J) [X] u A [X] =J [X] es dominio de integridad() J [X]es ideal primo de A [X] : c) No, (A=J) [X] no es cuerpo.2.- � 2 Z cero de f () f = (X � �)g con g 2 Z [X] =) f(0) =

(0� �)g(0); f(1) = (1� �)g(1) =) f(0) es par o lo es f(1):3.- X5 � 10X + 12 = (X2 + 2) (X3 � 2X) � 6X + 12; por lo tanto la

solución es n = 2; 3; 6:4.- Z [X] =(n;X) �= (Z [X] =(n)) = ((n;X)=(n)) �= Zn [X] =(X) �= Zn:5.- (Sol.: a) f (X) es irreducible y no lineal en Z2 [X] =) f(0) 6= 0 6=

f(1) =) f tiene precisamente un número impar de coe�cientes no nulos. b)X; X + 1; X2 +X + 1; X3 +X2 + 1; X3 +X + 1; X4 +X3 +X2 +X + 1;X4 +X3 + 1; X4 +X + 1):6.- a) f + J = r + J donde f = g(X3 + 2X + 1) + r y @ (r) < 3 si es

r 6= 0: Además r + J = r0 + J con r 6= r0 =) r0 = h(X3 + 2X + 1) + r paraun cierto h 2 Z3 [X] ; h 6= o =) @(r0) > 3: b) X3 + 2X + 1 es irreducible enZ3 [X], F = Z3 [X] =J es cuerpo (2.4.4). c) dimZ3F = 3:

Page 215: TEORwA DE GALOIS

211

7.- 7X4 � 28 = 7(X2 � 2)(X2 + 2) en Z [X] y en Q [X] ; 7X4 � 28 =7(X�

p2)(X+

p2)(X2+2) en R [X] ; 7X4�28 = 7(X�

p2)(X+

p2)(X�

ip2)(X + i

p2) en C [X] ; 7X4 � 28 = X4 en Z2 [X] :

8.- De una hipotética factorización en polinomios no constantes de f enQ [X] se obtiene que f = gh, con g; h 2 Z [X] (2.4.19) y con @ (g) = r > 0;@ (h) = s > 0: Si g = brX

r + :::+ b0 y h = csXs + :::+ c0 se tiene an = brcs

y a0 = b0c0: De las hipótesis se obtiene 'p(f) = a0 = b0c0 = 'p(g)'p(h) =)@('p(g)) = @('p(h)) = 0; y entonces p j br y p j cs; con lo cual p2 j an = brcslo que es contrario a la hipótesis.9.-X7�2X5+14X2�8X+22 es irreducible (2.4.25) enQ [X]; 4X3�X2+7

es irreducible en Q [X];�X3 + 2X2 + 1 es irreducible en Z3 [X]

�; X4 + 4 =

(X2 � 2X + 2)(X2 + 2X + 2); '2(X5 � 2X3 +X2 � 4X + 3) = X5 +X2 + 1

es irreducible en Z2 [X] ; X4 � 3X2 + 9 = (X2 + 3X + 3)(X2 � 3X + 3);3X5� 6X3� 21X2� 15X +100 es irreducible en Q [X] (Eisenstein)�; (X2�7)(X6�1) = (X2�7)(X�1)(X+1)(X2+X+1)(X2�X+1);X3�X+(3n+2)es irreducible en Q [X] (X3 + 2X + 2 es irreducible enZ3 [X]):10.- a) '2(f) = X5 +X2 +X = X(X4 +X + 1):b) f no admite factores

de grado 2 ni de grado 3 en Z [X] por no admitirlos '2(f) en Z2 [X] :11.- a) '2(f) = (X

3+X+1)2:b) '3(f) = (X2+1)3: c) f es irreducible en

Z [X] y en Q [X] (como consecuencia de a) y b) no tiene factores de grados1,2 o 3).12.- a) J = ff 2 Z [X] j f(0) = 0g = (X) por el teorema del factor y

Z [X] =(X) �= Z =)J primo no maximal. b) X4 + 6X2 + 7 no tiene factoresde grado 1 ni de grado 2.13.- a) n 2 Zn f�7;�4; 1; 2g : b) '2 (X3 +mX + n) = X3 + X + 1 es

irreducible en Z2 [X] :c) f1;�1; p;�pg * fceros de fg :14.- f = (X2 � 2X + 2)(X2 +X + 1) en R [X] ; f = (X � (1 + i))(X �

(1� i))(X � �1+ip3

2)(X � �1�i

p3

2) en C [X] :

Capítulo 3

1.- Para � 2 F�K considérese la torre K � K (�) � F y aplíquese elteorema del grado.2.- X2 � 7;X2 � 4X + 1; e es trascendente sobre Q; X5 � 7;X2 � 6X +

10;X4 + 2X2 � 1;X4 +X3 +X2 +X + 1:3.- a) Ambas igualdades son consecuencia inmediata de las de�niciones.

b) Se puede proceder por inducción en n: Para n = 1 es el apartado ii) delteorema 1.2.2.

Page 216: TEORwA DE GALOIS

212 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

4.- a) Pruébese quep2 2 Q(i+

p2) y aplíquese el teorema del grado. b)

i) X2 � 2iX � 3; ii) X2 � 2p2X + 3; iii) X2 � 1� 2i

p2:

5.- Si � =p3 + 4i +

p3� 4i se obtiene �2 = 16: Si � =

p1 +p3 +p

1�p3 se obtiene �2 = 2 + 2i

p2:

6.- Si � =2 K(�2) se obtiene que [F : K] es necesariamente par.7.- a) i) 2; ii) 3. b) X3 � 6X � 6:8.- De la hipótesis se deduce fácilmente que [F : Q] es potencia de 2,

mientras que�Q�3p2�: Q�= 3:

9.- 810.- En el caso contrario se tendría que @(f) j [F : K].11.- Utilizando el problema anterior � =2 K (�) y � =2 K (�) ; y se prue-

ba que @(Irr (�;K (�))) = @(Irr(�;K)) por el teorema del grado, lo queproporciona el resultado y que [K (a) \K (�) : K] = 1.12.- Pruébese, en primer lugar, que, bajo las hipótesis de �nitud, se tiene

la igualdad EF = E [F ] = F [E] : Si��1; �2;:::; �n

es una K-base de E

entonces��1; �2;:::; �n

es un sistema de generadores de EF como F -espacio

y así [EF : F ] � n: De modo análogo se obtiene [EF : E] � m: La aplicacióndel teorema del grado y la condición (n;m) = 1 proporciona el resultado.13.- a) i) En otro caso se tendría

p2 2 Q: ii) Es consecuencia de i): iii)

Pruébese quep2 2 Q

�p2�p3�: b)X2�2

p3X+1: c)X5�2 = Irr(�;Q) =

Irr(�;Q�p2;p3�) ya que 5 y 4 son primos entre si

14.- a) Utilícese el método constructivo de la prueba del teorema delgrado y obsérvese que 3

p4:p2 forma parte de una Q-base de la extensión. b)

Q�6p2�� Q

�p2; 3p2�y ambas extensiones tienen el mismo grado sobre Q.

c) También es generador de la extensión anterior el elementop2 + 3p2 cuyo

polinomio irreducible sobre Q ha de ser, entonces, de grado 6.15.- a) ��1 = �1

2�2� 1; 1

�2+�+1= 2

7�2� 3

7�+ 5

7, u = 6�: b) Irr (u;Q) =

X3 + 72X + 532; Irr(1=�;Q) = X3 +X2 + 12:

16.- a) Aplicación directa de la teoría. b) f = (X � �) :g con g 2 K (�) [X]que tiene a � y como ceros. c) g = (X � �) (X � ) :17.- a) Irr(�;Q) =X4 � 2X2 � 2; Irr(�;Q

�p3�) =X2 � (1 +

p3): b)

[F : Q] = 4:18.- a) ��1 2 K (�) ; � 2 K (��1) =) K (�) = K (��1) : b) 3 y 8 son

primos entre si.19.- f es irreducible en Q [X] (Eisenstein) ��1 = 1

2�5: Irr(��1;Q) =

X6 � 12:

Page 217: TEORwA DE GALOIS

213

20.- a) 1�i 2 C es también un cero de f 2 R [X] =) f = (X2 � 2X + 2) :(X2 +X + 1) ; ambos factores irreducibles enQ [X] ; la factorización enC [X]es f = (X � [1 + i]) (X � [1� i])

�X �

��12+

p32i���

X ���12�

p32i��

:

b) De una relación de dependencia lineal ap2+b 3p2+c 5p2 = 0 con a; b; c 2 Q;

si fuese a 6= 0 se tendría Q�p2�� Q

�3p2; 5p2�y resultaría que 15 es par.

De modo análogo se descarta b 6= 0 y c 6= 0.21.- a) f = 2 (X3 + 5X + 2) ; f es irreducible en Q[X]; y no lo es en

R [X] ni en C[X]; f es irreducible en Q( 5p2)[X] al ser de grado 3 y no

tener ningún cero en Q( 5p2); siendo 3 y 5 primos entre si (ejercicio 10).

b) Irr(1 + �;Q) = X3 � 3X2 + 8X � 4; Irr(a�1;Q) = X3 + 52X2 + 1

2.

22.- a) f = (X2 + 2) (X2 � 2X + 3) en todos los casos. b.1) No. b.2) No.23.- a) Del ejercicio 5 resulta directamente Q(�) = Q(�2): Además �2 =

(�p2)2

22 Q(�

p2); y si fueseQ(�) = Q(�2) = Q(�

p2) se tendríaQ � Q

�p2�

� Q (�) lo cual es imposible por el teorema del grado). b) Para � = �p2 se

tiene [Q(�) : Q] = 6 y��p2

�3+ �p

2+ 1 = 0 =) �6 + 4�4 + 4�2 � 8 = 0.

24.- a) F = K(�1; �2; ::; �n) con cada �i algebraico sobre K: EntoncesEF = E(�1; �2; ::; �n). b) Por aplicación directa del teorema del grado. c)Para x 2 EF existen �1; �2; ::; �n 2 F tales que x 2 E(�1; �2; ::; �n) yentonces se aplica a). d) La concatenación de extensiones algebraicas es al-gebraica.25.- La equivalencia se obtiene fácilmente considerando que K [X; Y ] =

K [X] [Y ] :26.- La evaluación � : K [X1; X2; :::; Xt]! F para � fX1; X2; :::; Xtg !

F dada por � (Xi) = ui (i = 1; :::; t) es un isomor�smo y por tanto

K(u1; u2; :::; ut) �= K (X1; X2; :::; Xt) :

27.- Por recurrencia constrúyase un subconjunto fu1; u2; :::; utg trascen-dente sobre K tal que cada uj es algebraico sobre K(u1; u2; :::; ut); paraj = t+ 1; :::; n28.- a) Cada polinomio f 2 A [X] puede ser identi�cado con un con-

junto ordenado �nito de elementos (posiblemente con repeticiones) de A.Por ello #A [X] �

PI2PF (A)

(#I)#I = #A: La desigualdad es consecuen-

cia de encontrar a un polinomio representado en diferentes conjuntos �ni-tos de elementos de A (p.ej: aX2 + c = aX2 + 0X + c; y por lo tantoforma parte de I = fa; cg y de J = fa; 0; cg); PF (A) es el conjunto de

Page 218: TEORwA DE GALOIS

214 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

las partes �nitas de A; cuyo cardinal es el mismo que el de A al ser ésteno �nito. b) A [X] = �t2NAX t �= �t2NMt: c). Si, para cada t se poneMt�= A � A � rt veces::: � A; entonces se vuelve a tener �t2NMt

�= �i2NAi;con Ai = A 8i 2 N: d) K = (A� (A� f0g))� �, en donde � es la relaciónde equivalencia

(a; b) � (c; d) :() ad = bc:

Por tanto (por el Axioma de Elección) existe una aplicación inyectiva K !A� (A� f0g) y así resulta #K � #(A� (A� f0g)) � #A).29.- La segunda a�rmación es consecuencia de la primera y de la Hipóte-

sis del Continuo. Para demostrar la primera obsérvese que F =S

E:K �nitaE

donde todos los E son K espacios de dimensión �nita: Como existe un homo-

mor�smo sobreyectivoL

E:K �nitaE !

SE:K �nita

E entonces #� SE:K �nita

E

��

#

� LE:K �nita

E

�= #K. La desigualdad es consecuencia del Axioma de Elec-

ción -como antes - y la igualdad del apartado c) del ejercicio anterior

Capítulo 4

1- Aplicación directa de la teoría2.- Los cuerpos de escisión y sus grados sobre Q son, respectivamente:-

Q�ip2; ip3�; 4;Q (�) ; 6 siendo � una raíz primitiva séptima de 1;Q

�ip3�; 2;

Q�i; 4p3�; 8; Q

�p2; ��; 4 con � una raíz primitiva sexta de 1; Q

�i;p3�; 4;

Q�p7;p3�; 4; Q

�5p2; ��; 20 con � una raíz primitiva quinta de 1; Q( 3

p2;p7

; �); 12 con � una raíz primitiva cúbica de 1.3.- f =

Q11k=0

�X � �k 3

p2�(X2 � 3) con � raíz primitiva duodécima de 1,

teniendo en cuenta que i = 2� �p3 si � = e

2�i12 ; [E : Q] = 12:

4.- a) Ef = Q�(1 + i)

p2�; b) Ef = Q (i) :

5.- a) f es irreducible en Q[X] y tiene un cero � 2 R , y así f(X) =X3 � X � 1 = [X2 + �X + (�2 � 1)] (X � �) : Como � = �2 � 4(� � 1) =�(3�2�4) < 0, pues en otro caso se tendría �3���1 < 0; los otros ceros de fno son reales y se aplica (??): GalQ(f) � S3; b) S3; S3; Z3; respectivamente.6.- Aplicación directa de la teoría.7.- a) Ef = Q

��; 6p2�y Eg = Q

�!; 3p2�con � = e

2�i6 y ! = e

2�i3 ;

[Ef : Q] = 12: b)�1; �; �2; �3; �4; �5

es una Q-base de Q(�); y �6 � 2 = 0

=) ��1 = 12�5:

8.- El resultado se tiene al conocer los ceros de f y de g en C.

Page 219: TEORwA DE GALOIS

215

9.- a) Es de grado impar. b) Criterio de Eisenstein y 3, 5 son primos entresi. c) Q

�3p2; i�: Q no es normal pues el polinomio X3 � 2 tiene un cero en

el cuerpo Q�3p2; i�pero no escinde en él.

10.- [Q(�; �) : Q] = 6:11.- La primera parte es fácil. El ejemplo se puede dar con el polinomio

f = (X2 � 2) (X � 5) :12.- Resolviendo la ecuación bicuadrada f = 0 resultaf = (X � �) (X � ��1) (X + �) (X + ��1) :13.- 614.- [L1 : Q] = 2 = [L2 : L1] ; el polinomio f = X4 � 2X2 � 2 es el

irreducible de � =pp

3 + 1 sobre Q, f tiene un cero en L2 pero � =p1�p3; que es también cero de f; no pertenece a L2:

15.- a) f = (X � 2) (X4 +X3 +X2 +X + 1) ; Ef = Q (�) con � 6= 1 y�5 (1), [Ef : Q] = 4: b) X3 � 3aX + 3 es irreducible en Q[X] y si este últimopolinomio tuviese un cero en común con f se tendría que 3 es divisor de 4,como consecuencia del teorema del grado.16.-

�Q (�) : Q

�ip5��= 2; Irr(�;Q) =X4 + 20 tiene un cero en Q (�)

pero � 4p5 (1� i) =2 Q (�) ; la clausura normal es el cuerpo de escisión de

X4 + 20 sobre Q es decir Q�4p5; i�:

17.- Ambos tienen dimensión 2 como Q-espacios; si � : Q (i) ! Q�p2�

fuese un isomor�smo se tendría que �1 es un cuadrado en R.18.- a) No existe ninguno. b) Q (�) = Q (�) y la extensión Q (�) : Q es

cuerpo de escisión del polinomio X4 +X3 +X2 +X + 1 sobre Q.19.- a) [Q (�) : Q] = 4: El algoritmo de Euclides proporciona �6 + 2�5 �

�3 + 1 = (�4 + 28)(�2 + 2�)� �3 � 28�2 � 56�+ 1: b) Q�4p7; i�:No.

20.- a) [E : Q] = 20:b) Con � raiz primitiva 5a de 1, Q (�) : Q es normalde grado 4 =) H = Gal(E=Q (�)) = G es el único subgrupo 5-Sylow deGal(E=Q):c) Si L es subgrupo de G de orden 10 (teorema de la correspon-dencia)

�EL : Q

�= 2: La teoría de Sylow proporciona un subgrupo M de G

de orden 2 y�EM : Q

�= 10:

21.- a) @(Irr(� + �6;Q)) = 3: b) 1 + �2 + �4: c) Es fácil

Capítulo 5

1.- Z2 � Z2; Q;Q(p2);Q(

p3);Q(

p6).

2.- a) Ef = Q(i); G = GalQ(f) � Z2;b) [Ef : Q] = 4; G � Z2 � Z2; c)Ef = Q

�3p2; ��con � primitiva cúbica de 1, #G = 6; y G no es abeliano.

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216 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

3.- X4 + 1 es irreducible en Q [X] y E = Q�p2; i)

�contiene dos subex-

tensiones de grado 2 sobre Q.4.- a) Si � es raíz primitiva quinta de 1, Irr(�;Q) =X4+X3+X2+X+1

y E = Q (�) ;�1; �; �2; �3

es Q-base de E; y el automor�smo � : E ! E

de�nido por � (�) = �2 genera el grupo G = Gal(E=Q). b) �2 genera elúnico subgrupo propio de G cuyo cuerpo �jo E<�

2> = Q��2 + �3

�es el único

cuerpo estrictamente intermedio entre Q y E: c) Irr(�2+�3;Q) =X2+X�1;e Irr(�;Q(�2 + �3)) = X2 +

�1 + �2 + �3

�X + 1.

5.- E = Q( 4p2; i). Si � es el automor�smo de E de�nido por �( 4

p2) = i 4

p2,

y �(i) = i, entonces � genera un subgrupo de orden 4. Si � es el automor�smode E dado por �

�4p2�= � 4p2 y � (i) = i, entonces H := f1; �2; � ; �2�g y

L := f1; �2; �� ; �3�g son también subgrupos de G de orden 4. Los cuerpos�jos correspondientes a estos tres subgrupos son Q(i);Q(

p2);Q(i

p2):

6.- Si p = 2 es trivial. Para p 6= 2; �2 es también raíz primitiva p-ésimade 1. Por tanto si �(�) = (�2)t, se tiene � = �t:

7.- Si � = e2�i13 se tiene cos 2�

13= �+�

2= �+�12

2; y asíQ

�cos 2�

13

�= Q

�� + �12

�:

Ahora G = Gal( Q (�) =Q) =< � >, siendo �(�) = �2 (problema anterior).Por (5.1.4) se puede escribir Irr(�+�12;Q) =

Q�r(�+�12)2OG(�+�12)(X��

r(�+

�12)) que resulta ser de grado 6 (el período de � := � jQ(�+�12) es 6). El grupoGal(Q

�� + �12

�=Q) se obtiene como cociente de G y está generado por �.

Tiene por tanto solamente dos subgrupos no triviales < �3 > y < �2 >.8.- Por el problema 6, G = Gal(Q(e 2�i7 )=Q) =< � > es cíclico de or-

den 6 con �(�) = �2. Además isen(2�7) = ���6

2donde � = e

2�i7 ; con lo cual

Q(isen(2�7)) = Q(���6): ComoGal(Q(� � �6)=Q) es cociente deG y por tan-

to cíclico generado por � = � jQ(���6)y j�j = 6 se tieneQ(e2�i7 ) = Q(isen(2�

7)):

9.- Zpq �=< � > con j�j = p: Los únicos subgrupos no triviales de < � >son < �p > y < �q > :10.- n = 2m: Si i2 = �1; se pone f =

Qm�1j=0 [X + (j + i)] [X + (j � i)] =Qm�1

j=0 (X2 + 2jX + j2 + 1) 2 Q [X] : El cuerpo de escisión de f sobre Q es

Q(i):11.- � := e

2�ip : G = Gal(Q (�) =Q) es cíclico de orden 2q: Si q = 2 el grupo

G es isomorfo a Z4 que tiene solamente un subgrupo no trivial. q 6= 2 =)G �= Z2 � Zq �= Z2q:12.- Sólo es necesario probar ii) =) i):De ii) resulta que Q ( 3

pn) : Q es

normal (ya que Q(�) : Q es abeliana)=)todos los ceros de Irr( 3pn;Q) están

enQ ( 3pn) : Entonces, o @Irr( 3

pn;Q) =1(() 3

pn 2 Q) o 1 < @Irr( 3

pn;Q) �3

Page 221: TEORwA DE GALOIS

217

lo que implica que Irr( 3pn;Q) tiene raices complejas no reales y por lo tanto

no pueden ser elementos de Q ( 3pn) � R, lo que contradice la normalidad de

Q ( 3pn) : Q.13.- a) Irr(�;Q) =X6 + X5 + ::: + X + 1: b) � tiene período 6. c) La

G�órbita de 1+2(�+�2+�4) es�1 + 2(� + �2 + �4);�

�1 + 2(� + �2 + �3)

�;

y se aplica 5.1.4.14.- E = Q

�4p2; i)

�y así [E : Q] = 8; � = i+ 4

p2 2 E y #(G� �orbita de

�) = grad(Irr(�;Q) = [Q (�) : Q] � 5 ( 5.1.4) que no puede ser divisor de8. El teorema del grado se aplica ahora.15.- a) No. Ef = Q

�p2; ip3�y [Ef : Q] = 4:b) Aplicación directa de la

teoría.16.- a) #G = 20: b) Si � es raíz primitiva quinta de 1 entonces � 2 Ef ;

cuerpo de escisión de f sobre Q, H = Gal(Ef ;Q (�)) es de orden 5. c) Latorre G � H � feg es abeliana. d) Si � = 5

p2 la extensión Q (�) : Q no es

normal. e) G es isomorfo a un subgrupo de S5 que contiene un 5-ciclo.17.- a) X7 � 5 tiene un cero en E y no escinde en E: b) E es cuer-

po de escisión de (X2 � 2) (X2 + 1) sobre Q�7p5�;�1;p2; i; i

p2: c) G =

fidE; �; � ; g donde ��p2�= �

p2; � (i) = i; �

�p2�=p2; � (i) = �i;

�p2�= �p2; (i) = �i: d) �

p2 + 5i pertenece a la G-órbita de

p2 + 5i:

18.- a) �8 (X) = X4 + 1: b) Falso. c) Falso.19.- a) Q $ Q

��6�= Q

��3�$ Q (�) : b) Irr(�2;Q

��6�) = X3 � �6

20.- j�j = pr ()����pr�1��� = p:

21.- De n = 2k + 1 se obtiene que ��1 es un cuadrado en K: El resto esfácil.22.- '(n) = 2 =) n = 2; 3; 6:23.- La primera a�rmación es consecuencia directa del teorema de La-

grange. Además Un y Um son subgrupos de Un:m, para los que es fácildemostrar que la aplicación : Un:Um ! Un � Um de�nida por ' (x:y) =(x; y) es isomor�smo de grupos.24.- �rr:s es raíz primitiva s-ésima de 1 si r y s son primos entre si, y

entonces Q (�n),Q (�m) � Q (�n:m) : Por otra parte �n:�m es primitiva n:m-ésima y eso proporciona Q (�n:m) � Q (�n)Q (�m) : La segunda a�rmaciónresulta de la igualdad '(n:m) = ' (n)' (m) - donde ' es el indicador deEuler- y de contar los grados de las extensiones implicadas.

Page 222: TEORwA DE GALOIS

218 INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS

Page 223: TEORwA DE GALOIS

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