Investigación de Operaciones II

Teoría de colas

Teoría de colas

Una cola, o línea de espera, es el elemento donde se realiza la espera de un cliente para recibir algún tipo de servicio. En ocasiones puede no resultar evidente su existencia, sin embargo se presenta en infinidad de aplicaciones y situaciones de la vida cotidiana.La teoría de colas es el estudio de la espera en sus diferentes modalidades.

Estructura de las colasSistema de colas

Fuente de entrada Cola Mecanismo de

servicioClientes Clientes atendidos

Tamaño

P()

- Personas- Paquetes- Piezas- Aviones- Llamadas

Tamaño

- FIFO- FILO- RANDOM- Etc.

e()

- Cantidad de servidores

- Serie- Paralelo- Red

Evidente

Tipos de colas• Los modelos de colas se etiquetan de la siguiente

manera (notación de Kendall): - / - / -

Número de servidores

Distribución de tiempo del servicio

Distribución de tiempos entre llegadas

Donde:

M = distribución exponencial (markoviana)

D = distribución degenerada (tiempos constantes)

Ek = distribución Erlang (parámetro de forma =k)

G = distribución general (cualquier distribución, media y varianza conocidas)

Terminología y notación• Condición transitoria: cuando el sistema de colas

apenas inicia su operación, el estado del sistema se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio.• Condición de estado estable: una vez que ha

pasado suficiente tiempo desde el inicio el estado se vuelve independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido.

Terminología y notaciónA menos que se establezca otra cosa, se utilizará la siguiente terminología estándar:• Estado del sistema = numero de clientes en el sistema• Longitud de la cola = numero de clientes que esperan servicio

= estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el servicio

• N(t)= numero de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t≥0)

•Pn(t)= probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo 0•s= número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas

•n= tasa media de llegadas cuando hay n clientes

•µn= tasa medio de servicio en todo el sistema

Terminología y notaciónprobabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema = (excluye clientes que están en servicio) =W= tiempo de espera en el sistema (incluye tiempo de servicio) W=E(W)W q= tiempo de espera en la cola (excluye tiempo de servicio)Wq= W=E(Wq)

Modelos de líneas de espera

Distribución de las llegadas

donde x = número de llegadas en el periodo de tiempo = número medio de llegadas por período de tiempoe = 2.71828

con x = 0, 1, 2…

Modelos de líneas de espera

Distribución de las llegadasSe realizó el análisis del comportamiento de las llegadas a determinada estación de servicio y se concluyó que llegan 45 clientes por hora. Determinar las probabilidades de las llegadas para dicha estación.

Número de llegadas Probabilidad

0 0.4724

1 0.3543

2 0.1329

3 0.0332

4 0.0062

5 o más 0.0009

Modelos de líneas de espera

Distribución del tiempo de servicio

dondeµ = número medio de unidades que pueden ser atendidas por periodo de tiempoe = 2.71828 En una estación de servicio se observó que se pueden procesar 60 órdenes por hora. Calcule las probabilidades de que la duración sea menor de 0.5, 1 y 2 minutos

𝑃 (𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜𝑑𝑒𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜≤ 𝑡 )=1−𝑒−𝜇𝑡

Modelos M/M/1 (fuente infinita)Cuando Características de operación:• La probabilidad de que no haya unidades en el sistema

• El número promedio de unidades en la línea de espera

• El número promedio de unidades en el sistema

Modelos M/M/1 (fuente infinita)Características de operación:• El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera

• El tiempo promedio que la unidad pasa en el sistema

• La probabilidad de que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendida (factor de uso)

• La probabilidad de que haya n unidades en el sistema

Modelos M/M/1 (fuente infinita)• Siguiendo con los mismos valores de y , tenemos:

clientes clientes minutos minutos

Modelos M/M/1 (fuente infinita)• Siguiendo con los mismos valores de y , tenemos:

Número de clientes Probabilidad

0 0.2500

1 0.1875

2 0.1406

3 0.1055

4 0.0791

5 0.0593

6 0.0445

7 o más 0.1335

Mejora de la operación de la línea de esperaLa tasa de servicio mejora con uno o ambos de los siguientes cambios:a) Incrementar la tasa de servicios por medio de un cambio en el diseño

creativo, capacitación o una nueva tecnología.b) Agregar uno o más canales de servicio de modo que más clientes

puedan ser atendidos al mismo tiempo.

Suponga que se piensa en un rediseño que haría más eficiente la estación al atender hasta 75 clientes por hora. ¿Qué resultados se obtienen en las características de operación?

Modelos M/M/k (fuente infinita)Unifila o fila dedicada y no cambio de filaCaracterísticas de operación:• La probabilidad de que no haya unidades en el sistema

• El número promedio de unidades en la línea de espera

• El número promedio de unidades en el sistema

Modelos M/M/k (fuente infinita)Características de operación:• El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera

• El tiempo promedio que la unidad pasa en el sistema

• La probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a ser atendida

• La probabilidad de que haya n unidades en el sistema

Análisis económico de las líneas de esperaSe quiere tomar la decisión de incrementar la tasa media de servicio, ya que se estima poder hacerlo a 75 clientes por hora, o añadir otro servidor. ¿Cuál sería su recomendación?.

costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad número promedio de unidades en el sistema costo de servicio por periodo de tiempo de cada canal número de canales costo total por periodo de tiempo

Modelos M/G/1 (fuente infinita)Características de operación:• La probabilidad de que no haya unidades en el sistema

• El número promedio de unidades en la línea de espera

• El número promedio de unidades en el sistema

Modelos M/G/1 (fuente infinita)Características de operación:• Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera

• Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema

• Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar a que la atiendan:

Modelos M/D/1 (fuente infinita)Se utiliza cuando el tiempo de servicio es constante (ej. lo realiza una máquina). Puede ocurrir en los entornos de producción y manufactura. La única condición es Utiliza:

Las demás características de operación son las mismas ecuaciones que para el caso M/G/1

Modelos M/G/k sin cola (fuente infinita)Las llegadas cuando el sistema está completo son bloqueadas y eliminadas.Características de operación:• La probabilidad de que j de los k canales estarán ocupados:

j = 0, 1, 2… k• El número promedio de unidades en el sistema (número promedio de

canales en uso):

donde L seguramente será menor que k

Modelos M/M/1 (fuente finita)Características de operación:• La probabilidad de que no haya unidades en el sistema

• El número promedio de unidades en la línea de espera

• El número promedio de unidades en el sistema

Modelos M/M/1 (fuente finita)Características de operación:• El tiempo promedio que la unidad pasa en la línea de espera

• El tiempo promedio que la unidad pasa en el sistema

• La probabilidad de que una unidad que llega no tenga que esperar a ser atendida (factor de uso)

• La probabilidad de que haya n unidades en el sistemapara