Teoría de Colas Líneas de espera

•Eugenia González•Emiliano Borges•Luciano Marzano

Introducción : Hoy en día vemos un sistema de colas en la mayoría de

situaciones cotidianas, por ejemplo:* Al pagar un recibo * En un banco * Para sacar dinero del cajero * Al pagar las compras en un supermercado 

Generalmente como clientes no queremos esperar y los gestores de los citados servicios no quieren que esperemos.... ¿Por qué hay que esperar?

Objetivos Identificar el nivel optimo de capacidad del

sistema que minimiza el costo del mismo. Evaluar el impacto que las posibles

alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el costo total del mismo.

Establecer un balance equilibrado entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.

Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

Definiciones iniciales:

Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas.

Las características operativas de interés incluyen las siguientes: Probabilidad de que no hayan unidades o clientes en el

sistema Cantidad promedio de unidades en la línea de espera Cantidad promedio de clientes en el sistema (cantidad de

unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo)

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el

tiempo de espera más el tiempo de servicio) Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el

servicio

Descripción de un sistema de colas:

Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio, esperan,

si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez que han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes

abandonan el sistema si se cansan de esperar.

Clientes llegando 0 0 0 0 Servicio Clientes servidos

Clientes que abandonan (sistema de cola básico)

El término “cliente” se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significar piezas esperando su turno para ser procesadas o una lista de trabajo esperando para imprimir en una impresora en red.

Los clientes en la cola no tienen que ser personas.

Características de los sistemas de colas:

Características básicas de la teoría de colas:

a) Patrón de llegada de los clientes b) Patrón de servicio de los servidores c) Disciplina de cola d) Capacidad del sistema e) Número de canales de servicio f) Número de etapas de servicio

a) Patrón de llegada de los clientes : En situaciones de cola habituales, la llegada depende de una cierta

variable aleatoria, en este caso es necesario conocer la distribución probabilística entre dos

llegadas de cliente sucesivas.

Además habría que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultáneamente. En este segundo caso (es decir, si llegan lotes) habría que definir la distribución probabilística de éstos.

También es posible que los clientes sean “impacientes”. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado larga se vayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan abandonar.

Por último es posible que el patrón de llegada varíe con el tiempo. Si se mantiene constante le llamamos estacionario, si por ejemplo varía con las horas del día es no-estacionario.

b) Patrones de servicio de los servidores:Los servidores pueden tener un tiempo de servicio

variable, en cuyo caso hay que asociarle, para definirlo, una función de probabilidad.

También pueden atender en lotes o de modo individual.

El tiempo de servicio también puede variar con el número de clientes en la cola, trabajando más rápido o más lento, y en este caso se llama patrones de servicio dependientes.

c) Disciplina de cola:Refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio.

Por ejemplo: • primero en entrar, primero en salir• ultimo en llegar • aleatoria• de acuerdo a algún procedimiento de

prioridad o a algún otro orden

d) Capacidad del sistema:En algunos sistemas existe una

limitación respecto al número de clientes que pueden esperar en la cola.

A estos casos se les denomina situaciones de cola finitas.

e) Número de canales del servicio: Es evidente que es preferible utilizar sistemas multi-servidos

con una única línea de espera para todos que con una cola por servidor. Por tanto, cuando se habla de canales de servicio paralelos, se habla generalmente de una cola que alimenta a varios servidores mientras que el caso de colas independientes se asemeja a múltiples sistemas con sólo un servidor.

El primero una cola para cada canal y la segunda tiene una sola cola de espera.

F

f) Etapas de servicio:Un sistema de colas puede ser uni-etapa o multi-

etapa. En los sistemas multi-etapa el cliente puede pasar por un número de etapas mayor que uno.

En algunos sistemas multi-etapa se puede admitir la vuelta atrás o “reciclado”, esto es habitual en sistemas productivos como controles de calidad y de procesos

Costo de un sistema de espera

Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar. Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido.

Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado y es más fácil de estimar.

El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo

Costos

Tasa de servicioTasa óptima de servicio

Costo de espera

Costo del servicio

Costo total

Modelos.

Muchos de los modelos para la teoría de colas hacen la suposición de que todos los tiempos entre llegadas y todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos.

Por ejemplo, el modelo M/M/s supone que tanto los tiempos entre llegadas como los de servicio tienen una distribución exponencial y que el número de servidores es s (cualquier entero positivo).

El modelo M/G/1 supone que los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial pero no pone restricciones sobre la distribución de los tiempos de servicio, mientras que el número de servidores está restringido a exactamente 1.

Distribución de tiempos entre llegadas.

Numero de servidores.Distribución de tiempos entre llegadas.

En donde: M = Distribución exponencial D = Distribución degenerada Ek = Distribución Erlang G = Distribución general.

Estructura de un sistema de línea de espera.

Definir el proceso de llegada para una línea de espera y el tiempo de servicio implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado y para el tiempo que dura el cliente en el sistema.

Los analistas cuantitativos han encontrado que la distribución de probabilidad POISSON proporciona una buena descripción del patrón de llegadas puesto que cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de la otra llegada; esta función de probabilidad proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo especifico.

Para ello se tiene la siguiente ecuación:

Dónde:X= cantidad de llegadas en el periodoλ= Cantidad promedio de llegadas por periodoe= 2.71828

Y la distribución de probabilidad exponencial para suponer el tiempo de servicio sea menor o igual a un tiempo de duración t utilizando la siguiente ecuación:

P (tiempo de servicio <= t) = 1 – e-ut

Dónde:u = La cantidad media de unidades que pueden

servirse por periodoe= 2.71828

Modelo de línea de espera de un solo canal M/M/1

Supuestos:La línea de espera tiene un solo canalEl patrón de llegadas sigue una distribución de

probabilidad POISSON.Tiempo de servicio sigue una distribución de

probabilidad exponencial.La disciplina del servicio es (FIFO) primero en

entrar primero en atender. 

Características operativas λ= Cantidad promedio de llegadas por periodo (tasa de llegadas)μ= Cantidad promedio de servicio por periodo (tasa media de

servicio) 

El factor de utilización del servicio nos proporciona la probabilidad de que el sistema  tenga la capacidad para brindar el servicio. Las fórmulas del 1 al 7 solo se aplican cuando:

λ / µ  < 1

Esto es tasa promedio de llegadas > la tasa promedio de servicio; pero cuando: λ / µ > 1

En caso contrario la cola crece sin límite, pues el servicio no tiene la capacidad para  manejar las unidades que llegan y el sistema colapsa.

1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema 

2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila) 

3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total) 

4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera 

5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema 

6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio 

7) Probabilidad de que hayan unidades en el sistema.

Ejercicio: 1) Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en

la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente.

Datos: l = 1 / 6 = 0.167 perros/min

m = 1 / 3 = 0.34 perros/min

La probabilidad de que Sam este de ocioso definirá de la siguiente manera:

Ahora la proporción de tiempo en que Sam está ocupado:

El número total de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados:

El numero promedio de perros que esperan a ser vacunados:

2) Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estás es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación.

Datos: l = 2 llamadas/minutos m = (1 / 20 seg)(60 seg) = 3 llamadas/minuto

La probabilidad de que el operador este ocupado se definirá:

El tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador:

El numero de llamadas que esperan ser contestadas:

Modelo de línea de espera con canales múltiples M/M/k

Suposiciones:  La línea de espera tiene 2 ó más canales (servidores)  El patrón de llegadas sigue una distribución de probabilidad

POISSON.   Tiempo de servicio de cada sigue una distribución de probabilidad

exponencial.  La disciplina del servicio es (FIFO) primero en entrar primero en

atender.  La tasa promedio de servicio µ, es la misma para todos los canales.  Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y

después pasan al primer canal libre para obtener servicio.

Características de operación:  λ= tasa promedio de llegadas al sistema µ= tasa promedio de servicio para cada canal  k = número de canales  kµ= tasa promedio de servicio para el sistema de canales

múltiples.

Factor de utilización:

1) Probabilidad de que no haya unidades en el sistema: 

2) Número promedio de unidades en la fila de espera (tamaño de la fila):

 

3) Número promedio de unidades en el sistema (tamaño total) 

4) Tiempo de espera promedio que una unidad pasa en la línea de espera.

5) Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema 

6) Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar para obtener servicio

7) Probabilidad de que hayan unidades en el sistema.La anterior fórmula para n <= k

La anterior para n >= k

Ejemplo: Considere una línea de espera con dos canales con llegadas POISSON y tiempos de servicio exponenciales. La tasa media de llegadas es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal. 

DATOS : K=2 Tasa llegadas = 14 unid/hora Tasa servicio = 10 unids/hora

a) ¿cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? 

b) ¿cual es la cantidad de unidades promedio en espera?

c) ¿cual es el tiempo promedio que espera una unidad por el servicio?

Relación general para los modelos de líneas de espera.

Las principales características de operación que interesan en las líneas de espera son:

El número promedio de unidades en la línea de espera. (W) El número de unidades en el sistema. (L) El tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de

espera. (Lq) El tiempo promedio que cada unidad pasa en el sistema.

(Wq) 

Estas cuatro características están relacionadas en forma general y se aplican a diversos modelos de líneas de espera, independientemente.

  

Modelo M/G/1 Al igual que en los modelos anteriores no se

puede calcular de forma directa el numero esperado de unidades en el sistema, se debe calcular el numero de unidades que esperan a ser atendidas(Lq) y utilizar ese valor para averiguar la L .

Para eso se debe conocer la desviación (s) estándar de la distribución que distingue los tiempos de servicios.

Conociendo la desviación estándar y la media de la distribución de los tiempos de servicios la formula para hallar Lq es la siguiente:

El valor de L se determina: Siendo P

Podemos calcular el tiempo esperado en el sistema (W) y el tiempo que se invierte antes de ser atendido (Wq).