Tema6 El Número Complejo

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericanode formación permanentede profesores de matemática

Tema 6: El número complejo


- 2 -

El número complejo

Contenido de este documento:

Introducción

Los últimos de la familia de los números

Objetivos

La unidad imaginaria.

El número complejo. Definición y propiedades.

Subconjunto de C isomorfo al conjunto de los números reales.

El número complejo (0,1)

Forma binómica de un número complejo.

Representación gráfica.

Conjunto no ordenado.

Forma exponencial del número complejo.

Introducción

Las sucesivas ampliaciones de los campos numéricos que se han ido haciendo en estudios anteriores, es una buena forma de comenzar esta

unidad. En cada caso se irá haciendo ver cómo, una vez introducidos los números naturales, que se suelen representar con la letra N, aparecen

ecuaciones que no pueden ser resueltas en los sucesivos campos numéricos y ello conduce a la necesidad de ampliarlos: de N pasaríamos

a los números enteros Z, después a los números racionales Q y finalmente, hasta ahora, a los números reales R. Por lo tanto, ya se debe

tener al alumnado preparado para saber que hay ciertas ecuaciones que han tratado de resolver y que no encontraron solución en el campo de los

números reales que es el más amplio de los estudiados. Tal es el caso de

esta sencilla ecuación:

x2 + 1 = 0 [1]

Si se aplican los mecanismos de resolución conocidos, se tiene que

x2 = – 1 [2]

Y los alumnos saben que, en ese campo de los números reales, no existe ninguno que elevado al cuadrado dé un resultado negativo.

Una advertencia: cuando aparezca esa situación por primera vez, que puede ser cuando se resuelven ecuaciones de segundo grado con

discriminante menor que cero como:

x2 + 2x + 5 = 0 [3]

debemos tener mucho cuidado en decir a los estudiantes que esas ecuaciones “no tienen solución” porque les damos así una información

que es errónea y podemos crearles, además, un conflicto cognitivo cuando comprueba que sí tienen solución. Lo que se debe indicar, en todo

caso, es que no tienen solución “en los campos numéricos que conocemos


- 3 -

hasta ese momento” y que habrá que esperar a que nuestros conocimientos matemáticos se amplíen lo suficiente como para llegar a

conocer los números entre los que están las soluciones de esas ecuaciones. Ese momento ha llegado.

Aconsejamos introducir directamente los números complejos a partir del conocimiento de la unidad imaginaria. En el tema hemos hecho una

presentación más formal porque entendemos que el profesor debe

conocerla, aunque no sea ese el método que siga para introducir el número complejo a sus alumnos. Así, por ejemplo, se indica que el

conjunto de los números complejos, con la suma y el producto que se definen, tiene estructura de cuerpo. Es evidente que esto se explicará al

alumnado en el desarrollo del contenido solo si conoce esta estructura algebraica.

Se van proponiendo algunos ejercicios orientativos. Al estudiante deben proponerse más para que practique los algoritmos y refuerce y afiance las

ideas. También se plantean investigaciones que debe intentar realizar bien individualmente o en equipo. EL profesorado debe valorarlo en cada

caso.

Los ángulos se manejarán siempre en unidades sexagesimales. La

calculadora será un instrumento necesario para la resolución de los problemas porque permite trabajar con cualquier tipo de ángulo y

aproximar hasta donde se desee. En el desarrollo de la unidad se

redondea hasta las centésimas allí donde sea necesario. Cada profesor o profesora deberá decidir si introduce los radianes en función de las

características de su alumnado. Entendemos que no es imprescindible hacerlo en radianes. En ocasiones, la exclusiva utilización de esta unidad,

puede llevar a la confusión de que solo existen ángulos de la forma n/ .

Quizá lo mejor, desde el punto de vista metodológico, sea utilizar los dos

tipos de unidades de manera simultánea. En caso de trabajar con radianes, tener la precaución de colocar el modo rad en la calculadora.

Los últimos de la familia de los números

La primera referencia conocida de raíces cuadradas de números negativos proviene

del trabajo de matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de

Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se

hicieron más patentes en el siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran

las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por

matemáticos italianos como Tartaglia y Cardano. Aunque sólo estaban interesados

en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de

lidiar con raíces de números negativos.

El término “imaginario” para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el siglo

XVII. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la

interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta


- 4 -

algunos años después y popularizada por Gauss. Se verá más adelante.

Si se atiende al desarrollo histórico, los números complejos fueron los últimos en

aparecer y ser conocidos con rigor por parte de los matemáticos. Ya sabemos que

existen ecuaciones de segundo grado que no tienen solución en el campo de los

números reales. Esto se supo desde que el álgebra acometió la resolución de esas

ecuaciones y se les adjudicó el poco afortunado nombre de “soluciones imaginarias”

o “números imaginarios” que dio paso a los números complejos.

En el siglo XVI se introdujo el símbolo 1 como solución de la ecuación:

x2 + 1 = 0 [1]

que no es otra cosa que aplicar los mecanismos conocidos del álgebra a la expresión

x2 = – 1

Más tarde fue representado por la letra i y se le consideró como un “número ficticio”

o “imaginario” pero que debía tratarse algebraicamente como si fuera un número

real, solo que con la “extraña” propiedad de que su cuadrado es igual a – 1, esto es:

i2 = – 1

De esta forma, la ecuación [1] puede escribirse:

x2 + 1 = x2 – i2 = (x + i)(x – i) = 0

lo que da como soluciones:

x1 = i ; x2 = – i

Con esta decisión, la ecuación x2 + 2x + 5 = 0 tiene como soluciones:

x1 = – 1+ 2i ; x2 = – 1 – 2i

Pero estas expresiones fueron utilizadas de manera un tanto formal durante casi

300 años hasta que, a principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y

William Rowan Hamilton (1805-1865), de forma independiente uno del otro y casi

al mismo tiempo, propusieron la idea de definir los números complejos como pares

ordenados de números reales (a,b) pero con unas propiedades especiales como

veremos en el desarrollo de la unidad.

Cabe indicar que el nombre de “números imaginarios”, con que a veces se les

denomina, no se ajusta al significado estricto de la palabra pues son unos números

que resuelven un sinfín de situaciones de la ciencia y la tecnología. Se podría decir

que fue un “nombre desafortunado pero que hizo fortuna…”

Objetivos

Al acabar esta lección se debe:

Comprender por qué es necesario ampliar el conjunto de los números reales.

Manejar la unidad imaginaria y sus potencias.

Operar con números complejos: suma, resta, multiplicación,

división.


- 5 -

Conocer los números complejos conjugados y sus propiedades.

Resolver cualquier ecuación de segundo grado.

Representar gráficamente el número complejo.

Comprender qué es el módulo y el argumento de un número

complejo y saber calcularlos.

Conocer las distintas formas de expresar un número complejo y

saber pasar de una a otra.

Saber calcular potencias de números complejos. Fórmula de De Moivre.

Obtener las raíces de cualquier índice de un número complejo.

La unidad imaginaria.

La interpretación de los números complejos pasa por entender lo que es la llamada “unidad imaginaria”. Este es un concepto clave. Si observamos

las siguientes situaciones, veremos que esas “misteriosas” raíces de

radicando negativo, quedan reducidas en todos los casos al producto de un número real positivo por la raíz cuadrada de la unidad negativa:

121)1(2121

14116)1(1616

Pues bien, a ese “mágico” número, Leonard Euler (1707-1783) lo llamó

“unidad imaginaria” y lo representó con la letra i, es decir:

1 i

Conviene familiarizar a los estudiantes con las potencias de este número y

es un buen ejercicio de investigación que averigüen qué sucede con las sucesivas potencias de i. Estas son las cuatro primeras:

Se comprueba cómo las potencias de i se repiten periódicamente de

cuatro en cuatro de tal forma, que se pedirá que establezcan un algoritmo

para determinar el valor cualquier potencia de i. Éste consiste en dividir el exponente entre 4 y observar el resto de la división.

En efecto, si queremos averiguar i231 hacemos lo siguiente:


- 6 -

Por lo tanto

i231 = i57.4 + 3 = i57.4. i 3 = (i4) 57. i3 = i3 = – i

ya que, por el resultado anterior, sabemos que i4 = 1

Un ejercicio para reforzar el procedimiento:

Ejercicio 1.- Calcular:

a) i13 b) i18 c) i76 d) i487 e) i1289

El número complejo. Forma binómica.

Pasemos a resolver la ecuación [3] mediante la conocida fórmula de la

ecuación de segundo grado:

2

42

2

1162

2

162

2

20420522 i

xxx

ii

x

ii

x

212

42

212

42

2

1

Pues bien, la unidad imaginaria i ha permitido obtener una expresión para

las dos raíces de la ecuación [3] que, insistimos, ya sabíamos que no tiene solución en el campo de los números reales. A esos números, que, como

se ha indicado primero se les llamó “imaginarios”, a partir de Gauss se les

ha venido llamando “complejos”. Obsérvese que las dos soluciones x1 y x2 de la ecuación de segundo grado resuelta, tienen dos partes: – 1 en

ambas y 2i y – 2i como segundas partes. Pues bien, los números que tienen esa forma, reciben el nombre de números complejos.

Obviamente podemos generalizarlo mediante la siguiente:

Definición Se llama número complejo a toda expresión de la forma

z = a + bi

siendo a y b números reales y la i la unidad imaginaria.

Esta manera de expresar el número complejo se conoce como forma binómica. Más adelante veremos que hay

otras formas de expresar el número complejo.

231 4

31 57 231=57. 4 +3

3


- 7 -

El número a recibe el nombre de parte real del número

complejo y para referirnos a ella escribiremos Re(z) y la b, parte imaginaria que notaremos por Im(z). Cuando

un número complejo tiene las dos partes no nulas se dice que es completo.

Este resultado permite también definir el número complejo como un par de números reales ordenado

(a,b).

Obsérvese que la parte imaginaria es solo la b, es decir, el número real por el que está multiplicada la i.

El conjunto de los números complejos se notará con la letra C.

Es evidente que el subconjunto de C formado por los números de la forma

a + 0i coincide con el conjunto de los números reales pues al ser cero su parte imaginaria, solo queda la parte real.

Por otra parte, cuando es cero la parte real, entonces el número complejo

se suele llamar imaginario puro, es decir, los números imaginarios puros son de la forma:

z = b i, b R

Ejercicio 2

Especificar cuáles son las partes real e imaginaria de los siguientes números

complejos:

z 1 = 8 + 5i ; z 2 = 5 – 2i ; z 3 = – 3 + i ; z 4 = – 1 – i ; z 5 = 7i ;

z 6 = – i ; z 7 = 3/5 + i/2 ; z 8 = – 3 ; z 9 = 0 ; z 10 = 5

48 i

Igualdad de números complejos.

Aunque la siguiente definición pueda parecer una trivialidad, será un concepto que se utilizará para la resolución de ciertos problemas, como

los del ejercicio 3.

Dados los números complejos z1 =a + bi y z2 = c + di, se verifica que

z1 = z2 si a=c y b=d

es decir, dos complejos son iguales cuando las partes reales son iguales y también las imaginarias.

Ejercicio 3

Determinar el valor de x en cada caso:

a) 3 + xi = 3 – 4i

b) x + 3i ha de ser imaginario puro


- 8 -

c) 5 – xi ha de ser real

d) – xi ha de ser la unidad imaginaria

Operaciones con números complejos. Propiedades.

Ya se indicó que en C se definen dos operaciones internas; son la suma

(+) y el producto ( ) que, como se verá, no reviste mayor dificultad su comprensión teniendo en cuenta lo estudiado hasta este momento. Se

aplicarán las reglas conocidas de las operaciones con binomios y las propiedades de la unidad imaginaria. El profesor valorará si se demuestra que (C, +, ) es un cuerpo conmutativo.

Definición Sean z 1 = a + bi; z 2 = c + di.

Suma:

z1+z2=(a + bi) + (c + di)=a+c+(b+d)i

Producto:

z1 z2= (a+bi) . (c+di) =ac+adi+bci+bdi2=

ac–bd+ (ad+bc)i

El producto se puede desarrollar como si se tratara del producto de dos binomios estudiados en el tema de los polinomios. Se procede así:

a + bi

c + di

ac + bci

adi + bdii

ac + (bc + ad) i + bdi2

Como i2=–1, se tiene, finalmente: z1 z 2 =ac–bd+(bc+ad)i

Ejercicio 4

Siendo: z 1 = 3 + i ; z 2 = 4 – 2i ; z 3 = 6 ; z 4 = – 4i , calcular:

a) z 1 + z 2 ; b) z 1–z 2+z 3; c) z 1 z 2; d) 2

2z ; e) z 2 z 3; f) z1 z4

Propiedades. Se trata de las que permiten afirmar que (C,+,.) es un

cuerpo. Su demostración, salvo la obtención del elemento inverso de la multiplicación, se planteará como una investigación a realizar por el

alumnado, preferiblemente organizado en equipos de trabajo.

sabemos que i2=–1


- 9 -

Siendo z1 = a + bi; z2 = c + di; z3 = e + fi tres números complejos, las operaciones suma y producto definidas verifican las propiedades

siguientes:

Propiedad Suma Producto

Conmutativa z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1 z 2 = z 2 z 1

Existencia de elemento neutro

z 1 + (0 + 0i) = z 1 z 1 (1 + 0i) = z 1

Asociativa (z 1 + z 2)+ z 3 =

= z 1 + (z 2 + z 3)

(z 1 z 2) z 3 =

= z 1 (z 2 z 3)

Existencia de elemento opuesto/inverso

z 1 + (–a – bi) = 0 + 0i La deducción está a

continuación

Obtención del elemento inverso:

Siendo z=a+bi, su inverso será el número complejo z’=x+yi que

multiplicado por z es igual al número complejo unitario 1 + 0i, es decir que se ha de verificar que:

z z’=1+0i

Desarrollamos el primer miembro:

z z´=(a + bi) (x+yi)=ax–by+(ay+bx)i=1+0i

Teniendo en cuenta la igualdad de números complejos, de la relación

anterior se obtienen las dos ecuaciones:

0

1

aybx

byax por el método de reducción

02

2

abyxb

aabyxa axbxa 22

22 ba

ax

Reduciendo ahora la x se obtiene:

22 ba

by

Por lo tanto, si usamos para el inverso de z=a+bi la notación habitual, z-1 se tiene:

1z iba

b

ba

a2222

De la forma del denominador, se deduce que z ≠ 0 + 0i.


- 10 -

También se verifica la propiedad distributiva de la suma respecto de

la multiplicación, es decir:

z1 (z2+z3)=z1 z 2+z1 z3

Ejercicio 5

Obtener el inverso de los números complejos del ejercicio 4.

Teorema El conjunto de los números complejos C tiene

estructura de cuerpo conmutativo respecto de las dos operaciones definidas suma y producto.

Números complejos conjugados. Propiedades.

Dado el número complejo z=a+bi, se llama conjugado de z y se

representa z , al número complejo, z = a – bi

Por tanto, para determinar el conjugado de cualquier número complejo,

basta con cambiar el signo de la parte imaginaria.

Se enuncian las propiedades siguientes y se pide que se demuestren:

a) z + z = 2a = 2 Re(z)

b) z – z = 2bi = 2 Im(z)

c) 2121 zzzz

d) 2121 zzzz

e) zz

f) z z = a 2 + b 2 = Re(z)2 + Im(z)2

Resolución de las ecuaciones de segundo grado.

Con lo estudiado hasta el momento se está en condiciones de poder obtener las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado del tipo

general ax 2 + bx + c = 0 puesto que hasta ahora no se tenían conocimientos matemáticos para resolver las que tienen discriminante

negativo. Por ejemplo:

Resolver la ecuación: x 2 – 2x + 10 = 0


- 11 -

2

62

2

362

2

4042 ix

ii

x

ii

x

312

62

312

62

2

1

Obsérvese que las soluciones que son números complejos son números conjugados. ¿Por qué?

Comprobar todas las propiedades que se conocen de las soluciones de la ecuación de segundo grado como:

x1 x2 = c / a

x1 + x2 = – b / a

a (x – x1 ) ( x – x2 ) = a x 2 + b x + c

Ejercicio 6

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x 2 + 2 x + 6 = 0 ; b) x 2 + 25 = 0 ; c) 2 x 2 + 3x + 4 = 0

Ejercicio 7

Obtener la expresión de la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son

las que se dan en cada caso:

a) x1=3+i ; x2=3–i b) x 1 = i ; x2 =– i c) ixix 32 ; 32 21

Ejercicio 8

a) Obtener la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

x1 = 1 + i ; x 2 = 3 + 2i (obsérvese que se trata de dos números que no son conjugados).

b) Se sabe que una ecuación de grado n tiene n soluciones. Obtener las cuatro soluciones de la ecuación: x 4 - 1 = 0

División de números complejos.

Recordar que la división de dos números enteros se hace multiplicando el dividendo por el inverso del divisor. Así, por ejemplo para hacer 5:2, basta con

multiplicar 5 por ½ = 0,5. Pues bien, ese algoritmo también es aplicable a la división de dos números complejos. Bastará, entonces con multiplicar el complejo que hace de dividendo por el inverso del que hace de divisor, cuya

deducción ya se hizo anteriormente.


- 12 -

Sin embargo, si no se quiere recordar ese algoritmo, basta con multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de éste y así, el denominador de

la fracción se convierte en un número real.

En efecto, sean z 1 = a + bi y z 2 = c + di. Se tiene:

idc

adbc

dc

bdac

dc

iadbcbdac

dic

dic

dic

bia

dic

bia222222

)(

Ejercicio 9

Siendo z 1 = 3 + i ; z 2 = 2 – 4i ; z 3 = 5i , calcular:

1

1

1

1

3

2

2

1 ) ; ) ; ) ; )z

zd

z

zc

z

zb

z

za

Ejercicio 10

Determinar el valor de x en la fracción i

xi

3

2 para que el cociente sea:

a) un número real ; b) un imaginario puro. Para resolverlo, se hace la división y, una vez separadas las partes real e imaginaria, se iguala a cero la parte imaginaria para el apartado a) y luego la parte real para el

apartado b).

Ejercicio 11

Calcular 2072

1447

5

3

iii

ii

Representación gráfica de los números complejos.

Como ocurre con otros conceptos, la representación gráfica del número complejo

permite tener una visualización que facilita su comprensión y ayuda a deducir ciertos conceptos y propiedades. Vamos a construir el llamado plano complejo y conviene advertir desde el principio que no lo identifiquen con el plano

vectorial aunque se produzcan algunas coincidencias.

Dado el número complejo z = a + bi, las partes real (a) e imaginaria (b) serán

llevados a unos ejes cartesianos teniendo en cuenta las siguientes instrucciones:

a) En el eje horizontal se representa la parte real del número complejo.

b) En el eje vertical la parte imaginaria.


- 13 -

c) El punto que se obtiene en el plano se llama afijo del número complejo representado.

Ejercicio 12

Representar gráficamente los siguientes números complejos:

z 1 = 3 +i ; z 2 = 4 + 2i ; z 3 = – 3i ; z 4 = 4 ; z 5 = – 3 – 2i ;

z 6 = 4 – 2i ; z7 = ¾ + ½ i ; z8 = – 5/3 i

Investigación. Determinar qué signo deben tener las partes real e imaginaria de un número complejo para que su afijo esté en cada uno de

los cuadrantes del plano complejo.

Investigación. Estudiar la representación gráfica de dos números

complejos conjugados y de dos opuestos. ¿Qué relación existe entre sus afijos?

Investigación. Representar gráficamente los tres números complejos siguientes:

z 1 = 2 + 3i ; z 2 = 5 + i ; z 1 + z 2

¿Coincide el proceso con algo “conocido”?

Investigación. Representar:

a) z1 = 3 + 4i; i z 1 (Hacer la representación en el mismo plano complejo)

b) z2 = –3+ 2i; i z 2 (También en el mismo plano complejo)

¿Se puede conjeturar algo sobre el significado geométrico de multiplicar

un número complejo por la unidad imaginaria i?

Hacer lo mismo pero multiplicando por – i.

Fig. 1


- 14 -

(Se debe conjeturar que al multiplicar por i parece que el afijo gira 90º mientras que al hacerlo por – i, gira – 90º. Más adelante se verá la

justificación)

Módulo y argumento de un número complejo.

Sabemos ya que todo número complejo

puede ser representado gráficamente en el llamado plano complejo. Así, por

ejemplo, el número z = 2 + 3i tiene la representación que se indica en la

figura 2. El punto (2,3) es el afijo de z. El segmento que une el origen con el

afijo no se debe confundir con un vector aunque hay aspectos en los que

coinciden.

Definición Dado el número complejo z = a + bi, se llama módulo de z a la distancia desde el origen al afijo de z. Se representa con la

notación: z y, por tanto, teniendo en cuenta la

representación gráfica de z (figura 3) y el teorema de

Pitágoras se tiene:

│z │ = 22 ba

Fig. 3

Ejercicio 13

Calcular el módulo de los siguientes números complejos:

z 1 = 4 + 2i ; z 2 = 3 – 2i ; z 3 = – 2 – 5i ; z4 = 6 ; z5 = – 2i ;

z 6 = i ; z7 = 3 – 4i ; z 8 = 2/5 + 2/3 i

Fig. 2


- 15 -

Investigación. La demostración de las siguientes propiedades del módulo está al alcance de los estudiantes:

a) z = 0 si y solo si z = 0

b) zz z2

c) z = z

d) z = z

e) Re(z) ≤ z ¿En qué condiciones se verifica la igualdad?

f) Im(z) ≤ z ¿En qué condiciones se verifica la igualdad?

g) Utilizando varios ejemplos concretos comprobar la desigualdad:

z z 21 ≤ 1z + 2z

h) ¿Qué números complejos verifican la propiedad z ≤ 4?

i) ¿Qué números complejos verifican la propiedad 2 ≤ z ≤ 4?

La propiedad h) la verifican todos los complejos cuyos afijos estén en el

interior o sobre la circunferencia de radio igual a 4 (figura 4) y la h) los que estén en la corona circular (incluidas las circunferencias) comprendida

entre las circunferencias de radios 2 y 4. (Parte no sombreada de la figura 5).

Definición Dado el número complejo z = a + bi, se llama argumento

de z al ángulo que forma el segmento que une el origen y el afijo con la parte positiva del eje real (figura 6). Se

representa por la notación μ = arg z. Teniendo en cuenta la definición de tangente trigonométrica,

se tiene que

μ = arc tg b/a

Fig. 6

Fig. 5

Fig. 4


- 16 -

La calculadora permite obtener el valor del argumento de z cualquiera que sea el cuadrante en el que se encuentre el afijo.

Ejemplo: sea z = 2 + 3i. Se tiene que μ = arc tg 3/2 = 56º 18’36’’

El afijo del número del ejemplo está en el primer cuadrante y, por tanto,

el argumento es un ángulo menor de 90º y lo da directamente la calculadora. Pero como es sabido, la mayor parte de las calculadoras que

se venden en el mercado, dan el arco tangente con un ángulo

comprendido entre – 90º y 90º. Por esta razón, cada cual debe investigar con su calculadora cómo conseguir el valor del argumento según el

cuadrante en el que se encuentre el afijo. Es el objetivo de las siguientes investigaciones:

Investigación. Proponer un ejemplo de número complejo cuyo afijo esté en cada uno de los cuadrantes y, con la ayuda de la calculadora, obtener

el correspondiente argumento.

Investigación.- Representar la región del plano complejo en la que se

encuentren los números z tales que su argumento verifique:

a) 0º < argumento z ≤ 45º

b) 60º < argumento z ≤ 135º

Ejercicio 14

Obtener el argumento de cada uno de los siguientes números complejos:

z1 =3 + 5i; z2 = – 7 + 2i; z3 = – 3 – 7i; z4 = 36; z5 = 21i; z 6 =– i;

z7 = 3 – 8i; z 8 = ⅖ + ⅜ i

Observación: Aunque en la definición de argumento se habla con

el artículo determinado. conviene tener presente que realmente un

número complejo tiene infinitos argumentos puesto que cada vez

que se añade 360º, esto es, se da una vuelta completa, se vuelve al

mismo afijo. Es algo que conviene tener presente porque será

utilizado más adelante. No obstante, salvo en ese momento en el

que se indicará el uso de esta propiedad, en los demás casos se

utilizará el argumento que se encuentre en el intervalo [0º, 360 º).

Forma polar de un número complejo.

Investigaciones.

a) ¿Cuántos números complejos hay que tengan el módulo igual a 2?

Hacer una figura que clarifique la situación.


- 17 -

El estudiante debe llegar a la conclusión de que se trata de todos los números complejos cuyos afijos están en una circunferencia de radio igual

a 2 con centro en el origen de coordenadas del plano complejo.

b) ¿Cuántos números complejos hay que tengan el argumento igual a

30º? Hacer una figura que clarifique la situación.

En este caso, se trata de todos los números complejos cuyos afijos están

en una semirrecta que parte del origen de coordenadas y forma un ángulo

de 30º con el semieje real.

c) ¿Cuántos números complejos hay que tengan el módulo igual a 2 y el

argumento igual a 30º? Hacer una figura que clarifique la situación.

Obviamente se trata de un único complejo que está precisamente en la

intersección de la circunferencia y de la semirrecta descubiertas en los

apartados a) y b) anteriores.

Este resultado pone de manifiesto que un número complejo z puede ser

determinado de forma unívoca, indicando su módulo y su argumento. Pues bien, a estos dos parámetros (módulo y argumento) se les llama

coordenadas polares de z.

Notación:

Siendo │z │el módulo de z y μ su argumento, entonces podemos

expresar z mediante la expresión:

z = │z │μ

La llamaremos forma polar de expresar el complejo z.

Ejemplo: obtener la forma polar z = – 3 + 5i

Se trata de un número cuyo afijo está en el segundo cuadrante.

Su módulo es │z │= 22 53 = 34

Fig. 7


- 18 -

Su argumento es: μ = arc tg 5/3 = 120º 57’ 49’’

La expresión en forma polar es:

z = – 3 + 5i = 34 120º 57’49’’

Ejercicio 15

Expresar en forma polar los siguientes números complejos:

z 1 = 4 + i; z2 = – 2 – 5i; z3 = – 8 + 5i ; z 4 = 16; z 5 = 13i;

z6 = – 2i ; z7 = 3 – ⅝i ; z 8 = – ⅖

Forma trigonométrica de un número complejo.

Obsérvese la figura 8. Se tiene la representación gráfica del número z = a + bi.

Para simplificar la escritura, notaremos por r al módulo de z, es decir: │z

│= r

Recordando las definiciones del seno y del coseno de un ángulo se

obtiene:

cos μ = a/r a = r cos μ

sen μ = b/r b = r sen μ

Por tanto: z = a + bi = r cos μ + r sen μ i = r (cos μ + i sen μ)

La última expresión es conocida como forma trigonométrica de z.

Conociendo la forma polar de un número complejo no hay dificultades en

expresarlo de forma trigonométrica y viceversa.

Consecuencias.

La forma trigonométrica va a poner de manifiesto unas interesantes

propiedades del número complejo y de sus operaciones que el alumnado puede deducir con la orientación del profesor que hará un repaso de las

fórmulas del coseno y el seno de la suma de ángulos.

Fórmula de De Moivre.

Sean:

Fig. 8


- 19 -

z1 = r1 (cos μ1 + i sen μ1)

z2 = r2 (cos μ2 + i sen μ2)

Se trata de comprobar los siguientes resultados, haciendo ordenadamente las operaciones que van apareciendo en el desarrollo del proceso:

z1 z2 = r1 r2 [cos( μ 1 + μ 2) + i sen (μ 1 + μ 2)]

z1 : z2 = r1 : r2 [cos( μ 1 – μ 2) + i sen (μ 1 – μ 2)]

Siendo z=r(cos μ + i senμ) y teniendo en cuenta el anterior resultado se tiene que:

z2 = r r [cos ( μ + μ) + i sen (μ 1+ μ )] = r2 (cos 2μ + i sen 2μ )

Si el proceso se reitera, entonces se llega a la conocida como fórmula de

De Moivre:

Anteriormente se planteó la siguiente investigación:

Investigación. Representar:

a) z 1 = 3 + 4i ; i z 1

b) z 2 = – 3 + 2i ; i z 2

¿Se puede conjeturar algo sobre el significado geométrico de multiplicar un número complejo por i? Hacer lo mismo pero multiplicando por – i.

Con los resultados obtenidos, ya se puede demostrar como cierta la conjetura obtenida en esa investigación.

Ejercicio 16

Siendo z = – 2 + 3i, calcular z5

Investigación. Con la notación z= a + bi probamos que el producto de dos números complejos conjugados es un número real. Probarlo ahora con

la notación trigonométrica.

Raices n-ésimas de un número complejo.

Se resolverá con una aplicación de la fórmula de De Moivre. Sabemos que

dos complejos son iguales cuando sus partes real e imaginaria lo son y también cuando tienen el mismo módulo y el mismo argumento pues

estos dos datos determinan unívocamente un número complejo.

Se plantea ahora la investigación siguiente:

zn = rn (cos nμ + i sen nμ)


- 20 -

Investigación.- ¿Pueden tener el mismo afijo dos números complejos distintos?

En la respuesta a esta cuestión debe quedar claro que, en el caso de existir, han de tener el mismo módulo porque la distancia del origen al

afijo sería la misma. Esto nos pone sobre la pista de la solución pues, si existen, basta con que sus argumentos se diferencien en 360º. En la

figura 9 se plasma gráficamente la respuesta.

Para desarrollar el proceso del cálculo de las raíces de un número complejo, vamos a resolver un caso concreto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Siendo z = 1 + i calcular 3 1 i

Obsérvese que esa raíz surge de la resolución de la ecuación

x 3 – (1 + i) = 0 x 3 = 1 + i x = 3 1 i

Pero por el teorema fundamental del álgebra sabemos que si la ecuación es de grado 3,

entonces tiene tres soluciones. ¿Cuáles son? Eso es lo que vamos a resolver a

continuación.

Un procedimiento aconsejable porque es muy ordenado y claro es el siguiente: Se pasa

z a la forma polar: z = 2 45º

Si notamos por R μ una solución se tiene que: R μ = 3º452

Elevando al cubo los dos miembros de la igualdad queda: 2 45º = (R μ) 3 = (por la

fórmula de De Moivre) = R3 3μ. Pero de la igualdad de los dos complejos se deduce que:

Módulo: R 3 = 2 R =3 2 = 6 2

Este es el valor del módulo de las tres raíces que buscamos.

Argumento: 3μ = 45 + 360 k, siendo k un número entero pues en la investigación

última vimos cómo los argumentos pueden diferenciarse en circunferencias completas y

dar el mismo afijo. Despejando μ se tiene:

Fig. 9


- 21 -

3

36045 k , k es un número entero, es decir, k ε Z que, en este caso, puede tomar

los valores 0, 1 y 2 pues al tomar el valor 3 añadiría 360 a 45 y por tanto se tendría el

mismo afijo. Así que los argumentos de las tres raíces son:

Para k = 0 μ1 =3

45 = 15º

Para k = 1 -> μ2 = 3

36045=135º

Para k = 2 -> μ 3 = 3

360245 = 255º

Total, que las tres raíces que buscamos son:

º156

1 2z º1356

2 2z º2556

3 2z

Si se representan gráficamente las tres raíces se comprueba que

los afijos son los vértices de un triángulo equilátero (Figura 10),

lo que resulta de observar que la diferencia de los argumentos

es de 120º.

Con la ayuda de la calculadora, se puede obtener la expresión

binómica de las tres raíces obtenidas.

Fig. 10

Ejercicio 17

a) Calcular las raíces cuartas de i.

b) Calcular las raíces cuartas de 1.


- 22 -

SOLUCION DE LOS EJERCICIOS PLANTEADOS

1. a) i ; b) – 1 ; c) 1 ; d) – i ; e) i

2.

3. Valor de la x:

a) b) c) d)

– 4 0 0 –1

4. a) 7 – i ; b) 5 +3 i ; c) 14 – 2i ; d) 12 – 16i ; e) 24 – 12i ; f) 4 – 12i

5. 1

1

z = 3/10 – 1/10 i ; 1

2

z = 1/5 + 1/10 i ; 1

3

z = 1/6 ; 1

4

z = i/4

6. a) x1= – 1 + 5 i ; x2= – 1 – 5 i

b) x1 = 5i ; x2 = –5i

c) x1 = (– 3 + 23 i) / 4 ; x2 = (– 3 – 23 i) / 4

7. a) x2 – 6x + 10 = 0 ; b) x2 + 1 = 0 ; c) x 2 – 2 2 x + 5 = 0

8. a) x2+(–4–3i)x + (1+ 5i)= 0 ; b) x1 = 1 ; x2 =– 1 ; x 3 = i ; x4 =– i

9. a) 1/10 + 7/10 i; b) –4/5 –2/5 i ; c) 4/5 – 3/5 i ; d) 4/5 + 3/5 i

10. a) x =– 2/3 ; b) x= 6

11. –1/5 –3/5 i

12.

13.│Z 1│ = 20 ; │Z 2 =13 ;│Z 3 │= 29 ; │Z4 │=6; │Z 5 │=2 ;

z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 z10

Parte real 8 5 – 3 –1 0 0 3/5 –3 0 8/5

Parte imaginaria

5 – 2 1 –1 7 –1 1/2 0 0 –4/5

Fig. 11


- 23 -

│Z 6 = 1 ; │Z 7 │ = 5 ; │Z 8 │ = 225

136

14. μ1 = 59º 2’ 10’’ ; μ2 = 164º3’17’’ ; μ3 = 246º 48’5’’ ; μ4 = 0º;

μ5 = 90º ; μ6 = 270º ; μ7 = 290º 33’22’’ ; μ8 = 43º 9’9’’

15. z1 = 1714º 2’ 10’’ ; z2 =

29 248º 11’ 55’’; z3 = 89147º 59’41’’ ; z4 =16 0º;

z5=1390º ; z6 =2270º ; z7= ´́54´13º3488

601

; z8= (⅖) 180º

16. Utilizaremos la fórmula de De Moivre:

│z│ = 13 ; μ= 123º 41’ 24’’.

Por tanto:

z5=( 13 )5(cos 5μ+I sen 5μ)=( 13 )5(cos 618º 27’1’’+ isen618º27’1’’) =

= –122 –597i

17. a) z1 = 122º 30’ = 1π/8; z2 =1 22º 30’+90º = 1112º 30’ =1π/8 + π/2 = 15π/8 ;

z3=122º 30’+180º =1202º 30’=1π/8+π=19π/8;z4=122º30’ +270º=1292º30’=1π/8 + 3π/2 = 113π/8

b) Las cuatro raíces de la unidad son:

z1 = 10º =1 ; z2 = 190º = i ; z3 = 1180º = –1 ; z4 = 1270º = – i


- 24 -

Algunas cuestiones complementarias

Representación gráfica.

Se ha indicado que no conviene identificar la representación del número complejo en el plano complejo con el vector aunque haya algunas coincidencias. Así, por ejemplo, si los números complejos z 1 = a + bi y z 2 = c + di se representan mediante la correspondiente flecha que une el origen con el afijo, entonces para hallar la suma de ambos z1 + z2 “funciona” la regla del paralelogramo como se señala en la figura 11 y puede comprobarse con algún ejemplo concreto.

Sin embargo, no podemos hablar, por ejemplo, de números complejos libres como ocurre con los vectores ni de otras muchas cuestiones propias de éstos.

Para el módulo de un número complejo se utiliza una notación que coincide con la de valor absoluto de un número real.

Ambos conceptos son equivalentes en el sentido de que el módulo se define como la distancia del origen al afijo del complejo y, desde luego, el valor absoluto de un número real es también la distancia de su afijo al origen como puede verse en la figura 12. Por eso en algunos libros al módulo de un complejo también se le llama valor absoluto.

Cuerpo no ordenado.

Así como todos los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora (naturales, enteros, racionales y reales) son ordenados, no sucede así con C. Existen sin embargo algunos criterios que permiten definir una pseudoordenación.

Por ejemplo: decimos que z = a + bi es positivo si y solo si a > 0.

Fig. 11

Fig. 12

Sean aRR y z CC a = distancia OA

z = distancia OZ


- 25 -

Es fácil comprobar que esa relación no cumple todos los axiomas necesarios para que sea una relación de orden.

Tema6 El Número Complejo

Documents

Transcript of Tema6 El Número Complejo