Tema6 f1 03_04

Tema 6 – Oscilaciones.

6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.). 6.1.- Cinemática del movimiento armónico simple (M.A.S.).

6.2.- Vectores de rotación o fasores. 6.2.- Vectores de rotación o fasores.

6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S. 6.3.- Dinámica de un oscilador libre. Energía del M.A.S.

6.4.- Ecuación básica del M.A.S. 6.4.- Ecuación básica del M.A.S.

6.5.- Péndulos. 6.5.- Péndulos.

6.6.- Superposición de MM.AA.SS. 6.6.- Superposición de MM.AA.SS.

6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado. 6.7.- Dinámica de un oscilador amortiguado.

6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.6.8.- Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias.

Bibliografía: Bibliografía:

Título: Título: FísicaFísica.. Aut.: Aut.: M. Alonso, E. J. FinnM. Alonso, E. J. Finn Ed.: Ed.: Addison-Wesley Addison-Wesley Año: Año: 19951995.. Tema: Tema: 10.10.

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6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

• ¿Qué es un movimiento oscilatorio?¿Qué es un movimiento oscilatorio?

Una partícula tiene un Una partícula tiene un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio cuando se mueve periódicamente cuando se mueve periódicamente alrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unido alrededor de una posición de equilibrio (movimiento de un péndulo, de un peso unido a un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en una a un resorte, de los átomos en un sólido y en una molécula, de los electrones en una antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.antena,...). Su estudio es esencial para entender el movimiento ondulatorio.

• ¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?¿Qué es un movimiento armónico simple (MAS)?

Es el Es el más importantemás importante de los movimientos oscilatorios (representa a muchas de los movimientos oscilatorios (representa a muchas oscilaciones presentes en la naturaleza), pero también el oscilaciones presentes en la naturaleza), pero también el más sencillomás sencillo de describir y de describir y analizar. analizar. No todos los movimientos oscilatorios son armónicosNo todos los movimientos oscilatorios son armónicos..

• Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)Cinemática del movimiento armónico simple (MAS)

Una partícula tiene un Una partícula tiene un MASMAS si su si su desplazamientodesplazamiento xx respecto el origen es, respecto el origen es,

0cos tAx

0t Ángulo de fase o faseÁngulo de fase o fase

0 Fase inicial (fase cuando Fase inicial (fase cuando t =0t =0))

Como el coseno varía entre Como el coseno varía entre +1+1 y y –1–1, , xx toma valores entre toma valores entre AA y y -A-A

A Amplitud (máximo desplazamiento)Amplitud (máximo desplazamiento)

2P Periodo (intervalo de tiempo para Periodo (intervalo de tiempo para el que el valor de el que el valor de xx se repite) se repite)

Equilibrio

P1 Frecuencia (se mide en Frecuencia (se mide en hertzhertz) )

22 P Frecuencia angular Frecuencia angular

2

6.1 – Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).

La La velocidadvelocidad vv de una partícula que tiene un de una partícula que tiene un MASMAS es, es,

0sen tAdtdx

v Varía periódicamente entre los valores Varía periódicamente entre los valores AA y y --

AALa La aceleraciónaceleración aa de una partícula que tiene un de una partícula que tiene un MASMAS es, es,

xtAdtdv

a 20

2 cos Varía periódicamente entre los valores Varía periódicamente entre los valores 22AA y y --22AA..

En el MAS En el MAS aa es proporcional y opuesta a es proporcional y opuesta a xx..

Desplazamiento

Velocidad

AceleraciónRepresentación del desplazamiento en función del tiempo

3

6.2 – Vectores de rotación o fasores.

• Vectores de rotación o fasores.Vectores de rotación o fasores.

El El desplazamientodesplazamiento de una partícula que se mueve con un de una partícula que se mueve con un MASMAS se puede considerar se puede considerar como la ccomo la componenteomponente XX de un vector de longitud de un vector de longitud OP’= AOP’= A; este vector rota en sentido ; este vector rota en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de contrario a las agujas del reloj alrededor de OO con velocidad angular con velocidad angular y en cada y en cada instante forma un ángulo instante forma un ángulo ((t+t+)) con el eje con el eje XX..

XO

Para t > 0

YP’

A

t+0 P

0cos tAx

t

X

Y

O

P’A0 P

0cosAx

Para t = 0

0cos tAxX

Y

O

P’

A

t+ 0P

t

X

Y

P’

A

t+ 0

x

A

2A

V’

A’

va O

/2

022

0

0

coscos

2cossen

cos

tAtAa

tAtAv

tAOPx

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6.3 – Dinámica del oscilador libre. Energía del MAS.

• Aplicando la Aplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton, se tiene que , se tiene que la fuerzala fuerza que tiene que actuar sobre que tiene que actuar sobre una partícula de masa m que se mueve con un una partícula de masa m que se mueve con un MASMAS es, es,

maF ComoComo xa 2

xmF 2

En un MAS En un MAS FF es proporcional y opuesta a es proporcional y opuesta a xx

kxF

LlamandoLlamando 2mk Constante elásticaConstante elástica

• De este modo, se puede escribirDe este modo, se puede escribir

• Dinámica del MAS.Dinámica del MAS.

mk2mk

km

P 22P

mk

21

P1

5


• Se obtiene la Se obtiene la energía potencialenergía potencial a partir de a partir de

dxdEp

Fx ComoComo kxFx

kxdxdEp

xEpkxdxdEp

00

IntegrandoIntegrando

22212

21 xmkxEp La La EpEp es cero en el centro es cero en el centro ((x=0x=0)) y máxima y máxima

en los extremos de oscilación en los extremos de oscilación ((x=x=AA))

• La La energía totalenergía total del MAS es del MAS es

2221222

21 xmxAmEpEcE 2

2122

21 kAAmE EE es constante es constante

• La La energía cinéticaenergía cinética de una partícula que se mueve con un MAS es de una partícula que se mueve con un MAS es

0222

21

0222

212

21 cos1sen

2

tAmtAmmvEc

v

0cos tAxComoComo

2221222

21 xAkxAmEc La La EcEc es máxima en el centro es máxima en el centro ((x=0x=0)) y cero y cero

en los extremos de oscilación en los extremos de oscilación ((x=x=AA))

• Energía del MAS.Energía del MAS.

6


Ec

Ep

Epm

Ecm

Ep

Ep

Ep

Ec

Representación de la energía cinética y potencial frente al tiempo

Representación de la energía potencial frente al desplazamiento

7

6.4 – Ecuación básica del MAS.

• Se obtiene combinando la Se obtiene combinando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton con la expresión de la con la expresión de la fuerza que fuerza que produce un MASproduce un MAS. Esto es,. Esto es,

kxFdtxd

mmaF 2

2

Ecuación básica Ecuación básica del MASdel MAS

kxdtxd

m 2

2

02

2

kxdtxd

m

ComoComo mk2

022

2

xdtxd

• Es Es soluciónsolución de esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en la de esta ecuación (puede verificarse sustituyendo la solución en la ecuación)ecuación) 0cos tAx

• Y también son Y también son soluciónsolución de la misma de la misma

tBtAxtAx cossen,sen 0

• Esta Esta ecuación básicaecuación básica aparece en muchas aparece en muchas situaciones físicassituaciones físicas. Siempre que aparezca . Siempre que aparezca es una indicación de que el es una indicación de que el fenómeno es oscilatoriofenómeno es oscilatorio y corresponde a y corresponde a un MASun MAS..

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6.5 – Péndulos.

• Péndulo simple.Péndulo simple. • Se define como una partícula de masa Se define como una partícula de masa mm suspendida de un punto suspendida de un punto OO mediante una cuerda de mediante una cuerda de

longitud longitud l l y masa despreciable. y masa despreciable.

• Cuando Cuando mm se separa de la posición de equilibrio y se suelta se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un describe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, que se debe a la , que se debe a la componente tangencial del pesocomponente tangencial del peso. .

• Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial se obtienese obtiene

mlmaF tt 2

2

sendtd

mlmg 0sen2

2

lg

dtd

• Que difiere de la Que difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el término por el término sensen. Sin embargo si el . Sin embargo si el ánguloángulo es es muy pequeñomuy pequeño, entonces , entonces sensen y se tiene y se tiene

02

2

l

g

dt

d Ecuación básica de un MAS Ecuación básica de un MAS de frecuenciade frecuencia lg2

• Y su solución es unY su solución es un MAS MAS cuya expresión es cuya expresión es

00 cos t

siendo el siendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación

gl

P 2

9

6.5 – Péndulos.

• Péndulo compuesto.Péndulo compuesto. • Se define como un Se define como un sólido rígidosólido rígido suspendida de un punto suspendida de un punto OO que pasa por un pivote. que pasa por un pivote.

• Cuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y se Cuando el sólido se separa de la posición de equilibrio y se suelta describe un suelta describe un movimiento oscilatoriomovimiento oscilatorio, debido al momento , debido al momento de la fuerza producido por el peso.de la fuerza producido por el peso.

• Aplicando la ecuación fundamental de la dinámicaAplicando la ecuación fundamental de la dinámica

IMO 2

2

sendtdImgD

0sen2

2

I

mgD

dt

d

• Que difiere de la Que difiere de la ecuación básica de un MASecuación básica de un MAS por el término por el término sensen. Sin embargo si el . Sin embargo si el ánguloángulo es es muy pequeñomuy pequeño, entonces , entonces sensen y se tiene y se tiene

02

2

I

mgD

dt

d Ecuación básica de un MAS Ecuación básica de un MAS de frecuenciade frecuencia ImgD2

• Y su solución es unY su solución es un MAS MAS cuya expresión es cuya expresión es

00 cos t

siendo el siendo el periodo de oscilaciónperiodo de oscilación

mgDI

P 2

PivoteO

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6.6 – Superposición de MM. AA. SS.

• Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección y frecuencia. Cuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existe Cuando una partícula está sometida a más de una fuerza armónica se dice que existe

una una interferencia o superposicióninterferencia o superposición de movimientos armónicos simples. Se observan de movimientos armónicos simples. Se observan sobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes en sobre la superficie del agua cuando se lanzan dos piedras, y son importantes en óptica y en acústica. óptica y en acústica.

Sea una partícula sometida a dos MAS que actúan en la Sea una partícula sometida a dos MAS que actúan en la misma direcciónmisma dirección y que y que tienen la tienen la misma frecuenciamisma frecuencia. El . El desplazamientodesplazamiento producido por cada MAS es producido por cada MAS es

tAx

tAx

cos

cos

22

11 La fase de xLa fase de x1 1 es ceroes cero

La fase de xLa fase de x2 2 es es (diferencia de fase) (diferencia de fase)

El El desplazamiento resultantedesplazamiento resultante de la partícula viene dado por de la partícula viene dado por

tAtAxxx coscos 2121

y como se verá es un MAS con periodo y como se verá es un MAS con periodo

2P

11


A

A1

A2

x

tO x

t

y P’

P1’

P2’

• Primer caso especial. Si Primer caso especial. Si = 0 = 0 los dos movimientos están los dos movimientos están en faseen fase.. El El movimiento resultantemovimiento resultante es es

tAAtAtAxxx coscoscos 212121

y se trata de uny se trata de un MAS MAS de la de la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene , que tiene una amplituduna amplitud que es que es igual a igual a

21 AAA

O

12


• Segundo caso especial. Si Segundo caso especial. Si = = rad rad los dos movimientos están los dos movimientos están en oposiciónen oposición..

En este caso el desplazamiento xEn este caso el desplazamiento x22 es es

tAAtAtAxxx coscoscos 212121

y se trata de un y se trata de un MASMAS de la de la misma frecuencia angularmisma frecuencia angular, que tiene , que tiene una amplituduna amplitud que es que es igual a igual a

21 AAA

tAtAx coscos 222

y el y el movimiento resultantemovimiento resultante es es

A

A1

A2

x

tO x

t

y

P’

P1’

P2’

O

13


• Caso general. Si Caso general. Si toma un valor arbitrario.toma un valor arbitrario. De la representación como vectores rotantes se observa que el movimiento De la representación como vectores rotantes se observa que el movimiento

resultante es un resultante es un MASMAS de la de la misma frecuenciamisma frecuencia y y una amplituduna amplitud dada por dada por

02121 coscoscos tAtAtAxxx

y cuyo y cuyo desplazamiento resultantedesplazamiento resultante es es

A

A1

A2

x

tO

cos2 2122

21 AAAAA

x

t

y

P’

P1’

P2’

0

O

A1

A2A

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• Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia.Superposición de dos MAS de la misma dirección pero distinta frecuencia. Es el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidas Es el tipo de interferencia que resulta cuando dos señales de radio son trasmitidas

con frecuencias cercanas pero no iguales. con frecuencias cercanas pero no iguales.

Consideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuaciones Consideremos que los MAS que se superponen vienen dados por las ecuaciones tAxtAx 222111 cos,cos La fase inicial de ambos es cero por simplicidadLa fase inicial de ambos es cero por simplicidad

x

1t

y

P’

P1’

P2’

2t

(2- 1)t

O

A

A1

A2

El El ánguloángulo entre los vectores de rotación entre los vectores de rotación OPOP11’’ y y OPOP22’ ’ eses ttt 1212 No es constanteNo es constante

Por lo que el vector Por lo que el vector OP’OP’ no tiene longitud constante y la no tiene longitud constante y la amplitud del movimiento resultanteamplitud del movimiento resultante es es

tAAAAA 122122

21 cos2

Esta Esta amplitud varía u oscilaamplitud varía u oscila entre los valores entre los valores

21 AAA sisi nt 212

21 AAA sisi nt 212

A

tO

A1+A2

A1A2

Amplitud moduladaAmplitud modulada

Por tanto el movimiento resultante en este casoPor tanto el movimiento resultante en este caso

21 xxx No es un MASNo es un MAS

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• Caso especial Caso especial cuando cuando AA11==AA22

Entonces la amplitud del movimiento resultante esEntonces la amplitud del movimiento resultante es

tAtAAA 1211221

21 cos12cos22

ComoComo 212cos2cos1

tAA 1221

1cos2 Que oscila entre Que oscila entre 00 y y 22AA11

x

x1,x2

A

x1+x2

x1

x2

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6.7 – Dinámica de un oscilador amortiguado 17

• En un En un MASMAS la la amplitudamplitud y la y la energíaenergía de la partícula que oscila de la partícula que oscila se mantienen constantese mantienen constante..

• Sin embargo en un Sin embargo en un sistema realsistema real, como un péndulo o resorte, se observa , como un péndulo o resorte, se observa que que la amplitud de la vibración disminuye con el tiempola amplitud de la vibración disminuye con el tiempo, ya que hay una , ya que hay una pérdida de energíapérdida de energía. Se dice que la . Se dice que la oscilación está amortiguadaoscilación está amortiguada..

• Para el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer que Para el análisis dinámico del oscilador dinámico, se puede suponer que además de la fuerza elástica, también actúa una además de la fuerza elástica, también actúa una fuerza disipativa que se fuerza disipativa que se opone a la velocidadopone a la velocidad, de la forma, de la forma

bvFd bb es una constante que indica la intensidad de la es una constante que indica la intensidad de la fuerza disipativafuerza disipativa

• Aplicando la Aplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces que se tiene entonces que

mabvkxdel FF

2

2

dt

xdm

dt

dxbkx 0

2

2

kxdt

dxb

dt

xdm

dividiendo por dividiendo por mm

02 202

2

xdt

dx

dt

xd dondedonde

mk

mb

0

2Frecuencia Frecuencia naturalnatural

• La La frecuencia naturalfrecuencia natural es aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa no es aquella que tendría el oscilador si la fuerza disipativa no estuviera presente.estuviera presente.

Ecuación básica de un Ecuación básica de un oscilador amortiguadooscilador amortiguado


1.- 1.- Si la Si la fuerza disipativafuerza disipativa es es relativamente pequeñarelativamente pequeña ( (bb pequeño pequeño y y 00).).

• El El desplazamientodesplazamiento está descrito por está descrito por

m

b

m

k

2

222

0

00 cos teAx t

observándose que la observándose que la amplitud no es constanteamplitud no es constante (disminuye exponencialmente con (disminuye exponencialmente con tt) )

• La La frecuenciafrecuencia viene dada por viene dada por

Se observa queSe observa que < < 00

A0

Amplitud Amplitud A=A A=A00ee-- t t

Desplazamiento Desplazamiento xx

Periodo Periodo PP


• Al ser la Al ser la energía proporcional a la amplitud al cuadradoenergía proporcional a la amplitud al cuadrado, también , también disminuye condisminuye con tt exponencialmenteexponencialmente

• Se define el Se define el tiempo de relajacióntiempo de relajación como como

tt eAmeAmAmE 220

2212

02

2122

21

LlamandoLlamando20

221

0 AmE teEE 2

0

b

m 2

1 Es el tiempo necesario para que la energía se reduzca Es el tiempo necesario para que la energía se reduzca un número e de veces su valor originalun número e de veces su valor original

y la y la energíaenergía se puede expresar como se puede expresar como teEE 0

• Se define el Se define el factor de calidadfactor de calidad como como

b

mQ 0

0

Está relacionado con la pérdida relativa de energía por Está relacionado con la pérdida relativa de energía por ciclo.ciclo.

se puede demostrar que el se puede demostrar que el factor de calidadfactor de calidad es igual a es igual a

ciclo

2

EEQ

Es inversamente proporcional a la pérdida de energía Es inversamente proporcional a la pérdida de energía relativa por ciclo.relativa por ciclo.


2.- 2.- Si la Si la fuerza disipativafuerza disipativa alcanza un alcanza un valor críticovalor crítico ( ( 0 0 y y bb = =2m 2m 00 ).).

• En este caso la frecuencia del movimiento seráEn este caso la frecuencia del movimiento será

El sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a ésta El sistema al ser desplazado de su posición de equilibrio vuelve a ésta sin oscilarsin oscilar. Se . Se dice que el sistema está dice que el sistema está amortiguado críticamenteamortiguado críticamente..

0220 No es un movimiento No es un movimiento

oscilatorio.oscilatorio.

3.- 3.- Si la Si la fuerza disipativafuerza disipativa supera este supera este valor críticovalor crítico ( ( 0 0 y y bb 2m 2m 00 ).).

• En este caso En este caso tampoco hay oscilacióntampoco hay oscilación, y el sistema al desplazarse vuelve a la posición , y el sistema al desplazarse vuelve a la posición de equilibrio, pero de equilibrio, pero más lentamente que con amortiguación críticamás lentamente que con amortiguación crítica. Se dice que el . Se dice que el sistema está sistema está sobremortiguado.sobremortiguado.

Amortiguado críticamenteAmortiguado críticamente

SobreamortiguadoSobreamortiguado

6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias 21

• Un oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantener Un oscilador forzado dejará de moverse transcurrido un tiempo. Podemos mantener una partícula oscilando con amplitud constante aplicando una una partícula oscilando con amplitud constante aplicando una fuerza externafuerza externa que varíe que varíe con el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que es con el tiempo de forma periódica. En este caso el movimiento resultante se dice que es una una oscilación forzadaoscilación forzada..

• Para el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puede Para el análisis dinámico del oscilador forzadoo, se puede suponer que además de la fuerza elástica y la fuerza suponer que además de la fuerza elástica y la fuerza disipativa, también actúa una disipativa, también actúa una fuerza externafuerza externa, de la forma, de la forma

tFF fext cos0

• Aplicando la Aplicando la segunda ley de Newtonsegunda ley de Newton se tiene entonces que se tiene entonces que

mabvkxtFdel

extFF

F

f

cos0 tFkxdt

dxb

dt

xdm f cos02

2

0F

fAmplitud de la fuerza externaAmplitud de la fuerza externa Frecuencia de la fuerza externaFrecuencia de la fuerza externa

dividiendo por dividiendo por mm

tm

Fx

dt

dx

dt

xdf cos2 02

02

2

Ecuación básica de un Ecuación básica de un oscilador forzadooscilador forzado

dondedonde

mk

mb

0

2Frecuencia Frecuencia naturalnatural

6.8 – Dinámica de un oscilador forzado. Resonancias. 22

• La solución de esta ecuación consta de dos partes, la La solución de esta ecuación consta de dos partes, la solución transitoriasolución transitoria y la y la solución solución estacionariaestacionaria. La . La parte transitoriaparte transitoria es idéntica a la de un oscilador amortiguado y es idéntica a la de un oscilador amortiguado y transcurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con el transcurrido cierto tiempo se hace despreciable (disminuye exponencialmente con el tiempo). Así solo queda la tiempo). Así solo queda la parte estacionariaparte estacionaria que puede expresarse como que puede expresarse como

tAx fsen La partícula oscila con la La partícula oscila con la frecuencia de la fuerza externafrecuencia de la fuerza externa

x

tO

Solución Solución transitoriatransitoria Solución estacionariaSolución estacionaria


22220

2

0

22

0

ffff

f

bmm

F

bkm

FA

donde la donde la amplitud amplitud yy la fase inicial de la oscilación forzada la fase inicial de la oscilación forzada vienen dadas por vienen dadas por

f

f

2

tan22

0

A

F0/k

f0 0

bb22

bb11

b = 0 b = 0 • La La amplitud es máximaamplitud es máxima cuando cuando

220 2 f

• La La velocidad velocidad de un oscilador forzado esde un oscilador forzado es

Resonancia en Resonancia en amplitudamplitud

tAdtdx

v ff cos

• La La amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad es es

22

00

bkm

FAv

ff

f

bb22 > > bb11 > > bb=0=0


• Cuando hay Cuando hay resonancia en energíaresonancia en energía se tiene que se tiene que

• En En resonanciaresonancia, la , la velocidad está en fase con la velocidad está en fase con la fuerza aplicadafuerza aplicada. Como la . Como la potencia transmitida al potencia transmitida al osciladoroscilador por la fuerza aplicada es por la fuerza aplicada es

FvP

• La La amplitud de la velocidadamplitud de la velocidad es máxima, y por tanto la energía cinética del oscilador es máxima, y por tanto la energía cinética del oscilador también es máxima, cuandotambién es máxima, cuando

mkf 0 Resonancia en energíaResonancia en energía

v0

f0 0

bb22

bb11

b = 0 b = 0

bb33

02

tan22

0

f

f 0

esta cantidad esta cantidad siempre es positivasiempre es positiva cuando cuando la la fuerza y la velocidad están en fasefuerza y la velocidad están en fase, y es por tanto , y es por tanto la condición más favorable para la transferencia la condición más favorable para la transferencia de energía al oscilador.de energía al oscilador.

bb33 > b > b22 > > bb11 > > bb=0=0

Tema6 f1 03_04

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