Tema5teoria de colas

8/7/2019 Tema5teoria de colas

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Tema 5:

Teora de colasEzequiel Lpez Rubio

Departamento de Lenguajes y

Ciencias de la Computacin

Universidad de Mlaga


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Sumario

Conceptos bsicos

Cola M | M | 1

Cola M | M | c

Cola M | M | 1 | k Redes de colas

Redes de Jackson abiertas

Redes de Jackson cerradas


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Conceptos bsicos


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Concepto de cola

Una cola es una lnea de espera para

determinado servicio

Este servicio lo proporciona uno o variosdependientes

La teora de colas analiza la causa de laformacin de la cola, que es la existencia de

momentos en los que hay una mayordemanda de servicio que la capacidad deservicio


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Clasificacin de sistemas de

colas

Llamaremos clientes, trabajos o tareas a los que

demandan servicio, y dependientes, empleados oservidores a los que ofrecen servicio

Un sistema de colas viene dado por varias

caractersticas: 1 Modelo de llegada de clientes, El ndice de

llegadas ser el nmero medio de llegadas por unidad

de tiempo, Alternativamente podemos usar el tiempoentre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadassucesivas


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colas

2 Modelo de servicio, Puede venir dado por el tiempo deservicio o por el nmero de clientes atendidos por unidadde tiempo, Tendremos una variable aleatoria o bien unservicio determinista, Aqu supondremos que el modelo deservicio es independiente del de llegada

3 Disciplina de la cola, Establece el orden en que se va

atendiendo a los clientes: Por orden de llegada (FIFO) Por orden inverso al de llegada (LIFO) Seleccin aleatoria (RANDOM) Segn prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos:

Con interrupcin, Si llega un cliente de ms prioridad, el trabajo que seestaba sirviendo se interrumpe para atenderlo

Sin interrupcin, No se pueden interrumpir los trabajos

Dentro de cada clase de prioridad se podrn aplicar disciplinas LIFO, FIFOo RANDOM,


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colas

4 Capacidad del sistema, Es el nmero mximo de

clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Sillega un cliente y el sistema est lleno, se marcha,

5 Nmero de canales de servicio, Es el nmero dedependientes, Puede haber una cola para cada

dependiente o bien una sola cola global 6 Nmero de estados de servicio, Puede haber varias

partes en las que se subdivide el trabajo (estados), cadauna con su cola y su dependiente, que deben sercompletadas sucesivamente, P, ej,, tres estados:


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Notacin de Kendall

La notacin de Kendall nos permite escribir

resumidamente todas las caractersticas quehemos estudiado, Un sistema de colas senotar como: A | B | X | Y | Z | V, donde:

A es el modelo de llegadas, Valores posibles: M=tiempos entre llegadas exponenciales

D=tiempos entre llegadas deterministas

G=tiempos entre llegadas generales (cualquierdistribucin)

B es el modelo de servicio, Puede tomar losmismos valores que A


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Notacin de Kendall

X es el nmero de dependientes (servidores)

Y es la capacidad del sistema (nmero mximode clientes en el sistema), Se puede omitir si esinfinita

Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO

V es el nmero de estados de servicio, Se puedeomitir si es 1

Por ejemplo, M | M | 1 | | FIFO | 1 seescribe abreviadamente M | M | 1


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Medidas de rendimiento

Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo

es evaluar su rendimiento, Para ello tenemosvarias medidas de rendimiento:

Nmero medio de clientes en el sistema, notado L

Tiempo medio de espera de los clientes, W

Nmero medio de clientes en la cola, Lq

Tiempo medio de espera en cola de los clientes,Wq


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Cola M | M | 1


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Descripcin del modelo

Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un

solo servidor, La disciplina ser FIFO Las llegadas se producen segn un proceso de

Poisson de razn , donde es el nmero medio dellegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo

medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas sedistribuirn exponencialmente, Exp() Los tiempos entre servicios tambin se distribuirn

exponencialmente, Exp(), de tal manera que es

el nmero medio de clientes que el servidor escapaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es eltiempo medio de servicio


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Condicin de no saturacin

Se demuestra que si , el sistema se satura,

es decir, el nmero de clientes en la cola creceindefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,la condicin de no saturacin ser:

=< donde,1

Nosotros slo estudiaremos las colas que no sesaturan, Cuando una cola no se satura, tambinse dice que alcanza el estado estacionario,


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Probabilidades

El parmetro se llama carga, flujo ointensidad de trfico del sistema, puesto quemide la relacin entre la cantidad de trabajosque llegan y la capacidad de procesarlos

Suponiendo que el sistema no se satura, sededuce la siguiente frmula para lasprobabilidades pn de que haya n clientes en

el sistema, donde nN:

( ) = 1nnp


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El nmero medio de clientes en el sistema, L, se

calcula as:( ) ( )

=

=

=

===000

11j

j

j

j

j

j jjpjL

Sumamos la serie aritmtico-geomtrica:

...432 432 ++++= S

...32 432 += S

( )

=++++= 1...1432S

( )

( )

=

=

111

2L


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El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que

un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos queun trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con quehay por delante de l otros j trabajos, el tiempo medioque tardar en salir del sistema ser j+1 veces el tiempomedio de servicio, Por lo tanto:

( )

11111

000

+=+=+=

=

=

=

LppjpjW j

j

j

j

j

j

Tiempo que se pasaen el sistema sihay j por delante

al llegar

Probabilidad de quehaya j por delante

al llegar


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Podemos simplificar algo ms:

=+= 11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallar

restando a W el tiempo que tarda en ser servido eltrabajo (esto es vlido para cualquier tipo de cola):

1= WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:

=qW


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Ejemplo

Unos mecnicos llegan a una media de 10 por hora

a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se lasda un dependiente pagado con 5 /hora y que tardacomo media 5 min en servir, Cada hora que tieneque esperar un mecnico (en el sistema) le cuesta

al taller 10 , Queremos saber si merece la penacontratar a un ayudante de dependiente, pagadocon 4/hora, de forma que el tiempo medio deservicio se reduzca a 4 min

Nota: Al resolver un problema de colas, tenersiempre muy presente la coherencia de unidades


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Ejemplo

Tenemos dos opciones:

Sin ayudante: 1/1 = 5 min = 1/12 h Con ayudante: 1/2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, = 10 clientes/h

Opcin 1 (sin ayudante):

mecnicos5

12

101

12

10

1;

12

10

1

111 =

=

==

L

Por tanto, perdemos 5(10/h) = 50/h


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Ms medidas de rendimiento

El nmero medio de trabajos en la cola Lq, se

calcula restndole a L el nmero medio de trabajosque estn siendo servidos:

( )

=

===

111

2

0 LpLLq

Probabilidad de que un cliente que llega pase msde t unidades de tiempo en el sistema:

( ) WtetW /=

( ) Wtq etW/=

Probabilidad de que un cliente que llega pase msde t unidades de tiempo en la cola:


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Ejemplos

Ejemplo: Un canal de comunicacin se usa para

enviar datos desde unos ordenadores fuente a unocentral, Cada fuente enva paquetes de datos segnun proceso de Poisson de razn 2 paquetes/seg,Adems cada fuente enva independientemente de

las otras, Todos los paquetes son idnticos,esperan en una cola comn y despus setransmiten de uno en uno, Los tiempos detransmisin se distribuyen exponencialmente, conmedia 25 mseg, Determinar el nmero mximo defuentes que se pueden conectar al canal de talmanera que:


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Ejemplos

1 El canal no se sature

Si tenemos k fuentes, llegarn a la cola 2kpaquetes/seg, Por otro lado, 1/ = 0,025 seg = 40 paquetes/seg

El canal no se satura cuando


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Ejemplos

2 En media los paquetes no pasen en el

sistema ms de 100 mseg Tal como ocurra en el apartado anterior, llegarn

a la cola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40paquetes/seg

Nos exigen W0,1 seg:

fuentes151,0240

11

== kkW


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Ejemplos 3 En el estado estacionario se garantice que al

menos el 95% de los paquetes tenga un tiempo derespuesta que no exceda de 100 mseg

Tal como ocurra en el apartado anterior, llegarn a lacola 2k paquetes/seg, y tendremos = 40 paquetes/seg

Nos exigen que la probabilidad de que un paquete pase

ms de 100 mseg en el sistema sea inferior al 5%, esdecir, W(100 mseg)0,05:

( ) ( ) 05,0ln42,005,005,01,0 2401,0 keW k

)kque(yafuentes5021,52,0

05,0ln4N

+ kkk


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Ejemplos Ejemplo: Supongamos que una cola M|M|1 con parmetros

y se sustituye por n colas M|M|1 independientes deparmetros /n y /n, Es decir, dividimos la carga de trabajo yla capacidad de proceso en n partes iguales, Evaluar elefecto del cambio usando como medidas de rendimiento eltiempo medio de respuesta y el nmero medio de trabajos en

el sistema

/n/n

/n/n


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Ejemplos

1

22

2 111 nWnWnn

====

Como la alternativa 1 tiene menores valorespara ambas medidas de rendimiento,concluimos que la dicha alternativa es mejor

Esto nos indica que lo mejor es no dividir lacapacidad de procesamiento, es decir, tener unnico servidor que atienda a todos los clientes


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Teorema de Little

Sea un sistema de colas con cualquier

distribucin de llegadas y servicios y cualquierestructura, Sean L el nmero de trabajospresentes en el sistema en el estado

estacionario, W es tiempo medio de respuestaen el estado estacionario y la razn dellegadas al sistema, Entonces:

WL =


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Teorema de Little

Explicacin intuitiva: Supongamos que cobramos

1 a cada trabajo por cada unidad de tiempo quepasa en el sistema, Habra dos manerasequivalentes de medir las ganancias:

Colocando un recaudador a la entrada del sistema,le cobrar como media W a cada uno de los trabajos que vea pasar por unidad de tiempo

Cada vez que transcurre una unidad de tiempo,

cobro 1 a cada uno de los L trabajos que comomedia hay en ese instante en el sistema


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Teorema de Little

Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera

del sistema al servidor, obtengo el siguienteresultado, tambin muy til:

qq WL = Las dos frmulas obtenidas nos sirven para

ayudarnos a obtener los valores de las

medidas de rendimiento, aunquenecesitaremos otras ecuaciones para poderconseguir resultados explcitos


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Cola M | M | c


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Descripcin del modelo Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y c

servidores, La disciplina ser FIFO Las llegadas se producen segn un proceso de

Poisson de razn , donde es el nmero medio dellegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo

medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas sedistribuirn exponencialmente, Exp() Los tiempos de servicio tambin se distribuirn

exponencialmente, Exp(), de tal manera que es

el nmero medio de clientes que cada servidor escapaz de atender por unidad de tiempo y 1/ es eltiempo medio de servicio


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Condicin de no saturacin

Se demuestra que si c, el sistema se satura,

es decir, el nmero de clientes en la cola creceindefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,la condicin de no saturacin ser:

cdonde =< ,1

Nosotros slo estudiaremos las colas que no sesaturan, Cuando una cola no se satura, tambinse dice que alcanza el estado estacionario,


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Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se

deducen las siguientes frmulas para lasprobabilidades pn de que haya n clientes en elsistema, donde nN:

( ) ( )

11

0

0!1!

=

+=

c

n

ncc

nc

ccp

( )

==

casootroen,!

,...,1,0si,!

0

0

pc

c

cnpn

c

pnc

n

n


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Nmero medio de clientes en cola:

( )20

1

1!

= +

c

pcLcc

q

Usamos razonamientos ya vistos para obtener:

1+= qWW

qq WL = WL =


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Otras medidas de rendimiento

Nmero medio de servidores ocupados, S, En

el estado estacionario, la razn de las salidasser igual a la razn de las llegadas:

cSS ===

Probabilidad de que un trabajo tenga queesperar para recibir su servicio (frmula de

retraso de Erlang):

( )

=

1!

0

c

pcq

cc


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Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de

rendimiento, comparar estas dos alternativas:

/2

/2

Alternativa 1: Alternativa 2:


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Ejemplos

Alternativa 1:

=

11L

Alternativa 2:

===

22

2

( )( )

112

0

22

02!

2

1!2

2

=

+

=

n

n

np


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Ejemplos

( )( ) ( )( ) ( )( )

+

=

+

+=+

+

=

11

2

11

2222

11

2 333

2L

( )( )

+

+

>

+

> 1

110

1

2

11

2

1

2

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha decumplirse que L

1

>L2

:

011 >>+

Como >0 siempre se cumple, tendremos quela alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, noconviene poner dos colas, sino tener una nicacola global


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Ejemplos Cul es la probabilidad de que las tres mquinas

estn libres a la vez?

( )( )

( )( )

=

+

=

+

=

=

=

12

0

331

1

00

!

3

1!3

3

!1! n

nc

n

ncc

nn

c

c

cp

( )( ) ( ) ( )

0,5342706569

304

128

25

8

51

2432

125

!2

3

!1

3

!0

3

1!3

31121033

=

+++=

+++

( ) ( )clientes0,00722643

41791

302

1!3

3

1!2

56930443

20

1

=

=

=+

c

pcL

cc

q

Cul es el nmero medio de clientes en la cola?


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Ejemplos Cul es el tiempo medio de espera en la cola?

h00144529,035979

52

417915

302===

qq

LW

Cul es el tiempo medio de espera en el sistema?

h126445,04065

514

8

1

35979

521=+=+=

qWW

Cul es el nmero medio de clientes en elsistema?

clientes0.632226813

514

4065

5145 === WL


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Cola M | M | 1 | k


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Descripcin del modelo Hay una sola cola, cuya disciplina ser FIFO, La

capacidad del sistema es limitada, de tal modo queslo puede haber k clientes como mximo en elsistema, Por lo tanto, el nmero mximo de clientesen la cola es k1, Si un cliente llega y el sistemaest lleno, es rechazado y nunca ms regresa

Las llegadas se producen segn un proceso dePoisson de razn , Los tiempos entre llegadas sedistribuirn exponencialmente, Exp()

Los tiempos entre servicios tambin se distribuirnexponencialmente, Exp(), de tal manera que esel nmero medio de clientes que el servidor escapaz de atender por unidad de tiempo


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Probabilidades

El sistema nunca se satura, ya que la

capacidad es limitada Se deduce la siguiente frmula para las

probabilidades pn de que haya n clientes en

el sistema, donde n{0, 1, 2, , k}:

( )

=+

=+

1si,1k

1

1si,

1

11

k

n

np


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Probabilidades El valor de determina cmo varan los pn:

Si 1, los estados ms probables son los de mayor

nmero de clientes, porque la demanda de servicio superaa la oferta

Si =1, todos los estados son equiprobables, Podemosllegar a la frmula del caso =1 aplicando la regla deLHpital al lmite para 1 de la frmula del caso 1

Si hacemos k, llegamos al modelo M | M | 1


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Medidas de rendimiento Tasa efectiva de llegadas, ef, Es el nmero medio

de clientes admitidos al sistema por unidad detiempo de entre los que intentan entrar (ef


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Podemos obtener las dems medidas de

rendimiento mediante razonamientos yavistos, teniendo en cuenta que la tasa

efectiva de llegadas al sistema es ef:

1+= qWW

WL ef=qefq WL =


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Ejemplo A un taller mecnico llegan vehculos para el cambio de

pastillas de freno, Los coches llegan a un promedio de18 a la hora segn un proceso de Poisson, El espaciofsico del taller slo permite que haya 4 vehculos, y lasordenanzas municipales prohben esperar fuera, El tallerpuede servir a un promedio de 6 coches por hora deacuerdo a una distribucin exponencial,

Parmetros del sistema: = 18 vehculos/h, = 6vehculos/h, k = 4 vehculos

36

18 ==


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Ejemplo Cul es la probabilidad de que no haya ningn vehculo

en el taller?( )0,00826446

121

1

242

2

31

31

1

11414

0

0 =

=

=

= ++

p

Cul es el promedio de vehculos que hay en el taller?

( ) ( )=

+

=

+

= +

+

+

+

14

14

1

1

31

314

31

3

1

1

1 k

kk

L

vehculos3,5206611121

426

242

1215

2

3=


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Redes de colas


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Redes de colas Una red de colas es un sistema donde

existen varias colas y los trabajos vanfluyendo de una cola a otra

Ejemplos:

Fabricacin (trabajos=artculos)

Oficinas (trabajos=documentos)

Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)

Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)


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Enrutado de trabajos Criterios para decidir a qu cola se dirige un

trabajo que acaba de salir de otra: Probabilstico: se elige una ruta u otra en funcin

de una probabilidad (puede haber distintos tipos

de trabajos, cada uno con sus probabilidades) Determinista: cada clase de trabajo se dirige a

una cola fija


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Red abierta acclica


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Red abierta cclica


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Red cerrada


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Redes de Jackson

abiertas


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Definicin Una red de colas abierta se dice que es de Jackson

sii: Slo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es laprobabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonardel sistema despus de haber salido del nodo i, donde ri0 =1jrij

Cada nodo i es una cola .|M|ci

La tasa de llegadas externas al nodo i se notar i El nmero total de nodos de la red se notar K


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Ecuaciones de equilibrio Dado que el flujo total de entrada a un nodo

debe ser igual al flujo total de salida delnodo, tendremos que:

{ }1

, 1,...,K

i i j jij

r i K=

= +

Las K ecuaciones anteriores forman un

sistema lineal con solucin nica, queresolveremos para hallar las tasas de

llegada a cada nodo i


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Condicin de no saturacin Para que ninguna de las colas del sistema se

sature, es preciso que se cumpla la siguientecondicin:

{ }ii

iii

cdondeKi

=


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redes abiertas Teorema: Sea una red de Jackson abierta que

cumple la condicin de no saturacin, Entonces enel estado estacionario, la distribucin del nmero declientes en cada nodo es la que sigue:

11

( ) ( ), , , 0

K

i i Ki

p p n n n== n

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni clientes

en el nodo i, calculada segn las ecuaciones delmodelo M|M|c


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Consecuencias del teorema Corolario: Las medidas de rendimiento para

cada nodo se calculan segn las ecuacionesdel modelo M|M|c, Adems se tendrn lassiguientes medidas:

Tasa global de salidas del sistema (throughput),que es el nmero medio de trabajos que salen delsistema por unidad de tiempo, Coincide con el

nmero de trabajos que entran en el sistema:

=

=K

iired

1


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Consecuencias del teorema Nmero medio de trabajos en el sistema, Lred,

que es la suma de los nmero medios detrabajos en cada uno de los nodos:

=

=K

iired LL

1

Tiempo medio en el sistema, Wred, que es eltiempo medio que pasa una tarea desde queentra en la red hasta que sale de ella:

red

redred

LW

=


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Ejemplo (red acclica)

11,5 2

0,8

3

0,2

60,5

40,6

5

0,4

1

{2 1,2,..,6i i =


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En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;6=0,5; r65=1; con lo cual la solucin es:

1 2 31,5; 0,3; 1,2; = = =

4 5 60,72; 0,98; 0,5 = = =

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r r = = =

4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r r = = + =


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Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 33; 0,1764; 1,5; L L L= =

4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333 L L L=

Condicin de no saturacin (se cumple porque i


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=

ii

iW

11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W= =

4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W=

=i

iqi WW

11 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W= =

4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W=


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Red abierta cclica

10,2 2

0,7

3

0,3

40,1

50,9

0,8

0,6{ }{ }

3 1,2,4

4 3,5i

i

i

i

=

=


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Ejemplo (red cclica)

En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solucin es:

1 2 30,2; 0,06; 2,0434; = =

4 50,2043; 1,8391


1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r r = = = + + 4 3 34 5 3 35;r r = =


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Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1):

1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443; L L L

4 50,0731; 0,8511L L

Condicin de no saturacin (se cumple porque i


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=

ii

iW

11 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W =

4 50,3576; 0,4627W W

=i

iqi WW1

1 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W

4 50,0243; 0,2127q qW W=


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Redes de Jacksoncerradas


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Definicin Una red de colas cerrada se dice que es de

Jackson sii:

Slo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es laprobabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del

nodo i, Cada nodo i es una cola .|M|ci Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema

El nmero total de nodos de la red se notar K


84/95

Ecuaciones de equilibrio Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe

ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos

que:

{ }* *1

, 1,...,K

i j jij

r i K=

=

Las K ecuaciones anteriores forman un sistemalineal indeterminado con un grado de libertad, queresolveremos para hallar las tasas de llegada

relativasa cada nodo i*, Para ello fijaremos unvalor positivo arbitrario para una incgnita, porejemplo 1*=1


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Anlisis del valor medio Hallaremos las siguientes medidas de

rendimiento para M tareas en el sistema: Li(M)=Nmero medio de tareas en el nodo i

Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el

nodo i cada vez que lo visita i(M)=Tasa real de salidas del nodo i

Se trata de un algoritmo iterativo que va

calculando Li(m), Wi(m) para valorescrecientes de m a partir de m=0


86/95

Anlisis del valor medio Las ecuaciones son:

{ } { }

{ } { }

*

*1

( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

( )

( ) , 1,..., 1,...,( )

j

j

j j j

j j

j Ki ii

L mW m j K m M c

W m

L m m j K m M W m=

= +

=

{ }(0) 0, 1,...,j L j K =

{ } { }( )

( ) , 1,..., 1,...,( )

j

j

j

L mm j K m M

W m =

R d d


87/95

Red cerrada

1

20,3

40,7

31

1

15 1,2,..,6i i =

Ej l ( d d )


88/95

Ejemplo (red cerrada)

En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con locual la solucin es, tomando 1*=1:

* *

1 21; 0,3; = =* *

3 40,3; 0,7 = =


* * * * *

1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r r = + =

* * * *

3 2 23 4 1 14;r r = =

Ej l ( d d )


89/95

Ejemplo (red cerrada){ }

1 ( 1)( ) , 1,...,4

5

j

j

L mW m j

+ =

11

1 2 3 4

( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W m L m m

W m W m W m W m=

+ + +

22

1 2 3 4

0,3 ( )( ) ( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W m L m mW m W m W m W m

= + + +

33

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W m L m m

W m W m W m W m

=

+ + +

44

1 2 3 4

0,7 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W m L m m

W m W m W m W m

=

+ + +

Ej l ( d d )


90/95

Ejemplo (red cerrada) Primera iteracin:

{ }(0) 0, 1,...,4jL j= { }1 (0)

(1) 0,2 1,...,45

j

j

L

W j

+= =

1

0,2(1) 1 0,4347

2,3 0,2L =

2

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L =

4

0,7 0,2(1) 1 0,3043

2,3 0,2L

=

3

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L

=

Ej l ( d d )


91/95


1,71730,39870,39874,48520,51130,27700,27700,93477

1,55640,38500,38503,67370,47290,27290,27290,78136

1,36440,36460,36462,90650,42800,26690,26690,63835

1,14010,33430,33432,19130,37700,25790,25790,50724

0,88490,28950,28951,53600,32070,24480,24480,38973

0,60340,22410,22410,94830,26090,22610,22610,28702

0,30430,13040,13040,43480,20,20,20,21

0000--------0

L4(m)L3(m)L2(m)L1(m)W1(m)W1(m)W1(m)W1(m)m

Ej l ( d d )


92/95

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16


m

L

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4



93/95

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


m

W

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4



94/95

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Ejemplo (red cerrada)Utilizacin

delservidor (%)

U=/=L/(W)

m

Cola 1

Cola 4

Colas 2 y 3

Cuellos de botella


95/95

Cuellos de botella Un cuello de botella en un sistema de colas es un

nodo cuya capacidad de procesamiento determina

el rendimiento de todo el sistema Definicin: Sea una red de Jackson cerrada.

Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii

Lj(m) cuando m En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de

botella. Trabaja al lmite de su capacidad mientrasque los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para

mejorar el rendimiento global del sistema habra queaumentar la capacidad de procesamiento del nodo1

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