TEMA16 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...Tema 16: Discusión y resolución de ecuaciones lineales....

16.Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.

Índice

16.Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.......................................................1

16.1.Introducción........................................................................................................................................................................1

16.2.Sistemasdeecuacioneslineales.................................................................................................................................2

16.3.Sistemasequivalentes.....................................................................................................................................................3

16.4.Rangoocaracterísticadeunamatriz.......................................................................................................................3

16.5.MétododeGauss...............................................................................................................................................................4

16.6.MétododeGauss-Jordan................................................................................................................................................5

16.7.RegladeCramer................................................................................................................................................................6

16.8.TeoremadeRouché-Frobenius..................................................................................................................................6

16.9.Eliminacióndeparámetros..........................................................................................................................................7

16.10.Resolucióngráficadesistemasdeecuacioneslineales.Interpretacióngráfica..................................8

16.11.Resumen.............................................................................................................................................................................9

16.12.Conclusión.......................................................................................................................................................................10

16.13.Bibliografía......................................................................................................................................................................10

Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)

Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.

Página1de11

16. Tema16:Discusiónyresolucióndeecuacioneslineales.TeoremadeRouché.RegladeCramer.MétododeGauss-Jordan.

16.1. Introducción

LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene

determinadoporelsiguientemarcolegislativoestatalyautonómico:

•RealDecreto1105/2014,de26dediciembre.

•Decreto48/2015de14demayodelConsejodeGobierno.

•Decreto52/2015,de21demayo,delConsejodeGobierno.

CURRÍCULO

EnÁlgebra, lamayoríadelosproblemasdiariossepuedenresolveratravésdeexpresionespolinómicas lineales (de primer grado), repartir una cantidad en partes proporcionales, etc. Lospolinomioscuadráticosserepresentanenlosproblemasbidimensionales(áreas,sistemasdeadicióny producto de dos variables, etc.). Los cúbicos se presentan en los problemas tridimensionales(volúmenes,pesos,etc.).

En términos curriculares, las bases del presente tema comienzan en la introducción delconceptodeÁlgebraen1ESOyseacentúanen2ESOconlaincorporacióndesistemasdeecuacionesque van consolidándose hasta el final del segundo ciclo de Educación Secundaria y se refuerzan ycompletanenBachilleratoconlaintroduccióndelconceptodematrizysusaplicaciones.

EncuantoaloscontenidosyprocedimientosrelacionadosconlasEcuacionesenlaetapadelaESO,destacanel empleodel lenguaje algebraicoparageneralizarpropiedades sencillas, simbolizarrelacionesyresolverproblemasatravésdeecuaciones–enunprimermomentodeprimergradoyaumentandosudificultadamedidaqueseavanzaenloscursos-ysistemas.EnBachillerato,porsuparte, lasenseñanzas tienencomo finalidadproporcionaralalumnado lasherramientasnecesariasparalainterpretacióngráficadeecuacionesysuutilizaciónenresolucióndeproblemas.

O.D.

Lasecuacionesnospermitenresolverproblemasmuylaboriosos,latraduccióndeunproblemapodrásermásomenosdifícilenfuncióndelacomplejidaddelplanteamientodelproblema,perounavez trasladadoaunsistemadeecuaciones, la resoluciónse reducea la resolucióndel sistema,pormétodosquedependendelnúmerodeecuacioneslinealesydeincógnitas,paradosotresincógnitasusaremos los métodos clásicos como sustitución, igualación y reducción, pero si aumentamos elnúmero de incógnitas y/o ecuaciones necesitaremos otrosmétodos para resolver sistemas conmecuacionesynincógnitastalescomolaRegladeCramer,elTeoremadeRouché,elMétododeGauss,etc.

ProyectoGauss, asícomootrasaplicaciones,esunaherramientaquenospuede facilitar laintroducción de todos estos conceptos en los distintos niveles de Secundaria y Bachillerato, quecomienzanconunaintroducciónalÁlgebrayalcanzanecuacionesyrepresentacióndelasmismasdesegundogrado.

HISTORIA

Desdeloscomienzosdelahistorianoesdifícilencontrarlanecesidadderesolverecuacionesparaencontrarlarespuestaaalgunacuestión.Encontramosejemplosderesolucióndesistemasenlasantiguastablillasbabilónicas,enlasquehaysistemasresueltosmedianteunmétodosimilaralquehoyconocemos como el método de reducción. También tenemos ejemplos de métodos geométricosutilizadospor losgriegosde laantigüedadpara laresolucióndesistemasounmétodo,enun librochinoquedatadelsigloIIIa.C.queequivalealmétodomatricialhoyconocidoporlaregladeCramer.PeroaligualqueocurrióentodaslasramasdelasMatemáticasfueesenciallaevolucióndellenguajealgebraicoparaeldesarrollodelosestudiossobreecuacionesysistemasdeecuaciones.

Apartirdel sigloXVII seencuentranestudios sobre la resoluciónydiscusiónde sistemasdeecuacioneslineales,queiránligadosaconceptosrelacionadosconlasmatrices.

Acontinuación,desarrollaremoseltemasiguiendoelíndiceanteriormenteexpuesto.


Página2de11

16.2. Sistemasdeecuacioneslineales

16.2.1. DefinicionespreviasUnaexpresiónalgebraicaesunconjuntodenúmerosy letras ligadaspor lossignosde lasoperaciones

algebraicas.Unaecuaciónesunaigualdaddeexpresionesalgebraicas.

Seaunaexpresióndelaforma: , sonvariables, ,con uncuerpoconmutativo,,esunaecuaciónlinealconnincógnitas,llamándosemiembrosalasexpresionesqueestánaamboslados

de la igualdadytérminosa lasexpresionesseparadaspor lossignosdesumayresta, sinoestándentrodeparéntesis.

Lasvariables sellamanincógnitas; ,coeficientes;y ,eltérminoindependiente.

Así,sellamasistemadeecuacionesconnincógnitasycoeficientesenKaunconjuntodemecuacioneslineales:

,donde denotaelcoeficientede enlai-ésimaecuación

Surepresentaciónmatriciales:AX=b,siendoA= ,donde:

AeslamatrizdecoeficientesyA|beslamatrizampliada.

Ejemplo:

Resolverelsistemaesencontrarunan-upla queverifiquelasecuaciones,yadichan-uplaselellamasoluciónoraízdelsistema.

Llamamos sistema incompatible al que carece de soluciones y si admite alguna solución se dicecompatible, quepuede tenerunaúnica solución, llamándosesistemacompatibledeterminado, o infinitassolucionessiendounsistemacompatibleindeterminado.

Sellamasolucióngeneraldelsistemaalconjuntodesolucionesdelsistema,ydentrodeellascadaunaenparticularesunasoluciónparticulardelsistema.

16.2.2. SistemasdeecuacioneslinealeshomogéneosynohomogéneosSeaAx=b,sediceunsistemahomogéneosibesigualacero,ynohomogéneosibesdistintodecero.

Propiedades1) Si essolucióndeunsistemahomogéneo tambiénessolución

2) Si sonsolucionesdeunsistemahomogéneo tambiénessolución

3) essolucióndetodosistemahomogéneo

4) Elconjuntodetodaslassolucionesdeunsistemadeecuacioneslinealeshomogéneo,esunsubespacio

vectorialdeKn.

1 1 ... n na x a x b+ + = ix ,ia b KÎ KK R=

ix ia b

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

...

...

...

n n

n n

m mn n m

a x a x ba x a x b

a x a x b

+ + =ìï + + =ïíïï + + =î

!ija KÎ jx

( ) 1( ,..., )ij n mxna a a K= Î

1a =

111 12 1

21 22 2 21 2

1 2

, , , y b

n

nn

m m mmn

aa a ba a a b

a a a

a a ba

æ öæ ö æ ö æ öç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = =ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷

è ø è ø è øè ø

!" " ""

1 2

2

1 2

2 523 7

x xxx x

+ =ìï =íï + =î

3 2

1 20 11 3

xA Kæ öç ÷= Îç ÷ç ÷è ø

3

527

b Kæ öç ÷= Îç ÷ç ÷è ø

1( ,..., )na a

1( ,..., )ny y y= 1( ,..., )nky ky kyÞ =

, ´y y ´ ´ky k yÞ +

0 (0,...,0)=


Página3de11

16.3. Sistemasequivalentes

Dossistemasconelmismonúmerodeincógnitas(aunquenotenganelmismonúmerodeecuaciones)sedicenequivalentessitienenlasmismassoluciones,esdecir,sitodasolucióndelprimeroessolucióndelsegundoyviceversa.Ejemplo:x+y=2y2x+2y=4.

Propiedadfundamentaldeequivalencia:Unsistemadeecuacioneslinealesesequivalenteacualquiersistema que resulte de realizar en él alguna operación elemental. Se llaman operaciones elementales a lassiguientestransformaciones:

1) Cambiardeordenlasecuaciones.

2) Multiplicarlosdosmiembrosdelaecuaciónporunnúmerodistintodecero.

3) Sustituirunaecuacióndelsistemaporunacombinaciónlinealdeellaydelasrestantessiemprequeel

coeficientedelaecuaciónsustituidaseadistintodecero.

4) Aplicar, reiteradamente, cualesquiera de las operaciones anteriores, en particular, sumarle a una

ecuacióncualquiercombinaciónlinealdelasdemás).

Demostración: Simplificamos la notación, llamando , el sistema deecuacionesSseescribe: .Loscasos1)y2)sonobviosyel4)eslaaplicaciónreiteradade1)y2).Paraelcaso3), essolucióndelsistema siysolosi ,peroestoesequivalentea:

16.4. Rangoocaracterísticadeunamatriz

Sea A una matriz de orden mxn, cualquier matriz que se obtenga de ella suprimiendo ciertas filas ycolumnas se llama submatriz de A, y se llamamenor de ordenh deA al determinante de una submatrizcuadradaqueseobtienedeAeliminandom-hfilasyn-hcolumnas.

UnmenoresnonulosidichodeterminanteesdistintodeceroytodomenornonulodeordenhdeAsedenominamenorprincipaldeordenh.

SedicequeAtienerangoh(rg(A)=h)cuandoenellaexiste,porlomenosunmenordeordenhdistintodecero,siendonuloslosmenoresposiblesdeordensuperiorah.

Ejemplo:Verificamosprimerotodoslosmenoresdeorden3yluegolosdeorden2.

Consecuencias1) Siintercambiamosfilas(ócolumnas)novaríaelrango.

2) Siunafila(ócolumna)estáformadaporceros,suprimimosesafilayelrangonovaría.

3) rg(matriznula)=0.

4)

5) rg(A)=rg(At).

6)

1 1 2 2( ) -i i i in n ie x a x a x a x bº + +…+!

( ) 0, para i=1,...,mie x º!

a!

( ) 0, para i=1,...,mie x º! ( ) 0, para todo iie x º

!

1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0, es decir, es solución del sistema

( ) 0, para i=2,...,m ( ) 0, para i=2,...,mi i

e e e x e xe e xa a

aa

+ = + =ì ìí íº ºî î

! ! ! !!

! !

1 2 1 23 0 1 41 1 1 1

A- -æ ö

ç ÷= -ç ÷ç ÷- -è ø

1 2 1 1 2 2

3 0 1 0 3 0 4 0

1 1 1 1 1 1

- -

= - =

- - -

2 1 2 1 1 2

0 1 4 0 3 1 4 0

1 1 1 1 1 1

- - - -

- = - =

- - -

1 20 6 6 0

1 0= - = - ¹

, 0 rg(A) min(m,n)A Mmxn" Î £ £

, rg(A)=n detA 0A Mnxn" Î Û ¹


Página4de11

DadaslfilasdeA ,siningunadeellassepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelasotras,sedicequeesasfilassonlinealmenteindependientes(llii).

Teorema: La característica de una matriz coincide con el número máximo de sus filas ó columnaslinealmenteindependientes.

Demostración:ParaprobarelteoremavamosaverquesilacaracterísticadeA(matrizdadaanteriormente)eshyαrepresentaunmenorprincipaldeordenhdelamisma,cadaunadelasfilasdeAquenofiguranenαes una combinación lineal de las h filas que constituyen dicho menor, las cuales son linealmenteindependientes.Enefecto,supongamosparasimplificarlanotaciónqueunmenorprincipalestáconstituidopor loselementoscomunesa lashprimeras filasy columnasdeA.Entonces—paraunvalor cualquiera Icomprendidoentreh+1ym,ambosinclusive,ytodoslosvaloresj=1,...,nsetiene:

puesparaj=1,...,h,estedeterminantetienedoscolumnasiguales,yparaj=h + 1, ..., n, es un menor de la matriz A cuyo orden es mayor que lacaracterísticah.Desarrollado (5)por loselementosde laúltimacolumna,tendremos: a1j α1 + ... + ahj αh + aIj α = 0, donde α1, ..., αh denotan,respectivamente,losadjuntosdeloshprimeroselementosdedichacolumna.

Comoα≠0,sesiguequeparatodoslosvaloresj=1,...,nseverifica: esdecir,

cada elemento de la fila I-resulta de sumar sus correspondientes de las filas 1ª, ..., hª, previamente

multiplicadosporlosnúmeros .PortantoesafilaIesunacombinaciónlinealdelashprimeras.

QueningunadelashprimerasfilasdelamatrizAsepuedeexpresarmedianteunacombinaciónlinealdelasotrash–1esinmediato,puesentalcasounadelasfilasdelmenorαseríacombinaciónlinealdelasrestantesy,enconsecuencia(recordarpropiedadesdelosdeterminantes),α=0encontradeloquehemossupuesto.Análogamentesedemuestraelresultadoparacolumnas,conloquequedademostradoelteorema.

16.5. MétododeGauss

ElmétododeGaussconsisteentransformarelsistemadeecuacionesdadoenotroequivalente,peroconlacondicióndequecadaecuacióncontengaunaincógnitamenos.

Deestaforma,encontrandolasolucióndelsegundo(cuyométododeresoluciónessencillo),tendremoslasolucióndelsistemaoriginal.

Así pues, si partimos de un sistema de m ecuaciones

con n incógnitas tal que:

Setratadeobtenerunsistemademecuacionesconnincógnitasequivalentealdado(1)ycuyaresoluciónseamássencilla.ElmétododeGaussmuestra la formadehacerestatransformacióndeunsistemaaotrodemásfácilresolución.

Elsistemaequivalenteaobtener,conmecuacionesynincógnitastendrálaprimeraecuaciónconnincógnitas,lasegundaconn-1incógnitas, laterceraconn-2,yasísucesivamente, hasta lam-ésima ecuación que tendráunasolaincógnita.

Se trata, pues, de transformar un sistema en otroequivalente de forma que sean nulos todos loscoeficientes que estén por debajo de la diagonalprincipalenlamatrizdecoeficientes.Seobtieneasí,unsistematriangularoescalonadodeformageneral(2).

Evidentemente,porel teorema fundamentaldeequivalenciadesistemas,desdeunprincipio, sepuedesuprimircualquierecuaciónquepuedaobtenerseapartirdelasotrasecuaciones.

ElmétododereduccióndeGausseselmásrápidopararesolverunsistemadenecuacioneslinealesconnincógnitascuandoloscoeficientessonnuméricos.

(1 l m)£ £

11 1 1

1

1

0 (5)

h j

h hh hj

I Ih ij

a a a

a a aa a a

=

!

" # # "

#

!

11

hIj j hja a a aa

a a= - - -!

1 , , haaa a

-!

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

......

(1)

...

n n

n n

m mn n m

a x a x ba x a x b

a x a x b

+ + =ìï + + =ïíïï + + =î

!

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

' ' ... ' ' ' ... ' '

(2)

' '

n n

n n

mn n m

a x a x a x ba x a x b

a x b

+ + + =ìï + + =ïíïï =î

!


Página5de11

Pararazonarloalgebraicamenteutilizaremosunsistemade3ecuacionescon3incógnitasporcomodidad

yclaridadenlaescritura:

1. Suponiendo :

a.

b. c.

2. Suponiendo ,(denotandolosnuevoscoeficientescomobij)resulta:

a.

b.

3. Obteniendo el siguiente sistema escalonado: , que se resuelve fácilmente

despejandoenlaterceraecuación: ,ysucesivamente:

Se suele hacer también escalonado directamente en forma matricial sin necesidad de escribir lasincógnitas.

16.5.1. Discusióndelsistemaa. Puedeacontecerquecomoresultadodelaaplicacióndelastransformacionesanterioresalasecuaciones

de un sistema, aparezca alguna ecuación absurdade primermiembro idénticamente nulo y segundomiembro distinto de cero (0 · xi = dij,dij ≠ 0), entonces el sistema dado es equivalente a un sistemaincompatibley,portanto,incompatible.

b. Ningunaecuaciónesdelaforma0·xi=dij≠0;entonceselsistemaescompatibleydeterminadosielnúmerodeincógnitasesigualalnúmerodeecuacionesnotriviales.

c. Puedesucedertambiénqueaparezcaalgunaecuaciónenlaqueelprimermiembroseaidénticamentenuloyelsegundomiembroigualacero(0·xi=0),entonceselsistemadadoesequivalenteaunsistemaenelqueunaomásincógnitaspuedentomarvaloresarbitrariosy,portanto,indeterminado.Estoes,elnúmero de incógnitas esmayor que el número de ecuaciones no triviales, y por tanto, el sistema escompatibleindeterminado(admiteinfinitassoluciones).

16.6. MétododeGauss-Jordan

Consiste en transformar el sistema de ecuaciones en otro equivalente, de forma que cada ecuacióncontengaunasolaincógnita,convirtiendoelsistemaconmatrizAenunadiagonalmediantetransformacioneselementalesquenoalteranelrangonilasolucióndelsistema,comohemosvisto.

Seaelsistema3x3:

1. Suponiendo :a. b. c.

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

+ + =ìï + + =íï + + =î

11 0a ¹

1312 11 11 1 2 3 1

11 11 11

/ ´aa bF a x x x Fa a a

® + + = ®

2 1 21 22 12 21 11 2 23 13 21 11 3 2 21 1 11 2´ 0 ( / ) ( / ) / ´F F a a a a a x a a a a x b a b a F- ® + - + - = - ®

3 1 31 32 12 31 11 2 33 13 31 11 3 3 31 3 11 3´ 0 ( / ) ( / ) / ´F F a a a a a x a a a a x b a b a F- ® + - + - = - ®

22 0b ¹1 12 2 13 3 14

22 2 23 3 24

32 2 33 3 34

b

x b x b x bx b x b

b x b x b

+ + =ìï + =íï + =î

232 22 2 3 24 22 2

22

/́ / ´́bF b x x b b Fb

® + = ®

3 2 32 33 32 23 22 3 34 32 24 22 3´ ´́ ( / ) / ´́F F b b b b b x b b b b F- ® - = - ®

1 12 2 13 3 14

2 23 3 24

33 3 34

x c x c x cx c x c

c x c

+ + =ìï + =íï =î

343

33

cxc

= 13 34 23 341 14 12 24

33 33

( )c c c cx c c cc c

= - - -

11 12 13 14 12 13 14 12 13 14 12 13 14

21 22 23 24 22 23 24 23 24 23 24

31 32 33 34 32 33 34 33 34 34

1 1 1

( ) ( ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1

0 0 0 0 0 1

a a a a b b b c c c d d d

M A a a a a M B b M C c c M D d d

a a a a b b b c c d

b b= ® = ® = ® =

æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b

+ + =ìï + + =íï + + =î

11 0a ¹

1 11 1 12 2 13 3 14 1/ ´F a x b x b x b F® + + = ®

2 1 21 22 2 23 3 24 2´ ´F F a b x b x b F- ® + = ®

3 1 31 32 2 33 3 34 3´ ´F F a b x b x b F- ® + = ®


Página6de11

2. Suponiendo ,resulta:a. b. c.

3. Y,porúltimo:a. b. c.

ElmétododeeliminacióndeGauss-Jordánpresentalaventajadequeobtenemosdirectamentelasolucióndelsistema.Enlaprácticaserealizaconlasmatricesampliadas,así:

16.7. RegladeCramer

SedicequeunsistemadeecuacioneslinealesAX=BesunsistemadeCramersielnúmerodeecuacionesesigualalnúmerodeincógnitasyeldeterminante∆delamatrizdecoeficientesesdistintodecero,porlotanto,escuadrada.

Regla de Cramer: Todo sistema de Cramer AX=B tiene solución única: ,

donde∆ieseldeterminantedelamatrizqueseobtienealsustituirena,lacolumnai-ésimaporlacolumnadelostérminosindependientes,parai=1,…,n.

Demostración:ElsistemaAX=B,conAmatrizregular,esequivalenteaX=A-1B(bastapermultiplicarporA-1enAX=ByporAenX=A-1B),luegotienesoluciónúnicaX=A-1B,asíesquesiαijeseladjuntodelelemento(i,j)enA,lasoluciónes:

Ejemplo:

Nota:Comopodemosobservar,pararesolverunsistemadeCramerdenecuacionesconnincógnitasesprecisocalcularn+1determinantes.Poreso,paralaresoluciónnuméricadesistemasenlosquenmayorque3serecomiendaelmétododeGauss-Jordan.

16.8. TeoremadeRouché-Frobenius

Seaunsistemademecuacionesconnincógnitas,AX=B,siendo:

, ,

Teorema:Secumplenlassiguientesafirmaciones:

i) AX=Bescompatiblesi,ysólosi,rang(A|B)=rangA.ii) AX=Btienesoluciónúnicasi,ysólosi,rang(A|B)=rangA=n.iii) AX=B,tienemásdeunasolución(y,portanto,infinitas)si,ysólosi,rang(A|B)=rangA<n.

22 0b ¹

2 22 2 23 3 24 2/́ ´́F b x c x c F® + = ®

3 2 32 33 3 34 3´ ´́ ´́F F b c x c F- ® = ®

1 2 12 1 13 3 14 1´ ´́ ´́F F b x c x c F- ® + = ®

3 33 3 34 3´́ / ´́ ´F c x d F® = ®

2 23 3 2 24´́ ´́ ´F c F x d- ® =

1 13 3 1 14´́ ´́ ´F c F x d- ® =

11 12 13 14 12 13 14 13 14 14

21 22 23 24 22 23 24 23 24 24

31 32 33 34 32 33 34 33 34 34

1 1 0 1 0 0

( ) ( ) 0 ( ) 0 1 ( ) 0 1 0

0 0 0 0 0 1

a a a a b b b c c d

M A a a a a M B b M C c c M D d

a a a a b b b c c d

b b= ® = ® = ® =

æ ö æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

1 21 2, , , n

nx x x DD D= = =D D D

!

1 11 1 1 11 1 1 11

1 1 1

1 1 1n n n

n n nn n n nn n n

x b b bX A B

x b b b

a a a a

a a a a

-

Dæ ö æ öæ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷= = = = =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷D D Dç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷Dè ø è øè ø è ø è ø

! !

" " # " " " # " "

! !

1 2 1 2 1 1 2 2 12 1 1 2 2 1 2 1 2

3 - 2 1 2 2 10 3 1 1 0 1 1 3 0

2 2 2 1 1 7 0, 1, z 37 7 7

3 0 1 3 1

x z zx y z A x yx y z

- - - - -- -

+ = - -ì- -ï + - = Þ = - = - Þ = = = = - = = -í - - -ï - + = -î

( )11 1

1

... ( ) ...

...

n

ij mxn

m mn

a aM A a K

a a

æ öç ÷= = Îç ÷ç ÷è ø

1

.

.

m

b

B K

b

æ öç ÷ç ÷= Îç ÷ç ÷è ø

11 1 1 11 1 1 1

( 1)

1 1 1

... ...'( | ) ... ....

... ...

n n n

mx n

m mn m m mn n m

a a b a x a x bM A B K

a a b a x a x b+

+ + =æ ö ìïç ÷= Î ® íç ÷ïç ÷ + + =è ø î


Página7de11

Esdecir,lacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunsistemadeecuacioneslinealestengasoluciónesquelamatrizdeloscoeficientesylamatrizampliadaseandeigualrango.

Demostración:Supongamosqueelsistemaadmitesolución,estoes,queexistenunconjuntodevaloresξ1,...,ξntalesquemultiplicandoporelloslascolumnas1,2,...,n,deMysumandoacontinuaciónseobtienelacolumnaformadaporlostérminosindependientesb1,b2,bm.Entoncesestacolumnaescombinaciónlinealdelasanterioresynoinfluye,porconsiguiente,enlacaracterísticadeM’y,portanto,lasdosmatricesMyM’tienenelmismorango.

Recíprocamente,veamosquesiambasmatricestienenelmismorangoh,elsistemaadmitesolución.

SeaentoncesαunmenorprincipaldelamatrizM,quetambiénes,entonces,menorprincipaldelamatrizM’.Sinperdergeneralidadpodemossuponerqueαestáformadoporloselementoscomunesalashprimerasfilas y columnas, pues siemprepodremos ordenar las ecuaciones y las incógnitas para que sea así. En estascondicionesllamaremosincógnitasprincipalesalashprimerasyecuacionesprincipalesalashprimeras.Comocadaunadelasfilas(h+1),(h+2),...,mdelamatrizM’escombinaciónlinealdelashprimeras,laecuacióncorrespondienteeslamismacombinaciónlinealdelashprimerasecuacionesy,portanto,consecuenciadeellas.Suprimiendolasecuaciones(h+1),...,mdelsistemaseobtieneunsistemaequivalenteaésteformadoporlash-ecuacionesprincipales.

Estenuevosistemalopodemosescribirasí:

Elcualparacadaconjuntodevaloresqueasignemosarbitrariamentealasincógnitasxh+1,xh+2,...,xn,pasaaserunsistemadeCramer(hecuacionesconhincógnitasycuyamatrizdeloscoeficientesesno-singular)y,portanto,escompatible.Enconsecuencia,porserequivalentealdado,éstetambiénescompatible.Enresumenparalaresolucióndeunsistemadeecuacioneslinealesseprocederádelaformasiguiente:

CalculadalacaracterísticadelamatrizMsegúnlasnormasdadas,parahallarlacaracterísticadeM’bastaráorlarelmenorprincipalαconlacolumna(b1,...,bm)ycadaunadelas(m-h)filasquenofiguranenél.Seobtiene

asídeterminantesdelaforma: .

Siestosdeterminantes(llamadosdeterminantescaracterísticosdelaecuacióncorrespondiente)sontodosnulos,lacaracterísticadeM’estambiénhpuestoquelacolumnadelostérminosindependientesescombinaciónlinealdelasqueentranenelmenorprincipal.Elsistemaesportantocompatible.Si,porelcontrario,hayalgunodistintodecero,lacaracterísticadeM’esmayorquehyelsistemaesentoncesincompatible.

Enelcasodequeelsistemaseacompatiblesilacaracterísticahesmenorqueelnúmerondeincógnitaselsistemaesindeterminado,obteniéndosecadasoluciónasignandounconjuntodevaloresarbitrariosalasn-hincógnitasnoprincipalesycalculandoacontinuaciónelvalor,yadeterminado,quecorrespondeacadaincógnitaprincipal.Si lacaracterísticaesigualalnúmerodeincógnitas, lasoluciónesúnica,puesnohayincógnitasnoprincipales.

En el estudio de un sistema de ecuaciones lineales, los diversos casos se pueden resumir de la formasiguiente,dondehyh’representan,respectivamente,lascaracterísticasdelasmatricesMyM’:

a. h<h’⇒SistemaIncompatible

b. h=h’⇒SistemaCompatible

16.9. Eliminacióndeparámetros

Discutir o estudiarun sistemade ecuaciones lineales en cuyos coeficienteso términos independientesaparecenunoovariosparámetrosesclasificarloen funcióndeestos,esdecir,averiguarparaquévaloresdedichosparámetroselsistemaescompatible,determinadooindeterminado,oincompatible.

11 1 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

... ... ... ' .... ( ') ...

... ... ...

n n h n

r hn n h h hh hn

a x a x b a a aA rang A rang

a x a x b a a a

+

+

+ + =ì æ öï ç ÷= ® = ®í ç ÷ï ç ÷+ + =î è ø

11 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

... .......

... ...

h h h h n n

h hh h r hh h hn n

a x a x b a x a x

a x a x b a x a x

+ +

+ +

+ + = - - -ìïíï + + = - - -î

11 1

1

1

1

( 1,..., )

h

hh h

I Ih I

a a b

I h ma a ba a b

æ öç ÷ç ÷ = +ç ÷ç ÷è ø

!

" # " "

#

!

Sistema Determinado Sistema Indeterminado

h nh n= ®ì

®í < ®î


Página8de11

Paraelloseestudiaelrangodematrizdecoeficientesyelrangodelamatrizampliadaconlostérminosindependientes,yseaplicaelteoremadeRouché-Frobeniusparadiscutirlasoluciónencadaunodeloscasosposiblesenfuncióndelosdistintosvaloresdelosparámetros.

Ejemplo:Discutirsegúnlosdistintosvaloresdekelsistema: .Paraellocalculamosel

determinantedelamatrizdecoeficientes: ,cuyasraícessonk=1yk=−2.Paraestos

valoresdelparámetroconsideramosloscasos:

a)∀κ∈ℝ≠{–2,1}rg(M)=rg(M’)=3⇒Sistemacompatibledeterminado.

b)Sik=−2entoncesrg(M)=2,rg(M’)=3⇒Sistemaincompatible.

c)Sik=1entoncesrg(M)=rg(M’)=1⇒Sistemacompatibleindeterminado.

16.10. Resolucióngráficadesistemasdeecuacioneslineales.Interpretacióngráfica

Recordemosquelaecuaciónalgebraicadeunarectaenelplanoesax+by+c=0.Deigualforma,laecuaciónalgebraicadeunplanoenelespacioesax+by+cz+d=0.

Elestudiogeométricodelaposiciónrelativaderectasyplanosydelcálculodelospuntosdeinterseccióndeellossetraduceenelproblemaalgebraicodediscutiryresolversistemasdeecuacioneslinealesdedosotresincógnitasdependiendodesiestamosenelplanooenelespaciotridimensional.

16.10.1. PosiciónrelativadedosrectasenelplanoSeanr/ax+by+c=0ys/a'x+b'y+c'=0dosrectasenelplano.Paraestudiarsuposiciónrelativa,consideramos

el sistema . Consideramos lasmatrices: asociadas al

sistema.

Puedenpresentarselossiguientescasos:

r(A)=r(A*)=2,entonceselsistemaes compatible determinado. Tienesolución única, y por tanto lasrectassecortanenunpunto.

r(A)=r(A*)=1,entonceselsistemaes compatible indeterminado.Tiene infinitas soluciones, y portantolasrectassoncoincidentes.

r(A)=1, r(A*)=2, entonces elsistema es incompatible, es decirlas dos rectas no tiene ningúnpunto en común y por tanto sonparalelas.

16.10.2. PosiciónrelativadedosplanosenelespacioSeanπ/Ax+By+Cz+D=0;π'/A'x+B'y+C'z+D'=0dosplanosdelespacio.Consideramoselsiguientesistema:

,cuyasmatricesasociadasson .

Puedenpresentarseloscasos:

r(A)=r(A*)=2<3=nº de incógnitas,entonces el sistema es compatibleindeterminado. El sistema tiene infinitas

r(A)=r(A*)=1, entonces el sistemaes compatible indeterminado, estoes,tieneinfinitassoluciones,peroen

r(A)=1 y r(A*)=2,entonces el sistema esincompatible,esdecir,los

2

1kx y zx ky z kx y kz k

ì + + =ï + + =íï + + =î

2

1 11 1 ( 1) ( 2)1 1

kk k kk= - +

0' ' ' 0ax by ca x b y c

+ + =ìí + + =î

y *' ' ' ' 'a b a b c

A Aa b a b c

-æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø

0' ' ' 0Ax By Cz DA x B y C z D

+ + + =ìí + + + =î

y *' ' ' ' ' ' 'A B C A B C D

A AA B C A B C D

-æ ö æ ö= =ç ÷ ç ÷-è ø è ø


Página9de11

soluciones.Peroenestecaso lavariedadlinealsoluciónesdedimensión1,yaquesolohayunaincógnitalibre,yportantolosplanossecortanenunarecta.

estecasolavariedadlinealsoluciónesdedimensióndos,yaquehayunasolaincógnitaprincipalydoslibres.Por tanto, los planos soncoincidentes.

planos no tienen ningúnpunto en común y portantosonparalelos.

16.10.3. PosiciónrelativadetresplanosenelespacioSean π/Ax+By+Cz+D=0; π'/A'x+B'y+C'z+D'=0 π''/A''x+B''y+C''z+D''=0 3 planos del espacio, y

consideremos el siguiente sistema: , cuyas matrices asociadas son

.

Puedenpresentarseloscasos:

r(A)=r(A*)=3=nº de incógnitas,entonceselsistemaescompatibledeterminado. Los tres planos secortanenunpunto.

r(A)=2y r(A*)=3, entonces el sistemaes incompatible. Como r(A)=2,tenemosquehay2planosquesonlinealmenteindependientes,yqueportanto se cortan en una recta. Al ser el sistema incompatible, el tercerplanodebeserparaleloadicharecta.

r(A)=2=r(A*), entonces escompatible indeterminado. Alhaber 2 incógnitas principales yuna secundaria, la variedad linealafínsoluciónesdedimensiónuno,es decir, los tres planos se cortanenunarecta.

r(A)=1 y r(A*)=2, entonces elsistema es incompatible. Los tresplanos no tiene ningún punto encomún,nisiquieradosados,yaquer(A)=1 y por tanto son paralelos(puedequedosdeelloscoincidan).

r(A)=r(A*)=1entonceselsistemaes compatible indeterminado. Alhaberunasóloincógnitaprincipaly dos secundarias, la variedadlineal afín solución es dedimensión 2 y por tanto es unplano, por lo que concluimos quelostresplanossoncoincidentes.

16.11. Resumen

Como conceptos en el primer apartado de sistemas de ecuaciones lineales se definen: expresiónalgebraica,ecuaciónalgebraica,ecuaciónlinealyhomogéneaysecaracterizanestasúltimas.Sedefinesistema

0' ' ' 0'' '' '' 0

Ax By Cz DA x B y C z DA x B y C z D

+ + + =ìï + + + =íï + + + =î

' ' ' y * ' ' ' ''' '' '' '' '' '' ''

A B C A B C DA A B C A A B C D

A B C A B C D

-æ ö æ öç ÷ ç ÷= = -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è ø


Página10de11

de ecuaciones lineales así como su clasificación y los diferentes tipos (homogéneos y no homogéneos). Seintroducelanotaciónmatricialysuterminología:matrizdecoeficientes,matrizincógnita,matrizdetérminosindependientes,matrizampliada.Secaracterizanfinalmentelossistemaslinealeshomogéneos.

Enelapartadodesistemasequivalentes,sedefinequedossistemasdeecuacioneslinealesconelmismonúmero de incógnitas se dice que son equivalentes si tienen lasmismas soluciones. Se demuestra que todosistemadeecuacioneslinealespuedesertransformadoenotroequivalenteaélmedianteloqueseconocecomotransformacioneselementales.Enrangoocaracterísticadeunamatrizsedefinenlosconceptosdesubmatriz,menor,menorprincipalyrango.Ysepresentaydemuestraelsiguienteteorema:elrangodeunamatrizcoincideconelnúmerodesusfilasocolumnaslinealmenteindependientes.

ElmétododeGaussconsisteentransformarelsistemadeecuacionesdadoenotroequivalentequeseannulostodosloscoeficientesqueesténpordebajodeladiagonalprincipalenlamatrizdecoeficientesobteniendoasí,unsistematriangularoescalonado.Estemétodopermiteasimismocalcularelrangodeunamatriz.Asimismo,elmétododeGauss-JordanesunamodificacióndelmétododeeliminacióndeGauss,consistenteeneliminarcadaincógnitanosólodelasecuacionesposterioresalasqueestamosutilizandosino,también,delasecuacionesanteriores.EnelapartadodelaregladeCramerseestudiauntipoparticulardesistemasdeecuacioneslinealesque son los llamados sistemas de Cramer aportando un método para su resolución. Estos sistemas soncompatiblesdeterminados.SedefineSistemadeCramerysecaracterizasusoluciónmediantelallamadaRegladeCramer.ElteoremadeRouché-Frobeniusestablecelacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunsistemadeecuacioneslinealestengasoluciónenfuncióndelrango.

Discutir o estudiarun sistemade ecuaciones lineales en cuyos coeficientes o términos independientesaparecenunoovariosparámetrosesclasificarloenfuncióndeestosaveriguandoparaquévaloresdedichosparámetroselsistemaescompatible,determinadooindeterminado,oincompatible.Estetipodediscusionesseplanteanenelapartadodeeliminacióndeparámetros.Porúltimo,seplanteanlasaplicacionesdelestudioydiscusión del rango de las matrices en la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales:interpretacióngráfica.

16.12. Conclusión

DESARROL

LOTEM

A El objeto de este tema es dar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, ycondicionesquepermitandeterminarsihaysoluciones,yensucasolacantidaddedichassolucionesylaformadehallarlas.Parasudesarrollohemosseguidoelesquemaexpuestoalinicio.

APLICACION

ES

Juntoconlasecuaciones,lossistemaslinealesconstituyenunadelaspartesmejorestudiadadelálgebratradicional,yaquemuchosproblemasdematemáticasseformulanoresuelvenutilizandoellenguajedelospolinomios,ydeahísugranimportancia.

Ademásdelaevidenteaplicaciónyamencionadaenlaintroduccióndeladiscusiónyresoluciónde lossistemasdeecuacionesparapoderresolverproblemasyestudiar lasposicionesrelativasderectasyplanosenelplanoyelespaciotalycomosehadescritoenelpresentetema,enlavidacotidianacomoenlavidalaboralfacilitasuaplicacióneneldesarrollodeproblemasdeunamaneramásfácilpero a su vez compleja, con lo cual se llega a dar una solución exacta ymejores resultados en undeterminadoproceso.

16.13. Bibliografía

BORGES: Álgebra lineal y geometría cartesiana. McGraw-Hill, 2000.

BURGOS: Curso de Álgebra y Geometría. Pearson Education, 1992.

LIPSCHUTZ: Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1991.

GARCÍA GARCÍA; LÓPEZ PELLICER: Álgebra lineal y Geometría: teoría y práctica. Ed. Marfil, 1992.

TEMARIO DEIMOS

TEMARIO GAMBOA


Página11de11

TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS

TEMARIO CLAUSTRO

TEMA16 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...Tema 16: Discusión y resolución de ecuaciones lineales....

Documents

Transcript of TEMA16 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...Tema 16: Discusión y resolución de ecuaciones lineales....