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Alonso Fernández Galián

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TEMA 1: TRIGONOMETRÍA I: LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría tiene su origen en la resolución de triángulos rectángulos. No obstante su

ámbito de aplicación es mucho más amplio, y en la actualidad las funciones trigonométricas son

una de las herramientas básicas del análisis matemático.

1.1 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Empecemos repasando la definición de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas directas. Sea uno de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Se denominan

razones trigonométricas directas del ángulo al seno, al

coseno y a la tangente de . Recordamos su definición:

-El seno de es el cociente entre el cateto opuesto a y la hipotenusa. Brevemente:

hipotenusa

opuestocatetosen

-El coseno de es el cociente entre el cateto contiguo a y la hipotenusa. Brevemente:

hipotenusa

contiguocatetocos

-La tangente de es el cociente entre los catetos opuesto y contiguo a . Brevemente:

contiguocateto

opuestocatetotan

Razones trigonométricas inversas. Con el fin de simplificar ciertas expresiones, para cada

razón trigonométrica directa se define la correspondiente razón trigonométrica inversa:

-La inversa del seno se denomina cosecante. La cosecante de se denota por “ cosec ”.

sen

1 cosec

opuestocateto

hipotenusa cosec

-La inversa del coseno se denomina secante. La secante de se denota por “ sec ”.

cos

1sec

contiguocateto

hipotenusasec

-La inversa de la tangente se denomina cotangente. La cotangente de se denota “ cotan ”.

tan

1cotan

opuestocateto

contiguocatetocotan

Veamos un primer ejemplo:

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de en el siguiente triángulo rectángulo:

[…]

Matemáticas I

- 2 -

Veamos otro ejemplo:

Nota: Veamos que las razones trigonométricas de un ángulo dependen sólo de dicho ángulo,

no del triángulo concreto que empleemos para calcularlas:

Según sabemos, si dos de los lados de un triángulo son

cortados por una recta paralela al lado restante, obtenemos

un triángulo semejante al primero (Teorema de Tales).

ABC CBA

En particular, todos los triángulos rectángulos construidos a partir de un mismo ángulo son

semejantes, y guardan la misma proporción entre sus lados. Así, el valor de las razones

trigonométricas de será el mismo independientemente del triángulo en el que las calculemos:

...sen

CA

CB

CA

CB

AC

BC

...cos

CA

BA

CA

BA

AC

AB

...tan

BA

CB

BA

CB

AB

BC

Por tanto, las razones trigonométricas sólo dependen de .

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de en el siguiente triángulo rectángulo:

Calculamos el lado que falta utilizando el teorema de Pitágoras:

1013 222 xx cm

Ahora ya podemos calcular las razones trigonométricas de :

10

103

10

3sen

10

10

10

1cos 3

1

3tan

3

10

10/3

1 cosec 10

10/1

1sec

3

1cotan

[…]

Las razones trigonométricas directas del ángulo son:

5

3sen

5

4cos

4

3tan

Análogamente, las razones trigonométricas inversas de son:

3

5

5/3

1 cosec

4

5

5/4

1sec

3

4

4/3

1cotan

Tema 1: Trigonometría I: Las razones trigonométricas

- 3 -

1.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º

Las razones trigonométricas de los ángulos que miden 30º, 45º y 60º se pueden calcular

fácilmente, y conviene memorizarlas.

Razones trigonométricas de 30º y 60º. Al dividir un triángulo

equilátero de lado a por su altura se obtiene un triángulo

rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30º y 60º.

El cateto x mide:

2

3

4

3

2

22

2 aaaax

Por tanto, las razones trigonométricas de un ángulo de 30º son:

2

12/º03sen

a

a

2

32/3º30cos

a

a

3

1

2/3

2/º30tan

a

a

y las de un ángulo de 60º son:

2

32/3º60sen

a

a

2

12/º60cos

a

a 3

2/

2/3º60tan

a

a

Razones trigonométricas de 45º. Si dividimos un cuadrado de

lado a por su diagonal obtenemos un triángulo rectángulo

isósceles. Sus ángulos agudos medirán, por tanto, 45º.

La hipotenusa x mide:

22 222 aaaax

Por lo tanto, las razones trigonométricas de un ángulo de 45º son:

2

2

2º45sen

a

a

2

2

2º45cos

a

a 1º45tan

a

a

Razones trigonométricas conocidas. Recapitulando, debemos memorizar la siguiente tabla:

313

1tan

2

1

2

2

2

3cos

2

3

2

2

2

1sen

rad3

º60rad4

º45rad6

º30

Conocer las razones trigonométricas de un ángulo nos permite relacionar dicho ángulo con los

lados de un triángulo rectángulo que lo contenga. Veamos un primer ejemplo de cómo usar las

razones trigonométricas para resolver un triángulo:

Matemáticas I

- 4 -

Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios si

suman 90º, o equivalentemente, si son los dos ángulos agudos de

un triángulo rectángulo (por ejemplo, los ángulos de 30º y 60º):

El complementario de es º90 (y viceversa)

El cateto opuesto de un ángulo es el contiguo de su complementario, y viceversa. Así, dos

ángulos complementarios tienen el seno y el coseno intercambiados, y la tangente invertida.

tan

1º90tansen º90coscosº90sen

Estas relaciones nos permiten calcular las razones trigonométricas de un ángulo a partir de las

de su complementario:

Ejemplo: Las razones trigonométricas del ángulo de 36º son:

59,06º3sen 81,0º36cos 73,0º36tan

Escribir el ángulo complementario de 36º y calcular sus razones trigonométricas:

(i) El ángulo complementario de 36º es:

º54º36º90

(ii) Por tanto, las razones trigonométricas del ángulo de 54º son:

81,0cos36º4º5sen 59,06º3sen º54cos 37,173,0

1

º36tan

1º54tan

Ejemplo: Calcular el ángulo y los lados que faltan en el siguiente triángulo rectángulo:

Obviamente, º60 . Para calcular x e y podemos usar las razones trigonométricas de 30º.

¿ x ? Para calcular x usamos que se trata del cateto contiguo a 30º:

2

3

10º30cos

x 35

2

310x cm

¿ y ? Análogamente, para calcular y usamos que se trata del cateto opuesto a 30º:

2

1

10º03sen

y 5

2

10y cm


- 5 -

1.3 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

Hasta ahora hemos trabajado sólo con ángulos agudos, º900 . Veamos una definición más

general de las razones trigonométricas que nos permita trabajar con cualquier ángulo.

Líneas trigonométricas. Representemos el ángulo en la circunferencia de radio unidad

centrada en el origen de coordenadas, denominada circunferencia goniométrica. Los valores del

seno y el coseno coincidirán entonces con las proyecciones del radio sobre los ejes:

Nota: La tangente coincide con la altura a la que la recta tangente vertical intercepta al radio:

Definición generalizada de las razones trigonométricas. Las expresiones anteriores definen el

seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo . El signo de las razones trigonométricas

será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo .

-Primer cuadrante ( º90º0 ): El seno, el coseno y la tangente son positivos:

:tan

:cos

:sen

º90º0

-Segundo cuadrante ( º180º90 ): El seno es positivo, y el coseno y la tangente negativos:

:tan

:cos

:sen

º180º90

bb

1sen proyección del radio sobre el eje de ordenadas.

aa

1cos proyección del radio sobre el eje de abscisas.

cos

sen tan

Matemáticas I

- 6 -

-Tercer cuadrante ( º270º180 ): El seno y el coseno son negativos, y la tangente positiva:

:tan

:cos

:sen

º270º180

-Cuarto cuadrante ( º360º270 ): El seno y la tangente son negativos, y el coseno positivo:

:tan

:cos

:sen

º360º270

Acotación del seno y el coseno. El seno y el coseno de un ángulo nunca pueden exceder el valor

del radio de la circunferencia goniométrica, 1r .

1sen 1 1cos1

La tangente, por el contrario, puede tomar cualquier valor real. Los valores máximos y mínimos

de las razones trigonométricas se alcanzan cuando el ángulo es múltiplo de 90º:

000tan

10101cos

01010sen

rad 2rad 2

3rad rad

2rad 0)(

º360º270º180º90º0)(

radianes

grados

Nota: La última columna coincide con la primera porque 360º representa al mismo ángulo que

0º tras haber dado una vuelta de circunferencia. En general, las razones trigonométricas se

repiten a intervalos de longitud 360º.

Cosecante, secante, cotangente. A partir del seno, el coseno y la tangente de un ángulo se

definen las correspondientes razones trigonométricas inversas:

-La cosecante es la inversa del seno:

sen

1 cosec

-La secante es la inversa del coseno:

cos

1sec

-La cotangente es la inversa de la tangente:

tan

1cotan o bien,

sen

coscotan


- 7 -

1.4 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Veamos varias relaciones entre las distintas razones trigonométricas de un mismo ángulo .

I. (La relación fundamental de trigonometría) Según el teorema

de Pitágoras, la suma de los cuadrados del seno y el coseno es

igual a 1:

1cossen 22

A partir de la relación fundamental de trigonometría se obtienen

otras relaciones de interés.

II. Dividiendo todos los términos de la relación fundamental de trigonometría entre 2cos se

obtiene:

22

sec

2

1

2

2

tan

2

2

sectan1cos

1

cos

cos

cos

sen

22

III. Análogamente, dividiendo todos los términos de la relación fundamental de trigonometría

entre 2sen se obtiene:

22

cosec

2

cotan

2

2

1

2

2

coseccotan1sen

1

sen

cos

sen

sen

22

Ejemplo: Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante,

º360º270 , sabiendo que:

17

15cos

1) Calculamos sen mediante la relación fundamental de trigonometría:

1cossen 22

17

8

289

64sen

289

64sen...1

17

15sen 2

2

2

Como está en el cuarto cuadrante, º360º270 , el seno es negativo:

17

8sen

2) Calculamos la tangente:

15

8

17/15

17/8

cos

sen tan

3) Finalmente, calculamos las razones trigonométricas inversas:

8

17

sen

1 cosec

15

17

cos

1sec

8

15

tan

1cotan

Matemáticas I

- 8 -

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo: Sea un ángulo tal que º270º180 , Calcular las razones trigonométricas

de sabiendo que:

3

2cotan

Como está en el 3er cuadrante ( º270º180 ), el seno y el coseno son negativos.

1) Calculemos la cotangente:

2

3

cotan

1tan

2) Calculemos la secante mediante la segunda relación, 22 sectan1 :

2

13

4

13sec

4

13

2

31tan1sec

2

22

3) Calculemos la cosecante mediante la tercera relación:

3

13

9

13 cosec

9

13

3

21cotan1cosec

2

22

4) Finalmente, calculamos el seno y el coseno:

13

133

13

3

cosec

1sen

13

132

13

2

sec

1cos

Ejemplo: Sea un ángulo tal que º180º90 . Calcular las razones trigonométricas de

sabiendo que:

5tan

Como está en el 2º cuadrante ( º180º90 ), el seno es positivo y el coseno negativo.

1) En primer lugar, calculemos la cotangente:

5

5

5

1

tan

1cotan

2) La secante se puede calcular mediante la segunda relación, 22 sectan1 , (la se-

cante es negativa por serlo el coseno):

6sec651tan1sec222

3) La cosecante se puede calcular mediante la tercera relación, 22 coseccotan1 , (la

cosecante es positiva por serlo el seno):

5

6 cosec

5

6

5

51cotan1cosec

2

22

4) Finalmente, calculamos el seno y el coseno invirtiendo la cosecante y la secante:

6

5

5/6

1

cosec

1sen

6

6

6

1

sec

1cos


- 9 -

1.5 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE

Veamos cómo calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo de la circunferencia a

partir de las de uno, asociado a él, que esté en el primer cuadrante.

Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios si suman

180º. Por lo tanto, el ángulo suplementario de es º180 y

viceversa. Mirando la figura se deduce:

tan)º180(tan

cos)º180(cos

sen )º180(sen

o, en radianes:

tan)(tan

cos)(cos

sen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante,

debemos preguntarnos cuál es el ángulo que suma con él 180º para buscar su suplementario.

Ángulos que difieren en 180º. El ángulo que difiere en 180º de es

º180 y viceversa. Mirando la figura se deduce:

tan)º180(tan

cos)º180(cos

sen )º180(sen

o, en radianes:

tan)(tan

cos)(cos

sen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del tercer cuadrante,

debemos restarle 180º para buscar el ángulo que difiere de él 180º.

Ángulos opuestos I. Dos ángulos son opuestos si suman 360º. Por lo

tanto, el ángulo opuesto de es º360 y viceversa. Mirando la

figura se deduce:

tan)º360(tan

cos)º360(cos

sen )º360(sen

o, en radianes:

tan)2(tan

cos)2(cos

sen )2(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante,

debemos preguntarnos cuál es el ángulo que suma con él 360º para buscar su opuesto.

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 225º.

El ángulo de 225º difiere en 180º del de 45º. Por lo tanto:

2

2º45sen º225sen

2

2º45cosº225cos

1º45tanº225tan


El ángulo de 150º es el suplementario del de 30º. Por lo tanto:

2

1º30sen º150sen

2

3º150cosº150cos

3

1º30tanº150tan

Matemáticas I

- 10 -

Ángulos opuestos II. Observemos que º360 representa al mismo

ángulo que . Por lo tanto, también podemos decir que dos ángulos

son opuestos si tienen distinto signo. Con ello tenemos:

tan)(tan

cos)(cos

sen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo negativo, debemos usar estas

expresiones para trabajar con un ángulo positivo.

Las relaciones para ángulos negativos también son válidas aunque no esté en el 1er cuadrante.

Nota: para calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor que 360º, debemos buscar

primero el ángulo equivalente a él y comprendido entre 0º y 360º.


745

3601485

El ángulo de 1485º es equivalente al de 45º tras haber dado 7 vueltas de circunferencia. Así:

2

2º45sen º4851sen

2

2º45cosº1485cos 1º45tanº1485tan

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de º30 .

2

1º30sen º30sen

2



El ángulo de 300º es el opuesto del de 60º. Por lo tanto:

2

3º60sen º300sen

2


Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de º120 .

Se trata del ángulo opuesto del de 120º. A su vez, el ángulo de 120º es el suplementario del

de 60º. Así:

2

3º60sen º120sen º120sen

2

1º60cosº120cosº120cos

3º60tanº60tanº120tanº120tan


- 11 -

1.6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS I: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Las razones trigonométricas se usan principalmente para calcular los lados y los ángulos desco-

nocidos de un triángulo.

Suma de ángulos:

º180ˆˆˆ CBA

Empecemos viendo cómo resolver triángulos rectángulos.

Resolución de triángulos rectángulos. Para resolver un triángulo rectángulo se relaciona cada

dato desconocido con dos datos conocidos por medio del teorema de Pitágoras o de alguna de

las razones trigonométricas.

Si no sabemos las razones trigonométricas del ángulo dado, las calculamos con la calculadora.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º90ˆ A , º60ˆ C y 2b cm.

(i) Obviamente, º30ˆ B .

(ii) Para calcular a podemos relacionarlo con el ángulo º60ˆ C y el lado 2b cm por

medio del coseno de B .

42

2

12º60cos a

aacm.

(iii) Análogamente, podríamos calcular c relacionándolo con el ángulo C y el lado b por

medio de la tangente de C . También podemos usar el teorema de Pitágoras:

1224 222222 cccba cm.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º56ˆ B , º90ˆ C y 7c cm.

[…]

Matemáticas I

- 12 -

Cálculo del ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Si conocemos los lados de

un triángulo rectángulo, pero no sus ángulos, deberemos calcular alguna razón trigonométrica y

a partir de ella el ángulo. Para ello usamos las siguientes teclas de la calculadora:

-La tecla 1sin , que corresponde al arco seno, calcula el ángulo a partir del seno.

-La tecla 1cos , que corresponde al arco coseno, calcula el ángulo a partir del coseno.

-La tecla 1tan , que corresponde al arco tangente, calcula el ángulo a partir de la tangente.

Resolución de triángulos isósceles. Los triángulos isósceles también son fáciles de resolver,

pues su altura los divide en dos triángulos rectángulos iguales.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º90ˆ A , 17a cm y 15b cm.

(i) Podemos calcular c por medio del teorema de Pitágoras:

cm 82252891517 2222 ccc

(ii) Para calcular el ángulo B hallamos previamente una razón trigonométrica suya:

88,017

15ˆsen B

Ahora, calculamos B con la calculadora:

º6288,0arcsen ˆ B

(iii) Finalmente, tenemos º28º62º90ˆ C .

[…]

(i) Como º90ˆˆ BA , tenemos que º34ˆ A .

(ii) Para calcular el lado a podemos usar el coseno de º56ˆ B .

91,3º56cos77

º56cos aaa acalculador

cm.

(iii) Finalmente, calculamos el lado b por el teorema de Pitágoras.

80,522222 acbbac cm.


- 13 -

1.7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS II: LOS TMAS

DEL SENO Y DEL COSENO

Veamos finalmente dos resultados, los llamados teorema del seno y teorema del coseno, que

nos permitirán resolver un triángulo aunque no sea rectángulo.

El teorema del seno: En cualquier triángulo ABC, lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos:

Demostración: Dibujemos un triángulo cualquiera y tracemos la altura perpendicular al lado c.

Luego calculemos el seno de A y B para eliminar la incógnita h:

a

hB

b

hA

ˆsen

ˆsen

Despejando h e igualando obtenemos:

A

a

B

bBaAb

Bah

Abh

ˆsen ˆsen

ˆsen ˆsen ˆsen

ˆsen

Repitiendo el argumento pero tomando la altura perpendicular al lado a obtenemos:

…C

c

B

b

ˆsen ˆsen

Considerando juntas ambas igualdades deducimos el resultado que buscábamos.

El teorema del coseno. En cualquier triángulo ABC se cumplen las siguientes relaciones:

Demostración: Vamos a demostrar la primera de las igualdades. Para ello, tracemos la altura

perpendicular al lado c, y llamemos H a su pie. Llamemos x el lado AH.

Consideremos el teorema de Pitágoras en los triángulos HBC y

AHC. Después, eliminemos la incógnita h por reducción:

2222

222

222

)(

)(

xxcba

xhb

xcha

C

c

B

b

A

a

ˆsen ˆsen ˆsen

Abccba ˆcos2222

Baccab ˆcos2222

Cabbac ˆcos2222

Matemáticas I

- 14 -

Desarrollando el resultado obtenemos 22222 2 xxcxcba . Es decir:

cxcba 2222

Por otro lado, calculando Acos en el triángulo AHC se obtiene que bxA /ˆcos . De donde

deducimos que Abx ˆcos . Sustituyendo en el último término obtenemos:

Abccba ˆcos2222

Esta es la igualdad que queríamos demostrar.

Resolución de triángulos no rectángulos. Para resolver un triángulo no rectángulo deberemos

aplicar los teoremas del seno o del coseno dependiendo de los datos de los que dispongamos.

Ejemplo: Resolver un triángulo sabiendo que º75ˆ A , º35ˆ C y 6b cm.

Obviamente, º70º75º35º180ˆ B . Ahora calculamos a y c por el teorema del seno:

¿ a ? cm 19,694,0

6

97,0º70sen

6

º75sen ˆsen ˆsen a

aa

B

b

A

a

¿ c ? cm 64,357,094,0

6

º35sen º70sen

6

ˆsen ˆsen c

cc

C

c

B

b

Ejemplo: Resolver un triángulo sabiendo que º60ˆ B , 10a cm y 17c cm.

Para calcular b aplicamos el teorema del coseno:

Baccab ˆcos2222

2195,0340289100º60cos171021710 222 b

80,14219 b cm.

Para calcular A también usamos el teorema de coseno, Abccba ˆcos2222 .

º82,35ˆ81,0ˆcosˆcos1780,1421780,1410 222 AAA

Finalmente, tenemos que º18,84º82,35º60º180ˆ C .

Nota: Para calcular ángulos es preferible el teorema del coseno al del seno, pues el seno no

distingue entre ángulos agudos (del 1er cuadrante) y ángulos obtusos (del 2º cuadrante).


- 15 -

ANEXO: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Recordemos cómo definir el signo de un ángulo y el número de vueltas (ambos relacionados

con el concepto de rotación), así como la medida de ángulos en radianes.

Rotaciones en la circunferencia. Consideremos una circunferencia centrada en el origen de

coordenadas. Las rotaciones del semieje positivo de abscisas se expresan mediante un ángulo

que mida su amplitud junto con un signo que determine el sentido de giro:

-La rotación es positiva si se efectúa en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Rotación de º45 :

-La rotación es negativa si se efectúa en el sentido de las agujas del reloj.

Rotación de º45 :

Nota: Por abuso de notación, es costumbre hablar de ángulos positivos o de ángulos negativos

para referirse a rotaciones positivas o negativas, respectivamente.

Equivalencia de ángulos. Se dice que dos ángulos son equivalentes si deter-

minan la misma posición final del radio. En particular:

El ángulo negativo es equivalente al ángulo positivo º360

Ángulos mayores que 360º. Para expresar rotaciones de más de una vuelta de circunferencia

debemos trabajar con ángulos mayores que 360º.

Es fácil ver que todo ángulo mayor que 360º es equivalente al resto que resulta de dividirlo

entre 360º. Por ejemplo:

238

360758El ángulo de º758 es equivalente al ángulo de º38 .

Matemáticas I

- 16 -

Medida de ángulos en radianes. Se denomina radián al ángulo tal que la longitud del arco

recorrido coincide con el radio (1 rad º3,57 ).

Es frecuente tomar el radián como unidad de medida de ángulos. Por ejemplo, si recorriéramos

dos radios abarcaríamos un ángulo de 2 radianes (2 rad):

Al dar una vuelta de circunferencia se recorre una longitud igual a 2 veces el radio. Por lo

tanto, una vuelta completa de circunferencia mide 2 radianes:

rad 2º360

Con ello deducimos las medidas en radianes de los múltiplos del ángulo recto:

rad 2

º90

rad º180 rad 2

3º270

rad 2º360

Nota: A diferencia de los grados sexagesimales, que son una medida de ángulos arbitraria (y

que se continúa utilizando únicamente por tradición), los radianes son una medida natural, en el

sentido de que sólo depende de las propiedades de la circunferencia y no de consideraciones

externas.

Ejemplo: Veamos ejemplos de cambio de unidades entre ángulos:

(a) Escribir 210º en radianes.

6

7

º360

2210

210º

rad2360º

x

xrad

(b) Escribir rad 4

3 en grados sexagesimales.

º1352

º3604

3

rad4

3

360ºrad2

xx


- 17 -

Medida de ángulos

1. Encuentra en cada caso un ángulo equivalente y comprendido entre 0º y 360º.

(a) 1884º (b) 4819º (c) 7540º (d) –53º (e) –231º (f) –1767º

2. Expresa en radianes:

(a) 30º (b) 45º (c) 75º (d) 120º (e) 225º (f) 300º

3. Expresa en radianes:

(a) 60º (b) 150º (c) 270º (d) –50º (e) –240º (f) –330º

4. Expresa en grados sexagesimales:

(a) 5

rad (b)

4

5rad (c)

10

3rad (d)

2

3rad (e)

12

rad (f) 8 rad

5. En una circunferencia de 10 cm de radio tomamos un arco de 16 cm. Calcula ángulo central

en radianes y en grados sexagesimales.

6. La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas por minuto dará

viajando a 120 km/h?

Las razones trigonométricas de ángulos agudos

7. Calcula en cada caso las razones trigonométricas del ángulo :

8. Calcula los lados x e y:

9. Calcula el valor de los lados x, y y z:

(a) (b)

EJERCICIOS DEL TEMA 1

Matemáticas I

- 18 -

10. Sabiendo que:

85,0º58sen 53,0º58cos 60,1º58tan

(a) Calcula el ángulo complementario de 32º.

(b) Escribe sus razones trigonométricas.

Relación entre las razones trigonométricas

11. Sea un ángulo agudo. Calcula el coseno y la tangente sabiendo que 3/1sen .

12. Calcula las razones trigonométricas de º90 sabiendo que 10/3sen .

13. Calcula todas las razones trigonométricas de sabiendo que 4 sec y que

º180º90 .

14. Calcula todas las razones trigonométricas de sabiendo que 3tan y que

º360º270 .

15. Calcula todas las razones trigonométricas de un ángulo , º270º180 , tal que

2/3tan .

16. Simplifica las siguientes expresiones:

(a)

tancos

sen 2

(b)

sen1

cos2

(c)

coscotan

1cosec2 (d)

cos

sen cosec

17. Demuestra las siguientes igualdades:

(a) 1sec

cosectan

(b)

cossen

1tan

tan2

(c) 2cossencosecsen (d) 1secsecsen 222


(a) seccossen tan (b) 1tancos

cossen

(c)

2

4

42

tancos

sensen

(d)

2

2

tan1

1cos

Ángulos asociados (reducción al 1er

cuadrante)

19. Calcula las razones trigonométricas de 120º.

20. (Sin emplear la calculadora) calcula las razones trigonométricas de 180º , siendo un

ángulo del primer cuadrante del que sabemos que 9,0sen .


22. Sabiendo que 4/3cos , con º90º0 , calcula las razones trigonométricas de

º180 .



- 19 -

24. Sea un ángulo del primer cuadrante que cumple que 25,0cos , calcula razonadamente

las razones trigonométricas de º270 .

25. Calcula:

(a) º315cos (b) º330sen (c) º330tan

26. Calcula:

(a) )º45(sen (b) º30cos (c) º45tan

27. Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de un ángulo del primer cuadrante

y después calcúlalas:

(a) )º45(tan (b) º240sen (c) º120cos (d) º150sen (e) º225tan (f) º330cos .

28. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos medidos en radianes:

(a) 3

2tan

(b)

4

5sen

(c)

3tan

(d)

6

7cos

(e)

2sen

(f)

3

5cos

29. Simplifica todo lo posible:

cos

2cotan sen

30. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

(a) 405º (b) 930º (c) 4260º

31. Calcula las razones trigonométricas de los siguientes ángulos múltiplos de 90º:

(a) 450º (b) 990º (c) –2160º (d) 1620º (e) –1350º (f) –90º

32. Encuentra en cada caso el valor del ángulo x a partir de los datos que se dan.

(a) 1tan x º180º90 x (b) 5,0cos x º360º270 x

(c) 1sen x º360º0 x (d) 2/3cos x º270º180 x

(e) 3tan x º270º180 x (f) 2/2sen x º90º0 x

(g) 3/1tan x º360º270 x (h) 2/2sen x y 2/2cos x

Resolución de triángulos rectángulos

33. Encuentra los elementos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos.

(a) (b)

Matemáticas I

- 20 -

34. En un triángulo rectángulo sabemos que uno de los catetos es el doble de largo que el otro.

¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

35. Las diagonales de un rectángulo miden 12 m, y forman un ángulo de 64º. ¿Cuál es el área?

36. Calcula cuánto miden los ángulos del siguiente triángulo isósceles.

37. Calcula la altura de un edificio, sabiendo que desde un cierto punto se ve bajo un ángulo de

60º y si nos alejamos 40 metros, se ve bajo un ángulo de 30º.

Resolución de triángulos cualquiera

38. De un triángulo conocemos 8b cm., º105ˆ A y º30ˆ C . ¿Cuánto mide el lado c?

39. Encuentra los elementos que faltan en los siguientes triángulos:

(a) (b)

40. Calcula el valor del ángulo B en un triángulo de lados 7a cm., 10b cm. y 4c cm.

41. Calcula la longitud del lado c de un triángulo sabiendo que 8a cm, 5b cm y º45ˆ C .

42. Encuentra los elementos que faltan en el siguiente triángulo:

43. Encuentra los elementos que faltan en el siguiente triángulo:

44. Utiliza el teorema del coseno para demostrar que en cualquier triángulo se cumple que:

abc

cba

c

C

b

B

a

A

2

ˆcosˆcosˆcos 222


- 21 -

45. Calcula el área del triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 7 cm y 4 cm; y que el

ángulo comprendido entre ellos mide 30º.

46. Calcula razonadamente el área de un pentágono regular de 30 cm. de lado.

47. Desde los extremos de una calle de 100 m de longitud se observa un globo aerostático,

situado sobre la calle, con ángulos respectivos de 72º y 30º. Calcula la altura a la que se

encuentra el globo.

48. Dos pueblos se encuentran separados por una montaña de 2500 m. Desde el primer pueblo

se ve la cima de la montaña bajo un ángulo de 58º, y desde el segundo bajo un ángulo de 72º.

¿Qué distancia separa los dos pueblos?

49. En un cruce parten dos carreteras rectas que forman un ángulo de 45º. Desde el cruce parten

a la vez dos vehículos, uno por cada una de las carreteras. Sabiendo que las velocidades de los

vehículos son de 80 km/h y 120 km/h, calcula a qué distancia se encontrarán entre sí al cabo de

una hora.

50. Con los datos que se ofrecen en cada apartado, resolver los triángulos correspondientes:

(a) 7a cm., 5b cm., 8c cm. (b) º90ˆ A , 12b m., 5c m.

(c) 5a dm., º65ˆ B , º45ˆ C . (d) 5a m., 3b m, º130ˆ A .

(e) º120ˆ A , 1,6b cm., 10c cm. (f) 10a dm., º30ˆ B , º45ˆ C

(g) 9b m., º90ˆ B , º60ˆ C (h) 2a cm., º30ˆ B , 2c cm.

(i) º105ˆ A , º45ˆ B , 2b dm. (j) 4a cm., 3b cm., 6c cm.

(k) 4a m., º75ˆ B , º75ˆ C . (l) 3a cm., 2b cm., º75ˆ B .

Cálculo de distancias inaccesibles

58. Un niño ha atado una cometa al suelo, de modo que la cometa forma un ángulo de 60º con el

suelo. Calcula a qué altura está la cometa sabiendo que el cordel mide 50 metros.

59. Una escalera de mano está apoyada contra la pared formando un ángulo de 60º con el suelo.

Calcula la longitud de la escalera sabiendo que el pie de la escalera dista 1,5 metros de la pared.

60. Desde cierto lugar de la calle vemos una farola bajo un ángulo de 45º. Si nos alejamos 3

metros en línea recta, vemos la farola bajo un ángulo de 30º. ¿Cuánto mide la farola?

61. Un jugador de rugby, para realizar un ensayo, está situado a 10 y a 16 metros de los postes

de la portería, a la que ve bajo un ángulo de 65º. ¿Cuál es la anchura de la portería?

62. Los responsables de un museo de ciencias han decidido montar una carpa en forma de

tetraedro regular. Calcula la altura que tendrá la carpa sabiendo que su base estará formada por

un triángulo equilátero de 50 metros de lado.

63. Dos puestos de vigilancia marítima situados en la línea de costa y que distan entre sí 2 km.

reciben simultáneamente la petición de ayuda de un barco. Tras localizar el barco, desde el

primer puesto de vigilancia observan que la línea que los une con el barco forma un ángulo de

60º con la línea de costa; y desde el segundo puesto observan que la línea que los une a ellos

con el barco forma un ángulo de 45º con la línea de costa. ¿Cuál es la distancia del barco a cada

uno de los puestos de vigilancia? (Se supone que la costa forma una línea recta).

Matemáticas I

- 22 -

Varios

51. Una cinta conecta dos discos de radios 5r cm y 40R cm. ¿Qué ángulo, expresado en

grados, girará el disco grande cuando el pequeño dé una vuelta completa?

52. Una correa conecta dos poleas de radios 10r cm y 25R cm. ¿Qué ángulo, expresado en

grados, girará la polea pequeña cuando la grande dé un giro completo?

53. Simplifica las siguientes expresiones, en las que representa a un ángulo agudo y los

ángulos están expresados en radianes:

(a)

2coscos

2/sen cos

(b)

2tan sec

cossen

(c)

cotan

2/tansen

54. Calcula los lados de la siguiente figura:

55. Simplifica las siguientes expresiones:

(a)

2

3

sec

costancostan

(b) sen coscos3


(a)

2

1cossen cossen

2

(b)

sen 1

sen 1tansec

2


(a)

cotan sec

sen

costan

(b)

cos1

cotan cosec

sen

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