1. Tema 6Introducin trigonometra 2. Semellanza 3. SemellanzaA idea bsica da semellanza 3cm 1,5cmestablecer unha definicinmatemtica da idea: Son idnticospero de diferente tamao2cm 4cmDado que esta unha idea a Caracterizacin de tringulosaplicar a figuras de diverso tipo, olxico comezar establecendo a As propiedades xeomtricas quemaneira matemtica de tratar odefinen a un tringulo -isto : asproblema para a figura mis caractersticas que o fan diferentesimple de todas: o tringulo. doutros tringulos- son a magnitudedos seus ngulos e a lonxitude dosC seus lados.AC BC Nun tringulo, os vrtices e os ngulos bdesgnanse coa mesma letra amaiscula, e os lados, coas letras quedesignan aos vrtices, pero coa letraminscula correspondente ao seu A Bvrtice oposto: cAB 4. Semellanza de tringulos Os tringulos que soamente se diferencian no tamao, que chamamos tringulos semellantes, teen 1) ngulos iguais e 2) lados proporcionais (directamente). Estas das ideas podmolas resumir, para os B tringulos da figura, nas frmulas: Bc a A= A a c ngulos iguaisB= BC=CA C A bC bABAC BC Lados proporcionais== =k A B A CB C A constante k da segunda ecuacinrecibe o nome de razn desemellanza.A relacin 2) tamn pode escribirse: a b c = = =k abc 5. Criterios de semellanza detringulosPara que dous tringulos sexansemellantes acabamos de dicir quedeben cumprirse simultaneamente asComprobar a semellanza non requiredas condicins:efectuar todas as contas, xa que, se se1.- Os ngulos deben ser iguais cumpren unhas certas condicins,2.- Os lados homlogos deben serchamadas criterios de semellanza, asproporcionais.demis deben cumprirse forzosamente.CRITERIO 150 50 Se os ngulos de dous tringulos son iguais dous a dous, entn os trigulos sern semellantes. 30 603060 A= A; B=B; C=C 6. CRITERIO 22cm2cm 6 ,7 Se dous tringulos teen os seus 5cm1 ,14cm3 ,3 lados homlogos proporcionais, 2 ,2 entn os tringulos sern7,5cm semellantes. 2,5cm a b c Ou, o que oABAC BC = = =k mesmo: == =k abcA B A CB C CRITERIO 3 Se dous tringulos teen dous lados proporcionais e o ngulo definido por2 cm6,7 eses lados igual, entn os dous4 cm tringulos son semellantes.2,2 30302,5cm7,5cmA= Ab cOu, o que o ABAC = =k mesmo:= =k bcA B A C 7. Figuras non triangularesA semellanza dos polgonos nonen calquera polgono, ao trazar astriangulares defnese a partir da diagonais que unen un vrtice consemellanza de tringulos: todos os demais, temos tringulosque poderiamos comparar un a un,As CONDICINS DE BSEMELLANZA seguen sendoCDas mesmas: B C1.- Os ngulos deben ser DiguaisAE A E2.- Os lados deben serproporcionais. G FGFPROPOSICINSTodos os cadrados sonsemellantes.Todos os tringulosequilteros sonsemellantes 8. Aplicacins da semellanza 9. ESCALAA escala a relacin entre a Debido a que esta unha relacin derepresentacin das figuras e o seusemellanza, a proporcionalidadetamao real.expresarase mediante unha fraccin, querepresenta a relacin entre as dimensinstamao da representacinda figura representada e as dimensins E= da figura real.tamao obxectoAcostmase dar a escala na forma dunhafraccin de numerador unitario, para queesta idea quede mis clara, as unhaescala 1:100 significa que unha unidadena representacin corresponde a 100unidades na realidade.APLICACIN SOLUCIN:Nun plano dun apartamento debuxado a 1 8escala 1:50, unha das paredes dunhaE= = x=508=400 cm=4 mhabitacin mide 8 cm . Canto mide a 50 xparede da habitacin? 10. TIPOS DE ESCALA Existen tres tipos de escalas:Natural:Cando o tamao do obxecto eda representacin coinciden.E 1:1De reducin: Obxectos a Escala apropiadaCando o tamao do plano representarmenor que o tamao doPezas pequenas 1:2 ou 1:5obxecto. Planos de vivendas 01:50:00 Rueiros1:10000 a 1:100000 Mapas xeogrficos1:20000 en dianteDe ampliacin:A norma UNE EN ISO5455:1996. "Debuxos tcnicos.Escalas" recomenda utilizar asCando a representacin E 2:1,seguintes escalas normalizadas:maior que o obxecto E10:1,E100:1Escalas de ampliacin:100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1Neste caso o numeradorEscala natural: 1:1da escala maior que o Escalas de reduccin:1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50,denominador 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000,1:2000, 1:5000, 1:20000 11. Semellanza, reas e volumes.A relacin de semellanza implica unha Existe a crenza -errada- de que asrelacin entre as lonxitudes, entre assuperficie e o volume se relacionan dadimensins dos obxectos semellantes, de mesma forma. Que unha crenza erradaproporcionalidade directa.pode comprobarse sen mis que botar unollo aos debuxos da figura. L=1 S= 12=1H L=2S= 22=41cm H B2cmL=2L S=4S BO mesmo acontece co volume. Triplicar olado dun cubo implica aumentar vinteseteveces o seu volume. 12. Permetro e semellanzaPermetro e semellanzaNas figuras semellantes, os permetrosson proporcionais. Vexmolo para o caso do tringulo: Os tringulos A proporcionalidade dos lados nos ac da figura son tringulos semellantes significa que os semellantes lados cumpren: cabb a=k a a b c = = =k b=k b abcc=k c Entn:pabck ak bk c = ==kp abcabcO cociente dos permetros coincide co cociente doslados. p =k p QED 13. reas e semellanza reas e semellanzaNO CASO DUN TRINGULO:A relacin entre as reas de dasfiguras semellantes, onde :L b h =k S = S2L 2:=k H S b h S=H 2B b =k bB En consecuencia, a relacin entre ash =k h superficies dos tringulos semellantes ser: bhS = 2b h k b k h 2 b h 2 S = = =k =k S b h222S=2 O cociente das superficies o cadrado da constante de proporcionalidade :S=k S 14. Volumes e semellanzaVolumes e semellanzaA relacin entre os volumes de figurassemellantes :LV =k =k 3L VA situacin na que mis simpleSe triplicamos o ladoSe triplicamos o ladocomprobar esta relacin o caso docubo.A relacin dedcese de3 33LVL k L 3 =k = 3 = 3 =kL VLL Como se ve na figura, triplicar o lado implica multiplicar por 27 o volume da figura.L=3LV=33 V =27 V 15. Teoremas de Tales e PitgorasTales de MiletoPitgoras 16. Teorema de Tales Teorema de TalesSe nun tringulo trazamos unhaOs segmentos correspondentes,11recta paralela a un dos lados, o 22 determinados en das rectas tringulo resultante serconcorrentes r , s por rectas semellante ao anterior.paralelas, son proporcionais C C C6 cmC3c mCAB BB AB ABA Como consecuencia, os lados correspondentes de ambos tringulos sern proporcionais:A BC ACABBC2cm 4cm ===k ACAB BCA relacin numrica entre os valores E os ngulos, iguais:dos segmentos correspondentes A= AABBCAC= = B= B A B BCA CC=C Na figura: 2 6 8= = =0,66666.... 3 4 6 17. Teorema de Pitgoras Teorema de Pitgoras DEMOSTRACIN:Construmos dous cadrados idnticos Nun tringulo rectngulo, o cadrado da como se indica na figura: hipotenusa igual suma dos c cadrados dos catetos. C222 aa =b c bAc b BacbO cadrado da esquerda contn unO cadrado da dereita mide o mesmo quecadrado de lado b (S=b2) e un de ladoo anterior ( ten o mesmo lado: b+c), peroc, (S=c2), mais catro tringulosest dividido nun cadrado de lado a (querectngulos de lados b e c.medir a2) e catro tringulos rectngulos de catetos b e c.Como os dous cadrados son iguais:De ondeb 2c2 =a 2 b 2c2 4 bc=a 24 bcQED 18. Razns trigonmtricas 19. Teorema de Tales nosTeorema de Tales nosOs cocientes anteriores xa non tringulos rectngulostringulos rectngulosrelacionan lados de diferentestringulos, senn do mesmo tringulo, eDado un tringulo rectngulo, se ocorresponden aos catetos que delimitandividimos trazando unha lia paralela lados do mesmo ngulo agudo C.a un dos seus lados, obteremos un Estes cocientes reciben o nome detringulo semellante anterior (e polo razns trigonomtricas do ngulotanto de lados proporcionais) agudo BCalquera tringulo semellante cumprirBo mesmo: a 6 a5 Ca4AA a3a2Do que se deducen as semellanzasa1 A c1c2c3c4 c5 c6entre as razns:CB b3 b4 c bc cb1 b2 b5b6= c.b =c b=c b b b c1 c2 c3 c4b a b b = = = =...= b a=a b= a1 a2 a3 a4b a c ca c c cEn particular, neste caso razn c/a,= a c=a c =chmaselle seno do ngulo Ca c a ac1 c 2 c3 c4 sen C = = = = =...a1 a2 a3 a 4 20. Nomenclatura de catetos respecto Seno dun ngulo agudo Seno dun ngulo agudoaos ngulos Nun tringulo BPara o ngulo C,B de ngulos a defnese o seno de Ca cc A,B, e C, os que escribiremos lados C Asen(C) ou sen CCA bb opostoscomo: dentanse coa mesma letra c cateto.oposto minscula Os outrossin C = = B catetos reciben ahipotenusaao nome de c catetosCA contiguos b No mesmo tringulo, o seno do ngulo B Contiguo a C = bsera: Contiguo a B = c b cateto.opostosin B= = ahipotenusa As razns trigonomtricas do ngulo recto, A, requiren de conceptos que se estudarn no tema seguinte. 21. Coseno dun ngulo agudo Coseno dun ngulo agudoDa mesma forma que se define o seno aPara o ngulo C, Bpartir do teorema de Tales comprobamos defnese o coseno de aque existe unha segunda razn queC que escribiremos cchamaremos coseno do nguloa cos(C) ou cos CC A6 ba5 como: a4 a3b cateto.contiguo a2cosC = =Aa hipotenusa a1 c2c3c4 c5 c6c1Cb1 B b2b3 b4b5b6No mesmo tringulo, o seno do ngulo Bsera: b1 a 1 b1 b 2 = =... = =... c cateto.contiguo b2 a2a1 a2cos B= =a hipotenusa E chegariamos a: b1 b2 b3 b 4cos C = = = = =... a1 a 2 a 3 a 4 22. Tanxente dun ngulo agudoTanxente dun ngulo agudoDa mesma forma que se define o seno apartir do teorema de Tales comprobamosque existe unha terceira razn quechamaremos tanxente do nguloa6a5 Para o ngulo C, defnese a tanxente de B a4 C que escribiremos a a3c tan(C) ou tan C como: a2 C AAb a1 c2c3c4 c5 c6c1Cb1 B b2b3 b4b5b6ccateto.oposto tan C = =b cateto.contiguoc 1 b1c1 c2 = =... = =...c 2 b2b1 b2No mesmo tringulo, a tanxente do ngulo E chegamos a:B sera: c1 c 2 c 3 c 4 b cateto.opostotan C = = = = =... tan B= = b1 b 2 b3 b 4c cateto.contiguo 23. Propiedades e relacins das razns trigonomtricas 24. Propiedades das razns trigonomtricas Propiedades das razns trigonomtricas11 O seno e o coseno dun ngulo agudo22 A tanxente dun ngulo agudo podetoman forzosamente valores entre 0 e 1tomar calquera valor real positivoA razn simple: os catetos son sempre Depender da relacin entre osmenores que a hipotenusa, e se ocatetos:numerador menor que o denominadora fraccin sempre ser menor que aAASe o catetooposto menoracunidade.que o contiguovaler entre cero C b Be 1.c cateto.oposto abcateto.opostosin C= =c tan C= =ahipotenusac cateto.contiguoC bAbc bc tan C = 1 ca =sen C 1c aa Se o oposto menorBB que o contiguo valerentre cero e 1.b cateto.contiguo C bcosC = =a hipotenusabcateto.opostotan C= =b c cateto.contiguo ba =cosC 1abbc tan C = 1 c 25. 33 As razns trigonomtricas sonnicas para cada ngulo agudoaPorque cada razn se corresponde cun nmero racional. Secambiamos a fraccin cambiamos os catetos: cambiamos ongulo.C b44 Valores das razns trigonomtricas A seguinte tboa proporciona un mtododos ngulos mis correntes:mnemotcnico para obter e recordar as razns trigonomtricas dos ngulos mis comns:Os valores do senoobtense comofraccins de030 45 60 90denominador 2 denmeradoresconsecutivos: Sen C 0 = 0 =0 1=1 23 4 = 2 =10,1,2,3,4 aos que se222 2 22 22lles fai a raz cadradaCos C 4 = 2 =13 2 1=1 0 = 0 =0 2 22 2 2 222Os valores do cosenoobtense comofraccins dedenominador 2 denmeradoresconsecutivos inversos4,3,2,1,0 aos que selles fai a raz cadrada 26. Relacins entre as razns trigonomtricasRelacins entre as razns trigonomtricas11 A tanxente dun ngulo igual ao33 O cadrado do seno mis o cadrado docociente entre o seno e o coseno. coseno suman 1: sen Ctan C= sen2 Ccos2 C =1 cos CDEMOSTRACIN: DEMOSTRACIN 2 2A partir da definicin: Denotaremos :sen C =sen C 22c c / a sen Ccos C =cos Ctan C= = =b b/ a cos Crecordando que :cbsen C= ; cos C =22 O inverso da tanxente igual aoaacoseno entre o seno:Temos que: 2 2DEMOSTRACIN:2 2 c b sen C cos C = A partir da definicin:a a2 211b b/ a cos Cc b = = ==sen 2 Ccos2 C= 2 2tan C c / b c c/ a sen Ca a 2 2 222b c a sen Ccos C =2 = 2 =1a a 27. 44O cadrado da tanxente mis un igual44O cadrado da tanxente mis un igual ao inverso do cadrado do coseno ao inverso do cadrado do coseno2 11 1tan C1= 1=cos 2 C 2 tan C2 sen CDEMOSTRACINDEMOSTRACIN Partimos da relacin (2) e dividimosPartimos da relacin (2) e dividimos ambos membros entre cos2C:ambos membros entre sen2C: sen 2 Ccos 2 C=1 sen 2 Ccos2 C =1 sen2 C cos 2 C 1 sen 2 Ccos2 C1 2 = =cos C cos2 C2sen Csen 2 Csen2 C cos 2 C1 sen2 C cos2 C 1 2 2=2 2 2 = 2cos C cos C cos C sen C sen C sen C 2 sen C 1 cos C 21 1= 21= cos C cos C sen Csen 2 C 1 11 tan 2 C1=2 1 2 = cos Ctan C sen 2 C