Mat m1solund10

10 PROPIEDADES DE LAS FIGURAS PLANAS

P A R A E M P E Z A R

Copia en tu cuaderno este polígono e identifica todos sus elementos.

El pentágono ABCDE es un plano de la ciudadela de Jaca. Traza la mediatriz del lado BC y la bisectrizdel ángulo Aq.

2

1

•

B

C

DE

A

B

C

DE

A

Ángulo Lado

DiagonalVértice


P R O P I E D A D E S D E L O S P O L Í G O N O S

P A R A P R A C T I C A R

Decide si estos polígonos son cóncavos o convexos.

a) b)

a) Cóncavo. b) Convexo.

Ejercicio resuelto

Halla la medida del ángulo que falta.

a) b)

a) xq � 65� � 75� � 180� → xq � 40� b) 105� � 85� � 130� � xq � 360� → xq � 40�

Determina la medida de los ángulos que faltan.

a) b) c) d)

a) xq � 48� � 95� � 180� b) 105� � 50� � 80� � xq � 360� c) 439� � xq � 540� d) 602� � xxq � 720�

xxq � 37� xq � 125� xxq � 101� xq � 118�

10.3

10.2

10.1

x

65o 75o

x105o

85o

130o

x

95o48o

x

80o

50o

105o

x94o

103o114o

128o

x117o

125o

130o114o

116o


Ejercicio resuelto

Calcula la medida de cada uno de los ángulos interiores de un decágono regular.

La suma de los ángulos de un decágono regular es: 180� � (10 � 2) � 1 440�.

Como todos los ángulos de un polígono regular son iguales y el decágono tiene 10 ángulos, cada uno mide: �1 4

1400�

� � 144�

¿Cuál es la medida de cada uno de los ángulos interiores de los siguientes polígonos regulares?

a) b)

a) Como es un eneágono, S � 180� � (9 � 2) � 1 260�

Por ser regular, cada ángulo interior mide: �1 2

960�� 140�

b) Como es un heptágono, S � 180� � (7 � 2) � 900�

Por ser regular, cada ángulo interior mide: �90

70�� 128,57�

Copia y completa la siguiente tabla, dibujando las diagonales de cada polígono.10.6

10.5

10.4

Diagonales de cada polígono Número de diagonales

0

5

9


S I M E T R Í A S E N L A S F I G U R A S P L A N A S


Ejercicio resuelto

Dado el triángulo isósceles ABC de la figura, encuentra los ejesde simetría.

Este triángulo únicamente tiene un eje de simetría, la recta que une elvértice B y el punto medio del lado opuesto.

Encuentra los ejes de simetría del triángulo equilátero de la figura.

Cualquiera de las tres alturas son ejes de simetría del triángulo equilátero

Dado el rombo de la figura, encuentra los ejes de simetría.

Cada una de las diagonales son ejes de simetría del rombo de la figura.

Las diagonales de un rombo, ¿son ejes de simetría?

En efecto, las diagonales son los únicos ejes de simetría de un rombo

Ejercicio resuelto

Las diagonales del pentágono regular, ¿son ejes de simetría?

Si doblamos el pentágono por la diagonal AD, vemos que las dos partes no coinciden perfectamente. Por tanto, esta diagonalno es eje de simetría.Lo mismo ocurre con otras diagonales. Luego las diagonales del pentágono regular no son ejes de simetría.

10.13

10.12

10.11

10.10

10.9

A

B

CD

E

A

B

Ce

A

B

C


Copia el hexágono regular de la figura y dibuja en él los ejes de simetría.

Son ejes de simetría las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos del hexágono regular.También son ejes de simetría, las tres diagonales que unen vértices opuestos.

Dado el polígono irregular de la figura, ¿tiene algún eje de simetría?

En este polígono irregular no existe ningún eje de simetría.

10.15

10.14


P A R A A P L I C A R

Noé quiere dividir su huerto en dos partes iguales trazando una sola línea recta. Si la forma del huertode Noé es la del dibujo, ¿qué posibilidades tiene de conseguir su propósito?

Tiene cuatro posibilidades, dividiendo el huerto por cada uno de sus ejes de simetría: los dos que coinciden con las diagonales ylos dos que, paralelos a los centros, pasan por el punto medio del huerto.

¿Por qué, para hacer un muñeco de broma, Cris dobla la hoja por la mitad y dibuja en el borde sólomedio muñeco?

Eso se debe a la simetría ya que al cortar por el borde del dibujo y desdoblar, se obtiene la figura deseada.

En el taller de costura, a los alumnos les han dado piezas como las de la figura. El profesor les diceque tienen quehacer cojines y que no pueden recortar la pieza de tela, que le den un doblez y cosanunos bordes con otros. ¿Por dónde tendrán que doblar la pieza los alumnos para que las caras del cojínles queden iguales?

Tendrán que doblar la pieza por cualquiera de sus ejes de simetría, por ejemplo por los que coinciden con las diagonales.

10.18

10.17

10.16


E L C Í R C U L O Y L A C I R C U N F E R E N C I A


Nombra cada una de las siguientes figuras coloreadas.

a) b)

a) Segmento circular. b) Zona circular.

Dibuja una circunferencia y una cuerda que la divida en dos arcos iguales.a) ¿Cómo se llama cada uno de ellos?b) ¿Y la cuerda?

a) Semicircunferencia.b) La cuerda se llama diámetro.

Indica la posición relativa de estas circunferencias.a) b) c) d)

a) Tangentes interiores. b) Secantes. c) Tangentes exteriores. d) Exteriores.

Ejercicio resuelto

Los radios de dos circunferencias miden 6 y 7 centímetros, respectivamente. Indica su posición relativa,si la distancia entre los centros es de 9 centímetros, y dibújalas.

Como se cumplen estas condiciones: 9 � 6 � 7 9 � 7 – 6Las circunferencias son secantes.

10.22

10.21

10.20

10.19

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

••6 cm 7 cm

9 cm


Dibuja dos circunferencias de radios 3 y 5 centímetros, respectivamente, que sean tangentes interiores.

Traza dos circunferencias cuyos radios midan 5 y 7 centímetros, respectivamente, que sean:

a) Secantes. b) Tangentes exteriores. c) Interiores. d) Exteriores.

a) b) c) d)

Los radios de dos circunferencias miden 12 y 17 centímetros, respectivamente. Si la distancia entre loscentros es de 4 centímetros, ¿se cortan en algún punto?

Como se cumplen estas condiciones: 4 � 17 � 12Las circunferencias son interiores y, por tanto, no se cortan en ningún punto.

10.25

10.24

10.23

5 cm7 cm

5 cm

7 cm

5 cm

7 cm

5 cm

7 cm

5 cm3 cm



En un parque acuático se quieren construir tres pisci-nas circulares, tangentes exteriores. El bordillo de cadapiscina mide 1 metro de ancho.

Calcula la distancia que habrá entre los tres centros.

Las distancias entre los centros de las piscinas serán:10 � 1 � 12 � 1 � 24 m

10 � 1 � 14 � 1 � 26 m

12 � 1 � 14 � 1 � 28 m

Cristina y sus hermanos han dibujado en la arena dos circunferencias tangentes interiores cuyos radiosmiden 7 y 12 centímetros, respectivamente. Después han dibujado otra circunferencia cuyo radio mide6 centímetros y tangente a las dos anteriores.

a) Haz un esquema de la situación.

b) ¿Cuál será la distancia entre los centros de las circunferencias?

a)

b) Hay dos posibilidades:

• Que la tercera sea tangente interior a las otras dos, en cuyo caso los centros distan 5, 6 y 1 cm,

• Que la tercera sea tangente exterior a las otras dos, caso en que las distancias entre los centros son 5, 13 y 18 cm.

Dos piezas metálicas circulares son tangentes exteriores y el radio de la primera mide 2 centímetros.Si la suma de los dos diámetros es igual a 28 centímetros, ¿cuánto mide el radio de la segunda?

Sea x el radio de la circunferencia tangente exterior; entonces los diámetros miden 4 cm y 2x cm.Como 4 � 2x � 28 ⇒ 12 cm

10.28

10.27

10.26

6 cm

12 cm6 cm

12 cm

7 c

m

7 c

m


R E C T A S , C I R C U N F E R E N C I A S Y P O L Í G O N O S


Indica la posición relativa de estas rectas y circunferencias.

a) b) c) d)

a) Exteriores. b) Secantes. c) Tangentes. d) Secantes.

¿Cuál es la posición relativa de cada recta respecto a la circunferencia?

r Tangentes Secantet Tangenteu Exteriorv Secantew Exterior

¿Cuáles de los siguientes polígonos están inscritos en la circunferencia?

a) b)

a) Polígono inscrito. b) Polígono no inscrito.

Ejercicio resuelto

El radio de una circunferencia mide 5 centímetros, y la distancia de la recta al centro de la circunfe-rencia es de 11 centímetros. ¿Cuál es su posición relativa? Dibújalas.

11 � 5 → Son exteriores.

10.32

10.31

10.30

10.29

• • ••

•

w v rs

t

u

• •

•

11 cm

5 cm


Traza una circunferencia cuyo radio mida 3 centímetros y una recta que cumpla cada una de estascondiciones.a) Secante a la circunferencia. b) Tangente a la circunferencia. c) Exterior a la circunferencia.¿Cuánto medirá la distancia de la recta al centro de la circunferencia en cada caso?

a) b) c)

Menos de 3 centímetros. 3 centímetros. Más de 3 centímetros.

Determina la posición relativa de una circunferencia de radio 10 centímetros y una recta que se en-cuentra situada a estas distancias del centro de la circunferencia.

a) 5 centímetros b) 10 centímetros c) 15 centímetros

a) Secante. b) Tangente. c) Exterior.

Dibuja un triángulo equilátero cuyo lado mida 4 centímetros, inscrito en una circunferencia. ¿Cuál esla posición relativa de los lados del triángulo respecto de la circunferencia?

Los lados son secantes a la circunferencia.

10.35

10.34

10.33

3 cmr

3 cm

r

3 cm

r

4 cm

O



Una casa de campo está en el centro de un terreno circular de 72 metros de radio. Se quiere construiruna carretera exterior al terreno, que pase a 35 metros del terreno.

a) Realiza un esquema que muestre la posición de la carretera y de la casa.

b) ¿A qué distancia de la casa pasará la carretera?

a)

b) La carretera pasará a 72 � 35 � 107 metros.

El Ayuntamiento de una localidad ha reservado un recinto cuadrado, cuyo lado mide 3 metros, paraconstruir una fuente circular inscrita en él.

a) Dibuja un esquema de la situación.

b) ¿Cuál es la posición relativa de los lados del recinto respecto de la fuente?

c) ¿Cuánto mide el radio de la fuente?

a)

b) Los lados son tangentes.

c) El radio mide 1,5 metros.

Ángulos en la circunferencia

Ejercicio resuelto

La circunferencia se ha dividido en 6 partes iguales.¿Cuál es la medida de los ángulos BOCq y BACq?

El ángulo BOCq es un ángulo central, y el arco BC que abarca co-rresponde a dos de las partes en que se ha dividido la circunferen-cia.

Como cada parte mide �36

60�� 60�, el arco BC mide: 2 � 60� � 120�

Por tanto, el ángulo BOCq mide 120�.

El ángulo BACq es un ángulo inscrito, y el arco que abarca es BC.Por tanto, BACq mide 60�.

10.38

10.37

10.36

Carretera35 m72 m

3 m

A

B

C

•••

•

•

O

•

•



Cuando un círculo se divide en dos partes iguales, ¿cuánto mide el ángulo central de cada parte?

El ángulo central mide: �36

20�� 180�

Si un círculo se divide en cuatro partes iguales, cada parte se llama cuadrante. ¿Cuál es la medida delángulo central correspondiente a un cuadrante?

El ángulo central de un cuadrante mide: �36

40�� 90�

Un círculo se ha dividido en partes iguales. Halla la medida del ángulo central en los siguientes casos.a) Si el número de partes es 5.b) Si el número de partes es 6.c) Si el número de partes es 10.

a) �36

50�� 72� b) �

3660�� 60� c) �

31600�� 36�

Determina la medida del ángulo central xq en cada uno de los siguientes casos.a) b) c) d)

a) xxq � 120� � 90� � 360� ⇒ xq � 150� c) xxq � 45� � 45� � 360� ⇒ xq � 270�

b) xq � 30� � 60� � 90� � 110� � 360� ⇒ xxq � 70� d) xxq � 90� � 40� � 135� � 360� ⇒ xq � 95�

Dibuja una circunferencia cuyo radio mida 8 centímetros. En ella, dibuja un ángulo inscrito, de formaque un lado sea su diámetro y el ángulo mida 45�.

El ángulo inscrito BACq abarca un arco de 90�; por tanto,

su medida es igual a: �920�� 45�

¿Cuánto miden los ángulos inscritos que abarcan una semicircunferencia? Razona la respuesta.

Los ángulos inscritos miden la mitad del arco que abarcan; por tanto, si el arco es una semicircunferencia, mide 180�, y la

medida del ángulo inscrito será: �18

20�� 90�.

10.44

10.43

10.42

10.41

10.40

10.39

x

•90o

120o

x•

90o

110o60o

30o x•45o

45o x •90o

40o

135o

8 m45o

BOA

90o

C


Ejercicio resuelto

Indica la medida de los ángulos inscritos Aq y Bq.

El ángulo Aq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 30�. El ángulo Bq es inscritoy abarca el mismo arco que el de 45�.

Calcula la medida de los ángulos inscritos Aq y Bq.

El ángulo Aq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 65�. El Bq ángulo es inscri-to y abarca el mismo arco que el de 35�.

10.46

10.45

B

•

30o

45o

A

B•35o

65o

A



El recinto ferial de la ciudad se ha organizado comomuestra la figura. ¿Cuál es la medida de los ángulosdesconocidos?

El ángulo Aq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 45�.El ángulo Bq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 60�.

Este plano de un barrio de viviendas protegidas muestra distin-tas entradas y salidas.Halla los ángulos desconocidos Aq y Bq.

El ángulo Aq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 30�.El ángulo Bq es inscrito y abarca el mismo arco que el de 50�.

Los ángulos centrales de un hexágono irregular son proporcionales a los números 1, 2, 3, 4, 5 y 9.Averigua la medida de cada ángulo.

Sea k la constante de proporcionalidad, entonces se verifica:xq � 2xq � 3xq � 4xq � 5xq � 9xq � 360�

24xq � 360� ⇒ xq � 15�

Por tanto, los ángulos centrales miden:2xq � 2 � 15� � 30� 3xq � 3 � 15� � 45�

4xq � 4 � 15� � 60� 5xq � 5 � 15� � 75�

6xq � 6 � 15� � 90� 7xq � 7 � 15� � 105�

10.49

10.48

10.47

50o

Vehículos

ResiduosBicicletas

Personas

A

B

30o


C O N S T R U C C I Ó N D E P O L Í G O N O S R E G U L A R E S


Ejercicio resuelto

Construye un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1,5 centímetros de radio.

1.c Dibujamos la circunferencia de 1,5 centímetros de radio, trazamos un diámetro y lo dividimos en 4 partes iguales.

2.o Con centro en A trazamos un arco de circunferencia de radio AB. Hacemos lo mismo con centro en B.

3.o Trazamos una recta que una M con 2, y donde corta a la circunferencia nos da la marca del lado del cuadrado.

Construye un heptágono regular inscrito en una circunferencia de 2 centímetros de radio.

Se traza una circunferencia de 4 cm de radio, siendo los extremos A y B; y lo dividimos en 7 partes, sean los puntos Q, A1, A2, A3,A4, A5 y A6.

Trazamos un arco de circunferencia con centro en A y radio AB. Del mismo modo, otro arco con centro en B y radio AB.Ambos arcos se cortan en el punto M. Si unimos el punto M con el punto A2, la recta corta a la circunferencia en elpunto Q. El segmento AQ es el lado del heptágono pedido. Llevamos esta medida a partir de Q y obtenemos el heptá-gono.

10.51

10.50

A

B

•

A

B

• •M

A

B

• • M


Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 3 centímetros de radio. Luego, sinvolver a dividir el diámetro, construye un decágono regular inscrito en la misma circunferencia.

1.a parte:

1.o Se construye una circunferencia de radio 3 cm siendo A y B dos extremos diametralmente opuesto.

2.o Se divide el diámetro en 5 partes iguales, obteniendo los puntos A1, A2, A3 y A4.

3.o Haciendo centro en A y con radio 6 cm construimos un arco. Del mismo modo, se construye otro arco con centro en B yradio 6 cm. Ambos arcos se cortan en el punto M.

4.o Se une M con A2 y corta a la circunferencia en el punto Q el segmento AQ es el lado del decágono.

5.o Transportando dicho lado y uniendo los puntos obtenidos resulta el pentágono pedido.

2.a parte:

Si unimos el centro de la circunferencia con los puntos medios de los lados del pentágono obtenido y uniendo los puntos decorte de estas rectas con la circunferencia se obtiene el decágono.

Construye un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 2 centímetros de radio.

El hexágono cumple la propiedad de que la longitud de su lado es igual al radio de la circunferencia en la que está inscrito,así que basta tomar la medida del radio con el compás y llevarla sobre la circunferencia para marcar los vértices.

Dibuja un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia sin tener que dividir el diámetro en 3 partes.Para resolverlo básate en lo visto en el ejercicio anterior.

Como el lado de un hexágono regular inscrito coincide con el radio de la circunferencia circunscrita, entonces construimos, enprimer lugar, el hexágono regular inscrito en una circunferencia. Unimos los vértices alternos y obtenemos el triángulo equilá-tero inscrito pedido.

10.54

10.53

10.52

•



Una alfombra circular de 2 metros de radio tiene estropeados los bordes, por lo que los padres deAna han decidido recortarlos para hacer una alfombra con forma de octógono regular. ¿Cómo deberíanhacerlo?

Construimos, en primer lugar, un cuadrado inscrito en la circunferencia a partir de dos diámetros perpendiculares. Uniendo elcentro de la circunferencia con los puntos medios de los lados del cuadrado obtenemos los puntos M, N, P y Q. El octógonopedido es el que tiene por vértices AMBNCPDQ.

Eres el responsable del decorado de una obra de teatro y eldirector te encarga un friso como el de la figura. La super-ficie que hay que rellenar es de 180 centímetros cuadrados.Dispones de un compás de pizarra. ¿Cómo lo dibujarías?

Como el friso mide 180 cm2, cada círculo mide 60 cm2, por tanto el radiomide � r 2 � 60;

r � ��6�0�� 4,37 cm

1.o Construimos un círculo de radio 4,37 cm.

2.o Inscribimos en él un cuadrado.

3.o Inscribimos también un hexágono regular.

4.o Repetimos la figura obtenida 2 veces más y obtenemos la figura pedida

10.56

10.55


M A T E M Á T I C A S C O T I D I A N A S


En un terreno triangular queremos construir una piscina circular que toque las tres vallas que cercan elterreno. ¿Dónde tiene que estar el centro del círculo?

En el incentro del triángulo.

10.57

I


A C T I V I D A D E S F I N A L E S

C Á L C U L O M E N T A L

Halla la medida de los ángulos centrales, si las medidas de los ángulos inscritos correspondientes sonlas siguientes.a) 35� b) 70� c) 90� d) 27� e) 54� f) 150�

a) 70� b) 140� c) 180� d) 54� e) 108� f) 300�

Averigua la medida de los ángulos inscritos sabiendo que la medida de los ángulos centrales corres-pondientes son estas.a) 100� b) 270� c) 50� d) 74� e) 180� f) 36�

a) 50� b) 135� c) 25� d) 37� e) 90� f) 18�

10.59

10.58


P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

A continuación se dan ternas de ángulos. Indica cuáles de ellos corresponden con seguridad atriángulos.

a) 100� 20� 60� c) 45� 65� 70�

b) 50� 50� 80� d) 130� 20� 20�

Son ángulos correspondientes a un triángulo los de los apartados a), b) y c), ya que suman 180�.

El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 80�. Determina el valor de los otros dos ángulos.

Cada uno de los otros dos ángulos mide 50�.

En un rombo, un ángulo mide 40�. ¿Cuánto miden los otros tres?

40�, 140� y 140�.

En un trapecio rectángulo, un ángulo mide 43�. Indica cuánto valen los restantes.

90�, 90� y 137�.

Un ángulo inscrito en una semicircunferencia mide siempre 90�. Si otro ángulo mide 37�, ¿cuál es la me-dida del tercer ángulo del triángulo que se forma?

Como 90� � 37� � xq � 180� ⇒ xq � 53�

¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un heptágono regular?

S � 180� � (7 � 2) � 900�

¿Cuántas diagonales tiene el siguiente polígono?

El polígono es un heptágono, luego tendrá:

�7

2� 4� � 14 diagonales.

Calcula la medida de cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados.

S � 180� � (18 � 2) � 2 880�. Por tanto, cada ángulo interior mide �2 8

1880�

� � 160�

Dibuja dos circunferencias cuyos radios midan 2 y 4 centímetros, respectivamente, y que sean:

a) Tangentes interiores. b) Secantes. c) Exteriores.

a) b) c)

10.68

10.67

10.66

10.65

10.64

10.63

10.62

10.61

10.60

4 cm2 cm 4 cm

2 cm

4 cm

2 cm


¿Cuánto mide el ángulo central de un polígono regular de 24 lados?

La medida del ángulo central de un polígono de 24 lados es: �32640�� 15�.

La ciudadela de Jaca tiene forma de pentágono regular.

a) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores del polígono?

b) ¿Cuál es la medida de cada ángulo interior del pentágono?

c) ¿Qué número de diagonales se puede trazar en el pentágono regular?

a) Cada ángulo interior mide: �54

50�� 108�

b) S � 180� � (5 � 2) � 540�

c) �5

2� 2� � 5 diagonales

Una zona industrial tiene forma de polígono regular. Se ha pensado instalar, en cada uno de sus vér-tices, contenedores para la recogida selectiva de residuos.a) ¿Cuántos contenedores se deberán instalar, sabiendo que la suma de los ángulos interiores del po-

lígono mide 1 800�?b) Dibuja el polígono regular que representa la zona industrial.

a) S � 1 800� � 180� � (n � 2) �1188000��

� � n � 2 10 � n � 2 n � 12

Por tanto, se trata de un polígono de 12 lados, y en consecuencia se deberán instalar 12 contenedores en cada uno de los vértices.

b)

10.71

10.70

10.69


P A R A R E F O R Z A R

Copia este polígono y traza sus diagonales.

Traza los ejes de simetría de las siguientes figuras.

Traza un círculo cuyo radio mida 10 centímetros y, sobre él, destaca las siguientes figuras.a) Un sector circular de ángulo 60�.b) Un segmento circular.c) Una zona circular.

¿Cuáles de los siguientes polígonos están inscritos en las circunferencias?

Solo el primer polígono está inscrito en la circunferencia.

Dibuja una circunferencia y una recta que sean:

a) Tangentes. b) Secantes. c) Exteriores.

a) b) c)

10.76

10.75

10.74

10.73

10.72

60o

10 cm

Sectorcircular

Zonacircular

Segmentocircular


¿Cuánto mide cada ángulo central de un pentágono regular inscrito en una circunferencia?

�36

50�� 72�

Halla la medida de un ángulo inscrito cuyo ángulo central asociado mide 40�.

La medida del ángulo inscrito es: �420�� 20�

Dibuja un triángulo cualquiera. Traza las mediatrices de los lados y la circunferencia circunscrita altriángulo.

10.79

10.78

10.77


P A R A A M P L I A R

Dibuja un cuadrado y un hexágono regular y traza todos los ejes de simetría posibles. ¿Cuántos ejesobtienes en cada caso? Observa que si el número de lados del polígono regular es par, son ejes de si-metría todos los segmentos que unen el punto medio de un lado con el punto medio del lado opuesto,y además, las diagonales que unen vértices opuestos.

4 ejes de simetría 6 ejes de simetría

En un triángulo equilátero y un pentágono regular, traza todos los ejes de simetría posibles. Observaque si el número de lados del polígono regular es impar, son ejes de simetría todos los segmentos queunen un vértice con el punto medio del lado opuesto.

3 ejes de simetría 3 ejes de simetría

Contesta razonadamente a cada una de las siguientes cuestiones.a) ¿Cuántas circunferencias pasan por un punto?b) ¿Y por dos puntos? ¿Qué condición cumplen los centros de todas ellas?c) ¿Cuántas circunferencias pasan por tres puntos no alineados? ¿Y si están alineados?

a) Infinitas circunferencias.b) Infinitas circunferencias. Todas tienen los centros alineados en la mediatriz del segmento determinado por los dos puntos.c) Si los puntos no están alineados, solo pasa una única circunferencia, la circunscrita al triángulo que determinan. Si los puntos

están alineados, no pasa ninguna circunferencia.

En la figura se han marcado los ángulos exteriores de un pentágono regular.a) Halla la medida de cada uno de los ángulos exteriores del pentágono re-

gular.b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos exteriores?

a) En primer lugar, hallamos la medida de los ángulos interiores del pentágono:

�180�(5

5� 2)� � 108�.

Como los ángulos interiores y exteriores de un polígono regular son suplementarios, cadaángulo exterior mide: 180� � 108� � 72�.

b) La suma de los ángulos exteriores es: 5 � 72� � 360�.

Un paño de cocina era de forma rectangular y se quemaron dos extremos. Para aprovecharlo se ha re-cortado, quedando del siguiente modo.¿Es posible doblar ahora le paño de manera que los bordes de un lado coincidan perfectamente conlos del otro?

No es imposible.

10.84

10.83

10.82

10.81

10.80


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Piscina compartidaLos ayuntamientos de las tres localidades que aparecenen la figura quieren construir una piscina pública que déservicio a los habitantes de los tres pueblos.

a) ¿Dónde deberán construirla si se quiere que la ubi-cación equidiste de los tres pueblos A, B y C?

10.85

1 km•

•

•A

C

B

•

•

•A

C

B

•Circuncentro

1 km•

•

•A

C

B

5 000 m

•

b) ¿Cuál será la situación adecuada si debe equi-distar de A y de B y distar 5 000 metros de C?

a)

b)


Respetando los árboles

Paco posee un terreno plantado de cepas y quiere construir un embalse para poder almacenaragua.

Paco quiere que el embalse cumpla las siguientes condiciones:

Debe ser circular

Debe respetar los tres almendros situados en el terreno tal y como muestra el croquis.

Como quiere que el embalse tenga la mayor superficie posible y esté situado en la zona de los al-mendros, decide que los tres árboles queden justo en el límite del embalse.

Copia el croquis en tu cuaderno y dibuja el embalse.

El centro del embalse estará situado en el circuncentro del triángulo de vértices los tres almendros.

10.86

•

Almendro

•

•

Almendro

Almendro

•

•

•Almendro

Almendro

Almendro


A U T O E V A L U A C I Ó N

Un marco para una foto tiene forma rectangular de 13 centímetros de largo y 8 centímetros de ancho.

a) Dibuja el marco.

b) Traza sobre el dibujo anterior todos los ejes de simetría posibles.

Calcula la medida de los ángulos que faltan.

a) b)

a) xq � 45� � 103� � 180� ⇒ xq � 32� b) xq � 45� � 45� � 107� � 360� ⇒ xq � 163�

Halla la suma de los ángulos interiores de un hexágono regular.

S � 180� � (6 � 2) � 720�

Se quiere construir un octógono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.Indica qué pasos se deben dar para ello.

1.o Se construye una circunferencia de 10 cm de radio.2.o Se trazan dos diámetros perpendiculares y se obtienen los puntos A, B, C y D.3.o Se une el centro con los puntos medios de los lados del cuadrado y se obtienen los puntos M, N, P y Q.4.o El octógono pedido es el de vértices AMDNCPBQ.

¿Cuál es la posición relativa de estas rectas y circunferencias?

a) b)

a) Tangentes interiores. b) Secantes.

10.A5

10.A4

10.A3

10.A2

10.A1

x

45o103o

x

45o

45o

107o

• • •


Los radios de dos circunferencias miden 6,5 y 12,4 centímetros, respectivamente. ¿Cuál será la distan-cia entre sus centros para que las circunferencias sean tangentes exteriores?

La distancia entre los centros para que las circunferencias sean tangentes exteriores será igual a la suma de los radios:6,5 � 12,4 � 18,9 cm.

Determina la medida del ángulo central de un polígono regular de 14 lados.

El ángulo central de un polígono regular de 14 lados mide �31640�� 25,71�.

Indica la medida de los ángulos inscritos xq e yq.

xq � 47� yq � 51�

10.A8

10.A7

10.A6

51o

47o

x

y

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