Alonso Fernández Galián

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TEMA 2: TRIGONOMETRÍA II: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

La trigonometría está presente en muchas ramas de las matemáticas, más allá de la geometría

elemental. Aquí abandonaremos el punto de vista geométrico para centrarnos en las propiedades

algebraicas de las razones trigonométricas.

2.1 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LAS OPERACIONES CON ÁNGULOS

Veamos cómo calcular las razones trigonométricas de las operaciones entre ángulos.

I. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos. El seno de la suma de dos ángulos no

es igual a la suma de los senos, y lo mismo ocurre para el resto de las razones trigonométricas.

Es decir, en general:

sen sen sen coscos cos tantan tan

Concretamente, las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, y , se calculan con

las siguientes fórmulas:

Demostración: Consideremos la siguiente figura:

En el triángulo rectángulo OCD se observa que:

OD

CDsen sen ODCD

OD

OCcos cosODOC

Notemos que FDEDOC ˆˆ . Por tanto, también se tiene:

DF

EFsen sen DFEF

DF

DEcos cosDFDE

Por otro lado, las razones trigonométricas de son:

DFDF

1

sen y ODOD

1

cos

Así, finalmente:

sen coscossen cossen 1

sen DFODDECDCEBFBF

sen cos1

cos DFODEFOCBCOCOBOB

cossen sen cos

sen coscossen sen

sen sen coscos cos

tantan1

tantan tan

Matemáticas I

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La tangente se obtiene dividiendo el seno entre el coseno:

coscos

sen sen

coscos

coscos

coscos

sen cos

coscos

cossen

sen sen coscos

sen coscossen

cos

sen tan

(*)

tantan1

tantan

donde en el paso (*) hemos dividido el numerador y el denominador entre coscos .

II. Razones trigonométricas de la diferencia de ángulos. Se tiene:

Demostración: Basta escribir la resta como la suma del ángulo opuesto:

sen coscossen sen coscossen sen sen

sen sen coscossen sen coscos cos cos

tantan1

tantan

tantan1

tantan tan tan

sen coscossen sen

sen sen coscos cos

tantan1

tantan tan

•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 15º.

4

26

2

1

2

2

2

3

2

230ºsen º45cosº30cosº45sen º30º45sen º51sen

[…]

•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 75º.

4

62

2

2

2

3

2

2

2

145ºsen º30cosº45cosº30sen º45º30sen º75sen

4

26

2

2

2

1

2

2

2

35º4sen º30sen º45cosº30cosº45º30cosº75cos

322

324

13

31

13

11

13

1

º45tanº30tan1

º45tanº30tanº45º30 tanº75tan

Nota: También podíamos haber calculado la tangente dividiendo el seno entre el coseno.

Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas

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III. Razones trigonométricas del ángulo doble. Se tiene:

Demostración: Notemos que 2 . Así:

cossen 2sen coscossen sen 2sen

22 sencossen sen coscos cos2 cos

2tan1

tan2

tantan1

tantan tan2tan

IV. Razones trigonométricas del ángulo mitad. Se tiene:

Demostración: La clave de la demostración es observar que es el ángulo doble de 2/ , y

despejar el seno y el coseno de 2/ a partir de las fórmulas siguientes:

-Relación fundamental de trigonometría: 12

sen2

cos 22

-Coseno del ángulo doble:

cos2

2cos2

sen2

cos 22

Para verlo más claro, hacemos el siguiente cambio de variable:

2

2/

[…]

4

26

2

1

2

2

2

3

2

20º3sen º54sen º30cosº45cosº30º45cosº15cos

322

324

13

31

13

11

13

1

º45tanº30tan1

º45tanº30tanº30º45 tanº15tan

2

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tan

cossen 22sen

22 sencos2 cos

2tan1

tan22 tan

Matemáticas I

- 4 -

Ahora, sumamos y restamos las dos expresiones anteriores:

2

cos1

2cos

2

2cos1cos2cos1cos2

2cossencos

1sencos

2

22

22

2

cos1

2sen

2

2cos1sen 2cos1sen 2

2cossencos

1sencos

2

22

22

Finalmente, dividiendo el seno entre el coseno obtenemos la fórmula para la tangente.

Nota (productos de senos y cosenos): Veamos otras fórmulas, deducibles de las anteriores, que

aparecen con frecuencia al trabajar con las funciones trigonométricas.

Recordemos las fórmulas del seno y el coseno de la suma y la diferencia de ángulos:

[1] sen coscossen sen [2] sen sen coscos cos

[3] sen coscossen sen [4] sen sen coscos cos

Sumando [1] y [3] se deduce:

cossen 2sen sen sen sen 2

1cossen

Restando [1] y [3] se deduce:

sen cos2sen sen sen sen 2

1sen cos

Sumando [2] y [4] se deduce:

coscos2 cos cos cos cos2

1coscos

Restando [2] y [4] se deduce:

sen sen 2 cos cos

cos cos2

1sen sen

•Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 22,5º.

383,02

22

4

22

2

2/21

2

º45cos1

2

º45sen 22,5ºsen

923,02

22

4

22

2

2/21

2

º45cos1

2

º45cosº5,22cos

414,022

22

2/21

2/21

º45cos1

º45cos1

2

º45tanº5,22tan

Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas

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2.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se denominan ecuaciones trigonométricas a aquéllas en las que la incógnita está afectada por

alguna razón trigonométrica. Por ejemplo, xx 2sen 4cos45 .

Soluciones. Al resolver una ecuación trigonométrica debemos tratar de llegar a una igualdad de

los tipos “ ax sen ”, “ ax cos ” ó “ ax tan ” para luego calcular el ángulo x. Además,

contando el número de vueltas en la circunferencia tenemos:

ax sen kax º360arcsen , para algún k ℤ.

ax cos kax º360arccos , para algún k ℤ.

ax tan kax º360arctan , para algún k ℤ.

Así, en general, una ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones: una o varias por cada

giro en la circunferencia goniométrica.

Ejemplos de ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas pueden ser muy

diferentes unas de otras, y no existe un método que sirva para resolverlas todas. Veamos

algunos ejemplos que recogen las principales estrategias de resolución.

En caso de que aparezcan varias razones trigonométricas, conviene utilizar la relación entre las

distintas razones para expresarlas todas en función de una de ellas. Además, podemos tener que

emplear las fórmulas de las operaciones con ángulos.

•Ejemplo: Resolver siguiente ecuación trigonométrica:

12coscos3 xx

(i) Aplicamos la fórmula del ángulo doble:

1sencoscos3 22 xxx

(ii) Expresamos el seno en función del coseno y ordenamos la ecuación:

1cos1coscos3 22 xxx

02cos3cos2 2 xx

(iii) Tenemos una ecuación de segundo grado en “ xcos ”:

02cos3cos2 2 xx no

x

2

2/1

4

53

4

1693cos

Descartamos la segunda solución porque 1cos x . [...]

•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:

2sen 21 x

Despejamos “ xsen ” y luego calculamos x:

kx

kx

xxx

º360º150

ó

º360º30

2

1sen 1sen 22sen 21

Matemáticas I

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•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:

0sen 2tan xx

La mejor estrategia es utilizar que xxx cos/sen tan para sacar factor común al seno de x:

0sen 2tan xx

02

cos

1 sen 0sen 2

cos

sen

xxx

x

x

kx

kxx

x

kx

kxx

º360º300

º360º60

2

1cos02

cos

1

º360º180

º360º00sen

(Nota: para que un producto de factores sea igual a 0, alguno de ellos debe ser igual a 0).

[…]

(iv) Finalmente, calculamos los valores correspondientes que puede tomar x:

kxkxx º360º300óº360º602

1cos

•Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:

0cosº30sen xx

(i) Utilizamos la fórmula del seno de la diferencia de dos ángulos para que las razones

trigonométricas que aparezcan estén expresadas en función de x:

0cos30ºsen cosº30cossen xxx

0coscos2

1sen

2

3 xxx

0cos2cossen 3 xxx

0cossen 3 xx

(ii) Debemos hacer que sólo aparezca una razón trigonométrica. Lo más sencillo es hacer

que el coseno divida al seno para obtener la tangente:

xx cossen 3

1cos

sen 3

x

x

1tan3 x

kx

kx

x

º360º330

ó

º360º150

3

1tan

Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas

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2.3 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se denominan funciones trigonométricas a las funciones:

xy sen xy cos xy tan

donde el ángulo x se mide en radianes. Veamos cuáles son sus gráficas.

y = sen x. Hagamos una tabla dando a x los valores donde el seno alcanza sus valores extremos:

01010sen

22

3

20

xy

x

La función seno es periódica de periodo 2 . Es decir:

xx sen 2sen

Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .

La gráfica de la función seno es, por tanto:

y = cos x. Como antes, hagamos una tabla para los valores extremos del coseno:

10101cos

22

3

20

xy

x

La función coseno es periódica de periodo 2 :

xx cos2 cos

Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .

La gráfica de la función coseno es, por tanto:

Nota: Observemos que la gráfica de la función coseno es idéntica a la de la función seno salvo

en que está desplazada 2/ unidades hacia la izquierda:

2sen cos

xx

Esta relación es consecuencia de combinar las relaciones entre las razones trigonométricas de

ángulos complementarios y de ángulos suplementarios.

Matemáticas I

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y = tan x. Elaboremos una tabla de valores de la función tangente y dibujemos su gráfica:

000tan

22

3

20

xy

x

Dominio: La función tangente no está

definida en los puntos de la forma:

kx

2, k ℤ

Periodicidad: Es periódica de periodo :

xx tantan

Las funciones arco. Se denominan funciones arco a las funciones:

xy arcsen xy arccos xy arctan

Como hay infinitos ángulos para los que cada razón trigonométrica toma el mismo valor x, se

debe especificar el rango de valores y que puede tomar cada arco.

El arco seno de x se define por:

1,1

2,

2

x xy arcsen

El arco coseno de x se define por:

1,1 ,0

x xy arccos

El arco tangente de x se define por:

ℝ ,

x xy arctan

Las gráficas de las funciones arco son, por tanto:

xy arcsen xy arccos xy arctan

Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas

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Fórmulas para la suma y la resta de ángulos

1. Usa las fórmulas de la suma de dos ángulos para calcular las razones trigonométricas de un

ángulo de 105º.

2. Usa las fórmulas de la suma de dos ángulos para calcular las razones trigonométricas de un

ángulo de 165º (indicación: 165º = 120º + 45º).

3. Usa las fórmulas de la diferencia de ángulos para calcular las razones trigonométricas de un

ángulo de 285º (indicación: 285º = 330º – 45º).

4. Sean y dos ángulos del primer cuadrante tales que:

13

12sen y

25

7sen

calcula las razones trigonométricas de .

5. Sean y dos ángulos tales que:

(i) 6

6sen , º90º0 .

(ii) 4

1tan , º180º90 .

Calcula las razones trigonométricas de .

6. Sea un ángulo de primer cuadrante tal que 3/1sen . Calcula sin hallar el valor del án-

gulo las siguientes razones trigonométricas:

(a) º30sen (b) º45sen (c) º60cos (d) º45tan

7. Demuestra que:

xyyxyx 22 sencoscoscos

Fórmulas para los ángulos doble y mitad

8. Deduce las razones trigonométricas de un ángulo de 90º a partir de las de un ángulo de 45º

utilizando las fórmulas para el ángulo doble.

9. Sea el ángulo que cumple:

5tan y º270º180

(a) Calcula las razones trigonométricas de 2 .

(b) ¿En qué cuadrante está 2 ?

10. Expresa:

(a) 3sen en función de sen .

(b) 3cos en función de cos .

(c) 3tan en función de tan .

EJERCICIOS DEL TEMA 2

Matemáticas I

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11. Expresa 4cos en función de cos .

12. Demuestra que:

2sen212cos

13. Usa las fórmulas del ángulo mitad para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de

12/ rad a partir de las de 6/ rad.

14. Utilizando las fórmulas del ángulo mitad calcula las razones trigonométricas de 112,5º.

15. Calcula de forma exacta las razones trigonométricas de un ángulo de 37,5º.

16. Sea un ángulo del segundo cuadrante con:

3/5cotan

Calcula las razones trigonométricas de 2/ sin utilizar la calculadora.

Manipulación de expresiones trigonométricas

17. Simplifica todo lo posible:

cos2

º45 cosº45 2cos .

18. Demuestra que:

tantan

coscos

sen

19. Demuestra las siguientes igualdades:

(a) 2sen 1cossen 2

(b) 2

2cos1 sen 2

20. Demuestra las siguientes igualdades:

(a)

cos

1

sen

2sen

cos

2 cos

(b)

2tantan1

1

tan1

1

(c) 2cotan 2cotan tan

21. Demuestra que:

sen cos

sen cos

cos cos

22. Demuestra las siguientes igualdades:

(a)

2sen

tan1

tan22

(b)

2tan

2sen sen 2

2sen sen 2 2

Tema 2: Trigonometría II: Fórmulas trigonométricas

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Ecuaciones trigonométricas

23. Calcula el valor de x sabiendo que:

1º45cos x

24. Calcula en cada caso los valores de x:

(a) 1sen 2 x (b) 14tan3 x (c) 3cos4 2 x

25. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 4

1cossen 2 xx (b) 12cossen xx

26. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 1sen 2cos2 22 xx (b) xx sen º30cos

27. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 0cos2sen xx (b) xxx 2sen4sen 2 cos

28. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) x

xsec

1cos2 (b) 1 cosec cotan 2 xx

29. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) xxx cos4sen cos5 22 (b) 0cos)(2sen xx

(c) xx 22 sencos (d) )º90(cos)2( cos xx .

30. Resuelve la siguiente ecuación:

01cos2

cos6 2

x

x

31. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 0tan32tan xx (b) 0sen 2º45sen xx

32. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

xxx 3sen 6cos2sen

33. Resuelve la siguiente ecuación:

1cossen xx

34. Resuelve el siguiente sistema:

2cossen

º90

yx

yx

Matemáticas I

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35. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas:

2

1 sencos

2

1cos sen

22

22

yx

yx

Varios

36. Calcula de forma exacta:

(a) Las razones trigonométricas de 195º.

(b) Las razones trigonométricas de 255º.

(c) Las razones trigonométricas de 157º 30’.

37. Sea un ángulo tal que 5/52 cos y º3602180º . Calcula las razones

trigonométricas de .

38. Simplifica todo lo posible las siguientes expresiones (los ángulos están en radianes):

(a)

4

3sen

4sen (b)

2

3sen 5sen

39. Demuestra la siguiente identidad:

cossen sen cos cos

40. Demuestra la siguiente igualdad:

2cos

tan2tan

tan

41. Calcula el valor de la siguiente expresión:

sen sen sen sen sen sen ”.

42. Demuestra la siguiente igualdad:

tan

sen sen

cos cos

Las funciones trigonométricas

43. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas (si es necesario, ayúdate

de una tabla de valores):

(a) xy sen 2 (b) xy cos3 (c) xy sen 2 (d) xy 2tan

44. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:

(a) xy sen (b) xy cos (c) xy sen 2 (d) xy cos

45. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:

(a) xy cos3 (b)

2 cos2

xy (c) xy sen 1 (d) xy 2 cos3