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Alonso Fernández Galián Tema 5: Trigonometría - 1 - TEMA 5: TRIGONOMETRÍA La Trigonometría tiene su origen y su principal aplicación en la resolución de triángulos. 5.1 MEDIDA DE ÁNGULOS Empecemos viendo cómo definir el signo de un ángulo y el número de vueltas, así como la medida de un ángulo en radianes. Ángulos orientados. Consideremos una circunferencia centrada en el origen de coordenadas. Las rotaciones del semieje positivo de abscisas se expresan mediante un ángulo orientado, que mide la amplitud del ángulo junto con un signo que determine el sentido de giro: -La rotación es positiva si se efectúa en el sentido contrario a las agujas del reloj: Rotación de º 45 : -La rotación es negativa si se efectúa en el sentido de las agujas del reloj: Rotación de º 45 : Nota: Dependiendo del problema se trabaja con ángulos orientados (ángulos con signo) o con ángulos no orientados, sin especificarlo explícitamente. Equivalencia de ángulos. Se dice que dos ángulos son equivalentes si deter- minan la misma posición final del radio. En particular: El ángulo negativo es equivalente al ángulo positivo º 360 Ángulos mayores que 360º. Para expresar rotaciones de más de una vuelta de circunferencia debemos trabajar con ángulos mayores que 360º. Es fácil ver que todo ángulo mayor que 360º es equivalente al resto que resulta de dividirlo entre 360º. Por ejemplo: 2 38 360 758 El ángulo de º 758 es equivalente al ángulo de º 38 .

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Alonso Fernández Galián Tema 5: Trigonometría

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TEMA 5: TRIGONOMETRÍA La Trigonometría tiene su origen y su principal aplicación en la resolución de triángulos. 5.1 MEDIDA DE ÁNGULOS Empecemos viendo cómo definir el signo de un ángulo y el número de vueltas, así como la medida de un ángulo en radianes. Ángulos orientados. Consideremos una circunferencia centrada en el origen de coordenadas. Las rotaciones del semieje positivo de abscisas se expresan mediante un ángulo orientado, que mide la amplitud del ángulo junto con un signo que determine el sentido de giro: -La rotación es positiva si se efectúa en el sentido contrario a las agujas del reloj:

Rotación de º45 :

-La rotación es negativa si se efectúa en el sentido de las agujas del reloj:

Rotación de º45 :

Nota: Dependiendo del problema se trabaja con ángulos orientados (ángulos con signo) o con ángulos no orientados, sin especificarlo explícitamente. Equivalencia de ángulos. Se dice que dos ángulos son equivalentes si deter-minan la misma posición final del radio. En particular: El ángulo negativo es equivalente al ángulo positivo º360

Ángulos mayores que 360º. Para expresar rotaciones de más de una vuelta de circunferencia debemos trabajar con ángulos mayores que 360º.

Es fácil ver que todo ángulo mayor que 360º es equivalente al resto que resulta de dividirlo entre 360º. Por ejemplo:

238360758

El ángulo de º758 es equivalente al ángulo de º38 .

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Medida de ángulos en radianes. Se denomina radián al ángulo tal que la longitud del arco recorrido coincide con el radio (1 rad º3,57 ).

Es frecuente tomar el radián como unidad de medida de ángulos. Por ejemplo, si recorriéramos dos radios abarcaríamos un ángulo de 2 radianes (2 rad):

Al dar una vuelta de circunferencia se recorre una longitud igual a 2 veces el radio. Por lo tanto, una vuelta completa de circunferencia mide 2 radianes:

rad 2º360 Con ello deducimos las medidas en radianes de los múltiplos del ángulo recto:

rad 2

º90 rad º180 rad

23º270

rad 2º360

Nota: A diferencia de los grados sexagesimales, que son una medida de ángulos arbitraria (y que se continúa utilizando únicamente por tradición), los radianes son una medida natural, en el sentido de que sólo depende de las propiedades de la circunferencia y no de consideraciones externas.

Ejemplo: Veamos ejemplos de cambio de unidades entre ángulos:

(a) Escribir 210º en radianes.

67

º3602210

210ºrad2360º

xx

rad

(b) Escribir rad 4

3 en grados sexagesimales.

º1352

º3604

3

rad4

3360ºrad2

xx

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5.2 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sea uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Se denominan razones trigonométricas del ángulo a ciertos cocientes entre dos de los ángulos del triángulo. Se denominan seno, coseno y tangente:

-El seno de es el cociente entre el cateto opuesto a y la hipotenusa. Brevemente:

hipotenusaopuestocateto

sen

-El coseno de es el cociente entre el cateto contiguo a y la hipotenusa. Brevemente:

hipotenusacontiguocateto

cos

-La tangente de es el cociente entre los catetos opuesto y contiguo a . Brevemente:

contiguocatetoopuestocateto

tan

Nota: (Razones trigonométricas inversas). Con el fin de simplificar ciertas expresiones, para cada razón trigonométrica se define la correspondiente razón trigonométrica inversa:

-La inversa del seno se denomina cosecante. La cosecante de se denota por “ cosec ”.

sen 1 cosec

opuestocatetohipotenusa

cosec

-La inversa del coseno se denomina secante. La secante de se denota por “ sec ”.

cos1sec

contiguocatetohipotenusa

sec

-La inversa de la tangente se denomina cotangente. La cotangente de se denota “ cotan ”.

tan1cotan

opuestocatetocontiguocateto

cotan

Veamos un primer ejemplo:

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de en el siguiente triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas directas del ángulo son:

53sen

54cos

43tan

Análogamente, las razones trigonométricas inversas de son:

35

5/31 cosec

45

5/41sec

34

4/31cotan

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Si desconocemos el valor de un lado, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcularlo:

Nota: Veamos que las razones trigonométricas de un ángulo dependen sólo de dicho ángulo, no del triángulo concreto que empleemos para calcularlas: Según sabemos, si dos de los lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al lado restante, obtenemos un triángulo semejante al primero (Teorema de Tales).

ABC CBA

En particular, todos los triángulos rectángulos construidos a partir de un mismo ángulo son semejantes, y guardan la misma proporción entre sus lados. Así, el valor de las razones trigonométricas de será el mismo independientemente del triángulo en el que las calculemos:

...sen

CACB

CACB

ACBC

...cos

CABA

CABA

ACAB

...tan

BACB

BACB

ABBC

Por tanto, las razones trigonométricas sólo dependen de .

Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas directas del siguiente triángulo rectángulo:

Por el teorema de Pitágoras, el cateto x mide 312 22 x cm. Ahora:

23sen

21cos 3

13tan

Ejemplo: Considera el siguiente triángulo rectángulo:

Calcular todas las razones trigonométricas del ángulo :

10103

103sen

1010

101cos 3

13tan

310

10/31 cosec 10

10/11sec

31cotan

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5.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30º, 45º Y 60º Las razones trigonométricas de los ángulos que miden 30º, 45º y 60º se pueden calcular fácilmente, y conviene memorizarlas. Razones trigonométricas de 30º y 60º. Al dividir un triángulo equilátero de lado a por su altura se obtiene un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30º y 60º.

El cateto x mide:

23

43

2

222 aaaax

Por tanto, las razones trigonométricas de un ángulo de 30º son:

212/º03sen

aa

232/3º30cos

aa

31

2/32/º30tan

aa

y las de un ángulo de 60º son:

232/3º60sen

aa

212/º60cos

aa 3

2/2/3º60tan

aa

Razones trigonométricas de 45º. Si dividimos un cuadrado de lado a por su diagonal obtenemos un triángulo rectángulo isósceles. Sus ángulos agudos medirán, por tanto, 45º.

La hipotenusa x mide:

22 222 aaaax

Por lo tanto, las razones trigonométricas de un ángulo de 45º son:

22

2º45sen

aa

22

2º45cos

aa 1º45tan

aa

Razones trigonométricas conocidas. Recapitulando, debemos memorizar la siguiente tabla:

313

1tan

21

22

23cos

23

22

21sen

rad3

º60rad4

º45rad6

º30

Conocer las razones trigonométricas de un ángulo nos permite relacionar dicho ángulo con los lados de un triángulo rectángulo que lo contenga. Veamos un primer ejemplo de cómo usar las razones trigonométricas para resolver un triángulo:

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Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios si suman 90º, o equivalentemente, si son los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo (por ejemplo, los ángulos de 30º y 60º):

El complementario de es º90 (y viceversa) El cateto opuesto de un ángulo es el contiguo de su complementario, y viceversa. Así, dos ángulos complementarios tienen el seno y el coseno intercambiados, y la tangente invertida.

tan

1º90tansen º90coscosº90sen

Estas relaciones nos permiten calcular las razones trigonométricas de un ángulo a partir de las de su complementario:

Ejemplo: Las razones trigonométricas del ángulo de 36º son:

59,06º3sen 81,0º36cos 73,0º36tan

Escribir el ángulo complementario de 36º y calcular sus razones trigonométricas:

(i) El ángulo complementario de 36º es:

º54º36º90

(ii) Por tanto, las razones trigonométricas del ángulo de 54º son:

81,0cos36º4º5sen 59,06º3sen º54cos 37,173,01

º36tan1º54tan

Ejemplo: Calcular el ángulo y los lados que faltan en el siguiente triángulo rectángulo:

Obviamente, º60 . Para calcular x e y podemos usar las razones trigonométricas de 30º.

¿ x ? Para calcular x usamos que se trata del cateto contiguo a 30º:

23

10º30cos

x 352

310x cm

¿ y ? Análogamente, para calcular y usamos que se trata del cateto opuesto a 30º:

21

10º03sen

y 52

10y cm

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5.4 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Veamos varias relaciones entre las distintas razones trigonométricas de un mismo ángulo . I. (La relación fundamental de trigonometría) A partir del teorema de Pitágoras, se deduce que la suma de los cuadrados del seno y el coseno es igual a 1.

1cossen 22 Veamos:

1Pitágoras de Tcossen 2

2

222

ma

2

22

2

2

2

22222

aa

abcabc

ab

ac

ab

ac

II. Relación de la tangente con el seno y el coseno: La tangente es igual al cociente entre el seno y el coseno:

cossentan

Veamos:

tan

//

cossen

bc

abac

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de sabiendo que 75,0tan .

1) Debemos resolver el siguiente sistema:

cossen75,0

1cossen

cossentan

1cossen 2222

De la segunda ecuación tenemos cos75,0sen . Sustituyendo en la primera:

1cos5625,11coscos5625,01coscos75,0 22222

8,0cos

2) Finalmente, calculamos el seno: 6,08,075,0cos75,0sen .

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas del ángulo sabiendo que:

1715cos

1) Calculamos el seno por la relación fundamental de trigonometría, 1cossen 22 .

178

28964sen

28964sen1

289225sen1

1715sen 22

22

2) Ahora calculamos la tangente:

158

17/1517/8

cossen tan

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5.5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las razones trigonométricas se usan principalmente para calcular los lados y los ángulos desco-nocidos de un triángulo.

Suma de ángulos:

º180ˆˆˆ CBA

Aquí nos preocuparemos principalmente de cómo resolver triángulos rectángulos. Resolución de triángulos rectángulos. Para resolver un triángulo rectángulo se relaciona cada dato desconocido con dos datos conocidos por medio del teorema de Pitágoras o de alguna de las razones trigonométricas.

Si no sabemos las razones trigonométricas del ángulo dado, las calculamos con la calculadora.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º90ˆ A , º60ˆ C y 2b cm.

(i) Obviamente, º30ˆ B .

(ii) Para calcular a podemos relacionarlo con el ángulo º60ˆ C y el lado 2b cm por medio del coseno de B .

42212º60cos a

aacm.

(iii) Análogamente, podríamos calcular c relacionándolo con el ángulo C y el lado b por medio de la tangente de C . También podemos usar el teorema de Pitágoras:

1224 222222 cccba cm.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º90ˆ A , º56ˆ B y 7a cm.

[…]

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Cálculo del ángulo conocida una de sus razones trigonométricas. Si conocemos los lados de un triángulo rectángulo, pero no sus ángulos, deberemos calcular alguna razón trigonométrica y a partir de ella el ángulo. Para ello usamos las siguientes teclas de la calculadora:

-La tecla 1sin , que corresponde al arco seno, calcula el ángulo a partir del seno.

-La tecla 1cos , que corresponde al arco coseno, calcula el ángulo a partir del coseno.

-La tecla 1tan , que corresponde al arco tangente, calcula el ángulo a partir de la tangente.

Resolución de triángulos isósceles. Los triángulos isósceles también son fáciles de resolver, pues su altura los divide en dos triángulos rectángulos iguales.

Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo sabiendo que º90ˆ A , 17a cm y 15b cm.

(i) Podemos calcular c por medio del teorema de Pitágoras:

cm 82252891517 2222 ccc

(ii) Para calcular el ángulo B hallamos previamente una razón trigonométrica suya:

88,01715ˆsen B

Ahora, calculamos B con la calculadora:

º6288,0arcsen ˆ B

(iii) Finalmente, tenemos º28º62º90ˆ C .

[…]

(i) Como º90ˆˆ CB , tenemos que º34ˆ C .

(ii) Para calcular el lado b podemos usar el seno de º56ˆ B .

8,57

83,07

6º5sen bbb acalculadorcm.

(iii) Finalmente, calculamos el lado c por el teorema de Pitágoras.

92,38,57 222222 cccba cm

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5.6 LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Hasta ahora hemos trabajado sólo con ángulos agudos, º900 . Veamos una definición más general de las razones trigonométricas que nos permita trabajar con cualquier ángulo. Líneas trigonométricas. Representemos el ángulo en la circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas, denominada circunferencia goniométrica. Los valores del seno y el coseno coincidirán entonces con las proyecciones del radio sobre los ejes:

Nota: La tangente coincide con la altura a la que la recta tangente vertical intercepta al radio:

Definición generalizada de las razones trigonométricas. Las expresiones anteriores definen el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo . El signo de las razones trigonométricas será positivo o negativo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el ángulo . -Primer cuadrante ( º90º0 ): El seno, el coseno y la tangente son positivos:

:tan

:cos:sen

º90º0

-Segundo cuadrante ( º180º90 ): El seno es positivo, y el coseno y la tangente negativos:

:tan

:cos:sen

º180º90

bb1

sen proyección del radio sobre el eje de ordenadas.

aa1

cos proyección del radio sobre el eje de abscisas.

cossen tan

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-Tercer cuadrante ( º270º180 ): El seno y el coseno son negativos, y la tangente positiva:

:tan

:cos:sen

º270º180

-Cuarto cuadrante ( º360º270 ): El seno y la tangente son negativos, y el coseno positivo:

:tan

:cos:sen

º360º270

Acotación del seno y el coseno. El seno y el coseno de un ángulo nunca pueden exceder el valor del radio de la circunferencia goniométrica, 1r .

1sen 1 1cos1

La tangente, por el contrario, puede tomar cualquier valor real. Los valores máximos y mínimos de las razones trigonométricas se alcanzan cuando el ángulo es múltiplo de 90º:

000tan10101cos01010sen

rad 2rad 2

3rad rad 2

rad 0)(

º360º270º180º90º0)(

radianes

grados

Nota: La última columna coincide con la primera porque 360º representa al mismo ángulo que 0º tras haber dado una vuelta de circunferencia. En general, las razones trigonométricas se repiten a intervalos de longitud 360º. Cosecante, secante, cotangente. A partir del seno, el coseno y la tangente de un ángulo se definen las correspondientes razones trigonométricas inversas:

-La cosecante es la inversa del seno:

sen 1 cosec

-La secante es la inversa del coseno:

cos1sec

-La cotangente es la inversa de la tangente:

tan1cotan o bien,

sen coscotan

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5.7 REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor que 360º, debemos buscar en primer lugar el ángulo equivalente comprendido entre 0º y 360º.

Veamos ahora cómo “reducir” cualquier ángulo de la circunferencia a uno del primer cuadrante. Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios si suman 180º. Por lo tanto, el ángulo suplementario de es º180 y viceversa. Mirando la figura se deduce:

tan)º180(tancos)º180(cossen )º180(sen

o, en radianes:

tan)(tancos)(cossen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante, debemos preguntarnos cuál es el ángulo que suma con él 180º para buscar su suplementario.

Ángulos que difieren en 180º. El ángulo que difiere en 180º de es

º180 y viceversa. Mirando la figura se deduce:

tan)º180(tancos)º180(cossen )º180(sen

o, en radianes:

tan)(tancos)(cossen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del tercer cuadrante, debemos restarle 180º para buscar el ángulo que difiere de él 180º.

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 225º.

El ángulo de 225º difiere en 180º del de 45º. Por lo tanto:

22º45sen º225sen

2

2º45cosº225cos 1º45tanº225tan

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 1485º.

7453601485

El ángulo de 1485º es equivalente al de 45º tras haber dado 7 vueltas de circunferencia. Así:

22º45sen º4851sen

22º45cosº1485cos 1º45tanº1485tan

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 150º.

El ángulo de 150º es el suplementario del de 30º. Por lo tanto:

21º30sen º150sen

23º150cosº150cos

31º30tanº150tan

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Ángulos opuestos I. Dos ángulos son opuestos si suman 360º. Por lo tanto, el ángulo opuesto de es º360 y viceversa. Mirando la figura se deduce:

tan)º360(tancos)º360(cossen )º360(sen

o, en radianes:

tan)2(tancos)2(cossen )2(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante, debemos preguntarnos cuál es el ángulo que suma con él 360º para buscar su opuesto.

Ángulos opuestos II. Observemos que º360 representa al mismo ángulo que . Por lo tanto, también podemos decir que dos ángulos son opuestos si tienen distinto signo. Con ello tenemos:

tan)(tancos)(cossen )(sen

Así, si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo negativo, debemos usar estas expresiones para trabajar con un ángulo positivo.

Las relaciones para ángulos negativos también son válidas aunque no esté en el 1er cuadrante.

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de º30 .

21º30sen º30sen

23º30cosº30cos 3º30tanº30tan

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de 300º.

El ángulo de 300º es el opuesto del de 60º. Por lo tanto:

23º60sen º300sen

21º60cosº300cos 3º60tanº300tan

Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de un ángulo de º120 .

Se trata del ángulo opuesto del de 120º. A su vez, el ángulo de 120º es el suplementario del de 60º. Así:

2

3º60sen º120sen º120sen

21º60cosº120cosº120cos

3º60tanº60tanº120tanº120tan

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ANEXO: LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Se denominan funciones trigonométricas a las funciones xy sen , xy cos y xy tan , don-de el ángulo x se mide en radianes. Veamos cuáles son sus gráficas. y = sen x. Hagamos una tabla dando a x los valores donde el seno alcanza sus valores extremos:

01010sen

22

32

0

xy

x

La función seno es periódica de periodo 2 . Es decir:

xx sen 2sen

Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .

La gráfica de la función seno es, por tanto:

y = cos x. Como antes, hagamos una tabla para los valores extremos del coseno:

10101cos

22

32

0

xy

x

La función coseno es periódica de periodo 2 :

xx cos2 cos

Así, su gráfica se repite a intervalos de longitud 2 .

La gráfica de la función coseno es, por tanto:

y = tan x. Elaboremos una tabla de valores de la función tangente y dibujemos su gráfica:

000tan

22

32

0

xy

x

Periodicidad: Es periódica de periodo :

xx tantan